Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til sidst er opgaver af stigede sværhedsgrad. Der er løsigsskitser til samtlige opgaver bagerst i otere. I otere beteger Z sædvaligvis mægde af hele tal, Q mægde af ratioale tal, R mægde af reelle tal og C mægde af komplekse tal. Desude beteger L e af disse fire talmægder. De komplekse tal ka beskrives som mægde af alle tal på forme a+ib, hvor i = 1 og a og b er reelle tal. Alle opgaver ka reges ude brug af komplekse tal. 1 Polyomier 1.1 Defiitio Et polyomium p(x) = a x + a 1 x 1 +... + a 1 x + a 0 hvor a, a 1,..., a 1, a 0 L og a 0 kaldes et te grads polyomium med koefficieter i L. Nulpolyomiet er fuktioe der er kostat ul, dvs. p(x) = 0, og dets grad sættes per kovetio til. Tallet x 0 kaldes e rod i p(x), hvis p(x 0 ) = 0. Et polyomium kaldes for lige, hvis p(x) = p( x) for alle reelle tal x, og et polyomium kaldes tilsvarede for ulige, hvis p(x) = p( x) for alle reelle tal x. 1.2 Etydighedssætige Hvis to polyomier p og q er idetiske, dvs. at p(x) = q(x) for alle x R, da er deres koefficieter idetiske. Opskrivige af polyomier er altså etydig. 1.3 Øvelse Vis at de lige polyomier etop er de polyomier hvor koefficietere hørede til led af ulige poteser af x er ul. Vis tilsvarede at de ulige polyomier etop er de polyomier hvor koefficietere hørede til led af lige poteser af x er ul. 2 Polyomiumsdivisio 2.1 Sætig Lad p(x) være et te grads polyomium med koefficieter i L. Hvis x 0 L er rod i p(x), da fides et etydigt bestemt polyomium q(x) af grad 1 med koefficieter i L så p(x) = (x x 0 )q(x). Specielt gælder at hvis x 1, x 2,..., x m L er rødder i p(x), da fides et etydigt bestemt poyomium q(x) af grad m med koefficieter i L så p(x) = (x x 1 )(x x 2 )... (x x m )q(x).
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 2 2.2 Defiitio Et polyomium q(x) siges at gå op i p(x) (begge med koefficieter i L) hvis der fides at polyomium d(x) så p(x) = q(x)d(x). Ma skriver at q(x) p(x). 2.3 Sætig Lad p(x) og q(x) være polyomier med koefficieter i L af grad heholdsvis og m med > m 0. Atag at koefficiete til m tegradsleddet i q(x) er ±1. Da fides etydigt bestemte polyomier d(x) af grad m og r(x) af grad midre ed m med koefficieter i L så p(x) = q(x)d(x) + r(x). Polyomiet r(x) kaldes reste af p(x) ved divisio med q(x). Dette svarer til sætige om hele tal der siger at hvis og m er hele tal, m 0, da fides to etydigt bestemte hele tal d og r, 0 r < m, således at = dm + r. Her er r reste ved divisio af med m. At et polyomium går op i et adet polyomium vil ligesom for hele tal sige at reste ved divisio er 0. 2.4 Eksempel på polyomiumsdivisio Ma dividerer p(x) = x 3 2x 2 + 2x 15 med q(x) = x 3 på følgede måde: x 3 x 3 2x 2 + 2x 15 x 2 + x + 5 x 3 3x 2 x 2 + 2x 15 x 2 3x 5x 15 5x 15 0 Dvs. at p(x) = x 3 2x 2 + 2x 15 = (x 3)(x 2 + x + 5). 2.5 Eksempel på polyomiumsdivisio med rest Ma dividerer p(x) = x 3 + 3x 2 2x + 7 med q(x) = x 2 + 1 på følgede måde: x 2 + 1 x 3 + 3x 2 2x + 7 x + 3 x 3 + 0x 2 + x 3x 2 3x + 7 3x 2 + 0x + 3 3x + 4 Dvs. at p(x) = x 3 + 3x 2 2x + 7 = (x 2 + 1)(x + 3) 3x + 4. Hvis du ikke er fortrolig med polyomiumsdivisio, så lav følgede øvelse.
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 3 2.6 Øvelse Udfør disse to divisioer x 4 2x 2 + 3x 2 x 1 3x 4 + 8x 3 + 12x 2 + 9x + 4 x 2 + x + 1 2.7 Algebraes fudametalsætig Lad p(x) være et te grads polyomium med koefficieter i C. Da har polyomiet ikke ødvedigvis forskellige rødder x 1, x 2,..., x C således at 2.8 Korollar p(x) = a (x x 1 )(x x 2 )... (x x ). Et te grads polyomium har højst reelle rødder. 2.9 Øvelse Vis at et polyomium af ulige grad med reelle koefficieter altid har midst e reel rod. 2.10 Defiitio Tallet x 0 siges at være m-dobbelt rod i et polyomium p(x) hvis (x x 0 ) m går op i p(x). 2.11 Sætig For et polyomium p(x) gælder at x 0 er m-dobbeltrod i p etop hvis 2.12 Eksempel p(x 0 ) = p (x 0 ) = p (2) (x 0 ) =... = p (m 1) (x 0 ) = 0. Lad p(x) = x +1 ( + 1)x + 1. Vi vil vise at (x 1) 2 går op i p(x). Ved differetiatio får ma p (x) = ( + 1)x ( + 1)x 1, dvs. p(1) = p (1) = 0. Dermed er 1 dobbeltrod i p og (x 1) 2 går op i p(x). 2.13 Eksempel Vi udersøger for hvilke det gælder at x 2 + 1 går op i x + x 1 +... + x + 1. Sæt p (x) = x + x 1 +... + x + 1. Da p 3 (x) = (x 2 + 1)(x + 1) må x 2 + 1 x m + x m 1 + x m 2 + x m 3. Dermed vil x 2 + 1 p 4t+s (x) etop år x 2 + 1 p s (x). Da x 2 + 1 ikke går op i p 2 (x), p 1 (x) og p 0 (x), går x 2 + 1 op i p (x), etop hvis har rest 3 ved divisio med 4.
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 4 2.14 Nyttige faktoriseriger (x + a) = x + ( ) 1 x 1 a + ( ) 2 x 2 a 2 +... + ( ) 1 xa 1 + a x a = (x a)(x 1 + x 2 a + x 3 a 2 +... + xa 2 + a 1 ) x + a = (x + a)(x 1 x 2 a + x 3 a 2... xa 2 + a 1 ) for ulige Her beteger ( m) atallet af måder hvorpå ma ka udtage m elemeter af. 2.15 Opgaver Opgave 2.15.1 Vis at der fides et polyomium af grad større ed ul med heltallige koefficieter som går op i p(x) = x 4 + x 2 + 1. Opgave 2.15.2 Bestem reste ved divisio af x 100 2x 51 + 1 med x 2 1. (Egel) Opgave 2.15.3 Bestem a og b så (x 1) 2 går op i ax 4 + bx 3 + 1. (Egel) Opgave 2.15.4 Udersøg om der fides et polyomium af grad større ed ul med heltallige koefficieter som går op i p(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. 3 Koefficieter 3.1 Adegradspolyomiets koefficieter Hvis adegradspolyomiet p(x) = x 2 + bx + c har røddere x 1 og x 2, da er dvs. at b = (x 1 + x 2 ) og c = x 1 x 2. p(x) = (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2, 3.2 Tredjegradspolyomiets koefficieter Hvis tredjegradspolyomiet p(x) = x 3 + bx 2 + cx + d har røddere x 1, x 2 og x 3, da er p(x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) = x 3 (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )x x 1 x 2 x 3, dvs. at b = (x 1 + x 2 + x 3 ), c = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 og d = x 1 x 2 x 3. På samme måde ka ma bestemme koefficietere i polyomier af højere grad ud fra røddere. 3.3 Eksempel Hvis p(x) = x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 har røddere 3, 1, 1, 3, da er a 2 = ( 3)( 1) + ( 3)1 + ( 3)3 + ( 1)1 + ( 1)3 + 1 3 = 10.
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 5 3.4 Opgaver Opgave 3.4.1 Vis at p(x) = (x 1) (x + 1) ku ideholder led af lige grad. Opgave 3.4.2 Lad x 1 og x 2 være røddere i p(x) = x 2 + ax + bc og x 2 og x 3 være røddere i q(x) = x 2 + bx + ac. Vis at hvis ac bc, da er x 1 og x 3 røddere i r(x) = x 2 + cx + ab. Opgave 3.4.3 For hele tal a og har polyomiet p(x) = x 3 x 2 + ax 2 tre heltallige rødder. Bestem a og. 4 Polyomier med heltallige koefficieter I dette afsit er alle tal hele tal, og alle polyomier har heltallige koefficieter. 4.1 Sætig For et polyomium p(x) gælder at hvis a b mod, da er p(a) p(b) mod. Specielt vil a b p(a) p(b), år a b. Bevis Lad p(x) = a m x m + a m 1 x m 1 +... + a 1 x + a 0. Hvis a b, vil a k b k = (a b)(a k 1 + a k 2 b + a k 3 b 2 +... + ab k 2 + b k 1 ), og dermed vil p(a) p(b) = a m (a m b m ) + a m 1 (a m 1 b m 1 ) +... + a 1 (a b). 4.2 Eksempel For et polyomium p(x) er p() lig et trecifret tal for alle = 1, 2, 3,... 1998. Vi vil vise at p(x) ikke har ogle heltallige rødder. (BW 1998) Da p() 0 mod 1998 for alle = 1, 2, 3,..., 1998, vil der for ethvert helt tal m fides et {1, 2,..., 1998} så m mod 1998, og dermed p(m) p() 0. Dvs. at p(x) ikke har oge heltallige rødder. 4.3 Sætig Hvis et ratioalt tal skrevet som uforkortelig brøk p q er rod i polyomiet p(x) = a x + a 1 x 1 +... + a 1 x + a 0 med heltallige koefficieter, da vil p a 0 og q a. Specielt vil de eeste ratioale rødder i være hele tal. p(x) = x + a 1 x 1 +... + a 1 x + a 0
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 6 4.4 Eksempel For at bestemme samtlige ratioale rødder i p(x) = x 5 + 3x 3 + 2x + 6 er det altså ok at tjekke de hele tal der går op i 6, dvs. at eeste ratioale rod er x = 1. 4.5 Defiitio Et polyomium p(x) med koefficieter i L kaldes irreducibelt idefor L hvis der ikke fides to polyomier med koefficieter i L og grad midst e, så p(x) er et produkt af disse. 4.6 Sætig Hvis p(x) er et polyomium med heltallige koefficieter som er irreducibelt idefor Z, da er det også irreducibelt idefor Q. 4.7 Eisesteis irreducibilitetskriterium Lad p(x) = a x +a 1 x 1 +...+a 1 x+a 0 være et polyomium med heltallige koefficieter, hvor et primtal p går op i a 0, a 1,... a 1, me p a og p 2 a 0. Da er p(x) irreducibelt idefor Q. 4.8 Eksempel For at udersøge om polyomiet p(x) = x 5 + 4 er irreducibelt idefor Q, ka ma bruge Eiseteis irreducibilitetskriterium, me ikke direkte. Bemærk først at p(x) er irreducibelt, etop hvis p(x + 1) er irreducibelt. Da p(x + 1) = x 5 + 5x 4 + 10x 3 + 10x 2 + 5x + 5, er det irreducibelt ifølge Eisesteis irreducibilitetskriterium med primtallet p = 5, og dermed er p(x) det også. 4.9 Opgaver Opgave 4.9.1 Lad p(x) være et polyomium med heltallige koefficieter således at der fides to hele tal a og b så p(a) = 1 og p(b) = 3. Ka ligige p(x) = 2 have to forskellige heltallige løsiger? (BW 1994) Opgave 4.9.2 Lad p(x) være et polyomium med heltallige koefficieter således at der fides et helt tal så p( ) < p() <. Vis at da er p( ) <. (BW 1991) Opgave 4.9.3 Vis at p(x) = x 6 + 3x 4 + 6x 3 + 9x + 3 er irreducibelt idefor Q. Opgave 4.9.4 Vis at p(x) = x p + p 2 x 2 + px + p 1 er irreducibelt idefor Q for alle ulige primtal p.
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 7 5 Bladede opgaver Opgave 5.1 Et tredjegradspolyomium p(x) = x 3 + 2x 2 3x 5 har røddere a, b og c. Agiv et tredjegradspolyomium med røddere 1 a, 1 b og 1 c. (GM 1994) Opgave 5.2 Det reelle tal a er rod i p(x) = x 3 x 1. Bestem et tredjegradspolyomium med heltallige koefficieter som har a 2 som rod. Opgave 5.3 Bestem samtlige mulige værdier af x + 1 x og løs dee ligig.(gm 2000) hvor x tilfredsstiller ligige x 4 + 5x 3 4x 2 + 5x + 1 = 0, Opgave 5.4 Lad p(x) være et sjettegradspolyomium som for to reelle tal a og b, 0 < a < b, opfylder at p(a) = p( a), p(b) = p( b) samt p (0) = 0. Vis at p(x) = p( x) for alle reelle tal x. (BW 1998) Opgave 5.5 I et tredjegradspolyomium p(x) = x 3 + ax 2 + bx + c er b < 0 og ab = 9c. Vis at p(x) har tre forskellige reelle rødder. (BW 1992) Opgave 5.6 Bestem alle fjerdegradspolyomier p(x) som opfylder følgede: i) p(x) = p( x) for alle x. ii) p(x) 0 for alle x. iii) p(0) = 1. iv) p(x) har præcis to lokale miima i x 1 og x 2 således at x 1 x 2 = 2. (BW 1992) Opgave 5.7 Et polyomium p(x) har heltallige koefficieter og grad. Desude fides præcis k hele tal som er løsig til ligige (p(x)) 2 = 1. Vis at k 2. (IMO 1974) Opgave 5.8 Lad p(x) være et te grads polyomium med p(k) = Bestem p( + 1). k k+1 for k = 0, 1, 2,...,. Opgave 5.9 Lad f(x) = x + 5x 1 + 3, hvor > 1 er et helt tal. Vis at f(x) ikke ka skrives som et produkt af to polyomier med heltallige koefficieter og grad midst e. (IMO 1993)