Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side
Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt i et koordint-system som vist her. 60º - Mn skl også tegne en irkel med rdius en (r = ) og med entrum midt i koordint-systemet. irklen kldes en enheds-irkel. - osinus til en vinkel er første-koordinten til skæringspunktet mellem vinklens venstre en og enheds-irklen. Sinus til en vinkel er nden-koordinten til skæringspunktet mellem vinklens venstre en og enheds-irklen. Her vil vi kun rejde med vinkler mellem 0º og 90º. osinus og sinus vil være mellem 0 og. ltså i intervllet [0;]. I stedet for osinus til 60º og sinus til 60º skriver mn os(60º) og sin(60º). På regnemskinen finder mn os(60º) ved t trykke os 60 =. Mn får præis 0,5. Mn finder sin(60º) ved t trykke sin 60 =. Mn får et deimltl, som strter med 0,886. På nogle regnemskiner skl mn tste i modst rækkefølge. Fx 60 sin =. (os(60º), sin(60º)) Hvis mn kender osinus eller sinus til en vinkel, kn mn finde vinklen ved t trykke Inv os eller Inv sin. På mnge regnemskiner skl mn tste 2nd i stedet for Inv. Sinus og osinus kldes trigonometriske funktioner. sin(60º) 60º os(60º) Eksempler på opgver Find osinus til 35º Hvilken vinkel hr sinus-værdien 0,94? På regnemskinen trykkes os 35 =. Mn får os(35º) = 0,89 På regnemskinen trykkes Inv sin 0,94 =. Mn får 70º. Side 2
Vi skl især rejde med vinkler i retvinklede treknter. Ved siden f er tegnet en retvinklet treknt, hvor (hypotenusen) hr længden en. Nedenfor er treknten pleret i en enhedsirkel. Hypotenusen er rdius i irklen. Trekntens to ndre sider og (kteterne) hr længderne sin( ) og os( ). = Herunder er tegnet to ndre treknter med de smme vinkler som treknt. Treknterne hr præis smme form som, men den ene er formindsket og den nden forstørret. Mn siger, t de tre treknter er ligednnede. = = os( ) = sin( ) Siderne i den lille treknt er hlvt så lnge som i. Siderne i den store treknt er tre gnge så lnge sider som i. 3 3 sin( ) 0,5 0,5 sin( ) 0,5 os( ) 3 os( ) Mn kn finde kteterne i retvinklede treknter med disse formler: Længden f en ktete = længden f hypotenusen osinus til den hosliggende vinkel Længden f en ktete = længden f hypotenusen sinus til den modstående vinkel Hosliggende vinkel Hypotenuse Ktete Modstående vinkel Modstående vinkel Hypotenuse Hosliggende vinkel Ktete Formlerne gælder for egge kteter, men det er svært t huske, hvilken vinkel der er hosliggende, og hvilken vinkel der er modstående. Tænk dig godt om! Side 3
Eksempel på opgve I en retvinklet treknt er hypotenusen 5 m og er 53º. Hvor stor er? Hvor lnge er kteterne? = 5 m 53º Vinkelsummen i en treknt er 80º, og den rette vinkel er 90º. Derfor får mn: = 80º 90º 53º = 37º Længden f kteterne kn findes med en f formlerne på forrige side. er hypotenusen. er modstående til kteten. er modstående til kteten. Mn får: = sinus til den modstående vinkel = sin( ) = 5 sin(37º) = 3,009 3 m. = sinus til den modstående vinkel = sin( ) = 5 sin(53º) = 3,993 4 m. Mn kn også ruge formlen med osinus til den hosliggende vinkel. Prøv selv! Eksempel på opgve Skrå side Tegningen viser en gvl på et hus. Husets redde er 8 m, muren er 2,5 m høj, og tgets hældning er 30º. Hvor lng er gvlens skrå side? Hvor højt er huset? 30º 8 m 2,5 m Husets højde Den øverste del f gvlen kn opdeles i to retvinklede treknter. Den skrå side er hypotenusen. er hosliggende til kteten. Mn får: 30º = osinus til den hosliggende vinkel = 4 m = os( ) 4 = os(30º) 4 Ved ligningsløsning fås: = 4,62 m os(30 ) = For t finde huset højde skl mn først finde kteten, som er tgets højde. Mn får: = sinus til den modstående vinkel = sin( ) = 4,62 sin(30º) = 2,3 m Husets højde liver murens højde + tgets højde: 2,5 m + 2,3 m = 4,8 m. Side 4
Mn kn finde de ikke-rette vinkler i retvinklede treknter med disse formler: osinus til en vinkel = Den hosliggende ktete Hypotenusen Sinus til en vinkel = Den modstående ktete Hypotenusen Hypotenuse Modstående ktete Vinkel Hosliggende ktete Vinkel Hypotenuse Hosliggende ktete Modstående ktete Formlerne gælder for egge de ikke-rette vinkler, men det er svært t huske, hvilken ktete der er hosliggende, og hvilken ktete der er modstående. Tænk dig godt om! Eksempel på opgve I en retvinklet treknt er hypotenusen 8,5 m, og kteten er 4 m. = 8,5 m = 4 m Hvor stor er? Hvor lng er kteten? Kteten er modstående til. Mn får først: Den modstående ktete 4 sin( ) = = = = 0,47 Hypotenusen 8,5 Derefter tstes: Inv sin 0,74 =, og mn får = 28º Men mn kn også få resulttet i en eregning ved t tste: Inv sin ( 4 8,5 ) =. Mn kn finde kteten på flere måder. Mn kn fx ruge, t er hosliggende til. Mn får: = osinus til den hosliggende vinkel = os( ) = 8,5 os( 28º) = 7,5 m Mn kn også ruge Pythgors formel for sidelængderne i en retvinklet treknt: 2 + 2 = 2. Prøv selv! Side 5
Tngens Du skl lære endnu en trigonometrisk funktion t kende. Det er tngens. Mn kn finde tngens til en vinkel ved t tegne en lodret linje gennem punktet (,0). Tngens er nden-koordinten til det sted, hvor vinklens venstre en skærer denne linje. Tegningen viser tngens til 40º. Mn skriver lot tn(40º). På regnemskinen finder mn tn(40º) ved t trykke tn 40 =. Mn får et deimltl, der strten med 0,839. Mn kn se, t tn(0º) = 0. Når vinklen vokser liver tngens større, og der er ingen øvre grænse. Mn kn ikke finde tn(90º), d vinklens venstre en går lodret op og ldrig skærer linjen. Når vinklen liver større end 90º, liver tngens negtiv. Men her vil vi kun kikke på tngens til vinkler mellem 0º og 90º. 40º, tn(40º)) tn(40º) Eksempler på opgver Find tngens til 60º Hvilken vinkel hr tngens-værdien? På regnemskinen tstes tn 60 =. Mn får tn(60º) =,732 På regnemskinen tstes Inv tn =. Mn får 45º. Til højre er tegnet en retvinklet treknt, hvor kteten hr længden en. Nederst til højre er treknten pleret i en enhedsirkel. Siden må hve længden tn( ). Nedenfor er tegnet to treknter, som er ligednnede med treknt. I den ene er siderne hlvt så lnge. I den nden er tre gnge så lnge. = 0,5 tn( ) 0,5 3 tn( ) = tn( ) 3 = Side 6
Mn kn finde længden f en ktete i en retvinklet treknt med denne formel: Længden f en ktete = længden f den nden ktete tngens til den modstående vinkel Modstående vinkel Ktete Den nden ktete Modstående vinkel Den nden ktete Ktete Formlerne gælder for egge kteter, men tænk dig godt om, når du ruger dem! Eksempel på opgve Tegningen viser en stige, der står op d en mur. Stigen står,20 m fr muren, og vinklen er 75º. Hvor højt når stigen op på muren? Hvor lng er stigen? Stigen, jorden og muren dnner en retvinklet treknt. er modstående til kteten. Mn kn eregne, hvor lngt stigen når op, således: = tn( ) =,20 tn(75 ) = 4,48 m 75º,20 m 75º =,20 Stigens længde kn findes således: = sin( ) 4,48 = sin(75 ) Ved ligningsløsning fås: 4,48 = 4,64 m sin(75 ) = Mn kn også finde stigens længde med en f de ndre formler med osinus og sinus eller ved t ruge Pythgors formel for sidelængderne i en retvinklet treknt: 2 + 2 = 2. Prøv selv! Side 7
Mn kn finde de ikke-rette vinkler i en retvinklet treknt med denne formel: Den modstående ktete Tngens til en vinkel = Den hosliggende ktete Vinkel Hosliggende ktete Modstående ktete Modstående ktete Vinkel Hosliggende ktete Formlerne gælder for egge ikke-rette vinkler, men tænk dig godt om, når du ruger dem! Eksempel på opgve I en retvinklet treknt er kteten = 8,5 m og kteten = 5,3 m. = 5,3 m Hvor stor er? Hvor lng er hypotenusen? = 8,5 m Den modstående ktete 5,3 Mn får først: tn( ) = = = = 0, 623 Den hosliggende ktete 8,5 Derefter tstes Inv sin 0,623 =, og mn får = 32º Mn kn også på en gng tste Inv tn ( 5,3 8,5 ) =. Hypotenusen kn findes på flere måder. Mn kn fx gøre således: = os( ) 8,5 = os(32 ) Ved ligningsløsning fås: 8,5 = 0,0 m os(32 ) = I strten f dette fsnit lev tngens eskrevet som nden-koordinten til et punkt som vist på tegningen. sin(v) Den helt rigtige definition er tn(v) =. os(v) De to metoder giver det smme resultt, men den geometriske eskrivelse er lettere t ruge, når mn rejder med retvinklede treknter. - - v (, tn(v)) Side 8
Opgver : Til højre er tegnet en kvrt enhedsirkel i et koordintsystem.,00 90º 75º 60º Der er indtegnet vinklerne 0º, 5º, 30º osv. osinus og sinus til vinklerne er mrkeret. 45º : flæs så præist som muligt osinus- og sinus-værdierne. Kontroller også tllene på din regnemskine.. 0,50 30º : Udfyld vh. koordintsystemet tellen herunder. 5º : Tellen og tegningen viser, t der er en vis symetri. Der gælder: os(v) = sin(90 v) sin(v) = os(90 v) 0º 0,50,00 Prøv t forklre hvorfor! Vinkel 0º 5º 30º 45º 60º 75º 90º osinus Sinus 2: Herunder er skitseret to retvinklede treknter. eregn størrelsen på de sider og vinkler, som ikke er ngivet. = 6 m = 6,8 m 50º 30º Side 9
3: Til højre er skitseret en retvinklet treknt : eregn sin( ) : Find (ntl grder) : Find (ntl grder) d: Find længden f siden = 3 m = 5 m 4: Til højre er skitseret en retvinklet treknt : eregn tn( ) : Find (ntl grder) = 8 m : Find (ntl grder) d: Find længden f siden = 5 m 5: eregn de ukendte vinkler og sider i de fem retvinklede treknter. O n 45º M = 00 mm E 52º d F m o = 7,2 m f = 25,0 m e N 58º D = 63 mm = 98 mm = 9,8 m =5, m Side 0
6: Tegningerne viser et stykke f to trpper. Trppen til venstre stiger 25º, og trinene er 32 m rede. På trppen til højre er trinene 25 m rede og 8 m høje. : Hvor høje er trinene på trppen til venstre? : Hvor mnge grden stiger trppen til højre? : En trppe skl hve en trinredde på 26 m og en stigning på 30º. Find trinhøjden. d: En trppe skl hve en stigning på 45º. Giv et forslg til trinredde og trinhøjde. e: Mål trinene på en trppe på din skole og eregn, hvor mnge grden trppen siger. 25º 32 m 25 m 8 m 7: Tegningen viser en stige, der står op d en mur. Stiger skl helst stå med en hældning på 75º. : En stige er 5 m lng. Hvor højt kn stigen nå op på muren, med en hældning på 75º? : Hvor højt kn stigen på 5 m nå op, hvis den hælder 60º? : Hvor lng skl en stige være, hvis den skl kunne nå 4 m op og hve en hældning på 75º? d: En stige er 420 m lng, og den når 4 m op d muren. Hvd er hældning? e: En stige når 3,5 m op d muren, og unden f stigen står 95 m fr muren. Hvd er hældningen? f: En -stige (en Wiener-stige) hr de viste mål. enenes længde er 2,25 m og fstnden mellem enene er 40 m. Find enenes hældning og stigens højde. 40 m 2,25 m 8: Tegningen viser gvlen på et hus. : Find husets højde : Hvor meget lvere ville huset være, hvis tgets hældning vr 25º? : Hvor meget højere ville huset være, hvis tgets hældning vr 45º? 860 m 525 m 35º 240 m Side
9: Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede treknter. : Opdel også de to ndre figurer i retvinklede treknter. : Find relet f hver f de tre figurer. Tllene skl være i m 2. Du kn fx gøre det således: - eregn så mnge vinkler som muligt - eregn de mnglende sidelængder i de retvinklede treknter - eregn relerne f de retvinklede treknter 7,50 dm - læg relerne smmen 70º 65º 25 m 0º 3,60 m 5,00 m 46,3º 67,4º 6,50 m 0: I hr sikkert en tvlelinel på præis m i klsseværelset. Stil linelen på skrå op d en væg. Mål vinklen med en vinkelmåler som vist på tegningerne. Mål også den vndrette fstnd x og den lodrette fstnd y. Stil linelen i en ny vinkel og mål igen vinklen, x og y. Fortsæt med flere vinkler. x rug dine målinger til t lve t lve en osinus- og sinus-tel. y Side 2
: Skitsen viser to huse, som egge er 8 m lnge og 8 m rede. Tget på huset til venstre hr en hældning på 25º. Tget på huset til højre hr en hældning på 45º. Smmenlign relet f tgene på de to huse. 25º 45º 2: Tegningen viser en yklist på vej op d en kke. kken er indtegnet som en retvinklet treknt. Mn kn ngive en kkes stigning på to måder: Som et ntl grder og som et ntl proent. ntl grder er størrelsen f. ntl proent er den lodrette stigning som proent f den kørte strækning. ltså som proent f. : Mål længden f, og på tegningen : Find stigningen på tegningen målt i proent. : Find stigningen på tegningen målt i grder. Du må gerne måle vinklen på tegningen men prøv også t eregne tllet. d: Vurder om det er relistisk t ykle op d en sådn stigning. e: Omregn en stigning på 0% til grder. f: Omregn en stigning på 8º til proent. Side 3