Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan skives = R Y θ (0.) lm l l lm l hvo Y e den sfæisk hamoniske l m som kan vises at opfylde samme lm l l egenvædiligninge fo jf. udtyk (9.6). ˆL og L ˆ som lm : l ˆ lm = + l lm L Y l l Y l LY ˆ = m Y lm l l lm l (0.) Af ovenstående femgå det at de sfæisk hamoniske udgø den vinkelafhængige del af en ˆL Lˆ -egentilstand og at de e bestemmende fo bevægelsesmængdemomentet. Som egenfunktione fo ˆL og L ˆ udgø lm l ene et fuldstændigt sæt med egenvædie de ifølge udtyk (9.6) e diskete så ifølge udtyk (8.8): + l + l ψ θ ( t ) = clm ( t) lm = clm () t Rl( Y ) lm = l l l l l= 0 ml= l l= 0 ml= l + l l= 0 ml = l ( θ) c t Y lm l lm l og det samme kan således siges om Y lm l ene. (0.3) Dette genkendes fa den klassiske fysik hvo bevægelsesmængdemomentet omking et punkt (oigo) e et udtyk fo otatoisk bevægelse mht. til dette punkt og en sfæisk symmetisk funktion indebæe ingen otation jf. opg. Q. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Et fuldstændigt sæt (en basis) e ikke entydig og flg. lineakombination af udgø således også et fuldstændigt sæt : ( ) ( ) lm l ene 00 0. (0.4) i De to viste lineakombinatione i udtyk (0.4) involvee lm l e med samme l (ldegeneation) men med foskelligt ml og disse e demed egenfunktione fo ˆL men ikke fo L ˆ. Hvis de sfæisk symmetiske og de sfæisk hamoniske nomees sæskilt mht. hhv. og θ fås ifølge opg. S flg. fo bølgefunktionene i udtyk (0.4): = R 00 0 0 = R ( ) = R + R 4π 3 4π 3 x iy 3 x + iy 8π 8π = R 3 x 4π ( ) = R + R 3 x iy 3 x + iy i i 8π 8π = R =. 3 y 4π (0.5) xˆ y ˆ udgø en otonomal basis fo og fembinge defo entydigt enhve D vekto = xxˆ+ yyˆ men det samme gælde fo f.eks. bˆ = ( xˆ+ yˆ) bˆ = ( xˆ y ˆ) : = bˆ + b bˆ b = ( x+ y) b = ( x y) b. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side 3 af 9 Bintatomet I Bølgefunktionene i udtyk (0.5) kaldes obitale og ha flg. kaakteistika: Banekvantetallet l angive obitalens umlige fom idet man af histoiske gunde buge flg. spektoskopiske notation : l = 0345 (0.6) s p d f g h og så femdeles alfabetisk sådan at man fo l = 0 tale om en s-obital osv. Som det femgå af udtyk (0.5) e en s-obital sfæisk symmetisk. En p-obital deimod e otationssymmetisk omking en af de te akse og antisymmetisk i planen vinkelet på denne akse. Noget tilsvaende om end noget mee kompliceet kan siges om de øvige obitale. p -obital. y Faven angive fotegn. Det magnetiske banekvantetal m l angive obitalens umlige oienteing. Fo en s-obital e de jf. udtyk (9.6) kun 0+ = umlig oienteing svaende til den sfæiske symmeti. Fo en p-obital e de + = 3 umlige oienteinge svaende til de te akse og disse benævnes otationssymmetiske omking. p x p y og p efte den akse de e Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side 4 af 9 Bintatomet I Spin Det hidtil omtalte bevægelsesmængdemoment ha undefostået væet banebevægelsesmængdemoment som jf. udtyk (9.6) beskive en kvantepatikels bevægelse i fohold til noget andet (et oigo) - f.eks. en elektons bevægelse i fohold til en atomkene. Deudove ha en kvantepatikel også et iboende bevægelsesmængdemoment S kaldet spin 3 de e kvantiseet på stot set samme måde som L jf. udtyk (9.6): S = s s+ S 3 s = 0 = ms ms { s s+ s+ s s s}. (0.7) Den eneste foskel e således at spinkvantetallet s e halvtalligt hvo banekvantetallet l e heltalligt Enhve kvantepatikel e kendetegnet ved et bestemt spinkvantetal s. En elekton e f.eks. en spin -patikel og kan demed have + = foskellige spinpojektione på en -akse: S S = =+ (Spin ned) (0.8) (Spin op). 3 Man se indimellem spin beskevet som udtyk fo en kvantepatikels otation om sin egen akse men dette klassiske billede e stengt taget ikke koekt idet en elekton f.eks. ha spin selvom den ikke ha nogen udstækning. Spin udspinge af elativistisk KM og e et ent KM fænomen uden klassisk pendant. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side 5 af 9 Bintatomet I En foton e f.eks. en spin -patikel og bude demed umiddelbat kunne have + = 3 foskellige spinpojektione men da det til fotonen tilhøende EM felt e tansvesalt foekomme kun de to: S = (Venstedejet cikulæt polaiseet) S =+ (Højedejet cikulæt polaiseet). 4 (0.9) Det samlede bevægelsesmængdemoment J = L + S e kvantiseet J = j j+ J { } j l+ s l+ s l+ s l s = m j { j} m j j+ j+ j j. j (0.0) Det bevægelsesmængdemoment (magnetiske dipolmoment) hvis kvantiseing blev opdaget i fobindelse med Sten-Gelach-fosøget beskevet i KM9 va således sølvatomets samlede bevægelsesmængdemoment 5. Udtyk (0.0) kan genealisees til to vilkålige bevægelsesmængdemomente (spin- og/elle bane-) J og J : J = j j+ J { } j j + j j + j j + j j j = m j { } m j j+ j+ j j j. j (0.) 4 Lineæt polaiseet lys bestå således af lige mange fotone i hve af de to spintilstande. 5 I gundtilstanden ha sølv atomkonfiguationen 47 36 0 Ag = K 4d 5s hvo de 46 indeste elektones bevægelsesmængdemomente udligne hinanden sådan at den eneste upaede 5s -elekton ha l = 0 og s = svaende til det j = de blev nævnt KM9 s. 3. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side 6 af 9 Bintatomet I Klassiske centalpotentiale I næste lektion gives en KM beskivelse af bintatomet og som opvamning hetil gives he en klassisk beskivelse af de sfæisk symmetiske centalpotentiale som bintatomet e et eksempel på. Enegien af et bintatom e klassisk set givet ved p p pe e p E = V m + m 4πε = μ + p e p + V m e 0 (0.) hvo p = pp = pe jf. udtyk (7.9) e potonens og elektonens fælles bevægelsesmængde i et efeencesystem i hvile i fohold til dees massemidtpunkt μ = + = + = me m m 836m m m e den educeede masse jf. udtyk p e e e e (7.) og hvo e Coulomb-centalpotentialet. 6 = e 4πε (0.3) V 0 Bevægelse i et centalpotential Coulombkaften e demed jf. hint til opg. 9. givet ved ˆ ˆ e e d = = ˆ + θ + = ˆ θ sinθ 4πε0 4πε0 F V d e = 4πε 0 ˆ. (0.4) 6 Bemæk at tilnæmelsen i udtyk (0.) svae til en antagelse om at potonens masse e så meget støe end elektonens at man kan se bot fa potonens bevægelse i fohold til massemidtpunktet. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side 7 af 9 Bintatomet I Kaftmomentet fo denne centale kaft e nul: τ = F = 0 (0.5) dl så da τ tot = e dt d L= p= m = konstant. (0.6) dt Da e det aeal som ( t) da = d (0.7) ovestyge i tidsummet dt e da d L = = = konstant. (0.8) dt dt m t ( + dt) ( t) da d Udtyk (0.8) vise at en patikel i et centalpotential bevæge sig i en plan og at dens adiusvekto ovestyge lige stoe aeale i lige stoe tidsum 7. Det effektive centalpotential Udtykt i polæe koodinate fo den plan hvoi patiklen bevæge sig e 8 d d( ˆ ) = = ˆ+ ˆ dt dt d dcos dsin = ˆ+ ( cosxˆ+ sinyˆ) = ˆ+ xˆ+ yˆ dt dt dt = ˆ+ sinx ˆ+ cosy ˆ = ˆ+ sinxˆ+ cos yˆ = ˆ + ˆ. (0.9) 7 Dette e kendt som Keples anden lov. 8 d df analogt til f '. dt dx Endvidee e ˆ = cos xˆ+ sin ŷ og ˆ π cos ˆ π = + x + sin + yˆ = sinxˆ+ cos yˆ. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side 8 af 9 Bintatomet I Ved kombination af udtyk (0.6) og (0.9) fås d L= p= m ( ˆ) ˆ = ( m ˆ+ m dt ) = m θˆ p (0.0) sådan at bevægelsesmængden kan skives p= p ˆ + pˆ (0.) hvo og p pt t = m (0.) = m L = e hhv. den adiale og tangentiale komposant. (0.3) Den kinetiske enegi e demed E p p + p L L = = = + = + m m m m (0.4) t kin m m sådan at den samlede enegi kan skives L : m E = m + + V E = mv + Veff hvo v e den adiale hastighedskomposant og hvo (0.5) L Veff = + V (0.6) m e det effektive centalpotential som fo et bintatom e givet ved V L e =. (0.7) m 4πε eff 0 Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007
Kvantemekanik 0 Side 9 af 9 Bintatomet I Som udgangspunkt e en patikels bevægelse i et centalpotential selvsagt et 3D poblem som imidletid ifølge udtyk (0.8) kan educees til et D poblem og ved indføelsen af V efte 9. eff e poblemet iht. udtyk (0.5) educeet til en D-bevægelse L 9 Koektionen til det egentlige potential epæsentee således den fiktive centifugalkaft de tage højde fo m den fastødning som den tangentiale bevægelse føe til idet bevægelsesmængdemoment jo netop e udtyk fo tangential bevægelse. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknologi AAU /04/007