Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes til pojekt- og emneabejde. Mateialet bestå af: Om fomlen fo annuitetslån (GRYN-fomlen) Eksempel 1: G ukendt Eksempel 2: ukendt Eksempel 3: ukendt Eksempel 4: n ukendt Opgave i annuitetslån Om fomlen fo annuitetslån (GRYN-fomlen) Det sælige fo et annuiteslån e at delsen e konstant. Det vil sige at man skal betale samme beløb hve temin (f.eks. hve måned elle hvet kvatal). Tilbagebetalingen begnde én temin efte lånet udbetales. Renten antages at væe fast i lånets løbetid. Hve temin tilskives ente på lånet. Det vise sig at man kan opstille en fomel de kntte delsen, lånets støelse (hovedstolen), enten og løbetiden sammen. I dette mateiale vil vi fokusee på hvodan man anvende fomlen fo annuitetslån, dvs. hvodan man foetage beegninge. På bogens hjemmeside findes to bevise fo fomlen. Vi buge følgende betegnelse: G hovedstolen (det lånte beløb) entefoden p. temin, dvs. enten som decimalbøk (f.eks. 8% = 0,08) delsen n antallet af temine Med disse betegnelse gælde de den såkaldte GRYN-fomel fo et annuitetslån: GRYN-fomlen: n (1 ) G I fomlen kan man med, og n beegne G. Hvis man istedet isolee i fomlen fås: G (1 ) n
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 2 af 7 I GRYN-fomlen indgå fie støelse. Vi se nedenfo på de fie situatione hvo vi kende te af støelsene og skal beegne den fjede vha. GRYN-fomlen. Hvis du vil læse om udviklingen på et annuitetslån betagtet temin fo temin kan du læse mateialet om låntpe. Eksempel 1: G ukendt Hvis vi e paate til at betale en delse p. måned på 1500 k., enten p. måned e 1,2%,og vi ønske at afvikle lånet på 72 månede, kan vi med GRYN-fomlen beegne hvo meget vi kan låne: Vi ha = 1500, = 0,012, n = 72: G (1 ) n (1 0,012) 1500 0,012 72 72044 Vi bemæke at da den månedlige delse e 1500 k, betale vi i alt fo lånet: 72 1500 108000 Da hovedstolen blev beegnet til 72.044 k., betde det at vi i alt betale følgende i ente: 108000 72044 35956 Eksempel 2: ukendt Vi kan vha. GRYN-fomlen beegne den ålige delse vi skal betale på et annuitetslån hvo vi låne 51 000 k, enten e 6,5% p.a. (p. å) og løbetiden e 15 å. Man kan omfome GRYN-fomlen til følgende fomel: G (1 ) n 0,065 Vi ha G = 51 000, = 0,065, n = 15: G 51000 5424 15 (1 ) (1 0,065) n Vi notee at da den ålige delse på det 15-åige lån e 5424 k., betale vi i alt: 15 5424 81360 Da hovedstolen va på 51 000 k. betde det at vi i alt betale følgende i ente: 81360 51000 30360
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 3 af 7 Eksempel 3: ukendt Hvad e den ålige ente på et annuitetslån hvo hovedstolen e 100 000 k., den ålige delse e på 11 000 k, og løbetiden e 10 å? Det vise sig, at man ikke kan isolee støelsen i GRYN-fomlen. Man e nødt til at pøve sig fem med foskellige ente: I GRYN-fomlen G (1 ) n udegnes højesiden ved foskellige ålige ente: Vi udegne eksempelvis fo = 1,75%: Ålig ente Højeside i GRYN-fomel 1,00% 104 184 1,25% 102 801 1,50% 101 444 1,75% 100 113 2,00% 98 808 2,25% 97 528 G (1 ) n (1 0,0175) 100000 0,0175 72 100113 Vi se at den beegnede hovedstol ligge tæt på 100 000 k. De eelle ente må ligge en anelse højee, svaende til en lidt lavee hovedstol. Ved at pøve flee gange få man mee pæcist = 1,7715%. Eksempel 4: Ukendt n På hvo mange månede kan jeg tilbagebetale et annuitetslån på 2,2 mio. k, hvo den månedlige delse e 20 000 k. og den månedlige ente e 0,6%? De e to metode: Man kan pøve sig fem som i eksemplet hvo enten e ukendt Man kan isolee n i GRYN-fomlen. Fo at fostå det skal man have læst om logaitme s. 60 og om eksponentielle ligninge s. 152 i bogen. Man få: G log(1 ) n log(1 ) Da fås med G = 2 200 000 k, = 20 000 k og = 0,6%:
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 4 af 7 G log(1 ) n log(1 ) 2200000 0,006 log(1 ) 20000 log(1 0,006) 180,34 Svaet e altså lidt ove 180 månede svaende til ca. 15 å. Husk De e flee ting de volde pobleme ved annuitetslån: Rentefoden skal stemme oveens med teminen. Hvis enten e p. måned, så skal delsene betales p. måned osv. Omegning f.eks. mellem månedlige og ålige ente kan du læse om i bogen s. 50. n (1 ) Nå du buge GRYN-fomlen G, skal du ved indtastning på lommeegneen huske på egnehieakiene f.eks. ved at sætte paentes om tælleen i bøken. Du kan epetee egnehieakiene ved at læse i bogen s. 29. Opgave Nedenfo følge opgave til mateialet om annuitetslån. Du kan også læse mateialet om låntpe, hvo annuitetslån behandles og egne de tilhøende opgave: link Du kan også løse gamle eksamensopgave indenfo annuitetslån: link. Bemæk at de til den skiftlige eksamen ikke længee stilles denne tpe opgave. Opgave 1 Lad G = 150 000 k., = 2,5% og n = 14. Bent GRYN-fomlen til at bestemme Sva: 12 830,48 k. Opgave 2 Lad G = 12 000 k., = 1000 k. og n = 15. Bent GRYN-fomlen til at bestemme Sva: 2,93% Opgave 3 Lad = 12 000 k., = 4,5% og n = 28. Bent GRYN-fomlen til at bestemme G Sva: 188 914,48 k.
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 5 af 7 Opgave 4 Lad G = 12 000, = 393,34 og = 1,75%. Bent GRYN-fomlen til at bestemme n Sva: 44 Opgave 5 Lad G = 66 000 k., = 700 k. og n = 100. Bent GRYN-fomlen til at bestemme Sva: 0,12% Opgave 6 Lad G = 12 345 k., = 719,74 k. og = 4,44%. Bent GRYN-fomlen til at bestemme n Sva: 33 Opgave 7 Lad G = 50 000 k., = 2,55% og n = 26. Bent GRYN-fomlen til at bestemme Sva: 2 654,06 k. Opgave 8 Lad = 300 000 k., = 11% og n = 11. Bent GRYN-fomlen til at bestemme G Sva: 1 861 954,60 k. Opgave 9 Ckelsmeden Kank og Fælg tilbde et annuitetslån til en uundvælig mountainbike til kun 17 000 k. De e månedlige temine og den månedlige ente e 2%. Løbetiden e 8 å. Bestem den månedlige delse Hvo meget komme man i alt til at betale i ente på lånet? Sva: 399,72 k.; 21 373,42 k. Opgave 10 Fo at løse denne opgave skal du have læst afsnittet om annuitetslån i mateialet om låntpe. På et annuitetslån betales hvet kvatal 2279,58 k., den kvatålige ente e 2,7% og lånet betales tilbage på 9 kvatale Bestem G
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 6 af 7 Lav et søjlediagam de temin fo temin illustee estgælden Sva: 18 000 k. Restgældens udvikling k. 20000 15000 10000 5000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Temin Opgave 11 Fo at løse denne opgave skal du have læst afsnittet om annuitetslån i mateialet om låntpe. Fank Nielsen tilbdes et annuitetslån på 45 000 k med ålige temine og en ålig ente på 5,6%. Han skal betale lånet tilbage på 7 å Bestem den ålige delse Opstil en tabel hvo man fo hvet å kan aflæse entebetaling, afdag og estgæld Sva: 7 946,84 k. Temin Rente Afdag Restgæld 1 2520 5427 39573 2 2216 5731 33842 3 1895 6052 27791 4 1556 6391 21400 5 1198 6748 14652 6 820 7126 7525 7 421 7525 0 Opgave 12 Fo at løse denne opgave skal du have læst afsnittet om annuitetslån i mateialet om låntpe. Betagt et annuitetslån hvo hovedstolen e 50 000 k, den månedlige delse e 2350,50 k og den månedlige ente e 2,2%. Bestem estgæld, entebetaling og afdag efte henholdsvis 1., 2. og 3. delse. Sva: Temin Rente Afdag Restgæld 1 1100 1251 48749 2 1072 1278 47471 3 1044 1306 46165
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 7 af 7 Opgave 13 I gennemgangen af annuitetslån blev det nævnt at GRYN-fomlen kan omfomes til G. Vis hvodan. n (1 ) Opgave 14 I gennemgangen af annuitetslån blev det nævnt at GRYN-fomlen kan omfomes til G log(1 ) n. log(1 ) Læs føst i bogen om eksponentielle ligninge s. 152, og vis denæst hvodan omfomningen kan gøes. Opgave 15 Fo et givet annuitetslån kan vi kalde estgælden efte den k-te temin fo G k og tilsvaende kan vi kalde estgælden til den foegående temin fo G k-1. Opstil en fomel de udtkke G k ved G k-1, og. Sva: G k Gk Gk ) Gk (1 ) 1 ( 1 1