Speciale i Matematik

Transkript

1 Speciale i Matematik Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for en Gabor frame for et Hilbertrum Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til diskontinuert basis for et endeligdimensionalt vektorrum master thesis in mathematics Necessary and sufficient conditions for a Gabor frame for a Hilbert space Construction of a continuous frame as an alternative to discontinuous basis for a finite-dimensional vector space 1. Januar 218 Institut for Matematiske Fag Skjernvej 4A 922 Aalborg Øst Tfl.:

2

3 Institut for Matematiske Fag Matematik Skjernvej 4A, 922 Aalborg Øst Tfl.: Titel: Del I: Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for en Gabor frame for et Hilbertrum Del II: Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til diskontinuert basis for et endeligdimensionalt vektorrum Projekttype: Speciale Projektperiode: 1. september januar 218 Gruppemedlemmer: Kenneth Vanman Offersen Vejleder: Horia Decebal Cornean Oplagstal: 3 Sidetal: 52 Afsluttet den: 1. januar 218 Synopsis: Specialet er skrevet som afslutning på kandidatuddannelsen med specialisering i matematisk analyse inden for det overordnede emne frames i Hilbertrum. Specialet er todelt, hvor første del indeholder en redegørelse af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for eksistensen af en Gabor frame for L 2 (). I anden del af specialet betragtes C 2, hvor det vises, at der eksisterer et underrum V af C 2, som varierer kontinuert som funktion af to variable, hvor enhver basis til underrummet V varierer diskontinuert. Herved bevises eksistensen af et endeligdimensionalt vektorrum, som kun har en diskontinuert basis. Som alternativ til denne diskontinuerte basis for V vises det, at der under visse betingelser eksisterer en frame for V, som varierer kontinuert. apportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatteren.

4

5 Forord Specialet er udarbejdet af Kenneth Vanman Offersen i perioden fra 1. september 217 til 1. januar 218 på Aalborg Universitet - Institut for Matematiske fag - Studieretning i matematisk analyse. Læsevejledning I specialet er hver endt definition markeret med, hvert endt bevis markeret med og hvert endt eksempel markeret med. Løbende i specialet er referencer til ligninger angivet i parenteser (). I specialet er der anvendt kildehenvisninger, sådan at kilderne refereres til med [tal, tekst], hvor tal refererer til placeringen i kildelisten og tekst henviser til eksempelvis kapitel, afsnit, sætning e.l. i den anvendte kilde. Den komplette kildeliste findes bagerst i specialet. Jeg vil gerne takke professor Horia Decebal Cornean for vejledning gennem specialeperioden. Kenneth Offersen Abstract The thesis is written at the end of the master s program as documentation for a master s degree with specialization in mathematical analysis within the main subject frames in Hilbert spaces. The thesis is written in two parts, the first part of which contains a presentation of necessary and sufficient conditions for the existence of a Gabor frame for L 2 (). The second part of the thesis includes the author s contribution to the main subject. In the second part of the thesis, C 2 is considered to show the existence of a subspace V of C 2 which varies continuously as a function of two variables, where any basis to the subspace V varies discontinuously. This proves the existence of finite-dimensional vector spaces, which only has a discontinuous basis. As an alternative to this discontinuous basis, it appears that under certain conditions a frame for V exists, which varies continuously. Thus, the second part of the thesis is an attempt to motivate the use of a frame when there is no basis that varies continuously. i

6

7 Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Indledning 1 I Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for en Gabor frame for et Hilbertrum 4 Kapitel 2 Gabor frames for L 2 () Translations- og modulationsoperator Indledende analyse af Gabor frames Nødvendige betingelser for Gabor frames for L 2 () Tilstrækkelige betingelser for Gabor frames for L 2 () Painless nonorthogonal expansions II Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til diskontinuert basis for et endeligdimensionalt vektorrum 21 Kapitel 3 Projektion og projektionsmatrix 22 Kapitel 4 Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til en diskontinuert basis Konstruktion af et underrum (..... ) Konstruktion af basis for underrummet Span P (θ, ϕ) Der eksisterer ikke en kontinuert basis for underrummet Span P (θ, ϕ) Konstruktion af frame for underrummet Span P (θ, ϕ) Kapitel 5 Konklusion 4 Bibliografi 43 Appendiks A Appendiks A 45 A.1 Begrænset, selvadjungeret, positiv og invertibel operator A.2 Fouriertransformation A.3 Kvadratrod af en positiv begrænset operator A.4 iesz basis og iesz følge A.5 Ortonormal basis for L 2 ([, 1/b]) og fourierkoefficienter Appendiks B Appendiks B 49 B.1 Spor og Hilbert-Schmidt norm B.2 Udregning af dobbeltintegrale iii

8

9 1 Indledning Specialet er skrevet med udgangspunkt i det overordnede emne frames i Hilbertrum. En frame for et Hilbertrum gør det muligt, at ethvert element i Hilbertrummet kan repræsenteres via en rækkeudvidelse på en tilsvarende måde som i forbindelse med en ortonormal basis. Dog er betingelserne, knyttet til frames, svagere end ved ortonormale baser, hvilket gør, at frames er mere fleksible. Dette er der redegjort for i semesterprojektet [7]. Ud fra det overordnede emne indeholder specialet en redegørelse for anvendelsen af frames i forbindelse med Gabor systemer. Yderligere indeholder specialet forfatterens bidrag inden for det overordnede emne, hvor der i et specialtilfælde redegøres for eksistensen af et endeligdimensionalt vektorrum, der varierer kontinuert som funktion af to variable, hvortil der kun eksisterer en basis, som varierer diskontinuert. Dermed motiveres anvendelsen af en frame, idet vi viser, at som alternativ til en sådan diskontinuert basis findes en frame, som varierer kontinuert under visse betingelser. Indledningsvist præsenteres en kort gennemgang af grundlæggende resultater for frames i Hilbertrum. Idet resultaterne er behandlet i et tidligere semesterprojekt, se [7], så præsenteres mange af resultaterne uden bevisførelse. Frames for et Hilbertrum Dette kapitel er baseret på [1], [4] og [7]. Vi lader H angive et ikke-tomt separabelt Hilbertrum, udstyret med det indre produkt, H og normen angivet ved H. 1.1 Definition (Besselfølge): En følge {f k } k 1 af elementer i H er en besselfølge i H, hvis der eksisterer en reel konstant < B <, sådan at f, f k H 2 B f 2 H, for alle f H. k 1 Konstanten B kaldes en besselgrænse. 1.2 Definition (Frame): En følge {f k } k 1 af elementer i H er en frame for H, hvis der eksisterer to reelle konstanter < A B <, sådan at A f 2 H k 1 f, f k H 2 B f 2 H, for alle f H. Konstanterne A og B kaldes hhv. en nedre og øvre framegrænse. Vi bemærker, at framegrænserne ikke er entydige. Yderligere definerer vi den optimale øvre framegrænse som infimum over alle øvre framegrænser, og vi definerer den optimale nedre framegrænse som supremum over alle nedre framegrænser. 1

10 1.3 Definition (Tight & Parseval frame): En frame {f k } k 1 for H er en tight frame, hvis framegrænserne kan vælges sådan, at A = B, dvs., hvis f, f k H 2 = A f 2 H, for alle f H. k 1 En tight frame med A = 1 er en Parseval frame. Et vigtigt resultat i forbindelse med frames for et Hilbertrum H er, at hvis en følge af funktioner {f k } k 1 er en frame for H, så er hvorfor Span ({f k } k 1 ) = H, f = k 1 c k (f) f k, for alle f H, hvor koefficienterne c k (f) ikke nødvendigvis er entydige. For at finde et udtryk for koefficienterne c k (f) defineres en såkaldt frameoperator, og der redegøres for en række resultater, som er listet i følgende lemma 1.4. Lad {f k } k 1 være en frame for H, så definerer vi frameoperatoren til {f k } k 1 ved Sf := k 1 f, f k H f k, for alle f H. (1.1) I semesterprojektet [7] blev det vist, at frameoperatoren er veldefineret Lemma: Lad {f k } k 1 være en frame for H med frameoperator S og framegrænser A, B. Så gælder, at i) S er en begrænset, selvadjungeret, positiv og invertibel operator 2, ii) {S 1 f k } k 1 er en frame for H med frameoperator S 1 og framegrænser B 1, A 1, iii) hvis A og B er de optimale framegrænser for {f k } k 1, så er B 1 og A 1 de optimale framegrænser for {S 1 f k } k 1. Ifølge lemma 1.4 er en frameoperator S invertibel, hvorfor S 1 er veldefineret. Yderligere kan vi formulere følgende korollar i forlængelse af lemma Korollar: Lad {f k } k 1 være en frame for H med frameoperator S. Så er S 1 en begrænset, selvadjungeret, positiv og invertibel operator. 1.6 Sætning: Lad {f k } k 1 være en frame for H med frameoperator S. Så er f = k 1 f, S 1 f k H f k, for alle f H (1.2) og f = k 1 f, f k H S 1 f k, for alle f H. (1.3) Både summen i (1.2) og (1.3) konvergerer ubetinget for alle f H. 1 Veldefineret betyder i denne sammenhæng, at summen, som definerer S, er ubetinget konvergent. 2 For definition af disse begreber, se appendiks A 2

11 1. Indledning 1.7 Definition (Kanoniske dual frame): Lad {f k } k 1 være en frame for H med frameoperator S. Så er den kanoniske dual frame til {f k } k 1 defineret ved {S 1 f k } k 1. For at kunne anvende sætning 1.6 til at repræsentere f H, er vi nødt til at finde S 1 eller alle elementer i den kanoniske dual frame, dvs., S 1 f k for alle k 1. Denne problemstilling kan dog undgås, hvis vi betagter en tight frame. 1.8 Korollar: Lad {f k } k 1 være en tight frame for H med framegrænse A. Så er f = 1 f, f k H f k, for alle f H. A k 1 Bemærk den yderligere simplificering af resultatet i korollar 1.8, når {f k } k 1 er en Parseval frame for H, dvs., når A = Sætning: Lad {f k } k 1 være en frame for H med frameoperator S. Så er {S 1/2 f k } k 1 en Parseval frame og f = k 1 f, S 1/2 f k H S 1/2 f k, for alle f H. Bevis: Ifølge lemma 1.4 eksisterer S 1, og udfra korollar 1.5 er S 1 en positiv begrænset selvadjungeret operator. Ifølge sætning A.11 eksisterer S 1/2 entydigt og er en selvadjungeret operator, som kommuterer med S 1. Idet S 1/2 kommuterer med S 1, så kommuterer S 1/2 også med S, hvorfor f = SS 1/2 S 1/2 f = S 1/2 SS 1/2 f = S 1/2 k 1 S 1/2 f, f k H f k = k 1 f, S 1/2 f k H S 1/2 f k, for alle f H. Yderligere er f 2 H = f, f H = f, f, S 1/2 f k H S 1/2 f k = f, S 1/2 f k H f, S 1/2 f k H k 1 H k 1 = f, S 1/2 2 f k H, for alle f H, k 1 hvorfor {S 1/2 f k } k 1 er en Parseval frame for H. Ud fra sætning 1.9 kan vi konkludere, at for enhver frame {f k } k 1 for H med frameoperator S kan vi finde en tight frame med framegrænse lig 1, hvilket motiverer følgende definition. 1.1 Definition (Kanonisk tight frame): Lad {f k } k 1 være en frame for H med frameoperator S. Så er den kanoniske tight frame til {f k } k 1 defineret ved {S 1/2 f k } k 1. 3

12

13 Del I Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for en Gabor frame for et Hilbertrum 4

14 2 Gabor frames for L 2 () Dette kapitel er baseret på [1], [3], [4], [5] og [12]. For en funktion f : C definerer vi støtten af f ved supp (f) := {x : f (x) }. Vi siger, at en funktion f : C har kompakt støtte, hvis supp(f) er kompakt. Yderligere lader vi C c () notere mængden af kontinuerte funktioner fra til C med kompakt støtte. For 1 p <, lad L p (I) := { f : I C angive et ikke-tomt Lebesguerum. f er målelig og 2.1 Translations- og modulationsoperator I } f (x) p dx <, for I, Det primære fokus i dette kapitel er på Hilbertrummet L 2 () 1, hvor vi tager udgangspunkt i følgende to operatorer Translation: for a, T a : L 2 () L 2 (), T a f(x) := f(x a), Modulation: for b, M b : L 2 () L 2 (), M b f(x) := exp (2πibx) f(x), hvor a kaldes en translationsparameter og b kaldes en modulationsparameter. Lad a, b være givet, så er T a M b f (x) = T a (exp (2πibx) f (x)) = exp (2πib(x a)) f (x a) for enhver funktion f L 2 (), hvorfor = exp ( 2πiab) exp (2πibx) f (x a) = exp ( 2πiab) M b T a f (x), T a M b = exp ( 2πiab) M b T a. (2.1) Ud fra identiteten (2.1) konkluderer vi, at translationsoperatoren T a og modulationsoperatoren M b kommuterer, hvis og kun hvis ab Z. 2.1 Lemma: Både translations- og modulationsoperatoren er en unitær operator. 1 At L 2 () er et separabelt Hilbertrum, er beskrevet i [12, kapitel 7]. 5

15 2.2. Indledende analyse af Gabor frames Bevis: Lad a være givet. Så er T a f, g L 2 () = T a f (x) g (x)dx = = f (x a) g (x)dx f (x) g (x + a)dx = f, T a g L 2 (), for alle f, g L 2 (), hvorfor den adjungerede operator af T a er givet ved Ta = T a. Idet T a T a f = T a T a f = f for alle f L 2 (), så er T a = Ta 1. Vi konkluderer derfor, at Ta = Ta 1, hvorfor T a er en unitær operator. Et lignende argument viser, at modulationsoperatoren er en unitær operator. 2.2 Indledende analyse af Gabor frames Problemstillingen, som vi vil beskæftige os med i det følgende, kan formuleres som: Hvordan kan vi vælge en funktion g L 2 () og vælge passende reelle parametre a og b, sådan at en samling af funktioner er en frame for L 2 (). 2.2 Definition (Gabor system): Et Gabor system er en samling af funktioner på formen {M mb T na g} m, = {exp (2πimbx) g (x na) : x } m,, hvor g L 2 () er forskellig fra nulafbildningen og a, b >. Funktionen g kaldes generatoren. 2.3 Definition (Gabor frame): En Gabor frame for L 2 () er et Gabor system, som er en frame for L 2 (). Idet {(na, mb)} m, danner et gitter i 2, så kaldes en Gabor frame, defineret i 2.3, også en regulær Gabor frame. Hvis vi sammenholder definitionen af en frame, se definition 1.2, med definitionen på en Gabor frame, se definition 2.3, så er et Gabor system en frame for L 2 (), hvis der eksisterer to reelle konstanter < A B <, sådan at A f 2 L 2 () f, M mb T na g L 2 2 () B f 2 L 2 (), for alle f L2 (). (2.2) m, Sammenholdes identiteten (2.1) med (2.2), så opnås følgende umiddelbare konsekvens, at et Gabor system {M mb T na g} m, er en frame for L 2 (), hvis og kun hvis {T na M mb g} m, er en frame for L 2 (). esultatet i næste lemma er af teoretisk karakter, men medtages, idet resultatet vil blive anvendt gentagne gange i den øvrige redegørelse. 2.4 Lemma: Lad f, g L 2 () og a, b > være givet. Så gælder for ethvert n N, at i) Summen f (x k/b) g (x na k/b), for x, k Z er absolut konvergent for næsten alle x. 6

16 2. Gabor frames for L 2 () ii) Afbildningen x k Z f (x k/b) g (x na k/b) tilhører L1 ([, 1/b]). iii) Funktionen F n L 1 ([, 1/b]) defineret ved F n (x) := k Z f (x k/b) g (x na k/b), for x, er en 1/b-periodisk funktion med fourierkoefficienterne c m = b f, M mb T na g L 2 (), for m Z. Bevis: Lad f, g L 2 () og a, b > være givet. Idet f, T na g L 2 (), så er ft na g L 1 () for alle n Z, jf. Hölders ulighed. Med variabelsubstitutionen y = x k/b er 1/b (1 k)/b f (x k/b) g (x na k/b) dx = f (y) g (y na) dy k Z k Z k/b = f (y) g (y na) dy = f (y) T na g (y) dy <, (2.3) hvor ombytning af integration og summation er tilladt ifølge Tonelli s sætning, og sidste ulighed er opfyldt, idet ft na g L 1 () for alle n Z. Ud fra (2.3) konkluderer vi, at afbildningen x k Z f (x k/b) g (x na k/b) tilhører L1 ([, 1/b]), hvilket viser ii). Yderligere viser (2.3), at k Z f (x k/b) g (x na k/b) er absolut konvergent for næsten alle x [, 1/b]. Lad i Z. Med en tilsvarende argumentation, som anvendt til at opnå (2.3), er (i+1)/b i/b ((i+1) k)/b f (x k/b) g (x na k/b) dx = f (y) g (y na) dy k Z k Z (i k)/b = f (y) T na g (y) dy <. (2.4) Udfra (2.4) konkluderer vi, at k Z f (x k/b) g (x na k/b) er absolut konvergent for næsten alle x [i/b, (i+1)/b] for ethvert i Z. Derfor er k Z f (x k/b) g (x na k/b) absolut konvergent for næsten alle x, hvilket viser i). For n Z, definer funktionen F n (x) := k Z f (x k/b) g (x na k/b). Så ved vi fra punkt i), at F n er absolut konvergent for næsten alle x (og derfor konvergent), hvorfor vi til et vilkårligt ε > kan finde et tilstrækkeligt stort N ε N, sådan at N ε f (x k/b) g (x na k/b) F n (x) < ε 3. (2.5) k= N ε L 2 () 7

17 2.3. Nødvendige betingelser for Gabor frames for L 2 () For at vise, at F n er en periodisk funktion med periode 1/b, lad da N,N N, så er F n (x + 1/b) F n (x) L 2 () N = F n (x + 1/b) ± f (x + 1/b k/b) g (x + 1/b na k/b) k= N N ± f (x k/b) g (x na k/b) F n (x) k= N L 2 (), hvor notationen ± betyder, at vi adderer og subtraherer summerne. Vælg N ε > max{n, N }. Minkowski s ulighed, sammenholdt med (2.5), medfører da, at F n (x + 1/b) F n (x) L 2 () < 2ε 3 + N ε N ε f (x + 1/b k/b) g (x + 1/b na k/b) f (x k/b) g (x na k/b) k= N ε k= N ε = 2ε f 3 + (x + 1/b + Nε /b) g (x + 1/b na + N ε /b) f (x + N ε /b) g (x na + N ε /b) L 2 () < ε, hvorfor F n er en periodisk funktion med periode 1/b. Idet F n L 2 ([, 1/b]) er en periodisk funktion med periode 1/b, så er fourierkoefficienterne til F n givet ved c m = b 1/b F n (x) exp ( 2πimbx) dx, for m Z, (2.6) jf. (A.5). Idet F n L 1 ([, 1/b]), så kan vi anvende Fubini s sætning til at ombytte integration og summation, sådan at f, M mb T na g L 2 () = f (x) M mb T na g (x)dx = f (x) g (x na) exp ( 2πimbx) dx = k Z = = 1/b 1/b k Z 1/b f (y k/b) g (y na k/b) exp ( 2πimby) dy f (y k/b) g (y na k/b) exp ( 2πimby) dy F n (y) exp ( 2πimby) dy, for m Z. (2.7) Sammenholdes (2.6) og (2.7), ser vi, at fourierkoefficienterne for F n er givet ved c m = b f, M mb T na g L 2 () for m Z, hvilket viser iii). L 2 () 2.3 Nødvendige betingelser for Gabor frames for L 2 () I dette afsnit redegøres der for et fundamentalt resultat i forbindelse med analysen af Gabor frames for L 2 (), som viser, at produktet ab er afgørende for, om det overhovedet er muligt, at et Gabor system {M mb T na g} m, er en frame for L 2 (). 8

18 2. Gabor frames for L 2 () 2.5 Lemma: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Antag, at {M mb T na g} m, er en frame for L 2 () med frameoperator S. Så gælder følgende: i) SM mb T na = M mb T na S for alle m,n Z, ii) S 1 M mb T na = M mb T na S 1 for alle m,n Z. Bevis: Lad f L 2 (). Antag, at {M mb T na g} m, er en frame for L 2 () med frameoperator S. Ud fra definitionen af en frameoperator (1.1), identiteten (2.1), samt at både translations- og modulationsoperatoren er en unitær operator, jf. lemma 2.1, så er SM mb T na f = M mb T na f, M m bt n ag L 2 ()M m bt n ag m,n Z = m,n Z = m,n Z = m,n Z f, T na M (m m)bt n ag L 2 ()M m bt n ag f, exp ( 2πina ( m m ) b ) M (m m)bt na T n ag L 2 () M m bt n ag exp ( 2πina ( m m ) b ) f, M (m m)bt (n n)ag L 2 () M m bt n ag. Definer nu ñ := n n og m := m m, så er SM mb T na f = exp ( 2πina mb) f, M mb Tña g L 2 () M ( m+m)bt (ñ+n)a g m,ñ Z = m,ñ Z = m,ñ Z = M mb T na exp ( 2πina mb) f, M mb Tña g L 2 () M mbm mb T na Tña g f, M mb Tña g L 2 () M mbt na M mb Tña g m,ñ Z f, M mb Tña g L 2 () M mbtña g = M mb T na Sf. (2.8) Idet (2.8) er opfyldt for alle f L 2 (), så er SM mb T na = M mb T na S, hvilket viser i). Idet {M mb T na g} m, er en frame for L 2 () med frameoperator S, så er frameoperatoren invertibel, jf. lemma 1.4. Derfor følger ii) ud fra i) ved at anvende S 1 på begge sider af SM mb T na = M mb T na S. 2.6 Sætning: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Antag, at {M mb T na g} m, er en frame for L 2 () med frameoperator S. Så gælder følgende: i) Den kanoniske dual frame er et Gabor system, givet ved {M mb T na S 1 g} m,, ii) Den kanoniske tight frame er et Gabor system, givet ved {M mb T na S 1/2 g} m,. Bevis: Ifølge definition 1.7 er den kanoniske dual frame defineret ved {S 1 M mb T na g} m,. Ud fra lemma 2.5 er S 1 M mb T na = M mb T na S 1, hvilket viser i). Ifølge definition 1.1 er den kanoniske tight frame defineret ved {S 1/2 M mb T na g} m,. Idet S 1 kommuterer med M mb T na, så kommuterer S 1/2 med M mb T na, jf. [1, lemma 2.4.5], hvilket viser ii). 9

19 2.3. Nødvendige betingelser for Gabor frames for L 2 () 2.7 Proposition: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Antag, at {M mb T na g} m, er en frame for L 2 () med framegrænser A og B. Så er ba g(x na) 2 bb, for næsten alle x. (2.9) Bevis: Bevises ved modstrid. Lad {M mb T na g} m, være en frame med framegrænser A og B. Definer G (x) := g(x na) 2 for alle x. Antag, at framegrænsen B eksisterer, således at bb < G (x), for næsten alle x. Så kan vi finde en målelig delmængde Ω med positivt mål, sådan at bb < G (x), for alle x Ω. Vælg Ω sådan, at Ω er indeholdt i et interval med intervallængde 1/b og definer mængderne Ω := {x Ω: G(x) 1 + bb}, { Ω k := x Ω: 1 k bb G(x) < 1 k + bb }, for k N. Så er {Ω k } k en opsplitning af Ω, som består af disjunkte målelige mængder. Idet Ω har et positivt mål, så har mindst en af mængderne i {Ω k } k et positivt mål. Vælg k, for hvilket Ω k har et positivt mål og definer f := χ Ω k, hvor χ Ω k angiver den karakteristiske funktion på Ω k. Så er f 2 L 2 () = Ω k. For n Z har funktionen ft na g støtte på Ω k. Idet Ω k er indeholdt i et interval med intervallængde 1/b, og følgen af funktioner { bm mb } m Z = { b exp (2πimbx)} m Z er en ortonormal basis for L 2 (I) for ethvert interval I med længde 1/b, jf. appendiks A.5, så kan vi anvende Parseval s lighed 2, sådan at f, M mb T na g L 2 2 () = ft na g, M mb L 2 2 () = 1 ft na g, bm mb b L 2 () 2 m Z m Z m Z = 1 ft na g 2 b L 2 () = 1 g (x na) 2 dx. (2.1) b Ifølge Tonelli s sætning og (2.1), er f, Mmb T na g L 2 2 () = 1 b m, 2 Se sætning A.15 Ω k Ω k g (x na) 2 dx = 1 g (x na) 2 dx b Ω k 1 1 b k bb dx Ω k = 1 ) + B Ω k b ( k + 1 = 1 ) + B f b ( k 2 L () B f 2 L 2 (). (2.11) 1

20 2. Gabor frames for L 2 () Sammenholdes (2.11) og (2.2), opnås modstrid. Et tilsvarende argument viser, at hvis den nedre grænse i (2.9) ikke er opfyldt, så kan A ikke være en nedre framegrænse, hvilket igen fører til modstrid. Bemærk, at resultatet i proposition 2.7 medfører, at generatorfunktionen g for en Gabor frame {M mb T na g} m, for L 2 () nødvendigvis er begrænset. Bemærk også, at resultatet i proposition 2.7 giver en relation mellem framegrænserne for en Gabor frame {M mb T na g} m, for L 2 () og funktionen G, defineret ved G (x) := g(x na) 2 for alle x. Det næste resultat viser, at uanset hvilken generatorfunktion g L 2 () vi vælger for et Gabor system, vil valget af parametrene a og b medføre visse restriktioner i forhold til egenskaberne af Gabor systemet. 2.8 Sætning: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Så gælder følgende: i) Hvis ab > 1, så er Gabor systemet {M mb T na g} m, ikke en frame for L 2 (). ii) Hvis Gabor systemet {M mb T na g} m, er en frame for L 2 (), så er ab = 1, hvis og kun hvis {M mb T na g} m, er en iesz basis for L 2 (). Bevis: Antag, at {M mb T na g} m, er en frame for L 2 () med frameoperator S. Ifølge sætning 1.9 eksisterer der en kanonisk tight frame med framegrænse lig 1 for {M mb T na g} m,. Ifølge sætning 2.6 er denne kanoniske tight frame givet ved {S 1/2 M mb T na g} m, = {M mb T na S 1/2 g} m,. Idet S 1/2 g L 2 (), så medfører resultatet i proposition 2.7, at hvilket medfører, at S 1/2 g(x na) 2 = b, for næsten alle x, S 1/2 g 2 L 2 () = S 1/2 g (x) 2 dx = = a S 1/2 g (y na) 2 dy a bdy = ab, (2.12) hvorfor S 1/2 g L 2 () = ab. Bemærk, at resultatet (2.12) er opfyldt udelukkende pga. antagelsen, at {M mb T na g} m, er en frame for L 2 (). For S 1/2 g L 2 () vil vi vise, at S 1/2 g L 2 () 1 for en vilkårlig Gabor frame {M mb T na g} m, for L 2 (). For en vilkårlig Gabor frame {M mb T na g} m, for L 2 () er {M mb T na S 1/2 g} m, en Parseval frame, hvorfor m, S 1/2 g, M mb T na S 1/2 g L 2 () S 1/2 g 2 L 2 () 2 = 1. (2.13) 11

21 2.3. Nødvendige betingelser for Gabor frames for L 2 () Yderligere er m, S 1/2 g, M mb T na S 1/2 g L 2 () S 1/2 g 2 L 2 () = S 1/2 g 2 L 2 () + m,\{} 2 S 1/2 g, M mb T na S 1/2 g L 2 () S 1/2 g 2 L 2 () S 1/2 g 2 L 2 (). (2.14) Sammenholdes (2.13) og (2.14), ser vi, at S 1/2 g L 2 () 1, hvilket sammenholdt med (2.12) medfører, at ab 1 for en vilkårlig Gabor frame {M mb T na g} m, for L 2 (). Hvilket viser i) ii). Antag, at {M mb T na g} m, er en iesz basis L 2 (), så er {S 1/2 M mb T na g} m, = {M mb T na S 1/2 g} m, en iesz basis for L 2 () pr. definition A.12. Ifølge sætning A.14 er {M mb T na S 1/2 g} m, en frame for L 2 (). Yderligere gælder det, ifølge sætning 1.9, at {M mb T na S 1/2 g} m, er en Parseval frame for L 2 (), dvs., {M mb T na S 1/2 g} m, har framegrænsen lig 1. Ifølge sætning A.14 er iesz grænsen derfor lig 1, og pr. definition A.13 er S 1/2 g L 2 () = 1, hvilket sammenholdt med (2.12) medfører, at ab = 1.. Antag, at ab = 1, så er S 1/2 g L 2 () = ab = 1, jf. (2.12). Ifølge [4, kapitel 13, kapitel 14 og sætning 1.5] er {M mb T na S 1/2 g} m, en basis for L 2 (). Vi viser nu, at {M mb T na S 1/2 g} m, er en ortonormal basis for L 2 (). Idet M mb T na S 1/2 g 2 L 2 () = M mb T na S 1/2 g(x) 2 dx = exp (2πixmb) S 1/2 g(x na) 2 dx = exp (2πixmb) 2 S 1/2 g(x na) 2 dx = S 1/2 g(x) 2 dx = S 1/2 g 2 L 2 (), 2 så er M mb T na S 1/2 g L 2 () = S 1/2 g L 2 () = 1 for alle m, n Z. Idet {M mb T na g} m, er en frame for L 2 (), så er {M mb T na S 1/2 g} m, en Parseval frame for L 2 (), hvorfor M mb T na S 1/2 g, M mb Tña S 1/2 g L 2 () 2 = M mb T na S 1/2 g 2 L 2 () = 1, m,ñ Z for enhver funktion i {M mb T na S 1/2 g} m,. Idet 1 = M mb T na S 1/2 g, M mb Tña S 1/2 g L 2 () m,ñ Z = M mb T na S 1/2 g 4 L 2 () + = 1 + m,ñ Z: m m,ñ n m,ñ Z: m m,ñ n 2 M mb T na S 1/2 g, M mb Tña S 1/2 g L 2 () M mb T na S 1/2 g, M mb Tña S 1/2 g L 2 () 2, 2 12

22 2. Gabor frames for L 2 () så er M mb T na S 1/2 g, M mb Tña S 1/2 g L 2 () = for alle m m og ñ n i Z. Ud fra ovenstående konkluderer vi, at {M mb T na S 1/2 g} m, er en ortonormal basis for L 2 (), hvorfor {M mb T na g} m, = {S 1/2 M mb T na S 1/2 g} m, er en iesz basis for L 2 (), jf. definition A.12 og [1, lemma 2.4.5]. 2.4 Tilstrækkelige betingelser for Gabor frames for L 2 () I dette afsnit redegøres der for en helt generel betingelse, som sikrer, at et Gabor system {M mb T na g} m, er en frame for L 2 (). 2.9 Lemma: Lad a, b > være givet. Antag, at f er en begrænset målelig funktion med kompakt støtte, og antag, at g er en målelig funktion, for hvilken funktionen G, defineret ved G (x) := g (x na) 2, for x, (2.15) er begrænset. Så er f, M mb T na g L 2 2 () = 1 f(x) 2 g (x na) 2 dx b m, + 1 f(x)f (x k/b) g (x na) g (x na k/b)dx. b k Z\{} Bevis: Lad g være en målelig funktion for, hvilken funktionen G, defineret ved (2.15), er begrænset. Så er g en begrænset funktion, hvilket medfører, at g L 2 (). Fasthold n Z. Så er funktionen F n, defineret ved F n (x) := k Z f(x k/b)g(x na k/b), for x, (2.16) en periodisk funktion med periode 1/b og tilhører L 1 ([, 1/b]), jf. lemma 2.4. Idet f har kompakt støtte, så bidrager summen (2.16) kun med et endeligt antal sumled forskelligt fra nul, hvorfor F n er begrænset. Idet F n er begrænset, så er F n L 1 ([, 1/b]) L 2 ([, 1/b]). Derfor gælder det, ifølge lemma 2.4, at f, M mb T na g L 2 () = 1 b c m = 1/b F n (x) exp ( 2πimbx) dx, (2.17) hvor c m er fourierkoefficienterne for m Z til F n. Parseval s sætning medfører da, se (A.6), at 1/b 2 F n (x) exp ( 2πimbx) dx = 1 b 2 c m 2 = 1 1/b F n (x) 2 dx. (2.18) b m Z Sammenholdes (2.17) og (2.18), opnås, at m, f, M mb T na g L 2 () 2 = = 1 b 1/b m, 1/b m Z F n (x) exp ( 2πimbx) dx F n (x) 2 dx. 2 13

23 2.4. Tilstrækkelige betingelser for Gabor frames for L 2 () Vi ser nu, at F n (x) 2 = F n (x)f n (x) = i Z f (x i/b)g (x na i/b) F n (x), hvilket medfører, at f, M mb T na g L 2 () 2 m, 1/b = 1 f (x i/b)g (x na i/b) F n (x)dx b i Z = 1 f (x)g (x na) F n (x)dx b = 1 f (x)g (x na) f(x k/b)g(x na k/b)dx b k Z = 1 f (x)g (x na) f(x)g(x na) + f(x k/b)g(x na k/b) dx b k Z\ = 1 f (x) 2 g (x na) 2 dx b + 1 f(x)f (x k/b) g (x na) g (x na k/b)dx, b k Z\{} hvor anden lighed er opfyldt, idet F n er 1/b-periodisk og f har kompakt støtte. Bemærk, at beviset for lemma 2.9 er afhængig af summation over alle m Z, og derfor er beviset stærkt afhængig af, at { bm mb } m Z er en ortonormal basis for L 2 ([, 1/b]). Dog er beviset ikke afhængig af summation over alle n Z, hvorfor vi kan summe over en vilkårlig indeksmængde I Z, dvs., med forudsætningerne i lemma 2.9, så er f, M mb T na g L 2 2 () = 1 f(x) 2 g (x na) 2 dx b n I m Z n I + 1 f(x)f (x k/b) g (x na) g (x na k/b)dx b n I k Z\{} opfyldt for en vilkårlig indeksmængde I Z. Vi vil nu formulere en tilstrækkelig betingelse for, at et Gabor system {M mb T na g} m, i L 2 () er en frame for L 2 (). 2.1 Sætning: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Antag, at B := 1 b sup g (x na) g (x na k/b) <. x [,a] k Z Så er Gabor systemet {M mb T na g} m, en Besselfølge i L 2 () med besselgrænse B. Hvis det yderligere er opfyldt, at A := 1 inf g (x na) 2 g (x na) g (x na k/b) >, b x [,a] k Z\{} så er Gabor systemet {M mb T na g} m, en frame for L 2 () med framegrænserne A og B. 14

24 2. Gabor frames for L 2 () For at bevise udsagnet i sætning 2.1 skal vi gøre brug af, at mængden af kontinuerte funktioner med kompakt støtte ligger tæt i L 2 () 3. Bevis: Lad f C c (), og lad g L 2 (). Ifølge lemma 2.9 er f, M mb T na g L 2 2 () = 1 f (x) 2 g (x na) 2 dx b m, + 1 f(x)f (x k/b) g (x na) g (x na k/b)dx. (2.19) b k Z\{} For at vise, at Gabor systemet {M mb T na g} m, er en besselfølge, skal vi estimere en øvre grænse til (2.19). For k Z, definer funktionen H k ved H k (x) := T na g(x)t na+k/b g(x), for x. Ifølge lemma 2.4 er H k en veldefineret funktion for næsten alle x. Vi ser nu, at T k/b H k (x) = H k (x + k/b) k Z\{} k Z\{} = k Z\{} = k Z\{} T na g(x + k/b)t na+k/b g(x + k/b) T na k/b g(x)t na g(x). (2.2) Idet vi summer over alle k Z \ {}, så kan vi erstatte k med k i (2.2), sådan at T k/b H k (x) = T na+k/b g(x)t na g(x) k Z\{} k Z\{} = T na+k/b g(x)t na g(x) k Z\{} = H k (x). (2.21) k Z\{} Betragt (2.19). Ifølge trekantsuligheden er f (x)f (x k/b) g (x na) g (x na k/b)dx k Z\{} = f (x)t b/k f (x) H k (x) dx k Z\{} f (x) T b/k f (x) H k (x) dx k Z\{} = k Z\{} f (x) H k (x) 1/2 T b/k f (x) H k (x) 1/2 dx. 3 For bevis af, at C c () = L 2 (), se eksempelvis [12, sætning 7.28] 15

25 2.4. Tilstrækkelige betingelser for Gabor frames for L 2 () Anvendes Cauchy-Schwarz s ulighed først på integralet og herefter på summen over alle k Z \ {}, så opnås, at f(x) H k (x) 1/2 T b/k f (x) H k (x) 1/2 dx k Z\{} ( ) 1/2 ( ) 1/2 f(x) 2 H k (x) dx T b/k f(x) 2 H k (x) dx k Z\{} 1/2 f(x) 2 H k (x) dx T b/k f(x) 2 H k (x) dx = k Z\{} f(x) 2 k Z\{} H k (x) dx k Z\{} 1/2 f(x) 2 k Z\{} 1/2 T k/b H k (x) dx 1/2 (2.22) Sammenholdes resultatet i (2.21) og (2.22), så er f(x)f (x k/b) g (x na) g (x na k/b)dx k Z\{} f(x) 2 H k (x) dx. (2.23) Bemærk, at k Z\{} k Z\{} H k (x) = k Z\{} T na g(x)t na+k/b g(x) definerer en periodisk funktion med periode a 4. Antag, at B := 1 b sup T na g (x) T na+k/b g (x) <. (2.24) x [,a] k Z Ud fra (2.19), (2.23) og (2.24) er f, M mb T na g L 2 () m, 2 1 f(x) 2 g (x na) 2 dx + 1 f(x) 2 H k (x) dx b b k Z\{} = 1 f(x) 2 g (x na) 2 + H k (x) dx b k Z\{} = 1 f(x) 2 T na g (x) 2 + T na g(x)t b na+k/b g(x) dx k Z\{} = f(x) 2 1 T na g(x)t b na+k/b g(x) dx k Z B f(x) 2 dx = B f 2 L 2 (). (2.25) 4 Beviset for, at k Z\{} H k(x) er en periodisk funktion, er ækvivalent med beviset for, at funktionen F n i lemma 2.4 er en periodisk funktion. 16

26 2. Gabor frames for L 2 () Idet (2.25) er opfyldt for enhver funktion i C c (), og C c () ligger tæt i L 2 (), så er (2.25) opfyldt for alle f L 2 (). Hvilket viser i). For punkt ii), lad f C c (). Ifølge lemma 2.9 er f, M mb T na g L 2 2 () m, f(x) 2 1 T na g (x) 2 b k Z\{} T na g(x)t na+k/b g(x) dx. (2.26) Bemærk, at T nag (x) 2 k Z\{} T nag(x)t na+k/b g(x) er veldefineret for næsten alle x og definerer en periodisk funktion med periode a. Antag, at A := 1 inf T na g (x) 2 T b x [,a] na g (x) T na+k/b g (x) >. (2.27) m, k Z\{} Ud fra (2.26) og (2.27) er f, M mb T na g L 2 2 () A f(x) 2 dx = A f 2 L 2 (). (2.28) Idet (2.28) er opfyldt for enhver funktion i C c (), og C c () ligger tæt i L 2 (), så er (2.28) opfyldt for alle f L 2 (), hvilket, sammenholdt med punkt i), afslutter beviset Eksempel: Lad a = b = 1 og definer funktionen g : ved 1 + x, hvis x ], 1], g(x) := 1 2x, hvis x ]1, 2],, ellers. Det er klart, at g L 2 (). Idet ab = 1, så kan vi ikke afvise, vha. sætning 2.8, at Gabor systemet {M mb T na g} m, = {M m T n g} m, er en frame for L 2 (). Vi vil nu vise, vha. sætning 2.1, at Gabor systemet {M m T n g} m, er en frame for L 2 (). Lad n, k Z og betragt funktionen x g(x n)g(x n k) for x [, a] = [, 1]. For x [, 1] og ud fra definitionen af g, ser vi, at g(x n) =, når n { 1, }, hvorfor g(x n)g(x n k) =, når n / { 1, }. For n = 1, ser vi, at g(x n k) = g(x+1 k) =, når k / {, 1}. For n =, ser vi, at g(x n k) = g(x k) =, når k / { 1, }. Lad χ C angive den karakteristiske funktion på en mængde C, så er g(x n)g(x n k) = g(x + 1)g(x + 1 k)χ (k {,1}) + g(x)g(x k)χ (k { 1,}) 1 g(x)g(x + 1), hvis k = 1, 2 g(x) 2 + g(x + 1) 2, hvis k =, (1 + x)2, hvis k = 1, 5 = = 4 (1 + x)2, hvis k =, 1 g(x + 1)g(x), hvis k = 1, 2, ellers. (1 + x)2, hvis k = 1,, ellers. 17

27 2.5. Painless nonorthogonal expansions Ud fra ovenstående beregnes konstanterne: B := 1 b sup g (x na) g (x na k/b) x [,a] k Z = sup g (x n) g (x n k) x [,1] k Z = 9 4 sup (1 + x) 2 = 9, x [,1] og A : = 1 inf g (x na) 2 g (x na) g (x na k/b) b x [,a] k Z\{} = inf g (x n) 2 g (x n) g (x n k) x [,1] k Z\{} 5 = inf x [,1] 4 (1 + x)2 (1 + x) 2 = 1 4 inf x [,1] (1 + x)2 = 1 4. Idet B <, og A >, så er Gabor systemet {M m T n g} m, en frame for L 2 () med framegrænserne A og B, jf. sætning 2.1. Yderligere er Gabor systemet {M m T n g} m, en iesz basis for L 2 (), jf. sætning Painless nonorthogonal expansions I dette afsnit redegøres der for nødvendige og tilstrækkelige betingelser for eksistensen af en Gabor frame {M mb T na g} m, for L 2 (), hvor støtten af generatorfunktionen g er indeholdt i et interval med intervallængde 1/b. Idet de nødvendige betingelser, formuleret i afsnit 2.3, er opfyldt generelt for en generatorfunktion i L 2 (), så er disse nødvendige betingelser også opfyldt i forbindelse med generatorfunktionerne, beskrevet i dette afsnit. I litteraturen refereres der typisk til de følgende sætninger som Painless nonorthogonal expansions, som første gang blev publiceret af Daubechies, Grossmann og Meyer i artiklen [5] fra Sætning: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Hvis g har støtte på intervallet [, 1/b] og der eksisterer to konstanter < A B <, sådan at ba g(x na) 2 bb, for næsten alle x, (2.29) så er {M mb T na g} m, en frame for L 2 () med framegrænser A og B. Bevis: Lad g L 2 () med supp(g) [, 1/b]. Idet g har støtte på intervallet [, 1/b], så har T na g støtte på intervallet I n := [na, na + 1/b], hvorfor T na g L 2 (I n ) for n Z. Lad f C c (), så er f en begrænset funktion. Idet f er begrænset, så er ft na g L 2 (I n ). Vi ved fra tidligere, at { bm mb } m Z er en ortonormal basis for L 2 (I n ), hvorfor vi ud fra 18

28 2. Gabor frames for L 2 () Parseval s lighed, se sætning A.15, opnår at f (x) g (x na) 2 na+1/b dx = f (x) T na g (x) 2 dx = ft na g 2 L na 2 (I n) = ft na g, bm mb L 2 (I n) 2 m Z = b na+1/b f (x) T na g (x) exp ( 2πimbx) dx m Z na = b 2 f (x) exp (2πimbx) T na g (x)dx m Z = b 2 f (x) M mb T na g (x)dx m Z = b f, M mb T na g L 2 2 (), m Z 2 hvorfor f, M mb T na g L 2 2 () = 1 b m Z f (x) g (x na) 2 dx. Vi anvender nu Tonellis sætning til at ombytte integration og summation, sådan at f, M mb T na g L 2 2 () = 1 f (x) g (x na) 2 dx. b m, = 1 f (x) 2 g (x na) 2 dx (2.3) b Antag, at (2.29) er opfyldt. Ud fra (2.3) er A f 2 L 2 () m, f, M mb T na g L 2 2 () B f 2 L 2 (), for alle f C c (). (2.31) Idet C c () ligger tæt i L 2 (), så er (2.31) opfyldt for alle f L 2 (), hvilket afslutter beviset Sætning: Lad a, b > være givet. Hvis < ab < 1, så eksisterer der en funktion g L 2 () med støtte på intervallet [, 1/b] og to konstanter < A B <, sådan at ba g(x na) 2 bb, for næsten alle x. Bevis: Antag, at < ab < 1. Lad g være en vilkårlig kontinuert funktion, sådan at g(x) =, når x [, 1/b] og g(x) >, når x (, 1/b). Idet g er en kontinuert funktion, så er G (x) := g(x na) 2 en kontinuert funktion. Yderligere er G en periodisk funktion med periode a, og idet < a < 1/b, så er G (x) > for alle x. Idet supp(g) er lig [, 1/b], så er supp(g) en kompakt mængde, hvorfor 19

29 2.5. Painless nonorthogonal expansions g C c (). Idet g C c (), så er g en begrænset funktion, hvorfor G er en begrænset funktion. I alt er < inf G (x) sup G (x) <. x x Idet C c () L 2 (), afsluttes beviset. Ud fra resultatet i sætning 2.13 og resultatet i sætning 2.12 konkluderer vi, at der altid eksisterer en generatorfunktion g L 2 () til et Garbor system {M mb T na g} m,, sådan at {M mb T na g} m, er en frame for L 2 (), når < ab < Sætning: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Hvis ab = 1, supp(g) [, 1/b] og der eksisterer to konstanter < A B < sådan, at ba g(x na) 2 bb, for næsten alle x, (2.32) så er g diskontinuert. Bevis: Bevises ved modstrid. Lad g L 2 () være en funktion med supp(g) [, 1/b], hvor (2.32) er opfyldt. Så er {M mb T na g} m, en frame for L 2 (), jf. sætning Hvis ab = 1, så er a = 1/b, hvorfor supp(g) [, 1/b] = [, a], og supp(t na g) [na, (n + 1) a]. Antag, at g er kontinuert, så er g () = g (a) =. Idet intervallerne [na, (n + 1) a] højst overlapper hinanden i ét punkt, og G (x) := T nag(x) 2 er en kontinuert funktion, så er G (na) = for alle n Z. Yderligere ved vi, at punkterne na for n Z tilhører støtten af T na g, og derfor er punkterne ikke en del af nulmængden. Ud fra proposition 2.7 er {M mb T na g} m, ikke en frame for L 2 (). Herved opnås modstrid Sætning: Lad g L 2 () og a, b > være givet. Hvis ab > 1 og supp(g) [, 1/b], så eksisterer der ikke to konstanter < A B <, sådan at ba g(x na) 2 bb, for næsten alle x. (2.33) Yderligere er Gabor systemet {M mb T na g} m, ikke fuldstændig i L 2 (). Bevis: Hvis ab > 1, så er a > 1/b, hvilket medfører, at G (x) = T nag (x) 2 = for alle x [1/b, a]. Ifølge proposition 2.7 er {M mb T na g} m, ikke en frame for L 2 (), hvorfor (2.33) ikke er opfyldt, jf. sætning Idet χ [1/b,a] er ortogonal til ethvert element i {M mb T na g} m,, så er Gabor systemet {M mb T na g} m, ikke fuldstændig i L 2 (). 2

30

31 Del II Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til diskontinuert basis for et endeligdimensionalt vektorrum 21

32 3 Projektion og projektionsmatrix Dette kapitel er baseret på [14]. I dette kapitel præsenteres grundlæggende resultater angående projektioner og projektionsmatricer. 3.1 Definition: Lad E n være et endeligdimensionalt vektorrum, hvor E n = V W 1. Lad x E n. Så kan x entydigt repræsenteres som x = x 1 + x 2, for x 1 V og x 2 W. Transformationen φ, som afbilder x x 1, kaldes projektionen af x på V langs W. Ud fra definition 3.1 ser vi, at φ er en lineær afbildning, da φ (αx + βy) = αφ (x) + βφ (y) for alle x, y E n og alle α, β. Idet φ er en lineær afbildning, så kan vi repræsentere afbildningen φ via en matrix P. Vi kalder matricen P for en projektionsmatrix, og vektoren x 1 = P x kaldes projektionen af x på V langs W. Yderligere anvender vi sprogbruget, at P er projektionen på V langs W. 3.2 Lemma: Lad E n være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad Q være en kvadratisk matrix af orden n. Antag, at Q 2 = Q, så er og hvor Id angiver identitetsmatricen. E n = Span (Q) Ker (Q), Ker (Q) = Span (Id Q), Bevis: Antag, at Q 2 = Q. Lad x Span(Q), så kan vi finde en vektor w E n, sådan at x = Qw. Under antagelsen, at Q 2 = Q, så er Qx = Q 2 w = Qw = x. Lad y Ker(Q), så er Qy =, hvor angiver nulvektoren. Lad ỹ Span(Q) Ker(Q), så er ỹ = Qỹ =, hvorfor Span(Q) Ker(Q) = {}. Yderligere, idet dim (Span (Q)) + dim (Ker (Q)) = rank (Q) + (n rank (Q)) = n, så er E n = Span (Q) Ker (Q). Lad u Ker(Q), så er Qu =, hvilket medfører, at (Id Q) u = u, hvorfor u Span(Id Q). Dermed er Ker(Q) Span(Id Q). Lad v Span(Id Q), så kan vi finde en vektor w E n, sådan at v = (Id Q) w. Under antagelsen, at Q 2 = Q, da er Qv = Q (Id Q) w =, hvorfor v Ker(Q). Derfor er Span(Id Q) Ker(Q). 1 For definition af direkte sum, se A.1 22

33 3. Projektion og projektionsmatrix 3.3 Sætning: Lad E n være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad P være en kvadratisk matrix af orden n. Så er P projektionen på Span(P ) langs Ker(P ), hvis og kun hvis P 2 = P. Bevis: Lad E n = V W være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad P være projektionen på V langs W. For alle x E n er y = P x V. Idet y = y +, så er P y = y, hvorfor P 2 x = P (P x) = P y = y = P x. (3.1) Idet (3.1) er opfyldt for alle x E n, så er P 2 = P. Omvendt: antag, at P 2 = P. Ifølge lemma 3.2 er E n = Span (P ) Span (Id P ). Dvs., enhver vektor x E n har en entydig repræsentation x = P x + (Id P ) x = x 1 + x 2, hvor x 1 Span (P ) og x 2 Span (Id P ). Ud fra definition 3.1 er P en projektion på Span (P ) langs Span (Id P ) = Ker (P ). Lad E n være udstyret med det indre produkt, angivet ved,. For et underrum V E n definerer vi det ortogonale komplement V af V ved V := {x E n : x, y = for alle y V }, hvilket tillader, at vi kan konstruere E n = V V. 3.4 Sætning: Lad E n være et endeligdimensionalt vektorrum, udstyret med det indre produkt, og lad P være en kvadratisk matrix af orden n. Så er P projektionen på Span(P ) langs Span(P ), hvis og kun hvis P 2 = P og P = P, hvor P angiver den adjungerede matrix af P. Bevis: Lad E n = V V. For alle x, y E n, er x = x 1 + x 2 og y = y 1 + y 2, hvor x 1, y 1 V og x 2, y 2 V. Lad P angive projektionen på V langs V, så er P x = x 1 og P y = y 1. Idet P x, P y V og x 2, y 2 V, så er hvorfor x 1, y 2 = P x, y 2 = = x 2, P y = x 2, y 1, x, P y = x 1 + x 2, y 1 = x 1, y 1 + x 2, y 1 = x 1, y 1 + x 1, y 2 = P x, y. (3.2) Ud fra (3.2) konkluderer vi, at P er en selvadjungeret matrix. Yderligere følger det ud fra definition 3.1, at P = P 2. Omvendt: antag, at P 2 = P, så er P en projektion på Span(P ) langs Ker(P ), jf. sætning 3.3. Antag, at P = P, så vil vi vise, at Ker(P ) = Span(P ). Vi ser nu, at y Span(P ), hvis og kun hvis P x, y = for alle x E n, hvis og kun hvis P x, y = x, P y = x, P y =, for alle x E n, hvis og kun hvis P y =, hvis og kun hvis y Ker(P ), hvilket afslutter beviset. Sætning 3.4 motiverer nu definitionen på en ortogonal projektion. 23

34 3.5 Definition (Ortogonal projektion): En matrix P, som opfylder, at P 2 = P og P = P kaldes en ortogonal projektionsmatrix. En ortogonal projektion P er projektionen på Span(P ) langs Span(P ), men typisk vil vi blot referere til denne projektion som den ortogonale projektion på Span(P ), og vi vil anvende sprogbruget, at Span(P ) har P som ortogonal projektor. 24

35 4 Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til en diskontinuert basis Betragt Hilbertrummene C 2 og C 4, udstyret med de indre produkter angivet ved hhv., C 2 og, C 4. Yderligere, lad C 2 og C 4 angive normen på hhv. C 2 og C 4. Vi anvender konventionen O m n til at angive nulmatricen med m rækker og n søjler. 4.1 Konstruktion af et underrum Indledningsvist finder vi et underrum af C 2, der varierer kontinuert som funktion af to variable. For u [ 1, 1] og ϕ [, 2π), definer matricen P (u, ϕ) ved P (u, ϕ) := 1 [ ] 1 u 1 u 2 exp ( iϕ) 2 1 u 2. exp (iϕ) 1 + u Idet alle indgangene i matricen P (u, ϕ) er en sammensætning af kontinuerte funktioner, så varierer matricen P (u, ϕ) kontinuert som funktion af de to variable u og ϕ. Vi ser nu, at P 2 (u, ϕ) = P (u, ϕ) og P (u, ϕ) = P (u, ϕ) for alle u [ 1, 1] og alle ϕ [, 2π), hvorfor P (u, ϕ) er en ortogonal projektionsmatrix, jf. definition 3.5. Yderligere er sporet 1 af enhver projektionsmatrix lig matricens rank, se lemma B.3, hvorfor rank (P (u, ϕ)) = 1 for alle u [ 1, 1] og alle ϕ [, 2π). Derfor er Span(P (u, ϕ)) et underrum af C 2 med dimension én, der varierer kontinuert for alle u [ 1, 1] og alle ϕ [, 2π) og har P (u, ϕ) som ortogonal projektor. Problemformulering Lad u := cos (θ) for θ [, π] 2 og definer matricen P (θ, ϕ) := P (cos (θ), ϕ) = 1 [ ] 1 cos (θ) 1 cos 2 (θ) exp ( iϕ) 2 1 cos 2 (θ) exp (iϕ) 1 + cos (θ) = 1 [ ] 1 cos (θ) sin (θ) exp ( iϕ) 2 sin (θ) exp (iϕ) 1 + cos (θ) = 1 [ ] 1 cos (θ) sin (θ) exp ( iϕ), (4.1) 2 sin (θ) exp (iϕ) 1 + cos (θ) hvor sidste lighed er opfyldt, idet sin (θ) for alle θ [, π]. Så er Span P (θ, ϕ) et underrum af C 2 med dimension én, der varierer kontinuert på sfæren af enhedskuglen, dvs., 1 For definition af spor, se B.1. 2 Variabelsubstitutionen kan lade sig gøre, idet cos (θ) er en bijektiv funktion fra [, π] til [ 1, 1]. 25

36 4.2. Konstruktion af basis for underrummet Span P (θ, ϕ) S 2 := {(x 1, x 2, x 3 ) 3 : 3 i=1 x2 i = 1}, og har P (θ, ϕ) som ortogonal projektor for alle θ [, π] og alle ϕ [, 2π). I det følgende vil vi vise, at der eksisterer en basis for underrummet Span P (θ, ϕ) for ethvert sfærisk vinkelpar (θ, ϕ), og vi vil vise, at selvom underrummet Span P (θ, ϕ) varierer kontinuert på sfæren af enhedskuglen, så varierer enhver basis for Span P (θ, ϕ) diskontinuert på sfæren( af enhedskuglen. ) Yderligere vil vi vise, at der eksisterer en frame for underrummet Span P (θ, ϕ) for ethvert sfærisk vinkelpar (θ, ϕ), som varierer kontinuert på sfæren af enhedskuglen under visse betingelser. 4.2 Konstruktion af basis for underrummet Span P (θ, ϕ) I dette afsnit vil vi bevise, at der eksisterer en basis til Span P (θ, ϕ), som varierer diskontinuert på sfæren af enhedskuglen. Vi definerer først en operator, givet ved ] h (θ, ϕ) := i [ θ P (θ, ϕ), P (θ, ϕ) = 1 2 [ i exp ( iϕ) i exp (iϕ) ] (4.2) 3 for θ [, π] og ϕ [, 2π), hvor [, ] er kommutatoren, defineret ved B.7. Bemærk, at h (θ, ϕ) er selvadjungeret, uafhængig af θ og 2π periodisk i variablen ϕ. 4.1 Lemma: Lad ϕ være fast 4, og lad h ϕ (θ) 5 være givet ved (4.2). For ethvert θ [, π], lad U ϕ (θ) være en matrix, som opfylder θ U ϕ (θ) = i h ϕ (θ) U ϕ (θ), (4.3) med begyndelsesværdi U ϕ () = Id. Så er U ϕ (θ) en unitær matrix og U ϕ(θ) P ϕ (θ) U ϕ (θ) = P ϕ (), for alle θ [, π]. (4.4) Bevis: Vi viser først, at U ϕ (θ) er en unitær matrix. Idet θ U ϕ (θ) = ( θ U ϕ (θ)), så er θ U ϕ (θ) = ( i h ϕ (θ) U ϕ (θ)) = iu ϕ (θ) h ϕ (θ) = iu ϕ (θ) h ϕ (θ), (4.5) hvor første lighed er opfyldt pga. (4.3) og sidste lighed er opfyldt, idet h ϕ (θ) er selvadjungeret. Ud fra (4.3) og (4.5) er θ ( U ϕ (θ) U ϕ (θ) ) = ( θ U ϕ (θ) ) U ϕ (θ) + U ϕ (θ) ( θ U ϕ (θ)) = iu ϕ (θ) h ϕ (θ) U ϕ (θ) iu ϕ (θ) h ϕ (θ) U ϕ (θ) = O 2 2. Idet θ ( U ϕ (θ) U ϕ (θ) ) er lig nulmatricen, så er U ϕ (θ) U ϕ (θ) konstant som funktion af θ. Idet begyndelsesværdien for U ϕ (θ) er givet ved U ϕ () = Id, så er U ϕ () = Id, hvilket 3 For en matrix A (θ, ϕ), afhængig af de to variable θ og ϕ, lader vi θ A (θ, ϕ) og ϕa (θ, ϕ) angive matricerne, hvor hver indgang i A (θ, ϕ) er differentieret mht. til hhv. θ og ϕ. Det er således underforstået, at hver indgang i en sådan matrix er differentiabel. 4 Sprogbruget fast skal forstås således, at ϕ betragtes som en parameter, når vi siger, at variablen ϕ er fast. 5 For en vilkårlig afbildning, afhængig af ϕ noteres ϕ som fodtegn, når ϕ antages fast. 26

37 4. Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til en diskontinuert basis medfører, at Uϕ () U ϕ () = Id. Vi konkluderer derfor, at Uϕ (θ) U ϕ (θ) = Id for alle θ [, π], hvorfor U ϕ (θ) er en unitær matrix. Vi viser nu, at (4.4) er opfyldt. Idet P ϕ (θ) = P ϕ 2 (θ), så er ( 2 θ Pϕ (θ) = θ P ϕ (θ) = θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) + P ϕ (θ) θ Pϕ (θ). (4.6) Ud fra (4.6) følger det, at ( P ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) = P (( ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) + P ( ϕ (θ) θ Pϕ (θ))) Pϕ (θ) = P ( ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) + P ( ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) = 2 P ( ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ), (4.7) hvorfor P ( ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) = O 2 2 for alle θ [, π]. Definer nu matricen A ϕ (θ) ved A ϕ (θ) := U ϕ (θ) P ϕ (θ) U ϕ (θ), for alle θ [, π]. Så er A ϕ () = U ϕ () P ϕ () U ϕ () = Id P ϕ () Id = P ϕ (). Kan vi nu vise, at matricen A ϕ (θ) er konstant som funktion af θ, så er (4.4) opfyldt. Ud fra (4.3) og (4.5) er θ A ϕ (θ) = ( θ Uϕ (θ) ) Pϕ (θ) U ϕ (θ) + Uϕ (θ) ( = Uϕ (θ) θ Pϕ (θ) ( = U ϕ (θ) θ Pϕ (θ) P ( ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) ) U ϕ (θ) = O 2 2, θ Pϕ (θ) [ θ Pϕ (θ), P ϕ (θ)] Pϕ (θ) + P ϕ (θ) U ϕ (θ) + Uϕ (θ) P ϕ (θ) ( θ U ϕ (θ)) [ θ Pϕ (θ), P ]) ϕ (θ) U ϕ (θ) ( θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) + 2 P ( ϕ (θ) θ Pϕ (θ)) Pϕ (θ) hvor sidste lighed er opfyldt pga. (4.7) og (4.6). Idet θ A ϕ (θ) er lig nulmatricen, så er A ϕ (θ) konstant som funktion af θ, hvilket sammenholdt med A ϕ () = P ϕ () medfører, at A ϕ (θ) = U ϕ (θ) P ϕ (θ) U ϕ (θ) = P ϕ (), for alle θ [, π]. Eksistensen og entydigheden af en matrix U ϕ (θ), som opfylder (4.3) med begyndelsesværdi U ϕ () = Id, er garanteret af eksistens og entydighedssætningen af en førsteordens ODE, se eksempelvis [2, kapitel 6]. Vi anvender [ ] nu lemma 4.1 til at finde en egenvektor til projektionsmatricen P ϕ (θ). Definer Ψ :=, så er 1 P ϕ () Ψ = 1 [ ] [ ] 1 cos () sin () exp ( iϕ) 2 sin () exp (iϕ) 1 + cos () 1 = Ψ, (4.8) hvorfor Ψ er en egenvektor til P ϕ (). Ifølge lemma 4.1, er P ϕ (θ) U ϕ (θ) = U ϕ (θ) P ϕ (), for alle θ [, π], 27

38 4.2. Konstruktion af basis for underrummet Span P (θ, ϕ) hvilket sammenholdt med (4.8) medfører, at P ϕ (θ) U ϕ (θ) Ψ = U ϕ (θ) P ϕ () Ψ = U ϕ (θ) Ψ, hvorfor Ψ ϕ (θ) := U ϕ (θ) Ψ er en egenvektor til Pϕ ( ) (θ) for alle θ [, π]. Idet Ψ ϕ (θ) er en egenvektor til Pϕ (θ) og dim Span Pϕ (θ) = 1, så udgør Ψ ϕ (θ) en basis for underrummet Span Pϕ (θ). Vi vil nu vise, at Ψ ϕ (θ) ikke varierer kontinuert på sfæren af enhedskuglen. Idet h ϕ (θ) er konstant som funktion af θ, så er U ϕ (θ) = exp iθ h ϕ (θ), for alle θ [, π], (4.9) for hvilket betingelserne i lemma 4.1 er opfyldt. Idet h ϕ (θ) er en konstant matrix, så kan vi anvende Putzer s formel, se [8, sætning 2], til at beregne eksponentialet (4.9). Definer matricen B ϕ := h ϕ (θ). For r C er det karakteristiske polynomium af B ϕ givet ved ([ det (B ϕ rid) = det 1 2 = r 2 1 ( 4 = r + 1 ) ( r 1 ) 2 2 ]) 1 r 2i exp ( iϕ) i exp (iϕ) r =, (4.1) hvorfor (4.1) er opfyldt for egenværdierne r = λ 1 = 1/2 og r = λ 2 = 1/2 af B ϕ. Idet B ϕ har to reelle distinkte egenværdier, så gælder det ifølge Putzer s formel, at U ϕ (θ) = exp ( iθb ϕ ) = exp ( iθλ 1 ) Id + exp ( iθλ 1) exp ( iθλ 2 ) (B ϕ λ 1 Id) λ 1 λ 2 = exp ( iθ/2) Id + (exp ( iθ/2) exp (iθ/2)) (B ϕ 1/2Id) = cos (θ/2) Id 2i sin (θ/2) B ϕ [ ] cos (θ/2) sin (θ/2) exp ( iϕ) =, sin (θ/2) exp (iϕ) cos (θ/2) hvorfor Ψ ϕ (θ) = U ϕ (θ) Ψ = [ ] sin (θ/2) exp ( iϕ), for alle θ [, π]. (4.11) cos (θ/2) Vi ser nu, at [ ] 1 lim Ψ ϕ (θ) = Ψ ϕ (π) = exp ( iϕ). (4.12) θ π Idet grænseværdien lim θ π Ψ ϕ (θ) er afhængig af parameteren ϕ, se (4.12), så varierer Ψ ϕ (θ) ikke kontinuert på sfæren af ) enhedskuglen, hvorfor Ψ ϕ (θ) udgør en diskontinuert (ortonormal) basis for Span( Pϕ (θ). 28