fra venstre: Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe
|
|
- Claus Laursen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 fra venstre: Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe fra venstre; Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe
2 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum Anvendelser af nanoteknologi og nanofotonik af Søren Stobbe, Philip Trøst Kristensen og Peter Lodahl Højeffektive solceller, lynhurtige lasere og kvantekryptografikoder, der er umulige at bryde. Dette er nogle af de mange spændende perspektiver for anvendelser af halvleder kvanteoptik. Indenfor kvanteoptikken udnytter man de kvantemekaniske egenskaber ved stof og lys til at opnå effekter, der er helt forskellige fra hvad vi kender fra den klassiske fysik. Ikke desto mindre er disse nye fænomener virkelige, da de er påvist i eksperimenter. De kvanteoptiske effekter udforskes og udnyttes i særlige materialer som kaldes fotoniske krystaller. Disse materialer har meget specielle optiske egenskaber, som kan designes efter behov. Fotoniske krystaller fremstilles med avancerede moderne metoder indenfor nanoteknologien. Nanoteknologi er også forudsætningen for at fremstille kvantepunkter, som kan opfattes som kunstige atomer, der er få nanometer store (1 nanometer = 10-9 meter). Kvantepunkter udgør en af grundbyggestenene i nanofotonik. I dette kapitel vil vi give en introduktion til fysikken bag disse begreber og se eksempler på nogle af de anvendelser fotoniske krystaller og kvantepunkter forventes at få i fremtiden.
3 3D fotonisk krystal set indefra. Lysudsendelsen fra atomer placeret indeni den fotoniske krystal kan kontrolleres. 30
4 31
5 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum Spontan emission af lys fra atomer og kvantepunkter Kvantemekanikkens love spiller en afgørende rolle i forståelsen af vekselvirkningen mellem lys og stof. I dette afsnit vil vi beskrive den kvantemekaniske teori for lys med udgangspunkt i vekselvirkningen mellem lys og atomer. I 1913 opstillede Niels Bohr sin atommodel i hvilken elektronerne i et atom kan bevæge sig i baner svarende til bestemte tilladte energier. Alle energier, der ligger mellem de tilladte baners energier, er derimod forbudte. Når en elektron henfalder fra en anslået tilstand med høj energi (E 2 ) til en tilstand med lavere energi (E 1 ) udsendes en lyspuls, en såkaldt foton, med en energi svarende til forskellen i energien mellem de to elektrontilstande. Dette er illustreret i Figur 2-1 og kaldes spontan emission af lys. Det udsendte lys har bølgelængden (1) λ = c h (E 2 -E 1 ), hvor c = m/s er lysets hastighed og h = J s er Plancks konstant. Da bølgelængden afhænger af de mulige energier i atomet vil der fra en given type atom (f.eks. brintatomet) kun kunne udsendes lys med visse bestemte bølgelængder. Da farven af lyset bestemmes direkte af bølgelængden betyder dette, at der til hver type atom knytter sig en række bestemte farver. Spontan emission udgør princippet bag både almindelige glødepærer og lysdioder. I begge tilfælde benytter man en elektrisk strøm til at anslå elektroner til tilstande med høj energi, og den energi udstråles som lys når elektronerne henfalder til lavere energitilstande. I næste afsnit ser vi nærmere på hvordan spontan emission foregår og kan beregnes, men først vil vi introducere kvantepunkter, der benyttes i stedet for atomer i mange moderne eksperimenter. Enkelte atomer er små og bevægelige og derfor meget besværlige at håndtere. Dertil kommer, at der fra naturens side kun er et begrænset antal forskellige atomer og dermed energitilstande til rådighed. I mange praktiske anvendelser er det derfor en stor fordel at udnytte metoder fra halvlederteknologien, hvor man beskæftiger sig med faste stoffer (f.eks. silicium), der er bygget op af mange atomer. En halvleder er et materiale, der ligesom atomer har et energiområde med forbudte energier, et energigab. Ligesom i atomer, kan en elektron med energi over energigabet henfalde til en tilstand med energi under gabet, hvorved der udsendes en foton. I øvrigt er moderne nanoelektronik, som sidder i f.eks. mobiltelefoner og computere, netop opbygget af halvledere såsom silicium. Det forbudte energiområde er forudsætningen for den vigtigste komponent i digital elektronik: transistoren. Hvis man indlejrer én type halvledermateriale i et andet halvledermateriale kan man begrænse Figur 2-1. Et atom består af en atomkerne og elektroner, der bevæger sig om kernen. Vakuumfluktuationer (illustreret med stiplede bølgepakker) vil kunne påvirke atomet. Starter man med en elektron i en anslået energitilstand (tegning til venstre) vil denne påvirkes af de tilstedeværende vakuumfluktuationer. Disse kan stimulere atomet til at henfalde til en lavere liggende energitilstand (tegning i midten). I denne proces dannes en foton (blå bølgepakke i tegningen til højre) med en energi svarende til forskellen i energi mellem de to elektrontilstande. 32
6 Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel Figur 2-2 Sammenligning af et atom og et kvantepunkt og deres energiniveauer. Et atom (til venstre) består af en positiv ladet kerne og negativt ladede elektroner, der kan springe fra højere liggende energiniveauer til lavere energiniveauer under udsendelsen af en lys bølgepakke (en foton) med en energi svarende til forskellen mellem de to energiniveauer. Et kvantepunkt (til højre) består af to forskellige halvledermaterialer, hvorved elektroner kan lokaliseres til et område af udstrækning nogle få nanometer. Herved opstår adskilte energiniveauer, og elektronen kan henfalde under udsendelsen af en foton. I halvleder materialer er der mange elektroner tilstede, og elektronen henfalder kun hvis der er en ledig plads i en energitilstand. En sådan ledig plads kaldes et hul og svarer til en positiv ladning, som illustreret i tegningen elektronens bevægelse i materialet til et meget lille område, som illustreret i Figur 2-2. På denne måde kan man begrænse antallet af mulige energitilstande, ligesom en elektron der er begrænset i et atom har et begrænset antal mulige energitilstande. Kvantepunkter har typiske udstrækninger på 5-20 nm, og et eksempel på kvantepunkter er vist i Figur 2-3. Kvantepunkter er noget større end atomer, der typisk har udstrækninger på omkring 0.1 nm, og dette er en fordel, da kvantepunkter hermed lettere kan håndteres end atomer. Dertil kommer at man kan designe kvantepunkter til at have bestemte energitilstande. For ved at ændre størrelsen ændrer man den plads, elektronen har til at bevæge sig, og dermed energierne. Jo mindre kvantepunkterne er, jo større er energien af det udsendte lys, som vist i Figur 2-4. Bølgelængden af det udsendte lys er omvendt proportional med energien, dvs. små kvantepunkter sender lys ud med kort bølgelængde og vice versa. Vakuumfluktuationer og den optiske tilstandstæthed Vi har set at elektroner i både atomer og kvantepunkter kan henfalde mellem energiniveauer under udsendelse af lys, og at kvantepunkter kan designes til at udsende lys med den bølgelængde, man ønsker. Lad os nu se nærmere på hvordan spontan emission foregår. Ganske overraskende Figur 2-3. Kvantepunkter lavet af halvledermaterialet InAs, som fremstår som små øer på en halvlederoverflade af GaAs. Billedet er taget med et atommikroskop og kvantepunkterne er ca. 20nm i diameter. 33
7 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum afhænger spontan emission ikke alene af hvilken lyskilde, vi betragter, men også af det omgivende materiales nanostruktur. Dette er overraskende, for hvordan kan atomer eller kvantepunkter vide hvordan omgivelserne er? Svaret skal findes i den kvantemekaniske teori for lys. Ifølge denne er der selv i et fuldstændig tomt rum altid energi tilstede, den såkaldte vakuumenergi. Den udgør en allestedsnærværende fluktuerende baggrund, og tilvejebringer et elektromagnetisk felt der varierer i tid, men i gennemsnit er nul. Uden disse såkaldte vakuumfluktuationer ville en anslået elektron i et atom eller kvantepunkt aldrig henfalde, og vakuumfluktuationer er derfor drivkraften bag spontan emission. I Figur 2-1 er illustreret hvordan vakuumfluktuationerne stimulerer en anslået elektron til at henfalde under udsendelse af en foton. Vakuumfluktuationer forekommer nok som et noget abstrakt begreb, men deres eksistens er dokumenteret i mange eksperimenter. I et senere afsnit vil vi beskrive et sådant eksperiment. Spontan emission kan beskrives ved en kvantemekanisk sandsynlighedsprocess. Det er derfor ikke muligt at forudsige, på hvilket tidspunkt elektronen vil henfalde, men kun sandsynligheden for at den vil henfalde på et givet tidspunkt. Måles henfaldsøjeblikket mange gange, kan man fastlægge den gennemsnitlige henfaldstid som også kaldes levetiden, t L. Levetiden udtrykker hvor længe elektronen i gennemsnit forbliver i den anslåede tilstand, og kan udregnes ved hjælp af formlen: (2) t L =1/[K O(λ)], Position Energi Figur 2-4. Energiovergangene for atomer ligger fast, men for kvantepunkter kan energierne designes. For et stort kvantepunkt (1) vil energien være tæt på energien af halvlederens forbudte energigab. Gøres kvantepunkterne mindre og mindre, som i (2) og (3), bliver energiovergangene presset mod højere og højere energier. På den måde kan man altså justere kvantepunkternes energier og dermed også farven af det udsendte lys. Et stort kvantepunkt vil udsende lange bølgelængder (f.eks. rødt lys), mens mindre og mindre kvantepunkter kan udsende grønt elle blåt lys. 34
8 Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 hvor K er en konstant der afhænger af atomet eller kvantepunktet, og O(λ) er den optiske tilstandstæthed ved bølgelængden λ. Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange vakuumfluktuationer, der er tilstede for en given bølgelængde, se Faktaboks 1. Figur 2-6 viser et plot af den optiske tilstandstæthed som funktion af bølgelængde. Er materialet homogent aftager den optiske tilstandstæthed monotont med bølgelængden (blå kurve i Figur 2-6). Ved at ændre på materialet kan man imidlertid drastisk ændre på den optiske tilstandstæthed. I moderne eksperimenter benyttes ofte fotoniske krystaller, hvor den optiske tilstandstæthed varierer kraftigt som funktion af bølgelængde (rød kurve i Figur 2-6). I næste afsnit beskriver vi fotoniske krystaller nærmere, men lad os først se nærmere på vakuumfluktuationerne og hvorfor det er vigtigt at kunne kontrollere dem. Der er mange ligheder mellem vakuumfluktuationer og vibrationerne af en guitarstreng. Ved at holde forskellige steder om grebet på guitaren ændrer man bølgelængderne af de svingninger, der kan forekomme på strengen. Det samme kan man gøre med vakuumfluktuationer, og med lys i det hele taget. Lys er imidlertid noget mere besværligt at håndtere end en guitarstreng og skal lokaliseres i tre dimensioner for at fastholdes modsat guitarstrengen, som er en svingning i én dimension. Derfor benyttes avancerede materialer, som fotoniske krystaller, til at kontrollere lys. Med fotoniske krystaller kan man radikalt ændre den optiske tilstandstæthed og dermed vakuumfluktuationerne. Man kan endda opnå den spektakulære situation at den optiske tilstandstæthed er nul over et interval af bølgelængder. Dette kalder man et fotonisk båndgab og det betyder at ingen optiske svingningstilstande er tilladte i dette interval, se Figur 2-6. Lad os nu se på hvad der sker hvis vi anbringer et kvantepunkt i en fotonisk krystal. Fra formel (2) ses, at hvis den optiske tilstandstæthed ved en given bølgelængde er meget lille, vil levetiden være meget lang. Ligger bølgelængden i det fotoniske båndgab vil levetiden være uendelig, og elektronen i kvantepunktet vil derfor aldrig henfalde! Omvendt gælder det også, at hvis lyset der udsendes fra kvantepunktet har en bølgelængde hvor den optiske tilstandstæthed er forhøjet, vil elektronen henfalde hurtigere. På denne måde kan man kontrollere den spontane emission. Vi vil senere i dette kapitel beskrive et eksperiment, hvor spontan emission fra kvantepunkter er kontrolleret ved hjælp af fotoniske krystaller. Bragg spejle og fotoniske krystaller Når synligt lys rammer en halvgennemsigtig overflade (f.eks. glas), vil en vis procentdel af lyset reflekteres og resten transmitteres gennem overfladen. Det er derfor man kan se både et spejlbillede af sig selv og varerne i butikken, når man står foran et butiksvindue. Effekten kan benyttes til at lave utroligt gode spejle, for hvis man lægger flere lag reflekterende materiale efter hinanden, kan man øge refleksionen. Faktaboks 2 forklarer princippet bag disse såkaldte Bragg spejle, der beror på interferens af lyset. I et Bragg spejl vil nogle bølgelængder af lys interferere konstruktivt, hvorved refleksionen øges. Herved opstår et interval af bølgelængder, hvor refleksionen er høj. Et Bragg spejl er en éndimensional struktur, der kun reflekterer lys udsendt i én retning (nemlig vinkelret på spejlet). Spontan emission af lys foregår i alle retninger, hvilket man kan overbevise sig om, hvis man betragter lyset fra en glødepære. For at kontrollere spontan emission effektivt, skal man således fabrikere et materiale, der reflekterer lys fra alle retninger. En fotonisk krystal er netop et sådant tredimensionalt spejl, som reflekterer lys, ligegyldigt hvilken retning det bevæger sig i. Som det fremgår af Faktaboks 2, kan man med Bragg spejle opnå en ekstremt høj refleksion for lys, men altså kun i én retning. For at lave et tredimensionelt spejl, skal man derfor lave en struktur som er periodisk i alle retninger. En fotonisk krystal er en 35
9 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum FAKTABOKS 1 Den optiske tilstandstæthed Overalt omkring os findes elektromagnetiske feltfluktuationer, selv i et fuldstændigt tomt rum. Disse vakuumfluktuationer skyldes de fundamentale kvantemekaniske egenskaber ved lys, og fremstår som tidslige variationer i et elektromagnetiske felt, der i gennemsnit er nul. a 1 A Figur 2-5. For at beregne den optiske tilstandstæthed betragter man en kasse og udregner hvor mange forskellige bølger med en given bølgelængde der kan passe inde i kassen. Hvis bølgelængden er stor (1) kan man indpasse færre stående bølger i kassen end for mindre bølgelængder (2). Derfor aftager den optiske tilstandstæthed med bølgelængden. 2 LDOS Beregning a A Selvom vakuumfluktuationerne er et kvantemekanisk fænomen, kan deres egenskaber i vid udstrækning forstås som bølger, der kendes fra den klassiske fysik. Lys kan beskrives som elektromagnetiske bølger, og det samme er tilfældet for vakuumfluktuationer. Således vil de svingningstilstande, som er mulige for lys, være præcist de samme svingningstilstande som vakuum kan fluktuere ved. Antallet af vakuumfluktuationer bestemmes af den optiske tilstandstæthed. Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange forskellige svingningstilstande der findes ved en given bølgelængde. I det følgende vil vi beskrive principperne bag udregningen af den optiske tilstandstæthed. Målet er at give en fornemmelse af hvordan man foretager den slags beregninger og forklare hvorfor der generelt er flere svingningstilstande, jo mindre bølgelængden af svingningerne er. Svingningerne beskrives ved sinus-funktioner af typen f(x)=sin(2 x/λ), hvor λ er bølgelængden. Betragt en kasse (se Figur 2-5), der afgrænser det område vi ønsker at beskrive. Man undersøger nu hvor mange bølger der kan passes ind i kassen under den betingelse af sinus-funktionen skal være nul på randen af kassen. Lad os først betragte antallet af svingninger med bølgelængden λ 1 =2a og punktet A svarende til den 36
10 Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 øverste skitse i Figur 2-5. Der er kun tre måder at passe svingningen ind mellem punktet A og det øverste linjestykke i kassen. To af disse svarer til svingninger med en halv bølgelængde, og én svarer til en svingning med en hel bølgelængde. Tilsvarende kan man indpasse yderligere svingninger langs andre punkter på kassens vægge. Lad os nu halvere bølgelængden så vi ser på svingninger med bølgelængden λ 2 =a, jvf. den nederste skitse i Figur 2-5. I dette tilfælde kan man indpasse flere svingninger mellem punktet A og det øverste linjestykke i kassen. Således er den optiske tilstandstæthed større, jo mindre bølgelængden er. Dette er årsagen til, at den optiske tilstandstæthed i et homogent materiale aftager med bølgelængden, som angivet i Figur 2-6. Den optiske tilstandstæthed kan være helt anderledes i materialer der ikke er homogene, f.eks. i fotoniske krystaller, som er nanostrukturerede materialer. Figur 2-6 viser også hvordan den optiske tilstandstæthed kunne se ud i en fotonisk krystal. Den kraftige bølgelængde afhængighed af tilstandstætheden i en fotonisk krystal giver anledning til det farvede vakuum. Figur 2-6. Den optiske tilstandstæthed i en kasse på 1cm 3 som er lavet af et materiale med det optiske brydningsindex n=3.6. Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange mulige svingninger af lys, der findes ved en bestemt bølgelængde, og dermed også hvor mange vakuumfluktuationer der findes. For et homogent materiale aftager tilstandstætheden monotont med bølgelængden (den blå kurve). I nanostrukturerede materialer, som f.eks. fotoniske krystaller, kan man imidlertid drastisk ændre tilstandstætheden (den røde kurve). På denne måde kan man kontrollere vakuumfluktuationerne. 37
11 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum så det udsender blåt lys, vil levetiden af anslåede elektroner i kvantepunktet være længere hvis det befinder sig inde i krystallen end hvis kvantepunktet sad i et ustruktureret og dermed homogent materiale. Selvorganiserede fotoniske krystaller og nanoteknologi Figur 2-7. Alle farver svarer til en bestemt spektral fordeling af refleksion og absorption. Her er vist et absorptionsspektrum af klorofyl i området for synligt lys. Klorofyl er det stof, som gør at planter kan optage energi fra sollyset og det absorberer lys i de blå og røde områder af farveskalaen. Til gengæld omsættes grønt lys ikke og vil derfor enten blive transmitteret eller reflekteret fra klorofyl. Det er denne effekt som gør planter grønne. sådan tredimensionel periodisk struktur, se Figur 2-7. I praksis kan disse laves på mange forskellige måder og vi vil diskutere to af dem i næste afsnit. Vi kan se farver, fordi vores øjne kan skelne mellem forskellige bølgelængder af lys i det bølgelængdeinterval, der meget passende kaldes det synlige spektrum. Det betyder også, at alle farver svarer til en bestemt spektral profil. Dette er illustreret i Figur 2-8. Fordi alle farver svarer til en bestemt spektral profil vil en spektral profil af vakuum give anledning til et farvet vakuum. Det farvede vakuum er farvet med hensyn til styrken af vakuumfluktuationerne i det elektromagnetiske felt. Fluktuationerne varierer i tid, men er i gennemsnit nul, og det menneskelige øje kan ikke registrere disse fluktuationer, men som beskrevet i det foregående afsnit er de af afgørende betydning for spontan emission af lys. Figur 2-12 viser et eksempel på en tredimensionel fotonisk krystal. Bragg diffraktion mellem krystalplanerne resulterer i at blåt lys reflekteres fra krystallen. Samtidigt er den optiske tilstandstæthed undertrykt ved frekvenser der svarer til blåt lys. Hvis man derfor designer et kvantepunkt, Et farvet vakuum lyder måske meget abstrakt og kun af teoretisk interesse. Dette var også tilfældet for bare få år siden, men i dag har avancerede fremstillingsmetoder såsom selvorganisering og nanoteknologi flyttet det farvede vakuum fra skrivebordet til laboratoriet. Et eksempel på en fotonisk krystal fremstillet ved selvorganisering er vist i Figur Billedet er taget med et elektronmikroskop, fordi strukturerne er så små, at de ikke kan ses med lys. Hvis man kigger på strukturen i et almindeligt mikroskop, vil man derimod se effekten af den fotoniske krystal som et smukt farvespil fordi krystallen reflekterer det synlige lys. Et billede taget med et almindeligt optisk mikroskop af den samme krystal er vist i Figur 2-12, hvor vi kan se at det for denne Bølgelængde Figur 2-8. Illustration af en tredimensionel fotonisk krystal bestående af kugler, som f.eks. kan være lavet af silika. I en fotonisk krystal kan lys ikke udbrede sig, fordi krystallen virker som et Bragg-spejl i alle retninger. 38
12 Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 Bragg spejle Principperne bag en fotonisk krystal kan forstås ud fra Braggs diffraktionslov. Når lys rammer en overflade vil en del af det sendes direkte tilbage, mens resten transmitteres igennem. Den reflekterede andel af lyset kaldes r, og den transmitterede del kaldes t. Hvis det elektrisk felt af den indkomne bølge har størrelsen E 0, vil den direkte reflekterede bølge være E R =r E0. Hvis der ikke er nogen absorption i overfladen gælder at r 2 + t 2 =1. Figur 2-9. Et Bragg spejl består af en periodisk struktur af to forskellige materialer. Overfladerne mellem de to materialer giver anledning til delvis refleksion. Er afstanden mellem overfladerne valgt i overensstemmelse med Braggs lov fås konstruktiv refleksion af lys fra Bragg spejlet. Således kan man få så stor en del intensiteten af lyset reflekteret, som man ønsker, ved at øge antallet af lag i strukturen. θ d sin θ Figur 2-10 Figuren illustrerer princippet bag Braggs diffraktionslov. Når en lysbølge reflekteres fra en periodisk struktur vil man opnå konstruktiv interferens hvis afstanden mellem overfladerne er valgt på passende vis. Således skal lys reflekteret fra lag N+1 i den periodiske struktur tilbagelægge en afstand som er netop en bølgelængde længere end lys reflekteret fra lag N. I Figuren er angivet med rødt denne ekstra afstand for en lysbølge, hvis bevægelsesretning har vinklen i forhold til overfladen. Formel (3) kan udledes ved at beregne denne ekstra vejlængde ved hjælp af trigonometri. d FAKTABOKS 2 Hvis to delvist reflekterende overflader placeres efter hinanden, vil en del af det lys der transmitteres gennem første overflade efterfølgende reflekteres fra den anden overflade og transmitteres tilbage gennem første overflade. Afhængig af afstanden mellem de to overflader, kan de to reflekterede bølger være i fase eller ude af fase med hinanden. En periodisk struktur af mange reflekterende overflader, valgt således at de reflekterede bølger fra hvert lag er i fase med hinanden, kaldes et Bragg spejl og er skitseret i Figur 2-9. Når en lysstråle rammer et Bragg spejl opstår der konstruktiv interferens mellem de reflekterede bølger. Dette sker hvis pladerne er placeret i en afstand d, der er et helt antal (m) gange lysets bølgelængde: (3) 2 d sin = m hvor er den vinkel, som lysets 39
13 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum FAKTABOKS 2 fortsat udbredelsesretning danner med overfladen, og er bølgelængden af lyset, se Figur Dette er Braggs diffraktionslov. Hvis lyset rammer vinkelret på Bragg spejlet ( ), reduceres udtrykket til (4) 2 d= m I det følgende ser vi på tilfældet og i første omgang betragter vi kun to overflader, svarende til det første lag i Figur2-9. Vi ønsker at beregne hvor meget lys der reflekteres fra dette lag. Når en lysbølge rammer den første overflade vil en del af lyset (r E 0 ) blive reflekteret og resten transmitteret. Det transmitterede lys kan efterfølgende blive reflekteret tilbage fra den anden overflade og transmitteres igen gennem den første overflade. Dette giver også et bidrag til refleksionen og svarer altså til én transmission, én refleksion og endnu én transmission, dvs. et bidrag af størrelsen t r t E 0. Der er imidlertid også muligt at lyset kan reflekteres flere gange i hver overflade. Dette svarer til lys der tager to, tre, fire eller endnu flere rundture mellem de to overflader inden det transmitteres ud igennem den første overflade og dermed bidrager til den samlede refleksion fra de to overflader. På grund af den præcise måde afstandene mellem overfladerne er valgt i et Bragg spejl skal man gange med (-1) for hver ekstra rundtur som lyset tager ud over den første. Adderes alle de bidrag får man en samlet refleksionen givet ved: (5) E R = r E 0 + t r t E 0 - t r r r t E = r E 0 + r t 2 E 0 ( 1 - r 2 + r ) Ved hjælp af teorien for uendelige rækker kan man vise at dette også kan skrives som: (6) E R /E 0 = r + r t 2 /(1+r 2 ). På denne måde kan vi se, at bidragene svarende til at lys reflekteres flere gange frem og tilbage mellem de to overflader bevirker at den samlede refleksion bliver større end r E 0, der er refleksionen fra en enkelt overflade. På en tilsvarende måde kan man vise, at hvis man har flere overflader kan refleksionen øges yderligere. Således vil den samlede refleksion fra et Bragg spejl bestående af N perioder af skiftevis materiale 1 med optisk brydnings index n 1 og materiale 2 med optisk brydnings index n 2 give en samlet refleksion: (7) E R /E 0 = (1-(n 1 /n 2 ) 2N )/(1+(n 1 /n 2 ) 2N ). Ved at gøre N større kan få den effektive refleksion så tæt på 1 som det skal være. Dette er princippet i Bragg spejle og fotoniske krystaller. 40
14 Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 Figur Elektronmikroskop-billede af en såkaldt invers opal fotonisk krystal, der er en tredimensionel periodisk struktur af lufthuller (grå områder) i en skal af titaniumdioxid (hvide områder). Størrelsen af strukturen kan aflæses fra afstandsbjælken, som er en mikrometer lang (1 µm = 1/1000 mm). Den fotoniske krystal er fremstillet baseret på selvorganisering af små kugler. Dernæst er hulrummene blevet fyldt ud med titaniumdioxid (de hvide områder) og endelig er de oprindelige kugler blevet ætset væk. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Willem Vos, AMOLF, Amsterdam. fotoniske krystal specielt er det blå lys der reflekteres fra krystallen. Princippet bag selv-organisering er egentlig ganske simpelt. Hvis man hælder en masse kugler ned i en kasse og ryster kassen, vil kuglerne forme en tredimensionel heksagonal struktur, svarende til den struktur grønthandleren bygger når han stabler appelsiner. En sådan selv-organiseret struktur af små kugler er en fotonisk krystal, men kun hvis størrelsen af kuglerne er valgt på passende vis. En fotonisk krystal reflekterer nemlig kun lys effektivt ved visse bølgelængder (dvs. farver), hvor også vakuumfluktuationerne er ændrede. Størrelsen af kuglerne bestemmer hvilken bølgelængde, der reflekteres, og kan beregnes med Braggs diffraktionslov, se Faktaboks 2. Afstanden d mellem de kraftigst reflekterende planer er Figur Fotonisk krystal afbilledet med et almindeligt optisk mikroskop. Bemærk de blå-grønne farver som skyldes at lys svarende til disse bølgelængder ikke kan udbrede sig i krystallen. Den fotoniske krystal er en invers opal svarende til den der er vist i elektronmikroskop-billedet i Figur2-11. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Willem Vos, AMOLF, Amsterdam. givet ved d= 2 r, hvor r er kuglernes radius; d kaldes den fotoniske krystals gitterafstand. Hvis kuglerne f.eks. har radius r=1cm får vi for en førsteordens refleksion (m=1) for lys der rammer vinkelret på overfladen ( = 90 ), at =2 2 d = 5,7cm. Det menneskelige øje kan ikke se lys med så lang en bølgelængde, så derfor vil kuglerne ikke give anledning til synlige optiske effekter. Hvis det skal være synligt for os, skal bølgelængden ligge i området fra 400 til 700 nanometer (nm). Hvis vi f.eks. gerne vil modificere vakuumfluktuationerne omkring de gule farver, skal bølgelængden i stedet være ca. 570 nm og det er altså gange mindre end i eksemplet ovenfor. Derfor skal kuglerne også være gange mindre, dvs 100nm radius. Fordi størrelserne er så små er det ganske udfordrende at fremstille fotoniske 41
15 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum Figur Mange af naturens smukkeste farvespil i mineraler og dyr skyldes nanostrukturering. Her ses en sommerfugl, hvis vinger består af nanostrukturer der former en fotonisk krystal. Sommerfuglens vinger har omtrent samme nanostruktur som den syntetiske fotoniske krystal i Figur 2-11, og derfor næsten den samme farve. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Shuichi Kinoshita, Osaka Universitet, Japan. krystaller på denne måde. Selvom det først er blevet muligt at fremstille fotoniske krystaller i løbet af de senere år, har naturen længe lavet sine egne fotoniske krystaller. Faktisk har vi lige beskrevet årsagen til de smukke farver i mineralet og smykkestenen opal, som netop består af små kugler af mineralet silika. Silika bruges også i kvartsglas, og er i sig selv gennemsigtigt. Når silikakuglerne former en periodisk nanostruktur reflekteres det synlige lys fra opalen, hvilket er årsagen til dens smukke farve. Også en række fisk, fugle og insekter udnytter fotoniske krystaller til at skabe fantastiske farver. Et eksempel er sommerfugle, og et særligt smukt eksemplar kan ses i Figur Denne sommerfugls farver skyldes periodiske nanostrukturer i vingernes overflade, og det er ganske fascinerende at tænke på, at sommerfuglens smukke vinger skyldes at vingerne ændrer på de fundamentale egenskaber ved vakuum. For at fotoniske krystaller kan have anvendelsesmæssige perspektiver er det vigtig at de kan fremstilles med moderne nanoteknologi. Heldigvis har de metoder der benyttes til industriel fremstilling af mikro- og nanoelektroniske komponenter vist sig også at være fremragende til fremstilling af fotoniske krystaller. Hvor man med selvorganiserede fotoniske krystaller kun kan fremstille relativt store områder med fotoniske krystaller, er det med nanoteknologi nærmest kun fantasien, der sætter grænser for hvad der kan fremstilles. F.eks. kan man fremstille nanoskopiske optiske kredsløb, der kan lede lys rundt på en chip eller nanoresonatorer der kan fange lys i et meget lille volumen. Det sidste er vigtigt for højeffektive nanolasere og et eksempel på sådan en laser er vist i Figur Nanoresonatorere kan også vise sig at blive vigtige elementer i fremtidens kvantecomputere. For at fremstille sådanne nanostrukturer kræves ekstremt støvfrie laboratorier fordi bare et enkelt støvkorn kan ødelægge et helt optisk kredsløb. Fremstillingen foregår derfor i et såkaldt renrum. I Figur 2-15 ses et billede fra renrummet på Danchip på DTU, hvor vi blandt andet udvikler fotoniske krystaller. Kontrol af spontan emission af lys med fotoniske krystaller Vi har nu gennemgået principperne bag både kvantepunkter og fotoniske krystaller, og rustet med den viden vil vi diskutere nogle af de nyeste resultater indenfor forskningen i disse fascinerende emner. Som det fremgår af formel (2) er et kvantepunkts levetid omvendt proportional med den optiske tilstandstæthed. Som vi ved kan den optiske tilstandstæthed ændres med en fotonisk krystal, og således kan vi kontrollere levetiden af kvantepunktet. Dette blev første gang bevist eksperimentelt i 2004 og i det følgende vil vi diskutere dette eksperiment. I eksperimentet anvendtes fotoniske krystaller svarende til den, der var vist i Figur 2-11 og Figur Kvantepunkter blev placeret inde i krystallen og ved hjælp af en kort lyspuls fra en laser blev 42
16 Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel Figur Illustration af en fotonisk krystal nanoresonator-laser. Ved at fjerne et hul i en todimensional fotonisk krystal, skabes en resonator med spejle på alle sider. I denne resonator vil lyset for en bestemt frekvens blive lokaliseret og det giver en ultrakompakt og energibesparende laser. elektroner i kvantepunkterne anslået til en højere energitilstand. Efterfølgende henfaldt elektronerne i kvantepunkterne, og man målte hvornår dette skete ved at registrere de fotoner, der blev udsendt. Resultatet af eksperimentet er vist i Figur Den blå kurve viser en måling uden kvantepunkter i den fotoniske krystal. Det viser sig nemlig at ikke alene kvantepunkterne udsender lys, men også selve materialet som den fotoniske krystal er lavet af (titanium-dioxid). Heldigvis henfalder dette bidrag meget hurtigt, og efter 5 ns ser man kun lys fra kvantepunkterne. De tre øvrige kurver i Figur 2-16 viser målinger på identiske kvantepunkter placeret i tre forskellige fotoniske krystaller. Krystallerne er lavet af kugler med forskellige størrelser svarende til forskellige gitterafstande fra 370nm til 500nm. Kurverne i Figuren er fremkommet ved at gentage måleproceduren mange gange. Først anslå elektroner i kvantepunkterne med laseren, derefter måle hvornår en foton bliver udsendt, og derefter anslå elektronerne igen osv. Ved at sammenligne resultaterne fra de tre fotoniske krystaller med forskellige gitterafstande ses at henfaldet enten forløber hurtigere (a = 420 nm) eller langsommere (a = 500 nm) relativt til målingen på en fotonisk krystal med gitterafstand a = 370 nm. Sidstnævnte er en referencemåling, Figur Fotoniske krystaller fremstilles ved brug af avancerede ætseprocesser i et renrum. 43
17 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum for i dette tilfælde er gitterafstanden så lille sammenlignet med lysets bølgelængde, at lyset ikke påvirkes af nanostrukturerne. Ud fra forløbet af henfaldskurverne afledes den gennemsnitlige levetid, hvilket giver 9,6 ns (a = 420 nm) og 19,3 ns (a = 500 nm) relativt til referenceværdien på 12,4 ns (a= 370 nm). Dette eksperiment påviste for første gang, at fotoniske krystaller kan bruges til at kontrollere spontan emission af lys. Energibesparende lasere og effektive solceller I de foregående afsnit har vi beskrevet nogle af egenskaberne ved fotoniske krystaller og deres relation til vakuumfluktuationer. Der er stadig en lang række fundamentale videnskabelige spørgsmål, som endnu ikke er blevet besvaret indenfor dette felt, og fotoniske krystaller er derfor genstand for intensive videnskabelige undersøgelser ved en lang række universiteter verden over. Samtidigt giver det farvede vakuum en række muligheder for helt nye teknologiske opfindelser, og derfor er der også en stor forskningsindsats i mange virksomheder og tekniske laboratorier. I dette afsnit vil vi diskutere et par af de mest lovende anvendelser. Laseren er en af de vigtigste opfindelser fra det 20. århundrede og bliver i dag brugt i en lang række anvendelser, herunder CD/DVD-afspillere, medicinske behandlinger, svejsning, datakommunikation f.eks. på internettet, præcisionsmåleudstyr og meget mere. Der kan derfor spares store mængder energi ved at nedbringe energiforbruget i lasere, og fotoniske krystaller er en mulig metode til at gøre dette. I de foregående afsnit diskuterede vi hvordan lys kan udsendes gennem spontan emission, der er stimuleret af vakuumfluktuationer. I en laser bliver lysudsendelsen stimuleret af lys og her virker spontan emission faktisk som en uønsket støjkilde. Hvis laseren består af kvantepunkter placeret i en fotonisk krystal nanoresonator, vil det modificerede vakuum forbyde spontan emission ved uønskede bølgelængder og energien fra kvantepunkterne vil blive koblet hurtigere og mere effektivt til den ønskede laser-bølgelængde. Hermed er det muligt at få en ultrakompakt, energibesparende og hurtig laser, hvilket kan føre til f.eks. hurtigere datatransmissioner. En illustration af en sådan laser er vist i Figur Et andet eksempel på mulige fremtidige anvendelser af fotoniske krystaller er til at udvikle højeffektive solceller. I selv de bedste solceller i dag bliver kun 40% af lysets energi omsat til elektricitet. En solcelle virker grundlæggende ved, at en foton fra solen anslår en elektron i det aktive lag i solcellen, hvorved fotonen absorberes. Denne elektron kan nu trækkes ud af det aktive lag som en elektronisk strøm og jo flere elektroner jo større strømstyrke og dermed større elektrisk energi. Imidlertid mistes en del af den elektriske energi ved at elektronen henfalder via spontan emission. Hermed udsendes og forsvinder en foton med samme energi som den oprindelige absorberede foton. Som vi har beskrevet ovenfor kan fotoniske krystaller også bruges til at undertrykke spontan emission. Hvis det aktive lag i solcellen således placeres i en fotonisk krystal vil solcellens effektivitet dermed kunne øges. Solceller baseret på fotoniske krystaller er endnu ikke demonstreret, men er et aktivt internationalt forskningsområde. Enkeltfoton-lyskilder baseret på fotoniske krystaller Moderne kryptering i f.eks. dankort transaktioner foregår ved hjælp af sindrige matematiske metoder, men er ikke fuldstændigt sikre. Heldigvis tager det selv de største computere i verden meget lang tid at bryde koderne. Man kan dog ikke være sikker på at dette vil forblive sådan i fremtiden, hvor mere effektive computere eller smartere kodebrydningsalgoritmer kan blive udviklet. I 1980 erne blev der foreslået en elegant metode til at kryptere meddelelser med en kode der er fuldstændigt ubrydelig. Metoden er baseret på funda- 44
18 Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 1,000 Titanium dioxid Kvantepunkter a = 370 nm a = 420 nm a = 500 nm Titanium-dioxid Tid [ns] Figur Antal fotoner udsendt per sekund ved spontan emission fra kvantepunkter i fotoniske krystaller, svarende til dem, som var vist i Figur 2-10 og Figur Materialet som den fotoniske krystal er lavet af (titanium-dioxid) udsender også lys (den blå kurve), men efter ca. 5 nanosekunder er de tilstande fuldstændigt henfaldet, og man ser alene lys fra kvantepunkterne. Den sorte, den røde og den grønne kurve svarer til kvantepunkter placeret i fotoniske krystaller, der er bygget op af kugler med forskellige gitterafstande a. Der ses en tydelig forskel i levetiden for de tre tilfælde, dvs. elektronerne i kvantepunkterne henfalder langsommere hhv. hurtigere i fotonisk krystaller med a=500 nm og a=420 nm relativt til en fotonisk krystal med a=370 nm. Dette skyldes at den optiske tilstandstæthed er forskellig for de tre gitterafstande. mentale kvantemekaniske egenskaber ved lys, og kræver bl.a. at man har en metode til at udsende én og kun én foton. Ved hjælp af kvantepunkter i fotoniske krystaller kan man lave en effektiv enkeltfoton-lyskilde. Idéen er, at man anslår netop én elektron i et kvantepunkt med en kort laserpuls. Når én elektron henfalder, bliver der nemlig skabt præcist én foton. Da henfaldet sker ved spontan emission, og derfor kan forstærkes gennem vakuumfluktuationerne med en fotonisk krystal, kan fotonen udsendes hurtigere. Herved øges overførselshastigheden af det krypterede signal. Dertil kommer, at hvis man bruger et kvantepunkt uden en fotonisk krystal, så vil lyset blive udsendt i alle retninger og en stor del af lyset gå tabt. Indlejres kvantepunktet derimod i en fotonisk krystal, kan lyset aldrig blive udsendt i de retninger man har blokeret med den fotoniske krystal, men udelukkende i den ønskede retning. Konklusion Vi har præsenteret fysikken bag kvantepunkter, fotoniske krystaller og det farvede vakuum. Udsendelsen af lys sker ved spontan emission. Vi har vist hvordan spontan emission er relateret til kvantemekaniske vakuumfluktuationer, der får en anslået elektron i et kvantepunkt til at henfalde. Vakuumfluktuationerne kan ændres i fotoniske krystaller, og kan enten øges eller undertrykkes. På denne måde kan spontan emission kontrolleres. Vi har desuden beskrevet et nyligt eksperiment hvor spontan emission fra kvantepunkter blev kontrolleret med en fotonisk krystal. Endelig har vi givet en række bud på hvilke fremtidige anvendelser denne nye teknologi kan føre til. 45
19 Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum I vores beskrivelse af kontrol af spontan emission har vi emnemæssigt bevæget os vidt fra forskning i fundamental kvantemekanik over nanoteknologi til anvendelser indenfor solceller og kommunikationsteknologi. Disse emner er i disse år genstand for intensiv forskning i nogle af verdens bedste laboratorier, og det eneste der er sikkert er, at fremtiden vil byde på mange spændende opdagelser og anvendelser. Måske vil anvendelser af fotoniske krystaller en dag blive udbredte i mange forskellige teknologier. Indtil da vil de være forbeholdt de videnskabskvinder og mænd der forsker i dem, mens alle andre må nøjes med at nyde synet af naturens egne fotoniske krystaller i fugle, fisk, smykkesten og sommerfugle. Søren Stobbe, Ph.d. studerende Philip Trøst Kristensen, Ph.d. studerende Peter Lodahl, Lektor 46
LYS I FOTONISKE KRYSTALLER 2006/1 29
LYS I FOTONISKE KRYSTALLER OG OPTISKE NANOBOKSE Af Peter Lodahl Hvordan opstår lys? Dette fundamentale spørgsmål har beskæftiget fysikere gennem generationer. Med udviklingen af kvantemekanikken i begyndelsen
Læs mere144 Nanoteknologiske Horisonter
144 Nanoteknologiske Horisonter KAPITEL 10 Nanofotonik kaster lys over fremtiden Fysik Nanofotonik kaster lys over fremtiden Per Lunnemann Hansen, Mads Lykke Andersen, Mike van der Poel, Jesper Mørk, Institut
Læs mereGymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)
Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereLys fra silicium-nanopartikler. Fysiklærerdag 22. januar 2010 Brian Julsgaard
Lys fra silicium-nanopartikler Fysiklærerdag 22. januar 2010 Brian Julsgaard Oversigt Hvorfor silicium? Hvorfor lyser nano-struktureret silicium? Hvad er en nanokrystal og hvordan laver man den? Hvad studerer
Læs mereUndersøgelse af lyskilder
Felix Nicolai Raben- Levetzau Fag: Fysik 2014-03- 21 1.d Lærer: Eva Spliid- Hansen Undersøgelse af lyskilder bølgelængde mellem 380 nm til ca. 740 nm (nm: nanometer = milliardnedel af en meter), samt at
Læs mereFYSIK I DET 21. ÅRHUNDREDE Laseren den moderne lyskilde
FYSIK I DET 1. ÅRHUNDREDE Laseren den moderne lyskilde Kapitel Stof og stråling kan vekselvirke på andre måder end ved stimuleret absorption, stimuleret emission og spontan emission. Overvej hvilke. Opgave
Læs mereDopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard
Dopplereffekt Rødforskydning Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard 2012 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Dopplereffekt Fænomenet Dopplereffekt, som vi skal
Læs mereBrydningsindeks af vand
Brydningsindeks af vand Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 15. marts 2012 Indhold 1 Indledning 2 2 Formål
Læs mereMikroskopet. Sebastian Frische
Mikroskopet Sebastian Frische Okularer (typisk 10x forstørrelse) Objektiver, forstørrer 4x, 10x el. 40x Her placeres objektet (det man vil kigge på) Kondensor, samler lyset på objektet Lampe Oversigt Forstørrelse
Læs mereHvordan kan du forklare hvad. NANOTEKNOLOGI er?
Hvordan kan du forklare hvad NANOTEKNOLOGI er? Du ved godt, at alting er lavet af atomer, ikke? En sten, en blyant, et videospil, et tv, en hund og du selv består af atomer. Atomer danner molekyler eller
Læs mereKvantefysik. Objektivitetens sammenbrud efter 1900
Kvantefysik Objektivitetens sammenbrud efter 1900 Indhold 1. Formål med foredraget 2. Den klassiske fysik og determinismen 3. Hvad er lys? 4. Resultater fra atomfysikken 5. Kvantefysikken og dens konsekvenser
Læs mereFYSIK C. Videooversigt. Intro video... 2 Bølger... 2 Den nære astronomi... 3 Energi... 3 Kosmologi... 4. 43 videoer.
FYSIK C Videooversigt Intro video... 2 Bølger... 2 Den nære astronomi... 3 Energi... 3 Kosmologi... 4 43 videoer. Intro video 1. Fysik C - intro (00:09:20) - By: Jesper Nymann Madsen Denne video er en
Læs mereLøsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi
Læs mereIntroduktion. Arbejdsspørgsmål til film
OPGAVEHÆFTE Introduktion Dette opgavehæfte indeholder en række forslag til refleksionsøvelser og aktiviteter, der giver eleverne mulighed for at forholde sig til nogle af de temaer filmen berører. Hæftet
Læs mereElektronikken bag medicinsk måleudstyr
Elektronikken bag medicinsk måleudstyr Måling af svage elektriske signaler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 2 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling...
Læs mereIndhold Problemstilling... 2 Solceller... 2 Lysets brydning... 3 Forsøg... 3 Påvirker vandet solcellernes ydelse?... 3 Gør det en forskel, hvor meget
SOLCELLER I VAND Indhold Problemstilling... 2 Solceller... 2 Lysets brydning... 3 Forsøg... 3 Påvirker vandet solcellernes ydelse?... 3 Gør det en forskel, hvor meget vand, der er mellem lyset og solcellen?...
Læs mereØvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant
Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål
Læs mereØvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet
29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende
Læs mereFysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters
Læs mereDiodespektra og bestemmelse af Plancks konstant
Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Fysik 5 - kvantemekanik 1 Joachim Mortensen, Rune Helligsø Gjermundbo, Jeanette Frieda Jensen, Edin Ikanović 12. oktober 28 1 Indledning Formålet med denne
Læs mereJuly 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook
Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at
Læs mereBrombærsolcellen - introduktion
#0 Brombærsolcellen - introduktion Solceller i lommeregneren, solceller på hustagene, solceller til mobiltelefonen eller solceller til den bærbare computer midt ude i regnskoven- Solcellen har i mange
Læs mere1. Vibrationer og bølger
V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte
Læs mereSpektralanalyse. Jan Scholtyßek 09.11.2008. 1 Indledning 1. 2 Formål. 3 Forsøgsopbygning 2. 4 Teori 2. 5 Resultater 3. 6 Databehandling 3
Spektralanalyse Jan Scholtyßek 09..2008 Indhold Indledning 2 Formål 3 Forsøgsopbygning 2 4 Teori 2 5 Resultater 3 6 Databehandling 3 7 Konklusion 5 7. Fejlkilder.................................... 5 Indledning
Læs mereSkriftlig Eksamen i Moderne Fysik
Moderne Fysik 10 Side 1 af 7 Navn: Storgruppe: i Moderne Fysik Spørgsmål 1 Er følgende udsagn sandt eller falsk? Ifølge Einsteins specielle relativitetsteori er energi og masse udtryk for det samme grundlæggende
Læs mereRøntgenspektrum fra anode
Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af
Læs mere7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:
1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor
Læs mereLysets fysik Optiske fibre P0 projekt
Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt Forsidebillede: En oplyst plexiglasleder hvorpå gruppens navn er skrevet [1] Titel: Optiske fibre Tema: Lysets fysik Projektperiode: 01/09 18/09 2015 Projektgruppe:
Læs mereTjekspørgsmål til Laseren den moderne lyskilde
Tjekspørgsmål til Laseren den moderne lyskilde Kapitel 2. Sådan opstår laserlyset 1. Bølgemodellen for lys er passende, når lys bevæger sig fra et sted til et andet vekselvirker med atomer 2. Partikel/kvantemodellen
Læs mereLærebogen i laboratoriet
Lærebogen i laboratoriet Januar, 2010 Klaus Mølmer v k e l p Sim t s y s e t n a r e em Lærebogens favoritsystemer Atomer Diskrete energier Elektromagnetiske overgange (+ spontant henfald) Sandsynligheder,
Læs mereProtoner med magnetfelter i alle mulige retninger.
Magnetisk resonansspektroskopi Protoners magnetfelt I 1820 lavede HC Ørsted et eksperiment, der senere skulle gå over i historiebøgerne. Han placerede en magnet i nærheden af en ledning og så, at når der
Læs mereForsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde
Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde Formål Formålet med denne forsøgsrække er, at vise mange aspekter inden for emnet lys med udgangspunkt i begrænset materiale. Formålet med forsøget er at beregne
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAtomare overgange Tre eksempler på vekselvirkningen mellem lys og stof, som alle har udgangspunkt i den kvantemekaniske atommodel:
Moderne Fysik 6 Side 1 af 7 Forrige gang nævnte jeg STM som eksempel på en teknologisk landvinding baseret på en rent kvantemekanisk effekt, nemlig den kvantemekaniske tunneleffekt. I dag et andet eksempel
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereAt lede lyset på nanovejen Side 46-49 i hæftet
At lede lyset på nanovejen Side 46-49 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lys og lyd TV gennem lysleder I en lysleder sendes signaler i form af lysimpulser. Derfor kan det være en overraskelse, at man kan sende
Læs mereEksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
Læs mereStrålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen
Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,
Læs mereSTUDIERETNINGSPROJEKT 2010
Projektforslagene er udarbejdet i samarbejde med Institut for Sensorer, Signaler og Elektroteknik STUDIERETNINGSPROJEKT 2010 Byg dit eget spektrometer Side 4 Hør matematikken Side 5 Den moderne vindmølle
Læs mereBeskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb Termin juni 2016 Institution Uddannelse Horsens Hf & VUC Hfe Fag og niveau Fysik C (stx-bekendtgørelse) Lærer(e) Hold Lærebøger Hans Lindebjerg Legard FyC2
Læs mereDet Rene Videnregnskab
Det Rene Videnregnskab Visualize your knowledge Det rene videnregnskab er et værktøj der gør det muligt at redegøre for virksomheders viden. Modellen gør det muligt at illustrere hvordan viden bliver skabt,
Læs merefra venstre: Kresten Yvind, David Larsson og Per Lunnemand Hansen
fra venstre: Kresten Yvind, David Larsson og Per Lunnemand Hansen Kapitel 3 Nanoteknologi i masseproduktion Halvledere, lasere og avancerede optiske komponenter af Kresten Yvind, David Larsson og Per Lunnemann
Læs mereFaglig fordybelse fra sansning til tænkning
Faglig fordybelse fra sansning til tænkning AV HENRIK THAULOW Henrik Thaulow, klasselærer og kunst- og håndverkslærer, Steinerskolen på Ringerike siden 1991. De siste 4 årene i perioder på RSIO, billedkunståret.
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereElektromagnetisk spektrum
1 4 7 3 3. Bølgelængde nm Varme og kolde farver Af Peter Svane Overflader opvarmes af solen, men temperaturen afhænger ikke kun af absorption og refleksion i den synlige del af spektret. Det nære infrarøde
Læs mereNaturvidenskabelig ekskursion med Aarhus Universitet
Naturvidenskabelig ekskursion med Aarhus Universitet Tema: salt og bunddyr Biologi kemi Indhold Program for naturvidenskabelig ekskursion med Aarhus Universitet.... 3 Holdinddeling... 3 Kemisk Institut:
Læs mereOptik under diffraktionsgrænsen
Optik under diffraktionsgrænsen Martin Kristensen Institut for Fysik og Astronomi og inano, Aarhus Universitet, Ny Munkegade Bygning 1520, DK-8000 Århus C, Danmark NEDO I klassisk optik er gitre de eneste
Læs mereOptisk gitter og emissionsspektret
Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................
Læs mere14 Nanoteknologiske Horisonter
14 Nanoteknologiske Horisonter KAPITEL 2 Nanoteknologi i billeder Fysik Nanoteknologi i billeder Jakob B. Wagner, Center for Elektronnanoskopi Sebastian Horch, Center for Atomic-scale Materials Design,
Læs mereden kvantemekaniske computere. Hvis man ser på, hvordan Fysik Ved hjælp af atomer og lys, er det muligt at skabe en computer, som
Den kvantemekaniske computer Fysik Ved hjælp af atomer og lys, er det muligt at skabe en computer, som er helt anderledes end nutidens computere: Kvantecomputeren. Måske kan den nye computer bruges til
Læs merefra venstre: Mike van der Poel og Alexandra Boltasseva
fra venstre: Mike van der Poel og Alexandra Boltasseva Kapitel 1 Brydninger Nye optiske materialer med nanostrukturer klæder lyset på til at bryde grænser af Mike van der Poel og Alexandra Boltasseva Optikken
Læs mereFysik A. Studentereksamen
Fysik A Studentereksamen 2stx131-FYS/A-03062013 Mandag den 3. juni 2013 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 10 Side 1 af 10 sider Billedhenvisninger Opgave 1 http://www.flickr.com/photos/39338509 @N00/3105456059/sizes/o/in/photostream/
Læs mereFilmen vare ca. 20 minutter og introducere eleven til emner som:
LÆRERVEJLEDNING Introduktion Lyset mennesket er en visuel undervisningsplatform, der sætter fokus på lysets forunderlige verden, dets mange fremtrædener og hvordan det påvirker os i vores dagligdag. Materialet
Læs mereOpgavesæt om Gudenaacentralen
Opgavesæt om Gudenaacentralen ELMUSEET 2000 Indholdsfortegnelse: Side Gudenaacentralen... 1 1. Vandet i tilløbskanalen... 1 2. Hvor kommer vandet fra... 2 3. Turbinerne... 3 4. Vandets potentielle energi...
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereMODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING
MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-
Læs mereGyptone lofter 4.1 Akustik og lyd
Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Reflecting everyday life Akustik og lyd Akustik er, og har altid været, en integreret del af byggemiljøet. Basis for lyd Akustik er en nødvendig design-faktor ligesom
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereForventet bane for alfapartiklerne. Observeret bane for alfapartiklerne. Guldfolie
Det såkaldte Hubble-flow betegner galaksernes bevægelse væk fra hinanden. Det skyldes universets evige ekspansion, der begyndte med det berømte Big Bang. Der findes ikke noget centrum, og alle ting bevæger
Læs mereLys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision
Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem
Læs mereTredje kapitel i serien om, hvad man kan få ud af sin håndflash, hvis bare man bruger fantasien
Tredje kapitel i serien om, hvad man kan få ud af sin håndflash, hvis bare man bruger fantasien For nogen tid siden efterlyste jeg i et forum et nyt ord for håndflash, da det nok ikke er det mest logiske
Læs mereSolens energi kan tæmmes af nanoteknologi Side 34-37 i hæftet
SMÅ FORSØG Solens energi kan tæmmes af nanoteknologi Side 34-37 i hæftet Strøm og lys En lysdiode lyser med energien fra et batteri. Det let at få en almindelig rød lysdiode til at lyse med et 4,5 Volts
Læs mereHjertets elektriske potentialer og målingen af disse
Hjertets elektriske potentialer og målingen af disse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 1 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling... 4 Elektriske
Læs merePETER LUNDBERG OLIEMALERIER
PETER LUNDBERG OLIEMALERIER 2 Oliemaleri str. 150 x 150 cm. 2012. Millingbæk fantasi / A Closer Look A Closer Look At The World Behind Siden 1969 har maleren Peter Lundberg håndteret lærred, farver og
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereBegge bølgetyper er transport af energi.
I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling(em-stråling). Herunder synligt lys, IR-stråling, Uv-stråling, radiobølger samt gamma og røntgen stråling. I skal stifte bekendtskab med EM-strålings
Læs mereTransienter og RC-kredsløb
Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske
Læs mereKvanteinformation, kvantekryptografi
The Niels Bohr Institute Kvanteinformation, kvantekryptografi og kvantecomputere Anders S. Sørensen, Niels Bohr Institutet DFF Natur og Univers Kvantemekanik er svært Det kan da! ikke passe Jo det kan!
Læs mereI dyrenes skygge. har flere af Bøggilds dyreskulpturer.
I dyrenes skygge Dyr er fascinerende. Deres levevis og bevægelser kan fange interessen hos både børn og voksne. At fange det fascinerende ved et dyr og overføre det til tegning eller skulptur er til gengæld
Læs mereDen menneskelige cochlea
Den menneskelige cochlea Af Leise Borg Leise Borg er netop blevet cand.scient. Artiklen bygger på hendes speciale i biofysik Introduktion Hørelsen er en vigtig sans for mennesket, både for at sikre overlevelse,
Læs mereTEORETISKE MÅL FOR EMNET:
TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber
Læs mereMåling af spor-afstand på cd med en lineal
Måling af spor-afstand på cd med en lineal Søren Hindsholm 003x Formål og Teori En cd er opbygget af tre lag. Basis er et tykkere lag af et gennemsigtigt materiale, oven på det er der et tyndt lag der
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 HTX
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 HTX Vibenhus / Københavns Tekniske Gymnasium
Læs mereSSOG Scandinavian School of Gemology
SSOG Scandinavian School of Gemology Lektion 12: Syntetisk smaragd Indledning Det er min forventning, med den viden du allerede har opnået, at du nu kan kigge på dette 20x billede til venstre af en syntetisk
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereForløbet består af 5 fagtekster, 19 opgaver og 4 aktiviteter. Derudover er der Videnstjek.
Atommodeller Niveau: 9. klasse Varighed: 8 lektioner Præsentation: I forløbet Atommodeller arbejdes der med udviklingen af atommodeller fra Daltons atomteori fra begyndesen af det 1800-tallet over Niels
Læs mere16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it
16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it Tanker bag opgaverne Det er min erfaring, at elever umiddelbart vælger at bruge det implicitte funktionsbegreb,
Læs mereNIKOLAJ UDSTILLINGSBYGNING. 6. november 2004-9. januar 2005. Sansernes. Sansernes. Margrete Sørensen og Torben Ebbesen. M å lgruppe: 1.-7.
NIKOLAJ UDSTILLINGSBYGNING 6. november 2004-9. januar 2005 Sansernes Sansernes Labyrint Labyrint Margrete Sørensen og Torben Ebbesen M å lgruppe: 1.-7. klasse S K O L E T J E N E S T E N / N I K O L A
Læs mereBrøk Laboratorium. Varenummer 72 2459
Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt
Læs mereAntennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse?
Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Det faktum, at lyset har en endelig hastighed er en forudsætning for at en antenne udstråler, og at den har en ohmsk udstrålingsmodstand. Den
Læs mereVisualisering med SEM - Farver og strukturer
Visualisering med SEM - Farver og strukturer Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet af Louise Haaning, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 27. august 2015
Læs mereEnkelt og dobbeltspalte
Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde
Læs mereAtomare elektroners kvantetilstande
Stoffers opbygning og egenskaber 4 Side 1 af 12 Sidste gang: Naturens byggesten, elementarpartikler. Elektroner bevæger sig ikke i fastlagte baner, men er i stedet kendetegnet ved opholdssandsynligheder/
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereBenjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget!
E1 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! Vi har tidligere lært, at ethvert legeme tiltrækker ethvert andet legeme med gravitationskraften, eller massetiltrækningskraften.
Læs mereNaturfag. Evaluering, orientering og vejledning
Folkeskolens afsluttende prøver Naturfag 2010 Evaluering, orientering og vejledning Udarbejdet på grundlag af censorers faglige feedback ved prøverne Institut for Læring Den afsluttende evaluering i fagene
Læs mereNaturvidenskabelig metode
Naturvidenskabelig metode Introduktion til naturvidenskab Naturvidenskab er en betegnelse for de videnskaber der studerer naturen gennem observationer. Blandt sådanne videnskaber kan nævnes astronomi,
Læs mereIndledning 2. 1 Lysets energi undersøgt med lysdioder (LED) 2 1.1 Udstyr... 3 1.2 Udførelse... 3
Solceller og Spektre Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk August 2012 Indhold Formål 2 Indledning 2 1
Læs mereModerne Fysik 7 Side 1 af 10 Lys
Moderne Fysik 7 Side 1 af 10 Dagens lektion handler om lys, der på den ene side er en helt central del af vores dagligdag, men hvis natur på den anden side er temmelig fremmed for de fleste af os. Det
Læs merenano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse
nano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse I dette hæfte kan du læse baggrunden for udviklingen af brombærsolcellen og hvordan solcellen fungerer. I
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 15/16 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Fysik C Signe Agerholm Clausen 1d fyc Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereJeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.
Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt
Læs mereTeknologihistorie. Historien bag FIA-metoden
Historien bag FIA-metoden Baggrund: Drivkræfter i den videnskabelige proces Opfindermyten holder den? Det er stadig en udbredt opfattelse, at opfindere som typer er geniale og nogle gange sære og ensomme
Læs mere