Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri
|
|
- Agnete Groth
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri Indholdsfortegnelse: PS (Peep Show): En hjælpepakke til 3 dimensional geometri side 1 Eksempel 1: Udfoldning af en terning side 2 Eksempel 2: Hyperkuben side 10 Eksempel 3: Pythagoras sætning i rummet (og videre!) side 18 Eksempel 4: Jorden, Solen og månen side 26 Bjørn Felsager September 2013
2 PS (Peep Show): En hjælpepakke til 3 dimensional geometri Hvis man vil arbejde med animationer i 3d er det vigtigt at have rådighed over 3d kommandoer til at tegne simple figurer i rummet. Den følgende note forudsætter derfor at man har gemt filen ps i mappen MitBibl eller MyLib (afhængig af hvordan programmet blev installeret oprindeligt). Du finder disse mapper i TI Nspire mappen under Dokumenter. Når mappen er installeret får du adgang til bibliotekskommandoerne via dokumentværktøjslinjen. Hver kommando er bygget op efter følgende skabelon: Den første kommando menu_navn_argumenter( ) c_angleb2f_4p(a,b,c,d ) stammer således fra konstruktionsmenuen (constructions), den har navnet angleb2f, dvs. den konstruerer en vinkelhalveringsplan mellem 2 flader (2 faces): Angle Bisector 2 Faces. De to flader er fastlagt ved fire punkter A, B, C og D. Til hver af kommandoerne er der en kort hjælpetekst, der angiver syntaksen, fx c_angle2f_4p(a,b,c,d):bisect ABC,ABD Skal vi konstruere vinkelhalveringsplanen mellem to flader skal vi altså angive fire punkter A, B, C og D, hvor de to første punkter A og B fastlægger den fælles kant og de to sidste punkter C og D fastlægger de to sideflader ud fra kanten. Læg mærke til at der er flere kommandoer til at konstruere vinkelhalveringsplanen C_Angleb2f_4p C_Angleb_3p (Angle Bisector between two faces) (Angle Bisector between three points) afhængigt af om man vil finde vinklen mellem 2 flader eller tre punkter (med det midterste punkt som toppunkt). I de fleste tilfælde antyder den afsluttende kode derfor, hvilke argumenter man skal bruge til kommandoen. Men man kan i tvivlstilfælde som vist altid slå syntaksen op. Du kan også finde en kortfattet emneopdelt oversigt over alle kommandoerne i et lille hæfte A manual for the Peep Show Der er fire typer af kommandoer: Figurer, Målinger, Transformationer, Konstruktioner og Navneetiketter. Hver af dem svarer til menuerne i et egentligt 3 dimensionalt tegneprogram. Det er ikke alle typer figurer, der egner sig til at tegne ud fra parameterfremstillinger, men det er forbløffende mange, der gør det. Den følgende tabel viser en oversigt over alle de tilgængelige kommandoer i PS: 1
3 D0 Points D1 Lines & curves D2 Planes & surfaces D3 Polyhedra C Constructions L Labels T Transformations M Measurements Point Segment Plane XYZBox Bisector Label Translat. Distance Ray HalfPlane Parallelep. Angle Bis. RibbonLab. Reflect. Angle Line Sector Box Rotation Area Vector Triangle Tetrahed. Symmetry Volume XYZPath Parallel. Octahed. Halfturn Coordin. Arc Quadr. Reg. Tetra Dilation Equation Circle Reg. Poly. Cube Inversion Triangle Disc Reg Octa Quadr. Reg. Poly. Sphere Lune Hypar Pyramid Prism AntiPrism Cone Cylinder Torus TorusArc Eksempel 1: Udfoldning af en terning Men lad os nu prøve at gå i gang med et simpelt eksempel: En udfoldning af en terning. Vi skal da have samlet seks kvadrater til en terning. Vi starter med grundfladen, som vi forestiller os har hjørnepunkterne O = ( 1, 1,0), P = (1, 1,0), Q = (1,1,0) og R = ( 1,1,0). Vi skriver derfor disse fire punkter ind i et notefelt og husker at alle punkters og vektorers koordinater skal indtastes med krøllede parenteser, dvs. på listeform. Det vil gøre senere indtastninger meget nemmere at håndtere! Med udgangspunkt i disse fire hjørnepunkter kan vi så frembringe grundfladen, som vi vil kalde face0. Det gøres ikke med kommandoen til at tegne vindskæve firkanter, dvs. quad kommandoen, der som argumenter har de fire punkter, for så få vi tegnet en diagonal med! I stedet bruges parallelogramkommandoen Læg mærke til at grundfladen er anført ved sin parameterfremstilling, der indeholder parametrene t og u. Du behøver ikke forstå parameterfremstillingen for at bruge den! Du åbner nu et 3d grafer værksted (dvs. et Grafer værksted, hvor du under vis menuen vælger 3dgraftegning). Derefter skifter du graftype til Parameterfremstilling (fx ved at højreklikke i indtastningslinjen) og du er klar til at indtaste parameterfremstillingen for grundfladen, så vi kan få den at se: 2
4 Førstekoordinaten xp1 indtastes som face0[1], andenkoordinaten som face0[2] og tredjekoordinaten som face0[3] idet du husker kantede parenteser til at angive de enkelte koordinater. Ved at referere til navnet for figuren sikrer vi interaktiviteten. Ændrer du senere en af koordinaterne til hjørnepunkterne O, P, Q eller R, så opdateres figuren automatisk! Nu vises figuren som et blåt kvadrat i x y planen. Du kan skifte farve ved at højreklikke på falden, men der er ingen grund til at ændre attributter eller parametre for fladen, da der allerede er taget hånd om dem. 3
5 Vi skal så have lagt de fire sideflader ud ved siden af grundfladen. Det sker ved hjælp af parallelforskydninger. Vi skal derfor også have fat i sidevektorerne, jfr. det følgende diagram frembragt i 2d Graferværkstedet: Vi indfører derfor sidevektorerne a= OP, b= PQ, c= QR, d= RO. Derefter forskydes grundfladen som vist til de fire sideflader face1, face2, face3 og face4: Parameterfremstillingerne overføres til 3d grafrummets indtastningslinje præcist som for grundfladen: 4
6 Nu er vi så klar til første fase i animationen: Vi skal have drejet sidefladerne, så de vipper op og lukker terningen på de fire sider. Men det kan vi jo klare ved at indføre en skyder θ for drejningsvinklen. Vi beslutter os for at den skal angive gradtallet, men husker at værkstedet som udgangspunkt regner i radianer. Vi kunne skifte indstillinger, men vælger i stedet at omsætte gradtallet til et radiantal ved at gange med 1. Skyderen indføres som altid i grafiske værksteder under menuen Handlinger. Vi ændrer steplængden i skyderen til 1 og sætter den lodret ude til venstre i 3d grafrummet. Skyderen er endnu ikke aktiveret via kommandoerne til at tegne sidefladerne, så i første omgang sker der ikke noget. Vi skal nu have drejet sidefladen face1 omkring linjen gennem PQ, dvs. med ankerpunkt P og retningsvektor b. Lægger vi højre hånd med tommelfingeren langs vektor b kan vi se at fingrene peger ned i planen, dvs. umiddelbart drejer vi sidefladen nedad mod den negative z akse. Vi skifter derfor fortegn på drejningsvinklen: 5
7 Læg mærke til hvordan vi kombinerer translation and rotation kommandoerne: Det satte gang i drejningerne, så sidefladerne nu vipper op lige så nydeligt, når man trækker i skyderen. 6
8 Vi mangler så kun topfladen. Den er lidt mere tricket! Vi kan sætte den i forlængelse af sidefladen face1 (langs den positive x akse). I første omgang er den så bare en parallelforskydning af sidefladen face1. I anden omgang skal den også drejes med den samme vinkel i forhold til face1. Men sidefladen face 1 ligger nu skævt i rummet, så vi skal have fat i drejede vektor a for at kunne gennemføre forskydningen. Men transformationer af vektorer er lidt trickede. Det sikreste er at transformere start og slutpunkt hver for sig! Startpunktet P ligger fast, men slutpunktet er parallelforskydningen efterfulgt af drejningen af P: Læg mærke til at vi parallelforskyder langs vektoren ta men at vi stadigvæk drejer omkring vektoren b! 7
9 Undervejs har vi altså brugt de følgende kendsgerninger om transformationer af vektorer: Parallelforskydninger: Vektorerne er uforandrede Drejninger: Vektorer, der står vinkelret på drejningsaksen, drejer med. Vektorer, der er parallelle med drejningsaksen er uforandrede. Til slut en bemærkning om det anvendte perspektiv: Der anvendes centralperspektiv. Det kan vi se når vi kigger ned på terningen direkte langs z aksen ned på x y planen: Når terningen er udfoldet ser den ud som om den var tegnet i et 2 dimensionalt tegneprogram: Men når terningen er foldet sammen ser vi to kvadrater, bundfladen og topfladen, der er forbundne med trapezer: 8
10 For at tydeliggøre effekten har jeg zoomet ind på terningen. Topfladen er tættere på øjepunktet og synes derfor større. Eksempel 2: Hyperkuben Hvis det nu var en 4 dimensional terning kunne vi på samme måde udfolde den i et tredimensionalt rum. Den fire dimensionale terning hviler da på et tredimensionalt basisrum cube0, som er en almindelig terning. Den er omgivet af seks siderum, cube1, cube2,, cube6, der også er almindelige terninger. Endelig skal hyperkuben lukkes af et toprum, cube7, der ligesom i det forrige tilfælde kan hægtes på et vilkårligt af siderummene. Vi starter med at indskrive hjørnepunkterne for basisrummet cube0: Her skal vi passe på ikke at involvere parametrene t og u, så vi kalder de 8 hjørnepunkter for O 1,P 1,Q 1,R 1 og O 2,P 2,Q 2, R 2. Da terningens sider er parallelle med akserne, kan vi tegne terningen som en kasse med kommandoen D3_XYZ_PQ. Den tager to modstående hjørner som argumenter. 9
11 Derefter får vi brug for seks forskydningsvektorer, hvor hver anden vektor er modsat, så vi kan nøjes med at definere tre: 10
12 11
13 Vi mangler nu kun toprummet, der traditionelt placeres i bunden af det tredimensionale rum, dvs. ned af z aksen, hvorfor vi skal parallelforskyde med vektoren 2c. Vi har udvidet scenen lidt, da den sidste terning ellers rammer bunden af scenen og derfor mangler sin sidste flade! Ovenstående er altså et billede af en udfoldet hyperterning i det tredimensionale rum. Den er bl.a. kendt fra Dalis billede: Christus Hypercubcus, som man nemt kan Google sig frem til, inklusive animationer på Youtube. Vi kan også undersøge hvordan en hyperterning ser ud i firedimensionalt perspektiv, når den projiceres ind på et tredimensionalt lærred. I stedet for et kvadrat indesluttet i et kvadrat fås da en terning indesluttet i en terning. Udgangspunktet er igen basisrummet cube0, der allerede ligger i det tredimensionale lærred. Da topprummet ligger tættere på øjepunktet i det firedimensionale rum, ganger vi basisrummet op med en multiplikation på 1.5 ud fra Origo, dvs. {0,0,0}: 12
14 Læg mærke til at vi har slukket for feltet, dvs. scenen, og ændret grænserne for akserne til at gå fra 2 til 2 i alle tre retninger. Vi har også sat transparensen op til 75 for begge terninger, basisrummet (inderst) og toprummet (yderst) for bedre at kunne se strukturen. De øvrige seks siderum forbinder nu den inderste terning, basisrummet, med den yderste terning, topprummet, i form af afskårne pyramider, der tegnes som kasser med D3_Box_8P kommandoen, der forventer oplysning om alle otte hjørnepunkter. Først skal vi altså have fat i hjørnepunkterne for toprummet: 13
15 Derefter skal vi forbinde den inderste terning, basisrummet, med den yderste terning, toprummet. Her gælder det om at holde tungen lige i munden. Alle siderummene tegnes med transparens 75 (ligesom basisrummet og toprummet): Resultatet er en hyperterning tegnet i sandt 4 dimensionalt perspektiv på et 3 dimensionalt lærred! 14
16 Det er nemmest at få en fornemmelse for strukturen ved at dreje figuren på skærmen, så man kan se den fra forskellige vinkler, samtidigt med at figuren er i bevægelse! Hyperterningen er kompliceret med sin opbygning af 8 rum, der deler et utal af sideflader. Man kan roligt skjule såvel den inderste terning som den yderste terning, når først siderummene er på plads. Både den yderste terning og den inderste terning fremstår indirekte, fordi alle flader og kanter leveres af siderummene: Der er desværre en del interferens fra dobbeltfladerne, så farvelægningen er ikke helt konsistent. Den danske arkitekt Spreckelsen fik nu yderligere den ide at slukke for to af siderummene, så man kunne se tværs igennem projektionen af hyperkuben. Derved skabte han formen på den nye triumfbue i Paris, som du kan se glimrende billeder af på internettet! Vi fjerner siderummene langs x aksen, dvs. cube1 og cube4: 15
17 I den rigtige triumfbue er der nu en elevator ca. 2/3 til siden midtvejs inde i triumfbuen, der løfter besøgende fra gulvet op til loftet (en strækning på ca. 100 m). Vi kan modellere den med en tynd cylinder, tårn, der rækker fra bund til loft og kun vises som et gitter, med en endnu mindre cylinder, box, hvor gitteret er fjernet, der illuderer elevator og som kan bevæges med en lodret skyder, der går fra 1 til 100: 16
18 Eksempel 3: Pythagoras sætning i rummet (og videre!) Vi går ud fra Pythagoras sætning i planen, som vi tolker på følgende måde: Hvis man først går stykket a og derefter vinkelret derpå går stykket b, så vil man i alt have fjernet sig afstanden c fra udgangspunktet, hvor c = a + b. En anden traditionel tolkning er at c svarer til diagonalen i et rektangel med siderne a og b. I rummet hedder den tilsvarende sætning følgende: Pythagoras sætning i rummet: Hvis man først går stykket a og derefter vinkelret derpå går stykket b og derefter vinkelret på de foregående stykker går stykket c, så vil man i alt have fjernet sig afstanden d fra udgangspunktet, hvor d = a + b + c. En anden traditionel tolkning er at d svarer til diagonalen i en retvinklet kasse med siderne a, b og c. Det er nemmest at illustrere, hvis vi først går stykket a langs x aksen, derefter stykket b langs y aksen og tilslut stykket c langs z aksen. Så overholder vi netop kravene om at vi hele tiden går vinkelret på alle de foregående stykker. Vi opretter derfor skydere med heltalsværdierne a, b og c, der går fra 0 til 10, skjuler koordinatakserne og sætter koordinaterne til at gå fra 1 til 10. Derefter tegner vi stien med de vinkelrette knæk ved hjælp af kommandoen XYZpath og den direkte sti med kommandoen segment: 17
19 Der kommer mere rumlig struktur, hvis vi også tegner den retvinklede kasse. Det sker med kommandoen XYZBox: For at tydeliggøre stien kan vi nu sætte vektorpile på med kommandoen ConeTip. Den sidste skaleringsparameter fortæller hvor stor en brøkdel pilespidsen udgør af vektorens længde. Hvis vi vil have en fast længde skal den altså udregnes dynamisk, her har vi sat den faste længde af pilespidsen til 1, hvorfor skalaparameteren er den reciprokke længde: Vi slukker for koordinatkassen og koordinatakserne og kan nu se kassen med diagonalen indtegnet mellem de to modstående hjørner: 18
20 Scenen er nu sat og vi skal bare have illustreret ideen bag beviset! VI ser da først på det første knæk i grundfladen der udspænder en retvinklet trekant, som vi kan tegne med kommandoen triangle. For at tydeliggøre den retvinklede trekant i grundfladen kan man slukke for fladerne i kassen: Erstatter vi nu det første knæk med diagonalen i grundfalden (hypotenusen i den retvinklede trekant) ser vi at diagonalen i grundfladen og diagonalen i kassen udspænder en ny retvinklet trekant: 19
21 Det er disse to trekanter, der er kernen i beviset! Tager vi et skærmbillede og indsætter det i et Geometri værksted kan vi sætte betegnelser på: Men fra de to retvinklede trekanter fås da netop: c1 = a + b d = c1 + c Indsættes det første udtryk for kvadratet på c 1 i den anden ligning fås netop Pythagoras sætning i rummet: d = ( a + b ) + c Men der er mere at hente i figuren: Indføres en skyder for drejningsvinklen θ, kan den blå lodrette retvinklede trekant kan nemlig drejes omkring diagonalen i grundfladen, så trekantsfiguren foldes ud og bliver plan: 20
22 21
23 Drejer vi nu rummet, så vi ser direkte ned på XY planen, dvs. grundfladen, ser vi derfor en 2 dimensional udfoldning af den retvinklede sti: De to retvinklede trekanter ligger altså i forlængelse af hinanden, så snart vi har udfoldet figuren. Vi har altså reduceret figuren til 2 dimensioner: Beviset kører på fuldstændigt samme måde som før, så hvad er det nye? Det nye er at udfoldningen fortsætter op igennem dimensionerne: Hvis vi foretager et nyt knæk ud i fjerde dimension kan vi også danne en ny retvinklet trekant, der kan foldes ned i tre dimensioner, hvorefter hele trekantsfiguren kan foldes ned i to dimensioner: 22
24 Men fra kæden bestående af de tre retvinklede trekanter fås da netop: c1 = a + b d1 = c1 + c e = d + d Indsættes det første udtryk for kvadratet på c 1 i den anden ligning, og dernæst den anden ligning i den tredje fås netop Pythagoras sætning i det firedimensionale rum: Der gælder altså: (( ) ) e = a + b + c + d Pythagoras sætning i det firedimensionale rum: Hvis man først går stykket a og derefter vinkelret derpå går stykket b og derefter vinkelret på de to foregående stykker går stykket c og derefter vinkelret på de tre foregående stykker går stykket d, så vil man i alt have fjernet sig afstanden e fra udgangspunktet, hvor e = a + b + c + d Og sådan fortsætter det naturligvis med længere og længere kæder af retvinklede trekanter når man udfolder figuren i de højere dimensionale rum. Pythagoras sætning gælder altså i alle dimensioner. Det er selvfølgelig ikke så nemt at forestille sig og det er heller ikke helt nemt at illustrere. Men vi kan godt illustrere projektionen af en firedimensional kasse på et tredimensionalt lærred! Den nye sidevektor, der i fire dimensioner står vinkelret på vores tredimensionale rum, projiceres nu ind på vektoren d = ( 2, 2,2). Herefter parallelforskydes hele basisrummet langs vektoren d. Resultatet af forskydningen er projektionen af toprummet hørende til den firedimensionale kasse. Strengt taget skulle vi nu forbinde alle de korresponderende hjørner for at frembringe det samlede netværk af kanter hørende til projektionen af den firedimensionale kasse. Men strukturen skulle være rimelig nok også uden siderummene: 23
25 Endelig kan vi tilføje projektionen af den manglende retvinklede trekant: 24
26 Eksempel 4: Jorden, Solen og månen Vi ser nu på en helt anden slags eksempel, idet vi vil modellere Jordens bane rundt om Solen efterfulgt af månens bane rundt om Jorden, for her i gennem at kaste lys over sol og måneformørkelser. I det følgende vil vi nedtone transformationer, til fordel for simple parameterfremstillinger for cirkler. Men koordinatligningerne kan om nødvendigt frembringes ved hjælp af transformationer ligesom i de foregående eksempler. Solen er den simpleste, idet der blot er tale om en kugle med centrum i (0,0,0) og radius 1, som vi farver gul på lysegrå baggrund. Når vi tegner solen slår vi gitteret fra og gør den uigennemsigtig. Jorden er lidt mere indviklet. Først skal vi have fastlagt dens bane som en cirkel med centrum i (0,0,0) og radius 1. Husk at sætte t inddelingerne op til fx 101 i attributter! Læg også mærke til hvor simpel parameterfremstillingen er: Så skal vi have fastlagt en skyder for variablen tid, som vi lader løbe op til 12 år og derfor lader løbe fra 0 til i trin af 1. Vi sætter skyderen lodret. Endelig skal vi have fastlagt Jordens form og dens skygge (som vi modellerer lidt primitivt): tid Til tiden tid er retningsvinklen for Jorden givet ved θ = 360. Med udgangspunkt i retningsvinklen kan vi definere 3 enhedsvektorer i, j og k, der peger i retningen for radius i Jordbanen, vinkelret på radius i Jordbanens plan, og vinkelret på Jordbanens plan (dvs. langs z aksen). Med udgangspunkt i disse dynamiske banevektorer kan vi nu definere Jorden som en kugle med radius 1/2, og skyggen som en kegle med toppunkt dobbelt så langt ude som Jorden (idet Jorden er halvt så stor som Solen): Det ser alt i alt således ud, hvor koordinatsystemet er udvidet til at løbe fra 6 til 6 i alle tre retninger, for at skyggen kan slutte indenfor scenen. Tilsvarende har vi zoomet maksimalt ind på scenen. Det er nemmest at aktiverer skyderen og derefter holde pil op tasten nede for at sende Jorden rundt om Solen lige så stille! Her ser vi Jordens placering efter et forløb på 594 dage: 25
27 Månen skal nu i spil. Den får en radius på ¼ (det halve af Jordens radius) og en baneradius på 1 (lidt tættere på Jorden end på Solen). Vi lader månen løbe en gang rundt om Jorden på 30 dage (en måned). Samtidigt lader vi månens bane hælde i forhold til Jordens bane med 45 (hvilket er vildt overdrevet, men nødvendigt, da skalaforholdene i modellen i forvejen er vildt overdrevne!): Her er k_måne, normalvektoren til Månens baneplan, der peger i x aksens retning ud fra z aksen. Månens bane er så cirklen med centrum i Jorden udspændt af vektorerne i_måne og j_måne, som står vinkelret på k_måne. Månens retningsvinkel drejer nu rundt med 360 på 30 dage. Når vi tegner månen slår vi gitteret fra og gør den uigennemsigtig. Sender vi nu månen rundt om Jorden kan vi se at den sommetider går oven over Jordens skygge og sommetider under Jordens skygge (specielt når vi krydser x aksen). Men når vi krydser y aksen, så passerer den lige igennem Jordens skygge, hvorfor vi får måneformørkelse! På billedet ser vi Månen på vej ind i Jordens skygge, hvorfor vi er ved at udvikle en (delvis) måneformørkelse. 26
28 Endelig vil vi prøve at tilføje Månens skygge, som en primitiv keglemodel. Da Solens radius er fire gange så stor som Månens radius, skal keglens toppunkt ligge i ¼ af afstanden fra Solen til Månen. Vi fanger den derfor med følgende kommandoer: 27
29 Sommetider går Månens skygge oven over Jorden, somme tider går den under Jorden, men når vi passerer forbi y aksen rammer den lige netop eller i det mindste meget tæt på Jorden. Dem der står i Månens skygge vil da opleve en solformørkelse! Til slut kan vi tilføje skæringslinjen mellem Jordens baneplan (x y planet) og Månens baneplan, der hælder 45 i forhold til z aksen i x aksens retning. Skæringslinjen vil altså netop ligge i retning af y aksen. For at kunne se en solformørkelse skal Månen passere foran Jorden i nærheden af x y planen, dvs. når Jorden står i nærheden af y aksen (dragepunkterne eller knudepunkterne). Her ses en situation, hvor månens skygge klart rammer over Jorden. 28
Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri
Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri Indholdsfortegnelse: Geo3d: En hjælpepakke til 3 dimensional geometri side 1 Eksempel 1: Udfoldning af en terning side 2 Eksempel 2: Hyperkuben side
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereDynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling
Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereDe 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298
Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereAnimationer med TI-Nspire CAS
Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereProjekt 4.8. Kerners henfald (Excel)
Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs merehttps://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf
Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens
Læs mereAreal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO
Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereRUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83
RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs merekilogram (kg) passer isometrisk liter veje kvadratmeter kasse
i tredje 3 i anden kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) efter bagved foran placering beholder fylde passer ben sds bredde deci centi tiendedel isometrisk centicube stoksforhold prikpar længere
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereVelkommen til 2. omgang af IT for let øvede
Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede I dag Hjemmeopgave 1 Næste hjemmeopgave Eventuelt vinduer igen Mapper og filer på USB-stik Vi skal hertil grundet opgave 2 Internet Pause (og det bliver nok
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereVIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre
Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med
Læs mereMatematik Eksamensprojekt
Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende
Læs merePartikelbevægelser i magnetfelter
Da fusion skal foregå ved en meget høj temperatur, 100 millioner grader, så der kan foregå en selvforsynende fusion, kræves der en metode til indeslutning af plasmaet, idet de materialer vi kender med
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereManual til skinnelayoutprogram
Manual til skinnelayoutprogram Version 1.1 13. marts 2005 Skinnelayoutmanual af 13. marts 2005, version 1.1 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Oversigt over startbillede... 3 3 Menulinie... 4
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.129 Side 1
Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på
Læs mereWebGIS. Zoom. Klik på knappen Startside (skift øst/vest) hvis du vil se kommuner i den anden landsdel. September 2014
WebGIS September 2014 WebGIS er en webside, der viser HMN Naturgas gasledninger. Private kan se hvor gas stikledningen ligger på deres egen grund. Visse samarbejdspartnere har fået lidt udvidet adgang
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereProgrammering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C
Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion
Læs mereProjekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er
Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er I kapitel 1 så vi netop på, hvordan man geometrisk kan modellere regnbuen. Vi fik også et indtryk af, at regnbuen faktisk først rigtig blev
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereOprettelse af Aktivitet
Oprettelse af Aktivitet 1. Fra Organizerens forside Kalender vælges og det ønskede tidspunkt for aktiviteten. 2. Nu dukker formen frem som aktiviteten bliver oprettet med. Formen har som udgangspunkt 3
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereManual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Læs merePladeudfoldning, Kanaler
2009 Pladeudfoldning Kanaler Teoretisk gennemgang af de grundlæggende færdigheder inden for Pladeudfoldning, Kanaler Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2
Læs mereStart med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold.
Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Her ses da alle sider og undersider som siden fodbold indeholder. Nu kan du gå i gang med f.eks. at tilføje nye sider. Klik
Læs mereÆldresagen datastue Aktivitetsteltscentret Bavnehøj Nørre Snede Tema: Internettet på ipad. Tema. Internettet. på ipad Opdateret 29.
n Tema Internettet på ipad Opdateret 29. marts 2016 Sofus Opdateret d. 29. marts 2016 Side 1 Indhold Side 3 Side 4 Side 5 Side 6 Side 7-8 Side 9 Side 10 Side 11 Side 12 Side 13 Side 14 Side 15 Side 16
Læs mereRumlige figurer. SO-projekt Matematik og Programmering klasse 3.4 Vejledere: Karl og Jørn. Af: Asger, Christian og Kalle
Rumlige figurer SO-projekt Matematik og Programmering klasse 3.4 Vejledere: Karl og Jørn. Af: Asger, Christian og Kalle Udleveret: 10.09.12 Afleveres: 08.10.12 0. Indholdsfortegnelse 0. INDHOLDSFORTEGNELSE...
Læs mereAnimationer og Websider med TI-Nspire CAS
Animationer og Websider med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 3.1 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Revideret november 2011 69 Indholdsfortegnelse: Animationer
Læs mereVektorregning. Vektorer som lister
10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereSådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD)
Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Hvor finder jeg ServiceDesk?...2 Fanebladet Start Startside...3 Hvordan opretter jeg en ny opgave?...4 Hvordan laver jeg et skærmdump og får lagt det ind i min
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereKonfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33
Konfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33 Genezaret sø er ikke større, end at man i klart dagslys kan se til land, ligegyldigt hvor man er på søen. Rundt om søen er der
Læs mereModellering med Lego EV3 klodsen
Modellering med Lego EV3 klodsen - Et undervisningsforløb i Lego Mindstorm med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg EV3 - et modelleringsprojekt i matematik
Læs mereGeometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -
2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereManual til de lokale webredaktører
Skolelederne.org marts 2007 Manual til de lokale webredaktører Nedenstående er en kort udgave af manualen til hjemmeside systemet Webupdate 5 med enkelte personlige erfaringskommentarer.. Mvh Søren Thomsen.
Læs merematematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1
33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er
Læs mereSådan træner du, når du er blevet opereret for hoftebrud
Sådan træner du, når du er blevet opereret for hoftebrud Du er blevet opereret for hoftebrud. Det er afgørende for resultatet af operationen, at du hurtigt kommer i gang med genoptræningen, så du får en
Læs mereDette er et godt forløb til den tidlige billedkunstundervisning, da eleverne skal beskæftige sig med grundlæggende male-
3. årgang 1-2 lektioner Læringsmål aglighed: Mulighed for tværf matematik Maleri og collage: Eleven kan anvende farvernes virkemidler til at skabe en bestemt stemning, og eleven har viden om farvelære.
Læs mereTrigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereProjekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire
Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas... 2 1.2. Åben en geometriapplikation... 2 1.2. Klik-Flyt-Klik... 2 Eksempel: Tegn en cirkel...
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereDGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN. Vendeleg. Fire stationer NANO BASKET NANO BASKET. Deltagere Alle.
Nr.10328 Nr.10327 Alder: 3-6 år - Tid: 20 min. Vendeleg Fire stationer - Dribl 10 gange med højre og 10 gange med venstre. Alle. Leg og løb. A4 ark med en stjerne på, kegler eller andet der kan væltes
Læs mereDokumentation. Udbyder : sms1919.dk Service : sms-dialog Version : v1.01
Dokumentation Udbyder : sms1919.dk Service : sms-dialog Version : v1.01 Indholdsfortegnelse Versionshistorik... 3 Konceptet... 4 Oprettelse af konto... 5 Via sms1919.dk... 5 E-mailinterface... 5 Redigering
Læs mereFå helt styr på NemID WWW.KOMPUTER.DK
KOMPUTER FOR ALLE Få helt styr på Gå på netbank og borgerservice med Her viser vi, hvordan du bestiller og bruger, så du kan bruge netbank og de mange offentlige internettjenester. Når du vil logge på
Læs mereRumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor
Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereFå mere synlighed! Vejledningshæfte
Få mere synlighed! Vejledningshæfte Vejledning Sådan kommer dit arrangement på OplevRudersdal.dk Dit arrangement kommer nemt og enkelt på www.oplevrudersdal.dk ved at du opretter dit arrangement på hjemmesiden.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mere8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:
8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse
Læs mereIndholdsfortegnelse: Hvad hedder det forskellige på sitet? Forsiden Servicemenu. Manual Skive Kommune Umbraco subsite
Manual Skive Kommune Umbraco subsite Du logger ind i Umbraco via adressen: subsite.skive.netmester.dk/umbraco uden at skrive https:// http:// eller www. foran. Indholdsfortegnelse: Hvad hedder det forskellige
Læs mereFÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS
FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN Få overblik over lønnen Excel for tillidsrepræsentanter Del 4: Formatering af regnearket Trin 8: Justér visningen af tallene Nu er vi færdige med selve tal-beregningerne i Excel.
Læs mereSådan træner du, når du har fået et kunstigt
Sådan træner du, når du har fået et kunstigt hofteled En afgørende forudsætning for et godt resultat efter operationen er den efterfølgende indsats med træningen. Træning er ikke kun, når du træner med
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs mereIkke-lineære funktioner
I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereBrøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent
Læs merePotens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder
Læs mereBrugerguide til Wuxus - For dig som er chauffør.
Brugerguide til Wuxus - For dig som er chauffør. Log ind Trin 1 - Log ind Trin 2 - Start dagen Opgaver Accepter / Afvis opgave Scanner Lasteoversigt Slut dag Accepter / Afvis opgave Denne guide hjælper
Læs mereVejledning til ledelsestilsyn
Vejledning til ledelsestilsyn Ledelsestilsynet er et væsentligt element i den lokale opfølgning og kan, hvis det tilrettelægges med fokus derpå, være et redskab til at sikre og udvikle kvaliteten i sagsbehandlingen.
Læs mereÅrsafslutning i SummaSummarum 4
Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereOversigt over ikoner.
. I det følgende afsnit beskrives programmets ikoner. Et ikon igangsætter en funktion. Den samme funktion kan ofte også igangsættes via en menu. En funktion kan f.eks. være Zoom. Tegn. Udskriv osv. Det
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereHvis du har den i mappen i forvejen skal du ikke hente den en gang til. Nu skal baggrundsbilledet laves, så tryk på NY på ikonen foroven.
Side 1 Denne collage er lidt anderledes end den forrige. Her skal der bruges et baggrundsmønster som udfylder hele siden, og vi bruger andre foto. Det lille baggrundsbillede er en.gif fil som du kan hente
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereIndsættelse af kunstigt skulderled (Øvelsesprogram)
Indsættelse af kunstigt skulderled (Øvelsesprogram) Du får en indkaldelse fra Terapiafdelingen på sygehuset til undersøgelse og øvelsesinstruktion ca. 14 dage efter din operation. Der vil vi udarbejde
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereIndsend dit dagpenge- eller efterlønskort via web a- kassen på www.foa.dk
Indsend dit dagpenge- eller efterlønskort via web a- kassen på www.foa.dk Indhold 1. Log på vores hjemmeside 2. Sådan finder dagpengekort, efterlønskort og øvrige blanketter 3. Bekræft dine kontaktoplysninger
Læs merei tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne
median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel
Læs mereAnnemette Søgaard Hansen/www.dinwebvejleder.dk
Google Docs Præsentationer Indholdsfortegnelse Værktøjer... Side 3 Menuer... Side 8 Opgave... Side 13 Få adgang til filerne fra din computer... Side 21 Vejledende løsning... Side 22 GoogleDocs Præsentationer
Læs mere7. Rumgeometri med Derive
7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg
Læs mere