Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri
|
|
- Torben Pedersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri Indholdsfortegnelse: Geo3d: En hjælpepakke til 3 dimensional geometri side 1 Eksempel 1: Udfoldning af en terning side 2 Eksempel 2: Hyperkuben side 10 Eksempel 3: Pythagoras sætning i rummet (og videre!) side 18 Eksempel 4: Jorden, Solen og månen side 26 Bjørn Felsager August 2012
2 Geo3d: En hjælpepakke til 3 dimensional geometri Hvis man vil arbejde med animationer i 3d er det vigtigt at have rådighed over 3d kommandoer til at tegne simple figurer i rummet. Den følgende note forudsætter derfor at man har gemt filen geo3d i mappen MitBibl eller MyLib (afhængig af hvordan programmet blev installeret oprindeligt). Du finder disse mapper i TI Nspire mappen under Dokumenter. Når mappen er installeret får du adgang til bibliotekskommandoerne via dokumentværktøjslinjen. Til hver af kommandoerne er der en kort hjælpetekst, der angiver syntaksen, fx Angle2f(A,B,C,D): Angle betw. ABC and ABD Skal vi finde vinklen mellem to flader skal vi altså angive fire punkter A, B, C og D, hvor de to første punkter A og B fastlægger den fælles kant og de to sidste punkter C og D fastlægger de to sideflader ud fra kanten. Læg mærke til at der er flere vinkelkommandoer Angle2f Angle2v Angle3p (Angle between two faces) (Angle between two vectors) (Angle between three points) afhængigt af om man vil finde vinklen mellem 2 flader, 2 vektorer eller tre punkter (med det midterste punkt som toppunkt). I en lang række kommandoer antyder en afsluttende kode derfor hvilke argumenter man skal bruge til kommandoen. Men man kan i tvivlstilfælde som vist altid slå syntaksen op. Læg også mærke til at nogle af kommandoerne ender på tal, fx Dot53 og Dot54 Det er et signal om at figuren kun vil blive vist korrekt, hvis gitterinddelingerne under attributter sættes til de anførte værdier. Men mere om dette senere! Du kan også finde en kortfattet emneopdelt oversigt over alle kommandoerne i et lille hæfte Hjælpetekst til visuel rumgeometri med TI Nspire CAS version 3_2 Der er fire typer af kommandoer: Figurer, Målinger, Transformationer og Konstruktioner. Hver af dem svarer til menuerne i et egentligt 3dimensionalt tegneprogram. Det er ikke alle typer figurer, der egner sig til at tegne ud fra parameterfremstillinger, men det er forbløffende mange, der gør det. Den følgende tabel viser en oversigt over alle de tilgængelige kommandoer i geo3d: 1
3 Figurer Punkter: Dot, Dot53, Dot54 Linjer & Kurver: Arc3p, ArcC2p Edge Line2p, Linepv Ray2p, Raypv XYZpath4 Tail, Head (Vektorer) Flader: Face22 (Trekanter, firkanter) Parp2v (Parallelogrammer) Plane3p, Plane2v, Planepn Halfplane3p, Halfplanep2v Disc3p, Sector3p Sphere, Sphere4p Cone, Cylinder, Torus Polyedre: Tetra43, Pyra54, Pyradx53 Box54, Boxdx54, Parp3v54 XYZBox54 Regulære polyedre: CubeC2p54, Cube3p54 RegOctaC2p53, RegOcta3p53 RegTetraC2p43, RegTetra3p43 Målinger Afstande, Længder: Dist, Dist2l, Distpf, DistPl, Distpα Len (Vektor) Vinkler: Angle2f, Angle2v, Angle3p Arealer: Area2v, Area3p, Area4p Rumfang: Vol3v, Vol4p Koordinater: Coord Centre4p Ligninger: EqPlane3p, EqPlanePn EqSphere4p, EqSphereCr Transformationer Parallelforskydning: Translation Spejling: Reflection Drejning: Rotation Multiplikation: Dilation Punktspejling Symmetry Linjespejling: Halfturn Konstruktioner Midtnormalplan: Bisector Vinkelhalveringshalvplan: Anglebisector2f Anglebisector3p Eksempel 1: Udfoldning af en terning Men lad os nu prøve at gå i gang med et simpelt eksempel: En udfoldning af en terning. VI skal da have samlet seks kvadrater til en terning. Vi starter med grundfladen, som vi forestiller os har hjørnepunkterne O = ( 1, 1,0), P = (1, 1,0), Q = (1,1,0) og R = ( 1,1,0). Vi skriver derfor disse fire punkter ind i et notefelt og husker at alle punkters og vektorers koordinater skal indtastes med krøllede parenteser, dvs. på listeform. Det vil gøre senere indtastninger meget nemmere at håndtere! Med udgangspunkt i disse fire hjørnepunkter kan vi så frembringe grundfladen, som vi vil kalde face0. Det gøres med kommandoen til at tegne firkanter, dvs. face22 kommandoen, der som argumenter har de fire punkter i den rigtige rækkefølge: Ellers tegnes firkanten som en firkant, der krydser ind over sig selv! Læg mærke til at grundfladen er anført ved sin parameterfremstilling, der indeholder parametrene t og u. Du behøver ikke forstå parameterfremstillingen for at bruge den! Du åbner nu et 3d grafer værksted (dvs. et Grafer værksted, hvor du under vis menuen vælger 3dgraftegning). Derefter skifter du graftype til Parameterfremstilling (fx ved at højreklikke i indtastningslinjen) og du er klar til at indtaste parameterfremstillingen for grundfladen, så vi kan få den at se: 2
4 Førstekoordinaten xp1 indtastes som face0[1], andenkoordinaten som face0[2] og tredjekoordinaten som face0[3] idet du husker kantede parenteser til at angive de enkelte koordinater. Ved at referere til navnet for figuren sikrer vi interaktiviteten. Ændrer du senere en af koordinaterne til hjørnepunkterne O, P, Q eller R, så opdateres figuren automatisk! I første omgang dukker kvadratet op som et lille kvadrat med et gitternet. Men det skyldes at vi ikke har justeret antallet af gitterpunkter til 2 henholdsvis 2, som vist i kommandoens navn: face22. Ligeså snart attributterne kommer på plads, så vises figuren som et blåt kvadrat i x y planen. Du får adgang til at indstille attributterne ved at højreklikke på kvadratet (eller ved at åbne indtastningslinjen igen og højreklikke i parameterfremstillingen). Dermed er grundfladen face0 lagt fast! 3
5 Vi skal så have lagt de fire sideflader ud ved siden af grundfladen. Det sker ved hjælp af parallelforskydninger. VI skal derfor også have fat i sidevektorerne, jfr. det følgende diagram frembragt i 2d Graferværkstedet: Vi indfører derfor sidevektorerne a= OP, b= PQ, c= QR, d= RO. Derefter forskydes grundfladen som vist til de fire sideflader face1, face2, face3 og face4: 4
6 Parameterfremstillingerne overføres til 3d grafrummets indtastningslinje og attributterne indstilles til 2 og 2, præcist som for grundfladen: Nu er vi så klar til første fase i animationen: Vi skal have drejet sidefladerne, så de vipper op og lukker terningen på de fire sider. Men det kan vi jo klare ved at indføre en skyder θ for drejningsvinklen. Vi beslutter os for at den skal angive gradtallet, men husker at værkstedet som udgangspunkt regner i radianer. Vi kunne skifte indstillinger, men vælger i stedet at omsætte gradtallet til et radiantal ved at gange med 1. Skyderen indføres som altid i grafiske værksteder under menuen Handlinger. Vi ændrer steplængden i skyderen til 1 og sætter den lodret ude til venstre i 3d grafrummet. Skyderen er endnu ikke aktiveret via kommandoerne til at tegne sidefladerne, så i første omgang sker der ikke noget. 5
7 Vi skal nu have drejet sidefladen face1 omkring linjen gennem PQ, dvs. med ankerpunkt P og retningsvektor b. Lægger vi højre hånd med tommelfingeren langs vektor b kan vi se at fingrene peger ned i planen, dvs. umiddelbart drejer vi sidefladen nedad mod den negative z akse. Vi skifter derfor fortegn på drejningsvinklen: Læg mærke til hvordan vi kombinerer translation and rotation kommandoerne: 6
8 Det satte gang i drejningerne, så sidefladerne nu vipper op lige så nydeligt, når man trækker i skyderen. Vi mangler så kun topfalden. Den er lidt mere tricket! Vi kan sætte den i forlængelse af sidefladen face1 (langs den positive x akse). I første omgang er den så bare en parallelforskydning af sidefladen face1. I anden omgang skal den også drejes med den samme vinkel i forhold til face1. Men sidefladen face 1 ligger nu skævt i rummet, så vi skal have fat i drejede vektor a for at kunne gennemføre forskydningen. Men transformationer af vektorer er lidt trickede. Det sikreste er at transformere start og slutpunkt hver for sig! Startpunktet P ligger fast, men slutpunktet er parallelforskydningen efterfulgt af drejningen af P: Læg mærke til at vi parallelforskyder langs vektoren ta men at vi stadigvæk drejer omkring vektoren b! 7
9 8
10 Undervejs har vi altså brugt de følgende kendsgerninger om transformationer af vektorer: Parallelforskydninger: Vektorerne er uforandrede Drejninger: Vektorer, der står vinkelret på drejningsaksen, drejer med. Vektorer, der er parallelle med drejningsaksen er uforandrede. Til slut en bemærkning om det anvendte perspektiv: Der anvendes centralperspektiv. Det kan vi se når vi kigger ned på terningen direkte langs z aksen ned på x y planen: Når terningen er udfoldet ser den ud som om den var tegnet i et 2 dimensionalt tegneprogram: Men når terningen er foldet sammen ser vi to kvadrater, bundfladen og topfladen, der er forbundne med trapezer: 9
11 For at tydeliggøre effekten har jeg zoomet ind på terningen. Topfladen er tættere på øjepunktet og synes derfor større. Eksempel 2: Hyperkuben Hvis det nu var en 4 dimensional terning kunne vi på samme måde udfolde den i et tredimensionalt rum. Den fire dimensionale terning hviler da på et tredimensionalt basisrum cube0, som er en almindelig terning. Den er omgivet af seks siderum, cube1, cube2,, cube6, der også er almindelige terninger. Endelig skal hyperkuben lukkes af et toprum, cube7, der ligesom i det forrige tilfælde kan hægtes på et vilkårligt af siderummene. Vi starter med at indskrive hjørnepunkterne for basisrummet cube0: Her skal vi passe på ikke at involvere paramterne t og u, så vi kalder de 8 hjørnepunkter for O 1,P 1,Q 1,R 1 og O 2,P 2,Q 2, R 2. Vi kunne så tegne terningen som en kasse med kommandoen box54, men da det er en terning og ikke en skæv kasse kan vi ligeså godt bruge terningekommandoen cube3p54. Den tager tre punkter som argumenter: De to første er hjørnepunkter, det tredje er et hjælpepunkt, der fastlægger planet og retningen for hvor man 10
12 finder det tredje hjørnepunkt. Kender man det tredje hjørnepunkt er det nemmest simpelthen at anføre dette punkt: Igen skal vi huske at gitterinddelingerne skal indstilles til 5 og 4 for at vi rent faktisk får terningen at se: 11
13 Derefter får vi brug for seks forskydningsvektorer, hvor hver anden vektor er modsat, så vi kan nøjes med at definere tre: Vi mangler nu kun toprummet, der traditionelt placeres i bunden af det tredimensionale rum, dvs. ned af z aksen, hvorfor vi skal parallelforskyde med vektoren 2c. 12
14 Vi har udvidet scenen lidt, da den sidste terning ellers rammer bunden af scenen og derfor mangler sin sidste flade! Ovenstående er altså et billede af en udfoldet hyperterning i det tredimensionale rum. Den er bl.a. kendt fra Dalis billede: Christus Hypercubcus, som man nemt kan Google sig frem til, inklusive animationer på Youtube. Vi kan også undersøge hvordan en hyperterning ser ud i firedimensionalt perspektiv, når den projiceres ind på et tredimensionalt lærred. I stedet for et kvadrat indesluttet i et kvadrat fås da en terning indesluttet i en terning. Udgangspunktet er igen basisrummet cube0, der allerede ligger i det tredimensionale lærred. Da topprummet ligger tættere på øjepunktet i det firedimensionale rum, ganger vi basisrummet op med en multiplikation på 1.5 ud fra Origo, dvs. {0,0,0}: 13
15 Læg mærke til at vi har slukket for feltet, dvs. scenen, og ændret grænserne for akserne til at gå fra 2 til 2 i alle tre retninger. VI har også sat transparensen op til 75 for begge terninger, basisrummet (inderst) og toprummet (yderst) for bedre at kunne se strukturen. De øvrige seks siderum forbinder nu den inderste terning, basisrummet, med den yderste terning, topprummet, i form af afskårne pyramider, der tegnes som kasser med box54 kommandoen. Først skal vi have fat i hjørnepunkterne for toprummet: Derefter skal vi forbinde den inderste terning, basisrummet, med den yderste terning, toprummet. Her gælder det om at holde tungen lige i munden. Alle siderummene tegnes med transparens 75 (ligesom basisrummet og toprummet): 14
16 Resultatet er en hyperterning tegnet i sandt 4 dimensionalt perspektiv på et 3 dimensionalt lærred! Det er nemmest at få en fornemmelse for strukturen ved at dreje figuren på skærmen, så man kan se den fra forskellige vinkler, samtidigt med at figuren er i bevægelse! Hyperterningen er kompliceret med sin opbygning af 8 rum, der deler et utal af sideflader. Man kan roligt skjule såvel den inderste terning som den yderste terning, når først siderummene er på plads. Både den yderste terning og den inderste terning fremstår indirekte, fordi alle flader og kanter leveres af siderummene: 15
17 Den danske arkitekt Spreckelsen fik nu yderligere den ide at slukke for to af siderummene, så man kunne se tværs igennem projektionen af hyperkuben. Derved skabte han formen på den nye triumfbue i Paris, som du kan se glimrende billeder af på internettet! Vi fjerner siderummene langs x aksen, dvs. cube1 og cube4: Der er desværre en del interferens fra dobbeltfladerne, så farvelægningen er ikke helt konsistent. I den rigtige triumfbue er der nu en elevator ca. 2/3 til siden midtvejs inde i triumfbuen, der løfter besøgende fra gulvet op til loftet (en strækning på ca. 100 m). Vi kan modellere den med en tynd cylinder, tårn, der rækker fra bund til loft og kun vises som et gitter, med en endnu mindre cylinder, box, hvor gitteret er fjernet, der illuderer elevator og som kan bevæges med en lodret skyder, der går fra 1 til 100: 16
18 17
19 Eksempel 3: Pythagoras sætning i rummet (og videre!) Vi går ud fra Pythagoras sætning i planen, som vi tolker på følgende måde: Hvis man først går stykket a og derefter vinkelret derpå går stykket b, så vil man i alt have fjernet sig afstanden c fra udgangspunktet, hvor c = a + b. En anden traditionel tolkning er at c svarer til diagonalen i et rektangel med siderne a og b. I rummet hedder den tilsvarende sætning følgende: Pythagoras sætning i rummet: Hvis man først går stykket a og derefter vinkelret derpå går stykket b og derefter vinkelret på de foregående stykker går stykket c, så vil man i alt have fjernet sig afstanden d fra udgangspunktet, hvor d = a + b + c. En anden traditionel tolkning er at d svarer til diagonalen i en retvinklet kasse med siderne a, b og c. Det er nemmest at illustrere, hvis vi først går stykket a langs x aksen, derefter stykket b langs y aksen og tilslut stykket c langs z aksen. Så overholder vi netop kravene om at vi hele tiden går vinkelret på alle de foregående stykker. Vi opretter derfor skydere med heltalsværdierne a, b og c, der går fra 0 til 10, skjuler koordinatakserne og sætter koordinaterne til at gå fra 1 til 10. Derefter tegner vi stien med de vinkelrette knæk ved hjælp af kommandoen XYZpath4 (hvor vi husker at sætte de første gitterinddelinger til 4!) og den direkte sti med kommandoen edge: 18
20 Der kommer mere rumlig struktur, hvis vi også tegner den retvinklede kasse. Det sker med kommandoen XYZBox54: For at tydeliggøre stien kan vi nu sætte vektorpile på med kommandoen head. Den sidste skaleringsparameter fortæller hvor stor en brøkdel pilespidsen udgør af vektorens længde. Hvis vi vil have en fast længde skal den altså udregnes dynamisk, her har vi sat den faste længde af pilespidsen til 1, hvorfor skalaparameteren er den reciprokke længde: 19
21 Scenen er nu sat og vi skal bare have illustreret ideen bag beviset! VI ser da først på det første knæk i grundfladen der udspænder en retvinklet trekant, som vi kan tegne med kommandoen face22. For at tydeliggøre den retvinklede trekant i grundfladen kan man slukke for fladerne i kassen: Erstatter vi nu det første knæk med diagonalen i grundfalden (hypotenusen i den retvinklede trekant) ser vi at diagonalen i grundfladen og diagonalen i kassen udspænder en ny retvinklet trekant: 20
22 Det er disse to trekanter, der er kernen i beviset! Tager vi et skærmbillede og indsætter det i et Geometri værksted kan vi sætte betegnelser på: Men fra de to retvinklede trekanter fås da netop: c1 = a + b d = c1 + c Indsættes det første udtryk for kvadratet på c 1 i den anden ligning fås netop Pythagoras sætning i rummet: d = ( a + b ) + c
23 Men der er mere at hente i figuren: Den lodrette retvinklede trekant kan nemlig drejes omkring diagonalen i grundfladen, så trekantsfiguren foldes ud og bliver plan: 22
24 Drejer vi nu rummet, så vi ser direkte ned på XY planen, dvs. grundfladen, ser vi altså en 2 dimensional udfoldning af den retvinklede sti: De to retvinklede trekanter ligger altså i forlængelse af hinanden, så snart vi har udfoldet figuren. VI har altså reduceret figuren til 2 dimensioner: Beviset kører på fuldstændigt samme måde som før, så hvad er det nye? Det nye er at udfoldningen fortsætter op igennem dimensionerne: Hvis vi foretager et nyt knæk ud i fjerde dimension kan vi også danne en ny retvinklet trekant, der kan foldes ned i tre dimensioner, hvorefter hele trekantsfiiguren kan foldes ned i to dimensioner: 23
25 Men fra kæden bestående af de tre retvinklede trekanter fås da netop: c1 = a + b d1 = c1 + c e = d + d Indsættes det første udtryk for kvadratet på c 1 i den anden ligning, og dernæst den anden ligning i den tredje fås netop Pythagoras sætning i det firedimensionale rum: Der gælder altså: (( ) ) e = a + b + c + d Pythagoras sætning i det firedimensionale rum: Hvis man først går stykket a og derefter vinkelret derpå går stykket b og derefter vinkelret på de to foregående stykker går stykket c og derefter vinkelret på de tre foregående stykker går stykket d, så vil man i alt have fjernet sig afstanden e fra udgangspunktet, hvor e = a + b + c + d Og sådan fortsætter det naturligvis med længere og længere kæder af retvinklede trekanter når man udfolder figuren i de højere dimensionale rum. Pythagoras sætning gælder altså i alle dimensioner. Det er selvfølgelig ikke så nemt at forestille sig og det er heller ikke helt nemt at illustrere. Men vi kan godt illustrere projektionen af en firedimensional kasse på et tredimensionalt lærred! Den nye sidevektor, der i fire dimensioner står vinkelret på vores tredimensionale rum, projiceres vi ind på vektoren d = ( 2, 2,2). Herefter parallelforskydes hele basisrummet langs vektoren d. Resultatet af forskydningen er projektionen af toprummet hørende til den firedimensionale kasse. Strengt taget skulle vi nu forbinde alle de korresponderende hjørner for at frembringe det samlede netværk af kanter hørende til projektionen af den firedimensionale kasse. Men strukturen skulle være rimelig nok også uden siderummene: 24
26 Endelig kan vi tilføje projektionen af den manglende retvinklede trekant: 25
27 Eksempel 4: Jorden, Solen og månen Vi ser nu på en helt anden slags eksempel, idet vi vil modellere Jordens bane rundt om Solen efterfulgt af månens bane rundt om Jorden, for her i gennem at kaste lys over sol og måneformørkelser. I det følgende vil vi nedtone transformationer, til fordel for simple parameterfremstillinger for cirkler. Men koordinatligningerne kan om nødvendigt frembringes ved hjælp af transformationer ligesom i de foregående eksempler. Solen er den simpleste idet der blot er tale om en kugle med centrum i (0,0,0) og radius 1, som vi farver gul på lysegrå baggrund. Når vi tegner solen slår vi gitteret fra og gør den uigennemsigtig. Jorden er lidt mere indviklet. Først skal vi have fastlagt dens bane som en cirkel med centrum i (0,0,0) og radius 1. Læg mærke til hvor simpel parameterfremstillingen er: Så skal vi have fastlagt en skyder for variablen tid, som vi lader løbe op til 12 år og derfor lader løbe fra 0 til i trin af 1. Vi sætter skyderen lodret. Endelig skal vi have fastlagt Jordens form og dens skygge (som vi modellerer lidt primitivt): tid Til tiden tid er retningsvinklen for Jorden givet ved θ = 2π. Med udgangspunkt i retningsvinklen kan vi definere 3 enhedsvektorer i, j og k, der peger i retningen for radius i Jordbanen, vinkelret på radius i Jordbanens plan, og vinkelret på Jordbanens plan (dvs. langs z aksen). Med udgangspunkt i disse dynamiske banevektorer kan vi nu definere Jorden som en kugle med radius 1/2, og skyggen som en kegle med toppunkt dobbelt så langt ude som Jorden (idet Jorden er halvt så stor som Solen): Det ser alt i alt således ud, hvor koordinatsystemet er udvidet til at løbe fra 6 til 6 i alle tre retninger, for at skyggen kan slutte indenfor scenen. Tilsvarende har vi zoomet maksimalt ind på scenen. Det er nemmest at aktiverer skyderen og derefter holde pil op tasten nede for at sende Jorden rundt om Solen lige så stille! Her ser vi Jordens placering efter et forløb på 250 dage: 26
28 Månen skal nu i spil. Den får en radius på ¼ (det halve af Jordens radius) og en baneradius på 1 (lidt tættere på Jorden end på Solen). Vi lader månen løbe en gang rundt om Jorden på 30 dage (e n måned). Samtidigt lader vi månens bane hælde i forhold til Jordens bane med 45 (hvilket er vildt overdrevet, men nødvendigt, da skalaforholdene i modellen i forvejen er vildt overdrevne!): Her er k_moon, normalvektoren til Månens baneplan, der peger i x aksens retning ud fra z aksen. Månens bane er så cirklen med centrum i Jorden udspændt af vektorerne i_moon og j_moon, som står vinkelret på k_moon. Månens retningsvinkel drejer nu gange så hurtigt rundt som Jordens retningsvinkel. Når vi tegner månen slår vi gitteret fra og gør den uigennemsigtig. Sender vi nu månen rundt om Jorden kan vi se at den sommetider går oven over Jordens skygge og sommetider under Jordens skygge (specielt når vi krydser x aksen). Men når vi krydser y aksen, så passerer den lige igennem Jordens skygge, hvorfor vi får måneformørkelse! På billedet ser vi Månen på vej ind i Jordens skygge, hvorfor vi er ved at udvikle en måneformørkelse. 27
29 Endelig vil vi prøve at tilføje Månens skygge, som en primitiv keglemodel. Da Solens radius er fire gange så stor som Månens radius, skal keglens toppunkt ligge i ¼ af afstanden fra Solen til Månen. Vi fanger den derfor med følgende kommandoer: 28
30 Sommetider går Månens skygge oven over Jorden, somme tider går den under Jorden, men når vi passerer forbi y aksen rammer den lige netop eller i det mindste meget tæt på Jorden. Dem der står i Månens skygge vil da opleve en solformørkelse! Til slut kan vi tilføje skæringslinjen mellem Jordens baneplan (x y planet) og Månens baneplan, der hælder 45 i forhold til z aksen i x aksens retning. Skæringslinjen vil altså netop ligge i retning af y aksen. For at kunne se en solformørkelse skal Månen passere foran Jorden i nærheden af x y planen, dvs. når Jorden står i nærheden af y aksen (dragepunkterne eller knudepunkterne). Her ses en situation, hvor månens skygge klart rammer over Jorden. 29
Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri
Animationer med TI Nspire CAS i tredimensional geometri Indholdsfortegnelse: PS (Peep Show): En hjælpepakke til 3 dimensional geometri side 1 Eksempel 1: Udfoldning af en terning side 2 Eksempel 2: Hyperkuben
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs mereAnimationer med TI-Nspire CAS
Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereVektorregning. Vektorer som lister
10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning
Læs mereAnimationer og Websider med TI-Nspire CAS
Animationer og Websider med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 3.1 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Revideret november 2011 69 Indholdsfortegnelse: Animationer
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mere7. Rumgeometri med Derive
7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereBacheloruddannelsen 1. år E15
Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereDENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.
Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en
Læs mereLinjespillet. Figurer. Format6. Nr. 18. Kopiark til elevbog side 16
Nr. 18 Linjespillet Farv højde Farv linje Farv linjestykke Farv halvlinje Farv en parallel linje Farv en vinkelret linje Par- eller gruppeaktivitet. Kast på skift en 6-sidet terning. Vælg en farve hver.
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereGeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)
Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereKom-i-gang vejledning opmålingsprogram
Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram Billedprislisten Udarbejdet af EG Byg & Installation den 12. marts 2010 Opdateret den 18. februar 2011 Indholdsfortegnelse 1 Gulve... 3 1.1 Opmåling af gulvflade...
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u
Læs mereGeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende
GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKompendium til Geogebra
Kompendium til Geogebra Hardsyssel Efterskole Matematik 8. Klasse Side 1 af 12 Kompendium til Geogebra 1. Generel præsentation af Geogebra 1.1 Download af programmet Geogebra kan gratis downloades fra
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereTrekanthøjder Figurer
Trekanthøjder D E N C B F G T I H L N S J M F K ST O T I U Q R V SK X Y 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd 24 24 /0/2 :46 M Trekanthøjder D B L F E H C G I J I L K M O R S N Y Q G Y E T U 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereProjekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!
Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereLinjer. Figurer. Format 4. Nr. 14. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 17
Linjer Nr. 14 a a Forlæng linjerne med lineal. Mål afstanden mellem de linjer, der sandsynligvis er parallelle. Farv linjer med samme farve, hvis de er parallelle. Find parallelle linjer i tegningerne,
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs merePå opdagelse i GeoGebra
På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og
Læs merei tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne
median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel
Læs mereLad os prøve GeoGebra.
Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!
Læs mereOm opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger
Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde
Læs merematematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1
33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er
Læs mereMandatfordelinger ved valg
Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN
Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret
Læs mereRumgeometri med TI-Nspire CAS 3.2: Kuglen, keglen og cylinderen
Rumgeometri med TI-Nspire CAS 3.2: Kuglen, keglen og cylinderen Indhold 1. Kuglen... 1 1.1 Parameterfremstillinger: Betydningen af parametrene t og u... 1 1.2 Kuglens attributer: Gitterinddelinger, transparens
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereMULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL
8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x
Læs mereFable Kom godt i gang
Fable Kom godt i gang Opdateret: 26-03-2018 Indholdsfortegnelse 1. Først skal du installere programmet på din computer 3 2. Når programmet er installeret er du klar til at pakke robotten ud 4 3. Nu er
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKom godt i gang med Fable-robotten
Kom godt i gang med Fable-robotten 1. Først skal du installere programmet på din computer. Gå ind på shaperobotics.com og under support vælger du download: Her vælger du, under PC App om du kører Windows
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereLineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2
Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereHvad er nyt i version 3.6?
Hvad er nyt i version 3.6? 1. Dokumentformater Den afgørende nyhed og også den mest problematiske er indførelsen af nye dokumentformater: Vi har hidtil arbejdet med et flydende dokumentformat. Når man
Læs merekilogram (kg) passer isometrisk liter veje kvadratmeter kasse
i tredje 3 i anden kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) efter bagved foran placering beholder fylde passer ben sds bredde deci centi tiendedel isometrisk centicube stoksforhold prikpar længere
Læs mereSådan gør du i GeoGebra.
Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)
Læs mereVektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!
Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse
Læs mereElevark 6: Prøv at kode en produktionsproces
Elevark 6: Prøv at kode en produktionsproces De følgende sider handler om at kode en produktionsproces i Scratch. Det minder på mange måder om den måde man koder en maskine på en virksomhed, når man sætter
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereProgrammering og geometri i scratch
side 1 Programmering og geometri i scratch scratch.mit.edu Steen Petersen spe05 side 2 Introduktion til programmering i Scratch Opret dig som bruger på scratch.mit.edu. Det er gratis, og det giver dig
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereEt kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?
Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen
Læs mereFable Kom godt i gang
Fable Kom godt i gang Vers. 1.3.1 Opdateret: 29-08-2018 Indholdsfortegnelse 1. Installer programmet 3 2. Pak robotten ud 5 3. I gang med at programmere 6 4. Programmér Fable til at køre fra 90 til -90
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for
Læs mereDifferentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender
Læs mereIntroducerende undervisningsmateriale til Geogebra
Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mere10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4
1/11/213 Avedøreværket Matematik og IT Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4 Indhold Forord... 2 Matematik... 3 a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen... 4 b) Opstil en
Læs mereRIKKE SARON PEDERSEN MICHAEL POULSEN MICHAEL WAHL ANDERSEN PETER WENG FACITLISTE TIL TRÆNINGSHÆFTE 5
RIKKE SARON PEDERSEN MICHAEL POULSEN MICHAEL WAHL ANDERSEN PETER WENG 5 FACITLISTE TIL TRÆNINGSHÆFTE 5 Kontext 5, Facitliste til træningshæfte Samhørende titler: KonteXt 5 Kernebog KonteXt 5 Kopimappe
Læs mere1. Graftegning i Derive
1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereVelkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion)
Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Når du åbner for TI-Nspire CAS i en standardopsætning ser brugerfladen således ud (hvis ikke, så vælg Dialogboks > Indlæs standardområdet): I midterpanelet
Læs mereEt kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?
Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel 2 " #. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereBasisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.
Tal og algebra Abacus Dette program er en elektronisk udgave af en kugleramme. Man kan flytte en kugle eller en gruppe af kugler ved at klikke på en af kuglerne. Hvis man klikker på Nulstil, vender alle
Læs mereProjekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire
Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas... 2 1.2. Åben en geometriapplikation... 2 1.2. Klik-Flyt-Klik... 2 Eksempel: Tegn en cirkel...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Kruses Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela N.
Læs mere