(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ"

Transkript

1 (UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (QQRWHRPOLQH USURJUDPPHULQJ Lineær programmering, eller LP-modeller, som de ofte kaldes, var en metode, der blev udviklet i 50'erne og 60'erne. I Danmark var især Sven Danø, professor i driftsøkonomi ved Københavns Universitet, medvirkende til udbredelsen af metoden. Som et blandt mange eksempler kan man forestille sig følgende situation: En virksomhed har en produktion af to forskellige produkter A og B, som begge skal undergå behandling på to 3 forskellige maskiner, M1, M2 og M3. 0DVNLQH 0DVNLQH 0DVNLQH: Vare A kræver 1 times maskintid og vare B kræver 2 timers maskintid Der er ialt maskintimer til rådighed vare A kræver 1 times maskintid, og vare B kræver 1 times maskintid, ' NQLQJVELGUDJ Vare A: 6 kr. Vare B. 5 kr. Der er ialt maskintimer til rådighed Vare A kræver 3 times maskintid vare B kræver 2 timers maskintid Der er ialt maskintimer til rådighed. %HVWHPGHQRSWLPDOHSURGXNWLRQDIGHWRSURGXNWHU Det økonomiske problem består i, at vare A giver det højeste dækningsbidrag, men beslaglægger også mere maskintid per enhed, især på maskine 3. Uden systematik er det svært at overskue problemets løsning. Lad os derfor stille det formelt op. Vi vil maksimere en målfunktion, der består af summen af dækningsbidragene fra de to produktioner, altså summen af dækningsbidraget fra A, d.v.s. 6*A, hvor A er det faktiske antal producerede enheder, og dækningsbidraget fra B, altså 5*B, hvor B er det faktiske antal enheder. Formelt skrives dette som MAKS: 6*A + 5*B under nogle bibetingelser. Den første maskine giver ELEHWLQJHOVHQ eller UHVWULNWLRQHQ, at A + 2*B Vi regner i timer, og har ikke mere end timer til rådighed. Det er vigtigt at notere sig ulighedstegnet, for vi kan godt lade en maskine stå ledig (selv om det alt andet lige er uøkonomisk), men vi kan ikke bruge flere maskintimer, end vi har. Bemærk, at

2 sådanne tekniske koefficienter, der mere eller mindre eksplicit bliver antaget konstante, bevirker, at restriktionen bliver lineæ r. Tilsvarende udtryk får vi for de to andre maskiner. Formelt skriver vi, at vi vil maksimere målfunktionen under bibetingelserne, som SUB: 1*A + 2*B (svarende til maskine 1) 1*A + 1*B (svarende til maskine 2) 3*A + 2*B (svarende til maskine 3) A 0 (Produktionen af A kan ikke blive negativ) B 0 (Produktionen af B kan ikke blive negativ) I den generelle udformning kan der væ re m restriktioner (maskiner) og n varer, hvor vare i giver dæ kningsbidraget d i.d.v.s. at vi får MAX: G * [ = 1 SUB: a 11 x a 1n x n b a 1m x a mn x m b m Eller i mere kompakt matrixnotation 0$;G[ 68%$[ E, hvor d er en n'dimensional ræ kkevektor, x er en n'dimensional søjlevektor, A er en (m,n) matrix og b er en m'dimensional søjlevektor. Her angiver a ij den mæ ngde (maskin)timer, der er nødvendig for vare i ved maskine j; de kaldes ofte GHWHNQLVNHNRHIILFLHQWHU. Der er intet i vejen for, at nogle af dem kan væ re nul, men de kan selvfølgelig ikke blive negative. b j angiver maskinkapaciteten for maskine j, = 1,,,m. Lineæ r programmering består således i at maksimere en lineæ r funktion, målfunktionen, som også kan have andre navne såsom kriteriefunktionen eller mere konkret f.eks. dæ kningsbidragsfunktionen, under et sæ t af lineæ re uligheder. I nogle situationer er der tale om et minimeringsproblem, men principperne er de samme. 7RYDUHLOOXVWUDWLRQHvis der kun er 2 varer A og B, kan LP problemet gives en meget oplysende grafisk illustration. 2

3 Vi tegner en figur med A og B ud af akserne. $ % )LJXU Restriktionerne afgræ nser en polygon. På figuren er der indtegnet 3 restriktioner. Vi kan højst producere inden for hver restriktion, så vi må ligge på eller nedenfor alle 3 linier. Det betyder, at vores PXOLJKHGVRPUnGH for produktionen blive afgræ nset af markerede polygon ORSTU, som består af en ræ kke endepunkter, hvor to restriktioner skæ rer hinanden, forbundet med rette linier. Spørgsmålet er så, hvilket punkt vi skal væ lge, når vi skal væ lge os et punkt enten inden for eller på randen af denne polygon. Da målfunktionen er lineæ r i A og B, vil en k pct. forøgelse af både A og B give en k pct. forøgelse af dæ kningsbidraget. Det vil derfor aldrig kunne betale sig at producere inden for randen af mulighedsområdet. I eksemplet ovenfor med 2 varer havde vi, at det samlede dæ kningsbidrag D var D = 6*A + 5*B eller A = D/6-5/6*B Vores målsæ tningsfunktion er altså en linie med hæ ldningen -5/6, der skal forskubbes så langt ud mod højre som muligt, hvorved D/6 og dermed D bliver så stor som mulig. På figuren er denne ligning illustreret med 3 stiplede linier, som skal forskydes ud mod randen så langt som muligt i pilens retning (vinkelret på de 3 stiplede linier). Der er nu to muligheder: 3

4 Enten er denne linie parallel med en af linierne (fig 2a), eller også vil den komme til at ligge og vippe på et endepunkt (fig. 2b). Figur 2a Figur 2b På figur 2a og 2b er kun vist et udsnit af mulighedsområdet. Den afgørende pointe er, at på figur 2b er der ingen tvivl, endepunktet er det punkt, vi læ ngst kan forskyde dæ kningsbidragslinien til, og dermed det optimale punkt. Men på figur 2a vil godt nok alle punkter, der sammenfalder med dæ kningsbidragslinien, i princippet væ re lige gode, men også endepunktet vil væ re lige så godt. 9LEHK YHUDOWVnLNNHXQGHUV JHDOOHSXQNWHUSnUDQGHQDI ILJXUHQPHQNDQQ MHVPHGXQGHUV JHHQGHSXQNWHUQH. På figur 1 svarer det til, at den optimale løsning må væ re et af punkterne R, S, T, U. Der kan i hvert fald ikke findes nogen bedre løsning. Denne egenskab ved LP var baggrunden for en ofte anvendt DOJRULWPH eller beregningsmetode, som blev kaldt SIMPLEX-metoden, og som løst sagt bestod i at undersøge endepunkterne efter en næ rmere bestemt fremgangsmåde. Udviklingen inden for EDB har imidlertid bevirket, at der ikke læ ngere er det samme behov for at beskæ ftige sig med detaljerne i den algoritme, da der findes en lang ræ kke programmer til at løse LP problemer med, så vi vil her mere koncentrere os om at vise, hvordan man i praksis kan løse LP problemer. I næ ste afsnit skal vi konkret vise, hvordan LP problemer kan formuleres RJ O VHV i Excel, selv om mere professionelle anvendelser utvivlsomt vil anvende et egentligt LP-program. Men forinden er der grund til at fremhæ ve nogle sæ rlige egenskaber ved løsningen. 4

5 %LQGHQGHRJLNNHELQGHQGHUHVWULNWLRQHUBetragt figuren nedenfor $ Der er indtegnet 4 restriktioner. Hvis det optimale punkt er A, fremkommet ved en skæ ring mellem restriktion 1 og restriktion 2, ses det klart af figuren, at restriktion 3 konkret ikke har nogen betydning for den optimale løsning; vi siger, at den er LNNHELQGHQGH. Omvendt er restriktion 1 og 2 bindende. For en ELQGHQGH restriktion gæ lder, at lighedstegnet i optimum er opfyldt, medens det strenge ulighedstegn < gæ lder for den ikke-bindende restriktion. Restriktion 4 er aldrig bindende - den er tegnet parallelt med restriktion 1 og kunne svare til en restriktion A+2B ; en sådan restriktion ligger helt uden for restriktion 1. Det vil imidlertid ofte væ re sådan, at om en restriktion er bindende eller ej, vil afhæ nge ikke kun af restriktionen selv, men af såvel koefficientmatricen af tekniske koefficienter som af de koefficienter - "de relative priser" - der indgår i målfunktionen. Hvis man æ ndrede de relative priser, kunne restriktion 3 blive bindende, medens f.eks. restriktion 1 ikke ville blive bindende. En bindende restriktion j læ gger pr. definition bånd på vores handlinger, så hvis vi løsner bindingen, d.v.s. forøger b j, vil vi også forøge vores dæ kningsbidrag D. Som en illustration kan tages eksemplet ovenfor med 2 varer, hvor den optimale produktionsomfang viser sig at blive bestemt af de to bindende restriktioner 2 og 3, se nedenfor, medens restriktion 1 er ikke-bindende. Vi kan altså opfatte situationen således, at vi finder optimum ved hjæ lp af at maksimere dæ kningsbidraget under bibetingelserne 2 og 3, idet der anvendes lighedstegn. Vi danner på sæ dvanlig facon Lagrangefunktionen L med de tilhørende multiplikatorer 8 og ( og differentierer. L = 6 A + 5 B - 8 (A+B ) - ((3A + 2B ) 5

6 L/ A = ( = 0 L/ B = ( = 0 L/ 8 = A + B = 0 L/ ( = 3A + 2B = 0 Vi får 8 = 3 og ( = 1 og iøvrigt også A = og B = Med andre ord: Hvis vi forøger kapaciten for restriktion 2 med 1 enhed, vil dæ kningsbidraget stige med 3 enheder. For restriktion 3 er det tilsvarende tal 1. Tallene 8 og ( kaldes VN\JJHSULVHU De viser, hvad en marginal forøgelse på 1 enhed af kapaciteten på en restriktion vil give i bidrag i målfunktionen. Det følger intuitivt heraf, selv om det ikke er bevist, at: VN\JJHSULVHQSnLNNHELQGHQGHUHVWULNWLRQHUHU Der sker jo ikke nogen påvirkning af det samlede dæ kningsbidrag, hvis vi marginalt forøger kapaciteten. Dette er et vigtigt resultat, som har talrige økonomiske anvendelser. Da maskine 1 ikke giver nogen bindende restriktion, er skyggeprisen for dens anvendelse 0. Det vil sige, at indtil restriktionen for maskine 1 bliver bindende, er det gratis at anvende den. Lad os f.eks. antage, at virksomheden får en lille ny ordre, som den skal give et tilbud på, som involverer de 3 maskiner med et forbrug på 10 timer hver. Hvordan skal man så indregne væ rdien af tidsforbruget ved brug af de tre maskiner? Svaret er umiddelbart givet ved anvendelse af skyggepriser: Maskine 1 er gratis, så det koster ikke virksomheden noget at anvende den (marginalt) mere. Ved brug af maskine 2 i 10 timer går vi derimod glip af en indtjening af 3*10 kroner og ved brug af maskine 3 i 10 timer går vi ligeledes glip af 1*10 kroner, så opportunity costs ved den nye ordre er (for så vidt angår dette maskintidsforbrug) = = 40 kroner. Lad os resumere resultaterne Restriktionen er bindende Skyggeprisen er positiv Restriktionen er marginalt ikkebindende Skyggeprisen er nul ved marginale æ ndringer Restriktionen er aldrig bindende Skyggeprisen er altid nul 6

7 (NVHPSHOSnO VQLQJDI/3SUREOHPYHGKM OSDI(;&(/VHPDSSHQ/3 SURJUDPPHULQJPHG(;&(/ Det anbefales at printe denne vejledning ud eller have den liggende, medens regnearket gennemgås. Lad os have ovenstående problem MAKS: 6A + 5B SUB: (1) A+2B (2) A+ B (3) 3A+2B (4) A 0 (5) B 0 Da der kun er to variable A og B, kan der findes en grafisk løsning. Denne er givet i arket Grafisk Illustration. De 3 restriktioner er indtegnet tillige med isoprofitlinien, som er den røde kurve og markerer hæ ldningen på dæ kningsbidraget D = 6A+5B. Det er denne linie, som vi skal parallelforskyde så langt som muligt opad til højre. Det kan væ re lidt svæ rt at se helt klart, hvilken løsning, der er optimal, men der er to kandidater, nemlig (A,B) = ( , ) og (A,B) = ( ,50.000) de præ cise væ rdier for disse to punkter kan findes ved simpelthen at løse de tilhørende ligninger. En direkte indsæ ttelse i målfunktionen giver hhv og , så den optimale løsning bliver A = og B = , altså den løsning, vi fandt fra før. I EXCEL løses det eksakt på følgende måde. Se Excel-regnearket LPprogrammering med EXCEL med følgende ark 1. Problemformulering 2. Grafisk løsning 3. Svarrapport 1 4. Sensitititetsrapport 1 5. Svarrapport 2 Vi foretager nu følgende skridt: 1) Definer to celler svarende til de to væ rdier A og B. Her er sat A = a1 og B = b1. 2) Sæ t helt foreløbigt a1=1 og b1=1. 3) Indsæ t målfunktionen i f.eks. som her cellen a3, idet der skrives = 6*A1+5*B1. Der vises nu (selvfølgelig) tallet 11. (Gangetallene * er her overflødige, men anbefales i praksis.) 4) Skriv de 3 lineæ re restriktioner og de to ikke-negativitetsbetingelser som vist, f.eks. den første som =A1+2*B1. Da vi foreløbigt har sat A1=1 og B1=1, fås tallet 3.Læ g mæ rke til, at vi skriver venstresiden af uligheden i èn celle, og højresiden i en anden. 7

8 5) Tryk på funktioner i menulinien og find Problemløser (eng. solver ). 1 Vi skal nu udfylde 4 felter. a) Målcellen, nemlig den størrelse, som vi ønsker at maksimere. b) Rubrikken maks, min eller lig med. Vi væ lger maks. c) Ved redigering af cellerne: A1 og B1. For det er jo netop disse væ rdier, som vi kan æ ndre på. Hvis de ikke står ved siden af hinanden, skal du anvende et semikolon efter hver henvisning. d) Underlagt betingelserne. Tryk på Tilføj og indlæ g den første betingelse. Tryk på tilføj igen og indlæ g den næ ste o.s.v. Når alle 5 betingelser er indføjet, tryk på Løs, og EXCEL giver en meddelelse om, at den har fundet en løsning. 6) Sæ t kryds i rubrikken Behold problemløsning og tryk på svarrapport. Denne fremkommer på et sæ rligt ark kaldet Svarrapport 1, som typisk bliver sat ind i starten af projektmappen. Det har et udseende som vist på Excel-arket. Læ s dette. Noter, at slutvæ rdien for målvariablen er , altså den løsning, vi fandt ovenfor. Noter, at restriktion (1) ikke er bindende, jfr. ovenfor, og at restriktion (2) og (3) er bindende. Noter også, at vi direkte får udskrevet, hvor meget der er af ledig kapacitet ved den optimale løsning for restriktion 1. Løs problemet igen og bed om en sensitivitetsrapport. Konstater, at Lagrangemultiplikatoren = skyggeprisen for restriktion 2 er på 3 og for restriktion 3 er skyggeprisen på 1. Altså de løsninger, vi fandt ovenfor. Hermed er vi for så vidt fæ rdige, som vi har løst vores problem, men for illustrationens skyld fortsæ tter vi med. 7) Vi ser, hvad der sker, hvis vi antager, at kapaciteten for (den bindende) restriktion 2 ikke var , men , men problemet (1)-(5) i øvrigt er uæ ndret. MAKS: 6A + 5B SUB: (1) A+2B (2) A+ B (3) 3A+2B (4) A 0 (5) B 0 Vi indtaster problemet igen, blot med i stedet for og løser. 8) På arket svarrapport 2 er vist, at målfunktionen, slutvæ rdien æ ndrer sig til , hvor den før var , altså en stigning på 3. Men det var jo netop definitionen af skyggeprisen på restriktionen, som vi netop har fundet til at blive 3. 1 Hvis problemløser (solver) ikke er tilgæ ngelig, kan du gå ind på funktioner i menuen og se under "tilføjelsesprogrammer", om den er tilgæ ngelig der. Hvis den er tilgæ ngelig som tilføjelsesprogram, må du installere den. Alternativt må du sørge for at få den installeret. 8

9 (W DGYDUHQGH VOXWRUG LP-modeller har væ ret ganske populæ re, såvel i økonomisk teori som i praksis, og de anvendes stadigt, men nok ikke i samme omfang. Det skyldes nok to forskellige forhold. For det første, at de har en tilbøjelighed til at give for drastiske resultater. De giver ikke anledning til marginale æ ndringer i de optimale væ rdier som følge af marginale æ ndringer i parametrene. Enten giver de slet ingen æ ndringer - den optimale løsning er den samme i et vist parameterinterval - eller også de giver de anledning til ganske store æ ndringer. I sidste tilfæ lde kan en lille æ ndring i en teknisk koefficient forårsage en drastisk æ ndring i den optimale løsning. Det kan for så vidt også væ re rigtigt, men som en beskrivelse af virkeligheden er det typisk ikke tilfæ ldet. For det andet var LP en lang overgang i praksis den eneste modeltype, der teknisk og beregningsmæ ssigt kunne håndteres. Dette medførte en vis tilbøjelighed til at antage linearitet, også hvor der kræ vedes en del god vilje for at acceptere denne forudsæ tning. Med moderne hjæ lpemidler er det ikke på samme måde læ ngere nødvendigt af beregningstekniske hensyn at kræ ve linearitet. Og det er det faktisk heller ikke i Excel. %UXJDISUREOHPO VHUWLOPHUHJHQHUHOOHPDNVLPHULQJVSUREOHPHU Funktionen "Problemløser" i Excel er ikke begræ nset til blot LP-problemer eller overhovedet indrettet specielt til disse. Der er intet i vejen for, at der i målfunktionen indgår et ikke-linæ rt udtryk, f.eks. at prisen er en faldende funktion af den solgte mæ ngde. Hvis f.eks. på vare A er 15-0,3 A og prisen på vare B er 10-0,4 B, fås målfunktionen MAKS: -0,3*A *A -0,4*B *B, som så kan maksimeres under de relevante bibetingelser. Men hvis såvel målfunktion som bibetingelser er af speciel karakter, er der ingen garanti for hverken eksistens eller entydighed af en løsning. Ikke desto mindre er problemløserfunktionen et ganske kraftigt væ rktøj til "mindre" problemer, så derfor 7LOO\NNH 'X HU QX L VWDQG WLO NRQNUHW DW O VH IOHUH HUKYHUYV NRQRPLVNH SUREOHPHU HQG GH IOHVWH LNNHEORWLWHRULHQPHQRJVnLSUDNVLV 9

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH /LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH Efterspørgselsfunktionen beskriver sammenhængen mellem den pris man tager for sit produkt, og den mængde man kan forvente at afsætte. Det gælder typisk, at

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten ,QYHVWHULQJ %HJUHEHU Kalkulationsrente: Virksomhedens subjektive tidspræferencerate. Typisk er dette alternativrenten, fx kassekreditrenten. Det er den rente virksomheden PLQGVW skal have i afkast ved

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Den.11.juni 2003. QRJXQJGRPVXGGDQQHOVHUQH,QGKROGVIRUWHJQHOVH Indholdsfortegnelse...1 Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Generelt om uddannelsesniveauet...4

Læs mere

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6

Læs mere

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU /DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU,QGKROGVIRUWHJQHOVH 1. Baggrunden for undersøgelsen 2. Hovedindtrykket af undersøgelsen 3. Tidligere undersøgelser 4. Deltagerne i undersøgelsen

Læs mere

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut +YDGHU*36" GPS = Global Position System. Det består af 24 satellitter som cirkulerer ca. 20.000 km. over jorden. Disse sender kontinuerligt et tidssignal, og det er det signals forsinkelse som gør at positionen

Læs mere

Sikkerhedsorganisation og arbejdsmiljø på små virksomheder

Sikkerhedsorganisation og arbejdsmiljø på små virksomheder Sikkerhedsorganisation og arbejdsmiljø på små virksomheder Øje på arbejdsmiljøet, maj 2002 Udgivet af Landsorganisationen i Danmark Rosenørns Allè 12 1634 København V E-mail: lo@lo.dk Tlf.: 3524 6000 Fax:

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Lineær Planlægning (programmering) med Excel 2. udgave 2007 1 Indhold FORORD Denne bog forklarer ved anvendelse af nogle typiske eksempler, hvad der er karakteristisk ved LP -

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Hvad er en leder gjort af? Af 'DQLHO*ROHPDQ

Hvad er en leder gjort af? Af 'DQLHO*ROHPDQ Hvad er en leder gjort af? Af 'DQLHO*ROHPDQ Af: 'DQLHO*ROHPDQ +YDGHUHQ/HGHUJMRUWDI" Intelligens og faglig viden er vigtige kvaliteter, men emotionel intelligens er alfa og omega indenfor ledelse. Enhver

Læs mere

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Kontoret for børn og unge mv., Social og Psykiatriforvaltningen i Viborg Amt Januar 2006 Projektleder Lisbeth Ørtenblad

Læs mere

ATP-beskæftigelsestal 3. kvartal 2009 Krisen har bidt sig godt fast i IT -branchen D en økonom iske krise har gjort endnu et solidt indhug i IT-branchens beskæ ftigelse. Branchen har nu i de tre første

Læs mere

LO s formand Hans Jensen. Tale ved LO s konference om globalisering. Odense d. 31. jan. 2005

LO s formand Hans Jensen. Tale ved LO s konference om globalisering. Odense d. 31. jan. 2005 LO s formand Hans Jensen Tale ved LO s konference om globalisering Odense d. 31. jan. 2005 --------------------------------------------------------------------- I valgkampe går det alt for ofte sådan,

Læs mere

-DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW. Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne)

-DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW. Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne) -DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne) ,QGKROGVIRUWHJQHOVH 1. Baggrund, kommissorium, afgrænsning og sammensætning 2. Arbejdsgruppens

Læs mere

LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet

LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet September 2000 LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet Indholdsfortegnelse Forord... 2 Indledning... 3 LO«s forslag til konkrete initiativer... 5 Model til anvendelse af arbejdsevnekriteriet...

Læs mere

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide 05-2014 / v1.0 1 I. Produktinformation I-1. Pakkens indhold Smart stikkontakt Lyninstallationsguide CD med hurtig installationsvejledning I-2. Frontpanel Strømlysdioder

Læs mere

DiskStation DS211j, DS211

DiskStation DS211j, DS211 DiskStation DS211j, DS211 Hurtig installationsvejledning Dokument-id: Synology_QIG_2bayCL_20101028 SIKKERHEDSINSTRUKTIONER Læ s disse sikkerhedsinstruktioner nøje før brugen, og opbevar denne vejledning

Læs mere

ATP-beskæftigelsestal 3. kvartal 2009 Fra 2. til3. kvartal20 0 9 faldt beskæ ftigelsen m ed 4,6 pct. ivikarbranchen og fortsæ tter derm ed den nedadgående tendens fra 20 0 8 og 20 0 9. Faldet har dog ikke

Læs mere

Synology DiskStation DS214 Hurtig installationsvejle

Synology DiskStation DS214 Hurtig installationsvejle Synology DiskStation DS214 Hurtig installationsvejle Synology_QIG_DS214_20150626 Indholdsfortegnelse Kapitel 1: Før du begynder Pakkens indhold... 3 Overblik over Synology DiskStation... 4 Sikkerhedsvejledning...

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Er kommunerne bæredygtige ind i det næste årtusind?

Er kommunerne bæredygtige ind i det næste årtusind? (Kapitel 3 i: Dahler-Larsen, Peter & Klausen, Kurt Klaudi (red.) 2000: Festfyrværkeri eller gravøl - en debatbog om den danske kommune ved årtusindskiftet, Odense Universitetsforlag, Odense) Er kommunerne

Læs mere

Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003

Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003 Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003 Dokid 184237 Det konsoliderede årsregnskab for fællesfonden for 2003 er udarbejdet på baggrund af de af stiftsøvrighederne udarbejdede, men endnu ikke reviderede

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

5DSSRUW IUD DUEHMGVJUXSSHQRPWLOJ QJHOLJKHG WLO IRONHNLUNHQVE\JQLQJHU

5DSSRUW IUD DUEHMGVJUXSSHQRPWLOJ QJHOLJKHG WLO IRONHNLUNHQVE\JQLQJHU 5DSSRUW IUD DUEHMGVJUXSSHQRPWLOJ QJHOLJKHG WLO IRONHNLUNHQVE\JQLQJHU Kirkeministeriet, december 2004 ,QGKROGVIRUWHJQHOVH,QGOHGQLQJ 1.1. Baggrund...2 1.2. Arbejdsgruppens kommissorium...2 1.3. Arbejdsgruppens

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Unge uden ungdom suddannelse lever på offentlig forsørgelse 25-årige uden ungdomsuddannelse lever i langt højere grad af offentlige overførsler i voksenlivet, end de unge der som 25-årige har gennemført

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP

INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP VELKOMMEN INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP DAGSORDEN 1. Velkomst og kort introduktion til mø det ved medlemmer af arbejdsgruppen,

Læs mere

,QIRIROGHUHQ $GUHVVH. Hollandsvej 9-23 Christian X s Alle 56 60 2800 Lyngby. Rosenhaverne 2

,QIRIROGHUHQ $GUHVVH. Hollandsvej 9-23 Christian X s Alle 56 60 2800 Lyngby. Rosenhaverne 2 Infofolder ,QIRIROGHUHQ Med denne folder vil vi gerne byde nye beboere velkomne og kort redegøre for de forskellige fællesfaciliteter, der er til rådighed og hvad der er kutyme i vores ejendom. $GUHVVH

Læs mere

%DUULHUHUIRUUHDOLVHULQJDI HQHUJLEHVSDUHOVHULE\JQLQJHU

%DUULHUHUIRUUHDOLVHULQJDI HQHUJLEHVSDUHOVHULE\JQLQJHU Notat %DUULHUHUIRUUHDOLVHULQJDI HQHUJLEHVSDUHOVHULE\JQLQJHU Ole Michael Jensen Statens Byggeforskningsinstitut 2004 2 ,QGKROG Forord... 5 Baggrund... 6 Fremgangsmåde... 8 Tidligere undersøgelser af barrierer...

Læs mere

7Y UIDJOLJGRNXPHQWDWLRQL(3- KYRUGDQEOLYHUGHWPXOLJW"

7Y UIDJOLJGRNXPHQWDWLRQL(3- KYRUGDQEOLYHUGHWPXOLJW 7Y UIDJOLJGRNXPHQWDWLRQL(3- KYRUGDQEOLYHUGHWPXOLJW" 0DVWHURI,QIRUPDWLRQ7HFKQRORJ\PHGVSHFLDOLVHULQJLVXQGKHGVLQIRUPDWLN nujdqj6,cehq8ggdqqhovh $DOERUJ8QLYHUVLWHW /LVEHWK1LFRODMVHQ -HWWH/DXWUXS%RMVHQ.DULQ%RLVHQ

Læs mere

Ordensreglement DAB. Om OHYHUHJOHUQHLRJRPNULQJ. din bolig. Hvor meget må du støje? Må du have husdyr? Hvordan bruger du fællesarealer?

Ordensreglement DAB. Om OHYHUHJOHUQHLRJRPNULQJ. din bolig. Hvor meget må du støje? Må du have husdyr? Hvordan bruger du fællesarealer? Om OHYHUHJOHUQHLRJRPNULQJ din bolig Hvor meget må du støje? Må du have husdyr? Hvordan bruger du fællesarealer? og meget mere DAB 2UGHQVUHJOHPHQW ) OOHVOHYHUHJOHU En boligafdeling udgør et lille samfund

Læs mere

TERP SPEJDERCENTER. Terpinfo 2002. - Stort og små t om centret

TERP SPEJDERCENTER. Terpinfo 2002. - Stort og små t om centret TERP SPEJDERCENTER Terpinfo 2002 - Stort og små t om centret Kæ re læ ser! Denne vejledning er blevet til udfra et ø nske om at såvel kendinge som nye på stedet kan få en mæ ngde praktiske og mindre praktiske

Læs mere

'HOHELOVRUGQLQJHU LEROLJVHOVNDEHU

'HOHELOVRUGQLQJHU LEROLJVHOVNDEHU 'HOHELOVRUGQLQJHU LEROLJVHOVNDEHU Indhold 352-(.7'(6,*1 3URMHNWRUJDQLVHULQJ 3URMHNWHWVIRUPnORJUDPPH 2UJDQLVHULQJDIGHOHELOVRUGQLQJHU 9DOJDIEROLJRPUnGHU,QIRUPDWLRQRJUHNUXWWHULQJ,QIRUPDWLRQRJPDUNHGVI ULQJ

Læs mere

Afskedigelsesnævnets forretningsorden

Afskedigelsesnævnets forretningsorden Afskedigelsesnævnets forretningsorden Forretningsorden med ændringer pr. 1. marts 2006 for det i henhold til 4, stk. 3, i Hovedaftalen af 1973 med senere ændringer nedsatte permanente nævn, Afskedigelsesnævnet.

Læs mere

INDHOLDSPLAN TEXTILSKOLEN 2014/15

INDHOLDSPLAN TEXTILSKOLEN 2014/15 INDHOLDSPLAN TEXTILSKOLEN 2014/15 Skolens beliggenhed og formål. TEXTILSKOLEN er en uafhæ ngig og selvejende undervisningsinstitution. Institutionen er oprettet den 1. september 1949 og har hjemsted i

Læs mere

Manglende indfrielse af 1-m ål koster m illiarder i tabt produktivitet U ddannelsesniveauet for danske unge bliver ved med at falde. Fæ rre og fæ rre får en ungdomsuddannelse, og den manglende indfrielse

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x = MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver

Læs mere

Kom i gang med regneark:

Kom i gang med regneark: Kendte og nye værktøjs ikoner på værktøjslinien. Det er de samme værktøjs ikoner der går igen i mange af programmerne, men der er dog også nogle nye. Autosum Formel regner Sortering Diagrammer Flet og

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

www.philips.com/welcome

www.philips.com/welcome Register your product and get support at www.philips.com/welcome PFL42x8 PFL32x8 DA Brugervejledning Indhold 1 Vigtigt 3 Sikkerhed 3 Vedligeholdelse 4 Juridisk 5 Bæ redygtighed 7 Hjæ lp og support 9 2

Læs mere

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold...

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold... Br uger vej l edni ngf orlcdskær m Q2778VQE LEDbaggr undsl ys www. aoc. c om 2014AOC. Al lri ght sreser ved. Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet...

Læs mere

Kort til Husdyrgodkendelse / Excel data og Næsgaard Markkort

Kort til Husdyrgodkendelse / Excel data og Næsgaard Markkort Kort til og Næsgaard Markkort Kun i ADVICER Dette afsnit er kun relevant hvis du arbejder med AD- VICER udgaven af Næsgaard Markkort (rådgiverudgaven). Funktionen findes IKKE i PLUS og OPTI udgaven af

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold...

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold... Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold... 9 Opsæ tning af stander og fod... 10 Indstilling af synsvinkel... 11

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Tekni opl nger ent opl nger behør

Tekni opl nger ent opl nger behør V GT G NFORMAT ON D mæ m æ æ m m æ mm m M m mæ æ æ mm K E ENDOMSMÆGLERENSOPL YSN NGT LPARTERNE E m mæ m mæ m m N M m mæ m N H m mæ æ m m æ æ æ m m æ m N H Ræ K U B 9 6 98 A F NANS ER NGSF ORSL AG A O BRT

Læs mere

Uddannelsesstyrelsen att.: Fuldmægtig Troels Breindal H.C. Andersens Boulevard 43 1553 København V 15. november 2002 J.nr.: 001.

Uddannelsesstyrelsen att.: Fuldmægtig Troels Breindal H.C. Andersens Boulevard 43 1553 København V 15. november 2002 J.nr.: 001. Uddannelsesstyrelsen att.: Fuldmægtig Troels Breindal H.C. Andersens Boulevard 43 1553 København V 15. november 2002 J.nr.: 001.1 CHS/HJE 9HGU UHQGHIRUVODJWLOORYRPYHMOHGQLQJRPYDOJDIXGGDQQHOVHRJHUKYHUYVDPW

Læs mere

%OLYXGYLNOHU GHQNUHDWLYHSURJUDPP U 1RUPDQQ$D1LHOVHQ

%OLYXGYLNOHU GHQNUHDWLYHSURJUDPP U 1RUPDQQ$D1LHOVHQ %OLYXGYLNOHU GHQNUHDWLYHSURJUDPP U 1RUPDQQ$D1LHOVHQ $WY UHXGYLNOHUHUNRQVWDQWDWKDYH MQHQHnEQH IRUGHWLQJGHULNNHILQGHV RJIRUGHWLQJGHUILQGHV PHQVRPNDQ QGUHV Det fortælles at en jøde under anden verdenskrig

Læs mere

+DQGOLQJVSODQIRU,7RJNXOWXUHPQHJUXSSHQ

+DQGOLQJVSODQIRU,7RJNXOWXUHPQHJUXSSHQ +DQGOLQJVSODQIRU,7RJNXOWXUHPQHJUXSSHQ,QGOHGQLQJ 6WDWXV +DQGOLQJVPXOLJKHGHU 2P12.610& %XGJHW $G,QGOHGQLQJ Handlingsplanen vil bidrage til, at kulturen kan udfolde sig på egne betingelser og at medarbejdernes

Læs mere

Regnearket Excel - en introduktion

Regnearket Excel - en introduktion Regnearket Excel - en introduktion Flytte rundt i regnearket. Redigere celler Hjælp Celleindhold Kopiering af celler Lokalmenu og celleegenskaber Opgaver 1. Valutakøb 2. Hvor gammel er du 3. Momsberegning

Læs mere

Kontoskemaet i DSM kan benyttes til at lave forskellige regnskabs- eller nøgletalsrapporter, mulighederne er mange.

Kontoskemaet i DSM kan benyttes til at lave forskellige regnskabs- eller nøgletalsrapporter, mulighederne er mange. Kontoskema Kontoskemaet i DSM kan benyttes til at lave forskellige regnskabs- eller nøgletalsrapporter, mulighederne er mange. I det efterfølgende vises, hvordan en simpel regnskabsrapport kan laves ved

Læs mere

! " # $ %%$ $ ) ) ! ) '(% + /''(! + ) '(( %% '(( 01 * + + ) + %% '(' '(/ +! % / '(' %% ! %.2!! '((! &!! 0+ +. ) '(( " $ '((3- ) 4!

!  # $ %%$ $ ) ) ! ) '(% + /''(! + ) '(( %% '(( 01 * + + ) + %% '(' '(/ +! % / '(' %% ! %.2!! '((! &!! 0+ +. ) '((  $ '((3- ) 4! Resultatkontrakt Vedrørende Etnisk Erhvervsfremme 1. april 2010-31. december 2013 Journalnummer: Kontraktens parter Region M idtjylland(rm ) Regional U dvikling Skottenborg 26 8800 Viborg Ean-nr:5 798

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for nye måder at arbejde med Diagrammer på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Ledelse af medarbejdere: Hvordan arbejder man systematisk med at motivere sine medarbejdere og skabe de bedst mulige resultater?

Ledelse af medarbejdere: Hvordan arbejder man systematisk med at motivere sine medarbejdere og skabe de bedst mulige resultater? Ledelse af medarbejdere: Hvordan arbejder man systematisk med at motivere sine medarbejdere og skabe de bedst mulige resultater? Lotte Bøgh Andersen Professor Indhold Intro: Hvad er ledelse, styring og

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

TILLÆG FORSLAG JERNIT TIL REGIONPLAN 2001 OG VVM-REDEGØRELSE. Udvidelse af slagtekyllingeproduktionen. vandindvindingsområder ved Jernit

TILLÆG FORSLAG JERNIT TIL REGIONPLAN 2001 OG VVM-REDEGØRELSE. Udvidelse af slagtekyllingeproduktionen. vandindvindingsområder ved Jernit FORSLAG JERNIT Udvidelse af slagtekyllingeproduktionen samt revision af følsomme vandindvindingsområder ved Jernit Linen 58, 8450 Hammel Hammel Kommune Langå Hadsten Rosenh Gjern Hammel Hinnerup g Galten

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Gisp Global Internet Service Provider. Bilag 1. Brugerhåndbog. Aalborg Universitet Master i IIT - Systemadministration

Gisp Global Internet Service Provider. Bilag 1. Brugerhåndbog. Aalborg Universitet Master i IIT - Systemadministration Gisp Global Internet Service Provider Bilag 1 Brugerhåndbog Aalborg Universitet Master i IIT - Systemadministration 1. Indledning Dette bilag indeholder en beskrivelse af virkemåden for e-mails skrevet

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Vejledningen tager udgangspunkt i Saldo_nov12_PP. Dette kan downloades på http://kaqa.gl/dk/komlis/powerpivot/saldopp/default.aspx

Vejledningen tager udgangspunkt i Saldo_nov12_PP. Dette kan downloades på http://kaqa.gl/dk/komlis/powerpivot/saldopp/default.aspx Saldo vist i Excel 2010 med PowerPivot. Vejledningen tager udgangspunkt i Saldo_nov12_PP. Dette kan downloades på http://kaqa.gl/dk/komlis/powerpivot/saldopp/default.aspx Eksempel arket er bearbejdet,

Læs mere

Forældretræning i familier med ADHD - Evaluering af ADHD-foreningens forældretræningsprogrammer Novem ber 2011 Folkesundhed og Kvalitetsudvikling Olof Palm es Allé 15 8200 Århus N Forældretræning i familier

Læs mere

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM En blandt mange af Family Tree Maker s styrker er evnen til at præsentere data på mange forskellige måder, og i dette skrift vil bogfunktionen blive gennemgået. Funktionen

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Tekni opl nger ent opl nger behør Brugs aci

Tekni opl nger ent opl nger behør Brugs aci V GT G NFORMAT ON D mæ m æ æ m m æ mm m M m mæ æ æ mm K E ENDOMSMÆGLERENSOPL YSN NGT LPARTERNE E m mæ m mæ m m N M m mæ m N H m mæ æ m m æ æ æ m m æ m N H E K U B 8 A F NANS ER NGSF ORSL AG RTPLBRT NT

Læs mere

Vejledningen tager udgangspunkt i Pensionsdata_12Q4_PP. Dette kan downloades på http://kaqa.gl/dk/komlis/powerpivot/social_pension/default.

Vejledningen tager udgangspunkt i Pensionsdata_12Q4_PP. Dette kan downloades på http://kaqa.gl/dk/komlis/powerpivot/social_pension/default. Pensionsdata vist i Excel 2010 med PowerPivot. Vejledningen tager udgangspunkt i Pensionsdata_12Q4_PP. Dette kan downloades på http://kaqa.gl/dk/komlis/powerpivot/social_pension/default.aspx Eksempel arket

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Varemæ rker og tilladelser KAZAM er et varemæ rke/registreret varemæ rke ejet af KAZAM Android er et varemæ rke ejet af Google Inc.

Varemæ rker og tilladelser KAZAM er et varemæ rke/registreret varemæ rke ejet af KAZAM Android er et varemæ rke ejet af Google Inc. 1 KVIKVEJLEDNING ALLE RETTIGHEDER FORBEHOLDES Copyright KAZAM Alle rettigheder forbeholdes. Ingen del af dette dokument må reproduceres eller overføres i nogen form eller via noget medie uden forudgående,

Læs mere

Excel for matematiklærere

Excel for matematiklærere Nislevgård Efterskole torsdag 11-03-10 Emner Indtastning af tekst Indtastning og formatering af tal Serier Brug af musen Referencer Indtastning af formler Matrixformler Indbyggede funktioner Opstil kriterium

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

AVG Anti-Virus 2013. Brugervejledning. Dokumentrevision 2013.01 (30.8.2012)

AVG Anti-Virus 2013. Brugervejledning. Dokumentrevision 2013.01 (30.8.2012) AVG Anti-Virus 2013 Brugervejledning Dokumentrevision 2013.01 (30.8.2012) C opyright AVG Technologies C Z, s.r.o. Alle rettigheder forbeholdes. Alle andre varemærker tilhører de respektive ejere. Dette

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Synology DiskStation DS215+ Hurtig installationsvejledning

Synology DiskStation DS215+ Hurtig installationsvejledning Synology DiskStation DS215+ Hurtig installationsvejledning Indholdsfortegnelse Kapitel 1: Før du begynder Pakkens indhold 3 Overblik over Synology DiskStation 4 Sikkerhedsinstruktioner 5 Kapitel 2: Hardwarekonfiguration

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

sprede god praksis Ekstern vurdering Selvevaluering Videndeling Sundhedsstyrelsens tematiske erfaringsopsamling

sprede god praksis Ekstern vurdering Selvevaluering Videndeling Sundhedsstyrelsens tematiske erfaringsopsamling P rojektbeskrivelse:evaluering af program m ed 28 projekter til forstæ rket indsats overfor kronisk sygdom i R egion M idtjylland 2010-2012 (kronikerprojektprogram m et) Sundhedsstyrelsens tematiske erfaringsopsamling

Læs mere

K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T. V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015

K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T. V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015 K ØBENHA V NS UNIV ERSITET V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015 K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T NØ R R E G AD E 10 1165 K B H. K F akultet Vejledning s enhed K ontaktpers

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

E2770SD/E2770SHE/E2770PQU Q2770PQU G2770PQU M2770V/ M2870V/M2870VHE/M2870VQ I2770V/I2770VHE/I2770PQ. (LED-baggrundslys)

E2770SD/E2770SHE/E2770PQU Q2770PQU G2770PQU M2770V/ M2870V/M2870VHE/M2870VQ I2770V/I2770VHE/I2770PQ. (LED-baggrundslys) E2770SD/E2770SHE/E2770PQU Q2770PQU G2770PQU M2770V/ M2870V/M2870VHE/M2870VQ I2770V/I2770VHE/I2770PQ (LED-baggrundslys) Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring...

Læs mere

Spiller hasard med de ansattes job

Spiller hasard med de ansattes job (82ULHQWHULQJ /2.RQWRUHWL%UX[HOOHV QU±MXOL 6NDQGDOHULYLUNVRPKHGHU JHUNUDYRPDQVYDU ()6 VJHQHUDOVHNUHW U(PLOLR*DEDJOLRNU YHUVWUDPPHUHUHJOHUIRU HUKYHUYVOLYHW7LGOLJHUH86$DPEDVVDG U QVNHUIRNXVSnHWLNIUHPIRU

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Slutrapport Resultatkontrakt Vedrørende Netværk MidtVind 1. august 2008 31. juli 2011 Journalnum m er:1-30-76-6-09 R egion: R egion Midtjylland(R M) Regional U dvikling Skottenborg 26 8800 Viborg Ean-nr:5

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

Vejleder: Hanne Kirk Deichmann

Vejleder: Hanne Kirk Deichmann Kandidatafhandling Juridisk Institut Forfatter: Vejleder: Hanne Kirk Deichmann Linking Med fokus på ophavsretlige og markedsføringsretlige problemstillinger i forbindelse med linking til lovligt og ulovligt

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk.

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen juni 999 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere