(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ"

Transkript

1 (UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (QQRWHRPOLQH USURJUDPPHULQJ Lineær programmering, eller LP-modeller, som de ofte kaldes, var en metode, der blev udviklet i 50'erne og 60'erne. I Danmark var især Sven Danø, professor i driftsøkonomi ved Københavns Universitet, medvirkende til udbredelsen af metoden. Som et blandt mange eksempler kan man forestille sig følgende situation: En virksomhed har en produktion af to forskellige produkter A og B, som begge skal undergå behandling på to 3 forskellige maskiner, M1, M2 og M3. 0DVNLQH 0DVNLQH 0DVNLQH: Vare A kræver 1 times maskintid og vare B kræver 2 timers maskintid Der er ialt maskintimer til rådighed vare A kræver 1 times maskintid, og vare B kræver 1 times maskintid, ' NQLQJVELGUDJ Vare A: 6 kr. Vare B. 5 kr. Der er ialt maskintimer til rådighed Vare A kræver 3 times maskintid vare B kræver 2 timers maskintid Der er ialt maskintimer til rådighed. %HVWHPGHQRSWLPDOHSURGXNWLRQDIGHWRSURGXNWHU Det økonomiske problem består i, at vare A giver det højeste dækningsbidrag, men beslaglægger også mere maskintid per enhed, især på maskine 3. Uden systematik er det svært at overskue problemets løsning. Lad os derfor stille det formelt op. Vi vil maksimere en målfunktion, der består af summen af dækningsbidragene fra de to produktioner, altså summen af dækningsbidraget fra A, d.v.s. 6*A, hvor A er det faktiske antal producerede enheder, og dækningsbidraget fra B, altså 5*B, hvor B er det faktiske antal enheder. Formelt skrives dette som MAKS: 6*A + 5*B under nogle bibetingelser. Den første maskine giver ELEHWLQJHOVHQ eller UHVWULNWLRQHQ, at A + 2*B Vi regner i timer, og har ikke mere end timer til rådighed. Det er vigtigt at notere sig ulighedstegnet, for vi kan godt lade en maskine stå ledig (selv om det alt andet lige er uøkonomisk), men vi kan ikke bruge flere maskintimer, end vi har. Bemærk, at

2 sådanne tekniske koefficienter, der mere eller mindre eksplicit bliver antaget konstante, bevirker, at restriktionen bliver lineæ r. Tilsvarende udtryk får vi for de to andre maskiner. Formelt skriver vi, at vi vil maksimere målfunktionen under bibetingelserne, som SUB: 1*A + 2*B (svarende til maskine 1) 1*A + 1*B (svarende til maskine 2) 3*A + 2*B (svarende til maskine 3) A 0 (Produktionen af A kan ikke blive negativ) B 0 (Produktionen af B kan ikke blive negativ) I den generelle udformning kan der væ re m restriktioner (maskiner) og n varer, hvor vare i giver dæ kningsbidraget d i.d.v.s. at vi får MAX: G * [ = 1 SUB: a 11 x a 1n x n b a 1m x a mn x m b m Eller i mere kompakt matrixnotation 0$;G[ 68%$[ E, hvor d er en n'dimensional ræ kkevektor, x er en n'dimensional søjlevektor, A er en (m,n) matrix og b er en m'dimensional søjlevektor. Her angiver a ij den mæ ngde (maskin)timer, der er nødvendig for vare i ved maskine j; de kaldes ofte GHWHNQLVNHNRHIILFLHQWHU. Der er intet i vejen for, at nogle af dem kan væ re nul, men de kan selvfølgelig ikke blive negative. b j angiver maskinkapaciteten for maskine j, = 1,,,m. Lineæ r programmering består således i at maksimere en lineæ r funktion, målfunktionen, som også kan have andre navne såsom kriteriefunktionen eller mere konkret f.eks. dæ kningsbidragsfunktionen, under et sæ t af lineæ re uligheder. I nogle situationer er der tale om et minimeringsproblem, men principperne er de samme. 7RYDUHLOOXVWUDWLRQHvis der kun er 2 varer A og B, kan LP problemet gives en meget oplysende grafisk illustration. 2

3 Vi tegner en figur med A og B ud af akserne. $ % )LJXU Restriktionerne afgræ nser en polygon. På figuren er der indtegnet 3 restriktioner. Vi kan højst producere inden for hver restriktion, så vi må ligge på eller nedenfor alle 3 linier. Det betyder, at vores PXOLJKHGVRPUnGH for produktionen blive afgræ nset af markerede polygon ORSTU, som består af en ræ kke endepunkter, hvor to restriktioner skæ rer hinanden, forbundet med rette linier. Spørgsmålet er så, hvilket punkt vi skal væ lge, når vi skal væ lge os et punkt enten inden for eller på randen af denne polygon. Da målfunktionen er lineæ r i A og B, vil en k pct. forøgelse af både A og B give en k pct. forøgelse af dæ kningsbidraget. Det vil derfor aldrig kunne betale sig at producere inden for randen af mulighedsområdet. I eksemplet ovenfor med 2 varer havde vi, at det samlede dæ kningsbidrag D var D = 6*A + 5*B eller A = D/6-5/6*B Vores målsæ tningsfunktion er altså en linie med hæ ldningen -5/6, der skal forskubbes så langt ud mod højre som muligt, hvorved D/6 og dermed D bliver så stor som mulig. På figuren er denne ligning illustreret med 3 stiplede linier, som skal forskydes ud mod randen så langt som muligt i pilens retning (vinkelret på de 3 stiplede linier). Der er nu to muligheder: 3

4 Enten er denne linie parallel med en af linierne (fig 2a), eller også vil den komme til at ligge og vippe på et endepunkt (fig. 2b). Figur 2a Figur 2b På figur 2a og 2b er kun vist et udsnit af mulighedsområdet. Den afgørende pointe er, at på figur 2b er der ingen tvivl, endepunktet er det punkt, vi læ ngst kan forskyde dæ kningsbidragslinien til, og dermed det optimale punkt. Men på figur 2a vil godt nok alle punkter, der sammenfalder med dæ kningsbidragslinien, i princippet væ re lige gode, men også endepunktet vil væ re lige så godt. 9LEHK YHUDOWVnLNNHXQGHUV JHDOOHSXQNWHUSnUDQGHQDI ILJXUHQPHQNDQQ MHVPHGXQGHUV JHHQGHSXQNWHUQH. På figur 1 svarer det til, at den optimale løsning må væ re et af punkterne R, S, T, U. Der kan i hvert fald ikke findes nogen bedre løsning. Denne egenskab ved LP var baggrunden for en ofte anvendt DOJRULWPH eller beregningsmetode, som blev kaldt SIMPLEX-metoden, og som løst sagt bestod i at undersøge endepunkterne efter en næ rmere bestemt fremgangsmåde. Udviklingen inden for EDB har imidlertid bevirket, at der ikke læ ngere er det samme behov for at beskæ ftige sig med detaljerne i den algoritme, da der findes en lang ræ kke programmer til at løse LP problemer med, så vi vil her mere koncentrere os om at vise, hvordan man i praksis kan løse LP problemer. I næ ste afsnit skal vi konkret vise, hvordan LP problemer kan formuleres RJ O VHV i Excel, selv om mere professionelle anvendelser utvivlsomt vil anvende et egentligt LP-program. Men forinden er der grund til at fremhæ ve nogle sæ rlige egenskaber ved løsningen. 4

5 %LQGHQGHRJLNNHELQGHQGHUHVWULNWLRQHUBetragt figuren nedenfor $ Der er indtegnet 4 restriktioner. Hvis det optimale punkt er A, fremkommet ved en skæ ring mellem restriktion 1 og restriktion 2, ses det klart af figuren, at restriktion 3 konkret ikke har nogen betydning for den optimale løsning; vi siger, at den er LNNHELQGHQGH. Omvendt er restriktion 1 og 2 bindende. For en ELQGHQGH restriktion gæ lder, at lighedstegnet i optimum er opfyldt, medens det strenge ulighedstegn < gæ lder for den ikke-bindende restriktion. Restriktion 4 er aldrig bindende - den er tegnet parallelt med restriktion 1 og kunne svare til en restriktion A+2B ; en sådan restriktion ligger helt uden for restriktion 1. Det vil imidlertid ofte væ re sådan, at om en restriktion er bindende eller ej, vil afhæ nge ikke kun af restriktionen selv, men af såvel koefficientmatricen af tekniske koefficienter som af de koefficienter - "de relative priser" - der indgår i målfunktionen. Hvis man æ ndrede de relative priser, kunne restriktion 3 blive bindende, medens f.eks. restriktion 1 ikke ville blive bindende. En bindende restriktion j læ gger pr. definition bånd på vores handlinger, så hvis vi løsner bindingen, d.v.s. forøger b j, vil vi også forøge vores dæ kningsbidrag D. Som en illustration kan tages eksemplet ovenfor med 2 varer, hvor den optimale produktionsomfang viser sig at blive bestemt af de to bindende restriktioner 2 og 3, se nedenfor, medens restriktion 1 er ikke-bindende. Vi kan altså opfatte situationen således, at vi finder optimum ved hjæ lp af at maksimere dæ kningsbidraget under bibetingelserne 2 og 3, idet der anvendes lighedstegn. Vi danner på sæ dvanlig facon Lagrangefunktionen L med de tilhørende multiplikatorer 8 og ( og differentierer. L = 6 A + 5 B - 8 (A+B ) - ((3A + 2B ) 5

6 L/ A = ( = 0 L/ B = ( = 0 L/ 8 = A + B = 0 L/ ( = 3A + 2B = 0 Vi får 8 = 3 og ( = 1 og iøvrigt også A = og B = Med andre ord: Hvis vi forøger kapaciten for restriktion 2 med 1 enhed, vil dæ kningsbidraget stige med 3 enheder. For restriktion 3 er det tilsvarende tal 1. Tallene 8 og ( kaldes VN\JJHSULVHU De viser, hvad en marginal forøgelse på 1 enhed af kapaciteten på en restriktion vil give i bidrag i målfunktionen. Det følger intuitivt heraf, selv om det ikke er bevist, at: VN\JJHSULVHQSnLNNHELQGHQGHUHVWULNWLRQHUHU Der sker jo ikke nogen påvirkning af det samlede dæ kningsbidrag, hvis vi marginalt forøger kapaciteten. Dette er et vigtigt resultat, som har talrige økonomiske anvendelser. Da maskine 1 ikke giver nogen bindende restriktion, er skyggeprisen for dens anvendelse 0. Det vil sige, at indtil restriktionen for maskine 1 bliver bindende, er det gratis at anvende den. Lad os f.eks. antage, at virksomheden får en lille ny ordre, som den skal give et tilbud på, som involverer de 3 maskiner med et forbrug på 10 timer hver. Hvordan skal man så indregne væ rdien af tidsforbruget ved brug af de tre maskiner? Svaret er umiddelbart givet ved anvendelse af skyggepriser: Maskine 1 er gratis, så det koster ikke virksomheden noget at anvende den (marginalt) mere. Ved brug af maskine 2 i 10 timer går vi derimod glip af en indtjening af 3*10 kroner og ved brug af maskine 3 i 10 timer går vi ligeledes glip af 1*10 kroner, så opportunity costs ved den nye ordre er (for så vidt angår dette maskintidsforbrug) = = 40 kroner. Lad os resumere resultaterne Restriktionen er bindende Skyggeprisen er positiv Restriktionen er marginalt ikkebindende Skyggeprisen er nul ved marginale æ ndringer Restriktionen er aldrig bindende Skyggeprisen er altid nul 6

7 (NVHPSHOSnO VQLQJDI/3SUREOHPYHGKM OSDI(;&(/VHPDSSHQ/3 SURJUDPPHULQJPHG(;&(/ Det anbefales at printe denne vejledning ud eller have den liggende, medens regnearket gennemgås. Lad os have ovenstående problem MAKS: 6A + 5B SUB: (1) A+2B (2) A+ B (3) 3A+2B (4) A 0 (5) B 0 Da der kun er to variable A og B, kan der findes en grafisk løsning. Denne er givet i arket Grafisk Illustration. De 3 restriktioner er indtegnet tillige med isoprofitlinien, som er den røde kurve og markerer hæ ldningen på dæ kningsbidraget D = 6A+5B. Det er denne linie, som vi skal parallelforskyde så langt som muligt opad til højre. Det kan væ re lidt svæ rt at se helt klart, hvilken løsning, der er optimal, men der er to kandidater, nemlig (A,B) = ( , ) og (A,B) = ( ,50.000) de præ cise væ rdier for disse to punkter kan findes ved simpelthen at løse de tilhørende ligninger. En direkte indsæ ttelse i målfunktionen giver hhv og , så den optimale løsning bliver A = og B = , altså den løsning, vi fandt fra før. I EXCEL løses det eksakt på følgende måde. Se Excel-regnearket LPprogrammering med EXCEL med følgende ark 1. Problemformulering 2. Grafisk løsning 3. Svarrapport 1 4. Sensitititetsrapport 1 5. Svarrapport 2 Vi foretager nu følgende skridt: 1) Definer to celler svarende til de to væ rdier A og B. Her er sat A = a1 og B = b1. 2) Sæ t helt foreløbigt a1=1 og b1=1. 3) Indsæ t målfunktionen i f.eks. som her cellen a3, idet der skrives = 6*A1+5*B1. Der vises nu (selvfølgelig) tallet 11. (Gangetallene * er her overflødige, men anbefales i praksis.) 4) Skriv de 3 lineæ re restriktioner og de to ikke-negativitetsbetingelser som vist, f.eks. den første som =A1+2*B1. Da vi foreløbigt har sat A1=1 og B1=1, fås tallet 3.Læ g mæ rke til, at vi skriver venstresiden af uligheden i èn celle, og højresiden i en anden. 7

8 5) Tryk på funktioner i menulinien og find Problemløser (eng. solver ). 1 Vi skal nu udfylde 4 felter. a) Målcellen, nemlig den størrelse, som vi ønsker at maksimere. b) Rubrikken maks, min eller lig med. Vi væ lger maks. c) Ved redigering af cellerne: A1 og B1. For det er jo netop disse væ rdier, som vi kan æ ndre på. Hvis de ikke står ved siden af hinanden, skal du anvende et semikolon efter hver henvisning. d) Underlagt betingelserne. Tryk på Tilføj og indlæ g den første betingelse. Tryk på tilføj igen og indlæ g den næ ste o.s.v. Når alle 5 betingelser er indføjet, tryk på Løs, og EXCEL giver en meddelelse om, at den har fundet en løsning. 6) Sæ t kryds i rubrikken Behold problemløsning og tryk på svarrapport. Denne fremkommer på et sæ rligt ark kaldet Svarrapport 1, som typisk bliver sat ind i starten af projektmappen. Det har et udseende som vist på Excel-arket. Læ s dette. Noter, at slutvæ rdien for målvariablen er , altså den løsning, vi fandt ovenfor. Noter, at restriktion (1) ikke er bindende, jfr. ovenfor, og at restriktion (2) og (3) er bindende. Noter også, at vi direkte får udskrevet, hvor meget der er af ledig kapacitet ved den optimale løsning for restriktion 1. Løs problemet igen og bed om en sensitivitetsrapport. Konstater, at Lagrangemultiplikatoren = skyggeprisen for restriktion 2 er på 3 og for restriktion 3 er skyggeprisen på 1. Altså de løsninger, vi fandt ovenfor. Hermed er vi for så vidt fæ rdige, som vi har løst vores problem, men for illustrationens skyld fortsæ tter vi med. 7) Vi ser, hvad der sker, hvis vi antager, at kapaciteten for (den bindende) restriktion 2 ikke var , men , men problemet (1)-(5) i øvrigt er uæ ndret. MAKS: 6A + 5B SUB: (1) A+2B (2) A+ B (3) 3A+2B (4) A 0 (5) B 0 Vi indtaster problemet igen, blot med i stedet for og løser. 8) På arket svarrapport 2 er vist, at målfunktionen, slutvæ rdien æ ndrer sig til , hvor den før var , altså en stigning på 3. Men det var jo netop definitionen af skyggeprisen på restriktionen, som vi netop har fundet til at blive 3. 1 Hvis problemløser (solver) ikke er tilgæ ngelig, kan du gå ind på funktioner i menuen og se under "tilføjelsesprogrammer", om den er tilgæ ngelig der. Hvis den er tilgæ ngelig som tilføjelsesprogram, må du installere den. Alternativt må du sørge for at få den installeret. 8

9 (W DGYDUHQGH VOXWRUG LP-modeller har væ ret ganske populæ re, såvel i økonomisk teori som i praksis, og de anvendes stadigt, men nok ikke i samme omfang. Det skyldes nok to forskellige forhold. For det første, at de har en tilbøjelighed til at give for drastiske resultater. De giver ikke anledning til marginale æ ndringer i de optimale væ rdier som følge af marginale æ ndringer i parametrene. Enten giver de slet ingen æ ndringer - den optimale løsning er den samme i et vist parameterinterval - eller også de giver de anledning til ganske store æ ndringer. I sidste tilfæ lde kan en lille æ ndring i en teknisk koefficient forårsage en drastisk æ ndring i den optimale løsning. Det kan for så vidt også væ re rigtigt, men som en beskrivelse af virkeligheden er det typisk ikke tilfæ ldet. For det andet var LP en lang overgang i praksis den eneste modeltype, der teknisk og beregningsmæ ssigt kunne håndteres. Dette medførte en vis tilbøjelighed til at antage linearitet, også hvor der kræ vedes en del god vilje for at acceptere denne forudsæ tning. Med moderne hjæ lpemidler er det ikke på samme måde læ ngere nødvendigt af beregningstekniske hensyn at kræ ve linearitet. Og det er det faktisk heller ikke i Excel. %UXJDISUREOHPO VHUWLOPHUHJHQHUHOOHPDNVLPHULQJVSUREOHPHU Funktionen "Problemløser" i Excel er ikke begræ nset til blot LP-problemer eller overhovedet indrettet specielt til disse. Der er intet i vejen for, at der i målfunktionen indgår et ikke-linæ rt udtryk, f.eks. at prisen er en faldende funktion af den solgte mæ ngde. Hvis f.eks. på vare A er 15-0,3 A og prisen på vare B er 10-0,4 B, fås målfunktionen MAKS: -0,3*A *A -0,4*B *B, som så kan maksimeres under de relevante bibetingelser. Men hvis såvel målfunktion som bibetingelser er af speciel karakter, er der ingen garanti for hverken eksistens eller entydighed af en løsning. Ikke desto mindre er problemløserfunktionen et ganske kraftigt væ rktøj til "mindre" problemer, så derfor 7LOO\NNH 'X HU QX L VWDQG WLO NRQNUHW DW O VH IOHUH HUKYHUYV NRQRPLVNH SUREOHPHU HQG GH IOHVWH LNNHEORWLWHRULHQPHQRJVnLSUDNVLV 9

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH /LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH Efterspørgselsfunktionen beskriver sammenhængen mellem den pris man tager for sit produkt, og den mængde man kan forvente at afsætte. Det gælder typisk, at

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten ,QYHVWHULQJ %HJUHEHU Kalkulationsrente: Virksomhedens subjektive tidspræferencerate. Typisk er dette alternativrenten, fx kassekreditrenten. Det er den rente virksomheden PLQGVW skal have i afkast ved

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6

Læs mere

Forord... 2. Indledning... 4. Undersøgelsens design og metode... 4. Danske virksomheders arbejde med APV... 5

Forord... 2. Indledning... 4. Undersøgelsens design og metode... 4. Danske virksomheders arbejde med APV... 5 Indholdsfortegnelse Forord... 2 Indledning... 4 Undersøgelsens design og metode... 4 Danske virksomheders arbejde med APV... 5 Danske virksomheders ressourceforbrug ved APV... 8 Danske virksomhedernes

Læs mere

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Den.11.juni 2003. QRJXQJGRPVXGGDQQHOVHUQH,QGKROGVIRUWHJQHOVH Indholdsfortegnelse...1 Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Generelt om uddannelsesniveauet...4

Læs mere

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU /DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU,QGKROGVIRUWHJQHOVH 1. Baggrunden for undersøgelsen 2. Hovedindtrykket af undersøgelsen 3. Tidligere undersøgelser 4. Deltagerne i undersøgelsen

Læs mere

Frederiksværk Kommune

Frederiksværk Kommune Lokalplan 04.61 For tæt lav boligbebyggelse ved Hanehovedvej og Havnevej Forslag November 2006 Frederiksværk Kommune Frederiksværk Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Kopi:

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Lineær Planlægning (programmering) med Excel 2. udgave 2007 1 Indhold FORORD Denne bog forklarer ved anvendelse af nogle typiske eksempler, hvad der er karakteristisk ved LP -

Læs mere

0 OGUXS.RPPXQH V *U QQH,QGN EVSROLWLN

0 OGUXS.RPPXQH V *U QQH,QGN EVSROLWLN 0 OGUXS.RPPXQH V *U QQH,QGN EVSROLWLN %LODJ$ *U Q+DQGOLQJVSODQ IRUSHULRGHQ MDQXDUWLOGHFHPEHU Møldrup Kommunes første Grønne Handlingsplan har to overordnede mål : $WVLNUHDWGHQ*U QQH,QGN EVSROLWLNEOLYHUNHQGWKHU

Læs mere

Overfø rsel af LP-Bå nd-minidisk til CD

Overfø rsel af LP-Bå nd-minidisk til CD 1 Overfø rsel af LP-Bå nd-minidisk til CD (Kort vejledning i overfø rsel af analog lyd til CD) Version 1.1 20. januarr 2002 Sø ren Rich. Christensen Indledning... 2 Oversigt over processen... 3 Indspilning...

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Sikkerhedsorganisation og arbejdsmiljø på små virksomheder

Sikkerhedsorganisation og arbejdsmiljø på små virksomheder Sikkerhedsorganisation og arbejdsmiljø på små virksomheder Øje på arbejdsmiljøet, maj 2002 Udgivet af Landsorganisationen i Danmark Rosenørns Allè 12 1634 København V E-mail: lo@lo.dk Tlf.: 3524 6000 Fax:

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut +YDGHU*36" GPS = Global Position System. Det består af 24 satellitter som cirkulerer ca. 20.000 km. over jorden. Disse sender kontinuerligt et tidssignal, og det er det signals forsinkelse som gør at positionen

Læs mere

Brugervejledning. ADVARSEL: Voksensamling nødvendig.

Brugervejledning. ADVARSEL: Voksensamling nødvendig. Brugervejledning X580 EN14619 Class A Læ s og forstå denne vejledning, før du lader dit barn bruge dette produkt! Hvis du har brug for hjæ lp, skal du kontakte din forhandler. ADVARSEL: Voksensamling nødvendig.

Læs mere

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide 05-2014 / v1.0 1 I. Produktinformation I-1. Pakkens indhold Smart stikkontakt Lyninstallationsguide CD med hurtig installationsvejledning I-2. Frontpanel Strømlysdioder

Læs mere

6WUDWHJLIRU HIIHNWLYRSJDYHYDUHWDJHOVH Sn.LUNHPLQLVWHULHWVPLQLVWHURPUnGH

6WUDWHJLIRU HIIHNWLYRSJDYHYDUHWDJHOVH Sn.LUNHPLQLVWHULHWVPLQLVWHURPUnGH .LUNHPLQLVWHULHW Frederiksholms Kanal 21, Postboks 2123, DK 1015 København K Tlf.: 33 92 33 90 Fax: 33 92 39 13 e-post: km@km.dk 6WUDWHJLIRU HIIHNWLYRSJDYHYDUHWDJHOVH Sn.LUNHPLQLVWHULHWVPLQLVWHURPUnGH

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

0LQLVWHULHWIRU) GHYDUHU/DQGEUXJRJ)LVNHUL

0LQLVWHULHWIRU) GHYDUHU/DQGEUXJRJ)LVNHUL 0LQLVWHULHWIRU) GHYDUHU/DQGEUXJRJ)LVNHUL Internationalt Fiskerikontor Sagsnr.: 10360/325926 Den 29. november 2007 UFSV/MOIM/BRRA Bilag 133 127$77,/ 8'9$/*(7),6.(5, RPIRUVODJWLO5nGHWVIRURUGQLQJRPIDVWV WWHOVHIRUDIILVNHULPXOLJKHGHURJGHUWLO

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

FRA OMSORG TIL RESSOURCER

FRA OMSORG TIL RESSOURCER FRA OMSORG TIL RESSOURCER JANNE HEDEGAARD HANSEN LEKTOR, PH.D. DPU, ÅRHUS FORHOLDET MELLEM POLITIK OG PÆDAGOGIK Socialpæ dagogisk arbejde er underlagt politisk formulerede mål - lovgivning Socia lpæ da

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Frederiksværk Kommune

Frederiksværk Kommune For Møllevang Juni 2005 Frederiksværk Kommune Frederiksværk Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Kopi: Frederiksværk Kommune. Oplag: 200 stk. Lokalplanen er udarbejdet af

Læs mere

ATP-beskæftigelsestal 3. kvartal 2009 Krisen har bidt sig godt fast i IT -branchen D en økonom iske krise har gjort endnu et solidt indhug i IT-branchens beskæ ftigelse. Branchen har nu i de tre første

Læs mere

Omstilling og arbejdsmiljø i den offentlige sektor. En caseanalyse

Omstilling og arbejdsmiljø i den offentlige sektor. En caseanalyse Omstilling og arbejdsmiljø i den offentlige sektor. En caseanalyse Øje på arbejdsmiljøet, maj 2002 Udgivet af Landsorganisationen i Danmark Rosenørns Alle 12 1634 København V E-mail: lo@lo.dk Tlf.: 3524

Læs mere

Rapport. i forbindelse med FYSISKE UNDERVISNINGSFORSØG KOMPETENCEKURSUS. af Steen Eiler Jørgensen. 10. december 2001

Rapport. i forbindelse med FYSISKE UNDERVISNINGSFORSØG KOMPETENCEKURSUS. af Steen Eiler Jørgensen. 10. december 2001 Rapport i forbindelse med FYSISKE UNDERVISNINGSFORSØG KOMPETENCEKURSUS af Steen Eiler Jørgensen 10. december 2001 Emne: Elektromagnetiske bølger, herunder 3 cm-bølger Indhold Forord 3 Teori 4 Sikkerhed

Læs mere

Kommunale stordriftsfordele. - myte eller realitet?

Kommunale stordriftsfordele. - myte eller realitet? Kommunale stordriftsfordele - myte eller realitet? Af Kurt Houlberg, direktør for ECO-Analyse A/S Publiceret i Nordisk Administrativt Tidsskrift 1/1995, 76. årgang 1995 Nordisk Administrativt Forbund og

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Hvad er en leder gjort af? Af 'DQLHO*ROHPDQ

Hvad er en leder gjort af? Af 'DQLHO*ROHPDQ Hvad er en leder gjort af? Af 'DQLHO*ROHPDQ Af: 'DQLHO*ROHPDQ +YDGHUHQ/HGHUJMRUWDI" Intelligens og faglig viden er vigtige kvaliteter, men emotionel intelligens er alfa og omega indenfor ledelse. Enhver

Læs mere

6WDQGDUGLVHUHWIDQJVWDI\QJOHIXJOHL'\EHQGDO6DOWHQ/DQJV 6NRYGLVWULNW

6WDQGDUGLVHUHWIDQJVWDI\QJOHIXJOHL'\EHQGDO6DOWHQ/DQJV 6NRYGLVWULNW 6WDQGDUGLVHUHWIDQJVWDI\QJOHIXJOHL'\EHQGDO6DOWHQ/DQJV 6NRYGLVWULNW Af Jan Drachmann )RURUG Denne rapport præsenterer resultaterne fra årets standardiserede fangst af ynglefugle i Dybendal beliggende i Salten

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Stadsarkitektens kontor Byplanafdelingen Rådhuset Postboks 32 Århus d. 26-4-2003 8100 Århus C

Stadsarkitektens kontor Byplanafdelingen Rådhuset Postboks 32 Århus d. 26-4-2003 8100 Århus C Jan Larsen Kornmodsbakken 176 8210 Århus V Tlf. 8675 0319 E-mail: info@udvandrerne.dk Stadsarkitektens kontor Byplanafdelingen Rådhuset Postboks 32 Århus d. 26-4-2003 8100 Århus C,QGVLJHOVHPRGIRUVODJWLOORNDOSODQ%ROLJRJHUKYHUYVRPUnGHYHG6RPPHUYHMRJ9LERUJYHML

Læs mere

Debat oplæg: Udpegning af indvindingsoplande t il almene vandforsyninger uden f or områder med særlige drikkevandsint eresser,qgkrog

Debat oplæg: Udpegning af indvindingsoplande t il almene vandforsyninger uden f or områder med særlige drikkevandsint eresser,qgkrog Side 1 af 6 Debat oplæg: Udpegning af indvindingsoplande t il almene vandforsyninger uden f or områder med særlige drikkevandsint eresser,qgkrog )RUPnO %DJJUXQG +YRUIRUHUXGSHJQLQJHQYLJWLJ.RQVHNYHQVHU 'HWYLGHUHIRUO

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Fedt for Fight. - skolestarter. Evalueringsrapport med fokus på familiernes udbytte. Aarhus Kommune. Børn og Unge

Fedt for Fight. - skolestarter. Evalueringsrapport med fokus på familiernes udbytte. Aarhus Kommune. Børn og Unge Fedt for Fight - skolestarter Evalueringsrapport med fokus på familiernes udbytte Aarhus Kommune Børn og Unge Fedt for Fight - skolestarter Evalueringsrapport med fokus på familiernes udbytte Udgiver:

Læs mere

DiskStation DS211j, DS211

DiskStation DS211j, DS211 DiskStation DS211j, DS211 Hurtig installationsvejledning Dokument-id: Synology_QIG_2bayCL_20101028 SIKKERHEDSINSTRUKTIONER Læ s disse sikkerhedsinstruktioner nøje før brugen, og opbevar denne vejledning

Læs mere

LO s formand Hans Jensen. Tale ved LO s konference om globalisering. Odense d. 31. jan. 2005

LO s formand Hans Jensen. Tale ved LO s konference om globalisering. Odense d. 31. jan. 2005 LO s formand Hans Jensen Tale ved LO s konference om globalisering Odense d. 31. jan. 2005 --------------------------------------------------------------------- I valgkampe går det alt for ofte sådan,

Læs mere

Frederiksværk Kommune

Frederiksværk Kommune For Hanehoved Nordøst Oktober 2004 Frederiksværk Kommune Frederiksværk Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Amtskode 020 Kommunekode 211 Oplag: 200 stk. Lokalplanen er udarbejdet

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

ATP-beskæftigelsestal 3. kvartal 2009 Fra 2. til3. kvartal20 0 9 faldt beskæ ftigelsen m ed 4,6 pct. ivikarbranchen og fortsæ tter derm ed den nedadgående tendens fra 20 0 8 og 20 0 9. Faldet har dog ikke

Læs mere

Anm eldelsesblanket fo r tillid s re p ræ s e n ta n te r

Anm eldelsesblanket fo r tillid s re p ræ s e n ta n te r Anm eldelsesblanket fo r tillid s re p ræ s e n ta n te r P e rs o n lig e o p ly s n in g e r T illid s re p ræ s e n ta n t M edlem sorganisation CPR- nr. eller m edlem s num m er Fulde navn Gade/vej

Læs mere

Studieordning for IT-VEST MASTERUDDANNELSE I INFORMATIONSTEKNOLOGI, LINIEN I IT, KOMMUNIKATION OG ORGANISATION. September 2002

Studieordning for IT-VEST MASTERUDDANNELSE I INFORMATIONSTEKNOLOGI, LINIEN I IT, KOMMUNIKATION OG ORGANISATION. September 2002 AARHUS UNIVERSITET Det Humanistiske Fakultet Studieordning for IT-VEST MASTERUDDANNELSE I INFORMATIONSTEKNOLOGI, LINIEN I IT, KOMMUNIKATION OG ORGANISATION September 2002 Senest revideret september 2002

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

REVURDERING AF MILJØGODKENDELSE

REVURDERING AF MILJØGODKENDELSE REVURDERING AF MILJØGODKENDELSE For Affaldscenter Århus, forbrændingsanlægget Afgørelsen omfatter: Forbrændingsanlægget og Trige Veksleren Dato: 7. januar 2005 Godkendt: Anders M. Rasmussen Afdelingsleder

Læs mere

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet

LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet September 2000 LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet Indholdsfortegnelse Forord... 2 Indledning... 3 LO«s forslag til konkrete initiativer... 5 Model til anvendelse af arbejdsevnekriteriet...

Læs mere

Danskere i medvind. Vores testemne har en balanceret linie-indgang, hvilket er ganske unikt for en

Danskere i medvind. Vores testemne har en balanceret linie-indgang, hvilket er ganske unikt for en Danskere i medvind Vi retter vores spotlight mod det skandinaviske HIFI-marked og ser på to danske integrerede forstæ rkere, som virkerlig imponerer Af Peter Westberg og Michael Madsen I de nordiske lande

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

-DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW. Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne)

-DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW. Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne) -DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne) ,QGKROGVIRUWHJQHOVH 1. Baggrund, kommissorium, afgrænsning og sammensætning 2. Arbejdsgruppens

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Kontoret for børn og unge mv., Social og Psykiatriforvaltningen i Viborg Amt Januar 2006 Projektleder Lisbeth Ørtenblad

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Veterinæ r brugervejledning

Veterinæ r brugervejledning Veterinæ r brugervejledning Opsamlings- og diagnostiksoftware Dok. nr.: TM -703-DK-S Rev 0.1.4 januar 2012 Bestillingsnr.: CR-FPM-04-002-DK-S 3DISC, FireCR, Quantor og 3D Cube er varemæ rker, der tilhører

Læs mere

R egional U dvikling

R egional U dvikling Resultatkontrakt Vedrørende Fastholdelse af udenlandske studerende JO Bm idt [1. m aj2009 30. juni 2012] Journalnum m er:1-33-76-22-20-08 Kontraktens parter Region: Region M idtjylland(r M ) Regional U

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Kort til Husdyrgodkendelse / Excel data og Næsgaard Markkort

Kort til Husdyrgodkendelse / Excel data og Næsgaard Markkort Kort til og Næsgaard Markkort Kun i ADVICER Dette afsnit er kun relevant hvis du arbejder med AD- VICER udgaven af Næsgaard Markkort (rådgiverudgaven). Funktionen findes IKKE i PLUS og OPTI udgaven af

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

R70 - UM-6908 COMPUTER FUNKTIONER

R70 - UM-6908 COMPUTER FUNKTIONER R70 Romaskine R70 - UM-6908 COMPUTER FUNKTIONER Menu Bar 1. STOP = STOP status 2. MANUAL = Modstand 1~16 3. PROGRAM = P1~P12 4. WATT (W) = Ydelse 5. BRUGER PROGRAM = U1~U4 profiler 6. H.R.C. = 55% 75%

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING

Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING....3 1.1 PROBLEMFELT...3 1.2 PROBLEMFORMULERING...4 1.3 AFGRÆNSNING...4 1.4 DET TVÆRVIDENSKABELIGE ASPEKT....5 2. TEORIER...5 2.1 ØKONOMISK TEORI....5 2.1.1 Merkantilisterne...6

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Udtræ de n a f le je kontra kte r før kontra ktudløb

Udtræ de n a f le je kontra kte r før kontra ktudløb Udtræ de n a f le je kontra kte r før kontra ktudløb Dansk Selskab for Boligret 26. februar 2013 p TATI RÆ SEN ON Dias 2 Dansk Se lska b for Bolig re t Generelt om kontrakter med lang løbetid Problem:

Læs mere

Installationsvejledning

Installationsvejledning Installationsvejledning Modeller: AS1002T/AS1004T Ver.2.3.0903 (2015-3-2) Ver.2.4.05027 (2015-5-27) Indholdsfortegnelse Bemæ rkninger... 3 Sikkerhedsforanstaltninger... 4 1. Pakkens indhold... 5 2. Ekstra

Læs mere

Titel Overskrift. Hold den kort og præcis! Som Førtidspension & Skånejob. Andet relevant information skal stå i resumefeltet.

Titel Overskrift. Hold den kort og præcis! Som Førtidspension & Skånejob. Andet relevant information skal stå i resumefeltet. Oprettelse af Indholdsside fra a-z For at oprette en side skal du vælge en indholdstype, som i de fleste tilfælde er en Indholdsside. Herefter skal du udfylde felterne; på en indholdsside skal du koncentrere

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Frederiksværk Kommune

Frederiksværk Kommune Lokalplan 04.59 For Artillerihusene september 2006 Frederiksværk Kommune Lokalplan 04.59 Frederiksværk Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Kopi: Frederiksværk Kommune.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

DET DANSKE MIRAKEL HVAD KAN VI LÆRE? Oplæg til Forskningspolitisk seminar 3. november 2014

DET DANSKE MIRAKEL HVAD KAN VI LÆRE? Oplæg til Forskningspolitisk seminar 3. november 2014 DET DANSKE MIRAKEL HVAD KAN VI LÆRE? Oplæg til Forskningspolitisk seminar 3. november 2014 Kaare Aagaard Seniorforsker Dansk Center for Forskningsanalyse Aa rhus Universitet DISPOSITION Det danske mirakel

Læs mere

Galaksen & Teknologien

Galaksen & Teknologien G & T H m? D K mæ S m S æ U m Fæ æ m H? O m m Pm m E m m U hm D mm Æ m H? M m m Kæm F m Km m m mm Næ h L mm H æ m? M m A - R m N R AI T m æ H m? E W? L?! A & I (U m) H m? Tæ Tæ m F hm D æ Fm S m Em- (

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Lynguide. Drive Pro bilvideooptager. (Version 0.1)

Lynguide. Drive Pro bilvideooptager. (Version 0.1) Lynguide Drive Pro bilvideooptager (Version 0.1) TOC Indholdsfortegnelse Sikkerhedsforanstaltninger Drive Pro eller appen på ikke betjenes under kørsel for din sikkerheds skyld. Drive Pro må aldrig placeres,

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for nye måder at arbejde med Diagrammer på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003

Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003 Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003 Dokid 184237 Det konsoliderede årsregnskab for fællesfonden for 2003 er udarbejdet på baggrund af de af stiftsøvrighederne udarbejdede, men endnu ikke reviderede

Læs mere

OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER

OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER Kan PowerPoint ikke animere, kan programmet i stedet lave overgangs- og opbygningseffekter. Ikke mindst opbygningseffekter giver rige muligheder, for at lave særdeles avancerede

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Synology DiskStation DS214 Hurtig installationsvejle

Synology DiskStation DS214 Hurtig installationsvejle Synology DiskStation DS214 Hurtig installationsvejle Synology_QIG_DS214_20150626 Indholdsfortegnelse Kapitel 1: Før du begynder Pakkens indhold... 3 Overblik over Synology DiskStation... 4 Sikkerhedsvejledning...

Læs mere

Genveje i Excel. Herunder ser du en liste over nyttige genveje i Excel, skimt den igennem og se hvilke der er vigtigst for dig.

Genveje i Excel. Herunder ser du en liste over nyttige genveje i Excel, skimt den igennem og se hvilke der er vigtigst for dig. Genveje i Excel Herunder ser du en liste over nyttige genveje i Excel, skimt den igennem og se hvilke der er vigtigst for dig. Hvis man vil Skal man trykke på Taster der bruges til at flytte eller rulle

Læs mere

Combo Crunch. fitnessfaq.info

Combo Crunch. fitnessfaq.info Combo Crunch fitnessfaq.info Kombinationsboksen stykket læ gges væ gt på både den øvre og nedre region af maven. Selvom den fulde læ ngde af musklen er indgåelse af kontrakter, skal den øvelse skal udføres

Læs mere

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII

Læs mere

Er kommunerne bæredygtige ind i det næste årtusind?

Er kommunerne bæredygtige ind i det næste årtusind? (Kapitel 3 i: Dahler-Larsen, Peter & Klausen, Kurt Klaudi (red.) 2000: Festfyrværkeri eller gravøl - en debatbog om den danske kommune ved årtusindskiftet, Odense Universitetsforlag, Odense) Er kommunerne

Læs mere