Praktisk Statistik til Mikroøkonomi og Makroøkonomi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Praktisk Statistik til Mikroøkonomi og Makroøkonomi"

Transkript

1 Praktisk Statistik til Mikroøkonomi og Makroøkonomi Til brug sammen med Mikroøkonomi Teori og beskrivelse og Makroøkonomi Teori og beskrivelse LIMEDESIGN

2 Praktisk statistik Formålet med dette appendiks er at præsentere centrale redskaber i den praktiske statistik, dvs. redskaber til at illustrere centrale egenskaber ved et datamateriale. Afsnittet behandler forskellige metoder til beregning og vurdering af niveaumål og spredningsmål. Niveaumålene har til formål at præsentere gennemsnit eller midterværdier i et datamateriale. Spredningsmålene søger at opstille tal for spredningen eller ensartetheden i et talmateriale. Endvidere præsenteres metoder til beskrivelse af vækst og udvikling. Særlig fokus rettes mod konstruktionen af prisindeks. Underves gives veleding i tabelmæssig og grafisk præsentation af datamaterialer. I fremstillingen benyttes næsten udelukkende kvantitative datamaterialer, dvs. datamaterialer, hvor data kan angives ved tal og hvor regneoperationer meningsfuldt kan anvendes. Mange af de viste metoder lader sig i praksis nemmest gennemføre ved brug af lommeregner eller regnearksprogrammer. Det falder dog uden for denne fremstillings rammer at give egentlig instruktion i lommeregneranvendelse og anvendelse af regneark. Niveaumål Middeltal for observationssæt Statistik beskæftiger sig med systematisk indsamling og bearbedning af datamaterialer. De registrerede data kaldes observationer og en samling af sammenhørende observationer kaldes et observationssæt. Et eksempel kunne være de karakterer, som 16 studerende opnåede ved en eksamen: Beregningen af deltagernes karaktergennemsnit sker ved at dividere summen af karaktererne med antallet af deltagerne: ( 3) ,5 Et gennemsnit beregnet på denne måde kaldes også et aritmetisk gennemsnit eller et middeltal: Gennemsnittet eller middeltallet ( x) for et observationssæt beregnes ved at dividere summen af observationsværdierne (x1 + x + + xn = x i ) med antallet af observationer (n): n i1 x x 1 x... x n n n i1 n x i

3 Praktisk statistik 3 I eksemplet ovenfor er observationsværdierne (x værdierne) altså karakterværdierne (x1 = 00, x = 7,..., xn = x16 = 7), og n er antallet af studerende, dvs. 16. Øvelse 1: Følgende talmateriale viser det antal minutter, som de studerende på et hold havde brugt til forberedelse før en lektion i mikroøkonomi: Beregn det gennemsnitlige antal minutter brugt på forberedelse. Grupperede observationssæt. Fordelinger Ofte vil man møde datamateriale, som er grupperet efter et eller flere kendetegn. Der er derfor behov for metoder til at beregne gennemsnit med udgangspunkt i grupperede observationssæt. Antag fx at vi ønsker at beregne karaktergennemsnit for et meget stort antal deltagere, som er grupperet efter den opnåede karakter. De grupperede observationer fremgår af følgende tabel: Tabel 1 Studerende fordelt efter eksamenskarakter Det samlede karaktergennemsnit beregnes stadig som den samlede karaktersum divideret med det samlede antal deltagere. I tabel er vist karaktersummen i de enkel Observationsværdi nr. i Karakter x i Antal i gruppen (hyppighed) h i I Tabel 1 er observationssættet grupperet således, at vi direkte kan aflæse, hvor hyppigt de enkelte karakterer forekommer. Et sådant observationssæt kaldes også en fordeling 1. En fordeling består af et antal kendetegn (her forskellige karakterer) med tilhørende hyppigheder, der angiver, hvor mange gange i datamaterialet, det pågældende kendetegn forekommer. 1 Man taler her om en empirisk fordeling for at understrege, at fordelingen er baseret på indsamlede oplysninger, dvs. en empirisk undersøgelse.

4 4 Praktisk statistik te karaktergrupper. Eksempelvis har de 44 deltagere, som har opnået karakteren 4, en samlet karaktersum på 4 44 = 176. Tabel Beregning af karaktersum Observationsværdi nr. Karakter x Antal i gruppen (hyppighed) h Karaktersum i gruppen x h I alt Den samlede karaktersum får vi ved at lægge alle tallene i den sidste kolonne sammen: 7 Samlet karaktersum = x h = = Det samlede karaktergennemsnit vil derfor være: 7 x h 1 1 x 7 n 7 x h 1 h ,3 Undertiden vil man med fordel kunne beregne middeltal eller gennemsnit ved at lave fordelingen om til en frekvensfordeling. I eksemplet ovenfor sker det ved at omregne hyppighederne til frekvenser, dvs. andele af det samlede antal deltagere, som opnåede en bestemt karakter. Da der er 44 ud af 18 deltagere, der opnåede karakteren 4, vil frekvensen af 4 taller være: 44 f4 = = 0, Frekvensen af 4 taller er da 0, Det betyder, at godt 0 pct. af deltagerne fik karakteren 4.

5 Praktisk statistik 5 Tabel 3 Hyppighedsfordeling og frekvensfordeling Observationsværdi nr. i Karakter x i Antal i gruppen (hyppighed) h i Andel i gruppen (frekvens) f i Procentandele , , , , , , , , , , , , , ,1 I alt ,00 Med udgangspunkt i frekvensfordelingen kan middeltallet eller gennemsnittet beregnes ved at gange de enkelte karakterværdier med deres frekvens. Således kan 4 tallernes bidrag til gennemsnittet beregnes som 4 0,01835 = 0, Det samlede gennemsnit bliver: 7 x x f = ( 3) 0, , , = 5,3 1 Gennemsnittet eller middeltallet ( x) for en fordeling, der er opdelt i k grupper kan beregnes som: x x 1 h 1 x h n... x k h k k 1 x h n k 1 x h 7 1 h hvor h er hyppigheden for observationsværdi x k er antal forskellige observationsværdier (antal grupper) n er antal observationer i alt. eller som: x = x1 f1 + x f + + xk fk = x hvor f er frekvensen for observationsværdi x k 1 f

6 6 Praktisk statistik Øvelse : I en lille provinsby har en trafikomlægning givet anledning til en del trafikulykker med personskader. I 006 blev der for hver ulykke optalt følgende antal personer med skader: a. Opstil en hensigtsmæssig fordeling, der giver overblik over ulykkernes omfang. b. Udregn fordelingens middeltal. Øvelse 3: I tabellen nedenfor er vist fordelingen af husstandene i en gade efter antal børn. Tabel 4 50 husstande fordelt efter antal børn Antal børn i husstanden Antal husstande a. Beregn frekvensfordelingen ud fra ovenstående tabel. b. Udregn det gennemsnitlige antal børn pr. husstand ud fra frekvensfordelingen. Typetal Betragt følgende tabel, der viser fordelingen af sygedage på et skoleår blandt eleverne i en skoleklasse. Tabel 5 30 elever fordelt efter antal sygedage Antal sygedage i skoleåret Antal elever

7 Praktisk statistik 7 Ud fra tabellen kan vi beregne middeltallet, dvs. det gennemsnitlige antal sygedage til 3,6. I tabellen kan vi se, at der er 5 elever, der har et fravær over gennemsnittet, mens de resterende 5 elever har et fravær under gennemsnittet. Man kan derfor kritisere gennemsnittet for ikke at udtrykke det normale sygefravær i klassen. Årsagen til dette er, at fordelingen er skæv i den forstand, at eleven med 50 sygedage har en meget stor indflydelse på middeltallet. Vil vi have et udtryk for det normale sygefravær, som ikke i så hø grad er præget af enkelte ekstreme observationer, kan vi opgøre typetallet (modus). Typetallet i en fordeling er den (de) observationsværdi(er), der har den største hyppighed eller den største frekvens. I tabellen ovenfor er et sygefravær på 1 dag den oftest forekommende observationsværdi. Derfor er typetallet 1 sygedag. Øvelse 4: Efter sæsonafslutningen har en fodboldklub opgort antallet af advarsler, som hver af deres førsteholdsspillere er blevet tildelt i sæsonens kampe. Resultatet er følgende: a. Opstil en hyppighedsfordeling til beskrivelse af talmaterialet. b. Udregn fordelingens middeltal og typetal. Øvelse 5: Bestem typetallet for talmaterialet i Øvelse 3. Median Et andet mål for det gennemsnitlige niveau i et observationssæt er medianen. Medianen opgøres som den midterste observationsværdi, når observationerne opstilles i størrelsesorden. Det vil sige den værdi, der opdeler talmaterialet i to lige store dele henholdsvis over og under værdien. Betragt fx følgende tal, der viser legemsvægten i kg for 13 drenge på et fodboldhold: Ordnet efter vægt ser talmaterialet sådan ud: Medianen vil her være 56 kg, idet der er 6 drenge, der veer mindre end 56 kg, og 6 drenge, der veer mere end 56 kg. Hvis antallet af observationer i et talmateriale er et lige tal, er der ikke en enkelt observation, som kan siges at være den midterste observation. Her kan medianen findes ved at tage gennemsnittet af de to midterste observationers værdier.

8 8 Praktisk statistik Vender vi tilbage til eksemplet med sygefraværet, er bestemmelsen af medianen ikke helt så enkel. Vi kan ikke her finde et antal sygedage, der opdeler materialet på en måde, så der er lige mange elever med et lavere og med et høere sygefravær. For at finde en entydig metode til bestemmelse af medianen, ser vi på frekvensfordelingen: Tabel 6 30 elever fordelt efter antal sygedage Antal sygedage i skoleåret Antal elever Frekvens Summeret frekvens Summeret procentandel 0 3 0, 0, 10, ,300 0,400 40,0 8 0,67 0,667 66, ,167 0,833 83,3 4 0,067 0,900 90,0 5 0,067 0,967 96, ,033 1,000,0 I alt I tabel 6 er frekvensfordelingen beregnet ved at dividere antallet af elever i hver gruppe med 30. I tabellens sidste kolonne er vist den summerede frekvens (kumulerede frekvens). Den summerede frekvens fås ved at lægge frekvenserne sammen: Den summerede frekvens for 1 sygedag er 0, + 0,300 = 0,400 og det betyder at 40 pct. af eleverne havde 0 eller 1 sygedag. Den summerede frekvens for sygedage er 0, + 0, ,67 = 0, ,7 pct. af eleverne havde altså eller færre sygedage. Medianen er et udtryk for den midterste observation, når observationerne opstilles i størrelsesorden. Medianen i ovenstående fordeling er derfor sygedage. Vi kan aflæse medianen i kolonnen med de summerede frekvenser ved at finde den observationsværdi x, hvor den summerede frekvens første gang når op på eller overstiger 0,5. Medianen bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. Øvelse 6: Bestem median og typetal for talmaterialet i Øvelse. Øvelse 7: Bestem medianen for talmaterialet i Øvelse 3. Øvelse 8: Bestem medianen for talmaterialet i Øvelse 4.

9 Praktisk statistik 9 Intervalgrupperede fordelinger I mange talmaterialer er antallet af forskellige observationsværdier meget stort. Indsamles eksempelvis oplysninger om befolkningens skattepligtige indkomster, vil man få flere hundredetusinde forskellige observationsværdier. Skal et sådant talmateriale præsenteres overskueligt, er der behov for en gruppering af observationsværdierne i intervaller. Fastlæggelsen af, hvilke intervaller, som er hensigtsmæssige, må bero på en vurdering af det konkrete talmateriale. Generelt må intervallerne opfylde følgende krav: Intervallerne er entydigt afgrænsede. Der må ikke herske tvivl om, i hvilket interval en observationsværdi skal placeres. Intervallerne dækker hele talmaterialet. Det skal være muligt at placere en hvilken som helst tænkelig observationsværdi i et af intervallerne. Et overskueligt antal intervaller. Overskueligheden kan nemt forsvinde, hvis man vælger for mange intervaller. Omvendt må man have et tilstrækkeligt antal intervaller til at fordelingens struktur tydeligt fremgår. Som en praktisk tommelfingerregel kan anbefales, at man stræber mod et antal intervaller på mellem 5 og 15. Følgende er et eksempel på en konkret intervalgrupperet fordeling. Tabel 7 Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer Interval nr. Antal ugentlige overtimer (interval) x -1 ;x Antal personer i intervallet (hyppighed) h Intervalmidtpunkt x 1 x m Samlet overtimetal i intervallet m h 1 0;,5 31 1,5 38,75,5;5,0 48 3,75 180,00 3 5,0;7,5 6 6,5 16,50 4 7,5;10,0 14 8,75 1, ,0;1,5 8 11,5 90,00 6 1,5;15,0 13,75 7, ,0;17,5 1 16,5 16,5 I tabellens anden kolonne er intervallerne specificeret. I første interval placeres medarbedere med et ugentligt overtimetal på,5 timer eller lavere. I andet interval placeres medarbedere med et overtimetal, som er større end,5, men ikke over 5,0, osv. Bemærk at den entydige intervalinddeling er sikret ved at lade intervallerne være åbne ved den nedre grænse og lukkede ved den øvre grænse. At et interval er åbent ved nedre grænse betyder, at den nedre grænse ikke er med. Det symboliseres med en intervalklamme, hvis grene vender væk fra tallet. At et interval er lukket ved øvre grænse betyder, at den øvre grænse er med. Det symboliseres med en intervalklamme, hvis grene vender hen mod tallet.

10 10 Praktisk statistik Trede kolonne i tabel 7 viser hyppighederne i de enkelte intervaller. Fx ses, at der er 48 medarbedere, der har et ugentligt overtimetal, som er høere end,5, men ikke over 5,0. Beregningen af middeltallet dvs. det gennemsnitlige overtimetal for virksomhedens medarbedere foregår efter samme metode som tidligere. Det vil sige ved at opgøre det samlede antal overtimer og dividere med antallet af medarbedere i virksomheden. Vi støder dog her på det problem, at vi ikke kender medarbedernes præcise overtimetal. Vi ved, hvor mange der er placeret i de forskellige intervaller, men vi ved ikke, hvor i intervallet de er placeret. Hvis det kan antages og det vil ofte være tilfældet at de enkelte medarbederes timetal er ævnt fordelt over intervallet, kan problemet klares på følgende måde. Det gennemsnitlige overtimetal inden for hvert interval vil da være intervalmidtpunktet. I beregningerne kan vi lade som om, at alle personer i de enkelte intervaller har et overtimetal svarende til intervalmidtpunktet. I tabellens sidste kolonne er vist det samlede overtimetal i hvert interval beregnet som intervalmidtpunktet (m) ganget med antal personer i det pågældende interval (h). Virksomhedens samlede overtimetal får vi da ved at summere alle tallene i denne kolonne: 7 Samlet overtimetal = m h = 38, , , ,5 = 637,50 1 Det samlede antal medarbedere finder vi i tabellens trede kolonne ved at lægge antallet af personer i de enkelte intervaller sammen: Samlet antal medarbedere = n = h = = 130 Det samlede overtimegennemsnit vil derfor være m h 1 1 x 7 n 7 m h 1 h 637, ,9 Som tilfældet var med de ikke intervalgrupperede fordelinger, kan middeltallet også beregnes ud fra frekvensfordelingen. Frekvensen for de enkelte intervaller findes ved at dividere intervallets hyppighed (antal medarbedere i det pågældende interval) med det samlede antal observationer (det samlede antal medarbedere). Frekvenser og summerede frekvenser er vist i tabel 8.

11 Praktisk statistik 11 Tabel 8 Intervalgrupperet frekvensfordeling Antal ugentlige overtimer (interval) x -1 ;x Antal personer i intervallet (hyppighed) h Intervalmidtpunkt x 1 x m Intervalfrekvens f Summeret frekvens F 0;,5 31 1,5 0,385 0,385,5;5,0 48 3,75 0,369 0,6077 5,0;7,5 6 6,5 0,000 0,8077 7,5;10,0 14 8,75 0,1077 0, ,0;1,5 8 11,5 0,0615 0,9770 1,5;15,0 13,75 0,0154 0,993 15,0;17,5 1 16,5 0,0077 1,0000 Herefter kan gennemsnittet beregnes ved at gange de enkelte intervalmidtpunkter med deres frekvens. Således er første intervals bidrag til gennemsnittet 1,5 0,385 = 0,981. Gennemsnittet eller middeltallet bliver: 7 x m f = 1,5 0, ,75 0, ,5 0,0077 = 4,9 1 Gennemsnittet eller middeltallet ( x) for en intervalgrupperet fordeling kan beregnes som: x m 1 h 1 m h n... m k h k k 1 m h n k 1 m h 7 1 h hvor h er hyppigheden for interval nr. k er antal intervaller n er antal observationer i alt eller som: x = m1 f1 + m f + + mk fk = m k 1 f, hvor x 1 er inter hvor f er frekvensen for interval nr. x 1 x m er intervalmidtpunktet i interval nr.. m = vallets nedre grænse og x intervallets øvre grænse.

12 1 Praktisk statistik Øvelse 9: En beboerforening har i forbindelse med overveelser om igangsætning af fritidsaktiviteter for børn indsamlet oplysninger om aldersfordelingen for de børn, der bor i foreningens område. Resultatet er følgende tabel: Tabel 9 Fordeling af børn efter alder Alder Antal børn 0-3 år år år år 5 Beregn middeltallet, dvs. den gennemsnitlige alder for børnene i området. Overve nøe, hvordan intervalmidtpunkterne bør fastlægges. Øvelse 10: I Statistisk Tiårsoversigt 006 findes følgende fordeling af de personer, som i løbet af 005 blev registreret som ledige. De ledige er fordelt efter ledighedsperiodens varighed. Tabel 10 Fordeling af ledige efter ledighedsperiodens varighed Ledighedsperiodens varighed Antal tusinde personer Under 74 dage dage dage dage dage og derover 38 Opstil frekvensfordelingen og beregn herudfra middeltallet. Forklar, hvad middeltallet udtrykker. Øvelse 11: Ved en undersøgelse af størrelsesfordelingen af 48 medlemsvirksomheder i en brancheforening indsamles følgende oplysninger om antal beskæftigede i de 48 virksomheder: a. Foretag en hensigtsmæssig intervalgruppering af observationerne. b. Beregn middeltallet ud fra intervalgrupperingen. c. Beregn middeltallet direkte ud fra grundmaterialet. d. Forklar forskellen mellem resultaterne i b. og c.

13 Praktisk statistik 13 I stedet for typetallet (modus) for en intervalgrupperet fordeling bestemmes typeintervallet, dvs. det interval, hvor der er flest observationer. I ovenstående fordeling af antal overtimer vil typeintervallet således være,5 ; 5,0. Det betyder, at det er mest almindeligt, at det ugentlige antal overtimer ligger mellem,5 og 5,0. Typeintervallet i en intervalgrupperet fordeling med lige store intervaller er den (de) observationsinterval(ler), der har den største hyppighed eller den største frekvens. Øvelse 1: Bestem typeintervallerne i Øvelse 9 og Øvelse 10. Medianen for en intervalgrupperet fordeling er ligesom i en ugrupperet fordeling den observationsværdi, der opdeler talmaterialet i to lige store dele henholdsvis over og under værdien. Vi har tidligere brugt den summerede frekvens som et redskab til at finde medianen, nemlig som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. Forsøger vi at bruge denne metode på fordelingen af medarbedere efter ugentligt overtimetal i tabel 8, kan vi se, at medianen må befinde sig i intervallet fra,5 til 5,0 overtimer. Hvis vi vil bestemme medianen mere præcist, kan vi bruge vores forudsætning om, at observationerne er ævnt fordelt i de enkelte intervaller. I tabel 8 kan vi se, at den summerede frekvens stiger fra 0,385 til 0,6077, når intervallet fra,5 til 5,0 gennemløbes. Er observationerne ævnt fordelt, vil frekvensen 0,5 opnås, når en 0,5 0,385 andel på er gennemløbet. Derfor kan medianen bestemmes som: 0,6077 0,385,5 + 0,5 0,385 (5,0,5) = 4,7. 0,6077 0,385 Medianen bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. I en intervalgrupperet fordeling findes medianen ved først at identificere det interval, hvor den summerede frekvens passerer 0,5. Kaldes den summerede frekvens ved intervallets start for FSTART og den summerede frekvens ved intervallets afslutning for FSLUT kan medianen bestemmes som: Median = Nedre intervalgrænse + 0,5 F F SLUT F START START Intervalbredden Øvelse 13: Bestem medianen i Øvelse 9 og Øvelse 10.

14 14 Praktisk statistik Grafisk afbildning af fordelinger Ofte kan det være en god ide at illustrere en fordeling i et diagram. Almindeligvis anvendes et sølediagram, hvor sølernes høde markerer hyppigheden (eller eventuelt frekvensen) for hver observationsværdi eller observationsinterval. I figur 1 er fordelingen fra tabel 1 taget som eksempel. Figur 1 Fordeling af studerende efter eksamenskarakter Antal studerende Karakter Kilde: Tabel 1 Figur viser et eksempel på sølediagram for en intervalgrupperet fordeling med udgangspunkt i fordelingen fra tabel 7. Figur Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer 60 Antal medarbedere Kilde: Tabel 7 0 -,5,5-5,0 5,0-7,5 7, ,5 1,5-15,0 15,0-17,5 Antal overtimer pr. uge

15 Praktisk statistik 15 Hvis det specielt har interesse at præsentere den relative eller procentvise fordeling af observationsværdier, kan et cirkeldiagram som vist i figur 3 være at foretrække. Figur 3 Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer 17% 10% % 1% Antal overtimer pr. uge 0 -,5 38% 5,0-7,5 7, ,5 1,5-15,0 15,0-17,5 3% Kilde: Tabel 7 Spredningsmål Meget ofte er det relevant at beregne tal, der siger noget om spredningen eller variationen af observationsværdierne i et talmateriale. Som for niveaumålene er der flere forskellige mulige angrebsvinkler, når man skal beregne spredningstal. Det mest simple udtryk for spredningen i et talmateriale er at finde den mindste og den største observationsværdi. I starten af dette appendiks så vi på de karakterer, som 16 studerende opnåede ved en eksamen: I dette talmateriale er 00 den mindste observationsværdi og 1 den høeste talværdi. Forskellen mellem største og mindste observationsværdi i et talmateriale kaldes variationsbredden. I vores talmateriale er variationsbredden 1 00 = 1. Variationsbredden i et talmateriale er udtryk for den maksimale spredning i et talmateriale. Variationsbredde = Største observationsværdi mindste observationsværdi Problemet med variationsbredden er, at beregningen udelukkende baseres på de to mest ekstreme observationsværdier i et talmateriale. Variationsbredden siger derfor ikke nødvendigvis noget om den almindelige spredning i talmaterialet.

16 16 Praktisk statistik Et andet spredningsmål, hvor alle observationsværdier inddrages i beregningen er standardafvigelsen (s), som er et skøn over observationsværdiernes gennemsnitlige afvigelse fra middeltallet. Beregningen sker ved hælp af formlen n (x i x) i1 s = n 1 Størrelsen under kvadratrodstegnet kaldes variansen (s ) og er et skøn over gennemsnittet af observationernes kvadrerede afvigelser fra middeltallet. Lad os bruge talmaterialet med eksamenskaraktererne som eksempel på beregningen af varians og standardafvigelse. Tidligere har vi beregnet middeltallet i talmaterialet til 4,5. Først vises beregningen af variansen: (00 4,5) (7 4,5) (1 4,5)... (7 4,5) 4 s = 16, Variansen kan ikke give nogen praktisk fortolkning. Variansberegningens rolle i beregningen er at kvadrere alle afvigelser fra middeltallet, så afvigelserne får samme fortegn. Ellers ville positive og negative afvigelser fra middeltallet udligne hinanden. Herefter beregnes standardafvigelsen ved at tage kvadratroden af variansen: s = s =, = 4,017 Den gennemsnitlige afvigelse fra middelkarakteren på 4,5 er derfor ca. 4 karakterpoint. Standardafvigelsen (s) for et observationssæt beregnes som observationsværdiernes gennemsnitlige afvigelse fra middeltallet: s = (x 1 x) (x x)... (x n 1 n x) = n i1 (x i x) n 1 n er antal observationer For grupperede fordelinger sker beregningen ved hælp af de enkelte observationsgruppers eller observationsintervallers hyppigheder:

17 Praktisk statistik 17 Standardafvigelsen (s) for en grupperet fordeling beregnes som observationsværdiernes gennemsnitlige afvigelse fra middeltallet: s = ( x1 x) h1 (x x) h... (x k x) h k n 1 = k 1 (x x) n 1 h n er samlet antal observationer k er antal forskellige observationsværdier (antal grupper) I en intervalgrupperet fordeling bruges intervalmidtpunkterne m i stedet for x. Beregningen af standardafvigelse for en grupperet fordeling kan illustreres med fordelingen af overtimer i tabel 7. Middeltallet for det ugentlige antal overtimer er tidligere beregnet til 4,9. Tabel 11 Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer Interval nr. Intervalmidtpunkt m Antal personer h Afvigelse fra middeltal m - x Kvadrat på afvigelse (m - x) Produkt (m - x) h 1 1,5 31-3,65 13,35 41,9975 3, ,15 1,35 63, ,5 6 1,35 1,85 47, , ,85 14,85 07, ,5 8 6,35 40,35 3, ,75 8,85 78,35 156, ,5 1 11,35 18,85 18,85 Sum n = ,450 Variansen er derfor s = 1339, = 10,383 og standardafvigelsen er s = s =, = 3, Vores beregninger af middeltal og standardafvigelse viser, at de 130 medarbedere i gennemsnit havde 4,9 arbedstimer pr. uge, og at medarbederne i gennemsnit afveg 3, timer fra dette gennemsnit. Øvelse 14: Bestem standardafvigelsen i Øvelse 9. Øvelse 15: Bestem standardafvigelsen i Øvelse 10.

18 18 Praktisk statistik I nogle tilfælde vil beregningen af standardafvigelsen føre til misvisende resultater. Det kan ske, når et talmateriale indeholder en eller flere meget afvigende observationer. Hvis vi beregner standardafvigelsen på talmaterialet i tabel 5 (s. 94) får vi et resultat på 8,9, hvilket ikke giver meget mening. I sådanne tilfælde kan vi opnå en bedre beskrivelse af fordelingens spredning ved at beregne det såkaldte kvartilsæt. Kvartilsættet består af tre tal, der inddeler et sorteret talmateriale i fire lige store dele. Kvartilsættets tre tal kaldes henholdsvis Første kvartil, Anden kvartil og Trede kvartil. Første kvartil (nedre kvartil) er den observationsværdi, hvor en ferdedel af talmaterialets værdier er lavere. Anden kvartil er den observationsværdi, hvor to ferdedele eller halvdelen af talmaterialets værdier er lavere. Anden kvartil bliver hermed det samme som medianen. Endelig er trede kvartil eller øvre kvartil den observationsværdi, hvor tre ferdedele af materialet er lavere og en ferdedel er høere. Forskellen mellem øvre kvartil og nedre kvartil kaldes kvartilafstanden (eller interkvartilbredden). Kvartilafstanden udtrykker det område, hvor den midterste halvdel af observationerne befinder sig. Nedre og øvre kvartil kan defineres ved hælp af de summerede frekvenser: Nedre kvartil (Første kvartil) bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. I en intervalgrupperet fordeling findes medianen ved først at identificere det interval, hvor den summerede frekvens passerer 0,5. Kaldes den summerede frekvens ved intervallets start for FSTART og den summerede frekvens ved intervallets afslutning for FSLUT, kan den nedre kvartil bestemmes som: Nedre kvartil = Nedre intervalgrænse + 0,5 F F SLUT F START START Intervalbredden Øvre kvartil (Trede kvartil) bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,75. I en intervalgrupperet fordeling findes medianen ved først at identificere det interval, hvor den summerede frekvens passerer 0,75. Kaldes den summerede frekvens ved intervallets start for FSTART og den summerede frekvens ved intervallets afslutning for FSLUT, kan den øvre kvartil bestemmes som: 0,75 FSTART Øvre kvartil = Nedre intervalgrænse + Intervalbredden F F SLUT START Forsøger vi at bruge denne metode på fordelingen af medarbedere efter ugentligt overtimetal i tabel 8, kan vi se, at nedre kvartil må befinde sig i intervallet fra,5 til 5,0 overtimer. Derfor kan nedre kvartil bestemmes som:,5 + 0,5 0,385 (5,0,5) =,58. 0,6077 0,385

19 Praktisk statistik 19 Øvre kvartil befinder sig derimod i intervallet fra 5,0 til 7,5 overtimer og kan bestemmes til 5,0 + 0,75 0,6077 (7,5 5,0) = 6,78 0,8077 0,6077 Med baggrund i disse beregninger kan vi skønne, at de midterste 50 pct. af observationerne har en værdi mellem,58 og 6,78. Kvartilafstanden kan beregnes til: Øvre kvartil Nedre kvartil = 6,78,58 = 4,0. Kvartilafstand = Øvre kvartil Nedre kvartil Øvelse 16: Bestem kvartilafstanden i Øvelse 9. Kvartilerne findes ved at inddele et ordnet talmateriale i fire lige store dele En finere inddeling kan opnås ved at inddele i fem lige store dele (kvintiler) eller i ti lige store andele (deciler). Kvintiler og deciler bruges af Danmarks Statistik blandt andet i opgørelser af indkomstfordelinger. Grafisk illustration af spredningen. Lorenz kurven I mange tilfælde kan det være en god ide at vise spredningen i et talmateriale ved en grafisk illustration. Tabel 1 Fordeling af familieindkomster før skat. Danmark 004 Indkomstinterval (0 kr. pr. år) Procentandel af familier i intervallet Procentandel af indkomst i intervallet Summeret procentandel af familier Summeret procentandel af indkomst 0 11,4 10 1,6 10 1,6 11,4 148,9 10 3,6 0 5, 148,9 183,7 10 4,5 30 9,7 183,7 9,6 10 5, ,3 9,6 84, ,3 84,0 351,3 10 8, ,9 351,3 453, , ,8 453,0 558, , ,6 558,1 696, ,9 90 7,5 Mere end 696,3 10 7,5,0 I alt,0 - - Kilde. Indkomster 004. Danmarks Statistik 006.

20 0 Praktisk statistik I tabel 1 er vist en intervalgrupperet fordeling af danske familiers indkomster i 004. Familierne er sorteret efter indkomstens størrelse og herefter inddelt i ti lige store grupper, dvs. i deciler. Tabellen skal læses på den måde, at i 1. decil, dvs. den tiendedel af familierne med de laveste indkomster, var høeste familieindkomst på kr. i 004. Tilsammen havde familierne i 1. decil en andel på 1,6 pct. af de samlede indkomster. Vi kan også se af tabellens kolonner for de summerede procentandele at de første fem deciler, dvs. den halvdel af familierne med de laveste indkomster, tilsammen havde, 3 pct. af de samlede indkomster. De sidste 77,7 pct. af den samlede indkomst tilfalder derfor den halvdel med de høeste indkomster. Tabellen tyder derfor på en betydelig spredning i fordelingen af familieindkomster. Et grafisk billede af denne skævhed kan opnås ved at tegne tabellens to sidste kolonner som en kurve i et koordinatsystem med de summerede procentandele af familierne (tabellens lysegrønne kolonne) markeret på den vandrette akse og de summerede procentandele af de samlede indkomster (tabellens lyseblå kolonne) markeret på den lodrette akse. Herved fremkommer Lorenz kurven som vist i figur 4. Figur 4 Fordeling af familieindkomster 004. Lorenz-kurve 90 Pct. af samlet familieindkomst Helt ligelig fordeling Lorenz-kurve Pct. af antal familier Kilde: Tabel 1 I figur 4 er udover Lorenz kurven vist diagonallinien, der viser hvordan Lorenzkurven ville forløbe, hvis alle familier havde lige stor indkomst. I så fald ville der være præcis 10 pct. af den samlede indkomst i hver tiendedel af familierne. Den mest ulige fordeling, der kan tænkes, hvis vi ser bort fra muligheden af negativ indkomst vil være, hvis én familie havde al familieindkomsten og alle øvrige familier havde en indkomst på 0. Tegnede man en Lorenz kurve på dette grundlag ville det med en mere detaleret gruppeinddeling end tiendedele give en vinkelret Lorenz

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012 Til Danske Ark Dokumenttype Rapport Dato Januar 2013 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2012 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 2 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

At kommunikere i diagrammer

At kommunikere i diagrammer At kommunikere i diagrammer Statistik formidles grafisk i kurver, søjler, cirkler og tabeller, målet er at formidle data i form af tal på en let og overskuelig måde, så læseren hurtigt kan danne sig et

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 Til DANSKE ARK Dokumenttype Rapport Dato Februar 2014 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2013 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 3 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Rekordstor stigning i uligheden siden 2001

Rekordstor stigning i uligheden siden 2001 30. marts 2009 af Jarl Quitzau og chefanalytiker Jonas Schytz Juul Direkte tlf.: 33 55 77 22 / 30 29 11 07 Rekordstor stigning i uligheden siden 2001 Med vedtagelsen af VK-regeringens og Dansk Folkepartis

Læs mere

Per Vejrup-Hansen STATISTIK. med Excel. 2. udgave

Per Vejrup-Hansen STATISTIK. med Excel. 2. udgave Per Vejrup-Hansen STATISTIK med Excel 2. udgave Per Vejrup-Hansen Statistik med Excel Per Vejrup-Hansen Statistik med Excel 2. trykte udgave 2012 1. e-bogsudgave 2012 Samfundslitteratur 2012 e-isbn: 978-87-593-1736-5

Læs mere

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger.

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger. Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen At bestemme kvartilsæt Indhold - At finde kvartilsæt i ikke-grupperet datamateriale (link til dokumentet her) - At bestemme kvartilsæt ved hjælp af Excel (link til

Læs mere

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere

Et målrettet jobfradrag kan øge gevinsten ved at arbejde

Et målrettet jobfradrag kan øge gevinsten ved at arbejde Et målrettet jobfradrag kan øge gevinsten ved at arbejde Enlige forsørgere har ofte en mindre økonomisk gevinst ved at arbejde end andre grupper har, fordi en række målrettede ydelser som fx boligstøtte

Læs mere

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 1. Procent og rente Forklar hvordan man udregner procentvis ændringer i forskellige tidsrum og giv et konkret eksempel herpå. Forklar gerne med et eksempel,

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION

FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION 1. november 23 Af Peter Spliid Resumé: FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION Pensionisternes økonomiske situation bliver ofte alene bedømt udfra folkepensionen og tillægsydelser som boligstøtte, tilskud

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2011

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2011 Til Danske Ark Dokumenttype Rapport Dato Januar, 2012 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2011 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2011 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 2 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1

Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1 Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1 Konklusioner: Foreningernes samlede formue er vokset med knap 208 mia. kr. i 2004, og udgjorde ultimo året i alt knap 571 mia.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX Denne liste angiver facit til bogens opgaver. Opgaver hvor svaret er redegørende, fortolkende eller vurderende er udeladt. I statistikopgaver hvor der er flere muligheder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær

Læs mere

DSR s Lønstatistik for offentligt ansatte ledende sygeplejersker

DSR s Lønstatistik for offentligt ansatte ledende sygeplejersker Lønstatistik for offentligt ansatte ledende sygeplejersker 2010 DSR s Lønstatistik for offentligt ansatte ledende sygeplejersker 2010 Indholdsfortegnelse Forord... 2 1. Hovedresultater... 3 2. Baggrund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold IBC Aabenraa HHX Matematik C Lars Erik Henriksen 1HHI 1 Funktioner og polynomier a) Lave en grafisk funktionsanalyse. 1. Definitionsmængde.

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Statistik. Grupperede observationer og summeret frekvens... 12 Indekstal... 14 Median, kvartiler og boksplot... 17.

Statistik. Grupperede observationer og summeret frekvens... 12 Indekstal... 14 Median, kvartiler og boksplot... 17. Statistik Grupperede observationer og summeret frekvens... 12 Indekstal... 14 Median, kvartiler og boksplot... 17 Statistik Side 11 Grupperede observationer og summeret frekvens 1: Fritidsjobs a: Hvor

Læs mere

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo F+E+D 1 brikkerne statistik og sandsynlighed F+E+D 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

statistik og sandsynlighed E+D

statistik og sandsynlighed E+D brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed E+D ISBN: 978-87-92488-20-6 1. udgave som E-bog til tablets

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

matematik Demo excel F+E+D bernitt-matematik.dk 1 excel 2+ 2004 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel F+E+D bernitt-matematik.dk 1 excel 2+ 2004 by bernitt-matematik.dk matematik excel F+E+D bernitt-matematik.dk 1 excel 2+ 2004 by bernitt-matematik.dk brikkerne til regning &matematik excel F+E+D 3. udgave som E-bog 978-87-92488-23-7 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Af Martin Hornstrup og Bent Madsen RESUMÈ. 11. december 2000

Af Martin Hornstrup og Bent Madsen RESUMÈ. 11. december 2000 i:\december-2000\vel-b-12-00.doc Af Martin Hornstrup og Bent Madsen RESUMÈ 11. december 2000 FORMUERNE I DANMARK Formålet med dette notat er at give et billede af fordelingen af formuerne i Danmark. Analyserne

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Boligprisudviklingen

Boligprisudviklingen Statistik MODELGRUPPEN Dan Knudsen Arbejdspapir 17. april 2015 Boligprisudviklingen Resumé: Papiret sammenligner Danmarks Statistiks officielle boligprisindeks for enfamiliehuse med et Laspeyres indeks,

Læs mere

Stigende indkomstforskelle i København

Stigende indkomstforskelle i København Stigende indkomstforskelle i København Indkomstforskellen mellem de forskellige bydele i København og Frederiksberg er vokset. De højeste indkomster er på Frederiksberg, mens de laveste indkomster er på

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf131-MAT/C-31052013 Fredag den 31. maj 2013 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved bedømmelsen.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine

Læs mere

Gæld i almene boliger

Gæld i almene boliger 15. maj 29 Specialkonsulen Mie Dalskov Direkte tlf.: 33 55 77 2 Mobil tlf.: 42 42 9 18 Gæld i almene boliger Analysen viser, at gæld ikke er mere udbredt blandt beboere i almene boliger end hos resten

Læs mere

Priserne på bus og tog er steget voldsomt under VK

Priserne på bus og tog er steget voldsomt under VK Priserne på bus og tog er steget voldsomt under VK De sidste ti år under VK-regeringen er det i gennemsnit blevet dobbelt så dyrt at køre med bus og tog i hovedstadsområdet. Alene i hovedstadsområdet er

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Surveyundersøgelse af danske kiropraktorpatienter

Surveyundersøgelse af danske kiropraktorpatienter Surveyundersøgelse af danske kiropraktorpatienter Foto: Uffe Johansen Dansk Kiropraktor Forening København 2013 Indhold 1 Baggrund for undersøgelsen.. 2 2 Indkomstniveau. 3 Kiropraktorpatienters årlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Formuerne bliver i stigende grad koncentreret hos de ældre

Formuerne bliver i stigende grad koncentreret hos de ældre Formuerne bliver i stigende grad koncentreret hos de ældre Nettoformuerne bliver i stigende grad koncentreret hos personer over 6 år. For 15 år siden havde personer over 6 år knap 6 pct. af den samlede

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Klasse/hold Fag og niveau Lærer Hh1c Matematik C MAN Oversigt over undervisningsforløb 1 Beskrivende statistik 2 1. grads polynomier 3 2. grads polynomier 4 Eksponentielle funktioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

ET BILLEDE AF DE IKKE-FORSIKREDE

ET BILLEDE AF DE IKKE-FORSIKREDE 6. juni 2006 ET BILLEDE AF DE IKKE-FORSIKREDE Dette notat forsøger at give et billede af de personer på arbejdsmarkedet, som ikke er forsikret i en A-kasse. Datagrundlaget er Lovmodelregistret, der udgør

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2010 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Mette Engelbrecht

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015, skoleåret 14/15 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC hf enkeltfag

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x = MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Matematik. Evaluering, orientering og vejledning

Matematik. Evaluering, orientering og vejledning Folkeskolens afsluttende prøver Matematik 2014 Evaluering, orientering og vejledning Institut for Læring Evaluering af årets matematikprøver Følgende rapport er udformet således, at resultater fra karakterdatabasen

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf123-MAT/C-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere

Lønstatistik for ansatte i private kiropraktorklinikker, september 2013 DKF

Lønstatistik for ansatte i private kiropraktorklinikker, september 2013 DKF Lønstatistik for ansatte i private kiropraktorklinikker, september 2013 DKF 1 Metode og omfang 1 Lønstatistik for ansatte i private kiropraktorklinikker, september 2013 DKF Udarbejdet af Huge Consulting

Læs mere