Praktisk Statistik til Mikroøkonomi og Makroøkonomi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Praktisk Statistik til Mikroøkonomi og Makroøkonomi"

Transkript

1 Praktisk Statistik til Mikroøkonomi og Makroøkonomi Til brug sammen med Mikroøkonomi Teori og beskrivelse og Makroøkonomi Teori og beskrivelse LIMEDESIGN

2 Praktisk statistik Formålet med dette appendiks er at præsentere centrale redskaber i den praktiske statistik, dvs. redskaber til at illustrere centrale egenskaber ved et datamateriale. Afsnittet behandler forskellige metoder til beregning og vurdering af niveaumål og spredningsmål. Niveaumålene har til formål at præsentere gennemsnit eller midterværdier i et datamateriale. Spredningsmålene søger at opstille tal for spredningen eller ensartetheden i et talmateriale. Endvidere præsenteres metoder til beskrivelse af vækst og udvikling. Særlig fokus rettes mod konstruktionen af prisindeks. Underves gives veleding i tabelmæssig og grafisk præsentation af datamaterialer. I fremstillingen benyttes næsten udelukkende kvantitative datamaterialer, dvs. datamaterialer, hvor data kan angives ved tal og hvor regneoperationer meningsfuldt kan anvendes. Mange af de viste metoder lader sig i praksis nemmest gennemføre ved brug af lommeregner eller regnearksprogrammer. Det falder dog uden for denne fremstillings rammer at give egentlig instruktion i lommeregneranvendelse og anvendelse af regneark. Niveaumål Middeltal for observationssæt Statistik beskæftiger sig med systematisk indsamling og bearbedning af datamaterialer. De registrerede data kaldes observationer og en samling af sammenhørende observationer kaldes et observationssæt. Et eksempel kunne være de karakterer, som 16 studerende opnåede ved en eksamen: Beregningen af deltagernes karaktergennemsnit sker ved at dividere summen af karaktererne med antallet af deltagerne: ( 3) ,5 Et gennemsnit beregnet på denne måde kaldes også et aritmetisk gennemsnit eller et middeltal: Gennemsnittet eller middeltallet ( x) for et observationssæt beregnes ved at dividere summen af observationsværdierne (x1 + x + + xn = x i ) med antallet af observationer (n): n i1 x x 1 x... x n n n i1 n x i

3 Praktisk statistik 3 I eksemplet ovenfor er observationsværdierne (x værdierne) altså karakterværdierne (x1 = 00, x = 7,..., xn = x16 = 7), og n er antallet af studerende, dvs. 16. Øvelse 1: Følgende talmateriale viser det antal minutter, som de studerende på et hold havde brugt til forberedelse før en lektion i mikroøkonomi: Beregn det gennemsnitlige antal minutter brugt på forberedelse. Grupperede observationssæt. Fordelinger Ofte vil man møde datamateriale, som er grupperet efter et eller flere kendetegn. Der er derfor behov for metoder til at beregne gennemsnit med udgangspunkt i grupperede observationssæt. Antag fx at vi ønsker at beregne karaktergennemsnit for et meget stort antal deltagere, som er grupperet efter den opnåede karakter. De grupperede observationer fremgår af følgende tabel: Tabel 1 Studerende fordelt efter eksamenskarakter Det samlede karaktergennemsnit beregnes stadig som den samlede karaktersum divideret med det samlede antal deltagere. I tabel er vist karaktersummen i de enkel Observationsværdi nr. i Karakter x i Antal i gruppen (hyppighed) h i I Tabel 1 er observationssættet grupperet således, at vi direkte kan aflæse, hvor hyppigt de enkelte karakterer forekommer. Et sådant observationssæt kaldes også en fordeling 1. En fordeling består af et antal kendetegn (her forskellige karakterer) med tilhørende hyppigheder, der angiver, hvor mange gange i datamaterialet, det pågældende kendetegn forekommer. 1 Man taler her om en empirisk fordeling for at understrege, at fordelingen er baseret på indsamlede oplysninger, dvs. en empirisk undersøgelse.

4 4 Praktisk statistik te karaktergrupper. Eksempelvis har de 44 deltagere, som har opnået karakteren 4, en samlet karaktersum på 4 44 = 176. Tabel Beregning af karaktersum Observationsværdi nr. Karakter x Antal i gruppen (hyppighed) h Karaktersum i gruppen x h I alt Den samlede karaktersum får vi ved at lægge alle tallene i den sidste kolonne sammen: 7 Samlet karaktersum = x h = = Det samlede karaktergennemsnit vil derfor være: 7 x h 1 1 x 7 n 7 x h 1 h ,3 Undertiden vil man med fordel kunne beregne middeltal eller gennemsnit ved at lave fordelingen om til en frekvensfordeling. I eksemplet ovenfor sker det ved at omregne hyppighederne til frekvenser, dvs. andele af det samlede antal deltagere, som opnåede en bestemt karakter. Da der er 44 ud af 18 deltagere, der opnåede karakteren 4, vil frekvensen af 4 taller være: 44 f4 = = 0, Frekvensen af 4 taller er da 0, Det betyder, at godt 0 pct. af deltagerne fik karakteren 4.

5 Praktisk statistik 5 Tabel 3 Hyppighedsfordeling og frekvensfordeling Observationsværdi nr. i Karakter x i Antal i gruppen (hyppighed) h i Andel i gruppen (frekvens) f i Procentandele , , , , , , , , , , , , , ,1 I alt ,00 Med udgangspunkt i frekvensfordelingen kan middeltallet eller gennemsnittet beregnes ved at gange de enkelte karakterværdier med deres frekvens. Således kan 4 tallernes bidrag til gennemsnittet beregnes som 4 0,01835 = 0, Det samlede gennemsnit bliver: 7 x x f = ( 3) 0, , , = 5,3 1 Gennemsnittet eller middeltallet ( x) for en fordeling, der er opdelt i k grupper kan beregnes som: x x 1 h 1 x h n... x k h k k 1 x h n k 1 x h 7 1 h hvor h er hyppigheden for observationsværdi x k er antal forskellige observationsværdier (antal grupper) n er antal observationer i alt. eller som: x = x1 f1 + x f + + xk fk = x hvor f er frekvensen for observationsværdi x k 1 f

6 6 Praktisk statistik Øvelse : I en lille provinsby har en trafikomlægning givet anledning til en del trafikulykker med personskader. I 006 blev der for hver ulykke optalt følgende antal personer med skader: a. Opstil en hensigtsmæssig fordeling, der giver overblik over ulykkernes omfang. b. Udregn fordelingens middeltal. Øvelse 3: I tabellen nedenfor er vist fordelingen af husstandene i en gade efter antal børn. Tabel 4 50 husstande fordelt efter antal børn Antal børn i husstanden Antal husstande a. Beregn frekvensfordelingen ud fra ovenstående tabel. b. Udregn det gennemsnitlige antal børn pr. husstand ud fra frekvensfordelingen. Typetal Betragt følgende tabel, der viser fordelingen af sygedage på et skoleår blandt eleverne i en skoleklasse. Tabel 5 30 elever fordelt efter antal sygedage Antal sygedage i skoleåret Antal elever

7 Praktisk statistik 7 Ud fra tabellen kan vi beregne middeltallet, dvs. det gennemsnitlige antal sygedage til 3,6. I tabellen kan vi se, at der er 5 elever, der har et fravær over gennemsnittet, mens de resterende 5 elever har et fravær under gennemsnittet. Man kan derfor kritisere gennemsnittet for ikke at udtrykke det normale sygefravær i klassen. Årsagen til dette er, at fordelingen er skæv i den forstand, at eleven med 50 sygedage har en meget stor indflydelse på middeltallet. Vil vi have et udtryk for det normale sygefravær, som ikke i så hø grad er præget af enkelte ekstreme observationer, kan vi opgøre typetallet (modus). Typetallet i en fordeling er den (de) observationsværdi(er), der har den største hyppighed eller den største frekvens. I tabellen ovenfor er et sygefravær på 1 dag den oftest forekommende observationsværdi. Derfor er typetallet 1 sygedag. Øvelse 4: Efter sæsonafslutningen har en fodboldklub opgort antallet af advarsler, som hver af deres førsteholdsspillere er blevet tildelt i sæsonens kampe. Resultatet er følgende: a. Opstil en hyppighedsfordeling til beskrivelse af talmaterialet. b. Udregn fordelingens middeltal og typetal. Øvelse 5: Bestem typetallet for talmaterialet i Øvelse 3. Median Et andet mål for det gennemsnitlige niveau i et observationssæt er medianen. Medianen opgøres som den midterste observationsværdi, når observationerne opstilles i størrelsesorden. Det vil sige den værdi, der opdeler talmaterialet i to lige store dele henholdsvis over og under værdien. Betragt fx følgende tal, der viser legemsvægten i kg for 13 drenge på et fodboldhold: Ordnet efter vægt ser talmaterialet sådan ud: Medianen vil her være 56 kg, idet der er 6 drenge, der veer mindre end 56 kg, og 6 drenge, der veer mere end 56 kg. Hvis antallet af observationer i et talmateriale er et lige tal, er der ikke en enkelt observation, som kan siges at være den midterste observation. Her kan medianen findes ved at tage gennemsnittet af de to midterste observationers værdier.

8 8 Praktisk statistik Vender vi tilbage til eksemplet med sygefraværet, er bestemmelsen af medianen ikke helt så enkel. Vi kan ikke her finde et antal sygedage, der opdeler materialet på en måde, så der er lige mange elever med et lavere og med et høere sygefravær. For at finde en entydig metode til bestemmelse af medianen, ser vi på frekvensfordelingen: Tabel 6 30 elever fordelt efter antal sygedage Antal sygedage i skoleåret Antal elever Frekvens Summeret frekvens Summeret procentandel 0 3 0, 0, 10, ,300 0,400 40,0 8 0,67 0,667 66, ,167 0,833 83,3 4 0,067 0,900 90,0 5 0,067 0,967 96, ,033 1,000,0 I alt I tabel 6 er frekvensfordelingen beregnet ved at dividere antallet af elever i hver gruppe med 30. I tabellens sidste kolonne er vist den summerede frekvens (kumulerede frekvens). Den summerede frekvens fås ved at lægge frekvenserne sammen: Den summerede frekvens for 1 sygedag er 0, + 0,300 = 0,400 og det betyder at 40 pct. af eleverne havde 0 eller 1 sygedag. Den summerede frekvens for sygedage er 0, + 0, ,67 = 0, ,7 pct. af eleverne havde altså eller færre sygedage. Medianen er et udtryk for den midterste observation, når observationerne opstilles i størrelsesorden. Medianen i ovenstående fordeling er derfor sygedage. Vi kan aflæse medianen i kolonnen med de summerede frekvenser ved at finde den observationsværdi x, hvor den summerede frekvens første gang når op på eller overstiger 0,5. Medianen bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. Øvelse 6: Bestem median og typetal for talmaterialet i Øvelse. Øvelse 7: Bestem medianen for talmaterialet i Øvelse 3. Øvelse 8: Bestem medianen for talmaterialet i Øvelse 4.

9 Praktisk statistik 9 Intervalgrupperede fordelinger I mange talmaterialer er antallet af forskellige observationsværdier meget stort. Indsamles eksempelvis oplysninger om befolkningens skattepligtige indkomster, vil man få flere hundredetusinde forskellige observationsværdier. Skal et sådant talmateriale præsenteres overskueligt, er der behov for en gruppering af observationsværdierne i intervaller. Fastlæggelsen af, hvilke intervaller, som er hensigtsmæssige, må bero på en vurdering af det konkrete talmateriale. Generelt må intervallerne opfylde følgende krav: Intervallerne er entydigt afgrænsede. Der må ikke herske tvivl om, i hvilket interval en observationsværdi skal placeres. Intervallerne dækker hele talmaterialet. Det skal være muligt at placere en hvilken som helst tænkelig observationsværdi i et af intervallerne. Et overskueligt antal intervaller. Overskueligheden kan nemt forsvinde, hvis man vælger for mange intervaller. Omvendt må man have et tilstrækkeligt antal intervaller til at fordelingens struktur tydeligt fremgår. Som en praktisk tommelfingerregel kan anbefales, at man stræber mod et antal intervaller på mellem 5 og 15. Følgende er et eksempel på en konkret intervalgrupperet fordeling. Tabel 7 Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer Interval nr. Antal ugentlige overtimer (interval) x -1 ;x Antal personer i intervallet (hyppighed) h Intervalmidtpunkt x 1 x m Samlet overtimetal i intervallet m h 1 0;,5 31 1,5 38,75,5;5,0 48 3,75 180,00 3 5,0;7,5 6 6,5 16,50 4 7,5;10,0 14 8,75 1, ,0;1,5 8 11,5 90,00 6 1,5;15,0 13,75 7, ,0;17,5 1 16,5 16,5 I tabellens anden kolonne er intervallerne specificeret. I første interval placeres medarbedere med et ugentligt overtimetal på,5 timer eller lavere. I andet interval placeres medarbedere med et overtimetal, som er større end,5, men ikke over 5,0, osv. Bemærk at den entydige intervalinddeling er sikret ved at lade intervallerne være åbne ved den nedre grænse og lukkede ved den øvre grænse. At et interval er åbent ved nedre grænse betyder, at den nedre grænse ikke er med. Det symboliseres med en intervalklamme, hvis grene vender væk fra tallet. At et interval er lukket ved øvre grænse betyder, at den øvre grænse er med. Det symboliseres med en intervalklamme, hvis grene vender hen mod tallet.

10 10 Praktisk statistik Trede kolonne i tabel 7 viser hyppighederne i de enkelte intervaller. Fx ses, at der er 48 medarbedere, der har et ugentligt overtimetal, som er høere end,5, men ikke over 5,0. Beregningen af middeltallet dvs. det gennemsnitlige overtimetal for virksomhedens medarbedere foregår efter samme metode som tidligere. Det vil sige ved at opgøre det samlede antal overtimer og dividere med antallet af medarbedere i virksomheden. Vi støder dog her på det problem, at vi ikke kender medarbedernes præcise overtimetal. Vi ved, hvor mange der er placeret i de forskellige intervaller, men vi ved ikke, hvor i intervallet de er placeret. Hvis det kan antages og det vil ofte være tilfældet at de enkelte medarbederes timetal er ævnt fordelt over intervallet, kan problemet klares på følgende måde. Det gennemsnitlige overtimetal inden for hvert interval vil da være intervalmidtpunktet. I beregningerne kan vi lade som om, at alle personer i de enkelte intervaller har et overtimetal svarende til intervalmidtpunktet. I tabellens sidste kolonne er vist det samlede overtimetal i hvert interval beregnet som intervalmidtpunktet (m) ganget med antal personer i det pågældende interval (h). Virksomhedens samlede overtimetal får vi da ved at summere alle tallene i denne kolonne: 7 Samlet overtimetal = m h = 38, , , ,5 = 637,50 1 Det samlede antal medarbedere finder vi i tabellens trede kolonne ved at lægge antallet af personer i de enkelte intervaller sammen: Samlet antal medarbedere = n = h = = 130 Det samlede overtimegennemsnit vil derfor være m h 1 1 x 7 n 7 m h 1 h 637, ,9 Som tilfældet var med de ikke intervalgrupperede fordelinger, kan middeltallet også beregnes ud fra frekvensfordelingen. Frekvensen for de enkelte intervaller findes ved at dividere intervallets hyppighed (antal medarbedere i det pågældende interval) med det samlede antal observationer (det samlede antal medarbedere). Frekvenser og summerede frekvenser er vist i tabel 8.

11 Praktisk statistik 11 Tabel 8 Intervalgrupperet frekvensfordeling Antal ugentlige overtimer (interval) x -1 ;x Antal personer i intervallet (hyppighed) h Intervalmidtpunkt x 1 x m Intervalfrekvens f Summeret frekvens F 0;,5 31 1,5 0,385 0,385,5;5,0 48 3,75 0,369 0,6077 5,0;7,5 6 6,5 0,000 0,8077 7,5;10,0 14 8,75 0,1077 0, ,0;1,5 8 11,5 0,0615 0,9770 1,5;15,0 13,75 0,0154 0,993 15,0;17,5 1 16,5 0,0077 1,0000 Herefter kan gennemsnittet beregnes ved at gange de enkelte intervalmidtpunkter med deres frekvens. Således er første intervals bidrag til gennemsnittet 1,5 0,385 = 0,981. Gennemsnittet eller middeltallet bliver: 7 x m f = 1,5 0, ,75 0, ,5 0,0077 = 4,9 1 Gennemsnittet eller middeltallet ( x) for en intervalgrupperet fordeling kan beregnes som: x m 1 h 1 m h n... m k h k k 1 m h n k 1 m h 7 1 h hvor h er hyppigheden for interval nr. k er antal intervaller n er antal observationer i alt eller som: x = m1 f1 + m f + + mk fk = m k 1 f, hvor x 1 er inter hvor f er frekvensen for interval nr. x 1 x m er intervalmidtpunktet i interval nr.. m = vallets nedre grænse og x intervallets øvre grænse.

12 1 Praktisk statistik Øvelse 9: En beboerforening har i forbindelse med overveelser om igangsætning af fritidsaktiviteter for børn indsamlet oplysninger om aldersfordelingen for de børn, der bor i foreningens område. Resultatet er følgende tabel: Tabel 9 Fordeling af børn efter alder Alder Antal børn 0-3 år år år år 5 Beregn middeltallet, dvs. den gennemsnitlige alder for børnene i området. Overve nøe, hvordan intervalmidtpunkterne bør fastlægges. Øvelse 10: I Statistisk Tiårsoversigt 006 findes følgende fordeling af de personer, som i løbet af 005 blev registreret som ledige. De ledige er fordelt efter ledighedsperiodens varighed. Tabel 10 Fordeling af ledige efter ledighedsperiodens varighed Ledighedsperiodens varighed Antal tusinde personer Under 74 dage dage dage dage dage og derover 38 Opstil frekvensfordelingen og beregn herudfra middeltallet. Forklar, hvad middeltallet udtrykker. Øvelse 11: Ved en undersøgelse af størrelsesfordelingen af 48 medlemsvirksomheder i en brancheforening indsamles følgende oplysninger om antal beskæftigede i de 48 virksomheder: a. Foretag en hensigtsmæssig intervalgruppering af observationerne. b. Beregn middeltallet ud fra intervalgrupperingen. c. Beregn middeltallet direkte ud fra grundmaterialet. d. Forklar forskellen mellem resultaterne i b. og c.

13 Praktisk statistik 13 I stedet for typetallet (modus) for en intervalgrupperet fordeling bestemmes typeintervallet, dvs. det interval, hvor der er flest observationer. I ovenstående fordeling af antal overtimer vil typeintervallet således være,5 ; 5,0. Det betyder, at det er mest almindeligt, at det ugentlige antal overtimer ligger mellem,5 og 5,0. Typeintervallet i en intervalgrupperet fordeling med lige store intervaller er den (de) observationsinterval(ler), der har den største hyppighed eller den største frekvens. Øvelse 1: Bestem typeintervallerne i Øvelse 9 og Øvelse 10. Medianen for en intervalgrupperet fordeling er ligesom i en ugrupperet fordeling den observationsværdi, der opdeler talmaterialet i to lige store dele henholdsvis over og under værdien. Vi har tidligere brugt den summerede frekvens som et redskab til at finde medianen, nemlig som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. Forsøger vi at bruge denne metode på fordelingen af medarbedere efter ugentligt overtimetal i tabel 8, kan vi se, at medianen må befinde sig i intervallet fra,5 til 5,0 overtimer. Hvis vi vil bestemme medianen mere præcist, kan vi bruge vores forudsætning om, at observationerne er ævnt fordelt i de enkelte intervaller. I tabel 8 kan vi se, at den summerede frekvens stiger fra 0,385 til 0,6077, når intervallet fra,5 til 5,0 gennemløbes. Er observationerne ævnt fordelt, vil frekvensen 0,5 opnås, når en 0,5 0,385 andel på er gennemløbet. Derfor kan medianen bestemmes som: 0,6077 0,385,5 + 0,5 0,385 (5,0,5) = 4,7. 0,6077 0,385 Medianen bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. I en intervalgrupperet fordeling findes medianen ved først at identificere det interval, hvor den summerede frekvens passerer 0,5. Kaldes den summerede frekvens ved intervallets start for FSTART og den summerede frekvens ved intervallets afslutning for FSLUT kan medianen bestemmes som: Median = Nedre intervalgrænse + 0,5 F F SLUT F START START Intervalbredden Øvelse 13: Bestem medianen i Øvelse 9 og Øvelse 10.

14 14 Praktisk statistik Grafisk afbildning af fordelinger Ofte kan det være en god ide at illustrere en fordeling i et diagram. Almindeligvis anvendes et sølediagram, hvor sølernes høde markerer hyppigheden (eller eventuelt frekvensen) for hver observationsværdi eller observationsinterval. I figur 1 er fordelingen fra tabel 1 taget som eksempel. Figur 1 Fordeling af studerende efter eksamenskarakter Antal studerende Karakter Kilde: Tabel 1 Figur viser et eksempel på sølediagram for en intervalgrupperet fordeling med udgangspunkt i fordelingen fra tabel 7. Figur Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer 60 Antal medarbedere Kilde: Tabel 7 0 -,5,5-5,0 5,0-7,5 7, ,5 1,5-15,0 15,0-17,5 Antal overtimer pr. uge

15 Praktisk statistik 15 Hvis det specielt har interesse at præsentere den relative eller procentvise fordeling af observationsværdier, kan et cirkeldiagram som vist i figur 3 være at foretrække. Figur 3 Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer 17% 10% % 1% Antal overtimer pr. uge 0 -,5 38% 5,0-7,5 7, ,5 1,5-15,0 15,0-17,5 3% Kilde: Tabel 7 Spredningsmål Meget ofte er det relevant at beregne tal, der siger noget om spredningen eller variationen af observationsværdierne i et talmateriale. Som for niveaumålene er der flere forskellige mulige angrebsvinkler, når man skal beregne spredningstal. Det mest simple udtryk for spredningen i et talmateriale er at finde den mindste og den største observationsværdi. I starten af dette appendiks så vi på de karakterer, som 16 studerende opnåede ved en eksamen: I dette talmateriale er 00 den mindste observationsværdi og 1 den høeste talværdi. Forskellen mellem største og mindste observationsværdi i et talmateriale kaldes variationsbredden. I vores talmateriale er variationsbredden 1 00 = 1. Variationsbredden i et talmateriale er udtryk for den maksimale spredning i et talmateriale. Variationsbredde = Største observationsværdi mindste observationsværdi Problemet med variationsbredden er, at beregningen udelukkende baseres på de to mest ekstreme observationsværdier i et talmateriale. Variationsbredden siger derfor ikke nødvendigvis noget om den almindelige spredning i talmaterialet.

16 16 Praktisk statistik Et andet spredningsmål, hvor alle observationsværdier inddrages i beregningen er standardafvigelsen (s), som er et skøn over observationsværdiernes gennemsnitlige afvigelse fra middeltallet. Beregningen sker ved hælp af formlen n (x i x) i1 s = n 1 Størrelsen under kvadratrodstegnet kaldes variansen (s ) og er et skøn over gennemsnittet af observationernes kvadrerede afvigelser fra middeltallet. Lad os bruge talmaterialet med eksamenskaraktererne som eksempel på beregningen af varians og standardafvigelse. Tidligere har vi beregnet middeltallet i talmaterialet til 4,5. Først vises beregningen af variansen: (00 4,5) (7 4,5) (1 4,5)... (7 4,5) 4 s = 16, Variansen kan ikke give nogen praktisk fortolkning. Variansberegningens rolle i beregningen er at kvadrere alle afvigelser fra middeltallet, så afvigelserne får samme fortegn. Ellers ville positive og negative afvigelser fra middeltallet udligne hinanden. Herefter beregnes standardafvigelsen ved at tage kvadratroden af variansen: s = s =, = 4,017 Den gennemsnitlige afvigelse fra middelkarakteren på 4,5 er derfor ca. 4 karakterpoint. Standardafvigelsen (s) for et observationssæt beregnes som observationsværdiernes gennemsnitlige afvigelse fra middeltallet: s = (x 1 x) (x x)... (x n 1 n x) = n i1 (x i x) n 1 n er antal observationer For grupperede fordelinger sker beregningen ved hælp af de enkelte observationsgruppers eller observationsintervallers hyppigheder:

17 Praktisk statistik 17 Standardafvigelsen (s) for en grupperet fordeling beregnes som observationsværdiernes gennemsnitlige afvigelse fra middeltallet: s = ( x1 x) h1 (x x) h... (x k x) h k n 1 = k 1 (x x) n 1 h n er samlet antal observationer k er antal forskellige observationsværdier (antal grupper) I en intervalgrupperet fordeling bruges intervalmidtpunkterne m i stedet for x. Beregningen af standardafvigelse for en grupperet fordeling kan illustreres med fordelingen af overtimer i tabel 7. Middeltallet for det ugentlige antal overtimer er tidligere beregnet til 4,9. Tabel 11 Fordeling af medarbedere efter ugentligt antal overtimer Interval nr. Intervalmidtpunkt m Antal personer h Afvigelse fra middeltal m - x Kvadrat på afvigelse (m - x) Produkt (m - x) h 1 1,5 31-3,65 13,35 41,9975 3, ,15 1,35 63, ,5 6 1,35 1,85 47, , ,85 14,85 07, ,5 8 6,35 40,35 3, ,75 8,85 78,35 156, ,5 1 11,35 18,85 18,85 Sum n = ,450 Variansen er derfor s = 1339, = 10,383 og standardafvigelsen er s = s =, = 3, Vores beregninger af middeltal og standardafvigelse viser, at de 130 medarbedere i gennemsnit havde 4,9 arbedstimer pr. uge, og at medarbederne i gennemsnit afveg 3, timer fra dette gennemsnit. Øvelse 14: Bestem standardafvigelsen i Øvelse 9. Øvelse 15: Bestem standardafvigelsen i Øvelse 10.

18 18 Praktisk statistik I nogle tilfælde vil beregningen af standardafvigelsen føre til misvisende resultater. Det kan ske, når et talmateriale indeholder en eller flere meget afvigende observationer. Hvis vi beregner standardafvigelsen på talmaterialet i tabel 5 (s. 94) får vi et resultat på 8,9, hvilket ikke giver meget mening. I sådanne tilfælde kan vi opnå en bedre beskrivelse af fordelingens spredning ved at beregne det såkaldte kvartilsæt. Kvartilsættet består af tre tal, der inddeler et sorteret talmateriale i fire lige store dele. Kvartilsættets tre tal kaldes henholdsvis Første kvartil, Anden kvartil og Trede kvartil. Første kvartil (nedre kvartil) er den observationsværdi, hvor en ferdedel af talmaterialets værdier er lavere. Anden kvartil er den observationsværdi, hvor to ferdedele eller halvdelen af talmaterialets værdier er lavere. Anden kvartil bliver hermed det samme som medianen. Endelig er trede kvartil eller øvre kvartil den observationsværdi, hvor tre ferdedele af materialet er lavere og en ferdedel er høere. Forskellen mellem øvre kvartil og nedre kvartil kaldes kvartilafstanden (eller interkvartilbredden). Kvartilafstanden udtrykker det område, hvor den midterste halvdel af observationerne befinder sig. Nedre og øvre kvartil kan defineres ved hælp af de summerede frekvenser: Nedre kvartil (Første kvartil) bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,5. I en intervalgrupperet fordeling findes medianen ved først at identificere det interval, hvor den summerede frekvens passerer 0,5. Kaldes den summerede frekvens ved intervallets start for FSTART og den summerede frekvens ved intervallets afslutning for FSLUT, kan den nedre kvartil bestemmes som: Nedre kvartil = Nedre intervalgrænse + 0,5 F F SLUT F START START Intervalbredden Øvre kvartil (Trede kvartil) bestemmes som den mindste observationsværdi, der har en summeret frekvens på mindst 0,75. I en intervalgrupperet fordeling findes medianen ved først at identificere det interval, hvor den summerede frekvens passerer 0,75. Kaldes den summerede frekvens ved intervallets start for FSTART og den summerede frekvens ved intervallets afslutning for FSLUT, kan den øvre kvartil bestemmes som: 0,75 FSTART Øvre kvartil = Nedre intervalgrænse + Intervalbredden F F SLUT START Forsøger vi at bruge denne metode på fordelingen af medarbedere efter ugentligt overtimetal i tabel 8, kan vi se, at nedre kvartil må befinde sig i intervallet fra,5 til 5,0 overtimer. Derfor kan nedre kvartil bestemmes som:,5 + 0,5 0,385 (5,0,5) =,58. 0,6077 0,385

19 Praktisk statistik 19 Øvre kvartil befinder sig derimod i intervallet fra 5,0 til 7,5 overtimer og kan bestemmes til 5,0 + 0,75 0,6077 (7,5 5,0) = 6,78 0,8077 0,6077 Med baggrund i disse beregninger kan vi skønne, at de midterste 50 pct. af observationerne har en værdi mellem,58 og 6,78. Kvartilafstanden kan beregnes til: Øvre kvartil Nedre kvartil = 6,78,58 = 4,0. Kvartilafstand = Øvre kvartil Nedre kvartil Øvelse 16: Bestem kvartilafstanden i Øvelse 9. Kvartilerne findes ved at inddele et ordnet talmateriale i fire lige store dele En finere inddeling kan opnås ved at inddele i fem lige store dele (kvintiler) eller i ti lige store andele (deciler). Kvintiler og deciler bruges af Danmarks Statistik blandt andet i opgørelser af indkomstfordelinger. Grafisk illustration af spredningen. Lorenz kurven I mange tilfælde kan det være en god ide at vise spredningen i et talmateriale ved en grafisk illustration. Tabel 1 Fordeling af familieindkomster før skat. Danmark 004 Indkomstinterval (0 kr. pr. år) Procentandel af familier i intervallet Procentandel af indkomst i intervallet Summeret procentandel af familier Summeret procentandel af indkomst 0 11,4 10 1,6 10 1,6 11,4 148,9 10 3,6 0 5, 148,9 183,7 10 4,5 30 9,7 183,7 9,6 10 5, ,3 9,6 84, ,3 84,0 351,3 10 8, ,9 351,3 453, , ,8 453,0 558, , ,6 558,1 696, ,9 90 7,5 Mere end 696,3 10 7,5,0 I alt,0 - - Kilde. Indkomster 004. Danmarks Statistik 006.

20 0 Praktisk statistik I tabel 1 er vist en intervalgrupperet fordeling af danske familiers indkomster i 004. Familierne er sorteret efter indkomstens størrelse og herefter inddelt i ti lige store grupper, dvs. i deciler. Tabellen skal læses på den måde, at i 1. decil, dvs. den tiendedel af familierne med de laveste indkomster, var høeste familieindkomst på kr. i 004. Tilsammen havde familierne i 1. decil en andel på 1,6 pct. af de samlede indkomster. Vi kan også se af tabellens kolonner for de summerede procentandele at de første fem deciler, dvs. den halvdel af familierne med de laveste indkomster, tilsammen havde, 3 pct. af de samlede indkomster. De sidste 77,7 pct. af den samlede indkomst tilfalder derfor den halvdel med de høeste indkomster. Tabellen tyder derfor på en betydelig spredning i fordelingen af familieindkomster. Et grafisk billede af denne skævhed kan opnås ved at tegne tabellens to sidste kolonner som en kurve i et koordinatsystem med de summerede procentandele af familierne (tabellens lysegrønne kolonne) markeret på den vandrette akse og de summerede procentandele af de samlede indkomster (tabellens lyseblå kolonne) markeret på den lodrette akse. Herved fremkommer Lorenz kurven som vist i figur 4. Figur 4 Fordeling af familieindkomster 004. Lorenz-kurve 90 Pct. af samlet familieindkomst Helt ligelig fordeling Lorenz-kurve Pct. af antal familier Kilde: Tabel 1 I figur 4 er udover Lorenz kurven vist diagonallinien, der viser hvordan Lorenzkurven ville forløbe, hvis alle familier havde lige stor indkomst. I så fald ville der være præcis 10 pct. af den samlede indkomst i hver tiendedel af familierne. Den mest ulige fordeling, der kan tænkes, hvis vi ser bort fra muligheden af negativ indkomst vil være, hvis én familie havde al familieindkomsten og alle øvrige familier havde en indkomst på 0. Tegnede man en Lorenz kurve på dette grundlag ville det med en mere detaleret gruppeinddeling end tiendedele give en vinkelret Lorenz

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Kapitel 3 Centraltendens og spredning

Kapitel 3 Centraltendens og spredning Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling

Læs mere

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik 6. 5. udgave 2008 2013 Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press ISBN Trykt 978-87-593-1381-7 bog ISBN

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 5. Statistik Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 1. Ugrupperede Observationer Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS INDHOLD 2 Formål 2 LOPAKS 3 Begreber 6 Eksempler 6. december 2010 LOPAKS er nu udvidet med en ny tabel, der giver mulighed for at opgøre lønspredning på

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Statistik - supplerende eksempler

Statistik - supplerende eksempler - supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a Grupperede observationer: Middelværdi

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk

bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk statistik basis+g 1 brikkerne statistik G 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 2 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 2 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Kapitel 3 Centraltendens og spredning

Kapitel 3 Centraltendens og spredning Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning

Læs mere

statistik basis+g DEMO

statistik basis+g DEMO statistik basis+g 1 brikkerne statistik G 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere

Læs mere

Middelværdi med mere... 76 Hyppighed og frekvens... 77 Diagrammer... 78 Hvilket diagram er bedst?... 80 Grupperede observationer...

Middelværdi med mere... 76 Hyppighed og frekvens... 77 Diagrammer... 78 Hvilket diagram er bedst?... 80 Grupperede observationer... Statistik Middelværdi med mere... 76 Hyppighed og frekvens... 77 Diagrammer... 78 Hvilket diagram er bedst?... 80 Grupperede observationer... 81 Statistik Side 75 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 1 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 1 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Rekordstor stigning i uligheden siden 2001

Rekordstor stigning i uligheden siden 2001 30. marts 2009 af Jarl Quitzau og chefanalytiker Jonas Schytz Juul Direkte tlf.: 33 55 77 22 / 30 29 11 07 Rekordstor stigning i uligheden siden 2001 Med vedtagelsen af VK-regeringens og Dansk Folkepartis

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012 Til Danske Ark Dokumenttype Rapport Dato Januar 2013 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2012 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 2 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

At kommunikere i diagrammer

At kommunikere i diagrammer At kommunikere i diagrammer Statistik formidles grafisk i kurver, søjler, cirkler og tabeller, målet er at formidle data i form af tal på en let og overskuelig måde, så læseren hurtigt kan danne sig et

Læs mere

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et

Læs mere

Ikke tegn på øget lønspredning i Danmark

Ikke tegn på øget lønspredning i Danmark Ikke tegn på øget lønspredning i Danmark De Økonomiske Råd pegede i deres efterårsrapport 2016 på, at forskellene i erhvervsindkomsterne har været stigende, særligt i årene efter krisens start i 2008.

Læs mere

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes

Læs mere

Kapitel 2. Indblik i indkomstniveauet og indkomstfordelingen i Grønland

Kapitel 2. Indblik i indkomstniveauet og indkomstfordelingen i Grønland Kapitel 2. Indblik i indkomstniveauet og indkomstfordelingen i Grønland Oversigt 2.1. Udviklingen i personlige indkomster og skatter mv. 1993-2002. 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Mio.

Læs mere

Skriftlig eksamen i samfundsfag

Skriftlig eksamen i samfundsfag OpenSamf Skriftlig eksamen i samfundsfag Indholdsfortegnelse 1. Introduktion 2. Præcise nedslag 3. Beregninger 3.1. Hvad kan absolutte tal være? 3.2. Procentvis ændring (vækst) 3.2.1 Tolkning af egne beregninger

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik 6. 5. udgave 2008 2013 Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press ISBN Trykt 978-87-593-1381-7 bog ISBN

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Kapitel 7 Introduktion til statistik Organisering af data Diskrete variabler Kontinuerte variabler Beskrivende statistik Fraktiler Gennemsnit Empirisk varians og spredning Empirisk korrelationkoe

Læs mere

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse  Skoleåret Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang

Læs mere

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet

Læs mere

Arbejdsplan generel Tema 4: Statistik

Arbejdsplan generel Tema 4: Statistik Arbejdsplan generel Tema 4: Statistik Formål: Eleverne skal få kendskab til og kunne forklare forskellige begreber inden for det statistiske emne. Der bliver alene arbejdet med enkelobservationer. Grupperede

Læs mere

Notat // 11/12/05 KARAKTERGENNEMSNIT: HVAD VISER TALLENE I 2005

Notat // 11/12/05 KARAKTERGENNEMSNIT: HVAD VISER TALLENE I 2005 KARAKTERGENNEMSNIT: HVAD VISER TALLENE I 2005 Der er en relativt lille bevægelse mellem elevernes karaktergennemsnit på landets skoler. Skoler, hvor eleverne har opnået høje karakterer i 2000, har typisk

Læs mere

Stigende indkomstforskelle i København

Stigende indkomstforskelle i København Stigende indkomstforskelle i København Indkomstforskellen mellem de forskellige bydele i København og Frederiksberg er vokset. De højeste indkomster er på Frederiksberg, mens de laveste indkomster er på

Læs mere

Fordeling af boligformuer Af Otto Brøns-Petersen ( ) og Carl-Christian Heiberg ( )

Fordeling af boligformuer Af Otto Brøns-Petersen ( ) og Carl-Christian Heiberg ( ) Notat: 17-03-2017 Af Otto Brøns-Petersen (20 92 84 40) og Carl-Christian Heiberg (81 75 83 34) Mange boligejere med dyre ejendomme har lave indkomster Det indgår i boligskatteforhandlingerne, om der fortsat

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET, ØKONOMISK INSTITUT

KØBENHAVNS UNIVERSITET, ØKONOMISK INSTITUT Termer KØBENHAVNS UNIVERSITET, ØKONOMISK INSTITUT SAMFUNDSBESKRIVELSE, 1. ÅR, 1. SEMESTER HOLD 101, PETER JAYASWAL HJEMMEOPGAVE NR. 2, FORÅR 2005 THOMAS RENÉ SIDOR, 100183-1247 ME@MCBYTE.DK SÅ ST SB Statistisk

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 Til DANSKE ARK Dokumenttype Rapport Dato Februar 2014 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2013 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 3 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

temaanalyse 2000-2009

temaanalyse 2000-2009 temaanalyse DRÆBTE I Norden -29 DATO: December 211 FOTO: Vejdirektoratet ISBN NR: 97887766554 (netversion) COPYRIGHT: Vejdirektoratet, 211 2 dræbte i norden -29 Dette notat handler om ulykker med dræbte

Læs mere

Skatteudvalget SAU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 336 Offentligt

Skatteudvalget SAU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 336 Offentligt Skatteudvalget 2015-16 SAU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 336 Offentligt 4. maj 2016 J.nr. 16-0472995 Til Folketinget Skatteudvalget Hermed sendes svar på spørgsmål nr. 336 af 6. april 2016 (alm. del).

Læs mere

PRISUDVIKLINGEN FOR FORSKELLIGE GRUPPER

PRISUDVIKLINGEN FOR FORSKELLIGE GRUPPER i:\november 99\prisudviklingen-grupper-mh.doc Af Martin Hornstrup 23. november 1999 RESUMÉ PRISUDVIKLINGEN FOR FORSKELLIGE GRUPPER Dette notat udregner prisudviklingen for forskellige socioøkonomiske grupper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Kenneth Berg k710hhxa1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Befolkningsudviklingen og dekomponering af Theilindekset

Befolkningsudviklingen og dekomponering af Theilindekset d. 10.11.2016 Marie Møller Kjeldsen (DORS) Befolkningsudviklingen og dekomponering af Theilindekset I notatet beskrives, hvordan Theil-indekset kan dekomponeres, og indekset anvendes til at dekomponere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

RAPPORT UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1. DECEMBER 2016 UDARBEJDET AF SEKRETARIATET FOR ENERGITILSYNET

RAPPORT UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1. DECEMBER 2016 UDARBEJDET AF SEKRETARIATET FOR ENERGITILSYNET RAPPORT UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1. DECEMBER 2016 UDARBEJDET AF SEKRETARIATET FOR ENERGITILSYNET Side 2/14 ENERGITILSYNET INDHOLD UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1 DECEMBER 2016... 3 ENERGITILSYNETS STATISTIK

Læs mere

Middelklassen bliver mindre

Middelklassen bliver mindre Mens fattigdommen fortsætter med at stige, så bliver middelklassen mindre. I løbet af bare 7 år er der blevet 111.000 færre personer i middelklassen. Det står i kontrast til, at den samlede befolkning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2014 Roskilde

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2011

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2011 Til Danske Ark Dokumenttype Rapport Dato Januar, 2012 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2011 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2011 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 2 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2015 ARKITEKTBRANCHEN

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2015 ARKITEKTBRANCHEN Til DANSK INDUSTRI Dokumenttype Rapport Dato Februar 2016 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2015 ARKITEKTBRANCHEN ARKITEKTBRANCHEN INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 2 3. Månedsløn og

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst 17. december 2013 Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst Dette notat redegør for den økonometriske analyse af indkomstforskelle mellem personer med forskellige lange videregående uddannelser

Læs mere

Personaleomsætning september

Personaleomsætning september Personaleomsætning september 2015-2016 Personaleomsætningsstatistikken findes i to udgaver. Den ene er tilgængelig for alle på KRLs hjemmeside, den anden er kun tilgængelig for kommuner og regioner med

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Bilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen.

Bilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen. Bilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen. Korrespondanceanalysen er en multivariat statistisk analyseform, som i modsætning til mange af de mere traditionelle

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

FORDELING AF ARV. 28. juni 2004/PS. Af Peter Spliid

FORDELING AF ARV. 28. juni 2004/PS. Af Peter Spliid 28. juni 2004/PS Af Peter Spliid FORDELING AF ARV Arv kan udgøre et ikke ubetydeligt bidrag til forbrugsmulighederne. Det er formentlig ikke tilfældigt, hvem der arver meget, og hvem der arver lidt. For

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

LØN OG BESKÆFTIGELSE I SYGEHUSVÆSENET 2000-2005

LØN OG BESKÆFTIGELSE I SYGEHUSVÆSENET 2000-2005 LØN OG BESKÆFTIGELSE I SYGEHUSVÆSENET 2000-2005 Nye tal fra Sundhedsstyrelsen 2007 : 6 Redaktion: Sundhedsstyrelsen Sundhedsstatistik Islands Brygge 67 2300 København S. Telefon: 7222 7400 Telefax: 7222

Læs mere

2 Populationer. 2.1 Virkelige populationer

2 Populationer. 2.1 Virkelige populationer 2 Populationer I en statistisk sammenhæng er en population en samling af elementer, fx personer, virksomheder, lande, kunder eller mere abstrakte objekter. Fra en population kan man udtage en stikprøve.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Bedømmelsesplan for Matematik C

Bedømmelsesplan for Matematik C Bedømmelsesplan for Matematik C Matematik C Hovedområder: Fagretningen: Uddannelser i fagretningen indeholder: Varighed: Læringselementer: Læringsmiljø: Kontor handel og forretningsservice Detail, Handel,

Læs mere

4. Vægtgrundlag. 4.1 Dækning af varer og tjenester

4. Vægtgrundlag. 4.1 Dækning af varer og tjenester 25 4. Vægtgrundlag Vægtgrundlaget i forbrugerprisindekset opgøres på grundlag af husholdningernes udgifter til forbrug af varer og tjenester. Det anvendes ved sammenvejning af basisindeksene til prisindeks

Læs mere

Beskrivende statistik

Beskrivende statistik Beskrivende statistik Stikprøve af størrelse n for variablen x: x 1, x 2,, x n Beskriv fordelingen af data med nogle få talstørrelser. Centralt mål: en værdi som data er centreret om. Variationsmål: mål

Læs mere

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) (VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler inden for deskriptiv statistik... 12 Normalfordelingskurver...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb Undervisningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2015-2016 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jesper

Læs mere

FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION

FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION 1. november 23 Af Peter Spliid Resumé: FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION Pensionisternes økonomiske situation bliver ofte alene bedømt udfra folkepensionen og tillægsydelser som boligstøtte, tilskud

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 2 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 2 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 VUCHA Hf-2 og Hf-Enkeltfag Matematik-C Anders

Læs mere

FRAVÆRSSTATISTIKKEN 2015

FRAVÆRSSTATISTIKKEN 2015 FRAVÆRSSTATISTIKKEN 2015 Statistikken beskriver fraværet på det kommunale henholdsvis regionale område og muliggør i et vist omfang benchmarking kommuner og regioner imellem. Statistikken omfatter månedslønnet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

De rigeste tjener mere og mere, mens de fattigste halter bagud

De rigeste tjener mere og mere, mens de fattigste halter bagud De rigeste tjener mere og mere, mens de fattigste halter bagud De seneste 30 år er uligheden vokset støt, og de rigeste har haft en indkomstfremgang, der er væsentlig højere end resten af befolkningen.

Læs mere