Matematik Grundforløbet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik Grundforløbet"

Transkript

1 Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1)

2 Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes til ikkekommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og De anvendte skrifttyper er Utopia Regular og Paratype Sans Narrow. Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra cbna

3 Forord Disse noter er skrevet til undervisning i grundforløbet på stx. Indholdet dækker lineære og eksponentielle funktioner samt grundlæggende matematiske redskaber (brøkregning, ligningsløsning, osv.) som appendices. Noterne er opbygget således, at i. definitioner og sætninger er fremhævet i grå kasser, ii. blå tekst er klikbare henvisninger, iii. afslutningen på et bevis er markeret med, og iv. afslutningen på et eksempel er markeret med. Mike Auerbach Odense,

4

5 Indhold 1 Grafer og funktioner Variable og sammenhænge Proportionalitet Grafisk afbildning Funktioner Skæringspunkter Grafisk løsning af ligninger Lineære funktioner Hældning og skæring med akserne Beregning af forskriften Lineær vækst Lineær regression Rentesregning Indledende procentregning Procentvis vækst Forskellige tidsperioder Gennemsnitlig rente Eksponentielle funktioner Eksponentiel vækst Beregning af forskriften Fordoblings- og halveringskonstant Eksponentiel regression A Tal og regningsarter 35 A.1 Addition A.2 Subtraktion og negative tal A.3 Multiplikation A.4 Division A.5 Potenser og rødder A.6 Regningsarternes hierarki B Brøkregning 43 B.1 At forkorte og forlænge B.2 Addition og subtraktion B.3 Multiplikation og division B.4 Hele tal og brøker B.5 Lidt om fortegn C Potenser og rødder 49 C.1 Heltallige eksponenter C.2 Det udvidede potensbegreb D Algebra 53 D.1 Ensbenævnte størrelser D.2 Parenteser D.3 Toleddede størrelser E Ligninger 59 E.1 Ligningsløsning E.2 Nulreglen E.3 Eksponentielle ligninger E.4 To ligninger med to ubekendte.. 63 Bibliografi 67 Indeks 68 Formeloversigt 70 5

6

7 Grafer og funktioner Variable og sammenhænge En variabel er som navnet måske antyder en størrelse, der varierer. 1 Det er altså en størrelse, som ikke har en fast værdi. En variabel i matematik betegnes altid med ét bogstav, 2 f.eks. x. Et af de steder, hvor man ofte støder på variable, er i formler. En formel er et regneudtryk til at bestemme en given størrelse, når man kender én eller flere andre størrelser. Arealet af et rektangel kan f.eks. bestemmes ved formlen 1 En størrelse, der ikke varierer, men har én fast værdi, kaldes en konstant. 2 I denne sammenhæng er det vigtigt at pointere, at der i matematik er forskel på store og små bogstaver x og X er altså to forskellige variable. A = l b, (1.1) hvor A betegner arealet, l længden og b bredden af rektanglet. I dette eksempel er både A, l og b variable. Dvs. A, l og b har ikke nogen fast værdi. Men der er dog en sammenhæng mellem værdierne af de tre variable det er denne sammenhæng man udtrykker vha. formlen. En af de ting, som matematik er særlig anvendeligt til, er netop at beskrive sammenhænge. Det kan som ovenfor være sammenhængen mellem arealer og bestemte længder. Det kan også i økonomi være sammenhængen mellem en vares pris og efterspørgslen på varen eller i fysik sammenhængen mellem tid og tilbagelagt strækning. Eksempel 1.1 Hvis man er tilsluttet bygas-forsyningen koster det 937,50 kr. om året i abonnement og 7,26 kr. pr. m 3 gas, der bliver brugt. Denne sammenhæng kan beskrives matematisk som P = 7,26 V + 937,50, hvor P er den pris, man skal betale om året, og V er det forbrugte antal m 3 gas. Eksempel 1.2 Hvis man lader en genstand falde, vil sammenhængen mellem den tid, der går, og den strækning, genstanden er faldet, være givet ved s = 4,91 t 2, hvor t er den forbrugte tid, og s er den tilbagelagte strækning. 3 Den måde, man normalt vil læse formel (1.1) på, er, at arealet af et rektangel afhænger af dets længde og bredde. l og b kaldes derfor for uafhængige variable, idet deres værdier kan variere frit, mens A kaldes for 3 Denne sammenhæng blev fundet eksperimentelt af Galileo Galilei i slutningen af 1500-tallet.[5] 7

8 8 1 Grafer og funktioner den afhængige variabel, idet dens værdi afhænger af de to andre variables værdier. 4 I matematiske sammenhænge, betragter man den variabel, der står isoleret på den ene side af lighedstegnet som den afhængige variable, mens de andre er uafhængige. Vil man i stedet betragte l som afhængig variabel, kan formlen (1.1) omskrives til Proportionalitet l = A b. En af de typer af sammenhænge, der kan være mellem variable, er proportionalitet. Det defineres på følgende måde. Definition 1.1 (Proportionalitet) Hvis man lader k være en konstant (k 0) har man: 1) y er direkte proportional med x betyder, at y = k x. 2) y er omvendt proportional med x betyder, at y = k x. Konstanten k kaldes proportionalitetskonstanten. 5 Af og til kalder man også direkte proportionalitet for ligefrem proportionalitet. Når man taler om direkte proportionalitet, udelader man ofte ordet»direkte«. Hvis der i en tekst står»y er proportional med x«, menes der altså»... direkte proportional med... «. 5 Hvis man bytter lidt rundt på formlerne i definition 1.1 kan de to proportionalitetsformer også udtrykkes på denne måde: 1) y er direkte proportional med x, hvis y x = k. 2) y er omvendt proportional med x, hvis y x = k. Desuden kan man se, at hvis y = k x, er x = 1 k y. Dvs. at hvis y er direkte proportional med x (med proportionalitetskonstant k) er x også direkte proportional med y (med proportionalitetskonstant 1 k ). For omvendt proportionalitet har man, at hvis y = k x gælder også x = k y. Dvs. hvis y er omvendt proportional med x, er x også omvendt proportional med y (med den samme proportionalitetskonstant). Eksempel 1.3 Har man et mobiltelefonabonnement med fri SMS, hvor man kun betaler for opkald, og minutprisen er 0,70 kr., vil den samlede udgift være direkte proportional med antallet af talte minutter. Kalder man udgiften for U og antallet af talte minutter for M har man nemlig: U = 0,70 M. Her er proportionalitetskonstanten 0,70. Eksempel 1.4 Hvis man kører fra Odense til København (en strækning på ca. 160 km), vil rejsetiden være omvendt proportional med hastigheden, man kører med.

9 1.3 Grafisk afbildning 9 Hvis tiden t måles i timer og hastigheden v måles i km h, vil proportionalitetskonstanten være 160, og man får t = 160 v. Af denne sammenhæng ses det (som man skulle forvente), at hvis man kører 80 km h tager det 2 timer at køre fra Odense til København, og hvis man kører 160 km h, tager det kun 1 time. Eksempel 1.5»T er proportional med kvadratet på p og omvendt proportional med s.«denne sammenhæng kan under ét udtrykkes som T = k p2 s, hvor k er proportionalitetskonstanten Grafisk afbildning 6 Bemærk her, at»kvadratet på p«altså betyder p 2. Hvis man har to variable, der afhænger af hinanden, er det muligt at tegne et billede, der illustrerer sammenhængen. Et sådant billede kaldes en graf, og den tegnes i et koordinatsystem. Koordinatsystemer Et koordinatsystem kan forstås som en slags net, der lægges ud over planen, og som man bruger til at beskrive, hvor punkter befinder sig. Man starter med at tegne to akser, første- og andenaksen (ofte kaldet x- og y-aksen), der står vinkelret på hinanden. De to akser er tallinjer, der skærer hinanden i deres nulpunkter, jf. figur 1.1. Skæringspunktet mellem de to akser kaldes origo. A(2, 4) Ethvert punkt kan nu beskrives ud fra, hvilken værdi på førsteaksen og 4 hvilken værdi på andenaksen, punktet befinder sig ud for. Disse to værdier kaldes punktets første- og andenkoordinat. Et punkt består altså af B( 3, 2) 2 1 et såkaldt koordinatsæt (x, y), der fortæller, hvor punktet befinder sig i koordinatsystemet (jf. figur 1.1). Origo har f.eks. koordinaterne (0,0) Grafer 2 (2) C (4, 2) (1) Har man en sammenhæng mellem to variable (f.eks. x og y) kan man tegne en graf over sammenhængen ved at markere de punkter, hvor førsteog andenkoordinaten passer ind i sammenhængen. Figur 1.1: De tre punkter A(2, 4), B( 3, 2) og C (4, 2) indtegnet i et koordinatsystem. Taleksempel Her ses på variabelsammenhængen y = 5 x 2. Man kan nu lave en tabel over værdier af x og de tilhørende værdier af y. Hvis man f.eks. vælger x = 3 får man: x = 3 y = = 4.

10 10 1 Grafer og funktioner Tabel 1.1: En tabel for sammenhængen y = 5 x 2. x y (2) En tabel kan derfor se ud som tabel 1.1. Denne tabel viser, at de punkter, der ligger på grafen, vil være ( 2,1), ( 1,4), (0,5), osv. Disse punkter kan nu sættes ind i et koordinatsystem, og grafen for sammenhængen fås ved at tegne en blød kurve gennem punkterne (se figur 1.2). På grafen vil man nu kunne aflæse, hvilke x- og y-værdier, der»hører sammen«. Dette kan man selvfølgelig også finde ud af, ved at regne på sammenhængen y = 5 x Funktioner ( 1, 4) (0,5) (1,4) I en variabelsammenhæng som f.eks. y = 5 x 2, er den højre side af formlen et regneudtryk, hvis værdi kun afhænger af værdien af x. Man siger derfor, at højre side er en funktion af x. ( 2, 1) 1 1 (3, 4) Figur 1.2: Grafen for y = 5 x 2. (2) (1) Funktioner navngiver man vha. et bogstav, her kan man f.eks. vælge f. For at vise, at f er en funktion af x kan man skrive sammenhængen på denne måde: f (x) = 5 x 2. Dette betyder, at f er et symbol for regneoperationen»sæt tallet i anden og træk det fra fem«. f (x) læses»f af x«, og parentesen skal ikke forstås som en regneparentes, men en angivelse af, at det er variablen x som funktionsværdien afhænger af. Sammenhængen f (x) = 5 x 2 kaldes funktionens forskrift. Forskriften for en funktion er altså en formel, der angiver, hvordan man beregner funktionsværdien, når man har valgt en værdi for den uafhængige variabel. 6 (2,6) Taleksempel Her ses på en funktion f (x) = 3 x + 2. Grafen for funktionen kan ses på figur (1) 1 2 Figur 1.3: Grafen for f (x) = 3 x + 2. Som det kan ses på figuren går funktionens graf igennem punktet (2,6). Dette kan man udtrykke på følgende måde: f (2) = 6. Det skal forstås sådan, at hvis man sætter x = 2 vil funktionens værdi blive 6. Dette kan man regne ud ved at erstatte x i funktionen forskrift med 2: f (2) = = 3 4 = 3 2 = 6. Funktionsværdien kan selvfølgelig også aflæses på grafen, som det er gjort på figur 1.3. Eksempel 1.6 Her ses på funktionen h(t) = t 2 3.

11 1.5 Skæringspunkter 11 Funktionsværdierne h( 1) og h(4) beregnes således: h( 1) = ( 1) 2 3 = 1 3 = 2 h(4) = = 16 3 = 13 Dette betyder så, at grafen for funktionen h går gennem de to punkter ( 1, 2) og (4,13). Hvis man kender funktionsværdien, kan man også finde ud af, hvilken værdi af den uafhængige variabel, der giver denne funktionsværdi. Dette kan gøres ved aflæsning, men problemet kan også løses ved udregning, som i følgende eksempel. Eksempel 1.7 Hvornår antager funktionen g (x) = 2x + 1 værdien 17? Svaret på dette spørgsmål finder man frem til ved at løse ligningen g (x) = 17. Det gøres på følgende måde: g (x) = 17 2x + 1 = 17 2x = 16 x = 8 Svaret på spørgsmålet er altså, at g (x) = 17, når x = Skæringspunkter Hvis to grafer skærer hinanden, kan man finde deres skæringspunkt ved at løse den ligning, der fremkommer ved at sætte de to funktionsudtryk lig hinanden. Dette skyldes, at der hvor graferne skærer hinanden, må både funktionsværdien og den uafhængige variabel have samme værdi for begge funktioner. Fremgangsmåden illustreres nemmest ved et eksempel. Eksempel 1.8 De to funktioner f (x) = x 5 og g (x) = 2x + 1 har grafer, der skærer hinanden (se figur 1.4). Koordinaterne til skæringspunktet bestemmer man ved at løse ligningen f (x) = g (x), hvorved man får x 5 = 2x + 1 3x = 6 x = 2.

12 12 1 Grafer og funktioner (2) Nu er førstekoordinaten x bestemt. For at finde punktet, skal man også kende andenkoordinaten y. Den bestemmes ved at sætte den fundne førstekoordinat ind i ét af funktionsudtrykkene 1 1 f (1) y = f (5) = 2 5 = 3 De to grafer skærer altså hinanden i (2, 3), som det også fremgår af figur 1.4. (2, 3) g 1.6 Grafisk løsning af ligninger Figur 1.4: Skæringspunktet for graferne for de to funktioner f (x) = x 5 og g (x) = 2x + 1. Man kan finde skæringspunkter mellem grafer ved at løse en ligning. Omvendt kan man også løse en ligning ved at aflæse skæringspunkter. Har man en ligning, kan man nemlig opfatte venstre og højre side som to funktionsudtryk. Der hvor de to er lig hinanden (dvs. der hvor graferne skærer hinanden) finder man ligningens løsning(er). Eksempel 1.9 Ligningen x 2 3 = 2x ( 3, 6) (2) kan løses ved at tegne graferne for f (x) = x 2 3 og g (x) = 2x. På figur 1.5 kan man se, at de to grafer skærer hinanden i ( 3,6) og (1, 2). Ligningen har derfor de to løsninger 1 1 (1) x = 3 x = 1. (1, 2) Figur 1.5: Løsningen til x 2 3 = 2x kan aflæses som førstekoordinaten til skæringspunkterne.

13 Lineære funktioner 2 Funktioner kan grupperes efter, hvordan deres forskrifter ser ud. 1 F.eks. har funktionerne f (x) = 3x + 2, g (x) = 7x 5 og h(x) = 4x De kan også grupperes efter, hvordan deres grafer ser ud, men det er to sider af samme sag. forskrifter, som følger samme mønster. Funktioner, der ser ud som f, g og h ovenfor, kalder man lineære funktioner. Definition 2.1 En lineær funktion er en funktion af typen f (x) = ax + b, (2) hvor a og b er to tal. h Det viser sig, at når man tegner grafen for en lineær funktion i et koordinatsystem, får man en ret linje; det er derfor funktionerne kaldes lineære (se figur 2.1). f 5 1 (1) 2.1 Hældning og skæring med akserne Ud fra figur 2.1 er det i princippet muligt at aflæse værdierne af tallene a og b i funktionernes forskrifter. Der gælder nemlig følgende sætning. g Figur 2.1: Graferne for de tre lineære funktioner f, g og h. Sætning 2.2 For en lineær funktion f (x) = ax + b gælder: 1) Hvis x stiger med 1, vil funktionsværdien stige med a. 2) Funktionens graf skærer andenaksen i b. Bevis Når x stiger med 1 stiger funktionsværdien fra f (x) til f (x+1). Funktionsværdien stiger derfor med f (x + 1) f (x) = (a(x + 1) + b) (ax + b) = ax + a + b ax b = a På andenaksen er x = 0, dvs. skæringen med andenaksen er f (0) = a 0 + b = b. 13

14 14 2 Lineære funktioner 2 Husk, at en koefficient er en konstant, som er ganget på en variabel. 1 g 2 f (2) 1 a = 3 a = 1 Figur 2.2: Aflæsning af tallene a og b. (1) For lineære funktioner gælder altså, at funktionsværdien stiger med et fast tal (a), hver gang x stiger med 1. Dette er årsagen til, at grafen bliver en ret linje. Jo større a er, jo hurtigere vokser f (x), og linjen bliver så mere stejl. Tallet a kalder man derfor for linjens hældning eller hældningskoefficient. 2 Hvis a er et negativt tal, falder f (x), når x stiger, og linjen vil derfor hælde den anden vej; funktionen er aftagende. Sætning 2.3 For en lineær funktion f (x) = ax + b fortæller hældningskoefficienten a følgende: 1) Hvis a > 0 er funktionen voksende. 2) Hvis a < 0 er funktionen aftagende. Eksempel 2.1 På figur 2.2 ses graferne for to lineære funktioner f og g. Grafen for f skærer andenaksen i 2, og når man går 1 til højre, skal man gå 1 op for at finde grafen igen, dvs. hældningskoefficienten er a = 1. f har derfor forskriften f (x) = 1 x + ( 2), hvilket reduceres til f (x) = x 2. Grafen for g skærer andenaksen i 1, og går man 1 ud langs førsteaksen, skal man gå 3 ned ad andenaksen, dvs. hældningen er 3. Forskriften er så g (x) = 3x Med mindre linjen falder sammen med førsteaksen, så har den uendeligt mange punkter fælles med denne. I det specielle tilfælde, hvor hældningskoefficienten for en lineær funktion er 0, er funktionen konstant; dvs. grafen er en linje parallel med førsteaksen. En sådan linje har af gode grunde ingen skæringspunkter med førsteaksen. 3 En lineær funktion med en hældningskoefficient, der ikke er 0, har til gengæld en graf, der skærer førsteaksen. Dette skæringspunkt kan man regne sig frem til ud fra forskriften. Sætning 2.4 Grafen for den lineære funktion f (x) = ax + b skærer førsteaksen i ) punktet ( ba,0. 4 Husk, at alle punkter på førsteaksen har formen (x,0), og alle punkter på andenaksen har formen (0, y). Bevis På førsteaksen er andenkoordinaten 0. 4 Grafen for f skærer derfor førsteaksen, hvor f (x) = 0, dvs. ax + b = 0 ax = b x = b a.

15 2.2 Beregning af forskriften 15 ) Grafen skærer altså førsteaksen ( ba,0. Eksempel 2.2 Den lineære funktion f (x) = 4x 12 skærer andenaksen i b = 12 og har hældningen a = 4. Den skærer derfor førsteaksen i x = b a = 12 4 = 3. Funktionens graf skærer altså førsteaksen i punktet (3,0) og andenaksen i punktet (0, 12). 2.2 Beregning af forskriften Hvis man har to punkter på grafen for en lineær funktion, er funktionen entydigt bestemt. 5 Der er altså en sammenhæng mellem de to punkters koordinater og de to a og b. Det viser sig, at denne sammenhæng er givet ved to simple formler. 5 Der går nemlig kun én bestemt ret linje gennem to givne punkter. (2) Sætning 2.5 Hvis grafen for f (x) = ax + b går gennem de to punkter P(x 1, y 1 ) og Q(x 2, y 2 ), er a = y 2 y 1 x 2 x 1 og b = y 1 ax 1. Bevis På figur 2.3 ses grafen for funktionen f (x) = ax + b og de to punkter P(x 1, y 1 ) og Q(x 2, y 2 ). y 2 y 1 b P Q x 1 x 2 1 a (1) Da punktet P ligger på linjen, er f (x 1 ) = y 1, og da Q ligger på linjen, er f (x 2 ) = y 2. Dette giver de to ligninger Figur 2.3: De to punkter P og Q på grafen for f (x) = ax + b. y 2 = ax 2 + b y 1 = ax 1 + b (2.1) Trækker man den nederste ligning fra den øverste, får man som kan reduceres til y 2 y 1 = (ax 2 + b) (ax 1 + b), y 2 y 1 = ax 2 ax 1. Nu sættes a uden for parentes, og man får y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) og formlen for a er så bevist. y 2 y 1 x 2 x 1 = a, For at komme frem til formlen for b, ser man igen på ligningen (2.1): Isolerer man b i denne ligning fås y 1 = ax 1 + b. y 1 ax 1 = b, og formlen for b er dermed også vist.

16 16 2 Lineære funktioner Eksempel 2.3 En lineær funktion f har en graf, der går gennem punkterne P(3,5) og Q(6, 7). Hvad er funktionens forskrift? For at svare på dette spørgsmål, ser man på de to punkter. Heraf fremgår det, at x 1 = 3, y 1 = 5, x 2 = 6 og y 2 = 7. Nu kan man bruge formlerne i sætning 2.5, og man får og a = y 2 y 1 x 2 x 1 = = 12 3 = 4, b = y 1 ax 1 = 5 ( 4) 3 = = 17. Funktionens forskrift er altså f (x) = 4x Lineær vækst 6 Denne sætning kan man også argumentere for ud fra sætning 2.2. Lineære funktioner vokser på følgende måde 6 Sætning 2.6 For en lineær funktion f (x) = ax +b gælder, at når x vokser med x, så vokser funktionsværdien med a x. Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, hvor x 2 = x 1 + x, så vil funktionsværdien vokse fra y 1 = f (x 1 ) = ax 1 + b til y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + x) = a(x 1 + x) + b = ax 1 + a x + b. Funktionsværdien er så vokset med y 2 y 1 = (ax 1 + a x + b) (ax 1 + b) = a x. Tabel 2.1: Vækst af f (x) = 3x x y Hermed er sætningen bevist. Eksempel 2.4 I tabel 2.1 ses et eksempel på væksten af en lineær funktion. Funktionen f (x) = 3x + 7 vokser således, at hver gang x vokser med 2, vokser funktionsværdien med 3 2. Eksempel 2.5 Her ses på funktionen f (x) = 3x 4, som har hældningskoefficienten a = 3. Hvis x vokser med x = 5, vil funktionsværdien vokse med a x = 3 5 = 15. Hver gang, x stiger med 3, stiger funktionsværdien altså med 15. Omvendt kan man spørge, hvor meget x skal stige, for at funktionsværdien stiger med 60? I dette tilfælde er a x = 60, dvs. 3 x = 60 x = 20. x skal altså stige med 20, for at funktionsværdien stiger med 60.

17 2.3 Lineær vækst 17 Eksempel 2.6 For funktionen f (x) = 2x + 7 gælder, at når x stiger med x = 3, stiger funktionsværdien med a x = 2 3 = 6. At funktionsværdien stiger med 6 betyder, at funktionsværdien falder med 6, hver gang x stiger med 3. 7 Her følger et par eksempler på, hvordan en matematisk beskrivelse af lineær vækst kan give svar på forskellige spørgsmål. Eksempel 2.7 I en bestemt by er antallet af indbyggere givet ved 7 En negativ stigning svarer altid til et fald. I mange matematiske modeller, hvor man regner på vækst, kan det betale sig at regne med fortegn hele vejen igennem og først til sidst angive, om der er tale om stigning eller fald, afhængig af om resultatet er positivt eller negativt. N (x) = 213x , hvor N (x) er antallet af indbyggere x år efter år I forskriften er der to konstanter, og Husk, at en konstant er et fast tal. Funktionen N (x) er en lineær funktion, dvs. tallet 213 kan betragtes som en hældningskoefficient: Hver gang x stiger med 1, stiger funktionsværdien med 213. Da x måles i år, og funktionsværdien beskriver antallet af indbyggere, kan man altså sige, at antallet af indbyggere stiger med 213, hver gang x stiger med 1 år. Væksten i indbyggertallet er altså på 213 indbyggere om året er skæringen med andenaksen. Den opnås, når x = 0. Dette sker i år 2000, 9 og man kan derfor udlede, at indbyggertallet i byen var på 9 Idet år 2000 er 0 år efter år i år Eksempel 2.8 Her ses på samme udvikling som i eksempel 2.7, N (x) = 213x Hvor meget vokser byens indbyggertal over en 10-års periode? Ud fra forskriften kan man se, at indbyggertallet vokser med 213 om året. Over en 10-års periode kommer der derfor nye indbyggere = 2130 Eksempel 2.9 Et firma producerer et antal varer. Omkostningerne ved produktionen er kr. i startomkostninger og 17 kr. pr. produceret vare. Omkostningerne er altså en funktion af antallet af producerede varer. Denne funktion har forskriften o(x) = 17x , hvor x er antallet af varer, og o(x) er de samlede omkostninger.

18 d 1 d Lineære funktioner Eksempel 2.10 Det viser sig, at middeltemperaturen i Vestgrønland er afhængig af breddegraden,[3] sådan at T (x) = 0,732x + 46,1, hvor T er middeltemperaturen (i C) og x er breddegraden. Dvs. at middeltemperaturen i Vestgrønland falder med 0,732 C, hver gang breddegraden stiger med 1 grad. Den umiddelbare fortolkning af tallet 46,1 er, at det er temperaturen ved breddegraden 0, dvs. ækvator. Denne fortolkning giver dog ikke mening, idet modellen kun gælder for Vestgrønland. 100 (2) 1 y = 39,8x + 266,4 (1) Figur 2.4: En række målepunkter samt den bedste rette linje gennem punkterne. Det er således ikke muligt at give en fysisk fortolkning af tallet 46, Lineær regression Når man beskriver vækst ud fra målte data, kan man komme ud for, at man har en række målepunkter, som ikke ligger præcist på en ret linje, men dog gør det med god tilnærmelse. Et eksempel kan ses på figur 2.4. Da punkterne ikke ligger præcist på en linje, vil det være forkert at bruge sætning 2.5 til at beregne en forskrift. Afhængig af, hvilke to punkter, man sætter ind i formlerne, vil man nemlig få vidt forskellige resultater for forskriften. (2) d 3 d 4 I stedet bruger man en metode, der kaldes lineær regression til at bestemme den rette linje, der ligger tættest muligt på alle punkterne. Denne metode er indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer, således at man blot skal indskrive punkterne i programmet, så får man at vide hvilken ligning, linjen har. Ligningen på figur 2.4 er fundet på denne måde. Metoden fungerer i praksis på den måde, at man finder den linje, der har den mindste afstand til alle punkterne. Afstanden defineres her som kvadratsummen D af den lodrette afstand fra linjen til punkterne. På figur 2.5 er afstanden f.eks. givet ved D = d d d d 2 4. (1) Figur 2.5: Man minimerer kvadratsummen D = d d d d 2 4. Denne sum indeholder flere led, jo flere målepunkter der er. Den søgte linje er så den, der gør D mindst mulig. Man kan udlede nogle formler til at beregne denne forskrift, men da disse formler er besværlige at regne på, overlades arbejdet til computeren.

19 Rentesregning Indledende procentregning Procent kommer af det latinske pro centum, der betyder»pr. hundrede«. F.eks. betyder 3% tre pr. hundrede, dvs. tre hundrededele, eller sagt på en anden måde 3% = = 0,03. I udregninger kan man altså altid erstatte tegnet % med en division med hundrede. 1 Vil man regne et givent tal om til procent, regner man den anden vej. F.eks. er 0,72 = 0, , = = = 72%. 1 Dette er som regel smart at gøre, idet man så slipper for evt. forvirring omkring, hvad % betyder i den givne situation. I denne udregning ganger man tallet 0,72 med , som er lig 1.2 Udreg- 2 Man ændrer ikke et tal ved at gange med ningen er dog en smule besværlig, og man kan spare lidt på dette besvær 1, heller ikke selv om 1-tallet er skrevet som ved at bemærke, at også kan skrives som 100%: 0,72 = 0,72 100% = 72%. Her ganger man tallet 0,72 med 100%, som er en anden måde at skrive tallet 1 på. Ofte drejer procentregning sig om at finde ud af, hvor meget en procentdel af en given størrelse er, dette gøres som i følgende sætning. Sætning 3.1 p% af en given størrelse K 0 udregnes som p% K 0 = p 100 K 0. Eksempel 3.1 Hvor meget sparer man, hvis en jakke til 800 kr. bliver sat 30% ned? Besparelsen svarer til 30% af 800 kr., dvs. 30% 800 kr. = kr. = 0,3 800 kr. = 240 kr. 100 Man kan også være interesseret i at finde ud af, hvor mange procent en given størrelse udgør af en anden. Dette gøres således: 19

20 20 3 Rentesregning Sætning 3.2 For at finde ud af, hvor mange procent K 1 udgør af K 0 beregnes K 1 K 0 100%. Eksempel 3.2 Hvor stor en procentdel udgør 23 mennesker af 362 mennesker? Svaret fås vha. følgende udregning: 23 = 0,0635 = 0, % = 6,35%. 362 Eksempel 3.3 Hvor mange procent er 465 af 276? 3 Det er vigtigt at huske på, at det altså ikke er tallenes størrelse, der bestemmer, hvilket tal, der skal divideres med; men at man altid dividerer med det tal, der sammenlignes med. Svaret er: 465 = 1,6848 = 1, % = 168,48%. 276 Her giver udregningen et resultat, der ligger over 100%, men det skal det også, idet 465 er større end 276, så det må derfor udgøre mere end 100% Procentvis vækst I foregående afsnit så man på, hvordan man finder en bestemt procentdel af en størrelse, og hvordan man beregner, hvor mange procent en størrelse udgør af en anden. Det sker dog ofte, at man har brug for at beregne, hvad en størrelse vokser til, når man lægger en procentdel til, eller hvor mange procent en størrelse er større (eller mindre) end en anden. Taleksempel måde: Skal man lægge 12% til 140 kan man gøre det på følgende 1) Først finder man 12% af 140: 12% 140 = 0, = 16,8. 2) Dernæst lægger man den fundne værdi til de oprindelige 140, og man får resultatet: ,8 = 156,8. I praksis viser det sig, at denne fremgangsmåde er noget besværlig. Især hvis man skal lægge en procentdel til flere gange det kunne f.eks. være, hvis man skulle finde ud af, hvor mange penge, der står på en konto efter 1, 2, 3 eller flere år. Heldigvis kan den ovenstående udregning forsimples en del. Skriver man de to trin sammen, kan man se, at for at lægge 12% til 140 skal man udregne: % 140 = ,

21 3.2 Procentvis vækst 21 Her kan man sætte 140 uden for parentes, og man får , = 140 (1 + 0,12). Herudfra ses, at man altså skal gange de 140 med 1 + 0,12 = 1,12 for at lægge 12% til. Dette giver anledning til følgende definition: Definition 3.3 1) Vækstraten er tallet r, som angiver den brøkdel, en størrelse vokser med (regnet med fortegn). 2) Fremskrivningsfaktoren er tallet a givet ved a = 1 + r. Her følger to eksempler på, hvordan man beregner vækstraten og fremskrivningsfaktoren. Eksempel 3.4 Hvis en størrelse vokser med 7,5% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 7,5% = 0,075, a = 1 + r = 1 + 0,075 = 1,075. Eksempel 3.5 Hvis en størrelse aftager med 11% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 11% = 0,11, a = 1 + ( 0,11) = 0,89. Hvis man nu skal lægge 12% til 140, ses som før, at man skal udregne % 140 = 140 1,12. Men det vil sige, at 140 i virkeligheden ganges med fremskrivningsfaktoren som i dette tilfælde er a = 1,12. Heraf følger Sætning 3.4 Skal man lægge en procentdel til en størrelse K 0 får man den nye værdi K 1 = K 0 a, hvor a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren.

22 22 3 Rentesregning r +1 1 Figur 3.1: Omregning mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor. a I udregninger, hvor man taler om vækst i procent eller skal se hvor mange procent større/mindre en given størrelse er i forhold til en anden regner man altså ikke direkte med vækstraten r, men med fremskrivningsfaktoren a. Man vil normalt i en given sammenhæng få opgivet vækstraten r. Ud fra denne skal man beregne fremskrivningsfaktoren a, før man regner videre. Hvis det resultat, man leder efter, er den procentvise vækst, får man også en fremskrivningsfaktor som resultat, så denne skal igen regnes om til en vækstrate (se figur 3.1). Her følger et eksempel på, hvorledes man vha. formlen ovenfor lægger en procentdel til en størrelse: Eksempel 3.6 Der skal lægges 25% moms på en vare til 399,96 kr. Hvor meget kommer varen til at koste? Her er vækstraten r = 25% = 0,25. Fremskrivningsfaktoren beregnes: a = 1 + r = 1 + 0,25 = 1,25. Varens pris er derfor 399,96 kr. 1,25 = 499,95 kr. Nu ses på, hvordan man udregner, hvor mange procent en størrelse afviger fra en anden: Eksempel 3.7 En vares pris falder fra 179,95 kr. til 139,95 kr. Hvor mange procent er prisen faldet? Det ses, at formlen K 1 = K 0 a kan omskrives til a = K 1 K 0. Herefter beregnes a = K 1 139,95 kr. = K 0 179,95 kr. = 0,7777. Da dette er en fremskrivningsfaktor beregner vi vækstraten således r = a 1 = 0, = 0,2223 = 22,23%. 4 I dette eksempel ser man igen, at det er vækstraten man taler om, men fremskrivningsfaktoren man regner med. Varens pris er altså faldet 22,23%. 4 Renteformlen I foregående afsnit er beskrevet, hvordan man lægger en procentdel til en given størrelse. Men det kan ske, at man skal lægge en procentdel til flere gange. Hvis man f.eks. sætter penge ind på en konto, der giver renter, kan det være interessant at vide, hvor mange penge der står efter 2, 3 eller flere år.

23 3.2 Procentvis vækst 23 Taleksempel Hvis man sætter kr. ind på en konto, der giver 2,5% i rente p.a., 5 hvor mange penge står der så efter 5 år? 5 pro anno, dvs. pr. år Bruger man sætning 3.4, ser man, at man skal gange de kr. med fremskrivningsfaktoren a = 1+2,5% = 1,025 for at finde beløbet efter 1 år. Det beløb man udregner skal man så igen gange med 1,025 for at finde beløbet efter 2 år osv. I alt skal man altså gange kr. med 1,025 fem gange: kr. 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025. Som man ser, skal man altså udregne kr. 1,025 5 = ,08 kr., så efter 5 år står der ,08 kr. på kontoen. Dette kan generaliseres til en formel, som kaldes renteformlen. Sætning 3.5 (Renteformlen) En størrelse K 0, der vokser med vækstraten r pr. termin, er efter n terminer vokset til K n = K 0 a n, hvor a = 1+r er fremskrivningsfaktoren. Formlen kan også skrives som K n = K 0 (1 + r ) n. Der findes flere forskellige spørgsmål, man kan få svar på ved at bruge renteformlen. Et par af dem gennemgås i følgende eksempler Eksempel 3.8 Hvis man sætter kr. ind på en bankkonto, hvor stor skal renten så være p.a. for at beløbet er steget til kr. på 10 år? I dette tilfælde kender man K 0 = kr., K 10 = kr. og n = 10. Indsættes disse tal i renteformlen fås K n = K 0 a n = a 10. Regner man videre på denne ligning, får man = a = a = a. a kan altså nu beregnes: a = = 1,0184. Da dette er en fremskrivningsfaktor, findes den tilsvarende vækstrate ved r = 1, = 0,0184 = 1,84%. For at beløbet vokser til det ønskede, skal renten altså være 1,84% p.a.

24 24 3 Rentesregning Eksempel 3.9 I en bestemt by har der gennem de sidste 20 år været en konstant vækst i indbyggertallet på 3% om året. Hvis der på nuværende tidspunkt bor mennesker i byen, hvor mange indbyggere var der så for 12 år siden? For at løse dette problem, kan man anvende renteformlen, hvor man sætter n = 12, idet man jo skal gå 12 år tilbage. Man har, at K 0 = , r = 3%, dvs. a = 1,03, samt at n = 12. Renteformlen giver da svaret K 12 = 27,541 1,03 12 = For 12 år siden havde byen altså indbyggere. Eksempel 3.10 I Danmark er der 5,6 mio. indbyggere. Vækstraten er på nuværende tidspunkt ca. 0,4% om året.[2] Hvis denne vækst holder sig konstant, hvor mange år går der så, før der er 6 mio. danskere? Regner man i mio. er K 0 = 5,6. Fremskrivningsfaktoren er a = 1 + 0,4% = 1,004 og K n = 6. n er derimod ukendt. De kendte størrelser indsættes i renteformlen, og man får K n = K 0 a n 6 = 5,6 1,004 n. 6 Her udnyttes, at ligningen a x = b har løsningen x = log(b) log(a). 6 = 5,6 1,004 n Denne ligning løses: 6 6 5,6 = 1,004n ( ) log 6 5,6 log(1,004) = n 17,3 = n Der går altså 17,3 år, før Danmarks befolkningstal overstiger 6 mio., hvis væksten holder sig konstant på 0,4%. 3.3 Forskellige tidsperioder I dette afsnit gennemgås, hvordan man omregner mellem fremskrivningsfaktorer (dvs. i princippet også vækstrater) for forskellige perioder. Taleksempel Hvis man starter med at se på en størrelse, der vokser med 0,5% pr. måned, hvordan finder man så ud af, hvor meget det svarer til om året? Renteformlen giver, at man for at fremskrive størrelsen K 0 én måned skal gange med fremskrivningsfaktoren a måned = 1 + 0,5% = 1,005.

25 3.3 Forskellige tidsperioder 25 Går man nu et år frem i tiden, svarer det til 12 måneder. Ifølge renteformlen skal man altså nu gange K 0 med a 12 måned = 1, Den årlige fremskrivningsfaktor er derfor givet ved a år = 1, = 1,0617. Dette svarer til vækstraten r år = 1, = 6,17%. En månedlig rente på 0,5% svarer således til en årlig rente på 6,17%. Generaliserer man ovenstående udregning, får man følgende Sætning 3.6 Hvis den årlige fremskrivningsfaktor betegnes med a år og den månedlige med a måned gælder a år = a 12 måned. Denne sætning kan sagtens udvides til også at gælde for omregninger mellem andre tidsperioder end måned og år, hvilket illustreres i eksemplerne nedenfor. Eksempel 3.11 Hvis en størrelse K 0 vokser med 4% om året, hvor mange procent vokser størrelsen så på 10 år? Den årlige fremskrivningsfaktor er a 1 år = 1 + 4% = 1,04. Herudfra beregnes fremskrivningsfaktoren for 10 år som a 10 år = a 10 1 år = 1,0410 = 1,4802. Denne fremskrivningsfaktor svarer til en vækstrate på r 10 år = 1, = 0,4802 = 48,02%. Hvis en størrelse vokser med 4% om året, vokser den altså med 48,02% på 10 år. Man kan også anvende sætning 3.6 til at omregne fra år til måned dvs. den modsatte vej: Eksempel 3.12 Hvis en bank giver 2,1% i rente p.a., hvor mange procent svarer det så til i månedlig rente? Først bemærkes, at der jo går 12 måneder på et år, så omvendt må 1 måned svare til 1 12 af et år. Herefter anvendes sætning 3.6 således: a måned = a 1 12 år. Indsætter man nu den årlige fremskrivningsfaktor a år = 1+2,1% = 1,021, får man a måned = 1, = 1, En årlig rente på 2,1% svarer således til en månedlig rente på 0,173%.

26 26 3 Rentesregning 3.4 Gennemsnitlig rente Tabel 3.1: Renten r i og fremskrivningsfaktoren a i på en konto over 3 år. År r i a i 1 2,7% 1, ,0% 1, ,5 % 1,015 I alle de foregående afsnit ses på en fremskrivning med en fast vækstrate. Hvis vækstraten forandrer sig undervejs, hvad kan man så sige om udviklingen? Taleksempel Man sætter 1000 kr. ind på en konto. Pengene får lov at stå i 3 år, og undervejs ændrer renten sig som vist i tabel 3.1. For at kunne bestemme, hvor mange penge, der står, efter de 3 år er gået, skal man kende de tilhørende fremskrivningsfaktorer. Disse er beregnet i sidste kolonne i tabel 3.1. Nu kan det indestående beløb beregnes som K 3 = K 0 a 1 a 2 a 3 = 1000 kr. 1,027 1,030 1,015 = 1073,68 kr. (3.1) Hvis man i stedet havde fået en fast rente, hvilken størrelse skulle denne så have, for at der står det samme beløb på kontoen efter 6 år? Her er man altså ude efter at finde en gennemsnitlig vækstrate. For at svare på dette spørgsmål, kan man igen se på renteformlen. Hvis man kalder den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor for a, har man nemlig K 3 = K 0 a 3. Da dette skal give det samme resultat som ovenfor, nemlig at K 3 = 1073,68 kr., kan man ved at sammenligne med (3.1) konstatere, at der må gælde a 3 = a 1 a 2 a 3. Herudfra ses, at a = 3 a 1 a 2 a 3. Den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor bliver altså i dette tilfælde a = 3 1,027 1,030 1,015 = 1, Den tilsvarende gennemsnitlige vækstrate bliver så r = a 1 = 1, = 2,398%. Mere generelt kan man sige, at der gælder følgende Sætning 3.7 (Gennemsnitlig rente) Hvis en størrelse vokser gennem n terminer med fremskrivningsfaktorerne a 1, a 2,..., a n, er den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor pr. termin givet ved a = n a 1 a 2 a n. Den gennemsnitlige vækstrate er derfor givet ved r = n (1 + r 1 ) (1 + r 2 ) (1 + r n ) 1.

27 3.4 Gennemsnitlig rente 27 Eksempel 3.13 Indbyggertallet i en by vokser med en varierende procentdel over en 5- års periode. Væksten ses i tabel 3.2. At r 3 er negativ, betyder blot, at indbyggertallet falder i det pågældende år. For at finde frem til den gennemsnitlige vækst i procent i løbet af de 5 år, beregnes de 5 fremskrivningsfaktorer (se tabel 3.2). Nu kan den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor findes: Tabel 3.2: Vækstrate (r i ) og fremskrivningsfaktor (a i ) for indbyggertallet i en by i år i. i r i a i 1 2,2% 1, ,1% 1, ,2% 0, ,2% 1, ,0% 1,060 a = 5 1,022 1,031 0,988 1,042 1,060 = 1, Den gennemsnitlige vækstrate i løbet af de 5 år er derfor r = 1, = 0,02832 = 2,832%.

28

29 Eksponentielle funktioner 4 En eksponentiel funktion eller eksponentialfunktion defineres på følgende måde 1 Definition 4.1 En eksponentiel funktion er en funktion af typen f (x) = b a x, 1 I nogle beskrivelser er det kun funktioner af typen f (x) = a x, der kaldes eksponentielle funktioner, mens f (x) = b a x kaldes en eksponentiel udvikling. Her bruges»eksponentiel funktion«dog i begge tilfælde. hvor a og b er to positive tal. Tallet a i definition 4.1 kaldes fremskrivningsfaktoren 2 og b kaldes begyndelsesværdien. 2 Dette svarer fuldstændigt til fremskrivningsfaktoren i renteformlen K n = K 0 a n. At b kaldes begyndelsesværdien skyldes, at grafen for funktionen skærer andenaksen i punktet (0,b). Dette følger af, at g (2) f f (0) = b a 0 = b 1 = b. Et eksempel på grafer for eksponentielle funktioner kan ses på figur 4.1. For eksponentielle funktioner gælder der specielt, at deres grafer ikke skærer førsteaksen. Det skyldes, at funktionsværdierne ikke kan blive negative (eller 0), idet a x altid er positivt, så længe a er et positivt tal uanset værdien af x. 1 1 (1) 4.1 Eksponentiel vækst Hvis man sammenligner forskriften for en eksponentiel funktion f (x) = b a x med renteformlen K n = K 0 a n, kan man se, at der er tale om samme type vækst. Man kan derfor forvente, at eksponentielle funktioner vokser på den måde, at man ganger med fremskrivningsfaktoren a, for hver gang x stiger med 1. Dette er illustreret på figur 4.2. Generelt gælder følgende sætning Sætning 4.2 For en eksponentiel funktion gælder, at hver gang x vokser med x, ganges funktionsværdien med a x. Når x vokser med en fast værdi, vokser funktionsværdien altså med en fast procentdel. Figur 4.1: Graferne for de to eksponentielle funktioner f (x) = 2 1,4 x og g (x) = 4 0,8 x. y 0 a 3 y 0 a 2 y 0 a y 0 (2) (1) Figur 4.2: Vækst af en eksponentiel funktion. 29

30 30 4 Eksponentielle funktioner Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, så vokser funktionsværdien fra y 1 = f (x 1 ) = b a x 1 til y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + x) = b a x 1+ x = b a x1 a x = y 1 a x. Den nye funktionsværdi y 2 er altså netop y 1 a x. Sætningen er hermed bevist. Tabel 4.1: Vækst af f (x) = 4 2 x. Eksempel 4.1 I tabel 4.1 ses, hvordan en eksponentiel funktion vokser x y 3 0, Her ses, at for funktionen f (x) = 4 2 x gælder der, at hver gang, x vokser med 3, ganges funktionsværdien med 2 3 = Hver gang x stiger med 1, vil funktionsværdien blive ganget med a 1 = a. Størrelsen af a afgør derfor, om en eksponentiel funktion er voksende eller aftagende, og man kan derfor argumentere for følgende 3 3 Argumentet er, at ganger man et hvilket som helst tal med et andet tal, som er større end 1, så vil resultatet blive større end det oprindelige tal. Hvis man omvendt ganger med et tal, som ligger mellem 0 og 1, får man et resultat, som er mindre end det oprindelige. Sætning 4.3 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder: 1) Hvis a > 1 er funktionen voksende. 2) Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Da en eksponentiel funktion er udtryk for procentvis vækst, giver det mening at definere vækstraten, som er r = a 1. Dette tal angives ofte i procent. For vækstraten gælder følgende, som følger af sætning 4.3. Sætning 4.4 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x defineres vækstraten Der gælder så, at r = a 1. 1) Hvis r > 0 er funktionen voksende. 2) Hvis r < 0 er funktionen aftagende. Når man ved, at procentvis vækst beskrives vha. eksponentielle funktioner, kan man udnytte dette til at opstille matematiske modeller for procentvis vækst.

31 4.2 Beregning af forskriften 31 Eksempel 4.2 I Honduras bor der 8,6 mio. mennesker i 2014, og befolkningsvæksten er på 1,7%.[6] Honduras befolkning kan altså beskrives ved en eksponentiel udvikling med begyndelsesværdi 8,6 og vækstrate 1,7%. Da vækstraten er 1,7% er fremskrivningsfaktoren a = 1 + 1,7% = 1 + 0,017 = 1,017. Befolkningstallet er altså givet ved funktionen f (x) = 8,6 1,017 x, hvor x er antal år efter 2014, og f (x) er befolkningstallet i mio. Eksempel 4.3 En bakteriekultur vokser eksponentielt, sådan at antallet af bakterier kan beskrives ved funktionen B(t) = 364 1,72 t, hvor t er tiden i timer, og B(t) er antallet af bakterier. Ud fra forskriften kan man udlede følgende: Til tiden t = 0 er der 364 bakterier. Fremskrivningsfaktoren er 1,72, hvilket vil sige at vækstraten er r = 1,72 1 = 0,72 = 72%. Antallet af bakterier vokser altså med 72% i timen. (2) 4.2 Beregning af forskriften Q(x 2, y 2 ) Hvis man har to punkter på grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x, kan man bestemme konstanterne a og b i forskriften (se figur 4.3). P(x 1, y 1 ) Sætning 4.5 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(x 1, y 1 ) og Q(x 2, y 2 ) er a = x 2 x 1 y2 og b = y 1 y 1 a x. 1 (1) Figur 4.3: Grafen for en eksponentiel funktion går gennem P og Q. Bevis Hvis P(x 1, y 1 ) ligger på grafen for f (x) = b a x, gælder der, at Da Q(x 2, y 2 ) også ligger på grafen for f, er y 1 = b a x 1. (4.1) y 2 = b a x 2. (4.2)

32 32 4 Eksponentielle funktioner Dividerer man nu ligning (4.2) med ligning (4.1) får man y 2 = b ax2 y 1 b a x 1 y 2 = ax2 y 1 a x 1 y 2 = a x 2 x 1 y 1 og formlen for a er så bevist. x 2 x 1 y2 y 1 = a, For at bevise formlen for b isolerer man b i ligning (4.1) og får y 1 = b a x 1 y 1 a x 1 = b. Formlen for b er dermed også bevist. Eksempel 4.4 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(2, 12) og Q(5, 96) er x 1 = 2, y 1 = 12, x 2 = 5 og y 2 = 96. Benytter man nu formlerne fra sætning 4.5 fås a = x 2 x 1 y2 96 = 5 2 y 1 12 = 3 8 = 2, b = y 1 a x = = 12 4 = 3. Funktionens forskrift er så f (x) = 3 2 x. 4.3 Fordoblings- og halveringskonstant Funktionsværdien af en eksponentiel funktion vokser ifølge sætning 4.2 med en fast procentdel, når x vokser med et fast tal. Hvis en eksponentiel funktion er voksende, giver det derfor mening at undersøge, hvor meget x skal vokse, for at funktionsværdien vokser med 100% dvs. fordobles. Dette tal kalder man fordoblingskonstanten T 2. 4 Idet en fordobling (som er det samme som at lægge 100% til) svarer til at gange med 2. 5 Husk, at ligningen a x = c har løsningen x = log(c) log(a). Ifølge sætning 4.2 ganges funktionsværdien med a x, når x stiger med x. For at bestemme T 2 skal man derfor finde ud af, hvornår a x = 2. 4 T 2 er altså løsningen til ligningen Løsningen til denne ligning er 5 a T 2 = 2. T 2 = log(2) log(a).

33 4.4 Eksponentiel regression 33 (2) På figur 4.4 er fordoblingskonstanten illustreret. En vigtig pointe er her, at funktionsværdien fordobles hver gang man lægger T 2 til x. At funktionsværdien fordobles, hver gang man går et bestemt stykke ud ad førsteaksen, gælder kun for eksponentielle funktioner. For aftagende eksponentielle funktioner giver det i øvrigt ikke så meget mening at tale om en fordobling; her bestemmer man i stedet en halveringskonstant. Halveringskonstanten T 1 defineres helt analogt til fordoblingskonstanten, sådan at der gælder 2 følgende. 2 y 0 y 0 T 2 (1) x 0 x 0 + T 2 Sætning 4.6 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder Figur 4.4: Når man lægger T 2 til x 0, fordobles funktionsværdien. 1) Hvis f er voksende er fordoblingskonstanten T 2 = log(2) 2) Hvis f er aftagende er halveringskonstanten T 1 2 log(a). = log( ) 1 2 log(a). Eksempel 4.5 Den eksponentielle funktion f (x) = 3 1,7 x har fremskrivningsfaktoren a = 1,7. Fordoblingskonstanten er derfor T 2 = log(2) log(a) = log(2) log(1,7) = 1,31. Dvs. at hver gang x stiger med 1,31 fordobles funktionsværdien. En stigning fra x = 5 til x = 6,31 vil således give en fordobling af funktionsværdien, og det vil en stigning fra x = 100 til x = 101,31 også. 4.4 Eksponentiel regression Hvis man har en række målepunkter, der tilnærmelsesvist følger en eksponentiel udvikling, er det muligt at bestemme den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest muligt på alle punkterne, vha. en metode, der kaldes eksponentiel regression. Metoden er ligesom lineær regression indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer. Man indtaster her sine målepunkter, og får programmet til at beregne forskriften for den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest på alle målepunkterne. Ligningen på figur 4.5 er fundet på denne måde. 10 (2) y = 5,37 1,68 x 1 (1) Figur 4.5: En eksponentiel udvikling fundet vha. eksponentiel regression.

34

35 Tal og regningsarter A En af grundstenene i matematikken er tallene. Tal bruges til mange forskellige formål: til at tælle med, til at måle størrelser, til at opregne overskud og gæld. I de næste par afsnit ses på forskellige typer af tal samt de fire regningsarter: addition (at lægge sammen), subtraktion (at trække fra), multiplikation (at gange) og division (at dele/dividere). De første tal, man lærer at kende, er de tal, man kalder de naturlige tal. Det er de tal man bruger til at tælle med, dvs. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... Hvis man vha. et tal skal udtrykke, at der intet er, bruger man tallet 0, som dog ikke regnes med til de naturlige tal. A.1 Addition Den simpleste af de fire regningsarter er addition, at lægge sammen. Denne regneoperation udtrykker på sin vis det samme, som man kan sige med ordet»og«. 1 Har man f.eks. en bunke med 7 stk. og en bunke med 11 stk. har man i alt»7 stk. og 11 stk.«, dvs. 18 stk. I matematikken skrives dette 1 Selve symbolet + kommer med al sandsynlighed fra ordet et, som betyder»og«på latin.[1] = 18. De to tal 7 og 11 kaldes led og resultatet 18 kaldes en sum. Da tegnet + udtrykker, at man lægger to værdier oven i hinanden, må det forventes, at rækkefølgen er ligegyldig, altså at Dette er også tilfældet = A.2 Subtraktion og negative tal Én ting, man ikke kan udtrykke vha. af de naturlige tal, er ideen om mangel eller gæld. Hertil kan man bruge de negative tal. 2 I første omgang kan man nøjes med at se på de negative hele tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 2 De negative tal er en forholdsvis ny opfindelse inden for matematikken. Helt op i det 18. århundrede, var der matematikere, der mente, at de negative tal ikke eksisterede.[4] 35

36 36 A Tal og regningsarter 3 I regnestykket er der sat parentes om 3. Det gør man for at vise, at er et fortegn, dvs. det hører til tallet 3; en anden god grund er, at når man sætter parentesen, er det nemmere at se, at der både står et + og et. Helt generelt må man ikke skrive et fortegn lige efter et regnetegn uden at sætte en parentes. Man kan på sin vis sige, at ethvert negativt tal er et»modsat tal«til et positivt tal. Lægger man sammen får man f.eks ( 3) = 0 og ( 3) + 3 = 0. Man kan argumentere for, at ( 3) er det modsatte tal til 3, og at der derfor må gælde, at ( 3) + ( 3) = 0. Men fordi 3 + ( 3) = 0, må man have, at ( 3) = 3. Dette må gælde for alle tal (og ikke kun tallet 3). Vha. de negative tal kan man definere subtraktion som addition med det modsatte tal. Et eksempel kunne være 8 2 = 8 + ( 2). Dette kan også forklare hvorfor man ikke bare kan bytte rundt på tallene. 2 8 er ikke det samme som 8 2, da tegnet faktisk hører til 2-tallet. Når man lægger sammen er rækkefølgen til gengæld ligegyldig, så man kan gøre følgende 8 2 = 8 + ( 2) = Som man kan se, bliver tegnet ved med at stå foran 2-tallet. De to tal 8 og 2 i regnestykket kaldes ligesom ved addition for led, mens resultatet (6) kaldes en differens. A.3 Multiplikation At gange to tal (multiplicere dem) er faktisk en udvidelse af at lægge sammen, idet f.eks. 7 gange { }} { 7 4 = = 28. Heraf ser man også, hvorfor tegnet» «kaldes»gange« Hvor man ved addition nemt kan argumentere for, at rækkefølgen er ligegyldig, er det måske lidt sværere umiddelbart at se, hvorfor 7 4 = 4 7, men det skyldes at tallet 4 7 kan betragtes som arealet af et rektangel, der er 4 på den ene led og 7 på den anden. Figur A.1 giver et billede af denne ide. Figur A.1: Man kan ud fra billedet argumentere for, at 7 4 = 4 7. Tallene, der ganges sammen (her 7 og 4) kaldes faktorer, og resultatet (28) kaldes produktet af de to tal. Fortegn Det er simpelt at argumentere for, hvordan man ganger positive tal sammen; men hvad sker der, når man blander negative tal ind i regnestykkerne?

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 & maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Januar 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere