Eksperimentel matematik Projektkatalog 2009

Transkript

1 Eksperimentel matematik Projektkatalog 2009 A Fornyelsessystemer For en liste v 1,..., v n af ord og et helt tal N kan man danne en ny liste af ord ved at opskrive alle delord af længde N af de ord der kan dannes ved sammensætning af ord v i. Er listen fx ab, a kan man danne de fem ord baa, bab, aab, aba, aaa af længde 3. Mængden af ord, der kan dannes ud fra sådan en liste, kaldes et fornyelsessystem. For en liste w 1,..., w n af ord af samme længde m kan man definere en matrix A ved at skrive 1 på plads (i, j) hvis de sidste m 1 bogstaver af w i er det samme som de første m 1 bogstaver af w j, og 0 ellers. F.eks. giver listen aa, ab, ba matricen Det er interessant at sammenstille disse to konstruktioner og danne en matrix A L,n hørende til alle delord af længde n af ord der kan sammenstilles ud fra ord i listen L. Især er Smith formen og determinanten af matricen I A L,n vigtige. Smith formen er en diagonalmatrix med heltalsindgange, der let kan beregnes med Maple. For nogle lister findes et naturligt tal N, så Smith formen af I A L,n er konstant for n N, hvis man da ser bort fra alle ettaller på diagonalen. I så fald siger man at Smith formen stabiliseres på det Nte trin. Hvis Smith formen stabiliseres findes næsten altid et tal a, så Smith formen har værdien a i præcis en indgang og vædien 1 i alle andre når n N. Der findes dog også lister hvor flere af tallene på diagonalen er forskellige fra 1, men det vides ikke hvilke kombinationer af tal der kan optræde. Der findes også lister hvor Smith formen aldrig stabiliseres men i stedet udvikler sig periodisk eller opfører sig endnu mere kompliceret. Denne opgave handler imidlertid kun om de lister hvor Smith formen stabiliseres. Vi har allerede en samling af lister med interessante Smithformer, der kan bruges som udgangspunkt og inspiration. 1

2 Hvilke kombinationer af tal kan optræde på diagonalen i Smith formen af I A L,N, når L er en liste hvor Smith formen stabiliseres på det Nte trin? Er determinanten af I A L,N altid negativ? Har A L,N altid kun en egenværdi større end eller lig 1? Kan man på forhånd afgøre om Smith formen af en given liste vil stabilisere sig eller ej? Projektide:Søren Eilers og RJ Lind & Marcus: Introduction to symbolic dynamics and coding. En procedure i Maple, der fortæller om Smith formen for en given liste stabiliseres eller ej. En samling eksempler på lister med interessante Smith former. B Egenværdier for irreducible matricer Lad A være en matrix hvor alle indgange er ikke negative heltal. A kaldes irreducibel, hvis der findes et k N sådan at (A k ) ij > 0 for alle i, j {1,..., n}. F.eks. er matricen ( ) 2 1 B = 1 0 irreducibel, mens matricen I = ( ) ikke er det. Irreducible heltalsmatricer, hvor alle indgange er større end eller lig 0, dukker op i symbolsk dynamik (et eksempel er de matricer som er nævnt i afsnit A). Der findes en interessant klasse af disse matricer, som tilsyneladende har den egenskab, at alle matricerne har præcis en egenværdi, der er større end eller lig 1. For at undersøge om det virkelig er tilfældet, ville det være nyttigt at have generelle kriterier, der garanterer at en matrix har præcis en egenværdi større end eller lig 1. Hvis A er en irreducibel heltalsmatrix hvor alle indgange er større end eller lig 0, så har A altid mindst en egenværdi, der er større end eller lig 1. Den største af disse kaldes Perron-egenværdien, og den spiller en vigtig rolle 2

3 i symbolsk dynamik. Men hvornår er der ikke andre? Er det muligt at finde egenskaber ved A, der garanterer, at der er præcis en egenværdi større end 1? For 2 2-matricer er det let at besvare spørgsmålet, fordi der er en simpel formel for determinanten af sådan en matrix, og fordi det er let at løse andengradsligninger. For større matricer er det imidlertid ikke lige til at finde sådanne betingelser, men måske kan en eksperimentel undersøgelse afsløre hvad der skal til. Det kan måske være en god ide at gennemføre udregningerne for 2 2- matricer for at få erfaring med problemt. For at begrænse projektet, er det i orden kun at betragte matricer hvor indgangene er enten 0 eller 1, men det er ikke sikkert, det er en fordel. Hvilke egenskaber ved en irreducibel {0, 1}-matrix garanterer at der er præcis en egenværdi større end 1? Hvad sker der, hvis matricen kan have andre positive indgange end 1? Projektide: RJ Lind & Marcus: Introduction to symbolic dynamics and coding. C Coincidence conjecture En substitution er en afbildning τ der til et bogstav i et givet endeligt alfabet A knytter et ord med et eller flere bogstaver fra A. Et eksempel på A = {a, b, c} kunne være τ(a) = ababcc τ(b) = aabbcc τ(c) = cbaacb Bemærk nu at τ n (a) giver mening for alle n N; fx er τ 2 (a) = τ(ababcc) = ababccaabbccababccaabbcccbaacbcbaacb Hvis A = {a 1, a 2,..., a m }, så kan man knytte en m m-matrix A til substitutionen ved at definere A ij = antal gange a j optræder i τ(a i ). En substitution kaldes Pisot, hvis følgende to betingelser er opfyldt: 1. Der findes n N, så der for alle bogstaver a og b i alfabetet gælder at τ n (a) indeholder b. 3

4 2. Alle As egenværdier undtagen en ligger i det åbne interval ]0; 1[. Bemærk, at 1. gælder med n = 1 for substitutionen beskrevet ovenfor. Når 1. er opfyldt, vil matricen automatisk have mindst en egenværdi større end 1, så kravet er at alle de andre ligger i intervallet ]0; 1[. Det der på engelsk er kendt som the coincidence conjecture er formodningen om at følgende udsagn er sandt når τ er en Pisot-substitution: Det k te bogstav i τ n (a) og τ a, b A n, k N : n (b) er det samme (1) c A : Der er lige mange c er til venstre for plads k i τ n (a) og τ n (b). Hvis man nøjes med at kigge på substitutioner, hvor der for alle a og b gælder, at b optræder i τ(a), så er 1. automatisk opfyldt. Derefter er det let at undersøge om 2. også er opfyldt: Skriv et program, som givet en substitution kan konstruere matricen, udregne egenværdierne og teste om substitutionen er Pisot. Kan eksperimenter modbevise (1) for Pisot substitutioner? Hvis ja, begrænser modeksemplerne sig så til klassen af τ der er periodiske i en passende forstand? Hvis nej, hvilke typer giver da store værdier for n og k? Kan der da findes andre substitutioner der giver modeksempler? Projektide: Søren Eilers og RJ Barge & Diamond: Coincidence for substitutions of Pisot type. Bulletin de la Société mathématique de France (2002), D Y -funktioner Betragt en voksende funktion f : N {0} N. med f(0) := 1. Hvis X er en vilkårlig endelig mængde, så defineres f (X) := f( X ). Vælg fire vilkårlige endelige delmængder X 1,..., X 4 af N. For en delmængde A {1, 2, 3, 4} sættes g(a) = f ( i A X i ). (2) Vi forkorter 12 = {1, 2} osv., så for eksempel er g(12) = f (X 1 X 2.) 4

5 Vi siger at f er en Y -funktion hvis der gælder g(13) 3 g(14) 3 g(34) 3 g(23)g(24) g(1)g(12)g(3) 2 g(4) 2 g(134) 4 g(234) (3) uanset hvordan man vælger X 1,..., X 4. Gruppeteori fører til følgende eksempler på Y -funktioner: (I) f(n) = n! (II) f(n) = q n. (III) f(n) = q (n 2) (q 1)(q 2 1) (q n 1). hvor q i (II) er et vilkårligt helt tal og i (III) er en primtalspotens. Find eksempler på voksende funktioner der ikke er Y -funktioner. Undersøg hvordan man for forskellige eksempler på Y -funktioner vælger X 1,..., X 4 som alle er forskellige med g(13) 3 g(14) 3 g(34) 3 g(23)g(24) g(1)g(12)g(3) 2 g(4) 2 g(134) 4 g(234) så tæt på 1 som muligt. Ovenstående eksempler på Y -funktioner vokser meget hurtigt; findes der en nedre grænse for hvor hurtigt en Y -funktion kan vokse? Projektide: Jørn Børling Olsson : Uddybende projektbeskrivelse af JBO. T.H. Chan og R. Yeung (IEEE Trans. Inform. Theory, vol 48 (2002) E Approksimation af logaritmefunktionen Logaritmefunktionen kan approksimeres med x 1 + x ln(1 + x) x for x > 1, (4) og dette har stor betydning i fx informationsteori, men det har interesse at lede efter bedre approksimationer med rationale funktioner, nærmere bestemt funktioner af formen φ n (x) = xp n 1(x) Q n (x) og ψ n (x) = xr n 1(x) S n 1 (x) 5 (5)

6 Her angiver indices graden af pågældende polynomium og vi normaliserer, så de ledende koefficienter i Q n erne og i R n erne er 1. Ønsket er at φ n (x) ln(1 + x) ψ n (x) for x 0, idet intervallet ] 1, 0[ ikke er relevant i sammenhængen. Findes gode (eller ligefrem: bedste) approksimationer af denne type for små n? Kan man ud fra sådanne opstille en hel følge af approksimander af vilkårlig grad? Projektide: Flemming Topsøe Uddybende projektbeskrivelse af FT. F Tælle pyramider Fasthold et positivt helt tal w, og betragt antallet P w (n) af måder man kan bygge en pyramide med n objekter af formen [0; w] [0; w] ovenpå et fastliggende objekt af samme form, på en sådan måde at alle objekternes hjørner ligger i N N. Vi har P 1 1 (n) = 1 for alle n og de første led af følgen P 2 2 (n) er givet ved 1, 9, 97, 1133, 13856, , Pyramiderne kan opfattes som fremkommet ved at man lægger objekter ovenpå det fastliggende objekt på en sådan måde at ingen af de øvrige objekter lægges på det niveau det fastliggende objekt ligger på. En pyramide med n objekter er således specificeret ved at opremse de n 1 positioner for de objekter der er lagt på [fx ved koordinaterne for hjørnet nederst til højre], men man må bemærke at der ofte er flere forskellige måder at specificere samme pyramide på denne måde. Beregn P w (n) effektivt vha. en remember-funktion i Maple. Kan der gives gode estimater for h w = lim n n P w (n)? Hvorledes afhænger h w af w? Projektide: Søren Eilers Viennot: Heaps of pieces, I : Basic definitions and combinatorial lemmas. Springer Lecture Notes

7 G Vækst af LEGO-bygninger Antallet af måder at sætte en b w LEGO-klods på en anden er givet ved formlen k b w = (2b 1)(2w 1) + (1 δ b,w )(b + w 1) 2 man kan vise at den eksponentielle vækst af antallet T b w (n) af sammenhængende LEGO-bygninger bygget ud fra n sådanne klodser kan defineres ved h b w = lim n n T b w (n) og at w 2 + 2w 1 = k 1 w h 1 w 7w 2 + 7w 14 w 2 + b 2 + 6bw 4b 4w + 2 = k b w h b w 24w bw 48w 4w 2 4w + 1 = k w w h w w 18w 2. når b < w. Findes der dimensioner b, w, b, w hvorom man kan vise k b w = k b w h b w h b w? (6) ved disse estimater? Hvis ikke, kan de nedre grænser så forbedres ved at inddrage antallet af måder at placere fx 2 klodser på 1, således at man kan opnå (6)? Projektide: Mikkel Abrahamsen og Søren Eilers Mikkel Abrahamsen og Søren Eilers: Efficient counting of LEGO structures. H Perioder i {0, 1}-følger Betragt følger af formen s n [α] = (n + 1)α nα. med α ]0, 1[\Q og n løbende over hele Z. Vi siger at et endeligt ord har en periode på n + p/q hvis det har formen n {}}{ v v w 7

8 hvor v har q bogstaver og w består af de p første bogstaver i v. Fx har altså en periode på 1, på og på og 000 har en periode på 1, på og på 3. Lad MP (α) være defineret som supremum af alle de perioder der optræder i delord af s n [α]. Hvad kendetegner de α som har endelig MP (α)-værdi? Hvordan afhænger MP (α) af α i disse tilfælde? Projektide: Søren Eilers og Jacob Thamsborg D. Vandeth, Sturmian words and words with a critical exponent, Theoret. Comput. Sci. 242 (2000), I Funktioner knyttet til momentfølger Momentfølgen for et sandsynlighedsmål ν på [0, 1] er følgen (m n ) givet ved m n = 1 0 t n dν. Det er interessant at studere det mål µ der har momentfølgen givet ved den rekursive formel m 0 = 1, m 2 n+1 + m n+1 m n = 1, m n 0 og det gør man blandt andet ved at se på f(z) = t z 1 t dµ(t) der er defineret når R(z) > 0 og endda kan udvides meningsfuldt til andre z. Man kan vise ( ( ) z ) 1 mn 1 f(z) = lim n ψ n (7) m n 1 når z [0, 1], når man sætter ψ(z) = z 1/z. Kan formlen (7) benyttes til at visualisere f på [0, 1]? Konvergerer højresiden af (7) for andre værdier af z? Projektide: Christian Berg Berg & Durán: The fix-point for a transformation of Hausdorff moment sequences and iteration of a rational function. 8 m n

9 J Latinske determinanter Hvis man opfatter en udfyldt sudoku som en 9 9-matrix kan man spørge hvad dens determinant er, og hvilke mulige værdier en sådan sudokudeterminant kan antage. Det viser sig fx at tallene 0 og 405 begge er determinanter for en sudoku, men at ingen af tallene indimellem er det. Mere generelt kan man se på n n latinske kvadrater, altså n n-matricer der er udfyldt med hvert tal 1,..., n netop en gang i hver række og netop en gang i hver søjle. Kald mængden af forekommende determinanter af de forskellige latinske n n-kvadrater for D n. Hvilken struktur har mængden D n? Hvad er det mindste positive element i D n, og hvordan afhænger det af n? Har matricerner hvor dette minimum antages en særlig form? Projektide: Søren Eilers Abrahamsen: Besvarelse af julenød, LinAlg K Vindende strategi To spillere, A og B, aftaler et n N og spiller derefter følgende spil. De skiftes - med A først - til at skrive 0 eller 1 i en sekvens, og den der første gang gentager et delord af længde n har tabt spillet. Med n = 2 kunne forløbet være hvor spiller B vinder da 01 blev skrevet anden gang af spiller A. Spiller B havde endda en vindende strategi: Da B havde skrevet sit første 0 var spiller A nødt til at skrive 1 i sit andet træk, og nødt til at gentage enten 00 eller 01 i sit tredje træk. Havde spiller A startet med 1 kunne B have vundet med at skrive 1 to gange i stedet. Vi siger at denne strategi har dybde 2, fordi spiller B kun behøver at gå to trin tilbage i sekvensen for at vælge om han vil skrive 0 eller 1. Lader vi indikere positioner inden spillets start kan strategien noteres 0 0, 1 1, 01 0, Da 00 og 01 ikke kan forekomme lige inden spiller Bs tur er det ikke nødvendigt at specificere hvilke træk de skal give anledning til. 9

10 For hvilke n har spiller A en vindende strategi? For hvilke n har spiller B en vindende strategi? Hvordan afhænger den minimale dybde af en vindende strategi af n? Projektide: Søren Eilers 10