Flere ligninger med flere ukendte

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Flere ligninger med flere ukendte"

Transkript

1 Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion Logisk opvarmning Flere ligninger med flere ukendte At løse et ligningssystem Overdeterminerede og underdeterminerede systemer 7 3 Substitutionsmetoden 10 4 Eksempler Lineære ligninger Ikke lineære ligninger Veldeterminerede systemer Over og underdeterminderede systemer

3 Resumé I dette dokument ser vi på en metode til at løse flere ligninger med flere ukendte størrelser. Undervejs introducerer vi ordene underdetermineret, overdetermineret og veldetermineret samt begrebet lineære ligningssystemer. 1 Introduktion Når man løser matematiske problemer, så sker det ofte at man har mange ukendte talstørrelser som skal bestemmes. I så fald skal man lede efter nogle informationer om disse størrelser som kan bruges til at bestemme værdierne af dem. Disse informationer vil meget ofte bestå af ligninger som fortæller en sammenhæng imellem de forskellige størrelser. Hvis man har tilstrækkeligt mange ligninger, kan man være heldig at der kun er 1 mulighed for hvad de forskellige ukendte tal kan være. Dette dokument handler om en teknik til at finde denne mulighed. Det kaldes at løse flere ligninger med flere ukendte, og teknikken omtales ofte som substitutionsmetoden. Den kan være nyttig i mange forskellige situationer. F.eks.: Skæringsproblemer i to eller tredimensionale koordinatsystemer. Bestemmelse af parametre til en generel funktionstype ud fra nogle givne funktionsværdier (modellering). I beviser hvor flere informationer skal kombineres til en samlet konklusion. Forudsætninger Inden du læser dette dokument bør du have nogenlunde styr på at løse ligninger som kun indeholder en ukendt størrelse. Desuden kan du komme i det rigtige humør ved at læse det næste afsnit. side 1

4 1.1 Logisk opvarmning I bund og grund handler dette dokument om en eneste ting: Nemlig at kombinere flere forskellige informationer til en samlet konklusion. Evnen til at gøre dette er noget som man skal træne op, og ganske få mennesker (1 ud af flere millioner) udvilker den aldrig. Men bare rolig: Hvis du kan overskue de følgende eksempler, så har du ingen problemer. Eksempel 1. Her er to informationer om en person ved navn Bjarne: 1. Bjarnes bil har Bjarnes yndlingsfarve. 2. Bjarnes yndlingsfarve er rød. Og nu det store spørgsmål: Hvilken farve har Bjarnes bil? Hvis du kan svare på spørgsmålet (ja, den er rød!) så har du evnen til at kombinere to informationer. Du har nemlig aldrig fået oplyst direkte hvilken farve Bjarnes bil har, men ved at kombinere de to informationer kan du konkludere det. Du kan endda løse endnu mere komplekse problemer: Eksempel 2. Her har du hele tre oplysninger om en person ved navn Bente: 1. Bentes hus har Bentes yndlingsfarve. 2. Bentes bil har også Bentes yndlingsfarve. 3. Bentes hus er gult. Og nu det store spørgsmål: Hvilken farve har Bentes bil? Denne gang har du (hvis du klarede den) faktisk kombineret hele tre oplysninger. Det er umuligt at besvare spørgsmålet uden at side 2

5 bruge alle tre oplysninger, og man skal endda være lidt kreativ for at kombinere dem rigtigt. Bemærk at der er mindst to måder at bygge sin konklusion på: Man kan enten starte med at kombinere oplysning 1 og 3 (til delkonklusionen: Bentes yndlingsfarve er gul ), og derefter kombinere dette med oplysning 2. Eller man kan starte med at kombinere oplysning 1 og 2 (til delkonklusionen Bentes hus og Bentes bil er samme farve ), og derefter kombinere dette med oplysning 3. Hvis disse eksempler er utroligt nemme for dig at forstå, så er du helt klar til at læse resten af dokumentet. 2 Flere ligninger med flere ukendte I matematik kommer informationer ofte i form at ligninger. Mange hverdagsproblemer hvor nogle oplysninger skal kombineres til en samlet konklusion kan gøres matematiske hvis man starter med at navngive de ukendte talstørrelser og derefter opskrive de givne oplysninger som ligninger. Eksempel 3. På en bondegård ude på landet bor en landmand sammen med sine elskede dyr. Han har høns og grise, og de er alle velskabte (uden mutationer og manglende lemmer). Landmanden oplyser desuden følgende: 1. Der er sammenlagt 344 ben på bondegården. 2. Der er sammenlagt 100 hoveder på bondegården. Spørgsmål: Hvor mange høns er der på bondegården? side 3

6 Måske kan du svare på dette uden at skrive noget som helst ned. I så fald bør du springe frem til det næste eksempel for at se at det nemt kan gøres sværere. Jeg vil ikke svare på spørgsmålet endnu, men bare vise hvordan det kan gøres til et matematisk problem. Hvis vi bliver enige om at kalde antallet af høns for x og antallet af grise for y, så kan informationerne skrives meget simplere, fordi antallet af ben på bondegården dermed bliver: 2x + 4y + 2 (Fordi hver høne har 2 ben, hver gris har 4 ben, og bondenmanden selv har 2 ben.) og antallet af hoveder på bondegården bliver: og x + y + 1 Vi kan altså omformulere vores oplysninger til: 2x + 4y + 2 = 344 x + y + 1 = 100 Det er oplysninger på denne form vi skal lære at håndtere i dette dokument. Hvis du kom til at løse ligningerne i det foregående eksempel (muligvis uden at skrive dem ned), så har du brug for at se et eksempel, hvor det er meget sværere at få overblik over informationerne, hvis ikke man skriver dem ned. Det kommer her: Eksempel 4. Bondemanden beslutter sig for at slå dyrebestanden ihjel og holde Pokémon er TM i stedet for. Hans samling består af: side 4

7 Charmandere (som har to ben, en hale, ingen horn og ingen ører) Ninetails (som har fire ben, ni haler, ingen horn og to ører) Tauroser (som har fire ben, tre haler, to horn og to ører) Rhydons (som har to ben, en hale, et horn og to ører) Bondemanden går nu omkring på gården og finder følgende oplysninger: 1. Det samlede antal ben på gården er Det samlede antal haler på gården er Det samlede antal horn på gården er Det samlede antal ører på gården er 120 Der er ikke ret mange mennesker som er i stand til at se direkte hvor mange der er af hver slags Pokémon ud fra disse oplysninger. Hvis ikke du er denne ene person, så kan jeg glæde dig med at det heller ikke er meningen. I stedet for kan vi prøve at matematisere oplysningerne, lige som i eksemplet inden. Hvis vi kalder antallet af Charmandere for C, antallet af Ninetails for N, antallet af Tauroser for T og antallet af Rhydons for R, så kan vi udregne antallet af ben, haler o.s.v. lige som i det foregående eksempel. Dermed bliver de fire oplysninger til følgende fire ligninger: 1. 2C + 4N + 4T + 2R + 2 = C + 9N + 3T + R = T + R = N + 2T + 2R + 2 = 120 Når du er færdig med dette dokument, så lover jeg at du kan løse disse ligninger og finde frem til hvor mange der er af hver slags Pokémon. side 5

8 2.1 At løse et ligningssystem Dette afsnit skal bare slå fast en gang for alle hvad det er vi skal arbejde med, og hvad vi er ude på at gøre. Definition 1. Et ligningssystem er to eller flere ligninger, som hver især giver information om et antal ukendte størrelser. Bemærk: Antallet af ukendte størrelser kan både være større og mindre end antallet af ligninger. Det er heller ikke nødvendigt at alle de ukendte størrelser optræder i hver eneste af ligningerne. (Se f.eks. eksempel 4). Definition 2. At løse et ligningssystem betyder at finde værdier af alle de ukendte størrelser som får alle ligningerne til at være opfyldt (på en gang). Et sådant sæt af værdier omtales som en løsning til ligningssystemet (selvom det består af flere tal). Bemærk: Et ligningssystem kan godt have mere end 1 løsning. Men dette betyder altså ikke at løsningen består af flere tal, men derimod at der findes flere forskellige sæt af tal som får ligningerne til at være opfyldt. side 6

9 2.2 Overdeterminerede og underdeterminerede systemer Nu skal vi have indført nogle ord som kan hjælpe os med at formulere hvad vi kan forvente os af løsningerne til et ligningssystem. Definition 3. Et ligningssystem kaldes overdetermineret hvis det ikke har nogen løsninger. Navnet overdetermineret betyder overbestemt og det hentyder til at ligningerne i dette tilfælde bestemmer for meget. Altså at de tilsammen kræver så meget at der ikke er nogen værdier af de ukendte størrelser som kan få alle ligningerne til at være opfyldt på en gang. LIgningssystemer er ofte (med ikke altid!) overdeterminerede hvis antallet af ligninger er større end antallet af ukendte. Eksempel 5. Følgende ligningssystem er overdetermineret: x + y = 1 x + y = 2 Det kan nemlig ikke lade sig gøre at finde to tal, x og y, som giver både 1 og 2 når man lægger dem sammen. Det næste navn er meget let at gætte: Definition 4. Et ligningssystem kaldes underdetermineret hvis det har mere end 1 løsning. side 7

10 Navnet hentyder til at ligningerne i dette tilfælde bestemmer for lidt. Altså at de tilsammen kræver så lidt at man kan få alle ligningerne til at være opfyldt på en gang på mere end en måde. LIgningssystemer er ofte (med ikke altid!) underdeterminerede hvis antallet af ligninger er mindre end antallet af ukendte. Eksempel 6. Følgende ligningssystem er underdetermineret: x + y = 1 2x + 2y = 2 Man kan vælge x og y på uendeligt mange måder (f.eks. x = 0 og y = 1 eller x = 1 og y = 1 ) sådan at begge ligninger kommer til at 2 2 gælde. Faktisk kommer den sidste ligning til at gælde automatisk hvis den første gælder. Og så selvfølgelig også det sidste begreb: Definition 5. Et ligningssystem kaldes veldetermineret hvis det har præcis 1 løsning. LIgningssystemer er ofte (med ikke altid!) veldeterminerede hvis antallet af ligninger er det samme som antallet af ukendte. Eksempel 7. Følgende ligningssystem er veldetermineret: x + y = 1 x y = 0 Den sidste ligning kræver at x og y er ens. Dermed er der kun en side 8

11 eneste måde at få den første ligning til at gælde. Nemlig: og x = 1 2 y = 1 2 Øvelse 1. Find eksempler på n ligninger med m ukendte, hvor: n > m og systemet er overdetermineret. n < m og systemet er overdetermineret. n > m og systemet er underdetermineret. n < m og systemet er overdetermineret. n > m og systemet er veldetermineret. Eksempel 8. Den sidste mulighed (hvor n < m, og hvor systemet er veldetermineret) er den sværeste at finde eksempler på. Faktisk er det umuligt hvis man kun leder iblandt såkaldt lineære ligninger. (Se afsnit 4.1.) Men hvis man laver lidt vildere ligninger, kan det godt lade sig gøre. Her er f.eks. 1 ligning med 2 ukendte som har præcis 1 løsning: x 2 + y 2 = 0 Den eneste løsning til denne ligning er x = 0 og y = 0. Hvis bare en af de ukendte er forskellig fra nul, så bliver venstresiden af ligningen positiv, og derfor ikke nul. side 9

12 3 Substitutionsmetoden Nu kommer hele hemmeligheden bag at løse flere ligninger med flere ukendte. Metoden (eller rettere: måden at tænke på) er kendt som substitutionsmetoden og det er præcis den samme metode som du (måske uden at vide det) brugte da du løste problemerne i eksempel 1 og 2. Vi starter med at formulere metoden uden nogen matematiske ord: Hvis du har flere oplysninger som omtaler flere ukendte størrelser, så benyt følgende fremgangsmåde: 1. Vælg en af oplysningerne. 2. Omformuler den til en brugbar form. 3. Brug den til at simplificere de andre oplysninger. Selvom denne fremgangsmåde lyder ret indlysende, så er det stadig ret uklart hvad brugbar form og simplificere betyder. Og det er stadig ikke klart hvordan de andre oplysninger bringer os til den samlede konklusion. Det bliver meget mere præcist når de ukendte størrelser er tal og oplysningerne er ligninger: Metode 9 (Substitutionsmetoden, del 1). Når du har flere ligninger med flere ukendte talstørrelser, så benyt følgende fremgangsmåde: 1. Vælg en af ligningerne. 2. Omskriv den til en brugbar form. I praksis betyder det ofte (men ikke altid) at man isolerer en af de ukendte størrelser, sådan at man ved hvordan denne størrelse kan beregnes ud fra de øvrige. side 10

13 3. Anvend denne omformulering til at simplificere de andre ligninger. I praksis betyder det ofte at man erstatter enhver forekomst af den ukendte som man lige har isoleret med det som den er lig med. Dette er den vigtigste del af substitutionsmetode. Og det er grunden til navnet, fordi vi substituerer udtrykket for den ene ukendte ind i de øvrige ligninger. Nu mangler vi bare at sparke bolden i mål. Det foregår i 3 skridt mere: Metode 10 (Substitutionsmetoden, del 2). 4. Kig på de resterende ligninger. Der er 1 ligning mindre end da vi startede, og at de handler om 1 ukendt mindre end da vi startede. Dermed har vi simplificeret problemet. 5. Løs det simplificerede problem (eventuelt ved at starte forfra og bruge denne metode på det simplificerede problem). Og find dermed værdierne af de resterende ukendte størrelser. 6. Slut af med at gå tilbage til den ligning som du omskrev i punkt 2, og indse at her står hvordan den sidste størrelse kan beregnes (fordi du nu kender værdierne af de øvrige størrelser.) Denne del er som regel den sværeste at forstå hvis ikke man sidder med et eksempel foran sig. Derfor kommer der øjeblikkeligt et eksempel her: Eksempel 11. Lad os løse de to ligninger med to ukendte fra eksempel 3 2x + 4y + 2 = 344 side 11

14 x + y + 1 = 100 Punkt 1: Vi vælger den sidste ligning. (Fordi den er nemmest at gennemføre punkt 2 med.) Punkt 2: Vi omskriver den valgte ligning til: x + y = 99 dvs. x = 99 y Punkt 3: Dette substitueres ind i den første af ligningerne. Dermed bliver den til: 2 (99 y) + 4y + 2 = 344 Bemærk at vi simpelt hen at skrevet den første ligning op, men i stedet for x har vi copy paste et det som vi lige har fundet ud af at x er lig med. (Det er sat i en parentes for at sikre at det hele bliver ganget med 2). Punkt 4: Vi bemærker (til vores glæde) at dette kun er én ligning med én ukendt størrelse. side 12

15 Punkt 5: Efter at have klappet lidt i hænderne over den indsigt, løser vi ligningen ved først at omskrive den: dvs. dvs. dvs y + 4y + 2 = y = 344 2y = 144 y = 72 Og dermed har vi fundet ud af at y (altså antallet af grise) må være 72. Punkt 6: Nu er det meget nemt at spole tilbage til punkt 2 og se at: x = 99 y = = 27 Og dermed har bondemanden altså 27 høns. Øvelse 2. Det er meget nemt at lave sine egne træningsopgaver. Men her er et eksempel på 2 ligninger med 2 ukendte som du kan øve dig på: 6x y = 181 x + y = 26 side 13

16 Hvis du finder på dine egne opgaver skal du bare være forberedt på at lave lidt brøkregning, fordi divisionerne ikke altid går op. Det bliver en hel del sværere hvis man har mere end 2 ligninger. Så skal man nemlig bruge substitionsmetoden flere gange. Det kan du se eksempler på i det næste afsnit. 4 Eksempler I dette afsnit vil jeg ikke fremhæve hvert skridt af substitutionsmetoden sådan som jeg gjorde i eksempel 11. Det bliver nemlig forvirrende når man skal bruge substitionsmetoden flere gange. I stedet vil jeg prøve at vise hvordan man som regel skriver sin løsning ned på en måde så andre kan følge med. 4.1 Lineære ligninger En særlig type af ligningssystemer er de såkaldte lineære ligninger. De dukker op mange steder, og de har den fordel at substitutionsmetoden altid virker. Definition 6. En ligning med n ukendte: x 1, x 2,..., x n kaldes lineær hvis den er på (eller kan omskrives til) formen: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b hvor a 1, a 2,..., a n og b er (kendte) reelle tal. Et system af flere ligninger kaldes et lineært ligningssystem hvis alle de indgående ligninger er lineære. Lad os tage et eksempel med 3 ligninger og 3 ukendte: side 14

17 side 15

18 Eksempel 12. Jeg vil løse det lineære ligningssystem: x + y + z = 1 2x y + z = 2 x + y z = 3 Den første ligning kan omskrives til: z = 1 x y (1) Dette substitueres ind i de to sidste ligninger. Dermed bliver de til: hvilket kan omskrives til: og 2x y + (1 x y) = 2 x + y (1 x y) = 3 x 2y = 1 (2) 2x + 2y = 4 (3) Vi har nu reduceret problemet til 2 ligninger med 2 ukendte (nemlig ligning 2 og 3). Så vi nulstiller lige hovedet og løser disse to ligninger ved at starte forfra med substituionsmetoden. For at bevare overblikket kan det være en god ide at minde sig selv om at når vi bliver færdige med denne omgang og finder x og y, så står der oppe i ligning 1 hvad z skal være. Vi vælger at omskrive ligning 2 til: x = 1 + 2y Indsættes dette i ligning 3, giver det: 2 (1 + 2y) + 2y = 4 side 16

19 dvs y = 4 Dette er en ligning med en enkelt ukendt og kan lynhurtigt løses: y = 1 3 Hvis vi så spoler tilbage til den linje hvor vi isolerede x, så ser vi at: x = 1 + 2y = = 5 3 Og spoler vi så helt tilbage til ligning 1 (som planlagt), så ser vi at: z = 1 x y = = 1 Ligningerne fra eksempel 4 er også lineære. Lad os prøve at løse dem: Eksempel 13. Ligningerne fra eksempel 4 var: 2C + 4N + 4T + 2R + 2 = 202 C + 9N + 3T + R = 218 2T + R = 73 2N + 2T + 2R + 2 = 120 Jeg tager fat i den tredie ligning (fordi den er mest overskuelig) og isolerer R. Det giver: R = 73 2T (4) side 17

20 Dette substitueres ind i de øvrige ligninger, hvilket giver tre ligninger med tre ukendte: 2C + 4N + 4T + 2 (73 2T ) + 2 = 202 C + 9N + 3T + (73 2T ) = 218 2N + 2T + 2 (73 2T ) + 2 = 120 Hvilket kan omskrives (ved at gange ind i parenteser og samle de led som indeholder T ): 2C + 4N = 202 C + 9N + T + 73 = 218 2N 2T = 120 Og ved at trække tal fra på begge sider: 2C + 4N = 54 C + 9N + T = 145 2N 2T = 28 Jeg tager fat i den sidste af disse ligninger (temmeligt tilfældigt valg) og isolerer N: 2N = T dvs. N = T 14 (5) Dette substitueres ind i de øvrige to ligninger, hvilket giver to ligninger med to ukendte: 2C + 4 (T 14) = 54 C + 9 (T 14) + T = 145 Disse ligninger kan simplificeres ved at gange ind i parentes: 2C + 4T 56 = 54 side 18

21 og derefter samle nogle led: C + 9T T = 145 2C + 4T = 110 C + 10T = 271 Jeg isolerer C i den nederste af de to ligninger: C = T (6) og substituerer dette ind i den øverste af de to ligninger. Det giver (endelig!) en enkelt ligning med en enkelt ukendt: 2 (271 10T ) + 4T = 110 dvs. dvs. dvs T + 4T = T = 432 T = Ikke lineære ligninger Det eneste punkt i substitutionsmetoden som kan give problemer er det punkt, hvor man skal isolere en af de ukendte størrelser. Her er et (forfærdeligt) eksempel. Eksempel 14. Her er et eksempel som du (og jeg) ikke har lyst til at løse ved hjælp af substitutionsmetoden: side 19

22 y sin(e x ) = 1 e sin(x y) = Veldeterminerede systemer 4.4 Over og underdeterminderede systemer Til slut vender vi tilbage til det som vi startede med, nemlig snakken om tilstrækkelige informationer. side 20

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011 Lineær Modellering Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Om Forfatteren. Frank Nasser. 17. januar 2012

Om Forfatteren. Frank Nasser. 17. januar 2012 Om Forfatteren Frank Nasser 17. januar 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger en blid start på Differentialligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Mogens Eliasen: "HjerneGymnastik for Kvikke Hunde" Del 3A: Simple Lydighedsøvelser. Forrige øvelse Tilbage til indholdsfortegnelsen Næste øvelse

Mogens Eliasen: HjerneGymnastik for Kvikke Hunde Del 3A: Simple Lydighedsøvelser. Forrige øvelse Tilbage til indholdsfortegnelsen Næste øvelse 1 Forrige øvelse Tilbage til indholdsfortegnelsen Næste øvelse Introduktion Hunde strækker sig, når de rejser sig op og gør klar til at bevæge sig De sætter forbenene så langt frem, som de kan nå, sænker

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/6

http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/6 Fortællingen som tilgang til matematik Spørger man manden på gaden, eller vore elever for den sags skyld, vil de typisk opfatte mennesket som et fornuftsvæsen, dvs. mene, at vi i bund og grund er styret

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere