sprog og arbejdsmetode

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "sprog og arbejdsmetode"

Transkript

1 brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetode F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetodde F+E+ D ISBN: udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet af lov om ophavsret. Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med forlaget. Læs mere på:

2 Forord Matematik er et fag på linie med andre praktiske og teoretiske fag som tømrer, snedker, historie og samfundsfag. Alle fag har sit særlige sprog og sine særlige arbejdsmetoder. Da matematik er et grundlæggende fag for rigtig mange andre fag, er det specielt vigtigt at lære matematikkens sprog og arbejdsmetoder at kende. Matematik har ikke alene sine egne fagudtryk. Dagligdags ord bruges også, men hvor vi i dgalig-sproget ikke altid behøver at være præsice, da har udtrykkene en helt præcis betydning i matematik, som man skal lære. Første del af dette hæfte (fra side 4) omhandler særlige sider af matematikkens sprog: - matematikkens særlige brug af dagligdags udtryk - sætningsopbygning i matematiske tekster Denne del er opbygget som en alfabetisk ordliste, hvor ordene først vises i en sætning hentet fra matematisk fagliteratur og dernæst forklares. Man kan med fordel starte arbejdet med ordlisten, ved at slå op på sætninger i matematik og derefter følge opfordringen til, at finde alle de ord i ordlisten, der bruges til at give ordrer i matematik.. Listen kan også bruges som opslagsværk i arbejde med matematiske fagtekster..anden del fra side 12 giver en indføring i fire af matematikkens arbejdsmetoder: - ræsonnement - bevisførelse - formel udledning - modelbygning Denne del indeholder kommenterede eksempler. Eksemplerne findes også som appendix i nogle af de øvrige hæfter til F+E+D. Der kan arbejdes med eksemplerne i tilfældig rækkefølge. Arbejdet med denne del af hæftet, kan foregå ved at kursister fremlægger eksemplerne mundtligt i par-arbejde, gruppe- eller klassevis. Det vil være naturligt, at dette lægger op til kursisternes forarbejde til den mundtlige del-prøve efter trin D

3 Ordliste Aflæs og aflæsning Aflæs afstanden mellem København og Kalundborg Find ved aflæsning afstanden mellem København og Kalundborg Ordren: Aflæs betyder det samme som at læse men bruges specielt når svaret skal findes på en tegning eller i et skema. Aflæs bruges når man vil give ordre om, at man ikke skal beregne svaret på opgaven. Afsæt Afsæt punktet P Ordren: Afsæt betyder det samme som at tegne. At afsætte punktet betyder at tegne, hvor punktet er. Alment gældende Det er alment gældende at arealet af en trekant er ½hg Alment gældende, betyder at det altid gælder. Angiv Angiv størrelsen af vinkel v Ordren: Angiv bruges når det er frit hvordan man finder svaret. Der er altså ikke noget krav om, at man skal finde svaret ved beregning, måling, aflæsning eller andet. Argument, argumentér Argumentér for, at det bedst kan betale sig at købe et abonnement på avisen Et argument er en sandt udsagn. Beregn og beregning Beregn størrelsen af vinkel v Find ved beregning størrelsen af vinkel v Ordren: Beregn bruges når svaret på opgaven skal findes ved hjælp af en udregning. Aflæsning, måling eller gæt er altså ikke godt nok. 4

4 Beskriv og beskrivelse Beskriv forskellen på et trapetz og et rektangel Der ønskes en beskrivelse af forskellen på et trapetz og et rektangel. Ordren: beskriv bruges når der ikke er krav til den form svaret har. En beskrivelse kan være at svare med sine egne ord. Bestem Bestem afstanden mellem Kalundborg og København Ordren: Bestem bruges når der ikke er noget krav til, hvordan man finder svaret. Besvar Besvar følgende spørgsmål. Ordren: Besvar betyder det samme som: at svare på. Bevis Bevis følgende: 2(x 3) = 12 x = 9 Ordren: Bevis bruges når der er krav om, at forklare en sammenhæng med en række sande argumenter, der følger logisk af hinanden Bevis, et Følgende er et bevis for formlen for arealet af et trapetz. Udtrykket Et bevis bruges som en understregning af, at der også findes andre måder, at bevise sammenhængen på. Defineret, definition Et paralellogram er defineret som en figur der.. En definition er en beskrivelse af et begreb eller en regel. Til forskel fra en dagligdags beskrivelse, er en præcis. Eftervis Eftervis at når prisen med moms er 250 kr., så er prisen uden moms 200 kr. Ordren: Eftervis bruges når man skal vise at påstanden er sand. 5

5 Eksisterer Vis at der eksisterer et tal a, for hvilket det gælder at a 3 = -1 Eksisterer betyder det samme som: at der findes. Fagudtryk Beskriv et paralellogram ved anvendelse af matematiske fagudtryk. Fagudtryk er ord og sætninger, der har en defineret betydning. Falsk Vis at 2x > x 2 er falsk for x = -4 Et matematiske udsagn kan enten være falsk eller sandt. Find Find x når y = 12 Ordren: Find bruges når der ikke stilles krav til, hvordan man vil finde svaret. For ethvert For ethvert rationelt tal gælder. For ethvert bruges stedet for at skrive for alle Forklar Forklar hvorfor både 5 og +5 er løsning. Ordren: Forklar bruges når der ønskes ræsonnement. Færdiggør Færdiggør tegningen Ordren: Færdiggør betyder det samme som: at gøre det færdigt. Givet Givet en funktion med forskriften Givet betyder det samme som: der er. 6

6 Gældende I det antages at følgende forskrift er gældende. Gældende betyder det samme som: at det er rigtigt. gælder at Idet det gælder at rumfanget kan beregnes med formlen.. Gælder at betyder det samme som: det er rigtigt at. Gør rede for Gør rede for at funktionen skærer 1. aksen Ordren: Gør rede for er en ordre om at ræsonnere. Her af ses Her af ses at funktioner med forskriften Bruges når der kan ræsonneres fra et trin til et andet. Indsæt Indsæt x = 2 og find y Ordren: Indsæt bruges, når der gives besked på at erstatte et bogstav med et tal. Indtegn Indtegn grafen. Ordren: Indtegn bruges når der skal tegnes ovenpå en anden tegning. kommentér Kommentér udviklingen. Ordren: Kommentér bruges når man skal beskrive med egne ord. konstruer Konstruer trekant ABC. Ordren: Konstruér, bruges når man skal bruge en bestemt fremgangsmåde. Det kan f. eks. være at bruge lineal, vinkelmåler og passer. 7

7 Model Opstil en model for udviklingen. En model er et andet ord for et forenklet billede af en ting. Når.. så, når da Når omkredsen fordobles da fire-dobles arealet Bruges i følgeslutninger. Må kun bruges når sætningen er sand, når den læses begge veje. Opstil Opstil en model for sammenhængen. Ordren: Opstil er en ordre om at skrive og forklare. Redegørelse Der ønskes en redegørelse for. En redegørelse består både af en forklaring og fascist.. Ræsonnere Bevis ved at ræsonnere at. At ræsonnere er at tænke en række af tanker, der følger logisk af hinanden. Sammenlign Sammenlign de to tilbud. Ordren: Sammenlign er en ordre om at finde forskelle og ligheder. Slutte sig til, Følgeslutning Heraf kan man slutte sig til, at x = y 2 Bruges når der er en logisk sammenhæng. Sæt Sæt x = 6 Sæt bruges til at fortælle om en forudsætning, der er gældende. 8

8 Sætninger i matematik Passiv form Kampenes rækkefølge bestemmes ved lodtrækning. I mange sætninger, kan man ikke se, hvem der gør hvad. Hvem er det f.eks., der afgør kampenes rækkefølge? Det er ordet: bestemmes (passiv form af: du bestemmer), der gør, at du ikke får at vide, hvem der bestemmer. Grunden til, at man ikke kan se, hvem der gør hvad er, at det ikke har betydning for løsning af opgaven. Andre ord, der bruges på samme måde: Læses, beregnes, skrives og kaldes. Man og vi Man kan finde arealet af et trapez ved at gange højden med grundlinien. Vi ser heraf, at a 2 + b 2 = c 2. Man og vi bruges til at understrege at alle kan bruge metoden eller forstå udsagnet. Ordrer Beregn størrelsen af siden a Mange sætninger i matematik er opbygget som en ordre: Læseren får en ordre om at udføre en bestemt arbejde. Der er mange ord, der bruges til at give ordrer i matematik og de har alle sammen en lidt forskellig betydning. Find dem i ordlisten. tilnærmelse Angiv en lineær funktion, der med tilnærmelse er en model for udviklingen. Tilnærmelse er et ord for noget der passer sammen, uden at være ens. Udfyld Udfyld skemaet. Ordren: Udfyld bruges når der ikke er krav til forklaring. udtryk Følgende udtryk beskriver sammenhængen Et udtryk er en sætning, der ikke er et udsagn. 9

9 Undersøg Undersøg om bremselængden ved 60 km/t overstiger 15 m. Ordren: Undersøg bruges når det står frit for, hvordan man kommer frem til svaret. Udledt Af formlen for arealet af et paralellogram kan man udlede en formel for arealet af trekanter. Udlede betyder at man ved hjælp af logiske argumenter finder frem til en ny sammenhæng. Udsagn Afgør om følgende udsagn er sandt eller falsk. Et udsagn er en påstand, der er enten sandt eller falsk. Se også: Åbent udsagn Vis Vis at Når Vis bruges som ordre er det frit, hvilken metode man vil anvende. Vurdér Vurdér hvilke af tilbudene, der bedst kan betale sig. Ordren Vurdér bruges som ordre, når man skal komme med argumenter for resultatet. Vælg Vælg den forskrift, der passer bedst. Ordren: Vælg bruges som ordre, når det er nok bare at skrive sit valg uden at argumentere for det. 10

10 11

11 arbejdsmetode På de følgende sider vises fire af matematikkens arbejdsmetoder: - at ræsonnere - at bevise - at definere begreber og regler udlede formler - at lave matematiske modeller Et fælles træk for alle fire metoder er, at de foregår trinvis. At kunne et af eksemplerne består i, at du forstår den logiske sammenhæng mellem trin-ene og kan forklare den til andre. Siderne er bygget op rundt omkring eksempler. Før og i nogle tilfælde efter eksemplet, er læse-stof, som kan gøre dig klogere på matematikkens arbejdsmetoder. Eksemplerne er bedst egnet til at arbejde med, med henblik på at fremlægge eksemplerne mundtligt. Du kan f. eks. følge denne arbejdsplan: - 1. gennemlæsning: Overblik - spring over trin du ikke forstår gennemlæsning: Denne gang lægger du vægt på at forstå alle trin. - Øve sig på at gennemgå eksemplet: En gennemgang består i, at du på tavle eller papir skriver de enkelte trin, mens du mundtligt forklarer, den logiske sammenhæng mellem trin-ene. Du skal ikke lære eksemplet udenad, men skriv et manuskript, som du kan støtte dig til. - Fremlæggelse: Det kræver, at du har en person eller gruppe, der er på niveau med dig selv og som kan stille kritiske spørgsmål til trin, du ikke forklarer tydeligt nok. 12

12 at ræsonnere (I) Der findes principielt tre fremgangsmåder til løsning af et matematisk problem: (1) Gætte en løsning og derefter eftervise, at løsningen passer (2) Anvende en løsningsmetode, som man har fået meddelt af andre (3) Ræsonnere sig frem til en løsning Se f. eks. opgaven: En linie l er givet ved: y = 2x 3. Find liniens skæringspunkt med x-aksen At bruge (1) kan foregå ved gætte på forskellige værdier af x og indsætte dem indtil man rammer den værdi, der giver y = 0. Hvis man gætter med lidt omtanke, kaldes metoden for Intuitiv løsningsmetode. At bruge (2) til løsning foregår f. eks. ved at bruge formlen: Skæringspunkt med x-aksen: ( b ( 3),0) = (, 0) = (1½, 0) a At bruge (3) er en arbejdsproces der starter med at opstille en problemformulering, dernæst opstiller man en række sande argumenter, der tilsammen fører frem til en konklusion, der er løsning til problemformuleringen: Eksempel 1 Problemformulering: Hvad er skæringspunktet med x-aksen for linien: y = 2x 3? 1. argument: Skæringspunktet med x-aksen har en y-værdi på 0 2. argument: Når y = 0 er 2x 3 = 0 3. argument: For at 2x 3 = 0 skal 2x være lig med 3 4. argument: Hvis 2x skal være lig med 3, må x være 1½. Konklusion Skæringspunkt med x-aksen i (1½, 0) 2 Metoderne (1), (2) og (3) kan i de fleste situationer være lige gode, hvis formålet blot er at få løst et problem. Metode (3) er dog at foretrække, når man også skal kunne forklare løsningen til andre. Og så giver det også en vis tilfredsstilelse, at man selv forstår, hvorfor løsningen er rigtig. Med denne metode bliver matematik en kilde til oplevelse: Nysgerrighed om hvorfor bliver afsæt til den tilfredsstillende oplevelse, når man kan sige derfor. 13

13 at ræsonnere (II) at ræsonnere sig frem til en løsning bruge ogsås, når man vil udtænke en almen gyldig sammenhæng. Alle formler og regnemetoder er resultatet af at ræsonnere. Du skal her se et eksempel på et sådant ræssonement. Ræsonnementet handler om stignings-tallene for to linier, der står vinkelret på hinanden. Eksempel 2 m y l A B a a A m 1 C m C 1 x Problemformulering: Er der en sammenhæng mellem stignings-tallet for to linier, der står vinkelret på hinanden og kan sammenhængen beskrives med en formel? Argumenter: Stignings-tallet a for linien l (den sorte linie) kan vises som en retvinklet trekant ABC, kateter med længden 1 og a og et stykke af linien l som hypotenuse. Linien m skal stå vinkelret på linien l og kan fastlægges ved at dreje linien l og trekant ABC 90 omkring punktet B. Se trekant A m BC m og linien m. Den røde trekants kateter udtrykker stigningen for linien m: Når x forøges med a, forøges y med -1 Stigningstallet for en linie er forøgelsen af y når x forøges med 1. Stigningstallet for linien m er 1 derfor: a Konklusion Givet en linie med stigningstallet a. Linier, der står vinkelret på denne, har stigningstal a 1. 14

14 at ræsonnere og præsentere Om løsning af ligninger Ordet ligning kommer af udtrykket lig med, og bruges til at beskrive, at man har at gøre med to ting, der er lige store. -5 = x - 8 Her står at -5 er lige så stor som x - 8. Opgaven er jo så at finde det tal, der indsat på x-ets plads gør ligningen sand. Lige som andre matematiske problemer, kan dette løses på tre forskellige måder: (1) gætte en løsning og eftervise at løsningen passer (2) anvende en regnemetoder, meddelt af andre (3) ræsonnere sig frem til en løsning (1) kaldes også for intuitiv løsningsmetode. (2) er når man anvender regneregler for løsning af ligninger, uden egentlig at overveje, hvorfor de er rigtige. (3) kan foregår som beskrevet herunder: Hvis -5 er lige så stor som x - 8, da må det også gælde at er lige så stor som x , og dermed at -3 er lige så stor som x. Altså har x størrelsen -3. Skrevet med almindeligt sprog, som herover, bliver ræsonnementer ofte meget vanskelige at læse - de er lettere at forstå, hvis de fortælles mundtligt. Derfor: Ved skriftlig præsentation bruges matematiske symboler: -5 = x = x = x Her kan det dog ikke ses, om man blot har anvendt regler, meddelt af andre, eller man selv har ræsonneret. Ved mundtlig præsentation skal det derimod fremgå, hvad man har tænkt. Eksempel 3 Løs ligningen: 2(x 5) = af din løsningsmetode. 5 x 3 og forbered dig på mundtlig præsentation 15

15 Eksempel 4 Reglerne om hvordan man ophæver parenteser, er fremkommet ved ræsonnement, der bygger på definitionen af parenteser i et regneudtryk og i definitioner på regnetegn og fortegn: Regnetegn og fortegn: +a + -b Alle tal har et fortegn (+ eller -), der skrives tæt foran tallet. Ofte udelader man fortegnet til positive tal. Mellem tal og udtryk skrives regnetegn (+, -, eller :), der angiver hvordan tallene skal sammenregnes. Parenteser: +a + ( +b -c ) Parentesen betyder at tallene i parentesen alle skal indgå i det regnestykke, som står udenfor parentesen. I ræsonnementerne anvendes også: at lægge et positivt tal til eller trække det fra kan forenklet skrives som blot at lægge tallet til eller trække det fra: + +a = + a og - +a = - a at lægge et negativt tal til, er det samme som at trække det fra: + -a = - a at trække et negativt tal fra, er det samme som at lægge det til: - -a = + a plus parenteser (1) +a + ( +b -c) = (2) +a + +b + -c = (3) +a + b - c Ved at sammenligne (1) og (3) ses at når man hæver +-parenteser så ændres der ikke fortegn på tallene i parentesen. minus parenteser (1) +a - ( +b -c) = (2) +a - +b - -c = (3) a - b + c Ved at sammenligne (1) og (3) ses at når man hæver minus-parenteser, skal man ændre fortegnene på tallene i parentesen. gange parenteser (1) a (+b -c) = (2) +a +b +a -c = (3) a b - a c Når gange parenteser hæves ganges tallene i parentesen hvert for sig. Lignende ræsonnement kan gøres ved division. 16

16 Bevis førelse For at en formel har almen gyldighed skal der føres logisk bevis for den. At føre logisk bevis vil sige,, at man med udgangspunkt i kendte regler og ved hjælp af kendte sammenhænge laver logiske følgeslutninger. For at der kan siges at være ført bevis, skal tre ting være opfyldt: De enkelte trin i beviset skal være logiske - det vil sige forståelige for ethvert menneske. Følge-slutningerne skal være reversible: Det vil sige at de også er sande, når de læses baglæns Resultatet skal kunne efterprøves. Der findes to typer af følgeslutninger, som er vist med eksempler herunder: (1) 2x = 10 x = 5 (2) x = 5 x > 3 Følgeslutningen (1) er rigtig, både når den læses fra vestre mod højre og fra højre mod venstre. Dette er vist med dobbelt-pilen (kaldes en bi-implikation) Følgeslutningen (2) er kun rigtig når den læses fra venstre mod højre. Læst fra højre mod venstre står at hvis x > 3 så skulle det føre til at x = 5, hvilket ikke er sandt. I følgeslutningen (2) er derfor anvendt en enkelt-pil (kaldet enkelt implikation). Det er følgeslutninger som (1), der kan bruges i beviser for en formel. Lidt historie Selve ideén om at føre et logisk bevis for en sammenhæng har en lang tradition bag sig: Fra skriftlige kilder ved man, at metoden har været anvendt lige så længe mennesker har skrevet. I vores del af verdenen er det specielt græske og arabiske tænkere, der har udviklet de metoder vi bruger i dag. Ofte var motivet blot at finde sammenhænge mellem tal fordi det måske kunne lede frem til en forståelse af verdenens orden, men lige så ofte var motivet at kunne udføre beregninger, der skulle bruges til arkitektur eller astronomi. Når vi i dag ser nogle af de metoder, de anvendte, kan vi blive forbavset over hvordan fandt de på det! Svaret er nok, at de prøvede rigtigt mange forskellige metoder, og vi kender kun dén, som førte frem til det rigtige resultat. På di næste sider vist to eksempler på logisk bevis. Det ene handler om en ren tal-række og har ingen praktisk betydning og den anden handler om rentesregning. 17

17 Eksempler på beviser Herunder og på siden overfor er eksempler på to forskellige typer af beviser: I det første eksempel er opgaven at bevise en formel, som man har erfaret ved en række af eksempler. Værdien af dette bevis er, at man derefter kan bruge formlen på alle eksempler også eksempler, det er praktisk meget vanskeligt at efterregne. I det andet eksempel er opgaven, at finde en formel, som man ikke umiddelbart kan se. Værdien af dette bevis, er at finde en simplere måde til udregning af en kompliceret sammenhæng. Eksempel 5 Se talrækkerne herunder: = 4 = = 9 = = 16 = 4 2 Tilsyneladende gælder det, at en talrække bestående af de første n ulige tal har summen: S n = (2n-1) = n 2 For at kunne fastslå, at sammenhængen er gældende for alle tal n, er det nødvendigt at føre bevis for dette. Beviset består i at bevise to sætninger: (I) Det vises at sammenhængen gælder for tallet 1 (II) Det vises at hvis sammenhængen gælder for et tal a, da gælder den også for a + 1 Til sammen medfører disse to sætninger, at når sammenhængen gælder for tallet 1, gælder den dermed også for 2, dermed også for 3 og så videre. (I) S 1 = 1 = 1 2 Da 1 = 1 2 er (I) bevist (II) Sammenhængen antages at gælde for tallet a: (1) (2a - 1) = a 2 Og det skal vises at den også gælder for tallet a + 1: På venstre side af lighedstegnet tilføjes det a+1-led og på højre side indsættes (a + 1) på a s plads: (2) (2a - 1) + (2(a+1) - 1) = (a + 1) 2 Ifølge (1) kan summen af de a første led skrives som a 2 a 2 + (2(a+1) - 1) = (a + 1) 2 a 2 + 2a = (a + 1) (a+1) a 2 + 2a + 1 = a 2 + 2a + 1 (II) er dermed bevist. 18

18 Eksempel 6 Annuitetsregning beskæftiger sig med den situation, at man et aftalt andet gange n indbetaler en ydelse y på en konto, der giver r i rente. Læs eventuelt mere i Penge F+E+D. Den samlede værdi A n af indbetalingerne umiddelbart efter indbetaling af den sidste ydelse inklusiv renterne af alle indbetalingerne kan beregnes, som en talrække: (1) A n = y(1+r) 0 + y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n-1 n. indbetaling 1. indbetaling Ved hjælp af regneregler for ligninger og regler om reduktion af bogstav-udtryk vil vi omdanne dette ikke endelige udtryk, til et endeligt udtryk. Først ganges,der med (1 + r) på begge sider af lighedstegnet og dermed dannes ligningen (2): (2) A n (1 + r) = [y(1+r) 0 + y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n-1 ](1 + r) (2) A n (1 + r) = y(1+r) 1 + y(1+r) 2 + y(1+r) y(1+r) n Fra ligningen (2) trækkes ligningen (1) og derved dannes (3) (2) A n (1 +r ) = y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n (1) A n = y(1+r) 0 + y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n-1 (3) A n (1 +r ) - A n = -y(1+r) 0 + y(1+r) n (3) består af et endeligt antal led og kan reduceres: A n (1 +r ) - A n = -y(1+r) 0 + y(1+r) n A n ((1 +r ) - 1)) = -y + y(1+r) n A n r = -y + y(1+r) n A n r = y(1+r) n - y A n r = y ((1+r) n - 1) A n = (1+ r) y r n 1 Og hermed er der ført logisk bevis for en formel, der kan bruges til at beregne værdien af en opsparing, hvor der indbetales y, n på hinanden følgende terminer, når renten er r. 19

19 Definere og udlede Når man begynder at arbejde med et nyt emne i matematik, er der tradition for at anvende følgende fremgangs måde: 1. Nye begreber og regler defineres. 2. Yderligere begreber og regler udledes af 1. Først et lille eksempel, der viser forskellen på at være defineret og at være udledt. Eksempel 7 Om at uddrage kvadratroden indenfor de reelle tal. Definition Kvadratroden af et tal a er det positive tal b for hvilke det gælder at: a = b hvis b 2 = a Udledning af en regel (1) Af definitionen fremgår det at løsningen til a er b hvor: b 2 = a (2) For alle reelle tal b gælder at b 2 er et positivt tal eller 0. (3) a er ikke et negativt tal. (4) Af (2) og (3) følger, at man kun kan uddrage kvadratroden af positive tal. Kommentar Det er altså en definition, at kvadratroden af et tal altid er et positivt tal. Dette er gjort fordi regnearten kvadratrod i modsætning til alle andre regnearter ellers ville have to løsninger. At man ikke kan uddrage kvadratroden af et negativt tal er der imod ikke en definition: Det kan udledes af definitionen. På de følgende sider er et andet eksempel på definition af begreber efterfulgt af udledning af regler og nye begreber. Eksemplet vedrører de trigometriske funktioner sinus og cosinus. 20

20 cosinus og sinus I eksempel 6 defineres de to trigometriske funktioner cosinus og sinus. I eksempel 7 9 udledes formler og det udledte begreb tangens. Eksempel 8 Definition Cosinus og sinus kan defineres på en tegning i et koordinatsystem af en cirkel med centrum i (0, 0) og radius 1. Fra (0, 0) tegnes en halvlinie, der danner en vinkle v med x-aksen. Hvor denne linie skærer cirklen er punktet P. sin v P = (cos v, sin v) 1 v cos v Koordinatsættet til punktet P defineres som (cos v, sin v) svarende til at kateterne i den skraverede retvinklede trekant, har længderne cos v og sin v. 21

21 Eksempel 9 Udledning af formler for retvinklede trekanter Af definitionen af sinus og cosinus følger, at en ret-vinklet trekant med en vinkel v og hypotenusen har længden 1, da har den hosliggende katete længden cos v og den modstående katete længden sin v. Givet en anden trekant, der er ensvinklet med ovenstående. c 1 sin v a v v cos v b Da trekanterne er ens-vinklede er forholdet mellem deres ensliggende sider ens: cos v sin v 1 = = b a c Dette udtryk kan opdeles: cos v 1 (1) = b c sin v 1 (2) = a c sin v cos v (3) = a b (1) kan omdannes sådan: cos v 1 = b c b cos v = c (2) kan omdannes sådan: sin v 1 a = sin v = a c c (3) kan omdannes sådan: sin v cos v sin v a = = a b cos v b Udtrykket a tan v = b sin v cos v defineres som tangens v (se eksempel 7) og dermed er Læs eventuelt mere i geometri F+E+D om anvendelse af de udledte formler (1), (2) og (3) 22

22 Eksempel 10 Udledning vedrørende tan v (1) I enhedscirklen tegnes en ret-vinklet trekant med vinkel v. Ifølge definitionen af cosinus og sinus, har trekanten kateter med længden cos v og sin v P sin v v cos v l (2) Igennem (1,0) er tegnet en tangent til cirklen. Hvor denne skær forlængelsen af den retvinklede trekants hypotenuse ligger punktet P. Længden af liniestykket mellem (1,0) og P benævnes l. (3) Derved er dannet en trekant med vinkelspidser i (0,0) (1,0) og punktet P. Denne trekant er ensvinklet med den retvinklede tegnet i (1). (4) Forholdene mellem ensliggende kateter i de to trekanter er ens: 1 l = som kan omdannes til: cos v sin v sin v = l cos v (5) Tan v er defineret som sin v cos v og længden l er således tan v Hermed fik du så også en forklaring på, hvorfor man valgte at kalde denne funktion for tangens. 23

23 Model-bygning Følgende figur bruges ofte til at illustrere, hvad der menes med begrebet modelbygning i matematik. Virkelighedens verden 1. Problemformulering Beskrivelse af den problemstilling fra virkeligheden, der skal løses. Matematikkens verden 2. Almen matematisk model Blandt kendte matematiske modeller, vælges dén, der synes at passe bedst på problemstillingen. 4. Tolkning og vurdering Resultatet sammenholdes og vurderes i forhold til virkelighedens problemstilling. 3. Matematisk behandling Data fra virkeligheden behandles ved brug af den matematiske model. Det er lettest at forklare figuren med et eksempel. Se eksemplet på næste side. 24

24 Eksempel 11 Besparelse i brændselsforbrug til opvarmning ved en forhøjelse af ude-temperaturen i fyringssæsonen. Problemformulering Klima-forandringerne vil muligvis medfører at middel-temperaturen i Danmark i fyrings-sæsonnen vil stige med 1,5 i forhold til perioden , hvor middel-temperaturen har været 3,3. Hvad vil det betyde for en husholdning, der normalt bruger liter olie til at opvarme deres bolig til 21? Almen matematisk model Ligefrem proportionalitet y = ax vælges, fordi det antages, at jo større opvarmnings-behovet x er( forskel mellem inde- og ude-temperatur), jo større bliver brændselsforbruget y. Matematisk behandling Konstanten a findes for perioden : y = ax 3500 = a (21 3,3) 3500 : 17,7 = a a = 197,7 y findes for middel-temperatur på 3,3 + 1,5 y = 197,7 (21 4,8) y = 3202,74 Tolkning Modellen siger, at familiens olieforbrug vil falde fra liter til 3.202,74 liter. På grund af afrundinger i de data, der er anvendt, bør facit afrundes til nærmeste hele 100. Modellens svar er altså: Forvendtet forbrug: liter olie svarende til en besparelse på 300 liter. Vurdering Der er nogle forhold modellen ikke tager højde for. Her er blot nævnt et par: - Hvordan med blæst? Blæst har også indflydelse på opvarmnings-behovet, men hvordan og hvor meget og vil blæsten også ændre sig med klimaforandringen. - Og hvad med solskins-timer? Samlet vurdering Familien kan regne med at spare ca. 300 liter olie under forudsætning af, at alle andre faktorer, der har indflydelse på deres brændselsforbrug forbliver uændrede. 25

25 ISBN:

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07-7 10. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

matematik grundbog basis preben bernitt

matematik grundbog basis preben bernitt 33 matematik grundbog basis preben bernitt 1 matematik grundbog basis ISBN: 978-87-92488-27-5 2. udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

grafer og funktioner basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner G ISBN: 978-87-92488-11 4 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

potenstal og rodtal F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

matematik grundbog trin 2 preben bernitt

matematik grundbog trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin 2 preben bernitt matematik grundbog 2 3. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-29-9 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 16/17 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014/15

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-37-4

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 2 ISBN: 978-87-92488-12-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015/2016, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Thomas K. Andersen mac4 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere