ELEKTROMAGNETISME. 1. Omregning af mediekonstanter. 1a. Med generelle formler. 1b. Med reelle beregninger. Institut for elektroniske systemer E4/01

Transkript

1 Institut for elektroniske systemer E4/ HEb ELEKTROMAGNETISME 1. Omregning af mediekonstanter Omregning mellem primære og sekundære mediekonstanter kan foretages på disse måder: 1. Med generelle komplexe formler. Med reelle beregninger og trigonometriske funktioner 3. Ved hjælp af den komplexe forkortningsfaktor Uanset hvorledes beregningerne foretages, er det altid anbefalelsesværdig at bestemme værdien af tabsvinkelen først. 1a. Med generelle formler = arctg!" [ ] (1) = + j = p ;! " + j! [Np=m rad=m] () = r " ; j! [] (3) 1b. Med reelle beregninger = arctg!" Re[] = = Im[] = = Re[] = Im[] = qp! 4 " +! sin qp! 4 " +! cos vut s " +! cos vut s " +! sin [ ] (4) [Np=m] (5) [rad=m] (6) [] (7) [] (8)

2 Bemærk, at der står sinus ved realdelen af. For isolatorer kan sættes til 0, og for ledere kan sættes til 90. Vi har: sin 45 = cos 45 =1= p. Det i slutningen af denne note vedlagte C-program demonstrerer anvendelsen af de reelle udtryk. 1bb. Alternative reelle formler Udtrykkene for beregning med reelle tal kan omskrives til følgende: = arctg!" [ ] (9) x = sr (") +(! ) (10) = + j =!xsin = x cos + j x sin + j!xcos [Np=m rad=m] (11) [] (1) 1c. Med komplex forkortningfaktor Anvendes kun når r =1. = arctg!" ff 0 = s 1 "r(1 ; j tg ) [ ] (13) (14)! = j [Np=m rad=m] (15) ff 0 = 10 ff 0 [] (16). Specielle modeller For mellem 0 og 5 regnes mediet som en isolator (tabsfrit medium), og vi får: Re[] = = 0 (17) Im[] = =! p " [rad=m] (18) Re[] =r " [] (19)

3 3 Im[] =0 (0) For mellem 85 og 90 regnes mediet som en leder, og vi får: Re[] =Im[] = = = r! [m ;1 ] (1) Re[] =Im[] =r! Ved denne model regnes også med indtrængningsdybden: s = 1 = 1 =! [] () [m] (3) 3. Generaliseret impedans og refleksionskoefficient I dette afsnit anvender jeg for overskuelighedens skyld Z og V i stedet for og E. Impedans og refleksionskoefficient er givne ved: Z(x) =Z 0 1+K(x) 1 ; K(x) (4) K(x) = Z(x) ; Z 0 Z(x)+Z 0 (5) Størrelsen K(0) kalder vi gerne K L,ogZ(0) gerne Z L (L for load ). Så vi har: K L = Z L ; Z 0 Z L + Z 0 (6) Refleksionskoefficienten er forholdet mellem reflekteret og indfaldende bølge. En udvikling af denne definition giver: K(X) = V ; (x) V + (x) = V ; e +x V + e ;x = V ; (0) e +x V + (0) e ;x = V ; (0) V + (0) ex = K L e x (7) Dermed kan vi opskrive den helt generelle formel: K(x) = Z(0) ; Z 0 Z(0) + Z 0 e +x (8) Bemærk at exponenten har fortegnet +, men ofte er størrelsen x et negativt tal. 4. Regning over grænser På figuren er vist en konfiguration af to medier med grænsefladerne a og b. Stedet umiddelbart til venstre for a kaldes a; og stedet umiddelbart tilhøjre for a for a+. Størrelserne d 1 og d er længderne som positive reelle tal. De to karakteristiske impedanser er Z 01 og Z 0.

4 4 Der anvendes transmissionsledningsnotation (dvs. Z, V og I i stedet for, E og H) Z G V G Z 0 Z 01 Z L d d 1 a b Z IND Ved beregningen af feltudbredelsen anvendes følgende opskrift: 1. Tegn konfigurationen og lav transmissionsledningsanalogi. Bestem for medierne og beslut beregningsmodeller 3. Beregn sekundære mediekonstanter ud fra de primære 4. Start i højre side med at beregne refleksionskoefficienter og impedanser. Regn ud mod venstre side 5. Start i venstre side med at beregne spændinger og strømme. Regn ud mod højre side 6. Beregn effekter ud fra de beregnede spændinger og strømme. Vi går her ud fra at punkterne 1 til 3 er overstået, således, at vi tager fat på punkt 4. 4a. Beregning af refleksionskoefficienter og impedanser Start i højre side: K L = Z L ; Z 01 Z L + Z 01 (9) K(b+) = K L e ; 1d 1 (30) Der gælder, at Z(b;) = Z(b+) = Z(b), så vi har nu: Z(b) =Z 01 1+K(b;) 1 ; K(b;) (31) Vi regner videre i medium : K(b;) = Z(b) ; Z 0 Z(b)+Z 0 (3) K(a+) = K(b;) e ; d (33)

5 5 Z(a) =Z IND = Z 0 1+K(a+) 1 ; K(a+) (34) 4b. Beregning af spændinger og strømme Lad os antage, at vi kender V + lige til højre for grænsen a: V + = V + (a+) (35) Denne spænding føres hen til grænsen b: V + (b;) =V + (a+) e ; d (36) Den totale spænding på dette sted er nu: V TOT (b;) =V (b;) =V + (b;) (1 + K(b;)) (37) Spændingen er kontinuert hen over grænsen, så der gælder, at V (b;) = V (b+) = V (b). Dette gælder kun for den totale spænding, ikke for V + og V ;. Vi har nu: V (;b) =V (b+) V + (b;) (1 + K(b;)) = V + (b+) (1 + K(b+)) (38) Derfra fås: V + (b+) = V + (b;) 1+K(b;) 1+K(b+) (39) Denne spænding føres frem til Z L : V + (0) = V + (b+) e ; 1d 1 (40) Og den totale spænding over Z L bliver: V Z L = V + (0) (1 + K L ) (41) Strømmen kan i ethvert punkt x beregnes som forholdet mellen V (x) og Z(x), fx.: I(b) = V (b) Z(b) (4) Hvis det ikke var V + (a+), der var kendt, men fx. V G og Z G, skulle vi beregne følgende i starten: Z(a) V (a) =V G Z(a)+Z G (43) V + (a+) = V (a) 1+K(a+) (44)

6 6 4c. Beregning af effekter Effekten kan for ethvert punkt x beregnes ved: P (x) = 1 Re[V (x)i(x)] = 1 V (x) Z(x) Re[Z(x)] (45) = 1 ji(x)j Re[Z(x)] Hvis spændinger og strømme er beregnet som effektivværdier, skal faktoren 1 ikke medtages. Hvis der er tilpasning ved generatoren, kan man regne med indfaldende og reflekteret effekt. Den indfaldende effekt og den reflekterede effekt er: P + (x) = 1 V (x) Z 0 Re[Z 0 ] = 1 ji(x)j Re[Z 0 ] (46) P ; (x) =P + (x) jk(x)j Den transmitterede effekt er: P (x) =P TRANS = P + (x) ; P ; (x) (47) De efterfølgende C-programmer viser et eksempel på regninger over grænser. Bemærk følgende: Den totale, målelige spænding, strøm, effekt og impedans er veldefineret på ethvert sted, og disse størrelser er således kontinuerte i grænser. Dette gælder ikke for refleksionskoefficienter, indfaldende og reflekterede bølger samt de karakteristiske impedanser. Disse størrelser ændrer sig springvis i grænser.

7 7 5. Programmer Resultat af kørsel af FTEST.CPP Test af algoritmer til omregning af mediekonstanter (99040) Frekvens = My, rel = Epsilon, rel= Sigma = Med komplexe udtryk: Gamma = Amp.: Fase: 69.9 Eta = Amp.: Fase: 0.1 (Bemrk at arg(gamma)= 90 gr.-theta/ og arg(eta)= theta/) Med reelle regningsmetoder 1: Theta = Re(gamma) = Im(gamma) = Re(eta) = Im(eta) = Med reelle regningsmetoder : Theta = Re(gamma) = Im(gamma) = Re(eta) = Im(eta) =

8 8 /* FTEST.CPP Test af omregningsalgoritmer for omregning af mediekonstanter 99040HEb Rettet: */ #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <dos.h> #include <math.h> #include <complex.h> long double pi=m_pi, myr, my0, eps0, epsr, my, eps, eps, my, w, sigma, gammareal, gammaimag, etareal, etaimag, theta, f, w, lambda, sigma, x complex j=complex(0,1), gamma1, eta1 /* Udskrivk(navn,tal) udskriver en komplex strrelse i rektangulrt og polrt format */ void Udskrivk(char *a, complex x){ printf("%-11s= %8.3Lf %8.3Lf Amp.:%8.3Lf Fase: %6.1Lf\n",a,\ (long double)real(x), (long double)imag(x),(long double)abs(x),\ (long double)arg(x)*180/pi) } /* Udskrivr(navn,tal) udskriver en reel strrelse */ void Udskrivr(char *a, long double x){ printf("%-11s= %6.4Lf\n",a,(long double)x ) } void main(void){ f= 377.4E6 my0= 4*pi*1E-7 eps0= 1/(36*pi)*1E-9 myr= 1.1 epsr= 4.7 sigma= w= *pi*f my= myr*my0 eps= epsr*eps0 /* Starttekst */ printf("test af algoritmer til omregning af mediekonstanter (99040)\n\n")

9 9 Udskrivr("Frekvens", f) Udskrivr("My, rel", myr) Udskrivr("Epsilon, rel", epsr) Udskrivr("Sigma", sigma) /* Beregning efter komplexe udtryk */ gamma1= sqrt(-w*w*my*eps+j*w*my*sigma) eta1= sqrt(my/(eps-j*sigma/w)) printf("\nmed komplexe udtryk:\n") Udskrivk("Gamma", gamma1) Udskrivk("Eta", eta1) /* Beregning vha. reelle tal 1 */ w= w*w eps=eps*eps my=my*my sigma=sigma*sigma theta=atan(sigma/(w*eps)) /* Tabsvinklen i radianer */ gammareal=sqrt(sqrt(w*w*my*eps+w*my*sigma))*sin(theta/) gammaimag=sqrt(sqrt(w*w*my*eps+w*my*sigma))*cos(theta/) etareal=sqrt(sqrt(my/(eps+sigma/w)))*cos(theta/) etaimag=sqrt(sqrt(my/(eps+sigma/w)))*sin(theta/) printf("\nmed reelle regningsmetoder 1:\n") Udskrivr("Theta", theta*180/pi) Udskrivr("Re(gamma)", gammareal) Udskrivr("Im(gamma)", gammaimag) Udskrivr("Re(eta)", etareal) Udskrivr("Im(eta)", etaimag) /* Beregning vha. reelle tal */ theta=atan(sigma/(w*eps)) /* Tabsvinklen i radianer */ x=sqrt(sqrt((my*eps)*(my*eps)+(my*sigma/w)*(my*sigma/w))) gammareal=w*x*sin(theta/) gammaimag=w*x*cos(theta/) etareal= my/x*cos(theta/) etaimag= my/x*sin(theta/) printf("\nmed reelle regningsmetoder :\n") Udskrivr("Theta", theta*180/pi) Udskrivr("Re(gamma)", gammareal) Udskrivr("Im(gamma)", gammaimag) Udskrivr("Re(eta)", etareal) Udskrivr("Im(eta)", etaimag) } /* SLUT PA FTEST.CPP */

10 10 /* F1PROG.CPP Regning over grnser Opgave 11. fra Elektromagnetisme HEb Rettet:961130,96108,980501, */ #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <dos.h> #include <math.h> #include <complex.h> long double pi=m_pi, Z01, Z0, Bl1, Bl, Pplus, Pminus, Ptrans, Pzl, Pplusbh, Pminusbh, Ptransbh complex j=complex(0,1), ZL, KL, Kbh, Kah, Kbv, Zah, Zin, Zbh, Vplusah, Vplusbv, Vbv, Vplusbh, Vminusbh, Vpluszl, Vzl, Vplusin /* Udskrivk(navn,tal) udskriver en komplex strrelse i rektangulrt og polrt format */ void Udskrivk(char *a, complex x){ printf("%-1s= %8.3Lf %8.3Lf Amp.:%8.3Lf Fase: %6.1Lf\n",a,\ (long double)real(x), (long double)imag(x),(long double)abs(x),\ (long double)arg(x)*180/pi) } /* Udskrivr(navn,tal) udskriver en reel strrelse */ void Udskrivr(char *a, long double x){ printf("%-1s= %6.4Lf\n",a,(long double)x ) } void main(void){ ZL=complex(8,-38) Z01= 75 Z0= 40 Bl1=*pi*0.7 /* Linien til hjre er 0,7 blgelngder */ Bl=*pi*0.8 /* Linien til venstre er 0,8 blgelngder */ printf("regning over grnser\nopgave 11. i Elektromagnetisme for E4\n\n") /* Beregning af refleksionskoefficienter og impedanser */ KL= (ZL-Z01)/(ZL+Z01) Kbh= KL*exp(-*j*Bl1) Zbh= Z01*(1+Kbh)/(1-Kbh) Kbv= (Zbh-Z0)/(Zbh+Z0) Kah= Kbv*exp(-*j*Bl) Zin= Zah=Z0*(1+Kah)/(1-Kah)

11 11 Udskrivk("KL", KL) Udskrivk("K(b+)",Kbh) Udskrivk("K(b-)", Kbv) Udskrivk("K(a+)", Kah) Udskrivk("Z(b+)", Zbh) Udskrivk("Z(a+)", Zah) /* Beregning af spndinger */ Vplusah= 10 Vplusbv= Vplusah*exp(-j*Bl) Vbv= Vplusbv*(1+Kbv) Vplusbh= Vbv/(1+Kbh) Vminusbh= Vplusbh*Kbh Vpluszl= Vplusbh*exp(-j*Bl1) Vzl= Vpluszl*(1+KL) Vplusin= (0*Zin/(Zin+40))/(1+Kah) /* V+(a+) beregnet via ZG=40 ohm */ /* og VG= 0 volt effektiv */ Udskrivk("V+(a+)", Vplusah) Udskrivk("V+(b-)", Vplusbv) Udskrivk("V(b-)", Vbv) Udskrivk("V+(b+)", Vplusbh) Udskrivk("V-(b+)", Vminusbh) Udskrivk("V+(ZL)", Vpluszl) Udskrivk("V(ZL)", Vzl) Udskrivk("V+(in)",Vplusin) /* Beregning af effekter */ Pplus= norm(vplusah)/z0 /* "norm" er kvadratet pa modulus */ Pminus= Pplus*norm(Kah) Ptrans= Pplus-Pminus Pplusbh= norm(vplusbh)/z01 Pminusbh= norm(vminusbh)/z01 Ptransbh= Pplusbh-Pminusbh Pzl= norm(vzl/zl)*real(zl) Udskrivr("P+", Pplus) Udskrivr("P-", Pminus) Udskrivr("Ptrans", Ptrans) Udskrivr("P+(b+)", Pplusbh) Udskrivr("P-(b+)", Pminusbh) Udskrivr("Ptr(b+)", Ptransbh) Udskrivr("P_ZL", Pzl) } /* (SLUT PA F1PROG.CPP) */

12 1 Resultat af kørsel af F1PROG.CPP Regning over grnser Opgave 11. i Elektromagnetisme for E4 KL = Amp.: Fase: K(b+) = Amp.: Fase: 90. K(b-) = Amp.: Fase: K(a+) = Amp.: Fase: -70. Z(b+) = Amp.: Fase: 80.3 Z(a+) = Amp.: Fase: -84. V+(a+) = Amp.: Fase: 0.0 V+(b-) = Amp.: Fase: 7.0 V(b-) = Amp.: Fase: V+(b+) = Amp.: Fase: 95.8 V-(b+) = Amp.: Fase: V+(ZL) = Amp.: Fase: V(ZL) = Amp.: 3.70 Fase: V+(in) = Amp.: Fase: -0.0 P+ = P- = Ptrans = P+(b+) = 0.54 P-(b+) = Ptr(b+) = P_ZL = 0.077

13