Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 4. Exp, pot & log

Transkript

1 Mtemtikkes msterier - på et oligtorisk iveu f Keeth Hse. Ep, pot & log Verdes efolkig År 98-0 I 98 vr verdesefolkige,7 mi. og voksede med,8% om året Hvorår vil der være 0 mi. på jorde?

2 Idholdsfortegelse.0 Idledig. Rødder og poteser. Ekspoetilfuktioer 9. Ekspoetielle udvikliger. Logritmer.5 Fordoligs- og hlverigskostt 9.6 Ekeltlogritmisk koorditsstem (ELK).7 Potetilfuktioer og potetielle udvikliger 5.8 Bldede opgver 59 Fcitliste 68 Kpiteloversigt 7

3 .0 Idledig Tegige på forside viser, hvorledes m meer, t Jordes efolkigstl vil udvikle sig. Som m k se, så vokser efolkigstllet hurtigere og hurtigere - e mtemtiker klder dee form for vækst for e ekspoetiel udviklig. Fktisk viser det sig, t ekspoetielle udvikliger forekommer mge steder i de virkelige verde. Et ødvedigt redsk for t kue rege med ekspoetielle udvikliger og kue forstå, hvd der foregår, er regereglere for poteser og ggrude for idførelse f poteser. Hvorfor det? Jo, som det fremgår f edeståede evetr er de prktiske til hådterig f store tl. Der vr egg e Koge, som hvde e Vismd, der gjorde Koge e stor Tjeeste. Koge ville d, som Koger hr det for Ve, eløe Vismde med det hlve Kogerige og e skjø Prisesse. Nej, sgde Vismde! Istedet foreslog h eskedet, t om Koge lot ville give hm ogle Korfrø på edeståede Måde - j, så ville Vismde være overordetlig tilfreds! Nå, Vismde, der vr ivrig Skkspiller, foreslog d: for Felt på et Skkræt Koge, der iderst ide vr lettet over ikke t skulle f med det Hlve f sit Kogerige, gik strks med på Tke! Opgver.L Hvor mge korfrø skulle koge f med på de første 6 felter?.l M k rege ud, t koge i lt skulle f med 6 korfrø. Et korfrø vejer c. g. Hvor mge kg kor skulle koge f med?

4 . Rødder og poteser Vi strter med t fortælle, hvd der egetligt mees med poteser og rødder. Edvidere vil vi udlede ogle regeregler for disse. Defiitio (FS) Ld være et positivt tl, og et helt, positivt tl. Potese defieres som = K ( fktorer) Tllet kldes grudtllet, mes kldes ekspoete. Eksempel Nogle poteser er = = 8 = 5 = = = = = 0 = 0 π = π π π, 006 På lommeregere k m rege med poteser på følgede måde: TI-0 og TI-68 : = 0 5 : 0 5 = Idtil u hr lle ekspoeter været positive; me hvd u, hvis ekspoete er 0 eller egtiv? K m i så fld tillægge potese e foruftig værdi? Ld os udflde edeståede skem: Det er emt t udrege potesere =, = =, = = 8 og = = 6. Vi sætter dem id i skemet:

5 Der er et møster i skemet: - hver gg, vi går et felt til højre, så gges potese med, - hver gg, vi går et felt til vestre, så divideres potese med. Hvd er 0? Potese 0 står et felt til vestre for =, så 0 må være divideret med, ltså 0 = = =. Vi skder os t idsætte dette i skemet Hvd er? Dee potes står et felt til vestre for 0 = og må derfor være hlvdele herf, dvs. 0 = = Hvd er? Dee potes står et felt til vestre for = og er derfor lig = = Og edelig ser vi, t = = 8. Skemet eder ltså med udseedet:

6 Nu er der ikke oget specielt ved tllet, så vi k ligeså godt skrive i stedet. Skemet strter d som og ige ser vi møsteret: - går vi et felt til højre, så skl vi gge med - går vi et felt til vestre, så skl vi dividere med Udfldes skemet efter disse regler, så fås Alt dette fører til edeståede geerelle defiitio: Defiitio (FS) 0 = og = Eksempel Udreg: 0 Svr: 0 7 = = = ,

7 På lommeregere skl m tste TI-0: TI-68: / = 0 ( ) 5 = Vi emærker, t uset ekspoetes størrelse, så er poteser ltid positive. Dette virker også umiddelrt klrt, d m tger et positivt tl og multiplicerer det med sig selv et vist tl gge - og evetuelt dividerer m resulttet op i. Me resulttet er stdigvæk positivt. Sætig (FS) m m+ = Bevis: m m+ = (... ) (... ) = - uset værdie f m og så hr vi i lt m+ fktorer. Dette evis er fktisk lidt sd, idet det forudsætter t tllee m og er positive. M k dog let evise sætige også år m og (eller lot é f dem) er egtive. Sætig (FS) m m ( ) = Bevis: ( ) =... =... = - vi hr i lt fktorer f forme m. m m m m m+ m+ + m m 6

8 Sætig 5 (FS) m = m Bevis: m m m m+ ( ) m = = = = Sætig 6 (FS) = ( ) Bevis: = =... = ( ) ( )... ( ) = ( ) Sætig 7 (FS) = F H G I K J Bevis: = F = = H G I... K J Vi hr u evist potesregereglere for heltllige ekspoeter. Som vi seere skl se, så gælder disse regler også, hvis ekspoete f.eks. er e røk. Potesregereglere k ruges til t reducere forskellige udtrk: 7

9 Eksempel = = = F = = = 5 = 5 = I HG K J F H G I K J = 6 ( ) 6 6 = = = = To turlige spørgsmål melder sig i foridelse med poteser: ) Givet =, hvor m keder og. Hvd er? ) Givet =, hvor m keder og. Hvd er? Spørgsmål esvrer vi u, mes spørgsmål må vete til seere. For t løse ligiger f smme tpe som i spørgsmål idfører vi rødder: Defiitio 8 (LS) kldes de 'te rod f, og er ) det positive tl, som ) multipliceret med sig selv gge giver. = Altså, ( ) Eksempel 8 =, idet = 8 6 =, idet = 6 8

10 9 =, idet = 9 =, 59905, idet (, 59905) Bemærk, t m ormlt eteger som - kvdrtrode f Eksempel Udreg 000 på lommeregere. TI-0: 000 = TI-68: 000 = E måde, hvorpå m k defiere poteser med rtiole ekspoeter, dvs. med røker, er som rødder. Sætig/defiitio 9 (FS) = ) m ) = m Bevis: ) er per defiitio det tl, som ) er positivt, og ) multipliceret med sig selv gge giver. Vi viser, t opflder puktere ) og ) i defiitio 8. For det første er et positivt tl, idet det er et positivt tl i e potes. For det det gælder, t ( ) =... = = = = m m m ) = ( ) = ( ) = m 9

11 Herf fås, t lle potesregereglere også gælder for rødder, lot omskrevet til det rske rodsprog. Vi hr derfor følgede sætig: Sætig 0 (LS) ) = ) = Vi hr ku vist lle regeregler idtil u for heltllige ekspoeter, og det til trods for, t vi hr defieret e potes til t kue hve lle former for ekspoeter, også de rtiole tl (lle tl, der k skrives som e røk)! F.eks., 5 - husk t,5 k skrives som røke 5 0 Me fktisk hr vi æste vist regereglere også for de rtiole ekspoeter - de følger emlig f regereglere for heltllige ekspoeter ved e omskrivig. Fktisk k m vise, t regereglere også gælder for irrtiole tl som f.eks. π i ekspoete. Med dre ord gælder regereglere for lle reelle tl i ekspoete. Det vil dog føre for vidt i første omgg t egrude, hvord m viser dette. Vi husker på, t vi idførte rødder, fordi vi ville kue løse ligiger f forme =. Vi er u i std til t gøre dette. Eksempel Givet: = 6 Fid: Svr: = 6 = 5 Givet: 6 = 0 Fid: 5 Svr: 6 = 5 = 0 0

12 @ = 5 0, 806 Givet: π = Fid: Svr: = π, 69 M k u også komme ud for, t de løsig, m søger, er egtiv. Vi hr imidlertid ku defieret poteser for positive grudtl. Det er ikke oget prolem t udrege poteser f egtive tl med heltllig ekspoet: ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 6 ( ) = = ( ) 6 me hvis ekspoete ikke er et helt tl, så er der lvorlige prolemer: ( ) = =?? Af eksemplet fremgår, t hvis potese hr egtivt grudtl og ekspoete er heltllig, så er der ige prolemer, ku lidt øvl. Me hvis ekspoete ikke er heltllig, så er potese slet ikke defieret. Sætig For et helt tl og et egtivt tl gælder R, lige = S, ulige T Bevis: Beviset er gske simpelt - regereglere for umerisk-værdi giver = ( ) = (( ) ) = ( ) Fktore ( ) er u ete eller lt efter om ekspoete er lige eller ulige.

13 Visse ligiger k derfor hve to løsiger - e positiv og e egtiv. Dette sker dog ku ved heltllige, lige ekspoeter. Eksempel Givet: = 9 Fid: Svr: = 9 = Me det viser sig, t = også er e løsig, fordi ( ) = 9 Vi skriver derfor = = ± 9 = 6 0 = 70 6 = 7 6 = ± 7 ±, 570 Opgver.L Bereg edeståede tl på lommeregere. Agiv resulttet med decimler. ) ) c) d) 0 6,, e),, F I HG K J , 0, , ,, 005.M Bevis følgede regeregler:

14 m m ) = m m ) = m + m m m c) = (Vik: Omskriv i lle tre tilfælde vestresides rødder til poteser med røker som ekspoeter).l Reducér følgede udtrk ude rug f lommereger - du får rug for vede lle potesregereglere. 5 ) 9 5 c) ( 5 ) ( 5 ) : 5 5 e) g) 6 h) i) k) m) ( ) 5 ( ) ( ) ((( 7) ) ) 7 7 (( 7) ) ) 5 : 5 5 : 5 6 ( 5 ) 5 d) 5 7 ( 5 ) 5 f) 5 : 5 j) l) ) ( ) ( ) (( ) ) 6 ( ).M M k godt defiere rødder f egtive tl, år ellers visse etigelser er opfldt: er defieret, år er egtiv og er et ulige, helt tl. Begrud dette. M må dog ikke skrive f.eks. 8 = ( 8) / idet poteser med egtivt grudtl og ikke-heltllig ekspoet er defieret. Fid og forklr fejle i edeståede forkerte udregig: / / 6 / 6 = 6 = ( 6) = ( 6) = (( 6) ) = 6 6 ( 6) = 096 = 5.L Hvilke f edeståede rødder er defierede? Bereg værdie f de defierede rødder (det k gøres ude rug f lommereger!).

15 ) ) c) e) 6 f) 6 6 d) 6 g) 6 h) 6 i) 7 j) 8 k) 9 m) ) 0 o) 0 p) 9 q) L Omskriv edeståede velkedte regeregler til potesregeregler: ) = ) = m m c) = ( ) d) = ( > 0) 7.L Bereg edeståede poteser ude rug f lommereger: ) 8 / ) 8 / c) 7 / d) 7 / e) 7 / f) 6 / g) 6 / h) 6 / i) 6 / j) 6 / k) 6 5/ l) / 5 m) 0, ), o) / ( ) p) ( ) / 8.L Reducér følgede ude rug f lommereger: ) 6 / ) 8 6 / c) π π π d) L Reducér edeståede: ) 5 ( ) ( / ) ( / ) ( / ) c) / / ( ) 6 / ( ) e) f) / / ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) / / 5 d) g) / ( ) F HG I KJ /

16 0.L Et lille rim fr e gmmel mtemtikog siger: De, som tger Rode f e Sum, H er dum! og dette er gske rigtigt. Geerelt gælder der ikke, t + = + - prøv selv med ogle tl. Med dette i mete skl du reducere edeståede mest muligt, ude rug f lommereger: ) ) c) d) 5 5 e) f) L Skriv edeståede udtrk som é potes: ) 8 6 ) ( ) ( ) ( ) c) ( 5) ( 5) ( 5) d) e) 8 f) g) 9 5 h) 8 7 i) q 5q 8q p p p j) 5 6 q q q q k) 8 l) m) 7 5 ( ) ( ) ( ) ) p q p o) 8 7 p) : 7 q) r) : s) 7 e : e t) 8 : u) : 7 v) 5 : w) ( ) :( ) ) : ) 0 : 0 z) p p p : p 5.L Reducér edeståede: ) 5 5 ) ( ) 5 5 c) 7 9 d) ( ) ( ) 8 8 e) 6 f) t u 6 6 5

17 g) ( ) h) 5 i) ( ) j) 9 c h c h c h c h c h k) l) m) o) 8 : p) 8 : 7 q) 55 : r) 5 5 : s) 5 5 ) ( 5) ( ) ( ) c h : t) 6 c 8 h : c h c h : c h v) : ) c 5 5 h : c h c h u) w) ( ) : ) : : z z) ( ).L Reducér edeståede: ) ( ) ) ( 5 ) c) (( ) 5 ) d) ( 8 ) e) ( ) g) (( 5) ) h) ( ) j) ( e 7 ) k) ( ) c 5 h f) ( p ) :( p ) 5 7 i) ( ) 0 l) (( 6) ).L Reducér edeståde: 8 ) ) 0 5 d) 8 : e) g) j) / h) k) c) f) i) l) L Reducér: ) ( ) 9 : ) F HG I KJ F H G 5 5 I K J c) d d : d ( d ) d) F HG : F HG I 5 I KJ p+ 5 ( ) (( ) ) ( ) ( ) p+ KJ ( ) ( ) 6

18 e) z z 7

19 . Ekspoetilfuktioer E meget vigtig tpe fuktioer er de såkldte ekspoetilfuktioer, som vi her eskriver kort. Defiitio (FS) Ld fuktioe f hve forskrifte f ( ) =. f kldes e ekspoetilfuktio, og fuktioes grudtl. (M kræver ormlt, t ). > 0 kldes M skriver ofte ep ( ) i stedet for - dette er mest f tpogrfiske årsger. Eksempel Givet: f ( ) =, Teg: Grfe for f Svr: Et støttepuktsskem lves f ( ) 0,08 0,890 0,8, 5,9,7 7,98 Ekspoetilfuktioere opflder følgede, vigtige sætig: 9

20 Sætig (LS) Ld f ( ) = være e ekspoetilfuktio. Så gælder: ) f ( 0) = ) f ( ) = ) Hvis >, så er f voksede ) Hvis 0 < <, så er f ftgede 5) f ( + ) = f ( ) f ( ) Bevis: ) f ( 0) = =. ) f ( ) = = 0 ) Vi skl vise, t jo større liver, desto større liver f ( ). Altså < f ( ) < f ( ). Me idet <, så er k = > 0 og k >. Derfor k + < = k = ) Vises som pukt. (Vik: Aved, t k < 0 år k > 0 og 0 < < ). 5) f + ( + ) = = = f ( ) f ( ) Ligige i pukt 5 kldes for e fuktiolligig. E meget vigtig ekspoetilfuktio er fuktioe med grudtllet e =, Ekspoetilfuktioe med grudtllet e kldes de turlige ekspoetilfuktio og eteges med 'ep', dvs. ep( ) = e 0

21 Opgver.L Teg grfere for følgede ekspoetilfuktioer: f( ) = f ( ) = f ( ) = g ( ) =d i g Smmelig med sætig, c) og d) ( ) =d i g ( ) =d i.l Hvilke f edeståede fuktioer opflder fuktiolligige f ( + ) = f ( ) + f ( ) ) f ( ) = ) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = f) f ( ) = + 6.L Hvilke f fuktioere i opgve opflder fuktiolligige f ( ) = f ( ) f ( )?.L Hvilke f fuktioere i opgve opflder fuktiolligige f ( + ) = f ( ) f ( )? 5.L Omskriv potesregereglere i sætig -7 til ep -ottio. 6.L Reducér edeståede ude rug f lommereger: ) ep( ) ep( 5) e ep( ) e ) ep ( 8) ep ( ) ep ( ): ep 5( 7) ep 5( ) c) 5 ep ( ) d) ep ( ) ep ( ) e) ep ( 8) (ep ( )) ep 6 ( ) f) ep ( ) ep ( ) 5

22 . Ekspoetiel udviklig E mere geerel tpe fuktioer ed ekspoetilfuktioere er de såkldte ekspoetielle udvikliger. Disse optræder overlt - f.eks. k verdes efolkigstl eskrives ved e ekspoetiel udviklig. Defiitio (FS) Ld fuktioe f hve forskrifte f ( ) = > 0,, > 0 f kldes e ekspoetiel udviklig med grudtllet og egdelsesværdi Eksempel Givet: f ( ) = 000, 08 Teg: Grfe for f Svr: Et støttepuktsskem lves f ( ) 79,8 857, 95, Eksempel

23 Busser sætter 00 kr. i ke til e rete r = 6% pr. år. K vi mo lve e fuktio, der eskriver, hvd der står på koge? Altså: 0 år Busser hr kr. 00,00 år " 06,00 år ",0 år " 9,0 år " 6,0 5 år ",80 Ok: Ld os så se på de ekspoetielle udviklig givet ved f ( ) = 00, f ( ) 00,00 06,00,0 9,0 6,0,80 Hov, er det ikke det smme som hos Busser, år lot tæller år, og f ( ) tæller Bussers pegeeholdig i ke efter år? Altså:. Busser strter med 00 kr. Altså egdelsesværdi = 00. Af skemet ses, t hs pegeeholdig vokser fr år til år svrede til t multiplicere med =, 06. kldes de årlige fremskrivigsfktor. kldes de to-årlige fremskrivigsfktor. h kldes de h-årlige fremskrivigsfktor.. r = 0, 06 og =, 06 ør vække mistke om e smmehæg: r = D m ku k skke om reter, år m hr med pege t gøre, klder m også r for vækstrte eller de procetvise tilvækst. Hvd er mo de to-årlige vækstrte? Jo, det er de to-årlige fremskivigsfktor mius, ltså Tilsvrede er de h-årlige fremskrivigsfktor h

24 Vi smler vores oservtioer i edeståede sætig: Sætig (LS) Ld f ( ) = være e ekspoetiel udviklig. ) f ( 0 ) = ) h er fremskrivigsfktore for e - tilvækst på h ) h er vækstrte for e -tilvækst på h. Bevis: ) f ( 0) = = = 0 + h h h h ) f ( + h) = = = f ( ) = f ( ) ) Vækstrte for e -tilvækst på h er lig h f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) h ( ) f ( ) f ( ) h = = Eksempel Befolkigstllet i e lille kue i åree eskrives ved e ekspoetiel udviklig. Givet: f ( ) = 75, hvor tæller år fr 980 f ( ) tæller tl idggere Fid: Befolkigstllee i 980, 98 og : = 0: 0 f ( 0) = 75. = 75 98: = : f ( ) = 75. = : = 7: 7 f ( 7) = 75. = 767 Fid: Forskellige vækstrter og fremskrivigsfktorer de årlige fremskrivigsfktor: =, =, de årlige vækstrte: = 0, = %

25 de -årlige fremskrivigsfktor: =, =, de -årlige vækstrte: = 0, =, % de 7-årlige fremskrivigsfktor: 7 =, 7 =, 5 de 7-årlige vækstrte: 7 =, 5 =5, % M er ofte i de situtio, t m keder ogle pukter for grfe for e ekspoetiel udviklig og gere vil fide kosttere og. Dette prolem løses f følgede sætig: Sætig 5 (FS) Ld f være e ekspoetiel udviklig: f ( ) = Ld f ( ) = og f ( ) =. Bevis: ) = f ( ) og = f ( = og = = = = = = ) = f ( ) = Så fides kosttere og ved: ) = ) = 5

26 @ = Eksempel Givet: f er e ekspoetiel udviklig, med f ( ) = og f ( 5) = 7. Fid: Regeforskrifte for f Svr: f ( ) =, d f er e ekspoetiel udviklig (, ) = (, ) og (, ) = ( 5, 7) : E : = = 5 7 =, 650, 6 = = =, 7050, 705 Altså f ( ) =, 705, 6 Fid: f ( ) Svr: f ( ) =, 705, 6 7, 99 E mere præcis værdi k ruges ved t vede værdiere for og, me med lle decimlere: f ( ) =, 7050, 650 8, På lommeregere er det e god idé t gemme værdiere for og i e hukommelse med lle decimlere. Dette k gøres såd: TI-0: 6

27 : ( 7 ) ( 5 ) = STO Værdie for er u gemt i hukommelse - displet viser et lille M oppe i vestre hjøre. : RCL = STO er u gemt i hukommelse, og displet viser et lille M f ( ): RCL RCL = 7

28 TI-68: : ( 5 ) ( 7 ) = STO ALPHA A = Værdie for er u gemt i hukommelse mærket A. : ALPHA A = STO ALPHA B = er u gemt i hukommelse B. f ( ): ALPHA B ALPHA A = Eksempel Givet: f ( ) = med =, og f ( ) = 9 Fid: Regeforskrifte for f Svr: f ( ) =, ereges: f ( ) E = f ( ) = 9 95,, Vi hr u f ( ) =,, 95 Opgver.L Teg grfere for følgede ekspoetielle udvikliger: 8

29 f( ) =, 5 f ( ) =, 5 f ( ) =, 5 g 0, 7 g ( ) = 0, 7 g( ) = 8 0, 7.L Se forside Givet: Verdesefolkige vr i 98 på,7 mi. persoer og voksede med c.,8% om året. ) Teg e grf, der viser udviklige i verdesefolkige, hvis dee vækst fortstte fr 98 til 0. ) Hvor mge persoer vil der være i 0? (Aflæs på grfe). c) Hvorår vil der være 0 mi. meesker på Jorde? d) Med hvor mge procet vokser Jordes efolkig på et årti?.l I hver f edeståede opgver er f e ekpoetiel udviklig. Bestem forskrifte for f ud fr de give oplsiger. ) f ( 8) = 6, og f ( 7, ) = ) f (, ) = 80 og f (, ) = 9 c) f ( ) = 6 og f ( ) = d) f ( 0) = 6 og = e) = 6 og f ( ) = f) =, og f (, ) =, g) f ( 7) = 7 og f ( 9) = 9.L Ægptes efolkig vokser ekspoetielt og vr i 965 på 9, millioer og i 970 på, millioer. ) Opstil e forskrift for Ægrptes efolkig som fuktio f tide. ) Hvor mge meesker vil der være i Ægpte i år 000. c) Hvor stor er de årlige efolkigstilvækst i procet? d) Hvor stor er de 0-årlige vækst-rte? 9

30 5.L Sved idsætter 00 kr. på e kkoto til e rete på % p.. (p..=pro o (årlig rete)). ) Agiv e forskrift for ideståede på Sveds koto efter år. ) Hvor mge pege står der på kotoe efter måed? c) Hvd er de måedlige rete? Det er ltså forkert t sige, t de måedlige rete er på %. d) På e de koto er de måedlige rete fktisk på %. Hvor stor er de årlige rete? 6.L I TV-Avise de 8. septemer 977 fremstte e jourlist følgede udtlelse om husleje for e estemt tpe lejlighed: De måedlige husleje er i øjelikket på 600 kroer. Hvis der ikke gries id fr politisk hold, vil husleje stige med 5 % årligt. Det etder, t husleje i 985 vil være på 5000 kroer. Hr jourliste ret? 7.L Atllet f ldrug i Dmrk vr i 97 på 09 og i 976 på 075. Det k tges f tllet f ldrug følger e ekspoetiel udviklig. ) Bestem e forskrift for tllet f ldrug i Dmrk. ) Med hvor mge procet flder tllet f ldrug i Dmrk pr. år? c) Hvor mge ldrug er der tilge i Dmrk i år 000? 0

31 . Logritmer Som omtlt tidligere side vil vi gere kue løse ligiger f tpe = 9 eller mere geerelt =. Vi vil også gere kue fgøre om e give fuktio er e ekspoetiel udviklig. Disse øsker (og mge flere) ispirerer os til t idføre logritmer, som er et redsk, der k hådtere såde prolemer. Idee g logritmer er, t logritme med grudtllet skl gøre det modstte f ekspoetilfuktioe med grudtl. Logrtimefuktioe skl ltså pille ekspoete ud f e potes - svrede til edeståede møster: = log 0 ( ) = fordi 0 00 log 0 ( ) = fordi log 0 ( ) = fordi log ( ) fordi = 9 log ( ) = fordi 7 log ( 8 ) = fordi 8 log ( ) fordi = log ( ) fordi = 8 Øvelse: Bestem log 0 ( ), log ( ), log ( 6 ), log 5( 5 ) Ld os etrgte log 0 ok egg: ep 0 00 log 0 Vi tger som ekspoet til 0, får 00, og tger derefter logritme til 00 og får ige! Ld os lige prøve et pr gge mere: ep ep log 0 log 0 ep 0 0 log 0 Tger m på et tl først ep 0 og derefter log 0, så får m tllet selv. M siger, t log 0 er e omvedt fuktio til ep 0

32 Dette udtrkkes i edeståede defiitio: Defiitio 6 (FS) log er de omvedte fuktio til ep, dvs. = ep ( ) = log ( ) E de måde t udtrkke dette på er følgede: Sætig 7 (FS) log ( ) = og log ( ) = På di lommereger hr du to logritmetster, log og l. log: log er de lmidelige etegelse for log 0. D m som oftest ruger titlslogritme, plejer m t skrive log i stedet for log 0. l: l er etegelse for de turlige logritme. Det er logritme med grudtllet e Altså l = log. e Eksempel Bereg på lommeregere tllee log000 og l000. TI-0: log 000 : 000 log l000: 000 l TI-68: log 000 : log 000 = l000: l 000 =

33 Svree er turligvis: log000= og l 000 6, Øvelse: Teg i smme koorditsstem kurvere: = log og = l Hvor skr die grfer -kse og -kse? Du oserverer forhåetlig, t egge logritmefuktioer skærer -kse i puktet (, 0 ), smt t ige f grfere skærer -kse - m k emlig ikke tge logritme til 0! M k også se, t puktet ( e, ) ligger på grfe for de turlige logritme, og t puktet ( 0, ) ligger på grfe for titlslogritme. Det er emlig, hvd edeståede sætig udtler sig om. Sætig 8 (FS) log ( ) = 0 og log ( ) = Bevis: og 0 log ( ) = log ( ) = 0 log ( ) = log ( ) = Øvelse: Ld os checke ogle egesker ved logritmefuktioe. Udfld lle koloer i hvert f edeståede skemer. Det kræver e lommereger. Husk t på lommeregere giver tste log 0- tlslogritme. A: B: log( ) log() log() log()+log() ,00,

34 / log(/) log() log() log()-log() 50 5,6990 0, Hvilke oservtioer k du drge f disse to skemer? Du skulle meget gere hve drget oservtioer svrede til edeståede sætig: Sætig 9 (FS) ) log ( ) = log ( ) + log ( ) ) log ( ) = log ( ) log ( ) Bevis: log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) ) log ( ) log ( ) log ( + = = ) = log ( ) + log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) = = = Her rugte vi sætig 7 hele to gge i hvert evis. Der fides flere logritmeregler, som lle i virkelighede svrer til e potesregeregel. Sætig 0 (FS) ) log ( ) = log ( ) ) log ( ) = log ( ) Bevis: log ( ) log ( ) ) log ( ) log (( ) ) log ( = = ) = log ( ) ) log ( ) = log ( ) = log ( ) /

35 Umiddelrt k m ses, t det er et prolem, t lommeregere ku k rege med to slgs logritmer, 0-tls-logritme og de turlige logritme. Hvd u, hvis m skl erege log ( ) 6? Af edeståede sætig får vi, t det er ok t kue udrege titlslogritme, for så k m udrege lle dre logritmer. Sætig (FS) log( ) ) log ( ) = log( ) l( ) ) log ( ) = l( ) Bevis: log ( ) ) log( ) = log( ) = log ( ) log( ) ifølge sætig 0. Divideres med log( ) på egge sider f ligige, så fås sætige. ) evises på smme måde. 5

36 Eksempel Udreg: log ( 8 ) log( ), Svr: log ( 8 ) = log( ) 0, = 7 Vi k u edelig løse ligiger f tpe = : Eksempel Givet: = 98 Fid: Svr: @ log( ) = 98 log( ) = log( 98 ) log( 98) = 6, 65 log( ) Eksempel Hvorår er der 0 millirder meesker på Jorde? Vi k u edelig erege, hvorår dette sker. Ifølge forside er Jordes efolkigstl givet ved de ekspoetielle udviklig =, 7, 08 hvor er tl år efter 98. Vi sætter lig 0 og løser de herved @, 7, 08 = 0, 08 = 0, 7 log(, 08) = log( 0/, 7) 6

37 = log( 0 /, 7), log(, 08) Dvs. egg i år 98+ = 06 vil Jordes efolkig være på 0 millirder. Opgver.L Reducér edeståede ude rug f lommereger: ) log( ) + log( ) log( ) ) log( ) + log( ) log( ) + log( ) c) q q l( p ) l( p ) + ql p + l p d) log( ) log9 + log 8 e) log6 log+ log log9 + log5 f) l( e ) le + l0 l00 g) log( 5) log( 5).L Reducér ) log 8 log ) log 6 log c) log log 5 d) log log + log e) log + log log f) l6 l 6 + l 6 + l 6 g) log6+ log9 log( 6+ 9) h) log( ) log( ) i) l00 l5+ l6 l6+ l( 8 ) j) (l e) l( e ).L Ltimeriks efolkig vr i 950 på 6 millioer og i 970 på 6 millioer. Dette efolkigstl vokser ekspoetielt. ) Opskriv e forskrift, som giver Ltimeriks efolkig som fuktio f tl år efter 950. ) Hvorår vil der være 000 millioer meesker i Ltimerik?.L Smmehæge mellem itesitete I (målt i W / m ) og ldstrke L (målt i db) for e ldølge er givet ved L = 0 log I + 0 7

38 ) Hvilke ldstrke svrer til e itesitet på 0,00 W / m? ) Hvilke itesitet svrer e ldstrke på 0 db til? c) Med hvor meget vokser ldstrke, hvis itesitete fordoles? 5.L Løs edeståede ligiger: ) (l ) = ) log = log + c) log log = d) (log ) log = 8

39 .5 Fordoligs og hlverigskostt Idefor de ekspoetielle udvikliger er det meget vigtigt t vide, hvor lg tid det tger, før fuktiosværdie er hlveret eller fordolet. Eksempel Hr. H.Ase opdrætter fisk. H hr dgs dto 5000, og udersøgelser viser, t tllet vokser med % om dge. De gler jo godt - de små pus. Efter dg hr h 5000, 0 = 500 fisk Efter dge hr h 5000, 0 = 5606 fisk Efter dge hr h f ( ) = 5000, 0 fisk Hvorår mo h hr doelt så mge fisk - ltså omkrig 0000 fisk? Ld os prøve med 5 dge: Efter 5 dge hr h 5000, 0 5 = 9998 fisk De tid der går idtil h får doelt så mge fisk klder vi fordoligskostte, T. I dette tilfælde er T = 5. D det selvfølgelig er utilfredsstillede t prøve sig frem, så vil vi fide e formel, der k udrege T. Me først e mere geerel defiitio. Defiitio (FS) Fordoligskostte T for e ekspoetielt voksede udviklig er de -tilvækst, der giver e fordolig f fuktiosværdie : f ( + T ) = f ( ) Hlverigskostte T / for e ekspoetielt ftgede udviklig er de -tilvækst, der giver e hlverig f fuktiosværdie : g( + T ) = g( ) / Vi husker på, t de ekspoetielle udviklig f ( ) = er voksede etop hvis > ftgede etop hvis 0 < < 9

40 Sætig (FS) Bevis: ) Ifølge defiitioe f T gælder, t hvis f ( ) =, så f ( + T ) =. Vi dividerer de to ligiger med hide og får f ( + T ) = f @ Ld de ekspoetielle udviklig f være givet ved f ( ) = ) Hvis f er voksede, så er fordoligskostte givet ved T = log log ) Hvis f er ftgede, så er hlverigskostte givet ved log( 0, 5) T / = log + T = + T = T = T log( ) = log( ) T = log log ) evises på smme måde. Eksempel Fr forrige eksempel hvde vi fiskeforskrifte: f ( ) = 5000, 0 Dette er e ekspoetiel udviklig med grudtl =, 0. Vi fider fordoligskostte ved oveståede sætig. 0

41 log( ) T = log(, 0) 5,00 Bemærk, t vi skulle ku vide, hvd grudtllet vr for t kue fide fordoligskostte. Og grudtllet k vi jo fide, re vi keder vækstrte r. Eksempel Doggerke giver 6% i rete om året. Hvis Hr. H. Ase sætter pege id på e koto, hvorår er kotosumme fordolet? Det fås let f sætig efter e udregig f grudtllet: = + r = + 6% = + 0, 06 =, 06 log( ) T =,90 log(, 06) Der går ltså æste år før kotosumme er fordolet. Eksempel I Lkskøig mt flder rejdsløshede med % årligt. Hvorår er rejdsløshede hlveret? Det følger ige let ved rug f sætig, me først skl grudtllet udreges = + r = + ( 0, 0) = 0, 97 log( 0, 5) T / =,76 log( 0, 97) Så efter ku år vil rejdsløshede i Lkskøig mt være hlveret. Opgver.L Fid for edeståede ekspoetielle udvikliger fordoligskostte, hvis der er tle om e voksede fuktio, og hlverigskostte, hvis der er tle om e ftgede fuktio: ) f ( ) =, ) f ( ) = 0, 97 5, 9 c) f ( ) =, 0, 9 d) f ( ) = 0, 9, e) f ( ) =, 6, 00 f) f ( ) =, 6 0, 998

42 .M Rdioktive stoffer heflder ekspoetielt - hermed mees, t hvis f ( t) giver mægde f et rdioktivt stof til tide t, så er f e ekspoetiel udviklig. Dee fuktio f k skrive på flere måder: f ( t) = t eller f ( t) = N e kt 0 - de første skrivemåde foretrækkes t mtemtikere, mes fsikere hælder mere til de de. ) Vis, t de to skrivemåder fktisk er de smme, hvis lot = N 0 og k = l ) Vis, t hlverigstide er givet ved l T / = k.l E ekspoetiel udviklig f hr hlverigskostte, og opflder, t f (, ) =, 6. Bestem e forskrift for f..l E ekspoetiel udviklig g hr fordoligskostte, og opflder g( ) =. Bestem e forskrift for g. 5.L E ekspoetiel udviklig h opflder, t h( 8) = 0 og h( ) = 0. Bestem, ku ved hovedregig, fordoligskostte for h. 6.L De ekspoetielle udvklig k opflder, t k( + 6) = 8 k ( ) uset 's værdi. Bestem fordoligskostte for k ved hovedregig.

43 .6 Ekeltlogritmisk koorditsstem Betrgt grfe for de ekspoetielle udviklig f givet ved f ( ) =, ,5,5,5 0,09 0,75, Grfe vokser ret hurtigt, så de er svær t tege. Edvidere det er svært t se, om det ret fktisk er e grf for e ekspoetiel udviklig. Her k logritmer være ehjælpelige til t lve grfe om til e @ =, 5 log( ) = log(, 5 ) log( ) = log(, 5) + log( ) log( ) = log( ) + log(, 5 ) Det lder til, t log( ) er e lieær fuktio f, med hældige log() og kosttleddet log(,5). Ld os udersøge dette ærmere ved t checke om det u også er e ret liie i et koorditsstem. Først lver vi som ltid et støttepuktsskem, me hvor vi i stedet for ereger log( ) ,5,5,5 log( -,0-0, 0,7 0,8 0,78,08,8,98,8 )

44 Det vr e ret liie! Fktisk gælder der følgede sætig Sætig (LS) ) Ld f være e ekspoetiel udviklig; f ( ) =. Så ligger puktere (,log( f ( )) på e ret liie. ) Ld f være e fuktio, således t puktere (,log( ( )) f ligger på e ret liie. Så er f e ekspoetiel udvikig. Bemærk, t udsget ) er det omvedte udsg til ) Bevis: ) f ( log( f ( )) = log( ) + log( ) log( f ( )) = log( ) + log( ) Dette er jo ligige for e ret liie, hvor hældige er log( ) og skærige med -kse er log( ). ) Hvis lle puktere (,log( f ( )) ligger på e ret liie, så fides der tl α og β, således t log( f ( )) = α + f ( ) = 0 α +

45 @ α f ( ) = ( 0 ) 0 β Sætter vi = 0 α og = 0 β så fås f ( ) = og dette er jo forskrifte for e ekspoetiel udviklig. Sætige k ltså ruges til t fide ud f om e række f pukter (oservtioer) kommer fr e ekspoetiel udviklig. Nu er det ret øvlet t skulle udrege log() til e række pukter. Det fhjælper vi ved t lve -kse om til e log()-kse. Gør m det, får m et ekeltlogritmisk koorditsstem (elk). Ekeltlogritmisk, d det ku er de ee kse, som er logritmisk. E dekde f e såd logritmisk kse er vist ovefor. (E dekde er et itervl, som strækker sig fr f.eks. til 0, 0 til 00, 00 til 000, eller måske fr 0,00 til 0,0). Det specielle ved såde koorditsstemer ligger i, t m u k fsætte smmehørede værdier f og direkte som et pukt, ude først t skulle tge e msse logritmer. Desude fides de fortrkt med tre dekder på ekeltlogritmisk ppir, som lle skoler hr. Nu k m jo udre sig lidt over -kse. Hvorfor ser e logritmisk skl så uderlig ud? Betrgt edeståede pr f koorditkser. 5

46 Lidt forklrig er vist påkrævet. Se først på pr A: Ud for 0 på vestre kse står log() på højre kse Ud for 0.00 på vestre kse står log() på højre kse Ud for 0.77 på vestre kse står log() på højre kse Ud for på vestre kse står log() på højre kse Ud for på vestre kse står log(6) på højre kse Ud for på vestre kse står log(0) på højre kse Det etder, t på højre kse er det ikke tllee selv, me logritmere til tllee der er idteget! Det k du checke ved t udrege log()...log(0). Læg mærke til de specielle mellemrum som opstår på højre kse! Betrgt u pr B: Ud for på vestre kse står log(0) på højre kse Ud for.00 på vestre kse står log(0) på højre kse 6

47 Ud for.77 på vestre kse står log(0) på højre kse Ud for.6006 på vestre kse står log(0) på højre kse Ud for.7785 på vestre kse står log(60) på højre kse Ud for på vestre kse står log(00) på højre kse Bemærk, t u etrgter vi itervllet fr 0 til 00. På højre kse er logritmere idteget, og på vestre kse de rigtige tl. Smmeliger vi med forrige pr, opdger vi, t der er præcis de smme mellemrum, og t de rigtige tl ku dskiller sig ved, t der er lgt til lle tl! Betrgtes pr C k e tilsvrede oservtio ruges, såd t m fktisk er i std til t fsætte tllee fr 00 til 000 på smme kse. Efter t hve lvet tilstrækkeligt med de slgs kser vil de dove, me itelligete mtemtiker drge de koklusio, t lle logrimekser fktisk er es ortset fr e forskdig på, hver gg tllee m fsætter stiger med e 0-potes. H gider derfor ikke lve dette rejde hver gg, me riger til læreres idkøscetrl og estiller 500 stkker logritmeppir! For e ordes skld vil h selvfølgelig eftervise dee oservtio, før h tger de for gode vrer. Altså: log( 0) log( ) = 0 = log( 00) log( 0) = = log( 000) log( 00) = =... log( 0 ) log( 0 ) = ( ) = På de dekde f et logritmeppir, som vi så før, er givet, hvord m fsætter pukter. Som det ses, gøres det ved t idsætte puktere direkte Eksempel Givet: Udviklige de socile og sudhedsmæssige udgifter i periode : Årstl Udgifter (mill. kr) K oveståede eskrives ved e ekspoetiel udviklig? Svr: Afsæt pukter direkte i et ELK. (Se æste side) J, d puktere tilærmelsesvis ligger på e ret liie i et elk følger de tilærmelsesvis e ekspoetiel udviklig. 7

48 Fid: Forskrifte for de ekspoetielle udviklig. Svr: E ekspoetiel udviklig er givet ved forskrifte f ( ) =, hvor vi skl fide og. ( er tl år efter 960 ). Fid to pukter på liie ved flæsig: (, ) = (96,7000) = (,7000) (, ) = (969,8000) = (9,8000) = = , 705 = = Forskrifte er d givet ved f ( ) = 65, 705 8

49 Fid: Giv e progose for udgifte i 980, hvis udviklige fortsætter. Svr: Idsæt årstllet 980 i forskrifte. = = 0 f ( 0) = 65, I år 980 må m ltså forvete, t de socil- og sudhedsmæssige udgifter liver på c. 07 mill. kr. Fid: Fordoligskostte T Svr: Det k gøres på to måder: ) Aflæs to pukter, hvor de ees -værdi er doelt så stor som de de. f.eks. (, ) = (96,9,8000) =(,9,8000) (, ) = (968,,6000) =(8,,6000) T = = 8, -,9 =, ) Brug formle for T : T = log( ) log( ) = log( ) log(, 705), Opgver.L Tg et lmideligt stkke ekeltlogritmisk ppir og iddel -kse, således t de går fr 0, til 00. Iddel -kse, så de går fr -5 til - dvs. cm pr. ehed. Idteg edeståede pukter: A = ( ; 0, ) B = ( ;, ) C = ( 0, ; 0, 5 ) D = (, ; 0, 5 ) E = (, 8 ; 0, 7 ) F = ( 6; 0, 6 ) G = ( 0; ) H = ( 7 ;, ) I = ( 9 ; ) J = ( ; 5 ) K = ( 6, ; 9 ) L = ( 9, 5; 5, 8 ) M = (, ; 8 ) N = ( ; 6 ) Idteg derefter liiestkkere AB, AC, CD, CE, EF, GH, HI, JK, KL, KM og KN. Hvis du hr gjort oveståede rigtigt, så skulle liiestkkere de et ord. Hvilket?.L Prise i øre på cigre Lille Arom i periode er givet edefor: År Pris 58,5 6,0 6,5 69,0 7,0 76,0 80,0 87,0 9

50 ) Gør rede for, t cigr-prise tilærmelsesvist vokser ekspoetielt med tide. ) Fid e forskrift for dee ekspoetielle udviklig. c) Hvor meget koster mo e cigr i 99? d) Bestem, hvor lg tid der går, før cigrprise fordoles..l Atllet f søgere til sgeplejerskole i Hillerød er givet i telle: År Atl ) Udersøg, om tlmterilet edst følger e lieær eller e ekspoetiel udviklig. ) Giv e progose for tllet f søgere i 989..L FId forskrifte for fuktioere f, g og h, hvis grfer er vist edefor. 50

51 .7 Potetiel udviklig Vi vil u etrgte potes-fuktioer og potetielle udvikliger. Defiitio 5 (FS) Ld f hve forskrifte f ( ) = > 0 f kldes e potesfuktio med ekspoete Defiitio 6 (FS) Ld f hve forskrifte f ( ) = > 0 f kldes e potetiel udviklig med ekspoet Eksempel Hvis du hr kørekort, så ved du forhåetligt, t jo hurtigere e il kører, jo lægere er remselægde. Smmehæge er fktisk B = B v hvor v er hstighede og B er remselægde. Dette er e potetiel udviklig, og idet ekspoete er, så k m fktisk se, t hvis hstighede fordoles, så firdoles remselægde ( = ). Vi vil i det følgede fide formler og ligede, som k hjælpe med t ehdle potetielle udvikliger. Nogle f sætigere mider fktisk om tilsvrede sætiger for ekspoetielle udvikliger. 5

52 Sætig 7 (FS) Bevis: Vi strter med t fide formle for : f ( ) = og f ( ) E Ld f være e potetiel udviklig: f ( ) = Ld f ( ) = og f ( ) = Så fides og ved: log log = log log = F HG = og = = I = KJ log( ) = = log( ) log log Formle for er meget lettere: = log log = Eksempel Givet: f er e potetiel udviklig opfldede f ( ) = 5 og f ( 8) = 00 Fid: Forskrifte for f Svr: Af oveståede sætig får vi 5

53 og log = log log log 5 = =, 88, 5 log00 log5 =, 5 log8 log Forskrifte er ltså f ( ) =, 88 5,. Hvor ekspoetielle udvikliger gv rette liier på ekeltlogritmisk ppir, så giver potetielle udvikliger rette liier på doeltlogritmisk ppir: Et doeltlogritmisk koorditsstem (DOLK) er et koorditsstem, hvori egge ksere er logritmiske. Sætig 8 (FS) Bevis: Vi ser ved t tge logritmer, log( ) = log( ) + log( ) Dette eviser sætige egge veje: Fuktioe f er e potetiel udviklig Grfe for f er e ret liie i et doeltlogritmisk koorditsstem Hvis f er e potetiel udviklig, så ligger puktere (log( ),log( )) på e ret liie med hældig og skærig log( ) Omvedt, hvis puktere (log( ),log( )) ligger på e ret liie, så er der tle om e potetiel udviklig. Eksempel 5

54 I telle edefor er givet omløstide T og fstde R til Stur for ogle f Sturs måer. (T er målt i døg og R i Stur-rdier). Måe T R Eceldus,7,9 Teths,89,9 Dioe,7 6, Rhe,5 9,7 Tit 5,95 0, Hperio,8,5 Ipetus 79, 58,9 K oveståede eskrives ved e potetiel udviklig? J, plotter m T d -kse og R d -kse i et DOLK, så får m e ret liie. (Se æste side). Forskrifte for de potetielle udviklig fides: Puktere (, ) = ( ; 5, ) og (, ) = ( 5; 0) flæses på selve liie. Sætig 7 fortæller u, t log log log0 log 5, = = 0, 698 log log log5 log og 5, = =, 0, 698 Ergo er smmehæge mellem T og R givet ved 0, 698 R =, T 5

55 Givet: Stur-måe Phoee hr omløstide 550,5 døg. Fid: Afstde fr Phoee til Stur. Svr: Vi idsætter T = 550, 5 i oveståede smmehæg og får 0, 698 R =, 550, 5 07, 9 Phoee efider sig ltså c. 07,9 Stur-rdier fr Stur. 55

56 Opgver.L Tg et stkke DOLK-ppir, og iddel -kse i dekdere og -kse i dekdere 0, Idteg derefter puktere A = ( ; ) B = ( 5; 0 ) C = ( 0; 66 ) D = (, ; ) E = ( 7, 8 ; 9 ) F = ( 8; 6 ) G = (, 8 ; 7 ) H = ( 0 ; ) I = ( ; ) J = ( 9 ; ) K = ( 6; 6, 8 ) L = ( ; 9 ) M = ( 56; 5, 6 ) N = ( 95;, ) P = ( 8; 0, 8 ) Q = ( ;, ) R = ( ;, 9 ) Idteg edelig liiestkkere AB, BC, BE, DE, EF, GH, HI, GJ, HK, IL, MN, NP, PQ og QR. Herved des der et ord - hvilket?.l Hvilke f edeståede fuktioer hr e grf, som er e ret liie i ) et lmideligt koorditsstem? ) et ekeltlogritmisk koorditsstem? c) et doeltlogritmisk koorditsstem? f ( ) = g( ) = h( ) = i( ) = 7 j( ) = 5 k ( ) = 5 l( ) = m( ) = 5 ( ) = (For lle fuktioer gælder det, t > 0 )..L Telle edefor viser ogle fuktiosværdier for e fuktio f: 0, 0,5 7 8 f(),7 7,9 Gør rede for, t f tilærmelsesvist er e potetiel udviklig, og fid e forskrift for f..m Lv e tel, som smmeliger de forskellige egesker og formler for lieære fuktioer, ekspoetielle og potetielle udvikliger. Telle skl ideholde forskriftere, iformtioer om fuktioeres grfer, formler til estemmelse f og smt oplsiger om, hvorår fuktioe er voksede eller ftgede. 56

57 5.M E størrelse k vokse på to forskellige måder: plusvækst og ggevækst. Der er tle om plusvækst, år e størrelse vokser ved t m dderer størrelse med oget, mes der er tle om ggevækst, år m gger størrelse med oget. ) Ld fhæge lieært f, dvs. der fides tl og, således t = + Vis, t hvis vokser med plusvækst, så vokser også med plusvækst. ) Ld fhæge ekspoetielt f, dvs. =. Vis, t hvis vokser med plusvækst, så vokser med ggevækst. c) Ld fhæge potetielt f, dvs. =. Vis, t hvis vokser med ggevækst, så vokser med ggevækst. 6.M E logritmisk udviklig er e fuktio f f forme f ( ) = log + ) Vis, t ehver logritmefuktio er e logritmisk udviklig med = 0. ) Vis, t e logritmisk udviklig lver ggevækst til plusvækst. c) Bevis følgede: Hvis f er e logritmisk udviklig: f ( ) = log +, og tg, t f ( ) = og f ( ) =, så gælder, t = log log og = log d) Bevis, t grfe for e fuktio f er e ret liie i et omvedt ekeltlogritmisk koorditsstem, hvis og ku hvis f er e logritmisk udviklig. (Et omvedt ekeltlogritmisk koorditsstem er et koorditsstem med logritmisk -kse og lmidelig -kse.) 7.L Nedefor er vist grfere for fuktioere f, g og h. Bestem e forskrft for disse fuktioer. 57

58 .8 Bldede opgver.m E ekspoetielt voksede størrelse forøges med 50% på år. ) Bestem fordoligstide. ) Bestem de procetvise forøgelse over 6 år..m Om e ekspoetielt ftgede fuktio f oplses, t f ( ) = 80, og t f ( ) liver 0% midre, år øges med. ) Teg grfe for f i et ELK. ) Bestem hlverigskostte for f..m Nedefor er vist grfere for de ekspoetielle udvikliger f, g, h og i. Bestem forskriftere for disse fire fuktioer. 59

59 .M For e ekspoetiel udviklig f gælder det, t fuktiosværdie f ( ) øges med 70%, år får e tilvækst på 0. Bestem fordoligstide. 5.M Nedefor er vist grfe for e stkkevis ekspoetiel udviklig. Bestem forskrifte. 6.M E ekspoetielt ftgede fuktio hr forskrifte f ( ) =. ) Bereg og, år det oplses, t f ( ) = og f ( 7) = 0, 9. ) Bestem hlverigskostte for f med decimler. 60

60 7.M Om e ekspoetielt voksede fuktio f oplses det, t f ( ) =, og t fordoligskostte er 7. ) Teg grfe for f i et ELK. ) Bestem f ( 7 ) 8.M I et ELK er givet puktere A = ( ; ), B = ( 6; 6 ) og C = ( ; 0 ). De rette liie geem A og B er grfe for e ekspoetielt voksede fuktio f. ) Bestem fordoligskostte for f. De rette liie geem B og C er grfe for e ekspoetielt ftgede fuktio g. ) Bestem hlverigskostte for g. 9.M Bestem løsige ( dec.) til ligige, 7 0, 8 =, 0.M Om e ekspoetielt voksede fuktio f gælder, t f ( ) = og f ( ) = ) Bestem f ( 7 ) og f ( ). ) Bestem fordoligskostte for f..m I Tidsskrift for Ldøkoomi r., 986, k m læse, t fvdrige fr ldruget idefor de sidste hlve ses år hr våret på % om året. ) Bestem de procetvise fvdrig pr. tiår. ) Bestem hlverigstide for tllet f eskæftigede ved ldruget svrede til e fvdrig på % om året..m Når m drker idræt i jergee, k de tde luft være et prolem, idet luftes idhold f ilt ftger med højde. Luftes idhold f ilt k måles ved ilttrkket. Telle viser smmehæge mellem ilttrk og højde over hvoverflde. Højde er givet i meter, ilttrkket i mmhg. Højde Ilttrk ) Gør rede for, t illtrkket tilærmelsesvist er e ekspoetielt ftgede fuktio f højde over hvoverflde. ) Bestem ilttrkket i højde 50 m over hvoverflde. c) Bestem de højde, i hvilket ilttrkket er hlvt så stort som ved hvoverflde. 6

61 .M E ekspoetielt voksede fuktio f med fordoligskostte 5 opflder, t f ( ) =. ) Bestem f ( ) og f ( 0 ) ) Løs ligige f ( ) = 0.M E potetiel udviklig f opflder, t f ( ) = 8 og f ( ) = 8 ) Bestem e forskrift for f. ) Bestem f ( 7 ) og f ( 0, 8 ) c) Løs ligige f ( ) =. 5.M E fuktio f opflder f ( ) = 7, og f ( ) =, Bestem f (, ), år det oplses, t ) f er e lieær fuktio ) f er e ekspoetiel udviklig c) f er e potetiel udviklig. 6.M I oge Elektriske istlltioer f E. Hviid Christese fides edeståede tel over smmehæge mellem elektriske pærers effektforrug, målt i Wtt, og deres lsstrøm, målt i lume. Effekt Lsstrøm ) Gør rede for, t lsstrømme som fuktio f effektforruget med tilærmelse k eskrives ved e fuktio f forme f ( ) = ) Bestem tllee og. c) Med hvor mge procet øges lsstrømme, år effektforruget fordoles? d) Med hvor mge procet skl effektforruget forøges, hvis lsstrømme øskes fordolet? 7.M Uder pssede omstædigheder k opløsig f sukker i vd eskrives ved, t de uopløste sukkermægde ftger ekspoetielt med tide. Af e opridelig mægde på 00 grm sukker opløses de 00 grm i løet f miutter. Hvor lg tid vrer det, ide 80 grm f de opridelige 00 grm er opløst? 8.M Idholdet f et rdioktivt stof i et præprt ftger ekspoetielt med tide med e hlverigstid på 8 0 8, år. 6

62 ) Bestem, hvor mge procet f det opridelige idhold, der er tilge f det rdioktive stof efter 8, år. ) Bestem, hvor lg tid, der går, før idholdet f det rdioktive stof er ået ed på 0% f de opridelige værdi. 9.M Nedefor er vist grfere for fire fuktioer f, g, h og i. Bestem forskriftere. 0.M Et frsevrefirm hr fudet ud f, t holdrhede f pommes frites er 500 døg ved 0 C og 00 døg ved 6 C. Det vides, t holdrhede er e ekspoetielt ftgede fuktio f opevrigstemperture. 6

63 ) Teg i et ELK grfe for dee fuktio. ) Bestem holdrhede f pommes frites, der opevres ved 5 C i et kølesks frostrum. c) Ved hvilke opevrigstempertur hr pommes frites e holdrhed på 50 døg? d) Hvor mge grder skl opevrigstemperture sækes, for t holdrhede fordoles?.s Nedeståede tel viser for e række pttedr smmehørede værdier f legemsvægte M målt i kg og iltforrug V i liter ilt pr. time. Dr M V mus 0,05 0,0 rotte 0,90 0,5 hud,7,87 md 70,76 hest 650 7,0 eleft 8 68,00 ) Idteg smmehørede værdier f log M og logv i et lmideligt koorditsstem. ) Gør rede for, t logv med god tilærmelse k eskrives som e lieær fuktio f log M, og estem e forskrift for dee fuktio. c) Gør rede for, t svret til opgve ) viser, t V fhæger potetiel f M, og fid dee smmehæg. d) Forudsig iltforrug for e hvl med msse 0 tos og e spidsmus med msse g. e) Ved itesitete f et pttedrs stofskifte forstår det iltforrug pr. kg. legemsvægt. Gør rede for, t jo større et pttedr er, jo midre er itesitete f dets stofskifte..m Nedrdige f giftstoffet DDT i ture k eskrives ved e ekspoetiel udviklig med hlverigstid år. ) Hvor mge procet f stoffet edrdes på et år. ) Hvor lg tid går der, for e give mægde DDT er edrudt til 5% f de opridelige mægde? 6

64 .M Nedeuder er vist grfe for e stkkevis potetiel fuktio. ) Bestem e forskrift for dee fuktio f. ) Løs, gere grfisk, ligige f ( ) =,.M Når ls hr psseret e vdoverflde og derefter går ed geem vdet, vil itesitete I ( ) f lset ftge med de vejlæge (målt i meter), som lset hr tilgelgt i vdet. Idet I( 0 ) eteger itesitete umiddelrt uder vdoverflde, er forholdet mellem I( 0 ) og I ( ) givet ved 65

65 I ( ) I( 0 ) = e k hvor k er e kostt, der fhæger f lsets frve. For rødt ls er k = 0, 9 og for låt ls er k = 0, 06 (k måles i m ). ) Med hvor mge procet er itesitete f rødt ls fldet, år lset er ået ed i e dde f 5 meter, og ) lset går lodret ed geem vdet? ) lsstråle der e vikel på 0 med lodret? ) Bestem de vejlægde, som rødt ls hr tilgelgt i vdet, år itesitete er hlveret. c) Bestem de dde, hvor itesitete f rødt ls er 0% f itesitete f låt ls, år itesitetere f de to frver ls er es ved vdoverflde, og lsstrålere går lodret ed geem vdet. 5.M Når et sigl sedes geem et kel, så vil det svækkes. Kldes itesitete f det udsedte sigl for I og itesitete f det modtge sigl for I, er sigltet D i klet estemt ved F I D = H G I 0log IKJ Sigltet gives i ehede deciel (db). ) For c. 5 år side kue m fremstille lslederkler, hvor itesitete f det modtge sigl vr 0% f det udsedte sigl i et kel på 0m. Bestem sigltet i et sådt kel. ) I 970 kue m fremstille lslederkler, hvor sigltet vr 0, db i et kel på 0 meter. Hvor mge procet t det opridelige sigls itesitet udgjorde det modtge sigl geem et sådt kel?. c) I dg fremstilles kler, hvor itesitete f det modtge sigl er % f itesitete f det udsedte sigl i et kel på 0 km. Det oplses, t sigltet i et kel er proportiolt med klets lægde. Hvor mge procet udgør itesitete f det modtge sigl f itesitete f det udsedte sigl i et sådt kel, år dets lægde ku er 0 meter? 6.S Oprideligt lev logritmer idført f skotte Joh Npier i 6 som et regetekisk hjælpemiddel. Det vr emlig lettere t fide logritme i e tel til to tl, ddere disse logritmer og tge de såkldte tilogritme 66

66 (ep 0 ) (ige i e tel), ed t udrege produktet f de to tl. De relevte formel er = ep 0 (log + log ) ) Bevis dee formel. Teoretiske overvejelser viser, t de hstighed, hvormed m k lægge to -cifrede tl smme, er proportiol med, mes tide for t multiplicere to -cifrede tl er proportiol med. Du skl u udersøge, om dette psser. I skl rejde smme to og to. De ee er tidtger, mes de de reger edeståede stkker ud ude rug f lommereger. Bgefter tter I roller. Idfør resulttere i et pssede skem. (Der skl reges stkker ud f hver tpe - dette er for t forøge øjgtighede f tidstgige.) Additio = : = : = : = : = 5 : Multipliktio = : = : = : = : = 5 : ) Idteg die tider for dditio og for multipliktio i et DOLK. c) Psser de teoretiske forudsigelser ovefor? d) Hvor lg tid vil det tge dig t ) ddere to 00-cifrede tl? ) multipliceret to 00-cifrede tl? 67

67 Fcitliste Sektio 0: : 07 korfrø : c., kg Sektio : : , : 0,00 0,065 0,0080 0,0909 c: 5,6,607,607,565 d: 0,57 5,976 7, ,8 0,979 e: 8 0, : : : 5 c: 5 d: 5 e: f: g: h: 5 6 i: 5 j: k: l: m: 7 5 : 5: % etder, t udtrkket ikke er defieret. : : % c: d: % e: f: % g: h: i: - j: % k: % m: : 0 o: 0 p: / q: % 6: : ( ) / / / / / = : = c h c: m ( ) ( / m = ) d: ( ) / = 7: : : 6 c: 9 d: /9 e: 8 f: g: / h: i: j: 8 k: l: m: : 096 (= ) o: p: 8: : 6 : 8 c: π / d: 7/ 9: 6 5 : : c: d: 7/ e: 79/ 6 f: g: / 7/ 0: : : c: 5 d: 5 5 e: 5 f: 0 : : 9 : c: 5 d: 6 e: f: g: 5 h: i: p j: q 6 k: l: m: - : 9 q o: p: 7 q: r: s: e t: 0 u: 7 v: w: : : 0 5 z: p 7 : : 5 : 6 5 c: 7 5 d: 8 8 e: f: ( tu) 8 g: h: 0 i: 6 j: k: 7 l: 7 m: 8 : 0 6 o: p: q: 5 r: ( / ) 5 s: 8 t: 6 6 u: v: ( / ) w: : e j z: 7 z : : : 6 : c: d: e: / 5 f: g: 0 6 h: 5 i: 8 j: e 7 k: 0 6 l: 6 : : : c: d: e: / 68

68 f: g: h: i: 8 j: 60 k: l: 6 5: : : 5 5 z e: p+ 6 p c: d d: Sektio : : : c, d : e 5: ep ( m) ep ( ) = ep ( m + ) (ep ( m)) = ep ( m ) ep ( m) = ep ( m ) ep ( ) ep ( ) = ep ( ) ep ( ) ep ( ) = ep ( ) ep ( ) 6: : : c: 5 d: 0 e: f: 6 Sektio : : : 9,6 mi. c: 06 d: 9,5 % : : f ( ) =, 007, 579 : f ( ) = 75, 09, c: f ( ) =, 6 0, 809 d: f ( ) = 6 e: f ( ) = 6, 599 f: f ( ) = 0, 00705, g: f ( ) =, 906, 9 : : f ( ) = 9,, 05, er tl år efter 965 : 70, mill c:,5 % d: 8,9 % 5: : f ( ) = 00, : 00,95 kr. c: 0,99% d:,68 % 6: Tjh - et rigtigere elø ville være 89, kr. 7: : f ( ) = 09 0, 9777, er tl år efter 97 :, % c: 76 69

69 Sektio : : : log : 0log c: l p d: 6log e: log f: l0 g: log5 : : log : log c: log 5 d: log e: log f: 7 l g: log h: log i: l l j: 6 5 : : f ( ) = 6, 0 : 07 : : 90 db : W / m c:,0 db 5: : e, e : 0, c: 0 d: 0,097 ;,987 Sektio 5: : : T =, 69 : T = 0, 0 c: T / = 6, 5788 d: T = 6, 6 e: T = 69, 9 f: T = 6 69 /, : f ( ) =, , 708 : g( ) = 0, 7, : 6: Sektio 6: : ELK : : er tl år efter 970, f ( ) = 58, 06 c: 8 øre d:,5 år : : ekspoetiel udviklig : c. 00 søgere : f ( ) = 5, 070, 585 g( ) =, 78 0, 8909 h( ) = Sektio 7: : HEJ : : g, m : i, j, m c: f, h, k, m, : 0, f ( ) = 5, 7: f ( ) =,, g( ) = 0 h( ) =, 70

70 Kpiteloversigt Potesregeregler + = = = = ( ) = = ( ) = 0 = = F = H G I K J Ekspoetilfuktioer f ( ) = > 0, R Ekspoetiel udviklig f ( ) = > 0, > 0, R Hvis f ( ) = og f ( ) =, så = og = Fordoligstide: Hlverigstide: T T / = log log log = log E ekspoetiel udviklig giver e ret liie i et ekeltlogritmisk koorditsstem (ELK). 7

71 Potetiel udviklig f ( ) = > 0, > 0 Hvis f ( ) = og f ( ) =, så log log = og log log = E potetiel udviklig giver e ret liie i et doeltlogritmisk koorditsstem (DOLK). Logritmer = ep ( ) = log ( ) log ( ) = 0 log ( ) = log ( ) = log ( ) + log ( ) log ( ) = log ( ) log ( ) = log ( ) log ( ) log ( ) = log ( ) log 0 ( ) log ( ) = log ( ) 0 log( ) = log 0 ( ) l( ) = log e ( ) (e, ) 7