Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk
Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen 207. Noterne indeholder kernestoffet og lidt til. Noterne ygger på ideen om stmfunktioner, så et kendsk til differentilregning er en nødvendighed. Disse noter er skrevet til mtemtikundervisning på stx og må frit nvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vh. tekstformteringsprogrmmet LATEX, se www.tug.org og www.miktex.org. Figurer og digrmmer er fremstillet i pgf/tikz, se www.ctn.org/pkg/pgf. Disse og ndre noter kn downlodes fr www.mthemticus.dk. Mike Vndl Auerch, 209 209 Mike Vndl Auerch. Mterilet er udgivet under en»kreditering-ikkekommerciel-delpåsmmevilkår 4.0 Interntionl«- licens (CC BY-NC-SA 4.0).
Indhold Stmfunktioner 5. Det uestemte integrl.................................... 7.2 Regneregler.......................................... 7.3 Integrtion ved sustitution................................. 9.4 Øvelser............................................. 2 Bestemte stmfunktioner 3 2. Hvis grfen går gennem et givet punkt........................... 3 2.2 Hvis grfen hr en given tngent.............................. 4 2.3 Øvelser............................................. 6 3 Bestemte integrler 7 3. Areler under grfer...................................... 8 3.2 Areler mellem grfer..................................... 2 3.3 Øvelser............................................. 24 4 Flere nvendelser for estemte integrler 27 4. Middelværdi for en funktion................................. 27 4.2 Kurvelængder......................................... 28 4.3 Rumfnget f et omdrejningslegeme............................. 29 4.4 Overflderelet f et omdrejningslegeme.......................... 30 4.5 Øvelser............................................. 32 3
Stmfunktioner Integrlregning er en gren f mtemtikken, der ligger i forlængelse f differentilregningen. På sin vis kn mn sige, t integrlregning er præcis det modstte f differentilregning. I differentilregningen finder mn såkldte fledte funktioner, som eskriver tngenthældningen f grfen for den oprindelige funktion. Regner mn»den nden vej«, finder mn det, mn klder en stmfunktion. Mn hr følgende definition. Definition. Ld der være givet en funktion f. En funktion F, der opfylder kldes en stmfunktion til f. F (x) = f (x), En stmfunktion F til en funktion f er ltså en funktion, der hr f som fledt funktion. At undersøge om en given funktion er stmfunktion til en nden, kn mn derfor gøre ved t differentiere. Eksempel.2 Er F(x) = x 3 + 2x 5 en stmfunktion til f (x) = 3x 2 + 2? Dette kn mn undersøge ved t differentiere F: Ofte etegner mn stmfunktioner med store ogstver, sådn t f.eks. en stmfunktion til f (x) kldes F(x) og en stmfunktion til h(x) kldes H(x). I princippet kn mn klde stmfunktionerne det, mn vil, men det er lettere t se, hvor de kommer fr, hvis mn nvender denne nottion. F (x) = 3x 2 + 2 0 = 3x 2 + 2. Når mn differentierer F, får mn forskriften for f. Dvs. F (x) = f (x) og F er derfor en stmfunktion til f. Eksempel.3 Er H(x) = 4x + ln(x) en stmfunktion til g(x) = 2x + x? Differentierer mn H(x) finder mn H (x) = 4 + x = 4 + x. Dette er ikke det smme som g(x), dvs. H er ikke en stmfunktion til g. Eksempel.4 Både F (x) = x 2 + e x + 4 og F 2 (x) = x 2 + e x 7 er stmfunktioner til f (x) = 2x + e x. Differentierer mn de to funktioner F og F 2, finder mn nemlig F (x) = 2x + e x + 0 = 2x + e x 5
6 Stmfunktioner F 2(x) = 2x + e x 0 = 2x + e x. Altså er F (x) = F 2(x) = f (x) og egge de to funktioner er ltså stmfunktioner til f. Af eksempel.4 kn mn se, t en funktion kn hve flere stmfunktioner. De to stmfunktioner i eksemplet er dog ikke specielt forskellige. De dskiller sig kun med en konstnt. Fktisk er grunden til, t en funktion kn hve flere stmfunktioner, t når mn differentierer en konstnt, får mn 0, unset konstntens størrelse. Det etyder, t mn ltid kn finde en ny stmfunktion ved t lægge en konstnt til en nden stmfunktion, idet en konstnt, som er lgt til, forsvinder ved differentition. Sætning.5 Hvis F (x) og F 2 (x) egge er stmfunktioner til en funktion f, så er hvor k er en konstnt. F (x) F 2 (x) = k, 2 I udregningen ruger mn, t åde F og F 2 er stmfunktioner til f, dvs. F (x) = f (x) og F 2(x) = f (x). Bevis D åde F (x) og F 2 (x) er stmfunktioner til f, så er 2 (F (x) F 2 (x)) = F (x) F 2(x) = f (x) f (x) = 0. Differentierer mn differensen F (x) F 2 (x) får mn ltså 0. Det eneste, der giver 0, når mn differentierer, er en konstnt, og derfor må F (x) F 2 (x) = k, hvor k er en konstnt. Det sætning.5 siger, er ltså, t en given funktion godt nok hr uendeligt mnge stmfunktioner, men t de lle kn findes ved lot t lægge forskellige konstnter til en nden stmfunktion. Eksempel.6 F(x) = x 2 + ln(x) er en stmfunktion til f (x) = 2x + x, fordi F (x) = 2x + x = f (x). Men så er F (x) = x 2 + ln(x) + 3 F 2 (x) = x 2 + ln(x) 4 F 3 (x) = x 2 + ln(x) + 365 749 også stmfunktioner til f (x).
. Det uestemte integrl 7. Det uestemte integrl At eregne stmfunktionerne til en funktion f (x) kldes t integrere f (x). Mn hr følgende definition. 3 Definition.7 Ld f være en given funktion. Det uestemte integrl f f (x) er mængden f lle stmfunktioner til f (x). Det skrives 3 Nottionen dx etyder, t mn integrerer det, som står mellem og dx. Symolet dx er ltså ikke en mtemtisk størrelse. Det viser lot, hvor det der skl integreres slutter, og t den ufhængige vriel hedder x. f (x) dx. Funktionen f (x) kldes integrnden. At f (x) dx er mængden f lle stmfunktioner 4 viser mn ved t inkludere en konstnt i resulttet f eregningen. Eksempel.8 Her estemmes (2x + 3) dx. (2x + 3) dx = x2 + 3x + k. x 2 + 3x er en stmfunktion til 2x + 3 og konstnten k viser, t mn her hr fundet frem til lle stmfunktioner. Konstnten k i eksempel.8 kldes en integrtionskonstnt. Tel. viser de uestemte integrler for en række simple funktioner. Hvis mn vil overevise sig om, t påstndene i tellen er korrekte, kn mn differentiere den højre kolonne og se, t det giver den venstre..2 Regneregler Ligesom der findes regneregler for differentition, findes der også nogle regneregler for uestemte integrler. Sætning.9 Ld f være en funktion og c en vilkårlig konstnt. D gælder 4 I nogle gennemgnge f integrlregningen sættes der lighedstegn mellem nottionen F(x) for en stmfunktion og f (x) dx. Her vil F(x) dog live nvendt for t vise, t mn hr t gøre med en konkret stmfunktion til f (x), mens f (x) dx er lle stmfunktionerne. Tel.: Uestemte integrler f nogle simple funktioner. f (x) f (x) dx x + k x 2 x2 + k x 2 3 x3 + k x n n+ xn+ + k x e x e x cos(x) sin(x) ln(x) + k e x + k ex + k sin(x) + k cos(x) + k c f (x) dx = c f (x) dx. Bevis Hvis mn differentierer højre side f udtrykket i sætningen, får mn ( c f (x) dx ) = c ( f (x) dx ) = c f (x). Det første lighedstegn følger f en regneregel for differentition. Det ndet følger f, t f (x) dx er stmfunktionerne til f.
8 Stmfunktioner Mn hr nu vist, t c f (x) dx er stmfunktionerne til c f (x), men det etyder t c f (x) dx = c f (x) dx, og sætningen er dermed vist. Sætning.9 kn ruges til estemme integrler f funktioner, der ikke står i tel.. Eksempel.0 Hvd er 6x 2 dx? 6x 2 står ikke i tel., men x 2 gør. Mn kn derfor ruge sætning.9, så mn får 6x2 dx = 6 x 2 dx = 6 3 x3 + k = 2x 3 + k. De næste to regneregler, der er vigtige t kende, er disse. Sætning. Ld f og g være to funktioner. Så gælder der. (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + 2. (f (x) g(x)) dx = f (x) dx g(x) dx, g(x) dx. Bevis Her evises kun den første del f sætningen. Den nden del forløer fuldstændig nlogt. Idet ( f (x) dx + g(x) dx ) = ( f (x) dx ) = f (x) + g(x), + ( g(x) dx ) er f (x) dx + g(x) dx en stmfunktion til f (x) + g(x), dvs. (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx, og sætningen er hermed vist. Eksempel.2 Hvd er (e x + x)dx? e x + x står ikke i tel., men e x og x står der hver for sig. Derfor kn mn ruge sætning., sådn t mn får (ex + x)dx = e x dx + x dx = e x + 2 x2 + k. Sætning.9 og sætning. kn også ruges på smme tid, som i dette eksempel.
.3 Integrtion ved sustitution 9 Eksempel.3 Det uestemte integrl (9x 2 + 4x 3) dx estemmes på følgende måde: (9x2 + 4x 3) dx = 9 x 2 dx + 4 x dx 3 dx = 9 3 x3 + 4 2 x2 3 x + k = 3x 3 + 2x 2 3x + k. Undervejs enyttes åde sætning.9 og sætning. smt opslg i tel...3 Integrtion ved sustitution Den følgende regneregel kn måske virke en nelse kompliceret ved første øjekst. Sætning.4 Ld f og u være to funktioner. Så er hvor F er en stmfunktion til f. f (u(x)) u (x) dx = F(u(x)) + k, Regnereglen følger fktisk f kædereglen for differentition f smmenstte funktioner, og den evises ved t differentiere højre side f udtrykket i sætningen. Bevis Differentierer mn F(u(x)) + k får mn vh. kædereglen, t 5 (F(u(x)) + k) = F (u(x)) u (x) = f (u(x)) u (x). 5 Det første lighedstegn følger f kædereglen, det sidste følger f, t F er en stmfunktion til f. Altså er F(u(x)) + k stmfunktionerne til f (u(x)) u (x), og sætningen er vist. Sætning.4 kn nvendes på følgende måde. Eksempel.5 Her eregnes det uestemte integrl 3e x (e x + 5) 2 dx. Først sættes u(x) = e x + 5. Så er u (x) = e x og integrlet kn omskrives på følgende måde 3ex (e x + 5) 2 dx = 3u (x) u(x) 2 dx = 3u(x) 2 u (x) dx. Mn kn nu ruge sætning.4, hvor funktionen f (u(x)) er 3u(x) 2. En stmfunktion til 3u 2 er u 3, dvs. 3u(x)2 u (x) dx = u(x) 3 + k = (e x + 5) 3 + k. Det sidste lighedstegn følger f, t u(x) vr st lig med e x + 5.
0 Stmfunktioner I eksemplet ovenfor ersttter mn udtrykket e x + 5 med u, mn tler om, t mn sustituerer. Fremgngsmåden kldes derfor også integrtion ved sustitution. En lidt mere uformel, men måske mere overskuelig måde t skrive det op på er den følgende. 6 Nottionen du kn ses som en forkortelse for u (x) dx. Eksempel.6 Her eregnes igen det uestemte integrl 3e x (e x + 5) 2 dx. Først sættes u = e x + 5. Herved liver 6 du = e x dx. Sustituerer mn nu u og du ind i integrlet, får mn 3ex (e x + 5) 2 dx = 3(e x + 5) e x dx = 3u 2 du. Dette integrl kn nemt eregnes ved opslg, og mn får så 3u2 du = u 3 + k = (e x + 5) 3 + k, hvor mn ved det sidste lighedstegn hr sustitueret u tilge til e x + 5. Eksempel.7 Integrlet 2 ln(x) x dx estemmes ved t sætte u = ln(x), du = x dx. Integrlet kn nu eregnes ved sustitution 2 ln(x) x dx = 2 ln(x) x dx = 2u du = u2 + k. Beregner mn integrlet og sustituerer tilge, får mn 2u du = u2 + k = ln(x) 2 + k. De næste to eksempler involverer de trigonometriske funktioner cos og sin. Deres uestemte integrler kn ses i tel.. Eksempel.8 I dette eksempel estemmes integrlet 6x cos(x 2 ) dx. Sætter mn liver integrlet til u = x 2, du = 2x dx, 6x cos(x2 ) dx = 3 cos(x 2 ) 2x dx = 3 cos(u) du = 3 sin(u) + k. Nu mngler mn lot t indsætte u = x 2, og mn får 6x cos(x2 ) dx = 3 sin(x 2 ) + k.
.4 Øvelser Det sidste eksempel i dette fsnit er en smule mere kompliceret end de ndre. Her eregnes tn(x) dx. Eksempel.9 tn(x) dx står ikke i tel.. Integrlet kn lligevel eregnes, hvis mn husker, t tn(x) er defineret som tn(x) = sin(x) cos(x), dvs. Foretger mn nu sustitutionen kn mn skrive integrlet om til tn(x) dx = sin(x) cos(x) dx. u = cos(x), du = sin(x) dx, sin(x) cos(x) dx = cos(x) ( sin(x)) dx = u du. Dette integrl er nemt t eregne. En stmfunktion til u dvs. du = ln(u) + k. u Sustituerer mn tilge, finder mn så, t er nemlig ln(u), tn(x) dx = ln(cos(x)) + k..4 Øvelser Øvelse. Funktionerne f og g er givet ved ) f (x) = x 2 + ln(x) + 5 og g(x) = 2x + x. Undersøg, om f (x) er en stmfunktion til g(x). Øvelse.2 Funktionerne f og g er givet ved ) f (x) = x 3 4e x 7 og g(x) = x 2 + 4e x. Undersøg, om f (x) er en stmfunktion til g(x). Øvelse.3 Bestem følgende uestemte integrler: ) 7 dx. ) (2x 3) dx. c) (x + 4x 2 ) dt. d) ( x x5 + ) dx. Øvelse.4 Bestem de følgende uestemte integrler: ) 6t dt. ) (9u2 sin(u)) du. c) 6 y dy. d) ( x 2 + x 3 ) dx. Øvelse.5 Bestem nedenstående integrler ved først t omskrive integrnden. ) (x + 3)2 dx ) x + 4x3 c) x 2 dx d) x(x ) dx (x + 3) (x 3) dx e) e3x (2 + e 3x ) dx f) + ex e x dx
2 Stmfunktioner Øvelse.6 Bestem følgende integrler ved sustitution: Øvelse.7 Bestem følgende integrler ved sustitution: ) e x x dx ) x ln(x) dx ) e x e x + dx ) sin(x)3 cos(x) dx c) x2 e 2x3 dx c) (x2 x + )(2x ) dx d) ln(x) x dx d) 0z 5 z 2 z + 4 dz
Bestemte stmfunktioner 2 I det foregående kpitel lev det gennemgået, hvordn mn finder det uestemte integrl f en funktion. Det uestemte integrl er mængden f lle stmfunktioner. At der er flere stmfunktioner, skyldes som nævnt t den fledte funktion f en konstnt er 0. Leder mn efter en estemt stmfunktion, skl mn derfor hve flere oplysninger end lot en funktionsforskrift på den funktion, mn vil finde stmfunktionen til. Den yderligere oplysning, mn skl hve, kn være. Et punkt, som stmfunktionens grf går gennem. 2. Ligningen for en tngent til stmfunktionens grf. 2. Hvis grfen går gennem et givet punkt Idet lle stmfunktionerne til en given funktion kun dskiller sig med en konstnt, vil grferne for lle stmfunktionerne være lodrette prllelforskydninger f hinnden. Kender mn derfor et punkt, som grfen for den søgte stmfunktion går igennem, kn mn fstlægge værdien f integrtionskonstnten k. Derved finder mn en gnske estemt stmfunktion. Eksempel 2. Her estemmes den stmfunktion F(x) til f (x) = x 3 +2x, hvis grf går gennem P(2; 0). Først sættes F(x) lig med det uestemte integrl f f (x): P(2; 0) F(x) = (x 3 + 2x ) dx = 4 x4 + x 2 x + k. 5 Den søgte stmfunktion F(x), er den stmfunktion, der hr en helt estemt værdi f k nemlig den værdi, der gør, t grfen går gennem P(2; 0). () På figur 2. kn mn se et udsnit f lle stmfunktionerne til f. Den stmfunktion, som går gennem P(2; 0), er den mn skl finde forskriften til. Mn ved, t stmfunktionen hr forskriften F(x) = 4 x4 + x 2 x + k. Mn ved også, t grfen for F går gennem punktet P(2; 0). Hvis det er tilfældet, må F = 0, og det giver ligningen F = 4 24 + 2 2 2 + k = 0. Figur 2.: Et illede f lle stmfunktionerne til f (x) = x 3 + 2x. 3
4 Bestemte stmfunktioner Løser mn denne ligning får mn 4 24 + 2 2 2 + k = 0 k = 4. Nu kn mn skrive forskriften op: F(x) = 4 x4 + x 2 x + 4. Den stmfunktion til f (x), hvis grf går gennem punktet P(2; 0) hr ltså denne forskrift. Eksempel 2.2 Hvilken stmfunktion til g(x) = e x 3x hr en grf, der går gennem punktet Q(0; 7)? Stmfunktionen hr forskriften G(x) = (e x 3x) dx = e x 3 2 x2 + k. Idet grfen for G går gennem Q(0; 7) er G(0) = e 0 3 2 02 + k = 7. Ligningen løses e 0 3 2 02 + k = 7 0 + k = 7 k = 8. Den søgte stmfunktion hr derfor forskriften G(x) = e x 3 2 x2 8. 2.2 Hvis grfen hr en given tngent 2 () Figur 2.2: Stmfunktionerne til f (x) = 4 x smt linjen med ligningen y = 4x +. Hvis mn kender en tngent til stmfunktionens grf, er det også muligt t estemme stmfunktionens forskrift. Eksempel 2.3 I dette eksempel estemmes den stmfunktion til f (x) = 4 x, hvis grf hr linjen med ligningen y = 4x + som tngent. Stmfunktionen kldes F(x). Dens forskrift er 4 F(x) = dx = 4 ln(x) + k. x På figur 2.2 ses nogle f stmfunktionerne til f (x) smt linjen med ligningen y = 4x +. Som det kn ses på illedet, er der en f stmfunktionerne, der hr linjen som tngent. Hvis y = 4x + er tngent til stmfunktionen ved mn, t stmfunktionens grf et sted hr tngenthældningen 4. Tngenthældningen for funktionen F(x) er givet ved F (x), men d F er en stmfunktion til f, er F (x) = f (x). At estemme, hvor F hr tngenthældningen 4, er derfor det smme som t estemme, for hvilken værdi f x, f (x) = 4.
2.2 Hvis grfen hr en given tngent 5 Derfor løser mn ligningen f (x) = 4: f (x) = 4 4 x = 4 x =. Nu ved mn, t tngenten rører grfen ud for x =. For t finde koordintsættet til røringspunktet ser mn igen på tngentens ligning. Både tngenten og grfen går gennem røringspunktet. Mn kn ikke finde røringspunktet vh. forskriften for F(x), fordi mn endnu ikke kender k, men mn kn ruge tngentens ligning. Indsætter mn x = i ligningen y = 4x +, får mn y = 4 + = 5. Grfen for F(x) går derfor gennem punktet (; 5). Dette kn ruges til t estemme k, idet mn så hr F() = 4 ln() + k = 5 4 0 + k = 5 k = 5. D mn nu kender k, er stmfunktionens forskrift estemt: F(x) = 4 ln(x) + 5. Når mn estemmer en stmfunktion, hvis grf går gennem et estemt punkt, kn der kun være tle om én estemt stmfunktion. Hr mn i stedet opgivet en tngent til stmfunktionens grf, kn der være flere stmfunktioner, der psser på oplysningen. Eksempel 2.4 I dette eksempel estemmes den stmfunktion til f (x) = x 3 + 3x, hvis tngent hr linjen med ligningen y = 2x + 8 som tngent. Stmfunktionen hr forskriften F(x) = ( x 3 + 3x) dx = 4 x4 + 3 2 x2 + k. Mn leder nu efter det sted, hvor stmfunktionens grf hr tngenthældningen 2 (idet dette er tngentens hældning): f (x) = x 3 + 3x = 2. Løser mn denne ligning finder mn to løsninger, nemlig x = x = 2. Der er ltså to forskellige stmfunktioner, der hr linjen y = 2x + 8 som tngent. Mn skl derfor estemmt to røringspunkter. Det første røringspunkt hr førstekoordinten x = og ndenkoordinten y = 2 ( ) + 8 = 0, og det ndet hr førstekoordinten x = 2 og ndenkoordinten y = 2 2 + 8 = 4.
6 Bestemte stmfunktioner Den første stmfunktions grf går ltså gennem punktet ( ; 0), og her findes værdien f k ved t løse ligningen F( ) = 4 ( )4 + 3 2 ( )2 + k = 0 k = 35 4. Den nden stmfunktions grf går gennem (2; 4), så her skl mn løse ligningen F = 4 24 + 3 2 22 + k = 4 k = 2. Funktionen f (x) = x 3 + 3x hr ltså to stmfunktioner, hvis grfer hr linjen y = 2x + 8 som tngent, nemlig 2 () Figur 2.3: De to stmfunktioner til f (x) = x 3 + 3x, hvis grfer hr linjen y = 2x + 8 som tngent. F (x) = 4 x4 + 3 2 x2 + 35 4 F 2 (x) = 4 x4 + 3 2 x2 + 2. På figur 2.3 kn mn se grferne for de to stmfunktioner smt tngenten. 2.3 Øvelser Øvelse 2. En funktion f er givet ved f (x) = 2x 3 + 6x 2 4. Bestem den stmfunktion F til f hvis grf går gennem punktet (2; 0). Øvelse 2.2 Bestem den stmfunktion til f (x) = x grf går gennem punktet (9; 7). (x > 0), hvis Øvelse 2.7 F er stmfunktion til funktionen hvor er en konstnt. f (x) = x + 2 Grfen for F går gennem punkterne P( 2; 9) og Q(; 6). ) Bestem tllet smt en forskrift for F. Øvelse 2.3 Bestem den stmfunktion til g(x) = x grf går gennem (; 0). + 3 (x > 0), hvis Øvelse 2.8 Bestem den stmfunktion til s(x) = 2x + 5, hvis grf hr linjen med ligningen y = 3x 23 som tngent. Øvelse 2.4 Funktionen h(x) = x 2 + x + hr en stmfunktion, hvis grf går gennem (; ). Bestem denne stmfunktion. Øvelse 2.5 En funktion f er givet ved f (x) = 0x 4 + x (x > 0). Bestem den stmfunktion F til f hvor F() = 25. Øvelse 2.6 Funktionen f (x) = 6x 2 6x 2 hr 2 stmfunktioner, hvis grfer rører førsteksen præcist 2 steder. Bestem disse stmfunktioner. Øvelse 2.9 Om en funktion F gælder t F(x) er stmfunktion til f (x) = x 2 x. Linjen med ligningen y = 6x 5 er tngent til grfen for F, og det oplyses t røringspunktet for tngenten hr positiv førstekoordint. ) Bestem en forskrift for F. Øvelse 2.0 Bestem den stmfunktion til g(x) = 6x 2 2x + 4, hvis grf tngerer linjen med ligningen y = 8x + 4 i første kvdrnt.
Bestemte integrler 3 Ind til nu er det kun levet gennemgået, hvordn mn finder uestemte integrler. Men der er selvfølgelig også noget, der hedder et estemt integrl. For en funktion f og to tl og definerer mn et tl, der kldes det estemte integrl f f i intervllet [; ]. Dette tl eregnes vh. en stmfunktion. Definition 3. Ld F være en stmfunktion til f. Det estemte integrl f f i intervllet [; ] er d tllet f (x) dx = F() F(). De to tl og kldes integrtionsgrænserne. Bemærk ltså t det uestemte integrl f (x) dx er en funktion, 2 mens det estemte integrl f (x) dx er et tl. Når mn skl eregne tllet f (x) dx, finder mn først en stmfunktion F(x) og eregner dernæst F() F() ved t sætte tllene og ind. Det er ligegyldigt hvilken stmfunktion, mn vælger, derfor vil mn typisk vælge den simpleste, dvs. der hvor integrtionskonstnten k = 0. 2 Egentlig uendeligt mnge funktioner, d integrtionskontnten k kn hve enhver tænkelig værdi. Eksempel 3.2 Hvis mn skl eregne 4 x2 dx skl mn ltså først finde en stmfunktion til x 2. Dette kunne f.eks. være F(x) = 3 x3. Dernæst eregnes F(4) F(), dvs. 3 43 3 3. Smlet kn udregningen skrives på følgende måde: 4 x 2 dx = [ 4 3 x3 ] Værdien f det estemte integrl er ltså 2. = 3 43 3 3 = 2. Bemærk, t mn her hr skrevet stmfunktionen i kntede prenteser, før mn sætter tllene ind; dette gøres for t gøre udregningen mere overskuelig. Svrende til sætning.9 og sætning. gælder der følgende sætning. 7
8 Bestemte integrler Sætning 3.3 Ld der være givet to funktioner f og g og et intervl [; ]. D gælder. 2. 3. c f (x) dx = c f (x) dx. (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx. (f (x) g(x)) dx = f (x) dx g(x) dx. Beviset udeldes her, d sætningen følger umiddelrt f de tilsvrende sætninger for uestemte integrler. For estemte integrler gælder desuden følgende sætning: Sætning 3.4 Ld f være en funktion defineret på et intervl, der indeholder tllene, og c. D gælder, t c f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. c Bevis Ld F være en stmfunktion til f. Ud fr definition 3. får mn f (x) dx = F() F() = F() F(c) + F(c) F() c = f (x) dx + f (x) dx, c hvorved det ønskede er vist. f Sætning 3.4 viser i virkeligheden ikke ndet end, t mn kn opdele et estemt integrl i flere ved t opdele intervllet [; ] i delintervller. 3. Areler under grfer () Det viser sig, t der er en smmenhæng mellem det estemte integrl og relet under grfen for en funktion. For en funktion f vil relet mellem grfen og førsteksen mellem de to tl og på førsteksen, være givet ved f (x) dx, se figur 3.. Det kræver dog, t grfen ikke skærer førsteksen. Figur 3.: Det mrkerede rel hr størrelsen f (x) dx. Dette kn formuleres som en sætning.
3. Areler under grfer 9 Sætning 3.5 Hvis der for funktionen f gælder, t f (x) 0 i intervllet [; ], er relet A f den punktmængde der er egrænset f grfen for f og førsteksen i intervllet [; ] givet ved A = f (x) dx. Bevis Først ntges, t f er voksende i hele intervllet [; ]. f Dernæst defineres en funktion A(x) på intervllet [; ]. Funktionsværdien A(x 0 ) er relet mellem grfen for f og førsteksen i intervllet [; x 0 ], se figur 3.2. x 0 () Mn ser så på forskellen mellem de to reler A(x) og A(x 0 ), hvor x > x 0. D funktionen f er voksende, må der gælde (se figur 3.3()), t Figur 3.2: A(x 0 ) svrer til det viste rel. A(x) A(x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ), og (se figur 3.3()) A(x) A(x 0 ) f (x) (x x 0 ). Dette kn smles i doeltuligheden f (x 0 ) (x x 0 ) A(x) A(x 0 ) f (x) (x x 0 ). (3.) Hvis mn dividerer med x x 0 på lle sider f denne ulighed fås f (x 0 ) A(x) A(x) x x 0 f (x). (3.2) Nu lder mn x x 0. Herved vil f (x 0 ) f (x 0 ), f (x) f (x 0 ), f (x) f (x 0 ) f f (x) f (x 0 ) f Figur 3.3: Det mrkerede rel mellem grfen og førsteksen hr relet A(x) A(x 0 ). De to skrverede reler f (x 0 ) (x x 0 ) og f (x) (x x 0 ) er hhv. mindre og større end dette rel. x 0 x () x 0 x () () A(x) A(x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ). () A(x + Δx) A(x) f (x + Δx) Δx.
20 Bestemte integrler og Uligheden (3.2) liver så til A(x) A(x 0 ) x x 0 A (x 0 ). f (x 0 ) A (x 0 ) f (x 0 ), 3 Dette følger f definitionen på det estemte integrl. f (x) = x 4 9 () Figur 3.4: Arelet mellem grfen for funktionen f og førsteksen i intervllet [4; 9] er 2. hvorved mn kn konkludere, t A (x) = f (x), hvilket vil sige, t A er en stmfunktion til f. Derfor må 3 f (x) dx = A() A(). Men ud fr definitionen f A(x) kn mn se, t A() = 0, mens A() svrer til relet mellem grfen for f og førsteksen i intervllet [; ]. A() A() er ltså lig relet, og sætningen er hermed vist for voksende funktioner. Hvis funktionen derimod er ftgende, er eviset principielt det smme, dog vil ulighedstegnene i (3.) og (3.2) vende den modstte vej. Hvis funktionen ikke er monotont voksende eller ftgende, kn mn dele førsteksen op i funktionens monotoniintervller. På disse intervller gælder sætningen, og den må derfor gælde for hele intervllet pg. sætning 3.4. Her følger nogle eksempler på eregning f relet mellem grfen for en funktion og førsteksen: Eksempel 3.6 Hvis mn skl finde relet mellem grfen for funktionen f (x) = x og førsteksen i intervllet [4; 9], eregner mn 4 9 dx = 2 9 x x [ ] 4 = 2 9 2 4 = 2. Det søgte rel (se figur 3.4) er derfor 2. Eksempel 3.7 På figur 3.5 kn mn se, t grfen for funktionen f (x) = 3e x x 4 M f (x) = 3e x x 4 () smmen med første- og ndenksen fgrænser en punktmængde M. Arelet f M kn estemmes ved et estemt integrl. Før mn kn eregne integrlet, liver mn dog nødt til t kende integrtionsgrænserne. Den nedre grænse er 0, idet punktmængden egynder ved ndenksen. Den øvre grænse kn findes, der hvor grfen skærer førsteksen. For t finde dette sted, skl mn løse ligningen f (x) = 0, dvs. Figur 3.5: Grfen for f (x) = 3e x + x 4 fgrænser smmen med kserne en punktmængde M. 3e x x 4 = 0.
3.2 Areler mellem grfer 2 Denne ligning kn ikke løses nlytisk, så mn liver nødt til t nvende et CAS-værktøj, hvorved mn finder ud f, t løsningen er x =,8628. Mn skl ltså integrere f (x) over intervllet [0;,8628]. Det giver 0,8628 ( 3e x x 4 ) dx = [ 3e x x2 8 ],8628 0 = ( 3e,8628,86282 8 ) ( 3e 0 02 8 ) = 2,005. Punktmængden M hr ltså relet 2,005. Hvis grfen ligger under førsteksen Sætning 3.5 kn ruges til t eregne relet mellem grfen for en funktion og førsteksen, men kun hvis funktionens grf ligger over førsteksen. Hvd mon der sker, hvis grfen ligger under førsteksen? 2 3 M () Eksempel 3.8 På figur 3.6 ses punktmængden M, der ligger mellem grfen for f (x) = 2x og førsteksen i intervllet [; 3]. Mn kn ikke uden videre ruge det estemte integrl til t eregne relet f M, d grfen for f ligger under førsteksen. Glemmer mn dette og eregner det estemte integrl, finder mn f (x) = 2x Figur 3.6: Punktmængden M ligger under førsteksen. 3 3 ( 2x ) dx = x 2 x = ( 3 2 3) ( 2 ) = 0, [ ] og det giver ikke mening, d et rel ikke kn være negtivt. D der er tle om en lineær funktion, kn mn dog eregne relet geometrisk, idet M er et trpez, og her finder mn, t relet er 0. Altså giver det estemte integrl relet, men med omvendt fortegn. Konklusionen fr eksemplet ovenfor gælder generelt. Det estemte integrl giver ltså relet mellem grfen og førsteksen med fortegn. Ligger grfen for f over førsteksen finder mn ltså relet, men ligger den under, finder mn relet med negtivt fortegn. 3.2 Areler mellem grfer Det estemte integrl kn også ruges til t eregne reler mellem grfer. Hvis den ene grf ligger helt over den nden, skl mn lot finde relet under egge grferne, og trække disse fr hinnden. Der gælder følgende sætning.
22 Bestemte integrler Sætning 3.9 Ld der være givet to funktioner f og g, sådn t f (x) g(x) 0 på hele intervllet [; ]. Så er relet mellem grferne for f og g i intervllet [; ] givet ved (f (x) g(x)) dx. Bevis Idet grfen for f ligger over grfen for g er relet under grfen for f større end relet under grfen for g. Arelet mellem de to grfer er derfor som ifølge sætning 3.3 er lig med f (x) dx g(x) dx, (f (x) g(x)) dx. f g 2 () Figur 3.7: Arelet mellem grferne for de to funktioner f (x) = x2 x2 +6 og g(x) = +2x+3 3 2 i intervllet [ ; 2]. M f g () Figur 3.8: Grferne for f (x) = x 2 + og g(x) = x + 3 fskærer en punktmængde M. Eksempel 3.0 I dette eksempel eregnes relet mellem grferne for de to funktioner f (x) = x2 3 i intervllet [ ; 2] (se figur 3.7). + 6 og g(x) = x2 2 + 2x + 3 På figuren kn mn se, t grfen for f ligger over grfen for g. Arelet mellem de to grfer er derfor ifølge sætning 3.9 2 (f (x) g(x)) dx = 2 (( x 2 3 + 6 ) ( x2 2 + 2x + 3 )) dx = 2 ( 5 6 x2 2x + 3) dx = [ 5 8 x3 x 2 + 3x ] 2 = ( 5 8 23 2 2 + 3 2) ( 5 8 ( )3 ( ) 2 + 3 ( )) = 7 2. Eksempel 3. På figur 3.8 kn mn se, t grferne for de to funktioner f (x) = x 2 + og g(x) = x + 3 fskærer en punktmængde M. Arelet f denne mængde kn estemmes vh. et integrl, men for t kunne gøre det skl mn kende integrtionsgrænserne. Mn skl derfor finde ud f, ud for hvilke værdier f x de to grfer skærer hinnden. Dette gør mn ved t løse ligningen f (x) = g(x): x 2 + = x + 3 x 2 + x 2 = 0 x = 2 x =.
3.2 Areler mellem grfer 23 Mn skl derfor integrere over intervllet [ 2; ]. Idet grfen for g ligger over grfen for f i dette intervl, skl mn eregne 2 (g(x) f (x)) dx = ( ( x + 3) (x 2 + )) dx 2 = ( x 2 x + 2) dx 2 = [ 3 x3 2 x2 + 2x ] 2 = ( 3 3 2 2 + 2 ) = 9 2, og dette er ltså relet f punktmængden M. ( 3 ( 2)3 2 ( 2)2 + 2 ( 2)) Sætning 3.9 gælder kun i de tilfælde, hvor egge grferne ligger over førsteksen. Men fktisk er det kun nødvendigt, t den ene grf ligger over den nden. En mere generel udgve f sætning 3.9 er derfor denne: Sætning 3.2 Ld der være givet to kontinuerte funktioner f og g, sådn t f (x) g(x) på hele intervllet [; ]. Så er relet mellem grferne for f og g i intervllet [; ] givet ved (f (x) g(x)) dx. Bevis Hvis egge funktioners grfer ligger over førsteksen, er sætningen det smme som sætning 3.9. Er det ikke tilfældet vil grfen for g hve et minimum M, hvor M er et positivt tl. De to funktioner f (x) = f (x) + M og g (x) = g(x) + M, vil derfor hve grfer, der er lodrette prllelforskydninger f grferne for f og g, og som ligger over førsteksen. D grferne for f og g ligger over førsteksen, kn relet mellem dem eregnes vh. sætning 3.9, og mn får t relet er (f (x) g (x)) dx = ((f (x) + M) (g(x) + M)) dx = (f (x) g(x)) dx. Arelet mellem grferne for f og g må være det smme som relet mellem grferne for f og g, d de to grfer er levet prllelforskudt med det smme stykke. Altså er relet mellem grferne for f og g givet ved (f (x) g(x)) dx.
24 Bestemte integrler Eksempel 3.3 I dette eksempel eregnes relet mellem grferne for f (x) = x + og g(x) = 2 x 3 f i intervllet [0; 3] (se figur 3.9). D grfen for f ligger over grfen for g skl mn eregne 0 3 3 (f (x) g(x)) dx = ((x + ) (2 x 3 3)) dx = ( 2 x + x + 4) dx 0 0 3 g () for t finde relet. Integrlet kn eregnes ved håndkrft, men mn kn også ruge et CASværktøj. Herved finder mn, t relet er Figur 3.9: Arelet mellem grferne for funktionerne f (x) = x + og g(x) = 2 x 3. 0 3 ( 2 x + x + 4) dx = 5,24. 3.3 Øvelser Øvelse 3. Beregn følgende estemte integrler: 3 x 2 3 ) dx ) (3x 2 4x + 2) dx 0 0 (e x π c) + x) dx d) sin(x) dx 0 0 Øvelse 3.2 Beregn følgende estemte integrler: 4 ) (2x 3) dx 2 3 ) ( x 3 + 4x 2 + ) dx 0 c) 2x 0 x 2 + dx Øvelse 3.3 Bestem følgende estemte integrler. 6x(3x 2 ) 3 2 ) dx ) x(3x 2 + 7) 4 dx 0 0 0 3 c) xe x2 dx d) t 0 6 + t 2 dt π 2 sin( x) ln(5) 3e 2x e) dx f) x 0 + e2x dx π 2 4 Øvelse 3.4 Grfen for funktionen f (x) = x 2 + 5x 6 fgrænser smmen med førsteksen en punktmængde M. Bestem relet f M. Øvelse 3.5 Bestem relet mellem grferne for f (x) = x 2 4x + 6 og g(x) = x + 3 i intervllet [0; 4]. Øvelse 3.6 Grferne for funktionerne f (x) = x 3 x og g(x) = x 2 + smt linjerne med ligningerne x = og x = fgrænser en punktmængde. Bestem relet f denne. Øvelse 3.7 Grferne for f (x) = x 2 og g(x) = x + 6 fgrænser punktmængden M. Bestem relet f M. Øvelse 3.8 Grferne for f (x) = x og g(x) = x + 6 fgrænser smmen med førsteksen en punktmængde. Bestem relet f denne.
3.3 Øvelser 25 Øvelse 3.9 Grferne for funktionerne f (x) = 2 x og g(x) = 8 fgrænser smmen med ndenksen en punktmængde. Bestem relet f denne. Øvelse 3.0 Grfen for f (x) = x 2 skærer førsteksen i to punkter. Grfen smt grfens tngenter i disse to punkter fgrænser en punktmængde. Bestem relet f denne punktmængde. Øvelse 3. Bestem tllet, således t (x 2 + x) dx = 38. Øvelse 3.2 Om funktionen f oplyses t Bestem tllene 0 f (x) dx = 4, 3 5 0 f (x) dx = 5 og 0 0 f (x) dx = 8. 5 0 0 ) f (x) dx ) f (x) dx c) f (x) dx 3 3 5 Øvelse 3.3 Funktionen f er givet ved f (x) = (3 x) x. Grfen for f fgrænser smmen med førsteksen en punktmængde M der hr et rel. ) ) Bestem relet f M. Bestem tllet k, så linjen med ligningen x = k deler M i to punktmængder med lige store reler. Øvelse 3.4 Funktionerne f og g givet ved f (x) = x 2 og g(x) = x hvor er et positivt tl, fgrænser en punktmængde der hr relet 3. Bestem tllet. Øvelse 3.5 Funktionerne f og g givet ved f (x) = x 2 og g(x) = x + fgrænser en punktmængde der hr relet 2. Bestem tllet.
Flere nvendelser for estemte integrler 4 Integrler viser sig t kunne ruges til t eregne ndet end relet under og mellem grfer. Bl.. kn mn vh. integrler finde længden f en krum kurve og rumfnget og overflderelet f et såkldt omdrejningslegeme. 4. Middelværdi for en funktion I dette fsnit vises hvordn det estemte rel kn ruges til t definere en funktions middelværdi. Det estemte integrl f (x) dx giver relet under grfen for funktionen f i intervllet [; ]. Hvis mn omformer dette rel til et rektngel med redden, så vil mn kunne finde højden f rektnglet som funktionsværdien f (c) for et tl c i intervllet [; ] (se figur 4.). Arelet f dette rektngel er så f (c) ( ), men relet er også givet ved det estemte integrl, dvs. hvilket også kn skrives som f (c) ( ) = f (x) dx, f (c) = f (x) dx. Tllet f (c) er det mn klder funktionens middelværdi. Definitionen er: Definition 4. Hvis f er en integrel funktion defineret på intervllet [; ], så defineres funktionens middelværdi i dette intervl til t være tllet I hvert fld så længde funktionen er kontinuert. f (c) c f () Figur 4.: Arelet under grfen svrer til relet f det skrverede rektngel. f = f (x) dx. Eksempel 4.2 Middelværdien f funktionen f (x) = x 2 + i intervllet [ 3; 3] er f = 3 3 (x2 + ) dx = [ 3 x3 + x ] 3 2 ( 2) = = 4. 3 ( 3) 6 6 Middelværdien f funktionen i dette intervl er ltså 4. 27 3
28 Flere nvendelser for estemte integrler f (x) f (x 0 ) l(x) Δl Δx Δf x 0 x f () Figur 4.2: Δl er næsten lig med den lille treknts hypotenuse. 4.2 Kurvelængder Mn kn også estemme længden f en kurve vh. integrlregning. Hvis mn ser på grfen for en funktion f, og mn er interesseret i t estemme kurvelængden f grfen fr x = til x =, kn mn undersøge»kurvelængde-funktionen«l(x) som ngiver længden f kurven fr til x (se figur 4.2). Hvis mn lægger et lille stykke Δx til x, vokser l(x) med stykket Δl. Ud fr figuren og Pythgors sætning kn mn så rgumentere for t Δl 2 (Δx) 2 + (Δf ) 2 Δf = Δx +, ( Δx ) og derved t 2 Δl Δx Δf +. ( Δx ) Disse to størrelser er næsten lig hinnden, og mn kn rgumentere for t jo mindre Δx liver, desto tættere kommer de to størrelser på hinnden, dvs. 2 Δl lim Δx 0 Δx = lim Δf + Δx 0 ( Δx ) hvilket etyder t l (x) = + f (x) 2. Den smlede kurvelængde er l() l(), og den kn derfor findes ved t eregne det estemte integrl f dette udtryk: Sætning 4.3 Længden l f grfen for en differentiel funktion f (x) fr punktet (; f ()) til punktet (; f ()) er givet ved l 3 () Figur 4.3: Kurvelængden l i intervllet [; 3] f grfen for f (x) = x2 ln(x) + 2. 4 l = + f (x) 2 dx. Eksempel 4.4 På figur 4.3 kn mn se grfen for f (x) = x2 4 ln(x) + 2. Mellem x = og x = 3 er der fremhævet et stykke f grfen. Længden l f dette stykke kn mn finde vh. sætning 4.3. Ifølge sætningen er længden f l 3 3 l = + f (x) 2 x dx = + ( 2 2 x ) dx. Dette udtryk er så vnskeligt, t det ikke kn eregnes nlytisk, og mn overlder derfor rejdet til et CAS-værktøj, hvorved mn finder 3 x l = + ( 2 2 x ) dx = 2,36.
4.3 Rumfnget f et omdrejningslegeme 29 4.3 Rumfnget f et omdrejningslegeme Hvis mn drejer grfen for en funktion 360 om førsteksen, får mn et såkldt omdrejningslegeme. På figur 4.4 kn mn se omdrejningslegemet for grfen for en funktion f. Rumfnget f et sådnt omdrejningslegeme kn eregnes vh. den formel der er givet i følgende sætning: f () Sætning 4.5 Hvis mn drejer grfen for en funktion f (x) i intervllet [; ] 360 om førsteksen, er rumfnget V f omdrejningslegemet givet ved V = π f (x) 2 dx. Figur 4.4: Omdrejningslegemet for grfen for en funktion f. Bevis Sætningen kn evises vh. smme teknik som i sætning 3.5. Mn ser på en voksende funktion f, og definerer rumfngs-funktionen V (x) der giver rumfnget f omdrejningslegemet i intervllet fr til x. Mn ser så på to x-værdier, x 0 og x hvor x > x 0, og ser på rumfnget V (x) V (x 0 ). På figur 4.5 kn mn se hvordn mn kn tegne to cylindre hvis rumfng er hhv. mindre eller større end V (x) V (x 0 ). Rumfnget f en cylinder er πr 2 h hvor r er rdius og h er højden. De to cylindre ligger ned, så højden er i dette tilfælde Δx = x x 0, mens rdius er hhv. f (x 0 ) og f (x). De to cylindres rumfng er ltså πf (x 0 ) 2 Δx og πf (x) 2 Δx. D V (x) V (x 0 ) ligger mellem disse to rumfng, hr mn som kn omskrives til πf (x 0 ) 2 Δx V (x) V (x 0 ) πf (x) 2 Δx, πf (x 0 ) 2 V (x + Δx) V (x) x x 0 πf (x) 2. f f Figur 4.5: Rumfnget f den mrkerede figur er V (x) V (x 0 ). De to skrverede cylindres rumfng er hhv. mindre og større end dette rel. x 0 x () x 0 x () () V (x) V (x 0 ) πf (x) 2 (x x 0 ). () V (x) V (x 0 ) πf (x 0 ) 2 (x x 0 ).
30 Flere nvendelser for estemte integrler Lder mn nu x x 0, får mn πf (x 0 ) 2 V (x 0 ) πf (x 0 ) 2. V (x) er ltså en stmfunktion til πf (x) 2, og fordi hele rumfnget f omdrejningslegemet kn eregnes som V () V (), kn mn ltså eregne rumfnget som V = πf (x) 2 dx. f Eksempel 4.6 På figur 4.6 ses omdrejningslegemet for funktionen 4 () i intervllet [; 4]. f (x) = x + x, x > 0 Rumfnget V f omdrejningslegemet kn d eregnes vh. sætning 4.5: Figur 4.6: Omdrejningslegeme for f (x) = x + x i intervllet [; 4]. 4 V = π f (x) 2 4 dx = π ( x + 2 x ) dx. Idet funktionsudtrykket skl kvdreres, liver udregningerne lidt esværlige, og mn kn derfor overlde dem til et CAS-værktøj, hvorved mn finder t 4 V = π ( x + 2 x ) dx = 49 4 π 38,48. Eksempel 4.7 Grfen for funktionen f g(x) = r 2 x 2, r x r er en hlvcirkel med centrum i (0; 0) og rdius r. r r () Grfens omdrejningslegeme er derfor en kugle med centrum i (0; 0) og rdius r. Vh. sætning 4.5 kn mn derfor estemme rumfnget f en kugle. Rumfnget er Figur 4.7: Omdrejningslegemet for funktionen f (x) = r 2 x 2 er en kugle. r V = π ( r 2 x 2 2 r ) dx = π (r 2 x 2 ) dx r r r = π r 2 x [ 3 x3 ] r = π ((r 3 3 r 3 ) ( r 3 3 ( r)3 )) = 4 3 πr 3, som er den velkendte formel for en kugles rumfng. 4.4 Overflderelet f et omdrejningslegeme Mn kn finde frem til overflderelet f et omdrejningslegeme ved t nlysere figur 4.8. Definerer mn relfunktionen O(x) til t være den
4.4 Overflderelet f et omdrejningslegeme 3 funktion der giver overflderelet f omdrejningslegemet i intervllet fr til x, så er relet f udsnittet på figuren givet ved O(x + Δx) O(x). Men mn kn også se t udsnittet på figuren med god tilnærmelse er en keglestu. Overflderelet f det uede stykke f en keglestu kn eregnes vh. formlen A = πs(r + R), Δl f hvor s er længden f det skrå stykke, og r og R er rdius i hhv. toppen og unden f keglen. Vh. denne formel kn mn se t overflderelet f udsnittet på figur 4.8 med rimelig tilnærmelse kn eregnes som x 0 x () O(x) O(x 0 ) π Δl (f (x 0 ) + f (x)). I fsnit 4.2 lev der rgumenteret for t Δl Δx + ( Δf Δx ) 2. Figur 4.8: Det skrverede område er næsten en keglestu. Smlet set hr mn så t O(x) O(x 0 ) π Δx + ( Δf Δx ) 2 (f (x 0 ) + f (x)) som kn omskrives til O(x) O(x 0 ) x x 0 π + ( Δf Δx ) 2 (f (x) + f (x + Δx)). Denne tilnærmelse gælder edre og edre, jo tættere x er på x 0. Lder mn derfor x x 0, får mn O (x 0 ) = π + f (x 0 ) 2 (f (x 0 ) + f (x 0 )) = 2πf (x 0 ) + f (x 0 ) 2. Tger mn det estemte integrl f O (x) i intervllet [; ], eregner mn O() O() som jo er hele overflderelet i intervllet fr til. Dvs. mn hr denne sætning: Sætning 4.8 Hvis f er en differentiel funktion, så er overflderelet f det omdrejningslegeme mn får når mn drejer grfen for f 360 om førsteksen i intervllet [; ], givet ved O = 2π f (x) + f (x) 2 dx.
32 Flere nvendelser for estemte integrler Eksempel 4.9 Rumfnget f omdrejningslegemet for funktionen f (x) = x + x, x > 0 i intervllet [; 4] lev estemt eksempel 4.6 ovenfor. Hvis mn i stedet vil estemme overflderelet f omdrejningslegemet, skl mn ruge sætning 4.8. Først eregnes f (x) = x 2 + 2 x. Overflderelet f omdrejningslegemet er så givet ved 4 O = 2π ( x + x ) + ( x 2 + 2 2 dx. x ) Dette integrl er næppe noget mn hr lyst til t forsøge t eregne ved håndkrft. Anvender mn et CAS-værktøj, finder mn t dette integrl giver 44,66. Overflderelet f omdrejningslegemet på figur 4.6 er ltså 44,66. 4.5 Øvelser Øvelse 4. Bestem middelværdien for funktionen f (x) = x 2 3x + i intervllet [0; 0]. Øvelse 4.2 Bestem den ekskte værdi f middelværdien for funktionen f (x) = sin(x), 0 x π. Øvelse 4.3 Middelværdien for funktionen f (x) = x 2 + e x i intervllet [0; ] er 5. Bestem tllet. Øvelse 4.4 Bestem længden f grferne for disse to funktioner: ) ) f (x) = 2x 2 x, 3 x 4 g(x) = ln(x) + 2, x 0 Øvelse 4.5 Bestem længden f grfen for funktionen f (x) = sin(x) i intervllet [0; 2π]. Øvelse 4.6 Grferne for de tre funktioner f (x) = x, g(x) = x2 og h(x) = 8 x fgrænser i første kvdrnt et område. Bestem omkredsen f dette område. Øvelse 4.7 Bestem rumfnget f det omdrejningslegeme der fremkommer når mn drejer grfen for f (x) = x 360 om førsteksen i intervllet [; 2]. Øvelse 4.8 Funktionen f er givet ved f (x) = 2 x2 2x + 5, 0 x 4. Bestem rumfnget f det omdrejningslegeme der fremkommer når mn drejer grfen for f 360 om førsteksen.
4.5 Øvelser 33 Øvelse 4.9 Figuren nedenfor viser et tværsnit gennem en kegle indlgt i et koordintsystem. Øvelse 4.0 Grferne for de to funktioner f (x) = x 2 + 8x og g(x) = 0,x 2 0,8x + 2,2 r r h () fgrænser i første kvdrnt et område M. Bestem rumfnget f det omdrejningslegeme der fremkommer når M drejes 360 om førsteksen. Øvelse 4. Bestem overflderelet f det omdrejningslegeme der fremkommer ved t dreje grfen for funktionen Det skrå linjestykke i første kvdrnt er et udsnit f grfen for en funktion f. ) ) Bestem en forskrift for f. Benyt forskriften til t udlede en formel for rumfnget f en kegle. 360 om førsteksen. f (x) = x 2, 0 x Øvelse 4.2 Brug funktionen fr øvelse 4.9 til t udlede en formel for overflderelet f en kegle.