Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: h@du.dk Absak Økonoeiske odelle fo anspoadfæd so anspoiddelvalg, bileeskab, esefoål, ec. e sædvanligvis basee på sokasisk nyeeoi. Ved a lave foskellige anagelse o den undeliggende sokasiske poces fås odelle so spænde fa siple logi odelle il ee geneelle pobi odelle. Efeso esponsvaiablen e diske e de ikke ulig a ese anagelse vedøende den undeliggende sokasiske poces. Konsekvensen e, a kun elaiv lid infoaion o odellens validie kan eablees. I dee pape ages de hul på beskivelsen af den klasse af isspecifikaione, so skyldes skule ikke-lineaiee. De vises, hvoledes isspecifikaione i odal-spli odelle e æ koble il eseafsand og i sidse ende il ændinge i den aginale eseodsand. Hel pæcis vises de a o espondene ed foskellig aginal eseodsand ikke kan anages a have ideniske felled. Ydeligee vises de, hvoledes disse isspecifikaione e syseaiske og en oplag løsningsåde foeslås. Keywods: Modal-spli odelle, isspecifikaione, ikke-lineaiee / Modal-spli odels, isspecificaions, non-lineaiies. Session: Tafikodelle. Indledning Den es anvende odel fo anspoiddelvalg e den odinæe ulinoiale logi odel (MNL. Udgangspunke e sokasisk nyeeoi hvo de il hve esponden ilodnes en indieke beinge nyefunkion. Den fundaenale anagelse e a individes oplevede nye kan udykkes
genne nyefunkionen sa a individene e aionelle fobugee so søge a aksiee dees nye. Lad nyen il individ og alenaiv i væe give ved U + ε. He epæsenee i V i Vi den deeinisiske del af nyefunkionen ens ε i beegne de sokasiske eleen. Ved a lave anagelse o den sokasiske poces εi e de ulig a angive sandsynligheden fo a individ vælge alenaiv so P ( P( U > U M. Unde anagelse af uafhængige ideniske i, gubel fodele fel kan de vises a den ilhøende valgsandsynlighed e give ved i P e V, (, M M e V, ( 1 hvo M definee den enkele espondens valgsæ. De vanskelige ved a bygge odelle basee på denne eoi e a den endogene vaiabel e diske. Vi fosøge ed ande od a anvende en koninue eoi på diskee udfald. Da vi ikke kan obsevee den indieke nye e de ikke ulig a ese den laene sokasiske poces på nogen noal åde. De e iidleid ulig a påvise hvovid isspecifikaione i besee siuaione vil kunne opså. Den gundlæggende fegangsåde so anvendes i papee e a indlee odal-spli koponenen i en kobinee diske-koninue ae, so de bland ande e go i Rich (1996. Ved a udlede aginale fodelinge fo den oveodnede odel e de ulig a idenificee isspecifikaione unde visse osændighede. Konsekvense af ikke-lineaiee De e elevan a ovevee konsekvensene af en poeniel ikke-lineaie. Lad os føs definee hvad de fosås ved en ikke-lineæ odel. Den lineæe odel e definee ved f (? V, X. So fø angive V, nyefunkionen, ens X og? beegne daaaice og paaeeveko. Lineæ-i-paaee odelle e se udfa e esiaionseknisk synspunk ideniske ed den lineæe odel. Vi ha a f ( V, g( X?, ens de fo den ikke-lineæe odel gælde a f ( V, g( X?. Vi skal i de følgende udelukkende beskæfige os ed odelle so e lineæe i paaeene. I fobindelse ed MNL odellen e valgsandsynlighedene den cenale søelse og disse sandsynlighede e ikke invaian ovefo ikke-lineaiee. De gælde kun a U > U p ( > p( ( 2 Dee gælde oplag også fo enhve onoon ansfoaion af nyefunkionen 1. De e kla a poenielle skif i funkionsfo vil have indflydelse på odellen og deed også valgsandsynlighedene, en so hovedegel e MNL odellens esieede valg elaiv obus 1 Hvis odellen ha paaee so vaiee ove alenaive e dee ikke nødvendigvis ilfælde.
ovefo poenielle ikke-lineaiee. De beyde a, de e ege vanskelig a få en foneelse af, hvodan den koeke funkionsfo se ud ved kun a se på esieede valgsandsynlighede. Hvis an på den anden side kun e ineessee i de esieede valgsandsynlighede e selve funkionsfoen ofes ee elle inde ielevan. De soe poblee opså hvis odal-spli odellen indgå i e søe odelkopleks so de eksepelvis e ilfælde i ALTRANS 2 og PETRA 3. He vil an ofes fobinde de enkele subodelle genne logsue. Logsue epæsenee e ilgængelighedsål, so udykke den enkele espondens salede nye ved e valg. Fo logsuene e ilsedevæelsen af ikke-lineaiee ee alvolig. log ' X (? f X? e log e ( 3 ' En ypisk siuaion, hvo logsuene e vigige, e i koblingen elle bileeskab og odalspli. He vil logsuene fa odal-spli delen ypisk kunne indgå i bileeskabe fo heved a koble anvendelse ed eeskab. Tilsedevæelsen af ikke-lineaiee Fo a se på hvonå og hvodan ikke-lineaieene opæde inoducee vi en udvide odelae i fohold il MNL odellen. Fo a foså ideen bag den nye odel kan de væe hensigsæssig føs a se på en diske odel de kobinee odal-spli og desinaionsvalg. I sin siplese fo en hel alindelig flad MNL odel so de ses nedenfo i ligning 3. P,, d e γ de, ( 4 as, bc, d e γ e ( d ' M as bc d * d ' M hvo a og be paaee høende il henholdsvis de socioøkonoiske vaiable S, og de vaiable so elaee il esen C, d. Eleenene i C, d e ypisk id og pengeokosninge. Ydeligee e γ d en vaiabel so beskive aakionen i desinaionen d. Med ande od se nyefunkionen ud so V, d as, + bc, d + qlnγ d ( 5 2 ALTRANS e e naional foskningspoek finansiee af Tanspoåde, DMU og Miløsyelsen. I ALTRANS beskives befolkningens anspovane ed speciel fokus på seviceniveaue i den kollekive anspo. Abede vaeages af DMU. 3 PETRA e adfædsodel fo pesonafikken udvikle af COWI. Se PETRA 1997 woking pape no.7.
Den koninuee pendan il denne diskee desinaionsodel opså ved dels a anage IIAegenskaben sa a lade zonesøelsen gå od 0. Da fekoe odellen so den infiniisiale gænse. Fo a få en bugba odel ansfoees odellen fa ekangulæe il polæe koodinae. De sae ved denne ansfoaion e, a vi nu uiddelba kan behandle eseafsanden endogen 4. Den nye nyefunkion få fo hve individ foen V, as + bc L + ln, θ q L, { L, θ} ( γ { θ } ( 6 Dee gøes ved a skife koodinasyse fo hve enkel esponden således a hve nye koodina syse neop ha cenu hvo espondenen sae sin ese. Specifikaionen af C L,θ lade vi væe give ved ( C ( L ( L, θ C, θ L E, { L, θ}l L ( 7 Hvo E, { L,θ} elle blo E, beegne den aginale eseodsand fo den enkele ese. De ineessane ved denne siple opløsning e a vi ikke anage dieke popoionalie elle eseodsanden og eselængden, en neop kan egne igenne ed en vaiabel aginal eseodsand. Modellens valgsandsynlighede e give ved. P (, dldθ G(, { L, θ} dldθ as bc ( (, L, θ e γ L, θ e dldθ B 2π as ( ( ( L, x, y, bc, θ e γ L, θ e ( L, θ ' M 0 0 dldθ ( 8 Nå dldθ 0 P (, dldθ P (, { L, θ} siple funkionsfoe fo γ (,θ. Fa e beegningsæssig synspunk e selv ege L vanskelige a håndee. Fo de føse kan inegale ikke evaluees eksak og fo de ande vil inegaionsdoæne skife på en ege kopleks åde. I voes siuaion e de iidleid nok a se på de siple ilfælde hvo γ ( L, θ γ. Maxiu likelihood esiaene findes på sædvanligvis ved a aksiee likelihoodfunkionen give ved L T, ( ( { } a b G, L, θ, ' M y ( 9 4 Se Rich H.R. 1996 fo en næee gennegang.
Hvo y 1 alenaiv e valg og y 0 elles 5., Maginale fodelingsfunkione, Fa likelihood funkionen e de ulig a udlede o ineessane aginale fodelinge. Føs og fees e den aginale fodeling fo anspoiddelvalg definee ved 6 G b ( ( { } ( ax 2π x, y G, L, θ ( L, θ 0 ( E, b' bax ( E b b S, a e I, dθdl S, a 0 e I,, ' M ax ( 10 Sandsynligheden af de ulige valg { L,θ} beinge på e give ved G G, ( { L θ} (, { L, θ} G ( ( 11 Nu kan den aginale eselængdefodeling uiddelba udledes ved a inegee θ diensionen ud. Vi få a G 2π ( L G ({ L, θ} Ldθ 0 ( 12 Hvo de e elaiv le a se, a G ( L ( E, L b Le I E b, (, ( 13 En ineessan søelse e den fovenede eselængde beinge af anspoåde E 2 [ ] ax L 1 G ( b b b 2, ax, E, ( 14 De hel cenale esula, so uiddelba kan udledes fa eselængdefodelingen e a 2 E b ( L ( E b Le ( E b Γ 2, li G,,,, bax ( 15 5 Se appendiks 1 fo en opsilling af opieingspoblee. 6 Foen af I, funkionen kan ses i appendiks 1.
Dee esula sige a den aginale eselængdefodeling educee il en gaafodeling nå bax gå od uendelig. I paksis e de oplag en øve gænse fo bax og defo vil den fakiske fodeling væe unkee. Fa e pakisk synspunk e de dog ikke gund il a koncenee sig o den unkeede del efeso halene på gaafodelingen gå ege huig od 0. Selve esulae e vigig a flee gunde. Fo de føse eablees de en sipel fobindelse elle den eoeiske odel og den skiseede gaafunkion. Denne fobindelse kan påvises epiisk udfa TUdaa. Se figu 1 fo en pofil af eselængdefodelingen 7. Figu 1: Epiiske fodelingsfunkion fo eselængden fodel på o anspoåde. 7 E so poble ved a saenligne de o fodelinge e a den epiiske fodeling ypisk i ilfælde ed suvey daa e ødelag af ophobning. Folk svae ypisk 10 kiloee i sede fo 9 og 20 i sede fo 17. Pincipiel kan an ese fodelingene ved a genneføe e peson χ 2 es. Tese ovekoe ophobningen en ha oplag lav syke så de synes ee oplag blo a se på fodelingene og konsaee en god oveensseelse.
En anden ing so blive kla e, a hvis den aginale eseodsand E, geneel ænde sig ed L elle, så kan de ikke anages a alle obsevaione dækkes af den sae gaafunkion. Med ande od skide den fundaenale anagelse o ideniske felled fo MNL odellen. Dee esula ha ikke i sig selv den soe vædi. Saisikee ved god a felled i MNL odelle ikke e ideniske. De ineessane opså føs i de ofang, a an kan idenificee en syseaisk isspecifikaion og de e neop ilfælde he. Lad os age fa på isspecifikaione so vaiee ed henholdsvis individene ( og eselængden ( L. - vaiaione Hvis vaiaionen i e vis ofang e syseaisk ove guppe af individe bø an enen ovevee en segeneing elle en udvide paaeiseing af eseodsanden således a odellen ha sepaae paaee fo hve guppe. Da den aginale eseodsand ypisk vaiee ed ilgængelighed vil de ofes væe sædeles fonufig a segenee efe ubaniseingsgad. Dee gøes bland ande også i ALTRANS. L - vaiaione Vaiaionen høende il eselængden e ofes også af syseaisk kaake. Lad os anage a den aginale eseodsand falde ed afsanden L. Dee e e noal fænoen efeso længee ese beyde køsel på søe vee, a an buge og fefo bus ec. Lad T væe E, TL ængden af ese af længde L. Da vil E ( L angive den gennesnilige aginale TL eseodsand fo anspoåde og længde L. Beæk a vi fo klahedens skyld blo anage a de e én alenaiv specifik vaiabel, dvs. a E, ikke e en veko en e al. I E 1 > E 2 >... > E L... E b. aeaisk noaion ha vi a ( ( ( ( > Efeso de aginale okosninge vaiee på denne åde e de oplag, a den undeliggende sokasiske poces ikke kan opfylde kave o ideniske fodelinge, f. ovensående esula. På ods af dee e de ulig a de eksisee en funkion Q( ( E ( L 1 L Q ( a (. Efeso E, C, ( L søge vi alså en ansfoaion af C ( L L Q C, L L. Den ineessane ing e alså a den lineæe specifikaion kun ax L således a, således foekoe so e ilfælde, en a vi i en lang ække ilfælde vil kunne håndee ikkelineaieen elle eseodsand og eselængde ved e sipel exogen vaiabelansfoaion so opfylde ovensående kav.
I de o ovensående ekseple e de foeslåe hvodan an i visse siuaione kan indske effeken af den ikke-lineaie so uvælig vil eksisee i lang de flese MNL odelle. Foudsæningen e dog a vaiaionen i E ( L so funkion af L skal væe syseaisk. Hvis funkionen ikke e onoon faldende ha an e foklaingspoble og an bø ovevee daa næee. Konklusion I papee e de bleve vis hvoledes MNL odelle pincipiel se indeholde en laen isspecifikaion. Denne isspecifikaion elaee sig hel geneel il inhoogene aginale eseodsande. Sådanne inhoogeniee opså dels i kaf af en vaiaion ove individe, so ypisk vil skyldes foskellige lokaliseingsæssige fohold og dels en vaiaion elaee il eselængden. Den føse inhoogenie kan behandles ved a segenee på ubaniseingsgad. Den anden inhoogenie skyldes a an fo længee ese ypisk vil køe på søe vee, benye huigee anspoidle so eksepelvis og fefo og, ec. I den udsækning a vaiaionen ed eselængden e syseaisk kan an ved a genneføe en exogen vaiabelansfoaion ovekoe poblee. I papee e opsille pæcis hvilke kav de skal silles il denne vaiabelansfoaionen. Misspecifikaionen skønnes ikke a væe pobleaisk i fohold il odellens evne il a esiee koeke udfald af den kaegoiske endogene vaiabel. Deiod påpeges de a logsuene i sælig alvolig gad vil lide unde poenielle isspecifikaione og speciel laene ikke-lineaiee. Da disse logsue ypisk buges il a koble subodelle i søe odelsysee e poblee alvolig. Typisk vil den ansfoaion an foeage ikke fobede odellens fi, en af hensyne il odellens elaion il ande subodelle bø an i disse ilfælde undesøge hvodan de skiseede inhoogeniee spille ind.
Lieau Ben-Akiva M. & Lean S. 1985, Discee Choice Analysis, MIT pess, Cabidge, Mass. Manski C. & McFadden D. 1981, Sucuel Analysis of Discee Daa, eds. MIT pess, Cabidge, Mass. PETRA woking pape no.7 1997, COWI consul. Rich J.H. 1996, Modelling odal-spli and ip lengh in a siulaneously discee-coninuous seing, I Tafikdage på Aalbog Univesie, suppleensappo s.75-86. Appendiks 1 Log likelihood funkionen e give ved l ( a, b y log( G ( ',{ L, θ} T ' T ' M ' M ' y ' S ( ( + ( ', ' ', ' L ' log e, ' a S a E b I b, ' E, ' ' bax Hvo L angive eselængde fo hve esponden og a { a 1,..., a p } og b { b b q } M (16 1,...,. Noe a indekseingen af a og bhåndees indieke genne daaaicene S og E. Foen af de o eksogene sukue unde anagelse af 4 foskellige anspoåde e give ved S s 1 0 0 s 2 0 0 0 s s 1 0 0 2 0 0 0 s 1 0 0 s2 0 0 0 0 0 0 og E E, 11 0 0 0 E, 21 0 0 E, 0 0 0 E, 0 0 E, 13 0 0 0 0 0 0 E, 14 0 0 12 22 Noe a idenifikaionspoblee få den sidse ække-veko i S il a udgå. E,' e ækkevekoen definee so den ' E ække i hvis vi egne fa.denne veko åle aginal eseodsand pe enheds disance. I, funkionen koe fa inegaionen ove geogafien E, b' bax bax 2π ( E L e ( b ' ax, ', b + E b I, ( E, b' bax Le dθdl 2π 1 1 (17 0 0 2 E b' (,
Så I, funkionen epæsenee en sipel koninue og onoon voksende afbildning / 0 R. I, : R { } Efeso de e en naulig dekoposiion af paaeeue vil vi anvende følgende noaion ved definiionen af gadien vekoen. Lad l l( a, b og G 1,..., hvo den e koponen e give ved a 1 a k a y, ' S, ', ' C (, Ψ a b ( 18 a Den anden del af gadien vekoen G 2 e definee ilsvaende ed G 2,..., hvo den 1 k e koponen e y, ' L E, ', ' C (, Ψ a b ( 19 Den cenale del af gadienen e Ψ funkionen definee ved Ψ a b E b S, a' (, log e I, ' (, ' bax ' M ( 20 Heved fås og (, Ψ a b a (, Ψ a b C S a' S a' ( E b', e S I b C C e C,,, ax ( E, b' ax, e I b S, S I ( E b' b a', ax a' ( E, b' ax, e I b ( 21 ( 22 hvo I, gadienen e give ved
2 I( E b b ( i i i,, i ax b E b 2biE b + 2 e i 2 2π 3 2 b E, ' ax ax ax,,,, i i,, i b E b ( 23 Ved subsiuion af ovensående udyk fås e sale udyk fo gadienvekoen a y, ' S, ', ' C C ( E b', e S I b C S a',,,, ax ( E b' S a',, ax, e I b ( 24 y, ' L E, ', ' C C e C I ( E b' b S, a',, ax S a' ( E b', e I b,, ax ( 25