GEOMETRIEN BAG ANTONI GAUDÍS ARKITEKTUR

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GEOMETRIEN BAG ANTONI GAUDÍS ARKITEKTUR"

Transkript

1 GEOMETRIEN BAG ANTONI GAUDÍS ARKITEKTUR Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium September 009

2 Illustrationen på forsiden viser dels en del af en hyperbolsk paraboloideflade, dels en skulptur med en buste af Gaudí, opstillet over for kirken i Colonia Güell uden for Barcelona. (Forf. foto). Illustrationen nedenunder viser hvælvingen i porticoen til krypten under den aldrig fuldførte kirke i Colonia Güell. Denne hvælving er Gaudís første anvendelse af hyperbolske paraboloider i arkitektur. (Forf. foto).

3 Indhold FORORD... 4 INDLEDNING... 6 DEN HYPERBOLSKE PARABOLOIDE Beskrivelse ved hjælp af parabler Skæring med plan parallel med xy-planen Skæring med plan parallel med yz-planen Skæring med plan parallel med xz-planen Beskrivelse ved hjælp af rette linjer I. Første sæt frembringere II. Andet sæt frembringere... Den vindskæve firkant (I)... 4 Den vindskæve firkant (II)... 5 DEN ELLIPTISKE PARABOLOIDE ELLIPSOIDE... 3 HYPERBOLOIDE MED ÉT NET Omdrejningshyperboloiden GAUDÍS ANVENDELSE AF ANDENGRADSFLADER Omdrejningsparaboloiden og den elliptiske paraboloide: La Sagrada Família og Palau Güell Den hyperbolske paraboloide: Kryptkirken i Colonia Güell... 4 Anvendelse af både hyperboloide og hyperbolsk paraboloide: La Sagrada Familia Anvendelse af ellipsoiden: La Sagrada Família GAUDIS SØJLER Eksperimenter før Sagrada Família Søjlerne i Sagrada Família Gaudís egen beskrivelse Søjler med kvadratisk grundflade Søjler med regulære n-kanter som grundflade, n =5, 6, 8, 10 og Parabolske afrundinger af grundfladens hjørner LITTERATUR Om Gaudís arkitektur: Om andengradsflader: Netsteder om andengradsflader:

4 FORORD Materialet på de følgende sider er for væsentlige deles vedkommende udarbejdet i løbet af efteråret 1999 i forbindelse med en kort rejse til Barcelona. Der er siden foretaget enkelte justeringer og på et bestemt punkt en større udvidelse i foråret 00. Det har i denne form været benyttet som kursusmateriale på to kurser om matematik og arkitektur i 00 og 003. Endelig er det nu revideret og udvidet i 008 i forbindelse med et kursus, som Matematiklærerforeningen afholdt i september 008 i Barcelona. I den nærværende udgave fra 009 (anvendt i forbindelse med en gentagelse af Barcelonakurset i 009) er kun foretaget enkelte mindre rettelser. Emnet er oplagt spændende, og det er matematikemnemæssigt og sværhedsmæssigt inden for gymnasierækkevidde, og det er synlig matematik i flere betydninger af ordet. For det første handler det direkte om bygninger i Barcelona, som man kan rejse ned og se. For det andet spiller andengradsflader en hovedrolle og netop andengradsfladerne lette og gode at visualisere, fordi man med enkle midler kan konstruere tredimensionale modeller af dem, og en model man kan sidde med i hånden er stadig på mange punkter en computermodel overlegen, når man skal gøre sig fortrolig med dens væsen. Jeg har dog ikke i det følgende omtalt eller vist konstruktionen af sådanne modeller, men jeg kan henvise til f.eks. Cundy & Rollett og Steinhaus (se litteraturlisten). Den omtalte større udvidelse fra 00 findes i afsnittet om den hyperbolske paraboloide; dette afsnit blev dengang udvidet til næsten den dobbelte. Udvidelsen skyldes at stoffet blev brugt som valgfrit emne på et A3-hold i foråret 00, og eleverne var her ikke tilfredse med den efter deres mening noget kortfattede argumentation. Jeg gjorde så argumentationen mere fyldig og forsynede tillige fremstillingen med illustrationer frembragt ved hjælp af programmet Mathematica. De øvrige flader ikke er behandlet med samme detaljeringsgrad. Det afsnit under den hyperbolske paraboloide, der hedder beskrivelse ved hjælp af rette linjer er formuleret med brug af vektorregning, så det vil egne sig bedst til A-niveau. Jeg tror godt at man kan tilrettelægge et lødigt, mindre forløb på B-niveau, idet afsnittet den vindskæve firkant II er skrevet sådan, at det giver den samme fornemmelse af frembringernes betydning, blot er er bevisførelsen ikke så generel. Jeg har alle steder forudsat den analytiske fremstilling af ellipser, parabler og hyperbler bekendt, den kan man jo finde så mange steder. Udvidelsen i 008 er i alt væsentligt afsnittene om ellipsoiden og dennes anvendelse som "knuder" på søjlerne og så afsnittet om Gaudís søjler, hvor jeg forsøger at beskrive den komplicerede geometriske konstruktion af søjlernes profil. Siden den første udarbejdelse af materialet er gymnasiereformen af 005 kommet og har medført både nye muligheder og nye begrænsninger i matematikundervisningen. Emnet kan betragtes som velegnet til behandling i almen studieforberedelse i kraft af dets grænseoverskridende natur. Men det er naturligvis også velegnet som supplerende stof i den almindelige matematikundervisning, og det har den fordel, at det er umiddelbart tilgængeligt hvad matematikken bruges til. Den begrænsning man kan frygte, er at det kan være svært at finde den nødvendige sammenhængende tid til fordybelse i stoffet. Hvis det skal behandles analytisk, kræver det en vis matematisk modenhed og teknisk kunnen, som ikke opnås på et par uger. Da jeg arbejdede med dette stof første gang i 1999 var det meste af den for det matematiske aspekt relevante og grundige litteratur på katalansk, spansk eller italiensk. Vigtige undtagelser dannede de i litteraturlisten nævnte bøger af Burry 1999 og Tomlow. 4

5 I den forløbne periode på næsten ti år er der udkommet mere relevant litteratur. Først og fremmest yderligere to gode fremstillinger på engelsk, Bonets bog og bogen Gaudí. Exploring form, som er en overdådigt illustreret beskrivelse af geometrien bag Gaudís arkitektur udgivet i forbindelse med en udstilling i Barcelona i anledning af 150-året for Gaudís fødsel. En god oversigt over mange aspekter af Sagrada Família byggeriet findes i Burry (ed.): Gaudí Unseen, som har et handy format og samtidig giver mange gode oplysninger, også af matematisk art; billedteksterne kræver dog gode øjne eller en lup. Jeg må dog sige, at indtil nu findes den bedste og mest indgående behandling af matematikken stadig i den spanske bog af Gómez et al. fra Gaudí selv har næsten intet skriftligt efterladt sig; det der er, er fra hans helt unge år. Imidlertid har hans elever og senere medarbejdere noteret mange af hans udtalelser ned, og disse er blevet samlet i kompilationer af Gaudí-udsagn. Jeg har haft lejlighed til at læse i en italiensk oversættelse af en sådan kompilation, og derfra stammer de citerede uddrag. Enhver oversættelsesfejl fra italiensk til dansk er mit ansvar, mens jeg er uden skyld i eventuelle fejl i oversættelsen fra katalansk til italiensk. Til sidst skal bemærkes, at jeg ikke i 009 har foretaget større rettelser og ændringer, selv om teksten visse steder nok synes at fordre det. Det skyldes at der nu er planer om at omarbejde materialet til en egentlig bog. Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium September 009 5

6 INDLEDNING Den katalanske arkitekt Antoni Gaudí vil være bekendt for de fleste, der har besøgt Barcelona. Han er nok først og fremmest kendt på grund af den store ufuldendte kirke La Sagrada Familia, som der fortsat bygges på. Det umiddelbare indtryk af hans bygninger er, at de giver udtryk for stor fantasifuldhed i formgivning og ornamentik, undertiden overskridende grænsen til det manierede, så de mange svungne linjer og bølgende, organiske flader har kunnet friste til at bruge den mindre smigrende karakteristik Glosen organisk passer fint ind i den stilsammenhæng, Gaudí tit anbringes i, nemlig art nouveaustilen - den stil, der i Mellemeuropa benævnes jugendstil og i Barcelona modernisme. Art nouveau er netop ofte inspireret af naturens organiske former, smedejernsgitre udformes som plantestængler med blomster og blade, håndtag formes som slanke, krummede delfiner i spring osv. Men det falder i øjnene, at Gaudí på et afgørende punkt falder uden for denne stil eller måske snarere går langt videre: Gaudís organiske former er nemlig langt fra blot udsmykninger og påklistrede ornamenter, som det som oftest er tilfældet i art nouveau, de er en integrerende del af bygningens rumlige udformning. Et Gaudí-hus er i hvert fald i hans senere byggeperiode ikke et kasseformet hus med dekorative organiske udsmykninger, men et hus, der ser ud som om det er vokset op af jorden gennem netop en organisk vækstproces, hvor rummene kan have form som planteceller, trappeforløbet som rygraden på et hvirveldyr. Arkitektur har siden antikken været en disciplin, der er nært forbundet med matematikken. Ofte har arkitekterne med forkærlighed dyrket de rene matematiske former, som sjældent eller aldrig træffes i naturen: plane flader, rette vinkler, polygonale grundflader, polyedre, cirkler, cylindre og kugleflader. Det kan derfor undre, at Gaudí med de bølgende og lidet regelrette former skulle have nogen særlig forkærlighed for matematik. Det er ikke desto mindre tilfældet, og oven i købet på en måde, der står i nær forbindelse med Gaudís optagethed af organiske former. Det er nemlig ikke blot en bekvem og rammende karakteristik af hans former at kalde dem det er noget helt centralt for hans opfattelse af hvad arkitektur er og bør være. Dette fremgår f.eks. af følgende udtalelser: Den store bog, der altid er åben og som man har brug for at styrke sig ved at læse, er naturens bog; de andre bøger stammer fra denne og indeholder desuden menneskenes fortolkninger og misforståelser. Der er to åbenbaringer: Den ene af moralens og religionens principper, den anden, som vejleder ved hjælp af kendsgerningerne, er den, der kommer fra naturens store bog. [Idee per l=architettura, p.100]. I denne verden opfinder man ingenting. En opfindelses vellykkethed består i at se det som Gud sætter foran øjnene af hele menneskeheden; fluerne har kunnet flyve i tusinder af år, men det er først for nylig at vi mennesker har studeret deres flyvning og konstrueret flyvemaskinerne. Dette sker på et hvilketsomhelst område. Læg mærke til eucalyptustræet: det vokser, stammen udvikler sig i grene og kviste og afsluttes med bladene. Læg godt mærke til det: i disse planer og i disse linjer er der en klar geometrisk figur.... i hele haven er der træer, som holder sig oprejst og som med ynde opretholder alle deres dele, uden behov for hverken tilføjelser eller kontravægte. Dette er den årtusindgamle model som Gud har givet os. Alligevel fortsætter menneskene med at konstruere alt lige modsat! [Idee per l=architettura, p.00]. 6

7 Figur 1. Indgangsporten til Palau Güell. (Zebst, p.74) Figur. Vinduesparti i Palau Güell. (Zerbst, p.83) En af de former, som Gaudí anvender særdeles meget og ide fleste af sine byggerier, er en særlig langstrakt bueform med skrå støtteben - eksempler ses på Figur 1 og Figur. Med en anelse matematisk skoling er det let at sætte navn på denne bueform: det er en parabelbue. Anvendelsen af parabelbuen i konkret arkitektur er ny - men historien bag den går et par hundrede år tilbage. Kort og noget forenklet er historien denne: Helt tilbage i begyndelsen af 1600-tallet spekulerede man over, hvilken kurve en hængende kæde egentlig danner. Galilei mente der var tale om en parabel, men det blev efterhånden klart, at det ikke kunne passe. Først i slutningen af 1600-tallet fik Johann Bernoulli løst problemet matematisk, og kurven fik derefter sit eget navn, kædelinjen. Forskriften for den er y k cosh( h x ) hvor h og k er konstanter og cosh er den såkaldte Ahyperbolske defineret ved x x e e cosh( x ) ), som findes på de fleste lommeregnere beregnet til gymnasiebrug. Robert Hooke ( ) havde allerede noget før Bernoullis udregning fremsat den opfattelse, at kædens form måtte kunne sige noget om den ideelle bueform kæden er jo påvirket af lutter trækkræfter, mens buen er påvirket af lutter trykkræfter. Hooke udtrykte det i et i denne sammenhæng berømt anagram, der i klartekst (men på latin) lyder: ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum. På dansk er det noget i retning af: som det bøjelige sammenhængende hænger, således vil omvendt det stive, gensidigt 7

8 berørende stå. Meningen er så, at hvis en bue udformes som en omvendt kædelinje, vil den kunne holde sig selv oppe - i modsætning til buer dannet af cirkelbuestykker, der alle, som erfaringen viste, måtte understøttes i siderne med horisontale kræfter i form af støttepiller eller jernankre på tværs af buen. Denne erkendelse, som faktisk er korrekt, blev inddraget i de første tilløb til egentlige ingeniørvidenskabelige overvejelser i midten af 1700-tallet, hvor Giovanni Poleni benyttede den til at argumentere for Peterskirkekuplens stabilitet. Og den optrådte gang på gang i de stadig talrigere teoretiske afhandlinger om bygningskunst. Men det er svært at finde anvendelser af den i praksis før Gaudís tid. 1 Nu benytter så Gaudí slutningen af århundredet sig af parabelbuen - og det er jo netop ikke den samme som kædelinjebuen. Gaudí kender godt forskellen fra sin udmærkede matematiske skoling, men omtaler tilsyneladende alligevel parabelbuer og kædelinjer lidt i flæng. Det er ikke helt lykkedes mig at opklare hvorfor, men en rimelig forklaring kunne være, at forskellen i praksis, når buen får en vis tykkelse og udføres i mursten, ikke er ret stor, og parabelbuen er rent matematisk enklere at håndtere; det analytiske udtryk er jo et polynomium. Endelig er det jo sjældent, man har brug for at konstruere en bue, der bare skal bære sig selv, og når den er indbygget i et større murværk, er situationen ikke længere helt så enkel. Parablen er en plangeometrisk kurve, men det er især rumgeometriske former, der optager Gaudí. Former, som han må have stiftet bekendtskab med på arkitekskolen. Det drejer sig især om de tre rumlige overfladeformer, der i geometrien går under navnene paraboloide, hyperboloide og helikoide:... Arkitektens sprog er geometrien. At finde de former der passer til enhver funktion (hvilket giver karakter) er netop en opgave for arkitekten; at sørge for at formen kan bruges til alt er en opgave for ingeniøren, som derfor udfører konstruktioner uden karakter. Anvendelsen af krumme flader er logisk på grund af den fremragende formbarhed og lethed i konstruktion der karakteriserer dem. Paraboloiden er faderen; den er den overordnede som tilpasser sig alt, som afhjælper de øvrige uden at fortrænge dem, alle overordnedes opgave. Den form der passer til at understøtte er helikoiden (skruefladen), komplet med basis og kapitæl, hvor disse svarer til massive hyperboloider (modstandsdygtigheden); hvælvingerne kræver hyperboloider set indefra, fordi de er former der er tilpasset lyset. Paraboloiden giver enhed, og iøvrigt ses den overalt, givet at de dele der sammensætter helikoiden er paraboloider, som det også er tilfældet med hyperboloiden. [Idee per l=architettura, p.1-13]. Et rumligt legeme er afgrænset af krumme overflader, som, i betragtning af deres uendelige frembringere, omfatter hele det uendelige rum. Sådanne overflader, som paraboloiden, hyperboloiden og helikoiden er, fremviser alle tre den samme dvs det som er indeholdt i de tre nævnte overflader. [Idee per l=architettura, p.171]. Den præcise mening i disse citater er ikke ret let at bestemme, og vi skal ikke her forsøge at grave dybere i den. Men på det overfladiske plan er det klart, at Gaudí lægger stor vægt på forståelsen og anvendelsen af disse flader. Da vores viden om Gaudís tanker - ud over 1 ) I Fantone p.33 omtales kædelinjens historie i arkitektursammenhæng, og der henvises til en spansk afhandling af J. Bassegoda Nonell, El arco de feston fra 1986, som jeg imidlertid ikke har haft adgang til. 8

9 selvfølgelig de bygninger han har efterladt - udelukkende bygger på sådanne sporadiske udsagn, kan udtalelser om, hvordan han nåede frem til at beskæftige sig med netop disse flader, kun være baseret på gætteri. Det var vel nærliggende for ham, fordi de efter al sandsynlighed indgik i det geometripensum, han havde haft på den ret progressive arkitektskole i Barcelona, og fordi beskrivelsen af disse flader både geometrisk og analytisk var forholdsvis enkel, som vi siden skal se. Men netop Gaudís tanker om naturens store bog kunne pege på, at han måske også mente at kunne hente disse former i naturen, på samme måde som kædelinjen og parablen er naturligt forekommende geometriske kurver. I et i 1999 udkommet arbejde (på spansk) fra Universitat Politècnica de Catalunya (Nonell & Gabarró) er disse overvejelser gennemført ret detaljeret. Her er en lang række naturforekomster sidestillet med former, som Gaudí har anvendt i sin arkitektur. Som eksempler kan vi nævne et billede af skævt voksende oliventræ ved siden af et billede af en af Gaudís skrå søjler, parabelformede sandklitter i Sahara ved siden af en parabel i mursten fra byggeriet af Colonia Güell, et spiralsnoet sneglehus ved siden af en skorsten på taget af Casa Milà (helikoiden), et afrikansk termitbo ved siden af La Sagrada Familia ( den elliptiske paraboloide) fodknogler ved siden af et vinduesparti fra Casa Batlló (hyperboloiden). Der henvises, dog uden billede, til hudoverfladen mellem tommelfinger og pegefinger (den hyperbolske paraboloide) eller den overflade der dannes, når en træstamme deler sig i to. Pånær den elliptiske paraboloide og ellipsoiden har alle disse flader endvidere endnu en egenskab, der virkede tiltrækkende på Gaudí: de er såkaldte retlinede flader, dvs flader, der selv om de er krumme, alligevel kan opfattes som bestående af lutter rette linjer. I det følgende vil vi gå i detaljer med disse geometriske former, idet vi dog vil begrænse os til de såkaldte andengradsflader. Det vil efterhånden blive klart, hvorfor de kaldes sådan, det hænger sammen med deres analytiske fremstilling på samme måde som en parabel kan kaldes en andengradskurve, fordi dens ligning er på formen y ax bx c. Helikoiden er ikke en andengradsflade, men et specialtilfælde af en bred klasse af flader, der kaldes konoider, af hvilke i hvert fald én anden type også blev anvendt af Gaudí, nemlig til taget på skolen ved Sagrada Familia. Helikoiden spiller en afgørende rolle for Gaudís udformning af søjlerne i Sagrada Família. På hvilken måde det sker vil blive mere indgående behandlet i kapitlet om Gaudís søjler (side 63). 9

10 DEN HYPERBOLSKE PARABOLOIDE Figur 3. Hyperbolsk paraboloide. Fig.171 s. i Børge Jessen: Lærebog i Geometri. 3. udg. København En hyperbolsk paraboloide er en flade i rummet, som ved en passende placering af koordinatsytemet opfylder den følgende ligning, hvor a og b er positive konstanter og c er en vilkårlig konstant 0: x y z a b c (1) I det følgende vil vi for nemheds skyld kun regne med c > 0. For at blive fortrolig med fladens karaktertræk vil vi beskrive den på flere forskellige måder. Beskrivelse ved hjælp af parabler Den første beskrivelse er den lettest tilgængelige: vi undersøger fladens skæringskurver med planer parallelle med de tre hovedplaner, xy-planen, xz-planen og yz-planen. I de følgende figurer med rumkoordinatsystemer skal man være opmærksom på, at z-aksen peger opad, x-aksen peger mod højre og y-aksen peger skråt ind i papiret. 10

11 Figur 4. Hyperbel med asymptoter. Figur 5. Hyperbel med asymptoter. Figur 6. Plan med ligning z = h for h > 0. Figur 7. Skæringskurve mellem hyperbolsk paraboloide og plan med ligning z = h for h > 0. 11

12 Figur 8. Plan med ligning z = h for h < 0. Figur 9. Skæringskurve mellem hyperbolsk paraboloide og plan med ligning z = h for h < 0. Figur 10. Planen med ligningen z = 0. Figur 11. Skæringskurve (to rette linjer) mellem hyperbolsk paraboloide og planen med ligning z = Skæring med plan parallel med xy-planen En sådan plan har ligningen z = h. Vi antager først, at h > 0, dvs skæringsplanen ligger over xy-planen. Når vi indsætter z = h i paraboloidens ligning (1), får vi: x y h a b c der ved division på begge sider med h c kan omformes til 1

13 c x c y h a h b x 1 y 1 h h a c c b. Denne ligning er ligning for en hyperbel i et xy-koordinatsystem med centrum i (0,0), halve førsteakse og Figur 7). h a c på x-aksen og halve andenakse h b c parallel med y-aksen (se Figur 4 På Figur 4 er linjestykket OA den halve førsteakse og linjestykket AB den halve andenakse. b b De to tynde linjer er hyperblens asymptoter; de har ligningerne y x og y x. a a Nu antager vi så, at h < 0, dvs skæringsplanen ligger under xy-planen. Når vi nu indsætter h i ligningen (1) og derpå ganger igennem med 1 og dividerer med ( h) c, får vi c x c y 1 ( h) a ( h) b y 1 ( h) ( h) b c c x a hvilket er ligningen for en hyperbel med halve førsteakse andenakse ( h) c a ( h) c parallel med x-aksen.(se Figur 5 og Figur 9). b på y-aksen og halve På Figur 5 er linjestykket OA den halve førsteakse og linjestykket AB den halve andenakse. De to tynde linjer er igen hyperblens asymptoter; det er de samme linjer som før. Adjektivet hyperbolsk i navnet hyperbolsk paraboloide stammer herfra. Vi har set på skæringskurver med alle planer med ligninger z = h, hvor h > 0 eller h < 0. Hvad sker der for h = 0? For h = 0 får ligning (1) udseendet x y 0 a b som er ensbetydende med b b y x eller y x. a a Det vil sige, at skæringskurven er to rette linjer i xy-planen, og disse to linjer svarer netop til 13

14 asymptoterne for alle skæringshyperblerne, idet asymptoterne blot er lodrette parallelforskydninger af disse to linjer (se Figur 11). Figur 1. Skæringskurve mellem hyperbolsk paraboloide og plan med ligning x = k. Figur 13. Skare af 13 skæringskurver for k mellem -6 og 6. Figur 14. Samme skare skæringskurver som på Figur 13, blot set lige forfra. Alle toppunkterne ligger på eller over førsteaksen. Figur 15. Samme skare skæringspunkter som på Figur 13, blot set (perspektivisk) fra siden. Alle toppunkterne ligger på eller over førsteaksen. 14

15 Figur 16. Skæringskurve mellem hyperbolsk paraboloide og plan med ligning y = q. Figur 17. Skare af 13 skæringskurver for q mellem -6 og 6. Figur 18. Samme skare skæringskurver som på Figur 17, blot set lige forfra. Alle toppunkterne ligger på eller under førsteaksen. Figur 19. Samme skare skæringskurver som på Figur 17, blot set (perspektivisk) fra siden. Alle toppunkterne ligger på eller under førsteaksen.. Skæring med plan parallel med yz-planen En sådan plan har ligningen x = k. Vi indsætter x = k i ligningen (1) og får k y z z y k z c y ck a b c c b a b a. Hvis vi udstyrer planen med ligningen x = k med et koordinatsystem, hvor førsteaksen er parallel og ensrettet med rumkoordinatsystemets y-akse og andenaksen er parallel og ensrettet med rumkoordinatsystemets z-akse, er ovenstående ligning (i dette koordinatsystem for denne 15

16 plan) ligningen for en parabel med andenaksen som symmetriakse (se Figur 1). Alle skæringskurverne er kongruente parabler der vender grenene nedad, da koefficienten c er uafhængig af k og altid er negativ. Endvidere ligger toppunktet altid på den positive b ck del af andenaksen, da er positiv, med mindre k = 0; i dette sidste tilfælde ligger toppunket i rumpunktet (0,0,0). Se Figur 13, Figur 14 og Figur a Skæring med plan parallel med xz-planen En sådan plan har ligningen y = q. Vi indsætter y = q i ligningen (1) og får x q z z x q z c x cq a b c c a b a b. Hvis vi udstyrer planen med ligningen y = q med et koordinatsystem, hvor førsteaksen er parallel og ensrettet med rumkoordinatsystemets x-akse og andenaksen er parallel og ensrettet med rumkoordinatsystemets z-akse, er ovenstående ligning (i dette koordinatsystem for denne plan) ligningen for en parabel med andenaksen som symmetriakse (se Figur 16). Alle skæringskurverne er kongruente parabler der vender grenene opad, da koefficienten c/a er uafhængig af q og altid er positiv. Endvidere ligger toppunktet altid på den negative cq del af andenaksen, da er negativ, med mindre q = 0; i dette sidste tilfælde ligger b toppunktet i rumpunktet (0,0,0). Se Figur 17, Figur 18 og Figur 19. De to systemer af kongruente parabler er baggrunden for betegnelsen paraboloide. Den parabel fra det første system af kongruente parabler, der ligger i yz-planen, har i denne c plan ligningen z y ; vi kan kalde den centralparabel nr 1. Den parabel fra det andet b c system af kongruente parabler, der ligger i xz-planen, har i denne plan ligningen z x ; a vi kan kalde den centralparabel nr. Figur 0 viser de to parablers beliggenhed. Da toppunkterne z c a x Da toppunkterne z c b y ck k,0, a på parablerne fra det første system alle opfylder ligningen, ligger de altså alle på centralparabel nr. 0, q, cq b på parablerne fra det andet system alle opfylder ligningen, ligger de alle på centralparabel nr 1. Ethvert punkt på den hyperbolske paraboloide ligger både på en parabel fra første system og 16

17 en parabel fra andet system. Fladen kan altså frembringes ved at centralparabel nr 1 parallelforskydes så dens toppunkt hele tiden ligger på centralparabel nr. Fladen kan også frembringes ved at centralparabel nr. parallelforskydes så dens toppunkt hele tiden ligger på centralparabel nr 1. Dette er illustreret på Figur 1 og Figur. Figur 0. De to centralparabler. Figur 1. Centralparabel nr 1 glider på centralparabel nr. Figur. Centralparabel nr glider på centralparabel nr 1. Disse iagttagelser kan formuleres som følgende beskrivelse: En hyperbolsk paraboloide kan beskrives som den flade der fremkommer, når en given parabel glider med sit toppunkt beliggende på en anden, fast, parabel, således at den glidende parabels plan hele tiden er vinkelret på den faste parabels plan, og således at den glidende og den faste parabel vender grenene hver sin vej. (A) 17

18 Beskrivelse ved hjælp af rette linjer Ved en velkendt omskrivning får ligning (1) side 10 følgende udseende: x y x y z a b a b c (1*) I. Første sæt frembringere Vi holder den første parentes i (1*) konstant (= k), hvilket vil sige at vi ser på en plan med ligningen x a y b k bx ay abk () For ethvert k kalder vi denne plan α k. Denne plan har normalvektoren (b, a, 0) dvs α k er for ethvert k vinkelret på xy-planen, og når k gennemløber alle reelle tal gennemløber α k alle planer parallelle med planen α 0. Planen a 0 med ligningen bx ay 0 kaldes ledeplanen. Ledeplanen skærer xy-planen i linjen b med ligningen y x a. Vi lader nu P være et vilkårligt punkt på fladen F. P ligger så på en plan α k for et eller andet k. Vi indsætter derfor x y k i (1*) og får a b x y z k kbcx kacy abz 0 a b c (3) Punktet P ligger altså også på planen med ligningen kbcx kacy abz 0. For ethvert k kalder vi denne plan α' k. Da denne plan for intet k er parallel med planen α k, idet krydsproduktet af normalvektorerne er 0, vil de to planer skære hinanden i en ret linje, som punktet P så altså ligger på.(se Figur 5 og Figur 6). 18

19 Figur 3. Figur 4. Figur 5. (NB: der skal stå l 1 i stedet for l 1 ) Figur 6. En parameterfremstilling for denne rette linje får vi ved at sætte x t. Ved indsættelse i a ligningen for α k får vi y t k. Ved indsættelse af begge disse i (3) får vi endelig b ck z kct. Dermed har vi for denne linje, som vi i det følgende vil kalde l k, fundet følgende parameterfremstilling: 19

20 l k : x a 0 y b t bk z kc ck (4) Vi har altså vist at et vilkårligt punkt på fladen F ligger på en ret linje l k for et eller andet k. Der gælder imidlertid også omvendt, at ethvert punkt på l k ligger på fladen F. Dette indses ved at indsætte parameterfremstillingen (4) i ligningen (1*) på side 18: venstresiden af (1*): x y x y x y x y k ( t k) kt k a b a b a b a b c z ( kct k ) z højresiden af (1*): kt k. c c c Dermed er vist at højreside og venstreside i (1*) stemmer overens, dvs punktet ligger også på fladen F. Da l k pr definition ligger i planen α k, er l k dermed også parallel med ledeplanen α 0 for ethvert k. To vilkårlige linjer l k1 og l k, hvor k1 k, ligger vindskævt i forhold til hinanden (se Figur 7), fordi 1) l k1 og l k ligger i de to parallelle planer α k1 og α k (og har dermed ingen fællespunkter) ) l k1 og l k er ikke parallelle, idet krydsproduktet af deres retningsvektorer e r (a, b, ck 1 ) (a, b, ck ) = ( bc(k k 1 ), ac(k 1 k ), 0) som er forskellig fra 0, idet a, b og c alle er forskellige fra 0 og k1 k. Vi kan altså konkludere (se Figur 8): Fladen F består netop af samtlige linjer l k ; disse kaldes derfor også frembringere for fladen F. Der gælder at vilkårlige to af disse frembringere ligger vindskævt i forhold til hinanden og at alle frembringere er parallelle med ledeplanen α 0. En flade, der på denne måde kan frembringes af rette linjer, kaldes en retlinjet flade. 0

21 Figur 7. Figur 8. Figur 9. Figur 30. 1

22 II. Andet sæt frembringere Vi holder nu den anden parentes i (1*) konstant (= q), hvilket vil sige, at vi ser på en plan med ligningen x a y b q bx ay abq (5) For ethvert q kalder vi denne plan β q. Denne plan har normalvektoren (b, a, 0), dvs β q er for ethvert q vinkelret på xy-planen, og når q gennemløber alle reelle tal gennemløber β q alle planer parallelle med planen β 0. Også planen β 0 med ligningen bx + ay = 0 kaldes en b ledeplan. Denne ledeplan skærer xy-planen i linjen med ligningen y x a. Helt analogt med regningerne i afsnit I kan vi nu vise, at et vilkårligt punkt P på fladen F må ligge på en linje m q med følgende parameterfremstilling: m q : x a 0 y b t bq z qc cq (6) Ligesom før kan vi også vise at ethvert punkt på linjen m q også ligger på fladen F ved at indsætte parameterfremstillingen i ligningen for fladen. Vi kan også nøjagtig som før vise, at to vilkårlige linjer m q1 og m q, hvor q1 q, ligger vindskævt i forhold til hinanden. Opgave: Vis ovenstående påstande om det andet sæt frembringere. Dermed kan vi konkludere (se Figur 9): Fladen F består netop af samtlige linjer m q ; disse kaldes derfor også frembringere for fladen F. Der gælder at vilkårlige to af disse frembringere ligger vindskævt i forhold til hinanden og at alle frembringere er parallelle med ledeplanen β 0. Vi har nu påvist, at fladen F faktisk kan frembringes af rette linjer på to forskellige måder; man taler om, at fladen har to forskellige frembringersystemer. Det er klart af det foregående, at der gennem ethvert punkt på fladen går netop én linje fra hvert frembringersystem. Man kan vise, at der for ethvert k og ethvert q gælder, at l k og m q skærer hinanden, nemlig i punktet a( k q), b( q k), ckq. [Opgave: Vis dette.] 1 1 1

23 En hyperbolsk paraboloide er en retlinjet flade med to forskellige frembringersystemer. For begge systemer gælder, at samtlige frembringere er parallelle med en ledeplan og at vilkårlige to frembringere fra samme system er vindskæve. Enhver frembringer fra det ene system system skærer enhver frembringer fra det andet system i netop ét punkt. (B) Hvis vi udvælger to forskellige frembringere fra det samme frembringersystem, er disse altså vindskæve, og enhver frembringer fra det andet frembringersystem vil have et punkt fælles med hver af dem. Heraf ses, at For en hyperbolsk paraboloide gælder: en bevægelig frembringer fra det ene frembringersystem beskriver fladen ved at bevæges så den er parallel med sin ledeplan og hele tiden rører to faste frembringere fra det andet frembringersystem. (C) Denne sidste beskrivelse kan blandt andet ses i Julius Petersens Lærebog i Stereometri,. udg., Kjøbenhavn 1883, s Figur 31. 3

24 Den vindskæve firkant (I) 1 1 l 1 l m 1 m Figur 3. Figur 33. Vi vælger to vilkårlige forskellige frembringerlinjer l 1 og l fra det ene frembringersystem og to vilkårlige forskellige frembringerlinjer m 1 og m fra det andet frembringersystem.. l 1 og l er vindskæve i forhold til hinanden, men ligger i parallelle planer α 1 og α. På samme måde er m 1 og m vindskæve, men ligger i parallelle planer β 1 og β. Dette er illustreret på Figur 3. Da enhver frembringer fra det ene system skærer enhver frembringer fra det andet system, definerer de fire linjer en firkant som vist på Figur 33; sådan en firkant, hvis fire hjørner ikke ligger i samme plan, kaldes en vindskæv firkant. Den del af den hyperbolske paraboloide der ligger inden for denne firkant, ser nu ud som på Figur 34 og Figur 35:. Figur 34. Vindskæv firkant, dannet af frembringere på en hyperbolsk paraboloideflade. Figur 35. Nærbillede af den vindskæve firkant på Figur 34. 4

25 Den vindskæve firkant (II) Figur 36. Hvis man tager et kvadrat ABCD lavet af elastisk deformerbart materiale (Figur 36.1)) og trækker lodret op i hjørnerne A og C, som ligger diagonalt over for hinanden, får man en ny firkant EBFD (Figur 36.)), hvis hjørner ikke alle ligger i samme plan, dvs det er en vindskæv firkant. Den flade, der dannes af samtlige rette linjer, der er parallelle med yz-planen og som forbinder et punkt på DF med et punkt på EB, er illustreret på Figur Af symmetrigrunde må den også bestå af samtlige linjer, der er parallelle med xz-planen og som forbinder et punkt på DE med et punkt på FB. Fra afsnittet om den vindskæve firkant I ved vi, at denne flade er en del af en hyperbolsk paraboloide. Vi vil imidlertid her ved rent elementærgeometriske betragtninger udlede en ligning for fladen og på grundlag af denne indse, at der faktisk er tale om en hyperbolsk paraboloide. 5

26 Figur 37 Vi ser på et vilkårligt punkt P (x, y, z) på denne flade. P ligger på en linje (stiplet på Figur 36. og på Figur 37), der er parallel med yz-planen og som forbinder G på DF med H på EB. H ligger i højden h 1 over xy-planen, mens G ligger i højden h over xy-planen. Figur 38 Vi kan nu aflæse af trekant CDF på Figur 38, at h a x h a (1) og vi kan aflæse af trekant ABE på Figur 38 at h1 x a h a () 6

27 Af den øverste trekant på Figur 38 kan vi aflæse, at z h y a h h a 1 (3) Ved at kombinere (1) og () fås h h 1 h ( x a) h ( a x) hx a a a som ved indsættelse i (3) giver hx y a h hx z h xy a a a a, h hx og dermed, idet h ifølge (1): a z h xy h a (4) Opgave: Vis, at fladen skærer z-aksen i (0, 0, h/). Vis, at planen med ligningen y = x skærer fladen i en parabel med toppunkt (0, 0, h/) som vender grenene opad, og planen med ligningen y = x skærer ligeledes fladen i en parabel med toppunkt i (0, 0, h/); denne sidste parabel er ligedannet med den første, men vender grenene nedad. Vis dernæst, at enhver plan, der er parallel med planen med ligningen y = x, vil skære fladen i en parabel, som er ligedannet med den første parabel. Vis også, at der gælder noget tilsvarende for planer parallelle med planen med ligningen y = x. Vis så, at enhver plan parallel med xy-planen, altså enhver plan med ligningen z = konstant (konstanten dog 0), skærer fladen i en hyperbel, hvor hyperbelgrenenes beliggenhed afhænger af om z er større eller mindre end h/. Bestem skæringskurve for skæring med planen med ligningen z = 0. Vi vil nu vise, at ligningen (4) faktisk fremstiller en hyperbolsk paraboloide ved at ændre koordinatsystemet og betragte fladens ligning i det nye koordinatsystem. Ændringen af koordinatsystemet består i først at dreje det 45 om z-aksen og derpå forskyde z-aksen stykket h/ opad. Det nye koordinatsystem vil vi kalde et (x 1,y 1,z 1 )-koordinatsystem. 7

28 Først drejningen: y 1 j 1 j 45 i 1 i x 1 x Vi betegner enhedsvektorerne i x-aksens retning og i y-aksens retning med henholdsvis i og j. De nye enhedsvektorer i x 1 -aksens retning og i y 1 -aksens retning vil vi betegne med i 1 og j 1. Et vilkårligt punkt P i xy-planen har retningsvektoren r. Dens koordinater i de to koordinatsystemer vil vi betegne med henholdsvis ( x, y) og ( x 1, y 1 ). Der gælder (se Figur 39): i 1 = cos(45 ) i + sin(45 ) j j 1 = sin(45 )i + cos(45 )j. Figur 39. Vi har nu at r = x 1 i 1 + y 1 j 1 = x 1 (cos(45 ) i + sin(45 ) j) + y 1 ( sin(45 ))i + cos(45 )j ) = (x 1 (cos(45 ) y 1 sin(45 )) i + (x 1 sin(45 ) + y 1 cos(45 ) j = x y i + x y j Heraf ses, at koordinaterne til r i xy-koordinatsystemet er x ( x1 y1 ) y ( x1 y1 ) Dernæst parallelforskydningen med h/ opad: h z z 1. Vi kan nu erstatte x, y og z i formel (4) med ovenstående overgangsformler: z h h h h h xy z xy z 1 a a a xy hvoraf fås 8

29 h z1 ( x 1 y1) ( x1 y1) a h 1 z1 ( x1 y1 ) a z1 1 ( x 1 y1 ) h a z1 1 1 x y h a a z1 x1 y1 h a a 1 1 (5) Heraf kan vi se, at et punkt opfylder ligningen (4) i xyz-koordinatsystemet hvis og kun hvis det opfylder ligningen (5) i (x 1,y 1,z 1 )-koordinatsystem. Men (5) er jo netop ligningen for en hyperbolsk paraboloide med centrum i (0,0,0) i (x 1,y 1,z 1 )- koordinatsystemet, dvs den har centrum (0,0, h/) i xyz-koordinatsystemet. 9

30 DEN ELLIPTISKE PARABOLOIDE Figur 40. Elliptisk paraboloide. Fig 170, s. i Børge Jessen: Lærebog i Geometri I. 3. udg. København En elliptisk paraboloide er en flade i rummet, som opfylder den følgende ligning, hvor a og b er positive konstanter og c er en vilkårlig konstant 0: x y z a b c (1) Vi vil undersøge fladens skæringskurver med planer parallelle med de tre hovedplaner, xyplanen, xz-planen og yz-planen. Det ses let, at skæringskurven med en plan parallel med xy-planen (dvs med ligningen z = konstant) bliver en ellipse; såfremt z = c/ fås ellipsen med halve hovedakser a og b. Herfra hidrører adjektivet elliptisk. Skæringskurven med en plan parallel med xz-planen (y = konstant) bliver en parabel med z- aksen som symmetriakse. Uanset hvad y er, er koefficienten til x den samme, nemlig c/ a, så skæringskurverne er kongruente parabler. Skæringskurven med en plan parallel med yz-planen (x = konstant) bliver ligeledes en parabel med z-aksen som symmetriakse. Uanset hvad x er, er koefficienten til y den samme, nemlig c/b, så skæringskurverne er også her kongruente parabler. Da fortegnet for de to koefficienter c/ a og c/b er det samme (nemlig fortegnet for c), vender de to hold parabler altid samme vej. De to systemer af kongruente parabler er baggrunden for betegnelsen paraboloide. Disse iagttagelser kan give anledning til følgende beskrivelse: 30

31 En elliptisk paraboloide kan beskrives som den flade der fremkommer, når en given parabel glider med sit toppunkt beliggende på en anden, fast, parabel, således at den glidende parabels plan hele tiden er vinkelret på den faste parabels plan, og således at den glidende og den faste parabel vender grenene samme vej. Såfremt a = b kaldes den elliptiske paraboloide en omdrejningsparaboloide, fordi den også kan frembringes ved at den faste parabel (eller den glidende, der så er kongruent med den) drejes 360 om z-aksen. Figur 41. Omdrejningsparaboloide med ligningen x y z. Til slut skal bemærkes, at den elliptiske paraboloide ikke er en retlinet flade i modsætning til både den hyperbolske paraboloide og hyperboloiden. 31

32 ELLIPSOIDE En ellipsoide er en flade i rummet, som opfylder den følgende ligning, hvor a, b og c er positive konstanter: x y z 1. a b c Figur 4. Ellipsoide. Fig. 167 s. 0 i Børge Jessen: Lærebog i Geometri I. 3. udg. København Fladens skæring med xy-planen (z = 0) er åbenbart ellipsen med x y ligningen 1, a b skæringen med xz-planen (y = 0) er ellipsen med ligningen x z 1 og skæringen med a c yz-planen (x = 0) er ellipsen med y z ligningen 1. Dette er b c baggrunden for benævnelsen ellipsoide. En plan parallel med xy-planen med ligningen z = k vil ikke skære fladen, hvis k > c, mens x y k den vil have ellipsen med ligningen 1 som skæringskurve, såfremt k < c. a b c Noget tilsvarende kan bemærkes om skæringer med planer parallelle med henholdsvis xz-plan og yz-plan. Ellipsoiden er ligesom den elliptiske paraboloide ikke en retlinet flade. 3

33 HYPERBOLOIDE MED ÉT NET En hyperboloide med ét net er en flade i rummet, som opfylder den følgende ligning, hvor a, b og c er positive konstanter: Figur 43. Hyperboloide med ét net. Fig.168, s.1 i Børge Jessen: Lærebog i Geometri I. 3.udg. København x y z a b c 1 Der findes også hyperboloider med to net, men dem skal vi ikke komme ind på her. Vi undersøger fladens skæringskurver med planer parallelle med de tre hovedplaner, xy-planen, xz-planen og yz-planen. For z = konstant fås åbenbart en ellipse som skæringskurve (eller en cirkel, hvis a = b), og da forholdet mellem hovedakserne er det samme uanset hvad z er, bliver alle disse ellipser ligedannede. Den mindste af disse ellipser fås for z = 0, den har hovedakserne a og b og kaldes også strubeellipsen. Den er indtegnet på Figur 43. Skæringskurven med en plan parallel med yz-planen (x = konstant) bliver for x ± a en hyperbel med z-aksen som symmetriakse. Uanset hvad x er, er forholdet mellem hovedakserne det samme, så skæringskurverne er ligedannede hyperbler, men de vender forskelligt afhængig af om x > a eller < a eller om a < x < a. Hvis derimod x = a eller x = a, får vi y z b 0 y z, b c c hvoraf vi kan se, at de to planer med ligningerne x = a og x = a skærer hyperboloiden i to rette linjer, som skærer hinanden i punktet (a, 0, 0). Dette er illustreret på Figur 44, hvor den skraverede plan er planen med ligningen x = a. Noget helt tilsvarende kan siges om skæringskurven med en plan parallel med xz-planen. Disse to systemer af ligedannede hyperbler er baggrunden for betegnelsen hyperboloide. Hyperblerne er illustreret på Figur

34 Som netop nævnt findes der åbenbart rette linjer, der ligger helt i hyperboloidefladen. Der gælder faktisk, at hyperboloiden med ét net består af lutter rette linjer, idet hele fladen kan frembringes ved, at f.eks. en af de to linjer som fladen har fælles med planen med ligningen x = a drejes rundt om z-aksen, idet den hele tiden rører strubeellipsen og hele tiden danner samme vinkel med xy-planen. En hyperboloide med ét net er altså ligesom den hyperbolske paraboloide en retlinet flade. Dette vil vi dog ikke bevise generelt her, men vi vil i det følgende se på et specialtilfælde, hvor det er let at se. Figur 44. Figur 45. Omdrejningshyperboloide med ligning x y z 1. Omdrejningshyperboloiden En omdrejningshyperboloide er en hyperboloide med ét net, hvor a = b. For en omdrejningshyperboloide er alle skæringskurver med planer parallelle med xy-planen følgelig cirkler med centrum på z-aksen. Deraf følger så, at hele fladen kan frembringes ved at den ene gren af skæringshyperblen med xz-planen (eller for den sags skyld med yz-planen, da de to hyperbler er kongruente) drejes 360 om z-aksen. Det er af denne grund, at fladen kaldes en omdrejningshyperboloide. De to rette linjer, som fladen har fælles med planen med ligningen x = a, vil selvfølgelig blive ved med at ligge i fladen når de drejes med skæringshyperbelgrenen rundt om z-aksen. Fladen kan altså frembringes ved at dreje linjen l rundt om z-aksen; alle de forskellige linjer i fladen, som l på den måde kommer til at falde sammen med, kaldes frembringere for hyperboloidefladen (se Figur 46). Disse frembringere kan vi kalde venstrefrembringere, da de 34

35 peger fremad til venstre, nå vi bevæger os rundt om z-aksen i positiv omløbsretning. På samme måde kan fladen frembringes ved at dreje linjen m rundt om z-aksen (se Figur 47). Disse frembringere kan vi så kalde højrefrembringere, da de peger fremad til højre, når vi bevæger os rundt i positiv omløbsretning. Ligesom den hyperbolske paraboloide har hyperboloiden med ét net altså to sæt frembringerlinjer. Vi vil nu se på, hvorledes disse linjer ligger i forhold til hinanden. Figur 46. Venstrefrembringere på omdrejningshyperboloide. Figur 47. Højrefrembringere på omdrejningsparaboloide Vi vil først vise, at to vilkårlige frembringere fra samme sæt (altså to venstrefrembringere eller to højrefrembringere) er vindskæve. Lad os se på to venstrefrembringere. Hvis vi skærer hyperboloiden over ved strubecirklen og kun ser på den øverste halvdel (Figur 48) og desuden ser på frembringernes projektion på xyplanen (Figur 49), bliver det klart at to frembringere i hvert fald ikke skærer hinanden i den øverste halvdel af hyperboloiden. Men billedet af de samme frembringere på den nederste halvdel af hyperboloiden må af symmetrigrunde være noget tilsvarende, så de kan heller ikke skære hinanden her. Figur 48. Figur

36 Kunne de to frembringere være parallelle? Det kan vi overbevise os om ikke kan være tilfældet ved at se på Figur 50. Her er fremhævet to frembringere, den ene gennem punkterne A og C, den anden gennem punkterne B og D. Desuden er hyperboloiden afskåret ved to planer parallelt med xy-planen. Hvis de to frembringere var parallelle, måtte de ligge i samme plan, og dermed ville alle fire punkter A, B, C og D ligge i samme plan. Men linjestykkerne AB og CD ligger i hver sin af de to parallelle skæringsplaner, og de er klart ikke parallelle, men så må AB og CD være vindskæve. Og to vindskæve linjestykker kan ikke ligge i samme plan; følgelig kan de to frembringere heller ikke være parallelle. Figur 50. Da de to frembringere således hverken skærer hinanden eller er parallelle, er de vindskæve. Dernæst vil vi gerne vise, at en vilkårlig venstrefrembringer skærer en vilkårlig højrefrembringer eller også er den parallel med den. På Figur 51 er indtegnet z- aksen, strubecirklen, en venstrefrembringer gennem A på strubecirklen og en højrefrembringer gennem B på strubecirklen. På grund af symmetrien mellem en højrefrembringer og en Figur 51 venstrefrembringer gennem samme punkt på strubecirklen (se Figur 44), vil de begge danne samme vinkel (u på Figur 51) med en linje parallel med z- aksen. Projektionerne af de to frembringere ned på strubecirklens plan vil begge være tangenter til strubecirklen. Hvis A og B ikke er diametralt modsatte punkter på strubecirklen, vil de to tangenter skære hinanden, og vi kalder skæringspunktet C. Venstrefrembringeren gennem A skærer linjen gennem C parallel med z-aksen i punktet D og højrefrembringeren gennem B skærer samme linje i punktet D 1. Nu er D 1 BC = D AC = 90 u, D CA = D 1 CB = 90, og da en tangentvinkels ben er lige lange, er BC = AC. Heraf følger, at trekant AC D er kongruent med trekant BC D 1. Men så er D 1 = D, og dermed er vist, at de to frembringere skærer hinanden. Tilbage er at se på det tilfælde, hvor A og B ligger diametralt modsat på strubeellipsen. Men så er venstrefrembringeren og højrefrembringeren klart parallelle. 36

37 Dermed er det ønskede vist. Man kan bevise noget helt tilsvarende for en vilkårlig hyperboloide med ét net, det er altså ikke afgørende, at der er tale om en omdrejningshyperboloide. Vi kan dermed sammenfatte på følgende måde: En hyperboloide med ét net er en retlinjet flade med to forskellige frembringersystemer. Vilkårlige to frembringere fra samme system er vindskæve. En vilkårlig frembringer fra det ene system vil enten skære eller være parallel med en vilkårlig frembringer fra det andet system; parallellitet indtræffer kun, hvis de to frembringere skærer strubeellipsen i diametralt modsatte punkter. 37

38 GAUDÍS ANVENDELSE AF ANDENGRADSFLADER Omdrejningsparaboloiden og den elliptiske paraboloide: La Sagrada Família og Palau Güell Figur 5. Fødselsfacaden med de fire tårne. (Bergós, Llimargas p.66) Klokketårnene på La Sagrada Familia kirkens fødselsfacade (den østlige tværskibsfacade) er omdrejningsparaboloider med basisdiameter 8 m og højde ca 75 m. (iflg. Jos Tomlow, p.31 og Jordi Bonet, p.10). De er yderligere udstyret med spir, der er ca 5 m høje, hvilket bringer den samlede højde af tårnene op over 100 m. Som det ses af Figur 5 er de fire tårne dog ikke lige høje. Ligningen for en omdrejningsparaboloide med basisdiameter 8 og højde 75 er 38

39 16 x y z. 75 Denne paraboloide har et udseende som på Figur 53; for z = 75 fås ligningen x y 16, som netop er en cirkel med diameter 8. Hvis man nu sætter 75 z ind i stedet for z, får vi paraboloiden vendt på hovedet, og ligheden med facadetårnene bliver nu tydelig (Figur 54): Figur 53. Omdrejningsparaboloide med ligningen 16 x y z. 75 Figur 54. Omdrejningsparaboloide med ligningen 16 x y (75 z ). 75 Et andet eksempel på anvendelse af omdrejningsparaboloiden findes i det centrale rum i Palau Güell; dette rum er overhvælvet med en omdrejningskuppel, der har form som en paraboloide. Vi nøjes her med at illustrere med et foto og en lodret tværsnitstegning. Figur 55. Kuppel af form som omdrejningsparaboloide i Palau Güell. (Idee, planche 7) 39

40 Figur 56. Udsnit af tværsnit gennem kuppelpartiet i Palau Güell. (Fantone p.99) Klokketårnene på Passionsfacaden (den vestlige tværskibsfacade) er elliptiske paraboloider hvis basisellipser har lilleakse 8 og storakse 1, dvs lilleaksen har samme størrelse som basisdiameteren på klokketårnene på den modstående facade. De fire tårne har lidt forskellig højde, som det også fremgår af Figur 57, men de er alle en smule højere end tårnene på fødselsfacaden, dvs med spir over 100 m. (Mark Burry i Gaudí Unseen, 007, p.111). Den endnu ikke færdiggjorte facade mod syd, som er hovedskibsfacaden og har betegnelsen Gloriafacaden, bliver også forsynet med fire klokketårne. De bliver igen omdrejningsparaboloider, men nu med en diameter der er lige så stor som storaksen på basisellipsen på Passionsfacadens klokketårne, dvs 1 m. Tårnenes højder vil blive øget en anelse igen i forhold til højderne på passionsfacadens tårne, og de vil ligesom de øvrige tårne blive udstyret med ca 5 m høje spir. Udseendet af Gloriafacaden udformes i overensstemmmelse med den gipsmodel, Gaudi fik lavet i sin tid. Den er ganske vist forsvundet, men der eksisterer gamle fotografier af den og dens præcise opbygning af matematiske flader sikrer at man i dag har kunnet lave en nøje kopi. 40

41 Figur 58. Model af Gloriafacaden mod syd med dens 4 klokketårne. Spirene er ikke med. Modellen er udstillet i skolebygningen Escoles Provisionals. (Forf. foto) Figur 57. Passionsfacaden mod vest med de 4 tårne. (Mark Burry 007, p.10) Figur 59. Grundflader for de parabolske klokketårne på Sagrada Família. A: Cirkelbasis for Fødselsfacadens tårne, B: Ellipsebasis for Passionsfacadens tårne. C: Cirkelbasis for Gloriafacadens tårne. 41

42 Den hyperbolske paraboloide: Kryptkirken i Colonia Güell Gaudí refereres for at have sagt følgende om sine tanker om udformningen af hvælvingerne i La Sagrada Familia kirken: Nu vil jeg have, at hvælvingerne skal være hyperbolske paraboloider, og det af mange grunde: det drejer sig om et storslået symbol på den Hellige Treenighed, fordi de dannes af to rette og uendelige frembringere og af en frembringer, der også er ret og uendelig, som drejer på de to andre: Faderen og Sønnen, forenede af Helligånden; alle tre lige uendelige, alle tre kun én ting; det er et bedre symbol end træet med tre grene, fordi dette sidste forudsætter opsplitning af stammen. Jeg havde opdaget dette symbol da jeg arbejdede på Colònia Güell, og da jeg fandt det perfekt, har jeg også villet anvende det i La Sagrada Família. Folk vil få at se at nu vil den hyperbolske paraboloide, som alle har studeret og alle har holdt for absolut unyttig, komme til anvendelse i Sagrada Famílias hvælvinger. [Idee per l architettura, p.48] Af dette citat ses klart, at Gaudí her har tænkt på den beskrivelse af fladen, som vi på s.xx har kaldt (C), og som man altså kan finde hos Julius Petersen i en lærebog fra Sandsynligvis har Gaudí lært den under sin uddannelse til arkitekt. Som det også ses af citatet mener Gaudí at han er den første der bringer den absolut unyttige hyperbolske paraboloide i anvendelse i arkitekturen. Efter Gaudí har flere arkitekter interesseret sig for den hyperbolske paraboloideflade, bl.a. Le Corbusier, men først i 1950érne bliver konstruktioner der benytter denne almindelige i forbindelse med overdækning af større rum. Det første sted, Gaudí anvendte den hyperbolske paraboloide, var - som det også antydes i det ovenstående citat - i den såkaldte Colònia Güell, som ligger et stykke uden for Barcelona. Her var der planlagt en kirke, som Gaudí designede. Denne kirke blev aldrig bygget færdig, byggeriet gik i stå efter at krypten var bygget, så det er alt hvad der er at se i dag. Den måde, Gaudí designede kirken på, var temmelig enestående. Det er med vilje jeg benytter glosen designe og ikke tegne, for han lavede ingen arbejdstegninger til kirken i sædvanlig forstand. I stedet udfærdigede han en såkaldt hængemodel af tråde og små poser med blykugler som vægte (se Figur 60). Denne model udnytter netop det faktum, at en ideel opmuret bue må se ud på samme måde som en ophængt kæde, blot vendt på hovedet; det var det der blev omtalt i indledningen s.6-7. Den udfærdigede model var stor (4 gange 6 m, udført i skala 1:10 i forhold til den planlagte bygning) og kompliceret og tredimensional, og dermed måtte Gaudí også forsøge at tage højde for de horisontale kræfter, der virker i en bygning; trådmodellen alene kaster kun lys over effekten af de lodretvirkende kræfter (Figur 61). Gaudí kunne i nogen udstrækning tage hensyn hertil ved at forsyne modellen med vandrette snore, der skulle imitere de vandrette kræfters bindinger. 4

43 Figur 60. Foto af Gaudís originale hængemodel til kirken i Colonia Güell. (Burry, fig.4) Figur 61. Tegning af princippet i Gaudís hængemodel. (Tomlow, p.55) Modellen gik til grunde under den spanske borgerkrig i slutningen af trediverne, men den er i 1980'erne blevet rekonstrueret på baggrund af et minutiøst og omfattende studium af gamle tegninger og fotografier. Denne rekonstruktion er omhyggeligt og detaljeret dokumenteret i Tomlows bog fra 1989 (se litteraturlisten) og rekonstruktionen, som er udført i Tyskland af tyske og hollandske fagfolk, er i dag udstillet i museet i krypten under kirken La Sagrada Familia. Modellen indgik i den videre planlægning af kirken i Colonia Güell på følgende måde: Gaudí tog fotografier af modellen fra alle mulige vinkler, vendte derpå fotografierne på hovedet og malede sin vision af kirken oven på disse fotografier. Disse billeder skulle så være udgangspunkt for bygningsarbejdet. Gaudí og hans medarbejdere konstruerede modellen i perioden , hvorefter det egentlige byggeri gik i gang. Krypten og dennes indgangsparti, den såkaldte portico, blev bygget og indviet i november 1915, men allerede i 1914 var byggeriet gået i stå, så kirken oven over blev aldrig bygget. Grunden til stoppet var økonomiske vanskeligheder i det neutrale Spanien i begyndelsen af Første Verdenskrig. Hertil kom, at den finansielle bagmand til projektet, Eusebi Güell, blev syg og senere døde. På basis af hængemodellen blev krypten imidlertid udført, og det er først og fremmest 43

44 porticoen til krypten, der har vores interesse i forbindelse med andengradsfladerne. Her eksperimenterede han nemlig med at udføre de trekantede hvælvingsfag som hyperbolske paraboloideflader. Jeg gengiver her Tomlows beskrivelse af konstruktionen: Figur 6. Grundplan for krypton til kirken i Colonia Güell. Porticoen er området yderst til højre, det er tydeligt opdelt i trekantfelter. (Idee per L'architettura fig. 53) Porticoens bærende struktur består af et system af murede polygonale buer. De trekantede felter mellem buerne er udfyldt med HP-flader [hyperbolske paraboloideflader] af flade teglsten. To af kanterne af disse flader støder op til to buer langs en ret linje, mens den tredje kant støder op til den tredje bue med enten konveks eller konkav krumning. Fordelen ved denne form er som bekendt, at det er meget let at udforme stive, rumligt krummede flader med to rette frembringerlinjer. De relativt tynde HP-overflader af flade teglsten bærer den støbning som terrassen og trappetrinene hviler på. Undersiden af hvælvingen er udsmykket med kakkelfragmenter, som er blevet presset ind i pudset. Denne udsmykning danner tiltrækkende, regelmæssige mønstre. I midten af hvert mønster er der et kors dannet af to frembringende linjer. Et smukt eksempel på forening af konstruktion og symbol. [Tomlow, p ]. Porticoen til krypten er samtidig også fundamentet under trappen op til kirkens indgangsportal, som altså aldrig blev lavet. Den trekantede struktur af hvælvingskapperne fremgår af Figur 6. De nævnte kors ses på billedet på Figur 63, de følger altså to frembringere fra hver sit frembringersystem i hvert fladestykke. Den saddelformede karakter, hvælvingskapperne har, kan godt fornemmes på billedet, selv om det er todimensionalt. Den beskrivelse, der er givet i det tidligere matematiske afsnit om den hyperbolske paraboloide, gør det nu let at se, at konstruktionsmæssigt har det hyperbolske paraboloidehvælv flere fordele: det er let at bygge op uden skabeloner, fordi stenene kan lægges langs rette linjer (fladens frembringere), der så 44

45 blot flyttes på en bestemt måde, når den næste række sten skal lægges; selv om fladen altså består af lutter rette linjer bliver den alligevel krum og det ovenikøbet så den krummer i to forskellige retninger, hvad der giver fladen en betydelig stivhed og dermed stabilitet. På Figur 64 ses endnu en anvendelse af den hyperbolske paraboloide, idet den tillige er anvendt rent ornamentalt som en slags skulpturel hudfold på ribbernes undersider. Figur 63. Hvælvingskapper i porticoen til krypten i Colonia Güell. (forf. foto) Figur 64. Tegning, der viser placeringen af en hyperbolsk paraboloideflade formet i cement. Formålet er rent ornamentalt. (Tomlow, p.194) 45

46 Anvendelse af både hyperboloide og hyperbolsk paraboloide: La Sagrada Familia Gaudí er refereret for følgende (citeret tidligere i indledningen):... Arkitektens sprog er geometrien. At finde de former der passer til enhver funktion (hvilket giver karakter) er netop en opgave for arkitekten; at sørge for at formen kan bruges til alt er en opgave for ingeniøren, som derfor udfører konstruktioner uden karakter. Anvendelsen af krumme flader er logisk på grund af den fremragende formbarhed og lethed i konstruktion der karakteriserer dem. Paraboloiden er faderen; den er den overordnede som tilpasser sig alt, som afhjælper de øvrige uden at fortrænge dem, alle overordnedes opgave. Den form der passer til at understøtte er helikoiden (skruefladen), komplet med basis og kapitæl, hvor disse svarer til massive hyperboloider (modstandsdygtigheden); hvælvingerne kræver hyperboloider set indefra, fordi de er former der er tilpasset lyset. Paraboloiden giver enhed, og iøvrigt ses den overalt, givet at de dele der sammensætter helikoiden er paraboloider, som det også er tilfældet med hyperboloiden. [Idee per l architettura, p.1-13]. Dette citat er heller ikke så let at forstå, når man går i enkeltheder. I det følgende skal vi forsøge at give et indtryk af de ideer, der skjuler sig bag de dunkle udsagn, således som disse ideer er kommet til udtryk i Gaudís arbejdsmodeller og tegninger. Det er disse ideer, der i dag under udfoldelse af moderne computerhjulpen teknik føres ud i livet i det fortsatte byggeri på kirken La Sagrada Familia. Gaudí overtog ansvaret for bygningen af kirken allerede i 1883, ret kort tid efter at byggeriet var sat i gang, på grund af uenighed mellem byggekomitéen og den tidligere arkitekt. Og han arbejdede på den resten af sin levetid, fra 1914 til han døde i 196 var han faktisk udelukkende beskæftiget med dette projekt. Gaudí lavede ingen hængemodel for La Sagrada Familia, men til gengæld lavede han adskillige gipsmodeller - ikke af kirken som helhed, men af større eller mindre udsnit af den (se Figur 65). Han refereres for at have sagt følgende om sit arbejde med denne kirke: Jeg beregner alt; først vægtene for at bestemme resultantlinjen; dernæst overdækker jeg denne linje med former og materialer, for hvilke jeg igen kontrollerer vægten, og undertiden korrigerer jeg resultantlinjerne en anelse. På den måde finder jeg frem til den skjulte logiske form i alt hvad der er nødvendigt. Jeg har udledt resultantlinjerne for La Sagrada Familia grafisk ; for Colonia Güell eksperimentelt 3 ; men disse to fremgangsmåder er det samme: den ene udledes af den anden. [Idee per l architettura, p. 46]. På basis af disse grafiske beregninger udførte han sammen med sine medarbejdere så de nævnte gipsmodeller i størrelsesforholdet 1:10. Ti år efter Gaudís død, i 1936, blev byggepladsen hærget af en flok ungdommelige elementer i forbindelse med den spanske borgerkrig, og både krypten og den tilhørende skole blev sat i brand. Ved den lejlighed blev dvs ved hjælp af den såkaldte grafiske statik. Jeg har givet en beskrivelse af dele af denne i mit undervisningsmateriale Statik for buer og kupler, Århus Statsgymnasium her tænkes der på hængemodellen. 46

47 gipsmodellerne stærkt beskadiget eller helt ødelagt. Arbejdet på kirken blev først genoptaget i 1954, hvor man påbegyndte arbejdet med passionsfacaden, tværskibets vestfacade. Efterhånden fik man ved hjælp af stumperne af de gamle gipsmodeller og gamle fotografier af disse (som f.eks.figur 65) lavet rekonstruktioner af modellerne. Her var det formentlig også til stor hjælp, at nogle af Gaudís medarbejdere, der havde deltaget i arbejdet med konstruktionen af modellerne som unge, blev meget gamle; den sidste af dem døde først i 1993 i en alder af 99. Det arbejde, der nu pågår med fortsat byggeri på kirken, udføres på grundlag af disse modeller. Her viser det sig at være en stor fordel, at Gaudí havde den forkærlighed han havde netop for de retlinede flader som hyperboloiden og den hyperbolske paraboloide. Figur 65. Fotografi taget i perioden 19-6 af det indre af gipsmodellen af kirkens skib. (Josep Gómez Serrano, p.9) Vi vil nu se mere detaljeret på udformningen af en bestemt detalje, nemlig hvælvingerne over sideskibene. Her støtter jeg mig kraftigt til Josep Gomez et. al (se litteraturlisten), hvor der findes en meget grundig gennemgang af hvorledes computer aided design er taget i anvendelse. Her gennemgås også udformningen af vinduerne og søjlerne, begge steder anvendes andengradsflader, men af pladshensyn nøjes jeg med hvælvingerne her. De vigtige pointer kommer tydeligt nok frem. Fremgangsmåden er nu følgende: 1. Som basismodul benyttes et kvadrat med sidelængden 375 cm. 47

48 1. Der konstrueres fire omdrejningshyperboloider, én med strubediameter 60 cm, én med 10 cm og to med 85 cm, dvs i hyperboloideligningen (se s.33) er a = b = 30, 60 og 4,5 cm henholdsvis. Størrelsen c i hyperboloideligningen fastlægges endvidere til 3,4 cm, 3,1 cm og 5,5 cm henholdsvis. Centrerne i de fire strubecirkler er hjørner i et kvadrat med sidelængden 375 cm. Disse størrelser er fundet ved omhyggeligt studium af de gamle modelrester. De fire hyperboloider griber ind i hinanden som vist på Figur 66, Figur 67 og Figur Midt mellem de fire hyperboloider skal nu anbringes kapitælen på en søjlegren. Hver søjle, som bærer sideskibet, deler sig højt oppe i fire skråtstillede grene, og det er så den ene af disse grene vi ser på. Denne kapitæl har ligeledes form som en omdrejningshyperboloide; strubediameteren er 6 cm og kapitælens højde fra struben til hvælvet er 180 cm (se Figur 69). Den præcise placering af denne kapitæl i forhold til basismodulets kvadrater er også fundet ved studium af modelresterne (placering er angivet ved rumkoordinater på Figur 69). Da hvælvets fire hyperboloider har forskellig størrelse, bliver skæringskurven mellem kapitælen og hvælvet en noget uregelmæssig kurve (se Figur 70); denne kurve kalder vi Ψ. 4. A, B, C og D defineres nu som de fire punkter på kapitælens skæringskurve med hvælvet der også ligger på én af de fire skæringskurver mellem de fire omdrejningshyperboloider. Punktet A, f.eks., ligger således på tre hyperboloider, nemlig kapitælhyperboloiden og hyperboloiden med strubediameter 60 cm og den højre hyperboloide med strubediameter 85 cm (se Figur 71). Da A ligger på den højre hyperboloide med strubediameter 85 cm, ligger A følgelig også på to frembringere, en venstre- og en højrefrembringer. Det samme gælder for punktet B. Vi tager nu en højrefrembringer gennem A og en venstrefrembringer gennem B (z-aksen peger ind i papirets plan); disse skærer som bekendt fra teorien hinanden og vi kalder skæringspunktet F. Da A og B også begge ligger på kapitælhyperboloiden, kan vi på samme måde vælge en frembringer fra hvert sit system gennem henholdsvis A og B, og disse to frembringere vil skære hinanden i et punkt J. Derved er defineret to plane figurer, trekanterne AFJ og BFJ, som placeres uden på hvælvet. Bemærk, at de to trekanter ikke ligger i samme plan. Dette gentages for de øvrige tre hyperboloider, hvorved trekantsparrene AEI og DEI, DHL og CHL og endelig CKG og BKG føjes til hvælvets overflade. 5. (Se Figur 7). Vi definerer nu punktet M på følgende måde: Lad A, B og F være projektionerne ned på den vandrette plan gennem strubecentrerne for de fire hyperboloider. Vi ser på vinkelhalveringslinjen for vinkel A F B. Dennes skæringspunkt med projektionen af kurven Ψ (se punkt 3) ned på denne plan kalder vi M. Så er M det punkt på kurven Ψ, der projiceres ned på M. Da M ligger på Ψ, og Ψ er skæringskurven mellem to hyperboloider, gælder følgende: Eftersom M ligger på kapitælhyperboloiden, vil der gå en frembringer fra hvert system gennem M. Venstrefrembringeren gennem M skærer en hvilken som helst højrefrembringer og derfor også højrefrembringeren gennem A. Skæringspunktet kalder vi P. På samme måde vil højrefrembringeren gennem M skære venstrefrembringeren gennem B, og skæringspunktet kalder vi Q. Dermed er defineret et nyt par trekanter, MFP og MFQ. Disse tilføjes til hvælvets overflade og samtidig fjerner vi det der ligger under (z-aksen er stadig rettet ind i papiret på Figur 7) fra trekanterne AFJ og BFJ. 48

49 Denne operation foretages for de tre af de fire hyperboloider, som det også fremgår af Figur 7. Resultatet er anskueliggjort på Figur (Se Figur 73). Vi ser på skæringskurven mellem to af de fire hyperboloider, f.eks. den der går gennem A. Vi udvælger endnu et punkt på denne, som vi kalder E (hvordan dette punkt udvælges, springer vi over her). Da A og E begge ligger på hyperboloiden til venstre med strubediameter 85 cm, går der en frembringer fra hvert system gennem henholdsvis A og E, disse to frembringere vil skære hinanden, vi kalder skæringspunktet I. På samme måde går der også en frembringer for hvert sit system på hyperboloiden med strubediameter 60 cm gennem henholdsvis A og E. De vil også skære hinanden og vi kalder skæringspunktet for M. Nu danner punkterne A, M, E og I en vindskæv firkant. Ved at opfatte AM og EI som to frembringere fra samme system og AI som en frembringer fra det andet system kan vi frembringe en hyperbolsk paraboloideflade ved at lade AI glide hen over AM og EI. Vi lader så denne paraboloideflade erstatte de dele af hyperboloidefladerne, der lå inden for de to trekanter AEM og AEI. Resultatet illustreres på Figur 74 og i princippet også på Figur 76, hvor det imidlertid er svært at se. 7. Nu sættes fire af denne slags moduler sammen, så de i midten danner en hel hyperboloide med strubediameter 60 cm. Dette ses på Figur 75. Dette udgør så hvælvingsudformningen omkring en søjle, som for oven deler sig i fire grene. En computermodel af to sådanne nabosøjler med deres overliggende hvælvingsudsnit ses på Figur 77. Figur 66. De fire omdrejningshyperboloider. (Gomez et al., fig. 187) 49

50 Figur 67. De fire omdrejningshyperboloider med nogle af hyperblerne indtegnet. (Gomez et al. fig.186) Figur 68. Projektion af de i Figur 67 viste kurver på en vandret plan (gennem de fire strubecirkelcentrer). (Gomez et al. fig.185) Figur 69. Kapitæl på søjlegren. (Gomez et al. fig.190) 50

51 Figur 70. Hvælvet set fra neden. Søjlekapitælen er vist med mørkere farve. (Gomez et al. fig.191) Figur 71. (Gomez et al. fig.196) 51

Barcelona. Elevopgaver (Matematik mv.) Ib Michelsen

Barcelona. Elevopgaver (Matematik mv.) Ib Michelsen Barcelona Elevopgaver (Matematik mv.) Ib Michelsen Ikast 2014 2-5. marts 2014 Version 1.0 Indholdsfortegnelse 3 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 Indledning...4 Hyperbolske funktioner...5 Buer

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kort bemærkning om MAGISKE KVADRATER

Kort bemærkning om MAGISKE KVADRATER Kort bemærkning om MAGISKE KVADRATER Ivan Tafteberg Jakobsen, Århus Statsgymnasium. Juli 2008. Et magisk kvadrat af orden n er en kvadratisk opstilling af de hele tal fra 1 til n 2 således at summen af

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Gaudí og den hexagonale form - et oplæg

Gaudí og den hexagonale form - et oplæg Når man bevæger sig op ad Passeig de Gracia fra Plaça Catalunya, så møder blikket som noget af det første den helt unikke fliselægning af hexagoner. Fliselægningen på Passeig de Gracia stammer idémæssigt

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD Kuglestød er en af atletikkens kastediscipliner, hvor man skal forsøge at støde en metalkugle længst muligt. Historisk set kan kuglestød føres tilbage til antikkens

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Noter om Bærende konstruktioner. Skaller. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole

Noter om Bærende konstruktioner. Skaller. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Noter om Bærende konstruktioner Skaller Finn Bach, december 2009 Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Statisk virkemåde En skal er et fladedannende konstruktionselement, som kan optage

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Introduktion til ovaler: Ovato Tondo fra Rafaels skole En oval er en lukket krum kurve med to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et symmetricentrum. Der findes mange forskellige

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Noter om Bærende konstruktioner Membraner Finn Bach, december 2009 Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Statisk virkemåde En membran er et fladedannende konstruktionselement, der i lighed

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere