Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II
|
|
- Filippa Ibsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Niels Kirkegaard og Peter Damkjær Senest redigeret af Hans J. Munkholm, juli 2009
2
3 Forord Denne formelsamling er oprindelig skrevet af to studerende, Niels Kirkegaard og Peter Damkjær, som et afkog af pensum i Matematik A (E92 og F93) ved Odense Universitet. Indholdet er ment som en hjælp til opgaveregning (inkl. eksamensopgaver), hvilket betyder, at man skal være bekendt med pensum for at få et egentligt udbytte. Siden hen er ændringer blevet udført af bl.a. Bent Ørsted, Henrik Pedersen og Andrew Swann. I denne udgave er de tidligere afsnit om fladeintegraler og om Gauss, Greens og Stokes sætninger udeladt idet disse emner ikke mere er pensum. Henvisningerne til Adams i teksten er tilpasset bogen Robert A. Adams, Calculus: a complete course, 7th edition, Pearson/Addison Wesley, Toronto, 2010, ISBN Odense i juli, 2009, Hans J. Munkholm. i
4 Indhold Forord Indhold i ii 1 Trigonometriske funktioner 1 2 Hyperbolske funktioner 3 3 Inverse trigonometriske funktioner 4 4 Taylorpolynomier Uendelige Taylorrækker l Hôpitals regel l Hôpitals første regel Anvendelse af L Hôpitals regel Komplekse tal Addition og multiplikation Modulus og argument Den komplekse eksponentialfunktion og polær form Differentialligninger Separable differentialligninger Homogene 1. ordens differentialligninger Første ordens lineære differentialligninger Anden ordens differentialligninger Vektorer i tre dimensioner Afstanden mellem to punkter Skalarprodukt og krydsprodukt Planer og linier ii
5 9 Funktioner af flere variabler Første ordens afledede Anden ordens afledede Kæderegel for skalarfelter Jacobi-matrix Stationære punkter (maximum, osv.) Dobbeltintegraler Koordinatskift i to dimensioner Polære koordinater Lineær transformation Volumenudregning Tripelintegraler Koordinatskift i tre dimensioner Cylinderkoordinater Sfæriske koordinater Volumenudregning Kurveintegraler Kurveintegral af et skalarfelt Kurveintegral af et vektorfelt Gradientfelter Tilstrækkelige betingelser for et gradientfelt Anden notation for kurveintegraler Parametriseringer af kurver og flader Kurver i planen Flader i rummet Uendelige rækker Tests for konvergens Potensrækker Eksempler på uendelige rækker Sandsynlighedsteori Eksempler Middelværdi, varians, standardafvigelse iii
6
7 Kapitel 1 Trigonometriske funktioner Adams, P7 og 2.5 cos x = ei x + e i x 2 sin x = ei x e i x 2i cos 2 x+ sin 2 x = 1 cos x = cos(x+ n2π) cos x = cos( x) cos x= cos(π x) ( π ) cos x = sin 2 x sin x = sin(x+ n2π) sin x= sin( x) sin x = sin(π x) ( π ) sin x = cos 2 x tan x= sin x cos x cot x= cos x sin x tan x cot x= 1 tanx = tan(x+ nπ) cot x = cot(x+ nπ) tanx = tan( x) cot x = cot( x) ( π ) tanx = cot 2 x ( π ) cot x = tan 2 x 1+tan 2 x = 1 cos 2 x 1+cot 2 x = 1 sin 2 x cos(x y)=cos x cos y+ sin x sin y cos(x+y)=cos x cos y sin x sin y sin(x y)=sin x cos y cos x sin y sin(x+y)=sin x cos y+ cos x sin y tanx tan y tan(x y)= 1+tan x tan y tanx+ tan y tan(x+y)= 1 tan x tan y 1
8 cos x cos y = 2 sin x+y x y sin 2 2 cos x+ cos y = 2 cos x+y x y cos 2 2 sin x sin y = 2 cos x+y x y sin 2 2 sin x+ sin y = 2 sin x+y x y cos 2 2 cos2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x sin2x = 2 sinx cos x tan2x = 2 tanx 1 tan 2 x grader radianer 0 sin 0 cos 1 tan 0 π π Se Adams, side 49. π π funktion f (x) afledet funktion f (x) stamfunktion f (x)d x cos x sin x sin x sin x cos x cos x tan x cot x 1 cos 2 x (=1+tan2 x) log cos x 1 sin 2 x (= 1 cot2 x) log sin x cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin x cos x x 2 + sin2x 4 x 2 sin2x 4 2
9 Kapitel 2 Hyperbolske funktioner Adams, 3.6 sinh x = e x e x 2 cosh x = e x + e x tanh x = e x e x e x + e x coth x = e x + e x e x e x ( 2 = sinh x ) cosh x ( ) 1 = tanh x cosh 2 x sinh 2 x = 1 sinh(x+y) = sinh x cosh y+ cosh x sinh y cosh(x+y) = cosh x cosh y+ sinh x sinh y sinh2x = 2 sinh x cosh x cosh2x = cosh 2 x+ sinh 2 x cosh x+ sinh x= e x cosh x sinh x= e x funktion f (x) afledet funktion f (x) stamfunktion f (x)d x cosh x sinh x sinh x sinh x cosh x cosh x 1 tanh x cosh 2 x coth x 1 sinh 2 x logcosh x log sinh x 3
10 Kapitel 3 Inverse trigonometriske funktioner Adams, 3.5 arcsin x = π 2 arccos x arccot x = π 2 arctan x funktion f (x) afledet funktion f (x) stamfunktion f (x)d x arccos x arcsin x 1 1 x x 2 x arccos x 1 x 2 x arcsin x+ 1 x 2 arctan x arccot x 1 1+ x 2 x arctan x 1 2 log(1+ x2 ) 1 1+ x 2 x arccot x+ 1 2 log(1+ x2 ) 4
11 Kapitel 4 Taylorpolynomier Adams, 4.10 Hvis f har afledede op til og med n te orden i punktet x = c, kan Taylorpolynomiet for f af n-te grad omkring punktet x = c skrives som P n (x)= f (c)+ f (c)(x c)+ f (c) 2! n f (k) (c) = (x c) k k! k=0 (x c) f (n) (c) (x c) n n! (Adams, side 272) Hvis funktionen f : R R har afledede op til (n+ 1) te orden og P n (x) er Taylorpolynomiet af n te grad for f omkring x = c, er f givet ved f (x)=p n (x)+r n (x), hvor R n (x) kaldes restleddet af n te grad og er givet ved Lagrange s formel R n (x)= f (x) P n (x)= f (n+1) (X ) (x c) n+1 (n+ 1)! for et X mellem x og c. (Adams s. 274) 4.1 Uendelige Taylorrækker Adams, 9.6 Hvis f har afledede af vilkårlig orden i punktet x = c, altså hvis f (n) (c) eksisterer for alle n = 1, 2,..., er Taylorrækken for funktionen f givet ved f (k) (c) (x c) k k! k=0 = f (c)+ f (c)(x c)+ f (c) 2! 5 (x c) 2 + f (3) (c) (x c) !
12 Sådan en funktion f siges at være analytisk i x = c hvis dens Taylorrække konvergerer til f (x) for x i åbent interval omkring c. 6
13 Kapitel 5 l Hôpitals regel Adams, l Hôpitals første regel Antag f (x) og g (x) har afledede f (x) og g (x),; som er kontinuerte i et åbent interval omkring a samt at Hvis eksisterer, så er lim f (x)=0 og lim g (x)=0. x a x a f (x) lim x a g (x) f (x) lim x a g (x) = lim f (x) x a g (x). Bemærk. Her kan a være et endeligt tal eller ±. 5.2 Anvendelse af L Hôpitals regel Bestemmelse af grænseværdien f (x) lim x a g (x) hvor lim x a f (x)=0 og lim x a g (x)=0: (1.) Differentier n gange indtil enten lim x a f (n) (x) eller lim x a g (n) (x) (eller begge) er forskellig fra 0. 7
14 (2.) Hvis lim x a g (n) (x) 0 så er grænseværdien lim x a ellers findes grænseværdien ikke! f (x) g (x) = lim x a f (n) (x) g (n) (x), 8
15 Kapitel 6 Komplekse tal Adams, Appendix I Et komplekst tal z = x+ i y C kan blot opfattes som en vektor i den reelle plan. Dvs. som et talpar (x, y) R 2. Det komplekse tal i er så i = (0,1) og opfylder i 2 = 1. Im 1 r (x, y) θ 1 Re Figur 6.1: Det komplekse tal x+ i y = r e iθ. 6.1 Addition og multiplikation Lad z 1 = x 1 + i y 1, z 2 = x 2 + i y 2 C. Så gælder der: Addition af de to komplekse tal: z 1 + z 2 = (x 1 + i y 1 )+(x 2 + i y 2 )=(x 1 + x 2 )+i(y 1 + y 2 ). Multiplikation af to komplekse tal: z 1 z 2 = (x 1 + i y 1 ) (x 2 + i y 2 )= x 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 + i x 1 y 2 + i y 1 x 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ). 9
16 6.2 Modulus og argument Et komplekst tal beskrives ved dets koordinater (z = x + i y) rektangulær form. Men det kan også beskrives ved dets afstand fra (0,0), modulus z, samt dets vinkel med x-aksen, argument arg(z)). x hhv. y kan så findes ved at projicere z ned på x-aksen hhv. ind på y- aksen: x= r cosθ, y = r sinθ, hvor r = z og θ= arg(z). Modulus af et komplekst tal: z = x+ i y = x 2 + y 2. z 2 = z z, hvor z = x i y. Argumentet (θ) findes f.eks. ved at løse cosθ= x r og sinθ= y r. Argumentet er kun bestemt op til hele multipla af 2π. Dvs. arg(z)=θ+p2π, p Z. Hovedargument π<θ π, men 0 θ< 2π bruges af visse andre forfattere. 6.3 Den komplekse eksponentialfunktion og polær form Definition 6.1. Den komplekse eksponentialfunktion e z = e x+i y = e x e i y def = e x (cos y+ i sin y) Vi har altså pr. definition Eulers formel e iθ = cosθ+ i sinθ, θ R. Definition 6.2. Ud fra foregående definition ses at ethvert komplekst tal kan skrives på polær formen: z = r e iθ, hvor r = z og θ= arg(z). 10
17 Multiplikation af to komplekse tal på polær form. Lad så er z 1 = r 1 e iθ 1, z 2 = r 2 e iθ 2 C z 1 z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e iθ 1+iθ 2 = r 1 r 2 e i (θ 1+θ 2 ) Dvs. at produktet af to komplekse tal har modulus givet ved produktet af de to moduli og argument givet ved summen af de to argumenter. Løsning af z n = a. Skriv z n = r e iθ, så er z givet ved z = n r (e iθ ) 1/n = n r ( e i (θ+p2π)) 1/n = n r e i ( θ n + 2p n π ), p = 0,1,...,n 1. 11
18 Kapitel 7 Differentialligninger 7.1 Separable differentialligninger Adams, side 446 En 1. ordens differentialligning, der kan skrives på formen d y d x = f (x)g (y), kaldes en separabel ligning. Vi løser den ved at integrere d y g (y) = f (x)d x+c. Dette giver en ligning, som sammenknytter y og x. I favorable (men ikke alle) tilfælde kan man løse denne ligning, så man direkte får y som funktion af x og integrationskonstanten C. 7.2 Homogene 1. ordens differentialligninger Adams, side 942 En 1. ordens differentialligning, der kan skrives som d y d x = f ( y x siges at være homogen (af grad 0). Denne løses ved at sætte y = v x (bemærk, at y = v+ v x), hvorved der fremkommer den separable 1. ordens ligning ), d v d x = f (v) v. x 12
19 7.3 Første ordens lineære differentialligninger Adams, side 449 En 1. ordens lineær differentialligning kan skrives på formen Den løses ved først at beregne d y + p(x)y = q(x). d x µ(x)= p(x)d x. Den generelle løsning bliver y(x)=e µ(x) e µ(x) q(x)d x+ ce µ(x). (Midt på side 449 i Adams ses denne formel uden leddet ce µ(x). Leddet skal imidlertid med.) 7.4 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter Adams, 3.7 Den generelle løsning til den homogene ligning (a,b,c R, a 0) ay + by + c y = 0 findes ved at beregne rødderne i hjælpeligningen ar 2 + br + c = 0. (1) Hvis diskriminanten D = b 2 4ac er positiv, fås to reelle rødder r 1 og r 2 til hjælpeligningen, og den generelle løsning til den homogene ligning bliver y(x)=c 1 e r 1x + c 2 e r 2x. (2) Hvis D = 0 er den generelle løsning y(x)= Ae kx + B xe kx, k = b 2a. 13
20 (3) Hvis D < 0, da har hjælpeligningen rødderne k± iω med k = b 2a D. Den generelle løsning bliver 2a og ω= y(x)=c 1 e kx cos(ωx)+c 2 e kx sin(ωx). (Adams, sider 204) Den inhomogene ligning ay + by + c y = f (x) (7.1) har den generelle løsning y = y p (x)+ y h (x), hvor y p er en partikulær løsning til den inhomogene ligning, og y h er den generelle løsning til den homogene ligning. Den partikulære løsning y p findes ved gættemetoden: Lad A n (x), B n (x) og P n (x) betegne n te grads polynomierne A n (x)=a 0 + a 1 x+ a 2 x a n x n, B n (x)=b 0 + b 1 x+ b 2 x 2 + +b n x n, P n (x)=p 0 + p 1 x+ p 2 x p n x n. For at finde en partikulær løsning y p (x) til (7.1) anvendes følgende: ay + by + c y = f (x) Hvis f (x)= P n (x) P n (x)e r x P n (x)e r x cos(kx) P n (x)e r x sin(kx) prøv y p (x)= x m A n (x) x m A n (x)e r x x m e r x [A n (x)cos(kx)+b n (x)sin(kx)] x m e r x [A n (x)cos(kx)+b n (x)sin(kx)] hvor m er det midste af tallene 0, 1 og 2, så intet led af y p er en løsning til den tilsvarende homogene ligning. (Adams, side 964) 14
21 Kapitel 8 Vektorer i tre dimensioner Adams, Afstanden mellem to punkter For P 1 (x 1, y 1, z 1 ) og P 2 (x 2, y 2, z 2 ) er afstanden P 1 P 2 mellem P 1 og P 2 givet ved Dette generaliseres let til R n. P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) Skalarprodukt og krydsprodukt For u=(u 1,u 2,u 3 ) og v=(v 1, v 2, v 3 ) er skalarproduktet u v givet ved u v=u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = u v cosθ, hvor θ er vinklen mellem u og v. For u=(u 1,u 2,u 3 ), v=(v 1, v 2, v 3 ) defineres krydsproduktet u v ved ( ) u 2 u 3 u v= v 2 v 3, u 3 u 1 v 3 v 1, u 1 u 2 v 1 v 2 = (u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v 2 u 2 v 1 ). Længden u v af krydsproduktet giver arealet af det parallelogram, som udspændes af u og v. Bemærk, at u v er en vektor vinkelret på både u og v og har retning ifølge højrehåndsreglen. 15
22 Hvis vi foruden u og v har en tredie vektor w=(w 1, w 2, w 3 ), fås u 1 u 2 u 3 u (v w)= v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w. 3 Dette tal angiver volumenet (med fortegn) af det parallelepipedum, der udspændes af u, v og w. 8.3 Planer og linier Planen i R 3 vinkelret på vektoren n= (A,B,C ) og gående igennem P 0 (x 0, y 0, z 0 ) har ligningen A(x x 0 )+B(y y 0 )+C (z z 0 )=0. Linien gennem P 0 (x 0, y 0, z 0 ) og gående i retningen v=(a,b,c) har parameterfremstillingen x = x 0 + at, y = y 0 + bt, t R. z = z 0 + ct, 16
23 Kapitel 9 Funktioner af flere variabler Definition 9.1. En funktion f : R n R kaldes et skalarfelt. Definition 9.2. En funktion f : R m R m kaldes et vektorfelt, m> Første ordens afledede Definition 9.3. Den første partielle afledede af et skalarfelt f (x, y) med hensyn til variablen x hhv. y er f x f y (x, y)= lim h 0 (x, y)= lim k 0 f (x+ h, y) f (x, y), h f (x, y+ k) f (x, y). k Man skriver også f x = f 1= D 1 f, etc. (Adams, side 681) En normalvektor til fladen z = f (x, y) i punktet (a,b, f (a,b)) er givet ved ligningen: n= f f (a,b)i + x y (a,b)j k (Adams, side 684) Tangentplanen til z = f (x, y) i punktet (a, b, f (a, b)) er givet ved ligningen: z = f (a,b)+ f f (a,b)(x a)+ (a,b)(y b). x y 17 (Adams, side 685)
24 Definition 9.4. Hvis u=(u, v) er en enhedsvektor, defineres den retningsafledede D u f (a,b) af f (x, y) i retningen u ved D u f (a,b)= d d t f (a+ tu,b+ t v) t=0 = u f (a,b) = f (a,b) cosθ, ( ) f f hvor f (a,b)= x (a,b), y (a,b) kaldes gradienten af f i (a,b), og θ er vinklen mellem f (a, b) og u. (Adams, side 716) 9.2 Anden ordens afledede Sætning 9.5 (Adams, side ). Antag f : R 2 R er et skalarfelt, samt at de partielle afledede f x, f y, 2 f x y, 2 f findes, og er kontinuerte i en omegn y x af (a,b). Så gælder 2 f x y (a,b)= 2 f y x (a,b). Med andre ord: differentiationsrækkefølgen er ligegyldig for pæne funktioner. Sætningen kan generaliseres til f : R n R. 9.3 Kæderegel for skalarfelter Lad f : S R, S R n åben og r: J S, hvor J R. Definér g som g (t)= f (r(t)), t J. Hvis r (t) findes, og f er differentiabel i r(t), så findes g (t) og er givet ved Hvis n= 2 og z(t)= z(x(t), y(t)), fås g (t)= f (r(t)) r (t). d z d t = z d x x d t + z y 18 d y d t. (Adams, side 694)
25 9.4 Jacobi-matrix Lad f: R n R m være givet som f=(f 1, f 2,..., f m ). Jacobi-matricen af f i a er defineret som D 1 f 1 (a) D 2 f 1 (a) D n f 1 (a) f 1 (a) D 1 f 2 (a) D 2 f 2 (a) D n f 2 (a) Df(a) = = f 2 (a). D 1 f m (a) D 2 f m (a) D n f m (a) f m (a) hvis alle de partielle afledede findes. Her kan vi også skrive D i f j (a)= f j x i (a). Bemærk, at her er indekserne på f 1, f 2, f m simpelt hen numrene på de enekelte koordinatfunktioner for f. De betegner altså ikke partielle afledede. 9.5 Stationære punkter (maximum, osv.) Definition 9.6. Et skalarfelt, der er differentiabelt i a, har et stationært punkt i a, hvis f (a)=(d 1 f (a),...,d n f (a))=0. Vi skriver også D i f (a)= f x i (a). Art af et stationært punkt Definition 9.7. Et stationært punkt a kaldes et lokalt maximum, hvis r > 0 x B(a;r ) : f (x) f (a), lokalt minimum, hvis r > 0 x B(a;r ) : f (x) f (a), sadelpunkt, hvis r > 0 x, y B(a;r ) : f (x)< f (a)< f (y), hvor B(a;r ) er en kugle med centrum a og radius r. 19
26 Bestemmelse af arten i to dimensioner Skriv D i,j f = 2 f x i x j, osv. Sætning 9.8 (Adams, side 748, Remark). Antag at a er et stationært punkt for f. Lad A= D 1,1 f (a), B = D 1,2 f (a), C = D 2,2 f (a) og sæt Så gælder der, at < 0: f har et sadelpunkt i a; ( ) A B =det = AC B 2. B C >0 og A> 0: f har et lokalt minimum i a; >0 og A< 0: f har et lokalt maximum i a; = 0: ingen konklusion. Bemærk. Testen giver kun mening i stationære punkter for f. 20
27 Kapitel 10 Dobbeltintegraler Adams, 14.2 Type I: Lad S være et område i x y-planet givet ved S= { (x, y) : a x b og φ 1 (x) y φ 2 (x) } så er dobbeltintegralet af f over S givet ved b [ φ 2 (x) f (x, y)d x d y = S a φ 1 (x) ] f (x, y)d y d x. Type II: Lad T være et område i x y-planen givet ved T = { (x, y) : ψ 1 (y) x ψ 2 (y) og c y d } så er dobbeltintegralet af f over T givet ved d [ ψ 2 (y) f (x, y)d x d y = T c ψ 1 (x) 10.1 Koordinatskift i to dimensioner ] f (x, y)d x d y. Lad x = x(u, v), y = y(u, v) og r (u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ). Så skiftes fra x y- planen til uv-planen ved f (x, y)d x d y = f ( x(u, v), y(u, v) ) (x, y) (u, v) du d v S hvor S = r (T ) og x (x, y) (u, v) = u y u T x v y v = x u y v x v y u. 21
28 (Adams, side 814) 10.2 Polære koordinater x= r cosθ, y = r sinθ, (x, y) (r, θ) = r, f (x, y)d x d y = f (r cosθ,r sinθ)r dr dθ. S T (Adams, 14.4) 10.3 Lineær transformation x=au+ B v, y = Cu+ Dv, f (x, y)d x d y = AD BC f (Au+ B v,cu+ Dv)du d v. S 10.4 Volumenudregning Analogt med, at der i én dimension gælder, at b a f (x)d x, f : R R, er arealet mellem f og x-aksen fra a til b, så gælder der i to dimensioner, at f (x, y)d x d y, hvor Q R 2, f : R 2 R, Q er voluminet mellem f og x y-planen inden for Q. Voluminet af en figur i R 3 kan altså beregnes ved at finde et skalarfelt f, der beskriver overfladen af figuren kun som funktion af x og y, og finde figurens projektion, Q, i x y-planen og så udregne dobbeltintegralet af f over Q. T 22
29 Kapitel 11 Tripelintegraler Lad V være et område i x y z-rummet givet ved V = { (x, y, z) a x b, φ 1 (x) y ψ 1 (x) og φ 2 (x, y) z ψ 2 (x, y) } så er tripelintegralet af f over V givet ved b f (x, y, z)d x d y d z = V a [ ψ1 (x)[ ψ2 (x,y) φ 1 (x) φ 2 (x,y) ] ] f (x, y, z)d z d y d x. (Adams, 14.5) 11.1 Koordinatskift i tre dimensioner Lad x = x(u, v, w), y = u, v, w), z = z(u, v, w) og r(u, v, w)= ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ). Så skiftes fra x y z-rummet til uv w-rummet ved f (x, y, z)d x d y d z V = f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) (x, y, z) (u, v, w) du d v d w W hvor V = r(w ) og x x x u v w (x, y, z) (u, v, w) = y y y. u v w z z z u v w (Adams, side 825) 23
30 11.2 Cylinderkoordinater V x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, (x, y, z) (r,θ, z) = r, f (x, y, z)d x d y d z = f (r cosθ,r sinθ, z)r dr dθ d z. W (Adams, sider ) 11.3 Sfæriske koordinater x= ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ, (x, y, z) (ρ,θ,φ) = ρ2 sinφ, V f (x, y, z)d x d y d z = f (ρ sinφcosθ,ρ sinφ sinθ,ρ cosφ)ρ 2 sinφ dρ dθ dφ. W (Adams, sider ) 11.4 Volumenudregning Voluminet af et legeme V i R 3 kan udregnes ved at udregne tripelintegralet af skalarfeltet f (x, y, z)= 1: Vol(V )= f (x, y, z)d x d y d z = d x d y d z. V V 24
31 Kapitel 12 Kurveintegraler 12.1 Kurveintegral af et skalarfelt Adams, 15.3 Definition Lad f : R n R være et skalarfelt, og r: [a,b] R n være en parametrisering af kurven C fra begyndelsespunktet P = r(a) til slutpunktet Q = r(b). Så er kurveintegralet af f langs C defineret ved C b f d s= f (r(t)) r (t) d t. a Bemærk. Integralets værdi er uafhængigt af valg af parametrisering, også selv om en ny parametrisering bytter om på P og Q. Længden af en kurve Længden af kurven C fås ved at integrere det konstante skalarfelt f = 1 langs C. Når C er parametriseret som ovenfor haves altså længde(c )= b a r (t) d t (Adams, side 638) 25
32 12.2 Kurveintegral af et vektorfelt Definition Lad F: R n R n være et vektorfelt, og r: [a,b] R n være en parametrisering af kurven C fra begyndelsespunktet P = r(a) til slutpunktet Q = r(b). Så er kurveintegralet af F langs C defineret ved b F dr= F(r(t)) dr C a d t d t. Bemærk. Integralet er uafhængigt af valg af parametrisering, men kun hvis o- rienteringen af kurven bevares, dvs. nye parameterise ringer skal stadig have P som begyndelsespunkt og Q som slutpunkt. Ombytter en ny parametrisering P og Q, skifter integralet fortegn Gradientfelter Adams, 15.2 Definition Hvis der eksisterer en skalarfelt φ: φ : R n R, med φ=(d 1 φ,...,d n φ)=f så kaldes vektorfeltet F et gradientfelt eller et konservativt felt. Og skalarfeltet φ akldes en potentialfunktion for F. Der gælder så, at C F dr= φ dr=φ(r(b)) φ(r(a)). C (Adams, side 867) 12.4 Tilstrækkelige betingelser for et gradientfelt Sætning 12.4 (Adams, side ). Lad F=(f 1,..., f n ) være et kontinuert differentiabelt vektorfelt på en åben sammenhængende mængde S R n. Så er F et gradientfelt på S, hvis en af følgende betingelser er opfyldt: D i f j (x) = D j f i (x) for i, j = 1,...,n og alle x S, og S er en konveks mængde (eller mere generelt: S er sammenhængende og enkeltsammenhængende), Kurveintegralet af F er uafhængigt af vejen i S. 26
33 12.5 Anden notation for kurveintegraler For F: R 2 R 2 givet ved F=(F 1,F 2 ) gælder, at F 1 d x+ F 2 d y = F dr. C C For F: R 3 R 3 givet ved F=(F 1,F 2,F 3 ) gælder, at F 1 d x+ F 2 d y+ F 3 d z = F dr. C C 27
34 Kapitel 13 Parametriseringer af kurver og flader 13.1 Kurver i planen Cirkel med centrum (x 0, y 0 ) og radius r. α(t)=(r cos t+ x 0,r sin t+ y 0 ), (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. t [0,2π], y r (x 0, y 0 ) Figur 13.1: Cirkel. x 28
35 Ellipse med centrum (x 0, y 0 ), x-radius a og y-radius b. α(t)=(a cos t+ x 0,b sin(t)+ y 0 ), (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1, b 2 (x x 0 ) 2 + a 2 (y y 0 ) 2 = (ab) 2. y t [0,2π] b a (x 0, y 0 ) Figur 13.2: Ellipse. x En ret linie fra (a,c) til (b,d). α(t)=(a+ (b a)t,c+ (d c)t), t [0,1] Flader i rummet Kugle med centrum C = (x 0, y 0, z 0 ) og radius R. r(u, v)=(r cosu sin v+ x 0,R sinu sinv+ y 0,R cos v+ z 0 ), u [0,2π], v [0,π], (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. Ellipsoide r(u, v)=(a cosu sin v+ x 0,b sinu sinv+ y 0,c cos v+ z 0 ), u [0,2π], v [0,π], (x x 0) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 + (z z 0) 2 c 2 = 1. 29
36 z R C y x Figur 13.3: Kugle. z a c b y x Figur 13.4: Ellipsoide. Cylinder x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Kegle x 2 a 2 + y 2 b 2 = z2 c 2. Paraboloide x 2 a 2 + y 2 b 2 = z c. Bemærk. De sidste 3 flader har elliptiske vandrette snit. 30
37 z a b y x Figur 13.5: Cylinder. z a b c y x Figur 13.6: Kegle. z a b c y x Figur 13.7: Paraboloide. 31
38 Kapitel 14 Uendelige rækker Adams, Definition 14.1 (Adams, side 504). En række, n=1 a n er konvergent, hvis afsnitsfølgen {s n } konvergerer for n, hvor s n = n k=1 a k. Ellers er den divergent. Definition 14.2 (Adams, side 520). En række, n=1 a n kaldes absolut konvergent, hvis n=1 a n er konvergent. Sætning 14.3 (Adams sætning 13, side 520). a n er konvergent n=1 a n n=1 er konvergent. Der gælder endvidere, at a n a n. n=1 n= Tests for konvergens Generelt a n er konvergent a n 0. n=1 Testen bruges til at vise divergens, idet lim n a n 0 a n er divergent. (Adams, side 507) Bemærk. lim n a n = 0 medfører ikke, at n=1 a n er konvergent. Sætning 14.4 (Integralkriteriet, Adams sætning 8, side 510). Lad f : [1, ) [0, ) 32
39 være en kontinuert, aftagende funktion, så gælder der: f (n) er konvergent n=1 1 f (x)d x er konvergent ( ) f (x)<. 1 Sætning 14.5 (Sammenligningskriteriet, Adams sætning 9, side 512). Lad a n være en række, hvor K > 0 N N n> N : a n K b n, så gælder der: b n er konvergent n=1 a n er konvergent. n=1 33
40 Kapitel 15 Potensrækker Adams, 9.5 Definition En uendelig række på formen a n (x c) n = a 0 + a 1 (x c)+ +a n (x c) n +, n=0 hvor x,c, a n R,n= 0,1,... kaldes en potensrække. Sætning 15.2 (Eksistens af konvergens radius). Til enhver potensrække a n (x c) n (15.1) n=0 hører netop én konvergens radius, R, således at (15.1) konvergerer absolut for alle x R, hvor x c < R; (15.1) divergerer for alle x R, hvor x c >R. Dvs., at for alle de x R, der ligger inden for intervallet med centrum a og radius R, konvergerer (15.1) absolut, og for alle de x R, der ligger udenfor, divergerer (15.1). Hvis (15.1) kun konvergerer for x = a, så er R = 0. Hvis (15.1) konvergerer for alle x R, så er R =. Bemærk. Det er ikke givet, hvad der sker for de x R, der opfylder, at x a =R (intervalendepunkterne). Sætning Givet en potensrække n=0 a n (x c) n. Da er dens konvergensradius givet ved R = L 1, 34
41 hvor L= lim n a n+1 a n når disse grænseværdier eksisterer. eller L= lim a n 1/n n Hvis L= 0, så er R = (pr. definition). Hvis a n+1 eller an 1/n går mod for n, så er R = 0 (pr. definition). a n 15.1 Eksempler på uendelige rækker e x x n = n=0 n!, n 1 xn ln(1+ x)= ( 1), 1<x 1, n=1 n sin x = ( 1) n+1 x 2x 1 n=1 (2n 1)!, cos x = ( 1) n x2n n=0 (2n)!, x 2n+1 sinh x = (2n+ 1)!, arctan x= cosh x = n=0 n=0 x 2n (2n)!, ( 1) n x2n+1 n=0 1 1 x = n=0 x 1 x = n=1 x n, x n, 2n+ 1, x <1, x <1, x <1. 35
42 Kapitel 16 Sandsynlighedsteori Adams, 7.8 En kontinuert stokastisk variabel X, som kan tage værdier i et interval [a, b], siges at have tæthedsfunktion f (x), x [a, b], hvis der gælder Pr(x 1 x x 2 )= x2 x 1 f (x)d x for alle x 1, x 2 [a,b] med x 1 x 2. En sådan tæthedsfunktion må nødvendigvis opfylde to betingelser (1) f (x) 0 for alle x [a,b], (2) b a f (x)d x = 1. Her kan [a,b] erstattes med (,b], (, ) eller [a, ), men så bliver integralet i (2) uegentlig Eksempler Ligelig fordeling på [a, b]: f (x)= 1, a x b. b a Eksponentiel fordeling på [0, ) med middelværdi k: f (x)=ke kx, x 0. Normalfordeling på (, ) med middelværdi µ og standardafvigelse σ: f (x)= 1 σ 2π e (x µ)2 /(2σ2), <x<. 36
43 Standardnormalfordelingen har µ = 0, σ = 1, så: f (x)= 1 2π e x2 /2, <x< Middelværdi, varians, standardafvigelse Hvis X har tæthedsfunktion f (x), x [a,b], så er middelværdien µ(x ) af X µ(x )=E (X )= variansen σ 2 (X ) af X σ 2 (X )= b a b a x f (x)d x, (x µ) 2 f (x)d x = µ(x 2 ) µ(x ) 2, standardafvigelsen for X er σ 2 (X ). 37
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereMM01 (Mat A) Ugeseddel 1
Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereReeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012
Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mere1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.
Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereOversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereKomplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereMATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1
ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mereGUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2
GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mere