Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G, F, E og D. Niels Jørgen Andreasen

Transkript

1 Matematik på AVU Eksempler til niveau G, F, E og D Niels Jørgen Andreasen

2

3 Om brug af denne eksempelsamling Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED. Indtil sommeren 009 hed niveauerne Basis, 1 og. Denne eksempelsamling er oprindelig skrevet til Matematik, men da der er sket en del ændringer af hvilke matematikområder, der skal arbejdes med, er der også lavet en del ændringer i eksempelsamlingen. Ud over de rent fag-faglige ændringer er det naturligvis vigtigt, at man som lærer med rødder i de gamle fagbeskrivelser er opmærksom på, at der er sket store ændringer i kravene til, hvordan man i den daglige undervisning skal arbejde med matematikken (fokus på kompetencer, inddragelse af IT.). Eksempelsamlingen er tænkt som en opslagsbog, som kursisterne kan læse i, mens de arbejder med den tilhørende opgavesamling eller på anden måde arbejder med faget. Eksempelsamlingen omfatter både eksempler til Matematik G og til Matematik FED, da man på matematik FED i praksis er nødt til at bruge en stor del af tiden på den matematik, som man også arbejder med på Matematik G. Jeg har valgt at bibeholde rækkefølgen på kapitlerne fra udgaven til Matematik G og så indsætte FED-kapitlerne som en slags xtra-kapitler. Det er nogle gange sket på bekostning af progressionen i sværhedsgraden. På hjemmesiden, der hører til materialet (laerer.vucaarhus.dk/nja), kan man frit hente eksempelog opgavesamlinger til både niveau G og niveau FED, ligesom man kan hente undervisningsmateriale, der kan anvendes på Basis. Alt materialet er tilgængeligt i såvel PDF-format som redigerbart Word-format. Man kan også finde små instruktioner i brug af regneark - både på skrift og som video. På hjemmesiden kan man ligeledes finde dataene til opgaverne i kapitlet om Statistik i Excel-format, hvilket gør det langt lettere at anvende regneark. Nogle af opgaverne er på kanten af, hvad man forventes at arbejde med på matematik FED. Det gælder bl.a. kapitlerne Formler, ligninger, funktioner og grafer og Procent og eksponentiel vækst. Men jeg synes, at Formler, ligninger, funktioner og grafer giver et godt supplement til kapitlerne Funktioner og Bogstavregning. Og jeg synes, at Procent og eksponentiel vækst givet et godt supplement til afsnittet om Eksponentialfunktioner i kapitlet Funktioner. Nogle af de sidste kapitler handler om Sandsynlighedsregning og kombinatorik og Rente, lån og opsparing. Det er ikke obligatorisk på hverken Matematik G eller Matematik FED, men jeg har beholdt kapitlerne, fordi de kan bruges som supplerende emner. I opgavesamlingen er de tilhørende opgaver placeret i kapitlet med Blandede og supplerende opgaver. Jeg hører meget gerne fra dig, hvis du har kommentarer, ris eller ros. Venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen nja@vucaarhus.dk

4 , F, E og D Indholdsfortegnelse for eksempelsamling Eksempelsamlingen er inddelt i disse kapitler: Grundliggende regning og talforståelse - G... 1 Regning med enheder - G Sammensætning af regnearterne - G Sammensætning af regnearterne - FED... a Brøker og forholdstal - G... Procent - G... Procent og eksponentiel vækst - FED... a Bogstavregning - G... Bogstavregning - FED... a Geometri - G... Trigonometri - FED... 7 a Statistik - G... 7 Statistik - FED... 8 a Funktioner - G... 8 Funktioner - FED... 9 a Kombinatorik og sandsynlighedsregning - G... 9 Formler, ligninger, funktioner og grafer - FED Rente, lån og opsparing - FED Hvert kapitel er inddelt i en række afsnit, og alle kapitler starter med en indholdsfortegnelse over disse afsnit.

5 Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division tals-systemet... Afrunding af tal... Regning med papir og blyant... Store tal... 8 Negative tal... 8 Gange og division med 10, 100, o.s.v Grundliggende regning og talforståelse Side 1

6 De fire regnearter: Plus, minus, gange og division I eksemplerne herunder skal du bruge prislisten til højre. Mælk, pr. liter... 8 kr. Rugbrød... 1 kr. Kager, pr. stk.... kr. Slik, pr. pose... 0 kr. Kartofler Pr. kg kr. Hvad koster en liter mælk og et rugbrød? Hvor meget får man tilbage, når man køber et rugbrød og betaler med 0 kr.? Man skal lægge sammen (plus). Man skal trække fra (minus). Mælk 8 kr. Betalt 0 kr. + Rugbrød 1 kr. Rugbrød 1 kr. I alt kr. Tilbage kr. Eller blot: 8 kr. + 1 kr. kr. På regnemaskinen tastes: Eller blot: 0 kr. - 1 kr. kr. På regnemaskinen tastes: 0 1 Når man lægger sammen (plus) er rækkefølgen på tallene ligegyldig. Det er altså lige meget, om man skriver 8 kr. + 1 kr., eller man skriver 1 kr. + 8 kr. Når man trækker fra (minus) er rækkefølgen på tallene ikke ligegyldig. Det er ikke lige meget, om man skriver 0 kr. 1 kr., eller man skriver 1 kr. 0 kr. Hvis man skriver 1 kr. 0 kr., bliver resultatet kr. Altså et negativt tal (et underskud). Minus er det modsatte af plus. 0 1 er det modsatte af (eller 1 + 0). Hvad koster liter mælk? Man skal gange. 8 kr. kr. På regnemaskinen tastes: x 8 Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste x. På computer bruges ofte *. Når man ganger er rækkefølgen på tallene ligegyldig ligesom ved plus. Det er altså lige meget, om man skriver 8 kr., eller man skriver 8 kr.. Husk på, at gange svarer til at lægge flere ens tal sammen. 8 kr. er det samme som 8 kr. + 8 kr. + 8 kr. + 8 kr. Grundliggende regning og talforståelse Side

7 Hvor mange kager kan man få for 0 kr.? børn deler en pose slik. Hvor meget skal de betale hver? Man skal dividere. 0 kr. 0 kr. : kr. eller kr. På regnemaskinen tastes: 0 Man skal dividere. 0 kr. : kr. eller På regnemaskinen tastes: 0 0 kr. kr. Man skriver division med to prikker eller med brøkstreg som vist ovenfor. På regnemaskinen skal man taste. På computer bruges ofte /. Når man dividerer, er det vigtigt, at tallene står i den rigtige rækkefølge. Ligesom ved minus! Hvis man skriver : 0, bliver resultatet 0, eller 1 Division er det modsatte af gange. 0 : er det modsatte af 0 (eller 0). I eksemplet til venstre spørger man: Jeg har 0 kr. Hvor mange gange kan jeg få kr.? Altså: Hvor mange gange skal jeg sige kr. + kr. +.., inden jeg når op på 0 kr.? Eller hvor mange gange kan jeg sige 0 kr. kr. kr..., inden jeg når ned på 0 kr.? I eksemplet til højre deler man 0 kr. i lige store dele. Men regnestykket er det samme. Hvor mange kg kartofler kan man få for 0 kr.? Hvor mange liter mælk kan man få for 0 kr.? Man skal dividere. Regnestykket bliver: 0 kr. 0 kr. : 8 kr. eller 8 kr. Hvis man bruger regnemaskine, får man,. Hvis kartoflerne sælges i løs vægt, giver det også god mening at sige, at resultatet er, kg. Man skal dividere. Regnestykket bliver: 0 kr. 0 kr. : 8 kr. eller 8 kr. Her får man også,. Men man kan helt sikkert ikke få lov at købe, liter mælk. Derfor vil man i stedet sige, at resultat er liter mælk og kr. i rest. Grundliggende regning og talforståelse Side

8 10-tals-systemet to 10 ere fire 1 ere Her er tegnet firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret tilfældigt. Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. betyder nemlig 10 +, eller to 10 ere og fire 1 ere. 1 betyder på samme måde , eller en 100 er, tre 10 ere og to 1 ere. Forestil dig, at du har en 100-krone-seddel, tre 10-kroner og to 1-kroner. en 100 er tre 10 ere 1 to 1 ere Alle tal er bygget op af cifre (0, 1,.9). Tallet 8. har fire cifre. Cifrene har forskellige betydning efter hvilken plads (position), de har i tallet. Vores talsystem er et positions-system. 8. Når man går en plads til venstre, bliver værdien af et ciffer 10 gange så stort. Derfor kaldes talsystemet for 10-tal-systemet ere 100 ere 10 ere 1 ere Man sætter ofte et punktum (en læseprik) mellem hvert tredje ciffer regnet fra højre. En hel kan deles op i 10.ende-dele og 100-dele som vist. En 10.ende-del er det samme som ti 100-dele. Man bruger denne opdeling, når tal ikke er hele. Man kan naturligvis opdele videre i dele men det er umuligt at vise på en tegning Grundliggende regning og talforståelse Side

9 Her er vist, firkant., betyder to 1 ere (to hele) og fem 10.ende-dele. Her er vist 1,7 firkant. 1,7 betyder en 1 er (en hel), syv 10.ende-dele og fem 100-dele., og 1,7 kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. I stedet for, og 1,7 kan man skrive 1 og 1. 1 og kaldes brøker. betyder fx, at man deler en hel i fire lige store dele og tager tre af delene. Du kan læse mere om brøker senere, men prøv at kikke lidt på tegningerne herunder. 1 Tegningen til venstre viser at 0,. 10 Det er ikke så svært at forstå. 7 7 Tegningen til højre viser at 0,7 +, men det er måske lidt svært at forstå. Afrunding af tal Afrund, til en decimal. Afrund.1 til helt antal tusinde., er et tal mellem, og, men tættest på,. Derfor bliver resultatet:,,.1 er et tal mellem.000 og.000 men tættest på.000. Derfor bliver resultatet:.000.1,, Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad., afrundes til,. Grundliggende regning og talforståelse Side

10 Regning med papir og blyant Når man regner med papir og blyant skal man sætte i mente og låne Udregn: + Udregn: 78 + Tallene skrives op over 78 1 erne lægges sammen og + 8 hinanden og 1 erne lægges sammen giver 1, men ti af 1 ere sættes i mente som en 10 er erne lægges sammen og Derefter lægges 10 erne + + sammen. 98 giver 1, men ti af 10 ere sættes i mente som en 100 er Til sidst lægges 100 erne 78 + sammen. Den tomme plads + 98 opfattes som erne lægges sammen og giver. Udregn: 78-7 Udregn: Tallene skrives op over Man må låne en 10 er for hinanden og 1 erne trækkes fra hinanden at kunne trække 1 erne fra hinanden. 78 Man må låne en 100 er for Derefter trækkes 10 erne fra at kunne trække 10 ere fra hinanden. 1 7 hinanden Til sidst trækkes 100 erne fra 100 erne trækkes fra hinanden. Den tomme plads opfattes som hinanden. Der er fem 100 er i øverste række. Grundliggende regning og talforståelse Side

11 Udregn: Udregn: 9 Tallene skrives op, og og 9 gange giver, men ganges med hinanden. -tallet sættes i mente. 9 og ganges med hinanden. 1 8 gange 9 giver. Hertil lægges -tallet. Man får 8, men -tallet sættes i mente gange giver 8. Hertil lægges -tallet. Man får 11. Udregn: Udregn: 19 : I eksemplet herunder viser jeg ikke de tal, Man undersøger om går der sættes i mente. 1 9 op i 1, men det gør det jo ikke. ganges med ligesom Man dividerer 19 med. 18 ovenfor, og man får Resultatet bliver, rest. 0 Der skrives også 0 bagerst skrives ovenover som vist. i næste tal-række. 19 Man ganger med. ganges med ligesom 1 Resultatet er 1, og det ovenfor, og man får. skrives under 19. Derefter 18 Resultatet skrives en plads trækker man 1 fra forskudt mod venstre foran nullet. 9 trækkes ned, så der står. 19 Man dividerer med. 18 og 0 lægges sammen 1 Resultatet bliver 9, som skrives 18 på samme måde som i til højre for. I alt får man der- + 0 eksemplerne med plus. for 9. Til sidst ganges og 08 0 trækkes fra som ovenfor. Grundliggende regning og talforståelse Side 7

12 Store tal Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. Her er et par eksempler: Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives Nogle gange skriver man blot fem mio. eller mio. En million skrives Altså et et-tal med seks nuller bagefter. Det er det samme som Der bor omkring syv milliarder mennesker på jorden. Tallet syv milliarder skrives Nogle gange skriver man blot syv mia. eller 7 mia.. En milliard skrives Altså et et-tal med ni nuller bagefter. Det er det samme som tusind millioner eller eller Nogle gange skriver man store tal, som en slags decimaltal. I virkeligheden bor der ca mennesker i Danmark. Det skriver man ofte som, mio. I store tal (som f.eks...1) sætter man ofte - men ikke altid - punktum (læseprik) efter hvert. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum Det er ret forvirrende! Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Udregn: 8 Udregn: Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten Du kan læse mere om, hvordan man regner med negative tal i et senere afsnit. Grundliggende regning og talforståelse Side 8

13 Gange og division med 10, 100, o.s.v. Det er vigtigt, at man kan gange og dividere med 10 og med 100 osv. uden at bruge regnemaskine. 10 1, : 10 0 : , : : , Man ganger et tal med 10, 100, o.s.v. ved at sætte 0 er på tallet eller rykke kommaet til højre. Et 0 eller en komma-plads ved 10. To 0 er eller to komma-pladser eller en af hver ved 100. Osv. Man dividerer et tal med 10, 100, o.s.v. ved at fjerne 0 er eller rykke kommaet til venstre. Et 0 eller en komma-plads ved 10. To 0 er eller to komma-pladser eller en af hver ved 100. Osv. Nogle gange må man forestille sig et usynligt komma. Når man fx skal udregne 0 :1. 000, fjerner man først nullet og får, og her er jo intet komma. Men så må man tænke på som,0. Når man så flytter kommaet to pladser mod venstre, må man desuden sætte et nul foran. Altså 0,. Man kan også gange og dividere store runde tal med hinanden uden at bruge regnemaskine : 00 Man må se bort fra 0 erne i første omgang. 8 Derefter sættes de tre 0 er bagpå. I alt fås: Man må fjerne 0 erne parvis på denne måde: : : : 0 I den sidste beregning bruger man, at: 1 : Grundliggende regning og talforståelse Side 9

14 Regning med enheder Måleenheder Kg-priser... 1 Tid og hastighed... 1 Valuta Regning med enheder Side 10

15 Måleenheder Du skal kende de vigtigste måleenheder for vægt, rumfang og længde. Vægt måles normalt i ton (t), kilo (kg) eller gram (g). Der skal kg til 1 ton, og der skal g til et kg. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. 1 ton kg g 1 kg g ton kg g :1000 :1000 Omregn 00 kg til ton. Omregn, kg til gram. 00 : , ton, g Rumfang måles normalt i liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) eller milliliter (ml). Der skal 10 dl til 1 liter, der skal 10 cl 1 dl, og der skal 10 ml til en cl. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. 1 liter 10 dl 100 cl ml 1 dl 10 cl 100 ml 1 cl 10 ml liter dl cl ml :10 :10 :10 Regning med enheder Side 11

16 Omregn 1, liter til cl. Omregn ml til cl. 1, cl : 10 0, cl I eksemplet til venstre, kan man også gange med 10 to gange. Altså: 1, cl. Hvis man skal måle større rumfang, bruger man ofte kubikmeter (m ). Der skal liter til 1 m. Du kan læse mere i afsnittet om geometri. 1m liter m 1000 liter :1000 Længde måles normalt i meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) eller millimeter (mm). Der skal 10 dm til 1 m, der skal 10 cm 1 dm, og der skal 10 mm til 1 cm. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. Der er sikkert en tavlelineal i jeres klasseværelse. Den er en meter lang. 1 m 10 dm 100 cm mm 1 dm 10 cm 100 mm 1 cm 10 mm m dm cm mm :10 :10 :10 Hvis man skal måle større længder, bruger man normalt kilometer (km). Der skal m til 1 km. km 1000 :1000 m 1 km m Regning med enheder Side 1

17 Kg-priser De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man bruger den ene eller den anden skrivemåde. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 1,7 kg oksefars. 1, ,0 kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 0 g oksefars. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: g koster 9 kr. 9 1 g koster 0,09 kr g koster 0 0,09, kr. - Man kan i en beregning sige: , kr. - Eller man kan (fordi 0 g 0,0 kg) sige: 0,0 9, kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 0 kr.? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: - Eller man kan i en beregning sige: g koster 9 kr. 9 1 g koster For 0 kr. kan man få: 0,09 kr. 0 0,09 78 g. 0 : 9 0,78 kg eller 78 g Regning med enheder Side 1

18 , kg kartofler koster 9,9 kr. Find kg-prisen. 9,9 :,,98 kr. pr. kg. g leverpostej koster 11,7 kr. Find kg-prisen. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: g koster 11,7 kr. 11, 7 1 g koster 0,01 kr g koster 0, ,1 kr. - Man kan i en beregning sige: 11, ,1 kr. - Eller man kan (fordi g 0, kg) sige: 11,7 : 0,,1 kr. g leverpostej koster 7,9 kr. Hvad vil g koste? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan sige: - Eller man kan i en beregning sige: g koster 7,9 kr. 7,9 1 g koster 0,0 kr. g koster 0,0 11,8 kr. 7,9 11,8 kr. Eksemplerne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de efterfølgende afsnit om tid og valuta. Regning med enheder Side 1

19 Tid og hastighed Tid måles normalt i timer, minutter og sekunder. Der er 0 minutter i en time og 0 sekunder i et minut. time 0 :0 min. 0 :0 sek. 1 time 0 min.00 sek. 1 min. 0 sek. Hvor mange minutter er timer og 17 minutter? minutter Omregn 10 sekunder til minutter og sekunder. Man siger først: 10 : 0,1... Det betyder, at der er hele minutter, som svarer til 0 00 sekunder. Derfor er: 10 sekunder minutter og 10 sekunder Det koster kr. i timen at leje en båd. - Hvad koster det at leje båden i timer og 0 minutter? Man kan sige: t. og 0 min minutter 1 min. koster 0,7 kr. 0 t. og 0 min. koster: 10 0, 711,0 kr. - Hvor længe har man haft båden, når man skal betale 10 kr.? Man kan sige: 1 min. koster 0,7 kr. 0 For 10 kr. kan man få: 10 min. t. og 0 min min. 0,7 En håndværker tager 9 kr. for timer og 1 minutter. Hvad er timelønnen? Man kan sige: t. og 1 min minutter. Prisen pr. minut er: 9 : 19,80 kr. Prisen pr. time er:, kr. Man kan også omregne t. 1 min. til decimaltal (se næste side), og så får man: t. og 1 min., time. Prisen pr. time er: 9 :, 88 kr. Regning med enheder Side 1

20 Omregn timer og 0 minutter til decimaltal. t. og 0 min.,8 time. 0 Det er fordi 0 min. time 0,8 time. 0 Du må aldrig sige at: t. og 0 min.,0 time. Omregn 1, time til timer og minutter. 1, time 1 t. og 1 min. Det er fordi 0, t. 0, 0 min. 1 min. Du må aldrig sige at: 1, time 1 t. og 0 min. En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går.) pr. tidsenhed. Hvis en bil kører 100 km/time, så vil den på en time kunne køre 100 km. Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. : En bil kører 0 km på timer. Hvad er bilens hastighed? Hvor langt kan du gå på timer, når din hastighed er km/time? Hvor lang tid tager det at cykle 0 km, når man kører 1 km/time? 0 10 km 80 km/time Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. Formlen kan omskrives som vist herunder. Afstand Hastighed Tid eller Tid 0 timer 1 Afstand Hastighed Tid Afstand Hastighed Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler km på 1 time 0 minutter? - Da 1 time og 0 min. 1, time, kan man sige: km/time 1, - Eller man kan finde hastigheden i km/min. og gange med 0. Det kan gøres i en beregning: 0 90 km/time Regning med enheder Side 1

21 Valuta Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta. Her er der brugt valutakurser fra november 01, men valutakurser ændrer sig hele tiden. Kursen på svenske kr. er 87,. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 87, danske kr. En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,87 kr. eller 87, øre. Kursen på US-dollars er 8,7. Det betyder, at 100 US-dollars koster 8,7danske kr. En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist:,87 kr. eller 8,7 øre. Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: F K D D Antal danske kroner F Antal fremmed valuta K Valutakursen 100 Formlen kan også skrives således: D 100 F eller K K D 100 F : Hvor meget koster 0 US-dollars, når kursen er 8,7? Hvor mange svenske kr. kan man få for 800 danske kr., når kursen er 87,? Hvad er kursen på tjekkiske, koruna når koruna, koster.1 kr.? 0 8,7 1. kr. 100 Eller blot: 0,87 1. kr. fordi hver dollar koster,87 kr sv. kr. 87, Eller blot: sv. kr. 0,87 fordi hver svensk krone koster 0,891 dansk krone , koruna koster altså lidt under 0 kr. Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at vurdere, om resultatet er rimeligt. I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal koruna er langt større end antal kr. Vær endelig opmærksom på, at man i den virkelige verden ofte skal betale et gebyr for at veksle. Regning med enheder Side 17

22 Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Sammensætning af regnearterne Side 18

23 Plus, minus, gange og division Udregn: Udregn: Man regner forfra og får: Man regner forfra og får: Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt plus foran det forreste tal). Forestil dig at: - du skal have 8 kr., kr. og kr., - du skal af med kr. og kr. Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. (I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). Man kan også tænke således: Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. Udregn: : : Udregn: : : Man regner forfra og får: : : : : 8 : 0 : 0 Man regner forfra og får: : : 0 : : 10 : 0 : 0 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt gange foran det forreste tal). Sammensætning af regnearterne Side 19

24 I lange regnestykker skal man gange og dividere før man lægger sammen og trækker fra. Udregn: + 8 : Udregn: 7 1 : + 8 : + 8 : : + 8 : 7 + På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. En mindre god regnemaskine vil typisk give 1, hvis man indtaster opgaven til venstre. Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 7 1 : + 8 : 7 + Så kan man f.eks. let se, at -tallet i anden linie er resultatet af 8 :. Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Der findes specielle regneregler for negative tal. Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. Udregn: 8 Udregn: + ( 8) ( 8) Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. Forestil dig, at du har kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. Så vil der være - kr. på kontoen (overtræk). I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. Forestil dig, at har kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. Sammensætning af regnearterne Side 0

25 Udregn: ( ) Udregn: ( 7) ( ) 10 fordi ( ) svarer til + ( 7) fordi ( 7) svarer til + 7 Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, fordi to minusser efter hinanden giver plus. Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. Tegningen til højre viser, at forskellen på - og er Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler + + og + : : + og : + + Udregn: ( ) Udregn: ( ) : ( ) 1 på grund af regnereglen: Forestil dig, at der på forskellige bankkonti alle står - kr. (overtræk). I alt står der -1 kr. på de konti. + ( ) : på grund af regnereglen: : Forestil dig, at en gæld på kr. deles i lige store gælds-portioner. Hver portion bliver en gæld på kr. + Udregn: - ( ) Udregn: ( 0) : ( ) ( ) 8 på grund af regnereglen: + Dette eksempel er svært at forklare. ( 0) : ( ) på grund af regnereglen: : + Forestil dig, at en gæld på 0 kr. skal deles i mindre gælds-portioner på kr. Der bliver gælds-portioner. Sammensætning af regnearterne Side 1

26 Lig med, større end og mindre end Du kender lighedstegnet. Man skriver +, fordi + er lig med. Man kan også skrive eller 117, 117,. Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 7 > betyder at 7 er større end Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. Tegnet åbner sig altid imod det største tal. < 8 betyder at er mindre end 8 Der er også tegn for større end eller lig med og mindre end eller lig med. De ser sådan ud: og. Parenteser og brøkstreger Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. Udregn: (8 ) Udregn: + ( ) : (8 ) 0 + ( ) : + (1 ) : + 10 : + 8 En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. Udregn: Udregn: Sammensætning af regnearterne Side

27 Skriv uden brøkstreg. Skriv 18 : (10 ) med brøkstreg. 9 + ( + 7) : (9 ) I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde +. 1 I opstillingen uden brøkstreg vil mellemregningen hedde + 1 :, og det er naturligvis det samme I opstillingen uden brøkstreg vil mellemregningen hedde 18 :. I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde, 18 og det er naturligvis det samme. Matematikere synes normalt, at opstillinger med brøkstreger er de pæneste, men hvis man skal indtaste regnestykkerne i et regneark eller på en regnemaskine, kan det være nødvendigt at skrive vandret. I eksemplet til venstre kan man fx taste + ( + 7 ) ( 9 ) på regnemaskinen. Skriv 8 uden brøkstreg. Skriv 8 : : 10 på en brøkstreg. : : : :10 10 I eksemplet til venstre skal man dividere med, fordi 8, men resultatet bliver det samme, hvis man først dividerer med og derefter dividerer med 8. Kurt køber fem dage om ugen dagens ret og et glas juice? Hvor meget betaler han i alt om ugen? Skriv både et regnestykke med parentes og et regnestykke uden parentes. Man kan enten skrive (0 + ) 10 kr. eller man kan skrive kr. Kantinepriser Dagens ret... 0 kr. Juice, pr. glas... kr. Tænk selv over, hvorfor regnestykkerne er ens. Sammensætning af regnearterne Side

28 Potenser og rødder Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. Skriv som en potens. Udregn også resultatet. Skriv 7 som et almindeligt gangestykke. Udregn også resultatet. Man siger seks i fjerde. På regnemaskinen trykkes ^ for at beregne resultatet Man siger fem i syvende. Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. Bemærk at potens-knappen også kan se således ud: y x på regnemaskinen. Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. De fleste regnemaskiner har en i anden-knap. Den ser således ud: x. For at finde tastes x og man får. Bemærk: ( ) giver også, fordi ( ) ( ), men det er vigtigt at huske parentesen. Rødder er det modsatte af potenser. Find 1 Find 8 1 kaldes for kvadratroden af 1. Man får fordi 1 eller er 1. Man skulle tro, at 1 også kan være, fordi 8 kaldes både for den tredje rod af 8 og for kubikroden af 8. Man får fordi 8 er 8. eller ( ) er 1 (husk regnereglen: + ). Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 1. Og 1 betyder. Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x. Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. Sammensætning af regnearterne Side

29 Eksemplet til niveau F, E og D Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Potenser... b Rødder... d 10-tals-potenser... e Sammensætning af regnearterne Side a

30 Eksemplet til niveau F, E og D Sammensætning af regnearterne Side b Potenser Der findes nogle specielle regneregler for potenser. De er vist her til højre. Reglerne ser indviklede ud, men hvis man afprøver dem på almindelige tal, så er de meget logiske. Skriv på kortere form: Man får iflg. regel I: + Man får iflg. regel II: Man får iflg. regel III: 0 ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: Ved at forkorte får man Men man kan også skrive: og det er naturligvis 0 Skriv på kortere form: ( ) Man får iflg. regel IV: Man får iflg. regel V: ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: ) ( og det er naturligvis I eksemplerne på denne side bliver man ikke bedt om at omregne de viste potenser til "almindelige" tal, men det kan let gøres på regnemaskinen. I: n m n m a a a + II: n m n m a a a III: n n n b) (a b a IV: n n n b a b a V: m n n m a ) (a