DTU. License to Thrill
|
|
- Rune Rasmussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1
2 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje igennem en given mængde af punkter i planen? Hvad betder "bedst"og er der altid præcis én ret linje, der så er den bedste? Eksperimenterne i denne øvelse går ud på at besvare disse spørgsmål. Figur 1: En linje ser ud til at approksimere den givne punktmængde. Er det den bedste tilnærmelse? Niveau: C, B, og A. Tidsforbrug: Fra til 5 lektioner. Faglige mål: Rette linjer i planen, akkumulerede cirkelskivearealer, bestemmelse af minima for funktioner af én og to variable. Beskrivelse (detaljeret): Vi ser på n punkter i planen: { p 1, p, p 3,..., p n }, og ønsker at approksimere dem med en ret linje L med ligningen L : a + b + c = 0, hvor a, b, og c er konstanter (dog sådan at a og b ikke samtidig er 0). Opgave 1) Hvad er a, b, og c for hver af de linjer, der har ligningerne henholdsvis = 3 = = 6 3 = = 1.
3 Opgave ) Hvorfor må a og b ikke samtidig være 0? Da a og b ikke samtidig er 0 kan vi antage, at a = cos(v) og b = sin(v) hvor v er en vinkel i intervallet ]0,π]; linjen L har derefter ligningen: L : cos(v) + sin(v) + c = 0. (0.1) Opgave 3) Hvorfor kan vi uden videre antage at L nu kan skrives på den form? Opgave 4) Hvad er værdien af v for hver af de linjer, der er angivet i opgave 1)? Opgave 5) Tegn linjerne fra opgave 1) og angiv for hver af dem, hvor på tegningen vinklen v optræder. Fordelen ved at indføre vinklen v er rimelig klar: Nu kan linjen beskrives ved brug af kun konstanter nemlig v og c, hvor vi før brugte 3: a, b, og c. Opgave 6) Men linjer, der har ligning på den mere velkendte form: L : = α + β kan jo også beskrives med kun to konstanter! Hvorfor gør vi så ikke det i stedet? Vi indfører et mål for, hvor tæt punkterne ligger ved linjen L, eller med andre ord et mål for hvor godt linjen repræsenterer punkterne. Ofte er det jo sådan, at punkterne er fremkommet ved et laboratorieforsøg hvor man for eksempel har aflæst et antal sammenhørende værdier for strøm igennem en modstand og den tilhørende spænding over modstanden. Så skal der helst være (ifølge Ohm s lov) en nogenlunde lineær sammenhæng mellem strøm og spænding, dvs. målepunkterne skal ligge tæt ved en ret linje i et strøm-spændings-koordinatsstem, og hældningskoefficienten af den rette linje er netop værdien af den Ohm ske modstand. Men målepunkter vil sædvanligvis ikke ligge eksakt på en ret linje, så vi har brug for at kunne finde den linje, der passer bedst. Til den ende gør vi følgende: Vælg (for eksemplets skld) 7 tilfældige punkter { p 1, p, p 3,..., p 7 } i planen. Vi antager, at planen er udstret med et sædvanligt retvinklet koordinatsstem, så de 7 punkter har koordinaterne: p 1 = ( 1, 1 ) p = (, )... p 7 = ( 7, 7 ). Vælg dernæst en ret linje L i planen som et gæt på den bedste rette linje, der tilnærmer de valgte punkter. Find dernæst ligningen for linjen på formen 0.1. Se for eksempel figur. Eksempelvis er der i den figur vist 7 punkter der har følgende koordinater med hensn til det viste koordinatsstem: [.78,.178],[.308,1.04],[.696,1.5],[ 1.5,.169],[.775,.113],[1.11,.811],[1.01,1.70], 3
4 og den viste linje har ligningen: L : = 0, dvs. linjen er karakteriseret ved, at v = π/3 og c = 1/. Men det gæt er ikke den bedste rette linje, det er ikke den linje, der bedst approksimerer de sv punkter. Den bedste linje er vist i figur 6; det er den vi er på jagt efter. Figur : Sv tilfældige punkter i planen og en ret linje. Hvert punkt p i i mængden af punkter, { p 1, p, p 3,..., p 7 }, bidrager selvstændigt med et bidrag til målet for hvor langt punktmængden er fra at ligge på den givne rette linje L. Lad os først betragte det valgte punkt p 1. Det punkt har en afstand fra L; lad os kalde den afstand for r 1. Tegn nu den cirkel, der har radius r 1 og centrum i p 1 - det er den cirkel, der lige præcis tangerer L, se figur 3. Figur 3: Et af de 7 punkter med linje-tangerende cirkel med radius r 1. Den cirkel omkredser et areal, som er givet ved A 1 = πr 1. (0.) 4
5 Dette areal udregnes nu for alle punkterne og arealerne lægges sammen - bemærk, at overlap tælles med, se figur 4: hvor vi har indført betegnelsen S for A = π = A i πri = π ( r1 + r r7 ) = Sπ, S = r 1 + r r 7. (0.3) Figur 4: Det totale cirkelskive-areal er mål for hvor meget punkterne afviger fra at ligge på den valgte rette linje. Kunsten er nu at finde den linje, der giver den mindst mulige totale sum af cirkelskivearealerne, dvs. den mindst mulige værdi af S. Det er den linje, vi vil kalde den "bedste" approksimation til den givne punktmængde. Opgave 7) Vis, at med den valgte ligning (0.1) for L kan r 1, og generelt r i, udtrkkes ved v og c på følgende måde: r i = i cos(v) + i sin(v) + c. (0.4) Så har vi S = S(v,c) = ( i cos(v) + i sin(v) + c), (0.5) og den resterende opgave er altså at finde v og c sådan at dette udtrk for S (med de givne punkt-koordinater) er mindst mulig. Den linje, vi har valgt at gætte på i første omgang kan roteres og parallelforskdes med henblik på at gøre S værdierne mindre, men omkring hvilket punkt skal vi rotere og i hvilken retning skal vi parallelforskde? Se animationerne. 5
6 Som et eksperiment kan vi først prøve at finde den bedste linje blandt alle de linjer, der er parallelle med aksen. Vi har så konstant v = π/ for alle de linjer, vi nu kigger på, og derfor er L : = c, og dermed S = S(π/, c) = = ( i + c) = 7c + c ( i + c i + c ) ( ) ( ) i + i, Funktionen S er så en funktion af den ene variable c og vi kan derfor finde den mindste værdi som S antager ved at finde den værdi af c for hvilken funktionen S(c) har vandret tangent, altså hvor S (c) = 0: ( ) S (c) = 14c + i, så den søgte c værdi er derfor c = 1 7 ( ) i og den søgte linje parallel med aksen er derfor: ( ) = 1 7 i Vi kan naturligvis som et næste eksperiment også finde den linje parallel med -aksen, som giver mindst S blandt alle linjer af formen = c, hvor c igen opfattes som den ene variable. Dette svarer til at vælge fast vinkel v = 0 i det generelle udtrk (0.5). Opgave 8) Tegn grafen for S(c) i hvert af de to betragtede tilfælde for de konkrete punkter i figur og aflæs de c værdier der giver mindste S(c) for de vandrette henholdsvis lodrette linjer. De to akseparallelle linjer, vi dermed har fundet, har et skæringspunkt; det er massemidtpunktet for de 7 punkter: P = (P, P ) = 1 7 ( ) i, i Opgave 9) Find massemidtpunktets koordinater for de konkret givne 7 punkter i figur og sammenlign med resultatet i opgave 8). 6.,.
7 Ovenstående eksperimenter peger således på et ganske bestemt punkt, massemidtpunktet, omkring hvilket det dernæst er oplagt at rotere en linje for at finde den linje, der giver mindst værdi for S blandt alle de linjer, der går igennem massemidtpunktet. Lad os dog først få den gode idé, at vi måske kan bentte ovenstående fremgangsmåde til helt generelt at bevise, at følgende faktisk er et korrekt udsagn: Sætning 0.1. Den mindste værdi for S findes for en linje, som går igennem massemidtpunktet for de givne punkter. Bevis. Ideen er selvfølgelig at vælge v til en fast værdi (ikke nødvendigvis hverken π/ eller 0). Så er S(c) = = = 7c + c ( i cos(v) + i sin(v) + c) (c + c ( i cos(v) + i sin(v)) + ( i cos(v) + i sin(v)) ) ( i cos(v) + i sin(v)) + ( i cos(v) + i sin(v)), hvor v og 1,..., 7, og 1,..., 7 jo er konstanter. Vi differentierer S som funktion af c og sætter det resulterende udtrk lig med 0: som er 0 hvis og kun hvis S (c) = 14c + = 14c + cos(v) ( i cos(v) + i sin(v)) i + sin(v) i, c = cos(v) 1 7 i sin(v) 1 7 i = P cos(v) P sin(v). Vi indsætter nu denne c værdi i ligningen for L og får dermed den bedste retlinjede approksimation til de 7 punkter blandt alle de linjer der har den konstante givne v værdi: L v : ( P )cos(v) + ( P )sin(v) = 0. (0.6) Alle disse linjer - dvs. for et vilkårligt valg af vinklen v - går tdeligvis igennem massemidtpunktet P = (P, P ) for de 7 punkter! Og det var det, vi skulle bevise. Det er nu klart, at for at finde den bedste rette linje skal vi blot betragte alle linjerne L v, som som går igennem massemidtpunktet, og så blandt dem finde den eller de linje(r) der har v-værdi(er) for hvilke(n) S(v) er mindst mulig. 7
8 Overraskende nok er der enten lige præcis én sådan linje eller også er alle linjerne igennem massemidtpunktet løsninger til problemet! Det kan vi se på følgende måde: Da vi kun kigger på linjerne givet ved udtrkket (0.6) får vi følgende relativt simple udtrk for S(v): S(v) = (( i P )cos(v) + ( i P )sin(v)) = cos (v) ( i P ) + sin (v) = Acos (v) + Bsin (v) + C cos(v)sin(v), ( i P ) + cos(v)sin(v) hvor vi har indført følgende betegnelser for de tre konstanter: A = B = C = ( i P ) ( i P ) ( i P )( i P ). Opgave 10) Bestem konstanterne A, B, og C for de konkret givne punkter i figur. ( i P )( i P ) Vi må nu eksperimentere lidt med funktionen S(v) for at se, hvordan dens minimumspunkter afhænger af konstanterne A, B, og C: Hvis f.eks. C = 0 og A = B, så er S(v) konstant, S(v) = A for alle v. Alle linjer igennem massemidtpunktet giver i så fald den sammme mindste S-værdi og er derfor lige gode - og bedst! Vi vil nu indse, at hvis det ikke gælder, at C = 0 og A = B, så er der netop én ret linje, der approksimerer de givne punkter bedst muligt. Lad os først se på differentialkvotienten: S (v) = Acos(v)sin(v) + Bcos(v)sin(v) + C ( cos (v) sin (v) ) = Asin(v) + Bsin(v) + C cos(v). Heraf fås, at S (v) = 0 for tan(v) = C A B, (0.7) 8
9 således at netop når der ikke samtidig gælder, at C = 0 og A = B, så er der præcis to vinkler v [0,π[, som opflder ligningen ovenfor, nemlig v = 1 ( ) C arctan (0.8) A B og v = π + 1 ( ) C arctan A B Hvis v tilhører intervallet fra 0 til π, så ligger v selvfølgelig i intervallet fra 0 til π så vi må afgøre hvilke værdier funktionen tan(v) antager: (0.9) tan(v) v 3 Figur 5: Funktionen f (v) = tan(v) i intervallet v [0,π[. Bemærk, at for enhver værdi = q [, ] er der netop to værdier af v, således at tan(v) = q. Præcis én af v værdierne i (0.8) og (0.9) svarer til den linje gennem massemidtpunktet som giver minimal S; den anden vinkel svarer til den linje som giver maksimal S værdi blandt alle linjerne gennem massemidtpunktet. Bemærk, at de to linjer står vinkelret på hinanden. Opgave 11) Find de to linjer for de konkrete sv punkter i figur og sammenlign med figur 6. Figur 6: Den bedste retlinjede approksimation (og den dårligste) til de 7 givne punkter findes ved rotation omkring massemidtpunktet. Sammenlign med gættet i figur 4. Dermed har vi løst opgaven. Løsningsproceduren er altså først at bestemme massemidtpunktet og dernæst at finde de to løsninger til vinkel-problemet omkring massemidtpunktet og endelig 9
10 vælge den vinkel v 0, der giver mindst S værdi. Så er løsningen, dvs. den bedste rette linje, simpelthen givet ved ligningen (0.6) med dette v 0 indsat: L : ( P )cos(v 0 ) + ( P )sin(v 0 ) = 0. (0.10) Opgave 1) Bent fremgangsmåden til at finde den bedste rette linje for 0 punkter, som alle ligger tæt på aksen, men som samtidig er rimeligt fordelt langs med aksen. Hvornår er C = 0 og A = B? Hvis punkterne alle ligger i en hob, måske endda smmetisk omkring massemidtpunktet, må vi forvente, at den bedste rette linje ikke er så veldefineret, altså at vi netop er i en situation hvor der næsten gælder: C = 0 og A = B, således at den brøk, der optræder på venstre side i (0.7) er ret usikker. Lad os derfor for eksperimentets skld undersøge, hvad der sker ved smmetriske konfigurationer med f.eks. 3, 4, eller 8 punkter smmetrisk fordelt på en cirkel omkring (0,0)? Så er S(v) konstant for alle linjer, der roteres om massemidtpunktet, se figur 7 og de tilhørende animationer. Figur 7: Rotation om (0, 0) med smmetrisk 3-, 4-, og 8-punktkonfiguration. Det totale cirkelskiveareal er i alle 3 tilfælde konstant! Enhver ret linje igennem massemidtpunktet er bedst mulig! 10
11 Opgave13) Mon det forholder sig sådan, at C = 0 og A = B kun kan opnås med en smmetrisk placering af punkterne omkring massemidtpunktet, som antdet i figur 7? Grafisk inspektion af S(v,c) Et alternativ til den skridtvise fremgangsmåde ovenfor er at bentte en direkte inspektion af graf-fladen for funktionen S(v,c). I figur 8 er vist den grafflade, der hører til de 7 konkret givne punkter i figur. Det ses, at fladen, landskabet, netop har to minimums-punkter, og ved at se på det tilsvarende højdekurve-plot i figur 9 fremgår det tdeligt, at de to minimumspunkter er henholdsvis ca. (v,c) = (.17, 0.51) og ca. (v,c) = ( 0.94, 0.51). S v c Figur 8: Grafen for funktionen S(v,c) for de 7 valgte punkter i figur. 1 1 c 0 c v v Figur 9: Højdekurve-plot for funktionen S(v,c). Det ses, at S har (samme) minimum for ca. (v,c) = (.17, 0.51) og for ca. (v,c) = ( 0.94, 0.51). 11
12 Opgave 14) Det ser ud som om der er to minimumspunkter for S(v,c) i figurerne 8 og 9. Betder det, at der skulle være to linjer, der er bedste approksimation til de konkrete givne punkter? Hvilke to i så fald? Vink: Se næste spørgsmål. Opgave 15) Hvorfor er forskellen mellem de to v værdier for de to minimumspunkter ca. π? Hvorfor er de to tilsvarende c værdier ca. hinandens modsatte? Materialer: Animationer: Se i mappen: - i undermapperne: XMatDTU/XMwriteF07/ REGRESSION/AnimRegres/ og REGRESSION/AnimSmRot/ Animationerne hedder henholdsvis: RegresEperim.html AnimRot3.html AnimRot4.html AnimRot8.html Litteratur [1] M. P. Bendsøe, A. Bertelsen, P. G. Hjorth, og S. Markvorsen: Optimale Konstruktioner. Perspektiv (3), Fsikforlaget, (003) 1-8. [] Se, f: [3] H.H. Finkelstein: Wh Eperimental Mathematics Is The Ke To Good Math Instruction, Cambridge Tets in Applied Mathematics (008). [4] S. Toft Jensen og J. Matthiasen (red.) Matematiske Ideer, Matematikforeningen, [5] S. Markvorsen, Integration i flere Variable, Noter, Institut for Matematik, DTU, [6] S. Markvorsen, Math Education at a Crossroads, MAT-Report No , Institut for Matematik, [7] Yu. A. Shashkin, Fied Points, American Mathematical Societ, MAA, [8] V. M. Tikhomirov, Stories about maima and minima, American Mathematical Societ, MAA,
13 INSTITUT FOR MATEMATIK, MATEMATIKTORVET, DTU BYGNING 303 SYD, 800 KGS. LYNGBY. 13
XM @ DTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Matematik 1 på DTU S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 1 Matematik 1 I begyndelsen af det tredie årtusind hedder på Danmarks
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereProgression frem mod skriftlig eksamen
Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA
GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereProjekt Lineær programmering i to variable
Projekt 5.5 - Lineær programmering i to variable. Den grundlæggende ide i lineær programmering Håndtering af optimeringsproblemer er et af de store anvendelsesområder inden for differentialregningen. Det
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mere12MAT1 (JL) 1. semester, 2. klausur torsdag, d. 4. december 2003, time, kl
MAT (JL). semester. klausur torsdag d. 4. december.-6. time kl..45 -.5 Et par ord om klausuren: Klausur er undervisning under en anden form derfor er der mødepligt til samtlige 4 undervisningstimer - disponér
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 008 HHX08-MAB Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereKapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereMATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereLineære funktioner. Erik Vestergaard
Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereEksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo!
Eksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo! Eksemplet er hentet fra side 122 i bogen "Counterexamples
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere2. Funktioner af to variable
. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 3
Grundlæggende matematiske begreber del 3 Ligninger med flere variable Ligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse LIGNINGER MED FLERE VARIABLE... 3 Ligninger med flere
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011
Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereIntroducerende undervisningsmateriale til Geogebra
Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...
Læs mere