Bachelorprojekt Aalborg Universitet Esbjerg 15. juni 2009 B6 1 F09

Transkript

1 Bachelorprojekt 15. juni 2009 B6 1 F09

2 BLANK SIDE Side 2

3 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Bacheloruddannelsen 6. semester B-sektoren Niels Bohrs vej Esbjerg Telefon Fax Tema: Titel: Udført af: Vejleder: Bachelorprojekt Christian Jensen & Pernille Guldberg Mikkelsen Sven Krabbenhøft Projektperiode: 1. april juni 2009 Rapporten omhandler testresultater for en række triaksialforsøg og 1g modelforsøg med Esbjerg sand. Triaksialforsøgene er udført med et varierende kammertryk fra 1,5 kpa til 100 kpa ved lejringstætheder på 0,20, 0,59 og 0,84. Resultaterne fra triaksialforsøgene viser, at friktionsvinklen afhænger spændingsniveauet og at Mohr- Coulombs brudbetingelse ikke er lineær for små spændinger. Resultaterne stemmer rimeligt overens med resultater fundet ved Boltons formel. Grundet friktionsvinklens spændingsafhængighed er en lineære Mohr-Coulombs model ikke egnet til bestemmelsen af bæreevne for et 1g modelforsøg. Der er derfor opstillet en ikke lineær Mohr-Coulomb brudbetingelse, der er implementeret i et FEM program. Resultaterne fra FEM beregningen er i rimelig overensstemmelse med resultaterne der er fundet ved modelforsøg. Modelforsøgets bæreevne er eftervist med den generelle bæreevne formel, hvor der er indsæt en repræsentativ værdi af friktionsvinklen fundet ved en formel af De Beer. Der er fundet god overensstemmelse mellem den teoretisk beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg. Oplag: 4 Sideantal: 57 Vedlagt: 1 Cd Side 3

4 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Bacheloruddannelsen 6. semester B-sektoren Niels Bohrs vej Esbjerg Telefon Fax Theme: Titel: Group: Supervisor: Bachelorprojekt Bearing capacity of strip foundations Christian Jensen & Pernille Guldberg Mikkelsen Sven Krabbenhøft Period of work: 1. April June 2009 This paper presents the test results of a series of triaxial test and 1g model tests with Esbjerg sand. The triaxial tests are performed with confining pressures varying from 1.5 kpa to 100 kpa at relative densities of 0.20, 0.59 and The results from the triaxial tests shows that the friction angle depends on the stress level and that Mohr- Coulombs yield criterion is non linear for small stress levels. The results are in agreement with the results given by a equation given by Bolton. Because of the friction angle stress dependency on a linear Mohr- Coulomb model, it is not suited for clarification of the bearing capacity for a 1g model experiment. Because of this a non linear Mohr- Coulomb yield criterion is implemented in a finite element program. The results from the FEM calculation are in agreement with the results found through model experimentations. The model experimentation bearing capacity is showed with the general bearing capacity formula with an inserted value for the friction angle found at a formula given by De Beer. The theoretically calculated bearing capacity is found to be in agreement with the results found through model experimentations. Number of copies: 4 Number of pages: 57 Enclosed: 1 Cd Side 4

5 Forord Denne rapport er udarbejdet som et afgangsprojekt på bacheloruddannelsen af gruppe B6-1-F09 ved det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet, i perioden 1. april til 15. juni Det overordnede formål med bachelorprojektet er at: sætte den studerende i stand til på en selvstændig måde at udføre et projektarbejde omfattende en eksperimentel, empirisk og/eller teoretisk undersøgelse af en eller flere problemstillinger inden for centrale eller emner i sin uddannelse [B-studienævnet2007, side 12] Projektet omhandler bæreevnen af stribefundamenter. Der er i den forbindelse udført laboratorieforsøg og analytiske beregninger på et triaksial- og et modelforsøg, med henblik på at undersøge jordens bæreevne. Til udarbejdelse af grafer benyttes MATLAB, mens der til FEM beregninger anvendes et program udviklet af Johan Clausen, civilingeniør og ph.d. i byggeri og anlæg. Projektets målgruppe er hovedsageligt medstuderende, censor og vejledere. Kildehenvisninger er angivet efter nummer, f.eks. [1] og er samlet i afsnittet referencer. Formler angives (X.Y) hvor X er afsnitsnummeret og Y er formelnummeret. Formelnummeret nummereres fortløbende i hvert afsnit. Appendikser findes i afsnit 11 og der henvises til disse med notationen [A.X]. Figurer og tabeller er af eget materiale eller undervisningsnoter, hvis ikke andet er oplyst. Dimensioner angives i mm (længde x bredde x tykkelse/højde). Til projektet er der vedlagt en Cd der indeholder: Rapport inkl. appendiks Program til at udføre iterationsproces MATLAB filer Billeder Forsiden illustrerer modelforsøget. 15. juni 2009: Christian Jensen Pernille Guldberg Mikkelsen Side 5

6 Indholdsfortegnelse 1 Indledning Sandets egenskaber Sandets egenskaber Triaksialforsøg Triaksialapparatet og udførelsen af forsøget Test resultater Behandling af testresultater Diskussion af testresultater Modelforsøg Modelforsøg og udførelse af forsøget Forsøgsresultater Diskussion af testresultater Fastlæggelse af brudtype Modelforsøg med punktfundament i plexiglaskasse Brudtilstanden og plasticitetsteori Brudtilstanden Plasticitetsteori for jord Bæreevneformel Terzaghi`s og den generelle bæreevneformel Beskrivelse af bæreevne- og formfaktorer Bestemmelse af en repræsentativ værdi af Sammenligning mellem teoretisk beregnet bæreevne og modelforsøg FEM beregninger FEM program-lstfundanewrapflyt_v202.m Opsummering Konklusion Reference liste Appendiks Appendiks 1 - Spændingsvariation omkring et punkt, Coulombs brudbetingelse Spændingsvariation omkring et punkt Mohrs cirkel og brudbetingelse Appendiks 2 - Bestemmelse af friktions- og dilatationsvinkel Bestemmelse af friktionsvinkel φ peak Bestemmelse af dilatationsvinkel Side 6

7 11.3 Appendiks 3 - Dybde af brudfigur Appendiks 4 - Fremgangsmåde for beregning af lejringstætheden Bestemmelse af rumvægten for lejringstætheden 0,59 og 0, Fremgangsmåde for beregning af den endelige lejringstætheden Appendiks 5 - Bestemmelse af friktionskoefficient mellem sand og plastik Appendiks 6 Bestemmelse af det samlede friktionsbidrag Appendiks 7 - Den gennemsnitlige normalspænding Side 7

8 1 Indledning Projektet omhandler bestemmelsen af et stribefundaments bæreevne på sand. Bæreevnen af et stribefundament afhænger bl.a. af fundamentets bredde, jordens lejringstæthed, overfladelasten samt en række dimensionsløse bæreevnefaktorer der udelukkende bestemmes på baggrund af jordens friktionsvinkel. Friktionsvinklen spiller derfor en væsentlig rolle i et fundaments bæreevne og antages i traditionelt ingeniør praksis, primært at afhænge af jordens lejringstæthed. Styrken af en jord beskrives ved en lineær Mohr-Coulombs model, der i daglig tale kaldes Coulombs brudbetingelse. Coulombs lineære brudbetingelse forudsætter en konstant friktionsvinkel. Under forudsætning af en konstant friktionsvinkel bestemmes en jords styrkeparametre på baggrund af enten SPT- (Standard Penetration Test)eller CPT- (Cone Penetration Test) forsøg, der begge er in situ forsøg. Det er imidlertid påvist [1] at friktionsvinklen især for små spændinger afhænger af spændingsniveauet. Det betyder, at for små spændinger bliver brudbetingelsen en krum Mohr- Coulomb model og i takt med, at spændingerne stiger bliver det en lineær Mohr-Coulomb model, se Figur 1. Figur 1: Brudbetingelse for sand ved små spændinger [2] Geotekniske problemstillinger løses ofte i laboratoriet med modelforsøg, idet det er for dyrt og besværligt at udføre fuldskalaforsøg. I geotekniske konstruktioner stammer spændingerne i jorden ofte fra jordens egenvægt. Det betyder, at spændingerne er små ved modelforsøg. Friktionsvinklen bliver større, des lavere spændingerne bliver. Ved overførsel af forsøgsresultater fra modelforsøg til virkeligheden (som kaldes prototypen) kan der opstå problemer. Dette er illustreret på Figur 1 hvor et brud i punkt A umiddelbart ekstrapoleret til punkt B, men det virkelige brudpunkt ligger i punktet C, hvilket betyder, at jordens styrke overvurderes. For at overkomme problemet med friktionsvinklens spændingsafhængighed kan der udføres centrifuge forsøg. Et centrifugeforsøg udføres ved et spændingsniveau, hvor friktionsvinklen er konstant. Princippet i et centrifugeforsøg er at skabe et kunstigt tyngdefelt af størrelsen, hvor er tyngeaccelerationen som bliver forøget med faktoren. Modellen i centrifugen opbygges i målestokken, hvilket betyder, at spændingerne bliver ens i tilsvarende punkter for model og prototype. Alternativet til centrifugeforsøg er, at anvende et FEM program der kan regne med en ulineær Mohr- Coulomb model. Side 8

9 I denne rapport opstilles der et udtryk for en ulineær Mohr- Coulomb brudbetingelse for forskellige lejringstætheder. Udtrykket findes på baggrund af et triaksialforsøg og implementeres i et FEM program. Der udføres brudbæreevneberegninger i FEM programmet. Beregningerne sammenholdes med modelforsøg udført i laboratoriet ved Esbjerg Institute of Technology, Aalborg Universitet. Modelforsøgets bæreevne vil desuden blive eftervist med den generelle bæreevneformel, som er en håndberegningsmetode, der er baseret på en konstant friktionsvinkel. Grundet friktionsvinkelens spændingsafhængighed ved lave spændinger opstår der problemer når den generelle bæreevneformel skal anvendes til at eftervise et modelforsøgs bæreevne. Problemet består i at finde en repræsentativ friktionsvinkel til indsættelse i bæreevneformlen. I denne rapport ses der nærmere på dette problem og der drages afslutningsvist sammenligninger mellem resultater fundet ved FEM beregninger og håndberegningsmetoden. 2 Sandets egenskaber Der anvendes Esbjerg sand til modelforsøgene. Formålet med dette afsnit er at beskrive Esbjerg sands egenskaber. 2.1 Sandets egenskaber Der er i eksperimenterne brugt Esbjerg sand, som er kvartssand med en rektangulær form. Sandets karakteristika fremgår af Tabel 1. Tabel 1: Egenskaber af Esbjerg sand Parameter Værdi D 10 (mm) 0,25 D 60 (mm) 0,58 C u = D60/D10 2,32 C 50 (mm) 0,5 Relativ densitet 2,621 e max 0,733 e min 0,449 Relativ lejringstæthed i eksperimentet 0,20; 0,59; 0,84 Sandets tør vægt i eksperimentet (kn/m 3 ) 15,64; 16,74; 17,54 D 60 og D 10 betegner henholdsvis 60 % - og 10 % -fraktilen. C u er et udtryk for uensformighedstallet, værdier mindre end to betegnes som en velsorteret jordart, mens værdier over fem betegnes velgraderet [2]. Graderingen og dermed uensformighedstallet har indflydelse på friktionsvinklens størrelse. Et uenskornet materiale har større friktionsvinklen end et enskornet. Uensformighedstallet er jf. Tabel 1 på 2,32 og Esbjerg sand betegnes derfor som middelgraderet. Side 9

10 3 Triaksialforsøg Dette afsnit omhandler udførelse og resultatbehandling af triaksialforsøg med Esbjerg sand ved Esbjerg Institute of Technology, Aalborg Universitet. Der tages udgangspunkt i måleresultater fra tidligere triaksialforsøg udført af Sven Krabbenhoft, Johan Clausen og Lars Damkilde. Formålet med forsøget er at bestemme styrke- og deformationsegenskaber for Esbjerg Sand. Der udføres forsøg med varierende spændinger fra 1,5 kpa til 100 kpa ved lejringstætheder på 0,20, 0,59 og 0, Triaksialapparatet og udførelsen af forsøget Figur 2, a viser en skitse af de komponenter der indgår i triaksialapparatet, og Figur 2, b er et billede af forsøgsopstillingen. (a) (b) Figur 2: a) skitse af triaksialapparatet, b) billede af forsøgsopstillingen [1] Forsøget udføres med tørt sand der placeres i en 0,30 mm gummimembran mellem et nedre og øvre trykhoved, der er lavet af henholdsvis aluminium og nylon. Prøvens diameter og højde er 70 mm. Gummimembranen er fastholdt til det nedre trykhoved med en O-ring og fastholdt til en midlertidig form med et vakuum. Det nedre og øvre trykhoved smøres med siliconefedt for at mindske forskydningsmodstanden mellem trykhoved og prøve. Prøven placeres i apparatet der yderst består af en plexiglascylinder samt et bund- og topstykke. Side 10

11 Hovedspændingen σ 1 påføres via en hydraulisk cylinder der betjenes med en håndpumpe. Lasten registreres med en elektrisk krafttransducer som er monteret imellem det øvre trykhoved og cylinderen. Hovedspændingen σ 3 påføres via en vakuumpumpe forbundet til en studs på hver ende af prøven. Vakuummet kontrolleres med en håndbetjent ventil og registreres med en tryktransducer. Den vertikale flytning registreres med to flytningstransducere der er placeret uden for plexiglascylinderen. I forlængelse af plexiglascylinderen er der monteret et rør, se Figur 2 a, røret er markeret med en rød firkant. Prøvens volumenændringer registreres af en flytningstransducer, der registrerer flytningerne af vandet i røret. Forløbet ved udførelse af triaksialforsøget er som følger: 1. Gummimembranen monteres på det nedre trykhoved med en O-ring. Den midlertidige form monteres og sandet placeres i gummimembranen i et passende antal steps. Mellem hvert step komprimeres sandet for at opnå den ønskede lejringstæthed. For det løse sand (I D =0,20) udføres der ingen komprimering, for den middelkompakte (I D =0,59) placeres sandet i tre steps, og for den kompakte prøve (I D =0,84) placeres sandet i fem steps. 2. Overfladen skrabes med en metalplade, låget placeres og membranen fastgøres til det øvre trykhoved med en O-ring. Der tilføjes et vakuum på ca. 20 kpa og den midlertidige form fjernes og prøven placeres i plexiglascylinderen. 3. Cylinderen fyldes med vand til det ønskede niveau. Vakuummet fjernes og samtlige transducere nulstilles. Prøven påføres isotrop belastning ved at kammertrykket(vakuummet) σ 3 øges op til et ønsket spændingsniveau. Transducerne nulstilles igen så snart der ikke er flere volumenændringer. 4. Der kan efter punkt 3 udføres brudforsøg, hvor prøven påføres en aksialbelastning (stempeltryk). Kammertrykket holdes konstant under brudforsøget. 3.2 Test resultater Der anvendes som tidligere beskrevet Esbjerg sand til triaksialforsøgene med lejringstætheder på henholdsvis 0,20; 0,59 og 0,84. Der er til hver lejringstæthed påsat et begyndelses tryk (vakuum) på hhv. 1,5 kpa, 5,3 kpa, 20 kpa, 100 kpa. Under triaksialforsøgene er følgende størrelser målt: Kammertrykket Deviatorspændingen (stempeltrykket) Deformationen i aksial retning Volumenændring af prøven Peak friktionsvinklen og dilatationsvinklen findes på baggrund af de målte størrelser. Med udgangspunkt i Mohr`s cirkel og Coulombs brudbetingelse, se appendiks [11.1], kan peak friktionsvinklen findes ved følgende udtryk: (3.1) Hvor: er er kammertrykket er peak friktionsvinklen Side 11

12 Dilatationsvinklen findes ved følgende udtryk[3]: (3.2) Hvor: er aksialtøjningen er tværtøjningen Værdierne af peak friktionsvinklen og dilatationsvinklen er vist i Tabel 2. Testresultaterne fra triaksialforsøgene er illustreret på Figur 3, Figur 4 og Figur 5. a illustrerer ad x- aksen aksialtøjningen og på y-aksen spændingen (σ 1 /σ 3 ). b illustrerer ad x-aksen aksialtøjningen og på y-aksen volumenændringen af prøven. (a) (b) Figur 3: Test resultat for Esbjerg sand I D = 0,20 [1] (a) (b) Figur 4: Test resultat for Esbjerg sand I D = 0,59 [1] Side 12

13 (a) (b) Figur 5: Test resultat for Esbjerg sand I D = 0,84 [1] På baggrund af de i laboratoriet målte størrelser der er illustreret på Figur 3,4 og 5 er de eksakte værdier af peak friktionsvinklen og dilatationsvinklen fundet ved formel (3.1) og (3.2), se Tabel 2. Appendiks [A.2] angiver et eksempel på anvendelse af formel (3.1) og (3.2). Tabel 2: Test resultater fra Esbjerg sand, *anslået værdi. [1] Kammertryk σ 3 [kpa] Relativ lejringstæthed I D Peak friktionsvinkel φ peak Dilatationsvinkel ψ max 1,5 0,20 44,3 7,0* 5,3 0,20 39,0 5,2 20 0,20 35,2 3,5 50 0,20 33,0 2, ,20 31,8 1,5 1,5 0,59 47,6 17,0* 5,3 0,59 44,8 13,4 20 0,59 42,4 10,8 50 0,59 40,0 11, ,59 38,9 9,4 1,5 0,84 53,3 23,0* 5,3 0,84 48,6 18,3 20 0,84 46,1 14,8 50 0,84 42,4 15, ,84 41,3 13,7 3.3 Behandling af testresultater I det forrige afsnit er jordens styrkeegenskaber, herunder friktionsvinklen fundet for forskellige lejringstætheder og spændinger. Sammenhængen mellem friktionsvinklen og spændingsniveauet til en given lejringstæthed kan som alternativ til et triaksialforsøg findes på baggrund af en formel udviklet af Bolton. I dette afsnit sammenholdes resultaterne fundet ved triaksialforsøgene med værdier beregnet på baggrund af Boltons formel og det vurderes om Boltons formel også kan benyttes ved lave spændinger. Side 13

14 For en triaksial spændingstilstand er der i henhold til Bolton [4] fundet følgende sammenhæng: (3.3) Hvor: er friktionsvinklen til den spændingstilstand hvor volumenet er konstant er det relative dilatationsindeks afhænger af sandets mineralogiske opbygning og er fundet på baggrund af metoder foreslået af [5]. Der tages udgangspunkt i værdien fundet ved tidligere forsøg [1], hvor friktionsvinklen er fundet til 32,7. Dilatationsindekset er fundet af Bolton ved undersøgelse af et antal forsøg. Formlen for dilatationsindeks er som følge: (3.4) Hvor: er lejringstætheden er værdier fundet til det relative dilatationsindeks, er den gennemsnitlige normalspænding og Den gennemsnitlige normalspænding for et triaksialforsøg findes ved: For at kunne drage sammenligninger mellem Boltons formel og triaksialforsøget indsættes værdierne for og fra Tabel 2 i (3.1) og findes. Der indsættes i (3.5) og (3.4) løses. I nedenstående tabel ses resultaterne fra Boltons formel. Tabel 3: Værdier af peak friktionsvinklen bestemt vha. Bolton. (3.5) Kammertrykket σ 3 [kpa] Relativ lejringstæthed I D Maksimal Spænding σ 1 [kpa] Friktionsvinkel med konstant volumen Gennemsnitlig normalspænding p [kpa] Peak friktionsvinklen peak 1,5 0,20 8,4 32,7 3,8 34,9 5,3 0,20 23,3 32,7 11,3 34,2 20 0,20 74,4 32,7 38,1 33,5 50 0,20 169,6 32,7 89,9 33, ,20 322,8 32,7 174,3 32,6 1,5 0, ,7 4,3 44,8 5,3 0,59 30,6 32,7 13,7 42,8 20 0,59 102,8 32,7 47,6 40,6 50 0, ,7 110,0 39, ,59 437,6 32,7 212,5 37,9 1,5 0,84 13,6 32,7 5,5 50,6 5,3 0,84 37,1 32,7 15,9 47,9 20 0,84 123,1 32,7 54,4 44,8 50 0, ,7 119,0 42, ,84 488,2 32,7 229,4 41,2 Side 14

15 Værdierne af peak friktionsvinklen fra Bolton og triaksialforsøget er illustreret på nedenstående figur. Figur 6: Peak friktionsvinkler for Bolton og Triaksialforsøg. 3.4 Diskussion af testresultater Det ses af Figur 6, at friktionsvinklen afhænger af spændingsniveauet i sandet. Forøges kammertrykket reduceres friktionsvinklen. Dette kan illustreres med et eksempel, hvor Mohr s cirkel optegnes for hvert kammertryk. Der tages i eksemplet udgangspunkt i resultaterne fundet ved triaksialforsøgene for lejringstætheden 0,20. Cirklerne skærer σ-aksen i to punkter der svarer til σ 3 og σ 1, jf. Tabel 3 kolonne 1 og 3. Tangenten til cirklen er Coulombs brudbetingelse, se Figur 7. Figur 7: Mohr s cirkel for forskellige spændinger, for lejringstætheden 0,20 Det kan på baggrund heraf konkluderes, at der ikke er tale om en lineær Mohr- Coulomb brudbetingelse. For små spændinger må indhylningskurven derfor være krum. Af Figur 6 ses det, at lejringstætheden har stor betydning for friktionsvinklen og at en løs lejring medfører en lavere friktionsvinkel end en komprimeret lejring. Værdierne beregnet med Boltons formel er generelt Side 15

16 lavere end værdierne fra triaksialforsøgene. Afvigelsen er størst ved den lave lejringstæthed, men bliver mere præcis i takt med at kammertrykket forøges. 4 Modelforsøg Dette afsnit omhandler udførelse og resultatbehandling af modelforsøg med Esbjerg sand i laboratoriet ved Esbjerg Institute of Technology, Aalborg Universitet. Formålet med forsøget er at bestemme styrke- og deformationsegenskaber for Esbjerg Sand ved en lejringstæthed på 0,59 og 0, Modelforsøg og udførelse af forsøget Forsøget udføres med et stribefundament af et stykke rektangulært tømmer med dimensionerne 395x100x100 mm. Fundamentets underside er gjort ru med et stykke sandpapir, der er limet fast, se Figur 8. Figur 8: Stribefundament i dimensionen 100x100x395 mm Fundamentet placeres på overfladen af sandet, der er opfyldt en rektangulær kasse med dimensionerne 800x400x240 mm. Det er i appendiks [A.3] eftervist at kassens dybde på 240 mm er tilstrækkelig. Sandet fyldes i kassen i fire lag på hver 60 mm. Hvert lag stampes et antal gange for at opnå den ønskede lejringstæthed. Der stampes færrest gange i de nederste lag og stampningen tiltages mod toppen af kassen. Det forventes hermed, at lejringstætheden bliver ens hele vejen ned gennem sandet. På baggrund af sandets rumvægt for lejringstætheden 0,59 og 0,84 og kassens volumen findes det samlede antal kg sand der skal fyldes i kassen for hver lejring. Der udføres fem forsøg for hver lejringstæthed og for hvert forsøg registreres kassens vægt efter opfyldning. Ved opfyldning af kassen er det svært at ramme den nøjagtige vægt. Det betyder, at lejringstætheden vil variere en anelse mellem hvert forsøg. I appendiks [A.4] bestemmes den endelige lejringstæthed for hvert forsøg. Stribefundamentet betragtes som et uendeligt langstrakt fundament, dette karakteriseres som en plan deformationstilstand, hvor deformationerne vinkelret på fundamentet, i dets længderetning, er lig nul. Kassen er afstivet af et profiljern på 50x30x2 mm for at sikre plan deformationstilstand, se Figur 9. Side 16

17 Figur 9: Kassen med dimensionen 800x400x240 mm, afstivende profil med dimensionen 50x30x2 mm Lasten påføres med en hydraulisk donkraft, der er fastgjort til en bjælke, der spænder mellem to 28 mm gevindskårne stænger, der er fastgjort til gulvet. Bjælken fastholdes af møtrikker på over- og undersiden og kan på den måde justeres til den ønskede højde. Lasten registreres af en tryktransducer af typen HBM S9, der er placeret mellem donkraftens cylinder og en trykplade. Trykpladen er en stålplade med dimensionerne 150x120x10 mm, der har til formål at fordele cylinderens trykkraft til fundament uden at beskadige træet. Fundamentets vertikale flytning registreres af en flytningstransducer af typen HBM WA/50 mm. Kraft- og flytningstransducere er forbundet til en datalogger af typen HBM Spider 8, der logger dataene til computeren. Forsøgsopstillingen ses på Figur 10. Figur 10: Forsøgsopstillingen for modelforsøget Fundamentet presses ved belastning ned i sandet og der vil opstå en friktion mellem sand og kasse. Det betyder, at en del af den last som donkraften påfører fundamentet, vil overføres som friktion mellem sand og kasse. Som det ses af Figur 10, registrerer krafttransduceren lasten over fundamentet og værdien der overføres til loggeren er dermed ikke den virkelige brudlast. Den virkelige last der overføres fra donkraften til sandet findes ved at trække friktionsbidraget fra den registrerede last. For at reducere friktionen mellem sand og kasses er sat plastik på kassens indvendige sider. Friktionen mellem sand og plastik er bestemt i appendiks [A.5] til 0,32. I appendiks [A.6] er hviletrykket på kassens sider bestemt. Friktionsbidraget der skal fratrækkes lasten findes jf. [A.6] til: (4.1) Side 17

18 Hvor er lasten der påføres fundamentet. I det følgende beskrives fremgangsmåden for udførelsen af modelforsøget. Fremgangsmåden er som følger: 1. Sandet fyldes i kassen i fire lag af 60 mm og stampes så den ønskede lejringstæthed opnås. 2. Efter opfyldning vejes kassen og den virkelige lejringstæthed findes, jf. appendiks Kassen løftes af vægten og placeres under forsøgsopstillingen. 4. Fundamentet placeres oven på sandet. 5. Trykpladen lægges på fundamentet. 6. Krafttransduceren placeres mellem trykpladen og cylinderen. 7. Flytningstransduceren monteres på undersiden af bjælken 8. Kraft- og flytningstransducere kalibreres inden forsøget startes. 9. Forsøget startes og lasten påføres kontinuerligt med en flytning på ca. 2 mm pr. min. 4.2 Forsøgsresultater Der er udført 10 modelforsøg, nummeret A1-A5 og B1-B5. Der er med dataloggeren registreret data med en frekvens på 2 Hz. Det betyder, at flytningen er registreret to gange i sekundet som funktion af den påtrykte kraft. Brudlasten er bestemt som den maksimale kraft der kan påsættes fundamentet, inden det bryder. Som beskrevet i foregående afsnit findes den virkelige brudlast ved at trække friktionsbidraget fra den registrerede last. Omtales brudlasten i kommende afsnit tages der udgangspunkt i den virkelige brudlast, hvis ikke andet er nævnt. Se nedenstående tabel. Forsøgsresultaterne er opstillet i Tabel 4. Tabel 4: Forsøgsresultater fra modelforsøg Forsøg nr. Relativ lejringstæthed I D Sætning ved brud [mm] Registreret brudlast [N] Friktionskoefficient ( )[N] Virkelig brudlast [N] A1 0,59 11,5 7690,8 1230,5 6460,3 A2 0,58 10,3 5740,8 918,5 4822,3 A3 0,57 13,3 8059,2 1289,5 6769,7 A4 0,57 12, ,0 6557,0 A5 0,57 13, ,2 7161,8 B1 0,84 18, ,2 2155, ,8 B2 0,84 17, ,6 2554, ,4 B3 0,83 18, ,4 2096, ,3 B4 0,82 17, ,4 2560, ,7 B5 0,83 17, ,6 2436, ,5 Resultaterne plottes i et x-y koordinatsystem med flytning ad x-aksen og kraft ad y-aksen, hvilket svarer til en traditionel arbejdslinie. Arbejdslinierne for forsøgene A1-A5 og B1-B5 er angivet på henholdsvis Figur 11 og Figur 12. Side 18

19 Figur 11: Arbejdslinier for I D = 0,59 Figur 12: Arbejdslinier for I D = 0, Diskussion af testresultater Det ses af Figur 11 og Figur 12, at der er rimelige overensstemmelser mellem forsøgsresultaterne. Afvigelser mellem forsøgene kan til dels forklares med det faktum, at sand er et uhomogent materiale og bæreevnen vil derfor variere fra forsøg til forsøg. Afvigelser kan også forekomme, hvis kassens lejringstæthed er varierende ned gennem lagene. For lejringstætheden 0,59 og 0,84 er afvigelsen mellem største og mindste bæreevne fundet til henholdsvis 32 procent og 18 procent. Det er vurderet at overensstemmelserne ligger indenfor et rimeligt interval. På baggrund heraf kan der findes en gennemsnitsværdi for brudbæreevnen, sætningerne og rumvægten, se Tabel 5. Side 19

20 Tabel 5: Gennemsnitlig brudbæreevne og sætninger for I D 0,59 og 0,84 Relativ lejringstæthed I D Gennemsnitlig brudbæreevne [N] Gennemsnitlig brudspænding [kpa] Gennemsnitlig sætning [mm] 0, ,2 160,9 12,20 16,70 0, ,5 313,7 17,11 17,51 Gennemsnitlig rumvægt [kn/m 3 ] Sammenlignes arbejdslinierne for to lejringstætheder, se Figur 13, ses det, at hældningen på arbejdslinien er mindst for den lave lejring. Det kan derfor konkluderes, at des lavere lejring, des større sætning, forudsat sammenligningen er ved den samme kraft. Dette kan forklares ved, at poretallet for en lejringstæthed på 0,59 er større end ved en lejringstæthed på 0,84. Der findes derfor mere luft mellem kornene og sandet med lejringstætheden 0,59 kan komprimeres mere. Figur 13: Arbejdslinie for forsøg A3 of B1. Sammenholdes resultaterne fra triaksialforsøgene i afsnit 3 med modelforsøgene ses det, at der gælder de samme tendenser. Fra triaksialforsøget vides det, at friktionsvinklen og dermed bæreevnen, afhænger af sandets lejringstæthed. Af Figur 13 ses det, at samme sammenhæng også gør sig gældende for modelforsøget. Side 20

21 4.4 Fastlæggelse af brudtype Formålet med dette afsnit er at fastlægge brudtypen og illustrere bruddet ved hjælp af et modelforsøg. Brudlasten fundet i afsnit 4.3 er fundet for den maksimale kraft, der kan påsættes fundamentet inden den underliggende jord bryder. Bruddet sker i det øjeblik, hvor forskydningsspændingerne i jorden overstiger jordens forskydningsbæreevne. Bruddet i jorden kan i henhold til [6] opdeles i tre forskellige brudtyper: 1. Generelt forskydningsbrud, se Figur 14, a) 2. Lokalt forskydningsbrud, se Figur 14, b) 3. Stød forskydningsbrud, se Figur 14, c) Figur 14: a) generelt forskydningsbrud, b) lokalt forskydnbingsbrud, c) stød forskydningsbrud [7] Et generelt forskydningsbrud er karakteriseret ved et totalt brud af jorden, hvor samtlige jordpartikler i brudzonen er i brud. Ved et generelt forskydningsbrud, se Figur 14, a, skubbes jorden op på begge sider af fundamentet. Arbejdslinien for et generelt forskydningsbrud aftager drastisk efter at brudlasten og dermed bruddet er indtruffet. Et lokalt forskydningsbrud er karakteriseret ved, at jorden kun bryder umiddelbart under fundamentet. Ved et lokalt forskydningsbrud, se Figur 14, b, skubbes jordens op på begge sider af fundamentet. Dog ikke i samme omfang som ved et generelt forskydningsbrud. Arbejdslinien for et lokalt forskydningsbrud aftager ikke efter at bruddet er indtruffet. Et stødforskydningsbrud er karakteriseret ved, at jorden ikke bryder, men derimod, at fundamentet synker ned i jorden, dette ses af Figur 14, c. Side 21

22 I forbindelse med udførelsen af modelforsøgene blev det i laboratoriet observeret, at jorden i takt med belastningen blev presset op på begge sider af fundamentet. Da belastningen nåede brudtilstanden, gav det et tydeligt ryk i jorden og jorden blev presset markant op på begge sider af fundamentet. Bruddet var kraftigst for lejringstætheden 0,84 og ikke nær så markant for lejringstætheden 0,59. Mængden af jord der blev presset op var størst for lejringstætheden 0,84. Dette kan forklares ved, at poretallet er lille for en høj lejringstæthed, hvilket betyder, at jorden ikke har mulighed for at komprimere på samme måde som ved en lav lejring og derfor udvider sig. Jordens dilatationsvinkel afhænger af lejringstætheden og er størst for en lejringstæthed på 0,84, jf. afsnit 3. Det betyder, at volumenudvidelserne bliver størst for lejringstætheden på 0,84. Dette kan også være en del af forklaringen på, at jorden presses mere op for den høje lejring. På Figur 15 er bruddet vist for et forsøg med en lejringstæthed på 0,84. Figur 15: Modelforsøg med I D =0,84, illustrerer hvorledes jorden presses op. Det ses af Figur 15 at brudlinien ikke når ud til kassen kant, det kan på baggrund heraf konkluderes, at kassens længde er tilstrækkelig. På baggrund af arbejdslinierne for lejringstætheden 0,59 og 0,84, se Figur 16, og observationerne i laboratoriet kan det konkluderes, at der for begge lejringstætheder er tale om et generelt forskydningsbrud. Side 22

23 Figur 16: Arbejdslinie for I D =0,59 forsøg 3 og I D =0,84 forsøg Modelforsøg med punktfundament i plexiglaskasse Der er udført et modelforsøg for at illustrere bruddet i jorden. Forsøget udføres med et punktfundament af et stykke rektangulært tømmer med dimensionen 50x65x125 mm. Fundamentet placeres på overfladen af sandet, der fyldes i en gennemsigtig kasse med dimensionerne 445x263x68 mm. Kassens front er af henholdsvis glas og plexiglas og endepladerne er af træ. Sandet fyldes i af fem lag på hver 30 mm. Mellem hvert lag ligges et lag farvede sten for at illustrere forskydningen ved bruddet. Hvert lag stampes, da der ønskes en høj lejringstæthed for at fremkalde et generelt forskydningsbrud. Lasten påføres med en hydraulisk donkraft der er fastgjort til et kvadratisk profil med dimensionerne 30x30x3 mm. Der er svejst et stykke faldjern med dimensionerne 40x6 mm på hver ende af det kvadratiske profil. Fladjernene er fastgjort til kassens sider. Der placeres en træklods oven på fundamentet for at formindske afstanden fra cylinderen til fundamentet. Forsøgsopstillingen ses på Figur 17. Figur 17: Forsøgsopstilling til modelforsøg til brudfigur For at illustrere bruddet er der taget et billede over en periode på 10 sekunder, se Figur 18, a. Det ses, at der er tale om et generelt forskydningsbrud, idet jorden bliver skubbet op på begge sider af fundamentet. Figur 18, b viser den teoretiske brudfigur og det ses, at der er en rimelig Side 23

24 overensstemmelse mellem model og teori. Billedet er taget med et Canon EOS 1000D spejlreflekskamera. (a) (b) Figur 18: a) Modelforsøg b) Teoretisk brudfigur [7]. 5 Brudtilstanden og plasticitetsteori I afsnit 3 og afsnit 4 er brudtilstanden fundet for henholdsvis et triaksialforsøg og et modelforsøg. I de kommende afsnit beregnes brudtilstanden med henholdsvis Terzaghi`s bæreevneformel og et FEM program udviklet af Johan Clausen. Formålet med dette afsnit er at give en uddybende forklaring på brudforløbet, samt beskrive jordens plastiske egenskaber. 5.1 Brudtilstanden Brudtilstanden for en geoteknisk konstruktion, såsom et stribefundament, er ensbetydende med et totalsvigt af konstruktionen. I brudtilstanden presse konstruktionen ukontrolleret ned i jorden. Brudtilstanden er defineret ved brudlasten, der er den maksimale kraft, der kan påsættes fundamentet inden det bryder, se Figur 19. Figur 19: Arbejdslinie for I D =0,84 for forsøg B1, hvor brudlasten og det plastiske brud er illustreret. Side 24

25 Arbejdsliniens forløb kan på den rette del beskrives ved lineær elasticitetsteori og Hookes lov kan benyttes til at beskrive sammenhængen mellem spændingen og tøjningen. Arbejdslinien begynder at krumme når spændingerne når det plastiske niveau (flydespændingen), der er defineret ved Coulombs brudbetingelse. Ved flydespændingen bliver jorden plastisk og der kan opstå uendeligt store tøjninger, så længe brudbetingelsen stadig er opfyldt. Forløbet fra kurven begynder at krumme til der indtræder brud kan illustreres ved Figur 20. Figur 20: Udvikling af større og større zoner med brud i jorden [2] I takt med at belastningen forøges, vil flere og flere jordelementer opfylde Coulombs brudbetingelse og dermed blive plastiske. Brudzonerne bliver større og vokser til sidst sammen til en sammenhængende brudzone. Efter en spændingsomlejring i materialet er der udviklet fuldt plastisk brud og jorden svigter. 5.2 Plasticitetsteori for jord Materialer med en opførsel som beskrevet i afsnit 5.1 er lineærelastisk-idealplastisk eller stivplastisk, hvilket betyder, at der kan ske en spændingsomlejring i materialet, se Figur 21. Figur 21: Arbejdslinie for lineær-idealplasticitet og stivplasticitet. Spændingsomlejringen påvirker, at der først vil ske et totalt brud, når jorden har udtømt alle muligheder for at optage påvirkninger. Plasticitetsteorien benyttes i geotekniske sammenhænge til at regne på brudproblemer i plan tøjningstilstand såsom bæreevne af stribefundamenter, jordtryk på vægge og stabilitetsundersøgelser. Plasticitetsteoretiske problemstillinger løses ved øvre- og nedreværdisætninger forudsat associeret plasticitet, hvilket betyder at normalitetsbetingelsen skal være er opfyldt. Normalitetsbetingelsen er opfyldt, hvis friktionsvinklen er lig dilatationsvinklen. Af Tabel 2 i afsnit 3 ses det at friktionsvinklen gennemsnitligt er ca. 30 større end dilatationsvinklen. Normalitetsbetingelsen er dermed ikke opfyldt og der kan ikke regnes associeret plasticitetsteori, medmindre der tages hensyn at. I henhold til [8] spiller dilatationsvinklen er vigtig rolle for jordens styrke. Det er eftervist, at materialer der opfylder normalitetsbetingelsen har en højere styrke, end materialer der ikke opfylder normalitetsbetingelsen. Beregningsmetoder såsom bæreevneformlen der er baseret på associeret plasticitet vil give ukorrekte resultater, hvis der regnes med et materiale, der ikke opfylder Side 25

26 normalitetsbetingelsen. Friktionsjord opfylder som beskrevet ovenfor ikke kravet til at og anvendes der en friktionsvinkel fundet ved et triaksialforsøg vil jorden blive tilskrevet en højere brudbæreevne end den i virkeligheden har. For at overkomme problemet med dilatationsvinklen indføres den modificerede friktionsvinkel, der findes ved følgende udtryk [9]: (5.1) Hvor: er peak friktionsvinklen er dilatationsvinklen På baggrund af værdierne fra Tabel 2 i afsnit 3 og formel (5.1) er den modificerede friktionsvinkel opskrevet i Tabel 6. Tabel 6: Test resultater for triaksialforsøg med Esbjerg sand. Kammertryk σ 3 [kpa] Relativ lejringstæthed I D Peak friktionsvinkel φ peak Dilatationsvinkel ψ max 1,5 0,20 44,3 7,0* 37,2 5,3 0,20 39,0 5,2 33,6 20 0,20 35,2 3,5 30,8 50 0,20 33,0 2,7 29, ,20 31,8 1,5 28,1 1,5 0,59 47,6 17,0* 42,0 5,3 0,59 44,8 13,4 39,3 20 0,59 42,4 10,8 37,2 50 0,59 40,0 11,0 35, ,59 38,9 9,4 34,6 1,5 0,84 53,3 23,0* 47,0 5,3 0,84 48,6 18,3 43,0 20 0,84 46,1 14,8 40,1 50 0,84 42,4 15,5 38, ,84 41,3 13,7 37,6 Modificeret friktionsvinkel φ mod Den modificerede friktionsvinkel kan benyttes til at regne associeret plasticitetsteori og kan derfor benyttes i bæreevneformelen, der beskrives i det kommende afsnit. De modificerede friktionsvinkler i Tabel 6 gælder for triaksialforsøg. I henhold til [10] er det blevet fundet at den triaksiale friktionsvinkel er 1 til 5 mindre end den plane friktionsvinkel. Friktionsvinklen for et stribefundament er derfor større end for et cirkulært fundament, der karakteriseres ved en deformationstilstand i tre dimensioner. Sammenhængen mellem og er foreslået af Meyerhof (1963)[11], Brinch Hansen (1970)[12] og Lade og Lee (1976)[13] ved: I henhold til Eurocode [14] bestemmes friktionsvinklen ved plan deformationstilstand ved at forøge med 10 %. Dette stemmer overens med Meyerhof og Brinch Hansen. Den plane modificerede friktionsvinkel der anvendes i de følgende afsnit beregnes ved formel (5.3), se Tabel 7. (5.2) (5.3) (5.4) Side 26

27 Tabel 7: Værdier af den plane modificerede friktionsvinkel Kammertryk σ 3 [kpa] Relativ lejringstæthed I D Plan modificeret friktionsvinkel φ mod 1,5 0,20 41,0 5,3 0,20 37,0 20 0,20 33,9 50 0,20 32, ,20 30,9 1,5 0,59 46,2 5,3 0,59 43,2 20 0,59 40,9 50 0,59 39, ,59 38,1 1,5 0,84 51,7 5,3 0,84 47,3 20 0,84 44,1 50 0,84 42, ,84 41,4 6 Bæreevneformel Formålet med dette afsnit er, at eftervise fundamentets bæreevne med den generelle bæreevneformel. Den generelle bæreevneformel er en håndberegningsmetode, der er baseret på en konstant friktionsvinkel. I henhold til afsnit 3 vides det at friktionsvinklen varierer for små spændinger. For at overkomme dette problem findes der i dette afsnit en repræsentativ værdi af til indsættelse i den generelle bæreevneformel. 6.1 Terzaghi`s og den generelle bæreevneformel Bæreevnen af et fundament refererer til, som beskrevet i afsnit 4, den maksimale kraft, der kan påsættes et fundament inden den underliggende jord bryder. Bæreevnen af et fundament beregnes med en bæreevneformel udviklet af Karl Terzaghi i Terzaghi s bæreevneformel er baseret på plasticitetsteori, hvilket forudsætter at normalitetsbetingelsen er opfyldt. Som beskrevet i afsnit 5 er jordens friktions- og dilatationsvinklen ikke ens og der korrigeres for dette ved at indføre den modificerede friktionsvinkel. Den modificerede friktionsvinkel kan benyttes til at regne plastisk og kan derfor benyttes i bæreevneformlen. Terzaghi s brudbæreevneformel er baseret på en brudfigur, se Figur 22. Brudfiguren indeholder tre zoner, en aktiv Rankine zone (AGD), en Prandtl zone (ADF) og en passiv Rankine zone (AFH). Første zone presser anden zone sidevejs og presser dermed tredje zone i en opadrettet retning. Side 27

28 Figur 22: Terzaghi s model for brudbæreevnen. Terzaghi s bæreevneformlen består af et, og et -led og er formuleret ved: (6.1) Hvor: B er bredden af fundamentet er den effektive rumvægt af jorden er den effektive overfladelast udenfor fundamentet c er kohæsionsfaktoren, og er dimensionsløse bæreevnefaktorer der afhænger af jordens friktionsvinkel Terzaghi s bæreevneformel er blevet generaliseret af blandt andet Skempton *15] og Brinch Hansen [16]og kaldes således den generelle bæreevneformel. Den generelle bæreevneformel gælder for traditionelle enkelt-, stribe-, og pladefundamenter, hvor der indgår faktorer der tager højde for fundamentets form, belastningens hældning og fundamentets dybde. Den generelle bæreevneformel er opskrevet nedenfor: (6.2) Hvor: er formfaktorer er dybdefaktorer er hældningsfaktorer I det kommende afsnit beskrives de dimensionsløse bæreevnefaktorer og samt formfaktorerne og. De resterende faktorer har ingen relevans for modelforsøget og udgår af følgende årsager: Modelforsøget er placeret ovenpå sandoverfladen og dybdefaktorerne har derfor ingen relevans. Lasten påføres vinkelret på fundamentet og hældningsfaktorerne har derfor heller ingen relevans Modelforsøget udføres med sand hvilket betyder at kohæsionsleddet udgår Side 28

29 6.2 Beskrivelse af bæreevne- og formfaktorer og er dimensionsløse bæreevnefaktorer der afhænger af friktionsvinklen. Det er for muligt at tegne en både statisk og kinematisk mulig brudfigur. bestemmes i henhold til Eurocode [14] ved følgende formel: er ikke bestemt eksakt, idet det endnu ikke har været muligt at optegne en både statisk og kinematisk mulig brudfigur. kan bestemmes ved forskellige formler, se Tabel 8. (6.3) Tabel 8: Sammenligning af bæreevnefaktoren Referencer formler værdier til Eurocode 2009 [14] 34,0 Brinch Hansen (1961) [12] 33,9 API Recommendation 1984 [17] 48,0 Meyerhof (1963) [11] 37,2 Chen (1975) [18] 92,3 Feda (1961) [19] 63,1 C. M. Martin ABC [20] For ru stribe fundament 34,5 Det fremgår af Tabel 8, at værdien af varierer i intervallet 33,9 og 92,3 for en friktionsvinkel på 35. Værdien af har stor betydning for den endelige bæreevne. Det er derfor kritisk at anvende en forkert værdi. Der anvendes i de kommende beregninger et formeludtryk fra Eurocode[14] til at beregne værdien af. Dette er standarden inden for geotekniske beregninger i Danmark. Terzaghi s bæreevneformel er oprindeligt udviklet for en planspændingstilstand, såsom et stribefundament. I den generelle bæreevneformel er der indført formfaktorer, så formelen ligeledes kan anvendes til cirkulære, kvadratiske og rektangulære fundamenter. Formfaktoren er defineret ved: (6.5) For et stribefundament hvor længden regnes uendelig lang i forhold til bredden bliver værdien af lig 1. Formfaktoren reducerer dermed ikke på bæreevnen af fundamentet. I tilfælde af et kvadratisk fundament ville værdien af blive lig 0,6 og der vil dermed ske en reducering af bæreevnen. Dette kan forklares ved, at den plane friktionsvinkel er større end den triaksiale friktionsvinkel, jf. afsnit 5. Regnes der med den triaksiale friktionsvinklen for et cirkulært fundament skal formfaktorer hermed ikke benyttes. I modelforsøget er overfladelasten i udgangspositionen lig 0, og bæreevneformlen til modelforsøgets start kan defineres ved: (6.4) (6.6) Side 29

30 I takt med at belastningen øges, synker fundamentet ned i sandet og der vil opstår en overfladelast i form af den mængde sand der presses over fundamentet. Denne overfladelast kan ikke ignoreres og findes ved, hvor er sætningen af fundamentet. Den endelige bæreevneformel til modelforsøget er dermed defineret ved: 6.3 Bestemmelse af en repræsentativ værdi af Bæreevnefaktorerne og er som tidligere beskrevet, er udelukkende afhængig af jordens friktionsvinkel. På baggrund af afsnit 3 vides det, at friktionsvinklen afhænger af spændingsniveauet i jorden. Betragtes en brudlinie, se Figur 22 (ADEG), ses det, at spændingsniveauet i punktet A må være større end i punktet G, da punktet A er placeret under fundamentet. Det kan heraf konkluderes, at friktionsvinklen i punktet A må være mindre end i punktet G. For at vælge en repræsentativ værdi af til indsættelse i bæreevneformlen er det blevet foreslået af De Beer [21] at anvende en gennemsnitlig værdi af normalspændingerne der findes ved: (6.7) (6.8) Hvor: er den gennemsnitlige normalspænding er brudbæreevnen er overfladelasten er friktionsvinklen Den gennemsnitlige normalspænding kan også bestemmes ved: (6.9) (6.9) kan omskrives til et udstyk der udelukkende består af og, jf. appendiks (6.10) Ved omskrivning af (6.10) isoleres : (6.11) På baggrund af ovenstående formler fortages der i det følgende en iterationsproces, hvor der findes en værdi af. For at kunne udføre iterationsprocessen er det nødvendigt at kende sammenhængen mellem og friktionsvinklen. Jf. afsnit 5 vides det, at bæreevneformlen er baseret på den modificerede friktionsvinkel og det vides ligeledes at er 10 % større end. På baggrund af værdierne i afsnit 5 Tabel 7 kolonne 3 er sammenhængen mellem og den modificerede plane friktionsvinkel illustreret på figuren nedenfor. Side 30

31 Figur 23: - diagram Sammenhængen mellem og kan også udtrykkes ved en logaritmisk funktion. Funktionen er fundet ved en regressionsanalyse, hvor princippet er at en række data plottes, hvorefter der indlægges en kurve der passer gennem punkterne. Regressionsanalysen er foretaget på en lommeregner af typen Casio Algebra FX 2.0 Plus. Funktionerne fremgår af Tabel 9. Tabel 9: Logaritmisk funktion for Relativ lejringstæthed I D 0,20 0,59 0,84 Logaritmisk funktion for Iterationsprocessen foregår efter følgende princip: 1. Der gættes indledningsvist på værdi af 2. indsættes i formel (6.3) og formel (6.4) og bæreevnefaktorerne og bestemmes 3. indsættes i formel (6.6) og brudlasten bestemms 4. og den gættede værdi af indsættes i formel (6.8) og bestemmes 5. og den gættede værdi af indsættes i (6.11) og bestemmes 6. indsættes i den logaritmiske funktion, se Tabel 9, for den pågældende lejringstæthed, og det undersøges om den gættede værdi af stemmer overens med 7. Hvis værdierne ikke passer sammen er det nye gæt 8. Det nye løsnings gæt indsættes ad punkt 2 9. Iterationsprocessen forsætter indtil afvigelsen er acceptabel (indenfor 1 decimal) Der er i Excel lavet et program, der kan udføre Iterationsprocessen. Programmet er vedlagt på Cd en. Den repræsentative friktionsvinkel er for lejringstætheden 0,59 og 0,84 fundet til: Side 31

32 Tabel 10: Repræsentativ værdi af til indsættelse i bæreevneformlen Relativ lejringstætheden I D Repræsentativ værdi af 0,59 43,80 0,84 47,23 Bæreevnen fundet ved den generelle bæreevneformel med en repræsentativ værdi af de kommende afsnit som den teoretisk beregnede bæreevne. benævnes i 6.1 Sammenligning mellem teoretisk beregnet bæreevne og modelforsøg I dette afsnit sammenlignes den teoretisk beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg. Som beskrevet i afsnit 6.2 vil der opstå en overfladelast, i form af den mængde sand der presses over fundamentets underkant. Den teoretiske beregning er foretaget uden hensyntagen til overfladelasten. For at kunne sammenligne den teoretiske beregnede bæreevne med bæreevnen fundet ved modelforsøg skal overfladelasten fratrækkes bæreevnen fundet ved modelforsøg. Bidraget hidrørende overfladlasten findes af nedenstående formel: Hvor, hvor er sætningen af fundamentet og er jordens rumvægt. Bidraget fra overfladelasten er opgjort i Tabel 11. Tabel 11: Bestemmelse af overfladelast ved modelforsøg Relativ lejringstæthed I D Gennemsnitlig rumvægten [kn/m 3 ] jf. afsnit 4 Gennemsnitlig sætning [m] jf. afsnit 4 0,59 16,70 0, ,02 0,84 17,51 0, ,7 58,33 N q Overfladelast [kpa] Den teoretiske brudbæreevne findes på baggrund af formel (6.6) og de repræsentative værdier af der er angivet i Tabel 10. Afvigelserne mellem den teoretiske bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg er angivet i Tabel 12. Tabel 12: Bæreevne af fundament fra modelforsøg Relativ lejringstæthed I D Teoretisk brudbæreevne [kpa] Brudbæreevne ved modelforsøg [kpa] Modelforsøg fratrukket overfladelast [kpa] 0,59 152,00 160,7 137,68 9,42 % 0,84 315,9 313,7 255,37 19,16 % Afvigelse i procent Det kan dermed konkluderes at der er rimelig overensstemmelse mellem den teoretisk beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg. I det følgende vil der blive redegjort for en metode til at bestemme en teoretisk bæreevne for en vilkårlig lejringstæthed. Beregningen af den teoretiske bæreevne er jf. afsnit 6.3 baseret på en Side 32

33 repræsentativ værdi af der findes ved en iterationsproces. For at kunne udføre iterationsprocessen er det nødvendigt at kende sammenhængen mellem og. Sammenhængen mellem og kan udtrykkes ved en logaritmisk funktion, der findes ved regressionsanalyse på baggrund af testresultater fra et triaksialforsøg. Er der kendskab til en række forsøgsresultater for forskellige lejringstætheder er det muligt, at beskrive sammenhængen mellem og for en vilkårlig lejringstæthed uden at udføre nye triaksialforsøg. Ønskes det som eksempel at finde en teoretisk bæreevne for en lejringstæthed på 0,7 kan sammenhængen mellem og for den givne lejringstæthed findes ved at betragte et diagram for andre lejringstætheder, se Figur 24. Figur 24: - diagram For lejringstætheden 0,20;0,59; og 0,84 kan der findes der friktionsvinkel til kammertrykkene 1,5;5,3;20;50 og 100 ved anvende formeludtrykkene i Tabel 9. Værdierne plottes i et diagram, se Figur 25. Figur 25: friktionsvinklens afhængighed af kammertrykket σ 3 og lejringstæthed Side 33

34 Der opstilles på baggrund af en regressionsanalyse en ekspotentialfunktion for friktionsvinklen som funktion af lejringstætheden for hvert kammertryk, se Tabel 13. Tabel 13: Ekspotential funktion for Hovedspænding [kpa] Ekspotential funktion for 1,5 5, Lejringstætheden 0,7 indsættes i hver ekspotentialfunktion og friktionsvinklen findes for hvert kammertryk, se Tabel 14. Tabel 14: Ekspotential funktioner for lejringstætheden 0,7, og tilhørende friktionsvinkler til bestemte spændinger Hovedspænding [kpa] 1,5 48,24 5,3 45, , , ,87 Værdierne i Tabel 14 plottes i et diagram og på baggrund af en regressionsanalyse opstilles der en logaritmisk funktion for sammenhængen mellem og til en lejringstæthed på 0,7. Den logaritmiske funktion er fundet til: Figur 26 illustrerer de logaritmiske funktioner fra Tabel 9 samt formel (6.12). (6.12) Figur 26: Logaritmiske formler for lejringstæthederne 0,2, 0,59, 0,7 og 0,84 Side 34

35 På baggrund af formel (6.8) og fremgangsmåden beskrevet i afsnit 6.3 er det muligt, at bestemme en repræsentativ værdi af og dermed bestemme bæreevnen af fundamentet for en lejringstæthed på 0,7. I det efterfølgende afsnit bestemmes brudbæreevne med et FEM program. 7 FEM beregninger Formålet med dette afsnit er at klarlægge fundamentets brudbæreevne med et FEM program. Brudbæreevnen beregnes med programmet LSTFundaNewRapFlyt_v202.m, der er udviklet af civilingeniør og ph.d. i byggeri og anlæg, Johan Clausen. Programmet tager højde for at friktionsvinklen varierer ved små spændinger. 7.1 FEM program-lstfundanewrapflyt_v202.m Jf. afsnit 3.4 vides det, at friktionsvinklen afhænger af spændingsniveauet i sandet og at der ikke er tale om en lineær Coulomb brudbetingelse. For små spændinger er indhyldningskurven krum. Programmet kan tage højde for den varierende friktionsvinkel ved at anvende en materialemodel der hedder Krumt Coulomb kriterium. I henhold til *1] kan den krumme Mohr Coulomb brudbetingelse skrives ved følgende udtryk: (7.1) Det første led i formel (7.1) repræsentere den lineære del der er dominerende med høje spændinger. Udtrykket i parentesen udtrykker den kurvede del, dette ses ved at indsætte en lille spænding i formel (7.1). Udtrykket i parentesen vil dermed gå mod en meget lille værdi, hvilket er kendetegnende for den krumme linie. Parametrene i, og bestemmes ved en ikke lineær regressionsanalyse på baggrund af den modificerede plane friktionsvinkel, se afsnit 5 Tabel 7, kolonne 3. Regressionsanalysen fortages i programmet MATLAB, resultaterne fremgår at Tabel 15. Tabel 15: Parametrene for den krumme funktion Relativ lejringstæthed I D K 0 S c0 a 0,59 3,97 24,94 1,49 0,84 4,63 26,55 2,07 Programmet LSTFundaNewRapFlyt_v202.m er baseret på elementmetoden der er en beregningsmetode, hvor den fysiske virkelighed diskretiseres i elementer, som kobles sammen ved at formulere ligninger der beskriver problemet. I programmet justeres der på følgende parametre: Der vælges materialemodellen krumt Coulomb kriterium og parametrene i Tabel 15 indtastes Jordens rumvægt (der foretages en beregning for lejringstætheden 0,59 og 0,84) Geometrien af fundamentet og analyseområdet. Området antages symmetrisk, så kun den ene halvdel modelleres Lastinkrementet vælges til en værdi på 200 Meshets finhed Side 35

36 Generelt gælder jo flere elementer des større nøjagtighed. Antallet af elementer har indflydelse på størrelsen af ligningssystemet, hvilket har indflydelse på beregningshastigheden. Strukturen skal derfor inddeles i et antal elementer således, at resultatet er tilpas præcist. I det følgende undersøges det, hvorledes finheden af meshet har indflydelse på nøjagtigheden af beregningerne. I programmet er bæreevnen fundet for lejringstætheden 0,59 og 0,84 til forskellige værdier af k-mesh, der er en parameter der definerer elementnettet. Resultaterne fremgår af Tabel 16. Tabel 16: Meshets indflydelse på beregningens nøjagtighed. Relativ lejringstæthed I D k-mesh Bæreevne [kpa] 0, ,3 0, ,1 0, , ,6 0, ,8 0, ,3 0, ,7 0, ,3 0, ,1 0, ,3 0, ,7 0, Værdierne i Tabel 15Tabel 16 plottes i et diagram med k-mesh ad x-aksen og bæreevnen ad y-aksen, se Figur 27. Figur 27: Meshets indflydelse på beregningens nøjagtighed. Det ses af Figur 27 og værdierne i Tabel 16 at et mesh på 16 giver en tilpas nøjagtighed. Bæreevnen fundet ved beregning i programmet LSTFundaNewRapFlyt_v202.m for med et mesh på 16 bliver dermed: Side 36

37 Tabel 17: Bæreevne fundet ved beregning i programmet LSTFundaNewRapFlyt_v202.m for I D 0,59 og 0,84 med en Relativ lejringstæthed I D k-mesh Bæreevne [kpa] 0, ,6 0, ,3 Ovenstående beregninger er baseret på, at den modificerede plane friktionsvinkel er 10 % større end den triaksiale friktionsvinkel. Jf. appendiks [A.7] er det fundet den at den plane friktionsvinkel er 13 % større end den triaksiale friktionsvinkel. I det følgende beregnes fundamentets bæreevne med en modificeret friktionsvinkel der er 13 % større end den triaksiale friktionsvinkel. Der benyttes følgende indgangsparametre i programmet: Tabel 18: Indgangsparametre til MATLAB programmet Relativ lejringstæthed I D K 0 S c0 a 0,59 4, ,1540 1,6401 0,84 4,876 29,0391 2,33 Bæreevnen fundet ved beregning i programmet LSTFundaNewRapFlyt_v202.m for med et mesh på 16 bliver dermed: Tabel 19: Bæreevne fundet ved beregning i programmet LSTFundaNewRapFlyt_v202.m for I D 0,59 og 0,84 med en Relativ lejringstæthed I D k-mesh Bæreevne [kpa] 0, ,4 0, ,3 I det kommende afsnit sammenlignes resultaterne fundet ved FEM beregningen med den gennemsnitlige bæreevne fundet ved modelforsøg. 8 Opsummering Der er for modelforsøget udført fem forsøg for hver lejringstæthed og der er på baggrund heraf fundet rimelig overensstemmelse imellem de enkelte forsøg. For lejringstætheden 0,59 og 0,84 er afvigelsen mellem største og mindste bæreevne fundet til henholdsvis 32 procent og 18 procent. Afvigelserne er fundet acceptable og der er hertil fundet en gennemsnitsværdi for brudbæreevnen, sætningerne og rumvægten, se Tabel 20. Tabel 20: Gennemsnitlig brudbæreevne og sætninger for I D 0,59 og 0,84 Relativ lejringstæthed I D Gennemsnitlig brudbæreevne [N] Gennemsnitlig brudspænding [kpa] Gennemsnitlig Sætning [mm] 0, ,2 160,9 12,20 16,70 0, ,5 313,7 17,11 17,51 Gennemsnitlig rumvægt [kn/m 3 ] Side 37

38 Modelforsøgets bæreevne er eftervist med den generelle bæreevneformel, hvor der er indsat en repræsentativ værdi af på baggrund af en formel foreslået ad De Beer [21], jf. afsnit 6. I det følgende sammenlignes resultaterne fundet ved den generelle bæreevneformel med den gennemsnitlige brudbæreevne. For at kunne sammenligne den teoretiske beregnede bæreevne med bæreevnen, fundet ved modelforsøg, skal overfladelasten fratrækkes bæreevnen fundet ved modelforsøg, jf. afsnit 4. Tabel 21: Sammenligning mellem teoretisk brudbæreevne og modelforsøg Relativ lejringstæthed I D Teoretisk brudbæreevne [kpa] Brudbæreevne ved modelforsøg [kpa] Modelforsøg fratrukket overfladelast [kpa] 0,59 152,00 160,7 137,68 9,42 % 0,84 315,9 313,7 255,37 19,16 % Afvigelse i procent Det ses af Tabel 21 der er rimelig overensstemmelse mellem den teoretisk beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg. Den teoretiske bæreevne giver resultater på usikre side(for stor bæreevne). Afvigelsen mellem den teoretisk beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg kan skyldes: 1. Værdien fra modelforsøget er baseret på en gennemsnitsværdi af fem forsøg. Der kunne udføres flere forsøg hvormed resultaternes spredning vil blive reduceret. 2. Sammenligningen mellem den teoretisk beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg forudsætter at overfladelasten fratrækkes. Overfladelasten findes ved, hvor. Sætningen er bestemt af den vertikal flytningstransducer. Det kan diskuteres om der skulle tages hensyn til den mængde jord der presses op, da den principielt også vil virke som en overfladelast, dette er vist på Figur 28. Figur 28: Modelforsøg med I D =0,84, illustrerer hvorledes jorden presses op 3. Den teoretiske bæreevne fundet ved formlen udtrykt af De Beer. I De Beer s formel indsættes en værdi af. Der er i denne rapport anvendt et formeludtryk fra Eurocode[14] til at beregne værdien af. Værdien af har stor betydning for den endelige bæreevne. Jf. afsnit X giver det valgt formeludtryk for der giver en lav værdi. Afvigelsen mellem den teoretisk bæreevne og bæreevne fundet ved modelforsøg kan derfor ikke forklares på baggrund af dette. Hernæst sammenlignes den gennemsnitlige bæreevne fundet ved modelforsøg med bæreevnen fundet ved FEM beregninger. Side 38

39 Tabel 22: Sammenligning mellem modelforsøg og bæreevne fundet ved FEM beregning Relativ lejringstæthed I D Brudbæreevne ved modelforsøg [kpa] Brudbæreevne FEM med [kpa] 0,59 160,7 111,6 31 % 0,84 313,7 220,3 30 % Afvigelser i procent Tabel 23: Sammenligning mellem modelforsøg og bæreevne fundet ved FEM beregning Relativ lejringstæthed I D Brudbæreevne ved modelforsøg [kpa] Brudbæreevne FEM med [kpa] Afvigelser i procent 0,59 160,7 136,4 15 % 0,84 313, ,7 % Det ses af Tabel 22 og Tabel 23 at FEM beregningen giver resultater på den sikre side. Afvigelsen mellem den FEM beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg er mindst for. 9 Konklusion Det kan på baggrund af triaksialforsøgene, jf. afsnit 3 konkluderes, at friktionsvinklen afhænger af spændingsniveauet i sandet og at der ikke er tale om en lineær Mohr- Coulomb brudbetingelse for små spændinger. Værdierne beregnet med Boltons formel er generelt lavere end værdierne fra triaksialforsøgene. Afvigelsen er størst ved den lave lejringstæthed, men bliver mere præcis i takt med, at kammertrykket forøges. Grundet friktionsvinklens spændingsafhængighed er den lineære Mohr-Coulombs model ikke egnet til bestemmelsen af bæreevne for et 1g model forsøg. Der er opstillet et udtryk for en ulineær Mohr- Coulomb brudbetingelse. Udtrykket er fundet på baggrund af triaksialforsøg og er implementeret i et FEM program. Resultaterne fra FEM beregningen er i god overensstemmelse med resultaterne der fundet ved modelforsøg. Modelforsøgets bæreevne er eftervist med den generelle bæreevneformel, hvor der fundet en repræsentativ værdi af på baggrund af en formel foreslået ad De Beer. Der er fundet god overensstemmelse den mellem den teoretisk beregnede bæreevne og bæreevnen fundet ved modelforsøg. Side 39

40 10 Reference liste [1]: The carryring capacity of circular foundationd in sand: Sven Krabbenhoft, Johan Clausen og Lars Damkilde [2]: Lærebog i Geoteknik, af Niels Krebs Ovesen, Leif Fuglsang og Gunnar Bagge. 1 udgave, 1 oplag [3]: Vermeer, P.A and de Borst, R (1984): Non-associated plasticity for soils, concrete and rock, Heron,29(3). [4]: Bolton, M.D (1986): The strength and dilantancy of sands, Geotechnique, 36(1), [5]: Cornforth, D. H. (1973): Prediction of drained strength of sands from relative density measurement. In Evaluation of relative density and its role in geotechnical projects involving cohesionless soils, ASTM STP 523, pp American society for testing and Materials. [6]: Analysis of Ultimate Loads of Shallow Foundations, af Aleksander S. Vesic, F.ASCE [7]: Foundation Engenineering Handbook, Robert W. day afsnit [8]: Significance of Soil Dilalancy in Slope Stability Analysis af Majid T. Manzari og Mohamed A. Nour [9]: Vermeer, P. A. (1990): The orientation of shear bands in biaxial tests, Geotechnique, 40(2), [10]: Bearing Capacity of Shallow Foundation on Noncohesive Soils, af Bohdan Zadroga [11+: Meyerhof, G. G. (1963) some recent research on the bearing capacity of foundations. can. Geotech. J., 1(1), [12]: Brinch-Hansen, J. (1970). A revised extended formula for bearing capacity bull. No. 28, Danish Geotechnical Institute, Copenhagen, Denmark, 3-11 [13]: Lade P.V. and Lee K.L (1976). Engineering Properties of Soils. Report UCLA- Eng University of California- Los Angeles [14]: Eurocode 7: Geoteknik-Del 1 National Anneks [15]: A.W. Skempton: The bearing capacity of clays. Proc. Build. Res. Congr., London [16]: J. Brinch Hansen. Simpel beregning af fundamenters bæreevne. Ingeniøren, [17]: AP1 RP2A recommended practice for planning, designing and constructing fixed offshore platforms. (1984). American Petroleum Institute, Dallas, Texas, [18]: Chen, W. F. (1975). Limit analysis and soil plasticity. Elsevier, Amsterdam, The Netherlands. Side 40

41 [19]: Feda, J. (1961). "Research on the bearing capacity of loose soil." Proc., V ICSMFE, Paris, France, Vol. 1, [20]: C. M. Martin. User gide for ABC Analysis of bearing capacity version 1.0. Department of Engineering Science University of Oxford (2004) [21+: De Beer, E.E., Bearing Capacity and settlement of shallow Foundations on sand, Bearing Capacity and Settlement of foundations, Proceedings of af Symposium held at Duke University, 1965, pp [22]: Notat vedr. spændingsvariation omkring et punkt af Sven Krabbenhøft [23]: Depth of rupture surface beneath embedded footings, Michael Georgiadis [24]: Resistance to particle abrasion of selected plastics, Kenneth G. Budinski, Eastman Kodak Cornpony3, 177Latto Road, Suite1 46, Rochrsrer N.Y USA [25]: Mono vedr. hviletryk fra partiel overfaldelast, Geoteknisk institut Århus [26]: Shear Banding in True Triaxial Tests and Its Effect on Failure in Sand, af Qiong Wang and Poul V. Lade, member, ASCE Side 41

42 11 Appendiks Der er udarbejdet 7 appendikser der i rapporten er nummereret A.1-A.7. Appendikserne er opgjort i oversigten nedenfor. Appendiks 1 - Spændingsvariation omkring et punkt, Columbs brudbetingelse Appendiks 2 - Bestemmelse af friktions- og dilatationsvinkel Appendiks 3 - Dybde af brudfigur Appendiks 4 - Fremgangsmåde for beregning af lejringstæthed Appendiks 5 Bestemmelse af friktionskoefficient mellem sand og plastik Appendiks 6 Bestemmelse af det samlede friktionsbidrag Appendiks 7 - Den gennemsnitlige normalspænding Side 42

43 11.1 Appendiks 1 - Spændingsvariation omkring et punkt, Coulombs brudbetingelse Formålet med dette appendiks er at gennemgå og forklare de formler der benyttes i forbindelse med bestemmelse af peak friktionsvinklen i afsnit Spændingsvariation omkring et punkt For at kunne bestemme om der er brud i et givent punkt i en jord, er det nødvendigt, at kende spændingstilstanden i punktet. Det vil sige på samtlige snit gennem punktet. Indenfor geotekniske problemstillinger, kan det ofte antages, at der er en plan spændingstilstand og at spændingerne kun varierer i et punkts x- og y-koordinater. På Figur 29 er vist et punkt P i en jord der er belastet med lastintensitet P(x), der virker i en uendelig lang udstrækning vinkelret på papirets plan. Figur 29: Spændinger i punktet P belastet med lasten p(x) [22] Der er igennem punktet P lagt et vandret og et lodret snit henholdsvis x- og y-aksen. Ved at indlægge et andet snit og dermed rotere koordinatsystemet kan det vises, at der findes en vinkel v, hvor forskydningsspændingerne til hovedspændingerne bliver lig nul. På baggrund heraf findes hovedspændingerne σ 1 og σ 3, der er den største og henholdsvis mindste normalspænding overhovedet i punktet P. Spændingsvariationen omkring et punkt kan illustreres grafisk med Mohr`s cirkel Mohrs cirkel og brudbetingelse Mohrs cirkel er en grafisk metode til at anskueliggøre en spændingstilstand i to dimensioner i et punkt. Mohrs cirkel optegnes i et σ, τ diagram med normalspændingen ad x-aksen og forskydningsspændingen ad y-aksen. Nedenstående figur illustrerer Mohr`s cirkel. Side 43

44 Figur 30: Mohr`s cirkel [22] Hovedspændingerne kan bestemmes grafisk ved at afsætte punkterne (σ x, τ xy )og (σ y, τ yx ) i koordinatsystemet og forbinde dem med en ret linie. Der tegnes en cirkel gennem de to punkter med centrum i liniens skæringspunkt med σ-aksen. Cirklen skærer σ-aksen i to punkter der svarer til σ 1 og σ 3. Ved hjælp af Coulombs brudbetingelse, der også benævnes friktionshypotesen, kan jordens styrke beskrives i et vilkårligt punkt. Coulombs brudbetingelse defineres ved følgende ligning: (11.1) Hvor: er forskydningsspændingen er normalspændingen er friktionsvinklen Det ses af ovenstående formel, at forskydningsstyrken afhænger af friktionsbidraget der er proportional med normalspændingen. I sand er kohæsionen nul og sand betegnes derfor som et friktionsmateriale. Coulombs brudbetingelse er lineær hvis der regnes med en konstant friktionsvinklen. Coulombs brudbetingelse kan ligesom Mohr`s cirkel optegnes i et σ, τ diagram med normalspændingen ad x- aksen og forskydningsspændingen ad y-aksen. Hvis der for et givent P findes en eller flere snitretninger, hvor Coulombs brudbetingelse er opfyldt, vil der være brud i punktet. Det betyder at cirkler der ligger inden for brudbetingelsen repræsentere en spændingssituation der ikke er i brud. Cirkler der tangere brudbetingelsen angiver en spændingssituation, hvor der er brud. En tilstand hvor brudbetingelsen passerer cirklen to gange, er en tilstand der ikke kan lade sig gøre. Nedenstående figur viser en cirkel der tangerer brudbetingelsen for en jord med kohæsion og friktion. Side 44

45 Figur 31: Brudbetingelser i σ,τ diagram [2] Ud fra en geometrisk betragtning ses det at der for brudtilstanden gælder: (11.2) Ved omskrivning af (11.2) findes: (11.3) For sand hvor kohæsionen giver udtrykket: (11.4) Formel (11.4) benyttes til at finde friktionsvinklen hvis to hovedspændinger er kendte. Side 45

46 11.2 Appendiks 2 - Bestemmelse af friktions- og dilatationsvinkel Formålet med dette appendiks er at give et eksempel på, hvorledes friktions- og dilatationsvinklerne i Tabel 2 er beregnet. Værdierne i Tabel 2 er beregnet ved formel (3.1) og (3.2) på baggrund af værdier fundet i laboratoriet. Der anvendes i dette eksempel værdier fundet ud fra grafer, da der ikke er kendskab til de i laboratoriet målte størrelser. Der kan på grund af usikkerheder ved aflæsning af grafer forekomme afvigelser i forhold til Tabel 2. Der tages i eksemplet udgangspunkt i en lejringstæthed på 0,59 og et kammertryk på 20 kpa. Testresultaterne for lejringstætheden 0,59 fremgår af Figur 32. a illustrerer ad x-aksen aksialtøjningen og på y-aksen spændingen (σ 1 /σ 3 ). b illustrerer ad x-aksen aksialtøjningen og på y- aksen volumenændringen af prøven. (a) (b) Figur 32 Test resultat for Esbjerg sand I d = 0,59 [1] Bestemmelse af friktionsvinkel φ peak Brudspændingen ved lejringstætheden 0,59 bestemmes ud fra Figur 33. Figur 33: Brudspænding for lejringstætheden 0,59, for et kammertryk på 80 kpa [1] Hovedspænding σ 1 findes ved: Side 46

47 I henhold til appendiks 11.1 findes peak friktionsvinklen ved følgende formel: (11.5) Af formel (11.5) fås. Det ses at der er en afvigelse mellem den beregnede friktionsvinkel og friktionsvinklen fundet ved aflæsningen i Tabel 2. Dette skyldes usikkerheder ved aflæsning af Figur 33. Peak friktionsvinklen ved kammertrykket 20 kpa kan også illustreres ved at plotte Mohr s cirkel ud fra den største og mindste hovedspænding i et σ, τ diagram med normalspændingen ad x-aksen og forskydningsspændingen ad y-aksen. Coulombs brudbetingelse indlægges som en tangent til cirklen, se Figur 34. Figur 34: Mohr`s diagram for et kammertryk på 80 kpa Bestemmelse af dilatationsvinkel Ud fra et ( ) diagram, se Figur 35, kan dilatationsvinklen findes ved følgende udtryk: (11.6) Side 47

48 Figur 35: ( ) diagram til bestemmelse af dilatationsvinkel [1] Kurven betragtes i punktet med den største hældning. Det er vurderet, at punktet findes i [8;2,9]. Aksialtøjningen regnes negativ da dette er en sammentrykning. Tværtøjningen regnes som positiv, da dette er en udvidelse. Tværtøjningen findes ved: Værdien af og indsættes i (11.7) (11.7) Værdierne for og indsættes i (11.6) og dilatationsvinklen findes til 8,83. Det ses at der er en afvigelse mellem den beregnede dilatationsvinkel og dilatationsvinklen fundet ved aflæsning i Tabel 2, dette skyldes usikkerheder ved aflæsning af Figur 35. Side 48

49 11.3 Appendiks 3 - Dybde af brudfigur Formålet med dette appendiks er at give et overslag på bruddybden for at sikre, at bruddet forløber over kassens bund. Bruddybden T afhænger af jordens friktionsvinkel og er proportional med fundamentets bredde B. I henhold til [23] kan sammenhængen vises ved nedenstående figur. Figur 36: T/B-forholdet som funktion af friktionsvinklen er et udtryk for den påtrykte lasts hældning og det ses af figuren at dybden T aftager med tiltagende lasthældning. Fundamentet belastes med en hældning på 0 grader. I henhold til afsnit 3 vides det, at friktionsvinklen afhænger af spændingsniveauet i sandet. Der er i afsnit 3 fundet friktionsvinkler for lejringstætheder på 0,59 0g 0,84 der varierer i intervallet [38 ; 53,3 ]. Friktionsvinklen er størst ved de lavest spændinger og mindst ved de store spændinger. Tages der udgangspunkt i en friktionsvinkel på 50, giver det i henhold til Figur 36 et T/B forhold på 1,5. Fundamentets bredde er 10 mm, ved at isoleres T findes følgende værdi: Det kan dermed konkluderes, at kassen mindst skal være 150 mm dyb for at bruddet forløber over kassens bund. Det er valgt at lave kassen 240 mm dyb. Side 49

50 11.4 Appendiks 4 - Fremgangsmåde for beregning af lejringstætheden Formålet med dette appendiks er at bestemme rumvægten for en lejringstæthed på 0,59 og 0,84. På baggrund af kassens volumen og en ønsket lejringstæthed findes det samlede antal kg sand der skal fyldes i kassen for hver lejring. Ved opfyldning af kassen er det svært at ramme den nøjagtige vægt. Det betyder at lejringstætheden vil variere en anelse mellem hvert forsøg. Den endelige lejringstæthed for hvert forsøg beregnes i dette appendiks Bestemmelse af rumvægten for lejringstætheden 0,59 og 0,84 På baggrund af nedenstående formel bestemmes poretallet for lejringstætheden 0,59 og 0,84. (11.7) Værdierne for og, jf. afsnit 2.1 tabel 1 indsættes i formel (11.7) og poretallet findes: Tabel 24: Poretallet e for lejringstætheden 0,59 og 0,84 Lejringstæthed I D Poretallet e 0,59 0,57 0,84 0,49 Kendes den relative densitet, d s, og poretallet e kan rumvægten findes ved følgende formel: Ved indsættelse i (11.8) findes rumvægten, se Tabel 25. Tabel 25: Rumvægten for lejringstætheden 0,59 og 0,84 Lejringstæthed I D Rumvægten [kn/m 3 ] 0,59 16,74 0,84 17,54 (11.8) Kassens dimensioner er (indvendige mål) 800x400x240 mm. Mængden af sand der skal fyldes i kassen fremgår af Tabel 26 og udregnes ved nedenstående formel. Tabel 26: Mængden af sand der skal fyldes i kassen for lejringstætheden 0,59 og 0,84 Lejringstæthed I D Mængde af sand der fyldes i kassen [kg] 0,59 130,92 0,84 137,18 Side 50

51 Der udføres i alt fem forsøg for hver lejringstæthed. Som tidligere beskrevet er det svært at ramme den præcise rumvægt og lejringstætheden kan derfor variere mellem hvert forsøg. I det følgende bestemmes den endelige lejringstæthed for hvert af de 10 forsøg Fremgangsmåde for beregning af den endelige lejringstætheden Kassens vægt er 21,94 kg. Efter påfyldning vejes kassen og rumfanget bestemmes ved: Nedenstående tabel illustrerer de i laboratoriet fundne værdier. Tabel 27: Rumvægt af de forskellige forsøg ved lejringstætheden 0,59 og 0,84 Forsøg nr. Total vægt [kg] Kassens vægt [kg] Kassens rumfang [m³] Sandets rumvægt [kn/m³] A1 152,94 21,94 0, ,75 A2 152,61 21,94 0, ,71 A3 152,41 21,94 0, ,68 A4 152,49 21,94 0, ,69 A5 152,42 21,94 0, ,68 B1 159,00 21,94 0, ,53 B2 159,02 21,94 0, ,53 B3 158,75 21,94 0, ,49 B4 158,57 21,94 0, ,47 B5 158,88 21,94 0, ,51 Kendes sandets rumvægt og den relative densitet, d s, kan poretallet bestemmes: (11.9) På baggrund af poretallet, og, findes den relative lejringstæthed ved: (11.10) På baggrund af formel (11.9) og (11.10) er poretallet og lejringstætheden bestemt for hvert forsøg, se Tabel 28. Side 51

52 Tabel 28: Poretal og lejringstætheder for af forsøg A1-A5 og B1-B5 Forsøg nr. Pore tal Relativ lejringstæthed I D A1 0,56 0,59 A2 0,57 0,58 A3 0,57 0,57 A4 0,57 0,57 A5 0,57 0,57 B1 0,50 0,84 B2 0,50 0,84 B3 0,50 0,83 B4 0,50 0,82 B5 0,50 0, Appendiks 5 - Bestemmelse af friktionskoefficient mellem sand og plastik Der er på baggrund af en række forsøg [24] med forskellige typer plastik fundet at den gennemsnitlige friktion mellem sand og plastik er 0,32. I dette appendiks præsenteres resultaterne fra et simpelt modelforsøg, der har til formål at dokumentere, at der kan tages udgangspunkt i en friktionskoefficient på 0,32. Modelforsøget udføres med en kasse, der er limet sammen af masonitplader Kassens underside er gjort glat ved at klistre tape på endestykkerne. Forsøgsopstillingen er vist på nedenstående figur. Figur 37: Modelforsøg til eftervisning af friktionskoefficient Forsøgsopstillingen placeres oven på et stykke plastik magen til det der sidder på kassens sider. Forsøget udføres ved at der trækkes i kassen med et newtonmeter. Der trækkes med en kraft der netop får kassen til at bevæge sig i et jævnt tempo. Der udføres fem forsøg, hvor kassen er tom og fem forsøg, hvor der er fyldt to kilo sand og på baggrund heraf findes der en gennemsnitlig trækkraft. Resultaterne fremgår af Tabel 29. Side 52

53 Tabel 29: Gennemsnitsværdier af friktionsforsøgene Materiale Vægt [kg] Friktion [N] Kasse uden sand 0,76 1,2 Kasse med sand 2,76 8,5 Det ønskes at finde friktionen mellem sand og plastik. Bidraget hidrørende friktionen mellem træ og plastik fratækkes derfor: For finde friktionskoefficienten divideres der med to og med tyngdeaccelerationen: Det betyder der skal trækkes med 0,371 kg for at trække et kilo sand over plastik. Friktionskoefficienten er således 0,371. Afvigelsen mellem friktionsbidraget fundet ved det simple modelforsøg og værdien fundet i [24] er 14 %. Det er dermed eftervist, at friktionskoefficienten på 0,32 der er foreslået i [24], er af en rimelig værdi og der tages i beregningerne udgangspunkt i denne Appendiks 6 Bestemmelse af det samlede friktionsbidrag Formålet med dette appendiks er at bestemme hviletrykket ind på kassens sider. På baggrund af hviletrykket og friktionskoefficienten mellem sand og plastik, jf. appendiks [A.5] bestemmes friktionsbidraget, der skal fratrækkes lasten. Ved geoteknisk institut i Århus [25]er der fundet en funktion vedrørende hviletryk fra partial overfaldelast: (11.11) Hvor: er hviletrykskoefficienten er den påtrykte last er bredden af fundamentet er den dybde hvor i man ønsker trykket er længden af fundamentet er afstanden fra fundamentet og til væggen Side 53

54 Figur 38 illustrerer konstanterne fra formel (11.11). Figur 38: Illustration af konstanter anvendt i formel (11.10) Det ses af formel (11.11) at den påtrykte last indgår som en konstant. Friktionsbidraget (i procent) der skal trækkes fra lasten må derfor være det samme for lejringstætheden 0,59 og 0,84. Der uføres derfor kun en beregning for lejringstætheden 0,59. Værdierne der skal indsættes i formel (11.11) er angivet i Tabel 30. Tabel 30: Værdier til indsættelse i formel (11.11) Konstanter Værdi 0,5 160,9 [kpa] 0,1 [m] 0 til 0,24 [m] 0,4 [m] 0 [m] Indsættes værdierne fra Tabel 30 i formel (11.11) ser udtrykket således ud: Udtrykkes plottes, se Figur 39. Side 54

55 Figur 39: hviletryk i forskellige dybder for lejringstæthed 0,59 Figur 39 illustrerer hviletrykkets variation med dybden. Som det fremgår af Figur 38 antages der en spredning på. Ved at gange på formeludtryk (11.11) og integrerer over dybden 0 til 0,24 findes hviletrykket på hver af kassens sider til 1,6 kn. I henhold til appendiks [A.5] er friktionen mellem plastik og sand fundet til 0,32. Det samlede friktionsbidrag findes til: Friktionsbidraget ønskes fundet som en procentdel af brudbæreevnen. Den påtryktelast omregnes fra en spænding til kraft: Det ses at friktionsbidraget udgør 16 % af den påtrykte last. Friktionsbidraget der skal fratrækkes lasten findes derfor til: 11.7 Appendiks 7 - Den gennemsnitlige normalspænding Formålet med dette appendiks er at vise at den gennemsnitlige normalspænding kan omskrives til et udtryk der udelukkende består af. Derudover undersøges forholdet mellem. Forholdet mellem findes ved en FEM beregning med et program der er udviklet af Johan Clausen, civilingeniør og ph.d. i byggeri og anlæg. Programmet hedder LSTFundaNewRapFlyt_v202.m og er nærmere beskrevet i afsnit 7. Den gennemsnitlige normalspænding bestemmes ved: (11.12) Anvendes Coulombs brudbetingelse, kan beskrives ved hjælp af : Side 55

56 Forholdet mellem og undersøges ved et FEM beregning. Modelforsøget modelleres i programmet og på baggrund heraf findes spændingstilstanden i en række udvalgt punkter, Figur 40. Figur 40: Placering af punkter hvori spændingerne findes Resultaterne fremgår af nedenstående tabel. Tabel 31: Spændingstilstand for punkt 1-5 Punkt Kordinat(h,l) [m] [Pa]*10 5 [Pa]*10 5 [Pa]* (0;0,23) 0,6580 2,6848 0, (0;0,12) 0,1787 1,0192 0, (0;4,8) 1,0192 6,1299 2, (0,10;0,18) 1,3392 3,1661 1, (4;7,2) 1,3690 6,7057 2,3322 Gennemsnitsværdi 0,9128 3,9411 1,4634 Forholdet mellem og ses at Tabel 31. kan nu beskrives ved hjælp af : Den gennemsnitlige normalspænding kan nu omskrives til et udtryk der består. (11.13) I henhold til Lade og Wang [25] kan der bestemmes en dimensionsløs faktor de tre hovedspændinger: der er relation mellem (11.14) I et triaksialapparat er spændingstilstanden givet ved: Side 56

57 Det ses af formel (11.12) at er lig 0 for triaksialforsøget. På baggrund af gennemsnitsværdierne i Tabel 31 er findes en værdi b: =0,18 I henhold til lade og Wang [25] er friktionsvinklen 13 % større for modelforsøget end for triaksialforsøget for en værdi af b på 0,18, dette er illustreret på Figur 41. Figur 41: Variation af friktionsvinkel for forskellige værdier af b Det vil sige friktionsvinklen skønnes 13 % højere for plan deformationstilstand end som en spændingstilstand der er givet ved et triaksialforsøg. For at eftervise at der tale om en plan deformationstilstand kan programmet LSTFundaNewRapFlyt_v202.m plotte en figur der viser spændingsfordelingen i samtlige punkter i jorden. Det ses af Figur 42 at der tale om en plan deformationstilstand i 95 % af punkterne. Figur 42: Procentandel af jorden der kan regnes som plan tøjning Side 57