Dynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104

Transkript

1 Dynamiske Systemer SIR-modellen Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104

2

3 Titel: Dynamiske systemer -SIR-modellen Tema: Dynamiske systemer -iteration og approksimation Projektperiode: MAT1, 3. semester 2008 Projektgruppe: G2-104 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7 G 9220 Aalborg Øst Synopsis: Deltagere: Helle Nielsine Rytter Sanne Chemnitz Aggerholm Majken Svendsen Maria Simonsen Denne rapport omhandler dynamiske systemer beskrevet ved de lineære og ikke-lineære differentialligninger. Udover at beskrive 1. orden og n te ordens differentialligninger, tages der fat i en række specifikke forhold omkring løsninger af differentialligninger. Vi undersøger Lipschitzbetingelser, maksimal løsning, eksistens og entydighed samt systemer af 1. orden. SIR-modellen bliver anvendt på disse emner for at illustrere teorien. En analyse af de ikke-lineære differentialligninger bliver derefter forklaret, hvor emner som linearisering og stabilitet er i fokus. En udvidet SIR-model vil blive anvendt på linearisering. I forbindelse med approksimation af løsninger bliver emner som Eulers metode og Runge kutta af 2. og 4. orden beskrevet. Den udvidede SIR-model approksimeres herefter ved hjælp af RK4. Oplagstal: 7 Sidetal: 92 Bilagsantal: 2 Periode: 2. september december 2008 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

4

5 FORORD Denne rapport er udarbejdet af gruppe G2-104, under MAT1-forløbet, ved Institutet for matematiske fag på Aalborg Universitet. Projektforløbet har taget udgangspunkt i Dynamiske systemer -iteration og approksimation, hvor vi specielt har sat fokus på projektforslaget, Epidemimodeller, omhandlende SIR-modeller. I forbindelse med projektforløbet har gruppens medlemmer modtaget undervisning i projektenhedskurset, Lineær algebra og dynamiske systemer. Desuden er der benyttet teoretisk viden fra studieenhedskurset, Analyse. Derudover har gruppen modtaget feedback og vejledning af vejleder, Martin Qvist. Rapporten henvender sig til folk med interesse for differentialligninger, dog med den forudsætning, at der haves et matematisk niveau svarende til Basisåret ved Aalborg Universitet. Læsevejledning Kildehenvisningerne i rapporten er angivet efter Harvardmetoden, så der i teksten refereres til en kilde med [Efternavn, År]. Denne henvisning fører til litteraturlisten, bagerst i rapporten, hvor bøger er angivet med forfatter, titel, udgave og forlag. Figurer, tabeller samt matematiske definitioner og sætninger, er nummereret i henhold til kapitel. Det vil sige, at den første figur i kapitel 3 har nummer 3.1, den anden, nummer 3.2 osv. Forklarende tekst til figurer og tabeller findes under de givne figurer og tabeller. I

6

7 INDHOLD Indhold III 1 SIR-modellen 1 2 Lineære differentialligninger Hvad er en differentialligning? Begyndelsesværdiproblem Indre produkt og norm Lipschitzbetingelse Eksistens og entydighed Picard iterationer Sætning om eksistens og entydighed Maksimale løsninger Maksimal løsning til SIR-modellen Separable differentialligninger Løsning Differentialligninger af 1. orden Løsning Differentiallinger af n te orden Løsning af 1. ordens systemer Analyse af ikke-lineære differentialligninger En udvidelse af SIR-modellen Jacobi-matricen Faseportræt til et ikke-lineært system Linearisering Lineariseringssætningen Stabilitetsanalyse Stabilitet Stabile systemer Faseportræt af lineære systemer III

8 INDHOLD Lineært faseportræt af den udvidede SIR-model Approksimation af løsning Numeriske approksimationer Eulers metode Runge-Kutta Approksimation af løsning til SIR-modellen Differentialligningsteori anvendt på SIR-modellen Opsamling Den klassiske SIR-model Den udvidede SIR-model Konklusion Litteratur 79 6 Bilag 80 IV INDHOLD

9 KAPITEL 1 SIR-MODELLEN Vi vil i dette projekt benytte teorien omkring differentialligninger til at behandle udviklingen af en epidemimodel, i vores tilfælde kaldet SIR-modellen. SIR-modellen er et dynamisk system, der opdeles i tre funktioner, som afhænger af tiden, t. Her undersøges tilvæksten individuelt i den enkelte funktion, som dog afhænger af de andre funktioners udvikling. De tre funktioner er udtrykt ved S (t) = rs(t)i(t) I (t) = rs(t)i(t) ai(t) R (t) = ai(t) Det kan her ses, at systemet er konstant ved at lægge funktionerne sammen. Notationsforklaring S(t) er antallet af individer, der kan smittes af en given epidemi. I(t) er antallet af smittede individer. R(t) er antallet af individer, som ikke længere er smittet, men har været det. a og r er konstanter, som afgør, hvor hurtigt eller langsomt epidemien udvikler sig, fra den opstår, til alle individer er blevet smittet, og til alle har gennemlevet sygdommen. Modellen dækker over en samlet mængde mennesker, som alle befinder sig inden for én af de tre katagorier. Det vil sige, at der ikke tages højde for eventuelle personer, som er immune over for epidemien, eller af anden grund ikke vil kunne blive smittet. Som individ vil vedkommende først befinde sig inden for gruppen af individer, som kan smittes, S(t), hvorefter vedkommende eventuelt bliver smittet, og overføres til I(t). Når individet har gennemlevet sygdommen, overgår vedkommende til funktionen, R(t). For at en epidemi overhovedet kan opstå, må der gælde, at I (t 0 ) > 0. Hvis dette ikke er tilfældet, vil en model med et givent begyndelsesværdiproblem dø ud i løbet af få dage, da faktorerne ikke vil forøge antallet af syge individer, hvorved smittekilderne dør ud. Derfor kan 1

10 en epidemimodels anvendelighed kontrolleres ved at beregne I (t 0 ) = rs(t 0 )I(t 0 ) ai(t 0 ) > 0. I det følgende kapitel præsenterer vi i første omgang en generel definition for differentialligninger, hvorefter der følger begreber tilknyttet løsningen til differentialligninger. Til sidst i kapitlet følger definitioner af specifikke tilfælde af en differentiallignings udseende og egenskaberne af disse. Jensen [2000a] 2 1. SIR-modellen

11 KAPITEL 2 LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER I dette kapitel præsenteres differentialligninger og deres løsning. En differentialligning defineres som en ligning, hvori der indgår en ubekendt funktion og dens differentialkvotient. Differentialligninger er grundpillen for forståelsen af dynamiske systemer, der er hovedemnet for dette projekt. Der vil derfor blive gået i dybden med forståelsen af de enkelte dele af emnet differentialligninger, inden der vil være specifikke definitioner med deres løsninger, der vil blive anvendt på SIR-modellen. Herunder kommer vi ind på Lipschitzbetingelser samt eksistens og entydighed i forbindelse med løsningen af en differentialligning. Desuden undersøges den maksimale løsning i et givent interval. 2.1 Hvad er en differentialligning? En differentialligning er, som nævnt ovenfor, en ubekendt funktion og dens afledte. En differentialligning kaldes partiel, hvis funktionen består af flere variable. Hvis der derimod kun er én variabel, x = x(t), er differentialligningen ordinær. Hvis differentialligningen indeholder en differentialkvotient, x, af orden, n, men ingen af højere orden, vil differentialligningen være af n te orden Definition 2.1. En differentialligning af orden, n, defineres som F(t,x(t),x (t),...x (n) (t)) = 0 (2.1) hvor F er en funktion afhængende af n + 2 variable, på et område, Ω R n+2. [Andersson & Böiers, 1992, s.1] Når man snakker om en løsning til differentilligning (2.1) i et interval, I R, menes der en funktion, x(t), på I, så (t,x(t),x (t),...,x (n) (t)) tilhører Ω og (2.1), hvor t I. Under passende forudsætninger kan x (n) løses, i det mindste lokalt, ud fra differentialligning (2.1). 3

12 2.2 Begyndelsesværdiproblem Så får differentialligningen formen x (n) (t) = f (t,x(t),x (t),...,x (n 1) (t)) (2.2) Her siges differentialligningen at være på normalform. Differentialligning (2.2) siges at være lineær, hvis højresiden kan skrives således f (t,x(t),x (t),...,x (n 1) n 1 (t)) = k=0 a k (t)x (k) + b(t) Hvis koefficienterne, a k (t), er uafhængige af t, siges den lineære differentialligning at have konstante koefficienter. Derudover kaldes ligningen homogen, såfremt der gælder, at b(t) = 0 for alle t. Alt dette vil vi komme yderligere ind på senere. Nu vil vi definere begyndelsesværdiproblemet for en differentialligning, som er essentiel når en konkret løsning til en differentialligning skal bestemmes. [Andersson & Böiers, 1992, s.1-2] 2.2 Begyndelsesværdiproblem Ofte er der ikke interesse for den almene løsning til en differentialligning, men i stedet en løsning med specielle egenskaber, hvilket fås fra et begyndelsesværdiproblem. I et begyndelsesværdiproblem søges en løsning, der, muligvis i forbindelse med et antal afledede, antager givne værdier i et punkt. For en differentialligning af n te orden vil begyndelsesbetingelsen se ud som herunder hvor c 0, c 1,..., c n 1 er givet på forhånd. x(t 0 ) = c 0, x (t 0 ) = c 1,..., x n 1 (t 0 ) = c n 1 Det er værd at bemærke, at alle højere afledede i t 0 kan beregnes ved hjælp af differentialligning (2.2). [Andersson & Böiers, 1992, s.28] Når der ses på eksistens og entydighed af en løsning til en differentialligning, er det her nødvendigt at tage begyndelsesværdiproblemet i betragtning. Et begyndelsesværdiproblem til en 1. ordens differentialligning kan se ud som følgende x (t) = f (t,x(t)) x(t 0 ) = x 0 (2.3) Det skal bemærkes, at enhver differentialligning kan skrives på formen (2.3) for et passende antal afledede. I forhold til eksistens og entydighed af en løsning giver begyndelsesværdiproblemet anledning til at se på, om der, når givet (t 0,x 0 ) Ω, eksisterer en løsning. Derudover kan der ses 4 2. Lineære differentialligninger

13 2.2 Begyndelsesværdiproblem på hvor mange løsninger, der eksisterer til x (t) = f (t,x(t)), når denne går igennem (t 0,x 0 ). Der vil i de efterfølgende kapitler blive beregnet på SIR-modellen, og der vil i disse tilfælde være brug for at have et begyndelsesværdiproblem til systemet for SIR-modellen. Dette vil derfor blive defineret her, og der vil blive henvist tilbage til dette i tilfælde, hvor der bruges et begyndelsesværdiproblem i forhold til SIR-modellen. SIR-modellen er et system af 1. orden, som beskrives i afsnit 2.9, og det er derfor muligt at skrive alle faktorer ind i en systemvariabel. Vi sætter G : R 4 R 4, og lader det afhænge af de tre variable, G(S,I,R ) = rs(t)i(t) rs(t)i(t) ai(t) ai(t) Ses dette i forhold til den afledte i det ovenstående begyndelsesværdiproblem, (2.3), fås det, at rs(t)i(t) x (t) = f (t, x(t)) = G(S,I,R ) = rs(t)i(t) ai(t) ai(t) Vi sætter i vores begyndelsesværdiproblem r = 0,3 og a = 0,15, Derudover sættes t 0 = 0 og derved bliver S(0) = S 0 = 23, I(0) = I 0 = 3 og R(0) = R 0 = 0, og begyndelsesværdiproblemet, for SIR-modellen, gennem denne rapport kommer derfor til at se ud som følgende x (t) = x(0) = 0, 3S(t)I(t) 0,3S(t)I(t) 0,15I(t) 0, 15I(t) (2.4) hvor N = S(t) + I(t) + R(t) = 26. Modellen kan, med dette begyndelsesværdiproblem, betragtes som en epidemi, da I (t 0 ) = 0, ,15 3 = 20,25 > 0. Det teoretiske begyndelsesværdiproblem kan her også blive genformuleret som en integralligning. Infinitesimalregningens hovedsætning, 6.1 fra bilag A, kan benyttes til integraler af vektorfunktioner. Specielt gælder der, at for en integralkurve, α, får vi en kurve, β : I R n, givet ved t β(t) = α(s)ds t 0 for alle t I. Her benytter vi, at t t 0 = t 0 t for t < t 0. Kurven β er differentiabel med β (t) = d dt t t 0 α(s)ds = α(t) for alle t I, som er den første del af infinitesimalregningens hovedsætning. 2. Lineære differentialligninger 5

14 2.2 Begyndelsesværdiproblem Den anden del er t for enhver differentiabel kurve, γ : I R n. t 0 γ (s)ds = γ(t) γ(t 0 ) Genformuleringen af begyndelsesværdiproblemet, som her sættes x (t) = f (t,x(t)) = X(t,x) x(t 0 ) = x 0 = c benytter to overvejelser. Den nye notation benyttes udelukkende for at skelne mellem begyndelsesværdiproblemet som differentialligning og integralligning Overvejelse 2.2. Antag, at α : I R n er en løsning til begyndelsesværdiproblemet, hvor t 0 I, (s,α(s)) B R n+1 for alle s I og α (s) = X(s,α(s)) (2.5) for alle s I og med α(t 0 ) = c Det er nu tilladt at integrere begge sider af ligning (2.5) fra t 0 til t. Gøres dette ved brug af infinitesimalregningens hovedsætning og begyndelsesværdiproblemet, fastsætter det integralligningen for alle t I. t α(t) = c + X(s,α(s))ds t 0 (2.6) [Betounes, 2000, s.76] For at retfærdiggøre, at ovenstående integralligning er en version af begyndelsesværdiproblemet, må det vises, at enhver løsning, α, til ligningen, (2.6), tilfredsstiller det oprindelige begyndelsesværdiproblem 6 2. Lineære differentialligninger

15 2.3 Indre produkt og norm Overvejelse 2.3. Antag, at α : I R n er en kontinuert kurve, som opfylder integralligningen, (2.6). Dette betyder, at t 0 I, (s,α(s)) B R n+1 for alle s I, og dermed, at (2.6) er gyldig. Da er det klart, at α(t 0 ) = c. Ud fra den første del af infinitesimalregningens hovedsætning ved vi, at kurven på den højre side af (2.6) er differentiabel, og derved er α(t) også differentiabel. Derved gælder α (t) = d dt [ t ] c + X(s,α(s))ds = X(t,α(t)) t 0 for alle t I. Dette viser, at differential- og integralversionen af begyndelsesværdiproblemet er ækvivalente. [Betounes, 2000, s.77] Vi har nu ændret begyndelsesværdiproblemet fra en differentialligning til en integralligning, hvilket gør det muligt at vise eksistens og entydighed af differentialligninger ved hjælp af integralregning. Til integralligningens version af begyndelsesværdiproblemet hører en operator eller transformation, T, på kurver. Denne er defineret ved følgende Definition 2.4. Antag, at β : I R n er enhver kontinuert kurve med (s,β(s)) B, for alle s I. Lad T (β) betegne en ny kurve på I, defineret ved for t I. t T (β)(t) = c + X(s,β(s))ds t 0 (2.7) [Betounes, 2000, s.78] Ved at bruge notationen fra definition 2.4 og ligning (2.6), er det klart, at integralversionen af begyndelsesværdiproblemet er α = T (α) hvilket blot fortæller os, at α er et fikspunkt på afbildningen, T. 2.3 Indre produkt og norm I det følgende vil det indre produkt og norm blive defineret, idet disse størrelser er vigtige i den resterende del af rapport. Indre produkt Før det er muligt at definere normen, er det nødvendigt at se på det indre produkt af vektorer. Her skal der, inden der gives en generel definition, ses på det reelle og det komplekse tilfælde. 2. Lineære differentialligninger 7

16 2.3 Indre produkt og norm Under det reelle tilfælde ses der på de to vektorer, x, y R n, hvor x = (x 1,...,x n ) og y = (y 1,...,y n ), samt deres skalarprodukt, x y, som er defineret ved x y = x 1 y x n y n For skalarproduktet gælder der, at x x 0 for alle x R n, og ligheden gælder kun i tilfældet, hvor x = 0. Hvis y R n er fastsat, så er afbildningen, R n R, som sender x R n over i x y, lineær. Derudover gælder der, at x y = y x. Det indre produkt er en generalisering af skalarproduktet, hvor der, ved det reelle tilfælde, sker en udvidelse af egenskaberne for skalarproduktet. Dette er ikke nok i det komplekse tilfælde, hvor der haves de to vektorer, z, w C n, for hvilke der gælder, at z = (z 1,...,z n ) og w = (w 1,...,w n ). Der gælder, for z, at z 2 = z z. Ved en kontrol af dette tages z C, hvor z = x + iy og z = x iy. Det fås derved, at (x + iy)(x iy) = x 2 + xiy xiy (iy) 2 = x 2 ( y 2 ) = x 2 + y 2 = z 2 Ses der nu på størrelsen, w z, fås w z = w 1 z w n z n Dette ses som det indre produkt af w og z. Herudfra ses, at byttes rollerne for w og z om, fås den kompleks konjungerede. Det kan altså antages, at det indre produkt af w med z, er lig det kompleks konjungerede af det indre produkt af z med w. [Axler, 1996, s.98-99] Det er nu muligt at komme med en generel definition for det indre produkt Definition 2.5. En afbildning, V V L, hvor L er en fælles betegnelse for R og C, skrevet som v, w, kaldes et indre produkt, hvis følgende er opfyldt - positivitet, v, v 0, for alle v V - positivt definit, v, v = 0, gælder kun for v = 0 - additivitet i første indgang, v + w, u = v, u + w, u, for alle v, w, u V - homogenitet i første indgang, a v, u = a v, u, for alle a L, v, u V - konjungeret symmetri, v, w = w, v, for alle v, w V [Axler, 1996, s ] Det er nu muligt, ud fra det indre produkt, at definere normen af en vektor Lineære differentialligninger

17 2.3 Indre produkt og norm Norm Normen er defineret ved Definition 2.6. Den Euklidiske norm Hvis v, w er et indre produkt på vektorrummet, V, kaldes v = v, v for normen af v. Normen har følgende egenskaber (i) v = 0 v = 0 (ii) a v = a v (iii) Trekantsuligheden v + w v + w [Axler, 1996, s.102] Bevis. Der bevises her de tre egenskaber, (i), (ii) og (iii), der gælder for normen. (i) Det fås, at for v = 0, må der gælde, at v, v = 0. Dette er kun muligt i tilfældet, hvor v, v = 0. Dette sker kun, ifølge definitionen på det indre produkt, når v = 0. Derved er (i) bevist. (ii) Der tages her udgangspunkt i a v 2, hvilket giver størrelsen a v,a v = a a v, v. Denne størrelse kan også udtrykkes ved a 2 v 2. Tages kvadratroden af dette, fås a v = a v, hvilket beviser (ii). (iii) Beviset for trekantsuligheden kræver visse forberedelser, og dette vil derfor komme senere i dette afsnit. [Axler, 1996, s.102] Som første forberedelse til beviset for definition 2.6, (iii), ses der på Sætning 2.7. Kvadratet af en to-ledet størrelse v + w = v 2 + w 2 + 2Re v, w Bevis. Sætning 2.7 er dermed bevist. v + w 2 = v + w, v + w = v, v + w + w, v + w = v, v + v, w + w, v + w, w = v 2 + w 2 + v, w + v, w = v 2 + w 2 + 2Re v, w. Kvadratet af en to-ledet størrelse i forhold til Pythagoras sætning inddrages nu. De to vektorer, v og w, er ortogonale i vektorrummet, V, og derved er v, w = 0. Derfor bliver resultatet, at 2. Lineære differentialligninger 9

18 2.3 Indre produkt og norm v + w 2 = v 2 + w 2 + 2Re v, w = v 2 + w = v 2 + w = v 2 + w 2 Der ses herefter på to vektorer, u, v V, hvor v 0. Det ønskes nu at skrive u som et skalarmultiplum af v betegnet a v, hvor a L adderet med w, hvor w står ortogonalt på a v. Dette benytttes nedenfor til at bevise Cauchy-Schwarz ulighed. Derved kan u skrives ved u = a v + w. Ud fra dette ses, at u, v = a v + w, v = a v, v + w, v = a v, v = a v 2 Idet v 0, bliver skalaren a = u, v v 2, og w = u u, v v 2 v. Derved fås som opfylder de stillede krav. ( ) u = a v + w = u, v v 2 v + u u, v v 2 v [Axler, 1996, s ] Det er nu muligt at se på den anden forberedelse til beviset af (iii), i definition 2.6 Sætning 2.8. Cauchy-Schwarz ulighed Hvis u, v V, så gælder der, at u, v u v (2.8) I denne ulighed gælder ligheden kun i tilfælde, hvor enten u eller v er et skalarmultiplum af den anden vektor. [Axler, 1996, s.104] Bevis. Lad u, v V. Der er nu to tilfælde, v = 0 og v 0. Der ses først på tilfældet, hvor v = 0. Ved indsættelse i ulighed (2.8) ses det, at begge sider bliver nul, og derved holder uligheden. I tilfældet v 0 skrives u ved hjælp af dennes ortogonale udskrivning, u = u, v v 2 v + w som er fundet i det foregående. Ud fra Pythagoras sætning, fås Lineære differentialligninger

19 2.3 Indre produkt og norm u 2 = = u, v 2 v 2 v + w ( ) 2 u, v v 2 v + w 2 = u, v 2 v 2 + w 2 u, v 2 v 2 Multipliceres der med v 2 på begge sider af uligheden, og tages derefter kvadratroden, fås hvilket viser Cauchy-Schwarz ulighed. u 2 v 2 u, v 2 u v u, v [Axler, 1996, s.104] Det er nu muligt at vise (iii), i definition 2.6. Bevis. Lad u, v V. Ifølge sætning 2.7 gælder der, at u + v 2 = u 2 + v 2 + 2Re u, v u 2 + v Re u, v u 2 + v u, v Der gælder derved, ifølge Cauchy-Schwarz ulighed, at u + v 2 u 2 + v u, v u 2 + v u v = ( u + v ) 2 Tages kvadratroden herefter på begge sider af uligheden, fås u + v u + v Derved er (iii), i definition 2.6, bevist. [Axler, 1996, s.105] Specifikt om normer kan vi desuden nævne, at der om den kontinuerte norm,, også kaldet l 1 -normen, gælder, at x = n i=1 x (2.9) 2. Lineære differentialligninger 11

20 2.4 Lipschitzbetingelse hvilket blandt andet benyttes i en senere sætning omhandlende eksistens og entydighed af løsninger. Om den euklidiske norm gælder der specielt, ved to vektorer, x = at hvoraf det ses, at x + y 2 = x 1 + y x 2 + y x 3 + y 3 2 x 1 x 2 x 3 [Wade, 2004, s.227] og y = x y 2 = x 1 y x 2 y x 3 y 3 2 (2.10) y 1 y 2 y 3, x 1 y 1 2 x y 2 (2.11) x 2 y 2 2 x y 2 (2.12) x 3 y 3 2 x y 2 Desuden ses det, at x 1 y 1 x 2 y 2 x y 2 (2.13) Ovenstående benyttes senere i bestemmelse af Lipschitzbetingelsen for SIR-modellen. 2.4 Lipschitzbetingelse Det er nu muligt at indføre en Lipschitzbetingelse, som garanterer, at der er en løsning til en differentialligning, hvis denne opfylder en Lipschitzbetingelse. En Lipschitzbetingelse er defineret ved Definition 2.9. Funktionen, f (t, x(t)), siges at opfylde en Lipschitzbetingelse på et område, Ω R n+2, hvis der for en konstant, L, gælder f (t,x(t)) f (t,y(t)) L x(t) y(t) (t,x(t)),(t,y(t)) Ω Konstanten, L, kaldes Lipschitzkonstanten, som også kan betegnes Lip( f ). [Andersson & Böiers, 1992, s.33] Vi ønsker nu at undersøge, om SIR-modellen kan opfylde Lipschitzbetingelserne. Som S 1 S 2 hjælp hertil sættes x = I 1 og y = I 2. Ud fra definition 2.9 ønsker vi at op- R 1 R Lineære differentialligninger

21 2.4 Lipschitzbetingelse nå, at G( x) G( y) L x y G(S 1,I 1,R 1 ) G(S 2,I 2,R 2 ) L (S 1,I 1,R 1 ) (S 2,I 2,R 2 ) (2.14) på det begrænsede interval, ((S 1,I 1,R 1 ),(S 2,I 2,R 2 )) Ω R 4. Ovenstående kan også omskrives til rs 1 (t)i 1 (t) ( rs 2 (t)i 2 (t)) S 1 S 2 rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t)) L I 1 I 2 (2.15) ai 1 (t) (ai 2 (t)) R 1 R 2 For at simplificere beregningerne kvadrerer vi på begge sider af (2.14), og får (G(S 1,I 1,R 1 ) G(S 2,I 2,R 2 )) 2 L 2 ((S 1,I 1,R 1 ) (S 2,I 2,R 2 )) 2 hvilket er det, vi ønsker at opnå. Vi tager først udgangspunkt i ( rs 1 (t)i 1 (t) ( rs 2 (t)i 2 (t))) 2 = ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2. Derved fås, at ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2 = r 2 (S 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t)) 2 (2.16) = r 2 (S 1 (t)i 1 (t) + S 2 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t)) 2 = r 2 (I 1 (t)(s 1 (t) S 2 (t)) + S 2 (t)(i 1 (t) I 2 (t))) 2 = r 2 (I 1 (t) 2 (S 1 (t) S 2 (t)) 2 + S 2 (t) 2 (I 1 (t) I 2 (t)) 2 + 2I 1 (t)s 2 (t)(s 1 (t) S 2 (t))(i 1 (t) I 2 (t))) r 2 (I 1 (t) 2 S 1 (t) S 2 (t) 2 + S 2 (t) 2 I 1 (t) I 2 (t) 2 + 2I 1 (t)s 2 (t) S 1 (t) S 2 (t) I 1 (t) I 2 (t) ) Da ovenstående ligning er defineret på et begrænset interval, har I 1 (t) og S 2 (t) en øvre grænse, afhængende af begyndelsesværdiproblemet, hvorved de kan opnå en maksimumsværdi. Derfor kan denne værdi sættes ind og isoleres som en konstant, c, og derved kan vi undersøge den nedenstående ligning ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2 c( S 1 (t) S 2 (t) 2 + I 1 (t) I 2 (t) 2 + S 1 (t) S 2 (t) I 1 (t) I 2 (t) ) Vi benytter nu egenskaber ved normen, fra ligning (2.10) på side 12, og de tilhørende uligheder, (2.11), (2.12), og (2.13). Herved kan vi se, at ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2 c( x y 2 + x y 2 + x y 2 ) 3c x y 2 Om (rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t))) 2, fra (2.15), gælder, at (rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t))) 2 = r 2 [S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)] 2 + a 2 [I 2 (t) I 1 (t)] 2 + 2ar[S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] Vi deler nu denne ligning op i tre dele (i) r 2 [S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)] 2 2. Lineære differentialligninger 13

22 2.5 Eksistens og entydighed (ii) a 2 [I 2 (t) I 1 (t)] 2 (iii) 2ar[S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] (i) behandles ligesom ligning (2.16), (ii) behandles som den efterfølgende (2.17) og (iii) vurderes her 2ar[S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] = 2ar[S 2 (t)i 2 (t) + S 2 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 1 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] = 2ar[S 2 (t)(i 2 (t) I 1 (t)) + I 1 (t)(s 2 (t) S 1 (t))][i 2 (t) I 1 (t)] 2ar[S 2 (t) I 2 (t) I 1 (t) + I 1 (t) S 2 (t) S 1 (t) ] I 2 (t) I 1 (t) c( I 2 (t) I 1 (t) + S 2 (t) S 1 (t) ) I 2 (t) I 1 (t) c( I 2 (t) I 1 (t) 2 + S 2 (t) S 1 (t) I 2 (t) I 1 (t) ) c( x y 2 + x y 2 ) = 2c x y 2 Den sidste vurdering går på følgende, fra (2.15), Vi samler nu (i),(ii) og (iii), og opnår derved (ai 1 (t) (ai 2 (t))) 2 = a 2 (I 1 (t) I 2 (t)) 2 c x y 2 (2.17) (rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t))) 2 3c x y 2 + c x y 2 + 2c x y 2 = 6c x y 2 Det er nu muligt at samle det hele sammen, og derved opnår vi, at G(x) G(y) 2 3c x y 2 + 6c x y 2 + c x y 2 G(x) G(y) L x y hvorved Lipschitzbetingelserne er opfyldt for SIR-modellen. Det er derfor muligt at sikre sig, at der eksisterer en løsning til differentialligningssystemet. 2.5 Eksistens og entydighed Til at vise eksistens og entydighed i løsninger til differentialligninger skal vi benytte teorien omkring Picard iterationer, som følger nedenfor Picard iterationer Picard iterationer er en metode, som blandt andet kan benyttes til at vise eksistensen af en løsning til et begyndelsesværdiproblem, samt en direkte approksimation af α. Som grundlag Lineære differentialligninger

23 2.5 Eksistens og entydighed for metoden benyttes et interval, I, indeholdende t 0 fra begyndelsesværdiproblemet. Vi lader C, være mængden af alle kontinuerte kurver, β : I R n, og sætter den åbne mængde B = I R n. Der gælder da om afbildningen, T, fra ligning (2.7), at den har mængden, C, som definitionsmængde og værdimængde. Bemærk, at for en generel åben mængde, B R n+1, er der ingen garanti for, at T (β) C for enhver β C Definition For en given kurve, β C, er Picard iterationer af β elementerne i følgen, {T k (β)} k=1, således, at T 0 (β) = β T 1 (β) = T (β) T 2 (β) = T (T (β)) T 3 (β) = T (T (T (β))). T k (β) = T (T k 1 (β)) [Betounes, 2000, s.79] Det vil blive vist i eksistens og entydighedssætningen, at Picard iterationer altid konvergerer imod et fikspunkt, α af T, uden hensyn til valget af begyndelseskurver, β Sætning om eksistens og entydighed Følgende sætning fastslår, at der til ethvert begyndelsesværdiproblem findes en entydig løsning, som tilfredsstiller en given differentialligning Sætning Eksistens og entydighed Antag, at en funktion, X : B R n, er et tidsafhængigt vektorfelt på mængden, B R R n. Antag, at alle de partielle afledte, X i x j, hvor i, j {1,...,n}, eksisterer og er kontinuerte i B. Da gælder der, at for hvert punkt, (t 0,c) B, eksisterer der en kurve, α : I R n, med t 0 I, som tilfredsstiller begyndelsesværdiproblemet x (t) = X(t,x) x(t 0 ) = c Yderligere gælder der, at hvis γ : J R n er en anden løsning til begyndelsesværdiproblemet, så er der et interval, Q I J, med t 0 Q, således at α(t) = γ(t), for alle t Q Heraf gælder, at for to løsninger til begyndelsesværdiproblemet, har de et fælles interval, hvori t 0 indgår, og hvorpå løsningen eksisterer. [Betounes, 2000, s.82] 2. Lineære differentialligninger 15

24 2.5 Eksistens og entydighed Bevis. Vi tager udgangspunkt i den lukkede kugle i R n, som har centrum i c og radius r B(c,r) {x R n x c r} Her benyttes normen, (2.9), fra afsnit 2.3, og dens egenskaber. Da mængden, B, er en åben mængde, og da (t 0,c) B, kan vi vælge, r > 0 og b > 0, således, at [t 0 b,t 0 + b] B(c,r) B. Da vi antog, at funktionerne, X i, og de partielle afledte, X i x j, i, j {1,...,n} er kontinuerte i B, er de også kontinuerte på [t 0 b,t 0 + b] B(c,r). Mængden, [t 0 b,t 0 + b] B(c,r), er kompakt, og derved også lukket og begrænset. På grund af begrænsningen eksisterer der en konstant, K > 0, således, at og X i (t,x) K (2.18) X i (t,x) x j K (2.19) for alle (t,x) [t 0 b,t 0 + b] B(c,r) og for alle i, j {1,...,n}. Ud fra uligheden, (2.18), og definitionen af l 1 -normen, (2.9), ledes vi direkte videre til uligheden X(t, x) = n i=1 X i (t,x) nk for alle (t,x) [t 0 b,t 0 + b] B(c,r). Denne ulighed medfører følgende ulighed, (2.20), hvilket forklares nedenfor for alle x,y B(c,r) og for t [t 0 b,t 0 + b]. X(t,x) X(t,y) nk x y (2.20) Begrundelse af ulighed (2.20) Vi vælger x,y B(c,r) og t [t 0 b,t 0 + b]. For ethvert i defineres nu en funktion, h i, ved h i (λ) = X i (t,λy + (1 λ)x) for λ [0,1]. Det er her værd at bemærke, at punktet, λy + (1 λ)x, ligger på linjestykket mellem x og y, og at punktet også tilhører mængden, B(c,r), da denne mængde er konveks. Derfor giver ovenstående definition af h i mening. Vi skal nu benytte middelværdissætningen, 6.2 fra bilag A, på h i. Herudfra kan vi konkludere, at der eksisterer et λ 0 (0,1), således at h i (1) h i (0) = h i(λ 0 ) (2.21) Ved at benytte denne, samt kædereglen, til at differentiere h i, og uligheden, (2.19), giver Lineære differentialligninger

25 2.5 Eksistens og entydighed dette X i (t,x) X i (t,y) = h(0) h(1) da det ud fra definitionen af h i ses, at h i (0) = X i (t,0y + (1 0)x) = X i (t,x), og at h i (1) = X i (t,1y + (1 1)x) = X i (t,y). Dette giver X i (t,x) X i (t,y) = h(1) h(0) = h i(λ 0 ) hvilket kan ses ud fra (2.21). Benyttes kædereglen og middelværdissætningen til at differentiere h i ses, at X i (t,x) X i n X (t,y) = i (t,λ 0 y + (1 λ 0 )x)[y j x j ] x j K j=1 n y j x j = K y x j=1 hvoraf det sidste ses ud fra uligheden, (2.19), og normen, (2.9). Ved nu at summere over begge sider af uligheden opnås uligheden, (2.20). Vi vælger nu et tal, a > 0, således, at X i (t,x) X i (t,y) K y x a < r nk, a < b og a < 1 nk og lader C betegne følgende mængde af kurver C = {β : [t 0 a,t 0 + a] B(c,r) β er kontinuerte } Transformationen, T, er begrænset ud fra definition 2.4 til kurven i mængden, C. Da der ingen begrænsning er på B, er C nødt til at være en mindre mængde, og vi kræver, at den er en afbildning ind i sig selv, T : C C. Hermed menes, at hvis β er i C, så er T (β) ligeledes i C. Her er T (β) automatisk kontinuert, da den er differentiabel ifølge infinitesimalregningens hovedsætning, 6.1 fra bilag A. Derfor behøver vi kun at vise, at T (β)(t) B(c,r) for alle t [t 0 a,t 0 + a]. For at se dette antager vi først, at t > t 0. Der gælder da, at t T (β)(t) c = c + X(s,β(s))ds c t 0 t X(s,β(s)) ds t 0 nk t < nka < r Den første ulighed i det ovenstående er et generelt resultat, som følger af definitionen omkring integralkurver, fra t 0 til t, og af egenskaberne for normen. Den anden ulighed følger 2. Lineære differentialligninger 17

26 2.5 Eksistens og entydighed af de overstående udredninger heri ulighed (2.20). De sidste to uligheder fremkommer af definitionen af a. Argumentationen for t < t 0 er tilsvarende. Vi vil nu vise, at T : C C er en sammmentrækningsafbildning. Fra bilag A, sætning 6.4, ved vi, at der så eksisterer en konstant, 0 < q < 1, således, at T (β) T (γ) q β γ for alle β,γ C. Denne ulighed siger, at afstanden mellem T (β) og T (γ) er strengt mindre end afstanden mellem β og γ, da q < 1. Derfor må T trække afstanden mellem punkterne sammen, så de derved ligger tættere på hinanden. Dette er den afgørende egenskab, som sikrer konvergens i Picard iterationer. Sammentrækningsegenskaberne ved T kommer fra en tilnærmelse, som involverer endnu en anden norm. Denne norm er ikke i R n, men nærmere i vektorrummet C = {β : [t 0 a,t 0 + a] R n β er kontinuerte} for alle kontinuerte kurver i intervallet [t 0 a,t 0 + a], og ikke kun i de som ligger i B(c,r). Dette vektorrum, C, er uendeligt dimensionelt og indeholder mængden, C, som et underrum. Normen på C, hvilket også implicerer elementerne i C, er en neutral norm, kaldet sup-norm. Denne er defineret som følgende Definition For β C gælder der, at afbildningen, t β(t), er kontinuert på det lukkede interval, [t 0 a,t 0 + a]. Ud fra sætningen, maksimum og minimum antagelse, 6.5 fra bilag A, vides, at den største værdi findes i dette interval. Denne værdi er normen af β. Notationen er følgende β = sup{ β(t) t [t 0 a,t 0 + a]} I forhold til denne norm vil vi vise, at T er en sammentrækning på C. Antag nu, at β,γ C og t [t 0 a,t 0 + a], og at t 0 < t. Ved t 0 > t ses det samme. Vi får da, at t T (β)(t) T (γ)(t) = [X(s,β(s)) X(s,γ(s))]ds t 0 Ud fra definitionen af supremum får vi nu, at t t 0 X(s,β(s)) X(s,γ(s)) ds t nk β(s) γ(s) ds t 0 nk t t 0 β γ nka β γ T (β) T (γ) nka β γ (2.22) Lineære differentialligninger

27 2.5 Eksistens og entydighed Derfor kan vi nu sætte q = nka < 1 og få T som en sammentrækningsafbildning på C. Dette benyttes til at vise, at følgen af Picard iterationer konvergerer mod en entydig løsning af begyndelsesværdiproblemet for ethvert valg af β C. Vi har allerede set, at T afbilder C ind i sig selv, T : C C. Antag nu, at vi vælger enhver kurve β C, og lader T være de efterfølgende resultater i følgen af Picard iterationer, {T k (β)} k=1 hvilket er en følge af kurver i C. Vi får først en vurdering af, hvor adskilte T k (β) og T k+p (β) er i forhold til supremum af normen. Ved gentagen brug af sammentrækningsegenskaberne opnår vi ulighederne T k (β) T k+p (β) = T (T k 1 (β)) T (T k+p 1 (β)) < q T k 1 (β) T k+p 1 (β). < q k β T p (β) for enhvert k og p. I specielle tilfælde, hvor p = 1, gælder der for denne ulighed, at For yderligere undersøgelse af uligheden T k (β) T k+1 (β) q k β T (β) (2.23) T k (β) T k+p (β) < q k β T p (β) (2.24) ser vi på, hvor langt β og T p (β) kan komme fra hinanden i forhold til normen. Vi må her huske, at supremum af normen tilfredsstiller trekantsuligheden, (iii) fra definition 2.6 på side 9, for alle kurver v,w C. Her sættes v := γ og w := µ. Ved brug af sammentrækningsegenskaberne, og uligheden, (2.23), får vi, at β T p (β) = β T (β) + T (β) T 2 (β) T p 1 (β) T p (β) β T (β) + T (β) T 2 (β) T p 1 (β) T p (β) β T (β) (1 + q q p 1 ) β T (β) 1 q Hvis vi bruger den sidste del af uligheden, (2.24), får vi, at T k (β) T k+p k β T (β) (β) < q 1 p for alle k og p, hvilket er resultatet vi ønskede at opnå. Herudfra kan det ses, at når lim k q k = 0, gælder der, at følgen, {T k (β)} k=0, er en Cauchy følge i C C. Vi ved, at for enhver Cau- 2. Lineære differentialligninger 19

28 2.5 Eksistens og entydighed chy følge tilhørende C, som konvergerer mod elementer i C, gælder der, at C er fuldstændigt. Derfor eksisterer der et α C, således at lim T k (β) α = 0 k Dette betyder også, at følgen af kurver, {T k (β)} k=0, konvergerer uniformt mod [t 0 a,t 0 +a] for kurven α. Vi ønsker nu at vise, at α C, og at det er et punkt i T. For at se denne påstand, noteres det, at for alle t [t 0 a,t 0 + a], og for alle k, gælder, at α(t) c α c α T k (β) + T k (β) c α T k (β) + r Vi har her brugt notationen, c, selvom vi mener den konstante kurve, γ(t) = c for alle t. I det ovenstående brugte vi også det faktum, at T k (β) B(c,r). Ved nu at tage grænsen for k i det ovenstående gives, at α(t) c r for alle t [t 0 a,t 0 + a], hvilket betyder, at kurven, α, ligger i B(c,r). Som nævnt i det ovenstående gælder der om kurven, om hvilket følgen af iterationer konvergerer, at den er et element i C, i det tilfælde hvor α er kontinuert. Derfor har vi eftervist, at α C. For at se, at α er et fikspunkt, er det tilstrækkeligt at iagttage, at T er en kontinuert afbildning T (α) = T ( ) lim T k (β) k = lim k T (T k (β)) = lim k T k+1 (β) = α Alt det ovenstående viser, at der eksisterer en løsning, α, på intervallet, I = [t 0 a,t 0 + a]. Vi mangler nu blot at vise, at α er entydig. Entydigheden ligger i den betydning, at hvis γ : J O er en hvilken som helst anden løsning til begyndelsesværdiproblemet, så er γ = α på intervallet, Q = [t 0 m,t 0 + m] I J. Vi vælger et m > 0. På grund af kontinuitet ved γ, er der et δ > 0, således at γ(t) c r for alle t sådan, at t t 0 < δ. Tag nu m = min{δ,a}. Ud fra konstruktionen af α(t) og β(t) ligger de i B(c,r) for alle t Q. Nu sættes M = sup{ α(t) γ(t) t Q} Vi ønsker nu at vise, at M = 0, for da er den øvre grænse mellem α(t) og γ(t) lig nul, hvorved der må gælde, at α(t) = γ(t). Argumentationen for dette er lig med den brugte i ulighed Lineære differentialligninger

29 2.5 Eksistens og entydighed (2.22). Antag nu, at t Q, og da α(t) og γ(t) tilfredsstiller begyndelsesværdiproblemet, har vi, at t α(t) = c + X(s,α(s))ds t 0 γ(t) = c + og så får vi, ved at antage, at t > t 0, at t t 0 X(s,γ(s))ds t α(t) γ(t) = [X(s,α(s)) X(s,γ(s))]ds t 0 t t 0 [X(s,α(s)) X(s,γ(s))] ds t nk α(s) γ(s) ds t 0 nk t t 0 M nkam Bemærk, at den anden ulighed i det ovenstående kommer fra ulighed (2.20), og den kræver, at α(s),γ(s) B(c,r) for alle s Q, hvilket er opfyldt i valget af intervallet Q. Tilsvarende ræsonnement gælder, hvis t < t 0. Ud fra uligheden α(t) γ(t) nkam og definitionen om supremum, samt ved q = nka, får vi, at M qm og da q < 1, gælder denne ulighed kun for M = 0. Derfor eksisterer der kun den entydige bestemte løsning på det givne interval. [Betounes, 2000, s.83-88] 2. Lineære differentialligninger 21

30 2.6 Maksimale løsninger 2.6 Maksimale løsninger I dette afsnit vil vi vise en metode til, hvordan det maksimale interval, hvorpå løsningen er defineret, kan bestemmes. Som forberedelse til dette, gives først følgende sætning Sætning Antag, at den kontinuerte funktion, f : Ω R n, opfylder en Lipschitzbetingelse i R 0 = { (t, x) R n+1 t t 0 α 0, x x 0 β } for α 0 > 0, β > 0 Sæt da ( ) α = min α 0, β B, hvor B = sup f (t, x), (t, x) R Så har begyndelsesværdiproblemet en entydigt bestemt løsning, x(t), defineret på intervallet, hvor t t 0 α, og opfylder x(t) x 0 B t t 0. [Andersson & Böiers, 1992, s.39] Figur 2.1: Mængde hvori den maksimale løsning kan bestemmes Til at hjælpe i forståelsen af maksimale løsninger vil vi tage udgangspunkt i figur 2.1. Antag, at funktionen, f, er defineret og kontinuert i det åbne, sammenhængende område, Ω, og opfylder en Lipschitzbetingelse i et område af alle givne punkter, men ikke nødvendigvis med samme konstant, L, i alle punkterne. Vi betragter igen begyndelsesværdiproblemet, 2.3. Ifølge sætning 2.13 eksisterer der et interval, t t 0 < α, omkring t 0, for hvilket der findes en entydigt bestemt løsning. Følges løsningskurven, se figur 2.1, et passende skridt mod højre indtil punktet t 1 nærmer sig t 0 + α, kan vi nu anvende sætning 2.13 igen, med (t 1,x(t 1 )) som begyndelsespunkt. På denne måde får vi en forlængelse af løsningskurven mod højre. Dette kan gentages, og vi kan desuden vælge, i stedet, at gå mod venstre fra t 0. Sæt a 2 = sup{τ x(t) kan fortsættes til en løsning på [t 0,τ[} a 1 = in f {τ x(t) kan fortsættes til en løsning på ]τ,t 0 ]} (2.25) Det er muligt eventuelt at sætte a 2 = +, hvis, {τ x(t) kan fortsættes til en løsning på [t 0,τ[}, ikke er opadtil begrænset eller at sætte a 1 =, hvis der ligeledes gælder, at {τ x(t) kan Lineære differentialligninger

31 2.6 Maksimale løsninger fortsættes til en løsning på ]τ,t 0 ]}, ikke er nedadtil begrænset. Den maksimale løsning er altså den løsning til begyndelsesværdiproblemet, x (t) = f (t,x(t)), x(t 0 ) = x 0, der fastlægges på intervallet, ]a 1,a 2 [. [Andersson & Böiers, 1992, s.42] Sætning Lad f : Ω R n være kontinuert og antag, at den opfylder en Lipschitzbetingelse i en omegn af hvert punkt i Ω. Definér den maksimale løsning, x(t), på intervallet, ]a 1,a 2 [. Til enhver kompakt delmængde, K Ω, gælder der om den maksimale løsning, x(t), til begyndelsesværdiproblemet, at punktet, (t, x(t)) / K, når t er tilstrækkeligt nær a 1, henholdsvis a 2. [Andersson & Böiers, 1992, s.42] Ud af ovenstående sætning kan det derfor udledes, at der findes δ > 0, så a 2 δ < t < a 2 (t,x(t)) / K, og at a 1 < t < a 1 + δ (t,x(t)) / K. Bevis. Antag modsætningsvist, at (t, x(t)) K. Der findes da den kompakte delmængde, K Ω, og en følge af tal, t j, for j {1,2,3,...}, hvorom det gælder, at t j a 2, således at punkterne P j = (t j, x(t j )) K for alle j. Ved anvendelse af Bolzano-Weierstrass sætning, 6.6 fra bilag A, haves en konvergent delfølge, P jk, hvorom der gælder, at P jk P K for k Der gælder desuden, at P Ω, og at vi har en Lipschitzbetingelse på Ω. Punktet sættes nu til P = (a,b), og der gælder om R 0 fra sætning 2.13, at R 0 Ω, R 0 = {(t, x) R n+1 t a α 0, x b β} Da P jk er en følge som konvergerer mod P, gælder der for tilstrækkelige store k, at P jk R 0. Vi anvender nu sætning 2.13 med P jk som begyndelsespunkt. Der gælder da, at P jk = (t jk,x(t jk )), så t jk a α 0 l, x(t jk ) b β l, hvor l > 1, er en konstant, som fastsætter, at afstanden mellem (t jk,x(t jk )) og punktet, (a,b), er lille. Kigger vi nu på figur 2.2, ses, at P jk kan fortsætte en smule mod højre og nærme sig P yderligere. Vi kan nu komme så tæt på P som vi ønsker, hvorved vi også kan komme tættere på P end afstanden, α. Da f opfylder en Lipschitzbetingelse, er det muligt at udvide enhver følge, P jk, med α, hvorved vi nu fortsætter ud over P. Til yderligere forklaring angives nu et hjælpeproblem { y (t) = f (t,y(t)) y(t jk ) = x(t jk ) Så gælder der, at z(t) = { x(t) for t t jk y(t) for t > t jk 2. Lineære differentialligninger 23

32 2.6 Maksimale løsninger Figur 2.2: P Jk ligger i R 0 er en løsning til begyndelsesværdiproblemet, 2.3, som er defineret på [t 0,a + α]. Da a = a 2, ses heraf, at a + α > a 2, hvilket er en modstrid med, at x(t) er maksimal. Derfor må der gælde, at (t,x(t)) / K, og sætningen er hermed bevist. I det følgende vil vi overveje den maksimale løsning til SIR-modellen Maksimal løsning til SIR-modellen Fra afsnit 2.2 har vi, at SIR-modellen er givet ved G(S,I,R ) = rs(t)i(t) rs(t)i(t) ai(t) ai(t) samt at et begyndelsesværdiproblem til modellen kunne være som i (2.4). I afsnit 2.4 på side 12 er der bestemt en Lipschitzbetingelse for SIR-modellen for x og y. Idet disse to vektorer kan være vilkårligt valgt på området, Ω, defineret i afsnittet, må der gælde en Lipschitzbetingelse for SIR-modellen i omegnen af ethvert punkt på området, Ω. Der gælder, ifølge sætning 2.13, at hvis der er givet et begyndelsesværdiproblem, som i (2.4), findes der en entydigt bestemt løsning defineret i intervallet, t t 0 α. Idet t 0 = 0 i begyndelsesværdiproblemet, (2.4), gælder der her, at t t 0 = t 0 = t α. Altså gælder der for SIR-modellen en Lipschitzbetingelse, når t α. Værdien af α fastsættes ud fra øvre normbegrænsning af funktionen og tidsintervallet. SIR-modellen afhænger ikke af tiden, og denne kan derved tages over et ubegrænset tidsinterval, hvilket vil sige, at α 0 =. Vi får heraf, at t β B. Den maksimale løsning til SIR-modellen bliver således den løsning, der kan fastlægges for begyndelsesværdiproblemet, (2.4), på intervallet, ]a 1,a 2 [, givet som i (2.25), som her bliver ] β B, β B [ Lineære differentialligninger

33 2.7 Separable differentialligninger 2.7 Separable differentialligninger Når en separabel differentialligning betragtes, kan t og x separeres således, at differentialkvotienten kan skrives som et produkt af de to variabler, sådan at de to udtryk ikke er afhængige af samme variabel Definition Separabel differentialligning af 1. orden En separabel differentialligning er en ligning, hvor der indgår én eller flere afledede funktioner. Dette kan skrives på formen hvor J 1 og J 2 er intervaller. dx dt = f (t)g(x), t J 1 x J 2 [Jensen, 2000b, s.1.3] I definition 2.15 kan det ses, at der er tale om to forskellige intervaller. De to funktioner f og g, der betragtes, i de i definitionen nævnte intervaller, er kontinuerte for f : J 1 R og g : J 2 R. Dette skyldes, at de to variable er internt uafhængige, og derfor har hver deres interval. [Jensen, 2000b, s.1.3] Løsning For at løse en separabel differentialligning, skal der findes en funktion, x = ϕ(t), hvor t I, som passer ved indsættelse i dx dt = f (t)g(x). Dette betyder i praksis, at der gælder fire betingelser for ϕ(t) Betingelse (i) ϕ(t) skal være differentiabel i definitionsintervallet I (ii) I J 1 (iii) værdimængden for ϕ(t) ligger i J 2 (iv) ϕ (t) = f (t)g(ϕ(t)), t I [Jensen, 2000b, s.1.3] Herunder følger en sætning til bestemmelse af løsninger af typen, ϕ(t) 2. Lineære differentialligninger 25

34 2.7 Separable differentialligninger Sætning Antag, at g(x) 0 for alle x J 2, og lad x 1 t G(x) = 0 g(r) dr, x J 2 ; F(t) = f (s)ds, t J 1 0 En differentiabel funktion, x = ϕ(t), t I vil da være løsning til dx dt = f (t)g(x), t J 1 og x J 2, hvis og kun hvis der findes en konstant, k R, således, at x = ϕ(t) passer i ligningen G(x) = F(t) + k (2.26) [Jensen, 2000b, s.1.4] Bevis. Den differentiable funktion, x = ϕ(t), passer i ligning (2.26), hvilket betyder, at I J 1, og at værdimængden for ϕ(t) er indeholdt i J 2, samt at G(ϕ(t)) = F(t) + k, t I (2.27) Det vi skal vise er derfor, at (iv), i betingelse 2.16 og ligning (2.27) er ækvivalente. Antag først, at ligning (2.27) er opfyldt. Ved at differentiere på begge sider, fås G (ϕ(t)) = F (t) og dermed 1 g(ϕ(t)) ϕ (t) = f (t), t I hvilket er det samme som (iv), i betingelse Antag omvendt, at (iv), i betingelse 2.16 er opfyldt, og betragt da funktionen Ved differentiation fås H(t) = G(ϕ(t)) F(t), t I H (t) = G (ϕ(t))ϕ (t) F (t) = 1 g(ϕ(t)) ϕ (t) f (t) Ifølge (iv), i betingelse 2.16 er det sidste udtryk lig med nul for alle t I. Følgelig er H (t) = 0 i intervallet I, og H(t) er derfor konstant. Kaldes denne konstant for k, fås ligning (2.27). [Jensen, 2000b, s.1.4] Lineære differentialligninger

35 2.8 Differentialligninger af 1. orden 2.8 Differentialligninger af 1. orden I det foregående afsnit kunne de to variable t og x deles, men dette er ikke nødvendigvis muligt i den lineære differentialligning af 1. orden. Her er variablerne afhængige af hinanden Definition Lineær differentialligning af 1.orden En lineær differentialligning af 1. orden skrives på formen for p,q kontinuerte i I. dx + p(t)x = q(t), t I (2.28) dt [Jensen, 2000b, s.1.7] Der skal desuden gøres opmærksom på, at differentialligninger af 1. orden kan afhænge af tid. Differentialligninger af n te orden har ofte konstante koefficienter, som ikke afhænger af tiden, og derfor har disse en anden løsningsmetode, som ses senere i dette kapitel Løsning For at finde en løsning til en differentialligning af 1. orden, som (2.28), skal der først haves en differentiabel funktion, x = ϕ(t), hvor t I. Denne skal, ved indsættelse i (2.28), give ligningen ϕ (t) + p(t)ϕ(t) = q(t), for alle t I. Til en differentialligning af 1. orden findes der en eksplicit løsningsformel, der giver alle løsninger udtrykt ved hjælp af stamfunktioner. Sætning Den fuldstændige løsning til differentialligningen dx dt + p(t)x = q(t), hvor t I, er givet ved { t } x = e P(t) e P(s) q(s)ds + k, t I, k R (2.29) 0 hvor P(t) = t 0 p(s)ds. [Jensen, 2000b, s.1.8] Bevis. Lad P(t) være en stamfunktion til p(t). Dette giver t P(t) = p(s)ds, t I 0 Idet funktionen e P(t) aldrig er nul, kan man multiplicere med denne på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.28), og derved få en ligning, der er ækvivalent med (2.28). P(t) dx e dt + ep(t) p(t)x = e P(t) q(t), t I (2.30) 2. Lineære differentialligninger 27

36 2.8 Differentialligninger af 1. orden På venstre side er udtrykket en differentialkvotient af et produkt, idet vi har d dt (ep(t) x) = d dt (ep(t) P(t) dx )x + e dt = ep(t) P(t) dx p(t)x + e dt Af dette kan vi konkludere, at ligning (2.30) er ækvivalent med d dt (ep(t) x) = e P(t) q(t), t I (2.31) De funktioner, der opfylder ligning (2.28), er netop de, der opfylder ligning (2.31), og denne er derfor ækvivalent med t e P(t) x = e P(s) q(s)ds + k, t I, k R 0 Når vi så multiplicerer med e P(t) findes x. Dermed er sætningen bevist. [Jensen, 2000b, s ] Homogenitet En differentialligning som (2.28) kaldes, i tilfældet hvor q(t) = 0, homogen for alle t I. Er differentialligningen ikke homogen, det vil sige q(t) 0, kalder man den inhomogen. I tilfældet, hvor ligningen, (2.28), er inhomogen, siges dx + p(t)x = 0, t I (2.32) dt at være ligning (2.28) s tilsvarende homogene ligning. Sættes q(t) = 0 i løsningsformlen, (2.29), fås den fuldstændige løsning til den homogene ligning, (2.32), ved s x = ke P(t), t I, k R, hvor P(t) = p(s)ds 0 [Jensen, 2000b, s.1.9] Sætning Den fuldstændige løsning til differentialligningen, dx dt + p(t)x = q(t), for alle t I, fremkommer ved, til en vilkårlig løsning til den inhomogene ligning, at addere samtlige løsninger til den homogene ligning. [Jensen, 2000b, s.1.10] Bevis. Vi antager, at vi har fundet en vilkårlig løsning, x = ϕ(t), til den inhomogene ligning (2.28). Denne løsning må da være i ligning (2.29), idet denne angiver samtlige løsninger. Derved findes der en konstant, k 1, så t ϕ 1 (t) = e P(t) e P(s) q(s)ds + k 1 e P(t), t I Lineære differentialligninger

37 2.9 Differentiallinger af n te orden Funktionerne x = ϕ 1 (t) + ce P(t), t I, c R kan skrives t x = e P(t) e P(s) q(s)ds + (c + k 1 )e P(t), t I, c R (2.33) 0 Når c gennemløber R, vil c + k 1 også gennemløbe R, og funktionerne, (2.33), er derfor funktionerne i (2.29), hvis c + k 1 = k. Sætningen er hermed bevist. Det er altså muligt at finde samtlige løsninger til en differentialligning, som (2.28), hvis der kan gættes en løsning til den inhomogene ligning og løse den tilsvarende homogene ligning. Det skal her desuden nævnes, at sætning 2.20 gælder for alle former for homogene differentialligninger, men beviset gælder kun for differentialligninger af 1. orden. [Jensen, 2000b, s ] 2.9 Differentiallinger af n te orden I mange tilfælde vil differentialligningen ikke være af 1. orden, men af n te orden. En lineær differentialligning af orden n defineres således Definition Lineære differentialligninger af n te orden d n x dt n + a d n 1 x n 1 dt n a dx 1 dt + a 0x = q(t), t I (2.34) hvor a i R for alle i {0,1,...,n 1}, og q er en kontinuert funktion på intervallet, I, og n N. [Jensen, 2000b, s.5.17] Det ses, at denne form for differentialligninger er lineære, idet en sådan ligning kan skrives ved hjælp af en differentialoperator, som kan vises lineær. Denne differentialoperator skrives, L(t,D), og der gælder om den, at L(t,D)x = x (n) + a n 1 (t)x (n 1) a 1 (t)x + a 0 x Det er muligt at opskrive enhver differentialligning, som (2.34), på formen L(t,D)x = b(t) Ud fra følgende sætning ses, at denne differentialoperator, L(t,D), er lineær 2. Lineære differentialligninger 29

38 2.9 Differentiallinger af n te orden Sætning Det haves, at L(t,D)(x 1 + x 2 ) = L(t,D)x 1 + L(t,D)x 2 L(t, D)(ax) = al(t, D)x, a R Med andre ord er L(t,D) en lineær operator. [Andersson & Böiers, 1992, s.10] Bevis. Først bevises L(t,D)(x 1 +x 2 ) = L(t,D)x 1 +L(t,D)x 2, hvor der, hvis udtrykket skrives ud, gælder, at D n (x 1 + x 2 ) + D n 1 (x 1 + x 2 ) D(x 1 + x 2 ) + D 0 (x 1 + x 2 ) hvilket ved hjælp af differentiation ved addition, fås D n x 1 + D n x Dx 1 + Dx 2 + D 0 x 1 + D 0 x 2 = L(t,D)x 1 + L(t,D)x 2 Derved ses det, at L(t,D)(x 1 + x 2 ) = L(t,D)x 1 + L(t,D)x 2. Ses der nu på L(t,D)(ax), kan dette udtryk også skrives ud til følgende D n (ax) D(ax) + D 0 (ax) Der gælder, at ved differentiation kan en konstant sættes udenfor, og der fås ad n x adx + ad 0 x = a(d n x Dx + D 0 x) = al(t,d)x Der gælder således, at L(t,D)(ax) = al(t,d)x. Det ses herved, at operatoren, L(t,D), er lineær. Når der ses på løsningen til differentialligningen, L(t,D)x = b(t), gælder følgende Sætning Enhver løsning til ligningen, L(t,D) = b(t), kan skrives som x(t) = x h (t) + x p (t) (2.35) hvor x p (t) er en løsning til L(t,D) = b(t), og x h (t) er løsning til den tilhørende homogene ligning, L(t, D) = 0. Omvendt er enhver sådan funktion, x(t), løsning til L(t,D) = b(t). [Andersson & Böiers, 1992, s.12] Lineære differentialligninger

39 2.9 Differentiallinger af n te orden Bevis. At ligning (2.35) er løsning til det inhomogene system, L(t, D) = b(t), er muligt at se direkte af sætning Omvendt gælder der, at er x(t) en løsning til differentialligningen, L(t,D) = b(t), er det muligt at sætte x h (t) = x(t) x p (t). Da bliver L(t,D)x h (t) = L(t,D)x(t) L(t,D)x p (t), men idet x p (t) er en løsning til L(t,D)x(t) gælder der, at L(t,D)x h (t) = L(t,D)x(t) L(t,D)x p (t) = 0 Det ses herved, at ligning (2.35) er gyldig, og sætningen er hermed bevist. Når en n te ordens differentialligning skal løses, er det muligt at omskrive denne til et system af 1. orden. Dette gøres ved at tage udgangspunkt i differentialligningens normalform givet ved (2.2). Sættes størrelserne x 1 = x, x 2 = x,..., x n = x (n 1), er det muligt at skrive ligning (2.2) som et 1. ordens system af differentialligninger x 1 = x 2 x 2 = x 3... x n 1 = x n x n = f (t,x 1,...,x n ) (2.36) For at kunne se sammenhængen mellem ligning (2.2) og systemet, (2.36), er det nødvendigt at benytte en n-tupel, som er defineret ved Definition n-tupel Et element, x = (x 1,x 2,...,x n ), i R n kaldes en ordnet n-tupel, og størrelserne, x j, hvor j {1,...,n}, kaldes x s komponenter. [Wade, 2004, s.225] Der gælder herved, at ligning (2.2) og systemet, (2.36), er ækvivalente, idet de opfylder følgende (i) For enhver løsning, x(t), til ligning (2.2) er n-tuplen, (x,x,...,x (n 1) ), en løsning til systemet, (2.36). (ii) Omvendt for enhver n-tupel, (x 1 (t),...,x n (t)), som løser systemet, (2.36), er x 1 (t) en løsning til ligning (2.2). Et eksempel på en omskrivning af en n te ordens differentialligning til et 1. ordens system kunne være som følgende. Givet en differentialligning af 2. orden, t 2 x 3tx + 4x = t 3, (t > 0), kan denne omskrives, hvor x isoleres som herunder x = 3 t x 4 t 2 x +t Hvis vi sætter x 1 = x og x 2 = x, kan vi nu få systemet 2. Lineære differentialligninger 31

40 2.9 Differentiallinger af n te orden { x 1 = x 2 x 2 = 4 x t t x 2 +t Det almene 1. ordens system af differentialligninger kan opskrives som, x (t) = f (t, x(t)) hvor x(t) = (x 1 (t),...,x n (t)) R n og f = ( f 1,..., f n ) er en funktion fra R R n til R n. Et system på formen x (t) = A(t) x(t) + b(t) (2.37) siges at være lineært. Der gælder her, at x(t) er en 1 n matrix, A(t) er en n n matrix, mens b(t) er en n 1 matrix. Systemet kaldes homogent i tilfældet, hvor b(t) = 0, samt det siges at have konstante koefficienter, når A ikke afhænger af t. Det kan ud fra en omskrivning af sætningerne, 2.22 og 2.23, ses, at systemet, (2.37), er lineært. Dette vil dog ikke blive gennemgået i denne rapport Løsning af 1. ordens systemer Når 1. ordens systemer skal løses, ses der på homogene og inhomogene systemer. Der ses først på løsningen til det homogene system. Homogene systemer Der gælder ved disse systemer, at b(t) = 0. Løsninger til et lineært system af formen x (t) = A(t) x(t) (2.38) på et interval I, udgør et lineært rum, der betegnes V. Der ses derved på to forskellige lineære rum, når der findes en løsning til systemet, (2.38). Løsningen, betegnet x, tilhører funktionsrummet, V, mens x(t) R n for ethvert t. Det er herved muligt at tale om, at k elementer, x 1, x 2,..., x k V, er lineært uafhængige i V, samt at x 1 (t), x 2 (t),..., x k (t) R n er lineært uafhængige for noget eller nogle t. Sammenhængen mellem dette ses i følgende lemma Lemma Lad x 1, x 2,..., x k være løsninger til x (t) = A(t) x(t). Da er følgende ækvivalent (i) x 1, x 2,..., x k er lineært uafhængige i V (ii) x 1 (t), x 2 (t),..., x k (t) er lineært uafhængige i R n, for alle t I (iii) x 1 (t), x 2 (t),..., x k (t) er lineært uafhængige i R n, for noget t = t 0 I [Andersson & Böiers, 1992, s.47] Lineære differentialligninger

41 2.9 Differentiallinger af n te orden Bevis. Der vises her, at (i) (ii) (iii) (i). (i) (ii). Det antages, at der findes et t 0, således at x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x k (t 0 ) er lineært afhængige. Da findes der reelle tal, λ i, hvor i {1,...,k}, som ikke alle er nul, sådan Betragtes nu de to funktioner x(t) = k i=1 k i=1 λ i x i (t 0 ) = 0 λ i x i (t) og x(t) = 0 ses det, at begge løser begyndelsesværdiproblemet, x (t) = A(t) x(t), x(t 0 ) = 0. Dette giver, ifølge entydigheden af løsningen, at de to funktioner er lig hinanden. Altså gælder der, at k i=1 λ i x i (t 0 ) = 0, hvilket vil sige, at x 1, x 2,..., x k er lineært afhængige, hvilket giver en modstrid med, at (i) gælder. (ii) (iii). Denne del anses som triviel, fordi gælder det for alle t, vil det også gælde for et bestemt t = t 0. (iii) (i). Det antages, at k i=1 λ i x i = 0 i V, hvilket vil sige, at der for alle t I gælder, at k i=1 λ i x i (t) = 0 i R n. Sættes t = t 0, fås der, ifølge forudsætningen, at (iii) gælder, at k i=1 λ i x i (t 0 ) = 0, når λ 1 =... = λ k = 0, hvilket medfører (i). Det følgende viser, at løsningerne udgør det lineære rum, V Sætning Lad n n-matricen, A, være en kontinuert funktion af t i et åbent interval, I. Da udgør løsningerne til det lineære homogene system, x (t) = A(t) x(t), et lineært rum, V, med dimension n. [Andersson & Böiers, 1992, s.47] Bevis. Der fastsættes et t 0 I. Der findes for ethvert x 0 R n en entydigt bestemt maksimal løsning, x(t), til systemet, (2.38), hvor x(t 0 ) = x 0. Derved defineres en afbildning ϕ : R n V, hvor x 0 x(t) Denne afbildning, ϕ, er lineær, idet ϕ(c x 0 ) = cϕ( x 0 ). Der gælder derfor, at x(t) = ϕ( x 0 ) løser begyndelsesbetingelsen c x (t) = A(t)c x(t) c x(t 0 ) = c x 0 og at c x(t) løser ligningen med begyndelsespunktet, (t 0, x 0 ). Det vil sige, at c x(t) = ϕ(c x 0 ), hvilket giver, at cϕ( x 0 ) = ϕ(c x 0 ). Tilsvarende gælder der, at ϕ( x 0 + y 0 ) = ϕ( x 0 ) + ϕ( y 0 ), hvilket giver, at afbildningen er lineær. 2. Lineære differentialligninger 33

42 2.9 Differentiallinger af n te orden Idet dimr n = n, der er endelig dimensionalt, gælder der ifølge dimensionssætningen, 6.7, se bilag A, at dimϕ(r n ) er endelig dimensionalt, samt n = dimr n = dimnullϕ + dimϕ(r n ) hvor der gælder, at ϕ(r n ) = V, idet ϕ er surjektiv. Det antages nu, at z Nullϕ, og at z 0. Herved gælder der, at z er lineært uafhængig i R n. Dette giver, ifølge lemma 2.25, at ϕ( z) er lineært uafhængig i V. Det vil sige, at ϕ( z) 0, hvilket giver en modstrid med, at z Nullϕ. Derved gælder der, at Nullϕ = { 0}, hvilket vil sige, at dimnullϕ = 0, som giver, at n = dimv. Det er selvfølgelig også muligt at have løsninger, x(t), til systemet, (2.38), som antager værdier i C n. I dette tilfælde gælder sætning 2.26 uforandret, den eneste forskel er, at løsningsmængden her udgør et komplekst lineært rum med dimension n. Følgende korollar fortæller, hvorledes det er muligt at bruge omskrivningen af en n te ordens differentialligning til et 1. ordens system og derved give en løsning til differentialligningen af n te orden Korollar Løsningsmængden til en lineær homogen differentialligning af n te orden med kontinuerte koefficienter i et interval, I, y (n) + a n 1 (t)y (n 1) a 1 (t)y + a 0 (t)y = 0 udgør et lineært n-dimensionalt rum. [Andersson & Böiers, 1992, s.48] Bevis. Skrives differentialligningen om til et system af 1. orden, er det muligt at anvende sætning Idet dimv = n, findes der til V en basis, x 1 (t),..., x n (t) V, hvor x j (t) = x 1 j (t) x 2 j (t). x n j (t) for j {1,2,...,n} Sættes basen, x 1 (t),..., x n (t), ind i en matrix, F(t), som søjler på følgende måde x 11 (t) x 12 (t)... x 1n (t) x F(t) = 21 (t) x 22 (t)... x 2n (t) x n1 (t) x n2 (t)... x nn (t) Lineære differentialligninger

43 2.9 Differentiallinger af n te orden kaldes F(t) en fundamentalmatrix til systemet, x (t) = A(t) x(t). Fra lemma 2.25 fås det, at søjlerne i F(t) er lineært uafhængige, således at F(t) er inverterbar for ethvert t I. Idet enhver søjle i F(t) løser systemet, (2.38), følger det, at F (t) = A(t)F(t) Omvendt gælder der også, at en inverterbar matrix, med ovenstående egenskab, er en fundamentalmatrix, således F(t) s søjler er en basis for V. Det er muligt at skrive løsningen til det homogene system som en linearkombination af basiselementerne, n i=1 c i x i (t). Indføres en søjlematrix, kaldet c, med elementerne c 1,...,c n, er det muligt at få linearkombinationen, F(t) c. Den almene løsning til det homogene system, (2.38), bliver da F(t) c hvor c = c 1. c n er en vilkårlig søjlematrix. Inhomogene systemer Det er, ud fra fundamentalmatricen, muligt at angive en løsning til det inhomogene system, givet ved x (t) = A(t) x(t) + b(t) Dette ses af følgende sætning Sætning Det antages, at A(t) og b(t) er kontinuerte. Lad F(t) være en fundamentalmatrix til det homogene system, x (t) = A(t) x(t). Da er t x p (t) = F(t) F(τ) 1 b(τ)dτ t 0 (2.39) en løsning til det inhomogene system, x (t) = A(t) x(t) + b(t), som opfylder, at x p (t 0 ) = 0. Bevis. Lad g(t) betegne integralet, t t 0 F(τ) 1 b(τ)dτ, i ligning (2.39). Da er x p (t) = F(t)g(t), og x p (t 0 ) = F(t 0 )g(t 0 ) = F(t 0 ) 0 = 0, idet t 0 t 0 F(τ) 1 b(τ)dτ = 0. Derved bliver x p (t) = F (t)g(t) + F(t)g (t) = A(t)F(t)g(t) + F(t)F(t) 1 b(t) = A(t) x p (t) + b(t) Følgende korollar kan føres tilbage til sætning Lineære differentialligninger 35

44 2.9 Differentiallinger af n te orden Korollar Den almene løsning til det inhomogene system, x (t) = A(t) x(t)+b(t), kan skrives som t x(t) = F(t) c + F(t) F(τ) 1 b(τ)dτ t 0 hvor c = c 1. c n er en vilkårlig søjlematrix. Bevis. For et lineært system kan den almene løsning til et inhomogent system, ud fra sætning 2.23, skrives som summen af en løsning og den almene løsning til det tilhørende homogene system. Det ses, at en n te ordens differentialligning kan omskrives til et lineært 1. ordens system af differentialligninger, og derved løses ved hjælp af homogene og inhomogene systemer. Vi har nu redegjort for forskellige typer af differentialligninger, defineret det lineære rum, V, og kommenteret forskellige løsningstyper, samt muligheden for tilstedeværelsen af disse. Derudover har vi vist, hvordan et system af n te ordens differentialligninger omskrives til et 1. ordens system. I det næste kapitel griber vi fat i den problematik, der kan opstå, når et givet differentialligningssystem viser sig at være ikke-lineært Lineære differentialligninger

45 KAPITEL 3 ANALYSE AF IKKE-LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER Dette kapitel omhandler muligheden for at linearisere et differentialligningsystem, som ikke er lineært afhængigt. Vi vil præsentere Jacobi-matricen og faseportrætter, samt forskellige former for ligevægtspunkter og stabiliteten af disse. Herunder følger dog først en omskrivning af SIR-modellen. 3.1 En udvidelse af SIR-modellen I den foregående del af rapporten har vi benyttet en klassisk formulering af SIR-modellen til at praktisere teorien igennem. Vi præsenterer nu en udvidelse af denne model, som vil blive benyttet i den efterfølgende del af rapporten. I denne model tages der nu også højde for befolkningens udvikling, at mennesker dør, og at der bliver født nye individer. I den klassiske SIR-model er den største del af individerne sygdomsmodtagelige til tiden, t = 0, kun få smittede starter epidemien, hvorefter modellen udvikler sig. I det øjeblik N individer har været igennem sygdomsforløbet, er modellen ikke længere interessant, da den antager konstante værdier. I den udvidede model er det indbygget i tidens forløb, at der hele tiden kommer og forsvinder nye individer. Dette gør, at epidemien har mulighed for at forløbe i ubestemt tid. Når befolkningen dør, er det sandsynligvis mennesker som allerede har gennemlevet sygdommen, og det er derfor variablen, R, som aftager yderligere i modellens udvikling. Ved fødsel af individer er det en tilføjelse til mængden af individer, som har mulighed for at blive smittet. Den samlede ændring af SIR-modellen bliver derfor fastsat til at være givet ved, hn, hvor N er det samlede antal af individer i modellen til tiden, t. Det vil sige, at N stadig er givet ved N = S(t) + I(t) + R(t) (3.1) 37

46 3.1 En udvidelse af SIR-modellen Konstanten, h, er den faktor, hvormed befolkningen bliver født og dør. Den endelige udvidelse ser derfor således ud S (t) = hn r S(t)I(t) N I (t) = r S(t)I(t) ai(t) N R (t) = ai(t) hn (3.2) Det kan ses, at systemet stadig er konstant ligesom i den klassiske SIR-model. Sættes dette op som et system, fås et 1. ordens system, hvor H : R 4 R 4 H(S,I,R ) = hn r S(t)I(t) N ai(t) r S(t)I(t) N ai(t) hn (3.3) [Korobeinikov, 2001, s.15] Jacobi-matricen I de tidligere kapitler har vi kun beskæftiget os med de lineære diffentialligninger og deres løsninger. Vi vil nu beskrive de ikke-lineære systemer. Disse systemer kan generelt ikke behandles ligesom de lineære, men der er en måde, hvorved man kan få en idé om, hvordan løsningerne i et givent system vil opføre sig. Når man skal analysere et ikke-lineært system, kan det gøres på to måder. Enten ved hjælp af transformation eller linearisering. Vi vil i dette afsnit præsentere sidst nævnte. Måden hvorved linearisering fungerer er, at Jacobimatricen til det ikke-linære system beregnes, og herefter udregnes ligevægtspunkterne. Det skal nævnes, at der til et ikke-lineært system kan findes endeligt mange ligevægtspunkter, hvorimod der ved et lineært system enten kan findes ét, origo, eller uendeligt mange. Derfor fortæller linearisering kun om lokale karakteristika og ikke om de globale. Den efterfølgende definition er Jacobi-matricen, der som tidligere nævnt skal benyttes til linearisering af et ikke-lineært system Analyse af ikke-lineære differentialligninger

47 3.1 En udvidelse af SIR-modellen Definition 3.1. Jacobi-matricen Der er givet en funktion x = x 1 x 2. x n = f 1 (x 1,x 2,...,x m ) f 2 (x 1,x 2,...,x m ). f n (x 1,x 2,...,x m ) og et punkt, a R m. Da er funktionens totalt afledte i punktet, a, angivet i en Jacobi-matrix, defineret ved f 1 f x 1 (a)... 1 x m (a) DF(a) =..... f n f x 1 (a)... n x m (a) [Betounes, 2000,s.334] Vi vil nu beregne Jacobi-matricen på SIR-modellen. Vi har defineret den udvidede SIRmodel i (3.3). Her sætter vi nu S (t) = f (S,I,R) = hn r S(t)I(t) N I (t) = g(s,i,r) = r S(t)I(t) ai(t) N R (t) = h(s,i,r) = ai(t) hn (3.4) Jacobi-matricen bliver så DF(S,I,R) = f S g S h S f I g I h I f R g R h R = ri(t) N ri(t) N rs(t) N 0 rs(t) N a 0 0 a Faseportræt til et ikke-lineært system I et ikke-lineært system kan løsningerne opfattes som orienterede kurver på parameterform i R n. Til hver af disse løsningskurver, (t, x(t)), i R R n findes der en bane, t x(t), i R. Følgende ses et eksempel på et ikke-lineært system med n = 2. Eksempel Systemet x 1 = x 2 x 2 = x 1 har én mulig løsning x 1 = C cos(t δ) x 2 = C sin(t δ) 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 39

48 3.1 En udvidelse af SIR-modellen Til dette system vil løsningskurven være en spiral i R R 2. Banerne fås af negativt orienterede cirkler, x x2 2 = C2, i x 1 x 2 -planen. I eksemplet kan forskellige løsninger til systemet give anledning til den samme bane. For autonome systemer, som er systemer, der er uafhængige af variablen, t, gælder der generelt, at hvis x(t) er en løsning, så er y(t) = x(t +c) en løsning for alle konstanter, c. Dette skyldes y (t) = x (t + c) = f ( x(t + c)) = f ( y(t)) hvor x(t) og y(t) bliver betragtet som den samme kurve i R n, hvor der findes en voksende bijektiv funktion, s(t), fra intervallet, [a,b], til intervallet, [a,b ], sådan at x(t) = y(s(t)). Løsningerne, x(t) og x(t + c), har så samme bane Sætning 3.2. Gennem hvert punkt, x 0, i Ω R n går der én og kun én bane til systemet, x (t) = f ( x(t)). [Andersson & Böiers, 1992,s.252] Bevis. Det antages, at x(t) og y(t) begge er løsninger til det ikke-lineære system, x (t) = f ( x(t)), hvis banen for disse går gennem x 0. Dette gør, at der findes tal, t 0 og t 1, sådan at x(t 0 ) = y(t 1 ) = x 0 Sæt da z(t) = y(t + t 1 t 0 ), hvilket betyder, at z(t) beskriver den samme bane som y(t). z(t) er endvidere også en løsning til systemet med z(t 0 ) = x 0. Der gælder da, at z (t) = y (t +t 1 t 0 ) 1 = f ( y(t +t 1 t 0 )) = f ( z(t)), samt at z(t 0 ) = y(t 0 +t 1 t 0 ) = y(t 1 ) = x 0. Da både x(t) og y(t) går gennem det samme punkt, (t 0,x 0 ), er z(t) = x(t) for alle t. Det vil sige, at ethvert punkt på y s bane ligger på x s bane og omvendt. Faseportrættet for x (t) = f ( x(t)) defineres til at være mængden af baner. Betragtes begyndelsesværdiproblemet, x (t) = f ( x(t)) og x 0 = x(t 0 ), ses, at hvis x(t) er den maksimale løsning gennem (t 0, x 0 ), er denne defineret på intervallet, [0,T [. Her er T eventuelt endeligt dimensionelt, hvorved x(t) ikke har nogen grænseværdi for t T. Hvis grænseværdien derimod eksisterer, c = lim t T x(t), så er x = { x(t), for 0 t T c, for t = T kontinuert på [0,T ]. Derfor vil x([0,t ]) være kompakt på R, hvilket strider mod, at den maksimale løsning vil forlade enhver kompakt mængde. Der gælder specielt for den maksimale løsning, at den vil forlade [0,T ] x([0,t ]), som er kompakt i R n+1. Hvis T derimod er uendeligt dimensionelt, og x(t) har en grænseværdi, c Ω, for t, da er c et ligevægtspunkt. Vi vil derfor i den næste definition beskrive, hvad et ligevægtspunkt er. Kort fortalt udregnes Analyse af ikke-lineære differentialligninger

49 3.1 En udvidelse af SIR-modellen ligevægtspunkter, så man kan få en idé om, hvordan det ikke-lineære system vil se ud Definition 3.3. Et punkt, c Ω, med f (c) = 0 kaldes et ligevægtspunkt til systemet, x = f ( x). [Andersson & Böiers, 1992,s.253] Vi vil nu finde de eventuelle ligevægtspunkter i den udvidede SIR-model, som er et ikkelineært system. Disse kalder vi (S l (t),i l (t),r l (t)). Vi har givet systemet, (3.4) på side 39, og vi ønsker derfor at løse ligningerne, f (S,I,R) = 0, g(s,i,r) = 0 og h(s,i,r) = 0. Det ses da, at den eneste løsning til systemet er hvor R (t) 0. ( a (S l (t),i l (t),r l (t)) = r N, h ) a N,R (t) Heraf ses, at SIR-modellens ligevægtspunkter afhænger af de konstanter, som er knyttet til funktionen, samt at R(t) er uden betydning for nul-løsningerne. Da R er givet ved S og I, kan vi tillade os at se bort fra denne, da den efterfølgende altid kan bestemmes ud fra løsningerne af S og I. Ser vi derfor bort fra R, har den udvidede SIR-model derfor kun ét ligevægtspunkt. Som hjælp til at afbilde faseportrættet er det nødvendigt at opgive værdierne til et begyndelsesværdiproblem. Vi må derfor overveje, hvilke værdier konstanterne skal tillægges i forhold til hinanden for, at en mulig afbildning giver mening. Tages der udgangspunkt i ligevægtspunktet, (S l (t),i l (t),r l (t)) = ( N r a, hn a,r (t) ), ses, at a r < 1, og at h a < 1. Hvis det omvendte tilfælde gælder, vil der opnås tilfælde, hvor S og I indeholder flere individer end den samlede befolkningsgruppe. Derfor må der, om de benyttede konstanter, gælde, at r > a > h for, at systemet opfylder epidemimodellens betingelser. Desuden vil vi kun afbilde faseportrættet som en funktion af S og I, da R altid slutteligt kan vurderes ud fra disse. Følgende ses en afbildning af den udvidede SIR-models faseportræt. Den udvidede SIRmodel er et ikke-lineært autonomt system, da H er uafhængig af tiden, t. Her sættes r = 0,3; h = 0,051; a = 0,15; og N = 26, hvorved ligevægtspunktet får værdien, (S l (t),i l (t)) = (13,0;8,84). Tidsintervallet er givet til at løbe over hundrede dage begyndende ved dag nul. Om begyndelsesværdiproblemet gælder det, at det samlet skal give hundrede procent, altså S(t 0 ) + I(t 0 ) = 1, da fordelingen af folk i smittefare og smittede individer opgives i procent. Vi sætter i det følgende begyndelsesværdibetingelserne til S(0) = 0,9 I(0) = 0,1 (3.5) Vi er nu i stand til at afbilde faseportrættet, figur 3.1. På faseportrættet ses det, at de retningsafledte pile centreres omkring ligevægtspunktet. Funktionen, som er afbildet, er beregnet på det givne begyndelsesværdiproblem. De retningsafledte pile angiver andre løsninger til systemet, som vil opstå ved andre givne begyndelsesværdibetingelser. I følgende afsnit præsenterer vi linearisering af ikke-lineære systemer, hvorefter dette vil 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 41

50 3.2 Linearisering Figur 3.1: Faseportræt af den ikke lineære udvidede SIR-model blive anvendt på den udvidede SIR-model. 3.2 Linearisering Det antages, at x = X(x) er et givet system af differentialligninger, som er bestemt af et vektorfelt, X : Q R n, i en åben mængde, Q R n. Her er det ligevægtspunkterne i systemet, der skal bestemmes, altså punkterne, c Q, fra definition 3.3, i vektorfeltet, X, hvor X(c) = 0. Herudfra fås konstante løsninger, α(t) = c, for alle t R. Disse løsninger er dog i sig selv ikke særlig interessante, men lineariseringsteorien er, at nær ethvert ligevægtspunkt, c Q, vil faseportrættet af et ikke-lineært system ligne faseportrættet af et tilsvarende lineært system y = Ay A svarer her til Jacobi-matricen, definition 3.1, eller den afledte af X i punktet c A X (c) Analyse af ikke-lineære differentialligninger

51 3.2 Linearisering Ligheden mellem faseportrætterne ved lineære og ikke-lineære systemer er kun en lokal lighed. Hvis man for eksempel fandt fire ligevægtspunkter til et system, ville man få fire tilsvarende lineære systemer, og en idé om hvordan det ikke-lineære system ville se ud i nærheden af hvert ligevægtspunkt. Ses der derimod på det globale billede, kan lineariseringssætningen, 3.11, ikke oplyse, hvordan integralkurverne i de fire lokale billeder skal samles for at få de globale integralkurver. Der er imidlertid nogle typer af ligevægtspunkter, c, der danner specielle tilfælde af linearisering. For eksempel behøver faseportrættet af et ikke-lineært system nær c ikke ligne y = Ay nær nul. Disse tilfælde kan fremkommer, når det(a) = 0, eller hvis A kun har imaginærer egenværdier. [Betounes, 2000, s ] Den efterfølgende definition bruges i almindelighed til linearisering, og beskriver et hyperbolsk ligevægtspunkt Definition 3.4. Hyperbolsk ligevægtspunkt Et ligevægtspunkt, c, i et vektorfelt, X : Q R n, kaldes et hyperbolsk ligevægtspunkt, hvis enhver egenværdi, λ = α + iβ, af matricen har en ikke-nul realdel, altså at α 0. A X (c) [Betounes, 2000,s.232] Ligevægtspunktet, c, kaldes et simpelt ligevægtspunkt, hvis det(a) 0. Det skal her bemærkes, at et hyperbolsk ligevægtspunkt er simpelt, og at et ikke-hyperbolsk ligevægtspunkt enten ikke er simpelt, eller også at A har udelukkende imaginære egenværdier. Det hyperbolske ligevægtspunkt bliver endvidere klassificeret af realdelene af egenværdierne i A. Der gælder følgende om egenværdierne Er enhver realdel negativ, kaldes det et stabilt punkt. Hvis enhver realdel er positiv, kaldes det et ustabilt punkt. Hvis mindst to af realdelene har modsat fortegn, kaldes det et sadelpunkt. Vi vil nu undersøge om det tidligere fundne ligevægtspunkt, (S l (t),i l (t)) = ( N r a, hn ) a, er hyperbolsk. Hvis det er det, gælder der, ifølge definition 3.4, at enhver reel egenværdi skal 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 43

52 3.2 Linearisering være forskellig fra 0. Vi tager udgangspunkt i at finde egenværdierne i Jacobi-matricen. r hn a det N λ r hn a N r an r N r an r N a λ = = = = r h a λ r a r r h a r a r a λ r h a λ a r h a λ (( r ha ) ( λ ( λ) + a r h )) a (λ 2 + λr ha ) + rh For at bestemme egenværdierne sættes determinanten lig nul. Vi får da, at λ = rh 2a rh 2a 1 2 r 2 h 2 4rh a 2 r 2 h 2 4rh a 2 Vi ser nu at punktet er et simpelt hyperbolsk ligevægtspunkt. Desuden gælder at da egenværdierne ikke er lig nul, er det muligt at linearisere det ikke-lineære SIR-system, (3.4), og heraf danne et faseportræt af dette. Der findes tilfælde, hvor den lokale ækvivalens mellem x = X(x) og y = Ay ikke er differentiabel ækvivalent, men derimod topologisk ækvivalent. Den efterfølgende definition forklarer blandt andet, hvad topologisk ækvivalent dækker over Definition En afbildning, f : Q Q, kaldes en homeomorfi, hvis den er kontinuert, bijektiv, og hvis dens inverse, f 1, også er kontinuert. 2. Systemet, x = X(x), siges at være topologisk ækvivalent til systemet, y = Y (y), hvis der eksisterer en homeomorfi, f : Q Q, sådan at i) for hver integralkurve, α : I Q af X, er kurven, β = f α : I Q en integralkurve af Y, og ii) for hver integralkurve, β : I Q, er kurven, α = f 1 β : I Q, en integralkurve for X. [Betounes, 2000,s.267] Den næste definition redegør for, hvad et flow er. Dette er også et begreb, som skal kendes, før lineariseringssætningen bliver bevist Analyse af ikke-lineære differentialligninger

53 3.3 Lineariseringssætningen Definition 3.6. Flow Ethvert differentialligningssystem har et flow, der er en funktion af t givet ved hvor t er tiden. x (t) = Φ(t,x(t)) = Φ t (x) [Hirsch et al., 2004, s.12] Et flow kan enten fortælle om fortiden af systemets løsninger eller fremtiden. Det vil altså sige, at denne funktion beskriver hele systemets løsningskurver. Det er derfor en alternativ måde at opskrive den generelle løsning til et givent system. Er man derimod interesseret i en bestemt løsningskurve, kan flowfunktionen også beskrive denne ene løsning til en bestemt begyndelsesbetingelse, x(t 0 ) = x 0. I så fald vil flowet være givet ved x (t) = Φ(t,x 0 ) = Φ t (x 0 ) Sådan en funktion følger en bestemt løsningskurve fra t = 0, men kan godt beskrive løsningen fra t og t. Det er denne egenskab, der benyttes, når man sammenligner et ikke-lineært system med dets lineariserede system. Udover flow er det også nødvendigt at definere, hvad et C p vektorfelt dækker over Definition 3.7. C p vektorfelt Lad V være en ikke-tom, åben delmængde af R n, og lad f : V R m og p N. Da siges (i) f at være C p på V hvis og kun hvis enhver partiel afledt af f af orden k p eksisterer og er kontinuert på V (ii) f at være C på V hvis og kun hvis f er C p på V for alle p N [Wade, 2004, s.322] I de efterfølgende sætninger bruges kun størrelsen C 1 vektorfelt, hvilket, ud fra ovenstående definition, vil sige, at f s 1. ordens partielle afledte her eksisterer og er kontinuerte. 3.3 Lineariseringssætningen Formålet med dette afsnit er at bevise Hartman-Grobmans lineariseringssætning. Denne sætning fastsætter, at det er muligt at opnå topologisk ækvivalens mellem to vektorfelter, hvoraf det ene er en lineariseret udgave af det andet. Som forberedelse til dette er det nødvendigt at udvide X til X i R n, hvis flowet varierer fra det lineære flow i en familie af Lipschitzafbildninger. Derefter bliver resultatet af en permutation af en lineær afbildning i en Lipschitzafbildning bevist, hvorefter selve lineariseringssætningen bliver bevist 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 45

54 3.3 Lineariseringssætningen Lemma 3.8. Antag, at X : Q R n, er et C 1 vektorfelt i Q R n, med origo som ligevægtspunkt, X( 0) = 0. Lad A = X ( 0) og lad R : Q R n være defineret ved R( x) = X( x) A x hvor x Q. Hvis δ > 0 er givet, kan et b > 0 vælges, med B(0,b) Q og et C 1 vektorfelt, R : R n R n, på R n, sådan at 1. R( x) = R( x) for x b 2 og R( x) = 0 for x b 2. R( x) R( y) δ x y, for alle x, y R n Der gælder da, at R er Lipschitz på R n, sammenholdt med R på B(0, b 2 ). Udenfor B(0,b) gælder der, at R går i 0. [Betounes, 2000,s.619] Ud fra lemmaet kan vi først bemærke, at R( 0) = X( 0) A 0 = 0. Desuden ses det, at R ( x) = X ( x) A for hvert x Q, og der gælder specielt, at R ( 0) = 0. Det vides yderligere, at R er kontinuert. Bevis. Ud fra ovenstående kan vi konkludere, at b > 0 eksisterer, således at B(0, b) Q, og R i ( x) x j δ 8n for alle x B(0,b), og for alle i, j {1,...,n}. Bruger vi nu dette sammen med middelværdissætningen, opnås at R i ( x) R i ( y) δ x y (3.6) 8n for alle x, y B(0,b) og alle i {1,...,n}. Uligheden er fremkommet på samme måde som ulighed (2.20), fra eksistens og entydighedssætningen, Specielt gælder der for ulighed (3.6), at for y = 0, da R( 0) = 0, at R i ( x) δ 8n x for alle x B(0,b) og alle i {1,...,n}. Vi definerede R ved at multiplicere R med en passende funktion, som er nul udenfor B(0, b). Dog vil vi her først definere funktionen, µ : R R, som µ(r) = 1 hvis r (, b2 4 ) b 6 [12(4r b 2 ) 2 (b 2 r) + (4r b 2 ) 3 ] hvis r ( b2 4,b2 ) 0 hvis r [b 2, ) Det kan nu ses, at 0 µ(r) 1 for alle r og µ, som er differentiable på R, med den afledte µ (r) = 24(4r b2 )(b 2 r) for r ( b2 27b 6 4,b2 ), og µ (r) = 0 alle andre steder. Heraf kan der kon Analyse af ikke-lineære differentialligninger

55 3.3 Lineariseringssætningen kluderes, at µ er kontinuert på R, samt at det kan udledes, at µ har en minimumsværdi på i r = 5b2 8, og en maksimumsværdi på nul. Derfor vil det gælde, at 2 b 2 µ (r) 2 b 2 for alle r R. Ved brug af denne funktion, og R : R n R n, kan R nu defineres ved R( x) = { µ( x 2 )R( x) hvis x b 0 hvis x > b R tilfredsstiller nu betingelse 1. i lemmaet. R er også differentiabel med den kontinuerte 1. ordens partielt afledte R i x j ( x) = µ ( x 2 ) 2 x x j x j Ri ( x) + µ( x 2 ) Ri x j ( x) for x B(0,b). Ved x < b, vil der derfor gælde, at Da R i ( x) x j µ ( x 2 ) 2 x R i ( x) + µ( x 2 ) R i ( x) x j 2 b 2 2b δ 8n b + δ 8n = 5δ 8n < δ n R i x j ( x) = 0 for x b, vil den sidste ulighed også gælde i dette tilfælde. Der fås derfor, at R i ( x) x j < δ n for alle x R n og alle i, j. Ud fra dette, og middelværdissætningen, følger det nu, at R( x) R( y) δ x y for alle x, y R n. Herved opfylder R også betingelse 2., hvilket fuldfører beviset. 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 47

56 3.3 Lineariseringssætningen Sætning 3.9. Antag, at X : Q R n er et C 1 vektorfelt på Q R n, med origo som ligevægtspunkt, X( 0) = 0. Lad A = X ( 0), og antag videre, at τ > 0 og ε > 0 er givet. Der kan nu vælges et b > 0, med B(0,b) Q, og et C 1 vektorfelt, X : R n R n, hvilket er Lipschitz i R n, sådan at (i) X( x) = X( x), for x b/2 (ii) X( x) = A x, for x b Flowet, φ, for X har så formen φ t ( x) = e At x + g t ( x) for x R n. Følgende egenskaber gælder for funktionen, g(t, x) = g t ( x), 1. g er kontinuert i R R n 2. g t ( x) = 0, for x b, og for alle t R, så specielt er enhver g t begrænset 3. for alle x, y R n og t [ τ,τ] gælder der, at g t ( x) g t ( y) ε x y [Betounes, 2000, s.621] Bevis. Lad R : Q R n være et vektorfelt defineret ved R( x) = X( x) A x for x Q. R vil så være restledet i approksimationen af 1.ordens Taylorpolynomiet af X i x = 0. Da bliver for x Q. Der vælges nu et δ > 0, sådan at X( x) = A x + R( x) δe τδ < εe 2nτ A Ud fra det foregående lemma, 3.8, kan vi nu vælge et b > 0, og et vektorfelt, R : R n R n. Dette er en udvidelse af R fra omegnen, B(0, b 2 ), til et vektorfelt på hele planen, som har Lipschitzkonstanten, Lip( R) δ. Udenfor B(0,b) bliver R til nul. Vektorfeltet, X : R n R n, er så defineret som X( x) = A x + R( x) for x R n. Det ses nu ud fra lemma 3.8, 1., at vektorfeltet opfylder (i) og (ii), i sætning Analyse af ikke-lineære differentialligninger

57 3.3 Lineariseringssætningen Vi ønsker nu at se, at X er Lipschitz i R n. Dette fås ud fra, X( x) X( y) = A( x y)+ R( x) R( y). Tages normen på begge sider af dette, fås X( x) X( y) = A( x y) + R( x) R( y) A( x y) + R( x) R( y) hvor uligheden kommer af trekantsuligheden for normen. Det fås nu, af lemma 3.8, 2., at A( x y) + R( x) R( y) A( x y) + δ x y Tages normen af A udenfor, gælder der, at X( x) X( y) n A ( x y) + δ x y = (n A + δ) x y Sættes K = n A + δ, fås X( x) X( y) K x y (3.7) for alle x, y R n. Derfor er X Lipschitz i R n, og dens flow, φ, er derved defineret i hele R R n. Vi lader nu flowet, φ : D R n, være genereret af X, og på grund af (i) og (ii), fås φ t ( x) = φ t ( x) for x b 2 og t I x Heraf kan g : R R n R n så defineres som φ t ( x) = e At x for x b og t R (3.8) g t ( x) = φ t ( x) e At x hvilket giver os en funktion, hvor g t = 0 er udenfor kuglen, B(0,b), for alle t R. Lipschitzbetingelserne mangler nu at blive beregnet i g t. Dette kræver gentagen brug af Gronwalls ulighed, 6.8, fra bilag A. Det skal bemærkes, at integralversionen af systemet, x = X( x) = A x + R( x), er præcist det udsagn som flowet, φ, tilfredsstiller t φ t ( x) = x + 0 t X( φ s ( x))ds = x + [A φ s ( x) + R( φ s ( x))]ds (3.9) 0 For at bestemme Lipschitzbetingelser for g t tages der udgangspunkt i φ t ( x), som i det følgende φ t ( x) φ t ( y) t = x y + [ X( φ s ( x)) X( φ s ( y)) ] ds Dette giver, ifølge trekantsuligheden for normen, at Fra uligheden, (3.7), fås φ t ( x) φ t ( y) t x y + [ X( φ s ( x)) X( φ s ( y)) ] ds 0 0 t φ t ( x) φ t ( y) x y + K φ s ( x) φ s ( y) ds 0 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 49

58 3.3 Lineariseringssætningen for alle x, y R n og alle t 0. Anvendes Gronwalls ulighed, giver det φ t ( x) φ t ( y) e K t x y (3.10) for alle x, y R n og alle t 0. Her er t antaget til at være ikke-negativ i den ovenstående ulighed. Det er derfor ikke nødvendigt at have absolutværdien, t, på højre side. Gentages ovenstående for t < 0, og bruges 0 t og t = t, så vil ulighed (3.10) fremkomme igen, og gælder derved for alle t R. Dette opfylder Lipschitzbetingelserne for φ t ( x). Det gøres nu lignende for g t, og endvidere bruges Gronwalls ulighed. Til dette tages der udgangspunkt i de to ligninger, (3.8) og (3.9), hvilke giver, at t e At ( x y) = x y + Ae As ( x y)ds 0 for alle x, y R n og alle t R. Bruges dette, og definitionen af g, fås, for t 0, at g t ( x) g t ( y) = φ t ( x) φ t ( y) e At ( x y) = = For t [0,τ] fås = x y + t 0 t 0 t 0 (A[ φ s ( x) φ s ( y)] + R( φ s ( x)) R( φ s ( y))ds e At ( x y) [ R( φ s ( x) R( φ s ( y))]ds + [ R( φ s ( x)) R( φ s ( y))]ds + t 0 t 0 A[ φ s ( x) φ s ( y) e As ( x y)]ds A[g s ( x) g s ( y)]ds t t g t ( x) g t ( y) R( φ s ( x) R( φ s ( y)) ds + n A g s ( x) g s ( y) ds (3.11) 0 0 For at kunne bruge Gronwalls ulighed, erstattes det første integral med den følgende udregning t 0 t R( φ s ( x)) R( φ s ( y)) ds δ som fås af lemma 3.8, 2. samt ligning (3.8). Ved brug af (3.11) fås δ 0 t 0 φ s ( x) φ s ( y) ds e K s x y ds δτe Kτ x y t g t ( x) g t ( y) δτe Kt x y + n A g s ( x) g s ( y) ds 0 for alle x, y R n og alle t [0,τ] Analyse af ikke-lineære differentialligninger

59 3.3 Lineariseringssætningen Bruges Gronwalls ulighed igen, samt at K = n A + δ, giver det g t ( x) g t ( y) δτe Kτ x y e n A t δτe Kτ x y e n A τ = δe τδ e 2nτ A x y < ε x y Det kan ligeledes vises, at uligheden også gælder for t [ τ,0], hvorved det gælder for alle t [ τ,τ]. Hermed har vi bevist, at funktionen, g t ( x), opfylder de tre egenskaber fra sætningen. Sætning Det antages, at L er en invertibel n n blok-diagonal matrix af formen L = [ B 0 0 C med B som en m m matrix og C som en p p matrix. Lad ] a = max { m B, p C 1 } Det antages her, at a < 1. Lad c være et tal, således at a < c < 1, der gælder da, at ε = 1 } {c 2 min c a, n L 1 Alle begrænsede kontinuerte funktioner, g : R n R n, på R n, bliver nu betegnet som mængden, C 0 b (Rn ). Endvidere er L ε {g C 0 b (Rn ) Lip(g) < ε} Hvis det ovenstående gælder, vil følgende resultater også gælde 1. Hvis g L ε, så er L + g en homeomorfi af R n 2. Hvis g,h L ε, så er der et entydigt v gh C 0 b (Rn ), sådan at (i) (L + g) (I + v gh ) = (I + v gh ) (L + h). Her er I : R n R n identitetsafbildningen. 3. Afbildningen I + v gh i 2. er en homeomorfi af R n [Betounes, 2000,s.624] Bevis. Vi vil i dette bevis vise 1., 2. og 3. hver for sig. 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 51

60 3.3 Lineariseringssætningen 1. I dette bevis bruges sammentrækningsafbildningsprincippet, 6.4 fra bilag A, til at vise, at L + g er injektiv og surjektiv. Det antages nu, at y R n og lad T : R n R n være defineret som T ( x) = L 1 ( y g( x)). Der vil nu gælde, for alle x R n, at T ( x) = x hvis og kun hvis L x + g( x) = y Derfor er L + g surjektiv, hvis T har et fikspunkt, og hvis dette fikspunkt er entydigt, så må L + g være injektiv. Følgende udregning viser, at T er en sammentrækning T ( u) T ( z) = L 1 (g( u) g( z)) n L 1 Lip(g) u z < n L 1 ε u z c u z Da R n, med l 1 -normen,, er fuldstændig, har T et entydigt fikspunkt. Dermed er L+g en bijektion, og L+g er derfor også kontinuert. Ud fra definition 3.5, vides det, at en kontinuert bijektion i R n er en homeomorfi af R n. Herved er 1. bevist. 2. Her bruges sammentrækningsafbildningsprincippet igen. Sammentrækningen sættes her til at være en afbildning, T : C 0 b (Rn ) C 0 b (Rn ). For at konstruere T, deles elementerne, v C 0 b, op, således v = (v1,v 2 ) med v 1 : R n R m og v 2 : R n R p. Denne nedbrydning er baseret på blok-diagonalnedbrydningen af L. Da vi bruger l 1 -normen,, på R n, ses det, at for i {1,2}, vil der gælde, at v i ( x) v( x) = v 1 ( x) + v 2 ( x) for alle x R n. Her bliver også brugt til at være l 1 -normen på R m og R p. Der bruges nu en norm på C 0 b (Rn ), som er maksimum af de to sup-normer i elementerne i denne nedbrydning. For v = (v 1,v 2 ) C 0 b (Rn ) defineres v max{sup v 1 ( x),sup v 2 ( x) } x x C 0 b (Rn ) er, med denne norm, et Banach rum, definition 6.3, bilag A. Nedbrydningen af C 0 b (Rn ) udleder også en Lipschitzafbildning af g L ε. Ved splittelse af g = (g 1,g 2 ), vil enhver afbildning, g 1,g 2, være Lipschitz, således at for i {1,2} ses, at Heraf følger det, at Lip(g i ) Lip(g). g i ( x) g i ( y) g( x) g( y) Lip(g) x y Ved brug af disse observationer og definitioner af g,v, samt normerne, fås følgende ulighed Analyse af ikke-lineære differentialligninger

61 3.3 Lineariseringssætningen g i ( x + v( x)) g i ( x + w( x)) Lip(g i ) v( x) w( x) = Lip(g i )[ v 1 ( x) w 1 ( x) + v 2 ( x) w 2 ( x) ] 2Lip(g i ) v w for i {1,2}, x R n, og v,w C 0 b (Rn ). 2Lip(g) v w (3.12) Der fortsættes nu med konstruktionen af afbildningen, T : C 0 b (Rn ) C 0 b (Rn ). Vi antager nu, at g,h L ε, hvorved vi ønsker at vise, at v gh tilfredsstiller ligningen, (i), fra 2. Dette gøres, ved at udvide ligningen, (i), og der fås, at eller L + L v gh + g (I + v gh ) = L + h + v gh (L + h) L v gh + g (I + v gh ) h = v gh (L + h) Baseret på nedbrydningen af C 0 b (Rn ), deles den overstående ligning nu i to dele. Der fås da B v 1 gh + g 1 (I + v gh ) h 1 = v 1 gh (L + h) C v 2 gh + g 2 (I + v gh ) h 2 = v 2 gh (L + h) For overskuelighedens skyld sættes f L + h, hvilket, ifølge 1., er en homeomorfi. De to ovenstående ligninger skrives nu om som B v 1 gh f 1 + g 1 (I + v gh ) f 1 h 1 f 1 = v 1 gh C 1 [v 2 gh f g 2 (I + v gh ) + h 2 ] = v 2 gh Ses dette som en fikspunktsligning, T (v gh ) = v gh, hvor T : C 0 b (Rn ) C 0 b (Rn ), er en afbildning defineret ved T (v) = [ B v 1 f 1 + g 1 (I + v) f 1 h 1 f 1 C 1 [v 2 f g 2 (I + v) + h 2 ] ] I ovenstående notation er T (v) = (T (v) 1,T (v) 2 ) opdelt og skrevet som en søjlevektor. Der gælder, at hvis v C 0 b (Rn ), så er T (v) en kontinuert funktion. T (v) er også begrænset, hvilket ses, når regneregler for den ovennævnte norm bliver benyttet, T (v)( x) (m B + p C 1 ) v + ( 1 + p C 1 ) ( g + h ) 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 53

62 3.3 Lineariseringssætningen for alle x R n. Det vil sige, at T (v) C 0 b (Rn ) for hvert v C 0 b (Rn ). Vi skal nu vise, at T er en sammentrækning. Til at vise dette antages det, at v,w C 0 b (Rn ) og x R n. Endvidere sættes y = f 1 ( x) og z = f ( x). Ved brug af ulighed (3.12) fås følgende ulighed for den første komponent i delingen af T (v)( x) T (w)( x) T (v) 1 ( x) T (w) 1 ( x) B[v 1 ( y) w 1 ( y)] + g 1 ( y + v( y)) g 1 ( y + w( y)) m B v 1 ( y) w 1 ( y) + 2Lip(g) v w m B v w + 2Lip(g) v w (a + 2ε) v w c v w På lignende måde fås den anden komponent i delingen, således at T (v) 2 ( x) T (w) 2 ( x) p C 1 [ v 2 ( z) w 2 ( z)] + g 2 ( x + v( x)) g 2 ( x + w( x)) ] +p C 1 [ v w + 2Lip(g) v w ] a(1 + 2ε) v w = (a + 2aε) v w c v w Tages der nu supremum over alle x R n i de to ovenstående uligheder, og bruges definitionen af normen på C 0 b (Rn ), fås T (v) T (w) c v w Dette gælder for alle v,w C 0 b (Rn ), og siden c < 1 fås, at T er en sammentrækning. Dermed eksisterer der et entydigt v gh C 0 b (Rn ), sådan at T (v gh ) = v gh, hvorved 2. er bevist. 3. Vi antager nu, at g,h,k L ε. Påstanden i 2. siger, at hvis H : R n R n er en kontinuert afbildning, der opfylder, at (L + g) H = H (L + h), og hvor H I er begrænset, så er H I = v gh. Vi vil bruge dette i det følgende. Vi sætter P gh = I + v gh Herefter dannes størrelsen P hk på lignende måde. Det ses så, at Yderligere er (L + g) P gh P hk = P gh (L + h) P hk = P gh P hk (L + k) Analyse af ikke-lineære differentialligninger

63 3.3 Lineariseringssætningen P gh P hk I = (I + v gh ) (I + v hk ) I = v hk + v gh (I + v hk ) begrænset og kontinuert. Ud fra det ovenstående fås P gh P hk I = v gk Dette gælder for alle g,h,k L ε. Det kan nu ses, at v gg = 0 for alle g L ε, og fra den sidste ovenstående ligning fås P gh P hg = I og P hg P gh = I Dette viser, at P gh er en bijektion, og at den har et invers Pgh 1 homeomorfi, hvilket beviser 3. = P hg. Dermed er I + v gh en De forudgående lemmaer og sætninger gør os nu i stand til at bevise selve lineariseringssætningen. Vi har valgt specifikt at præsentere Hartman-Grobman lineariseringssætning, som følger herunder Sætning Hartman-Grobman lineariseringssætning Antag, at X : Q R n er et C 1 vektorfelt, og at begyndelsespunktet, 0 Q, er et hyperbolsk ligevægtspunkt af X. Lad A = X ( 0), hvor vi antager, at A er normal. Så er der en omegn, U Q, af 0, et C 1 vektorfelt, X : R n R n, hvilket er Lipschitz på R n, og en homeomorfi, f : R n R n, således at 1. X = X på U 2. Flowet, φ : R R n R n, for X opfylder, at φ t ( x) = f 1 (e At f ( x)) for alle x R n og for alle t R. Heraf følger det, at systemet, x = X( x), begrænset til omegnen af U, er topologisk ækvivalent med det lineære system, y = A y, begrænset til f (U). [Betounes, 2000, s.628] Til at bevise denne sætning vil spektralsætningen blive brugt. Da A er normal gælder der, ifølge spektralsætningen, 6.10, fra bilag A, at R n har en ortonormal basis, se bilag A definition 6.9, bestående af egenvektorer til A. Først skal der vises, at 1. og 2. gælder under de givne forudsætninger. Når der er redegjort for disse udsagn, skal den topologiske ækvivalens vises. Bevis. Vi har antaget, i sætningen, at A er normal, hvorved det er muligt at bestemme en diagonalmatrix bestående af egenvektorer til A. Vi vil først bevise sætningen for det tilfælde, 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 55

64 3.3 Lineariseringssætningen hvor A er en diagonalmatrix opdelt efter negative og positive egenværdier. Vi antager derfor, at A har formen [ ] J 1 0 A = 0 J 2 hvor J 1 er en m m diagonalmatrix med alle dets egenværdier som negative realdele, og J 2 er en p p diagonalmatrix med alle egenværdierne som positive realdele. Fastsæt nu en periode, τ > 0, og lad da L = e τa = [ e τj e τj 2 ] = [ B 0 0 C Vi sætter nu a max{m B, p C 1 } < 1, hvorved der nu kan vælges et c, således at a < c < 1. Lad yderligere ε = 1 } {a 2 min c c, n L 1 Vi bruger nu sætning 3.9, med disse værdier for τ og ε, for at opnå vektorfeltet X og omegnen B(0,b) med egenskaberne fra denne sætning. Flowet af X har formen, φ t ( x) = e At x + g t ( x), for x R n og for t R. Der gælder da specielt med t = τ, ud fra 3.9, at φ τ ( x) = e Aτ x + g τ ( x) og ud fra valget af konstanterne fås, at g τ L ε, med L e Aτ. Ud fra sætning 3.10 kan vi nu sætte g = g τ, h = 0 og opgive et entydigt, v C 0 b (Rn ), således, at 3.10, (i) giver φ τ (I + v) = (I + v) e Aτ (3.13) Da ved vi, ud fra sætning 3.10, 3., at H I + v er en homeomorfi af R n. Vi sætter nu r = b 2 og ønsker at bevise, at f = H 1 er den ønskede homeomorfi. Vi vil derfor vise, at (3.13) gælder for enhvert t R og ikke kun for tiden τ. Vi antager derfor, at t R, og lader w φ t (I + v) e ta I (3.14) = φ t (e ta + v e ta ) I = (g t + e ta ) (e ta + v e ta ) I = g t (e ta + v e ta ) + e ta v e ta (3.15) Ud fra definitionen af w, i (3.14), ses at w = v, hvis og kun hvis φ t (I + v) e ta = I + v hvilket vi præcist skal bruge til at vise, at w = v. Da g t og v er begrænsede kontinuerte funktioner, viser ligning (3.15), at w også er begrænset og kontinuert. Yderligere har vi, ud ] Analyse af ikke-lineære differentialligninger

65 3.3 Lineariseringssætningen fra (3.14), at φ τ (I + w) e τa = φ τ φ t (I + v) e ta e τa = φ t φ τ (I + v) e τa e ta = φ t (I + v) e ta = I + w Vi har defineret v, i (3.13), til at være en entydig, begrænset, kontinuert afbildning, således at φ τ (I + v) e τa = I + v, hvorved det heraf ses, at w = v. Vi har nu vist, at med H = I + v, gælder der, at φ t H = H e ta (3.16) på R n for alle t R. Sætter vi nu f = H 1 ind i (3.16), opnås det ønskede resultat φ t ( x) = f 1 (e At f ( x)) (3.17) for alle x R n og for alle t R. Derved har vi nu bevist del 1. og 2. af Hartman-Grobman lineariseringssætning for det tilfælde, hvor A er opdelt efter negative og positive egenværdier. For at bevise sætningen i det generelle tilfælde skal vi bruge den invertible matrix, P, således at [ ] P 1 J 1 0 AP = J = 0 J 2 hvor J er en ombytning af A sådan, at alle egenværdier med negative realdele kommer først. Vi bruger nu P til at definere et vektorfelt, Y, på Q P 1 Q, ved Y ( y) = P 1 X(P y) Da Y ( 0) = 0 og Y ( 0) = J, kan vi gentage den første del af det ovenstående bevis på Y. Der findes derfor et vektorfelt, Ỹ : R n R n, en homeomorfi, F : R n R n, og et r > 0, således at (1) Ỹ = Y på B(0,r), (2) Flowet, ψ : R R n R n, for X opfylder, at for alle y R n og alle t R. ψ t ( y) = F 1 (e Jt F( y)) (3.18) Vi lader nu X = P Ỹ P 1 og f = P F P 1 Ud fra flowegenskaberne og topologisk ækvivalens gælder der, at φ t = f ψ t f 1 (3.19) 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 57

66 3.3 Lineariseringssætningen [Betounes, 2000, s.273] Heraf ses, ud fra (3.19) og ligning (3.18), at flowet, φ for X, opfylder, at φ t ( x) = P ψ t (P 1 x) = PF 1 ( e tj F(P 1 x) ) = PF 1 ( P 1 e ta PF(P 1 x) ) = f 1 ( e ta f ( x) ) for alle x R n og alle t R. Heraf ses det også, at X( x) = X( x) for alle x i U P(B(0,r)), ifølge sætning 3.9. Dette beviser, at del 1. og 2. i sætningen holder i det generelle tilfælde. Vi vil nu vise den topologiske ækvivalens af det begrænsede system. Antag først, at α : J U opfylder, at α (t) = X(α(t)) for alle t J. Vi kan antage, at 0 J, og lader nu x = α(0). Da α ligger i U, og da X = X, har vi også, at α (t) = X(α(t)), for alle t J. Heraf ses, at α(t) = φ t ( x), ifølge sætning 3.9, for alle t J. Ud fra 2. i sætningen har vi nu, at f (α(t)) = f ( φ t ( x)) = e ta f ( x) Heraf ses, at f α er en integralkurve til systemet, y = A y, begrænset af f (U). Antag nu, at β : J f (U) opfylder, at β (t) = Aβ(t) for alle t J. Vi lader y = β(0). Så er β(t) = e ta y for alle t J og, ud fra ligning (3.13), har vi, at f 1 (β(t)) = f 1 (e ta y) = φ t ( f 1 ( y)) for alle t J. Heraf er f 1 β en integralkurve til systemet, x = X( x), begrænset til U. Ligeledes er f 1 β også en integralkurve til systemet, x = X( x), begrænset til U. Vi kan derfor konkludere, at det er muligt at linearisere det ikke-lineære system og skabe en topologisk ækvivalens imellem det ikke-lineære og lineariserede system. Derfor vil vi nu prøve at linearisere det udvidede SIR-system. Vi vil undersøge det lineariserede system i det hyperbolske ligevægtspunkt, (S l (t),i l (t)) = ( N r a, hn ) a. Ud fra Jacobimatricen får vi da, at ( N DF r a, hn ) [ a,0 = r hn a N r hn a N r an r N r an r N a Herudaf får vi, at det lineariserede SIR-system, (S η,i η), bliver ] [ ] r h = a a r h a 0 S η = r h a S η ai η I η = r h a S η (3.20) Ved hjælp af linearisering, er det nu muligt at afbilde et faseportræt for at undersøge løsningernes opførsel. I det følgende vil der dog først blive redegjort for stabiliteten af ligevægtspunkter Analyse af ikke-lineære differentialligninger

67 3.4 Stabilitetsanalyse 3.4 Stabilitetsanalyse Et differentialligningssystem lineariseres ved at finde dets egenværdier. Ud fra dette kan der laves et faseportræt, og stabilitet kan anvendes til at udtale sig om de specifikke ligevægtspunkter i systemet. For at forstå selve idéen bag stabilitetsanalyse tages der udgangspunkt i et pendul, som illustreret på figur 3.2. Hvis det tages i betragtning, at et pendul, der kan dreje hele vejen rundt, kan påvirkes af tyngdekraften, vil dette pendul have to stabilitetspunkter. Disse to stabilitetspunkter er markeret med en sort prik på den førnævnte figur, og er stabilt og ustabilt henholdsvis for neden og for oven. Dette skal forstås således, at hvis pendulet er i det stabile ligevægtspunkt nederst på figur 3.2, så vil det altid søge tilbage til dette punkt, hvis det bliver skubbet væk. Pendulet vil derimod aldrig søge tilbage til det øverste ligevægtspunkt, hvis der bliver skubbet til det, hvilket ligger til grund for at kalde det ustabilt. Den sidste form for stabilitet er, hvis et punkt er asymptotisk stabilt. Der vil igen blive taget udgangspunkt i det stabile punkt på figur 3.2. Man skal nu tage højde for friktion i systemet og igen forestille sig, at der bliver skubbet til pendulet. Det vil bevæge sig frem og tilbage over pendulets udgangsposition, men på grund af friktionen vil udslagslængden hele tiden blive mindre og mindre for til sidst, at pendulet går i stå. Dette vil i teorien tage uendeligt lang tid. Her er den store forskel rent fysisk, at ved et stabilt punkt, ville pendulet fastholde den samme udslagslængde for evigt. Figur Stabilitet Til at starte med vil vi snakke om stabilitet i punkter, og derefter vil der følge et afsnit om stabilitet i systemer. Som tidligere nævnt kan man snakke om et stabilt eller ustabilt ligevægtspunkt. Et ligevægtspunkt siges at være ustabilt, hvis det hverken er stabilt eller asymptotisk stabilt. Definitioner på stabile og asymptotisk stabile punkter følger herunder. Først et stabilt punkt 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 59

68 3.4 Stabilitetsanalyse Definition Et ligevægtspunkt, c, til systemet, x (t) = f ( x), kaldes stabilt, hvis der til ethvert tal, ε > 0, findes et tal, δ > 0, sådan at hvor x(t) er løsningen til systemet. x(0) c < δ x(t) c < ε, for t 0 [Andersson & Böiers, 1992,s.260] Et ligevægtspunkt siges altså at være stabilt, hvis alle nærliggende løsninger bliver ved med at være nære i ubestemt tid. Det kan dog ikke lade sig gøre at bestemme de eksakte løsninger, men approksimationen af punkterne kan udregnes Definition Et ligevægtspunkt, x, kaldes asymptotisk stabilt, hvis det er stabilt, og tallet δ kan vælges sådan, at x(0) c < δ lim x(t) = c t hvor x(t) er løsningen til systemet. [Andersson & Böiers, 1992,s.260] Herudover gælder der nogle få ting om stabilitet i ligevægtspunkter. Der findes to generelle former for stabile punkter, et asymptotisk stabilt punkt, samt et stabilt punkt. Det kan desuden nævnes, at sadelpunkter er ustabile ligevægtspunkter. Der kan gives et eksempel på et punkt, der er stabilt, men ikke asymptotisk stabilt. Her er der tale om origo i R 2 for en lineær ligning x = Ax, hvor A kun har imaginære egenværdier. Her skal man dog lægge mærke til, at den mindste permutation, lineær eller ikke-lineær, kan ændre punktets karakter og gøre det asymptotisk stabilt eller ustabilt. [Hirsch et al., 2004,s ] Stabile systemer Der er, ligesom med ligevægtspunkter, to former for stabile systemer. Der gælder for disse, at et homogent lineært system kaldes stabilt, hvis alle løsninger er begrænsede, når t 0. Et homogent lineært system, x (t) = Ax(t), kaldes derimod asymptotisk stabilt, hvis alle løsninger i systemet går mod nul, når t. De to næste sætninger forklarer, hvad den generelle løsning til x (t) = Ax(t) er for stabile systemer og asymptotisk stabile systemer Analyse af ikke-lineære differentialligninger

69 3.4 Stabilitetsanalyse Sætning Det antages, at v 1,...,v n er en basis med egenværdier til matricen, A. Ligeledes er λ 1,...λ n også egenværdier til matricen, A. Den generelle løsning til x (t) = Ax kan så skrives som hvor c 1,...,c n er konstanter. x(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v c n e λ nt v n [Andersson & Böiers, 1992,s.103] Bevis. Den generelle løsning er x(t) = e ta c, hvor c er en konstant vektor, det vil sige, at c = c 1. c n. Da A er diagonaliserbar, gælder der, at A = PDP 1, hvor D er diagonalmatricen med egenværdier som diagonalelementer x(t) = Pe td P 1 c Herefter sættes P 1 c = pc 1. pc n. Der fås derfor, at v 11 v v n1 e λ 1t... 0 pc 1 v x(t) = 12 v v n = e λ nt pc n v 1n v 2n... v nn = v 11 v v n1 v 12 v v n2.... v 1n v 2n... v nn pc 1 e λ 1t. pc n e λ nt Efter multiplikation får vi, at x(t) = pc 1 e λ 1t v 1 + pc 2 e λ 2t v n pc n e λ nt v n, hvor pc 1,..., pc n er konstanter. Som følge af sætning 3.14 kan vi, for asymptotisk stabile systemer, se, at der gælder Sætning Hvis alle egenværdierne til matricen, A, har en negativ realdel, så er systemet, x (t) = Ax(t), asymptotisk stabilt, og omvendt. [Andersson & Böiers, 1992,s.106] 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 61

70 3.4 Stabilitetsanalyse Bevis. Da matricen, A, er diagonaliserbar, følger det af sætning 3.14, at e λt = e (Reλ)t 0 når t Reλ < 0 Ved det generelle tilfælde består løsningen af termerne, t t e λt, men dette forandrer intet. Inden stabiliteten af den udvidede SIR-models ligevægtspunkter bestemmes, vil faseportrætter af lineære systemer blive gennemgået, idet disse fortæller om løsningernes opførsel i forhold til et systems egenværdier Faseportræt af lineære systemer Som tidligere beskrevet kan der gives en idé til, hvorledes en løsning til et ikke-lineært system kan se ud. Dette kan gøres ved at se på et faseportræt for det lineære system af formen, x (t) = A x(t), med lignende ligevægtspunkter. Typerne af faseportrætter deles op efter egenværdierne til matricen, A. Der gælder her, at A kan have ene reelle egenværdier, A kan have imaginære egenværdier, eller A kan have gentagende egenværdier. Vi vil i det følgende kun kigge på det andet tilfælde. Dette er det eneste relevante tilfælde for SIR-modellen, idet egenværdierne ikke kan blive reelle her. Årsagen hertil forklares senere. Antages det, at A har reelle elementer, gælder der, at er λ en egenværdi, er λ også en egenværdi. Derudover gælder der, at har karakterligningen reelle koefficienter, så er v egenvektor til egenværdien, λ, og v er egenvektor til λ, da A v = λ v A v = λ v A v = λ v Idet λ ikke er reel, så er v og v lineært uafhængige, idet de er egenvektorer til forskellige egenværdier. Da A har reelle elementer, får systemet, x (t) = A(t) x(t), reelle løsninger. Samtidig gælder der for reelle A, at hvis x(t) er en kompleks løsning, så er x Re (t) og x Im (t) også løsninger. Hvis λ = α + iβ er en kompleks egenværdi, er v = u + i w den tilsvarende komplekse egenvektor, og x(t) = e λt v. Da ser løsningerne til systemet ud som følgende Re e λt v = e αt v((cosβt) u (sinβt) w) Im e λt v = e αt v((sinβt) u + (cosβt) w) Den generelle løsning til x(t) er en linearkombination af de to ovenstående ligninger. I tilfældet hvor α = 0, er løsningsbanerne cirkler omkring origo. Origo er hermed stabilt, men ikke et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt. Dette kaldes centrum, se figur 3.3. Hvis α 0, er løsningsbanerne spiraler omkring origo. Spiralerne går mod origo for α < 0, mens spiralerne går væk fra origo for α > 0. For de to tilfælde, se figur 3.4. I tilfælde hvor vektorerne, u og w, er negativt orienterede, fås et spejlvendt billede. [Andersson & Böiers, 1992, s.105, s ] Analyse af ikke-lineære differentialligninger

71 3.4 Stabilitetsanalyse Figur 3.3: Løsningsbaner for tilfældet α = 0, kaldet centrum [Andersson & Böiers, 1992, s.265] Figur 3.4: Til venstre ses løsningsbanerne for α < 0, som er en stabil spiral, mens løsningsbanerne til højre er hvor α > 0, som er en ustabil spiral [Andersson & Böiers, 1992, s.265] I følgende sætning begrundes de foregående overvejelser omkring α s betydning Sætning Betragt det lineære system, x (t) = A x(t), og antag, at matricen, A, har to imaginære egenværdier, hvor λ = α ± iβ. Da er der tre tilfælde at undersøge (1) α < 0, som giver en stabil spiral (2) α = 0, som giver centrum (3) α > 0, som giver en ustabil spiral [Hirsch et al., 2004, s.44] Bevis. Først vil tilfælde (2) blive bevist, hvor α = 0. Antag x (t) = A x(t), hvor matricen, A, er givet ved A = ( 0 β β 0 hvor β 0. Den karakteristiske ligning for matricen bliver da λ 2 +β 2 = 0, og egenværdierne for matricen bliver de imaginære tal ±iβ. Der ses ved udregningen af egenvektorerne, at disse vil blive komplekse. Vi skal derved løse ( λ β )( β λ x y ) = ( iβ β ) )( β iβ 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 63 x y ) = ( 0 0 )

72 3.4 Stabilitetsanalyse eller ligningen iβx = βy. Derved findes egenvektoren ( 1 i ), og herved fås funktionen x(t) = e iβt ( 1 i ) som er en kompleks løsning til systemet, x (t) = A x(t). Denne løsning er mulig at skrive om ved hjælp af Eulers formel, som siger e iβt = cosβt + isinβt Bruges dette, er det muligt at omskrive den komplekse løsning til x(t) = ( cosβt + isinβt i(cosβt + isinβt) ) = ( cosβt + isinβt sinβt + icosβt Det er herved muligt at splitte løsningen, x(t), op i en real- og en imaginærdel, hvilket giver, at x(t) = x Re (t) + i x Im (t) ) hvor der gælder, at x Re (t) = ( cosβt sinβt ) og x Im (t) = ( sinβt cosβt ) Herved haves der nu to reelle løsninger til det oprindelige system, hvilket ses ved følgende x Re(t) + x Im(t) = x (t) = A x(t) = A( x Re (t) + i x Im (t)) = A x Re (t) + ia x Im (t) Deles ligningen op i en real- og en imaginærdel, fås der, at x Re (t) = A x Re(t), samt x Im (t) = A x Im (t), som begge er løsninger. Det ses derudover, at x Re (0) = ( 1 0 ), x Im (0) = og derved bliver linearkombinationen af disse løsninger ( x(t) = c 1 x Re (t) + c 2 x Im (t) hvor c 1 og c 2 er konstanter, som kan give en løsning til ethvert begyndelsesværdiproblem. For at vise, at denne løsning er den eneste til ligningen, antages det, at dette ikke er tilfældet. 0 1 ) Analyse af ikke-lineære differentialligninger

73 3.4 Stabilitetsanalyse Der findes da en anden løsning y(t) = ( u(t) v(t) ) Der ses herefter på den komplekse funktion, f (t) = (u(t) + iv(t))e iβt. Differentieres dette udtryk, får vi, at f (t) = (u (t) + iv (t))e iβt + (u(t) + iv(t))iβe iβt. Bruges det nu, at y(t) er løsning til ligningen, således f (t) = 0, fås derved, ved hjælp Eulers formel, at (u (t) + iv (t))e iβt = iβ(u(t) + iv(t))(cosβt + isinβt) = iβ(u(t)cosβt + iu(t)sinβt + iv(t)cosβt v(t)sinβt) Herved ses det, at løsningen, y(t), er en linearkombination af x Re (t) og x Im (t). Det skal bemærkes, at enhver af disse løsninger er en periodisk funktion, hvor perioden er 2π β. Det giver, at løsningerne ligger som cirkler omkring origo, hvor cirklerne går med uret, når β > 0, og mod uret, når β < 0. Vi vil nu bevise tilfældene (1) og (3), hvor α 0. Dette gøres under samme punkt, idet beviserne er ens. Det antages, at x (t) = A x(t), hvor matricen, A, er givet ved A = ( α β ) β α hvor α,β 0. Den karakteristiske ligning bliver da λ 2 2αλ + α 2 + β 2, og derved bliver egenværdierne λ = α ± iβ. En egenvektor til egenværdien, α + iβ, bestemmes ( ) ud fra ligningen, (α (α + iβ))x + βy = 0. Derved bliver egenvektoren igen 1 i. Der kommer herved en kompleks løsning på formen x(t) = e (α+iβ)t ( = e αt ( 1 i ) cosβt sinβt = x Re (t) + i x Im (t) ) + ie αt ( sinβt cosβt Som før er både x Re (t) og x Im (t) reelle løsninger til systemet, hvis begyndelsesværdierne er lineært uafhængige. Den generelle løsning til et system af denne form er derved x(t) = c 1 e αt ( cosβt sinβt ) + c 2 e αt ( sinβt cosβt Hvis ikke faktoren, e αt, optræder i løsningen, haves en løsning for tilfælde (2). Faktoren gør her, at løsningerne for et system går som spiraler mod origo i tilfælde (1) og som spiraler fra origo i tilfælde (3). ) ) 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 65

74 3.4 Stabilitetsanalyse [Hirsch et al., 2004, s.44-47] Det er nu muligt at undersøge faseportrættet for den lineariserede SIR-model og herved bestemme stabiliteten af ligevægtspunktet Lineært faseportræt af den udvidede SIR-model Følgende er afbildet en figur med faseportrættet til det lineære system af den udvidede SIRmodel. Til faseportrættet, figur 3.5, er konstanterne med værdierne r = 0, 3; h = 0, 051 og a = 0, 15 benyttet. Desuden er begyndelsesværdiproblemet, (3.5), fra faseportrættet til det ikke-lineære system, genbrugt. Tiden gennemløbes fra t 0 = 0 til t = 100 dage. Vi får da et faseportræt centreret omkring origo. Figur 3.5: Faseportræt af linearisering af den udvidede SIR-model Det kan bemærkes, at den lodrette akse repræsenterer S η (t), mens den vandrette akse repræsenterer I η (t). Dette er årsagen til, at spiralen ikke umiddelbart ligner spiralen fra figur 3.1 fra side 42, hvilket den bør gøre indenfor et passende interval omkring ligevægtspunktet. Til at vurdere faseportrættet for det lineariserede system, x (t) = A x(t), skal egenværdierne i matricen, A, undersøges. Ud fra (3.20) fra side 58 fås systemet x (t) = [ rh a rh a 0 hvori egenværdierne fastsættes ved r h a λ a (( r λ = ha ) ( λ ( λ) + a r h )) = (λ 2 + λr ha ) a + rh r h a Analyse af ikke-lineære differentialligninger a ]( S η I η )

75 3.4 Stabilitetsanalyse Heraf ses, at egenværdierne bliver de samme som ved analysen af det ikke-lineære system, afsnit 3.2, altså rh 2a λ = r 2 h 2 4rh a 2 (3.21) rh 2a 1 2 r 2 h 2 4rh a 2 For nu at vurdere om egenværdierne er reelle eller imaginære, må vi tage højde for betingelserne til den udvidede SIR-model. Fra afsnit vides, at der om konstanterne, r, a og h, må gælde følgende; r > a > h. Undersøges (3.21), sættes det primære fokus på kvadratroden, da det er denne, som afgør, om egenværdierne er reelle eller imaginære. Der skal opnås negativitet for at opnå imaginære egenværdier og altså en positivitet for reelle værdier. r 2 h2 4rh (3.22) a2 Ved først at se på kvadraterne i brøken kan man overbevise sig om, at en lille værdi divideret med en større værdi vil blive endnu mindre. Så længe værdierne er mindre end én vil den første delværdi kun blive mindre. Ud fra multiplicitetens egenskab vides at værdien, r, skal være større end fire for at opnå en positiv værdi i (3.22). r repræsenterer imidlertid befolkningsmængden i procent, og da man kun kan lave beregninger for 100 procent af befolkningen for, at den udvidede SIR-model giver mening, vil det være irrelevant at have et r større end en. Dette resulterer i imaginære egenværdier. Derfor er det irrelevant at se på de reelle egenværdier da chancen for, at de opstår, ikke er tilstede, såfremt konstanterne lever op til modellens betingelser. En imaginær egenværdi, λ = α + iβ, skaber enten et faseportræt i cirkler eller spiraler som tidligere nævnt. Såfremt r,a,h 0, vil der opnås en værdi af α. I den udvidede SIR-model vil dette altid være tilfældet, da h skal være større end nul for, at en befolkningsudvikling kan finde sted. Med det givne begyndelsesværdiproblem, (3.5), fås ved beregning, at egenværdierne har en værdi på cirka λ = { 0, ,1127i 0,0510 0,1127i Heraf ses, at faseportrættet er afbildet som en spiral, hvilken kan bekræftes på figur 3.5. Da α ligeledes er negativ, går spiralerne mod centrum, hvilket betyder, at det er en stabil spiral. Dette kan også ses på de retningsafledede pile på faseportrættet. Om faseportrættet af den lineariserede udgave af det udvidede SIR-system, kan vi konkludere, at det skaber en stabil spiral med retning mod origo. Idet spiralen er indadgående og derved stabil, samt begge egenværdier har negativ realdel, gælder der, ifølge definition 3.13 og sætning 3.15 henholdsvis, at ligevægtspunktet er asymptotisk stabilt og at systemet er asymptotisk stabilt. 3. Analyse af ikke-lineære differentialligninger 67

76 KAPITEL 4 APPROKSIMATION AF LØSNING I dette kapitel ses der på approksimation af løsning til differentialligninger, idet det oftest ikke vil være muligt at finde en eksakt løsning. Der vil først blive beskrevet numeriske metoder til løsning af differentialligninger. Sidst i kapitlet vil der blive lavet en approksimation til løsningen af SIR-modellen. 4.1 Numeriske approksimationer I dette afsnit vil der blive set på numeriske løsninger til differentialligninger. Der vil blive præsenteret fire metoder, der bruges til at give en approksimativ løsning til en differentialligning. Disse fire metoder har forskellig præcisionsgrad, og det er derfor muligt at vælge mellem disse metoder, alt efter hvor tæt man ønsker at være på den eksakte løsning. Det kan i nogle tilfælde være at foretrække; en simpel metode med mindre præcisionsgrad, fremfor en mere kompliceret metode, hvor præcisionsgraden er stor, hvis der kun ønskes en tilnærmelse af den eksakte værdi. I beskrivelsen af disse numeriske metoder vil notationen, O, blive brugt, denne er defineret ved Definition 4.1. Lad f og g være funktioner fra R R. Da siges f (x) at være O(g(x)), hvis der findes konstanter C og K, således f (x) C g(x) for x > K. Dette læses som f (x) er store O af g(x). [Rosen, 2007, s.180] 68

77 4.1 Numeriske approksimationer Eulers metode Den første metode til numerisk approksimation, der beskrives, er Eulers metode, idet denne er den simpleste. Denne metode beskæftiger sig med 1. ordens differentialligninger. Ved Eulers metode bruges tangentligningen til at give en approksimation af løsningen. Dette fungerer ved at tage tangentlinjen i et punkt og følge den over en kort afstand. Derved opnås der en approksimation af løsningen til en given differentialligning i det nærliggende punkt. Opskrives metoden algebraisk ved hjælp af Taylorpolynomiet, fås y 1 = y 0 + f (x 0,y 0 )h y 2 = y 1 + f (x 1,y 1 )h. y k+1 = y k + f (x k,y k )h Her gælder der, at skridtlængden, h = b a N, holdes fast. De to størrelser, a og b, er endepunkterne i intervallet, [a, b], som er det interval, hvor løsningen til differentialligningen ønskes fundet. Størrelsen, N, angiver det antal af delintervaller det store interval, [a, b], inddeles i. Det kan ud fra dette ses, at x k = x 0 + kh, hvor k {0,1,...,N}. Ved brugen af Eulers metode tages der udgangspunkt i et begyndelsesværdiproblem givet ved y (x) = f (x,y(x)) y(x 0 ) = y 0 (4.1) Den første approksimation bygger på dette begyndelsesværdiproblem, mens efterfølgende approksimationer beregnes ud fra de foregående, approksimerede punkter. Det kan heraf ses, at det, der ved den første approksimation, kan være en lille fejl, hurtigt kan resultere i en større fejl ved senere approksimationer. Der ses derfor på den lokale og den globale fejl ved Eulers metode. Den lokale fejl ved metoden er den fejl, der opstår når tangentligningen tages over en kort afstand, hvorved punktet ikke vil ligge på løsningskurven i det approksimerede punkt. Den lokale fejl bedømmes ud fra restledet i Taylors polynomium, som er defineret ved 1 R n = (n + 1)! yn+1 (ξ)(x x 0 ) (n+1), hvor ξ [x 0,x] Altså er resten givet ved det n + 1 te led i Taylorpolynomiet. I tilfældet med Eulers metode er det det andet led, og der fås R 1 = 1 2! y (ξ)(x 1 x 0 ) 2 = h2 2 y (ξ), idet h = x 1 x 0 Idet fejlen skal være positiv, kan der tages numerisk værdi, og der fås R 1 = h2 2 y (ξ) Mh 2 4. Approksimation af løsning 69

78 4.1 Numeriske approksimationer Her gælder der, at M er den største værdi ledet, y (ξ) 2, kan antage, med ξ [x 0,x 1 ]. Herudfra ses det, at den lokale fejl ved Eulers metode er givet ved O(h 2 ). Den globale fejl i Eulers metode er fejlen, der fremkommer ved, at den lokale fejl ikke nødvendigvis beregner på den korrekte løsningskurve, altså der beregnes på det forkerte udgangspunkt. Derved afhænger den globale fejl af antallet af intervaller, idet denne vil blive antallet af delintervaller, N, multipliceret med den lokale fejl. Den globale fejl bliver derved NMh 2 = M(b a)h Herved ses, at den globale fejl for Eulers metode er givet ved O(h). [Turner, 2000, s ] Runge-Kutta I det følgende vil den numeriske metode, Runge-Kutta, blive forklaret, hvor der først ses på metoder af 2. orden og derefter en metode af 4. orden. Tanken bag Runge-Kutta metoden er ikke kun at se på de to yderpunkter, x k og x k+1, i et delinterval, men også at se på punkter mellem disse, når der skal beregnes en approksimation af løsningen til en differentialligning. Runge-Kutta metoder af 2. orden Runge-Kutta metoderne af 2. orden udledes fra Taylorpolynomiet af 2. grad. Der tages, som ved Eulers metode, udgangspunkt i et begyndelsesværdiproblem, (4.1). Det er muligt at approksimere værdien for y i x 1 ved hjælp af Taylorpolynomiet, der har x 0 som udviklingspunkt. Sættes en skridtlængde, h, ind i Taylorpolynomiet af 2. grad, fås y(x 1 ) y 0 + y 0h + y h Her er h defineret ligesom ved Eulers metode, således at h = b a N. Her er [a,b] det interval, hvorpå der ønskes at finde en løsning til differentialligningen, og N er antallet af delintervaller, som [a,b] inddeles i. En approksimeret værdi af y i x 1, kaldet y 1, vil derved være defineret ved y 1 = y 0 + f (x 0,y 0 ) + h2 N f (x 0,y 0 ) (4.2) Idet y (x) ikke kendes, er det nødvendigt at lave en approksimation af denne størrelse. Lades k 1 betegne størrelsen, y 0 = f (x 0,y 0 ), og lades α [0,1] være en konstant, og ses der herefter på et Eulerskridt af længden αh, fås y(x 0 + αh) y 0 + αhk Approksimation af løsning

79 4.1 Numeriske approksimationer Lader vi derefter k 2 være hældningen i punktet, (x 0 + αh,y 0 + αhk 1 ), således k 2 = f (x 0 + αh,y 0 + αhk 1 ), er det muligt at give en approksimation til y (x) ved Dette giver, at y (x) y (x 0 + αh) y (x 0 ) αh h f (x 0 + α,y 0 + αhk 1 ) f (x 0,y 0 ) αh = k 2 k 1 αh Indsættes approksimationen i (4.2), fås y 1 = y 0 + hk 1 + h2 2 f (x 0,y 0 ) k 2 k 1 αh k 2 k 1 αh ( = y 0 + h (k ) + k ) 2 2α 2α Denne formel for Runge-Kutta metoder af 2. orden kan generaliseres ved at lade k 1 og k 2 betegne følgende k 1 = f (x n,y n ) k 2 = f (x n + αh,y n + αhk 1 ) Den generelle formel for Runge-Kutta bliver derved ( y n+1 = y n + h (k ) + k ) 2 2α 2α Det er ud fra dette muligt at se, at forskellen ved Runge-Kutta metoderne af 2. orden er valget af α. I det følgende vil de metoder med de mest brugte α er blive beskrevet. Der ses først på metoden kaldet Korrigeret Euler, hvor α = 1 2. Ved den metode forsvinder ledet med k 1, idet y n+1 = y n + h (k 1 ( hvor k 2 = f (x n + h 2,y n + hk 1 2 ) ) + k ) ( = y n + h k 1 (1 1) + k ) 2 = y n + hk 2 1 Dette giver, at approksimationen af y n+1 bygger på hældningen i midtpunktet mellem de to punkter x n og x n+1. Efter hældningen, k 2, er beregnet i midtpunktet, tages der igen udgangspunkt i startpunktet, x n, hvorefter der med hældningen, k 2, beregnes en approksimation af værdien, y n+1, i x n+1. Det ses, at dette giver en større præcision end ved Eulers metode, hvor det er hældningen i x n der bruges. Der vil nu blive set på metoden Modificeret Euler, hvor α = 1. Ligningen for y n+1 bli- 4. Approksimation af løsning 71

80 4.1 Numeriske approksimationer ver derved y n+1 = y n + h ( (k ) + k ) ( 2 = y n + h (k ) + k ) 2 = y n + h (k 1 + k 2 ) Her gælder der, at k 2 = f (x n + h,y n + hk 1 ). Approksimationen af y n+1 bygger derved på at tage den gennemsnitlige hældning mellem x n og x n+1. Her tages hældningen, k 1, ud til x n+1, hvor hældningen, k 2, beregnes. Herefter tages der igen udgangspunkt i x n, og en approksimation til y n+1 laves ved hjælp af den gennemsnitlige værdi af de to hældninger. Den modificerede Euler bruger derved både hældningen, k 1, i x n og hældningen, k 2, i x n+1, mens Eulers metode kun bruger hældningen, k 1. Det er derfor at forvente, at den modificerede Euler giver en bedre approksimation. Fejlen ved de beskrevne Runge-Kutta metoder af 2. orden er, som ved Eulers metode, delt op i den lokale og den globale fejl. Den lokale fejl ved begge metoder er, som den lokale i Eulers metode, givet ved Taylorpolynomiets restled. Idet der her arbejdes med et Taylorpolynomium, hvor n = 2, er restledet givet ved n + 1 = 3 R 2 = h3 y (3) (ξ) Mh 3 3! Her gælder der, at M er den største værdi ledet, y(3) (ξ) 3!, kan antage, med ξ [x 0,x 1 ]. Herudfra ses det, at den lokale fejl ved Eulers metode er givet ved O(h 3 ). Det ses ud fra dette, at fejlen for Runge-Kutta metoder er mindre end fejlen for Eulers metode, idet 0 < h < 1. Den globale fejl for Runge-Kutta metoderne af 2.orden bliver herved NMh 3 = M(b a)h 2 Det ses, at den globale fejl, som i Eulers metode, er større end den lokale, idet den globale fejl er givet ved O(h 2 ), hvilket er grunden til disse metoder er af 2. orden. [Turner, 2000, s ] Runge-Kutta metoder af 4. orden Som den sidste, numeriske metode vil vi beskrive en Runge-Kutta metode af 4. orden, som ofte kaldes RK4. Denne metode har den største præcisionsgrad af de beskrevne, idet denne bygger på Taylorpolynomiet af 4. grad. Dette giver, at restledet, der bruges til at beregne fejlen, bliver det n + 1 te led, hvilket vil sige det femte restled. RK4 er givet ved y n+1 = y n + h 6 [k 1 + 2(k 2 + k 3 ) + k 4 ] Approksimation af løsning

81 4.2 Approksimation af løsning til SIR-modellen Her gælder der, at k 1 = f (x n,y n ) k 2 = f (x n + h 2,y n + hk 1 2 ) k 3 = f (x n + h 2,y n + hk 2 2 ) k 4 = f (x n + h,y n + hk 3 ) Her er k 1 tangenten i punktet, x n, mens k 2 og k 3 begge er de approksimerede tangenter i midtpunktet, x n + h 2, og k 4 er en approksimation af tangenten i punktet, x n+1 = x n + h. Ved hjælp af dette er det muligt at approksimere en værdi af y n+1 i x n+1. Den lokale fejl ved RK4 er givet ved det n + 1 te led i Taylorpolynomiet, hvilket i dette tilfælde er det femte led R 4 = h5 y (5) (ξ) Mh 5 5! Her gælder der, at M er den største værdi ledet, y(5) (ξ) 5!, kan antage, med ξ [x 0,x 1 ]. Det fås derved, at den lokale fejl er givet ved O(h 5 ). Den globale fejl til RK4 bliver så NMh 5 = M(b a)h 4 hvilket giver en global fejl givet ved O(h 4 ). Dette gør metoden til en 4. ordens metode. [Turner, 2000, s ] 4.2 Approksimation af løsning til SIR-modellen Der er mulighed for at beregne en approksimeret løsning til SIR-modellen ved hjælp af både Euler- og Runge-Kutta approksimation. Vi vil dog kun anvende dette som et eksempel på løsning af den udvidede SIR-model, og vi har derfor valgt at anvende Runge-Kuttas 4. ordens approksimation til at finde en løsning. Vi har benyttet computerprogramet, Maple 11, til at approksimere funktionerne. Her tager vi udgangspunkt i det udvidede differentialligningssystem, (3.2) fra side 38, hvor t betegner tiden i dage. Som begyndelsesværdiproblem har vi benyttet (2.4) fra side 5. I bilag B ses selve proceduren fra maple; her kan det bemærkes, at r er mærket c, a er mærket d og h er mærket e. Vi har benyttet værdierne fra begyndelsesværdiproblemet og derudover valgt at sætte h = 0,051. Selve approksimationen er afbildet i tre plots. Det første, der kan ses på figur 4.1, er et plot i tre dimensioner, hvor t repræsenterer tiden, x1 repræsenterer S(t) og x2 repræsenterer I(t). Måden hvorpå funktionen er afbildet, er ved beregning af punkterne for hver dag ved hjælp af RK4, hvorefter en tilnærmet funktion er dannet herudaf. Figur 4.1 viser S(t) og I(t) s udvikling i forhold til hinanden og i forhold til tiden. Det ses blandt andet, at ved starttidspunktet for epidemiens udvikling, er en stor del af befolkningen raske. Efter dage er en stor del blevet syge, mens gruppen af raske er skrumpet ind. Den resterende del af befolkningen på dette tidspunkt er overgået til gruppen, R, altså de individer som har 4. Approksimation af løsning 73

82 4.2 Approksimation af løsning til SIR-modellen Figur 4.1 gennemlevet sygdommen. Denne gruppe er ikke afbildet på figuren, men ud fra (3.1) fra side 37, kan R altid vurderes ud fra mængden af S og I. Efter 50 dage begynder funktionen at flade ud, hvorefter mængden af S og I ikke ændres drastisk. Det andet plot, som ses på figur 4.2, er to-dimensionelt, hvor 1. aksen repræsenterer tiden, t, og 2. aksen repræsenterer S(t). Her er det tydeligt at se det præcise antal af individer i S til et givent tidspunkt, t. Ligeledes gælder det for figur 4.3, hvor det er I(t) som ses i forhold til tidens udvikling. Ud fra figurerne 4.2 og 4.3 er det muligt, til ethvert tidspunkt, at vurdere den approksimerede størrelse af R Approksimation af løsning

83 4.2 Approksimation af løsning til SIR-modellen Figur 4.2 Figur Approksimation af løsning 75

84 KAPITEL 5 DIFFERENTIALLIGNINGSTEORI ANVENDT PÅ SIR-MODELLEN Som afslutning på rapporten følger her en opsamling, hvorefter en kort konklusion fastsætter, hvad vi har opnået med dette projekt. 5.1 Opsamling Vi har under arbejdet med forståelsen af SIR-modellen, i løbet af dette semester, valgt at lave beregninger på den bearbejdede teori for at få en mere praktisk forståelse. Der er tale om fem forskellige områder, hvor der er lavet beregninger med SIR-modellen: Lipschitzbetingelser, maksimale løsninger, linearisering, stabilitetsanalyse og approksimative løsninger. Desuden er differentialligninger generelt blevet gennemarbejdet herunder eksistens og entydighed af løsninger. Følgende præsenteres en generel opsamling på de forskellige dele af rapporten. Under lineære differentialligninger redegøres for separable differentialligninger, differentialligninger af 1. orden og n te orden, samt 1. ordens differentialligningssystemer. Her i- blandt en omskrivning af n te ordens differentialligninger til 1. ordens systemer. Eksistensen af løsninger til differentialligninger er bevist i sætning 2.11 på side 15, hvor Picard iterationer er benyttet som grundlag hertil Den klassiske SIR-model I afsnittet, Lipschitzbetingelse, valgte vi at undersøge, hvorvidt SIR-modellen kunne opfylde en Lipschitzbetingelse. Med udgangspunkt i definition 2.9 på side 12 blev differentialligningssystemet undersøgt, blandt andet ved hjælp af ulighederne fra den euklidiske norm fra side 12. Selve idéen med at undersøge om SIR-modellen kunne opfylde en Lipschitzbetingelse var at finde ud af, om der var en løsning til systemet. Ud fra beregningerne i afsnittet kunne vi altså se, at der fandtes én eller flere løsninger til systemet. I maksimale løsninger ønskedes det at fastsætte det maksimale interval, hvorpå en løsning, 76

85 5.1 Opsamling x(t), var defineret i forhold til en given Lipschitzbetingelse. På SIR-modellen blev dette interval fastsat til at være ] β B, β B [ Den udvidede SIR-model Herefter blev der i rapporten lavet en udvidelse af SIR-modellen. Denne indebar, at mennesker nu fødtes og kunne dø af andre årsager end den sygdom, der blev undersøgt, og der blev altså taget højde for en eventuel populationsudvidelse. Differentialligningssystemet havde blandt andet fået tilføjet en ekstra konstant, som blev anvendt gennem resten af rapporten. I afsnittet om linearisering blev der arbejdet med SIR-modellen indenfor flere forskellige lineariseringsbegreber. Det første, vi gjorde, var at beregne Jacobi-matricen til SIR-modellen. Dette lod sig gøre uden større problemer. Herefter så vi på ligevægtspunkter til SIR-modellen. Vi fandt uendeligt mange ligevægtspunkter, idet antallet af individer der havde gennemlevet sygdommen var uafhængigt for S og I. Ved vores løsning valgte vi derfor at se bort fra R, hvorved vi kun opnåede ét ligevægtspunkt. Desuden kunne R altid bestemmes, når kendskabet til S og I var tilstede. Udover at undersøge om der fandtes ét eller flere ligevægtspunkter til systemet, kunne det også undersøges om et givent ligevægtspunkt var hyperbolsk. At et ligevægtspunkt var hyperbolsk ville sige, at alle de tilhørende egenværdier til det givne punkt havde en værdi, der var forskellig fra nul. Ved undersøgelsen af det fundne ligevægtspunkt til den udvidede SIR-model kunne vi se, at ligevægtspunktet var hyperbolsk, og vi kunne derfor linearisere systemet. I dette tilfælde var det dog kun et SI-system, da R var blevet udeladt. Vi afbildede i rapporten to faseportrætter af den udvidede SIR-model. Det ene var for det ikke-lineariserede system og det andet for det lineariserede system. Begge faseportrætter gengav en spiral med retning mod et centrum, enten ligevægtspunktets værdi eller origo. Spiralerne lignede hinanden, hvilket også var forventet, da det lineariserede faseportræt gerne skulle afspejle det ikke-lineariserede system i omegnen af ligevægtspunktet. Det sås, af de tilhørende egenværdier til det lineariserede faseportræt, at det var en stabil spiral. Desuden fandt vi ud af, at ligevægtspunktet var et asymptotisk stabilt punkt. Approksimative løsninger I kapitel 4 undersøgte vi forskellige metoder til at approksimere en løsning til den udvidede SIR-model. Vi forklarede principperne bag Eulers metode og Runge-Kutta af 2. og 4. orden. Herefter benyttede vi RK4 til at approksimere en løsning til den udvidede SIR-model ved et givent begyndelsesværdiproblem. Det kunne ses, af funktionens udvikling, at til det givne begyndelsesværdiproblem toppede S(t) ved epidemiens begyndelse, hvorefter I(t) voksede. Efter cirka 50 dage havde S og I opnået en størrelse, som kun varierede en smule i takt med epidemiens fortsatte udvikling. 5. Differentialligningsteori anvendt på SIR-modellen 77

86 5.2 Konklusion 5.2 Konklusion Vi kan konkludere, at vi under forløbet med at bearbejde dette projekt har udviklet vores forståelse for, hvordan epidemi-modellen, SIR, fungerer, og hvordan den anvendes på forskellige emner indenfor matematikken, specielt inden for differentialligninger, linearisering og stabilitetsanalyse, samt ved approksimation af løsninger til et dynamisk system Differentialligningsteori anvendt på SIR-modellen

87 LITTERATUR ANDERSSON, KARL GUSTAV, & BÖIERS, LARS-CHRISTER Ordinära differentialekvationer. 2. udgave, nos. ISBN: Studenrlitteratur, Lund. AXLER, SHELDON Linear Algebra Done Right. 2. udgave, nos. ISBN: Springer. BETOUNES, DAVID Differential Equations. 1. udgave, nos. ISBN: Springer Telos. HIRSCH, MORRIS W., SMALE, STEPHEN, & DEVANEY, ROBERT L Differential Equations Dynamical Systems An Introduction to Chaos. 2. udgave, nos. ISBN: Elsevier Academic Press. JENSEN, ALLAN LIND. 2000a. Epidemiologi- et matematisk tema- Den klassiske SIR model. Matematisk rapport. JENSEN, H. ELBRØND. 2000b. Matematisk analyse udgave, nos. ISBN: Institut for matematik DTU. KOROBEINIKOV, ANDREI Stability and Bifurcation af Deterministic Infectious Disease Models. Ph.d-afhandling. ROSEN, KENNETH H Discrete Mathematics and Its Applications. 6. udgave, nos. ISBN: McGraw-Hill. TURNER, PETER R Guide Scientific Computing. 2. udgave, nos. ISBN: MacMillan Press LTD. WADE, WILLIAM R An Introduction to Analysis. udgave, nos. ISBN: Pearson Prentice Hall. 79

88 KAPITEL 6 BILAG Bilag A Infinitesimalregningens hovedsætning Lad f være integrabel på intervallet, [a,b], og lad F(x) = x a f (t)dt. Vi antager desuden, at F er kontinuert på [a,b]. Den næste sætning redegør for, at f er kontinuert, når F er kontinuert differentiabel Sætning 6.1. Infinitesimalregningens hovedsætning Lad [a,b] være ikke-degeneret og antag, at f : [a,b] R. Så gælder der følgende i Hvis f er kontinuert i [a,b] og F(x) = x a f (t)dt, så gælder, at F C 1 [a,b], og at d x f (t)dt := F (x) = f (x) dx a for alle x [a,b]. ii Hvis f er differentiabel på [a,b], og f er integrabel i [a,b], så gælder, at for alle x [a,b]. x a f (t)dt = f (x) f (a) [Wade, 2004, s.127] 80

89 Middelværdissætningen Sætning 6.2. Middelværdissætningen Antag, at a,b R, og at a b. Hvis f er kontinuert på intervallet, [a,b], og differentiabel på intervallet, ]a,b[, så eksisterer der et c ]a,b[, således at f (b) f (a) = f (c)(b a) [Wade, 2004, s.96] Sammentrækningsafbildning Til nedstående sætning benyttes Banach rum, som er defineret ved Definition 6.3. Banach rum Et rum, V, siges at være et Banach rum, hvis det er et reelt vektorrum med en norm, : V [0, [. Der gælder herudover, at enhver Cauchy følge i V konvergerer mod et element i V. [Betounes, 2000, s.613] Sætning 6.4. Sammentrækningsafbildningsprincip Antag, at T : V V er en afbildning fra et Banach rum, V, ind i sig selv, og at der er en konstant, q, hvorom det gælder, at 0 < q < 1, således at T (x) T (y) q x y (6.1) for alle x,y V. Så har T netop ét fikspunkt. Det vil sige, at der findes ét og kun ét, punkt c V, således at T (c) = c. [Betounes, 2000, s.613] Maksimum og minimum antagelse Følgende sætning redegør for øvre og nedre begrænsninger Sætning 6.5. Maksimum og minimum antagelse Antag, at H er en ikke-tom delmængde i R n, og at f : H R. Hvis H er kompakt og f er kontinuert i H, så gælder der, at M := sup{ f ( x) x H} og m := inf{ f ( x) x H} er endelige reelle tal. Derudover eksisterer der punkter, x M, x m H, således at M = f ( x M ) og m = f ( x m ). [Wade, 2004, s.274] 6. Bilag 81

90 Bolzano-Weierstrass sætningen Sætning 6.6. Bolzano-Weierstrass Enhver begrænset følge i R n har en konvergent delfølge. [Wade, 2004, s.258] Dimensionssætningen Sætning 6.7. Dimensionssætningen Hvis V er endelig dimensionalt og T L(V,W), så er billedet af T et endelig dimensionalt underrum af W, og dimv = dim Null T + dim Rang T [Axler, 1996, s.45] Gronwalls ulighed Lemma 6.8. Gronwalls ulighed Antag, at m 0, b > 0, og at u,h : [0,b] [0, [ er kontinuerte, ikke-negative funktioner, som tilfredsstiller for alle t [0,b]. Så tilfredsstiller u uligheden for alle t [0,b]. t u(t) m + h(s)u(s)ds 0 u(t) me t 0 h(s)ds [Betounes, 2000, s.611] Spektralsætningen I spektralsætningen benyttes en ortonormal basis, så dette vil først blive defineret her Definition 6.9. En ortonormal basis til et endeligt dimensionelt vektorrum, V, er et sæt af vektorer i V, som også er en basis til V. Der skal gælde om vektorerne, at de er parvis ortonormale, og at enhver vektor har normen 1. [Axler, 1996, s ] Bilag

91 Sætning Den komplekse spektralsætning Antag, at V er et komplekst indre produktrum, og at T L. Så gælder der, at T har en ortonormal basis bestående af egenvektorer til T, hvis og kun hvis T er normal. [Axler, 1996, s.133] Bilag B Følgende er programmeret i Maple 11 til at vise en approksimation af den udvidede SIRmodel ved hjælp af RK4. with (linalg): with(plots): runkutta4 := proc(f, g, m, a, b, y0, z0, v0, N) #a: starttidspunkt #b: sluttidspunkt local h, x, y, z, v, n, k1, k2, k3, k4, w, j, o; h := evalf((b-a)/n); x[0] := evalf(a); y[0] := evalf(y0); z[0] := evalf(z0); v[0] := evalf(v0); for n from 0 to N-1 do x[n+1] := x[n] + h; k1 := f(x[n], y[n], z[n], v[n] ); k2 := f(x[n] + h/2, y[n] + h*k1/2, z[n], v[n] ); k3 := f(x[n] + h/2, y[n] + h*k2/2, z[n], v[n] ); k4 := f(x[n] + h, y[n] + h*k3, z[n], v[n]); y[n+1] := y[n] + h*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6; k1 := g(x[n], y[n], z[n], v[n]); k2 := g(x[n] + h/2, y[n], z[n] + h*k1/2, v[n]); k3 := g(x[n] + h/2, y[n], z[n] + h*k2/2, v[n]); k4 := g(x[n] + h, y[n], z[n] + h*k3, v[n]); z[n+1] := z[n] + h*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6; k1 := m(x[n], y[n], z[n], v[n]); k2 := m(x[n] + h/2, y[n], z[n], v[n] + h*k1/2); k3 := m(x[n] + h/2, y[n], z[n], v[n] + h*k2/2); k4 := m(x[n] + h, y[n], z[n], v[n] + h*k3); v[n+1] := v[n] + h*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6; end do; w:= zip((u,v) -> [u,v], convert(x, list), convert(y, list)); #plot(w); #o:=zip((r,q)->[r,q], convert(x,list), convert(z,list)); #plot(o); j:= zip((s,t) -> [s[],t], w, convert(z, list)); pointplot3d(j, axes=boxed, connect=true, labels=[t, x1, x2]); end proc: c:= 0.3; 6. Bilag 83

92 d:= 0.15; e:=0.051; N:=26; l:= (t,x1,x2,x3) -> (e*n)-c*(x1*x2)/n; h:= (t,x1,x2,x3) -> c*(x1*x2)/n-d*x2; j:= (t,x1,x2,x3) -> d*x2-e*n; runkutta4(l,h,j,0,50,23,3,0,50); Bilag