Sandsynlighedsregning og statistisk
|
|
- Erling Frank
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sadsylighedsregig og statistisk J. C. F. Gauss ) Peter Haremoës Niels Brock 2. april 23
2 Idledig Dette hæfte er lavet som supplemet til 2. udgave af boge Mat B. Der er lagt vægt på at give e bedre forståelse for de metoder, der beyttes i deskriptiv statistik på Mat C iveau. Edvidere er der lagt vægt på at teorie for kotiuerte fordeliger ka ses som e avedelse af B- og A-iveauets differetial- og itegralregig. 2 Itegraler over ubegræsede itervaller I det itegralregig vi stiftede bekedtskab med i Mat A-boge, blev alle bestemte itegraler taget over begræsedede itervaller. Ma ka imidlertid ofte også tage itegraler over ubegræsede itervaller. Eksempel Lad t > være et reelt tal. Da er t [ x dx = - ] t 2 x = - ) t = t. - ) Vi ser, at /t er e voksede fuktio og at /t for t. Vi skriver derfor dx =. x2 Defiitio 2 Lad f være e kotiuert fuktio. Hvis b f x) dx har e a græseværdi for b gåede mod uedelig, så beteges dee græseværdi a f x) dx. Tilsvarede defieres b f x) dx som de evetuelle græseværdi af b f x) dx - a for a gåede mod -. Hvis b f x) dx er defieret og har e græsevær - for b gåede mod uedelig, så beteges dee græseværdi med f x) dx. -
3 3 Kotiuerte fordeliger Defiitio 3 Lad X være e stokastisk variabel. Da er fordeligsfuktioe F for X defieret ved F x) = P X x). Fordeligsfuktioe svarer til de sumkurver vi har teget i deskriptiv statistik. Eksempel 4 E stokastisk variabel X siges at være ekspoetialfordelt med middelværdi λ dersom des fordeligsfuktio er givet ved { for x, F x) = e - x/λ for x >. E såda ekspoetialfordelig giver f.eks. e god beskrivelse for vetetide for et radioaktivt hefald af et atom. at Vi lægger mærke til at fordeligsfuktioe er e voksede fuktio og lim F x) =, x - F x) =. lim x Hvis vi keder fordeligsfuktioe for e stokastisk variabel, ka vi berege sadsylighede for at de stokastiske variabel ligger i et vilkårligt iterval, idet der gælder at P a < X b) = F b) F a). Defiitio 5 Hvis fordeligsfuktioe F for e stokastisk variabel X er e kotiuert fuktio, så siges X at være e kotiuert variabel. Hvis F er differetiabel, så kaldes fuktioe f x) = F x) for de stokastiske variabels tæthedsfuktio. Tæthedsfuktioe svarer til de pide- og søjlediagrammer vi har teget i deskriptiv statistik. Eksempel 6 Tæthedsfuktioe for e ekspoetialfordelig er givet ved f x) = F x) { for x, = λ e- x/λ for x >. 2
4 fx) = e x x Figur : Tæthedsfuktio for ekspoetialfordelige. Hvis f er tæthed for e stokastisk variabel med for delig F, så er F stamfuktio til f og der gælder at Edvidere gælder der, at F t) = t - f x) dx. P a < X b) = F b) F a) = b a f x) dx. Sadsylighede for at a < X b svarer derfor til arealet uder grafe for f mellem a og b. For at e fuktio f ka være e tæthedsfuktio, skal der gælde, at f x) og at f x) dx =. - De fleste kotiuerte fordeliger er defieret ud fra deres tæthedsfuktio. Eksempel 7 Ved e ligefordelig i itervallet [a; b] forstå e fordelig med tæthed { for x / [a; b], f x) = for x [a; b]. b a Vi checker, at der ret faktisk er tale om e sadsylighedsfordelig ved at udrege b [ ] b x a b a dx = =. b a a Når vi teger søjlediagrammet for grupperede data, atager vi faktisk, at data er ligefordelt i hvert deliterval. Ligesom for diskrete variable ka ma berege middelværdi og varias for kotiuerte fordeliger. Dette sker ved at erstatte summer med itegraler. 3
5 fx) = 3 x x 2 3 Figur 2: Tæthed for e Pareto-fordelig. Eksempel 8 Tæthedsfuktioe { for x <, f x) = 3 for x, x 4 defierer e såkaldt Pareto-fordelig. Vi checker at det ret faktisk er e tæthedsfuktio ved at itegrere [ ] 3 - x dx = 4 x 3 - x = lim =. x 3 -) Defiitio 9 Lad X være e stokastisk variabel med tæthedsfuktio f. Da defieres middelværdie af X ved E [X] = - x f x) dx. Hvis de stokastiske variabel X har middelværdi µ, så er variase af X defieret ved V ar X) = - x µ) 2 f x) dx. 4
6 Stadardafvigelse er givet ved σ X) = V ar X)) /2. Stadardafvigelse kaldes også stadardafvigelse. Eksempel Kræver kedskab til partiel itegratio) Ekspoetialfouktioe med tæthed e-x/µ µ for x har middelværdi - x f x) dx = x dx + x e-x/µ - µ dx x = + µ µ e-x/µ µ dx. Her laves substitutio t = x /µ, hvilket ved brug af partiel itegratio giver µ x µ e- x/µ µ dx = µ = µ = µ t e -t dt [t )] -e -t + = µ [-e -t] = µ. ) e -t dt ) ) -e -t dt For at berege variase laves ige substitutioe t = x /µ, hvilket giver x µ) 2 e - x/µ µ dx = µt µ) 2 e -t dt = µ 2 t ) 2 e -t dt. 5
7 Det sidste itegral bereges ved at lave partiel itegratio 2 gage: t ) 2 e -t dt = [ t ) 2 -e -t)] 2 t ) -e -t) dt = + 2 t ) e t dt [t = 2 )] ) -e -t ) = 2 + e -t dt = 2 + [ -e -t] ) = 2 + ) = 4. Derfor er variase 4µ 2, og stadardafvigelse er 2µ. ) ) -e -t dt Øvelse Bereg middelværdi, varias og stadardafvigelse af e ligefordelig. Øvelse 2 Rereg middelværdi, varias og stadardafvigelse for Pareto-fordelige fra Eksempel 8. Øvelse 3 Kræver kedskab til partiel itegratio) E stokatisk variabel med sadsylighedstæthed xe -x for x siges at være Gammafordelt. a Vis at dette er e sadsylighedstæthed. b Bestem middelværdie af dee Gammafordelig. c Bestem varias og stadardafvigelse af dee Gammafordelig. Det ka vises at - e- x 2 2 dx = 2π) /2. Derfor er φ x) = e- x 2 2 2π) /2 e tæthedsfuktio. De tilsvarede fordelig kaldes e stadard-ormalfordelig. Det ka vises, at de har middelværdi og varias. Fordeligsfuktioe for stadard ormalfordelige beteges Φ. Det ikke er muligt at opskrive et beregigsudtryk for Φ, så værdier af Φ ka ku bereges tilærmelsesvis 6
8 .5 fx) = e x 2 2π) /2 2 x 2 2 Figur 3: Tæthedsfuktio for stadardormalfordelige ved hjælp af såkaldt umerisk itegratio. Hvis tæthedsfuktioe i stedet er e - x µ)2 2σ 2 2π) /2 σ, så er der tale om e ormalfordelig med middelværdi µ og stadardafvigelse σ. 4 Middelværdi og varias Ude bevis æver vi, at hvis X og X 2 er to stokastiske variable, så gælder der at E [X + X 2 ] = E [X ] + E [X 2 ]. Hvis edvidere X og X 2 er uafhægige så gælder E [X X 2 ] = E [X ] E [X 2 ]. Sætig 4 Lad X og X 2 være uafhægige stokastiske variable. Da gælder at V ar X + X 2 ) = V ar X ) + V ar X 2 ). Bevis. Lad µ og µ 2 betege middelværdiere af X 2 og X 2. Da er middelværdie af X + X 2 lig µ + µ 2. Derfor gælder V ar X + X 2 ) = E [ X + X 2 ) µ + µ 2 )) 2] = E [ X µ ) + X 2 µ 2 )) 2] = E [ X µ ) 2 + X 2 µ 2 ) X µ ) X 2 µ 2 ) ] = E [ X µ ) 2] + E [ X 2 µ 2 ) 2] + E [2 X µ ) X 2 µ 2 )]. 7
9 Da X er uafhægig af X 2 er X µ uafhægig af X 2 µ 2 og der gælder at E [2 X µ ) X 2 µ 2 )] = 2E [X µ ] E [X 2 µ 2 ] = 2 E [X ] E [µ ]) E [X 2 ] E [µ 2 ]) = 2 µ µ ) µ 2 µ 2 ) =. Derfor er V ar X + X 2 ) = E [ X µ ) 2] + E [ X 2 µ 2 ) 2] = V ar X ) + V ar X 2 ). 5 Estimatio Atag af vi om ogle data e stikprøve) ved at de er ormalfordelte med stadardafvigelse 2 me vi ikke keder ormalfordeliges middelværdi. Opgave er ud fra data at give et bud på værdie af ormalfordeliges middelværdi. Defiitio 5 Et estimat er e fuktio, der til e vilkårlig stikprøve kytter et reelt tal. Et estimat er med adre ord e stokastisk variabel defieret ud fra e stikprøve. Om et estimat er godt eller skidt er e ade sag. Hvis vi f.eks. skal estimere middelværdie af e ormalfordelig, ka vi bruge stikprøves media. Hvis stikprøve ellers er stor, vil mediae ligge tæt på middelværdie, så mediae er e udemærket estimator for middelværdie. I stedet for mediae kue ma tage de største værdi i stikprøve. Dee vil oplagt give et dårligt estimat af middelværdie, og jo større stikprøve er jo dårligere vil estimatet være. Defiitio 6 Et estimat siges at være cetralt dersom middelværdie af estimatet er de sade værdi. Hvis et estimat ikke er cetralt, siges det at være skævt. Mediae er et cetralt estimat af middelværdie, mes maksimum er et skævt estmat, idet maksimum i middel giver e for høj værdi. Sætig 7 Stikprøves geemsit giver et cetralt estimat af ormalfordeliges middelværdi. 8
10 Bevis. Lad X, X 2,..., X ) betege e stikprøve. Da er X = X i og i= E [ [ ] X] = E X i i= = E [X i ] = = µ. i= µ i= Vi ka udrege variase af geemsittet. Atag at de stokastiske variabel har middelværdi. Så gælder at ) ) V ar X i = V ar X 2 i i= i= = V ar X 2 i ) i= = 2 σ2 = σ2. Derfor er geemsittets stadardafvigelse σ/ /2. Det ka vises at stikprøves geemsit er det cetrale estimat, som har de midste varias. Derfor vil geemsittet være vores foretruke estimat for middelværdie. Hvis ma ved at e ormalfordelig har middelværdi µ og skal estimere des varias på grudlag af e stikprøve, så ka ma bruge estimatet X i µ) 2. i= Dette estimat er cetralt. Hvis ma hverke keder e ormalfordeligs middelværdi eller varias kue ma tage stikprøves varias Xi X ) 2, i= 9
11 som estimat for de ukedte varias. Det viser sig imidlertid, at dette er et skævt estimat, som er systematisk for lille. Hvis stikprøvestørrelse f.eks. er =, så vil X = X og så bliver i= Xi X ) 2 = X X ) 2 =. Sætig 8 Et cetralt estimat af variase af e ormalfordelig med ukedt middelværdi er givet ved for 2. Xi X ) 2 i= Bevis. Vi vil atage, at ormalfordelige har middelværdi og varias σ 2. Da gælder [ E Xi X ) ] 2 = [ Xi E X ) ] 2 i= i= = [ E X X ) ] 2 = E [ X 2 + X 2 2X X] [ ] [ ] E X 2 + E X2 2E [ X X]). =
12 Vi beytter u at E [X 2 ] = σ 2 og E [ X2 ] = σ 2 / samt at X = - i= X i til at få [ ] [ ] E X 2 + E X2 2E [ X X]) = σ 2 + σ2 2E = σ 2 + σ2 = σ 2 + σ2 = [ ]) X X i i= ) E [X X i ] 2 i= 2 E [ )) ] X 2 + E [X ] E [X i ] i=2 σ 2 + σ2 2 σ 2 + )) = ) σ 2 σ2 = σ 2. 6 Statistik med TI-spire Af de mage statistikfuktioer, som fides i TI-spire CAS, er det ku ogle få vi bruger. Her er e oversigt. 6. Oprettelse af lister Dataværdier tastes id mauelt eller importeres fra et adet program. TIspires listeformat er tabulator-separeret tekst. Ma ka importere fra MS-Excel ved at åbe datafile, markere de relevate felter og sætte id i e liste i TI-spire. Kommadoe frequecy x, y) laver e liste over hvor mage gage værdie y forekommer i liste x. Ma skal derfor først lave e liste over mulige værdier og kalde dee liste y. Kommadoe cumulativesum x) bruges til at dae e liste over summerede hyppigheder eller frekveser ud fra e liste x over hyppigheder/frekveser. 6.2 Udersøgelse af datasæt Deskriptorer For at bestemme diverse deskriptorer for et datasæt skrives værdiere som e koloe i et regeark. Ma ka evt. tilføje e hyppig-
13 hedsliste. Herfter vælges 4: Statis...>: Stat beregig...> : Statistik med é variabel... Uafhægighedstest Bruges til at test om to størrelser eller hædelser er uafhægige ud fra e tabel med to iddeligskriterier. Ma samler data i e matrix og vælger 4: Statis...> 4: Stat-tests...>8: χ 2 2-vejstest... Goodess-of-fittest Bruges til at teste om e størrelse eller hædelse følger e bestemt fordelig. De observerede og de forvetede hyppigheder skrives som koloer i et regeark hvorefter ma vælger 4: Statis... > 4: Stat-tests...> 7: χ 2 GOF... Kofidesitervaler Disse bereges uder forudsætiger af at data atages at være ormalfordelt eller tilærmelsesvis ormalfordelt. Hvis stikprøve er tilstrækkelig stor ka middelværdie altid atages at være ormalfordelt. For e dataliste vælges 4: Statis...>3: Kofidesitervaller... Herefter vælges : z-iterval...hvis stadardafvigelse af ormalfordelige kedes. Hvis stadardafvigelse ikke kedes me skal estimeres vha. datasættets stadardafvigelse, så vælges 2: t-iterval... Hvis kofidesitervallet for succes-sadsylighede i e biomialfordelig skal bereges, vælger ma 4: Statis...>3: Kofidesitervaller...> 5: -Prop z-iterval... Regressio Hvis ma skal udersæge om to størrelser i et datasæt ka beskrives me e lieær eller ekspoetiel fuktio, så skal de først idlæses som 2 koloer i et regeark. Her efter vælges 4: Statis...>: Stat beregig... hvoerefter ma vælger 3: Lieær regressio mx+b)... eller A: Ekspoetiel regressio... Bemærk at ma også ka lave regressio ved først at lave datalister, så lave et xy-plot med applikatioe 5: Tilføj Data og Statistik hvorefter ma vælger 4: Aalys...>6: Regressio, hvorefter ma vælger : Vis lieær mx+b) eller 8: Vis ekspoetiel. 6.3 Fordeliger I løbet af kurset har vi beskæftiget os med 3 forskellige fordeligstyper: Normalfordeliger, biomialfordeliger og χ 2 -fordeliger. Beregiger vedr. disse fordeliger ka laves ved at vælge 4: Statis...>2: Stat-fordeliger... Dem vi ka få brug for er: : Normal Pdf... giver sadsylighedstæthede i et pukt for e ormalfordelig. Dee bruges, hvis ma skal tege grafe for tæthedsfuktioe. 2
14 2: Normal Cdf... giver sadsylighede for et iterval for e ormalfordelt stokastisk variabel. 3: Ivers ormal... giver fraktile svarede til e bestemt sadsylighed, som vi ka opfatte som e procetdel. I TI-spire skal sadsylighede idtastes i feltet Areal. 7: χ 2 Pdf... giver sadsylighedstæthede i et pukt for e χ 2 -fordelig. Dee bruges, hvis ma skal tege grafe for tæthedsfuktioe. 8: χ 2 Cdf... giver sadsylighede for et iterval for e χ 2 -fordelt stokastisk variabel. De vigtigste avedelse er beregig af p-værdie svarede til e observeret værdi af χ 2 -teststørrelse. 9: Ivers χ 2... giver fraktile svarede til e bestemt sadsylighed for e χ 2 -fordelt stokastisk variabel. F.eks. giver 95 % fraktile det de kritiske værdi ved et 5 % sigifikasiveau. D: Biom Pdf... giver puktsadsylighede for e biomialfordelt stokastisk variabel. E: Biom Cdf... giver sadsylighede for et iterval for e biomialfordelt stokastisk variabel. 6.4 Diagramtyper Histogrammer ka daes ved at vælge data>frekvesplot. Søjlebreddere ka justeres ved at højreklikke på diagrammet og vælge søjleidstilliger. Pidediagrammer Disse laves som søjlediagrammere. Ma skal blot gøre søjlere meget smalle.4 er ofte passede bredde). Trappediagrammer sumkurver for ugrupperede data) ka f.eks. laves ved at lave e liste over kumulerede frekveser. Ma laver herefter et histogram hvor ma tilføjer de kumulerede frekveser som e y værdi-liste. Ved hjælp af søjleidstilliger justeres søjlere til side så trappetriee kommer de rigtige steder. Sumkurver for grupperede data laves ved at afsætte dataværdiere ud ad.-akse og de kumulerede frekveser ud ad 2.-akse. Herefter højreklikkes på diagrammet og ma vælger forbid datapukter. For at få et pæt diagram skal es dataliste starte og slutte med ogle tomme itervaller. 3
15 6.5 TI-83+/84+ Meue for ormalfordeliger ka fides uder DISTR 2d VARS). Bemærk at middelværdi og stadardafvigelse har defaultværdier og svarede til e stadard-ormalfordelig. : ormalpdf Returerer sadsylighedstæthede i et givet pukt. Sytax: ormalpdfx) ormalpdf x, middelværdi, stadardafvigelse) 2: ormalcdf Returerer værdie af fordeligsfuktioe i et givet pukt. Ma ka vælge både at agive e edre og e øvre græse. I stedet for - og ka ma bruge - 99 og 99 Sytax: ormalcdfx) ormalcdfx, middelværdi, stadardafvigelse) ormalormalcdf edre græse, øvre græse, middelværdi, stadardafvigelse) 3: ivnorm Returerer fraktile svarede til et et tal mellem og. Sytax: ivnormsadsylighed) ivnormsadsylighed, middelværdi, stadardafvigelse) Der er følgede kommadoer til at geerere tilfældige tal. Tast MATH > PRB : rad Returere et ligefordelt tal mellem i [; ] Sytax: rad radnorm Returerer et tilfældige ormalfordelte tal. Sytax: radnormmiddelværdi, stadardafvigelse, atal tilfældige tal) radit Returerer et tilfældigt helt tal. Sytaks: raditmidste tal, største tal) 4
16 6.6 TI-89/Voyage 2 Ma ka kalde kommadoer svarede til kommadoere i TI-83+/TI-84+ ved hete dem fra kataloget eller skrive heholdsvis: tistat.ormpdf tistat.ormcdf tistat.ivnorm Alterativt ka ma starte applicatioe list/stat og vælge F5 Distr :Shade :Shade Normal Et vidue kommer frem, hvor ma idtaster Upper value og Lower value itervaledepuktere), µ middelværdi) og σ stadardafvigelse). E graf bliver vist med e markerig af det areal uder kurve ma har agivet. 2:Iverse > :Iverse Normal... Et vidue kommer frem, hvor ma idtaster Area sadsylighed), µ middelværdi) og σ stadardafvigelse). Et yt vidue kommer frem med agivelse af de tilsvarede fraktil. 3:Normal Pdf... Et vidue kommer frem, hvor ma idtaster x, µ middelværdi) og σ stadardafvigelse). Et yt vidue kommer frem med agivelse af værdie af tæthedsfuktioe. 4:Normal Cdf... Et vidue kommer frem, hvor ma idtaster Upper value og Lower value itervaledepuktere), µ middelværdi) og σ stadardafvigelse). I stedet for - og ka ma bruge - 99 og 99. Et yt vidue kommer frem med agivelse af sadsylighede for at e ormalfordelt variabel med de agive parametre ligger i itervallet. Tilfældige tal ka geereres ved at taste [MATH] 7:Probability 4:rad Returerer et tilfældigt helt tal hvis e størsteværdi agives eller et ligefordelt decimaltal fra hvis itet argumet itastes. Sytax: rad) radstørste tal) 6:radNorm Returerer et atal tilfældige ormalfordelte tal. Sytax: radnormatal tilfældige tal, middelværdi, stadardafvigelse). 5
Konfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereSandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013
Sdsylighedsregig og sttistisk J. C. F. Guss 777 855 Peter Hremoës Niels Brock 9. pril 3 Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse for
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereSandsynlighedsregning og statistisk
Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mereSTATISTIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
STATISTIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Jui 209 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse INDLEDNING...3 DESKRIPTIV STATISTIK...4 Skemaer...5 Diagrammer...8 Statistiske deskriptorer... 0 Typetal
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H
ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereSupplement til Kreyszig
Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereStatistik med GeoGebra
Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereSandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereOpsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereGENEREL INTRODUKTION.
Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereMorten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereScorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?
Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer
Læs mere