Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Transkript

1 Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger Itegraler (icl. et par eksempler) Fordeligsfuktioer hvis vi år det (ellers osdag) SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 1 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 2 / 19 Praktiske tig og sager Praktiske tig og sager Udervisere Susae Ditlevse og Helle Sørese Lars Lau, Nia Mukholt, Christia Mikkelse Jese, Jesper Larse, Rue Ramsdal Erstse Bøger R E itroduktio til Sadsylighedsregig af Michael Sørese E itroduktio til Statistik, Bid 2 af Ige Heigse Freeware statistikprogrampakke (gratis!), ka dowloades Sørg for at istallere det så hurtigt som muligt Itro til R på osdag (eftermiddag), materiale om R på hjemmeside Computerlokaler madag 8 10, osdag 13 15, me medbrig meget gere laptop til øvelser hvis der er R-opgaver. Forelæsiger Madag i aud. 4 Osdag og i aud. 4 Øvelser: Holdiddelig og lokaler ka ses via ISIS. Vær velforberedt til øvelsere! Medbrig meget gere laptop til øvelser med R-opgaver Madag 8 10: opgaveregig (med istruktor) Osdag 8 9: tavlegeemgag v. studerede (med istruktor) Osdag 9-10: opgaveregig (med istruktor) Osdag 13-14: opgaveregig (ude istruktor) Osdag 14 15: tavlegeemgag v. studerede (med istruktor) SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 3 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 4 / 19

2 Praktiske tig og sager Hvad er det vi skal på SaSt2 Projekter To projekter, formetlig med afleverig 2. marts og 16. marts Begge skal bestås for at kue gå til eksame Eksame Skriftlig prøve med hjælpemidler E løftet pegefiger Husk at arbejde meget med kurset, også hjemme. Vær velforberedt til øvelsere! Ige emme geveje: du lærer det ku ved selv at have figree i savset, ikke ved at se adre gøre det beskidte arbejde. Sadsylighedsregig og statistik for kotiuerte observatioer. Sadsylighedsregig edimesioale kotiuerte fordeliger: tæthed, fordeligsfkt., middelværdi, varias, trasformatio mm. Flerdimesioale kotiuerte fordeliger Normalfordelige og afledte fordeliger Statistik Geerel teori: statistisk model, likelihood, test af hypotese Sammeligig af to stikprøver Lieær regressio SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 5 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 6 / 19 Hvorfor skal vi det? Eksempel: tilfældigt akommede begiveheder Fordi hele verde ikke ka beskrives med diskrete fordeliger og fordi det er oget vigtig matematik... Eksempler: Vægt, blodtryk, kocetratio af hormo i blodet, alkoholpromille Timelø, årlig idkomst, Vetetid til e bestemt hædelse idtræffer (fx. død/ivaliditet pesiosudbetalig, eller akomst til kasseliie) Ædrig i aktiekurs, vægtædrig,... Hvis vi vil beskrive sådae fæomeer skal vi have fat i fordeliger med udfaldsrum som er itervaller, evt. (0, ) eller R. Atag at e begivehed idtræffer tilfældigt således at atallet at begiveheder i tidsrummet [0, t] er poissofordelt med parameter λ, dvs. P(X t = x) = λ x x! e λ t hvor X t er atal hædelser i itervallet [0,t]. Lad T være de stokastiske variabel der agiver tidspuktet for første hædelse. Hvad er så P(T > t) for et givet t > 0? P ( T (t 1,t 2 ] ) for 0 < t 1 < t 2? SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 7 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 8 / 19

3 Eksempel: tilfældigt akommede begiveheder Altså: P ( T (t 1,t 2 ] ) t2 t2 = e λ t 1 e λ t 2 = λe λ x dx = p(x)dx t 1 t 1 Og for et lille iterval af lægde h: Poiter: P ( T (x,x + h] ) λe λ x h = p(x)h Sadsylighed for at have i iterval er lig areal uder kurve Sadsylighed for at have i et lille iterval ær x er cirka proportioal med itervallægde, med proportioalitetsfaktor p(x). Stor tæthed stor sadsylighed Fuktioe p kaldes e sadsylighedstæthed. Fordelige af T kaldes ekspoetialfordelige med parameter med parameter λ. Sadsylighedstæthed og sadsylighedsmål Iterval I R. E fuktio p : I R kaldes e sadsylighedstæthed (tæthedsfuktio, tæthed) på I hvis p(x) 0 for alle x I og I p(x)dx = 1 Kravee p(x) 0 og I p(x)dx = 1 er rimelige. Hvorfor? Sadsylighedsmål på I: For pæe delmægder A af I sættes P(A) = 1 A (x)p(x)dx = p(x) dx I A Defierer P faktisk et sadsylighedsmål på I? Kravee er (side 18): 0 P(A) 1 for alle A P(I ) = 1 P(A B) = P(A) + P(B) hvis A B = /0. Lad os være lidt mere præcise og geerelle... SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 9 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 10 / 19 Kotiuert fordelig og kot. stokastisk variabel Eksempel: ligefordelige P kaldes e kotiuert fordelig, og P har sadsylighedstæthed p. For δ lille er (gaske som for ekspoetialfordelige): x0 +δ P([x 0,x 0 + δ]) = p(x)dx p(x 0 )δ x 0 Vi ka tæke på P som e fordelig på hele R (i stedet for ku I ): P(B) = P(B I ) for pæe delmægder B R. Svarer til at sætte p(x) = 0 udefor I. Diskret vs. kotiuert: ssh.fuktio tæthed, sum itegral. E stokastisk var. X er kotiuert hvis des fordelig er kotiuert: P(X A) = 1 A (x)p(x)dx, P(X = a) = 1 {a} (x)p(x)dx = 0 Først ligefordelige på [0, 1]: træk tilfældigt tal mellem 0 og 1. To delitervaller af [0, 1] med samme lægde skal være lige sadsylige. Derfor skal tæthede være kostat. De skal desude itegrere til 1, så Så er fx. p(x) = 1 [0,1] (x) 4/5 P([2/5,4/5]) = 1 [2/4,4/5] (x)p(x)dx = 1dx = 2 2/5 5 Altså: sadsylighed for iterval lig itervallægde. Ligefordelig på iterval [a,b] for a < b. Tæthed? Måske har vi været lidt for hurtige: giver itegralere meig? SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 11 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 12 / 19

4 Itegraler Itegraler Betragter ku ikke-egative fuktioer i dag (kadidater til tætheder). 1. f : [a,b] [0, ) kotiuert: b a f (x)dx = lim hvor a i = a + ( i 1 2) b a 2. f : [a,b] [0, ) stykkevis kotiuert: i=1 f (a i ) b a Itegral = sum af itegraler over kotiuerte delstykker 3a. f : R [0, ) begræset og (stykkevis) kotiuert på [,] for alle. Itegralere I = f (x)dx veldefieret fra situatio 1. og 2. I koverget: f (x)dx = lim I og vi siger at f er itegrabel I diverget: skriver f (x)dx = + og vi siger at f er ikke itegrabel 3b. Tilsvarede for f : [0, ) [0, ) begræset og (stykkevis) kotiuert på hvert iterval [0,]. Se på I = f (x)dx 0 og defier itegralet 0 f (x)dx afhægig af om I kovergerer eller ej. SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 13 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 14 / 19 Itegraler Eksempler 4. f : (a,b] [0, ) kotiuert på (a,b) me med f (x) for x a. Se på b I = f (x)dx a+ 1 og defier itegralet b a f (x)dx afhægig af om I kovergerer eller ej. Siger at f er itegrabel eller ikke-itegrabel på (a, b]. Hvorfor dee iteresse i om e ikke-egativ fuktio er itegrabel eller ej? Hvis f er itegrabel ka vi bruge de som sadsylighedstæthed: p(x) = f (x) f (x)dx To eksempler: f (x) = λe λ x, x > 0 for et fast λ > 0. Potetielt problem for x. Er f itegrabel? f (x) = x α, 0 < x 1 for et fast α > 0. Potetielt problem for x 0. For hvilke værdier af α er f itegrabel? SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 15 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 16 / 19

5 Fordeligsfuktio Eksempler Hvis X har kotiuert fordelig P med tæthed p: P(X x) = P ( X (,x] ) = x 1 (,x] (y)p(y)dy = p(y)dy Fordeligsfuktio for kotiuert fordelig P med tæthed p: x F (x) = p(y)dy, x R Egeskaber for fordeligsfuktioe (lidt mere om dette på osdag): F er svagt voksede F (x) 0 for for x og F (x) 1 for for x Ekspoetialfordelige med parameter λ: p(x) = λe λ x, x > 0 Fordeligsfuktio? Ligefordelige på [0, 1]: p(x) = 1, a x b Fordeligsfuktio? Ligefordelige på [a, b]. Fordeligsfuktio? F (x) = p(x) hvis p er kotiuert i x da F er e stamfuktio til p SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 17 / 19 SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 18 / 19 Resumé Vigtige tig fra i dag: Sadsylighedstæthed, kotiuert fordelig, fordeligsfuktio: defiitioer og fortolkiger Skal være opmærksom på om itegraler faktisk eksisterer således at de faktisk ka ormere til tætheder Ekspoetialfordelige og ligefordelige I skal kue rege på disse tig! Odag: Mere om sadsylighedstætheder og fordeligsfuktioer Middelværdi og varias for kotiuerte fordeliger Itro til R SaSt2 (Uge 6, madag) Tætheder og kot. fordeliger 19 / 19