1) Hvor meget skal bestilles, når et lager skal fyldes? 2) Hvornår eller hvor ofte skal der afgives bestilling?

Transkript

1 Capter 11: Lagermdeller En virksmed sælger et antal færdigvarer på et marked. Hvis en af disse ikke kan leveres, kan efterspørgselen ikke dækkes af pågældende virksmed, g dens kunder søger derfr andre leverandører. et er derfr vigtigt, at der altid er umiddelbar adgang til de varer, der skal sælges. et kan pnås ved at ave varerne liggende på lager. Hvis lageret altid er fyldt, pstår der aldrig mangel. ette trækker i retning af, at et strt lager er ønskeligt. Men det er frbundet med mkstninger, at ave varer liggende på lager. ette trækker i retning af, at et begrænset lager er ønskeligt. Prblemet er derfr at bestemme en ptimal lagerpsitin. Basale prblemer: 1) Hvr meget skal bestilles, når et lager skal fyldes? 2) Hvrnår eller vr fte skal der afgives bestilling? (ette spørgsmål besvares ved at bestemme, vr strt restlageret skal være, når der afgives en ny rdre)

2 Lagermdeller: 1) eterministiske mdeller (færdigvarer) a) Ecnmic Order Quantity Mdel (EOQ) b) Ecnmic Prductin Lt-Size Mdel c) Planned Srtages d) Quantity iscunts in Ecnmic Order Quantity Mdel 2) Stkastiske mdeller (færdigvarer) a) Single Perid, Prbabilistic emand b) Order-Quantity, Rerder Pint Mdel wit Prbabiblistic emand (intrduktin) c) Perid Review Mdel wit Prbabilistic emand (intrduktin) 3) Lagermdeller fr råmaterialer: a) Material Requirement Planning (MRP) (intrduktin) b) Just in Time (JIT) (intrduktin) (Jeg ar ikke lavet nter til 3. Lærebgen giver blt en intrduktin til MRP g JIT; I skal vide, vad det er, men eller ikke meget mere!)

3 Ecnmic Order Quantity Mdel: Frudsætning: (Næsten) Knstant efterspørgsel pr. tidsened en bestilte mængde færdigvarer ankmmer til lageret i en enkelt sending -> se Figur 11.1 & 2 Lagermkstninger består af 2 kmpnenter: 1) Hlding Cst -> mkstning pr. år ved at lde en vareened på lager 2) Ordering Cst -> faste mkstninger frbundet med afgivelse af en rdre Ntatin: I: årlig lding cst rate (f.eks. 25%) C: pris pr. ened af aktuel vare C: lding cst ved at ave en ened liggende på lager i et år C: fast mkstninger pr. rdreafgivelse : årlig efterspørgsel Q: Ordrestørrelse (i denne mdel svarende til maximalt anal vareeneder på lager)

4 efinitrisk relatin: C œ I C Gennemsnitlig lager beldning: Q " Årlig lding cst: Årlige rdering cst: " Q C Q C e ttale mkstninger pr. år (TC) kan erefter beregnes: " Q TC œ Q C C Prblem: Bestem ptimal rdrestørrele Q, så TC minimeres. dtc " dq Q dtc dq œ C C œ 0 -> Q œ Q $ C C É œ 2 0 -> anden rdens betingelser pfyldt Bemærk at enedsmkstningerne frbundet med køb af Q alene påvirker den ptimale rdrestørrelse gennem C. Årsagen er selvfølgelig, at uanset den valgte lagerplitik, så skal der i løbet af et år indkøbes ialt eneder, idet efterspørgslen skal dækkes; C kan derfr betragtes sm en fast størrelse.

5 Hvrnår skal der afgives en rdre? -> vr meget skal lageret falde til, før ny rdre afgives? Terminlgi: Lager Psitin-> Rerder Pint-> Lead Time-> aktuel lagerbeldning allerede bestilte eneder lager psitin ved vilken ny rdre afgives Peride mellem afgivelse g mdtagelse af rdre Lead Time emand-> Efterspørgsel i Lead Time periden Ntatin: r: rerder pint d: efterspørgsel per dag m: lead time fr ny rdre Hvis en mangelsituatin skal undgås, skal rdre afgives, når den aktuelle lagerbeldning lige netp er str nk til at dække efterpørgsel i lead time periden -> r œ d m Terminlgi: Cycle Time -> periden T mellem afgivelse af t på inadnen følgende r antal arbejdsdage pr. år antal rdrer pr. år -> T œ œ antal arbejdsdage pr. år Q Î

6 EOQ frudsætninger: 1) Efterspørgsel deterministisk g knstant pr. tidsened. 2) Optimal rdre størrelse Q. 3) C knstant. 4) C g C knstant (specielt gælder C upåvirket af Q, d.v.s. ingen mængderabatter). 5) Mangelsituatiner ej tilladt. 6) Lead Time knstant. 7) en bestilte mængde varer Q ankmmer til lageret i en enkelt sending. 8) Lager psitin vervåges i praksis kntinuerligt; der afgives en rdre, når rerder pint er nået.

7 Ecnmic Prductin Lt Size Mdel: Færdigvarer ankmmer er til lageret i et knstant flw ver flere perider, f.eks. 10 eneder per dag ver et fem dages interval. Se Figur Mdellen gearet imd situatiner, vr prduktin af de bestilte varer først begynder, når rdren afgives; rdering cst relaterer i den situatin typisk til setup cst fr prduktinen. Ntatin: d: efterspørgsel per dag (kendt parameter) : efterspørgsel per år (kendt parameter) p: prduktin per dag (kendt parameter) P: prduktin pr. år (kendt parameter) t: antal dage i et prduktinsfrløb (t afænger af rdrestørrelse Q, d.v.s. variabel!) Bemærk: p d, ellers inknsistent mdel!

8 efinitriske relatiner: Maximal lagerbeldning œ (p d)t Prduceret/bestilt mængde Q œ t p d p d p œ Î dage pr. år œ P Î dage pr. år œ P et betyder, at maximal lagerbeldning kan udtrykkes sm funktin af Q: Maximal lagerbeldning œ (p d) p Gennemsnitlig lager beldning œ "(p d) = "(1 )Q Årlig lding cst: (1 )Q C " P Q p P Årlige rdering eller setup cst: Q C e ttale mkstninger pr. år (TC) kan erefter beregnes: " P Q TC œ (1 )Q C C Prblem: Bestem ptimal rdrestørrele Q, så TC minimeres. dtc " dq P Q Q C œ Ê (1 )C dtc dq œ (1 )C C œ 0 -> P Q $ œ 2 0 -> anden rdens betingelse pfyldt

9 r œ d m (sm i klassisk EOQ-mdel!)

10 Lagermdel med planlagte mangelsituatiner: Mdellen er en udvidelse af EOQ-mdellen. Lad S betegne antal backrders (d.v.s. ikke indfriede krav m levering), der er akkumuleret, når en ny sending på Q eneder leveres. -> Q S eneder lægges på lager S eneder sendes til de kunder, vis efterspørgsel endnu ikke er dækket maximal lagerbeldning œ Q S (se Figur 11.15!) Prblemet er at bestemme den ptimale værdi af Q g S. Ntatin: t t " œ œ dage med psitiv lagerbeldning, så efterspørgsel kan dækkes frtløbende dage med tm lagerbeldning, så ny efterspørgsel placeres i backrder efinitrisk relatin: Cycle Time T œ t t " 2 Gennemsnitlig lagerbeldning per dag œ " " ÐQ S)t" 0t œ ÐQ S)t" t" t T

11 Prblemet med dette udtryk er, at T g t afænger af Q g S, " vis ptimale værdier ikke kendes. Vi vil derfr gerne udtrykke T g t sm funktin af Q g S g de kendte data: " T œ Q d (frdi der i ver cycle bestilles Q eneder g efterspørgsel pr. dag knstant er d) t œ (frdi den maximale lagerbeldning er Q S) " Q S d -> Gennemsnitlig lagerbeldning per dag œ " ÐQ S)t" T œ (Q S) 2Q Årligt antal rdreafgivelser findes sm i EOQ mdellen -> Q Lad s nu bestemme det gennemsnitlige backrderniveau: Gennemsnitligt backrderniveau per dag œ 0t (SÎ2)t (SÎ2)t T œ T " Idet: T œ Q d (sm venfr) S t 2 œ d (frdi S er det maximale backrderniveau g efterspørgsel pr. dag knstant er d) (S 2)t T Î -> Gennemsnitligt backrderniveau œ œ 2Q S Ntatin: C: lding cst ved at ave en ened liggende på lager i et år

12 C: mkstninger pr. rdre C: backrder cst ved at ave en ened liggende i b backrder i et år e ttale mkstninger pr. år (TC) kan erefter beregnes: (Q S) S 2Q Q 2Q TC œ C C C b Prblem: Bestem ptimal rdrestørrele Q g planlagt backrderneveau S, så TC minimeres. et gøres ved at bestemme de partielt afledte til TC m..t. Q g S, sætte disse lig 0, g løse det resulterende ligningssystem m..t. Q g S: $ TC 2(Q S) 2Q 2(Q S) S $ Q 4Q Q 2Q (1) œ C C C œ 0 $ TC 2(Q S) 2S $ S 2Q 2Q (2) œ C C œ 0 (2) gør det muligt at udtrykke det ptimale Ssm funktin af det ptimale Q À b 2 b S œ Q C C C b (1) kan efter multiplikatin med 2Q på begge sider af ligedstegnet reduceres på følgende måde: b (Q S)C SC œ 2C QC S(C C) œ 2C b

13 Efter indsættelse af værdien fr det ptimale S sm funktin af det ptimale Q i dette udtryk fås 2 QC C Cb C C b C C C œ QC œ 2C QC( ) 2C b eller Q œ É 2C C C C C b b Vi ar dermed fundet værdien af det ptimale Q g S: É 2C C Cb C C C C C Q œ g S œ Q b b Vi mangler nu blt at kntrllere, m anden rdens betingelserne er pfyldt. ette kan vises at være tilfældet.

14 Mængderabatter i EOQ-mdellen: ata: rabat kategri rdre størrelse rabat (%) mkstninger pr. ened c " ( )c1 ã ã ã ã Bemærk: 100-2( 5 1) ( 5 1) ( 5 1) ( )c Prblemet løses i 2 steps: Jeg ar valgt at lade rabat afænge funktinelt af 5! ette vil bestemt ikke altid være tilfældet! 1) Beregn fr enver rabat kategri Q œ 2C ÎC baseret på enedsmkstninger fr pågældende kategri. -> dette indebærer blt brug af EOQ-relatinen 5 É 5 Hvis Q5 er mindre end mindste rdrestørrelse fr pågældende kategri, så sæt Q 5 til mdsvarende mindste rdrestørrelse. 2) Fr enver rdrestørrelse beregnet i 1), beregn de mdsvarende ttale lager- g købsmkstninger 5 " 5 5 Q 5 TC œ Q C C C idet C 5 g C afænger af rabat kategri > er inddrages købsmkstninger C, frdi de 5 afænger af rabat kategri!

15 et ptimale Q 5 i den rabatkategri, der minimerer TC œ min(tc 5), er ptimalt. 5 5 Bemærk: Hvis et ptimalt Qfr en given kategri verstiger øvre rdrestørrelse fr denne kategri, d.v.s i eksemplet venfr, så vil denne kategri g det ertil svarende Q aldrig kunne være ptimalt. Årsagen er selvfølgelig, at lavere ttalmkstninger kan pnås med rabatterne i kategrien med rdrestørrelser svarende til Q.

16 Enkelt peride mdel med prbabilistisk efterspørgsel: ata: En sandsynligedsfrdeling fr efterspørgslen. C: mkstninger pr. ened der ikke kan sælges, frdi efterspørgsel er verestimeret -> vi står er med en restbeldning C: mkstninger pr. ened der kunne sælges, men u ikke er slgt, frdi efterspørgsel er underestimeret -> der er er udslgt - men flere eneder kunne ave været slgt Prblemet kan erefter løses ved 38-</7/8>+6+8+6C=3=. en metde indebærer sammenligning af frventede mkstninger ved bestilling af en yderligere ened med frventede mkstninger ved at afstå fra bestilling af denne ened: Ordre Tab vis Omkstninger pr.ened ss. fr tab Q 1 C P(efterspørgselŸ Q) Q efterspørgsel verestimeret efterspørgsel underestimeret C u P(efterspørgsel Q) Vi kan nu beregne det frventede tab ved bestilling af Q v. Q 1 eneder: EL Q œ 1 C P(efterspørgsel Ÿ Q) EL œ C P(efterspørgsel Q) Q u

17 Hvad er den ptimale rdrestørrelse Q? Hvis EL er mindre Q 1 end EL, så er det bedre at købe Q 1eneder end Q eneder. Q Men det kunne tænkes at være endnu bedre at købe Q 2 eneder. erfr sammenlignes erefter EL med EL. Q 2 Q 1 er frstsættes på denne måde, idet den ptimale rdrestørrelse findes sm det Q, der pfylder EL œ EL Q 1 Q Men det er gså muligt at bestemme Q sm funktin af frdelingsfunktinen P, idet det fra statistikundervisningen erindres, at P(efterspørgsel Q) œ 1 P(efterspørgsel Ÿ Q) Optimum kan derfr karakteriseres ved C P(efterspørgsel Ÿ Q) œ C (1 P(efterspørgsel Ÿ Q)) -> P(efterspørgsel Ÿ Q) œ C u C C u u

18 Bestemmelse af rdrestørrelse g bestillingspunkt i en flerperidemdel med prbabilistisk efterspørgsel: EOQ med prbabilistisk efterspørgsel 1) Bestemmelse af Q Q œ É E()C vr E() angiver frventet efterspørgsel Hermed kan frventet antal rdreafgivelser pr. år gså bestemmes E() Î Q 2) Bestemmelse af rerder pint r: Bestem sandsynligedfrdeling fr efterspørgsel i lead time periden (f.eks. en nrmalfrdeling). Bestem det gennemsnitlige antal stckuts (tilfælde med efterspørgsel der ikke kan dækkes p.g.a. tmt lager), der kan accepteres i løbet af et år. Kald dette antal max =9 Þ Lad 8 betegne antal rdreafgiveelser pr. år. Rerder pint r max kan erefter vælges så vi i øjst =9 8 "!!% af periderne mellem afgivelse g levering af rdre frventer et stckutþ r E( PX) måler nu sikkeredslageret; d.v.s. det ekstra lager, der pretldes fr at reducere sandsynligeden fr stckuts. E( PX) angiver er den frventede efterspørgsel i lead time periden.e frventede mkstninger fr lagersystemet kan nu pgøres til E() " " Q PX E(TC) œ C Q C Ðr E( ) Ñ C Bemærk: Mdellen er karakteriseret ved en stadig vervågning af lagerbeldningen g afgivelse af rdre, når lagerpsitinen er af værdi r. C

19 Perid Review Mdel wit Prbabilistic emand: enne mdel er karakteriseret ved, at rdrer afgives på faste tidspunkter uanset aktuel lagerbeldning. Periden mellem t på inanden følgende rdreafgivelser betegnes review periden Ntatin: Q: rdrens størrelse M: maximal lagerpsitin (replenisment niveau) H: aktuel lagerpsitin på tidspunktet fr afgivelse af rdre Q œm H Frudsætter lead time peride ikke er længere end reviewperide, idet en rdre da vil blive leveret før næste review peride. Prblemet er at bestemme det fretrukne M. ette kan i praksis ske ved at vælge M, så sandsynligeden fr stckut inden afgivelse af næste rdre ikke verstiger et givet niveau!%. Ordrens størrelse plus aktuel lagerbeldning må være tilstrækkelig til at dække den frventede efterspørgsel i review periden plus den frventede efterspørgsel i kmmende lead time peride. Hvis frdelingen fr denne efterspørgsel er kendt, kan M bestemmes, idet P(efterspørgsel M) Ÿ!%. Lad efterspørgsel være nrmalfrdelt med middelværdi. g standardafvigelse 5. Så gælder M œ. z5 vr z måler antal standardafvigelser, der kræves fr et nå det ønskede sandsynligedsniveau!%.