Spingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen
|
|
- Anders Villadsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 40 Formidlingsaktivitet Spingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen Indledning Som en del af kandidatuddannelsen i matematik forlanges det, at den studerende udfører visse formidlingsaktiviteter. Denne artikel er en sådan formidlingsaktivitet. Da jeg i skrivende stund er ved at færdiggøre mit speciale i matematik, er det nærliggende at prøve at beskrive nogle af ideerne deri. Der gives i denne artikel således en kort introduktion til nogle centrale begreber inden for et område af differentialgeometrien kaldet spingeometri. Som navnet antyder, har disse matematiske ideer oprindeligt fundet anvendelse i kvantemekanikken, men har med tiden udviklet sig til et selvstændigt matematisk forskningsfelt med flere forskellige grænseflader til andre områder af matematikken. Mere præcist forsøges det at give en delvis præsentation af spingruppen og spinrepræsentationen. Delvis i den forstand, at præsentationen retter sig mod læsere med få matematiske kundskaber, dvs. det forudsættes blot, at læseren er bekendt med lineær algebra og elementær gruppe- og ringteori. Dette betyder naturligt nok, at en del af historien må simplificeres eller udelades. Et dybere kendskab til spingeometri kan opnås ved at læse mere i fx. [3]. Inden vi begiver os ud i den mere formelle behandling af spingruppen og spinrepræsentationen, vil jeg skrive lidt om, hvad mit speciale handler om, og hvad der har ledt mig til at skrive om netop dette. Specialet handler om harmonisk analyse på en særlig differentialgeometrisk struktur, mere præcist det hyperbolske rum, hvortil spingruppen har en særlig relation. Interessen for dif- Famøs juni 2007
2 Søren Ladegaard Kristensen 41 ferentialgeometri opstod, da jeg ved lidt af et tilfælde tog kurset 3GE (på den gamle studieordning, nu omtrent svarende til Geom 1 og delvist Geom 2). Her studeredes kurver og flader i rummet, som er elementære eksempler på differentiable mangfoldigheder. Disse er abstrakte topologiske rum, som løst sagt ligner det Euklidiske, når man kigger tæt nok på (under en topologisk optik). Tanken om, at man indefra" kan beskrive højdimensionale rum med finurlige krumninger og andre egenskaber finder jeg ret fascinerende. Et efter min mening utroligt dybsindigt eksempel herpå er den almene relativitetsteori, der beskriver fysiske fænomener (tyngdekraft) som en rent geometrisk egenskab (krumning) ved rummet, eller rettere rumtiden. Mit bachelorprojekt kom således til at handle om mangfoldigheder, og hvordan man kan tænke på dem som delmængder af det Euklidiske rum (Whitneys indlejringssætning). I mit første kandidatprojekt ønskede jeg at lære mere om mangfoldigheder, mere præcist Liegrupper og såkaldte homogene rum af disse. Det tidligere nævnte hyperbolske rum er et homogent rum af spingruppen (som er en Liegruppe). Mit andet kandidatprojekt kunne efter reglerne ikke igen handle om differentialgeometri, så jeg søgte efter et godt emne inden for funktionalanalysen. Jeg fik ideen at kombinere studiet af homogene rum med analyse gennem et gammelt nummer af FAMØS, hvori Professor Henrik Schlichtkrull skrev en artikel om sin forskning i harmonisk analyse. Ideen i harmonisk analyse er meget kort fortalt at beskrive en funktion på en givet mængde som en sum (i en eller anden forstand) af mere simple funktioner eller at opsplitte et vektorrum af funktioner i simplere underrum. Er mængden den reelle akse, kan en funktion med passende egenskaber, som bekendt for de fleste, fremstilles som en sum af periodiske funktioner kaldet Fourierrækken. Tingene bliver naturligt nok væsentligt mere komplicerede, når mængden erstattes med en mere abstrakt 20. årgang, nr. 2
3 42 Spingrupper og spinrepræsentationer mængde. Et centralt resultat i harmonisk analyse er dekomponeringen af Hilbertrummet af kvadratisk integrable funktioner på en givet mængde. Et teorem, der beskriver en sådan dekomponering kaldes et Plancherelteorem. Formålet med mit andet kandidatprojekt var at bevise et Plancherelteorem for funktioner på Abelske lokalkompakte topologiske grupper, og således var specialeemnet lagt i rammer: harmonisk analyse på homogene rum (af en slags). Min vejleder, Henrik Schlichtkrull, tilføjede ideen om at studere det hyperbolske rum og prøve at formulere et Plancherelteorem for såkaldte spinorer, der kan opfattes som en type funktioner defineret på spingruppen. Cliffordalgebraen En mulig vej til en definition af spingruppen er via Cliffordalgebraen. Lad os først indføre begrebet algebra. Lad K være et legeme og A et endeligdimensionalt vektorrum over K. Vi siger at A er en K-algebra, hvis der findes en associativ multiplikation A A A, (x, y) xy, som opfylder de distributive love x(y+z) = xy+xz og (x + y)z = xz + yz samt λ(xy) = (λx)y = x(λy), hvor x, y, z A og λ K. En lineær afbildning f : A B mellem K-algebraer A og B siges at være en algebrahomomorfi, hvis f(xy) = f(x)f(y) for alle x, y A. Vi skriver A = B og siger at A og B er isomorfe, hvis der findes en bijektiv algebrahomomorfi mellem dem. Findes der i en algebra et neutralt element for multiplikationen, kaldes dette en enhed. Bemærk at en algebra med enhed specielt er en ring. Vi vil ikke konstruere Cliffordalgebraen i detaljer, men blot nævne dens vigtigste egenskaber. En mere grundig fremstilling findes i [2], kap.3. Cliffordalgebraen er nært relateret til kvadratiske former defineret som følger. Famøs juni 2007
4 Søren Ladegaard Kristensen 43 Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum over legemet K. Ved en kvadratisk form på V forstås en afbildning q : V K som opfylder at q(av) = a 2 q(v) for a K og v V samt at afbildningen V V K givet ved (v, w) 1 (q(v + w) q(v) q(w)) 2 er lineær i hver variabel. Cliffordalgebraen Cl(V, q) er kort fortalt en K-algebra med enhed, der er genereret af V, sådan at der gælder v 2 = q(v) 1 for alle v V. Specielt er V indeholdt som underrum i Cl(V, q). Cliffordalgebraen er karakteriseret ved følgende universelle egenskab: Sætning 1 Lad A være en K-algebra med enhed 1 A og lad f : V A være en lineær afbildning der opfylder f(v) 2 = q(v) 1 A. Da findes en entydig algebrahomomorfi f : Cl(V, q) A sådan at f = f ı. Endvidere er Cliffordalgebraen pånær isomorfi den eneste algebra med denne egenskab. Dette bevises i [2], Prop Spingruppen Et element x i en algebra A med enhed kaldes invertibelt, såfremt der findes x 1 A sådan at xx 1 = x 1 x = 1. De invertible elementer i Cliffordalgebraen udgør en multiplikativ gruppe kaldet Cl (V, q). Hvis v V og q(v) 0 gælder v Cl (V, q), idet da v 1 = v q(v). Dette leder os til følgende definition af spingruppen: Definition 2 Spingruppen Spin(V, q) er undergruppen af gruppen Cl (V, q) bestående af elementer på formen v 1 v k, hvor v i V, q(v i ) = ±1 og k er lige. Her sættes det tomme produkt (k = 0) til årgang, nr. 2
5 44 Spingrupper og spinrepræsentationer For nemheds skyld vil vi nu fokusere specifikt på Cliffordalgebraen Cl(n) := Cl(C n, q n ), hvor q n er den kvadratiske form på C n givet ved q n (z 1,..., z n ) = z z 2 n, (z 1,..., z n ) C n Ud fra Cliffordalgebraens universelle egenskab kan det vises, at hvis q 1 og q 2 er kvadratiske former på C n, så er Cl(C n, q 1 ) = Cl(C n, q 2 ). I denne forstand ligger der altså ingen væsentlig begrænsning i kun at betragte tilfældet q = q n. Den tilhørende spingruppe Spin(C n, q n ) noteres Spin(n, C). Spinrepræsentationen Cliffordalgebraerne Cl(n) kan klassificeres på simpel vis som matrixalgebraer. Lad M n (K) betegne algebraen af n n-matricer med matrixelementer i legemet K. Da gælder: Sætning 3 Cl(n) = { M2 [ n (C) M 2 ] 2 [ n (C) n ulige 2 ] M 2 [ n (C) n lige 2 ] hvor [ ] betegner heltalsdelen. For uddybende behandling af klassifikationen af Cliffordalgebraer, se [3], kap.1, 4. En måde at studere grupper på er at undersøge, hvordan de virker på et vektorrum. Dette er meget kort fortalt ideen i repræsentationsteori. Spingruppen er interessant af flere grunde, dels fordi den har en fundamental virkning, dvs. en repræsentation, på rummet af spinorer, som præciseret i det følgende. Vi definerer først nogle elementære repræsentationsteoretiske begreber. Famøs juni 2007
6 Søren Ladegaard Kristensen 45 Definition 4 Lad G være en gruppe og S et vektorrum. Da er en repræsentation af G på S en gruppehomomorfi ρ : G GL(S). Tilsvarende kan vi definere en repræsentation af en algebra A som en algebrahomomorfi ρ : A End(S). Et underrum S S siges at være invariant under G (hhv. A) såfremt ρ(x)s S for alle x G (hhv. A). En repræsentation siges at være irreducibel, hvis {0} og S er de eneste invariante underrum. To repræsentationer ρ 1 og ρ 2 på S kaldes ækvivalente, hvis der findes en isomorfi Φ : S S sådan at ρ 1 Φ = Φ ρ 2. Et element i M n (K) definerer på oplagt vis en endomorfi af K n idet et basisvalg for K n er foretaget. Dette giver anledning til den såkaldte standardrepræsentation ρ af M n (K) på K n. Der gælder at standardrepræsentationen af matrixalgebraen M n (K) pånær ækvivalens er den eneste irreducible repræsentation af M n (K) på K n. Matrixalgebraen M n (K) M n (K) har pånær ækvivalens netop to irreducible repræsentationer, nemlig ρ 1 (ϕ 1 ϕ 2 ) = ρ(ϕ 1 ) og ρ 2 (ϕ 1 ϕ 2 ) = ρ(ϕ 2 ), hvor ϕ 1, ϕ 2 M n (K) (se [3], kap.1, 5, Thm.5.6). Antag i det følgende at S = C 2[ n 2 ]. Af ovenstående følger nu, at når n er lige har Cl(n) = M 2 [ n 2 ] (C) pånær ækvivalens netop én irreducibel repræsentation på S. Tilsvarende når n er ulige har Cl(n) = M 2 [ n 2 ] (C) M 2 [ n 2 ] (C) pånær ækvivalens netop to irreducible repræsentationer på S. Vi definerer nu spinrepræsentationen: Definition 5 Spinrepæsentationen σ : Spin(n, C) GL(S) er restriktionen af en vilkårlig irreducibel repræsentation ρ : Cl(n) End(S) til Spin(n, C) Cl(n). Vektorerne i S kaldes spinorer. Ovenstående overvejelser om antallet af irreducible repræsentationer af Cl(n) kan nu anvendes til at vise, at definitionen af 20. årgang, nr. 2
7 46 Spingrupper og spinrepræsentationer spinrepræsentationen er uafhængig af, hvilken irreducibel repræsentation ρ : Cl(n) End(S) vi vælger. Beviset er for omfangsrigt for denne artikel, så der henvises til [2], Prop Den specielle ortogonale gruppes forbindelse til Spin(n, C) Betragt nu repræsentationen π : Cl (n) GL(Cl(n)) givet ved π(x)y = xyx 1, hvor x Cl (n) og y Cl(n). Det kan vises, at restriktionen af π til Spin(n, C) Cl (n) giver en homomorfi π : Spin(n, C) SO(n, C) (se [3], s.14-19), hvor SO(n, C) er den specielle ortogonale gruppe bestående af orienteringsbevarende lineære transformationer af C n Cl(n) som bevarer den kvadratiske form q. En kæde af grupper G i og gruppehomomorfier π i på formen π i 1 π G i 1 G i i Gi+1 siges at være eksakt, hvis ker π i = G i og Imπ i = G i+1 for alle i. Med K = C gælder at følgende kæde er eksakt: 0 {±1, ±i} ı Spin(n, C) π SO(n, C) 0 hvor ı er indlejringen af {±1, ±i} i Spin(n, C) (se [2], Prop. 4.8). For læsere med kendskab til topologi og Liegruppeteori kan det afslutningsvis bemærkes, at spingruppen har Liegruppestruktur og homomorfien π er en Liegruppehomomorfi. Med udgangspunkt i ovenstående eksakte følge kan det vises, at Spin(n, C) er en overlejringsgruppe for SO(n, C). Sidstnævnte er en sammenhængende gruppe og har således en enkeltsammenhængende overlejringsgruppe ([4], Thm.3.25), som netop er spingruppen. Dette kan anvendes til en enklere, men mere abstrakt, karakterisering af spingruppen. Famøs juni 2007
8 Søren Ladegaard Kristensen 47 Litteratur [1] Greub, W.H.: Multilinear Algebra", Springer Verlag 1967 [2] Kristensen, S.L: L 2 harmonic Analysis for Spinors on Hyperbolic Space", Speciale i matematik. Forefindes (snart) i biblioteket [3] Lawson, H.B. og Michelsohn M.L.: Spin Geometry", Princeton University Press 1989 [4] Warner, F.W.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups", Scott, Foresman and Company årgang, nr. 2
Redaktion. Indhold. forskningsgrupper præsenterer sig forrest og bagerst i dette. Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik
Indhold FAMØS Forskningsgruppen Algebra og Talteori.......... 2 Forskningsgruppen Geometrisk Analyse og Matematisk Fysik............................ 5 Divisibilitetsregler....................... 9 Side
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs merep = d, q = multiplikation med x, dx hvor d T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C
1. Den ikke-kommutative verden 1.1. Lidt historie. Historien begynder samtidig med det tyvende århundrede, med opdagelse af de sære egenskaber af mikrokosmos såsom spektra af atomer og molekyler, fotoelektrisk
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereHyperelliptisk kurve kryptografi
Christian Robenhagen Ravnshøj NKS November 2007 Elliptiske kurver Gruppelov på elliptisk kurve R P Q P Q R = 0. Elliptiske kurver Elliptisk kurve kryptografi Gruppelov giver krypto baseret på elliptisk
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mere4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereBroer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereMATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1
PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereGAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN
GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mere5 opgaver er korrekt besvarede.
KØbenhavns universitet N a turvidenskab e lig embeqsek~a!,!len vfnteren,1963-64... ----- MATEMATIK 1. Skriftlig prøve 2, (algebra og geometri).. Alle hjælpemidler er tilladt. En besvarelse betragtes som
Læs mere