Geoide måling med GPS. Bo Høegh Frederiksen Alexander Colliander Hansen Lea Kamille Drescher Sørensen 26. marts 2007
|
|
- Christian Ravn
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Geoide måling med GPS Bo Høegh Frederiksen Alexander Colliander Hansen Lea Kamille Drescher Sørensen 26. marts
2 INDHOLD INDHOLD Indhold 1 Forord 3 2 Formål 3 3 Teori Geoide Satelliter Positions bestemmelse Keplers love GPS Differentiel GPS Eksperiment Udstyr Resultater Søerne i København Damhussøen Diskussion Søerne i København Damhussøen Konklusion 16 7 Litteraturliste 17 A Appendix 18 A.1 Figurer A.2 Tabeller
3 3 TEORI 1 Forord I 1978 begyndte det amerikanske militær at sende satelliter op til deres GPS system. Meningen var at man skulle have en pålidelig metode til at bestemme sin position, ligemeget hvor på kloden man befandt sig, og hvordan vejret var. I starten af 90 erne var systemet fuldt udbygget og klar til brug. Men GPS systemet kan bruges til meget mere end bare at finde vej. Man finder på flere ting man kan bruge GPS til hele tiden, både indefor militæret, men også til civilt brug. En af de ting man kan bruge GPS til er at bestemme variationer i landskabets højde. Hen over søer og have vil disse variationer skyldes det varierende tyngdefelt, i det vand jo altid vil ligge vandret. Ved hjælp af differentiel GPS kan man bestemme positioner ned til milimeters nøjagtighed. På geoide modeller kan man se at geoiden hæver sig ca. 60 meter fra Rusland til Island i forhold til ellipsoiden, i Danmark hæver vandet sig ca. 2,5 cm pr. km. Ved at benytte differentiel GPS vil vi bestemme dennne højdeforskel på nogle af de københavnske søer. 2 Formål Vi ønsker, at gennemføre målinger på nogle søer i København der kan vise os tyngdefeltetsvariation. Ifølge Newton vil et lod altid pege mod Jordens centrum, hvis man lader det hænge stille i Jordens tyngdefelt og der ikke er andre kræfter der påvirker det, men sådan befinder det sig ikke i virkeligheden. Jorden har et varierende tyngdfelt, alt efter hvor på kloden man befnder sig. I Danmark er vi påvirket af nogle tunge masser, det ligger oppe omkring Island, så i Danmark vil et lod afvige i vest-nordvestlig retning, denne afvigelse kaldes lodafvigelsen, (Se Figur 2). Vi vil vha. GPS måle denne afvigelse, ved at måle højdeforskellen fra den ene bred til den anden i nogle søer i København. Dette vil kræve at vi sætter os ind i hvordan satellit positionering fungerer. 3 Teori 3.1 Geoide Geoiden er den overflade, som vandoverflader på Jorden ville have, hvis vandet var helt i ro og lagde sig til rette i forhold til variationerne i tyngdefeltet. 3
4 3.1 Geoide 3 TEORI De steder, hvor tyngdefeltet er relativt stærkt, samler vandet sig og hæver havoverfladens højde i forhold til de steder, hvor tyngdefeltet er svagere. På den måde afspejler variationerne i havets højde, variationer i Jordens tyngdefelt, som illustrerert ved Figur 7 i Appendix. Variationerne i Jordens tyngdefeltet skyldes hovedsageligt, at havdybden ændrer sig eller der er synlige bjerge. Der, hvor der er undersøiske masser, som f.eks. oppe omkring Island (Se Figur 1), er tyngdefeltet stærkere, end der hvor der er undersøiske dale. Variationer i tætheden i havbunden har også en betydning for tyngdefeltet. Vandstanden vil være højere omkring Island, pga. de tunge underjordiske masser, dette vil også påvirke vandhøjden i Danmark, derfor skulle vi gerne kunne se, at vandhøjden i den ende, der vender op mod Island, er højere end i den anden ende af søen. Figur 1: Tyngdevariationer i Nordatlanten På figuren visser de røde og gule farver, der hvor tyngdefeltet er relativt stærkt, mens grønne og blå farver markerer der hvor tyngdefeltet er relativt svagt. Geoide-modellen er sådan som vandet ville ligge, hvis det lå helt i ro, men det er ikke nemt at bestemme geoidens udseende, da der er mange faktorer der påvirker vandets bevægelse, f.eks. har Solen og Månens tiltrækning en indvirkning på store vandoverflader, det vi kender som ebbe og flod. Den højdforskel vi måler, vil dog ikke være påvirket af Solen og Månens tiltrækningskraft, da denne kraft ikke er stor nok, til at gøre en forskel på de søer vi måler på. Viden om tyngdefeltets variationer giver oplysninger om jordskælv, vulkanudbrud, jordpladernes hævning efter sidste istid, samt om Jordens indre opbygning. Det kan også bruges til, at kunne kortlægge havstrømme, havover- 4
5 3.2 Satelliter 3 TEORI fladens niveau og ændringer i Jordens isdække. Alt dette kan bruges så man kan holde øje med Jordens klima ændring. På Galathea 3 ekspeditionen laver de også GPS målinger på havoverfladen. For tiden benyttes GPS- og tyngde-målinger til at fastlægge tyngdefeltets variation. Selvom man benytter GPS til at måle på geoien, måler man også på geoiden for at kunne forbedre GPS udstyret. For at satellitten skal kunne give GPS udstyret de helt rigtige fysiske koordinater skal geoidens form kendes helt korekt, så man kan angive sin højde over havet, se figur 2. Figur 2: Her kan man se hvordan ellipsoiden og geoiden forholder sig til hinanden. Ellipsoiden er den matematiske tilnærmelse på Jordens form, det er de koordinater GPS modtageren vil give, hvis man ikke fastlægger geoiden. Ellipsoiden er en fladtrykt kugle, da Jordens rotation gør at Jorden ikke er kuglerund, men har form som en ellipse. 3.2 Satelliter For at kunne bestemme sin postition skal man bruge mindst 4 satelliter. Hvis der er mere end 4 tilgængelige bruges disse til at gøre positions bestemmelsen mere præcis. Med 4 satelliter kan man opskrive 4 ligninger med 4 ubekendte, som kan løses så man får X-,Y-, Z-koordinaterne samt bestemme tiden. Satelliterne bruger meget præcise atom-ure til at holde styr på tiden. GPS satelliterne befinder sig ca km over Jordens overflade, og har en omløbstid på 11 timer of 58 minutter. De bevæger sig altså med en hastighed på lige under 3,9 km/s. Den generelle relativitetsteori siger at urene 5
6 3.3 Positions bestemmelse 3 TEORI ombord på satelliterne vil gå ca nano sekunder hurtigere pr. dag, end et tilsvarende atom-ur på Jorden, idet Jordens tyngdefelt er svagere oppe i den højde satelliterne befinder sig i. Den specielle relativitets teori fortæller os, at urene ombord på satelliterne vil få en tidsforlængelse, givet ved: Hvor γ er: t = t γ t = 24 h dag 3600 s h γ 24 h dag 3600 s h γ = 1 1 v2 c 2 = 7200 ns dag Satelliternes ure vil altså se ud til at gå 7200 nano sekunder langsommere pr. dag end ure på jorden, på grund af den specielle relativitets teori. Samlet får vi altså en tidsforskydelse på: t = t g rel + t s rel = 45900ns 7200ns = 38700ns Urene i satelliterne vil derfor tikke nano sekunder hurtigere pr. dag. Denne forskel kan man naturligvis ikke have, man korrigerer for det, ved at indregne fejlen i frekvensen af de signalerne som satelliterne udsender. 3.3 Positions bestemmelse Vi kan finde vores position ved at se på 3 kugler, hver kugle har en satellit som centrum. For at gøre udregningerne lidt simple sætter vi alle tre kuglers centrum til at have z-koordinaten 0, Vi sætter den første kugle til at have x-koordinaten 0, mens den anden kugle ligger langs x-aksen. Man vil altid kunne sætte et koordinatsystem på denne måde, hvis man har 3 kugler. Vi kan altså skrive 3 ligninger op: r 2 1 = x 2 + y 2 + z 3 r 2 2 = (x d) 2 + y 2 + z 2 r 2 3 = (x i) 2 + (y j) 2 + z 2 Idet vi kender r 1, r 2, r 3, d, i og j, kan (x, y, z)-koordinaterne til B bestemmes. Pga. usikkerheder vil alle 3 kugler dog ikke nødvendigvis krydse hinanden i netop samme punkt. Det er derfor man foretrækker at have så mange satelliter som muligt, i forskellige vinkler i forhold til hinanden. Idet man i praksis aldrig vil få netop ét skæringspunkt vil GPS modtageren udrenge det mest sandsynlige punkt udfra det område som ligger indenfor alle kuglerne. 6
7 3.4 Keplers love 3 TEORI Figur 3: Vi står i B, vi kender reference punkterne P1, P2 og P3 som repræsenterer satelliterne. Når vi kender r1 kan vi bestemme vores position til at ligge på en cirkel, når vi så kender r2 kan vi enten befinde os i A eller B, den tredje måling r3 giver os koordinaterne til B 3.4 Keplers love Til vores forsøg ville vi gerne måle på et tidspunkt, hvor der var bedst mulig chance for at have et par satelitter mere end absolut minimum. Til dette kan man hente en almanak fra satelliterne, hvor man får oplysninger om satelliternes position, deres retning og fart, dette kaldes for satelliternes Kepler elementer. Man lægger så disse elementer ind i et computer program, som bruger Keplers love til at udregne satelliternes position til et givent tidspunkt op til ca. en uge frem i tiden. Grunden til at man ikke kan regne længere frem er at satelliternes baner forskydes en smule pga. Jordens tyngdevariation. Keplers første lov siger, at en satellit bevæger sig rundt om Jorden i en elliptisk bane, med Jorden i det ene brændpunkt. Med GPS satelliter prøver man at gøre ellipsen så cirkulær som mulig, ellipsens excentricitet vil derfor ligge tæt på 1. Newtons anden lov siger at: mẍ = F Hvor ẍ er accelerationen. Denne lov bruges bl.a. når man skal lave udregninger med satellit baner, som skal tilfredsstille: m v2 r = GMm r 2 Hvor v er hastigheden, G er graviationskonstanten, M er her Jordens masse, mens m er sattelitens masse, r er afstanden til Jordens masse centrum. Ven- 7
8 3.5 GPS 3 TEORI stresiden her er centripetalkraften som peger væk fra Jorden, mens højresiden er gravitationskraften som Jorden trækker i satelliten med. Hvis vi ganger med r 2 /m i ovenstående ligning får vi: v 2 r = GM Idet GM er konstant, kan vi se, at hvis satelliten kommer tættere på Jorden (r bliver mindre), så kan vi se at hastigheden nødvendigvis må stige, netop hvad Keplers anden lov siger. Keplers anden lov siger at radiusvektoren dækker lige store arealer i lige store tidsrum. Det betyder at satelliten vil bevæge sig en smule hurtigere når den er tættest på Jorden, end når den er længs fra Jorden. Ved at gøre satellit banen så cirkulær som mulig får man også at satelliten vil bevæge sig med næsten samme hastighed i hele sin bane. Keplers tredje lov siger at: a 3 T 2 = konstant Hvor a er den halve storakse i en ellipse, i en cirkulær bevægelse vil det bare være radius af cirklen. T er omløbstiden. 3.5 GPS GPS (Global Positioning System) systemet er udviklet af det amerikanske forsvar i I dag bliver GPS brugt til mange formål. Det mest almindeligt kendte er nok til navigationsudstyr for både fly, skibe og biler, til landmåling og indefor byggebranchen. Positions bestemmels kan ses under afsnitet om satelliter. Fra satelliterne bliver der udsendt en grundfrekvens på ν 0 =10,23 MHz, denne frekvens bliver så divideret eller ganget med en faktor for at skabe flere signaler, der er i alt 5 typer, det er bærefrekvenserne L1 til L5. På disse 5 frekvenser bliver der lagt data ind, et GPS signal består af 3 dele: C/A (Coarse/Acquisition), D (navigations meddelelse med korrektioner af Kepler elementerne) og P (Præcision), det er disse datasæt man bruger til at bestemme position, P-koden er forbeholdt militæret dvs. de krypterer den så det kun er deres egne folk, der kender koden kan bruge den. Med P-koden kan man få en meget præsis nøjagtighed helt ned i cm. Kepler elementerne består bla. af, kvadratroden af den halve storakse, excentriciteten og inklinationen. Datasættende C/A, P og D bliver moduleret ind på bærebølgen. På L1 bliver C/A-, P- og D-koder lagt ind og på L2 bliver P- og D-koder lagt ind. 8
9 3.5 GPS 3 TEORI Signal: Gangefaktor: Bølgelænde: Frekvens: Grundfrekvens 1 10,230 MHz 29,0615m Bærebølge L ,420 MHz 0,1887m Bærebølge L ,600 MHz 0,2422m P kode 1 10,230 MHz 29,0615m C/A kode 0,1 1,023 MHz 290,6153m D kode 1/ ,00E-05 MHz 5, m Bærebølge L MHz 0,2153m Bærebølge L4 134, MHz 0,2154m Bærebølge L5 115, MHz 0,2527m C/A-koden består af en bit lang pseudo-tilfældig kode som er entydigt bestemt. Denne kode bliver opdelt i 37 stykker, og hver satellit får så en stump på bit af koden. Hver satellit gentager sin C/A-kode med 1 ms mellemrum. Alle GPS modtagere har hele koden, så den kan regne ud hvilken satellit den del af koden den har modtaget kommer fra. P-koden minder i høj grad om C/A koden i sin opbygning, men er betydelig større og indeholder meget mere information, den består af omkring 2, bit, idet at P-koden indeholder så meget mere information end C/A-koden, følger også at den er bedre hvis man skal bruge en nøjagtig positionsbestemmelse. P koden deles, som C/A koden, i 37 stykker, som tildeles de enkelte satellitter. P-koden bliver nulstillet en gang om ugen kl natten mellem lørdag og søndag (UTM tid, GPS uge). D-koden indeholder korrektioner til satelliternes bevægelse og tidsangivelse. Disse oplysninger udsendes en gang i timen. De sidste 3 bærefrekvenser L3, L4 og L5 bliver brugt til: L3: Det Amerikanske forsvar bruger den bærefrekvens til at bestemme missilaffyringer, atomvåben detonationer og høj energi infrarød stråling L4: Bruges til rettelse af ionosfæriske forstyrrelser. L5: Bliver først brugbar i 2008, skal da bruges til forbedring af GPS udstyret i flyvere. GPS konstellationen består af 30 aktive satelliter, samt nogle ekstra satelliter der kan tage over, hvis en aktiv satellit går i stykker. Deres baner har ca 55 inklination i forhold til Jordens ækvator, deres baner vender altså lige over Danmark. Pga. deres højde kan vi derfor her i Danmark også modtage data fra satelliter der vender ovre på den anden side af Nordpolen. Satelliterne var tidligere placeret i bestemte baner rundt om Jorden, med et mellemrum på 60 mellem sig, dengang var der kun 24 aktive satelliter, 9
10 4 EKSPERIMENT men fra februar 2007 er man gået over til en ikke-uniform model, hvor der altså er 30 aktive satelliter. Grunden til at man nu er gået over til en ikkeuniform model er, at den gamle model ikke garanterede præcise målinger hele døgnet over hele kloden, GPS systemets stigende popularitet har gjort at man mente det var nødvendigt at indføre dette nye system, som garanterer mindst 4 satelliter overalt på Jorden hele døgnet Differentiel GPS Som nævnt tidligere er de mest nøjagtige koder ikke tilgængelige for civile, og det er derfor ikke så præcise positioner man får givet på GPS udstyret, der er dog noget man kan gøre, for at få et mere præcist resultat. Denne metode kaldes for Differentiel GPS, den går ud på at man sætter en modtager op på en kendt position, og så lader den logge data mens man måler med en anden modtager i det punkt man vil kende positionen til. Det er vigtigt at de måler samtidig, da man på den måde vil få data fra de samme satelliter, og derfor får den samme fejl på de to målinger. På samme måde skal målepunktet heller ikke være mere end 50 km væk fra referencepunktet, hvis man vil have målinger udfra de samme satelliter, på denne måde får man også ca. samme fejl fra ionosfæren og troposfæren. De lagrede data indlæses i en computer. Man kan så sammenligne P-koderne fra det kendte punkt med P-koderne fra målepunktet, og derved få en godt bestemt vektor mellem det kendte og det ukendte punkt. I det fejlen er den samme for de to punkter, vil fejlen forsvinde x punkt + δx fejl (x kendt + δx fejl ) = x punkt x kendt Vi kan med denne metode bestemme en vektor med en nøjagtighed på meter pr. kilometer vores målepunkt er fra vores referencepunkt. 4 Eksperiment For at kunne foretage målinger af vandhøjden, skal man kunne søsætte GPSantennerne. Man skal derfor bygge to identiske tømmerflåder, vi vælger at bygge dem i flamingo, da det er nemt at arbejde med og flyder godt. Der laves et hul i et hjørne på hver tømmerflåde, som der sættes en snor igennem. Der optegnes også en linial på to af sidderne, på hver flåde, så man kan se hvor meget flåderne synker. Vi valgte at måle på to søer, søerne i København (hhv. Peblinge sø og Sortedams sø) og Damhussøen. Vi har 4 målepunkter i København og 5 målepunkter på Damhussøen 10
11 4.1 Udstyr 4 EKSPERIMENT Inden man tager ud og måler skal man kontrollere i en satellit almanak om der er satelliter nok over det område man vil måle, der skal mindst være 4. Vi bruge et programmet, som viser satellit aktiviteten nøjagtigt på alle tidspunkter af døgnet se Figur 6 i Appendix. Man kan med fordel også sørge for at der ikke er for meget blæst, på ens måledage. Når man måler med GPS og skal bestemme sin position meget præcist, skal antennen helst ligge så stille som muligt imens man måler. Hvis der er mange satelliter kan man nøjes med at logge data i omkring 8-10 min., men hvis der kun er 4-6 skal den stå i mindst 20 min. før man har en god positions bestemmelse, jo længer tid den logger det samme sted, jo mere præcis bliver resultatet, vi har ca. logget min. ved hver position. Når vi har logget tilstrækkeligt med data, overføres daten til en computer, på computeren benytter vi et program til at bestemme koordinaterne. 4.1 Udstyr Vores GPS udstyr er lavet af Trimble. De GPS modtagere vi brugte ude ved søerne var model 5700, den der loggede data ved referencepunktet på Rockefeller var model Antennen er en Trimble Zephyr T M Geodetic. Udstyrret er specielt lavet til at foretage geodæiske målinger, og har derfor en betydeligt bedre positionsbestemmelse end almindeligt GPS-udstyr. Det program vi benytter til at danne dagens satellit almanak hedder Planning, i dette program kan man se satelliternes bevægelse omkring Jorden. GPS programmet GPSurvey 2.35 benyttes til data behandling. 4.2 Resultater Søerne i København Ved søerne i København menes nærmere bestem Peblinge og Sortedams sø. De tre første målinger blev målt ved Fredensbro og den fjerde ved Gyldenløvsgade (Figur 4). Ved hjælp af programmet GPSurvey 2.35 bestemmes punkternes possition. Med Rockefeller som vores referencepunkt får vi nu følgende værdier for højdeforskellen, afstanden og azimut. Da vi nu kender både afstanden og vinklen mellem målepunkterne og Rockefeller kan afstanden bestemmes mellem punkterne ved brug af cosinus- 11
12 4.2 Resultater 4 EKSPERIMENT Figur 4: Målepunkter ved søerne. Bemærk kortet er drejet Sted Koordinater Højde over elipsoide REF ,4587 N ,9175 E 70,813 m A ,4868 N ,5745 E 42,121 m B ,4871 N ,5687 E 42,119 m C ,8245 N ,6092 E 42,110 m D ,2121 N E 42,136 m Tabel 1: Målepunkter ved søerne Sted Højdeforskel Afstand Azimut A -28,692±0,0052 m 882,393±0,0041 m ,2174 B -28,694±0,0104 m 822,334±0,0059 m ,7617 C -28,703±0,0163 m 796,450±0,0046 m D -28,667±0,0117 m 1810,558±0,0045 m ,4732 Tabel 2: Resultaterne fra søerne relationen. Hældningen kan ligeledes bestemme ud fra en retvinklet trekant. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos ϕ sin α = h s Damhussøen Ligeledes som ved søerne havde vi vores referencestation stående på Rockefeller og logge data medens vi var ude ved søen. Denne gang havde vi 12
13 4.2 Resultater 4 EKSPERIMENT Punkt Højdeforskel h Afstand s Hældning α Azimut A,D 0,025±0,013 m 1261,810±0,0051 m 4,09±2, ,3738 B,D 0,027±0,016 m 1260,866±0,0051 m 4,42±2, ,6249 C,D 0,036±0,020 m 1248,077±0,0049 m 5,95±3, ,3278 Tabel 3: Beregnede resultater fra søerne 2 GPS-modtagere af samme model med ude ved søen. Her lavede vi i alt seks målingere af minutter. Dog af uforklarlige oversagere blev et af punkterne korrupt. Her makeret med en cirkel med streg over (Se Figur 5). Figur 5: Målepunkter ved Damhussøen Vi får følgende positioner for disse punkter. Sted Koordinater Højde over elipsoide REF ,4587 N ,9176 E 70,813 m E ,5804 N ,5620 E 45,103 m F ,6127 N ,9932 E 43,739 m G ,6606 N ,3811 E 44,357 m H ,3456 N ,3818 E 44,684 m I ,6233 N ,7498 E 43,922 m Tabel 4: Målepunkter ved Damhussøen De resterende punkter giver os nedenfor anførte positioner. På samme måde som for søerne kan højdeforskellen og afstanden til Rockefeller bestemmes (Figur 5) og tilsidst hældningen mellem punkterne. 13
14 5 DISKUSSION Sted Højdeforskel Afstand fra REF Azimat E -25,710±0,0161 m 5761,137±0,0049 m ,0010 F -25,770±0,0132 m 5671,236±0,0050 m ,0028 G -25,750±0,0140 m 5761,945±0,0042 m ,4745 H -26,129±0,0280 m 5413,609±0,0097 m ,1811 I -25,720±0,0082 m 6145,374±0,0030 m ,3016 Tabel 5: Resultater fra Damhussøen Punkt Højdeforskel h Afstand s Hældning α Azimut F,E 0,060±0,021 m 399,939±0,0016 m 30,94 ± 10, ,5177 F,G 0,020±0,019 m 402,795±0,0015 m 10,24 ± 9, ,3588 F,I 0,050±0,016 m 765,552±0,0035 m 13,47 ± 4, ,4934 G,E 0,040±0,021 m 2,867±0,0018 m 2877,87 ±1536, ,3312 G,I 0,030±0,016 m 431,299±0,0046 m 14,35 ± 7, ,1756 H,E 0,419±0,032 m 348,891±0,0108 m 247,71 ± 19, ,7085 H,F 0,359±0,031 m 432,348±0,0064 m 189,40 ± 18, ,1144 H,G 0,397±0,031 m 349,941±0,0105 m 234,00 ± 18, ,9766 H,I 0,409±0,029 m 765,867±0,0097 m 110,15 ± 7, ,8942 I,E 0,010±0,019 m 433,317±0,0051 m 4,76 ± 9, ,2602 Tabel 6: Beregnede resultater fra Damhussøen Til sammenligning har vi fået udleveret modeldata for geoide højden, disse kan ses i Tabel 7. 5 Diskussion 5.1 Søerne i København Målepunkterne A, B, C og D er allesammen forholdsvis vellykkede (Tabel 3). Usikkerhederne er dog relativt store, dette kan skyldes at der var en smule bølger, som gjorde målingerne mere unøjagtige, vi kan nu se at vi nok skulle have laddet modtagerne logge i lidt længere tid, så vi kunne have fået en mindre fejl. Det er dog værd at bemærke at vi har fået vores resultater på omkring 2, 5 cm pr. km mod Island. Geoide modellens værdier ligger næsten indenfor usikkerhederne, det er dog desværre begrænset hvor meget vi kan bruge modellens værdier til, idet den bygger på at man har indelt et kort i firkanter på ca. 2 2 km. Men når vores målepunkter kun er 1,25 km fra hinanden, så ligner det at A, B og C bare er blevet placeret i samme firkant, mens D er placeret i en anden og at vi derfor har fået at højdeforskellen skulle 14
15 5.2 Damhussøen 5 DISKUSSION Punkt Højdeforskel h, målt Højdeforskel h, model A,D 0,025±0,013 m 0,011 m B,D 0,027±0,016 m 0,011 m C,D 0,036±0,020 m 0,011 m F,E 0,060±0,021 m 0,003 m F,G 0,020±0,019 m 0,003 m F,I 0,050±0,016 m 0,011 m G,E 0,040±0,021 m 0,000 m G,I 0,030±0,016 m 0,008 m H,E 0,419±0,032 m 0,007 m H,F 0,359±0,031 m 0,004 m H,G 0,397±0,031 m 0,007 m H,I 0,409±0,029 m 0,015 m I,E 0,010±0,019 m 0,008 m Tabel 7: Beregnede højdeforskelle sammenlignet med værdier fra en geoide model. være den samme mellem alle punkterne, som kan ses i Tabel 7. Alle målinger her giver os en hældning i den retning vi havde forventet. 5.2 Damhussøen På Damhussøen er det ikke alle målepunkter der er blevet lige gode, der var en del bølger da vi var ude og måle, vi skulle derfor igen nok have laddet modtagerne logge i væsentligt længere tid end vi gjorde. Punktet H har fået en usikkerhed i sin højde i forhold til referencepunktet, som er næsten dobbelt så stor som de andre punkters og så skulle det i øvrigt ligge 40 cm højere end de andre punkter, hvilket ikke var tilfældet (Tabel 5). I øvrigt lå E og G lige ved siden af hinanden og loggede samtidig, alligevel har vi fået en højdeforskel på 4, 0 ± 2, 1 cm imellem dem. Dette kan skyldes at da antennen målte i E, bankede den ind i nogle sten, på et tidspunkt blev den endda skubbet op på en sten nær ved bredden, man kan godt forestille sig at dette kan have medført en unøjagtighed i målingen af E. Hvis vi så kigger på vores højdeforskelle mellem FG, FI og GI (Tabel 5), hvilket er de 3 gode målepunkter fra Damhussøen, ser vi at FG og GI giver resultater der er nogenlunde indenfor det forventede. FI giver en højdeforskel på 5, 0 ± 1, 6 cm, hvilket er lidt mere end det forventede, men den er trods alt større end de 2 andre, hvilket passer fint med at afstanden mellem de to punkter er næsten dobbelt så stor som afstanden mellem FG og GI. En sammenligning med model data (Tabel 7) er heller ikke rigtig brugbar til denne sø, idet 15
16 6 KONKLUSION punkterne ikke ligger mere end 700 m fra hinanden. Vi får dog stadig at hældningen er i den forventede retning for alle punkter, bortset fra IE som med sin usikkerhed giver os mulighed for en hældningen i den modsatte retning ( h I,E = 0, 010 ± 0, 019 m). 6 Konklusion Vi har udfra vores data set at GPS positionering kan bruges til at bestemme geoide højder over vand. Vi har eftervist at geoiden i Danmark stiger i vestnord-vestlig retning. Vi har dog også indset at man skal logge i betydeligt længere tid end vi gjorde, samt sørge for at der ingen bølgegang er i vandet, hvis man vil have målinger som man skal kunne bruge til at lave en geoidemodel. Mest optimalt ville det være at lave målinger mens der er is på søerne. Hvis man har samlet data mens der er bølger, ville man måske kunne få en bedre højdemåling, ved at behandle sine data som kinematiske istedet for statiske, derved ville man få en bølge som man kunne fitte en funktion efter, og så finde en middelværdi. På grund af opgavens begrænsede omfang, har dette dog ikke været muligt for os. Men det er klart at det er svært at bestemme en vandhøjde ned til milimeters nøjagtighed, når der er bølger på et par centimeter. Vores måling på søerne var også væsentligt bedre end målingen på Damhussøen, dette kan også holdes sammen med at der var meget mindre bølger på søerne, end der var på Damhussøen. Antallet af satelliter som vores modtagere havde udsyn til var ganske højt under vores målinger, det er derfor svært at sige om endnu flere satelliter havde mindsket vores usikkerheder betydeligt, det er formentlig udelukkende et spørgsmål om at lade modtagerne få tid til at samle endnu flere data. 16
17 LITTERATUR 7 Litteraturliste Litteratur [1] [2] [3] positioning system. [4] [5] [6] [7] positioning system.htm. [8] [9] survey/. [10] trantola/files/professional /GPS/Neil Ashby Relativity GPS.pdf. [11] /keplerlaws.html. [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] J. M. Knudsen og P.G. Hjorth. Elements of Newtonian Mechanics. Springer, 3rd edition, ISBN: X. [19] Wolfgang Torge. Geodesy. Walter de Gruyter, 3rd edition, ISBN:
18 A APPENDIX A Appendix A.1 Figurer Figur 6: GPS almanak Figur 7: Jordens geoidehøjde 18
19 A.2 Tabeller A APPENDIX A.2 Tabeller Målepunkt Geoidehøjde A B C D E F G H I Tabel 8: Geoidehøjde af målepunkterne udfra geoidemodel 19
Mikkel Gundersen Esben Milling
Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester LCG-2 Introduktion til GPS 1. Observationsteknikker og GPS-koncepter 2. Absolut positionering baseret på
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereGeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter
GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereLøsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet
V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereEn studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:
Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereEPIRB. 11.1 COSPAS/SARSAT-systemet
117 (Emergency Position Indicating Radio Beacon) er en nødradiobøje, og GMDSS udrustede skibe skal være udstyret med mindst en. Der er defineret 3 forskellige, som arbejder på hver sin måde. Fælles for
Læs mereGeodæsi og Geostatistik
1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 2009. Indhold: 2 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi? 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereMODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING
MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-
Læs mereGPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007
GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereCoulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0
Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereTyngdepunkt og Masse Midtpunkt.
C.C.Tscherning, Niels Bohr Instituttet Tyngdepunkt og Masse Midtpunkt.. Masse-midtpunkt: Definitioner: Ligevægtspunkt for summen af alle masse-dele Tyngdepunkt: Punkt, hvor drejningsmomentet er nul (ligevægt
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereDanske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber
Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens
Læs mereApparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt, plader til at lave bakker med, niveauborde.
Lego Mindstorms Education EV3 Projektarbejde med Lego Mindstorms version EV3. til Windows 7og 8 og Mac Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt,
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereTsunami-bølgers hastighed og højde
Tsunami-bølgers hastighed og højde Indledning Tsunamier er interessante, fordi de er et naturligt fænomen. En tsunami er en havbølge, som kan udbrede sig meget hurtigt, og store tsunamier kan lægge hele
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereKeplers love og Epicykler
Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således
Læs mereDTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.
Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereKeplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007
Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse
Læs merePensum i forbindelse med DTUsat-II opsendelses event og tracking.
Pensum i forbindelse med DTUsat-II opsendelses event og tracking. Satellitbaner En satellit i bane omkring et andet himmellegeme er i frit fald. Ved hjælp af Keplers love kan baneradius og omløbstid bestemmes.
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereTegn med GPS 1 - Vejledning
Tegn med GPS 1 - Vejledning Lærerforberedelse: Det er altid en god ide at afprøve opgaven selv, inden eleverne sættes i gang. Inden forløbet skal læreren have materialerne til posten klar og klargøre GPS
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereOptisk gitter og emissionsspektret
Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereDrømmerejser Ny Prisma Fysik og kemi 8. Skole: Navn: Klasse:
Drømmerejser Ny Prisma Fysik og kemi 8 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 En rumraket skal have en bestemt fart for at slippe væk fra Jorden. Hvor stor er denne fart? Der er 5 svarmuligheder. Sæt et kryds.
Læs mereBegge bølgetyper er transport af energi.
I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling(em-stråling). Herunder synligt lys, IR-stråling, Uv-stråling, radiobølger samt gamma og røntgen stråling. I skal stifte bekendtskab med EM-strålings
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet
Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den
Læs mereResumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven
Galakser 2014 F3 1 Resumé fra sidst Mælkevejen består grundlæggende af en skive, en bule og en halo. Solen befinder sig sammen med spiralarmene i skiven i en afstand af ca. 8.0 kpc fra centrum af galaksen.
Læs mere7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:
1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereUndervisningsmateriale til udvalgte artikler fra tidsskriftet Aktuel Naturvidenskab Se mere på www.aktuelnaturvidenskab.dk
Nr. 4. 2007 Tre cykler, sommer og en istid Fag: Fysik A/B/C, Naturgeografi B/C Udarbejdet af: Philip Jakobsen, Silkeborg Gymnasium, November 2007 BOX 1 er revideret i september 2015. Spørgsmål til artiklen
Læs mereSolindstråling på vandret flade Beregningsmodel
Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Formål Når solens stråler rammer en vandret flade på en klar dag, består indstrålingen af diffus stråling fra himlen og skyer såvel som solens direkte stråler.
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereRTK test udført ved Kort & Matrikelstyrelsen.
Q RTK test udført ved Kort & Matrikelstyrelsen. Erfaringer fra 4 RTK test: Test af enkeltstations RTK, November 2000 Test af GPS referencens RTK løsning i Herning by, September 200 Test af Netværks RTK,
Læs mereMatematiklærerdag 11. marts 2005
Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereStorcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel
Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereGeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)
Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på
Læs mere1 Løsningsforslag til årsprøve 2009
1 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 1 Figur 1 viser en tegning af en person der står på en skrænt og smider en sten ud over vandet. Vandet har overflade i t-aksen. Stenen følger grafen for funktionen
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereMikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1
Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering
Læs merePlacering af trykmåler til bølgemåling. Wave Dragon, Nissum Bredning
Placering af trykmåler til bølgemåling Wave Dragon, Nissum Bredning z x y Morten Kramer & Jens Peter Kofoed August, 2004 DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING AALBORG UNIVERSITY SOHNGAARDSHOLMSVEJ 57 DK-9000
Læs mere5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)
5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor
Læs mereSeniorspejder: Stifindere
Seniorspejder: Stifindere Formål Dette mærke er for dem der vil blive vaskeægte ruteræve. Tanken med mærket er at spejderne får praktisk erfaring med orientering. De skulle gerne blive ægte ruteræve med
Læs mereOscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen
Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereHvor hurtigt kan du køre?
Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,
Læs mereTeknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave
Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK
Læs mereBolgebetvingere Trin for trin
Årstid: Forår og sommer Lokation: En stor sø Forløbets varighed: 4-5 trin + en formiddag og eftermiddag Bolgebetvingere Trin for trin Formål Dette mærke har som formål, at pigerne skal få et praktisk kendskab
Læs mereRækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen
Rækkeudvikling - Inertialsystem John V Petersen Rækkeudvikling inertialsystem 2017 John V Petersen art-science-soul Vi vil undersøge om inertiens lov, med tilnærmelse, gælder i et koordinatsytem med centrum
Læs mere