Ikke-lineære funktioner

Transkript

1 Ikke-lineære funktioner I dette kapitel skal du arbejde med ikke-lineære funktioner. Funktioner kan vi bruge til at beskrive sammenhænge fra hverdagen, f sammenhængen mellem udgifter og antal deltagere til en fest, eller sammenhængen mellem beløbet på en konto, og det antal år pengene står på kontoen til en bestemt rente. Funktioner kan også beskrive matematiske sammenhænge, f rumfang af et prisme, udviklingen i en figurfølge eller lign. Du kan eller skal bruge et digitalt værktøj til mange opgaver, aktiviteter og undersøgelser i dette kapitel. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: kan undersøge sammenhænge mellem ikkelineære funktioners grafiske billede og forskrift kan beskrive og genkende ikke-lineære sammenhænge på baggrund af forskrift og/eller grafisk billede kan bruge regressionsanalyse til at undersøge forandringer fra hverdagen kan bruge ikke-lineære sammenhænge til at beskrive forandringer i figurfølger kan bruge ikke-lineære sammenhænge til at beskrive forandringer eller løse problemer i hverdagen. Du skal arbejde med: ligefrem proportionalitet omvendt proportionalitet hyperbel eksponentiel funktion fremskrivningsfaktor andengradsfunktion parabel toppunkt regressionsanalyse tendenslinje. FORHÅNDSVIDEN OPGAVE A Tegn de fem grafer for funktionerne herunder. f() = + g() = h() = + i() = j() = 5 B Skriv en kort tekst, hvor I forklarer forskelle og ligheder mellem de fem grafer og deres forskrifter. I kan f bruge ordene: parallelle, negativ, positiv, voksende og aftagende i jeres forklaring. C Tegn mindst to grafer, som er parallelle med grafen for f. Skriv funktionsforskrifterne for graferne. D Tegn mindst to grafer, som står vinkelret på grafen for h. Skriv funktionsforskrifterne for graferne.

2 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 9 AKTIVITET MATCH SAMMENHÆNGE Aktivitet for to til tre personer. Materialer: Match sammenhænge (A) og evt. et digitalt værktøj. I denne aktivitet skal I finde ud af, hvilke sproglige beskrivelser, funktionsforskrifter, tabeller og grafer der beskriver samme sammenhæng. DEL A Klip kortene på arket Match sammenhænge (A) ud. B Match de sproglige beskrivelser, funktionsforskrifter, tabeller og grafer der beskriver samme sammenhæng. C Fremstil jeres eget eksempel på en sproglig beskrivelse, en funktionsforskrift, en tabel og en graf, som beskriver samme sammenhæng. OPGAVE A Tegn grafen for en funktion, I selv finder på, men som skal opfylde mindst to af kravene herunder. Funktionen skal være lineær, og hældningstallet skal være positivt. Funktionen skal være lineær, og hældningstallet skal være mellem og. Grafen skal skære y-aksen i et negativt tal. Grafen skal være parallel med en linje, som går gennem punktet P(, ). Grafen skal gå gennem punktet K(6, ). B Forklar, hvilke af kravene jeres funktion opfylder. UNDERSØGELSE SORTER GRAFER Undersøgelse for to til tre personer. Materialer: Sorter grafer (U), et digitalt værktøj og en saks. I denne undersøgelse skal I sortere graferne og funktionsforskrifterne ud fra kriterier, I opstiller. DEL A Klip kortene på arket Sorter grafer (U) ud. B Sorter graferne ud fra, hvilke I mener har noget til fælles. C Sorter funktionsforskrifterne ud fra, hvilke I mener har noget til fælles. D Tag et billede af jeres sortering, så I kan gå tilbage til den om lidt. E Skriv kriterierne for jeres sorteringer ned. F: Vi sorterede graferne ud fra... DEL Til denne del skal I bruge et digitalt værktøj. A Tegn graferne for hver funktion på arket Sorter grafer (U). B Tal om, hvordan I kan se, hvilke funktionsforskrifter der passer til hvilke grafer. C Vurder, om der findes andre måder at sortere funktioner og grafer på, end på den måde, I har sorteret dem i DEL. OPGAVE A Tegn graferne for funktionerne herunder i samme koordinatsystem. f() = i() = g() =,5 j() =,7 h() =,5 B Skriv en kort tekst, hvor I forklarer nogle forskelle og ligheder mellem de fem grafer og deres forskrifter. I kan f bruge ordene: negativ, positiv, stigning, fald og vækst i jeres forklaring.

3 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER TEORI LIGEFREM PROPORTIONALITET To talstørrelser kaldes ligefrem proportionale, når de er forbundet på en sådan måde, at hvis den ene ganges med et tal k, så ganges den anden også med tallet k. Hvis man f kan købe kartofler til en bestemt pris pr. kg, så er antallet af kg, man køber, ligefrem proportional med den samlede pris. Køber man dobbelt så mange kg, bliver prisen også dobbelt så stor. Køber man tre gange så mange kg, bliver prisen tre gange så stor osv. En funktion y = f(), der opfylder, at sammenhørende værdier af og y er ligefremt proportionale kaldes en ligefrem proportionalitet. En ligefrem proportionalitet kan skrives på formen y = a, og grafen for en ligefrem proportional funktion er en ret linje, som altid går gennem (, ). Hvis vi ser på kartofler, koster de f, kr. pr. kg. Sammenhængen mellem pris og kg kartofler kan beskrives med funktionsforskriften f() =,, og grafen ser sådan ud: OMVENDT PROPORTIONALITET To talstørrelser kaldes omvendt proportionale, når de er forbundet på en sådan måde, at hvis den ene ganges med et tal k, så divideres den anden med tallet k. Hvis man f kører en strækning med en fast gennemsnitsfart, er den tid, man kører, omvendt proportional med gennemsnitsfarten. Hvis man kører dobbelt så hurtigt, er køretiden halvt så lang. En funktion y = f(), der opfylder, at sammenhørende værdier af og y er omvendt proportionale kaldes en omvendt proportionalitet. En omvendt proportional funktion kan skrives på formen; f() = a, a. Grafen for en omvendt proportional funktion kaldes en hyperbel, og grafen vil aldrig komme til at skære -aksen eller y-aksen. En hyperbel er ikke-lineær. Hvis vi f vil undersøge, hvilken sammenhæng der er mellem, hvor lang tid det tager at køre km og den fart, man kører med, vil grafen se ud som herunder. Vi kan se på grafen, at hvis vi f kører med farten km/t, vil det tage 5 timer at køre km. Funktionsforskriften for sammenhængen er f() =.

4 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER UNDERSØGELSE GRAFER FOR OMVENDT PROPORTIONALITETER Undersøgelse for to til tre personer. Materialer: Grafer for omvendt proportio naliteter (U), et digitalt værktøj og en skærmoptager. I denne undersøgelse får I udleveret en række forskellige forskrifter for omvendte proportionale funktioner. Ud fra det skal I undersøge, hvordan graferne for omvendte proportionale funktioner ser ud. DEL A Tegn en graf for hver forskrift under DEL på arket Grafer for omvendt proportionaliteter (U). B Undersøg, hvordan forskrifterne og grafernes udseende og placering i koordinatsystemet hænger sammen. C Skriv to udsagn, som I kan bruge til at forklare, hvordan grafen for omvendt proportionaliteter ser ud og er placeret i koordinatsystemet, når I kender forskriften. Gem jeres udsagn. I skal bruge dem til en skærmoptagelse i DEL. DEL Under DEL på arket Grafer for omvendt proportionaliteter (U) skal I undersøge grafer for de fem forskrifter, der er skrevet. I samme koordinatsystem er tegnet grafen for f() = og de to linjer med ligningerne y = og y =. De røde punkter er skæringen mellem hyperblen og en af de to linjer. A Tegn de fem grafer i hver sit koordinatsystem. B Tegn de to rette linjer y = og y = i hvert koordinatsystem og find skæringspunkterne mellem graferne og de to rette linjer. Aflæs koordinaterne til de to skæringspunkter. C Undersøg, hvilken sammenhæng der er mellem koordinaterne til de røde punkter på hyperblen og forskriften for grafen. D Skriv et udsagn, som I kan bruge til at forklare, hvordan grafen for en omvendt proportionalitet ser ud, når I kender forskriften. Gem jeres udsagn. I skal bruge det til en skærmoptagelse i DEL. DEL A Lav en skærmoptagelse, hvor I forklarer alt det, I har undersøgt om grafer for omvendt proportionaliteter. I skal udvælge nogle eksempler, I vil bruge til jeres skærmoptagelse. Brug jeres udsagn fra punkt C i DEL og punkt D i DEL. B Byt skærmoptagelse med en anden gruppe. Giv feedback til hinanden ud fra, hvor godt I kan forstå skærmoptagelsen. Giv evt. gode idéer til, hvordan gruppen kan forbedre deres skærmoptagelse. C Juster evt. jeres skærmoptagelse ud fra den feedback, I har fået fra den anden gruppe. OPGAVE 9. C vil arrangere en fest for alle 9. klasserne på skolen. Der er 5 elever på skolens 9. årgang. De har fundet ud af, at de kan leje et festlokale, som koster kr. og en DJ til 8 kr. De udgifter er faste uanset, hvor mange gæster der kommer til festen. Disse udgifter skal deles ligeligt mellem alle deltagere. A Udfyld en tabel, som viser sammenhængen mellem antallet af deltagere og prisen pr. deltager ud fra de faste udgifter. Antal deltagere 5 5 Pris pr. deltager B Opstil en funktionsforskrift for sammenhængen mellem antallet af deltagere og prisen pr. deltager ud fra de faste udgifter. C Tegn grafen for funktionen.

5 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER TEORI EKSPONENTIEL VÆKST Langt fra alle funktioner er lineære. Nogle gange er sammenhængen i en funktion sådan, at funktionen vokser eller aftager med en bestemt procentdel pr. tidsenhed i stedet for en konstant. Den form for vækst kaldes eksponentiel vækst, og en funktion, der beskriver eksponentiel vækst, kaldes en eksponentiel funktion. En eksponentiel funktion kan beskrives med funktionsforskriften f() = b a, hvor a og b er positive tal. a er en konstant og kaldes fremskrivningsfaktoren. Den fortæller noget om, hvor mange procent f() vokser eller aftager med, når vokser med. Tallet b er også en konstant og kaldes begyndelsesværdien. Det er den værdi, funktionen har, når er. Grafen for en eksponentiel funktion er ikkelineær, og den vil aldrig skære -aksen. Vi kan f se på bakterievækst. En slags bakterie fordobler sig i antal for hver time, der går. Hvis vi starter med 5 bakterier, vil der efter time være: 5 = bakterier. Efter timer vil der være: 5 = bakterier. Det kunne vi også skrive 5. Efter timer vil der være: 5 = bakterier osv. Efter timer vil der være: 5 bakterier. Bakterievæksten for denne bakterie kan altså beskrives med funktionsforskriften f() = 5. Grafen ser ud, som du kan se herunder. En eksponentiel funktion kan være voksende eller aftagende. Graferne vil f se ud, som du kan se herunder. y y Eksponentielt voksende funktion Eksponentielt aftagende funktion OPGAVE 5 Vurder ud fra funktionsforskrifterne herunder, hvilke af funktionerne der er eksponentielle funktioner, og hvilke der ikke er. Begrund dit svar. A f() = + 5 B g() = 65, C h() = D i() =,75 E j() = 75,88 F k() = 5 G l() = + 5 OPGAVE 6 Vurder ud fra funktionsforskrifterne herunder, hvilke af funktionerne der er eksponentielt voksende, og hvilke af funktionerne der er eksponentielt aftagende. Begrund dit svar. A f() =,5 B g() = 55,95 C h() =,75,5 D i() = 5,55 E j() = 5,75 F k() = 75, G l() =,5,5

6 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER UNDERSØGELSE UNDERSØG EKSPONENTIELLE FUNKTIONER Undersøgelse for to til tre personer. Materialer: Et digitalt værktøj og skærmoptager. I denne undersøgelse skal I undersøge sammenhængen mellem funktionsforskriften for en eksponentiel funktion og dens graf, når de variable a og b ændrer sig. DEL A Tegn grafen for en eksponentiel funktion med f() = b a, sådan at I kan komme til at ændre værdierne for a og b. I kan f bruge en skyder. B Undersøg, hvilken betydning b har for grafens udseende ved at ændre på b-værdien. C Undersøg, hvilken betydning a har for grafens udseende ved at ændre på a-værdien. Undersøg, hvad det betyder for grafen, at; a > a = < a < D Fremstil en skærmvideo, hvor I forklarer, hvordan I greb jeres undersøgelse an, og hvad konstanterne a og b betyder for en eksponentiel funktions grafiske billede. I skal bruge ordene fremskrivningsfaktor, begyndelsesværdi, aftagende og voksende i jeres forklaring. Gem jeres skærmvideo i formelsamlingen. DEL A Tegn en eksponentiel funktion, hvor I kan variere a og b. Lad a variere fra til 5, og b fra til. B Afsæt punkterne (, 8), (, ) og (, ). C Juster grafen, så den går gennem punkterne. Hvilke værdier har a og b, og hvilken funktionsforskrift passer til grafen? D Fremstil grafen for en eksponentiel funktion f() = b a, som opfylder kriterierne herunder og skriv den tilhørende funktionsforskrift. b er et positivt tal større end funktionsværdien for = er større end. funktionsværdien for = er mindre end. E Sammenlign funktionsforskriften med en anden gruppes funktionsforskrift. Undersøg, om den anden gruppes funktionsforskrift/graf lever op til alle tre kriterier. OPGAVE 7 En bakteriekultur fordobler sig i antal på minutter. Det vil sige, at hver gang der er gået minutter, vil antallet af bakterier være dobbelt så mange, som det var minutter tidligere. Ved en startmåling er der bakterier. Funktionsforskriften for bakteriekulturens vækst kan skrives ved denne formel: f() =, hvor er tiden i minutter, og f() er antallet af bakterier. A Forklar, hvorfor der ved fremskrivningsfaktoren står. Hvorfor -tallet, og hvorfor? B Hvor mange bakterier er der efter time? C Hvor mange minutter vil der cirka gå, før der er bakterier? OPGAVE 8 Befolkningstilvækst kan ofte beskrives med eksponentielle funktioner, fordi befolkningstal ofte vurderes at vokse med en bestemt procentdel hvert år. I 7 skriver CIA (Central Intelligence Agency) på deres hjemmeside, CIA World Factbook, med fakta om lande, at der i Danmark er en befolkningstilvækst på, % om året i 7. A Hvordan vil fremskrivningsfaktoren være for Danmarks befolkningstilvækst ifølge prognosen fra CIA? B Hvordan vil fremskrivningsfaktoren være for Ukraine, som ifølge CIA har en negativ befolknings tilvækst på, %?

7 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER TEORI ANDENGRADSFUNKTIONER Andengradsfunktioner er en særlig type funktioner fra den gruppe af funktioner, som kaldes polynomier. Der findes f også tredjegradsfunktioner, fjerdegradsfunktioner osv. Andengradsfunktioner kan beskrives med funktionsforskriften f() = a + b + c, hvor a, b og c er konstanter, og a er forskellig fra. Grafen for en andengradsfunktion er ikke-lineær. Den kan f se ud som på figuren til højre. Grafen for en andengradsfunktion kaldes en parabel. Andengradsfunktioner kan bruges til at beskrive forskellige sammenhænge i vores hverdag, f et kast med en bold eller lign. Også i hængebroer og i en del arkitektur indgår parablen. Andengradsfunktionens graf har et toppunkt. Det er det punkt, hvor funktionen har enten den størst mulige eller den mindst mulige værdi. Toppunktet ligger på parablens symmetriakse. Andengradsfunktionen kan også have nul, en eller to rødder. Det er de -værdier, hvor grafen skærer -aksen. Andengradfsunktionen til venstre kan beskrives med forskriften f() = + + y OPGAVE Arealet af et kvadrat kan udtrykkes med andengradsfunktionen f() =, hvor er kvadratets sidelængde målt i centimeter, og f() er kvadratets areal målt i kvadratcentimeter. A Skriv en funktion, som udtrykker omkredsen af et kvadrat med sidelængden. B Hvor stort er arealet, når sidelængden er 5,5? C Hvor lang er sidelængden, når arealet er 65? D Hvilken sidelængde har kvadratet, hvis areal og omkreds skal være det samme tal? OPGAVE Fremstil for hvert af punkterne A, B og C to forskrifter for andengradsfunktioner, som opfylder de stillede betingelser. A Parablens grene vender nedad, funktionen har to rødder, og parablen har toppunkt i (, ). B Parablens grene vender opad, funktionen har ingen rødder, og parablen har toppunkt i (, ). C Parablens grene vender opad, funktionen har en rod, og parablen har toppunkt i (, ).

8 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 5 UNDERSØGELSE UNDERSØG PARABLER Undersøgelse for to til tre personer. Materialer: GeoGebra-filen Undersøg parabler, et digitalt værktøj og skærmoptager. I denne undersøgelse skal I undersøge, hvordan sammenhængen er mellem funktionsforskriften for en andengradsfunktion og dens graf, når konstanterne a, b og c varierer. DEL A Tegn en andengradsfunktion, hvor I kan variere a, b og c. Skriv funktionsforskriften f() = a + b + c, lad a, b og c variere fra 5 til 5. B Undersøg, hvilken betydning a har for parablens udseende. C Hvilke egenskaber har grafen, når a < og når a >? D Hvilken betydning har det for grafen, hvis a er et stort positivt tal? Og hvis a er et lille positivt tal? E Undersøg, hvilken betydning c har for grafen. DEL Til denne del skal I bruge GeoGebra-filen Undersøg parabler. A Undersøg, hvordan b-værdien påvirker parablens placering i koordinatsystemet, og læg mærke til, hvordan sporet for toppunktet opfører sig, når I varierer b-værdien. Hvilken form har sporet for toppunktet, og minder det om noget andet i koordinatsystemet? I skal kun justere på b i denne del af undersøgelsen. B Gentag punkt A med andre værdier for a og c to gange mere. C Opstil en regel om, hvordan toppunktet er placeret i forhold til y-aksen ud fra fortegnene for a og b. DEL A Lav en skærmoptagelse, hvor I forklarer alt det, I har undersøgt om parabler og andengradsfunktionens forskrift, samt a-, b- og c-værdiernes betydning for parablens udseende og beliggenhed. I skal udvælge nogle eksempler, I vil bruge på skærmen til jeres skærmoptagelse. Brug det, I har opdaget i DEL og DEL. B Byt skærmoptagelse med en anden gruppe. Giv feedback til hinanden ud fra, hvor godt I kan forstå skærmoptagelsen. Giv evt. gode idéer til, hvordan gruppen kan forbedre deres skærmoptagelse. C Justér evt. jeres skærmoptagelse ud fra den feedback, I har fået fra den anden gruppe. OPGAVE Løs opgaven sammen med din makker. I skal bruge digitale værktøjer. Ole sparker til en fodbold. Den bane som fodbolden følger, kan beskrives med funktionsforskriften f() =,5 +,9, hvor er boldens vandrette afstand fra startstedet målt i meter, og f() er boldens højde over jorden meter fra startstedet. A Tegn en graf, der viser boldens bevægelse gennem luften. B Hvor langt kommer bolden, før den rammer jorden? C Hvad er den største højde, bolden får over jorden? D meter fra Ole står Karl. Karl er,8 meter høj og han står lige i skudretningen. Bliver Karl ramt af bolden fra Oles spark? Begrund jeres svar med en tegning. E I skal ændre på forskriften for Oles spark, så det stadig er et boldspark, men så Karl ikke bliver ramt af bolden. Hvordan kunne den nye funktions forskrift se ud?

9 6 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER TEORI REGRESSIONSANALYSE SOM VÆRKTØJ TIL AT FINDE SAMMENHÆNGE I DATASÆT Hvis vi har et datasæt bestående af sammenhørende værdier af to variable f årstal og befolkningstal kan vi være interesseret i at undersøge, om der er en bestemt sammenhæng mellem de to variable. Det kan ske ved at foretage en såkaldt regressionsanalyse af datasættet. Ved en regressionsanalyse kan man undersøge, om der ser ud til at være en lineær, en eksponentiel eller en helt tredje sammenhæng mellem de variable. Man kan ved hjælp af et digitalt værktøj (f Ecel eller GeoGebra) udføre regressionsanalyse på sit datasæt og få tegnet en tendenslinje. Det er ikke nødvendigvis en linje, men en kurve af en bestemt type (f lineær, eksponentiel eller polynomiel). Kurvens funktionsudtryk udregnes, så kurven passer bedst muligt til de indtastede data. Man kan desuden få udregnet et mål for, hvor godt kurven passer til datasættet. Dette mål kaldes forklaringsgraden. Den betegnes R og kaldes også R-kvadrat-værdien. Jo tættere R -værdien er på, desto bedre passer den valgte model og datasættet sammen. En forklaringsgrad på svarer til, at den valgte model passer perfekt til alle data. En undersøgelse af et datasæt kan altså gå ud på, at man prøver forskellige modeller og finder den der har den forklaringsgrad, der er tættest på. Det kan også være, at man finder ud af, at forklaringsgraden er alt for lav, uanset hvilken model man vælger. Så er der ingen systematisk sammenhæng i data. OPGAVE I København var der 58 indbyggere. januar 5. En prognose viser, at der i 7 vil være 68 indbyggere i København. A Hvis vi antager, at befolkningstallet stiger med samme procentdel om året, hvor mange procent skal den årlige befolkningstilvækst så være i København ifølge modellen? B Opstil en funktionsforskrift, der beskriver sammenhængen mellem indbyggertal og årstal i Københavns Kommune. C. januar 8 var der 6 8 indbyggere i København. Undersøg, hvor godt din funktionsforskrift passer med det faktiske tal fra 8. OPGAVE Noah og Valdemar har analyseret udviklingen i befolkningstallet i Odense Kommune. Drengene er lidt uenige om udviklingen. Valdemar har analyseret tal fra -7, og han mener, at udviklingen bedst passer med en lineær udvikling. Valdemars tal kan du se i tabellen øverst i næste spalte. Årstal Antal indb Noah mener, at de også skal bruge ældre tal for at kunne lave en god analyse. Han har fundet ud af, at der i var 8 69 indbyggere i Odense Kommune. A Undersøg, om der er andre modeller end den lineære, som kan beskrive udviklingen i befolkningstallet i Odense Kommune ud fra Valdemars tal. B Undersøg, hvilken betydning Noahs oplysning om befolkningstallet i har for regressionsmodellerne. C Hvilken regressionsmodel mener du passer bedst på tallene fra Odense Kommune. Hvorfor? D Hvor mange indbyggere vil der være i Odense Kommune i ud fra din regressionsmodel? E Find opdaterede tal for befolkningstal fra din egen kommune og undersøg, hvor mange indbyggere der vil være i din egen kommune i ved at finde en passende regressionsmodel for tallene.

10 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 7 AKTIVITET ANALYSE AF BOLDKAST Aktivitet for tre til fire personer. Materialer: Analyse af boldkast (A), mobiltelefon eller tablet med videokamera, en bold, f fodbold, basketbold, håndbold eller lign., et digitalt værktøj og et målebånd. I denne aktivitet skal I analysere forskellige boldkast i et digitalt værktøj. Læs beskrivelsen af, hvordan I skal filme på arket Analyse af boldkast (A), før I går i gang. DEL A Udfør nogle forskellige kast. Film og mål længden af hvert kast. Udfør et højt kast, et lavt kast, et kort kast, et langt kast (her skal filmeren måske længere tilbage) osv. Sørg for, at I har -5 forskellige kast. DEL A Omsæt jeres film til stilbilleder/skærmklip, så I for hvert kast har en række billeder, hvor I kan se, hvor bolden er på forskellige tidspunkter. Sørg for at alle skærmklip er i fuldskærm, så I har samme størrelse på alle billeder. DEL I skal analysere jeres skærmklip i et geometriprogram. A Hent alle jeres skærmklip ind i et geometriprogram. Sørg for at koordinatsystemet er tændt. B Tilpas koordinatsystemet, så kasteren står i (, ), og højden af kasteren passer med y-aksens måleenhed. Hvis kasteren f er,75 m høj, skal toppen af kasteren være ved,75 på y-aksen. I må derfor zoome i tegnefladen, men I må ikke skalere på y-aksen. Længdeenhederne på - og y-aksen skal være lige store. Sørg for at gøre det til alle billederne. C Tegn for hvert billede et punkt der, hvor bolden er placeret på billedet. I kan skjule billederne efterhånden, som I har tegnet punkter oven i boldens placering. D Når I har fem punkter til et kast, kan I få geometriprogrammet til at omsætte punkterne til en parabel, f ved at lave regressionsanalyse. I får så en funktionsforskrift for jeres kast. Skriv funktionsforskriften ned og skriv også, hvilket kast den passede til, f om det var et højt kast, et lavt kast osv. E Undersøg, om grafen skærer -aksen, så det passer med målingen af længden af kastet. F Tegn en graf for hvert af jeres kast. Prøv, om I kan nøjes med at få tegnet den del af grafen, som repræsenterer jeres kast. Det gør I ved at bestemme definitionsmængden, altså i hvilket interval på -aksen grafen skal tegnes. G Gentag dette, så I har forskrifter til alle jeres kast.

11 8 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER AKTIVITET FUNKTIONER FOR FIGURFØLGER Aktivitet for to til tre personer. Materialer: Centicubes, tændstikker, isometrisk papir, kvadratpapir og digitale værktøjer. I denne aktivitet skal I fremstille jeres egne figurfølger, som I efterfølgende skal finde funktionsforskrifter for ved hjælp af regressionsanalyse. DEL A Alle i gruppen skal bygge eller tegne deres egen figurfølge. Byg eller tegn de tre første figurer i figurfølgen. B Byt figurfølge med en anden i gruppen, så alle sidder med en ny. I skal nu bygge eller tegne figur nummer i den nye figurfølge. C Gå nu tilbage til jeres egen figurfølge. Se godt på de byggede/tegnede figurer og vurder, om de passer til figurfølgen. Er de fremstillet i overensstemmelse med den figurfølge, I hver især startede på? Gem figurfølgerne. I kan evt. tage billeder af dem. DEL A Find en funktionsforskrift, som passer til hver figurfølge. I kan prøve, om I selv kan regne funktionsforskriften ud, eller I kan bruge regressionsanalyse. B Afprøv om jeres funktionsforskrift passer på jeres egen figurfølge, og undersøg, om det passer med den næste figur i figurfølgen, som I endnu ikke har bygget/tegnet. C Tegn grafen for jeres figurfølge, og diskuter med hinanden, hvordan grafen skulle se ud, hvis den skulle passe % med figurfølgen. Hvilken definitionsmængde må grafen have? Skal det være en sammenhængende graf eller en punktgraf osv.? OPGAVE 5 Figur nr. Antal prikker Antal streger 5 Tegningen herover viser de første tre figurer i en figur - følge. Figurerne består af prikker og streger, som kan sættes sammen på forskellige måder. A Udfyld en tabel, som viser sammenhængen mellem figurens nummer, antallet af prikker og antallet af streger. B Undersøg, hvordan udviklingen i antallet af prikker fortsætter, og find en formel, der giver antallet af prikker i figur nr. n udtrykt ved n. C Undersøg, hvordan udviklingen i antallet af steger fortsætter, og find en formel, der giver antallet af streger i figur nr. n udtrykt ved n. D Tegn graferne for de to funktioner. E Du må bruge streger og 75 prikker til at tegne en stor figur af figurfølgen. Bliver det antallet af streger eller antallet af prikker, der kommer til at bestemme, hvor stor en figur du kan tegne? Begrund dit svar.

12 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 9 OPGAVE 8 I en undersøgelse fra har man undersøgt, hvor mange procent af de 5-årige danske unge, der har prøvet at drikke alkohol. Tabellen herunder viser udviklingen fra 98 til OPGAVE 6 Figurerne herover viser udviklingen i en figurfølge, som består af kuber. A Udfyld en tabel med figurnummer og antallet af kuber i hver figur. B Undersøg ved hjælp af regression, hvilken ikke-lineær funktionsforskrift du kan bruge til at beskrive sammenhængen mellem figurnummer og antallet af kuber i figuren. C Hvor mange kuber vil der være i figur nr. 5?? 999? OPGAVE 7 De tre figurer herover er de første tre figurer i en stjernefigurfølge. A Fremstil en tabel, som viser sammenhængen mellem figurnummeret og antallet af prikker i figuren. B Opstil en funktionsforskrift, som beskriver sammenhængen mellem figurnummer og antallet af prikker i figuren. C Hvilken type sammenhæng er der tale om i figurfølgen? D Hvor mange prikker er der i figur nr.?? Årstal Kilde: Procentdel, der har prøvet at drikke alkohol A Undersøg, om udviklingen i procentdelen af 5-årige, der har prøvet at drikke alkohol, kan beskrives med en ikke-lineær funktion. B Opstil en funktionsforskrift, som beskriver udviklingen i procentdelen af de 5-årige unge, der har prøvet at drikke alkohol. C Der udarbejdes en Skolebørnsundersøgelse hvert. år. Hvordan bør procentdelen af de 5-årige unge, der har prøvet at drikke alkohol være i 8 og, hvis det skal passe med jeres funktionsforskrift? På en skole har sundhedsplejersken et mål om, at procentdelen af 5-årige unge, der har prøvet at drikke alkohol, skal ned på 6 %. D I hvilket år vil der ifølge jeres funktionsforskrift være 6 % af de 5-årige unge, der har prøvet at drikke alkolhol, hvis udviklingen fortsætter med at følge jeres model. E Hvor langt tror I, det er realistisk at få tallet ned blandt de 5-årige unge? Begrund jeres svar

13 5 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER TEMA ÆSKEFOLDNING Tema for to til tre personer. Materialer: A papir, blyant, lineal, saks, tape og digitale værktøjer. Man kan finde mange forskellige æsker til mange forskellige formål. Men hvor stort et rumfang er det muligt at få, hvis man fremstiller en æske uden låg af et stykke A papir? Forestil jer, at I skal folde en æske af et stykke A papir ved at klippe et kvadrat væk fra hvert af papirets fire hjørner. DEL A Undersøg, hvilket rumfang der er det størst mulige for æsken. I kan overveje følgende, men I kan også finde jeres egen måde at gennemføre undersøgelsen på. a. Angiv et interval som længden af siden i det kvadrat, man klipper af, nødvendigvis må tilhøre. b. Kan I fremstille en tabel, som viser sammenhængen mellem sidelængden i det kvadrat, I klipper væk og rumfanget af æsken? c. Kan I opstille en funktionsforskrift for æskens rumfang ud fra sidelængden i det kvadrat, I klipper væk? Hvordan ser grafen for funktionen ud? Hvilken type sammenhæng er det? B Bestem den æske, der har det største rumfang. Begrund hvorfor I kan være sikre på, at det er den største æske, I har fundet. DEL A I skal i gruppen fremstille fire forskellige æsker af A papir ved at klippe et kvadrat væk i hvert hjørne, som I kan se på skitsen. Vælg forskellige sidelængder til de kvadrater I klipper væk. B Saml æskerne med tape. C Find rumfanget af hver æske. D Hvilken af æskerne har det største rumfang? DEL A Fremstil den æske, I mener, har det størst mulige rumfang, når I skal klippe hjørner væk, som I har undersøgt i DEL og DEL. Begrund, hvorfor det er den størst mulige æske. B Sammenlign æsken med en af de andre gruppers største æske. C Sammenlign jeres begrundelser. D Er I enige med hinanden? Hvorfor/hvorfor ikke? DEL I denne del, skal I enten vælge at A undersøge, hvilket rumfang der er det størst mulige, hvis I i stedet for A papir har A papir eller A papir, eller B undersøge, om I kan få et større rumfang af et A papir, hvis I må fremstille æsker med andre former og ud fra andre kriterier.

14 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 5 EVALUERING På denne side skal I enten bruge arket Begreber og fagord Ikke-lineære funktioner (E) eller jeres egen begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værktøjer. DEL I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire elever sammen. A Lav kort. Skriv et af følgende fagord eller begreber på hvert kort: EKSPONENTIEL FUNKTION PARABEL TOPPUNKT LIGEFREM PROPORTIONALITET HYPERBEL FREMSKRIVNINGSFAKTOR REGRESSIONSANALYSE TENDENSLINJE ANDENGRADSFUNKTION DEL For hvert af de ord og begreber, du lige har arbejdet med, skal du A vise et eksempel med en tegning B skrive din egen forståelse af begrebet. DEL Opstil en forskrift, som kan passe til hver af funktionerne herunder. Du kan evt. bruge et digitalt værktøj til at tjekke, om dine funktionsforskrifter lever op til beskrivelserne. A En omvendt proportionalitet, hvis graf befinder sig i. og. kvadrant. B En omvendt proportionalitet, hvis graf befinder sig i. og. kvadrant. C En andengradsfunktion, hvis graf vender grenene opad, og som har toppunkt på -aksen. D En andengradsfunktion, hvis graf vender grenene nedad, og som har toppunkt i. kvadrant. E En eksponentialfunktion, som er aftagende, og som skærer y-aksen i 5. F En eksponentialfunktion, som er voksende, og som er større end, når er. OMVENDT PROPORTIONALITET B Læg kortene på bordet, så I kan se dem. C Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået begrebet, så lægges kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter til alle begreber er forklaret og forstået. Det kan være en god idé, at skrive stikord til de enkelte forklaringer undervejs. D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller forstå, så hænger I kortene med disse begreber op på tavlen. E Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen. Det kan være en elev eller læreren, der hjælper med at forklare begreberne. DEL Tabellen herunder viser resultatet af en undersøgelse af, hvor mange unge kvinder i alderen 6- år, som ofte eller af og til føler sig stressede i hverdagen. Årstal Procentdel A Undersøg, om udviklingen i andelen af unge kvinder, der føler sig stressede i hverdagen, kan beskrives med en ikke-lineær model. B Begrund, hvilken ikke-lineær model, du mener, bedst beskriver udviklingen.

15 5 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER TRÆN FÆRDIGHEDER Løs opgaverne med digitale værktøjer. OPGAVE A Tegn graferne for funktionerne i samme koordinatsystem. Tilpas visningen, så du kan se alle fem grafer. (f) = 75 (g) = + (h) = (i) =,65 (j) = 5,5 B Navngiv hver funktion ud fra, hvilken type funktion, det er. C Aflæs på graferne, hvilken af de fem funktioner, der har den største funktionsværdi, når er; D Aflæs på graferne, hvilken af de fem funktioner, der har den mindste funktionsværdi, når er;,5 8 OPGAVE Vurder ud fra funktionsforskrifterne herunder, hvilke af funktionerne, der er ligefremme proportionale. Begrund dit svar. A (f) =,75 B (g) = 5 C (h) = + 55 D (i) = 5 + E (j) = 5 75 F (k) = 5 5 G (l) = OPGAVE Vurder ud fra funktionsforskrifterne herunder, hvilke af funktionerne, der er omvendt proportionaliteter. Begrund dit svar. A (f) = 5 B (g) = 5 C (h) = 5 + D (i) = 5 E (j) = F (k) = + G (l) = 5 OPGAVE A Forklar, hvilken type ikke-lineær sammenhæng der passer til hver sproglige beskrivelse herunder. Sammenhængen mellem sidelængde og areal af et kvadratisk gulvtæppe med sidelængden s. Sammenhængen mellem antal personer og prisen pr. person, hvis personer skal dele en udgift på kr. Sammenhængen mellem indbyggertallet i København og årstallet, når indbyggertallet vokser med, % om året. OPGAVE 5 Skriv et eksempel på en funktionsforskrift, som viser en A ligefrem proportionalitet. B omvendt proportionalitet. C eksponentiel sammenhæng. D andengradsfunktion. E Tegn en graf, som passer til hver af dine funktionsforskrifter. OPGAVE 6 Arealet af et stykke A papir er m. Arealet af et stykke A papir er det halve af arealet af et stykke A papir. Hver gang nummeret på A-papiret vokser med, så halveres arealet af papiret. A5 A A6 A A A Sammenhængen mellem arealet af et stykke A papir og arealet kan beskrives ved forskriften A() =,5 m. A Fremstil en tabel, som viser sammenhængen mellem A-nummer og arealet af papirformatet. B Tegn en graf, som viser sammenhængen mellem A-nummer og arealet af papirformatet. C Hvis vi forestiller os, at A-nummereringen fortsætter og fortsætter, ved hvilket A-nummer bliver arealet da første gang mindre end cm?

16 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 5 TRÆN FÆRDIGHEDER Løs opgaverne med digitale værktøjer. OPGAVE A Forklar, hvilken type funktion du kan se på graferne og forskrifterne herunder. 8 y 8 y 7 7 OPGAVE Undersøg, hvilke ikke-lineære sammenhænge der passer på datasættene herunder. A Gæt først på, om du tror, at det er en omvendt proportionalitet, en eksponentiel funktion eller en andengradsfunktion. B Undersøg ved hjælp af regressionsanalyse, hvilke ikke-lineære sammenhænge, der passer på datasættene f() g(), ,8 7, 8,7 5 h() 9 56,9 i() 8 y 5 y f() = 6 g() = 5 OPGAVE 5 7 h() =,7 8 i() = 75 OPGAVE A Find tre eksempler fra din hverdag, som kan beskrives ved hjælp af ligefremme proportionaliteter. B Tegn en graf og find en forskrift på et af dine eksempler fra opgave A. OPGAVE Opstil en funktionsforskrift for en andengradsfunktion, som har en lodret symmetriakse gennem A = B = Herover kan du se de første fire figurer i en figurfølge. A Tegn figur nr. fem i figurfølgen. B Fremstil en tabel, som viser sammenhængen mellem figurnummer og antallet af kvadrater. C Skriv en funktionsforskrift, som viser sammenhængen mellem figurnummeret og antallet af kvadrater. D Hvor mange kvadrater er der i figur nr.?

17 5 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER TRÆN PROBLEMLØSNING Løs opgaverne med digitale værktøjer. OPGAVE Fremstil enten en graf, en forskrift eller en tabel, som passer til de sproglige beskrivelser herunder. Løs mindst tre opgaver. A Sammenhængen mellem og y er, at er det dobbelte af y. B Prisen pr. liter cola er,95 kr. C En Euro ( ) svarer til 7, danske kroner. D Sammenhængen mellem og y er, at y er større end. E Karl tjener 75 kr. i timen som bud på et advokatkontor. OPGAVE Signe og Maja har,5 kg slik, som de vil dele med deres venner. A Opstil en tabel, som viser sammenhængen mellem, hvor mange gram slik hver person får og antallet af personer. B Skriv en funktionsforskrift, som beskriver sammenhængen og tegn grafen. OPGAVE Tre piger øver skud til håndbold. De har analyseret deres skud og fundet forskrifterne, som du kan se herunder: Enidas skud: e() =, +,9 +,6 Sofies skud: s() =,5 +,6 +,7 Isabellas skud: i() =, +,9 +,5 A Undersøg, hvem af de tre piger der har det længste skud. B Undersøg, hvem af de tre piger der har det højeste skud. C Opstil en forskrift for et skud, som kommer højere op end Sofies skud, men som ikke kommer længere end Isabellas skud. OPGAVE Tallene herunder beskriver hver en ligefrem proportionalitet. A Bestem forskriften til hver af de ligefremme proportionaliteter f(),5,75 6, g() OPGAVE 5 Et rektangel skal have arealet. A Skriv mindst tre eksempler på længde og breddemål i rektangler, som har areal. B Opstil en funktionsforskrift, som du kan bruge til at beregne længden i et rektangel med arealet og bredden. C Brug din funktionsforskrift til at opstille en formel, som beskriver omkredsen for et rektangel med areal og bredde. OPGAVE 6 CIA (Central Intelligence Agency) skriver på deres hjemmeside med fakta om lande, at den årlige befolkningstilvækst for Indien er estimeret til,7 %. I 7 var der indbyggere i Indien. Kilde: A Hvor mange indbyggere vil der ifølge CIAs prognose være i 5 i Indien, hvis befolkningstilvæksten følger prognosen? B Vurder, hvilke af funktionsforskrifterne herunder som kan bruges til at beskrive befolkningstilvæksten for Inden. Forklar for hinanden, hvorfor eller hvorfor ikke, funktionsforskriften kan bruges. f() = ,7 g() = ,7 h() = ,7 i() =,8,7 j() =,8,7 k() =,8,7 ( 7) ( 7) C Hvor mange år vil der gå, før befolkningstallet i Indien ifølge CIAs prognose vil overstige milliarder?

18 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 55 TRÆN PROBLEMLØSNING Løs opgaverne med digitale værktøjer. OPGAVE I to landsbyer er der forskellig befolkningstilvækst. I CoolBy bor der 8 personer, og der er en befolkningstilvækst på,5 % pr. år, mens der er i SmukBy bor 6 personer, og der er en befolkningstilvækst på, % pr. år. A Hvor mange personer bor der i hver af de to byer efter år, hvis befolkningstilvæksten fortsætter? B Hvor mange år går der, før der bor flere mennesker i CoolBy end i SmukBy? OPGAVE Noah kaster en snebold mod Malthe. Da snebolden er m fra, hvor Noah kastede den, befinder den sig,75 m over jorden. Da bolden er m fra, hvor Noah kastede den, befinder den sig, m over jorden, og da bolden er m fra, hvor Noah kastede den, befinder den sig, m over jorden. B Hvad betaler familien pr. minut, hvis der regnes med et forbrug på gange 5 timer? Astas mor mener, at prisen pr. minut højst skal være øre. Hun mener også, at Asta og hendes bror tilsammen højst skal bruge 5 timer om måneden på at se serier og film. C Kan Asta overbevise sin mor om, at disse to krav begge kan opfyldes? Hvis ja: Hvilke beregninger skal hun vise sin mor, for at overbevise hende? OPGAVE Freya og Alma har analyseret samme datasæt, og de er blevet uenige om, hvilken regressionsmodel der passer bedst til datasættet. Datasættet viser udviklingen i brug af internettet blandt danskere i aldersgruppen 65-7 år. Årstal Procentdel af de 65-7-årige, der bruger internettet 6 % A Hvilken funktionsforskrift beskriver sammenhængen mellem sneboldens afstand fra Noah og højden over jorden? B Malthe står 5 m fra Noah, han står i kasteretningen og er,79 m høj. Bliver han ramt af snebolden, hvis han bliver stående? C Hvor langt væk fra Noah vil snebolden ramme jorden, hvis den ikke rammer noget andet inden? % % 9 % 66 % 75 % 85 % 9 % OPGAVE Hjemme hos Asta har de abonnement på en streamingtjeneste til serier og film, som koster 89 kr. pr. måned. Astas mor synes, tjenesten er for dyr, men Asta vil gerne overbevise sin mor om, at det egentlig ikke er så dyrt, og at de får meget for pengene. A Opstil en funktionsforskrift, som beskriver sammen hængen mellem antallet af minutter, de streamer film eller serier pr. måned og prisen pr. minut. Asta og hendes bror ser mindst 5 timers streaming om måneden hver. Da de begge ser mindst 5 timer, mener Asta, at prisen pr. minut skal udregnes efter timers streaming også selv om de ofte ser de samme film. Freya mener, at det er en eksponentiel model, som bedst beskriver udviklingen i datasættet, men Alma er uenig. Hun mener, at udviklingen bedst beskrives med en lineær model. Hun siger, at er R -værdien er tættest på med en lineær model. A Udfør en regressionsanalyse på datasættet. Find R -værdierne til Freyas og Almas forslag. B Hvilke argumenter kan I finde, som taler for den ene model og imod den anden? D Hvis I skulle bruge datasættet og en regressionsmodel til at forudsige, hvornår % af de 65-7-årige ville bruge internet, hvilket årstal ville det så være?