OPGAVER 1.g. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 OPGAVER.g Introduktion: Maple, funktioner og regression Grundlæggende matematiske begreber (del ) Geometri og trigonometri Introduktion til vektorer Grundlæggende matematiske begreber (del &) Uendelighedsbegrebet Funktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Marts 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk

2 Indholdsfortegnelse Introduktion... Grundlæggende matematiske begreber (del )... 5 Geometri og trigonometri... Introduktion til vektorer... 5 Grundlæggende matematiske begreber (del &)... Uendelighedsbegrebet... 4 Funktioner FACITLISTE... 6

3 Introduktion Opgave 000: Et tændt stearinlys står på en vægt, der angiver massen af stearinlyset. Med et ur måles tiden i minutter. Man får følgende målinger: a) Bestem ved hjælp af regression den lineære funktion, der bedst beskriver situationen. b) Hvad er massen af stearinlyset ifølge modellen efter 7 minutter? c) Hvornår er lyset brændt ned? d) Hvor mange gram af lyset afbrændes i minuttet? Opgave 00: Et termometer er baseret på ledningsevne. Følgende data er oplyst, og modellen, der beskriver spændingsforskellen (spændingsfaldet / spændingen) som funktion af temperaturen, er lineær: a) Bestem en funktionsforskrift, der angiver spændingsfaldet som funktion af temperaturen. b) Hvad er spændingsfaldet ifølge modellen, når temperaturen er 0 C? c) Ved hvilken temperatur måles et spændingsfald på, mv? d) Ved hvilken temperatur måles et spændingsfald på 0 mv? e) Hvor meget skal temperaturen øges, for at spændingsfaldet øges med 0,5 mv? Opgave 004: Tag udgangspunkt i funktionsforskriften fra ovenstående opgave. Prøv ved hjælp af tegnene <, >,, (tegnene findes under paletten Relational i Maple eller kan indtastes ved at trykke et ulighedstegn efterfulgt af et lighedstegn) at benytte Maple til at svare på spørgsmål af typerne: Ved hvilke temperaturer er spændingsfaldet over 4,0 mv? Ved hvilke temperaturer er spændingsfaldet mindre end eller lig med 6, mv? Prøv også med skrivemåden f ( ) and f ( ) 0 (der skal være mellemrum, når man indtaster and ) at svare på et spørgsmål som: Ved hvilke temperaturer ligger spændingsfaldet mellem,0 mv og,6 mv? Bemærk forskellen i Maples notation mellem større end og større end eller lig med. Opgave 000: Indiens befolkningstal N (angivet i millioner) var til tiden t (angivet i antal år efter 960) givet ved: Antal år efter Befolkningstal i Indien i millioner Det antages, at befolkningstallet i Indien kan beskrives ved en eksponentiel t udvikling N ( t) = b a. a) Bestem a og b. b) Hvor mange procent vokser Indiens befolkningstal med om året? c) Hvad er fordoblingstiden for Indiens befolkningstal ifølge modellen? d) Hvad var befolkningstallet i Indien ifølge modellen i 977? e) Hvornår vil befolkningstallet i Indien ifølge modellen overstige milliard? f) Hvad var befolkningstallet i Indien i år 0 ifølge modellen? Kommentér resultatet. g) Benyt Maple til at tegne punkter og regressionslinje. Gør andenaksen logaritmisk og bemærk, at punkterne nu danner en ret linje.

4 Opgave 00: Opskriv følgende i Maple: Fnormal, X, Emek, HPO4 og T. Bemærk, at du for at skrive det sidste symbol ikke kan anvende indeks, men skal anvende listeplaceringshenvisning. Opgave 004: Antallet N af radioaktive kerner til tiden t (målt i sekunder) ses i nedenstående tabel: Tid målt i sekunder Antal kerner a) Plot punkterne uden tendenslinje i både et almindeligt og et enkeltlogaritmisk koordinatsystem og vurdér i hvilket af koordinatsystemerne, at punkterne tilnærmelsesvis danner en ret linje. t b) Bestem a og N0 i modellen N ( t) = N0 a. c) Hvor mange kerner er der ifølge modellen tilbage efter 60 sekunder? d) Efter hvor mange sekunder er der ifølge modellen 0 kerner tilbage? e) Bestem halveringstiden. f) Hvor mange procent falder antallet af kerner med for hvert sekund? g) Arbejd med grafen: Skriv aksetitler, anvend andre punkter, justér farven på tendenslinjen, Opgave 000: En oversigt over vægt og diameter af kirkeklokkerne i Saint Patrick s Cathedral i Dublin er givet i nedenstående tabel: Diameter (i tommer) 9,5,5 4,0 5,0 8,0 4,0 47,0 49,5 55,0 6,0 Vægt (i pund) a Det antages, at vægten V (angivet i pund) er givet ved en potensvækst V ( d ) = b d, hvor d er diameteren (målt i tommer). a) Bestem konstanterne a og b. b) Hvor meget vejer ifølge modellen en kirkeklokke med diameteren 6,5 tommer? c) Hvor stor skal diameteren ifølge modellen være, for at vægten er 4000 pund? d) Med hvor mange procent øges vægten af en kirkeklokke, når diameteren øges med 0%? e) Hvor mange procent skal diameteren øges med, hvis vægten skal fordobles? f = 8,9. Opgave 00: En funktion f har forskriften 0,4 a) Hvor mange procent øges funktionsværdien med, når -værdien øges med 5%? b) Hvor mange procent skal -værdien øges med, for at funktionsværdien skal øges med 60%? c) Hvor mange procent falder funktionsværdien med, når -værdien falder med 0%? d) Hvor mange procent skal -værdien falde med, hvis funktionsværdien skal halveres? g = 7,9. Opgave 004: En funktion g har forskriften,5 a) Hvordan ændres funktionsværdien, når -værdien øges med 70%? b) Hvordan ændres funktionsværdien, når -værdien falder med 40%? c) Hvordan skal -værdien ændres, hvis funktionsværdien skal øges med 8%? d) Hvordan skal -værdien ændres, hvis funktionsværdien skal falde med 54%? 4

5 Grundlæggende matematiske begreber (del ) Opgave 000: Se på følgende mængder: A = B = C = D = blå,gul,grøn, E = gul,grøn,rød, F = gul,grøn,dør,,,,,,,,,4, Afgør følgende spørgsmål med sandt/falsk (tjek svarene i facitlisten): a) A = B b) A = C c) D = E d) E = F e) A B g) C D Opgave 00: Vi har mængderne: A =,7,, B = a, d, f, q, C = 0, D = og E =, A, B Afgør følgende med sandt/falsk (tjek løbende dine svar): a) A b) B c) a A d) a B e)0 C f )0 D g) B h) C i) D j) E k)7 A l) A m) 7, A n),7, A o),7, = A p) a, d, f, q E q) = D Opgave 004: Se på mængderne A = B = A C = A, B D = A, B, C Afgør følgende med sandt/falsk : a) A b) B c) C d) D C i e) A g) B h) ) D Opgave 00: Se på følgende mængder: A,,5,7, B, C,5,7,, D,, E =,,5,7,9, F = 5, G =,7 = = = =, a) Hvilke af mængderne B, C, D, E, F og G er delmængder af A. b) Hvilke af mængderne B, C, D, E, F og G er ægte delmængder af A. Opgave 0: Afgør følgende med sandt/falsk : a),,, b),,, c), =,, d),,, e),, f ),,,, g),,,, h),,,, i),, j),, k),, l),, Opgave 00: Bestem følgende mængder: a),, 7,9,, 6,9 b),, 7,9,, 6, c),, 7,9, 4, 6,8 d),5,8,5,8 e),,5, 4 f ),,5,,5 g),,5 h),,5 i),, 4,5 Opgave 0: Afgør, om følgende mængder er disjunkte (ja/nej): a),7 og,5 b),4,9 og,4 c) 9,5 og 9,5 d) og 6, 7 Opgave 04: Bestem følgende differensmængder: a),,,4,5 \,4 b),,,4,5 \,4,6 c),4,7 \,,4,5,7,9 ( ) d) \,,4,5,6,7 e), \ f ),,,4,5 \,,,4, 5 Opgave 06: Se på følgende mængder: A =, 4,9,, B =, C =,,5,9, og D =,,5 Bestem følgende udtryk og tjek resultatet med Maple (, og \ findes under Common Symbols ). a) AC b) AD c) AB d) AC e) A D f ) A B g) A \ C h) C \ A i) A \ B j) B \ A k) D \ C l) D \ A m) C D n) B D o) C D p) B D q) AC D r) A B C s) AC D t) A B C D 5

6 Opgave 00: Lad grundmængden være G = {,,,4,5,6,7,8,9,0}, og lad,, 4,7,, {,,, 4,5,6,7,8,9,0} og A = B = D = E = a) Bestem komplementærmængderne til A, B, D og E. Lad nu grundmængden være G = {,,,...,} b) Bestem komplementærmængderne til A, B, D og E. Opgave 0: Bestem følgende kartesiske produkter, når følgende mængder er givet: A =,, B =,4, C = 4,5,6 og D = a) A B b) AC c) A A d) A D e) A A A f ) C C Opgave 080: Udregn følgende udtryk eller angiv, at de ikke kan skrives simplere (i.s.) a) 4a + a b)b + 5 c c) + 9 d) + 9 e)5y + 6 f ) y + 8y g) 7 ln + ln h)5sin y + sin y i)sin + 5sin y j) + y y ( ) k) 5 a + b + b + a l) + 9 m) log sin + y + 5 log sin + y n )pærer + 4bananer y z z y Opgave 090: Hvor mange elementer indeholder det kartesiske produkt,,,4,,,4,5,6? Opgave 09: Vi ser på grundmængden G =,,,...,0 og mængderne,,5, 7,9 B =, 4, 6,8,0,. a) Er A og B disjunkte? b) Hvor mange elementer indeholder henholdsvis A, B og A B? c) Hvor mange elementer indeholder det kartesiske produkt A B? d) Hvor mange elementer indeholder komplementærmængden til A? e) Hvor mange elementer indeholder komplementærmængden til B? f) Hvor mange elementer indeholder henholdsvis A \ B og B \ A? A = og Opgave 094: Vi ser på grundmængden G =,,,...,0 og mængderne,,5, 7,9 B =,,5, 7,9,,,5. a) Er A og B disjunkte? b) Hvor mange elementer indeholder henholdsvis A, B og A B? c) Hvor mange elementer indeholder det kartesiske produkt A B? d) Hvor mange elementer indeholder komplementærmængden til A? e) Hvor mange elementer indeholder komplementærmængden til B? f) Hvor mange elementer indeholder henholdsvis A \ B og B \ A? Opgave 00: a) Hvilket tal skal lægges til 8 for at få 7? b) Hvilket tal skal lægges til 5 for at få? c) Hvilket tal skal lægges til 6 for at få 6? d) Hvilket tal skal lægges til for at få 9? Opgave 0: a) Hvilket tal skal lægges til c, for at få d? b) Hvilket tal skal lægges til d for at få c? c) Hvilket tal skal lægges til c for at få d? d) Hvilket tal skal lægges til d for at få c? e) Hvilket tal skal lægges til c for at få d? f ) Hvilket tal skal lægges til d for at få c? A = og Opgave 0: Omskriv følgende endelige decimalbrøker til brøker med hele tal i tæller og nævner. Tjek dine facit med Maple ved højreklik på tallet og Conversions og Eact Rational : a) 8, b) 0,9 c) 0,0 d),97 e) 0, f ) 0,08 6

7 Opgave 0: Omskriv følgende periodiske uendelige decimalbrøker til brøker med hele tal i tæller og nævner. a) 5, b),7 c) 0,675 d) 6,94 e )4,70559 Opgave : Omskriv følgende decimalbrøker til brøker med hele tal i tæller og nævner: a) 4,79 b)4,75 c ) 8, Opgave 40: a) Opskriv intervallet 4,9 med notationen, hvor man anvender og ulighedstegn. b) Opskriv intervallet 7med firkantede parenteser., med ulighedstegn. c) Opskriv intervallet d) Opskriv intervallet 9med firkantede parenteser.,7 med ulighedstegn. e) Opskriv intervallet f) Opskriv intervallet med firkantede parenteser., med ulighedstegn. g) Opskriv intervallet Opgave 4: Se på intervallerne,5,,5,,5,,,,5, 5, og,5. Find det interval blandt disse, der lever op til følgende: a) Det er lukket og indeholder ikke tallet. b) Det er begrænset og venstreåbent, men ikke højreåbent. c) Det er åbent og venstrebegrænset, men ikke begrænset. d) Det er begrænset og højreåbent, men ikke åbent. e) Det er højrebegrænset, men ikke begrænset og ikke højreåbent. f) Det er ubegrænset. g) Det er begrænset og åbent. Opgave 44: Se på de samme intervaller som i opgave 4. Angiv det interval, der passer til: Opgave 46: Bestem det interval eller den mængde, der svarer til følgende fælles- eller foreningsmængder: a), 7 4, b), 4 8,8 c) 0, 7, d) 5,8 6,7 e) 4,8 8,7 f ),4 4,5 g), 7 4, h) 5,,9 i) 5,,4 j),9 6, k),, l),,4 Opgave 90: Løs følgende ligninger med anvendelse af nulreglen. Tjek med facitliste og Maple: a) + 5 = 0 b) = 0 c) = 0 6 d) = 0 6 7

8 Opgave 9: Løs følgende ligninger (tjek med facitlisten og efterfølgende Maple-indtastning): a) = 0 b) = c) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( 4 ) d) 5 0 e) 0 f ) 8 0 g) = 0 Opgave 94: Løs følgende ligninger (husk nulreglen): a) + 9 = 0 b) = 0 4 c) = 0 d) + 7 = 0 Opgave 00: Reducér følgende udtryk: a) a b a b a c b) y z y z c) a b a b a b d) z y z y Opgave 0: Reducér følgende udtryk: a) + y y b) a + b c) a b a b ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ( )) ( + ) ( ) d) a b 4a b e) y 4z f ) y y 8 g) ab 4a ab 5 b h) y 4y y y Opgave 0: Reducér følgende udtryk til ét tal eller én brøk med hele tal i tæller og nævner: ) ) ) 4 )7 ) 5 ) ) 5 ) 5 a b c d e f g h i) j) Opgave 0: Reducér følgende udtryk til ét tal eller én brøk med hele tal i tæller og nævner: a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) Opgave 40: Reducér følgende udtryk: a) a + a b + a + y + a 4a b) c) + d) + e) + f ) + g) + a 6 9 Opgave 00: Anvend potensregnereglerne til at bestemme følgende: a a c c 4 a) b) c) d)5 9 e) a f ) g) 6 4 a 6 c 5 ( k ) 5 k 4 s ( s ) f h) i)7 7 7 j) k) l)6 9 f f k t Opgave 0: Anvend potensregneregler til at reducere følgende udtryk: ( y ) ) 7 ) ) y ) ) 4 a a a b c d e y 5 y y

9 Opgave 0: Omregn (i hånden) følgende til uforkortelige brøker: a)6 b)5 c)7 d) e) f ) g) h) Opgave : Omregn til uforkortelige brøker: a)5 b) c) d) e)8 f ) 7 g) h) Opgave 0: Bestem (i hånden) følgende rødder (tjek med facitliste og Maple-indtastning): 4 5 a) 7 b) 5 c) 0000 d) 4 e) f ) g) 64 h i j k l m 9 5 ) ) ) 8 ) 9 ) 7 ) Opgave : Bestem følgende rødder: a b c d e f g 0000 Opgave 0: Beregn følgende i hånden (tjek med facitliste og Maple-indtastning): ) 6 ) 44 ) 9 ) 7 ) 7 ) ) a)9 b)6 c) 5 d) 7 e)5 f )6 g)8 h)9 i) j)8 6 Opgave : Beregn følgende: 6 7 a)8 b) c) 5 d) 7 e)64 f ) g)8 49 Opgave 40: Beregn følgende i hånden (tjek med facitliste og Maple-indtastning) a)00 b)000 c) 5 d) 000 e) 7 f ) 8 g) 8 h) i) 8 7 Opgave 4: Beregn følgende: 7 7 a) 7 b)6 c)8 d) 8 e)5 f ) 8 g) h) 8 5 Opgave 50: Forudse, hvordan Maple vil omskrive følgende udtryk, og tjek det: a) 0 b) 8 c) 6 d) 00 e ) 7 Opgave 5: Udregn følgende: a) b) c) d) e) f ) Opgave 54: Udregn følgende: a) b) c) d) e) f ) Opgave 56: Udregn følgende: a) b) c) d) e ) Opgave 60: Beregn i hånden følgende rødder (tjek med facitliste og Maple-indtastning): a) 8 b) c) 9 d) 7 e) f ) 5 g) h) i) 8 4 Opgave 6: Beregn følgende rødder: 5 a) b) 7 7 c) 9 d) e) f )

10 Opgave 900: Bestem den numeriske værdi af følgende tal og tjek med Maples og abs. 7 a)8 b) c)5 d) 0 e) f ) 4,56 g) 0,8 h) i) j) k) Opgave 90: Løs i hånden følgende ligninger og uligheder. Tjek med Maples solve. a) = 4 b) = c) + = 8 d) 9 = e) 5 = f ) + 5 = 9 g) 4 h) + 4 i) 8 j) 4 k) = l) + 5 = m) + 6 = n) 7 = o) + = 4 5 p) Opgave 9: Løs følgende ligninger: a) = 6 b) + = 5 c) + = 7 d) = 4 e) + = Opgave 90: Beregn aritmetisk, harmonisk, geometrisk og kvadratisk gennemsnit for talsættet: 5,, 7,, 9, 6 Opgave 9: Beregn aritmetisk, harmonisk, geometrisk og kvadratisk gennemsnit for talsættene: a),,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b),,,, 9, 9, 9, 9 c),,,, d),,,,,,,,,,,,,, 6 e) 0, 0, 0, 40, 50, 60, 70, 80, 90 Opgave 90: Bestem i hvert af følgende tilfælde hvilken type gennemsnit, der er relevant, og udregn dette. a) En elev måler baggrundsstrålingen 8 gange og får tælletallene: 5, 9,, 4, 7, 9, 6 og 0. b) En bilist kører time med farten 80 km/t, time med farten 50 km/t, time med farten 70 km/t og en time med farten 90 km/t. c) En bilist kører 0 km med farten 80 km/t, 0 km med farten 50 km/t, 0 km med farten 70 km/t og 0 km med farten 90 km/t. d) Et maleris værdi ændres i en årrække pr. år med fremskrivningsfaktorerne.09,.7,.0,. og.45. e) En løber løber 5 km med tempoet 4,5 min pr. km, 5 km med tempoet 5,5 min pr. km, 5 km med tempoet 4 min pr. km og 5 km med tempoet 6 min pr. km. f) En løber løber 5 minutter med tempoet 4,5 min pr. km, 5 minutter med tempoet 5,5 min pr. km, 5 minutter med tempoet 4 min pr. km og 5 minutter med tempoet 6 min pr. km. g) En snedker har en kasse med længden 70 cm, højden 0 cm og bredden 50 cm og ønsker at lave en kube med samme rumfang. 0

11 Geometri og trigonometri Opgave 000: Placér følgende begreber i et skema som vist nederst i højre hjørne: Opgave 00: På figuren nedenfor er angivet nogle sidelængder og vinkler: Bestem følgende størrelser: a) CD b) ABC c) AB d) BCD e) BC f ) DCE g) ADC h) BCE i) ADE Opgave 00: Tag udgangspunkt i den røde figur blandt nedenstående figurer. a) Hvilke figurer er kongruente med den røde figur? b) Hvilke figurer er ligedannede med den røde figur?

12 Opgave 0: Tag udgangspunkt i den røde figur. a) Hvilke figurer er kongruente med den røde figur? b) Hvilke figurer er ligedannede med den røde figur? c) Hvilke figurer er ensvinklede med den røde figur? Opgave 00: Et ret højt træ kaster en ret lang skygge. En m høj pæl placeres lodret 9 m fra træet, så deres skygger ender i samme punkt. Pælens skygge er 5 m lang. Som angivet på figuren gælder altså: BC = m, AB = 5m og BF = 9m Bestem højden af træet. Opgave 0: Trekanterne AHP og BFD er ensvinklede med A = B, H = F og P = D. Nogle af sidelængderne er angivet på figuren. Bestem HP og BF (svarene kan med fordel angives som brøker). Opgave 0: På figuren er trekanterne ABC og CDE tegnet mellem de parallelle linjestykker AB og DE: Begrund, at trekanterne ABC og CDE er ensvinklede. Bestem de to manglende sidelængder i trekanterne.

13 Opgave 040: Bestem de manglende sider og vinkler i følgende trekanter. a) ABC : C = 90, a = 8, B = 9 b) RPS : P = 90, p =, s = 0 c) QWA : A = 90, q = 5, w = 7 Opgave 050: Bestem i hånden (på øjemål eller med matematiske ræsonnementer) følgende størrelser og tjek efterfølgende med Maples invsin, invcos, invtan (vinkler i grader) og arcsin, arccos, arctan (vinkler i radianer): Vinkler i grader: a) tan ( ) b)sin c)cos d) tan ( ) Vinkler i radianer: e) tan f )sin g)cos h)cos Opgave 060: Bestem arealet af nedenstående trekanter:. Opgave 06: I FST er S = 56, FS = 7,4og ST = 8,6. Bestem arealet af FST. Opgave 06: I ADE er A =, E = 67 og e =,8. Bestem længden af siden a. Opgave 06: I ABC er B =, a =,7 og b = 8,. Bestem A. Opgave 064. I BKL er B = 6, b =, 7 og k = 6,. Bestem den stumpe K. Opgave 065: I CGK er følgende stykker oplyst: C = 68, c = 9, og G = 4. Bestem de manglende stykker i trekanten. Opgave 066: DEF har arealet 8, og d = 9og f = 5. Bestem E, der er en stump vinkel. Opgave 067: I ALP er h = 4, l = 7 og p = 6. Bestem A, når det oplyses, at den er stump. l Opgave 070: I ADE er a = 4,7, d =, og e = 8,. Bestem vinklerne i trekanten. Opgave 07: I AJM er J = 7, a =,9 og m = 7,. Bestem j. Opgave 07: I ABC er oplyst følgende stykker: a = 4,, b = 46,9 og c = 9,8. Bestem vinklerne i trekanten samt arealet af trekanten. Opgave 074: I ABC er b =,5 a og c =,8 a. Bestem A. Opgave 078: Det hævdes, at en trekant har sider med længderne 4, 9 og 7. Bestem vinklerne. Opgave 080: En trekant har sidelængderne, 5, og 4. Bestem trekantens areal. Opgave 08: I BCN er b= 7,og n= 9,, og trekantens areal er 7,54. Bestem BN, når det oplyses, at BC er den længste side i trekanten. Opgave 084: Hvilket areal giver arealformlen, hvis den anvendes på følgende sidelængder: a), og b), og c), og 4 d), 4 og 5

14 Opgave 090 (Det dobbelttydige trekanttilfælde): Bestem i følgende tilfælde de mangler stykker i den eller de trekanter, der kan være tale om, eller afgør, at ingen trekanter opfylder betingelserne: a) A = 48, a = og b = 8 b) A = 6, a = 9 og b = c) A = 0, a = og b = 6 d) A = 0, a = og b = e) A = 5, a = 4 og b = 7 f ) A = 60, a = 9 og b = 9 g) A = 0, a = og b = Opgave 00: En person står på en strand i punktet A. 50 m henne ad stranden i punktet B står en parasol, og ud fra denne vinkelret på vandlinjen befinder svømmerne C og D sig. Fra person A danner sigtelinjerne til parasollen og svømmer C vinklen 4. Fra person A danner sigtelinjerne til svømmer C og D vinklen 7. a) Bestem afstanden mellem svømmerne C og D. b) Bestem ACD. Opgave 0: I trekant GHP kaldes medianen fra G s fodpunkt på linjestykket HP for D. Det oplyses, at GH = 7, HP = 5 og GHP = 40 a) Bestem arealet af trekant GHP. b) Bestem GP. c) Bestem GDP. Opgave 04: Et område med fiskeforbud for sej (Pollachius virens) i Østersøen øst for Bornholm har form som en firkant ABCD, se figuren. Der gælder at A = 98, AB = 75 km, AD = 84 km, BC = 99 km og CD = km. a) Bestem afstanden fra B til D. b) Bestem arealet af firkant ABCD. Opgave 06: Bestem vinklen mellem to C-H-bindinger i et methanmolekyle (H-atomerne sidder som hjørnerne i et regulært tetraeder. Hint: Tegn hjælpetrekanter i forskellige planer og udnyt vores viden om medianer. 4

15 Introduktion til vektorer Opgave 000: I nedenstående gitter er angivet nogle repræsentanter for vektorer. a) Hvor mange vektorer er angivet? b) Hvor lang er vektoren, der bl.a. er repræsenteret af den blå pil? c) Hvor lang er vektoren repræsenteret af den violette pil? d) Hvor mange repræsentanter er angivet for den vektor, der bl.a. er repræsenteret ved den blå pil? e) Hvor mange nulvektorer er der? f) Hvor mange repræsentanter er angivet for nulvektoren? Opgave 00: I nedenstående gitter er angivet repræsentanter for 9 vektorer. a) Bestem længderne af de 9 vektorer. b) Hvad er vinklen mellem vektorerne a og c? c) Hvad er vinklen mellem vektorerne b og c? d) Hvad er vinklen mellem vektorerne h og c? e) Hvad er vinklen mellem vektorerne h og m? f) Hvad er vinklen mellem vektorerne b og f? g) Hvad er vinklen mellem vektorerne b og n? h) Hvad er vinklen mellem vektorerne h og a? i) Hvad er vinklen mellem vektorerne h og d? 5

16 Opgave 00: I de fleste af nedenstående spørgsmål skal du tage udgangspunkt i vektoren a. a) Hvilken eller hvilke vektorer er ensrettet med a. b) Hvilken eller hvilke vektorer er modsatrettet a. c) Hvilken eller hvilke vektorer er parallelle med a. d) Hvilken vektor er den modsatte vektor til a. e) Hvilken eller hvilke vektorer er ortogonale med a. f) Er b c? g) Er f n? h) Er b f? i) Er h e? j) Er m 0? k) Er d g? Opgave 0: Bestem i hvert af nedenstående spørgsmål hvilken eller hvilke vektorer, der : a) Er lig med a. b) Er ensrettet med a. c) Er modsatrettet a. d) Er en modsat vektor til a. e) Er nulvektoren. f) Har samme længde som a. 6

17 g) Er parallelle med a. h) Er en enhedsvektor. i) Har længden 6,5. j) Er ortogonal med q. k) Ikke er egentlige vektorer. l) Er lig med AB. m) Er lig med BA. n) Er ortogonal med AC. o) Er ortogonal med CA. Svar desuden på følgende spørgsmål: p) Er s r? q) Er AC CB? r) Hvad er g? s) Er AA = c? t) Er f g? u) Er a = r? v) Erb d? w) På hvor mange af ovenstående spørgsmål ændres svaret, hvis samtlige vektorer ovenfor parallelforskydes vilkårligt på hver sin måde? Opgave 00: I denne opgave skal de røde vektorer adderes, og resultanten skal sammenlignes med de blå vektorer. Hvilken af de blå vektorer svarer til følgende resultanter af de røde vektorer? a) a + b b) c + m c) n + d d) a + h e) m + 0 f) c+ d + h g) b + n + m + c Opgave 0: Bestem for nedenstående vektorer og punkter følgende : a) a + b b) r + p c) b + m d) AB + BC e) s + m + d f ) BC + CA g) v + r + d + u h) AB + BD + DC i) BC + CD + DA + AB j) s + c k) AE + EB + BC + CD + DA 7

18 Opgave 04: Det oplyses, at a + b = c, at a = 7 og c = 9 samt at vinklen mellem vektorerne aog cer 7. Bestem b. Opgave 06: Det oplyses, at a = 8, b = 6 og a b 9 + =. Bestem vinklen mellem a og ( a b) +. Opgave 00: Indtegn i følgende skema de angivne vektorer med udgangspunkt i de sorte punkter, der er angivet som hørende til de enkelte spørgsmål. a) b b) a c) b d) a + b e)0 a f ) b + a g) 4 b + a Opgave 040: Indtegn i følgende skema de angivne vektorer med udgangspunkt i de sorte punkter, der er angivet som hørende til de enkelte spørgsmål. a) a c b) c b c) b a d) a b + c e) a a f ) a b g) c b a h) c + b a Opgave 04: Det oplyses, at a = og b = 8, samt at vinklen mellem aog ber 4. Bestem a b. Opgave 050: Bestem længden (størrelsen) af normalkraften F n og den resulterende kraft F res i nedenstående situation, hvor en klods trækkes hen over et bord, og bestem den vinkel v, som trækkraften danner med vandret 8

19 Opgave 05: Skiløberen nedenfor er som vist på figuren udelukkende påvirket af tyngdekraften og normalkraften (dvs. der ses bort fra alle former for gnidning). Vinkel med vandret er v = 4, og F = 659 N. t a) Bestem størrelserne af normalkraften og den resulterende kraft F og F. b) Hvor stor skal vinklen v være, før den resulterende kraft får længden 00 N? n res Opgave 060: To biler støder sammen. De kører som vist på figuren langs retninger vinkelret på kg m kg m hinanden. Lige inden sammenstødet er p = 400 og p = 700. s s a) Bestem størrelsen af den samlede bevægelsesmængde p samlet. b) Bestem vinklen mellem p og p samlet. c) Hvad ville psamlet have været, hvis vinklen mellem pog p var 40? Opgave 06: To kugler støder sammen som vist på figuren. Alle bevægelsesmængder p er angivet i enheden kg m. Det oplyses, at p, før =,6, p, før =,7 og p, efter =,. s Desuden oplyses det, at vinklen v mellem p, før og p, før er 6, samt at vinklen w mellem p, før og p, efter er 4. Beregn længden af p,efter. 9

20 Opgave 070: Angiv følgende udtryk som én vektor: a) ST + TP b) OA + AB c) AB + BC + CD d) VF + FF + FA e) AD + DW + WL + LS + SR f ) AB + BC + CA g) AB + CD + BC h) PS + LE + DP + EK + SL i) ED + FK + CE + WF + DC Opgave 080: Opløs nedenstående vektorer efter retninger givet ved sættet (, ) Eksempel: a = v v v v. Opgave 08: For hvilke af følgende talpar er det ikke muligt at finde en heltals-linearkombination, der giver : (, ),( 7, ), ( 4,8 ), (,5 ), ( 8,5 ),( 5,) og ( 8,6 )? Opgave 084: For vektorer i planen angivet ved koordinater gælder følgende regneregler: a b a + b t a a = og b = a + b = t a = a b a + b t a v, v,hvor v = og v = c, d = =, f =, g = og h = Opgave 090: Indtegn - og y-komposanterne og angiv vektorerne på koordinatform: Opløs de angivne vektorer efter retninger givet ved sættet Opgave 09: Hvilken sammenhæng skal gælde mellem koordinaterne i de to vektorer skal være ortogonale (dvs. a b)? a b a= og b=, hvis a b 0

21 Opgave 00: En person sidder i Tivolis forlystelse Himmelskibet. Han sidder i sædet og bevæger sig derfor i en cirkel rundt om den lilla søjle på figuren. Der ses bort fra alle andre kræfter end tyngdekraften på person-og-sæde og trækkraften fra kæderne. Som vist på figuren er trækkraften fra kæden 780 N, og kæder danner vinklen 57 med lodret. a) Bestem størrelsen af tyngdekraften på person-og-sæde. b) Bestem størrelsen af den resulterende kraft (centripetalkraften). c) Bestem afstanden fra sædet til den lilla søjle. Opgave 0: To biler støder sammen i et T-kryds. Den samlede bevægelsesmængde lige efter 6 kg m sammenstødet er 9, 0. De stiplede linjer angiver bilernes bevægelser op til s sammenstødet. Bestem bevægelsesmængderne af de to biler lige inden sammenstødet. Opgave 04: Et spyd kastes med en vinkel på med vandret og begyndelseshastigheden m 0 s. Bestem størrelserne af hastighedens -og y-komposanter fra start.

22 Opgave 06: En klods står stille på et skråplan med en hældning på 5. Gnidningskraften er 78 N. Bestem størrelserne af normalkraften og tyngdekraften på klodsen. Opgave 0: Vi lader A = F s. Bestem A i følgende situationer. a) F = 50N og s = 0m, og vinklen mellem de to vektorer er 0. b) F = 80N og s = 50m, og vinklen mellem de to vektorer er 90. c) F = 5N og s = 6m, og vinklen mellem de to vektorer er 80. d) F = 70N og s = 6m, og vinklen mellem de to vektorer er 0.

23 Grundlæggende matematiske begreber (del &) Opgave 4000: Afgør i hvert af nedenstående tilfælde, om der er tale om et algebraisk udtryk (ja/nej). Hvis det er et algebraisk udtryk, skal du om muligt udregne eller reducere det. a) 8+ 5 b) c) 5a + 7b a + b d) + 5 = 7 e) ( y) y ( ) + + f ) 50 8 g) 98 h) i) 7 a + a+ 6 j) ( + ) a a Opgave 4005: Udregn følgende algebraiske udtryk i hånden. Tjek resultatet ved at indtaste udtrykket i Maple: 4 a) + 7 b) 9 4 c)5 4 d) e) + 4 f )8 5 5 g)5 ( + 4 ) h) ( + 5 ) i) j) + 5 k) ( ) 5 l) m) ( ) ( + 4) n) Opgave 400: Angiv de skjulte parenteser i disse algebraiske udtryk: a + b + 4 a) + 7 b) c) 4 d) e) f ) 9 a 4b ) 5 ) ) 4 ) g h i + j k) Opgave 40: Sæt de skjulte parenteser og udregn eller reducér de algebraiske udtryk: a) 4 b) c) d)0 e) Opgave 40: Sæt først de skjulte parenteser og udregn eller reducér efterfølgende de algebraiske udtryk. Tjek, at antallet af skjulte parenteser er det samme som værdien af udtrykket. a) b) Opgave 400: Angiv antallet af led i nedenstående algebraiske udtryk. a) b) 5 ( 4 + ) c) 4 ( 6 ) 4 ( 5) a + y y y y y d) e) c) d)

24 Opgave 405: Reducér følgende algebraiske udtryk og tjek med Maple (anvend epand ). 5 7 a 8b 6 4a y + c a) ( + ) b) c) ( 4+ a) ( a) d) ( a + b) ( b) e) ( a + b) ( + a 4b) f ) ( a + b + c) ( a + b + c) ( + ) 4 h) ( + a+ ) g) y Opgave 400: Anvend kvadratsætningerne til at udregne nedenstående algebraiske udtryk. Tjek resultatet ved at anvende epand i Maple. + y b) ( a b) a b a + b a) c) d) ( + y) e) ( 5a b) ( 5a + b) f ) ( 5 ) g) ( 4 5y) h) ( + 4y ) i) ( 6a b ) Opgave 40: Anvend om muligt kvadratsætningerne til at udregne følgende algebraiske udtryk. Hvis det ikke er muligt, skal du anvende parentesregneregler. Tjek resultatet med epand i Maple. ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) a) b) 4a b 4a b c) y y d) e) 5a b 5 a b f ) 4 b b 4 ( ) + ( ) ( ) ( + ) ( + + ) ( + ) g) a b h) i) 5a b b 5a j) y k) y 4 y 4 Opgave 404: Reducér nedenstående udtryk. Tjek resultatet med Maples simplify (højreklik på udtrykket og vælg simplify simplify ) a) a 4b a 6a b + a b) 4a a b 8a c) 4 y 4y + y d) y + y 4 + ( + ) ( ) ( ) + ( ) e) a b 6a b a f ) y 6 y 4 g) a b + 5a b a + b h) + a + a + a 4a Opgave 4040: Anvend kvadratsætningerne fra højre mod venstre og omskriv nedenstående. Tjek resultatet ved at anvende Maples factor. a) a a b) + c) e) 9a 4b d) 9 + y + 4y 9c + 6 f ) 4a 6ay + 6y 4 g) 9a b + 4c + ab c h) 4 + y + 64y Opgave 404: Anvend om muligt kvadratsætningerne fra højre mod venstre og omskriv nedenstående. Tjek resultatet ved at anvende Maples factor. a) 9 + 4y y b) 6a 5b c y y d ) ) e) y + 6y + 6 f ) 6s t g) 6 + 5y 60 y h) 4y + y 4

25 Opgave 4050: Foretag kvadratkomplettering på følgende algebraiske udtryk og tjek med Maplepakken Student[Precalculus] og kommandoen CompleteSquare( ): a) + 8 b) y 6 y c) z + 6 z d) 0 e) y + 4y f ) y 4 y g) 4 + y + y + z 8 z h) y 0y + z i j k ) ) ) l m n ) ) ) Opgave 405: Foretag kvadratkomplettering på følgende algebraiske udtryk og tjek med Maplepakken Student[Precalculus] og kommandoen CompleteSquare( ): a) 0 b) y + y c) z + z d) + 4 e) y 6 y f ) 0 + y + 8y g y y h y y z z i ) ) ) j k l ) ) + ) m y y n y y z z ) ) Opgave 4060: Faktorisér følgende algebraiske udtryk og tjek med Maples factor (Husk, at du skal skrive alle de skjulte gangetegn i Maple). a) 5a + 8 a b) 4 + c) y + y d a b c abc e y z yz y z f y ) ) )6 + 4 g) 5 a b c + 0 a b a + b c Opgave 406: Faktorisér følgende algebraiske udtryk og tjek med Maples factor (Husk, at du skal skrive alle de skjulte gangetegn i Maple). a) 5a bc 5abc + 0a b c b) y z + 9 yz + 6y c) 4 y y + 8 y d a b a b a b c c 4 c ) e e + e Opgave 4070: Faktorisér først tæller og nævner i brøkerne. Forkort derefter om muligt brøkerne. Tjek resultaterne med Maples factor y + y a 4b a) b) c) d) 9 8z + 9yz 4 0 6a b ab Opgave 407: Faktorisér først tæller og nævner i brøkerne (enten ved almindelig faktorisering eller ved at genkende et udtryk som højresiden i en kvadratsætning). Forkort derefter om muligt brøkerne. Tjek resultaterne med Maples factor. 4 y + y a) b) c) d) e) y + y Opgave 400: Løs følgende ligninger: a) + = 9 b) 7 = c) 0 = 0 d) = e) = 9 f ) = 9 g) + 4 = h) 4 + = + 9 i) + = + 9 j) a + b a b = a b 5

26 Opgave 40: Løs følgende ligninger: a) = 7 b) = 7 c) = 7 d) + y + z = 0 e)5 = + 5 f ) a + b a b = 4 ab g) + y = 0 h) + y + + z = 0 Opgave 40: Afgør, om følgende ligninger er identiteter (I), absurditeter (A) eller bestemmelsesligninger (B): a) 5 = 9 b) 9 = 9 c)7 + = + d) 5 + = + 5 e)4 = 4 Opgave 4: Afgør, om følgende ligninger er identiteter (I), absurditeter (A) eller bestemmelsesligninger (B): a) 6 = 9 b) + y = + y + y c) y = d) + y = 9 e) = f ) + + y 7 = 6 g) a + b = c h)5 = 9 Opgave 44: Afgør, om følgende ligninger er identiteter (I), absurditeter (A) eller bestemmelsesligninger (B): 4 a) = 9 b) = 0 c) a + b = a + b d) 4a a + b = 4 a b e) + + = 6 ) = 9 ) + + = 4 ) + + = 0 ) + + = 0 ) + + = + f g y y h i j Opgave 40: Løs følgende ligninger. Anvend biimplikationer undervejs (Tjek med Maples solve): a) + 5 = 7 4 ; G = b) 6 5 = ; G = c) ( + ) = ; G = d) ( ) + = 5 ; G = Opgave 4: Løs følgende ligninger. Overvej, om du skal anvende faktorisering og vær i den forbindelse opmærksom på ikke at komme til at dividere med 0. Anvend om nødvendigt logisk eller i facit (tjek med Maples solve): a) 4 = + 6 ; G = b) = 5 5 ; G = c) ; G d) ; G + + = + = + + = + = e) 9 5 = ; G = Opgave 440: Løs følgende ligninger. Tjek resultatet med Maple. a) + 4 = 7 0 ; G = b) + 5 = ; G = c) 5( y) + 4 = y ; G = d) ( 5 + ) + = 9 ; G = e) ( 8) + = 4 ; G = f ) ( 4 + ) = ( 4 ) ; G = g) = 5 ; G = \ h) = ; G = \, Opgave 44: Løs følgende ligninger (Tjek resultaterne med Maple): a) = 9 6 ; G = b) 5 = 9 ; G = c) = ; G = d) ( 4 + ) = ; G = 7 Opgave 445: Løs følgende ligninger. Tjek resultatet med Maple. a) + 4 = ; G = b) + = 5 + ; G = c) = 5 ; G = \ d) = ; G = \

27 Opgave 450: Løs følgende uligheder. Tjek med Maple (husk at lægge godt mærke til, om ulighedstegnene vender rigtigt). a) + 7 ; G = b) ; G = c) ; G = d) 5 ; G = 7 4 e) 8 ; G = \ 0 f ) 5 ; G = \ 6 5 g) ; G = \, Opgave 45: Løs følgende uligheder. Tjek med Maple (Bemærk specielt, om ulighedstegnene vender rigtigt): a) ; G = b) 4 ; G = 7 c) ; G = d) 8 ; G = 7 e) 4 ; G = \ 0 f ) ; G = \ g) ; G = \, Opgave 45: Løs følgende uligheder. Tjek med Maple (Bemærk specielt, om ulighedstegnene vender rigtigt). Grundmængden er i alle tilfælde G = : a) b) 5( ) 8 + c) ( ) 4 Opgave 470: Løs følgende ligninger. Tjek resultatet med Maple (abs eller ).G = i alle opgaver: a) + 4 = b) + 5 = 9 c) = 7 d) + 8 = e) = + f ) + 7 = 4 + g) + 7 = + h) = Opgave 400: Løs følgende andengradsligninger i hånden og tjek facit med Maple (G = ): a) 4 6 = 0 b) = 0 c) + = 0 d e f ) + 5 = 0 ) + 5 = 0 ) + 7 = 0 g) + 8 = 0 h) = 0 i) = j k l 5 5 ) + = 0 ) = ) + = 0 Opgave 40: Løs følgende andengradsligninger i hånden og tjek facit med Maple: a) + 4 = 0 ; G = f ) = 0 ; G = b) 9 0 ; G + = = c) 0 0 ; G + = = d) 8 0 ; G + = = e) 4 0 ; G + = = g) 5 0 ; G + = = h) 5 0 ; G + = = i) 4 0 ; G + = = j) ; G = = Opgave 40: Løs følgende andengradsligninger ved at gætte faktoriseringen og anvende nulreglen. Tjek for hver opgave resultatet med Maple. I alle opgaver er G = : a) = 0 b) + 5 = 0 c) = 0 d) 8 = 0 e f g h ) = 0 ) 7 8 = 0 ) + 40 = 0 ) + = 0 i j ) = 0 ) = 0

28 Opgave 4: Foretag følgende for nedenstående andengradsligninger: ) Omskriv dem ved (lovlige) ligningsoperationer til formen + b + c = 0. ) Kom frem til én af følgende konklusioner: I. Ligningen har ingen løsninger (diskriminanten negativ). II. Ligningen har løsninger, men de er ikke heltallige. III. Ligningen har heltallige løsninger, og de er (bestem disse) Tjek din konklusion med Maple. a) = 0 ; G = f ) + 9 = 8 ; G = b) 8 5 = 0 ; G = g) = 0 ; G = 80 c) = 4 ; G = h) = + ; G = d) = 0 ; G = i) + 6 = 0 ; G = 5 e) 4 + = 0 ; G = j) + = 7 ; G = Opgave 40: Løs følgende trigonometriske ligninger ved at anvende arcsin, arccos og arctan og betragtninger på enhedscirklen. Tjek efterfølgende facit med intervalsolve. a) sin = 0,45 ; G = 0, = = = = = = + = = b) cos 0,7 ; G, c) tan,45 ; G 0, d) sin +,7 =,8 ; G = 0,4 e) sin 0,87 ; G 0, f ) 4cos =,5 ; G = 0, g), 4 tan, 7,9 ; G 0, Opgave 440: Isolér i nedenstående formler den angivne variabel eller konstant. Tjek resultatet ved at opskrive formlen i Maple, højreklikke på den og vælge solve Isolate Epression for Opgave 400: Afgør i hvert af nedenstående tilfælde, om punktet P er en del af det geometriske sted, der er givet ved den pågældende ligning ( G = ): Prøv i hvert tilfælde at indtaste punkt og ligning i Geogebra og se, om du har svaret rigtigt. a) P, y = 5 7 ( ) + = ( ) y = + = b) P 4,9 7 + y = c) P,8 y d) P 5, 4 0 e) P 0,0 5 y 700 f P y y y ), = 0 8

29 Opgave 40: Parallelforskyd kurverne angivet med nedenstående ligninger som angivet. Tjek dit svar med Geogebra, hvor du indtaster både ligningen for den oprindelige kurve og for den parallelforskudte kurve og ser, om sidstnævnte er forskudt som ønsket. a) y = + 7 Forskydes med 4 langs -aksen og -5 langs y-aksen. b y ) = Forskydes med - langs -aksen og 7 langs y-aksen. c ) + y = 9 Forskydes med 6 langs -aksen og langs y-aksen. d y ) + 5 = 6 Forskydes m e y ed -8 langs -aksen og langs y-aksen. ) 5 = Forskydes med 9 langs -aksen og - langs y-aksen. f y y ) + 5 = 8 Forskydes med langs -aksen og 7 langs y-aksen. 9 G = Opgave 4: Spejl nedenstående kurver i både -aksen og y-aksen. Tjek dit svar med Geogebra, hvor du indtaster både ligningen for den oprindelige kurve og for de spejlede kurver og ser, om sidstnævnte er spejlet som ønsket. a) y = + 7 ; G = b) y = ; G = c) + y = 9 ; G = d) + 5 y = 6 ; G = e) 5y = ; G = f ) y + 5 y = 8 ; G = Opgave 44: Rotér følgende kurver med den angivne vinkel omkring origo. Tjek dit svar med Geogebra, hvor du indtaster både ligningen for den oprindelige kurve og for den roterede kurve og ser, om sidstnævnte er roteret som ønsket. a) y = + 7 ; G = Roteres 0grader. b y G ) = ; = Roteres -0grader. c y G ) + 5 = 6 ; = Roteres 45grader. d y G ) 5 = ; = Roteres -45grader. e y y G ) + 5 = 8 ; = Roteres 0grader. Opgave 46: Angiv i nedenstående eksempler ligningen for det pågældende geometriske sted. Tjek dit resultat med Geogebra ved at indtaste den oprindelige ligning og din fundne ligning og se, om du har fået anvendt den ønskede isometri. a) Cirklen med ligningen + y = 49 ; G = parallelforskudt med 7 langs - aksen og -4 langs y-aksen. Kald denne cirkel A. b) Cirkel A spejlet i -aksen. Kald denne cirkel B. c) Cirkel B spejlet i y-aksen. d) Parablen med ligningen y G = + 7 ; = parallelforskudt med - langs -aksen og -6 langs y-aksen. Kald denne parabel for P. e) Parabel P spejlet i -aksen. Kald denne parabel for Q. f) Parabel Q spejlet i y-aksen. y g) Ellipsen med ligningen 5 9 aksen og -8 langs y-aksen. Kald denne ellipse for E. h) Ellipsen E spejlet i -aksen. Kald denne ellipse for F. i) Ellipsen F spejlet i y-aksen. + = ; G = parallelforskudt med 4 langs - Opgave 47: Det geometriske sted for de punkter, der er bestemt ved ligningen + y = 6 ; G = er en cirkel med centrum i origo. Angiv ligningen for den cirkel, der er en parallelforskydning af ovenstående cirkel med 6 langs -aksen og - langs y-aksen.

30 Opgave 48: Det geometriske sted for punkterne bestemt ved ligningen ( ) ( y+ 5) + = ; G = er en ellipse. 9 4 Angiv ligningen for den ellipse, der er en spejling af ovenstående ellipse i -aksen. Opgave 40: Hvis der er opgivet tal, så størrelser kan beregnes, må man aldrig aflæse dem på en graf. Men her er ingen tal (ud over skalaanvisningerne på akserne), så du skal for nedenstående fire rette linjer aflæse hældningen a og skæringen b med y-aksen og derefter angive ligningen for den pågældende rette linje: Opgave 40: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a) (,9) og (7,5) b) (-4,7) og (,) c) (6,) og (-0,) d) (5,) og (-,-) e) (,6) og (-7,6) Opgave 4: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a) P 5, Q 9,4 d) P, Q 9, ( ) Q ( ) ( ) Q ( ) b) P 4, 5, 7 c) P, 7, 0 ( ) Q ( ) e) P 5, 9,6 f ) P 9, 5 Q, Opgave 44: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a), 7 og 4,4 b) 4, og 5,7 d ( ) c),5 og 6, ) 5, og, 6 Opgave 440: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter og har den angivne hældningskoefficient: a) P 5, 9 a = b) P, a = c) P 0, 4 a = 9 = ( ) = d) P 8, a 0 e) P, 8 a Opgave 44: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter og har den angivne hældningskoefficient. Tjek resultatet ved at indtaste ligningen i Geogebra og se, om det angivne punkt ligger på linjen. a) P, 7 a = b) P 5, 4 a = c) P, a = 5 d) P 8,5 a = 4

31 Opgave 450: Angiv de to punkter, hvor de rette linjer angivet ved nedenstående ligninger skærer koordinatakserne. a) y = 6 ; G = b) y = 7 ; G = c) y = ; G = d) y = + 8 ; G = e) y + 9 = ; G = f ) 4 + y = ; G = g) y = + 8 ; G = 6 Opgave 460: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y = + og m : y = a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem den spidse vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. Opgave 46: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y = 6 og m : y = a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem den spidse vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. Opgave 464: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y = 6 og m : y = + 5. a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med y-aksen. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. d) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med y-aksen. e) Bestem den spidse vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. f) Bestem den stumpe vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. 4 7 Opgave 466: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y = og m : y = a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem den vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. 5 Opgave 468: En ret linje l er givet ved ligningen l : y = + ; G =. 8 a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. En anden linje m er ortogonal med linjen l. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem hældningskoefficienten for linjen m. Opgave 470: De to rette linjer l og k er ortogonale. De er givet ved ligningerne y = + 4 og y = c 7 ; G =. Bestem c. 5 Opgave 47: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y = ; G =. 4 Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet P,.

32 Opgave 47: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y = + 8 ; G =. 7 Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet P 6,. Opgave 474: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y = + 8 ; G =. Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet ( 7,) 5 Opgave 476: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y = + ; G =. P. Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet ( 8, 5) Opgave 480: En cirkel har centrum i C ( 7, ), og punktet (, ) P ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem punktet P. Opgave 48: En cirkel har centrum i C (,6 ), og punktet (, ) P ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem punktet P. Opgave 484: En cirkel har centrum i C (,7), og punktet P( 7,) ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem punktet P. Opgave 490: En ret linje er givet ved ligningen 6y + 7 = 0 ; G =. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens to skæringspunkter med koordinatakserne. Opgave 49: En ret linje er givet ved ligningen + 5y 8 = 0 ; G =. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen danner med -aksen. Opgave 49: En ret linje er givet ved ligningen 6 + 5y 4 = 0 ; G =. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen danner med -aksen. Opgave 49: En ret linje er givet ved ligningen 8 0y + = 0 ; G =. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen danner med -aksen. Opgave 494: De rette linjer l og m givet ved ligningerne l : 7y + 5 = 0 og m : k + 4y 9 = 0 er ortogonale. Bestem k. Opgave 495: De rette linjer l og m givet ved ligningerne l : 9 + y = 6 og m : y = a + 6er ortogonale. Bestem a. Opgave 496: En ret linje l er givet ved ligningen y G 5 = 7; =. a) Bestem en ligning for den rette linje m, der går gennem punktet P( 4,7) parallel med l. b) Bestem en ligning for den rette linje k, der går gennem punktet Q(,6) ortogonal med l. P. og er og er

33 Opgave 497: En ret linje l er givet ved ligningen y 4 ; G = + =. a) Bestem en ligning for den rette linje m, der går gennem punktet P(,9 ) og er parallel med l. b) Bestem en ligning for den rette linje k, der går gennem punktet (, 5) ortogonal med l. Q og er Opgave 498: Nedenfor er angivet centrum C for en cirkel og et punkt P på cirklen. Bestem ligningen for den tangent til cirklen, der rører i punktet P: a) C 5, P,6 b) C, 4 P 6, c) C,7 P, Opgave 4400: Størrelsen y er proportional med. Grafen for sammenhængen går gennem punktet P 5,0. a) Hvilken værdi har proportionalitetskonstanten? b) Angiv en ligning, der beskriver sammenhængen. Opgave 440: Størrelsen y er proportional med. Grafen for sammenhængen går gennem punktet P 4,9. a) Hvilken værdi har proportionalitetskonstanten? b) Angiv en ligning, der beskriver sammenhængen. Opgave 440: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen. y 0 48 Opgave 440: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen. 7 y 9 Opgave 4404: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen. 5 7 y 8 4 Opgave 4405: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen. 7 0 y 9 9 Opgave 440: Energien E af en foton er proportional dens frekvens f. Proportionalitetskonstanten kaldes h. Angiv en formel for sammenhængen. Opgave 44: Den varme Q, der tilføres et legeme, er proportional med forskellen mellem legemets temperatur T og dets starttemperatur T0. Proportionalitetsfaktoren kaldes C. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen. Opgave 44: Faldlængden s af en genstand, der tabes, er proportional med kvadratet på faldtiden t. Proportionalitetskonstanten kaldes k. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen. Opgave 44: Farten v i en jævn cirkelbevægelse er proportional med kvotienten mellem radius r og perioden T. Proportionalitetskonstanten er. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen. Opgave 444: Opdriften F på et legeme, der nedsænkes i en væske, er proportional med produktet af legemets rumfang V og væskens densitet. Proportionalitetsfaktoren kaldes g. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen.

34 Opgave 440: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen. - y - Opgave 44: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen y Opgave 44: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går P 7,9. Angiv en ligning for sammenhængen. gennem punktet Opgave 44: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går P, 7. Angiv en ligning for sammenhængen. gennem punktet Opgave 444: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går P 5,. Angiv en ligning for sammenhængen. gennem punktet Opgave 445: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går A 6,6, B,0, C 4,, D 5, 8 og E 0,4. gennem netop tre af punkterne Angiv en ligning for sammenhængen. Opgave 446: Angiv ligninger for sammenhængene angivet ved nedenstående informationer. 4,4. a) y er proportional med. Grafen går gennem b) og y er omvendt proportionale. Grafen går gennem ( 7,6 ). c) y er proportional med. Grafen går gennem (,7 ). d) og y er omvendt proportionale. Grafen går gennem (,9). Opgave 447: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen. 4 8 y 8 7 Opgave 448: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen. 5 9 y Opgave 440: Punktet A(,7) ligger på hyperblen h med ligningen y =. -aksen er vandret asymptote til denne hyperbel, og y-aksen er lodret asymptote. Hvis hyperblen parallelforskydes med 5 i -aksens retning og -6 i y-aksens retning,,7 B 8,, og desuden vil linjen med ligningen = 5 vil punktet A forskydes over i være lodret asymptote og ligningen med ligningen y = 6være vandret asymptote for den nye hyperbel h. a) Indtegn i Geogebra hyperblen med ligningen y = og punktet A. Tjek, at punktet ligger på hyperblen. b) Indtegn punktet B samt linjerne med ligningerne = 5og y = 6. c) Bestem ligningen for den nye hyperbel h. Indtegn den i Geogebra og tjek, at punktet B ligger på hyperblen, og at ovenstående linjer er asymptoter. 4

35 Opgave 44: Hyperblen h har ligningen y= 4. a) Find selv et punkt A, der ligger på hyperblen. Tjek ved hjælp af Geogebra, om det passer. b) Bestem det punkt B, som A forskydes over i, når man parallelforskyder hyperblen h med - langs -aksen og 4 langs y-aksen over i en ny hyperbel h. c) Indtegn hyperblen h i Geogebra. Tjek, at B ligger på hyperblen. Opgave 44: Punktet A( 8,4) ligger på hyperblen h med ligningen y =. a) Bestem de to punkter B og C, som punktet A flyttes over i, når hyperblen spejles i henholdsvis -aksen og y-aksen. b) Indtegn i Geogebra de to spejlede hyperbler. Tjek, om punkterne B og C ligger på disse. Opgave 44: Hyperblen h har ligningen y = 7. a) Foretag en spejling i -aksen samt en parallelforskydning med 5 langs -aksen og -9 langs y-aksen. Tjek med Geogebra, om du har fundet den rigtige ligning. Opgave 444: Hyperblen h har ligningen y =. a) Foretag en rotation af hyperblen med 45 omkring origo mod uret. Tjek med Geogebra, om du har fundet den rigtige ligning (husk, at Geogebra regner i radianer). b) Rotér h med 60 omkring origo med uret. Tjek med Geogebra, om du har fundet den rigtige ligning. Opgave 445: Hyperblen h har ligningen y = 5. Foretag følgende operationer i den angivne rækkefølge og tjek med Geogebra: a) Spejl i y-aksen, rotér med 0 omkring origo mod uret og parallelforskyd med 4 langs -aksen og - langs y-aksen. b) Spejl i y-aksen, parallelforskyd med 4 langs -aksen og - langs y-aksen og rotér med 0 omkring origo mod uret. Opgave 4440: Bestem toppunkternes koordinatsæt samt a-værdien for parablerne givet ved nedenstående ligninger: a) y = ; G = b) y = ; G = c) y = + 6 ; G = d) y = ; G = e) y = 9 + ; G = f ) y + 6 = 4 ; G = Opgave 4450: Bestem ved hjælp af toppunktsformlen toppunkterne for parablerne angivet ved nedenstående ligninger. a) y = ; G = d) y = ; G = b) y = 6 6 ; G = c) y = ; G = 5 e) y = ; G = f ) y = ; G = Opgave 445: Bestem toppunktet for parablerne givet ved nedenstående ligninger (Tjek resultaterne ved at anvende Maples maimize, minimize og location): a) y = ; G = b) y = ; G = c) y = ; G = d) y = ; G =.

36 Opgave 4460: Bestem følgende for parablerne angivet ved nedenstående ligninger: Toppunkt, skæringspunkt med y-aksen og evt. nulpunkter. a) y = ; G = b) y ; G = = c) y 5 ; G = + = d) y ; G = + = e) y ; G = + + = f ) y 5 ; G = + = Opgave 4470: Bestem fortegnene for a, b, cog på formen y = a + b + c : d for nedenstående parabler (angivet ved ligninger Opgave 447: Bestem fortegnene for a, b, c og d for nedenstående parabler, der er angivet ved ligninger på formen y = a + b + c ; a 0 ; G =, og hvor d er diskriminanten: Opgave 447: Bestem fortegnene for a, b, c og d for nedenstående parabler, der er angivet ved ligninger på formen y = a + b + c ; a 0 ; G =, og hvor d er diskriminanten: 6

37 Opgave 4500: Angiv radius og koordinatsæt til centrum for nedenstående cirkler: a) 5 + y + = 5 ; G = b) y = 6 ; G = c) + + y + 0 = 00 ; G = d) + y = 4 ; G = ) 5 49 ; e + y = G = f ) + ( y + ) = 7 ; G = g) + y = ; G = Opgave 450: Angiv ligningerne for cirklerne med følgende centre og radier: a) C 4,9 r = b) C,8 r = 8 c) C 9, r = d) C, r = 5 e) C 6,0 r = f ) C 0, r = g) C 0, 0 r = 87 Opgave 4504: Angiv radius og koordinatsæt til centrum for nedenstående cirkler: a) ( + 8) + ( y 5) = 8 y b) ( ) + 5 = ; G = ; G = c) y + 64 = 0 ; G = d) ( + 5) ( y ) = 6 ; G = e) + 8 = y ; G = Opgave 450: Angiv centrum og radius for nedenstående cirkler: a) y 6y = 6 ; G = b) + y + 0y = 0 ; G = c) + + y + 6y = 0 ; G = d) 4 + y 4y 8 = 0 ; G = e) + y + 8y 7 = 0 ; G = Opgave 45: Angiv centrum og radius for nedenstående cirkler: a) y = ; G = b) + 8 y y = 6 ; G = y c) y + 5 = 0 ; G = d) = 6 y + 0y 9 ; G = e) + + y 8y 9 = 0 ; G = 7

38 Opgave 45: Angiv centrum og radius for nedenstående cirkler: a) y + 6y = 0 ; G = b) + + y y + = 0 ; G = c) 4 + y + 4y 8 = 0 ; G = Opgave 450: Angiv ligninger for nedenstående cirkler, hvor C er centrum for cirklen, og P er et punkt på cirklen. a) C 4, P,5 P ( ) ( ) P ( ) b) C,5 7, c) C, 6 4, 5 Opgave 450: Angiv ligningerne for ellipserne A, B og C på figuren til venstre nedenfor: Opgave 45: Angiv ligningerne for ellipserne A, B og C på figuren til højre ovenfor: Opgave 455: Indtast svarene på følgende opgaver i Geogebra og tjek på den måde, om du har fundet de rigtige ligninger. a) Angiv ligningen for ellipsen A med centrum i (4,-7) og den halve storakse 5 og den halve lilleakse. b) Angiv ligningen for den ellipse B, der er en spejling af ellipsen A i -aksen. c) Angiv ligningen for den ellipse C, der er en parallelforskydning af ellipsen A med -6 langs -aksen og langs y-aksen. d) Angiv ligningen for den ellipse D, der er en rotation af ellipsen A med 45 omkring origo. Opgave 457: Tjek dine svar ved at indtaste ligningerne i Geogebra. a) Angiv ligningen for ellipsen A med den halve storakse 7, den halve lilleakse 4 og centrum i (-5,). b) Angiv ligningen for den ellipse B, der er en spejling af ellipsen A i y-aksen. c) Angiv ligningen for ellipsen C, der er en rotation af ellipsen A med -60 omkring origo. d) Angiv ligningen for ellipsen D, der er en parallelforskydning af ellipsen A med 4 langs -aksen og - langs y-aksen og en efterfølgende rotation med 60 omkring origo. e) Angiv ligningen for ellipsen E, der er en rotation af ellipsen A med 60 omkring origo og efterfølgende en parallelforskydning med 4 langs -aksen og - langs y- aksen. 8

39 Opgave 4540: I hvilken eller hvilke af planerne y-planen, z-planen og yz-planen ligger nedenstående punkter? Hvis et punkt ikke ligger i nogen af disse tre planer, angives dette. ( ) ( ) ( ) ( ) a) A, 0, 6 b) B 0, 7, c) C,, d) D,, 0 e) E 0,8, 0 f ) F,, g) G 0, 0, 0 h) H 4, 0, 0 i) I 0, 7, j) J 0, 0, Opgave 4550: Hvilke af punkterne A(,7, ), B(,6, 4 ), C ( 5,5,5 ), D(,, ) og E ( 0,0,0) ligger i planen bestemt ved ligningen Opgave 455: Bestem de tre punkter i planen med ligningen 9 y 4z 5 0 ; G + + = =? 5 y z 0 0 ; G + = =, der ligger på en af koordinatakserne. Eller med andre ord: Bestemt skæringspunkterne mellem planen og koordinatakserne. Opgave 4554: Bestem skæringspunkterne mellem koordinatakserne og planerne med ligningerne a) y + 4z = ; G = b) 5 + 4y z 0 = 0 ; G = c) + y + z 7 = 0 ; G = Opgave 4556: Bestem skæringspunkterne mellem koordinatakserne og planen med ligningen Opgave 4558: Planen 5 z 0 0 ; G + = =.. : 4 5y + z = 0 ; G = indeholder origo O ( 0,0,0). Angiv en ligning for planen der er en parallelforskydning af langs z-aksen og indeholder punktet A ( 0,0,8). Opgave 4560: Aflæs centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) y + z + 0 = 5 ; G = b) + y + + z + 4 = 9 ; G = c) y + z 6 = ; G = d) + y + z = 7 ; G = Opgave 456: Angiv ligningerne for kuglerne med følgende centre og radier: a) C 6,, 7 r = b) C 8,,5 r = 7 c) C 0,, r = 9 d) C 4,0,0 r = Opgave 4564: Aflæs centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: ( ) ( y ) ( z + ) a) + + = 8 ; G = b) + 7 y z = 0 ; G = c) + z = 9 y ; G = d) = y + z ; G =

40 Opgave 4566: Angiv ligningerne for kuglerne med følgende centre og radier: a) C, 7,6 r = 7 b) C,, r = 6 c) C 0,, r = 4 6 ( ) d) C,e, r = Opgave 4580: Bestem centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) 6 y 4y z 8z 7 0 ; G = = b) y 0y z z ; G = = c) 4 y z 6z 0 ; G = = d) 0 y 0y z 0z 4 0 ; G = = Opgave 458: Bestem centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) 4 y 6y z 8z 4 0 ; G = = b) 6 y y z 0z 0 0 ; G = = c) y 6y z 4 0 ; G = = d) y 0y + z + 4z = 0 ; G = Opgave 4584: Bestem centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) 8 y 4y z 6z 4 0 ; G + + = = b) y 8y z 6z 6 ; G = = y z c) + = + 4z + 7 ; G = Opgave 4600: Løs følgende ligningssystemer ( G = med Maple. ) med substitutionsmetoden. Tjek resultatet Opgave 460: Anvend lige store koefficienters metode til at løse nedenstående ligningssystemer ( G = ) og tjek med Maple. 40

41 Opgave 460: Anvend efter eget valg substitutionsmetoden eller lige store koefficienters metode og løs følgende ligningssystemer. Tjek resultatet med Maple. y = y + 4 = y + 6 = a) ; G = b) ; G = c) ; G = y + 4 = 5y 7 = 7 5y + = 5 6 8y 0 = 0 y 8 = 6 y + 5 = 8 d) ; G = e) ; G = f ) ; G = + 5y + 7 = = y y 5 = 7 Opgave 46: Løs ligningssystemerne (tjek med Maples solve ): + 7 y = 5 y = y = 5 a) ; G = b) ; G = c) ; G = 6 9y = + y = + y = Opgave 460: Anvend lige store koefficienters metode til at få fjernet -værdierne og dannet to ligninger med variablerne y og z. Anvend derefter lige store koefficienters metode eller substitutionsmetoden og find værdien af z eller y. Tjek til sidst dit resultat med Maple y z = 6 4y + z = 6 a) 4y z = ; G = b) + 5y z = ; G = + y + 5z = 6 + y 7z = 0 Opgave 4640: Bestem determinanterne d, d og d for følgende ligningssystemer: y Opgave 4650: Bestem ved hjælp af determinantmetoden løsningerne til følgende ligningssystemer. Tjek resultatet med Maple. 4 y = + y = 4 0 y = 6 a) ; G = b) ; G = c) ; G = + 5y = 6 + 5y = 5 + y = 9 6 y = 4 + 4y = y = d) ; G = e) ; G = f ) ; G = + y = 0 6y = 4 y = Opgave 465: Se på ligningssystemet 5+ y = + t y = 7 4 ; G = a) Bestem den værdi for t, hvor ligningssystemet ikke har nogen løsning. Tjek resultatet med Maple. b) Bestem den værdi for t, hvor ligningssystemet har løsningen (, ). Tjek resultatet med Maple. Opgave 465: Bestem skæringspunktet mellem linjerne l og m angivet ved nedenstående ligninger (Tjek facit med Maple): l : y = + 7 ; G = l : y = 5 ; G = l : y = 8 ; G = a) b) c) m : y = ; G = m : y = 7 + ; G = m : y = ; G =

42 Opgave 4660: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem følgende geometriske steder. Tjek resultaterne med Maple. a) Parablen givet ved ligningen ved ligningen y ; G = + =. b) Parablen givet ved ligningen ligningen y G y G = ; = og den rette linje givet y G = + 5 ; =. c) Den rette linje givet ved ligningen ligningen = ; = og parablen givet ved y 8; G = 9 ; =. y G = + = og cirklen givet ved Opgave 466: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem følgende geometriske steder. Tjek resultaterne med Maple. a) Den rette linje givet ved ligningen y ; G = =. y ; G = + = og hyperblen givet ved ligningen b) Den rette linje givet ved ligningen ( ) ( y+ ) + = ; G = y ; G = + = og ellipsen givet ved ligningen 4 c) Hyperblen givet ved ligningen y = ; G = og cirklen givet ved ligningen = 80 ; =. y G d) Hyperblen givet ved ligningen y G = ; =. y = ; G = og parablen givet ved ligningen Opgave 4664: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem følgende geometriske steder. Tjek resultaterne med Maple. a) Cirklen givet ved ligningen 7 ved ligningen y ; G 4 4 fjerdegradsligningen, der fremkommer = 6 ; = og parablen givet y G = + + =. Du må gerne bruge Maple til at løse b) Cirklen givet ved ligningen ligningen = 65 ; = og cirklen givet ved y G = 40 ; =. y G c) Cirklen givet ved ligningen ved ligningen = 0 ; = og cirklen givet y G = 50 ; =. y G 4

43 Uendelighedsbegrebet Opgave 5000: Opskriv følgende udtryk som summer eller produkter. 4 a) ( + i) b) ( i ) i= 6 c) i= 5 j d) j= 4 5 n 7 e) n= 7 m= 4 m f ) 5 i i= Opgave 500: Opskriv følgende udtryk ved hjælp af sumtegn eller produkttegn (Bemærk, at facit ikke er entydigt, da man kan bruge forskellige bogstaver, og da forskellige udtryk kan give samme række (eller produkt) - se f.eks. a) og e) i opgave 5000.) a) b) c) d) e) f ) g) h) i) Opgave 500: Benyt metoden til at beregne rækkesummerne for rækkerne (sørg for først at få styr på, hvad q og a er i det pågældende tilfælde): a) b) c) d) Opgave 5040: Benyt Sætning til at beregne rækkesummerne i 500. Opgave 5060: Bestem for f ( n) = n funktionsværdierne ( ), ( ), ( 4 ), ( 7 ) og ( 0) Bestem værdierne af n, således at f ( n) f ( n) f ( n) f ( n) f f f f f. =, = 4, = 6 og = 00. 4

44 Funktioner Opgave 6000: Svar på følgende for funktionerne f og g: Opgave 600: Svar på følgende spørgsmål omhandlende nedenstående 6 relationer: Opgave 6004: Angiv definitions- og værdimængder for følgende funktioner: 44

45 Opgave 600: Bestem definitionsmængder og værdimængder for følgende funktioner: a) f : + b) f : c) f : d) f4 : e) f5 : f ) f6 : 9 Opgave 600: Se på funktionen f givet ved gaffelforskriften 5, for 4 f ( ) = +, for 4 cos ( ), for Bestem følgende funktionsværdier: f 7, f, f, f 4, f og f 0 Opgave 60: Indtast gaffelforskriften fra Opgave 600 i Maple. a) Tjek, at Maple giver de samme funktionsværdier som facitlisten i Opgave 600. b) Tegn en rød graf af funktionen i intervallet [-0,0] med stregtykkelsen, hvor der ikke er falske lodrette linjer. Opgave 604: Bestem i hånden følgende værdier og tjek med Maples floor og ceil: floor,9, floor 8,, floor,75, floor 4,, floor 0,, floor 7, floor a) b) ceiling (5,9), ceiling (,84), ceiling (,47 ), ceiling ( 0, ), ceiling, ceiling ( 7) Opgave 606: a) For hvilke tal giver floor og integer samme værdier? b) For hvilke tal giver ceiling og integer samme værdier? c) For hvilke tal giver floor og ceiling samme værdier? Opgave 608: Et firma, der sælger hybenpulver, har følgende priser: De første 00 g koster 4 kr. pr. gram. De næste 00 g koster kr. pr. gram. Derefter koster det kr. pr. gram. Fragtprisen er 80 kr., men hvis man køber for mere end 000 kr. hybenpulver, er der gratis fragt. Opstil en gaffelforskrift, der viser prisen p for købet (målt i kr.) som funktion af den købte mængde hybenpulver (målt i g). Tegn grafen for p (i Maple). Opgave 609: Find selv situationer fra en mere eller mindre konstrueret virkelighed, hvor der optræder gaffelforskrifter. Opgave 600: Bestem ved hjælp af grafen og kommandoerne minimize og maimize monotoniforholdene for følgende funktioner: 4 5 a) f : b) g : c h ) : Opgave 6040: Angiv for hver af nedenstående funktioner, om de er lige, ulige eller ingen af delene. 4 a) f : b) f = c) f : + 9 d) f = = 4 e) f : sin f ) f = cos g) f : tan h) f = i) f 9 j) f : k) f e l) f : 9 0 m) f : + n) f4 ( ) = o) f 5 : p) f6 ( ) = 45

46 Opgave 6050: Lad f : +, g = + og h = + 4. Bestem forskrifter for følgende funktioner og angiv definitionsmængden for dem. f a) ( f + h)( ) b) ( f h)( ) c) ( f + g )( ) d) ( f h)( ) e) ( ) g g i) ( ) j) ( f h)( ) k) ( h f )( ) l) ( f g )( ) m) ( g h)( ) h Opgave 605: Se på de lige funktioner : og : cos f g og de ulige funktioner h : og k : sin ( ). Bestem forskriften for følgende produktfunktioner og en enkelt kvotientfunktion og afgør, om de er lige eller ulige funktioner. f h, f f, hh, f k, f g, h g, h k og k g Opgave 6060: Følgende funktioner er givet: 5, :, og f = + g h = a =. Bestem følgende sammensatte funktioner og tjek med Maple: b) f g c) g f d) f h e) h f i) f a j) a f k) h a l) a h m) h h n) f f o) a h g p) a a f Opgave 606: Lad : 5, : 5, 7 4og 4 f + g h = + a =. 7 7 Bestem følgende sammensatte funktioner og tjek med Maple: b) f g c) g f d) h a e) a h Opgave 6064: Lad f ( ), g ( ), h( ) 5 7, i ( ) og j ( ) 7 = + = = + = = 5 5 f g : Bestem følgende sammensatte funktioner og tjek med Maple ( ) g j ) j g ) g f 4) f g 5) h i 6) i h 7) h h 8) j j Opgave 6070: Afkod følgende sammensatte funktioner i en indre funktion og en ydre funktion (svaret er ikke entydigt). sin( ) a) f : 7 b) f ( ) = e c) f ( ) = d) f : e) f = cos f ) f = tan tan Opgave 607: Afkod følgende sammensatte funktioner i tre funktioner (indre, mellem, ydre): (svaret er ikke entydigt). cos( ) a) f ( ) = b) f ( ) = e c) f ( ) = 4 tan ( ) sin sin ( ) ( ) ( ) ( + ) = 5 = + 6 = d) f e) f 5 f ) f 4 sin + sin 5 46

47 Opgave 6080: Bestem de omvendte funktioner til følgende funktioner og tjek med Maple ved at definere funktionerne og undersøge, om sammensætningen af funktionerne giver en identitetsfunktion og/eller om graferne for funktionerne er hinandens spejlinger i linjen med ligningen y = : a = ; a : b( ) = + 8 ; b : 4 c c = 7 ; : 4 = + ; :, 0, = cos 9 ; : 0, 0, 8 d d e e f f = sin + ; :, 0, g ( ) = 4 ; g : + Opgave 600: Grafen for en lineær funktion f går gennem punkterne (, 5) og ( 7,6). a) Bestem for forskrift for f. b) Er f voksende, aftagende eller konstant? c) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang man lægger til argumentet? d) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang man lægger 6 til argumentet? e) Bestem en forskrift for f. Opgave 60: Grafen for den lineære funktion g har hældningen og går gennem punktet ( 4,9 ). a) Bestem en forskrift for g. b) Er g voksende, aftagende eller konstant? c) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang man lægger 5 til argumentet? d) Bestem en forskrift for g. e) Bestem koordinatsættene til grafen for g s skæringer med -aksen og y-aksen. f) Bestem koordinatsættene til grafen for g s skæringer med -aksen og y-aksen. Opgave 60: Danske pigers gennemsnitshøjde h (målt i cm) som funktion af alderen t (målt i antal år efter piger er fyldt 4 år) kan inden for en vis periode med god tilnærmelse beskrives ved funktionsforskriften: h t = 6, 5 t + 04 ; Dm h = 0,8 a) Hvad fortæller konstanterne om danske pigers gennemsnitshøjde? b) Hvad fortæller definitionsmængden om modellen? Opgave 6: Det antal nyfødte danske drenge N, der det pågældende år fik tildelt navnet Casper, kan med god tilnærmelse beskrives ved en (diskret) funktion af tiden t (målt i antal år efter 996): N ( t) = 5 t ; 0 t 8 a) Hvad fortæller konstanterne om tildelingen af navnet Casper til danske drenge? b) Hvad fortæller definitionsmængden om modellen? Opgave 64: Den samlede masse m (målt i kg) af en lastvogn, der læsses med grus, er givet ved følgende funktionsforskrift, hvor er rumfanget af gruset (målt i m ): m = ; 0 00 a) Hvad fortæller konstanterne om lastbilen og gruset? b) Hvad fortæller definitionsmængden om pålæsningen? 47

48 Opgave 60: Placeringen i en telefonkø kan antages at kunne beskrives ved en lineær funktion. Man befinder sig fra start som nummer 50 i køen, og man kommer igennem efter 0 minutter. Indfør passende variable og angiv en funktionsforskrift, der kan beskrive situationen. Opgave 60: Afgør for hver af nedenstående funktioner, om det er en eksponentialfunktion (ja/nej) og i så fald, om den er strengt voksende eller strengt aftagende: 7 a : 7 b : c : d : + e : 7 ( ) f : 05 g : 0. h : 5 i : j :, 4 sin 6 k : 0 l : cos m : n : cos o : 4 4 p : ( e ) q : ( e ) r : ( e ) s : 5 t : Opgave 640: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple (en konklusion kan godt være, at udtrykket er ulovligt, hvilket så tjekkes med Maple): a) log 00 b) log 0 c) log 0, 000 d) log 0 e) log f )log6 ( 6 ) g)log4 ( 64 ) h)log ( ) i)log 0,5 j)log7 ( 7) k)log5 ( ) l)loge ( e ) m)loge ( e ) n)loge ( ) o)log 4 p)log ( ) q)log r)log ( 49 ) s)log ( 0,000 ) t)log 0,0 0, Opgave 64: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple: log7 log4 ( 7) loge ( 0) log ( 7) log4 ( 7) a)7 b)4 c)e d)4 e ) Opgave 650: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple: a) log b) ln e c) log 0, d) ln e e)log( ) f )ln ( ) g)log h)ln e Opgave 65: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple: log( 9) ln log( 74) ln log( 0,) ln( 5) a)0 b)e c)0 d)e e)0 f )e Opgave 654: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple (en konklusion kan godt være, at udtrykket er ulovligt, hvilket så tjekkes med Maple): 5, log 5,,4 log,4 a)log 0 b)0 c)log 0 d)0 Opgave 660: Nedenfor ses grafer for funktioner, der enten er lineære funktioner, eksponentialfunktioner eller logaritmefunktioner. Angiv for hver af dem, hvilke type funktion der er tale om. 48

49 Opgave 670: Løs følgende ligninger ved at isolere og anvende Maple til at udregne udtrykket, som er lig med. Tjek dit facit ved at anvende solve på den oprindelige ligning. a) 6 = 9 b)log = c) 0 = d)log = 46 e)e = 5 7 f )ln = 7 g)6 5 = 7 h)5 log = 9 i) log = 4, j)7 0,6 =,9 0,7 Opgave 680: Dan par af de udtryk, der har samme værdi (UDEN brug af Maple): a) log 500 log 5 b) log 5 + log c) ln 9 d) log 6 log e) log log 0 f ) ln g) log 9 log h) log 64 log 8 9 i) log 0 log 000 j) ln e k) log4 log 4 l) log m)ln e ln e n)ln e o)log 56 log 8 p)log 8 Opgave 690: Løs følgende ligninger ved at isolere og udregn udtrykket med Maple. Tjek svaret ved at anvende solve på den oprindelige ligning. a) 4 = 9 b)9 0 = 8 c)log = 4 d)5 ln = 49 6 e) 4 e = f )log 5 log = g) 4 ln = = = h) log log i) log 8 log 4 log Opgave 600: Det oplyses, at der med 4 decimalers nøjagtighed gælder ln ( 0) =,06. Bestem værdien af følgende udtryk og tjek efterfølgende dit facit ved hjælp af Maple: a) ln 00 b)ln 0000 c)ln d)ln 0,0 e)ln 0,0000 f )ln 0 Opgave 60: Følgende størrelser er angivet med 4 decimalers nøjagtighed: ln 7 =,9459 log e = 0,59 log e = 0, ln 0 =,06 log 8 =,898 log = 0,58 8 Bestem værdien af følgende udtryk og tjek efterfølgende dit facit ved hjælp af Maple: a) ln ( 49 ) b)log7 ( e ) c) log d)log8 ( 7) 8 Opgave 60: Følgende brøker er angivet med 4 decimalers nøjagtighed: ln ( 9) log log7 log( 7) =, 69 =, 45 = 0, 659 = 0, ln 8 log 6 log 8 log 6807 Opgave 60: 7 Bestem værdien af følgende udtryk og tjek efterfølgende dit facit ved hjælp af Maple: log ( 9) log0,4 ln log9,7 ( 6807) a) b) c) d ) log 8 log 8 ln 6 log 7 0,4 9,7 a) Hvordan ændres funktionsværdien for f : ln ( ) b) Hvordan ændres funktionsværdien for f : log ( ) c) Hvordan ændres funktionsværdien for f: log6( ) d) Hvordan ændres funktionsværdien for f4: log ( ) e) Hvordan ændres funktionsværdien for f : log 5 ( ) f) Hvordan ændres funktionsværdien for f ( ), når argumentet gøres gange større?, når argumentet gøres 7 gange større?, når argumentet fordobles?, når argumentet halveres?, når argumentet øges med 0%? : ln 6, når argumentet mindskes med 0%?

50 Opgave 6: a) Hvordan ændres funktionsværdien for f : log ( ) b) Hvordan ændres funktionsværdien for g : 5 ln ( ) c) Hvordan ændres funktionsværdien for h ( ) d) Hvordan ændres funktionsværdien for i ( ) Opgave 64: a) Hvor man gange skal argumentet gøres større, hvis der i f : 0 log ( ) b) Hvor man gange skal argumentet gøres større, hvis der i g ( ), når argumentet fordobles?, når argumentet halveres? : 7 log + 5, når argumentet øges med 4%? : 4 ln + 9, når argumentet øges med %? skal lægges til funktionsværdien? : 5 ln + 7,skal lægges til funktionsværdien? Opgave 600: Udfyld nedenstående tabel: Procenttal Vækstrate Fremskrivningsfaktor 0,7 8,6 0,40 6 0,9,8 9,09 0, Opgave 60: a) Hvis vækstraten er 6%, hvad er så fremskrivningsfaktoren? b) Hvis fremskrivningsfaktoren er 0,9, hvad er så vækstraten? c) Hvis vækstraten er 8%, hvad er så fremskrivningsfaktoren? d) Hvis fremskrivningsfaktoren er,84, hvad er så vækstraten? e) Hvis vækstraten er 59%, hvad er så fremskrivningsfaktoren? f) Hvis fremskrivningsfaktoren er 4,7, hvad er så vækstraten? Opgave 604: a) Hvad er vækstraten, hvis man fordobler en størrelse? b) Hvad er fremskrivningsfaktoren, hvis man fordobler en størrelse? c) Hvad er vækstraten, hvis man halverer en størrelse? d) Hvad er fremskrivningsfaktoren, hvis man halverer en størrelse? Opgave 60: a) Hvad er 7% af 460? b) Hvad er resultatet, hvis man lægger 9% til 54? c) Hvad er resultatet, hvis man trækker 8% fra 690? Opgave 6: a) Hvad er resultatet, hvis man øger 7 med 45%? b) Hvad er resultatet, hvis man gør 7 fire gange større? c) Hvad er det dobbelte af 50? d) Hvad får man, hvis man fordobler 740? e) Hvad får man, hvis man mindsker 8 med en tredjedel? f ) Hvad får man, hvis man halverer 80? 50

51 Opgave 60: a) 00 kr. indsættes på en bankkonto med rentefoden % p.a. Hvor meget er saldoen efter år? b) En lommeregner købes for 650 kr. og sælges igen med en fortjeneste på 7%. Hvad er salgsprisen? c) En lommeregner til en værdi af 9 kr. mister på et år 5% af værdien. Hvad er værdien efter et år? d) Et beløb indsat til 4% p.a. er efter et år steget til 6840 kr. Hvad var det oprindelige beløb? e) Efter en slankekur med et vægttab på 9% vejer en nisse 7 kg. Hvad vejede nissen inden slankekuren? f ) kg tomater sælges i Føte for 0 kr. De har købt dem for 7 kr. kiloet. Hvad er den %-vise fortjeneste? g) En bil er faldet fra 0000 kr. til 6000 kr. Hvad har vækstraten været? Opgave 6: a) Der indsættes 000 kr. på en konto til,5% p.a. Hvad er saldoen efter 7 år? b) Et Rembrandt-maleri har forøget sin værdi med 6% om året i perioden I 995 kostede det 4,5 millioner kr. Hvad kostede det i 00? c) En bil taber 7% i værdi om året. Hvad er en bil til kr. værd efter 8 år? d) Efter 7 år i banken til,5% p.a. er et beløb steget til 765 kr. Hvad var det oprindelige beløb? e) En bil, der har tabt 5% i værdi om året i de 9 år efter købet, er nu 000 kr. værd. Hvad kostede den? f ) En person har tabt sig, % om måneden i år og vejer nu 87 kg. Hvad vejede personen tidligere? Opgave 64: a) På 8 år er et beløb indsat til fast rentefod p.a. steget fra 000 kr. til 8700 kr. Hvad er den årlige rentefod? b) En bil er faldet med en fast procentdel gennem de sidste 8 år fra 0000 kr. til 5000 kr. Hvad har den årlige vækstrate været? c) En statue mister pga. syreregn en fast procentdel af sin højde om året. Den er gennem de seneste 0 år gået fra en højde på 5, m til 4,6 m. Hvor stor har den faste vækstrate været? d) En aktie ændrer sig over 6 måneder med følgende vækstrater: 6%, -%, -8%, 4%, -%, 4%. Hvor stor har den samlede vækstrate været? e) En tomat til 0, kr. oplever gennem 5 handelsled følgende vækstrater på prisen: 4%, 8%, %, 74%, 49%. Hvad koster den efter sidste led? f ) En person på 89 kg. har gennem de sidste 8 måneder ændret sin vægt med følgende vækstrater: -4%, 5%, 6%, 4%, -8%, -5%, -%, 9%. Hvad vejede personen oprindeligt? Opgave 60: En akties værdi har på et halvt år haft vækstraterne 8%, %, -7%, %, 9% og -5%. Find den gennemsnitlige månedlige vækstrate. Opgave 6: To grupper A og B har i et fysikforsøg forsøgt at bestemme bølgelængden af lyset fra en laser, der er oplyst at være 6,8 nm. Gruppe A måler 659,7 nm. Gruppe B måler 6,0 nm. Bestem gruppernes relative afvigelser. Opgave 6: Et lån optages til den nominelle rente 8% p.a. Der tilskrives renter 4 gange om året. Beregn den effektive rente. Opgave 6: Et lån optages til den pålydende rente % p.a. Der tilskrives renter månedligt. Beregn den effektive rente. Opgave 66: a) En 4 år gammel bil til en værdi af kr. kostede oprindeligt 0000 kr. Hvad har den gennemsnitlige årlige vækstrate været? b) En aktie ændrer sig med de månedlige vækstrater: 4%, -%, 9%, %, %, %, -4%, 6%. Hvad er den gennemsnitlige månedlige vækstrate? c) En ufaglært arbejder tjener 90 kroner i timen. Hver dags morgen i en måned ( arbejdsdage) sænker chefen lønnen med 0%, men hæver den igen om aftenen med 0% efter protester fra arbejderne. Hvor meget tjener den ufaglærte arbejder i timen efter den pågældende måned? d) Hvilken gennemsnitlig vækstrate svarer til følgende vækstrater: 5%, -4%, 7%, 4%, -%, 9%? 5

52 Opgave 67: a) Et beløb til 4% p.a. er steget fra 4000 kr. til 8000 kr. Hvor mange år har det stået i banken? b) Et maleri, hvis værdi er steget med 6% om året, har øget sin værdi fra 8000 kr. til kr. Hvor mange år har det taget? c) En bil har nu værdien 000 kr. Den kostede oprindeligt kr., og er faldet i værdi med % om året. Hvor gammel er bilen? d) En haj har grundet dårlige tider tabt sig % om året fra 478 kg til 46 kg. Hvor mange år har det taget? Opgave 68: a) En udefineret genstands værdi ændres over 5 år med følgende vækstrater: 8%, -%, -5%, 7%, 9%. Hvad skal vækstraten være det 6. år, hvis genstandens værdi over de 6 år skal være øget med 50%? b) Hvor stor skal vækstraten været det andet år, hvis man over en års periode ønsker en vækst på 0%, og den det første år har været 8%? c) En hunds vægt ændres over 4 år med følgende vækstrater: 6%, -4%, 9%, -%. Hvad skal vækstraten det 5. år være, hvis den gennemsnitlige vækstrate skal være %? Opgave 640: Hvor meget er 700 kr. vokset til efter ét år i nedenstående tilfælde, når den nominelle rentefod er 5% p.a.: a) Der er én årlig rentetilskrivning. b) Der er 4 årlige rentetilskrivninger. c) Der er årlige rentetilskrivninger. d) Der er 65 årlige rentetilskrivninger. e) Der er kontinuert rentetilskrivning. Opgave 64: Hvor meget er 00 kr. faldet til efter 4 år i nedenstående tilfælde, når den nominelle rentefod er -7% p.a. a) Der er én årlig rentetilskrivning. b) Der er 4 årlige rentetilskrivninger. c) Der er årlige rentetilskrivninger. d) Der er 65 årlige rentetilskrivninger. e) Der er kontinuert rentetilskrivning. Opgave 644: Forklar, hvorfor man både i opgaverne 640 og 64 oplever, at slutresultatet bliver højere, jo tættere man kommer på kontinuert rentetilskrivning. Opgave 650: På en børneopsparing kan man få rentefoden,4% p.a. a) Hvor stort et beløb vil en person kunne hæve på sin års fødselsdag, hvis der hvert år fra og med personens års fødselsdag bliver indbetalt 5000 kr.? b) Hvor meget skal der indbetales i stedet for de 5000 kr. hvert år, hvis personen skal kunne hæve kr.? Opgave 65: En person ønsker at spare 5000 kr. op til en rejse og finder et pengeinstitut, der har den noget usædvanlige rentefod 0,% pr. måned. a) Hvor stor skal den månedlige indbetaling være, hvis personen har to år efter første indbetaling til at spare op? b) Hvor lang tid vil opsparingen tage, hvis personen indbetaler 400 kr. om måneden? c) Hvilken rentefod skal personen forsøge at forhandle sig frem til, hvis vedkommende skal klare opsparingen på år, men kun er i stand til at indsætte 550 kr. om måneden? Opgave 660: Et 0-årigt huslån med hovedstolen,9 millioner optages med rentefoden 4,% p.a og fire terminer pr. år. Bestem den kvartalsvise ydelse. Opgave 66: Hvor stort et 0-årigt lån kan man optage, hvis rentefoden er,6% p.a. med fire terminer om året, hvis man har råd til at betale kr. pr. termin? Opgave 66: Et 0-årigt huslån med hovedstolen 4,6 millioner optages med rentefoden,% p.a. og kvartalsvise terminer. a) Hvor meget skal man afsætte om måneden for at kunne betale terminsydelsen? b) Hvor stort et beløb ender man med at have betalt på de 0 år? c) Hvad er den relative afvigelse fra det samlede indbetalte beløb til hovedstolen? 5

53 Opgave 66: Et 0-årigt huslån med hovedstolen 5,4 millioner tilbagebetales med kvartalsvise ydelser på 7000 kr. Hvad er den nominelle årlige rentefod? Opgave 664: Et firma reklamerer med rentefrit lån og mener det alvorligt. Hvis man låner 0000 kr. til et fjernsyn, betaler man i år en månedlig ydelse, således at man ender med at have tilbagebetalt 0899 kr., fordi der er et oprettelsesgebyr på 899 kr. Hvad bliver den årlige nominelle rentefod, hvis oprettelsesgebyret omregnes til renter? Opgave 665: Lav et Ecel-ark med rente, afdrag og restgæld over tallene fra opgave 660. Tjek, at restgælden ved termin nr. 0 er 0. Opgave 670: Udfyld de manglende felter i følgende tabel over priserne på en vare og indekstallet. Basisåret er 00. Årstal Værdi 7, kr. 4,84 kr. Indekstal 87 Opgave 67: I nedenstående tabel anvendes 995 som basisår. Udfyld tabellen og overvej, om det giver mening af sammenligne disse indekstal. Årstal Antal hulahop-ringe pr. dansker 0,7 0,48 Arbejdsløshedsprocenten i Armenien 8,5% Gennemsnitsvægten af en amerikaner 87 kg 9 kg Indekstal hulahop-ringe 9 Indekstal arbejdsløshed Indekstal gennemsnitsvægt 7 Opgave 6400: Nedenfor er angivet graferne a, b, c og d, der alle er grafer for eksponentielle udviklinger på formen b a : a) Angiv graferne i rækkefølge, således at grafernes funktioner har faldende b-værdier. b) Angiv graferne i rækkefølge, således at grafernes funktioner har faldende a-værdier. 5

54 Opgave 640: Nedenfor er angivet graferne a, b, c og d for fire eksponentielle udviklinger f, g, h og i på formen b a f har fremskrivningsfaktoren,5, g har vækstraten -0,7, h s funktionsværdi vokser med 6%, hver gang -værdien øges med, og for i er grundtallet 0,46. Alle b-værdierne er pæne tal (de ligger i 50-tabellen). Bestem forskrifter for de fire funktioner f, g, h og i. Opgave 6404: Forklar, hvad der sker med funktionsværdierne i nedenstående funktioner, hver gang -værdien øges med : a) f : 7,4 b) g : 80,8 c) h : 0,9,7 d) i : 8 0,5 Opgave 6406: Bestem en forskrift for den omvendte funktion til den eksponentielle udvikling angivet på formen f ( ) = b a. Opgave 640: Antallet N af kerner af en bestemt radioaktiv isotop kan som funktion af tiden t (målt i minutter) beskrives ved forskriften N( t ) = ,9 t. Forklar, hvad konstanterne i forskriften fortæller om antallet af kerner. Opgave 64: Koncentrationen af stoffet R (målt i mg pr. liter) i blodet på en person er som funktion af tiden t (målt i minutter efter indsprøjtningen af stoffet) givet ved funktionsforskriften Rt = 7 0,84 t. Forklar, hvad konstanterne fortæller om koncentrationen af stoffet R i blodet på personen. Opgave 640: Anvend metoden (ikke formlerne) til at bestemme en forskrift for de eksponentielle udviklinger, hvis graf går gennem følgende punkter. a),6 og 4, 48 ( ) b) 4, og,9 c),80 og,0 d), 4 og, Opgave 64: Anvend formlerne til at bestemme forskrifter for de eksponentielle udviklinger, hvis graf går gennem nedenstående punkter. Tjek resultatet ved bede Maple løse to ligninger med to ubekendte eller lave eksponentiel regression, og tjek efterfølgende ved at kigge i facitlisten: a), og 4,50 ( ) b),60 og,5 c),7 og 5,6 d), og,5 54

55 Opgave 644: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling f, hvor f f = 7 og 8 =. Opgave 645: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling f : b a, der har b-værdien, og hvis graf går gennem punktet (,75 ). Opgave 646: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling g : b a, hvor g = 54, og hvis funktionsværdi vokser med 50%, hver gang der lægges til argumentet. Opgave 640: Nedenfor er angivet 4 funktioner: f : 45,7 g : 0,70,84 h :,5,7 i : 4 0,07 a) Hvor meget skal der lægges til -værdien, hvis funktionsværdien for f skal øges med 80%? b) Hvor meget skal der lægges til argumentet, for at funktionsværdien for g skal falde med 60%? c) Hvor meget skal lægges til -værdien, for at funktionsværdien for h bliver gange større? d) Hvor meget skal lægges til argumentet, hvis funktionsværdien for i skal halveres? Opgave 64: Anvend samme funktioner som i opgave 640. a) Hvor mange procent øges f s funktionsværdi, hver gang man lægger 8 til argumentet? b) Hvor mange procent falder g s funktionsværdi, hver gang man lægger 5 til -værdien? c) Hvor mange gange større bliver h s funktionsværdi, hver gang man lægger til argumentet? d) Hvor mange procent falder i s funktionsværdi, hver gang man lægger 0, til -værdien? Opgave 644: En eksponentiel udvikling f har den egenskab, at hver gang, man lægger 4 til argumentet, øges funktionsværdien med 4%, og grafen for funktionen går gennem punktet (,7 ). Bestem en forskrift for f. Opgave 6440: Bestem halverings- eller fordoblingskonstanter for nedenstående eksponentielle udviklinger (afhængig af hvilken af dem der giver mening for den pågældende funktion): a) 6,6 b) 4,0,8 c) 0,6 0,96 d) 0,7,57 Opgave 644: Om den eksponentielle udvikling f oplyses det, at f T Bestem f ( 6). = og = 7. = 9 og T = 4. Opgave 6444: Om den eksponentielle udvikling g oplyses det, at Bestem g ( 4). Opgave 6446: Om den eksponentielle udvikling f oplyses det, at f T Bestem f ( ). g 5 = 8 og =. Opgave 6450: Bestem halverings- eller fordoblingskonstanter for nedenstående eksponentielle udviklinger (afhængig af hvilken af dem der giver mening for den pågældende funktion): a) 595e b) 54e c) 0,05e 0,4 0,5 0,0059 d e f,9 ) 0,9e ) 5e ) e Opgave 645: Omskriv følgende eksponentielle udviklinger til formen a) 595e b) 54e 0,4 0,5 c) 0,05e d) 0,9e 0,0059,9 b a : 55

56 Opgave 6460: Hvor meget skal -værdien over, før den afviger med mere end % fra sin ( )? Opgave 6470: Se på den harmoniske svingning angivet ved f ( ) : sin +. a) Bestem den største og den mindste værdi, som funktionen antager. b) Angiv faseforskydningen. Opgave 647: Bestem ved aflæsninger på graferne nedenfor A, k, og c for f og g: Opgave 6480: Bestem størsteværdi, mindsteværdi, periode og frekvens for bølgerne A, B og C, når t er tiden målt i sekunder. A: f t = 4sin 0,07 t +,8 + = ( t ) + = ( t + ) B : g t sin 50 8,5 8 C : h t 7, 4 sin 5,5 Opgave 648: Bestem størsteværdi, mindsteværdi og bølgelængde for bølgerne A og B, når er stedet angivet i enheden meter. = ( + ) ( ) A: f 6 sin 7 8 B : g = 4,7 cos 0,0 + 0,9 + 5,9 Opgave 6484: Bestem størsteværdi, mindsteværdi, periode, frekvens og bølgelængde for bølgerne A og B, når tiden t er angivet i sekunder og stedet er angivet i meter. = ( + + ) A: f, t = 5sin 8, t + 4,0 +,9 + 5 B : g, t 8, sin 0,589 6 t 6,7 Opgave 6486: Strømstyrken I (målt i A) gennem et elektrisk apparat er givet ved følgende udtryk, hvor t er tiden målt i sekunder: I ( t) = 0,7 sin( 00 t) a) Bestem den største strømstyrke, der løber gennem apparatet. b) Bestem strømmens frekvens. c) Bestem strømstyrken gennem apparatet til t = 0,007s. d) Bestem, hvornår strømstyrken for første gang efter 0,007 sekunder antager samme værdi som til t = 0,007s. 56

57 Opgave 6487: En tone udsendes og trykket p måles i pascal. Tiden t måles i sekunder, og stedet måles i meter. Følgende angiver p udtrykt ved t og : p t, = 0,047 sin,6 +,5 t + 0, a) Bestem trykforskellen mellem det største og det mindste tryk. b) Bestem tonens frekvens. c) Bestem bølgens bølgelængde. Opgave 6488: Følgende er en tabel fra wikipedia over toner og deres frekvenser målt i Hz: I det følgende skal du for nemheds skyld arbejde med amplituder på (ukendt enhed), se bort fra faseforskydning (sæt til 0) og sætte c-værdien til 0. Desuden ses der kun på tiden (dvs. man står ét sted i rummet og lytter), så der arbejdes ikke med - værdier. Funktionsudtrykkene bliver altså: p t = sin t Grafer tegnes i intervallet fra 0 til 0, (sekunder). a) Tegn grafen kammertonen. b) Tegn grafen for tonen D4. c) Tegn grafen for kammertonen og D4, der spilles samtidigt. d) Tegn grafen for C5 og H4 spillet samtidigt. e)tegn grafen for F4, A4 og C5 spillet samtidigt. f) Tegn grafen for F4, G#4 og C5 spillet samtidigt. g) Tegn grafen for E4 og F4 spillet samtidigt. Opgave 6490: Angiv for hver af graferne A, B, C, D, E, F, G, H og I, om der er tale om potensvækst, en logaritmefunktion, en eksponentiel udvikling eller lineær vækst (alle graferne repræsenterer en af de fire nævnte): Opgave 6500: Bestem en forskrift for den potensvækst, hvis graf går gennem nedenstående punkter. Anvend skiftevis metode og formel. a), og 4,6 b) 8,0 og 5,5 c) 9,4 og 6, d) 4,56 og 9,89 e),5 og 5,4 f ) 4, og 6,44 57

58 Opgave 650: Brudstyrken B (målt i kg) af et kokosreb kan som funktion af rebets diameter d (målt B d = 50 d. i cm) med god tilnærmelse beskrives ved forskriften,98 a) Med hvor mange procent øges brudstyrken, når rebets diameter øges med 0%? b) Hvor mange procent skal rebets diameter øges med, hvis brudstyrken skal øges med 0%? c) Hvor mange procent øges brudstyrken, når rebets diameter fordobles? d) Hvor mange procent skal diameteren øges med, hvis brudstyrken skal fordobles? Opgave 65: Svingningstiden T (målt i sekunder) for et matematisk pendul er som funktion af snorlængden l (målt i meter) givet ved forskriften T ( l) = l. a) Hvor mange procent skal snorlængden øges, hvis svingningstiden skal fordobles? b) Hvor mange procent øges svingningstiden, når snorlængden øges med 60%? Opgave 654: Den kinetiske energi E (målt i J ) af en bold kan som funktion af boldens tempo p E p =,7 p. (målt i sekunder pr. meter) beskrives ved forskriften a) Hvor mange procent falder den kinetiske energi, når tempoet øges med 40%. b) Hvor mange procent skal tempoet øges, hvis den kinetiske energi skal halveres? Opgave 656: Arealet A (målt i m ) af et olieudslip kan som funktion af tiden t (målt i minutter A t = 6 t ; t 0. efter udslippet) beskrives ved funktionsforskriften,5 a) Hvor mange procent øges olieudslippet, når tiden efter udslippet fordobles? b) Hvor mange procent skal tiden efter udslippet øges med, hvis arealet af udslippet skal øges med 00%? Opgave 650: Faktorisér om muligt følgende polynomier ved at regne i hånden (dvs. angiv det faktoriserede polynomium eller skriv, at det ikke kan faktoriseres). Tjek resultatet med Maples factor: a b c d ) + 6 ) ) ) + 4 e f g h ) )7 + 7 ) ) 9 44 Opgave 65: Bestem uden hjælp af Maple rødderne til følgende polynomier: a) b) + 9 c) Opgave 654: Bestem ved udregninger i hånden førstekoordinaten til toppunktet for parablerne, der er grafer for følgende polynomier. Tjek resultatet ved at anvende Maples maimize og minimize tilføjet location. a) b) c) 5 d) Opgave 650: Bestem de andengradspolynomier, hvis grafer går gennem de angivne tre punkter: a), 46,, 6 og, b) 4, 90,, 8 og, 48 ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) f ( ) c),,, 8 og 5, 8 ) 5, 0,, 4 og 0,5 e), 0,, og,75 ),, 0,0 og, 58

59 Opgave 6540: Nedenfor ses udklip fra graferne for nedenstående funktioner. Man kan ikke se alle nulpunkter og vendinger på graferne, men kun området omkring 0. Bestem ud fra dette (UDEN hjælpemidler) hvilken graf, der hører til hvilken funktion. 4 4 f : f : f : f : f : f : f : f : Opgave 6550: En logistisk vækst er givet ved funktionen f med forskriften: 600 f ( ) = 0, e a) Bestem værdimængden for f. b) Hvad er funktionsværdien, når væksthastigheden er størst? c) Hvilket sted er væksthastigheden størst? d) Bestem koordinatsættet til grafens skæring med andenaksen. Opgave 655: En logistisk vækst er givet ved funktionen f med forskriften: f ( 957 ) = 0, e a) Bestem den øvre grænse for funktionsværdierne. b) Bestem funktionsværdien det sted, hvor væksthastigheden er størst. c) Bestem det sted, hvor væksthastigheden er størst. f 6 d) Bestem e) Bestem det sted, hvor f ( ) = 00 f) Bestem det interval, hvor f ( ) 00 g) Bestem det sted, hvor væksthastigheden er den samme som i = 7 Opgave 6560: Vurdér r-kvadraterne ved nedenstående lineære regressioner (to decimaler). Vurdér selv, om du er tilfreds med, hvor tæt du er på facit. 59

60 Opgave 656: Gå ind på og prøv at gætte korrelationskoefficienter (dvs. kun r og ikke r-kvadrater). Opgave 6570: Foretag forskellige former for regression (LinReg, EpReg, PowReg, PolyReg graderne, og 4 samt LogistReg) på følgende datasæt og rangér for hvert datasæt de 7 r-kvadrater efter størrelse: a) b) c) Opgave 6580: Rwandas befolkningtal angivet i tusinder er givet i nedenstående tabel: År Befolkningstal t a) Bestem en forskrift for en eksponentiel model N ( t) = b a, der beskriver befolkningstallet N målt i tusinder som funktion af tiden t målt i antal år efter 950. b) Lav et residualplot baseret på ovenstående model. c) Er afvigelserne overvejende tilfældige? Opgave 658: Karaktererne ved skriftligt eksamen på A-niveau ses i nedenstående tabel: Årstal Gennemsnit 6, 6, 6,5 6,6 6, 6,7 7, 6,4 6,8 7, 6,5 t a) Bestem en forskrift for en lineær model G( t) = b a, hvor G er gennemsnittet og t er tiden målt i år efter 008. b) Lav et residualplot baseret på ovenstående model. c) Er afvigelserne overvejende tilfældige? Opgave 6600 Lydtryksniveauet L P (målt i enheden db) er givet ved formlen L p p = 0log 60 p0, 6 hvor p er lydtrykket (målt i Pa), og p 0 = 0 0 er referencelydtrykket (målt i Pa). a) Hvilket lydtryk svarer til lydtryksniveauet 70 db? b) Hvad sker der med lydtryksniveauet, når lydtrykket øges med 0%? Opgave 660: Stjerner kan opdeles i størrelsesklasser, hvor de klareste stjerner svarer til de mindste størrelsesklasser. Sammenhængen mellem en stjernes absolutte størrelsesklasse M og dens tilsyneladende størrelsesklasse m er givet ved formlen M = m 5 log r + 5, hvor r er afstanden til stjernen målt i enheden parsec. Stjernen Sirius er med sin tilsyneladende størrelsesklasse,46 den klareste stjerne på nattehimlen. Afstanden til Sirius er,64 parsec. a) Bestem stjernen Sirius absolutte størrelsesklasse. b) Isolér r i formlen og bestem afstanden til stjernen Canopus, der har den tilsyneladende størrelsesklasse 0,7 og den absolutte størrelsesklasse 5,65. c) Hvad sker der med en stjernes tilsyneladende størrelsesklasse, hvis afstanden til den fordobles?

61 Opgave 660: For gedder (Eso lucius) kan længden L og vægten W beskrives ved Bertalanffys model: L(t) = a( e k t ) W(t) = b( e k t ), hvor a, b og k er konstanter. L og W måles i henholdsvis cm og kg, og t er geddens alder i dage. For gedder i Esrum sø har man bestemt følgende værdier for a, b og k: a = 58; b = 6,4; k = 0,006. a) Bestem længden af en 00 dage gammel gedde i Esrum sø. b) Bestem vægten af en 0 cm lang gedde i Esrum sø. Kilde: Journal of European Freshwater Ecology, 00 (4), 07. Opgave 660: For at vurdere forureningen fra et dambrug med plettede skægbrosmer (Urophycis regia), der udleder spildevand i en nærliggende å, har man i en bestem periode målt, hvor meget ammoniak der er i vandet i forskellige afstande fra dambruget. Afstand fra dambruget (m) Mængde ammoniak (mg/l) 6,0 4,5,0,4,4 a Funktionen f ( ) = b, 5, beskriver mængden af ammoniak (målt i milligram pr. liter) som funktion af afstanden (målt i meter) fra dambruget. a) Bestem tallene a og b. b) Beregn hvor stor en mængde ammoniak, er der i 50 meters afstand fra dambruget. c) Bestem afstanden hvor mængden er mindre end mg/l. 6

62 FACITLISTE 000: a) V ( t) = 0,07 t +, 74 b) V = 0,5g c) t =,8min d) 0,08g a) S T = 0,04 T +,07 b) 6,05 mv c) 49, 4C d) 4,8C e),0 C 00: 000: a) a =,0 b = 45,6 b),% c) T = 0,6år d) 640 mio. e) 997 f ) 0, personer. Det giver ikke mening. Modellen holder ikke så langt tilbage. 004: b) N0 = 586 a = 0,955 c)4 d)s e)4,s f )4,7% 000: a) a =, 4 b = 0, b)4pund c)59, tommer d)88% e)% 00: a) 0,% b)98% c)4,4% d )80,% 004: a) Falder med 48,5% b) Øges med 89,4% c) Falder med,4% d) Øges med 86,% 000: a) s b) f c) f d) f e) f g) s 00: a) s b) f c) s d) f e) s f ) f g) s h) s i) f j) s k) s l) f m) f n) f o) s p) f q) f 004: a) f b) s c) f d) f e) f g) f h) f i) f 00: a) B, C, F og G b) B, F og G 0: a) s b) s c) f d) f e) s f ) s g) f h) f i) f j) s k) s l) f a),9 b) c) d),5,8 e),,,4,5 f ),,5 g) h),, 5 i) 00: 0: a) Ja b) Nej c) Nej d) Ja a),,5 b),,5 c) d) e), f ),,4,5 04: 00: a) A C = {,5,6,8,9,0}, B C = {,,, 4,5,6,7,8,9,0}, D C = og E C = {,, 4,5,6,7,8,9,0} A C = {,5,6,8,9,0,}, B C = {,,, 4,5,6,7,8,9,0,}, D C = {} og E C = {,, 4,5,6,7,8,9,0,} 0: a) (, ),(,4 ),(, ),(,4 ) b ) (,4 ),(,5 ),(,6 ),(,4 ),(,5 ),(,6) c) (, ),(, ),(, ),(,) d) e) (,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,,) f ) ( 4,4,4 ),( 4,4,5 ),( 4,4,6 ),( 4,5,4 ),( 4,5,5 ),( 4,5,6 ),( 4,6,4 ),( 4,6,5 ),( 4,6,6 ),...,( 6,6,6) 080: a) 5 a b) i. s. c) d)0 e) i.. f )0y l) m s k) 8 a + b y z )8log sin + y n) i. s. 090: 4 09: a) Ja b) 5, 6 og c) 0 d) 5 e) 4 f ) 5 og 6 094: a) Nej b) 5, 8 og 8 c) 40 d) 5 e) f ) 0 og 00: a) 9 b) 6 c) 0 d) -4 6 g) 0l n h)8sin y i) is.. j) 6 + y 0: a) d c b) c d c) d + c d) c + d e) d c f ) c d : a) b) c) d) e ) : a) b) c ) a) 4 9 b),7 c) d),9 e) 7 f ), g) 40: 4: a),5 b),5 c) 5, d),5 e),5 f), g),5 44: a),5 b),5 c),5 d), e),5 f ) 5, g),5 46: a) 4,7 b) 8,4 c),7d) 6, 7 e) 4, 7 f ) g), h) 5,9 i) 5,4 j), k), l),4 90: a) = = 5 b) = = 6 = 7 c) = 5 = = d) = 5 = = 4 9: a) = 0 b) = 0 c) = d) = 5 e) = = f ) = = g) = 94: a) = = 9 b) = 7 = 0 = 4 c) = = d) = = = 00: a) a b c b) y z c) a b d) y z

63 0: a) y y b)a b c) a d)8a + 6b 6 ab e) 6 y + z f ) + y + y g) a b + a b 5 ab h) y : a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) : a) b) c) d) e) f ) g) h) i)6 j ) : 5a 5 a) a + b + b) + y + c) d) e)5 f ) g) 6 8 a s + y 00: a) b) c) d) 45 e) a f ) c g) h) f i)7 j) k k) l)8 6 5 t : a) a b) c) y d) e) : a) b) c) d) e) f ) g) h ) : a 7 6 ) b) ) ) ) ) ) ) 5 c d 4 4 e f g 8 5 h 0: a) b)5 c)0 d)4 e) f ) 8 g) h) i) j) k) l) m) : a) b) c)9 d) e) f )0 g) 7 0 0: a) b) 4 c)5 d) e)5 f ) g) h) i) 4 j ) : a)9 b ) c) d) e) f ) 7 g) : a) 000 b) 00 c)5 d) 00 e) 8 f ) g) h) i) : a)9 b )64 c)8 d) 4 e) f ) g) h) : a) b) c) d) e) f ) : a) b) c) d) e) f ) 7 56: a) b )5 c) d ) ) e 60: a) 4 b)8 c) 7 d) 49 e) f ) g) 4 h) i) : a) 4 b )9 c) d) e)00 f) : a) = 6 = 6 b) = 6 = 4 c) L = d) = 7 = 7 e) = 7 = 4 90: =, 7 = 9, = 0, 4 =,9 H G Q 9: a) = 5 =,8 = 4,5 = 5, 6 b) = 5 =,8 = = 6, 4 90: H G Q 6 H G Q c) = 5 =, 4 =,84 = 9, 4 d) = 5 =, 07 =, = 5, 78 H G Q e) = 50 =,8 = 4,5 = 56, H G Q H G Q km km min min a) = 7, 6 b) = 7, 5 c) H = 69, d) G =,8 e) = 5 f ) H = 4,87 g) G = 4,cm t t km km

64 000: Der er flere muligheder (f.eks. er der ikke forskel på, om kvadrat eller aflang står til venstre) 00: a) 5 b)5 c)5 d)65 e)8 f ) 8 g)5 h)0 i)5 00: a) A og D b) A, B, D og E 0: a) A b) A, D, E og F c) A, C, D, E, F og G 00: 8,4 m 5 4 0: HP = BF = 4 5 0: Topvinklerne ved C er kongruente. B og D er vekselvinkler dannet ved parallelle linjer, dvs. de er kongruente (og det er A og E også). CE = 6 8 AB = 040: a) A = 6, c = 9,5, b = 4, 4 060: T = 8, b) R = 9, 7, S = 50, 8, r = 8, c) Q = 4, 4, W = 48,58, a =, 67 T = 940,5cm 06: T = 6,0 06: a = 7,7 06: A =, 064: K = 5,97 065: K = 69, g = 6,8 og k = 9, 4 066: E = 6,87 067: A = 8,9 070: A = 5,8, D = 8, og E = 87,8 07: j = 5, 07: A = 6, 4, B =,5 og C = 5, T ABC = 6,95 074: A = 9, 4 078: En sådan trekant eksisterer ikke (vinklerne er komplekse tal). Den opfylder ikke trekantuligheden. 080: T = : BN = 7,86 084: a) T = 0 b) T = 0 c)imaginært tal (komplekst tal) d) T = 6 090: a) B =, 7, C = 99, 8 og c = 4, 6 b) mulige trekanter: B = 5, 60, C = 9, 40 og c = 5, 0 B = 8, 40, C = 5, 60 og c = 4, c) B =,56, C = 6, 44 og c = 8,9 d) B = 90, C = 60 og c = e ) Ingen trekant f ) B = 60, C = 60 og c = 9 g )Ingen trekant 00: a),0 m b) 04 0: a) T =,75 b) GP = 0,64 c) GDP = 5, 4 64

65 04: a) BD = 0 km b) A = 899 km 06: v = 09, : a) 6 b) c) 4 d) 4 e) f) 4 00: a) a = b = 4 c = 4 d = f = 0 g = 0 h = 8 m = n = 0 b) 90 c)80 d) 45 e)90 f ) 6,57 g) 7,57 h)5 i),8 00: a) b, c b) f, n c) b, c, f, n d) n e) m og g f) Ja g) Nej h) Ja i) Ja j) Nej k) Nej 0: a) s b) d, pog s c) bog u d) b e) cog h f ) b, n, q, r og s g) b, d, p, s og u h) f og t i) m j) n, r og v k) cog h l) d m) u n) g og t o) g og t p) Nej q)ja r) s)ja t) Nej u)ja v)ja w )0 00: a) s b) g c) q d)0 e) m f ) p g) t 0: a) s b) c c) v d) h e) n f ) b g) c h) h i) c j) s k) c 04: b = 5,4 06: 40,80 00: 040: 04: a b = 7,8 050: F = 50 N og F = 75N og v = 6,6 n res 05: a) F = 657,N F = 49, 4 N b) v = 7, n res kg m kg m 060: a) psamlet = 806 b) v = 9, 7 c) psamlet = 09 s s 06: p, efter =,68 070: a) SP b) OB c) AD d) VA e) AR f )0 g) AD h) DK i) WK b = 4 v + v, c = v + v, d = v v, f = 4 v + 0 v, g = 4v v 080: 08: ( 4,8 ), (,5 ),( 5,) og ( 8,6 ) c = v + v, d = 4 v + v, f = v v, g = 5 v + 0 v, h = v 9 v 084: 65

66 090: a, b, c, d, f, g, h = = = = = = =, i =, j = : a a b = eller a b = a b b 00: a) F = 969,5 N b) F = 49,8 N c),7 m t res 6 kg m 6 kg m 0: pbil, = 7,9 0 pbil, = 4,9 0 s s m m 04: v = 6,8 vy = 0,9 s s 06: Ft = 894,9N Fn = 89,5 N 0: a) A = 866 J b) A = 0 J c) A = 400 J d) A = 60J 4000: a) Nej b) c) a+ 9b d) Nej e) f ) : ( ) 66 g) 7 h) i) Nej j) ( ) ( a b) ( 6+ 4) ( + 4 ) a + b 7 a) + 7 b) c) 4 d) e) f ) ( + ) ( + ) g h i j k ( ) ( 4+ ) ( 9 ) a) 4 = b) = c) = ) 5 ) ) + 4 ) ( ) )6 40: d)0 = e) = : a) 4 b) 4 c) d) 8 400: a) b) c) d) e) 400: a) = 6 b) Falsk c) Sandt d) Falsk e) = = f ) Falsk g) Sandt h) Falsk i) = 0 j) Sandt 40: = = = g) (, y) = (,0 ) h) (, y, z) = (,,0 ) a) Falsk b) 0 c) 0 d), y, z 0,0,0 e) Sandt f ) Sandt 40: a) A b) I c) B d) I e) I 4: a) B b) I c) B d) A e) B f ) B g) B h) A 44: a) B b) B c) B d) B e) A f ) A g) B h) A i) B j) I 400: a) Ja b) Ja c) Nej d) Ja e) Nej f ) Ja 40: a) y = + b) y = + 5 c) y= d) y = 40: a) y = 4 b) y = c) y = + 8 d) y = e) y = 6 ( 4+ ) ( )

67 6 99 4: a) y = b) y = 7 c) y = 9 d) y = e) y = + 7 f ) y = : a) y = + b) y = + 7 c) y = + 7 d) y = + 440: a) y = 4 b) y = 5 c) y = d) y = e) y = 9 8 e) (, 0) og ( 0, 9 ) f ), 0og ( 0, ) 4 g) ( 4, 0) og ( 0,6) 460: a) 50,944 b)6,8699 c)87,064 46: a) 56,099 b)78,690 c)45 464: a) 45 b)45 c),690 d)56,099 e),099 f )68, : a) 9,7449 b)60,55 c)90 468: a b c 8 450: a) (,0) og ( 0, 6 ) b) (,0) og ( 0, ) c),0 og ( 0,5 ) d),0 og ( 0,8) ),0054 )57,9946 ) : c =. 47: y= : y= 5 474: y= : y = : y= : y = 484: y= : a ) ) 0, &,0 b 6 49: 8 a) b) 0, & ( 4,0 ) c), : 8 a) b) 0, & ( 4,0 ) c), : 8 a) b) 0, & ( 4,0 ) c), : k = 495: a = 9 496: a) y = + b) y = : a) y = 4 + b) y = 4 498: a) y = + ; G = 4400: a) 6 b) y = 6 440: a) 9 9 b) y= 4 4 b) y = + 7 ; G = 6 c) y = ; G =

68 440: 440: 4404: 4405: 440: E = h f 44: Q = C ( T T 0 ) 5 7 y y : s = k t r 44: v = T 444: F = g V 440: y : y : y = 6 44: y = 5 444: y = : y = : a) y = 6 b) y = 4 7 c) y = d) y = 8 447: 4 8 y : 5 9 y a) a = T 8,5 b) a = 4 T, 7 c) a = T, : d) a = T ( 0, ) e) a = 9 T (,0 ) f ) a = T (, ) ),5 ), ), ), a T b T c T d T e) T, f ) T, a) T, 7 Skæring med y-aksen: 0, 4 Nulpunkter: = = : ( ) 4460: b) 49 T, 4 Skæring med y-aksen: ( 0, ) Nulpunkter: = = 4 c ) T, 4 8 Skæring med y-aksen: ( 0, 5) Nulpunkter: Ingen d) T,0 Skæring med y-aksen: 0, Nulpunkt: = 7 e) T (, 9) Skæring med y-aksen: ( 0,7) Nulpunkter: = = f ) T, Skæring med y-aksen: ( 0,) Nulpunkter: Ingen

69 4470: A) a 0; b 0; c 0; d 0 B) a 0; b 0; c 0; d 0 C) a 0; b 0; c 0; d = 0 D) a 0; b 0; c 0; d 0 E) a 0; b 0; c 0; d 0 447: f : a 0; b 0; c 0; d 0 g : a 0; b 0; c 0; d 0 447: A: a 0; b 0; c 0; d 0 B : a 0; b 0; c 0; d 0 C : a 0; b = 0; c 0; d 0 a) C 5, r = 5 b) C 4, r = 4 c) C, 0 r = 0 d) C,0 r = 4500: e) C ( 0,5) r = 7 f ) C, r = 7 g) C ( 0, 0) r = 450: a ( ) ( y ) b ( ) ( y ) c ( ) ( y ) ) = 9 ) = 64 ) = 4 d) + y = 5 e) 6 + y = f ) + y + = g) + y = : a) C ( 8,5) r = 6 b) C (, 0) r = 5 c) C ( 0, 0) r = 8 d) C ( 5, ) r = e) C ( 8,) r = 450: a C r b C r c C r d C r e C r 45: 45: a) C (, ) r = 5 b) C ( 6,) r = 6 c) C (, 7) r = 9 ) 4, = ), 5 = 6 ) 6, 8 = 0 ), 7 = 9 ) 0, 4 = 5 a) C,0 r = b) C 4, 6 r = 6 c) C 5, 7 r = 8 d) C,5 r = 5 e) C, r = 4 450: 450: a) 4 + y + = 74 b) + y 5 = 85 c) + + y 6 = 70 ; G = ( + ) ( y ) ( + 4) ( y + ) ( ) ( y + 4) A: + = B : + = C : + = y ( 4) ( y ) ( ) ( y ) 45: A: = B : + = C : + = : a) z-planen b) yz-planen c) Ingen d) y-planen e) yz-planen og y-planen f) Ingen g) Alle tre h) z-planen og y-planen i) yz-planen j) yz-planen og z-planen 4550: A, C og D. 455: ( 6,0,0 ), ( 0, 5,0) og ( 0,0,0 ). 4554: a) ( 4,0,0 ),( 0,,0) og ( 0,0, ) b) ( 4,0,0 ),( 0,5,0 ) og ( 0,0, 0 ) c) ( 7,0,0 ),( 0,7,0) og ( 0,0,7 ) 4556: ( 4,0,0) og ( 0,0,0) : 4 5y + z 8 = 0 ; G = 4558: 4560: a) C 5,, 0 r = 5 b) C,, 4 r = c) C 8, 0, 6 r = d) C 0,, 0 r = 7 456: a) 6 + y + + z 7 = 4 ; G = b) y + + z 5 = 49 ; G = c) + y + z + = 8 ; G = d) y + z = ; G = 4564: a) C,, r = 4 b) C 7,, 9 r = c) C 0, 0, r = 9 d) C 0, 0, 0 r = : a) + + y z 6 = ; G = b) + y + + z = 44 ; G = 6 4 c) + y + z + = ; G = d) + y e + z = ; G = : a C r b C r c C r d C r 458: ),, 4 = 6 ),5, 6 = 8 ) 7,0, = 9 ) 0, 0,0 = 8 a) C,, 4 r = 5 b) C 8,, 5 r = 0 c) C 6,,0 r = 7 d) C,5, r = : a) C 4,, r = 5 b) C,, 4 r = 4 c) C, 0, 6 r = 66 69

70 4640: a) d = 5 d = 5 d = 75 b) d = d = 4 d = 0 c) d = 4 d = d = d) d = 8 d = 0 d = 90 e) d = 0 d = 0 d = 0 f ) d = 4 d = 56 d = 8 y y y y y y : a) a) b) 4 5 c) d) e) f ) = : a) i b) i c) ( i) d) e) i= 7 i= i= i= i i= i 7 f ) ) i 5 + g i ) i 4 i i h i) ( ) 0 i i i= i= i= 0 i= 500: a) 80 b) 047 c) d) f =, f = 9, f 4 = 6, f 7 = 49, f 0 = 00 n =, n =, n = 4, n = : 6000: a) Dm( f ) =, 4,5,7 b),,,5,9 c)9 d) Vm( f ) =,,5,9 e) f ) f ( A) =,,5,9 g) 4 h) 4 i),4,7 j ) 4 600: a) a,b,e,f b) b,f c) e,f d) f Dm f = ] 4,5] Vm f = [,4] Dm g = ] 4, [ [,4] Vm g = [,4] 6004: Dm( h) Vm( h) Dm( w) Vm( w) 600: a) Dm( f ), Vm( f ) 0, b) Dm( f ) Vm( f ) 0, c) Dm( f ) Vm( f ) ) ( 4 ), ( 4 ) 0, ) ( 5 ) ( 5 ) ) ( 6 ),, ( 6 ) 600: f ( 7) = 7, f = 7, f =, f ( 4) = 9, f =, f ( 0) = = [ 5, [ [,5] = [ 6, [ [,5] = ] 4, [ [,5] =, ],5[ = = = = = = d Dm f = Vm f = e Dm f = Vm f = f Dm f = Vm f = 60: 606: a) a) 0 b) 0 c) 608: p( ) 4+ 80, for , for = + 580, for , for

71 600: a) f er aftagende i intervallerne ], 4]og,7 f er voksende i intervallerne 4,og 7,. b) g er aftagende i intervallerne ], ]og +, g er voksende i intervallet, + 7 c) h er voksende i intervallerne ], ]og, 7 7 h er aftagende i intervallet, : a) Lige b) Ulige c) --- d) Ulige e) Ulige f) Lige g) Ulige h) --- i) Lige j) Lige k) --- l) --- m) --- n) Lige o) --- p) Ulige a) f + h = ; Dm = b) f h =, Dm = 6050: c) f g ; Dm, d) f h 4 4 ; Dm + = = = = f + g + e) ; Dm, i) ; Dm, g + h + 4 = = = = = + + = = + = = + = = + = j) f h 8 7 ; Dm k) h f 5 ; Dm l) f g 4 ; Dm, m) g h 7 ; Dm 7, 605: ( f h)( ) = ( f f )( ) = 4 ( h h)( ) = ( f k )( ) = ( ) ulige, lige, lige, sin ulige k sin = cos lige, = cos ulige, = sin lige, = ulige g cos ( f g )( ) ( ) ( h g )( ) ( ) ( h k )( ) ( ) ( ) 6070: a f ( ) f ( ) b f ( ) ( ) f ( ) ) = 7 = ) = sin = e, indre, ydre, indre, ydre 7 c) f, indre ( ) = + 7 f, ydre ( ) = d) f4, indre ( ) = + 4 f4, ydre ( ) = 5 e) f = f = cos f ) f = tan f = + 5 5, indre 5, ydre 6, indre 6, ydre, indre =, mellem =, ydre = b) f = cos f = e f = 607: a) f ( ) sin ( ) f ( ) f ( ) = + = =, indre, mellem, ydre c) f 4 7 f f 4 tan, indre, mellem, ydre d) f4, indre ( ) = f4, mellem ( ) = sin ( ) f4, ydre ( ) = + 5 e) f = f = + f = 5 = = = 5, indre 5, mellem 5, ydre f ) f 6 f 5 f 4 6, indre 6, mellem 6, ydre 600: 7 7 a) f ( ) = b) Voksende c) Der lægges til. d) Der lægges 4 til. e) f ( ) = : 7 a) g ( ) = + 7 b) Aftagende c) Der trækkes 0 fra. d) g ( ) = + 7 e),0 og ( 0,7 ) f) ( 7,0) og 0, 7 ( ) ( ) 7

72 60: a :Ja,voksende b: Nej c :Ja,aftagende d: Nej e :Nej f :Ja,voksende g : Ja, aftagende h: Nej i : Ja, voksende j : Ja, voksende k :Nej l: Ja, aftagende m : Nej n: Nej o : Ja, aftagende p :Ja, voksende q: Ja, aftagende r : Nej s : Ja, voksende t : Nej 660: a) Eksponentiel b) Lineær c) Eksponentiel d) Lineær e) Logaritme f) Logaritme 680: ( a, j),( b, o),( c, f ),( d, k ),( e, m),( g, l),( h, n) og ( i, p ) 60: a) Der lægges,099 til. b) Der lægges 0,845 til. c) Der lægges 0,869 til. d) Der trækkes fra. e) Der lægges 0,9 til f ) Der trækkes 0, fra. 6: a) Der lægges 0,90 til. b) Der trækkes,4657 fra. c) Der lægges 0,8897 d) Der trækkes 0,45 fra. 64: a),995 gange (ca. en fordobling) b),4 gange 600: Procenttal Vækstrate Fremskrivningsfaktor 7 0,7,7 8 0,8,8 6 0,6,6-40 0,40 0,6 6-0,6 0,9-7 -0,7 0,9 8,8,8 9,9,9 09,09, ,5 0, : a) a =, 6 b) r = 7% c) a = 0, 6 d) r = 84% e) a =,59 f ) r =, 7% 604: a) r = 00% b) a = c) r = 50% d) a = 0,5 60: a)70, b) 4, 6 c ) 496,8 6: a)4, 65 b) 69 c)500 d)480 e)54 f ) 40 60: a) 0 kr. b) 85,5 kr. c) 099 kr. d) 5807,69 kr. e) 9,67 kg f) 85,7% g) -,4% 6: a) 496,4 kr. b) 6,8 millioner kr. c) kr. d) 90 kr. e) 956 kr. f ) 6,4kg 64: a) 5,7% b) -7,5% c) -0,47% d) -,4% e),00 kr. f ) 85,79 kg. 60: r g =,% 6: A:4% B:,9% 6: r e = 8, % 6: r e =, 7% 66: a) -7,% b),06% c) 7,5 kr. d) 5,6% 67: a),8 år b),5 år c) 7,0 år d) 9, år. 68: a) 9,% b) 58,5% c) 4,4% 640 a) 75kr b) 75, 66 kr c) 75,8kr d) 75,887 kr e ) 75,8898kr 64: a)66,96kr b)648,88kr c)655,4kr d)658,498kr e )658,60kr 650: a) 4486,76 kr. b) 467, kr. 65: a) 585,7 kr. b) år (7 indbetalinger) c) 0,7% pr. måned. 660: 49, kr. 66:,489 millioner kr. 66: a) 995,0 kr. b) 7,7 millioner kr. c) 56% 66:,4% 664: 4,6% 7

73 670: 67: Årstal Værdi 7, kr. 4,84 kr. 5,55 kr. 08,6 kr. Indekstal Årstal Antal hulahop-ringe pr. dansker 0,7 0,6 0,48 Arbejdsløshedsprocenten i Armenien 7,8% 8,5% 8,% Gennemsnitsvægten af en amerikaner 87 kg 9 kg 0 kg Indekstal hulahop-ringe Indekstal arbejdsløshed Indekstal gennemsnitsvægt : a) a, c, b, d b) c, b, d, a f = 50,5 g = 50 0,7 h = 00,6 i = 50 0, : 6404: a) Den øges med 4% b) Den falder med 7% c) Den øges med 7% d) Den halveres. f = log log b 6406: a a 640: Fra start er der radioaktive kerner af denne isotop, og antallet falder med 7% i minuttet. 64: Lige efter indsprøjtningen er koncentrationen af stoffet R i blodet på personen 7 mg pr. liter, og koncentrationen falder efterfølgende med 6% i minuttet. 640: 64: a) b) 8 c) 54 d) a) 5 b) 40 c) d) : f ( ) = 6,9 0, : f ( ) 5 = 646: g( ) = 6 640: a) =,867 b) = 5, 55 c) =, 48 d) = 0,70 64: a)4% b)58, % c)849% d ),5% 644: f ( ) = 5,5, : a) X =, 00 b) X =, 49 c) X = 8,8 d) X =,54 644: f ( 6) = 6444: g ( 4) = : f ( ) = 6450: a) X = 5,7 b) X =, c) X =, 0 d) X = 0, 9 e) X = 0, 69 f ) X = 0, : a) 595,44 b) 540,5945 c) 0,050,9947 d) 0,9 8, : 0, : a) fma =, fmin = 4 b) 647: Af = 4, k f =, f =, c f = 0, Ag = 5, kg =, g =, cg = 4 7

74 6480: A: fma = 7 ; fmin = ; Tf = 69,8s, f = 0,005889Hz g = 4 ; g = 5 ; T = 0,05s, f = 9,79Hz B: ma min h = 4,9 ; h = 9,9 ; T = s, h = 0,59Hz C: ma min 648: A: fma = 4 ; fmin = 8 ; = 0,696m g = 0,6 ; g = 8,8 ; = 48,m B: ma min g h 6484: A: fma = 0 ; fmin = 0 ; Tf = 0,004545s, f = 0Hz ; =,559m g =,5 ; g = 4,9 ; T = 0,0997s, f = 0,07Hz ; = 0,668m B: ma min 6486: a) Ima = 0,7A b) f = 50Hz c) I = 0,84A d) t = 0,0s 6487: a) p = 0,084 Pa b) f = 96,0Hz c) =,747m 6488: a) og b) g g g c) og d) e) og f) g) 6490: a) Eksponentiel b) Potens c) Lineær d) Logaritme e) Lineær f ) Eksponentiel g) Potens h) Potens i) Logaritme : a) b) 5 c) d) 7 e) 00 f ) 6 650: a) 4,5% b)4,9% c)94,5% d )4,9% 65: a)00% b )6,5% 654: a)49,0% b )4,4% 656: a)8,8% b )08, 0% 65: a) r = 7 og r = 5 b) r = 9og r = c) r = 7 650: a) b) c) 7 + d) + 5 e) f ) c f, e f, a f, d f, b f, g f, h f og f f. 6540: : a) Vm = 0,600 b)050 c) = 70, d) ( 0,6) 655: a)58,97 b) 64, 49 c) = 4,5 d)0, 4 e) = 5,94 f ) 0,6.86 g) =, : A) 0,80 B) 0,99 C) 0,64 D) 0,94 74