Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ Ò ½ ¼ ¹½ ½µ Ö Ø Ð Ö Ö Ó ÐÓ Öº ÇÔ Ò Ø Ö Ø ³Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒ³ Ó ÓÖ Ö Ð ÓÓÐ Ð Ö ÐÓ º
|
|
|
- Emil Petersen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ð ÓÖ ØÙÖ ÅØÑØ ¹ÓÒÓÑ Ó ËØØ Ø ½º ÖÒ ÒÖº ÑÖ ¼¼ ÙÙ ØÙ ÅÓÖÒ ½¼¹½½µ ÖØ ÐÖÖ Ó ÐÓÖº ÇÔÒØ ÖØ ³ÑØÑØ ÒÙØÓÒ³ Ó ÓÖÖ Ð ÓÓÐ ÐÖ ÐÓº
2 ÁÒÓÐ Ì Ö ÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÂÙÐÐÖ ÇÑ Ø ÚÖ Ôºº¹ ØÙÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º nø Ð ÖØÐ ÖÒ ÀÚ ÓÖ Ö ÇÔÖØÓÖÐÖ Ó ØÓÑÓÑÖ À ØÓÖÒ ÓÑ ÂÓÒ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ º º º º ÒÒ Ð ÖØÐ ÖÒ ÓÑ Ö ÑØÑØÖ ÒÐÖÖ Ó ÐÖÒ ÙÒÑÒØÐ ØÒÒ º º º º º º º º º º º º º Ë ¹ ØÒÒ Ú ËØÒ ÀÓÐÑ ÈÙÞÞÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÒÒ Ò ÓÖ ÓÐ Ö Ö ÓÑÔÙØÖ ÈÖÑÔÙÞÞÐÚÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ë ÚÑ Ö Ö Ò Ð ÚÒÖ Ò ÅÝ Ø Ð ØØÖØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑÐÒ ØÚØØ ÅÐ ÌÒÖ ½
3 Ì Ö ÒÖ Á ˽ ÐÚ ÙÒØ ÒÓÐ ÑÐ ÒÙѹ Ö Ñ º Á Ñ Ò ÑÒ Ðºº Ð ÓÑ Ò ØÖ Ø ¹ÝÒÒÒ ½ Ó ÓÑ Ø Ò Ö Ö ÐÚØ ØÐÐØ ØÐ Ö ÓÖ ØÙÖÒº Á ÓØÓÖÒÙÑÑÖØ Ö ½ Ö Ö Ò ÖØÐ ÓÑ ÖÝÓÑÖÖÒ ÎÒÖ¹ ÐÐÒº ÖØÐÒ ÖÒØ Ö Ð ÓÖ Ø Ö ÒØÓÔ Ö ÓÑÑØ ÖÖ ÓÑÖÖº ÀÒ ÒÖ Ø Ó ÐÐØ Ø ÎÒ¹ ÖÐÐÒ Ö ÐØ ÖÖ Ó ÑÖ¹ Ö Ø Ø Ö ÐØ ÓÚÖÒ Øѹ ÑÐ Ñ ÐÓÚÒº Á ÓØÓÖÒÙÑÑÖØ Ö ½ Ö Ö Ó Ò ÙÖ ÐÖ ÚÓÖ ÖØÖÒ ØÖÙ¹ Ö Ñ Ø ÙÐÒÙÑÑÖØ ÐÚÖ Ø ¹ Ø Ú ÒÝ ØÙÖÒ ÑÐÖ ÖØÓÒ ÖÙÔÔÒº ÅÒ ÓÖÑÙ¹ ÐÖÒÖÒ ÐÒÖ ØÑÑÐØ ÑØ Ñ Ö ÐÚ ÖÙØ ÓÖÒ ÒÙÑÑÖ Ñ Ö ÐÚ ØÖÙØ Ñ ÔÖ Ø ÑѺ Ø Ö ÒØÐ ÔÙ Ø Ø Ø Ø Ö ÒÖ Ö ÑÑ ØÒ Ö ÓÖÖº Á ÙÐÒÙÑÑÖØ Ö ÑÑ Ö Ö Ö¹ ØÖÒ ÓÖÖ ØÒ ÚÐØ ØÖØ ÓÖ¹ ÒÝ Ö ÑÐØ ÖØÓÒ ÖÙÔ¹ ÔÒº Ø Ú Ö ØÖ ØØ Ö Ùй ÐÖ Ë ÙÐÚÖ Ñ Ö Ø Ö Ç Ò Ö Øº ÌÓ ÒÝ Ö ÑÐØ ÖØÓÒ ÖÙÔÔÒ ÅÐ Ö¹ Ñ Ò ³¼µ Ó ÆÓÐ ËØÖÒ ³¼µº Î Ö ÑÓØØ Ö ÓÔÚ ÚÖÐ Ö Ó Ò ÒØÖ ÒØ ÓÖÑÐÒ ØÚØغ Ç ÖÑ ÓÑ Ò ÎÁÈ Ö ÖÚØ ØÐ ÀÚ ÓÖ Ö º ËÓÑ ÔÖÒ ÓÚÖ ³Ø ÐÝ Ø ÖØÖÒ Ò Ò ØÒ Ô Ò Ø ÓÚÖØÐ Ì ØÐ Ø ÖÚ Ò ÖØÐ ÓÑ Ò Ö ÑØÑØÖº Ë ÓÖ Ñ Ö Ø Ò Ó Ùк Î Ô ÖØÓÒÒ Ö Ø Á ÐÐ ÚÐ ÐÔÔ Ð Ò ÒÒÑ ÓÐØÓ¹ Ö ÚÖÒÖ ØÑÓÔÚÖ Ó ¹ Ð Ó ÖÑ ØÐ Ò Ó Ùк
4 ÇÑ Ø ÚÖ Ôºº¹ ØÙÖÒ Ú ÃÝ ÀÚ Ö ØØ ÇÔÚÒ Ö Ñ ¹ÖØÓÒÒ Ð Ò Ø ÑØ ÒÑ ÃÒ Ù Ð¹ ÖÚ Ò ÒÐØ ÓÑ ÚÓÖÒ Ø Ö Ø ÚÖ Ôºº¹ ØÙÖÒ Ó ÓÑ Ú Ù Ö Ó ÐÚÖº ÅÒ ÚÓÖ Ð ÑÒ ÝÒ Ó ÚÓÖ Ð ÑÒ Ò Ó ÚÓÖÒ Ð ÑÒ ÙÒ Ø ÒÝØØ Ó ØÖ ÔÐØÔÐ ØÐ ÐÝÐ ÒÓÖ¹ ÑØÓÒ ½ Ä Ó ØÖØ Ñ Ø ÖÒØ ÓÖÑÐк ÀÚÖØ ÐÚ Ö ÐÚÖ Ö ÓÔ¹ ÐØ Ôºº¹ ØÐÐÒÖ Ú Ø ÒØÙÖÚ¹ Ò Ð ÙÐØØ Ó Ú ÑÒ Ö ÖÚÖÚØ Ò ÒØÖ Ò ÑÒ Ò Ò ØÐÐÒº Ø ÓÖÖ Ú Ø ÑÒ ÓÒØØÖ Ò ØÒ ØØ ÎÁÈ³Ö Ó ÔÖÖ ÓÑ ÚÓÑÑÒ Ö ÐÝ Ø ØÐ Ø ÚÐ Ò ÒÒÑ Ø ¹ ÚÒØÙÐØ Ôºº¹ ØÙÙѺ Ö ÚÐ ØÝÔ ÚÖ ØÐ ÓÑ Ò ÔÐÚÐÖº Ëѹ ÑÒ Ñ ÒÒ ÎÁÈ ÓÖØØÖ ÑÒ Ø Ù Ø ØÐ Ø ÔÖÓØ Ó ÙÝÐÖ Ö¹ ÐÚÒØ ÔÔÖÖ ÓÑ ÐÚÖ ÑØ Ò Ò ØØÐ ÓÑغ ÀÚ ÑÒ Ö ÐÒØ Ð Ö ÑÒ Ø ÖÚ Ñ ÓÑ Ø ÑÒ Ö Ø ØÐÐÒÒ Ø ÔÖ ÑÒÖ ØÖº ÀÚ ÒÖÖ Ò Ò ØÐÐÒ ÆÖ ÑÒ Ö ØÐ Ò Ôºº¹ ØÐÐÒ ÓÖÔÐØÖ ÑÒ ØÐ ¼ ØÑÖ ÐØ ÔÐØÖ ÓÖÐØ ÓÚÖ ØÖ Ö Øй ÐÒÒ ÚÖÖº Ø ÚÐ Ô ÑØÑØ Øݹ Ô ÚÖ Ò Ñ ÙÒÖÚ ÒÒ Ó ÓÖÖÐ Ñѵ Ö ØÖ ØÙ¹ ÖÒ ÚÖÒ ØÐ º ÅØÁÒØÖÓ¹ Ð Ö ÄÒÐ¹Ð Ö Ó Ò Ø Ò¹ Ò ÙÒÖÚ ÒÒº ÈÖ ÓÒÐØ ÝÒ ÓØ ÓÑ Ø ÙÒÖÚ Ó Ø ÚÖ Ó¹ Ò ÑÙÐ ØÖÙØÙÖ ÚÖÒ ¹ ÚÓÖ Ö ØÒ Ò Ö ÓØ Ö Ñ¹ Ø ÐØ Ó Ð ÓØ Ò Ð Ò ØÒ ÓÑ ØÖ ÓÖѺ ÖÙÓÚÖ Ð ÑÒ Ð ÙÖ Ö Ô Ôºº¹ÒÚÙ ÚÖÒ ØÐ º Ø ÐÚØ Ö ÚÖ Ó Ø ÒØ ÙÒÚÖ ¹ ØØ Ø ÐÚØ Ö ÓÖ Ø ÓÔÐÚ ¹ ÚÓÖÒ ØÒÒ ÓÖÖ ÙÒÓÖ À³ ØÖÝ ÖÑÑÖº Ë Ø ÑÒ ØÑØ ¹ ÑÒ Ø Ð ÑÒ ÙÒÖ Ð ÓÖй Ø Ö Ñ Ø ÓÖ ÒÒ ÔÖÓØ ÑÒ ÖÚ Ò ÒÒÒº ØØ Ð ÑÙÒ Ù Ò ÒÐÒ ÓÑ Ð ÓÖ ÚÖ ÓÚÖÓÖ Ò ÓÑØ ÓÖ Ö ÒÒ ÓÖ Ø ÔÐÒ Ðغ È Ø¹ Ø Ø ÔÐÖ ÐÒ ÔÖ ÑÐ ØØ Ø ÐÚ ØÐÐغ ÀÚÓÖÒ Ò ÑÒ ÓÖ Ñع ÑØ ËØÖØÒ Ö Ò Ø ÑØ ÑÔк ÅÒ ÖÙÖ Ö Ø Ò ÒÓÖÑ ÑÒ Ø Ó ÒÖ Ô Ø ÒÖ ØÙÖ ÐØ Ú Ö ½ ÆÔÔ Ò Ö
5 Ö ÖÚØ ÓÑ Ø ÐÐÐ ØØ Ò¹ÑÒ ÒÒ ÓÖ Ø ÓÑÖ Ö ÒØÖ ÖÖ Òº ÆÖ Ø Ö ÓÖØ ÔÖÚÖ ÑÒ Ø ØÐÐ ÐÚ ÓÔÚÖ ÒÒ ÓÖ Ø Ôй Ò ÑÒº Ø ÚÐ ÔÖ ÑÐ Ð ÃÙÒÒ ÑÒ ØÒ Ø ØØ ÐÐÖ ÒØ ÐÖ ÙÒÖ ÒØÐ Ô Ò¹ ÓÖÙ ØÒÒÖº ÀÚ ÑÒ ÓÖ¹ ÑÖ Ø ÚÖ Ô Ø ÔÖ ÑÐ Ö ÑÒ ÖÚØ ÓÖ ÒÒ ÓÖÙ Ø Ø Ö ÐÐÖ Ö Ò ÒÒ Ö Ö ÚÖØ Ô Ø ÔÐÒ ÔÖ Ñк Á ÑØ ØÐÐ Ö ÑÒØ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ¹ÐÖÖº ØØ Ö Ø Ð ¹ ÑÒ ÛÐÐ Ø Ö ÚÖØ Ð º ¼ Ö Ô Òµ ÒÒ ÓÖ ¹ ÔÐÒÒ ÓÔÖØÓÖ¹ÐÖº Á ÐØ ÑÒ ÒعÙÒÒÐ ÖÚ Ø ¹ ÔÖÓØ ÓÑ Ò ÖÙÒÐÒ ØÓÖ Ó ÖÚ ÐØ ÒÐ Ú ÖÒ ÒÐ ÓѺ ÙÐÐ Ò Ñ ÑØ ÔÐ ØÓ Ò ÖÐØÚØ ÒÝ ÖØÐ Ó ØØ Ñ Ò Ø ØÓ¹ Ö ÑÒÐ ÓÖ Ø ÙÒÒ Ð Òº È Ò Ñ ÒØ Ò Ò Ò¹ ÚÖµ Ø ÖÑ ØÐ ÓÖ ÒÒ ÖÓÒØÒ ÓÑ ÙÒÒ ÖÙ ÓÑ Ø ÓÖ ÑØ Ôºº¹ÔÖÓغ ÀÚ ÑÒ Ö ÔÐÒÖ ÓÑ Ø Ò Ôºº¹ ØÐÐÒ ÚÐ Ø ÒÓ Ú¹ Ö Ò Ó Ø ÖÚ Ø ÔÐ ÓÑ ÒÓØ ÖÐØÚØ ÒÝØ ÑØÑغ Ø ÖÒ¹ Ö Ò Ð ÒÚÙ ÚÖØ Ó ÚÖ Ò Ó ØÖØÔÓ ØÓÒ ÓÖ Ø Ôº¹ÓÖк ÅÐØ Ñ Ôº¹ÔÖÓØØ Ö Ø Ú Ð¹ ÚØ ÒÓØ ÓÑ Ò ÔÙÐÖ Ø Ø ¹ ÖØ ÒÖ ØÖ Ö Ö Øº Ø Ö ÖÓÚ ØÖ Ø Ö Ð ØÐ ÓÖ Ø Ò ÒÐÒ Ò ÓÒ Ó ÑÒ Ò Ôºº¹ÖÒº ÀÚ Ò Ù ÐÚ ÈÖÒÔÐØ ÖÖ ÑÒ Ö ÒÓÒ ÓÑÙÐÖ ÑÒ Ö ÓÑ ÖÙÒÒØ ÒØ Ú Ø Ý Ò Ôºº¹Ö ÓÚÒÔ ÑÒ ÚØ Ú Ö Ø Ö Ôº³Ö Ò ÐÒ ØÓ Ú Ò Ð Ö ØÐÐÒÖ Ø ÔÖÚØ ÖÚÖÚ ÐÚ Ðºº Ó ÆÓÖ ÖÝÔØÓÑØ ¹ ÐÙÒµ Ó Ò ÒÒ Ð ÓÖØ ØØÖ Ù¹ ÒÚÖ ØØ ÚÖÒÒ ÓÑ ÓÖ Öº ØØ ÒÖÖ ØÝÔ Ò Ð Ö ÑÐÖع ØÐÐÒÖ ÖÙÒØ ÓÑÖÒ Ô ÓÖ Ðй ÙÒÚÖ ØØÖ Ñ ÒÐ Ô Ò Ø Ò ØØÐ ÓÑ ÐØÓÖ Ò ÒÒ º ÇÑ L 2 ¹ÓÑÓÐÓ ÓÖ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ÐÖÖº Ë Úغ ØØÔ»»ÛÛÛºÖÜÚºÓÖ»ÈË» ÑػԻ¼¼»¼¼ºÔ
6 ÇÔÖØÓÖÐÖ Ó ØÓÑÓÑÖ À ØÓÖÒ ÓÑ ÂÓÒ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ÅÓÖØÒ ÀÓÖÒ ÔÖ ÓÒÖ Ö Ø ¼º ÖÙÒÖ¹ Ö ÖØ ØÐ ÙÚÐÒÒ ÑÒ ÓÖ ÐÐ ÓÑÖÖ ÒÒ ÓÖ Ò¹ ØÙÖÚÒ ÓÑ ÂÓÒ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ Ö Ñ Ò ÑÒ Ò ØÒ Ö Ùй ØØÖ ÒÒ ÓÖ ÖÒ Ó ÒÚÒØ Ñع ÑØ Ý Ó ØÐÓ Ñ ÒÖÒ¹ ÓÑ Ò Ò ÑÓÖÒ Ø ÐØ ØÓÖ ÖÚÖØÖº Á ÒÒ ÐÐÐ ÖØÐ ÚÐ ÓÖØ ÖÚ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ÐÚ Ó Ö Ñ ÓÙ Ô Ò ÖÓÐÐ ÅÒØØÒ¹ÔÖÓØØ ÑØ ÙÚÐÒ¹ Ò ÐÒØÖÒ ÐÐ Ø Ñ ¹ ÐÖ Ö ÚÖ ÖÒ ÓÖ Í˳ ÓÚÖØ Ò ÓÐ Öº ÎÙÒÖÖÒ ÂÓÒ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ÐÚ Ø Ò Ò ÚÐÚÒ ÑÐ Ò º ¹ ÑÖ ½¼ ÙÔ Ø ÍÒÖÒ Ó Ø ÚÖ ÑÒ Ö ÒÒ Ø ØÓ ÐÖØ ÓÖ Ò ÓÑÚÐ Ö Ø Ö ÚÖ ØÐ ÓÑ Ø ÚÙÒÖÖÒº ÀÒ Ú Ò ¹ ÑÖÐ ÚÖ ÙÓÑÑÐ Ó Ò ÐÖ Ö Ö Ò ÐÐÖ ¹ ÐÖ ÓÖ ÐÐ ÔÖÓ ÖÙÒÖ Ð Ö º ÑÐÒ ÆÙÑÒÒ ÙÒÖÓÐØ ÓØ Ö ØÖ Ñ ÑÓÒ ØÖØÓÒÖ Ò ÙÒ ÂÓÒ Ù ÚÒÐ ÚÒÖº Ò Ø ÙÒÒ ÙÚÐ Ò Ø¹ ÐÓÒÓÒ Ó ØÖ Ø Ú ÑÑØ Ò Ø ÔÖ Ò ÚÖ ÂÓÒ ØÒ ØÐ Ø ÑÑÒ ÒÚÒ Ó ØÐÓÒÒÙѹ ÑÖ ÓÖ ÑØÐ ÔÖ ÓÒÖ Ô Òº Á ½½½ ÝÒØ Ò Ô Ø ÄÙØÖÒ¹ ÝÑÒ ÙÑ Ö ÚÖ ÒÖÒØ ÓÑ Ò Ø ÙÒÒÐ Ò ØØÙØÓÒÖ ÙÔ Ø Ó Ö ÐÚ Ö ØÖ ØØ Ò ÓÑ Ò ØÐÒغ ÖÑØ ÑØÑØÒ Á ½½ ÖÓÖ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ Ò ÙÒÒÐ Ô Ø ÄÙØÖÒ Ýѹ Ò ÙÑ Ó ½ ÔÙÐÖ Ò Ò Ö Ø ÑØÑØ ÖØÐ ÓÑÒÐÒ¹ ÒÙÐÔÙÒØÖ ÓÖ Ú ÑÒÑÐ ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑÖº ÁÑÐÖØ Ò Ö ÒÒ ÖÑØ ÑØÑØÒ ÓÑÔÖÓѹ Ø ÐÚ Ø ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ØÓ ØÐ ÖÐÒ ÓÖ Ø Ð Ñº Ó ÐÚ Ò Ó Ò¹ ÖÚØ ÓÑ ÑØÑØ ØÙÖÒ Ú ÙÒÚÖ ØØØ ÙÔ Ø ÑÒ Ò Ùй Ø ÙÒÖÚ ÒÒÒº Á ½ Ø ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ØÐ ÙÒÚÖ ØØØ Ö ÚÓÖ Ò ½ ÑÓØÓ Ø ÔÐÓÑ ÓÑ ÑÒÒÖº ÍÒÖ Ø ÓÔÓÐ Ö ÓÖÙÐØ Ò Ò ÒØÖ ÓÖ ÑØѹ Ø Ó ½ ÑÓØÓ Ò ÙÒ Ò ÓØÓÖÖ ÑØÑØ Ú ÙÒÚÖ Ø¹ ØØ ÙÔ Ø Ñ Ò ÒÐÒ ÓÑ ÑÒÐÖº
7 ÅØÑØ ÖØÖ Á ÐÒ Ö ÔÙÐÖ ÚÓÒ ÆÙ¹ ÑÒÒ Ò ÐÒ Ö ÖØÐÖ Ñ Øݹ Ð Ö ÙÐØØÖ ÒÒ ÓÖ ÓÑØ ÑÒÐÖ ÑÐØÓÖ ÖÓ ØÓÖ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ØÓÖ Ó ÑØÑØ Ý¹ º Á ÖÒ ½¹ ÚÖ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ Ò ÓÚÔÖ ÓÒ Ð Ò ÓÖ¹ ÑÐÐ ÑØÑØ ÖÑÑÖ ÓÖ ÚÒ¹ ØÑÒÒ Ó ½ ÒØÖÓÙÖ¹ Ò ÐÚÙÒÖ ÐÖÖ ¹ ÖÒ ÐÒÖ ÓÔÖØÓÖÖ Ô ÀÐÖ¹ ØÖÙÑ ÐÙØØØ Ò Ú ÓÔÖØÓÖ¹ ØÓÔÓÐÓ ÚÐØ Ö Ø Ö Ö ÒØ ÓÑ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ¹ÐÖÖº ÀÒ Ò ØÓÖÒ ÓÖ ÓÔÖØÓÖй ÖÖ ÓÑ Ø Ò Ø ØÓÖ ÑÐ ÒÒ ÓÖ ÑØÑØÒ Ó Ò ÔÐÐ ÐÚ Ò ÓÚÖÓÐÐ Ð Ò ÒÒ ØÓÖº ÎÓÒ ÆÙÑÒÒ ÚÒ ØÐ Ø Ö Ó ÙÒÝØØ ÒÖ ÑØÑØÖ Ö ÙÐع ØÖ ÚÖ Ð Ò ÓÐÐÖ ÒØØ ÑÒ¹ Ö Ò ÑÔÓÒÖÒ Ó Ò ÚÐÚ Ñ Ø ÔÙÐÖ ÒÒ ÓÖ Ò ÐÒ Ö¹ ÓÖ ÐÐ ÓÑÖÖº Á ÑØÒ ¼³ÖÒ ÝÒØ Ò Ø ÒØÖ Ö ÓÖ ÝÖÓÝÒÑ Úй Ø ÐØ Ò ÓÖ ÒÒ Ò Ô ØÓÖ¹ Ò ÓÖ ¹ÐÒÖ ÔÖØÐÐ ÖÒع ÐÐÒÒÖº ÎÓÒ ÆÙÑÒÒ Ò ÒÙѹ Ö ÑØÓÖ ÓÑ Ò Ñ Ø ÐÓÚÒ Ð ÒÒ ÑÙÐ Ó ØØ Ñ ØÐ Ø ÒØÖ ÓÖ ÚÓÖÒ ÑÒ ÙÒÒ ÙÖ ÖÒÒÖÒ Ú ÖÙ Óѹ ÔÙØÖº ÀÒ ÚÖ Ò ÔÓÒÖÒ ÒÒ ÓÖ ØÐÓ Ó ÙÚÐ ÐÒØ ÒØ Ò ÐØ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ¹ÖØØÙÖ Ö ÓÖØ Ø Ö Ù Ô Ø ÖÙ Óѹ ÔÙØÖÒ ÙÓÑÑÐ ØÐ Ø ÓÔÚÖ Øº Ø ÔÖÒÔ Ö ÖÙ Óѹ ÔÙØÖ Ò º ËÑÑÒ Ñ Ç Ö ÅÓÖÒ ØÖÒ ÚÖ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ÙÒ ÖÙÒÐÖ ÔÐØÓÖÒ Ó ÑÑÒ ÙÚ Ø Ð ÚÖ ÌÓÖÝ Ó Ñ Ò ÓÒÓÑ ¹ ÚÓÙÖ ½º ØÓÑÓÑÒ ÎÓÒ ÆÙÑÒÒ ÚÖ ½ ÝØØØ ØÐ ÈÖÒØÓÒ Ó Ò ½ ÐÚ ÑÖ¹ Ò ØØ ÓÖÖ ÝÒØ Ò ÑÖ¹ Ò ÖÖÒ ÓÖ ÐÚÓÖ Ø ØÖ Ô Ò ØÐÒØ Ñ ÒÐ Ô Ö Öй ØÖØ ÓÖ ÒÒº Á ½ ÝÒØ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ Ø Ö Ô ÅÒØØÒ¹ ÔÖÓØØ ÚÓÖ Ò ÖÙØ Ø Ò ØÐ Ø ÒØÖ ÓÑÔÐÖ ÓÖÑÐÖ Ó ÖÒÒÖ Ö ÖÒÝ Ò ÓÑ ÚÖ ÒÚÒ ÓÖ Ø ÙÒÒ ÓÒ ØÖÙÖ ØÓÑÓÑÖ Ö ÒÖ ÐÚ ÑØ ÓÚÖ ÀÖÓ Ñ Ó Æ º ØØ Ö ÚÖ Ñ ØÐ Ø ÚÖÙÚÐ Ò ÒØÖ¹ ÓÖ ØÐÓ Ó Ò ÚÖ ÐÚ Ñ ØÐ Ø ÓÒ ØÖÙÖ Ö Ø ÑÓÖÒ Óѹ ÔÙØÖº ØÖ º ÚÖÒ Ö ÐÚ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ Ò Ø ÓÑ ÐÖ Ò Ö¹ ÖÚÒÒ ÓÑÑØÖ ÓÖ Ø Ñ¹ ÖÒ ÓÖ ÚÖº ÃÓÑØÖÒ ØÓ ÖÒ ÔÖØÖ ÒÒ ÓÖ Ñ Ðع ÒÓÐÓ Ó ÖÒÝ Ó ÙÒÖ ÚÓÒ Æ¹ ÙÑÒÒ ÐÐ ÓÖÑ ÙÚÐÒÒ Ø ÑÖÒ Ñ ÐÔÖÓÖѺ
8 Ø ÑÖÒ Ñ ÐÔÖÓÖÑ Á ÝÒÐ Ò ½¼³ÖÒ ÚÖ ØÓѹ ØÒÓÐÓÒ ÓÖ Ø Ö Ø Ô Ø¹ ÙÑ Ó Ø Ò Ø ÔÙÒØ Ô Ø ¹ ÑÖÒ ÓÖ ÚÖ Ò Ð ÚÖ Ò¹ ØÖÓÒØÒÒØÐ ÐÐ Ø Ñ ÐÖº ÎÓÒ ÆÙÑÒÒ ÓÑÑØÖ Ú Ò ÚÖØ ÓÖ Ø ÚÐÙÖ ØÚØØÒ Ò¹ ÐØ Ñ ÐØÝÔÖ Ó Ù Ø ÖØÒÒ ¹ ÐÒÖÒ ÓÖ ÚÓÖÐ ÖØ Ñ ÒÐØ ÔÖÓØÖ ÙÐÐ ÚÖÖ º Á ½½ ÖØ ÒÝ ØÖÖØÒÒ ÓÔÐÝ ÒÒÖ Ö ØÝ ÚÒ ÓÐ ØÐ Ø ÚÓÒ ÆÙ¹ ÑÒÒ ÓÑÑØ ÑÒØ Ø ËÓÚØÙÒÓ¹ ÒÒ ÚÖ ÐÐ Ö ÓÖÒ ÍË Ù¹ ÚÐÒÒ ÐÐ Ø Ñ ÐÖ Ó ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ÐÚ ÓÖÙ Ø ÖÙ ÖÒ ÐÐÖ ÐÙØÒÒÒ ¼³ÖÒ ÚÐÐ Ú Ø ÓÔÖØÓÒÐØ ÒØÖÓÒØÒÒØÐØ Ñ Ð ÑØ ÓÖÖØ ØÒÓÐÓ Ö Úй Ð Ö Ñ ØÒ ØÐ Ø ÑÓ Ø ¹ ÑÖÒ ÓÑݺ Ø ÑÖÒ ØÐ ¹Ñ Ð ÚÐÐ ÒÔÔ ÚÖ ÓÔÖØÓ¹ ÒÐØ Ö ÝÒÐ Ò ½¼ ÓÖ Ø ÙÒ ÒÒ ÖØ ØÙØÓÒ Ø¹ Ø Ò ÑÖÒ ÖÖÒ ØÖ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ÒÐÒ ÐÐ Ö ÓÙÖÖ Ò Ô Ø ÙÚÐ Ø ÒØÖÓÒØÒÒØÐØ Ñ Ð ÙÖØØ ÓÑ ÑÙÐغ ÇÚÖÓÖ¹ ÒØ Ø ÖÓ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ Ö ØÐ ÙÚÐÒÒ Ø ÑÖÒ Ñ ¹ ÐÔÖÓÖÑ Ó Ò Ò ÓÖÑÒØÐ Øй Ð Ò ØÓÖ Ð Ò ÚÖØ ÓÖ Ø ÓÚÖØ ÓÑ ÍË ÓÔÒ Ò ÓÐ Ö Ö ½¼ Ó ÖѺ ÅÒØÐØ ÑÑÒÖÙ ÎÓÒ ÆÙÑÒÒ ÐÚ ½ Ò Ø ÓÖ ØÓÑÒÖÓÑÑ ÓÒÒ ÔÖ ÒØ ÒÓÛÖ Ó ÖØ ØÖ ÐÚ Ò Øй ÐØ ÒÖÓ ÖѹÔÖ Ò ÓÖ Ø Ö¹ ÒÒ ÓÖ ÖÒÝ º ÀÒ ÑÓØÓ ÐØ Ø ÐÚ Ò Ö ÒÖ ÔÖ Ö Ó ÒÖÒÐ Ö Ó Ò ÓÖØ ØØ Ø Ö ÓÖ Ò ÑÖÒ ÖÖÒ Ñ ÚÐ Ó ÑÐØÖ ÔÖÓØÖ ÒØÐ Ò ÖØ ½ ÐÓØ Ö ÑÑк Á Ø ÑÒÖ Ø ÐÚ ÚÖ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ Ô ÖÒÒ Ø ÑÒØÐØ ÑÑÒÖÙº ÀÒ Ú¹ ÐØ Ø ÐÚ ÓÔÝØ Ò ÐÐ ÙÓÚÖÚÒÐ Ó ÙÒÒ ¹ ÔØÖ Ò ÙÐÖÐ ÝÓѺ ÀÒ ÖÒ ÓÑ ÐÐÖ ÐØ Ú ÙÒÒØ ÐÔ Ñ ÚÖ ÔÐÙ Ð ÙÒ Øݹ ÒÒ Ó Ò ØÖ Ò ÓÑ Ø ÐÚ ÑÔ ÑÓ ÑÒ Ò Ö¹ ÒÒÖº ÌÒÒ ÓÑ Ò ÓÖ Ñ Ö Ð ÐÒ Ó ÔÒ Ó Ò ÚÒ¹ ÒÖ Ø Ò Ö Ó Ö ÙÓÒ¹ ØÖÓÐÐÐØ ÚÖ ÒØ Ð ØÐ Ø Øº ÍÐ ÃÓÒÐÙÖÒ Ø ÖÓ ÚÓÒ ÆÙ¹ ÑÒÒ ÓÑØØÒ Ö ØÐ ÒØÙÖÚÒ¹ Òº ÀÒ Ö Ñ ÓÑÔÙØÖ Ð ÖÙÒÒ ÓÖ Ò ÒÝ Ö Ó ÑÒ¹ Ò ÔÖÒÔÔÖ Ö ÐÙØÒÒÒ ¼³ÖÒ Ó ¼³ÖÒ ÒÝØØ Ø º ÀÒ Ö Ñ ØÓÑÓÑÒ Ó ÐÐ Ø Ñ ÐÖ ÖØ ØÐ Í˳ ÓÚÖ¹ Ø Ò ÓÐ Ö Ó ÖÑÑ Ø Ð ØØ ÐÒØ ÐÑÒ ØÒ Ò¹ ÚÙº ÎÓÒ ÆÙÑÒÒ ÚÖ Ò ÔÓÒÖ Ó Ø ÑÙÐØÒ Ó Ô Ò ÙÒ Ö Ò Ò ÚÖÐ Ø ØØ Ø ÔÖ Ô ÚÖ¹ Òº ËØ Ò ÓÑ Ø ÐÚ ÚØ ÙÒÒ Ò ÓÔÝÐØ ÑÒ Ò ÔÚÖ¹ Ò ÑØ Ò Ò Ö Ø Ò ÓÖÑÒØÐ ÐÖ ÚÐ ÐÚ ÐÑØ Ó Ø Ö ÚÐ Ø ØØØ Ø ÒÓØ ÑÒÒ Ò ÓÑÑ Ô Ùк
9 ÒÐÖÖ Ó ÐÖÒ ÙÒÑÒØÐ ØÒÒ ËØÒ ÀÓÐÑ ËÓÑ ÒØ Ö ÒÚÖ ØÐ ØÖÐØ ÒØÖ ÒØ ÑØÑØ ØÓÖ Ø Ú ÓÖ ÐÖÒ ÙÒÑÒØÐ ØÒÒº  ÚÐ Ö Ú Ø ÖØ Ô Ø ÔÖ ÖÙÒÐÒ ÙÒØÓÒÐÒÐÝØ Ó ÒÐÖ ÖÙÒ ØÒÒÖ ÑØ Ò ÐÐÐ ÑÙÐ ÖÒ ÐÖµº Ú Ø Ö ÙÒ ÔÖÓÐÑÖ ÓÖ Ø ÐÐ Ö Ö Ø Æ Ñ ÔÖÓØ ÓÑ ÒÐÖ¹ Öµ Ó Ä ÐÐÖ ØÐ ÚÖÒº Ë ¹ ØÒÒº Ä P ØÒ Ø ÒÓÖÑÖØ ÔÓÐÝÒÓÑÙÑ Ñ ÓÑÔÐ Ó¹ ÒØÖ Ó Ö n 1º ÚÐ Ö Ò ÓÑÔÐ ØÐ α 1,...,α n P(z) = (z α 1 ) (z α n )º Ú º ÀÚ Ú ÐÖ L ØÒ ÔÐØÒÒ ÐÑØ ÓÖ P ÓÚÖ ÓÑÔÐ ØÐ Ú Ú Ø dim C L < º Ø Ú Ò Ö Ö Ø dim C L = 1º Ç Ö ÓÑÑÖ ÙÒØÓÒÐÒÐÝ Ò Ò ÐÐغ ÑÒ ÓÒÒ L Ö ÒÐ ÚÐ ÒÚÖ ÒÓÖÑ Ü Ò ÙÐ µ Ö Ø ØÐ Ø ÒÖÙÑ Ó ÒÚÖ ÚÐ ÒÚÖ ÐÒÖ ÐÒÒ ÚÖ ÓÒØÒÙÖغ ËÖÐØ ÚÐ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÐÒÒÒ ÚÖ ÔÖØ ÓÒØÒÙÖØ ØÓ ÚÖ¹ к Î Ô Ò ÐÖÒ Ò Ò ÐØ Ö ØÐ Ò ÚÚÐÒØ ÙÑÙÐØÔÐØÚ ÒÓÖÑ ÚÓÖÑ L Ö Ò ÒÐÖº ÅÒ ÐÒ¹ÅÞÙÖ ØÒÒ ÓÖØÐÐÖ Ó Ø ÒÚÖ ÓÑÔÐ Ú ÓÒ ¹Ò¹ ÐÖ ÚÐ Ú ÑÒ ÓÒ ½ Ó ÖÑ Ö Ú Öº
10 ÈÙÞÞÐ ÌÙ ÖÓ¹ÆÒÒ Ø Á ØØ ÒÙÑÑÖ Ñ ÓÖØ ØØÖ Ú Ñ ÚÖØÓÒÖ ÓÚÖ ÙÓÙ¹ÔÙÞÞÐ º ÆÓÐ Ö Ò Ñ Ù Ø Ù ¹ÔÙÞÞÐ Ö ÚÖ ÒÒ ÙÚ Ø Ö Ñ º ÒÒ Ò Ö ÔÖÓÙÖØ ØÓ ÐÒÒ ÔÙÞÞÐ º Ø Ö Ø Ö 6 6 Ð ÓÑ Ø ÖÒÚÒØ ÔÙÞÞÐ ÑÒ Ø ÒØ Ö 9 9 Ó ÙÒ ÐÖ ÐÑÒÐ ÙÓÙ¹ÖÐÖº ÓÖ Ò Ó ÓÖÒ ÝÐ ÒØÖ Ð ÖÐÖÒ ÓÖ Ø Ù ¹ÔÙÞÞÐ ÓÖÑÐØ Ñ ÒÒ ØÝÔ ÔÙÞÞÐ Ö Ø ÖÚ ØÐÐÒ 1,...,N ÐØÖÒ Ð Ø ÐÒ ØÒÐ Ö Ö ÓÔÝÐØ ½º Ø ØÐ Ñ ÓÔØÖ ØÓ ÐÐÖ Ö Ò Ò ÑÑ Ð ÐÐÖ Öº Ö Ö ÙÐØ ÅØ ÚÐ ÒÒ ØØ ÓÑ ÚÖÒ ÒØÓÒÒ Ô Ø ÐØÒ ÚÖغ ÀÚ ÑÒ Ö Ø ÖÙÔÔØÓÖ Ò ÑÒ ÓÖ ØÐÐ Ò ÖÙÔÔØÚеº º ÌÐÐÒ Ù Ô ÐÒÖÒ ÒÚÖ ÚÓÖ ÑÒ ØÐ ÑÒ Ò Ò ÔÐÒ Ö ÐÐÖ Ð ÒÖ ÑÒ Ö Ò ÚÖØØ Ö ØÐÐØ Ô ÐÒÒº ÑÖ Ø ÑÒ Ò Ö Ð Ö ÑÓ ÚÒ ØÖ Ó ÐÐ Ò ÒÖ Ø Ö Ö ÓÔº Ò ÒÒ ÖÐ Ò Ñ ÚÖ ÐØ ÚÖ Ø Ö Ö Ö Ò ÙÝÒÒº Ò Ó ÑØÓÖ Ö Ø ÚÖØ ØÐ Ò ÚÖØØ ÖÔÖ ÒØÖÖ Ò Ô Ø Ù Ö ØÖ Ø ÔÐÒ Ðغ ÌÐÐÒ ÙÒ ÓÖ ÚÖØØ ÒÚÖ ÚÓÖ ÑÒ Ù ÑÒ Ò Ú ÑÒ Ö Ò ÑÓ ÝÒº ËÓÑ Ø ÑÔÐ Ô Ú Ö ÑÒ Ñ Ø ÙÒÒ ØÐ Ò Ú ØÖØ ÖÒ ½ º ½ ÀÚ Ú ØÖ ØÐ ÚÒ ØÖ ÓÖ ÒÒ Ö Ò Ú ØÖ ÓÖ ÐÐ ØÐ Ó º ÌÐÐÒ ½ Ó ÐÚÖ ÓÚÖ ÝØ Ó Ó Ú Ò ÖÓÖ Ñº ÀÚ Ú ÖÑÓ ØÖ ØÐ Ö ÓÖ ÖÒ Ó Ö ÑÓ ÚÒ ØÖ Ò Ú ÙÒ ØÓ ØÐ Ó º Ê ØÒ ØÐÐÒ ÖÒ ÐÚÖ ÓÚÖ ÝØ ¹ØÐÐغ ÌÐ Ø ÒØ ÔÙÞÞÐ Ð ÐÒ ØÒÐ ÐÐ ÚÖ ÓÔÝÐØ ½¼
11 º ÀÚÖØ ÑÖÖØ 3 3¹ÚÖØ Ð ÒÓÐ ØÐÐÒ 1,..., 9 ÙÒ ÒØÐ Öº Ø Ñ ÚÖ ÒÓ Ñ Ò ØÖÙØÓÒÖº ÀÖ ÓÑÑÖ ÔÙÞÞÐ ³Ò ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ø Ö Ø Ø ØÓ ÔÙÞÞÐ Ö Ö ØØ ÒÙÑÑÖ ÔÖÑÔÙÞÞк ÐÐ ÓÖÖØ Ð ÒÒÖ Ö Ö ÖØÓÒÒ Ò ÒÒ Ò ½¼º ÑÖØ ÚÐ ÓÑÑ Ñ ÐÓØÖÒÒÒ ÓÑ Ò ÅÝ Ø Ð º Ó Ö ÐÝ Ø ½½
12 ÈÖÑÔÙÞÞÐÚÒÖ ÌÙ ÖÓ¹ÆÒÒ Ø Ø ÔÖÑÔÙÞÞÐ Ö ÚÖ Ñ Ø ÒÙÑÑÖ Ñ Ú Ø Ø ÚÖ ÚÖغ ÅØ ÚÖØ Òº Ø ÚÖ Ø ÚÖØ Ø Ö ÙÒ ÚÖ Ö ÔÖ ÓÒÖ Ö Ò ÒØ Ò Ð ÒÒ Ó ØÖ Ñ ÒÖÑÑ Ø Ð ÒÒÒ ÚÖ ÙÒØ Ú ÐÔ Ø ÐÚ ÖÚØ ÓÑÔÙØÖÔÖÓÖѺ Â Ö ÓÔ ÙÑÑÖØ ÒÓÐ ÒØÖ ÒØ Ø ÓÑ ÓÔÚÐ ÒÒÖÒ ÐÒ ØÐ ÆÚÒ ÈÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓ ÖØ ÓÚÖ Ø ÅÖØÒ ÃÓ ÈÝØÓÒ Ò ÛÒ Ò ÅÐ ÖÑ Ò È Ð ½ ÙÒÖ ÌÖ ÖÚÖ Ò ÅÓ ÓÛ ÅÄ < 1 ÙÒ Ò ÈÐÓ Îº ÀÓÐѹÆÐ Ò ¹ ¹ ¹ ÀÖ Ö Ø ÑÖÐ ÚÖØ Ø ÌÖ Ð ÒÒ ÔÖÓÖÑ Ö Ø ÙÖØ Ø ÐÚÓÑ Ø Ö ÓÚÖ Øº Ø Ö Ú Ø Ò ÐÐÐ ÐØÓÒ Ø Ø Ò ØÐ Ø ÖÙ Ò ØÚ ÐÓÖØѺ ÅÖØÒ ÃÓ ÔÙÖØ ÖÙÓÚÖ ÚÓÖÒ Ö Ñ Ñ Ø ÓÒ ØÖÙÖ ÑØ ÔÙÞÞÐ Ø ÚÐ ÓÖØ ÖÚº Ö Ø Ó ÖÑÑ Ø Ö ÐÚ ÖÚØ Ø ÔÖÓÖÑ Ö Ò Ð ÔÙÞÞÐ ÒÒ ØÝÔº Á ÓÚÖÖ Ò Ö ØØ ÔÖÓÖÑ Ó ÖÚØ Ò ÚÖÒØ Åĺ Ö Ø ÒØ Ò Ô Ò ÑØÖÜ Ö ÓÚÖÓÐØ ÖÚÒ ÓÑ Ø ÚÖ Ò ÙÓٹРÒÒº Á ØØ ØÐÐ ÖÙØ ÑÔÐØÒ Ð ÒÒÒ Ô Ø ÒØ ÙÓÙ¹ÔÙÞÞк  ÝÐØ <¹ØÒ Ò ÐÐ 3 3¹ÑØÖÖÒ Ó ÙÒÖ Ø ÓÑ Ø ÚÖ ÒÓ ØÐ Ø Ú Ò ÒØÝ Ð ÒÒº Ø ÚÖ Ø ÐØØ ÐÐ ØÒÒ Ò ÑØÖ Ø ÑØÖÜ Ó ÝÒØ Ø ØÐ <¹ØÒ ÒØÐ ØØ Ô Ò Ð ÒÒ Ö ÚÖ ØÐÖ ØÐÐÒ Ó ÒØݵº Ø Ö ÒÓÒÐÙÒ Ò ÑØÓ Ö ÖÙØ ØÐ ÔÙÞÞÐ ³Ò ÒÒ ÙÚ Ñ º ÒÒ Ò Ö Ó ÖØ Ñ Ø ÖÒØ Ø Ò Ð Ú ÒÖغ Ø Ò ÙØÖ ÓÑ ÖÙ ÓÑÔÙØÖ Ö ÒÝ ÒÒ ÑÑÒÒº ÚØ Ø Ø ÔÙÞÞÐ Ö ÚÖ Ñ Ø ÒÙÑÑÖ ÚÖ ÓÚÖÓÖÒØÐØ ÚÖØ Ö ÚÐØ Ø ÔØÖ ÖÙÒ ÓÑÔÙØÖ ØØ ØÐк Ø ÐÖ ØÐ Ø ÑØ ÔÙÞÞÐ ÚÖ ÙÓÖÖÒ ÓÑ Ò Ô Ò ØÐØÒØ Ñº ÀÚ ÒÖ ÔÙÞÞÐ Ö Ö ØØ ÒÙÑÑÖ ÚÐ ÓÑÑ Ñ Ò ÖØ ÓÔÓÖÖÒ ØÐ Ø ÑÒ ÖÙÖ ÓÑÔÙØÖ ØÐ Ø Ð Ñº ÈÓÒØÒ Ñ ÔÙÞÞÐ Ö Ø ÑÒ Ð Ð Ñ ÒÒ Ó Ú ÑÒ Ö Ø ÒÝÖ ÑÒ ÐÚ ÓÖ Ò Ó ÑÒØÐ ÙÓÖÖÒº ÌÐ Ñ Ö ÓÖÚ ÔÖÚ Ø Ð Ø ÔÙÞÞÐ ÒÒ Ò ÙÒ Ð Ø ÔÖÚØ Ø ÓØ ÒÓº Â Ö ÐÙØØØ Ñ ÓÖ Ø ½
13 ÒÚ Ð ÒÒÒ ØØ ÒÙÑÑÖº Á ØØ ÚÐ ÒÖ Ô ÔÙÞÞÐØ Ø ÐÚÖ ÐØØÖ Ø Ð Ó Ò Á ÐÐ ØÐ Ø ÐÚ ÙÓÖÖØ Ñ Ø Ø ÓÑÑÒ ÒÙÑÑÖ Ñ º ÌÐ Ø Ð Ð Ö Ø ÚÒÖÒ Ò ÅÝ Ø Ð ÐÚ ÅÖØÒ ÃÓ ÑØ Ø Ò ÓÑÑÖ ØÐ Ø Ø Ø ÔÙÖ Ø ÙÖ Ò Ö ÒÓÒ Ò Ö Ø ØÒÐ Ò ÐÝ º Ð Ò Ò ÒØ Ó ÖØÓÒÒ Ú Ò Ô Ò Ðк ½
14 ØØÖØÓÖ ÅÐ ÌÒÖ Â ÚÐ ÒÒ ÖØÐ ÓÖØÐÐ Ö ÐØ ÓÑÖÒ ØÖ Ó ÓÑ Ö ÒÚÒÐ Öº Ø Ö Ø ÔÖ ÑÐ Ñ ÚÖ ÀÚ Ö Ø ØØÖ Ù ÓÚÖ Ø ÚÖ Ø ÓÑ ÁÖØ Ö ÖÙÒØ ÓÑ Ö Ò ÖÒÒ ÓÓÐÒº ÅØÑØ Ø ÒÖ Ø ØØÖ Ô ÐÒ Ñ ÒØÓÒ Ø ØØÖ Ö Ò ÓÖÒØ ÑÒ L ÚÓÖÓÑ Ø Ð Ð Ø ÓÖ ÐÐ x, y L Ð x y = sup{x, y} Ó x y = inf{x, y} ØÖº ÍÑÐÖØ ÐÒÖ Ø Ø ØØÖ ÓÑ Ö ÖÙÒØ ÓÑ ÁÖØ ÓÓÐÒ ÑÒ Ú M Ö ÒÐ Ö ÑÒ Ò ÒÑ Ñ Ø ÖÔÖ ÒØÖ ØØÖØ Ôº ÅÒ ÐÚÖ ÒÑÐ ÐÒ ØÒÒ µ ÌÒ ÓÖ ÚÖØ ÐÑÒØ x L Ò ÐÐÐ ÖÐ C(x) Ø ÓÓÖÒØ Ý ØѺ µ ÀÚ y ÓÚÖÖ ½ x ØÒ Ò ØÖ Ö C(x) ØÐ C(y) Ó ÒØÖÙÑ C(x) Ð Ú Ò ÐÚÖ ÒÒ ÓÓÖÒØ Ò ÒØÖÙÑÑØ C(y) µ ÀÚ x z y Ñ C(z) Ö Ø Úغ ÐÒ ØÝØ ÑÐÐÑ C(x) Ó C(y)º ËÒ Ò ØÒÒ Ð Ø À ÖѺ Ò Ú Ð Ö Ö ÖØ Ò Ø Ø ØØ ÖÙÖ ÙÔÖÑÙÑ Ó ÒÑÙÑ Ò ÖÒ Ó ÒÒ ØÒÑØÓ ÐÖ Ø ÓÖ ÒÚÖ ÒÐ ÓÖÒØ ÑÒº Á ØÐÐØ Ñ Ø ØØÖ Ö ÑÒ Ø ÐÐ ÐÑÒØÖÒ Ö Ø ÑÑÒ Ó ÖÓÖ ÓÑÑÖ À ÖÑÑØ Ø ØÐ Ø ÐÒ Ø ØØÖº ÖÓÖ ÚÖ Ò¹ ØÓÒÒ ÒÚÒ ÑÒÒº ÑÔÐ Ä ÑÒÒ X = {a, b, c} Ó Ú Ö ÒÙ Ô ÔÓØÒ ÑÒÒ (X) Ñ ÓÖ¹ ÒÒÒ ÓÑ ÐÖØ Ö Ø ÒÐØ ØØÖ ÚÓÖ sup Ó inf ÐÚÐÐ ÐÚÖ Ò¹ ÓÐ Ú Ó º {a, b, c} {a,b} {b,c} {a, c} {a} {c} {b} Î ÐÖ Ø ØØÖ L ÖÒ Ø Ú Ø Ö Ò ÙÒ Ó Ò ØÓÔ ÓÑ Ú ÐÖ ÒÓÐ Ú 0 Ó 1 Ó Ú ÐÖ L ØÖÙØÚØ Ú Ò ØÖÙØÚ ÐÓÚ ÐÖ ÓÖ sup Ó infº Á ÓÚÒ ØÒ ÑÔÐ Ø ÐÖØ Ø ØØÖØ Ö ÖÒ Ø 0 = ½ y ÓÚÖÖ x Ú Ö ÐÖ ÐÒ x < y Ó Ú x z < y ÚÐ z = xº L Ö Ø 0 Ú a L a x x L Ó Ö Ø 1 Ú b L x b x Lº ½
15 Ó 1 = {a, b, c}µ Ó ØÖÙØÚØ Ò ØÖÙØÚ ÐÓÚ ÐÖ ÓÖ Ó º Á ÑÓÖÒ ÑØÑØ Ö Ø ÐÒØ Ø ØÐ ÓÑ Ò ØÖÙØÙÖ ÙÒ Ø ÓÑÑ Ò Ô Ò ÓÖ ÑÒ ØÖÙØÙÖÚÖÒ ÐÒÒÖº Á ÖÒ¹ ØÖÙØÚ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖÚÖÒ ÐÒÒÖ ÓÖ {0, 1}¹ØØÖ¹ ÓÑÓÑÓÖÖº ÃÐ Ò Ò ØÖÙØÙÖ ÒÐÙ Ú Ò ØÖÙØÙÖÚÖÒ ÐÒÒÖ Ö Ñ ÖØ ÖØÒÒ ØÓÖØÓÖº Ø Ö ÒÒ ØÓÖ Ö Ö ÓÖ Ò ÖÔÖ¹ ÒØØÓÒ ÓÑ ÚÐ Ò ÓÑ ÒÙº Ø Ú Ö ÒÑÐ Ø Ö Ö Ò ½¹½µ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÑÐÐÑ ÖÒ ØÖÙØÚ ØÖ D 01 Ó Ò ÖÐ Ð ØÓÔÓÐÓ ÖÙÑ ÒÑÐ ÖÒ ØÓÒÖÙÑ S B ÒÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ö ÐÚÐÐ ÓÔ ØÐ ÓÑÓÖ ØÖ Ó ÓÑÓÑÓÖ ØÓÒÖÙѵº ÌÐ Ò Ö ÒÖ Ò ÑÙÐ ØÐ ØÓÔÓÐÓ Ò Ø Ø ÖÒ Ø ØÓÒÖÙÑ Ö Ø ØÓÔÓÐÓ ÖÙÑ X ÓÑ ÓÔÝÐÖ µ X Ö ÓÑÔØ Ó T 0 ÚÐØ ÚÐ Ø ÓÖ ÐÐ x, y X ÚÓÖ x y Ò Ò Ò ÑÒ U x U Ó y / U ÐÐÖ y U Ó x / Uº µ ÓÑÔØ Ò ÑÒÖ ÙÖ Ò ÓÖ Xº µ ÓÖ ÚÖØ ÔÖ ¹ØÓÑÑ ÑÐÖ ¹ØÓÑÑ ÓÑÔØ Ò ÑÒ¹ Ö (X s ) s S Ó (Y t ) t T ÚÐ X s Y t S S Ó T T : X s Y t, s S t T s S t T ÚÓÖ S Ó T Ö ÒÐ ÐÑÒÖº Úµ ÓÖ ÐÐ ¹ØÓÑÑ ÑÐÖ ÓÑÔØ Ò ÑÒÖ (X s ) s S ÚÐ X s = S S : X s =, s S s S ÚÓÖ S Ö Ò ÒÐ ÐÑÒº ÎÒ ØÐ ÓÖÖ ÔÓÒÒÒ Ö ÐÒ ÑÒ ÓÖØ ÓÖØÐØ Ö ÑÒ ÐÒ ÒØÓÒ Ä L ÚÖ Ø ØØÖ Ó Ð J Lº ÀÚ µ a, b J a b J µ a L, b J Ó a b a J µ a b J a J ÐÐÖ b J Ð J Ø ÔÖÑÐ Ó ÑÒÒ ÐÐ ÔÖÑÐÖ ØÒ I p (L)º Î Ú Ö ÒÙ Ø ÑÒ Ö ÐÒ ØÒÒº ËØÒÒ Ä L ÚÖ Ø ØØÖ Ó Ð a Lº ÚÐ ÐÒÒÒ η : L ( I p (L) ) ÒÖØ Ú η : a X a := {I I p a / I} ½
16 ÚÖ Ò ØØÖÓÑÓÑÓÖº Ú Î Ð ÐØ Ú Ø X a b = X a X b Ó Ø X a b = X a X b ÓÖ ÐÐ a, b Lº Ä I I p º Î Ö ÐØ ÐÒ X a b = {I I p a b / I} = {I I p a / I ÐÐÖ b / I} ÖÙÖ µ ÓÚÒ ØÒ ÒØÓÒ = X a X b ÑÔÐ ÑÒØÓÖ È ØÐ ÚÖÒ Ñ Ø Ú Ø ÖÙ µ Ö ÓÚÒ ØÒ ÒØÓÒ Ø X a b = X a X b º Î ÚÐ ÒÙ ÖÒ Ú Ø ÐÒÒÒ η ÚÖ Ò ÓÑÓÖ Ö L Ò Ø ÐØØÖ ( I p (L) ) º ØÖ ÓÑ ( I p (L) ) Ö ØÖÙØÚØ Ó Ø ÐØØÖ ÐÖØ ÒÖÚÖ ÒÒ Ò Ñ Ò ÒÚÒ Ò ÓÖ L ÚÖ Ø Ø Ö ØÖÙØÚغ Ø Ú Ö Ø ØØ Ö ÒÓ ÑÒ ØØ Ö Ö Ò Ð Ø Ú º ÅÒ ÐÚÖ ÒÑÐ Ò ØÐ Ø Ú Ø Ö Ö ÖØ ÑÒ ÔÖÑÐÖ ÓÖ Ø Ø Ò Ð Öº ÀÖ Ö ÑÒ ÖÙ ÓÖÒ ÄÑÑ Ó Ò Ó ÑÒØÓÖØÖ Ú Ø Ø ØÝÖ Ø ÙÚÐ ÓÑØ Ñ ÒØ Ø Ðº ÆÙ Ö Ú ÐØ Ò ÖÔÖ ÒØØÓÒ ØÖÙØÚ ØÖ Ó ÖÑ Ó ÖÒ Ñ ÑÒ ÓÖ Ø ØØ Ð ÚÖ ÖÙÖØ ÐÚÖ Ú Ò ØÐ Ø ÖØÖ Ö Ú ÐÐØ η Öº ÀÖ Ö Ø Ø ÑÒ ÒÖ Ò ÑÖØ ØÓÔÓÐÓ Ô I p ÓÑ ÑÒ ÐÖ ÓÖ Ø ØÓÒÖÙÑ ØÓÒÖÙÑ Ö ÐØ ÓÒ ØÖÙÖØ Ù Ö Ø ØØÖØÓÖØ ÔØ Ó Ø ØÓÔÓÐÓ Ôصº ØÖ Ò Ð ÑÖ ÙÖÒÒ ÓÑÑÖ ÑÒ ÖÑ ØÐ ËØÓÒ ÖÑØ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ØÒÒº ËØÓÒ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ØÒÒ Ä L ÚÖ Ø ÖÒ Ø ØÖÙØÚØ ØØÖ Ó Ð a Lº ÚÐ ÐÒÒÒ η : a X a ÚÖ Ò ØØÖ ÓÑÓÖ Ö L Ò ÓÑÔØ Ò ÑÒÖ Ø ÖÒ ØÓÒÖÙÑ S (L) := (I p (L), T ) ÚÓÖ T := { U I p (L) U Ö Ò ÓÖÒÒ ÐÑÒØÖ Ö {Xa a L} }. Á ÓÚÒ ØÒ ØÒÒ ÙÖ ÑÒ ÐÚÐÐ ÓÖ Ö Ø S (L) ÒØÐ Ö Ø ÖÒ Ø ØÓÒÖÙÑ ÚÐØ ÓÖÓÐ Ú ÒÑØ Ú º Î ÐÖ ÓÑÔØ Ò ÑÒÖ Ø ÖÒ Ø ØÓÒÖÙÑ X ÓÖ T (X) Ó ÓÚÒ ØÒ ØÒÒ ÚÖ ÒÙ Ø L T ( S (L) ) º ÓÖ Ø ÐÖ Ö ØÒ ½¹½µ ÓÖÖ ÔÓÒÒÒ Ú Ö ÑÒ Ø ÓÖ X ÚÐ T (X) ÚÖ Ø ÖÒ Ø ØÖÙØÚØ ØØÖ Ó Ø S ( T (X) ) Ö ÓÑÓÑÓÖ Ñ Xº Ù ØØ ÖØØ J L J ÐØØÖ L Ú a, b J ÚÐ a b J Ó a b Jº ½
17 Á ØÓÒÖÙÑÑØ ÚÐÖ Ú ØÖÙØÙÖÚÖÒ ÐÒÒÖ ØÐ Ø ÚÖ ØÖÒØ ÓÒØÒÙÖØ ÙÒØÓÒÖ ÓÑ Ö ÐÒÒÖ ÓÖ ÚÐ ÓÖÒÐÑÒÒ ØÐ Ò ÓÑÔØ Ò ÑÒ Ö ÓÑÔØ Ò Ó Ø Ú Ö Ø Ö Ó Ö Ò ½¹ ½µ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÑÐÐÑ ØÖÙØÙÖÚÖÒ ÐÒÒÖ D 01 Ó S B º ÐØ Ö Ö Ò ½¹½µ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÑÐÐÑ ØÖÙØÙÖÒ Ó Ö ØÖÙØÙÖÚÖÒ ÐÒÒÖ Ó ØØ Ð Ò ÙÐØغ ÀÚ ÑÒ Ö ÒØÖ ÖØ Ø Ð ÑÖ ÓÑÖÒ ØØÖØÓÖ Ó ÐÚ Ù¹ ÐØØÒ Ú Ø ÒÐÖ Ø Ð ½ Ó º Ø Ò Ö ÒÚÒ Ø ½ Ö ÑÒØÓÖÒ ÓÑ ØÐÒ ØÐ ØÖ Ó Ö ØÓÖØÓÖÒ ÓÑ ØÐÒ ØÐ ØÖº ÇÝ ÒÙ Ñ Ø ÚÖ ÒÓº ÀÚÓÖÓÖ Ö ØÖ ÒØÖ ÒØ Ó ÚÓÖÓÖ Ö ÓÚÒ Ø¹ Ò ÒØÖ ÒØ ÂÓ ÐÐÖÖ Ø ÚÐ ØÖ Ø ÒØ ÙØÖÝ ÑØÑØ ÐØÒ Ö ÑÒÖº ØÖ ÓÑ ØØÖØÓÖ Ú Ö Ò Ñ ÓÑÖÒ Ò ÔÐ ÖÙÔÔ ÓÖÒ ÑÒÖ Ñ ØØ ÐÚÐÐ ÙÒÖ º Ò ÓÚÒ ØÒ ÙÐØØ Ö ÒØÖ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ø Ó ÖÑÑ Ø Ö Ø ÚØØ Ö ØÐ Ø Ð ÔÖÓÐÑÖº Ø Ö ÒÑÐ ÓØ Ø Ú ÑÙÐÒ ÓÖ Ø ÓÚÖ ØØ Ø ÔÖÓÐÑ Ò ØÖÙØÙÖ ØÐ Ø ÔÖÓÐÑ Ò ÒÒ ØÖÙØÙÖº ÂÓ ÑÒ Ò Ù ÓÚÖÓÚØ Ô Ô Ø ÖÒ Ø ØÖÙØÚØ ØØÖ ÓÑ Ö ÒÐØ ÐÐÖ ÙÒÒ Ù Ó Ö Ô Ô ÑÔÐصº Ø Ò Ø ÓØ ÓÖ Ú ÑÒ ØÒÖ ÐØ ÓÑ ÐÚÖ N 0 ÚÓÖ ÓÖÒÒÒ Ö Ö ÓÔ µ Ø ¹ ÖÒ Ø ÙÒÐØ ØÖÙØÚØ ØØÖº ÀÖ Ù ÖÙ ÓÖ Ø ÐÐÐ ÒØ Â Ò ÒÚÒ ÑØ Ø ØØ ØØÖ ÐÚÖ sup Ð mfm Ó inf Ð sfd Ó ÒÓØ ÔÙ Ø ÐÚÖ 0 = 1 Ó 1 = 0º ÌÝ ÐØ Ô Òº Ö Ö Ó Ó ÒÖ ÖÙÒ ØÐ Ø Ø Ö ÒØÖ ÒØ Ø Ô ØØÖØÓÖº Ø Ú Ö ÒÑÐ ÓÖ ÑÔÐ Ø ÚÖ Ø ÓØ Ö ÒÒ ÓÖ ÐÓº ÁÒÒ ÓÖ Ò Ð ÐÓ Ò ÒÚÒ ÓÓÐ ÐÖÖº Ò ÓÓÐ ÐÖ Ö Ò ØÖÙØÙÖ A µ A Ö Ø ÖÒ Ø ØÖÙØÚØ ØØÖº µ ÓÖ ÐÐ a A Ò Ø a A ÓÑ ÓÔÝÐÖ Ø a a = 1 Ó a a = 0º Ò Ú Ð Ö Ö ÖØ Ø ÑÒÒ ÓÓÐ ÐÖÖ Ö Ö Ò Ô ÐÑÒ D 01 Ó ÒÒ ØÙØÓÒ ÐÚÖ ØÓÒÖÙÑÑØ S (A) Ø Ø ÓÑÔØ ÀÙ ÓÖ ÖÙѺ ÀÚ ÑÖ ÒØÖ ÒØ Ö Ø Ú ÑÒ Ö ÒØ Ñ Ù Ò ÐÙÐÒ Ú ÑÒ Ø Ö Ò Ò ÑÒØ Ó Ò ÝÒØØ ÑØÓ ØÐ Ø Ù ÒÒº ÀÚ Ø Ö ÐØ ÖÙ ØÒØ Ò Ð ÑÒ ÓÑ Ø Ò ÑÒØ ÑØÓ Ö Ò ÚÓÖ Ú Ö Ø Ò ÚÐÒÖØ ÓÖÑÐ ϕ Ö Ò Ú Ò Ò ØÐ Ö Ò ÓÖ ÐÐ ÑÙÐ ØÙØÓÒÖº Ò ÝÒØØ ÑØÓ Ö ÖØ Ô Ø ÙØÓÒ Ý ØÑ ÚÓÖ Ò ÚÐÒÖØ ÓÖÑÐ Ö Ò Ú Ò Ò ÐÚ ÙÐØ Ö Ò ÑÒ ÜÓÑÖ Ú ÚÒ ÙØÓÒ ÖÐÖº ½
18 Â Ñ Ó ÐÐÖ Ð ÓÖØÐÐ Ö ÚÓÖÒ Ò ÚÐÒÖØ ÓÖÑÐ ÒÖ Ù Ò ÐÙÐÒ µ ÒÚÖ Ù Ò ÚÖÐ ÚÓÖ ÙÚÐ ÚÖÐÖÒ Ö Ò ÙÒÐ ÑÒ ÐØ {x 0, x 1, x 2,...} Ö Ò ÚÐÒÖØ ÓÖÑк µ ÀÚ ϕ Ó ζ Ö ÚÐÒÖ ÓÖÑÐÖ Ö ϕ Ó (ϕ ζ) ÚÐÒÖ ÓÖÑÐÖº µ ÒÚÖ ÚÐÒÖØ ÓÖÑÐ ÓÑÑÖ Ö Ø ÒÐØ ÒØÐ ÒÚÒÐ Ö µ Ó µº ÅÒ Ò ÒÙ ÓÖ Ò ÑÒØ Ó Ò ÝÒØØ ÑØÓ Ò Ò ÓÖÒÒ Ó Ø Ú Ö Ø ØØ Ö ØÓ ÑØÓÖ ØÐ ÓÓÐ ÐÖÖ Ó Ø ÓÓÐ ÐÖÖ Ö Ò º ÒÒ ÐÖ Ð ÄÒÒÙѹÐÖÒ ÐÐÖ ÓÖØ ÄÁƺ ØØÖØÓÖ ÐÚÖ Ó ÖÙØ ÒÒ ÓÖ ÒØÙØÓÒ Ø Ó ÑÓÐÐÓ ÑÒ Ø ÚÐ ÓÑÑ ÒÖÑÖ Ò Ôº ÀÚ ÑÒ ÚÐ Ð ÑÖ ÓÑÖÒ ÖÙ ØØÖØÓÖ ÐÓÒ ÒÐÖ Ø Ð Ó Ó Ú ÑÒ ÚÐ Ú ÚÓÖÒ ÑÒ ÒÖ ÖÑ ØÐ ÄÁÆ Ð ÑÒ ½ º ØØÖØÓÖ Ö Ó ÒØÖ ÒØ ØÖ ÓÑ Ø ÐÚÖ ÖÙØ Ò Ð ÒÒ ÓÖ ÓÑÔÙØÖÚÒ º ÚÖÖ Ö ØØ ÓÑÖ ÑØ ØÒ Ó Ò ÖÓÖ ÙÒ Ð Ö Ø Ô ÓÚÖÒ Ó Ú Ö ÖÝ Ö º ÐÐÖÖ Ø Ö Ø ÒÒ ÓÖ ÓÑÔÙØÖ Ò Ö ØÖ Ø ÚØØ Ö º ÆÖ Ú Ö Ö ÓÑÔÙØÖ Ò ÑÒÖ Ú ÓÖ ÑÔÐ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓ Ó Òع ÖÖ ÓÑÔÓÒÒØÖ ÐØ ØÖÒ ØÓÖÖ ÓÑÔÙØÖÒº ÓÖ ÑÔÐ ÒÒ ØÖÒ ØÓÖÖÒ ÓÑÔÙØÖÒ Ò ÒÚÒ Ø Ö ÐÒØ ÑÑÒ Ú ÑÒ ÐÖ ÔÓÖØ ³Ø ³µ º ÔÓÖØ Ö ØÖ ÑÙÐÖ ÓÖ Ø Ò ÒÓÖÑØÓÒ ÖÙÒØ ÓÑÔÓÒÒØÖÒ Ó ØÖ ÑÙÐÖ ÐÒÖ ÑØ Ø Ö Ö Ò ÓÓÐ ÐÖ ÚÓÖ Ò ØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ö, Ó º Ø ÖÖ ÔÓÖØÖÑ ÑÖÓÔÖÓÖÑÑÖÒ Ó Ö Ð ÓÔÝÒÒ Ñ¹ ÑÒ Ñ Ò ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÐØ ÓÓÐ ØÖÑÖ ÓÑ ÓÖØ Ò ÓÖÐÖ Ø ÚÖ Ò Ð ÐÑÒØÖ ÓÔÝØ, Ó º ÇÔÝÒÒÒ Ö Ô ÒÓÒÐÙÒ ÑÑ Ñ ÓÑ ÚÐÒÖ ÓÖÑÐÖ ÓÔÝ º Ò ÒÒ ÖÙÒ ØÐ Ø ØØÖØÓÖ Ö ØÓÖ ØÝÒÒ ÓÖ ÓÑÔÙØÖÚÒ Ö Ø ÓÑÖ ÒÒ ÓÖ ØØÖØÓÖ ÐØ ÙÐ ØÒ ÔÖØÐ ÓÖÒ ÑÒÖ Èǵ Ó ÓÑÒÖ ÓÑ Ö Ò Ô ÐÑÒ ÈǺ ÓÑÖÖ ÐÚÖ ÓÖ ÑÔÐ ÖÙØ ÒÒ ÓÖ ÔÖ ÑÐØ ÓÑÖÒ ÒÓØ Ò ÓÑÔÙØÖ Ó ÒÒ ÓÖ ÖÙÖ Ú ÔÖÓ Ö ÓÑ Ö Ò ÑØ ÚØ Ð ÒÒ ÓÖ ÓÑÔÙØÖÚÒ º ËÓÑ Á ÒÓ Ò Ð Ö ØØ ÚØØÖÐØ ÙÒ Ø Ö ÓÚÖÒ Ó Ú ÑÒ ÚÐ Ú ÑÖ ÓÑÖÒ ØØ ÓÑÖ Ò ÑÒ Ò ÝÖÐÖ ÒÓÖÑØÓÒ ½ ÒÓÖÑØÓÒÖ Ö ÙÒØ Ö ÒÐ Ø ØÖ Ó ÖÓÖ Ú Ö Ð Ø ÒÐ ÙØÖÝ ÓÖ Ú ÐÖ ÓÖ Ò ÔÓÖغ ½
19 Ó ÒÒ Ó ÒÐÖ Ó Ø º Â Ö ØØ Ö ÚÖØ Ô Ö ÔÖ ÑÐ ÓÑÖÒ ØØÖØÓÖÒ Úع º Â Ö Ó Ø Á ÝÒ Ø Ö ÚØ Ö ÒØÖ ÓÑÖÒ ØÓÖÒº ÅÒ Ò ÒÖÑ Ø Ø Á ÓÖÒØÐØ Ö ÐÚØ ÒØ Ò ØØÖº ÁÒØÖ ÒØ Ö ÓÑÖÒ Ó ÒÚÒÐ Ö ØØÖØÓÖ ½ º º ÚÝ ² Àº º ÈÖ ØÐÝ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÄØØ Ò ÇÖÖ º Ù¹ Ú ÑÖ ¼¼º ʺ Ð ² Ⱥ ÛÒÖ ØÖÙØÚ ÄØØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó Å ÓÙÖ ÈÖ ½º ź ź ÆÖÖ ÈÖØ ÈÓ Ø ËÑÒØ ÓÖ Ð Ð ÁÒØÙØÓÒ Ø Ò ÄÒÖ ÄÓ ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ ØØ ËÔÐ ¼¼º ź ̺ ÊÒÖÙÔ ØØÖ ØÓÖØ ÔØÖ Ú ÒØÙØÓÒ Ø Ó ÑÓÐ ÐÓ ÖÙ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ËÔÐ ½º ʺ Ó٠ʺ ÖÓÐ ² ʺ ÓÒ ÐÖ Ò ÓÐÖ ÅØÓ Ò Ø ÅØÑØ Ó ÈÖÓÖÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÁÒØÖÒØÓÒÐ ËÙÑÑÖ ËÓÓÐ Ò ÏÓÖ ÓÔ ÇÜÓÖ Íà ÔÖÐ ½¼¹½ ¼¼¼ ÊÚ ÄØÙÖ ËÔÖÒÖ ¼¼º ½
20 Ñ ÑÖ ¼¼º Ð ÓÖ ØÙÖ¹ ÅØÑع ÓÒÓѹ Ó ËØØ Ø ØÙÖÒ Ú ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ Øغ ÊØÓÒ ÖÙÔÔ ÅÐ ÖÑ Ò ÆÓÐ ËØÖÒ ËÖ ÖÐÒØ Ò Úºµ ËØÒ ÀÓÐÑ ÌÙ ÖÓ¹ÆÒÒ Ø ÍÐÖ ÙÓÐØÞ ÌÒÖ ÅØ Ïº Å Ò ÐÒ ÓÖ Ò Ø ÒÙÑÑÖ Ö Ò ½¼º ÑÖØ ¼¼ ÁÒÐ ÑÓØ ÖÒ Ó ÒØ ØÐ ÑÓ Ñغٺ ÑØ ÖÒ ÖÚØ Ä Ìº Ñ Ö Ø ÒØÖÒØ Ðº ØÖØÖÝ ØÐÐØ Ñ ÐÒÚÐ º ÐØ Ñ»Ó ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÅØÑØ ÐÒ ÍÒÚÖ ØØ ÔÖÒ ½¼¼ ÃÒÚÒ ØØÔ»»ÛÛÛºÑغٺ»ÑÓ» ÌÖÝ À ÌÖÝ ÇÔÐ ¼¼ غ ÁËËÆ ½¹½ ¼
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ËÓ ÃÓÚ Ð Ú Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÖØ Ð Ö ØÓ Ô ÐØ Ø µ ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º
ŠРº Â Ö Ò Ò À ÖØÞ ÔÖÙÒ ¹ÊÙ ÐÐ Ö Ñ Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ö ÙÖ Ø ÓØÓÑ ØÖ ÃÙ Ð Ó Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖ Á Ø ÖØ Ò ½ ¼¼ Ø ÐÐ Ø Ú ØÖÓÒÓÑ Ö Ò Ð Ø Ð Ú Ø ÙØÖÓÐ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ØÙ Ô ØÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ó ÔÓ
q 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X.
ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ
ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ö ÑÑ Ò Ò Ò ØÚÖ Ò Ö Å Ò À Ò Ò ½ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½»¼ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÐÙØØ Ò ÔÖÓ Ø ÓÖ ÓÔÒ Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Øº ÇÔ Ú Ò Ö Ù ÖØ Ô ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø
JOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM
ÂÇ ¹ËÀÇȹ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ç ÌÇ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ä Æ ¾¼¼¾ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ»¼¾ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ë ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ
ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÎÆ Ò Ë e Î e Æ Å ÒÙØ ÆÓØ Ø Ø Ð Å ¾ ÖÙÒ Î Ú Ð ÖÚ ¼ Ñ º Ùº ÁÅ Ë Í Ç Ò º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º
ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼
Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ê Ð Ñ Ò Ò Ø Ó ØÖ Ø Ñ Ò Ê Ø Ö Ñ Ò Ä Ñ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø Ö Ñ ÑÓÖݵ Ü ÛÓÖ Þ ËØÓÖ Ö Ö Ý ÁÒØÖ ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö ÐРРѺ È Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò
Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320
*36WLO. UVHOVDIJLIWVV\VWHPHU (NVDPHQVSURMHNW,QVWLWXWIRU3ODQO JQLQJ Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier 'DQPDUNV7HNQLVNH8QLYHUVLWHW Jakob Jakobsen c958320 ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø
½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Ð Ø Ø Ø ¾º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÄÝÒ ÙÖ Ù Ë Ë Ò ÐÝ Ø ÁÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ò Ù ØÞ¹Â Ö Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¹Ñ Ð Ó Ø Øº Ùº ØØÔ»» Ø ºÔÙ ÐØ º Ùº»» м ¾ ½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
w j p j 1 w j / p / = 1
ÆÝ Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ë ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ò ÐØ¹Ñ Ò Öº Ò Ö Ð ¹ÈÓÚÐ Ò ² Æ ÓÐ Ò Ò ½¼º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö º½ Ã Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
xi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1)
ÃÙÖ Ù ¼¾¼¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÓÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµº º¹º ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ ÑØ ÖÙ ÐÓÑÑ Ö Ò Ö Ö Ø ÐРغ Ñ Ò ØØ Ø Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ô ÒÙÑÑ
ÇÚÖ Ø ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ½ ÁÒØÖÓ Ó ÒÖÐÐ ÖÖ ¾ Å ÑÐ Ð Ô Ø ØÑØ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÍÚÐ ØÐ ÙÒØ ÚÖÒ ¹ ØÙÔ ÃÒØ ÐÐÖ ÙÒØ ÚÖÒ Ê Ê ÒÓØ µ ÂÒ Ãº ÅÐ
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ
ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø
ÅÙÐØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ø ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò À ÒÒ Ä Ñ ÒÒ È Ø Ö Ò ½¼¾½ Ë Ö Ö Ã Ñ Ë ÙÐ Ð ½¼ Ä Æ ÂÍÆÁ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ IMM ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ
ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ
ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò
deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j
Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ
È Ö Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Â Ò Ä ÙØ Ö Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ Ó Æ Ð ØÐ Ò Ö Ò Î Ð Ö ÖÒ Ä ÙÖ Ò ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐ ¾ ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º ÒÙ Ö ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÈÖÓ Ø Ø Ö Ö Ñ Ñ Ö Ö Ò ØÓÐ ÙÑ Ð ÖØ ÐÚ ÒÖ ÓÔØÖ¹ Ö Ô Ö ÖØ ÑÓ Ø Ö Ò Ú Ø º ÈÖÓ
ÈÐ ÒÐ Ò Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÙÐØÙÖ ÐØ Ú Ö ÒØ Ñ Ð ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö ØØ ÇØØ Ò ¼½½ ¾µ ÄÓÙ ÌÖ Ò Ö ½ µ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ê Ò Î ØÓÖ Î ÐÕÙ Î Ð ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÚÓÖ Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÖع
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ
ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ö ÒÐ ÑÔÐ ¾
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÐ ÔØÐ ½¼µ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ Ø
ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å
ÐÖÒ Ó ØÐØÓÖÒ Ó«ÒØÐ ÒÐ ÖÝÔØÖÒ Ó ÒÖÒº ÆÓØÖ ØÐ ÙÖ Ù ÙÐ Óغ ¾¼¼¼ ÊÚÖØ ÙÖ Ù Ø ØÐ Ó ÝÐÒÐ ÔØ Ö ÃÒ ÒØ ÓÑ Ô¹ Ð Ô ÛÛÛºÑºÙºÒ ÑØÔµ ÂÓÒ Èº ÀÒ Ò ¹ÑÐ ÑØÔѺٺ ÅØÑØ ÁÒ ØØÙØ ÖÙ ÍÒÚ Ö ØØ ÁÒÐÒÒ ÁÒÓÐ ÃÔØÐ ½º ËØÖ Ø ÐÐ Ú ÓÖ
ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù
Effektivisering af det industrielle byggeri
Effektivisering af det industrielle byggeri Kandidatspeciale Byggeri og anlægssektoren Byggeledelse Aalborg universitet Sonja Dissing Pedersen Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet Civilingeniøruddannelsen
V e l k o m m e n T i l M a t e m a t i k s t u d i e t! P P α ) ν xν αν ϕ(xν ϕ P P αν αν M a t e m a t i s k R u s m a p p e
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ¾» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô Ê ÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Ð Ö ÓÐÙØ
¾
½ ¾ ÁÒ ÓÐ ½ ÆÓÑ Ò Ð ØÙÖ ¾ ØÖ Ø ÁÒ Ð Ò Ò ½½ º½ ÓÖÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÁÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ä Ú Ð Ò Ò º º
Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼
Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼ Ý ÓÖ ÄÁ ËØ Ò À Ò Ò ¾¼¼ ÁË Æ ÜÜÜÜÜÜÜÜÜ ËĹ Ó Ð Ò Ì ÓÖÚ Ð Ò Ú ¼ ½ ½ Ö Ö Ö ÓÖ ÓØÓ È Ø Ö º È Ø Ö Ò ÆÝ ÖÓ ÓØÓ Á»Ë Ô Ø
ÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ½ ÁÒØÖÓ Ó Ö Ú Ò Ø Ø Ø Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
αν x ν αν αν ϕ(x ν )
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ ÑÓ ½½º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò Å ÖØ Ò
ÁÑÔÐ Ø ÙܹÓÖÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÃÙÞÑ Ò Åº ÅĐÓÐÐ Ö Ëº ÌÙÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ
ÁÑÔÐØ ÙܹÓÖÖØ ØÖÒ ÔÓÖØ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒØ ÐÑÒØ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐÖ ÕÙØÓÒ º ÃÙÞÑÒ Åº ÅĐÓÐÐÖ Ëº ÌÙÖ ÁÒ ØØÙØ Ó ÔÔÐ ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ ÖÑÒÝ ËØØ Ó Ø ÖØ ÖØ ÔÔÖÓ ØÓ ÙÔÛÒÒ³ ÆÓÒÐÒÖ Å¹Ì ÓÖÑÙÐØÓÒ ÍÒ ÐÑØÒ ØÖØÝ ÆÙÑÖÐ
Z[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).
![Z[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).](/thumbs/77/74710948.jpg "Z[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).")
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÔÖ Ð ¾¼¼ Ð Ð Ø ÓÖÖ ÁÒ ÓÐ Ò ÐÑ Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ñ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø È Å Ð Ò ÌÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º
ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÑÔÐ À Ó ÚØ ÃÓÖÖÐØÓÒ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ Ô ½½µ ÅÒ Ø ÚÖØÖ ÑØÓ ÁÒÖÒ ÖÖ ÓÒ ÑÓÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÖÒ Ó ÐÒÒ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÈÖØÓÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÃÓÖÖÐØÓÒ Ó ÖÖ ÓÒ Ê Ê
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÃÔØÐ ½½ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ
Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø ÁÒ
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º½ ÔØ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ð Ò ÓÖ Ò Ø ÒÙÑÑ
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½ Ñ ½½º Ñ ÖØ ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò È Ø Ö ÄÙÒ
ÈÓÖØÐÓÔØÑÖÒ ÓÖ Ò ÖÐÖØÐÒ ÃÓÙÖÓ ÅÖÒ Ê ÑÙ Ò ¾¾µ ½¾º ÑÖØ ¾¼¼ ÎÐÖ ÈÖÓº ÂÒ ÐÙ Ò ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖÒ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÓÖÓÖ ØØ ÑÒ ÔÖÓØ Ö ÙÖØ ÓÑ ÐÙØÒÒ Ô ÑÒ ÙÒÒÐ ÓÑ ÚÐÒÒÖ Ñ ÖØÒÒ ØÒÐ Ò ÒÚÒØ ÑØÑØ Ú ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ Øغ
Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÀÝ ÓÐÓÖÐØ Ë ½ ÁËÆ ¾¹ ¹½¹ ÆÖº ÖÒ ËØÙ ÀÙÑÒØØ ÖÒ Ø Ñ ÓÔÖ Ö ÒÒ ÓÒ ØÖ Ñ Ò ÚÖÐÓÚÒ ÐÐÖ ØÖ Ñ ÚØÐÖ ÓÑ ÓÔÖÒ ÒÒØØ Ñ ÃÓÔÒÓÖ ÒØÖ
¾
Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ñ Ø Ñ Ø Ã Ò Ú Ò Í Ò Ú Ö Ø Ø ½½º ÙÒ ¾¼½¼ Ù Ð Ó ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ø Ò ËÐ ØÓÖÒ ÐÓÖÔÖÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Î Ð Ö Æ Ø Ð Ï Ð ¾ ÁÒ ÓÐ Ê ÙÑ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö ½ ¾ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ
LØSNING AF OPENSHOP OG FLO WSHOP PR OBLEMER Susanne Hjorth Tønder Rasm ussen L YNGBY 2001 EKSAMENSPR OJEKT NR. 00/00 IMM
Ä ËÆÁÆ ÇÈ ÆËÀÇÈ Ç ÄÇÏËÀÇÈ ÈÊÇ Ä Å Ê ËÙ ÒÒ À ÓÖØ Ì Ò Ö Ê ÑÙ Ò Ä Æ ¾¼¼½ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ¼¼»¼¼ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÙØØ Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò Ö ØÙ Ø ÓÖ ÓÔÒ¹ Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö
(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L
![(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L](/thumbs/77/74710801.jpg "(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L")
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÙÒ ¾¼¼ 2 4¹Ð Ó¹ ÐÓ Ò º ½ º À Ö Ò Ò Ö Ø ÚÖ Ø Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ø Ò Ó Ú Ø ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ô ÙÐ Ø ÓÒ Öº Ò Ð ÐÐ ÖÙÔÔ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö À Ö Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ö Ö
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ ÓÙÐ Ú Ö Ëº Ö ÒØ È½¼ ½ ¼¼ ÁÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ð ÙÒ ØÖ º Ö Ö ØÓÔ
ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ì ÓÖ Ö Ø Ù Ú Ð Ò ÔÐ Ð Û Ö Ý Ø Ñ Ö Ì ÓÖÝ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ö Ð Ð Û Ý Ø Ñ ÌÙ Ö Â Ò Ò Ì Ö Ð ÃÖ Ø Ò ÌÓÐ ØÖÙÔ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ñ Ò ÔÖÓ Øº ÈÖÓ Ø Ø Ö Ù Ö Ø Ú ÁÒ Ø ØÙØ
ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÓÖ Ø Ú Ø ÒÖ Ø Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ ÐØ Ø ÚÖ ØÖ
Ì Ø Ð Í Ö Ø Î Ð Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ò ØÓ Ð Ò Ñ Ò È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ý Ó Ã Ñ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ½º Ñ ¾¼¼ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö
ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒØÓÒ ÙÒÖ ÚÒ Ð ÐÝ ÒÒ ¹ Ó ÓÒØÖ ØÓÖÓÐ ËØÒ ÙÒÖ ËÔÐÒÐÒ Ú ØÐÓ ÁÒ ØØÙØ ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ ØØ ÁÃ͵ ¼º ÙÐ ¾¼¼½ ½ Ê ÙÑ ÒÖ ÖÒ ÑØÓÖ ØÐ ÑÒØÖÒ ØÒ ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒ¹ ØÓÒ ÇÊ ÔÔÐØÓÒÖ ÙÒÖ º Ö ÙÚÐ Ø ÓÑÔÐØ Çʹ Ý ØÑ ØÐ ÙÒÖ Ð
ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ ÖØ ÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ ÃÓÒØÒÙÖØ ÓÖÐÒÖ ¼ ÃÔØÐ ËØÔÖÚÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ Ó Ò Ó ØÓ ØÔÖÚÖ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÚÖÒ Ö ÃÔØÐ ¼ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒРʹÒÓØ ËØØ Ø Ú ÑÙ
ÃÙÖ Ù ¼¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ËÙÑÑÖÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¼» ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ
ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å
ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ÂÙÐ ÙØØÑ ÒÒ ÓÖ Ò Ò Ó ÙÑ Å ÒÞ ¾¼½ Ì
System AND3 R1 R2 R3 R4 R5
ÖÒÒ ÚÒ Ö ÖÔÖØÓÒ ÒÐÒÖ ØÐ ØÖÓÙÐ ÓÓØÒ ÓÑÒÖ Ñ Ò Ð Ó Ò ÒÐÒÖ System AND1 AND2 AND3 K1 K2 K3 K4 K5 H1 H2 H3 H4 H5 R1 R2 R3 R4 R5 ÖÙÔÔ ¹ Ì ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö Ú ¾¾¼ ÐÓÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÐÒÒ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö
ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ Ò ÇÔÐ ØÐ ËÒØÐ ½½ ÐÙ
ËØÖØ ÊÙÐÖ ÖÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ËÔÐ ØÖÖØ ¼¼½ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ
High-Z SN Search Team Supernova Cosmology Project. m-m (mag) =0.3, W L =0.7 W M =0.0 =1.0, W L = D(m-M) (mag)
Å ÏÒÓÛ ÓÒ Ö ÒÖÝ ÖÒ ÀÙØÖÖ Ï ØÖÒ Ê ÖÚ ÍÒÚÖ Øݵ ÄÖÓÒ ÂÑ ÊØÓÒ ¼¼½±µ ÄÙÑÒÓÙ ÅØØÖ ¼½±µ 00 11 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 ÖÝÓÒ ÅØØÖ ±µ 000000 111111 000000 111111 00000000 11111111
ÇÒØÓÐÓ Ø Ø Ò Ò ÆÐ ØÐ ÒÖ Ò È Ö Ö Ì ÓÑ À Ð Ö Ò Ò Ó Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ ÎÐ Ö ÌÖÓ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÓ Ô Ð ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º Ó ØÓÖ ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÁÒ Ø Å Ø Ö Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ö ÔÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ØØ Ñ¹ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ
ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼ ÊÓ Ð Ø ¾¾ ¼ ¾¼ Ñ ÑÙÖÙº Û ÑÙºÖÙº à ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ ÁÅÍ Ø Ø ÒÖº»¾¼¼ Ö Ò ¼½¼¹¾¾ Á ØØ ÔÖÓØ
ÌÃËÌ ÆÊ ¾¼¼ ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ Ã ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÌÃËÌÊ Ö ÁÅÍ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÊÇËÃÁÄ ÍÆÁÎÊËÁÌÌËÆÌÊ ÇÊ ËÌÍÁÌ ÅÌÅÌÁÃ Ç ËÁà ËÅÌ ÊË ÍÆÃÌÁÇÆÊ Á ÍÆÊÎÁËÆÁÆ ÇÊËÃÆÁÆ Ç ÆÎÆÄËÊ ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼
Analyse Numerique -- 2ieme Annee ENSEM -- Annee Version provisoire
ÇÔØ Ñ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò º Î Ò Ö ½ Ù ÐÐ Ø ¾¼¼ ÔÓÐÝÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ ¾¼¼ ¾¼¼ г Ò Ò Ñ ÒØ ÕÙ ³ ÔÖÓ Ù Ô Ò ÒØ ÔÖ Ü Ò º Å ÒØÓ Ò ÕÙ ÙÖ Ø Ò Ò Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÒ ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ñ Ø Ð³ ÓÒÒ ÙÖ Ö Ö ÕÙ Ø ÜØ Ó Ø ØÖ Ù ÙÜ ØÙ
ÖØ ÚÖÒ ØÓÖØ ÓÑ Ø Ò ÐÐÖ ÖÒ ÓÑ Ø ÒØ ÒÚÒØ ÜÑÔÐÖº ÅÒ ØÖØÒÒ ÑØ ÓÖ ÐÐ ËÝÒ ÔÙÒØÖ Ö ÚÐ ÒØÓÔ Ø Ø Ò ØÖØ ÚÐ Ø Ú ÚÖØ ÓÖÙÒØ Ñ ÙÖÒÐ ÎÒ ÐÖ ÔÙÐØÚ Î Ø ÓÑÑ ØÐ Ò Ä ÒÒ ËÔ
ØÒÒÒ ÓÑ ÃÐÓ ØÖÖÒØÖ Ìº ƺ ÌÐ ¾º ÆÓÚÑÖ ½¾ Á Ø Å Ò ÙÙ Ø ºº ÚÐØ ÀÒ³ ÖØÓÒ ÓÖ ØÖØ Ñ ËÐ Ø ØÒ ÓÒ ÙÐÒØ ÀÖº ÈÖÓ ÓÖ Äº ÇÔÔÖÑÒÒ Ó ÃÑÑÖÙÒÖ ÈÖÑÖ¹ÄÙØÒÒØ ÖÒØ ÓÑ ÓÖ Ð ØÐÐÖ Ö Ø Ò ÖØ ÒÒ ÓÖ Ð ÓÑ Ø ÒÐ Ô Ø ØÒ ÓÖ ÖÐ Ö ÓÖ ÃÚÒÖ
γ : t I R γ(t) = P(t) S.
Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Þ Ò Ò ÔÙÒØ Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Òº Ð Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÖÚ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÁÒº º ¾ Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð
ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÖÑ Ð ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑ Ö ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ù Á Ñ Ò ÂÓÙ Ó ÎĐ Đ ÒĐ Ò Ò ØÖ Ø ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð Ö Ò ÓÚ Ö Ð
ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÖÑÐ ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑÖ ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐÒ ÚÐÙ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ù ÁÑ Ò ÂÓÙÓ ÎĐĐÒĐÒÒ ØÖØ ÁÒ Ó¹ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÚÖÐ ÖÒ ÓÚÖ ÐÐ Ù Ø Ò ÖÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÒ Ò ÕÙ ØÓÒº ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÀÒÒ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ ÚÖÝ ÑÓÐ ÒÓÛ ÛØ Ø
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ð ØÖÓÒ ËÝ Ø Ñ Ö Ð ÓÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÌÁÌ Ä ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ò ÑÐ Ö Ì Å Å ÖÓ Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ Ö ÈÊÇ ÃÌÈ ÊÁÇ ½º ÖÙ Ö ½º Ñ ¾¼¼½ ÈÊÇ ÃÌ ÊÍÈÈ ½¼ ÊÍÈÈ Å Ä ÅÅ Ê Å Ð Ë ÔÔ Ö Ò Ö Ò Â Ô Ö Ð Ù Ò Ð Ê Ò ÂÙ Ø Æ Ð Ò ÇÐ
ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹ ÓÖÑÙÐÖØ ÓÑ Ò ÝÒÑ ÐÒÖ ÑÓÐ Ö ØÒ Ï ÆÐ Ò ØØÒ ÖÚÖ Ö ÂÙÒ ¾¼¼¾ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø ÒÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹
(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L
![(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L](/thumbs/69/60497485.jpg "(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L")
ÅØÑØ ÓÖÒÒ Ö ØÖØÓÒ ÓÖ Ø ÓÐ ÓÑÑÖ ÓÐ Ó Ö Ö Ò ÓÖ Ö Ø Ò ØÐ Ù ÃÒÚÒ Ô Àº ÓÑÑÖ ÓÐÒ ËÖÒ ÐÖ ÃÍ ËÝÑÓÐ ÝÒÑ ÖÒ ÌÓØ ËÍ ÍÐ Ø ÓÑÒØÓÖ ÔÖÓÐÑÖ ÒÚÒÖ ØÐ ÑØÑØ ØÙÖÒ Ò Ø ÐÚÐ ËÓÑÑÖ ÓÐÒ ØÙÙѺ Ⱥº¹ ØÙÖÒ Ö Ó ÑØ ÚÐÓÑÒº Ö Ö Ø ÐØÖÝÖ
Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼
Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ Ø Ú Ð Ó ÓÑ ØÖÝ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ ØØÔ»» ºØ Ò ÓÒº º л Ø» ËÔÓÒ ÓÖ Ý ÙÖÓÔ
ÇÒ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä ÞÐ Ó ÖÑ Ò Ò ØØ Ð ÃÓÚ Ý ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ º Ø Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ø ÖÐ Ö Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú
ÇÒ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ä ÞÐÓ ÖÑÒ Ò ØØÐ ÃÓÚ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÒÚ ØØ ÚÖÓÙ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ º ØÖ ÙÑÑÖÞÒ Ø ÖÐÖ Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ ØØ ÓÖ ÚÒ ÐØØ Ò ÜÔÒ Ú ÑØÖÜ Å Å µ ØÒ ØÖ ÐÛÝ Ü Ø ÙØÐ Ø Ø ÓÖ Û Å µ ÒÙÑÖ Ý ØѺ ÀÖ ÑÒ
ÍÖ Ò ÚÖÒ ÒÐÝ ØÐ ÑÑÒÐÒÒ Ò Ø ØÒ ¾º ØÖ ÖÙÔÔÖ Ó ÓÒÐÙÖ Ù Ö ÒÒº ÓÖ ØÑØ Ó ÓÒÒ ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐÒ Ò Ø ¹ ÒÚ ÓÖ ÓÑÒйÔØÒØÖÒ ÓÖÓÐ ØÐ ÝÒÓÐÓ¹ ÚÖ Ö Ö ØÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÚÖÒ ÒÐ
Ø ØØØ ÖºØÜØ Á ØØÔ»» غÔÙÐغٺ»ÐØ» м»ÑÑÓÔÚºØÑе Ò ÓÔÖÐ ÓÚÖ ÑÐÒÖ Ô ÔØÒØÖ Ö Ö ÒÒÑØ Ò Ò ØÝÔÖ ÓÔÖØÓÒÖ µ ÒÖØ Ú Ö Ú ÓÔÐÝ ÒÒ ÓÑ ÔÖ ÓÒÒ ÐÖ Ö ÐÖµ ÑØ ÐÒÒ ÀÖÙÓÚÖ Ò Ø Ò Òصº Ò Ö Ö Ø Ø ÙÒÖ ÚÓÖÒ ÐÒÒ Ò Ø Ò ÒÖ Î Ó ÓÔÖØÓÒ
ÃÔØÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ ØÐ ÔÖ ÓÒÒ Ô Ò ØÐÐØ ÐØ Ò Ò ÒÚÒÐ Óѹ Ö ÚÐ ÛÓÖ Ø¹ ÔÖ ÓÒÒ ÓÑ Ö Í³ Ù Ø ÓÑ Ö Ò ÔÖ ÓÒ Ô 8 ÈÖ ÓÒÒ Ö ÖÓÖ ÚÐØ ØÐ Ø ÚÖ
ÁÒÓÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ¾ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÈÖÓÐÑÖÒ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ä ÒÒ ¾º½ ÎÐ
φ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j
½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½ Å ÌÄ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ Ã ÖÒ Ð Å Ø Ó ÊÓ ÖØ Ë ØØ Ò Ö Ø Ó ÇØÓ Ö ¾¼ ¾¼½½ Ì Ø Ð Ö ÔÓÖØ ÓÒØ Ò ÓÑ ÓÔ ÙÐÐÝ ÐÔ ÙÐ ØÙ ÓÖ ÛÖ Ø Å Ì¹ Ä ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÖÒ Ð Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÓ Ý Ö Ù Ö ÓÒØ Ò Ú ÖÝ ÓÓ ÓÑÔ
Ò Ð Þ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ò ÐÓ ÙÐ Óѹ ÐÙÐ ØÓÖ ÈÖÓ Ø ÔÐÓÑ Ò Ó Ù ÁÙÒ ¾¼¼¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÙÐ ÐÙÐ ØÓ Ö ÙÐØ Ø ÙØÓÑ Ø ÐÙÐ ØÓ Ö ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÐ Ø Ò Ò Ì Ñ Ó Ö ÊÓÑ Ò ÓÒ Ù ØÓÖ ÔÖÓ Ø ºÐº Ò º Å Ö Ò ÓÐ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÑ Ø Ò ÝÓÙ
Ä Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ê ÙÖ Ú ÌÖ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö Ð ÖعÄÙ Û ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö ÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ĐÓØÞ ÇÐ Å
ÄÑØ ÌÓÖÑ ÓÖ ÙØÓÐ Ó ÊÙÖ Ú ÌÖ ÖØØÓ ÞÙÖ ÖÐÙ ÓØÓÖÖ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ù ÈÝ Ö ÐÖعÄÙÛ ¹ÍÚÖ ØĐØ ÖÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖÐØ ÚÓ ĐÓØÞ ÇÐ ÅÙ ÓÙ Ñ ÖÙÖ ¼¼ ÈÖÓº Öº ÃÝ ÃĐÓ Ñ ÙØØÖ ÈÖÓº Öº ÄÙÖ ÊĐÙ ÓÖ ÈÖÓº Öº ÊÐÔ ÆÖ ØÙÑ Ö ÑĐÙÐ ÈÖĐÙÙ
Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest
Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje
Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ð Ó ÖÓ Å Ò ÂÒÙÖ ¾¼¼¾ Ð ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø Ø ØÒ ¹ÒØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÌÁÌÄ Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ó ÖÓ Å Ò ÎÂÄÊ ËÖÒ ÄÙÒÝ¹Ö ØÒ Ò ÌÓÑ Ë ÈÊÁÇ ½º ÔØÑÖ
ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý Ø Ñ Ë ÑÓÒ ÐÓ ÖÓ ² Ö Ö Ê Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ËØÖÙ Ð Ó ½¼ ¼ Î ÒÒ Ù ØÖ ØÖ Ø Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý
ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ ËÑÓÒ ÐÓÖÓ ² ÖÖ ÊÒ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ËØÖÙÐÓ ½ ÎÒÒ Ù ØÖ ØÖØ Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ Ö Ø ÝÒÑ Ó Ð¹ÖÚع ØÒ Ò ÑÐ Ó ÓÐÐ ÓÒÐ ÔÖØÐ Ò Ø ÖÑÛÓÖ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓÑ ÐÖ ØÓÖÝ
À Ö¹ÇÖ Öµ ÍÒ Ø ÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Å ÙÖ Ó Ý Ð ¹Ê Ò ÓÒ ÖÓÙÞ Ã Ñ Ö Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð À Ö ÓØ¹Ï ØØ ÍÒ Ú Ö
ÀÖ¹ÇÖÖµ ÍÒ ØÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐØ Ù ØØÙØÓÒ ÅÙÖÓ ÝйÊÒÓÒ ÖÓÙÞ ÃÑÖÒ ÔÖØÑÒØÓ ÅØÑØ ÓÑÔÙØÖ Ò ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÍÒÚÖ Ö Ð ÀÖÓعÏØØ ÍÒÚÖ ØÝ Ö Ð º º Ö Ð ÒÙÖ ËÓØÐÒ Á ÒÓÚÒ Ø ÆØÖÐÒ ÇØÓÖ ¾¼¼¼ Ìг ÈÐÒ ½º ÏØ ÀÇÍ ¾º ÀÇÍ Ò ÜÔÐØ Ù
Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ËÑ ÐÐ Ø ¹ ÒÐÓ Ò Ë Ö Ð À Ö¹È Ð ËÓ Ñ Å ÞÙÑ Ö Ý ÆÓÚ Ñ Ö ½¼ ¾¼¼ ØÖ Ø Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÖ Ú Ò Ò ÔÓ ÒØ Ø È Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò ÒØ Ö Ò
Ø ÐÓÖØÑ ÓÖ ÓÑÔÙØÒ Ø ËÑÐÐ Ø ¹ÒÐÓ Ò ËÖÐ ÀÖ¹ÈÐ ËÓÑ ÅÞÙÑÖ Ý ÆÓÚÑÖ ¼ ¾¼¼ ØÖØ Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÒÒ ÓÖ ÚÒ Ò ÔÓÒØ Ø È Ò Ø ÔÐÒ Ò Ò ÒØÖ Ò Ø ÑÐÐ Ø ÖÐ ÒÐÓ Ò Ø Ð Ø ÔÓÒØ Ó È º Ï ÔÖ ÒØ ÖÒÓÑÞ ÐÓÖØÑ ØØ ÓÑÔÙØ Ò Ç Òµ ÜÔØ
ÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ë Ð Ý ÙÒ Ý ÂÓĐ Ð ÓÓ Ò Þ Ë Ò ÓÝ ÖÙ Ý Å Ý ¾¼¼½ ØÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ô ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ô ¹ ØÝ Û Ø
ÇÒ¹ÐÒ ÙÐÒ ÓÒ ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ ËÐÝ ÙÒ Ý ÂÓĐÐ ÓÓ Ò Þ ËÒÓÝ ÖÙ Ý ÅÝ ¾¼¼½ ØÖØ ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ Ò ÖØÖÞ Ý Ô ÓÖ ÓÔÙØÒ Ô¹ ØÝ ÛØ Ø ÒØÖÔÖØØÓÒ ØØ Ó ÜÙØÒ ÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÛØ Ô ÓÖ Ø Ø ÙÒØ ÓÔÐØ Øµ ÙÒØ Ó ÜÙØÓÒº Ì ÓÒ¹ÐÒ
Å¹Ã Ò Ú Ò Ë ÑÔÐ Ö ÐÔ Ø¹ÁÒ Ô Ò ÒØ Å¹ÁÒ Ü Ê Ð ÈÖÞÝÛ Ö ½ ËÞÝÑÓÒ Ö ÓÛ ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ð Ò ÖÓ Ë Ð Ò Ö ½ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ôغ Ì º ÍÒ Úº Ó Ä Ó Þ ÈÓÐ Ò º
Å¹Ã Ò ÚÒ ËÑÔÐÖ ÐÔعÁÒÔÒÒØ Å¹ÁÒÜ ÊÐ ÈÖÞÝÛÖ ½ ËÞÝÑÓÒ ÖÓÛ ½ ÓÒÞÐÓ ÆÚÖÖÓ ¾ Ò ÐÒÖÓ ËÐÒÖ ½ ÓÑÔÙØÖ ÒÒÖÒ Ôغ ̺ ÍÒÚº Ó ÄÓÞ ÈÓÐÒº ¾ Ôغ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚº Ó Ð Ðº Ú Êº ÖØÓÒ ËÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÏØÖÐÓÓ Òº ØÖغ
ÚÒÖØ ÃÖ Ý ØÑ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÍÖØ ÈÖÓØÖÙÔÔ ¹ ¹¼ ÐØÖÓÒ ¹ ÐØÖÓØÒ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Í ¾¼ º ¾¼¼ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÐØÖÓÒ ËÝ ØÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÌÁÌÄ ÚÒÖØ Ö Ý ØÑ ÌÅ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÈÊÇÂÃÌÈÊÁÇ ¾º Ô ¾¼¼ ¹ ¾¼º ¾¼¼ ÊÍÈÈ
INSTITUT FÜR INFORMATIK
INSTITUT FÜR INFORMATIK ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ ÈØÙÖ ÄÒÙ ÇÐÚÖ ÅØÞ ÖØ ÆÖº ¼¼ ÖÙÖÝ ½ ¾¼¼ CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT KIEL ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÁÒÓÖÑØ Ö Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÞÙ ÃÐ ÇÐ Ù Ò ØÖº ¼ ß ¾¼ ÃÐ ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ
ÈÊÌÅÆÌ Ç ÅÌÀÅÌÁÄ ËÁÆË ÄÇÊ ÍÆÁÎÊËÁÌ ÊÊÁà ÂÊË Î ÈÓÒ Ã¹ ÄÇÊ ÌÐÜ ½ ½ ÆÅÊà ÌØÐ ËÙØØÐ ÌÑ ÈÖÓØ ÔÖÓ ÇÒ Ø ÚÓÒ ÃÖÑÒ ÕÙØÓÒ ÁÒØйÓÙÒÖÝ ÎÐÙ ÈÖÓÐÑ Ò ËØÐÞØÓÒ ÔÔÐ ÅØÑØÐ ÒÐÝ ÖÙÖÝ Ø ¹ ÂÙÒ ½Ø ÙØÓÖ ÀÒÖ Î Ö ØÒ Ò ÖÒ ÈÖ Ò ËÙÔÖÚ
½ ËÐ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÇÐ Ú Ö Ä ÙÖ ÒØ ÁÅĹ ÆÊË Å Ö ÐÐ ÇÐ Ú ÖºÄ ÙÖ ÒØÔÔ º Ù Ùº Ö ÄÓÖ ÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖ ÙÒ ÖÓÑ º Ø ØÖ Ø ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓ
½ ËÐÒ ÔÓÐÖÞ ØÚ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ÇÐÚÖ ÄÙÖÒØ ÁÅĹÆÊË ÅÖ ÐÐ ÇÐÚÖºÄÙÖÒØÔÔ ºÙ ÙºÖ ÄÓÖÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖÙÒÖÓÑ ºØ ØÖØ ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÓÑÔÙØÒ ÛØ Ø ØÚ Û ÒØÖÓÙ ÒÓØÓÒ Ó Ð ÔÖÓÓ¹ÒØ ÓÖ Ø ÔÓÐÖÞ ÖÑÒØ Ó ÐÒÖ ÐÓº Ï ÔÖÓÚ
ÁÌ ÎÓÐ ÆÓ ÔÔ ß ¹»»¹ ËÛØ ² ØÐÒÖ ÏÝ Ê ØÖØ ØÚ ËÛÖÞ ÓÒÚÖ ØÖ ØÒ ØÚ ËÛÖÞ ÎÊÁÁÃÁ ËÌÌÀÁÇÍ Ò ÅÊÌÁÆ Â ÆÊ ØÖØ ÔÖØÒØ Ó ÅØØ Ò ËØØ Ø ÅÐÐ ÍÒÚÖ ØÝ ÅÓÒØÖÐ É Ò À à РØØÓÙØÐÐ ÒÖØÐÐ ÊÒØÐÝ ÚÖÒØ Ó Ø ØÚ ËÛÖÞ Ëµ ÔÖÓÒØÓÒÖ Ø Ö
ÓÖ Ò ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒ Ñ Ð Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ Ô À Ò ÖÙ Ò ÍÒ Úº Ó Ð Ø Ø Æ Ø ÖÐ Ò Ö Ö Ã ÐÐ Ö ÍÒ Úº Ó ÖÐ Ò Ò Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒ Úº Ó Ï Ö Û ÈÓÐ Ò Ë Ø Ò Ú Ò ËØÖ Ò ÍÒ Úº Ó Ñ
ÓÖÒ ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒÑÐ Ý ØÑ ÓÒ ÑÔ ÀÒ ÖÙÒ ÍÒÚº Ó ÐØ Ø ÆØÖÐÒ ÖÖ ÃÐÐÖ ÍÒÚº Ó ÖÐÒÒ Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒÚº Ó ÏÖ Û ÈÓÐÒ Ë ØÒ ÚÒ ËØÖÒ ÍÒÚº Ó Ñ ØÖÑ Ø ÆØÖÐÒ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÐÐ ÓÛ ØØ ØÖ Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒÑÓÐ ÑÔ ¼ ¼ Û ÒÓÒ¹ÖÒÓÖÑÐÞÐ
Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
ÖÔÔÓÖØ Ö ÐÚØ ØÐ ÑÖ Ñ ÍÒÚÖ ØØ Ó ÔØÐÖÒ ÒÒ ÓÖ ËÝÔй Ó ÇÑ ÓÖ ÓÖ ÒÒ Í˵ ÒØÖ ÓÖ Å٠й ÒØÖ ÇÒÓÐÓ Ó ÑØÓÐÓ ÐÒ Ô Ê Ó ÔØÐ ÑØ Ò¹ ÓÖ ÒÒ ÓÖ ÒÓÖÑØ Ó ÅØÑØ ÅÓÐÐÖÒ Åŵ
ÒÐÝ ËØØ Ø ÖÓÔ Ð ÖØÔØÒØÖ ÔÓØÒØÐ ¾¼¼ ÄÆ ÃËÅÆËÈÊÇÂÃÌ ÅÅ ÂÓ ÈÖ Ò Æʺ ½¼»¼ ÌÖÝØ ÅÅ ÌÍ ÖÔÔÓÖØ Ö ÐÚØ ØÐ ÑÖ Ñ ÍÒÚÖ ØØ Ó ÔØÐÖÒ ÒÒ ÓÖ ËÝÔй Ó ÇÑ ÓÖ ÓÖ ÒÒ Í˵ ÒØÖ ÓÖ Å٠й ÒØÖ ÇÒÓÐÓ Ó ÑØÓÐÓ ÐÒ Ô Ê Ó ÔØÐ ÑØ Ò¹ ÓÖ
ÒØÒÒ Ù ÒÙÑ Ó Ò ÖÑÒØÙÖÒÒÖ Ó ÝÒÒ Ò ÒÒ Ó Ò ØØÖÙ Ô ÃÒØ ËÐÐÒ Ø ËÐÐ ÊØØÖ Ó ÏÒØÖÐ Ù ÚÖÙÐ Ö ÙÑÝÒÖ Ò Ó Ú Ò ØÖ ÐÐØ ØÐ ÚÐÓ º Ö Ø ØØ ÑÐÐ ÚÐÐÖ Ò Ò ÒÒ ÚÖ ÙÑÝÒÖÙÖ Ó
ÊÔÔ Ò Ö Ø ÒÖ Àº ÙÑÙÒ ÓÒ ÊÙÒÚ Ò ØÓÒÙÒ À ÐÒ ÁÒÒÒÙÖ ÀÙ Ø ÓÑ Ø ÃÙÔÑÒÒÒ Ò ÆØÙÖÐÖÒ ÑÒ Ð ØÖ Àº º Ö Ø Ó ÚÖ Ò ØÐÙ ØÐ ÒÒ ÐÙ Ð Ö Ú ÀÒÖ Ð Ó ÐÖ Ð Ò¹ ÑÖÙº ÀÒ ÚÖ Ó ÒÓØÙ Ñ Ð Ð Öº Ò ÒØÙÖ ÒÖÑØ ÖÖÖ Ö ØÙ ÚÖ ÝÖ Ø ÒÒ ÐÙÒ Ð
Ä Ð Ö Ô Ò ÝÒ Ñ Ä Ò Å Ø Ò ÓÖ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ò ÐÝ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ È Ý ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙ Ö¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ó ÙÑ ÚÓ
ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ ÒÐÝ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö Ò ÓØÓÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ò Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÈÝ ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙÖ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÓÙÑ ÚÓÖÐØ ÚÓÒ ÄÙÖÒÞ Ï ÓØØ ÂÙÐ ½ ÈÙÐ Ï ÓØØ Äº ½µº ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ
AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN
AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN 10. SEMESTER MORTEN GROTKJÆR HANSEN ÅÓÖØÒ ÖÓØÖ ÀÒ Ò ¾ ØØ
Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ê ÛÖ Ø Ò Ö Ø ÉÙ Ö Í Ò Î Û Ë Ö Ó Ò ½ Ï ÖÒ Ö ÆÙØØ ¾ Ò Ð Ü Ò Ö Ë Ö Ö Ò ½ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Â ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ö Ò º Ù º º Ð ¾ ÖÑ
ÐÓÖØÑ ÓÖ ÊÛÖØÒ ÖØ ÉÙÖ Í Ò ÎÛ ËÖ ÓÒ ½ ÏÖÒÖ ÆÙØØ ¾ Ò ÐÜÒÖ ËÖÖÒ ½ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ Ì ÀÖÛ ÍÒÚÖ ØÝ ÂÖÙ ÐÑ Á ÖÐ ÖÒ ºÙººÐ ¾ ÖÑÒ Ê Ö ÒØÖ ÓÖ ÖØ Ð ÁÒØÐÐÒ ÃÁ ÑÀµ ½¾ ËÖÖĐÙÒ ÖÑÒÝ ÏÖÒÖºÆÙØغ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ ú ͺ ÄÙÚÒ ÀÚÖÐ
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÃºÅºÂº ÓÒØÖ Ö ºÎº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Ý ÅºÅº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Þ º ºÂº ÀÙÖ Ò Ü ÂºÃº Ä Ò ØÖ Üß Êº Ê Ú Äº ËØÓÙ Ü Å Ö ¾¼¼ ØÖ
ÔÔÖÓÜÑÓÒ ÐÓÖÑ ÓÖ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ ÃÅÂ ÓÒÖÖ Î ÀÐÐÓÖ ÓÒ Ý ÅÅ ÀÐÐÓÖ ÓÒ Þ Â ÀÙÖÒ Ü ÂÃ ÄÒ Ö Üß Ê ÊÚ Ä ËÓÙ Ü ÅÖ ¼¼ Ö ÁÒ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ Ó Ñ Ñ ÚÒ ÓÖ Û ÓÐÐÓÒ Ó Ù ÐÐ ÑÐÐ ÙÓÐÐÓÒ Ó Ó Ð Ù ÓÖ ÔÖ Ó Ñ Ö Ò ÐÓÒ ÓÒÒ ÜÐÝ ÓÒ Ó ÛÓ Ñ Á
ÓÑÔÙØ Ò Ë ÑÔÐ Ð ÀÓÑÓÐÓ Ý ÓÒ Æ ÒØ ËÑ Ø ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Â Ò¹ Ù ÐÐ ÙÑ ÙÑ ½ Ö Ò À Ò ¾ Ú Ë ÙÒ Ö Ò ÎÓÐ Ñ Ö Ï Ð Ö ½ Ä ÓÖ ØÓ Ö ÅÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÐÙÐ ÁÅ ¹ º Ⱥ ¼
ÓÑÔÙØÒ ËÑÔÐÐ ÀÓÑÓÐÓÝ ÓÒ ÆÒØ ËÑØ ÆÓÖÑÐ ÓÖÑ ÐÓÖØÑ ÂÒ¹ÙÐÐÙÑ ÙÑ ½ ÖÒ ÀÒ ¾ Ú ËÙÒÖ Ò ÎÓÐÑÖ ÏÐÖ ½ ÄÓÖØÓÖ ÅÓÐ ØÓÒ Ø ÐÙÐ ÁŹº Ⱥ ¼½ ÖÒÓÐ ÖÒ ¾ ÍÒÚÖ ØĐØ ÖÐÒÒ¹ÆĐÙÖÒÖ ÅØÑØ ÁÒ ØØÙØ ÑÖ ØÖº ½ ½»¾ ½¼ ÖÐÒÒ ÖÑÒÝ ÍÒÚÖ ØÝ
Ö Ñ Ø Ë Ò Ê ÓÒ Ö ÁÐ Ò Î Ö ÓÒØ ÒØ ½ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ½¾ È Ý Ð ÙÑÔØ ÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÑ Ø ËÒ ÊÓÒÖ ÁÐÒ ÎÖ ÓÒØÒØ ½ ÌÖÒ ÐØÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓÐÑ ½¾ ÈÝ Ð ÙÑÔØÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì ÖØ ÖÓÙÒ º º º º º º º
Ê ÓÒ¹ ÅÓ Ð ØÖ Ø ÓÒ Â Ö ÑÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø º Ö Ð Ýº Ù Â Ñ Êº Ä ÖÙ Ð ÖÙ Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Â Ó Ê Ó Ö Ó Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Ù Ù Ø ¾¼¼ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖ Ö Ñ Ãº Ê Ñ
ÊÓÒ¹ ÅÓÐ ØÖØÓÒ ÂÖÑÝ ÓÒØ ÓÒØ ºÖÐݺ٠ÂÑ Êº ÄÖÙ ÐÖÙ ÑÖÓ ÓغÓÑ ÂÓ ÊÓ ÖÓÑÖÓ ÓغÓÑ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖÖÑ Ãº ÊÑÒ ÖÖÑÑÖÓ ÓغÓÑ ÅÖÓ ÓØ Ê Ö ÅÖÓ ÓØ ÓÖÔÓÖØÓÒ ÇÒ ÅÖÓ ÓØ ÏÝ ÊÑÓÒ Ï ¼¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÖ ÖºÑÖÓ
ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼
ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ² ÃÑ Ò ÓÖÒ ÇÔÐ ËÒØÐ ½½ ½º ÙÚ ¾¼¼ ÌÖÝ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ØØ Ò ÔÖÓØ Ö ÙÖØ Ú ÐÓÖ ÍÒÚÖ
Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004)
Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004) 1a n = rk + 2. m = 2k + 2(r 1)(k 1). Dijkstra: O(m log n) = O((2k + 2(r 1)(k 1))log(rk + 2)) = O(rk log(rk)). 1b 2 / 1 t 1 2 1 / 1 3 / 3 1 3 s 0 / 0 På grafen
à ÊÆ Ä Ê Å ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈ Ê ÌÇÊË Î ÁÌ ËÄ Î Î Ë Ä ØÖ Øº Ó Ö Ñ ÜÔ Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ð À Ð ÖØ Ô Ö ÜÔÐ Ò Ò ÓÒØ ÜØ Û Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó Ô Ù Ó ÒÚ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ º Ò Û ÓÑ ØÖ Ô¹ Ô
ÃÊÆÄ ÊÅ ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈÊÌÇÊË ÎÁÌËÄÎ ÎËÄ ØÖغ Ó ÖÑ ÜÔÒ ÓÒ Ò ÔÖÐ ÀÐÖØ Ô Ö ÜÔÐÒ Ò ÓÒØÜØ ÛØ Ø ØÓÖÝ Ó Ô ÙÓÒÚÖ ÓÔÖØÓÖ º ÒÛ ÓÑØÖ Ô¹ ÔÖÓ ÓÙØÐÒ ÓÒÒØÒ ÓØ Ö º Ò ØÖØÚ Öѹ ÔÖÓÙÖ Ù Ø Û Ò ØÓ ÚÒ ÙÒØÓÒ ÒØ ÖÑ ÓÖ Ê Þ ÓÖ Ø ÜÔÒ
Matematiklærerdag 2008
Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit
ÈÖ Ò ÔÐ ÓÖ Ë ÙÖ ËÝ Ø Ñ Ò Â Ò ÂĐÙÖ Ò ÏÓÐ ÓÒ ÓÐÐ ÌÖ Ò ØÝ Ì ÖÑ ¾¼¼¾ ËÙ Ñ ØØ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø ÓØÓÖ Ó È ÐÓ ÓÔ Ý Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÇÜ ÓÖ Í
ÈÖÒÔÐ ÓÖ ËÙÖ ËÝ ØÑ Ò ÂÒ ÂĐÙÖÒ ÏÓÐ ÓÒ ÓÐÐ ÌÖÒØÝ ÌÖÑ ¾¼¼¾ ËÙÑØØ Ò ÔÖØÐ ÙÐ ÐÐÑÒØ Ó Ø ÖÕÙÖÑÒØ ÓÖ Ø ÓØÓÖ Ó ÈÐÓ ÓÔÝ Ò ÓÑÔÙØØÓÒ ÇÜÓÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÓÑÔÙØÒ ÄÓÖØÓÖÝ ÈÖÓÖÑÑÒ Ê Ö ÖÓÙÔ ØÖØ ØØ Ò Ø ÓÑÔÙØÖ ÒØÛÓÖ Û ÑÓÖÒ ÓØÝ
ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÖÐ Ò Ò¹ÆÙÖ Ñ ÙÖ Ö Ó ÅÙÐØ Ñ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò Å Ø Ö Ì ËØ Ð Þ Ò Ø Ø ÆÒ ÈÖÓ Ø ÓÒ Èµ Ð ÓÖ Ø Ñ ËØ Ð ÖÙÒ Ø ÆÒ ÈÖÓ Ø ÓÒ Èµ ¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ý Ù
ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÖÐÒÒ¹ÆÙÖÑÙÖ Ö Ó ÅÙÐØÑ ÓÑÑÙÒØÓÒ Ò ËÒÐ ÈÖÓ Ò Å ØÖ Ì ËØÐÞÒ Ø Ø ÆÒ ÈÖÓØÓÒ Èµ ÐÓÖØÑ ËØÐ ÖÙÒ Ø ÆÒ ÈÖÓØÓÒ Èµ¹ÐÓÖØÑÙ Ý ÙÒÒ ÈÆ ËÙÔÖÚ ÓÖ ÈÖÓº Ôк¹ÁÒº ÏÐØÖ ÃÐÐÖÑÒÒ ÖÐÒÒ ÅÝ ÖÐĐÖÙÒ Á ÚÖ Ö ÖØ ÓÒ ÖÑ ÀÐ ÙÒ ÓÒ
À ÐÝ ÙÖ Ø ËÝÑÑ ØÖ ÒÚ ÐÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÎ ÁÚ Ò ËÐ ÔÒ Ö Ý Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ä Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ò Ð Ø Â Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ò Â ¾
ÀÐÝ ÙÖØ ËÝÑÑØÖÒÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÀÝÔÖÓÐ ËÎ ÁÚÒ ËÐÔÒÖ Ý ÙÙ Ø ¼ ¼¼ ØÖØ ÄØ Ñ Ò ÖÐ ÑØÖÜ ÛØÙÐÐ ÓÐÙÑÒ ÖÒÒ ÐØ Â Ò Ò ÓÒÐ ÑØÖÜ Ó Ò Â º ÌÝÔÖÓÐ ÒÙÐÖ ÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ ÀËε Ó Ø ÔÖ Âµ Ò Í Î Í ÓÖØÓÓÒÐ ÔÓ ØÚ ÒØÓÒÐ Ò Î Â¹ÓÖØÓÓÒÐ
ijÇÊ ÆÁË ÌÁÇÆ Ä Ê ÈÌÇÄÇ Á ÅÇ ÊÆ Ô Ö ÊÓ ÖØ ÊÓÐÐ Ò Ê ÙÑ º ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ ÙÒ ÚÙ ³ Ò Ñ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú ÖÝÔ¹ ØÓ Ö Ô ÕÙ ÙØ Ð Ò Ð ÖÝÔØÓ Ö Ô ØÙ ÐÐ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙ Ö ¹ Ú Ö Ô
ijÇÊÆÁËÌÁÇÆ Ä ÊÈÌÇÄÇÁ ÅÇÊÆ ÔÖ ÊÓÖØ ÊÓÐÐÒ Ê ÙѺ ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ ÙÒ ÚÙ ³Ò ÑÐ ÔÖÑØÚ ÖÝÔ¹ ØÓÖÔÕÙ ÙØÐ Ò Ð ÖÝÔØÓÖÔ ØÙÐÐ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙÖ ¹ ÚÖ ÔÖÓØÓÓÐ ØÒÖ Ð ÕÙ ÓÙ ÑÓÒ Ð ÕÙ º ÆÓÙ ÝÓÒ ÑØØÖ Ò ÔÖ ÔØÚ ÔÖÑØÚ Ú Ð Ö ÓÑÔÐÜ Ô¹ ÔÐØÓÒ