γ : t I R γ(t) = P(t) S.

Transkript

1 Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Þ Ò Ò ÔÙÒØ Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Òº Ð Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÖÚ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÁÒº º ¾ Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð ÖÚ Ð Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð ÓÔ Ö º Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ó Ø Ø Ö ÔÔ Ò Ø Ð Ú ØÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ö Ð ¹ ÙÙÖ ¾ Ä Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð ÖÚ Ð Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖÚ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò ÓÔ Ö Ò ¾¼¼ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ñ Ð Ú Ò Ö Ò ½ ½ ¹ ½ ¼ Ö Ø Û Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö Ð ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð º Öغ Ì Ò ÓÖ Ò ÙÒÒ Ò Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Þ Ð Ø Ò ÓÑ ØÖ ÖÓÓØ Ò ÐÓ Ø Ò Ú Ò Ú ÒØÙ Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Òº À Ø ÓÒÞ Ó Ð Ø ÐÐ Ò ÓÑ ÐÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Û ØØ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖ Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ò Ö Ð ØÓÔÓÐÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó Ø Òº Ø ÒØ Ú Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÙÒ Ñ ÒØ Ð Û ØØ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Þ Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò ÙÞ Ú Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Û Ò Ö Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ ÓÒ Ò Ð Ö Ú Ò º ÁÒ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÙÛ Ò Û Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÐÐ Ö Ö Ø ÔÖ Ò Û Ó ÖÙ ÑØ Ø Ò ÖØ Ö Ø Ò ÛÓÖ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ð Ñ Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º Î ÖÚÓÐ Ò ÔÖ Ò Û Ú Ö ÐÐ Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ò Ò Ð Ö Ú Ð Ú ØÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ø Ò ÓÖ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò Þ Ò Ø Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ø Ö Ô ÒÔÖÓ ÙØ Ø Ò Ö Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÚÓ Ö Ò ÞÓ Ò Ñ Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Òº º½ ÈÙÒØ ÙÖØ Ò Ï ÚÓ Ö Ò Ò Þ Ô Ö Ö Ò ÒØÖ Ð Ö Ô Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò º Ø Ò ÞÓ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ö Ô Ø Û Ð Þ Ò Ò Ö Ô Ø ÛÓÖ Ø Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ò Ö Ö ÔÔ Òº Ï Ø Ø ØÖ Ø Ø Ú Ö Ð Ö Ñ Ø Ø Ö Ô ÔÙÒس Ù Ø ÙÐ Ñ Ø ÙÒ º ÈÖ Ñ Ø Ú Ö ÔÔ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø Ò Ö ÓÑ Ø Ò ÙÒ Ò Ø Û Ö Ò Ö Ö ÔÔ Ò ÓÔØÖ Ò Û Ö Ò Ö ÞÓÙ Ò ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Ò ÒÞº Ò Þ ÓÒ Ò Ö Ö ÛÓÖ Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ü ÓÑ Ø Ñ Ø Ó º Ö Ò ÓÔØÖ Ò Ü ÓÑ ³ Þ Ò Ø ÓÙÛ Ò Ð ÑÔÐ Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ø ÓÖ ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÔÔ Òº Ï ÚÓÐ Ò Ö ÐÚ Ò Ü ÓÑ Ø ÓÔ ÓÙÛ Ú Ò Ð¹ Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º À Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Òº ÁÒ Ø Ò Ð ÔÖ Ò Ú Ò Ò Ú Òغ

2 ÁÒ Ñ Ø Ö Ð Û Ö Ð ÓÑ ÓÒ Ò Ú Ò Ò ÐÐ ÖÐ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø ÞÓÒ Ø ÓÔ ØÛ ÙØÓ³ ÓØ Ò ÓÔ Ð Ö ººº Ø Þ Ò ÐÐ Ñ Ð ÙÖØ Ò Ò Ò Ö Ø Ö Ø ÚÓÓÖ ÙÖØ Ò Ò Ø Þ Þ Ò Ò Þ Ö Ú Ò ÖÙ ÑØ Ô Ð Ò Ò Ø Þ Ò Ò Þ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð ÙÖ Òº ÙÖØ Ò Ò Þ Ò Ú Þ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Û ÓÒØÐ Ò Þ Ò ÓÓ Ú Ö Öº Ò ÙÖØ Ò Ò ÛÓÖ Ò ÓÙÛ Ð Ø Þ Ò ÓÔ ÓÙÛ Ù Ø Þ Ö Ú Ð ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð ØÖ Ò Òº À Ø Ð Ö Ð Ñ Ø Ú Ð Ú Ò Ò ÙÖØ Ò ÓÔ Ò ÓÒ Ò Ð Ò ÔÐ Ø Ø Ò ÓÒ Ò ÓÖØ ÙÙÖØ ÒÓ Ñ Ò Û Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò º Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÙÖØ Ò Ñ Ø Ò ÖÔ Ô Ð ÔÐ Ø Ò Ò ÖÔ Ô Ð Ø Ø Ôº Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÜÔÐÓ Ú Ò Ò ÓÒ Ò Ð Ò ÖÓØ Ñ Ø Ò ÓÒ Ò ÓÖØ ÙÖ Ò Ò Ðº Ò Ò Ö ÚÓÓÖ Ð ÓØ Ò Ú Ò ØÛ Ñ ÔÙÒØ Ò ÑÑ Ö Ð ØÛ Ñ ÔÙÒØ Ò Ð Ö Ö Ò Ö ÔÖ Ú Ò Ò ÖÔ Ô Ð ÔÐ Ø Ò Ò ÖÔ Ô Ð Ø Ø Ôº À Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÓÙ Ø Ò ÜØÖ ÔÓÐ Ø Ú Ò ÓÒÞ ÖÚ Ö Ò Ò ÓÑ Ø Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ò Ú ÖÑÓ Ò ÚÓÓÖ Ø Ò Ò Ò Ø ÙÖ Òº Á Ö Ý ÔÖÓ Ø ÓÙÛ Ò Ð Ò ÓÐÐ Ø Ú Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òº Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ ÑÓ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÒÓ Ñ Ò Û ÖÙ ÑØ Ø º ÊÙ ÑØ Ø Ò Ø Ð Ø Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ø ØÖÙØÙÙÖº À Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ô Ò Ö ÒØ ÐÑ Ø ÙÒ Ø Ú Ò Ò Ö ÒØ Ö Ö ÖÙ ÑØ Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Øµº Ï ÞÙÐÐ Ò ØÖ Ø Ò Ø ÔÐ Ù Ð Ø Ñ Ò Ò ÖÒ ÔÓ ØÙÐ Ö Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º º¾ Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø À Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö ÚÓÖÑØ Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÓÑ ÓÔÔ ÖÚÐ º Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ Û Ö Ð º Ò Ð Ò Û Ò ÚÖ ÙÙÖ ¾ À Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ò ÖØ ÛÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò ÒØ Ð Ð Ö ÐØ Ð ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÖØ Ò n 2 ÖØ Òµº ÒÙ Ò Ñ Ò ÓÚ Ö Ö Ð ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÔÖ Ò ÞÓÒ Ö Ø ÙÐÔÑ Ð Ú Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ ÁÒ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÖÙ ÑØ Ø Ò

3 ÖÓÑ Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Þ Û ÐÐ Ò Û Ö Ö Ú Ò ÞÓÒ Ö Ö Ò Ø Ò Ò Ò Ó Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ º À Ø ÒØÛÓÓÖ Ú Ø Ò ÞÓ Ð Ð Ø Ù Ø Ø ÚÓÐ Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ó Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ø ÓÒ Ð Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ E 2 Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò ØÐ Ø Ò Ù Ø ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖØ Ò Û Ö Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ò Ø ÒÓ º Ò ÖØ Ö Ø Ò ØÙ Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò ØÙ R 2 º À Ø Ð Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Þ º ¾ µ Ò Ò ÖØ ÛÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò ÒØ Ð Ð Ö ÐØ Ð ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÖØ Òº Ì Ò Ò ÓÓ ÔÓÐ Ò ÓÖÖ Ø Ø ÙÒÒ Ò Ð Ò Þ Ò Ö Ñ Ò Ø Ò ¾ ÖØ Ò ÒÓ º ÎÓÓÖ Ø Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ò ÖØ Þ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ò f g... ÑÓ Ð º À Ö Ô Ò Û Ð Ò ÖÔÖÓ Ø ØÓ ÔÓÐ Ò ÛÓÖ Ò Ö Ò Ø ÓÖÖ Ø Ð º Å Ö ØÓÖÔÖÓ Ø Ò Ð Ò ÖÔÖÓ Ø Û ÖÒ Ò Ö Ø Ö ¹ Ò Ð ÐÓÖÖ Ø ÛÓÖ Ø ØÓ Ô Ø Ø Ò Ð Ø ØÓØ Ó Ð º Å Ö ÓÔ Ø Û ÒÒ Ö Û Ò Ð Ò ÖÓÒ Ò Ô Ð ÔÙÒØ Ø Ú Ö Ö Ù ØÚ Ö ÖÓØ Ò Û ØÓÔÓÐÓ ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ö Ò Ñ Ö Ò Ö Òº S ÙÙÖ ¾ ÓÑ Ú Ò U Ò V Ò S ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ø Ö Ö µº ÓÖ Ò n ÖØ Ò Ò Ö R n (U,f) Ò (V,g) Ú Ò ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ò Ù ØÛ Ó Ö¹ Ò Ø Ò Ø Ð Ð µ Ò Ø ÓÚ ÖÐ Ô º Ö Ð Ø ØÙ Ò Þ Ó Ö Ò Ø Ò Ö Ø Ö ÖØ ¹ Ö ÒØ Ö Ö Ð Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ï ÙÒ ÖÙ Ò Û ÚÓÐ Ò Ò Ø º ËØ Ð Ø S Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò º Ò n¹ ÖØ Ú Ò Ò ÔÙÒØ P Ú Ò S Ò Ô Ö (U,κ) Û Ö U S Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò P Ú Ø Ò κ Ò Ø Ú Ð Ò κ : U O R n Ñ Ø O Ò ÓÔ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò R n º Ò ÖØ (U,κ) ÚÓ Ø Ò Ö ÔÙÒØ P U S Ó Ö Ò Ø Ò (x 1,x 2,...,x n ) ØÓ Ò Ö ÓÓÖ (x 1,x 2,...,x n ) κ(p) R n º Ï ÒÓØ Ö Ò ÓÓ Û Ð ÓÖØ Ö (x i ) (x 1,x 2,...,x n ) Û Ö Ø ÐÞÛ Ò i = 1,2,...,nº Ó Ø Ú Ò ÔÙÒØ Ò Ñ Ø Û Ö Ò Ú Ò ÙÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ñ Ò Þ Ò Ð Ò Ð Ò Ú Ò ÔÙÒØ Ò Ú Ò Ò Ú Ö Ø Ø Ò Ö ÔÙÒØ Ò Ú Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ø Ù Ø Ñ Ò º Ò Ú Ö Ø Ø Ð Ø ÐÓ Ð ÓÔ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ð ³ Ò Ø Ò Ô Ð ÒØ Ð Ñ Ò º Î Ð Ò κ Ö Ø ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ð ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò U Ú Ò S Ú Ò Ò ÓÑÑ Ú Ò ØÖÙØÙÖ Ò ÓÔ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò O R n غ Ò ÖØ Ø Ò Ó Ö Ò Ø Ö Ò Ú Ò U Ò ÖØ ÛÓÖ Ø ÓÓ Û Ð Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ú Ò U ÒÓ Ñ º Ó Ö Ò Ø ÒÐ Ò Ò Ò O ÛÓÖ Ò Ñ Ø κ 1 Ø ÖÙ Ö Ø Ò Ö Uº Ò ÖØ ÑÓ Ø Ò Ø Ú ÓÒØ ÒÙ Ð Ò Þ Ò

4 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¼ Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ö R 2 º Ò Ø Ú Ð Ò κ Ø ÓÒØ ÒÙ Ð κ Ò κ 1 ÓÒØ ÒÙ Þ Òº Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ò ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ º Ï ØÓÒ Ò ÐÐ ÒÓ Ò Ò º ¾ º S P g ÙÙÖ ¾ Ò Ú Ö ÖÓØ Ò Ú Ò º ¾ ØÓÓÒØ Ó Ø ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ò Ð Ò Ñ Ø Ú Ò R n Ò Ö R n Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ f 1 ÚÓÐ ÓÓÖ g Ø ÛÓÖ Ø g f 1 ÒÓ Ñ µº Ò n¹ ØÐ ÓÔ S Ò ÓÐÐ Ø ÖØ Ò {(U α,κ α )} ÞÓ Ø {U α } Ò ÓÚ Ö Ò Ú Ò S Ø Û Ð Þ Ò S = α U α º ÓÓÖ Ò ØÐ ÛÓÖ Ø Ö ÔÙÒØ Ú Ò S Ñ Ò Ø Ò Ò Ö Ò ÖØ Ö Øº ÓÓÖ ØÐ ÓÔ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò S ÛÓÖ Ø Ø ÑÓ Ð Ò ÐÝ Ø Ö Ú Ò Ò Ò Ñ Ò ÚÓÓÖ Ð ÓÚ Ö Ö ÒØ Ö Ö Ò ÔÖ Ø Òº ÙÙÖ ¼ Ò ÖØ Ø Ò Ð Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ö ¾ ÙÐ ÖÙ ÑØ º ÇÔ ÖØ Ð Ø Ø Ò ØÙ Ò ÅÓÒØÖ Ð Ò È Ö ÓÔ ØÙ Ò Ó ÓØ Ò Ä Ó º Ë Ñ ÒÚ ØØ Ò ÙÒÒ Ò Û Ø ÚÓÐ Ò Þ Òº À Ø Ò Ò ØÖÙØÙÙÖÐÓÞ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Sº Þ ÛÓÖ Ø Ú Ö Ð Ò Ð Ö ÐØ Ð ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ò Ò Þ ÐÚ ÖÞ ¹ Ñ Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ØÙ ÚÓÓÖ ØÙ Ò ÖØ Ö Ø Ñ Ø Ò Ö ÛÓÓÖ Ò Þ ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ò

5 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ½ ÛÓÖ Ò Ó Ö Ò Ø Ö º Ð S Ð Ñ Ð ÓÚ Ö Ø ÓÓÖ ÞÙÐ Ò Ð ÓÚ Ö Ò Ò ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÚÓÐ Ó Ò Ú Ö ÒØ Ö Ö Þ Ò Ò Ø S Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Øº À Ø Ò Ú Ò Ò ÖØ Ò Ó Ö Ø Ø Ô Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ º Ø Ö ÚÓÓÖ Ø Ö Ò Ò Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÒÓ Û ÒØ Û Ò Ò Ø Û Ø Ò Ó Ø Ò Ò ÓÔ ÖØ ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ò Ñ Ø Ø Ò Ò ÓÔ Ø Ö ¹ ÓÔÔ ÖÚÐ º Þ Ò ÓÖÑ Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ñ ØÖ º Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø ÖÙ ÑØ Ø Ö Ø Ø Þ ÜØÖ ØÖÙØÙÙÖº Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÚÓÐ Ø Ù Ø Ò Ø ÒÚ Ö ¹ Ð Ò Ò Ò ÛÓÖ Ø Ô Ð ÓÓÖ Ò Ö ¹ Ñ ¹ Ò ÑÔÙÐ Ú Ö Ð Ò Ò Ñ Ò Ú Ø ÓÓÖ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖº º ÊÙ ÑØ Ø Ú Ò ÊÌ Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÙ ÔÐ Ù Ð ÔÖÓ Ö Ò Ø Ñ Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º Ö¹ ØÓ ÛÓÖ Ø Ò Ð Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÓ Ö Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ñ Ø Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÙÛ Ðº À Ö ÑÓ Ø Ñ Ò Ò Ò Ò Ò Ñ ÔÙÒØ Ñ Ø ÖÓÔ Ò Ð ÐÓÔ Ò ÐÓ º Þ ÐÓ Ó Ø ÚÓÓÖÐÓÔ Ð Ñ Ð Ò Ø ÒÔ Ö ÙÒ ÓÖѵ Ø ÐÓÔ Ò Ð Ñ Ö Ò Ø Ø Ð Ø Øº Ö ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÓÔ ÔÐ Ø Ú Ò Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ù ÓÔ ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ñ ÔÙÒص ÓÓÖØ ÒÙ Ò Ò Ù Ô Ð Ø Ø Ô Ò Ñ Ð Ø t ÐÓ ÒÛ Ø Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò P = P(t) ÔÐ Ø Ú Ò Øº ÎÓÓÖ Ò Þ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð I Ö Ù Ò Ø γ : t I R γ(t) = P(t) S. Ø Ò ÖÓÑÑ Ò S Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Öº Ö Þ Ò Ø ÐÐÓÞ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò Û Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ú Òº Ò ÞÓ³Ò ÚÓÓÖ Ð Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÔÙÒØØÖ Ò Ø Ò ØÖ Ò Ñ Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ñ Ø Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÙÛ Ð Þ º ½µº À Ö Ò x Ø Ò Ú Ò ÔÙÒØØÖ Ò ØÓØ Ø Ø Ø ÓÒ O Ò t Ú ÖÐÓÔ Ò Ø Ò Ø Ú ÖØÖ Ù Ø Oº Ä Ø Ò Ð Ò Þ Ò Ú Ò ÖÓÓØ Ð Ò ÚÓÓÖ Ø Ö Ú Ò Ú Ò ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º µ ÙÙÖ ½ Ï Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÔÙÒØØÖ Òº Ú ÖØ Ð Ð Ò Ú Ò Û Ö Ð Ð Ò ÓÑ Ò ÓÚ Ö Ò Ñ Ø ÙÖØ Ò Ò Û Ö ØÖ Ò Ø Ð Ø Øº Ð Ø Ò Ð Ò ÑÓ Ø Ñ Ò Ò Ò Ò ÓÐ Ô Ø Ú Ò Ö Ö Ò Ð Ò Ð ØÔÙÐ Ò Ó γ¹õù ÒØ Û ÖÚ Ò ÖÙ ÑØ Ð Ñ Ø Ò Ò Ò Ø ÙÙÖ Û Ö Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÙÛ Ðº À Ø ÖÙ Ð Ó Ò Ø Ð Ù Ø Ö Ð ÓÐ Ô Ø ÓÐÐ Ø Ñ Ø Ø ÖÑ ÓØÓÒ Ò Ø Ù Òº À Ø Ð Ò Ú Ò ÓØÓÒ Ò Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø ÚÓÐ Ú Ò ÑÔ Ö Ú Ø Ø Ð ÙÒ Ú Ö Ð Ø Ø Ú Ò ÚÓÓÖÔÐ ÒØ Ò Ú Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÓÐÚ Ò Ò Ú Ù Ñ Ø Û Ð Þ Ò ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò Ò Ð Ò Ú Ù Ñ ÓÒ Ò Ð Ú Ò Û Ò ØÓ Ø Ò Ú Ò ÖÓÒ Ò Ú Ò ÓÐ Ò Ø ÒØ Ò Ø Ø Ò ÔÓÐ Ö Ø Ú Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÓÐÚ Òº

6 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¾ ÓÙÛ ÒÙ Ò Ö Ö Ø Ø ÓÒ P Ø Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Û ÖÒ Ñغ À Ø Ö Ö Ø Ø ÓÒ Ð Ò ÒÓ ÓÑ Ø Ñ Ø Ò Û Ö Ð Ð Ò Ò S Ø Ö Ú Òº ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ò Ñ Ò Ò Ò Ò Ò ÚÐ ØÙ Û Ö Ò ÓÔ Ò Þ Ö Ø Ø Ô Ò ÓÔ Ò Þ Ö ÔÐ Ø Ø Ö Ö Ò Ð ÛÓÖ Ø Ö Ø Ö º Ø t V Ú Ò Ú ÖØÖ Ú Ò Ø Ö Ö Ò Ð Ò Ø t O Ú Ò ÓÒØÚ Ò Ø Ú Ò Ø Ö Ø Ö Ö Ö Ò Ð ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ø Ö Ö Ø Ø ÓÒ P Ö ØÖ Ö º ÁÒ Ò ÛØÓÒ Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ú Ø Ð ÓÓÖ Ú Ö Ó Ö Ò Ø Ò (t,x,y,z) R 4 º ÖÓÑ ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ò ØÛ Ö Ö Ø Ø ÓÒ P Ø Ò Ò Ö Û Ö Ð Ð Ò Ö Ø Ò Ø Ò t V Ò t O Ö ØÖ ÖØ ÚÓÓÖ Þ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ñ Ø ÐÓ ÓÔ P º Å Ò Ú ÖÓÒ Ö Ø ÐØ ÒÙ Ø Ö Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò U Ú Ò S Ø Ø ÞÓ Ò Ø ÚÓÓÖ Ö ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ù Ø U Ú Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò (t V,t O,t V,t O ) Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÚÓÖÑ Òº ÖØ (U,κ) Ñ Ø U S Ò κ(e) = (t V,t O,t V,t O ) Ø Ò Ö ÖÓ Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ðº Ö Ö ÓÒ Ö Ø Ð Ø Ò Ö Ö Ø Ø ÓÒ ÓÓÖ Ð Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ø ÖÙ ÓÑ Ò Ö ÖÔÙÐ Ñ Ø e Ú Ö ÓÒ Ò º Ð Ø Ð Ð ÐÓØ Ò ÞÓÙ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÓÓÖ Ñ Ö Ò ØÛ Ö Ö Ò Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö Ø Ø ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò Þ Òº Ï Ô Ö Ò ÖÓÑ Ò ÓÚ Ò Ø Ò ÓÒ ØÖÙØ ÐÐ Û Ö Ð Ð Ò Ò ØÓØ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò V Ú Ò S ÞÓ Ø e Ò P Ö Ô Ø Ú Ð e Ò P ÓÓÖ Ð Ø ØÛ Ö ÖÔÙÐ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ö ÓÒ Òº Ø ÛÓÖ Ø Ñ Ø Û Ö Ú Ò Ò º ¾º ÓÓÖ ÒÙ ÙÙÖ ¾ ÌÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ò Ò Ò ÙÖØ Ò Ò ÖØ ÓÓÖ Ö Ö ÖÔÙÐ Ò Ò Ø Ö Ø Ö Òº Ê ÖÓ Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÛÓÖ Ò ÚÓÖÑ ÓÓÖ Ø Ò Ú Ò Ú ÖØÖ Ò ÓÒØÚ Ò Ø Ú Ò Þ Ö ÖÔÙÐ Òº ÖÙ ÑØ Ø S Ð Ô Û Ð Ñ Ð Ò ÖØ Ø Ö Ò Ò ÓÔ ÓÚ Ò Ø Ò Û Þ ÓÑØ Ñ Ò ØÓØ Ù Ø ÔÖ ÖÙ ÑØ Ø Ò Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Øº Ö Þ Ò Ò Ø ÒÓ Ñ Ñ Ò Ö ÒÓ Ò Ö Ñ Ò Ö Ò ÓÑ ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø ÚÓÓÖÞ Òº Ï ÒÓ Ñ Ò Ö ØÛ º ½º Ö Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò Ø ÞÛ ÖÑ Û ÐÐ ÙÖ Û Ò ÐØ Ò Ñ ¹ ÔÙÒØ Òµ Ò ÚÓÓÖÞ Ö Ú Ò Þ ÐØ Ú Ò Ò ÐÓ Û Ö Ò Ø ÒÓÓ Þ Ð ÖÛ ÒÔ Ö Ó Ø Ø ÐÓÔ Ò Ð Ñ Ö Ò Ø Ø Ð Ø Øº à ÒÑ Ö Ú Ö Ö Ö ÐØ ÓÓÖ Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò (x,y,z) ÓÑ Þ Ú Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ö Òº Ò Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÛÓÖ Ò ÒÙ Ú Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò ØÓ ÚÓ Ò Ñ Ð Ø Ö Ø Ð ÔÐ Ø Ó Ö Ò Ø Ò (x,y,z) Ú Ò Ø Ñ ÔÙÒØ P Û Ö ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ô t Ø ÐÓ Ú Ò P ÒÛ Ø ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÛÓÖ Ø Û Ö ÒÓÑ Òº Ï Ö Ò ÞÓ Ò ÖØ e (t,x,y,z)º À Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø ÞÓ ÓÒ ØÖÙ Ö Ø ÚÓÓÖ Ò ÙÖ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÓÖ Ò (t,x,y,z) Û Ò Ú Ö ÐÐ Òº ¾º Æ Ñ Ú Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ö Ò ÐÓÔ Ò ÐÓ Û ÐÐ ÙÖ Û Òº Ä Ø Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÑ ØØ Ò t µ (µ = 0,1,2,3) Ú Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ö ØÖ Ö Ò Ø ÓÓÖ

7 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ù Ø ÞÓÒ Òº Ó Ö Ò Ø Ò (t µ )º Å Ò Ö Ø ÚÓÓÖ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔ Ò Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Þ Ò Ù ÔÙÒØ ÙÖØ ¹ Ò Ñ ÔÙÒØ ÓØÓÒ Ò ÐÓ º º Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ð Û Ò Ò Ö º ¾ Þ Ò Û Ø ÓÑ Ò ÔÙÒØ P Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ø Ð Ð Ò Û Ò Ý Ø Ñ Ú Ò n Ó Ö Ò Ø Ò ÖÙ Ò Ñ Ö Û Ö ÙÞ Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ö ØÖ Ö º À Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ð ³ Ñ Ö ÔÙÒØ Ò Þ Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ò ÓÑ ØÖ Ö Ð Ø ÖØÙ Ò Ú Ò Ð Ò Þ Òº Ï ÑÓ Ò ÔÙÒØ Ò ÖÐ Ð Ò ÓÓÖ Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ù Ø Ø ÚÓ Ö Ò x α x α Ù Ø ÖÙ Ø ÓÓÖ n Ú Ö Ð Ò Ò x α = x α (x 0,x 1,...,x n 1 ) met α = 0,1,2,...,n 1, µ Û Ö Û Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ð ÙÒØ Ú Ò ÓÙ Ó Ö Ò Ø Òº Å Ö ÓÔ Ø Û Ø ÒØ Ò Ò Ü Ò Ò ÓÑ Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ú Òº Ï ÙÒÒ Ò Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ù Ô ÓÙÛ Ò Ð Ø ØÓ ÒÒ Ò Ú Ò Ò ÙÛ ÒØÙ Ö µ Ó Ö Ò Ø Ò (x 0,x 1,...,x (n 1) ) Ò Ò ÔÙÒØ Ú Ò Ú Ö Ø Ø Û ÖÚ Ò ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ (x 0,x 1,...,x n 1 )º Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ò Ø ÙÒØ Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ ÒÛ Ö ÓÒØ ÒÙ Ò ¹ Ö ÒØ Ö Ö Þ Ò ÓÚ Ö Ø Ú Ð Ö Ú Ò ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Òº ÓÓÖ Ð Ú Ö Ð Ò Ò µ Ø Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ò x β Ö Ò Û n n Ô ÖØ Ð Ð Ò x α / x β º Þ ÙÒÒ Ò Û Ñ ÒÒ Ñ Ò Ò n n ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Λ α β x 0 x 0 x x 0 x x n 1 Λ α β = xα x β = x 1 x 1 x 0 x... 1 x x (n 1) x 0 x (n 1) x n 1 x... (n 1) x 1 x n 1 ÞÓ Ø Ö Ò ÛÓÖ Ò Ð Ð Ñ Ø Ò Ò Ü Ò Ø ÐÐ Ö Ú Ò Ô ÖØ Ð Ð Ò ÓÐÓÑÑ Ò ÓÓÖ Ò Ò Ü Ò ÒÓ Ñ Öº Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Þ Ò ÙÒØ Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ò ÖÓÑ Þ Ò ÒÙÑ Ö Û Ö Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ð Þ ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÙÒØ Ò P Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü ÛÓÖ Ø Ó Ò Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÒÓ Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ù Ñ Ø ( ) x α J = det x β. µ À Ø Ù Ð Ø ÒÙÑ Ö Û Ö Ú Ò J Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ Ò Ú Ö Ø Ø Ú Ö Ò Öغ ËØ Ð Ø J 0 ÚÓÓÖ Ò Ô Ð Ö Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò x β Ò Ø ÒØ Ø Ø Û Ò ÔÖ Ò Ô µ Ú Ö Ð Ò Ò µ ÙÒÒ Ò ÓÔÐÓ Ò Ò Ö ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ò x β º Ï Ö Ò ÓÔ Þ Û Þ ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö Ð Ò Ò, µ x α = x α (x 0,x 1,...,x (n 1) ) met α = 0,1,...,n 1. ¼µ ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÓÚ Ò ÙÒÒ Ò Û ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Λ α β = x α / x β Ò Â Ó Ò Ú Ò ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø J = det( x α / x β ) Ô Ð Òº

8 Ð Û ØØ Ò Ö Ð ÖÙ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û ÒÚÓÙ Ð Ø Ò Þ Ò Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ñ ØÖ Ü ÒÚ Ö Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü ÓÑ Ø n 1 Λ α β Λβ γ = β=0 n 1 β=0 x α x β x β x γ { = xα = δ α 1 als α = γ, x γ γ = 0 als α γ, Û Ö Û ÃÖÓÒ Ö ÐØ δ α γ ÖÙ Ò Ð Ñ Ø Ø Ø x α x γ } ½µ = xα = 0 als α γ, ¾µ xγ ÓÑ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ò ÞÓÛ Ð Ø ÒØÙ Ö Ð Ò Ø Ò Ø¹ ÒØÙ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ¹ Ò Ð Þ Òº ÇÑ Ø ØÛ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ð Ö ÒÚ Ö Þ Ò ÚÓÐ Ø J = 1/Jº Ï ÓÙÛ Ò ØÛ Ò ÙÖ ÔÙÒØ Ò P Ò Q Ò Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ô Ø Ú Ð Ó Ö Ò Ø Ò x α Ò x α + dx α º ÁÒ Ø Ò ÙÛ Ý Ø Ñ ÛÓÖ Ø Ò Ò Ø Ñ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ò ØÙ Ò P Ò Q Ú Ò ÓÓÖ ØÓØ Ð Ö ÒØ Ð dx α = xα x 0 dx0 + xα x 1 dx xα x n 1dxn 1, Û Ö Û Ó Ð Ò Ø Ô ÖØ Ð Ð Ò Ò Ö Ø ÖÞ Ú Ò Ú Ö Ð Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ò ÓÔ ÔÙÒØ Pº Ï ÙÒÒ Ò Ø ÓÒÓÑ Ö Ö Ú Ò Ð µ dx α = n 1 β=0 x α x β dxβ = xα x β dxβ, µ Û Ö Û Ò Ð Ø Ø Ø Ô ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Ú Ò Ò Ø Ò Ò Ò ÚÓ Ö º Ø Ø ÒØ Ø Ð Ö Ò Ù Ø ÖÙ Ò Þ Ð Ò Ü ÓÚ Ò Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ÓÑØ Û ÙØÓÑ Ø ÓÑÑ Ö Ò ÓÚ Ö ÐÐ Û Ö Ò Ò Ü Ò ÒÒ Ñ Òº º ÓÑ ØÖ Ó Ø Ò ÁÒ Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ò Û ÔÓ ØÙÐ Ö Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º Ï ÔÖ Ò ÒÙ Ú Ö ÐÐ Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ò Ò Ð Ö Ú Ð Ú ØÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ø Ò ÓÖ Òº Å Ö ÓÔ Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÓÒ ÔØ ÒÔÖÓ ÙØ Ô Ð Ø Ö Ò ÓÖ ÓÑ Òº º º½ ÈÙÒØ ÙÖØ Ò À Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Û Ö Ö Ö ÔÖÓ Òº ÊÙ ÑØ Ø Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ ÑÓ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òº º º¾ ÙÖÚ À Ø ÖÙ Ð ÓÑ Ò ÙÖÚ Ø Ò Ò Ò Ò Ö Ú Ö ÓÒ Ò ÔÙÒØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ø ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ô Ò Û Ö ÖÚ Ö Ò Ø ÛÓÓÖ ÙÖÚ ÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ô º Ï Ò Ö Ò Ò ÙÖÚ Ð Ò Ð Ò Ú Ò Ò ÒØ ÖÚ Ð Ú Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ö Ò Ô Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ø Ø ÒØ Ø Ò ÙÖÚ Ò Ô Û Ö Ñ Ø Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ö Ð Ø Ð ¹ Ó Ö º Ø Ø Ð ÒÓ Ñ Ò Û Ô Ö Ñ Ø Öº Ò ÙÖÚ P(λ) Ø ÒØ Ö Ò Ð Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ö Ð Ø Ö Þ Ò Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö λº Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ø ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ÙÒØ Ú Ò λº Ö Ð Ø Curve : {x 0 = f(λ),x 1 = g(λ),x 2 = h(λ),x 3 = k(λ),a λ b}. µ

9 Ð Û Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÖÚ Ò Ò Ñ Ö Ò Ø ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òµ ÓÓÖ λ = λ (λ) Ú Ò Ò Û {x 0 = f (λ ),x 1 = g (λ ),x 2 = h (λ ),x 3 = k (λ ),a λ b }, µ Û Ö f g h Ò k Ò ÙÛ ÙÒØ Þ Ò Ò Û Ö Ð Ø a = λ (a) Ò b = λ (b)º Ï ÙÒ ÒÓ Ñ Ò Û Ø Ò Ò ÙÛ ÙÖÚ Ø ÖÛ Ð Ð Ò Ø Ô Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø ÚÓÐ ÛÓÖ Øµ ØÞ Ð Ð Øº Ò ÓÒ Ò ÒØ Ð ÖÓÑÑ Ò ÙÒÒ Ò Ù ØÞ Ð Ô Òº ÎÓÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö ÛÓÖ Ø ØÝÔ Ø ÓÔ ÐÓ Ú Ò Ò Ñ Ö Þ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ö٠غ Ð Ò Ñ ØÖ ÓÒØ Ö Ø ÙÒÒ Ò Û Ø Ö Ò Ø ÔÖ Ò ÓÚ Ö Ð Ò Ø Ð Ò Ò ÙÖÚ º º º Ë Ð ÖÚ Ð Ï ÓÙÛ Ò ÐÐ Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ò Ò Ø Þ Ò ÖÙ ÑØ Ò ÓÒØ ÒÙ Ò Ö ÒØ Ö¹ Ö Þ Òº Ø Ø ÒØ Ø Û ÓÔ Ð ÔÙÒØ Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ò Ð ÖÚ Ð Φ ÙÒÒ Ò Ò Ö Ò Ò Ø Þ ÙÒØ ÓÚ Ö Ð Ò ÛÓÖ Ò Ö ÒØ Ö º ËØ Ð Û Ò Ò Ð ÙÒØ Φ ÙÙÖ Ö ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Sº ÒÒ Ò Ò ÐÓ Ð Ò Ò ÖØ Ñ Ø Ð Ö Ð Ø ÐÐ Òµ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y) ÔÙÒØ Ò Ò Ú Ö Ø Ø Ð Ð Òº ÇÑ Ð Ú Ö Ø Ø Ø ØÖ Ò Ò Ò Û Ú Ö ÐÐ Ò ÖØ Ò Ñ Ò Ø Ð Ñ Ò³º Ò Ö ÓÔ S Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÔ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ º ÁÒ ÑÓ ÖÒ Û ÙÒ Ø Ð Φ Ò Ò Ð Ð Ò Ú Ò S Ò Ö ÖÙ ÑØ Ú Ò Ö Ð Ø ÐÐ Ò R ÓÑ Ø Φ Ò Ö ÔÙÒØ Ú Ò S Ò Ö Ð Ø Ð ØÓ ÒØ Ø Û Ð Þ Ò Φ Ñ Ø Ò Ð Ò Ú Ò S Ò Ö Ö Ð Ø ÐÐ Òº Ò Ö Ð ÙÒØ ÛÓÖ Ø Ú Ò Ð ÖÚ Ð ÓÔ S ÒÓ Ñ º ÒÒ Ò Ò Ô Ð ÐÓ Ð Ø Φ Ò Ó Ö Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Φ = f(x,y) ÓÔ ÓÖ Ò Öغ Ð Ú Ò Ø Ð ÖÚ Ð Φ ÓÑØ Ò ØÓØ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ò ÙÒØ f(x,y)º À Ø Þ Ð Ð Þ Ö ÓÔ Ú ÐÐ Ò Þ Ò Ø ÓÒ Ö ÛÓÖ Ø Ñ Ø ØÙ Ò Φ Ò fº Ö Ò Ø Φ Ò Ö ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ö Ù Ø ÖÙ Ø Ò ÛÓÖ Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Òº Û ÙÒ Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ f(x,y) Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ú Ö ÐÐ Ò ÖØ Ò Ø ÖÛ Ð ÖÓÓØ Φ ÓÔ Ð Ô ÔÙÒØ Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ ØÖ Ò ÓÓÖ Þ ÖØ Ò Ò Ø Ú Ö Ò Öغ ÎÓÓÖ Ò Ò Ö ÖØ Ò º Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Φ = F(X,Y )º Ð ÖØ Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ð Ø f(x,y) = F(X,Y )º Ô Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ F Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò X Ò Y Þ Ð Ò Ø Ð Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ f Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò x Ò yº ÁÒ Ø Ð Ñ Ò X Ò ÓÑÔÐ Ö ÙÒØ Ú Ò x Ò y Ò Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ò Ø Ð Ø ÓÓ ÚÓÓÖ Y º Å Ø Þ ÙÒØ Ò Ò Û Ö Ò Ò Ø ÓÙ Ò Ð Û Ú Ò f Ò Ö F Òº Ö Ð ÙÒØ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ò Ý Ø Ñ Ö Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ý Ø Ñ X = X(x,y) en Y = Y (x,y), µ

10 Ò ÙÒ ÒÚ Ö ÒÓ Ñ Ò Û ÓÚ Ö Ò ÙÒØ º x = x(x,y ) en y = y(x,y ), µ Ì Ò Ò Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÓÒÖ Ø Ø Ñ Ò Ø ÐØ Í Þ ÚÓÐ Ò ØÙ Ø ÚÓÓÖº Ò Û ÖÒ Ñ Ö Û ÚÓÓÖÞ Ò Ú Ò Ø Ð Ð O ÐÙ Ø ÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò Ò Ô Ð Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÖØ Ø Ö Ò Òº À ÖØÓ Ñ Ø Ò ÖØ Ú Ò Ø Ò ÖÙ Ø Ó Ö Ò Ø Ò x Ò yº Ò Ô Ð ÔÙÒØ P Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Ò Ô Ð ÔÙÒØ (x,y) ÓÔ Þ Ò Öغ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ð Ð Ò Ñ Ø O µ ÓÑØ ÓÔ ØÞ Ð º À Ñ Ø ÓÓ Ò ÖØ Ø Ö Ñ Ø ÚÓÐÐ Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò (x,y )º Æ Ú ÖÐÓÓÔ Ú Ò Ø ÐÙ Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÓÑ ÙÒ Ò ÐÝ Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ð Ò Þ ÖØ Ò Ò Ø Ð Öº À Ø Ð Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ò Û ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ú Ò Ò ØÙ Ò ÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ò x = (x,y) ÓÔ ÖØ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O Ò x = (x,y ) Ú Ò O º ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø ÚÓÐ Ò Ø Ð Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò x ( ) ( ) = 5x 2y x x x ( )( )( ) y = 3x + 2y y x y x 5 2 x = x = Ax. y 3 2 y y x y y Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ð Ò Ö Ð Ò µ Ú Ò Ò ÔÙÒØ (x,y) Ò Ö Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ð (x,y )º ÁÒ Ñ ØÖ ÜÚÓÖÑ ÑÓ Ò Û Ø Ö Ú Ò Ð x = Ax Ò Ò Ò Ð Ò Ø Ò¹ÓÔ¹ Ò Ð Ò µ Ð Ø deta 0º Ö ÐØ ÔÖ Ú Ò Ò Ð ¹ Ð Ô Ø Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ð (x,y ) ÛÓÖ Ø ÓÙÛ Ð Ø Ò Ö Ò Ú Ò Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ò ÙÛ Ò Ñµ ÚÓÓÖ (x,y) Ò Ò Û Ø Ñ Ò Ñ Ø Ø Ð Ô Ø Ð (x,y ) ÓÙÛ ÛÓÖ Ø Ð Ò Ò ÙÛ ÔÓ Ø ÔÐ Ø µ ÚÓÓÖ (x,y) Ò ÓÑØ Ø Ð Ô Ø Ø ÚÓÓÖ Òº ÁÒ Ø Ò ÓÖÖ Ò Ò Þ Ò Û Ò Ø Ð Ñ Ò Ñ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ø Ð Ô Øº Ï ÒÓ Ñ Ò ØÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ö Ð Ø Ö ÓÓÖ x = Ax Ö Ô Ø Ú Ð Ø Ý Ø Ñ O Ò Oº ËØ Ð Ø Ø ÔÙÒØ P Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ò Ø Ý Ø Ñ O Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y) = (0, 1)º Å Ø Ú Ö Ð Ò µ Ú Ò Ò Û ÚÓÓÖ Ø ÔÙÒØ (x,y) = (0, 1) Ø Ð ÔÙÒØ (x,y ) = (2, 2) Ò Ý Ø Ñ O º À Ø ÓÖ Ò Ð Ò O Ò Ø Ð ÔÙÒØ Ò O Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ñ Ö Ø ÐÐ Ò ØÞ Ð ÔÙÒØ P Ò Ú Ö Ø Ø ÚÓÓÖº ËØ Ð Ø Û ÖÒ Ñ Ö O Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ T Ò Þ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ú Ò Ñ Ø Ù Ø¹ ÖÙ Ò T : T(x,y) = x y Ø Ò Ð ÖÚ Ð T Ø Ú Ö ÐÐ Ò Û Ö Ò Ò ÒÒ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÙÒØ Òµº ÇÔ ÔÙÒØ (x,y) = (0, 1) ÛÓÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ T = ( 1) = 31 º ÇÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Û ÖÒ ¹ Ñ Ö Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð O Ø Ú Ò Ò Ò Ò Û Ö Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µ Ø Ð Òº À ÖØÓ ÒÚ ÖØ Ö Ò Û ÓÖ Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ú Ò Ò A = ( ) A 1 = 1 16 ( µ ). ½¼¼µ Ö Ð Ø Ò x = 1 16 (2x +2y ) Ò y = 1 16 ( 3x +5y ) Ò Û Ö Ò Ò Ò Ö Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖº Ï Ú Ò Ò T : T(x,y ) = (2x +2y ) 1 16 ( 3x +5y ) = x y º Ð Û ÒÙ Û Ö Ò Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÔ ØÞ Ð ÔÙÒØ Ð ÔÙÒØ (x,y ) = (2, 2)µ Ò Ú Ò Ò Û Û Ö T(x,y ) = T(2, 2) = ( 2) 16 = ,375 1,375 = 31 ÞÓ Ð Ø ÓÓÖØ Û ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ð ÖÚ Ð Ø Þ Ò Ø ÒØÖ Ø Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ø Û Þ Òº Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò Ø Ò Ò Ú Ö Ø Ø Ø ØÙ Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Û Ö ÖØ Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ò Ø Ú Ðµ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÔ ÔÙÒØ P Ð Ò 31 º ÎÓÓÖ Ø Ò ÓÖÖ Ò Ò ÒÒ Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø ÓÖ ÓÒÓÒØ ÖÐ º Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Ø ÒÒ ¹ Ñ Ò º ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò ÖÓÐ Ô Ð Ò Ò ÊÌ Þ Ò ÓÚ Ö Ø Ð Ñ Ò Ò Ø Ð Ò Öº

11 º º Î ØÓÖÚ Ð À Ø Ö Ô Ú ØÓÖ ÓÒØ Ø Ò Ò Ý Ò Û Ð ÓÓÖ Ö ÔÔ Ò Ð Ò Ð Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Þ Ó Ø Ò Ò Ò ÖÓÓØØ Ò Ò Ö Ø Ò Ò Þ ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ Ø Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ð Ø Ð Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ º Î Ð Ú ÖÛ ÖÖ Ò ÓÑØ ÚÓÓÖØ Ù Ø Ø Ø Ø Ò Ñ Ú ØÓÖ³ Ö Ö ÖØ Ò Ö ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò ÓÒ ÔØ Ò Ò ÖÞ Ò ÞÙ Ú Ö ÒÙÑ Ö Ó Ø Ò Ö Ó ÓÐÓÑ Ø ÐÐ Òµ Ò Ò ÖÞ Ò Ó Ø Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ó ØÓÔÓÐÓ Ò ÔÔ Òº ÁÒ Þ Ð Ø Ø Ø Ò Ú ØÓÖ ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÓÑ Ò ÙÒ ÓÑÔÓ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ Òº Ï Ò ÖÙ Ò Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ó Ñ Ö Ð Ñ Ò Ò Ø Ò ÓÖµ Ø Þ Ò Ð Ò ÓÑ ØÖ Ó Ø³ Ø Ø Ñ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò ÞÓÒ Ö Ø ÑÓ Ø Ò Ö Ö Ö Ò Ò Ö Ò Ô Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº º Ø Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð ÚÓÓÖ Ð ÙÙÖ Ö ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ô ÐØ ÓÚ Ö Ú Ö Ø Ø³ Ø Ò ÓÔ Sº Ú ØÓÖ Ò Þ Ò ÓÒ Ò Ò ÙÒ ÔÐ Ø º ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ò Ð ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö º Ò ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ Ò Ó Ø V Ø Ð Ø Ò Ò Ô Ð ÖÙ ÑØ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ò Ò Ø¹ ÙÐ ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú ÖÓÑÑ Ò º Ú ØÓÖ Ø Ò Ô Ð Ø Ò Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø ÐØ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ò Ð ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö ÚÓÓÖº Ï ÙÒÒ Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ò Ò Ð Ô ÐØ ÞÓÒ Ö Ø Ö Ö Ö Ò Ò Ö Ò Ô Ð Ò Ø Ò Û Ò Ò º º Ö Ò ÙÒ Ñ Ò Ö ÓÑ Ò ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ Ø ÜÔ Ò Ö Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº ÓÒ Ö Ú Ö Ö Ò ÓÖÑ Ø Ò Û Ö Ò Ð ( ) a V = ½¼½µ b ÞÓÒ Ö Ò Ø Ò ÓÑ Ø Û Ò Ø Û Ø Ò Û Ð Û Ò Ò Ø ÖÙ Òº Ï Ø Û Ò Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ú Ò Ð ( ) a V ½¼¾µ O b Ò Ö ÚÓÓÖ Ð Ò Þ Ò À Ð ÖØÖÙ ÑØ Ñ Ø ÓÑÔÐ Ü ÓÐ ÙÒØ Ú Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò Ó Å Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ú Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º

12 Û ÖÑ Û Ñ Ø Ø Ô ÐØ O Ó Ð Ò Ø Ú ØÓÖ V ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò a Ò b Ø Ú Ò Þ Ò Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O ÚÓÓÖ Ð Ø (x,y) Ý Ø Ñµº Ú ØÓÖ V Ò Ô Ð Ñ Ø Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ð Ø ÐÐ Òº Ï ÙÒÒ Ò ÓÓ Ö Ú Ò V = a e x(o) + b e y(o), ½¼ µ Û Ö e x(o) Ò e y(o) Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O Þ Òº Ï Ò Ò Ø ÞÓ Ó Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒÒ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ð O Ò Ò Ð Ø ( ) p V, ½¼ µ O q Û Ö V = p e X(O ) + q e Y (O ), ½¼ µ Ñ Ø e X(O ) Ò e Y (O ) Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O ÚÓÓÖ Ð Ø (X,Y ) Ý Ø Ñµº Å Ö ÓÔ Ø Ú Ö Ð Ò Ò ½¼¾µ ¹ ½¼ µ ÐÐ Ð Ö Ú Ò Ò Þ Ò Ú Ò Þ Ð ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ V º À Ø Ú ÖÐ Ð ÓÑ Ø Ò Ò Ø Ø ÝÑ ÓÓÐ e x x¹óñôóò ÒØ Ú Ò e¹ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ø Ðغ Ï Ó Ð Ò Ø Ö Ñ Ø e x Ò ÚÓÐÐ Ú ØÓÖ Û Ö Ø Ù Ö ÔØ x ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ò Ñ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Û Ð Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Û Ó Ð Ò Ò Ñ Ð Ú ØÓÖ Ò x¹ö Ø Ò µº Ú ØÓÖ e x Ø Þ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Û ÖÚ Ò x¹óñôóò ÒØ Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð ( e x ) x º ÚÓÐÐ Ú Ò Û Ò Ø Ú Ð Ò Ñ Ø ß e x, e y к Ð ÓÑÔÐ Ø Ø Ú ØÓÖ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò Ð º ÁÒ º Þ Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ò Ú Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Û Ö Ú Òº Ò ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ ÛÓÖ Ø ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ Ô Ð Þ º µ Ò ÓÓÖØ Ò Ø Ò Ó Ò Ö Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº À Ø Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ñ Ø Þ Ð Ø Ò Ø Ò Ö Øº Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ø Ö Ú ÒÙ Ø ÙÒ Ò Þ Ø ÔÙÒØ Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñµº ÖÙ Ð Ø Ö Ô Ò Ø Ú ØÓÖ Ò Ø Ú Ö Ò ÖØ Ð Û Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Òº Ö Ð Ø ( a b ) O = ( p q ) O. ½¼ µ Æ ØÙÙÖÐ Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò a Ò b Ò Ø Ð Ò p Ò q Ò Ò Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ö Ø Ø Ú Ò Ò Ó Û Þ ÙÒÒ Ò Ö Ò Ò Ð Û Ú Ò Ú Ö Ò Ö Òº Ï Ò Ð ÚÓÐ Ø Ø Û Ö Ö Ø Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Pº ÇÔ Þ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Þ Ò Û Ò Ò ÓÑÔÐ Ø Ø ÓÒ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ö Ð Ö Ð ÙÞ ÓÓÖÐÓÓ µº Ï ÒÓ Ñ Ò Þ Ú ØÓÖ Ò e i Ò ÖÙ Ò Þ Ð ÓÑ Ò Ö Ú ØÓÖ Ò ÓÔ ÔÙÒØ P Ò Ø ÜÔ Ò Ö Ò u = u α e α Ò v = v α e α º º ØÓÓÒØ Ø Þ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ T P Ò ÖØ ÓÔ ÔÙÒØ Pº ÐÐ Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò ÐÓ Ð ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ö Ú Ò º Ö Ø Ò Ð Ò α eα Ð Ò Þ Ó Ö Ò Ø Ò Ô ÒÒ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ Ö ÖÙ ÑØ Ò ÔÙÒØ Pµ ÓÔº ÁÒ º Ò Û Ð Ó Ö Ò Ø Ò χ(p) Ò ψ(p) Ö٠غ Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ Ö Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ó Ö Ò ØÐ Ò Ò Ò Þ Ò / χ Ò / ψº Ï ÙÒÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ù Þ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ð º Ï Þ Ò Ø Þ Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ò Ú Ö Ø Ø Ð Ò Ñ Ö Ò Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ ÓÔ Ô ÒÒ Òº Ö ÛÓÖ Ò Ú Ò Ö ÝÑ ÓÐ Ò ÖÙ Ø ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò ÞÓ Ð i j Ò kº ÇÓ Ø ÑÓ Ð ÓÑ e Ø Þ Ò Ð Ò Ó Ø Ñ Ø Ó Ö Ö Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ú ØÓÖ Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ø Ò Ø ÓÙØ Ñ Ö Ò ÓÒ Ú Ð ÓÓ Ò Ø ÒÙØØ º Ï Ø ÔÔ Ò Ù Ú Ò Ø Ö Ô ÚÖ Ú ØÓÖº ÁÒ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÙÒÒ Ò Û Ò Ú ØÓÖ Ò Ø ÒÚÓÙ ÚÖ Ú ÖÔÐ Ø Ò

13 ÙÙÖ Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÛÓÖ Ò Ò Ù Ö ÚÓÖÑ Ò Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ ÓÔ Ð ÙÖØ Ò Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ð Ó Û Ð º Ò ÒÞ Ø Ð ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ò Û ÓÒ Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ò ØÖ Ø Ú Ö Ø Ø ÓÙÛ ÒØ Ø ÛÓÖ Ò Ð Ò Þ Ð Ø Ò ÒØ Ø Ø Ö Ò Ó Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Û Ö Ò Ú Ö Ø Ø Ò Þ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ Ò Þ Ò Ò º Ï Ú Ò Ò ØÓ Ð Ø Ò Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð Ø Ò Ú Ò Þ Ò Ò Ú ÖØÖÓÙÛ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ Ö Øº ÎÓÓÖ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ï ÓÙÛ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ø ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y, z) Ò ÓÖ Ò Ú Ò Ò ¹ Ú ØÓÖ Ò { i, j, k}º Ï ÖÙ Ò Ø Ý Ø Ñ Ð Ð Ñ Ò Ö Ö ÒØ ÓÑ Ò Ö Ò Ø ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ö Ú Òº Ï Ò Ò ØÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ (u, v, w) Ø Ò Ø ÖØ ÚÓÓÖ Ð Ö Ó Ö Ò Ø Ò (r, θ, φ)º Ö Ð Ø x = x(u,v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), ½¼ µ Ò Û ÙÒÒ Ò Ø ÒÚ ÖØ Ö Ò ÓÑ u, v, w Ø Ö Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò x,y, zº Ï ÙÒÒ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ú Ò Ð r = x(u, v, w) i + y(u, v, w) j + z(u, v, w) k, ½¼ µ ÁÒ Ò Û w Ð Þ ØØ Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ w 0 Ø ÖÛ Ð u, v ÑÓ Ò Ú Ö Ö Ò Ö Ò Û r = x(u,v, w 0) i + y(u, v, w 0) j + z(u, v, w 0) k. ½¼ µ Ø Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ø Ó Ö Ò Ø ÒÓÔÔ ÖÚÐ w = w 0 Û Ö Ó Ö Ò Ø Ò u, v ÖÓÐ Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ð Òº Ï ÙÒÒ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ØÛ Ò Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÔ ÒØ Û Þ Ú Ö Ö Òº Ð Û Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò v = v 0 Ò w = w 0 Ø ÐÐ Ò Ñ Ö u Ð Ø Ò Ú Ö Ö Ò Ö Ò Û r = x(u, v 0, w 0) i + y(u,v 0, w 0) j + z(u, v 0, w 0) k, ½½¼µ Ö Ò Û Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø ÒÙÖÚ Ú Ò ÓÓÖ Ò Ð Ò Ú Ò ÚÐ Ò v = v 0 Ò w = w 0 Û Ö u ÖÓÐ Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ò ÙÖÚ Ô Ðغ Ï ÙÒÒ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ØÛ Ò Ö ÙÖÚ Ò ÓÔ ÒØ Û Þ Ú Ö Ö Òº ÓÓÖ Ð ÔÙÒØ P Ñ Ø Ó Ö Ò Ø Ò (u 0, v 0, w 0) Ò Ö

14 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¼ ÙÙÖ Ó Ö Ò ØÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÐ Ð Ò Ð ÖÙ ÑØ µ Ò Ó Ö Ò ØÙÖÚ Ò ÚÓÓÖ Ö Ó Ö Ò Ø Òº Ó Ö Ò ØÚÐ Ò Ú Ò ÓÓÖ u = u 0 v = v 0 Ò w = w 0º ÚÐ Ò Ò Ò Ð Ö Ò Ó Ö Ò ØÙÖÚ Òº ÎÓÓÖ Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ò Û x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. ½½½µ Û Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ø ÚÓÐ Ò Ö Ò r 0 0 θ π Ò 0 φ < 2πº º ØÓÓÒØ Ø Ø Ó Ö Ò ØÚÐ r = r 0 Ò ÓÐ Ñ Ø ØÖ Ð r 0 Ø Ó Ö Ò ØÚÐ θ = θ 0 Ò ÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ô Ü Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ò Ú ÖØ Ð Ò Ø Ó Ö Ò ØÚÐ φ = φ 0 Ò Ð ¹ÓÒ Ò ÚÐ Ñ Ø z¹ Ð Ö Ò º ÓÔÔ ÖÚÐ Ò θ = θ 0 Ò φ = φ 0 Ò Ò Ð Ö Ò Ø Ö ÙÐØ ÖØ Ò Ó Ö Ò ØÙÖÚ Ò ÐÐ Ò Ú Ò O Ú ÖØÖ Ø ÓÓÖ P Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ò φ = φ 0 Ò r = r 0 Ò Ò Ð Ö Ò ÙÖÚ Ò ÐÚ Ö Ð Ñ Ø Ò ÔÙÒØ Ò ÓÔ z¹ Ò ÓÓÖ P Ø Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ò r = r 0 Ò θ = θ 0 Ò Ò Ð Ö Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ð ÓÓÖ P Ñ Ø Ø Ñ ÐÔÙÒØ ÓÔ z¹ º Ð Û Ú Ö Ð Ò ½½¼µ Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö Ô Ö Ñ Ø Ö u Ö Ò Û Ò Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ò Ó Ö ¹ Ò ØÙÖÚ º ÇÑ Ø Û Ø Ò Ö ÒØ Ö Ò v Ò w ÓÒ Ø ÒØ ÓÙ Ò Û ÒØ ÓÔ Þ Û Þ Û ÙÖÚ Ò Ö µ Ò Û Ò Ø Ô ÖØ Ð Ð Ò Ö u ÒÓÑ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½¼ µº Ð Û ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ú Ö ¹ Ð Ò ½¼ µ Ô ÖØ Ð Ò Ò Ö v Ò w Ö Ò Û Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ò Ú Ò Ò Ö ØÛ Ó Ö Ò ØÙÖÚ Òº Ö Ô ÖØ Ð Ð Ò e u r u, r ev v, r ew w, Ö Ò ÓÔ ÔÙÒØ (u 0, v 0, w 0) Ú Ò Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ò Ò Ö Ó Ö Ò ØÙÖÚ Ò ÓÓÖ P Òº ÇÔ Þ Û Þ Ú Ö Ö Ò Û Ò ØÙÙÖÐ { e u, e v, e w} ÓÔ ÔÙÒØ Pº ÁÒ Ø Ð Ñ Ò Þ Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ò Þ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Òº Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð λ ÙÒÒ Ò Û Ò Ð ÔÙÒØ P Ú ØÓÖ λ Ö Ö Ö Ò Ò { e u, e v, e w} ½½¾µ λ = λ u e u + λ v e v + λ w e w. ½½ µ Ï ÖÙ Ò u i (i = 1,2, 3) Ò ÔÐ Ø Ú Ò (u, v, w) ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ò { e i} (i = 1, 2, 3) Ò ÔÐ Ø Ú Ò { e u, e v, e w} ÚÓÓÖ Ò ØÙÙÖÐ º ÎÓÓÖ Ò Ú ØÓÖ λ Ù Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò { e i} Ò Ñ Ø λ i (i = 1,2, 3)º Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µ ÒÙ Ù Ø ÖÙ Ò Ð 3 λ = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = λ i e i. i=1 ½½ µ

15 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ½ Ï ÔÖ Ò ÒÙ Ø Ò Ò Ü Ù Ø Ø Ñ Ò Ú Ò Ø Ð Ø i, j, k,...µ ÐØ ÐÓÓÔØ ÓÚ Ö Û Ö Ò ½ ¾ Ò º Î Ö Ö ÓÑÑ Ö Ò Û ÙØÓÑ Ø Ð Þ Ð Ò Ü ÚÓÓÖ ÓÑØ Ð ÙÔ Ö Ö ÔØ Ò Ù Ö ÔØ Ø Ø ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Ú Ò Ò Ø Òµº Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µ ÒÙ Ö Ú Ò Ð λ = λ i e iº Å Ö ÓÔ Ø ØÛ Ò Û ÓÔ Þ Û Þ ÖÙ Ò ÙÑÑ Ò ÒÓ Ñ ÛÓÖ Òº Ï ÑÓ Ò Þ Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ö Ð ØØ Ö ÒÓ Ò Ø Ò ÖÙ Þ Òµº ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ØÙ Ö Ò Û Ú ØÓÖ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÇÑ Ø ÖÙ ÑØ Ø Ù Ø Ö ÖÙ ÑØ Ð Ò Ò Ø Ñ Ò Ø Ø ÚÓÖÑØ Ø Ò Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÖÙØÙÙÖº Ú ØÓÖ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ð Ú Ò ÛÓÖ Ò Ò ÓÓ Ú ÖÚ ØÓÖ Ò ÒÓ Ñ º Ð Û Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò¹ Ö Ò Ò Ò Þ Ú ØÓÖ Ò Ú Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº Ò ØÝÔ Ú ØÓÖ Ú ÖÔÐ Ø Ò Ú ØÓÖ x ( t, x, y, z) ØÛ ÙÖØ Ò Ò P Ò Q Ú Ö Ò Øº Ò Ò Ö ÒÓØ Ø O x { x α }º Ð Û Û ÐÐ Ò Û Ø Ò Û Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Þ Ú ØÓÖ Þ Ò Ò Ò Ò Ö Ó Ö¹ O Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÚÓÓÖ Ð Ø Ý Ø Ñ O { Ò Ö Ú Ò Û x x α } º Ï ÖÙ Ò O Ø ÒØ ÓÚ Ò Ò Ü ÓÑ Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ú Òº Ú ØÓÖ x ØÞ Ð Ò ÖÚÓÓÖ Ò Û Ò Ò ÙÛ ÒÓØ Ø ÒÓ Ð Û Ú Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ö Ò Ö Òº Ï ÙÒÒ Ò Ò ÙÛ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x α Ú Ò Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ý Ø Ñ Þ Ú Ö Ð Ò µµ Ò Û Ö Ú Ò 3 x α = Λ α β xβ = Λ α β xβ β=0 ½½ µ ÚÓÓÖ Û ÐÐ ÙÖ α º Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Λ α β Ø Ø Ù Ø ½ Ø ÐÐ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú ÖØ ¹ ÒÛÓÓÖ Òº ÒÓØ Ø Ñ Ø Û Ö ÖÙ Ú Ò Ò Ø Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µ Ø ÐØ ÒÐ Ú Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ α = 0,1,2,3µº Ò Ð Ñ Ò Ú ØÓÖ Û Þ Ò ÒØ Ö Ö Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Òµ Ò Ö Ð Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ô Ð Oµ Ð V O (V 0,V 1,V 2,V 3 ) = {V α } Ò ÓÓÖ Ö Ð Ø Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ O Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ V α = Λ α β V β. ½½ µ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ú Ö Ð Ò ½½ µµ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µµº ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α Ú Ò Ò Ú ØÓÖ V Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ { e α } ÛÓÖ Ò ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÒÓ Ñ º Ò Ó Ø Û ÖÚ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÒÓ Ñ Ò Û Ò ( ) 0 2 Ø Ò ÓÖº ËØ Ð Ø Û ØÛ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ø ÙÖÚ Ð Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Ú Ò Ñ Ø O Ò O º Ï ÚÖ Ò ÓÒ Ó ÓÒØÖ Ú Ö ¹ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ú Ö Ò Ö Ò Ð Û Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ý Ø Ñ Òº Ï ÒÓ Ñ Ò { e α } Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O Ò { e α } Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O º Ö Ð Ø V = V α e α = V α e α. ½½ µ Ï ÙÒÒ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÖÙ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û Ø ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò Ø Ú Ò¹ Ò Ø Û Ð Þ Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò { e α } Ò { e α }º Å Ø Ú Ö Ð Ò ½½ µ ÙÒÒ Ò Û Ú Ö Ð Ò ½½ µ Ö Ú Ò Ð Λ α β V β e α = V α e α V β Λ α β e α = V α e α V α Λ β α e β = V α e α V α (Λ β α e β e α ) = 0. ½½ µ

16 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¾ ÁÒ Ö Ø Ø Ô Ñ Ò Û ÖÙ Ú Ò Ø Ø Ø Λ β α Ò V β ÛÓÓÒ Ø ÐÐ Ò Þ Ò Ò Ø ÙÒ ÚÓÐ ÓÖ Ò Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ù ØÑ Øº ÁÒ ØÛ Ø Ô ÖÙ Ò Û Ø Ø Ø β Ò α ÙÑÑ Ò Þ Ò Û Ú Ö Ò Ö Ò β Ò α Ò α Ò β º Ð Ø Ø Ú Ö Ð Ò ÑÓ Ø Û Ö Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {V α } ÓÑ Ø V Ò Û ÐÐ ÙÖ Ú ØÓÖ º Ï Ú Ò Ò e α = Λ β α e β ½½ µ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û Ø ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Òº À Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Ö Ø { e α } Ú Ò O Ð Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ú Ò { e α } Ú Ò O º Ð Û Ø Ú Ö Ð ¹ Ò Ñ Ø Ö Ð Ø ½½ µ Ò Þ Ò Û Ø Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ú Ö Ðغ ÇÑ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ ÒÓ Ñ Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ ÓÒØÖ Ú Ö Òغ Ï ÙÒÒ Ò ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ò O Ò O ÓÔ Ð ÚÓ Ø Ø Òº Ï ÙÒÒ Ò Ö ÐÚ Ò Ñ Ø Ò ÞÓÒ Ö ÒØ Ò Ú ÖÛ Ð Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò e β = Λ α β e α, en V α = Λ α β V β. ½¾¼µ Ø ÚÓÐ Ø ÓÓ Ù Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Ø ÖÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ø Ñ Ú Ö Ò Ö Òº Ø Ð Ø ØÓØ ÒØ Ø Ø Λ ν β Λβ α = δν α. ½¾½µ Å Ö ÓÔ Ø Û ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½µº Ï Ò Ò Ù ÓÚ Ö Ú ØÓÖ Ò Ñ Ø Ò ÚÓÓÖ Ð Ò R 2 º ËØ Ð Ø V i Ñ Ø i = 1,2 ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ø V i = (x 2,x 1 ) Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð x = {x i }º Ï Û ÐÐ Ò ÒÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Þ Ú ØÓÖ V i Ö Ò Ò Ò Ø Ý Ø Ñ x = {x i } Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø x 1 = (x 2 ) 2 0 x 2 = x 1 x 2. ½¾¾µ ÎÓÐ Ò Ò Ø Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ú Ö Ð Ò ½½ µ Ð Ø V i = V r Λ i r = V 1 xi x 1 + V 2 xi x 2, ½¾ µ Û Ö Û Ú Ö Ð Ò µ ÖÙ Ø Ò ÓÑ Λ i r Ù Ø Ø Û Ö Òº Ï Þ Ò Ø Û ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ñ ØÖ Ü ÒÓ Ò ÚÓÓÖ Ú Ð i = 1 Ò i = 2º Ï Ú Ò Ò ( x 1 x 1 ) ( ) x 1 x 0 2x 2 2 x 2 = x 2 x 1. ½¾ µ Ø Ø x 2 x 1 x 2 V 1 = V 1 (0) + V 2 (2x 2 ) = 2x 1 x 2 V 2 = V 1 (x 2 ) + V 2 (x 1 ) = (x 2 ) 2 + (x 1 ) 2 ½¾ µ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÒØÙ Ö Ó Ö Ò Ø Ò ÛÓÖ Ø Ø V 1 = 2x 2 V 2 = x 1 + (x2 ) 2 x 1. ½¾ µ

17 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á º º Ä Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ½¹ÚÓÖÑ Ó ÓÚ ØÓÖÚ Ð ) ÛÓÖ Ø Ò ÓÚ ØÓÖ Ò ÓÚ Ö ÒØ Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ó¹ Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( 0 1 Ò Ð Ó Ò ½¹ÚÓÖÑ ÒÓ Ñ º Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ¼ p Ø Ò Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð Ø ÓÔ Ö Ð Ø ÐÐ Ò p( V ) Ò Ö Ð Ø Ð ½ º ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò Ü ÓÑ ³ ÚÓÓÖ Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ º Þ ÖÙ ÑØ ÛÓÖ Ø Ù Ð Ú ØÓÖÖÙ ÑØ ÒÓ Ñ ÓÑ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ú Ò ÐÐ Ú ØÓÖ Ò V º ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò p ÛÓÖ Ò p α ÒÓ Ñ Ò Ö Ð Ø p α p( e α ). ½¾ µ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ð Ù Ö ÔØ Ô Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÙÔ Ö Ö ÔØ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Òº ÁÒ Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÛÓÖ Ø p( V ) Ú Ò ÓÓÖ p( V ) = p(v α e α ) = V α p( e α ) = V α p α. ½¾ µ Å Ö ÓÔ Ø Û Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ò ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ø Ú Ò ÙÒØ ÓÒ Ðº ÎÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø n = 4µ Ø Ø Ð p( V ) Ð Ò V 0 p 0 +V 1 p 1 +V 2 p 2 +V 3 p 3 Ò Û Ö Ò ÛÓÖ Ø ÓÒØÖ Ø Ú Ò V Ò p ÒÓ Ñ º ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò p ÓÔ Ò Ò Ö { e α } Þ Ò p α p( e α ) = p(λ β α e β ) = Λ β α p( e β ) = Λ β α p β. ½¾ µ Ð Û Ø Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ½¾¼µ Ò Þ Ò Û Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÓÔ ÔÖ Þ Ð Û Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ò Ø Ð Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Å Ø Ø Ò Ø Ð Ó Ð Ò Û Ñ Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Þ Û Ö Ú Ö Ð Ò ½¾¼µµº Ø ÖÙ Ú Ò ÒÚ Ö Ö Ò ÖØ Ø Ø V α p α Ý Ø Ñ ÓÒ Ò Ð ÚÓÓÖ Ö Ú ØÓÖ V Ò ½¹ÚÓÖÑ pº ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø ÒÐ Ò ØÓØ Ø ÛÓÓÖ Ù Ð Ò Ù Ð Ú ØÓÖÖÙ ÑØ º Ò Ô Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ñ Ø Ú ØÓÖ Ò Ø ÒÐ Ò ØÓØ Ó Ò ÓÚ Ö ÒØ Ú ØÓÖº ÇÑ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ÛÓÒ Ú ØÓÖ Ò Ø Ò Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò Þ ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ÒÓ Ñ º ÇÑ Ø ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ ÓÔ ÓÙÛ Ò ÙÒÒ Ò Û Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÓÒ Ò Ð ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð Þ Òº Ï Ò { e α } Ö ÖÙ Ø ÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ø Ò Ö Òº Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ Ó Ö ½¹ÚÓÖÑ ω α,α = 0,...,3 Ò Ö Ò Û Ù Ð Ò { e α } ÒÓ Ñ Òº Ø Û Ð Þ Ò Ø Û Ú ÖÞ Ñ Ð Ò { ω} Þ Þ Ò Ø p = p α ω α. ½ ¼µ Ï Ú Ò Ò ÓÔ Þ Ñ Ò Ö Ô ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð º Å Ö ÓÔ Ø Û ÒÓØ Ø Û Ö ÞÓ Ò Þ Ò Ø Û ÖÙ ÙÒÒ Ò Ñ Ò Ú Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ º Ð Û Ú Ö Ð Ò ½ ¼µ ÖÙ Ò Ú Ò Ò Û p( V ) = p α ω α ( V ) = p α ω α (V β e β ) = p α V β ω α ( e β ). ½ ½µ À Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÒØ Ð Ø Þ Ò Ò p α V α Ò ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø ω α ( e β ) = δ α β. ½ ¾µ ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ò ÖØ ½¹ÚÓÖÑ Ú ØÓÖ Ò Ù ÖØ Ò ÙÒ Ò ÖÙ Ö ½¹ÚÓÖÑ ¾ º Ì ÖÛ Ð Ò ÙÒØ Ò Ø Ð Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò ÑØ Ò Ò Ø Ð Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÔÐ Ú ÖØ Ò ÑØ Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÙÒØ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð Ú ÖØ Ò Ø Ð Ð Ö ÙÐØ Øº Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓØ Ð Ñ ÓÓÖØ Ò

18 ÙÙÖ Ä Ò Û Ö p( V ) Ð Ò ¾ º Ê Ø Ò ØÓÔÓÐÓ ÖØ ÑÓÒ ØÖ ÖØ Ö ÒØ ½¹ÚÓÖÑ ÐÓ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÓ Ø µº Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò ÓÓ Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ô Ðµ Ø ÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò Ø ÓÓÖ Ô Ð ÓÓÖ ÓÓÖ ÛÓÖ Øº Þ Ø ÖÓÓØ Ø ÚÓÓÖ Ö ¾µº Ú ØÓÖ Ò Ò Ò Û Ñ Ø Ð Ò Ò Ô Ð Ð Û Ò Ð ÒÓ Òº À Ø Ò Ò Þ Ò ÓÑ ÓÓ Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ø Òº Ø Ð ÑÓ Ø Ø Ø Ù Ø ÖÙ Ò Ø Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ðº ÁÒ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ò Ñ Ò Þ Ò ½¹ÚÓÖÑ p ÓÔ ÔÙÒØ P ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ð Ò ÒØ Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÚÐ Òº ÓÒØÖ Ø Ñ Ø Ò Ú ØÓÖ V Ò Ø ÒØ Ð ÚÐ Ò Ø ÓÓÖ Ú ØÓÖ ÓÓÖ ÓÓÖ ³ ÛÓÖ Øº ÀÓ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ð Ö Ø Ò Ó ÖÓØ Ö p( V )º À Ø Ù Ð Ñ ÓÚ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ø Û Ú ØÓÖ Ò ÓÓ ÙÒÒ Ò ÓÙÛ Ò Ð ÙÒØ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ð Ø ÐÐ Òº Ú Ò Ú ØÓÖ V Ö Ò Û Ò Ö Ð Ø Ð Ð Û Ú ØÓÖ ÚÓÓÖÞ Ò Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ V ( p) p( V ) p α V α. ½ µ Î ØÓÖ Ò Ò Ù Ò Ô Ð ÔÓ Ø Ð Ó Ø Ò Ð ÒÔÙØ Ò Ò ÚÓÓÖ Ø Ò ÓÖ Òº Ï ÙÒÒ Ò Ò Ú ØÓÖ ÓÓ Ð Ø Ò ÓÖ Þ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ðº Î ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò ÖÑ Ò Ð Ò ÝÑÑ ØÖ Ø ØÙ º ÎÓÓÖ Ø Û Ö Ú Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÐÙ Ø Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÒÓ Ò Ô Ð ½¹ÚÓÖÑ ÔÖ Ò Ö Òغ Ï ÓÙÛ Ò Ò º Ò Ð Ö Ú Ð φ( x) = φ(t,x,y,z)º Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Û Ö ÚÓÓÖ φ ÚÓÓÖ Ð ÙÖØ Ò Ñ Ñ Ø Ò Þ Û Ö Ú Ö Ò ÖØ ÚÓÓÖØ ÙÖ Ò º Ï Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Û Ö Ð Ð Ò Ñ Ø ÒØ τ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ø Ø ÓÒ ØÓ ÓÑ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Û Ö Ð Ð Ò Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ð ÙÒØ Ú Ò τº Ö Ð Ø [t = t(τ),x = x(τ),y = y(τ),z = z(τ)]º Ú Ö Ò Ð Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò U ( dt dτ, dx dτ, dy dτ, dz dτ ) Ò Ù Ð Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Û ÒØ Ø Ú ÖÔÐ Ø Ò Ú ØÓÖ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð ÒØ µº ÇÑ Ø φ Ò ÙÒØ Ú Ò t x y Ò z φ ÓÔ Û Ö Ð Ð Ò ÑÔÐ Ø Ò ÙÒØ Ú Ò τ φ(τ) = φ[t(τ),x(τ),y(τ),z(τ)]º Ñ Ø Ú Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò φ ÓÔ Ø Ú Ö Ð Ò Û Ö m = ρ(x,y,z)dxdydzº ¼ Æ Ø ÞÓ Ð Û Ú ØÓÖ Ò Ò Ú Ò ÓÓÖ Ò Ô ÐØ V µ ÓÚ Ò Ø ÝÑ ÓÓÐ Ø ÔÐ Ø Ò Ú Ò Û Ò Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÓÓÖ Ö Ò Ø Ð pµ ÓÚ Ò Ø ÔÐ Ø Òº ½  ÙÒØ ½¹ÚÓÖÑ Þ Ò Ð Ò ÔÔ Ö Ø Ñ Ø Ò Ð Ù º Ð Ò Þ Ð Ù Ò Ú ØÓÖ ÔÐ Ø Ø ÛÓÖ Ø Ò ÖÓÐØ Ö Ò Ø Ð Ù Ø Ø ÔÔ Ö Øº ¾ Ø Ò Ø Ò ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Òº Å Ò Ò ÒÚÓÙ Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ò Ö ½¹ÚÓÖÑ Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò ω = U α β ω β º

19 ÙÙÖ À Ø Ô Ò ÖÙ ÑØ Ø ÛÓÖ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÓÖ ÒØ τ Ú Ò Ò ÐØ º ÇÔ Ø τ 1 Ø Ø Ð Ö Ú Ð φ Û Ö φ(τ 1 ) Ò ÓÔ Ø τ 2 Û Ö φ(τ 2 )º Ú Ö Ò Ð U Ö Ú ØÓÖ Ò Û Ö Ð Ð Òº Û Ö Ð Ð Ò Ø Ð Ö Ø dφ dτ = φ dt t dτ + φ dx x dτ + φ dy y dτ + φ dz z dτ = φ t Ut + φ x Ux + φ y Uy + φ z Uz = dφ( U). ½ µ À Ø Ù Ð Ø Û Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ò Ð Þ Ò ÓÑ Ñ Ø Ú ØÓÖ U Ø Ø Ð dφ/dτ Ø ÔÖÓ Ù Ö Ò Ø Ñ Ø Ú Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò φ Ð Ò Û Ö Ð Ð Ò Û Ö Ò U Ò Ø Ò ÒØ Ú ØÓÖ º Ø Ø Ð dφ/dτ ÛÓÖ Ø Ú Ö Ö Ò Ñ Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ù Ð Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ú Ò U Ò ÖÑ Ò Û Ù Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ö º Î Ö Ð Ò Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ½¾ µ ØÓÓÒØ Ø Þ ½¹ÚÓÖÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò φ t, φ x, φ y, φ z غ Þ ½¹ÚÓÖÑ ÛÓÖ Ø Ö ÒØ Ú Ò φ ÒÓ Ñ Ò Ò Ù Ñ Ø dφº Ö Ð Ø ( φ dφ O t, φ x, φ y, φ ) z of ook dφ = φ met α φ = φ x α. ½ µ Å Ö ÓÔ Ø ÓÒ Ò ÒÓØ Ø dφ Ò Ø Ð Ò Ó Ø Ø Þ Òº Ï Þ Ò Ù Ú Ö Ö Ø Ö ÒØ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ø ÖÛ Ð Û Ò Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ð Ö Ò Ø Ø Ò Ú ØÓÖ ÖÓÓØ º Ö Ò ÖÚÓÓÖ Ø Ö Ò Ñ ØÖ ÒÓ ÓÑ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ö Ð Ø Ö Òº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Û Þ ÜØÖ Ñ Ø Ñ Ø ØÖÙØÙÙÖ ÒÓ Ò Ø Ò ÓÒÞ Ú Ö Ø Ø ÓÔ Ð º Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ ÒÓ ÓÒØÖÓÐ Ö Ò ÓÔ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÓÖ Ø ØÙ Ö Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Òº ÎÓÓÖ Ò ½¹ÚÓÖÑ ÑÓ Ø Ð Ò ( dφ) α = Λ β α ( dφ) β º Ï Û Ø Ò Ó Ô ÖØ Ð Ð Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ñ Ð φ x α = φ x β x β x α, Ø Ò Ø ÒØ Ø ( dφ) α = Λ β α ( dφ) β Û ÒØ Ú Ò Ø x β = Λ β α x α φ x β x β = Λ β φ x α α x β. Ð Ø ½ µ ½ µ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ö ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ñ Ø ÒÚ Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ö ÒØ Ù Ò ½¹ÚÓÖѺ

20 Î Ò ÒÙ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ô ÖØ Ð Ð Ò Ò Ù Ò Ñ Ø ÓÑÑ ¹ÒÓØ Ø º Ò Ø φ x φ,x of algemeen φ x α φ,α. Ö Ð Ø ½ µ Å Ö ÓÔ Ø Ò Ü α Ò Ð Ò Ö ÒØ Ð Ò ÓÚ Ò¹ Ò Ü ÓÔØÖ Ø Ò Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ò Ò Ò¹ Ò Üº º º Ð Ñ Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò ( ) 0 2 Ø Ò ÓÖ Ò Þ Ò Ø Ò ÓÖ Ò ØÛ Ú ØÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ò Òº Ò ÚÓÓÖ Ð Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ñ Ö Ò ÒÚÓÙ Ö ÚÓÓÖ Ð Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Òº Ï ¹ ÖÙ Ò Ö ÚÓÐ Ò Ö Ð Ð p Ò q ½¹ÚÓÖÑ Ò Þ Ò Ò p q ( ) 0 Ø Ò ÓÖ 2 Ð Ú ØÓÖ Ò A Ò B Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò Ö Ø Ø Ø Ð p( A) q( B) ÔÖÓ Ù Öغ À Ø Ù Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ø ÐÐ Ò ÔÖÓ Ù Ö ÓÓÖ ( ) 0 Ø Ò ÓÖ Òº À Ø ÝÑ ÓÓÐ ÛÓÖ Ø 1 ( ) Ø Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ ÒÓ Ñ Ò Ø ÓÖÑ Ð ÒÓØ Ø Ó Û Ò 0 Ø Ò ÓÖ ÑÓ Ø Ò Ñ Ò¹ 2 Ø ÐÐ Ò Ù Ø ½¹ÚÓÖÑ Òº ÇÚ Ö Ò Ò Ø ÓÑÑÙØ Ø p q q p Þ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ÓÖ Òº Ö Ø Ø Û Ö p( A) q( B) Ò ØÛ q( A) p( B)º ( ) Ñ Ø Ð Ñ Ò 0 2 Ø Ò ÓÖ Ò ÒÚÓÙ Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ Ú Ò ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ñ Ö Ò Û Ð ÐØ ÚÓÓÖ Ø Ð ÛÓÖ Ò Ð Ò ( ÓÑ ) Ú Ò Ö Ð Ø Ò ÓÖ Òº À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ 0 Ø Ò ÓÖ fº Ö Ð Ø f 2 αβ f( e α, e β ) Û Ö Ð Ò Ü Ú Ö Û Ö Ò Ò ÒÒ Ñ Ò ÚÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø º ÁÒ ØÓØ Ð Ø f Ù ½ ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº Û Ö Ú Ò f ÚÓÓÖ Û ÐÐ ÙÖ Ú ØÓÖ Ò f( A, B) = f(a α e α,b β e β ) = A α B β f( e α, e β ) = A α B β f αβ. ½ µ ÚÖ Ó Û Ò ÙÒÒ Ò ( ) ÚÓÖÑ Ò ÚÓÓÖ Þ Ø Ò ÓÖ Ò º ÃÙÒÒ Ò Û Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ø Ò Ù Ø ½ Ú Ö ÐÐ Ò 0 Ø Ò ÓÖ Ò ω αβ Ò Ö Ò ÞÓ Ø Ð Ø f = f 2 αβ ω αβ Ð Ø ÞÓ Ò ÒØ Ø Ð Ò f µν = f( e µ, e ν ) = f αβ ω αβ ( e µ, e ν ) ½ ¼µ Ò Ø Ø ÒØ Ø ÑÓ Ø Ð Ò ω αβ ( e µ, e ν ) = δ α µ δβ ν. ½ ½µ ÎÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¾µ δ α µ Û Ö Ú Ò ω α ÚÓÓÖ e µ Ò ØÞ Ð Ð Ø ÚÓÓÖ δ β νº ÖÓÑ ω αβ Ò Ø Ò ÓÖ Û ÖÚ Ò Û Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Û Ö Ò Ú Ò ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Òº Ï ÓÒÐÙ Ö Ò Ö ÐÚ ω αβ = ω α ω β. Ø Ò ÓÖ Ò ω α ω β ÚÓÖÑ Ò Ò ÚÓÓÖ ÐÐ ( ) 0 2 Ø Ò ÓÖ Ò Ò Û ÑÓ Ò Ö Ú Ò ½ ¾µ f = f αβ ω α ω β. ½ µ ÇÔ Þ Û Þ Ò Ð Ñ Ò ( 0 2 ) Ø Ò ÓÖ Ò ÓÑ ÓÚ Ö ÒÚÓÙ Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ Ø Ò ÓÖ Òº Î Ö Ð Ø Ò Ñ Ø Û Ø Û Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¼µº

21 Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( ) M N Ò Ð Ò ÙÒØ µ Ú Ò M ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò N Ú ØÓÖ Ò Ò Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ð Ú Ò Þ Ò M + N Ö ÙÑ ÒØ Ò º Å Ö ÓÔ Ø Þ Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÔÖ Ø ÓÚ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Òº Ø Ò ÓÖ ÒØ ØÞ Ð Ö Ð Ø Ð Ð Ù Ø ÓÑ Ø Ø Ú Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ø ÖÙ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñº Æ Ø Ð Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÓ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº Ò Ø Ð ÚÓÐ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ O Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( ) M N Þ Ò Û Ö Ò Ú Ò ÙÒØ Ð Ñ Ò ÚÓÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò { e α } Ò Ú ØÓÖ Ò { e α } Ú Ò Ø Ý Ø Ñ O Ö٠غ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Þ Ò Ù Ò Ð Ú Ò Ø Ö Ö Ò¹ Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÓÑ Ø ÑÑ Ö Ô Ö Ý Ø Ñ Ú Ö Ðغ Ø Ò ÓÖ Þ Ð Ò Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ø Þ Ð Ø Ò Ø Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÓÒ Ò Ð Þ Ò Ò ÛÓÖ Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð º º Å ØÖ Ø Ò ÓÖ ÌÓØ ÒÙ ØÓ Ò Û ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ø Ò ÓÙÛ Ò Ö Ð Ø ÒÚÓÙ ÚÓÖÑ Òº Ú Ö Ø Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Ö ÒØ Ö Ö Û Ö ÓÓÖ Û ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ò Ö Ø Ò ÓÖ Ò ÙÒÒ Ò Ò Ö Òº Î Ö Ö ØÖ Ø Ø Ò ÑÓÖ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÔÙÒØ Ò Ó ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òµº Ö ÒÓ Ò Ñ Ø ÙÒ Ò Ö º Ó ÙÒÒ Ò Û ØÛ Ú ØÓÖ Ò Ó ½¹ÚÓÖÑ Òµ Ò Ø Ð Ò ÓÔ Ò Ö Ð Ø Ðº Ö Ò ÓÓ ÒÓ Ò ÓÒ ÔØ Ú Ò ÒÔÖÓ Ùغ ( ) Ð ÚÓÐ Ò Ø Ô Þ Ò Û ÒÙ Ò 0 2 Ø Ò ÓÖ g Ú Ò Ö Ú Ø Ø µ Ò Ø Ø Ó Ò Ð Ñ ØÖ Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ò Ö Ð Ú Ö Ø Ø ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Øº Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ñ Ø Ø ÑÓ Ð ÓÑ Û Ö Ø µ Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ø Ö Ò Ò Ó Ø Ð Ö ÔÖÓ ÙØ ÒÔÖÓ Ùص Ú Ò ØÛ Ú ØÓÖ Ò Ø Ô Ð Òº ÇÓ ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÓÔ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÖØ ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Òº Ï Ò Ö Ò g( A, B) A B, ½ µ Ò ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÝÑÑ ØÖ g( A, B) = g( B, A)º Ï ÓÙÛ Ò g(, ) Ð Ò ÙÒØ Ñ Ø ØÛ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Þ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÚÓÓÖ Ð g(α A + β B, C) = αg( A, C) + βg( B, C). ½ µ Å Ö ÓÔ Ø Þ Ò Ø Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÖÙ Ñ Ø Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ñ ØÖ Ò Û Ö Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÁÒ Ò Ô { e α } Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Þ Ò ÓÓÖ g( e α, e β ) = e α e β = g αβ. ½ µ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ ÓÑ Ø ÞÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ò Ð Ò ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Òº ÇÑ Ø Ö Ô Ò Ó Ø Û Ö Ø ÓÙÛ Ò Û g Ò Ò Ò Ð Ú ØÓÖ V º ÇÑ Ø g ØÛ Ú ØÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÒÓ Ø ÙÒÒ Ò Û Ù Ø ÖÙ Ò g( V, ) Û Ö ÒÓ Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÒØ Ö Ø ÓÙÛ Ò Ð Ò ÙÒØ Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ð Ñ Ò Ò g( V, ) ÒÓ Ò Ú ØÓÖ ØÓ ÒØ Ò Ö Ò Û Ò Ö Ð Ø Ðº Ò Ö Ð Ð Ò Ö ÙÒØ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø Ð ÔÖÓ Ù ÖØ ÒÓ Ñ Ò Û Ò ½¹ÚÓÖѺ Ï ÒÓ Ñ Ò Ø Ṽ º Ö Ð Ø g( V, ) Ṽ ( ), ½ µ Å Ò Ò Ò Ö Ð Ø Ò ÓÖ ÓÔÚ ØØ Ò Ð Ò ÔÔ Ö Ø Ñ Ø M Ø Ò Û Ö Ñ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò N Ø Ò Û Ö Ñ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ò ØÓÔÔ Òº Æ Ø Ñ Ò M ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò N Ú ØÓÖ Ò Ö Ò ØÓÔØ Ø ÖÓÐØ Ö Ò Ö Ð Ø Ð Ù Ø Ø ÔÔ Ö Øº Ù Ø ÓÑ Ø Ð Ò Ö Ò Ð Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð ÒÔÙØ ÖÙ Ø Þ Òº

22 Û Ö Û ØÙ Ò Ø Ú ØÓÖ Ö ÙÑ ÒØ ÑÓ Ø Ò ÒÐ Ú Ö Òº Ò Ð Ø Ø Ṽ ½¹ÚÓÖÑ ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ A Û Ö V A غ Ö Ð Ø Ṽ ( A) g( V, A) = V A = V α A α = V α A α. ½ µ ÇÑ Ø g ÝÑÑ ØÖ ÙÒÒ Ò Û ÓÓ Ö Ú Ò g(, V ) Ṽ ( )º ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ṽ Ú Ò Ò Û Ð ÚÓÐ Ø V α Ṽ ( e α) = V e α = e α V = e α (V β e β ) = ( e α e β )V β = g αβ V β. ½ µ À ÖÑ Ò Û Ö Ð Ø ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÚÓÒ Ò V α = g αβ V β. ½ ¼µ Ï ÓÒ Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α Ú Ò Ú ØÓÖ V Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ṽ ÐÐ Ò ÓÓÖ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ü αº ÒÚ Ö Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ø ÓÓ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ù Ñ Ø g αβ º À ÖÑ Ú Ò Ò Û V α = g αβ V β. ½ ½µ ( 1 0 ) ( ) Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò 0 1 Ø Ò ÓÖº Ï ÖÙ Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ð Ð Ò ØÙ Ò º ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ÙÒÒ Ò Û Ò ( ) M Ø Ò ÓÖ Ð Ò ( N 1 M + 1 ) ÓÔ Ò Ø Ò ÓÖ Ó ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò ÒÚ Ö Ñ ØÖ ÓÔ Ò Ø Ò ÓÖº À Ø ÖÙ Ð ÓÑ ÚÓÓÖ Þ Ó Ö Ø Ò ÓÖ Ò ØÞ Ð ÝÑ ÓÓÐ Ø ÖÙ Ò Ñ Ö Û Ò Ò ÓÒ ÖÚ Ò ÛÙ Ø Ø Þ Ò Ø Û Ø Ñ Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ÓÖ Òº ËØ Ð T αβ ) γ Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖº Ò Þ Ò ( 1 2 ) ( 2 1 T α βγ g βµt αµ γ N ( N + 1 M 1 ) ½ ¾µ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ Ø Û Ø ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Ö ÙÑ ÒØ Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ú ØÓÖº Ï ÒÓ Ñ Ò Ö Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ø Ò Ö ÓÚ Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ò ÖÙ Ò Ö Ñ ØÖ Ð Ð Ò º Ï ÙÒÒ Ò Ø ÓÓ Ó Ò Ñ Ø Ñ ØÖ Þ Ð Ò Ú Ò Ò g α β gαµ g µβ = δ α β. ½ µ Ð Ø Ø Ø Ô ÚÓÐ Ø Ù Ø Ø Ø Ø g αβ Ò g αβ Ð Ö ÒÚ Ö Ð Ò Þ Òº Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ò Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Ø Ð Û Ö Ø ÓÓ Ð Ò Ø Ð Ò Ò ÙÖÚ ÚÓÐ Ó Ø Ò ds 2 = g ij dx i dx j, ½ µ Û Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ g ij = g ij (x 1,x 2,...,x n ) ÓÒØ ÒÙ ÙÒØ Þ Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ Òº ÁÒ Ø Ô Ð Ú Ð Ø g ij = δ ij Ö Ù ÖØ Ö Ñ ÒÒ ÖÙ ÑØ ØÓØ ÙÐ ÖÙ ÑØ E n º ÖÙ ÑØ ÚÐ Ð Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ú Ò Ò Û ÖÚÓÓÖ ds 2 = ǫ i (dx i ) 2 Û Ö Ö ǫ i Ð Ò +1 Ó 1º Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø ÚÐ ÛÓÖ Ø ÖÓÑ ÒÓ Ñ º Ï Ú ØØ Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ñ Ò Ò ÐÐÙ ØÖ Ö Ò Ø Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð Ù Ø ÙÐ ÖÙ ÑØ º

23 ÎÓÓÖ Ð Ù Ð Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ï ÓÙÛ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ø ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y, z) Ò ÓÖ Ò Ú Ò Ò ¹ Ú ØÓÖ Ò { i, j, k}º Ï ÖÙ Ò Ø Ý Ø Ñ Û Ö Ð Ð Ñ Ò Ö Ö ÒØ ÓÑ Ò Ò Ö Ò Ø ÖØ Ý Ø Ñ (u, v, w) Ø Ö Ú Òº Ï ÙÒÒ Ò Ö ÒØ Ú Ò Ò Ð Ö ÙÒØ ÓÙÛ Ò Ð Ò ½¹ÚÓÖѺ Ì Ò Ò Ø Ù Ð Ø Ñ Ò Ò Û Û Ö Ú Ò Ø ÖÙ Ò Ö ÓÒÞ Ö Ú Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ º Î Ö Ð Ò ½½¾µ Ø Ò ØÙÙÖÐ { e u, e v, e w} ÓÔ ÔÙÒØ P Û Ö Û Ó Ö Ò Ø Ò (u, v, w) ÖÙ Ò ÓÑ ÔÙÒØ Ò Ø Ð Ð Òº Ö Ò Ò Ö Ñ Ò Ö ÓÑ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ (u, v, w) Ø ÖÙ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÓÔ ÔÙÒØ Pº ÐÐ Ö Ö Ø ÒÚ ÖØ Ö Ò Û Ú Ö Ð Ò Ò ½¼ µ ÓÑ u v Ò w Ø Ö Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò x y Ò z u = u(x, y, z), v = v(x,y, z), w = w(x, y, z). ½ µ Ø Ø ÐØ ÓÒ Ò Ø Ø ÓÑ Ð Ó Ö Ò Ø Ð Ò Ð Ö Ú Ð Ø ÓÙÛ Ò Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ö Ò Òº u = u x i + u y j + u z k, v = v x i + v y j + v z k, w = w x i + w y j + w z k. ÇÔ Ð ÔÙÒØ P Ø Ò Þ Ö ÒØÚ ØÓÖ Ò ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ó Ö Ò ØÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÓÖ P ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ò Ñ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ò u = u 0 v = v 0 Ò w = w 0º Ï Ò ÖÓÑ Ñ Ø { u, v, w} Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÔ Pº Þ Ù Ð Ú Ò Ú Ò Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Òº Ì Ò Ò Þ Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ ÖÙ Ò Û Ò Ð ÙÔ Ö ÔØ Ò º Ä Ø Ò Û ÒÙ Ò ÓÒÖ Ø ÚÓÓÖ Ð ÓÙÛ Òº Ö Ð Ø ½ µ e u u, e v v, e w w. ½ µ x = u + v, y = u v, z = 2uv + w, ½ µ Û Ö < u <, < v <, < w < º ÁÒÚ ÖØ Ö Ò Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø u = 1 2 (x + y), v = 1 2 (x y), w = z 1 2 (x2 y 2 ), ½ µ Û Ö Ò Û ÙÒÒ Ò Þ Ò Ø Ó Ö Ò ØÚÐ Ò u = u 0 Ò Ñ Ð ÚÐ Ò ÚÓÖÑ Ò Ò Ø ÞÓ Ð v = v 0 Ø ÖÛ Ð Ó Ö Ò ØÚÐ Ò w = w 0 Ò Ñ Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐÓ Ò ÚÓÖÑ Òº ÔÓ Ø Ú ØÓÖ r ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ r = (u + v) i + (u v) j + (2uv + w) k, ½ ¼µ Û ÖÑ Û ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ e u = r/ u = i + j + 2v k, e v = r/ v = i j + 2u k, e w = r/ w = k ½ ½µ Ú Ò Òº ÐÐ Ò Ð Ø Ø Ú ØÓÖ Ò Ò Ú ØÓÖº Ò Ú Ò ÒÔÖÓ ÙØ Ò e u e v = 4uv e v e w = 2u Ò e w e u = 2v Ò Ø Ð Ñ Ò Ð Ò ÒÙк À Ø Ý Ø Ñ Ù Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ðº Ï Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú Ò Ù Ð e u = u = 1 2 i j, e v = v = 1 2 i 1 2 j, e w = w = x i + y j + k = (u + v) i + (u v) j + k. Ï Þ Ò Ø Ò Ø Ð Ñ Ò e u Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø e u e v Ò Ø Ñ Ø e v Ò e w Ò Ø Ñ Ø e wº Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð λ Ò ÙÒÒ Ò Û ÓÔ Ð ÔÙÒØ P Ú ØÓÖ λ Ö Ú Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ { e u, e v, e w} Ó Ù Ð { e u, e v, e w }º Ï Ö Ú Ò ½ ¾µ λ = λ i e i = λ i e i. ½ µ ÓÓÖ Ò Ð ÙÔ Ö Ö ÔØ Ò Ø ÔÐ Ø Ò ÙÒÒ Ò Û Û Ö ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ð ÒØ Ò ÓÑÔ Ø Ò ÜÒÓØ Ø º

24 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¼ ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Å Ò ÓÛ Ò Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ö Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º ÒÚÓÙ Ò Ð Ò Ò Ú Ò ËÊÌ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÓÖ Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Þ Ð Ò Ø ÜÔÐ Ø Ñ Ö Ú Ò ÓÒ Û Ð ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Û ÒÓ Ò ÓÑ Þ Ø Ð Òº ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Û Ø Ò Û Ø Ö ÚÓÓÖ ÙÖ Ø Ð Ð Þ Ò ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò ÞÓ Ò Ñ ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ò Ø Ð ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Þ Ò ÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ø Ò Ò ( t, x, y, z) Ò Ò Ö Ð Ö Ñ Ò Ø Ø Ð s 2 = c 2 ( t) 2 + ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 ½ µ ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ø ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ º Ð Û ÓÒÞ Ó Ö Ò Ø Ò Ö Ò Ö Ò ÓÓÖ x 0 = ct,x 1 = x,x 2 = y,x 3 = z Ò Ö Ð ØØ Ö ÖÙ Ò Ð ÖÙ ÑØ Ø Ò Ò Ú Ò Ò Û s 2 = ( x 0 ) 2 + ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 = η αβ x α x β, ½ µ Û Ö η αβ = diag( 1,1,1,1)º Ï Þ Ò Ø V W = η αβ V α W β Ò η αβ Ò Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ ÚÓÖÑØ Ó Ö ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð º Ï Þ Ò Ö Ø Ó¹ Ø ØÙ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Þ Ò Ó Ö ½¹ÚÓÖѺ ÁÒ Ò ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ð Ø U 0 = η 0α U α = U 0, en U x = U x,u y = U y,u z = U z. ½ µ Ò Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ñ ØÖ g ÛÓÖ Ø Ò Ð Ò Ñ Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ø ÒÓ Ñ Ð Ö Ò Ò Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ð Ú Ö Ø Ø Ø Ò Û Ö Ò g ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò η αβ غ