¾
|
|
- Gunnar Overgaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ñ Ø Ñ Ø Ã Ò Ú Ò Í Ò Ú Ö Ø Ø ½½º ÙÒ ¾¼½¼ Ù Ð Ó ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ø Ò ËÐ ØÓÖÒ ÐÓÖÔÖÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Î Ð Ö Æ Ø Ð Ï Ð
2 ¾
3 ÁÒ ÓÐ Ê ÙÑ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö ½ ¾ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ù Ð n¹öùñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º¾ Ë Ö n¹öùñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º ÀÝÔ Ö ÓÐ n¹öùñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ó Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾º½ E n º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾º¾ S n º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾º P n º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º H n º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ Ë Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÅÓ ÖÒ ØÓÐ Ò Ò Ù Ð ÓÑ Ö ¾ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ù Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ó Ö Ö ¾ ÄÙ Ö º½ ÃÐ Ö Ò ÐÙ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ù ¹ ÓÒÒ Ø ØÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
4 Ê ÙÑ Ì Ø Û ÐÐ Û Ø ØÓÖ Ð Ô Ø Ú Û ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÙÐ Ò Ò ÒÓÒ¹ ÙÐ Ò ÓÑ ØÖݺ ËØ ÖØ Ò Û Ø ÙÐ ÑÓÖ Ø Ò ¾¼¼¼ Ý Ö ÓÐ Ü ÓÑ Ø Ý Ø Ñ ÓÖ Ø ÔÐ Ò Ö ÓÑ ØÖÝ Û Û ÐÐ ÓÛ Ò Ò Ò Ð Ü ÓÑ Û ÐÐ Ð ØÓ Ò Û ØÖ Ø ÓÑ ØÖ º ÁÒ ÔØ Ö ÓÒ Û Û ÐÐ Ú ÓÖØ ÐÓÓ Ø Ø ØÓÖÝ Ò Ø ÓÚ ÖÝ Ó ÒÓÒ¹ ÙÐ Ò ÓÑ ¹ ØÖ Ò Ò ÔØ Ö ØÛÓ ÐÓÓ Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø Ö Ö Ø Ö Ø º Ì ÔØ Ö Û ÐÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ù ÐØ ÙÔ Ù Ø Ø Ø Ù Ð ØÝ ØÛ Ò Ô Ö Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ÑÔ Þ º Ø Ö Ø ÔØ Ö Ø Û ÐÐ Ñ Ò ØÓ Ø Ð ÓÙØ Ò Ð Ò ØÖ Ø Ð Ò ÓÒ ÙÖÚ Ù Ò Ò Ø Ø Û Ý ÔÓ Ð ØÓ ÑÓ ÖÒ Þ Ò Ò Ö Ð Þ ÙÐ ³ Ü ÓÑ Ó Û Ò Ù Ø Ñ ØÓ Ýº Ì Ð Ø ØÛÓ ÔØ Ö Û ÐÐ Ö ÕÙ Ö ÓÑ ØÓÔÓÐÓ Ð ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ò Ú Ñ Ø Ó ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÙÐ Ò Ô Ö Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÙÖ Ò ØÓ Ø Ò ÙÓ ØÓÔÓÐÓ ÐÝ Ö ÒØ ÙÖ º Ï Û ÐÐ Ð Ó Ø ÐÓÓ Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò ÓÑ ØÖÝ Ó ÐÓ ÙÖ Ò ÑÓÒ ÓØ Ö Ø Ò ÓÛ Ø Ù ¹ ÓÒÒ Ø Ì ÓÖ Ñº Ê ÙÑ Ô Ò ØÖ Ø Ò Ò µ ØØ ÐÓÖÔÖÓ Ø Ú Ð Ñ Ø ØÓÖ Ô Ø Ú Ò Ö ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ù Ð Ó ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ º Å Ò Ù Ò ÔÙÒ Ø Ù Ð ÓÚ Ö ¾¼¼¼ Ö ÑÐ ÓÑ Ý Ø Ñ ÓÖ ÔÐ Ò ÓÑ ¹ ØÖ Ò Ú Ð Ú ÚÓÖ Ò Ò Ò Ö Ò Ø Ò ÐØ ÓÑ Ú Ð Ð Ø Ð ÒÝ Ó ØÖ Ø ÓÑ ØÖ Öº Ø Ö Ú Ô Ø Ð Ø ÓÖØ Ö Ô ØÓÖ Ò ÓÔ Ð Ò ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ú Ð Ú Ô Ø Ð ØÓ Ø Ó Ñ ÓÔ Ý Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ö Ú Ñº ØØ Ô Ø Ð Ú Ð ÚÖ ÖÙÒ Ð Ò Ó Ö ÓÔ Ý Ø Ù Ð Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ Ö Ö Ñ Ú º Ø Ö ØØ Ô Ø Ð Ú Ð Ø Ú Ñ Ò Ò Ø Ò ÓÑ Ú Ò Ð Ö Ó Ö ØØ Ð Ò Ö Ô ÖÙÑÑ Ö Ó Ô Ò Ñ Ð Ú ÑÙÐ Ø Ø ÑÓ ÖÒ Ö Ó Ò Ö Ð Ö Ù Ð ÓÑ Ö Ú Ó Ò ÖÙ Ñ º Ø ØÓ Ô ØÐ Ö ÖÚ Ö Ò ÑÙÐ ØÓÔÓÐÓ ÓÖ Ø Ð Ó Ú Ö Ò Ñ ØÓ Ø Ð Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ Ö ÑØ Ø ÐÒ Ñ ÐÐ Ñ ØÓÔÓÐÓ ÓÖ ÐÐ Öº Î Ú Ð Ó Ô ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ØÓÔÓÐÓ Ó Ð Ò Ø Ò Ø Ú Ù ¹ ÓÒÒ Ø ØÒ Ò º
5 ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ Ö Ò Ð Ø Ú Ò Ö Ó Ù Ð ³ Ð Ñ ÒØ Ö³ Ö Ø ÚÖ Ö Ö Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò Ò ÓÖ Øº Ö Ö ÓÑ Ö Ò Ö ¼¼ º Öº Ù Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÓÑ Ø Ð Ø ÒÒ ÓÖ ØÙ Ø ÓÑ ØÖ Ñ Ö Ò ¾¼¼¼ Ö Ø Ö Ð Ú Ö Ú Øº Å Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ú Ð ÓÖØ Ø Ó Ú Ð Ú Ò ÔØ ÒÓ ØÖ Ø Ù Ð ÚÖ Ö ÓÑ ÚÖ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø º Ù Ð ÝÒ Ø Ø Ö Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ÓÑ ÓÑ Ö Ó Ù Ø Ú ØÒ Ò Ö Ú Ö Ø Ò Ñ Ø ÒÝ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÓÑ ØÖ Ò Ôº Å Ø Ñ Ø ØÒ Ò Ö ÒÝ Ò ÚÖ ÒÖ ÔÐÙ Ð ÙÐÐ Ú Ò Ó Ö Ñ Ò Ø ÚÖ Øº ÁÒ Ö Ð Ò Ú Ö Ð Ú Ö Ú Ð Ø Ñ Ø ØÓÖØ Ó Ú Ø Ø Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ò Ú Ð Ñ Ò Ò ÓÑ Ò Ö Ø Ö ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð Ú Ö Ø ÒÖÑ Ö Ñ Ò ¾¼¼¼ Ö Ø Ö ÓÔ ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ º Ñ Ò Ö Ò Ø Ö ÐÓ Ø Ò Ø Ò Ö ÓÑ ØÖ Ö Ò Ò Ù Ð Ò Ö ÓÑ ØÖ Ò ÖÓÐÐ Ö Ø ÚÖ Ò Ò ØÙÖ Ö Ú Ð Ø Ð Ø ÚÖ Ò ØÖ Ø Ø ÓÖ º Ù Ð Ú Ö ÐØ Ñ Ø Ð Ø Ò Ö ÝÒ Ø Ô Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ò ÓÔ Ð Ò Ù Ð ¹ ÓÑ ØÖ Ú Ö Ñ Ø Ð Ø Ò Ö Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø Öº Å Ò ÓÔ Ð Ò ÒÝ ÓÑ ØÖ Ö Ø Ù ÐÙ Ò ÓÖÚ ÖÖ Ò ÓÚ Ö ÚÓÖ Ò Ò ØÙÖ Ò ÓÔ ÖØ Ø Ø Ó Ò Ò Ú Ò ÖÙÒ ÓÖ Ö ÓÑ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Òº Á Ö ÚÓÖ Ø Ù Ô Ò Ö Ø Ð Ò Ò ÐÝ ØÖÐ Ó Ö Ú Ø Ø ÓÔ Ö Ø Ö ¹ Ù ÓÑ ØÖ º ÃÙÒ Ú ØÝÒ ÐØ Ö ÓÑ ÂÓÖ Ò Ö ÓÑ ØÖ Ò Ø ÐÒÖÑ Ð Ú Ø Ù Ð º Á Ö Ø Ô Ø Ð ØØ ÔÖÓ Ø Ú Ð Ú Ô Ù Ð Ö ÑØ Ñ ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ó ÓÖØ ÓÖ Ð Ö ØÓÖ Ò ÓÔ Ð Ò ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ º Ø Ð Ø Ø ½º ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ø ³ Ö Ò ØÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø Ò Ø ÔÙÒ Ø³ Ó Ø Ö Ò ØÖ Ò ÒØÝ Ö Ø Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø Ò Ø ÔÙÒ Øº ÀÚ Ò Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ö Ú ÙÒ Ñ Ö Ò Ö Ú Ò Ö Ñ ÚÐ Ú Ð ÓÚ Ö ØØ Ö Ú ØÖÓÖ Ôº À Ö Ö Ú Ú Ð Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ö Ð ÂÊ ØØ Ö Ø Ö ÓÑ ØÖ Ó Ö ÐÐ ÔØ Ò ÓÑ Ø ÓÔ ÝÐ ÔÓ ØÙÐ Ø Øº ÀÚÓÖ Ò Ø ÓÚ Ö ÓÚ Ø Ð Ú Ö ÑÙÐ Ø Ø Ò ÓÑ Ö ØØ Ð Ò Ö Ô ÖÙÑÑ Ö Ö Ú Ô Ô Ø Ð ØÓ ÚÓÖ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ n¹öùñ Ð Ú Ö ÒØÖÓ Ù Ö Øº À Ö Ú Ð Ú Ó Ô Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ú Ø Ö Ù Ð Ó ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Ö Ö Ò Ú Ò Ð ÙÑ
6 ÓÑ Ö Ò ÓÐ Ú Ø ÖÖ Ð ÐÐ Ö Ñ Ò Ö Ò ½ ¼ Ö Öº ÐØ ØØ Ú Ö Ó Ò Ò Ú Ò ÖÙÒ Ø Ð Ø Ú Ô Ø Ð ØÖ Ò Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÖÒ Ñ Ø ÓÔ ØØ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ôº ØØ Ô Ø Ð Ö ÓÖØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÚØ Ñ Ò Ú Ö Ø Ó Ø Ò Ð ÚÓÖ Ò Ñ Ò Ø Ð Ú Ñ Ø Ñ Ø Ô Ö Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ø º ØØ Ø Ö Ð Ô Ø Ð Ö Ò ÒØ Ö ÒØ ØÒ Ò Ö Ú Ö Ò Ñ ØÓ Ø Ð Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ù ¹ Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ Öº Ú Ø Ö Ð Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ò Ó Ø Ö ØØ Ö ÒÒ Ñ Ô ØÐ Ø Ú Ð Ð Ú Ý Ø ÓÔ Ø Ð Ø ÙÒÒ ÒÒ Ñ Ö º Á Ø Ø Ô Ø Ð Ö Ú Ô ÓÑÔ Ø Ö Ó Ø ÖØ Ö Ñ Ø Ð Ö Ñ Ù Ö Ö ÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ ÙÐÐ Ö Ó Ö ÓÖ ÒØ Ö Ö º ØÓÔÓÐÓ Ò Ö Ú Ð Ú Ø ÐÚ Ð Ô ØÐ Ø ÓÖ Ò Ñ Ò ÓÑ ØÖ Ú Ò Ú Ö Ö Ô Ø Ð ØÓ Ó Ú Ø Ö Ö Ò ÑÑ Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ò ØÓÔÓÐÓ Ó ÓÑ ØÖ Ò Öº Ø Ö ÓÚ Ð Ø Ó Ò ³ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö ÓÐ Ñ Ò ÓÐ ³ ÂÓ Ò º Ê ØÐ Ö Ö ÖÙ Ø ÒÒ Ñ ÔÖÓ Ø Øº Á Ö Ø Ô Ø Ð Ñ Ø ØÓÖ Ô Ø Ö Ö Ó Ó Ø Ö Ø Ô ØÐ Ö ÚÖ Ð Ö Ò Ú Ø Ð Ð Ø Òº Ú
7 à ÈÁÌ Ä ½ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ù Ð Ú Ö Ú Ø Ñ Ò Ú Ò Ö Ø Ø Ð Ø Ø ÐÐ Ø ÓÑ Ý Ø Ñ ÓÔ ÓÖ ÔÐ Ò ÓÑ ØÖ º Ö Ø ÚÖ ÐÖ Ò ÓÑ Ø Ò Ò Ö Ò Ø ÓÑ ØÖ ØÝ Ö ÓÖ ÓÔÑÐ Ò µ Ð Ú ÓÑ ØÖ Ø Ð Ò Ù Ø Ú Ú Ò Ö Ù Ö ÒÓ Ð ÓÑ Öº Ù Ð Ú Ó Ò ÐØ Ò Ò ÓÔ ØØ Ð ÓÑ Ö Ò Ò Ú Ö º ÓÑ ÖÒ ÙÐÐ ÚÖ Ò ÐÝ Ò Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ð Ò ÓÑ Ú Ú ¹ ÓÑ ÚÓÖ Ø ÓÑ Ý Ø Ñ Ò ÚÖ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ØÖ Ø ÖÙÒ Ð ÓÑ Ö Ú Ø Ò ÓÒ Ø Òغ Ù Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ú Ö Ò ÚÒ Ø Ô ÒØ Ø Ñ Ò Ö Ò ½ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ø Ó Ù ÖÐ Ø Ö ÚÒ Ö ÓÑ Ù Ð Ö Ú ÓÑ Ö Ò Ö ¼¼ º Öº Ò Ö Ø Ó Ø ÖØ Ö Ñ ¾ Ò Ø ÓÒ Ö Ó Ø ÓÑ Ö ÚÓÖ Ö Ø Ñ ÓÑ Ö Ó Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Öº Ñ ÙÐÐ ÚÖ Ù Ð Ø Ù Ô ÖÙÒ Ð Ò Ò ØÒ Ò Ö ÓÑ ÔÐ Ò ÓÑ ØÖ Òº Ø Ö Ð Ò Ñ ÓÑ Ö Ú Ö Ö Ö Ò Ö ÐÐ ØÒ Ò Ö Ö Ñ ÒØ Ø Ð Ð Ú Ò º Ê Ø Ò Ö Ø Ó ÑØ ½¾ Ò Ö Ö ØÖ Ñ Ò ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ ØÒ Ò Ö Ö Ù Ð Ö ÓÑ Öº Ø Ö Ñ ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ñ ÓÑ Ú Ú Ð Ø Ó Ñ ØØ ÔÖÓ Øº Ö ½º Ö Ò ØÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø Ð Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø Ò Ø ÔÙÒ Øº ¾º Ò Ò Ð Ö Ø Ð Ò Ò ÓÖÐÒ Ù Ò Ù Ò Ð Ö Ø Ð Ò º º Ò Ö Ð Ò Ø Ò Ñ Ò Ú Ð Ò ÓÑ Ð Ø Ö Ù Ó Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÒØÖÙѺ º ÐÐ Ö ØØ Ú Ò Ð Ö Ö Ò º º ÀÚ Ò Ö Ø Ð Ò Ö Ö ØÓ Ö ØØ Ð Ò Ö Ó Ò Ú Ò Ú Ò Ð Ö Ô ÑÑ Ö Ñ Ò Ö Ò Ò ØÓ Ö ØØ Ú Ð Ð Ò ÖÒ ÒÖ ÓÖÐÒ Ù ÖÒ Ø Ñ Ô ÒÒ º ½
8 Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø ÐÐ Ö Ù Ú Ø ÚÖ Ñ Ø ÐÒ Ö Ó Ñ Ö Ò Ú Ð Ø Ò Ò Ö º Ø ØÓ Ð Ò Ö Ñ Ø Ù Ò Ð Ú Ö Ö Ð Ö Ñ ÓÑ Ò ÐÚ Ò ÐÝ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ö ÓÑ Ò ØÒ Ò Ñ ÖÙ ÓÖ Ú º ØØ Ö Ù Ð ÓÖÑÓ ÒØÐ ÐÚ ÚÖ Ø Ð Ö ÓÚ Ö ¹ Ò Ö Ú ÖØ Ð ÙÒ Ð Ø Ø ÖÙ Ø Ö Ø ¾ Ú Ö Ò Ö ÐÚÓÑ Ø ÙÒÒ Ú ÓÖØ Ú ÖÒ Ò ÑÑ Ö Ó Ò Ð Ö º Ø Ò ØÒ Ø Ò Ö Ø Ô Ø ÙÒÒ Ò Ø Ò Ð Ö Ñ Ö ÓÚ Ö Ú Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÐ Ö ÐØ Ø ÙÒÒ ÙÒ ÚÖ Ø º ÔÓ ØÙРغ ÓÑ Ø Ú Ö Ó Ö Ø Ö Ø Ö Ø ÖØ Ó Ñ Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ú Ø ÓÑ Ø Ø ÙÒÒ Ú Ù Ö ÓÖÖ Ö º ØØ ÐÝ Ó Ò Ò Ó Ú Ú Ó Ø Ø Ö ÑÙРغ Ö Ø Ð Ø Ø ½ º Ö ÙÒ Ö ½ ¾ ¹½ ¾ µ Ø ÓÔ ÓÖ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ò Ò Ò Ø Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø Ú Ö Ù Ò Ø Ò Ö º Î Ø ÒØ Ø Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø Ð Ø Ú Ø Ø Ò ÑÐ Ø Ñ Ò ÓÑ Ö Ñ Ø Ð Ò Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ ØÖ º Ö Ø Ø Ð Ø Ó ÒØÐ Ö ØØ Ú Ö ÖÙ Ö Ò ÆºÁºÄÓ Ø Ú ½ ¹½ µ Ó ÙÒ Ö Ö Ò ÓÐÝ Â ÒÓ ½ ¼¾¹½ ¼µº Ù Ð Ø Ö Ò Ú ÓÔ Ø ØØ Ø Ð Ö Ñ Ò Ù Ò Ù Ú Øº Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ø Ö ÒÒ Ñ Ø Ú ÖØ ÔÙÒ Ø P Ù Ò ÓÖ Ò Ö Ø Ð Ò L Ø Ö Ö Ò ØÓÔ Ò Ð Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ L ÒÒ Ñ P º ÒØ Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ð Ö Ú ÐØ Ø Ö ÒÒ Ñ Ø ÔÙÒ Ø Ù Ò ÓÖ Ò Ð Ò ÒØ Ò Ö Ñ Ö Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ð Ò Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ Ð Ò Òº ÓÑ ØÖ Ö Ú Ö ÒÖ Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ö Ö ¹ Ù Ð º Ö ÐØ ÓÔ ÝÔ Ö ÓÐ Ó Ö ÓÑ ØÖ Ö ÚÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑ Ø Ö Ò ÓÐ Ú Ø Ö Ò Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ö Ö Ù Ò ÓÖ Ò Ú Ò Ð Ò Ó Ø Ö Ö Ù Ò Ð Ñ Ò º Á ½ ÐÝ Ø Ò Ø Ð Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö Ú Ò ÚÒ Ù Ò Ó ÐØÖ Ñ Ø Ð Ú Ò Ù Ð ÑÓ Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÔÐ Ò Ó ÖÑ Ù ÖÝ ÐØ ØÚ ÚÐ ÓÑ ÚÓÖÚ Ø Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø Ú Ö Ò Ø Ò Ö Ö º Á Ò ÑÓ Ð Ð Ø Ö Ö Ø Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ñ Ò Ø º ÖÑ Ú Ö Ø Ó Ú Ø Ø Ú Ù Ð ÓÑ ØÖ Ú Ö ÓÒ Ø ÒØ Ú Ö ÝÔ Ö ÓÐ Ó º À Ò ÑÓ Ð Ð Ó Ò ³ÔÖÓ Ø Ú ÑÓ Ð³ Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÔÐ Ò Ó ØÖ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ò Ò Ù Ð º ÅÓ ÐÐ Ò Ö ØØ Ð Ò Ö Ö ÓÖ ÖÒ Ø Ð Ò Ó Ú Ö Ö ÐØ Ø Ð Ù Ð Ö ØØ Ð Ò Öº ÓÖ Ò Ð Ò L ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ð Ö ÚÖ Ù Ò Ð Ñ Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ö Ø Ð L ÒÒ Ñ Ø ÔÙÒ Ø P Ù Ò ÓÖ Lº ØØ Ò ÑÑ Ø Ú Ø ÓÖ Ø ÐÐ ØÓ Ð Ò Ö Ö Ö ÒÒ Ñ P Ó Ò Ø Ð Ú ÖØ Ø Ö Ô Ö Ò Ò ÚÓÖ L Ö ÑÑ Öº Ð Ò Ö Ú Ð ÚÖ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ L Ð Ö Ö Ö ÒÒ º ÖÙÓÚ Ö Ú Ð ÐÐ Ð Ò ÖÒ Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ó ÚÖ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ L ¹ ÐØ Ù Ò Ð Ø Ñ Ò º È ÙÖ ½º½ Ö Ð Ò Ö ÒÒ Ñ P ÓÑ Ö Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ñ Lº ÍÐ ÑÔ Ò Ñ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ø Ú Ò Ð Ö Ó ÐÒ Ö Ö Ò Ö Ø Ò ÖÐ Ò Ù Ð ÓÖ Ø Ø Ú Ö ÑÙÐ Ø Ø Ö Ö Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ö ÓÔ ÝРغ ÀÚ L Ö ÒÒ Ñ Ò ÒØÖÙÑ Ú Ð Ð Ò Ö Ö ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô Ò ÚÖ ÑÑ ÓÑ Ñ Ù¹ Ð ÓÑ ØÖ º ÙÖ ½º½ ¾
9 Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö Ö L Ö ÑÓ ÒÒ Ñ ÒØÖÙÑ Ð Ú Ô Ø Ò ÒØ ÖÒ Ø Ð Ò L³ Ò¹ ÔÙÒ Ø Ö ÓÖ Ø Ò Ö ØØ Ú Ò Ð Öº Ð Ò¹ Ö Ö ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô L Ö Ñ Ö ÓÖÐÒ Ø Ù Ö Ð Ò Ö ÒÒ Ñ Ø Ò ÒØ Ö Ö Ò ÔÙÒ Øº Ë ÙÖ ½º¾º À Ö Ú Ð Ø ÐØ ÙÒ ÚÖ Ú Ò Ð Ò L³ Ñ Ø ÖÔÙÒ Ø ÓÑ Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ù Ð Ö Ø Ú Ò Ðº Ò Ö Ù Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÔÐ Ò Ö Ó Ð Ú Ø Ó Ø Ö Ó ÑÙÐ Ø Ø Ú ÙÖ ½º¾ ÌÓ Ú Ò ÐÖ ØØ Ð Ò Ö L Ó L Ò ÔÖÓ¹ Ò ÑÓ Ð Ö Ú Ö Ö Ù Ð Ú Ò Ð Öº Å Ò Ø Ú ÑÓ Ðº Ñ Ñ Ò Ø Ð Ò Ð Ú Ð Ô ÒÓ Ø Ò¹ Ø ÓÖ ÑÔ Ð Ø Ö ØØ Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ù Ð º ÀÚ Ø Ö ÐÝ Ø Ú ÓÖ Ò ØÝ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ú À Ð ÖØ ½ ¾¹½ µ Ö Ò ÑÐ Ø Ö Ò Ò ÑÓ Ð Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÔÐ Ò ÓÑ Ò Ø Ù Ð ÖÙÑ ÓÑ Ú Ö Ö Ú Ò Ð Ö Ó Ø Ò º Ë Ö ÓÑ ØÖ Ö ÑÓ Ö Ò Ù Ð Ø Ù Ð ÖÙÑ ÓÑ Ò Ò ØÙÖÐ ÑÓ Ðº ÒÒ Ú Ö Ö Ø Ò Ó Ú Ò Ð Ö Ð Ò Ò Ö ØØ Ð Ò Ö ¹ ÐØ ÙÖÚ ØÝ Ö Ö Ò Ú Ö ÓÖØ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ ÔÙÒ Ø Öº Ë Ö ÓÑ ØÖ Ö ÐØ Ó ÓÒ Ø ÒØ Ú Ù Ð Öº ËÓÑ Ú Ú Ð Ò Ø Ô Ø Ð Ò Ø Ó Ó Ø Ð Ö Ø Ú Ò Ø Ò Ú Ö Ò ÑÓ Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÔÐ Ò R 3 ¹ Ú Ð Ö Ú Ù ØÝÖ Ø Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ö Øº
10 à ÈÁÌ Ä ¾ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ ÓÖ Ø ÙÒÒ Ò ÓÑ ÓÑ ØÖ Ø ÖÙÑ Ð Ú Ö Ñ Ò Ò Ø Ð Ø Ú Ø Ö ÓÑ Ú Ø Ò Ó Ú Ò Ð Ö Öº Ò Ø ÓÒ ¾º½ Å ØÖ µº Ä X ÚÖ Ò ¹ØÓÑ ÑÒ º Ò ÙÒ Ø ÓÒ d : X X R Ö Ò Ñ ØÖ Ô X Ú Ö ÓÖ Ú Ð ÖÐ Ð Ñ ÒØ Ö x, y Ó z X Ð Ö Ð Ò d(x, y) 0 d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, y) d(x, z) + d(x, y)º Ø ÖÙÑ Ù ØÝÖ Ø Ñ Ò Ñ ØÖ Ð Ø Ñ ØÖ ÖÙѺ Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Ë Ñ Ð Ö Ø Øµº Ä X, Y ÚÖ Ñ ØÖ ÖÙÑ Ó ϕ : X Y º Ë Ö ϕ Ò Ñ Ð Ö Ø Ø Ú Ò Ö Ø Ú Ó Ò ÓÔ ÝÐ Ö d Y (ϕ(x), ϕ(y)) = k d X (x, y) ÓÖ Ø k R + Ó ÓÖ ÐÐ x, y Xº ÌÓ Ñ ØÖ ÖÙÑ Ø ÚÖ Ñ ÐÖ Ú Ö Ò Ò Ñ Ð Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ñ Ñº Ö k = 1 Ö ϕ Ò Ø Ò Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ð Ò ÓÑ ØÖ ¾º½º½ Ù Ð n¹öùñ ËØ Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ö ÖÙ ÓÖ Ø Ò ÐÝ Ö n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö ÓÑ Ò Ø R n º Ò Ò Ù ØÝÖ Ñ Ø Ú ÒÐ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø x, y E = x 1 y 1 +x 2 y 2 x n y n Ó Ò Ù Ð ÒÓÖÑ x E = x, x 1 2 E º ÃÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y R 3 Ö Ú Ø Ú x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 )º Ø ÐØ Ø ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ö ¼ Ú ØÓ Ú ØÓÖ Ö Ö Ò º ÖÙ ÓÚ Ö Ö ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ð Ò ÒÝØØ Ò Ö ÓÑ Ú Ó Ú Ð ÖÙ Ø Ô Ø Ú Ö
11 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ËØÒ Ò ¾º º Ä x, y, z, w R 3 ½µ x y = y xº x 1 x 2 x 3 ¾µ x y, z E = y 1 y 2 y 3. z 1 z 2 z 3 µ (x y) z = x, z E y y, z E x. µ x y, z w E = y, w E x, z E x, w E y, z E Ó ÖÑ Ó x y 2 E = x y, x y E = x 2 E y 2 E x, y 2 E. Ö ¾µ Ö Ú Ý ÖÐ Ö Ø x y, z E = y z, x E = z x, y E Ö ¾µ Ò Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ö Ø x y ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô x Ó y x y, x E = x x, y E = 0 Ó x y, y E = y y, x E = 0º ËØÒ Ò ¾º Ù Ý¹Ë Û ÖÞ³ ÙÐ µº ÓÖ Ú ØÓÖ Ö x, y R n Ð Ö Ø x, y E x E y E º Ö Ö Ð Ø Ò Ú Ó ÙÒ Ú x Ó y Ö Ð Ò ÖØ Ò º Î Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y R n \{0} Ú Ð Ú Ð θ(x, y) Ó Ò Ö Ò Ø Ð Ø ÚÖ Ø ÒØÝ Ø ÑØ Ø Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0, π] ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö Ð Ò Ò Ò x, y E = x E y E cosθ(x, y). Ö ÒÒ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ó Ú ÖÙ ØÒ Ò ¾º µ Ø sin 2 θ(x, y) = 1 cos 2 θ(x, y) = 1 x, y 2 E x 2 E y 2 E = x y 2 E x 2. E y 2 E = 1 x 2 E y 2 E x y 2 E x 2 E y 2 E Î ØÓÖ Ò x y Ñ Ú ÔÓ Ø Ú ÒÓÖÑ Ò ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô ØÓ Ú ØÓÖ Ö Ñ Ñ ÒÖ ÒÓÖѺ sin θ(x, y) Ó Ö ÔÓ Ø Ú ÓÖ 0 θ π Ö Ú ÓÖÑÐ Ò x 2 E y 2 E sin θ(x, y) = x y E. ÀÚ Ú Ð Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ d E : R n R n R ÚÖ Ò Ö Ø Ú d E (x, y) = x y E Ú Ð Ò ÚÖ Ò Ñ ØÖ Ô R n º ÆÖ Ú Ù ØÝÖ Ö R n Ñ Ñ ØÖ Ò d E Ð Ö Ú Ø Ø Ù Ð ÖÙÑ Ñ Ò ÓÒ n ÐÐ Ö Ö E n º ¾º½º¾ Ë Ö n¹öùñ ÅÓ Ø Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò ÓÑ ØÖ Öº ÓÔ ÝÐ Ö Ó Ø ÑÑ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑ Ó Ö ÐÐ Ñ ÐÖ º Ò Ö ÓÑ ØÖ Ò ÐÒ Ö Ò Ö Ö ÓÑ ØÖ Ö Ú ÐÔ Ù ÖÙÑÒ Ò Òº ÀÚ Ò Ö Ö Ö Ù r Ö Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú Ù ÖÙÑÒ Ò Ô 1 r 2 º ÐÐ Ö ÓÑ ØÖ Ö Ô Ù Ð Ö Ñ ÑÑ Ö Ù Ö ÐØ Ú Ú Ð ÒØ Ó Ú Ò Ð Ò Ö Ò Ö ÐÐ Ö ÓÑ ØÖ Ö Ú Ú Ð ÒØ º
12 ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ ÓÖ Ò Ñ Ò ÝÐ Ú Ð Ú ÖÙ Ò Ù Ð ÐÐ Ò S n ÓÑ ÑÓ Ð ÒÖ Ú Ð Ô n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÓÑ ØÖ º ÒÒ Ö Ò Ð R n+1 Ó Ö Ò Ö Ø ÓÑ S n = {x R n+1 x E = 1}. Ë ÐÚÓÑ S n Ö Ò Ð R n+1 Ó Ú Ò ÖÙ Ò Ù Ð ÒÓÖÑ Ú Ð Ú ÐÐ Ú Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ñ Ö Ò Ø Ñ Ñ Ø Ö Ú Ø Ò Ôº ÀÚ x Ó y Ö ØÓ Ú ØÓÖ Ö S n Ú Ð Ú Ò Ö Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ø Ð Ø ÚÖ Ò Ù Ð Ú Ò Ð Ñ ÐÐ Ñ Ñ d S (x, y) = θ(x, y), 0 d S (x, y) π. Î Ú Ð Ø d S Ö Ò Ñ ØÖ Ô S n Ñ Ò Ö Ø Ð Ú Ú Ò Ö Ø Ú Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Öº Ò Ø ÓÒ ¾º ÇÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒµº Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ϕ : R n R n ÓÑ ÓÖ ÐÐ x, y R n ÓÔ ÝÐ Ö Ø ϕ(x), ϕ(y) E = x, y E. Ø Ø Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ú Ö ØÝ Ö Ó Ø Ò Ù Ð ÒÓÖÑ Ú Ö Ó ÖÑ Ú Ö Ò Ö Ø Ò º Ò Ö Ð n n Ñ ØÖ Ü Ø ÚÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ú Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ A : R n R n Ò Ö Ø Ú A(x) = Ax Ö Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÖÙÔÔ Ò ÓÑ ØÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ö ÑÑ Ò Ñ Ñ ØÖ ÜÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÖÙÔÔ O(n)º Ð Ò ØÒ Ò ÓÑ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ú Ú Ö Ñ Ò Ñ Ò Ò ÂÊ º ½ Ú Ñ Ò Ò Ö Ú º ËØÒ Ò ¾º º ÓÖ Ò Ú Ö Ñ Ò ÓÒ m n Ú Ð Ò Ò ØÙÖÐ Ú Ö Ò Ò O(n) Ô ÑÒ Ò Ñ¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ú ØÓÖ¹ÙÒ ÖÖÙÑ R n ÚÖ ØÖ Ò Ø Úº ËØÒ Ò ¾º d s Ö Ò Ñ ØÖ Ô S n µº Ú d S Ö ÐÐ Ö Ò Ö Ø ÔÓ Ø Ú Ó Ø Ö Ð ÖØ Ø d S (x, y) = 0 Ú Ó ÙÒ Ú x = y Ó Ø d S (x, y) = d S (y, x)º Î Ð ÐØ Ö Ú Ú Ø ØÖ ÒØ ÙÐ Òº ÀÚ Ú Ð Ö x, y, z S n Ú Ð ØÖ Ú ØÓÖ Ö Ù ÔÒ Ø ÙÒ ÖÖÙÑ R n+1 Ñ Ò ÓÒ Ø ØÖ º ËØÒ Ò ¾º Ú Ö Ø Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ö ÙÒ ÖÖÙÑÑ Ø R n+1 Ù ÔÒ Ø Ø Ò Ö Ú ØÓÖ ÖÒ e 1, e 2, e 3 º Î Ò ÐØ ØÖ Ø x, y, z ÓÑ ÚÖ Ò Ú ØÓÖ Ö R 3 º
13 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ Î Ø ÒÝØØ Ö Ð ÖÒ ØÒ Ò ¾º ÑØ ØÒ Ò ¾º Ö Ú cos(θ(x, y) + θ(y, z)) = cosθ(x, y)cos θ(y, z) sin θ(x, y)sin θ(y, z) = x, y E y, z E x y E y z E x, y E y, z E x y, y z E = x, y E y, z E ( x, y E y, z E x, z E y, y E ) = x, z E y 2 E = x, z E = cos θ(x, z). cos Ö Ò Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0, π] Ú Ö ØØ θ(x, y) + θ(y, z) θ(x, z)º ÑÖ Ò Ò ¾º º Ð Ö Ö Ð Ø Ò ØÖ ÒØ ÙÐ Ò Ñ x y, y z E = x y E y z E ÓÑ Ð ØÒ Ò ¾º ØÝ Ö Ø x y Ó y z Ö Ð Ò ÖØ Ò º Ø Ú Ð ÐØ Ø (x y) (y z) = 0 Ó ÓÑ Ò Ö Ø Ñ ØÒ Ò ¾º µ Ø 0 = (x y) (y z) = x, y z E y y, y z E x = x, y z E yº Î Ö ÐØ Ø x ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô y z Ó y Ó z Ó Ö ØØ Ñ Ø ÚÖ Ò ØÝ Ò Ñ Ø x, y Ó z Ö Ð Ò ÖØ Ò º Ë Ú Ö Ø θ(x, y) + θ(y, z) = θ(x, z) Ú Ó ÙÒ Ú x, y Ó z Ð Ö Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÙÒ ÖÖÙÑ R n+1 º S n ÑÑ Ò Ñ Ò Ö Ñ ØÖ d s Ð Ö Ú Ö n¹öùñº ¾º½º ÀÝÔ Ö ÓÐ n¹öùñ ËÓÑ Ñ Ö ÓÑ ØÖ Ö ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ Ò Ñ Ò Ñ Ò ÓÑ ØÖ Ö ÓÑ Ò ÐÒ Ú ÐÔ Ù ÖÙÑÒ Ò º Ò ÔÐ Ò Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ú ÖÙÑÒ Ò Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÔÐ Ò Ó Ö ØÓ ÔÐ Ò Ö Ò ÑÑ ÖÙÑÒ Ò Ö Ú Ú Ð ÒØ º ËÓÑ Ñ Ö ÓÑ ØÖ Ö ÐÐ ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ú Ò Ò Ö Ò Ð º ËÓÑ ÚÓÖ ÑÓ Ð Ø Ð Ø ØÙ Ö ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ Ú Ð Ú ÖÙ ÔÐ Ò Ò Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÖÙÑÒ Ò Ô ¹½º Ö Ò Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÖÙÑÒ Ò Ô 1 r 2 Ö Ø ÓÔÐ Ø Ø ØÒ Ô Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÔÐ Ò ÓÑ Ò Ù Ð Ñ Ñ ÒÖ Ö Ù º Î Ð Ú Ö Ò Ø Ð Ø Ò Ö Ø ÒÝØ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ú Ñ ÒÖ ÐÒ Ö Ð ÚÖ ÑÙÐ º ØØ Ð Ö Ú Ø ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó ÓÖ ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y R n, n > 1 Ò Ö Ö Ú Ø Ø Ð x, y H = x 1 y 1 + x 2 y x n y n º Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÒÓÖÑ Ö Ø ÓÑÔÐ Ø Ð x H = x, x 1 2 H º ÐØ ÒØ Ò Ø ÔÓ Ø ÚØ ÐÐ Ö Ñ ÒÖØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ðº Ä x = (x 1,, x n ) ÚÖ Ò Ú ØÓÖ R n Ò Ö Ö Ú x Ø Ð Ø ÚÖ Ú ØÓÖ Ò (x 2,, x n ) R n 1 º Ë Ö Ú Ø x 2 H = x2 1 + x 2 E Ó x, y H = x 1 y 1 + x, y E
14 ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ Ä Ó ØÖ Ø Ù Ð Ò Ñ Ñ ÒÖ Ò Ö Ù ÐØ ÑÒ Ò {x R n+1 x 2 H = 1}. ËÓÑ Ø Ó Ô ÙÖ ¾º½ Ö ÒÒ ÑÒ ÑÑ Ò Ò Ò Ó Ú Ö Ö ÓÖ ÒØ Ö Ö Ø Ñ Ò Ò Ø Ú ÐÚ Ð Ú ÐØ ÚÓÖ x 1 < 0º Î Ò Ö Ñ Ò ÑÓ Ð ÓÖ Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÖÙÑ Ñ Ò ÓÒ n ÓÑ Ú Ú Ð Ð H n H n = {x R n+1 x 2 H = 1, x 1 > 0}. ÙÖ ¾º½ R 3 ÚÓÖ Ú ØÓÖ Ö Ñ ÝÔ Ö ÓÐ ÒÓÖÑ ¼ ÑØ Ù Ð Ò Ñ Ö Ù ¹½ Ö Ò Ø Ò Øº ËÓÑ Ú Ö Ö x H = i ÓÖ x H n º Ò Ø ÓÒ ¾º ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒµº Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ϕ : R n R n ÓÑ ÓÖ ÐÐ x, y R n ÓÔ ÝÐ Ö Ø ϕ(x), ϕ(y) H = x, y H. Ò Ö Ð n n Ñ ØÖ Ü Ø ÚÖ ÝÔ Ö ÓÐ Ú Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ A : R n R n Ò Ö Ø Ú A(x) = Ax Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÖÙÔÔ Ò ÓÑ ØÖ ÝÔ Ö ÓÐ Ñ ØÖ Ö ÑÑ Ò Ñ Ñ ØÖ ÜÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÖÙÔÔ º Î Ð Ö Ò Ú ØÓÖ x = (x 1,, x n ) R n ÔÓ Ø Ú Ú Ò ÓÔ ÝÐ Ö Ø x H Ö Ñ ÒÖ Ó x 1 > 0º ÐÐ Ú ØÓÖ Ö H n Ö ÔÓ Ø Ú Ú Ð Ú Ò Ñ Ø Ø Ó Ñ Ò Ð ÖÙÔÔ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ Ö Ø Ð ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ Öº ÒÒ Ð Ð Ö Ú Ò ÔÓ Ø Ú ÝÔ Ö ÓÐ ÖÙÔÔ PH(n)º ËØÒ Ò ¾º½¼º ÓÖ Ò Ú Ö Ñ Ò ÓÒ m n Ú Ð Ò Ò ØÙÖÐ Ú Ö Ò Ò PH(n) Ô ÑÒ Ò m¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ¹ÙÒ ÖÖÙÑ R n ÚÖ ØÖ Ò Ø Úº Î Ú Ð Ú ØÒ Ò Ò Ö Ñ Ò Ñ Ò Ò ÂÊ º Ú Ñ Ò Ò Ö Ú º
15 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ËØÒ Ò ¾º½½º Ä x, y H n Ö x, y H x H y H º Ä Ø Ò Ð Ö Ú Ó ÙÒ Ú x Ó y Ö Ð Ò ÖØ Ò ¹ ÐØ Ò º Ú ÐÐ Ú ØÓÖ Ö H n Ö ÔÓ Ø Ú Ú Ú Ö ØÒ Ò ¾º½¼ Ø Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ü A PH(n) Ax = x 1 e 1 ÚÓÖ e 1 = (1, 0,, 0)º A Ö ÝÔ Ö ÓÐ Ö x, y H = Ax, Ay H Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÒÓÖÑ Ö x Ó y Ö Ú Ö Øº Ö ÓÖ Ò Ú Ö Ø ØØ Ax Ó Ay Ñ x Ó y Ó ÖÑ ÒØ Ø x = x 1 e 1 º Ë Ú Ð x ÚÖ ÒÙÐÚ ØÓÖ Ò Ó x 2 E = 0º ØØ Ú Ö Ð Ò x, y 2 H = ( x 1 y 1 + x, y E ) 2 = ( x 1 y 1 ) 2 + x, y 2 E 2x 1 y 1 x, y E = ( x 1 y 1 ) 2 x 2 1 y2 1 x2 1 y 2 E = x2 1 ( y2 1 + y 2 E ) = x 2 H y 2 H. Ö Ð Ö ÙÒ Ð Ø Ò Ú y = 0 ÐØ Ú Ó y = y 1 e 1 Ó Ø ØÝ Ö Ø x Ó y Ö Ò º Ì Ö Ú Ú Ö ØÖÓ Ò Ô Ö Ð Ú Ù Ø x H Ó y H Ö ÔÓ Ø ÚØ Ñ ÒÖ º Î Ö ÖÑ Ø x, y H x H y H º ÀÚÓÖ Ð Ø Ò Ð Ö Ú Ó ÙÒ Ú x Ó y Ö Ð Ò ÖØ Ò º x H y H < 0 Ö x,y H x H y H 1º Ë Ú Ð Ú Ò Ö Ú Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y H n Ø Ð Ø ÚÖ Ø ÒØÝ Ö ÐÐ Ø Ð η(x, y) 0 ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö x, y H = x H y H coshη(x, y) Ö ØÒ Ò ¾º½½ Ö Ú Ø x Ó y Ö Ð Ò ÖØ Ò Ú Ó ÙÒ Ú coshη(x, y) = 1 Ó ÖÑ η(x, y) = 0º Ì Ð Ú Ö Ò Ò Ö Ñ ØÖ Ú Ð Ú Ò Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ x, y H n Ø Ð Ø ÚÖ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ú Ò Ð Ñ ÐÐ Ñ Ñº Î Ú Ð Ú Ø d H (x, y) = η(x, y) Ö Ò Ñ ØÖ Ô H n Ñ Ò Ö Ø Ð Ú Ð Ú Ø Ø ÒÝØ ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ô ÔÐ º ÓÖ Ø Ö Ö Ò ÑÑ ÑÑ Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø ÓÑ S 2 Ð Ú Ö Ú Ò Ø Ð Ø Ò Ö Ø ÒÝØ ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ú ØÓÖ Ö R 3 º Ø Ú Ð Ú Ð Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ó Ø Ò x yº ÓÖ ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y R 3 Ò Ö Ö Ú Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ø Ð Ø ÚÖ x y = J(x y) ÚÓÖ J = ÑÖ Ò Ò ¾º½¾º Å ÓÑÚ Ò Ø ÓÖØ Ò µ Ó µ Ð Ö ØÒ Ò ¾º Ó Ú ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø ØØ Ò Ø Ø ÓÖ Ù Ð Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó ÒÓÖÑ ÐØ ÖÝ ÔÖÓ Ù ØÑ º ËØÒ Ò ¾º½ d H Ö Ò Ñ ØÖ Ô H n µº Ú d H Ö ÐÐ Ö Ò Ö Ø ÔÓ Ø Ú Ó Ø d H (x, y) = 0 Ú Ó ÙÒ Ú x = y Ð Ö ØÒ Ò ¾º½½º Ø Ö Ð ÖØ Ø d H (x, y) = d H (y, x) Ö Ö Ö ØÖ ÒØ ÙÐ Ò Ø Ð Ø Ú º ÀÚ Ú Ð Ö x, y, z H n Ú Ð ØÖ Ú ØÓÖ Ö Ù ÔÒ Ø ÙÒ ÖÖÙÑ R n+1 Ñ Ò ÓÒ Ø
16 ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ ØÖ º ËØÒ Ò ¾º½¼ Ú Ö Ø Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ö Ú ØÓÖ ÖÒ Ð Ö ÙÒ Ö¹ ÖÙÑÑ Ø R 3 R n+1 Ù ÔÒ Ø Ø Ò Ö Ú ØÓÖ ÖÒ e 1, e 2, e 3 º ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ö ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ú Ð Ò Ó Ú Ö ÝÔ Ö ÓÐ ÒÓÖÑ Ó ÖÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ø Ò º ÓÖ ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y R 3 Ö Ú Ö ÑÖ Ò Ò ¾º½¾ Ø Ö Ð Ö x y 2 H = x y, x y H = x, y H y, x H y, y H x, x H = x, y 2 H x 2 H y 2 H = x 2 H y 2 H cosh 2 η(x, y) x 2 H y 2 H = x 2 H y 2 H sinh 2 η(x, y). x y Ñ Ú ÔÓ Ø Ú ÒÓÖÑ Ò ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô ØÓ ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ Ö x Ó yº x, y, z H n Ö ÒÓÖÑ i Ó ÓÑ Ú Ò ØÖ Ø ÓÑ Ú ØÓÖ Ö R 3 Ö Ú Ø x y H = sinhη(x, y) Ó y z H = sinhη(y, z), x y H Ó sinhη(x, y) Ö ÔÓ Ø Ú º Î ØÓÖ Ò (x y) (y z) ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô x y Ó y z Ð ÓÑ y Öº Ö ÓÖ Ñ Ò ÒØ Ò ÚÖ 0¹Ú ØÓÖ Ò ÐÐ Ö ÚÖ Ð Ò ÖØ Ò Ñ y ¹ ÐØ Ú Ñ ÒÖ ÒÓÖѺ ØØ Ú Ö Ó Ú ÖÙ ÑÖ Ò Ò ¾º½¾ 0 (x y) (y z) 2 H = x y, y z 2 H x y 2 H y z 2 H x y, y z 2 H x y 2 H y z 2 H x y Ó y z ØÖ Ú Ò ÐÖ Ø Ô ØÓ Ú ØÓÖ Ö Ñ Ñ ÒÖ ÒÓÖÑ Ñ Ú ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÓÖѺ ÖÑ Ö Ó x y, y z H x y H y z H. Î Ø ÖÙ Ø Ò Ö Ú Ð Ò Ù Ö Ò Ò ÓÖ x, y, z H n cosh(η(x, y) + η(y, z)) = coshη(x, y)cosh η(y, z) + sinhη(x, y)sinhη(y, z) = x, y H y, z H + x y H y z H x, y H y, z H + x y, y z H = x, y H y, z H + ( x, z H y, y H x, y H y, z H ) = x, z H y 2 H = x, z H = cosh η(x, z). cosh Ö Ò ÚÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÔÓ Ø Ú ÚÖ Ö Ú Ö ØØ η(x, y) + η(y, z) η(x, z)º d H Ö ÐØ Ò Ñ ØÖ Ô H n º Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ (H n, d H ) Ú Ð Ú Ð ÝÔ Ö ÓÐ n¹öùñ Ó Ø Ò H n º ½¼
17 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º¾ Ó Ø Ö Ø ÙÒÒ ÚÖ Ö ÖØ Ø Ò Ø Ñ Ö Ò Ö ÐØ Ù ØÖÝ ÓÖ Ð Ø ³Ö ØØ Ð Ò Ö³ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Öº Î Ú Ð ÖÒ Ú Ø Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö Ö Ò ÓÖØ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ó Ú ÒÙ Ö Ø Ò ØÖÝ Ú Ø Ò Ö Ò Ú Ò Ö Ò Ò Ö Ø Ð Ò º Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ó Ø Ù µº Ò ÙÖÚ Ø ÖÙÑ X Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ø ÐÙ Ø ÒØ ÖÚ Ð R Ø Ð Xº ÀÚ X Ö Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ Ö ÙÖÚ Ò α : [a, b] X a < b R Ò Ó Ø Ù X Ú Ò Ö Ø Ò Ú Ö Ò º Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ó Ø Ñ Òصº Á Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ X Ö Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ö x Ó y Ö X ÐÐ Ø Ò Ó Ø Ù α : [a, b] X ÚÓÖ α(a) = x Ó α(b) = yº Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ó Ø Ð Ò µº Ò Ó Ø Ð Ò Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ X Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ β : R X ÚÓÖ Ö ÓÖ Ø Ú ÖØ ÔÙÒ Ø x R Ø Ö Ö r > 0 β Ö Ø Ò Ú Ö Ò Ñ ÐÐ Ñ ÔÙÒ Ø Ö Ù Ð Ò B(x, r). Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ó Øµº Ò Ó Ø Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ X Ö ÐÐ Ø Ò Ó Ø Ð Ò Xº Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ Ú Ö Ö ÐØ Ø Ð Ø Ù Ð Ö ØØ Ð Ò ØÝ Ö Ó Ò Ó Ø Ö Ò Ö ØØ Ð Ò Ò Ò ÓÖÐÒ Ù º ¾º¾º½ E n Ó Ø ÖÒ E n Ö ÒÓÖÑ Ð Ö ØØ Ð Ò Ö ÓÑ Ú Ò Ö Ñº Å ÐÐ Ñ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö x, y E n Ú Ð Ø Ó Ø Ñ ÒØ ÚÖ ÑÒ Ò {x + t(y x) 0 t 1}º ÓÖ Ú ÂÊ º ¾ µ ¾º¾º¾ S n Ò Ø ÓÒ ¾º½ ËØÓÖ Ö Ðµº ÀÚ V Ö Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÙÒ ÖÖÙÑ R n+1 Ò Ö Ö Ú Ò ØÓÖ Ö Ð S n Ø Ð Ø ÚÖ S = S n V º Î Ú Ð Ú Ø ØÓÖ Ö Ð Ö Ö Ó Ø ÖÒ S n Ñ Ò Ö Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð ÑÑ º Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ë Ö Ò µº ÌÖ ÔÙÒ Ø Ö x, y, z S n Ö Ö Ò Ú Ó ÙÒ Ú Ö Ò Ò ØÓÖ Ö Ð ÚÓÖ ÐÐ ØÖ Ð Ö º Ò ØÓÖ Ö Ð Ö ØÓ Ñ Ò ÓÒ Ö Ö Ø Ò ØÝ Ò Ñ Ø ØÖ Ú ØÓÖ Ö Ð Ö Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÙÒ ÖÖÙѺ Ä ÑÑ ¾º¾¼º Ä α : Ú Ú Ð ÒØ [a, b] S n ÚÖ Ò ÙÖÚ S n º ÀÚ b a < π Ö Ð Ò ØÖ Ø Ò ½µ α Ö Ò Ó Ø Ù º ¾µ Ö Ø Ö Ö ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y S n ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö Ø x, y E = 0 Ó α(t) = (cos(t a))x + (sin(t a))y. µ α ÓÔ ÝÐ Ö Ö ÒØ ÐÐ Ò Ò Ò α + α = 0 ½½
18 ¾º¾ Ó Ø Ö Ú ½µ ¾µ ÒØ Ö Ø Ø α : [a, b] S n Ö Ò Ó Ø Ù Ó Ð t [a, b]º α Ö Ø Ò Ú Ö Ò Ö d E (a, b) = d S (α(a), α(b))º Ú º θ(α(a), α(b)) = b a = (t a) + (b t) = θ(α(a), α(t)) + θ(α(t), α(b)). b a < π Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ø Ò Ø α(a) Ó α(b) Ö Ò Ò Ò ÒØ ÔÓÐ Öº ÑÖ Ò Ò ¾º Ú Ö Ø ØÖ ÔÙÒ Ø Ö α(a), α(b) Ó α(t) Ð Ö Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÙÒ ÖÖÙÑ R n+1 ÐØ Ø Ö Ö Ò º Î Ð Ö S = S(α(a), α(b)) Ø Ò Ò ÒØÝ Ø ÑØ ØÓÖ Ö Ð ÓÑ Ò ÓÐ Ö α(a) Ó α(b)º ÒÒ Ó Ò ÓÐ Ö α(t) ÓÖ ÐÐ t [a, b] ØÝ Ö Ø Ø ÐÐ Ø α Ö Ò ÓÐ Ø Sº Î Ò ÒØ Ø Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ ÖÖÙÑ ÓÑ S Ð Ö Ö ÙÒ ÖÖÙÑÑ Ø Ù ÔÒ Ø e 1 = (1, 0,, 0) Ó e 2 = (0, 1, 0,, 0) Ò ÖÓØ Ø ÓÒ Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº S Ò Ð Ð ÖÓØ Ö Ù Ò Ø Ò Ö Ô Ø Ò α(a) = e 1 º α(t) Ú Ö ÐØ ÓÒØ ÒÙ ÖØ ÖÙÒ Ø Ô Ò Ö Ð Ñ Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø e 1, α(t) E = α(a), α(t) E = cosθ(α(a), α(t)) = cos(t a). Ó ÖÑ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø e 2, α(t) E = ± sin(t a) Ñ ÒØ Ò ÔÐÙ ¹ ÐÐ Ö Ñ ÒÙ Ø Ò ÓÖ ÐÐ tº Î Ö ÐØ Ø e 1, ±e 2 E = 0 ÓÔ ÝÐ Ö α ¾µº α(t) = (cos(t a))e 1 + (sin(t a))(±e 2 ). ¾µ ½µ ÒØ Ö Ø Ö Ö ØÓ Ú ØÓÖ Ö x, y S n ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö Ø x, y E = 0 Ó α(t) = (cos(t a))x + (sin(t a))y. ÓÖ s, t [a, b] s t Ú Ú Ö Ò Ø ÓÒ Ò θ Ø cos θ(α(s), α(t)) = α(s), α(t) E = α(s), α(t) E α(s) E α(t) E = (cos(s a))x + (sin(s a))y, (cos(t a))x + (sin(t a))y E = cos(s a)cos(t a) + sin(s a)sin(t a) = cos(t s). t s < π Ö Ú Ó Ö Ò Ø ÓÒ Ò θ Ø θ(α(s), α(t)) = t sº α ÐØ Ö Ò Ø Ò ¹ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø Ò Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖØ µ Ñ Ò ÚÖ Ò Ó Ø Ù º ¾µ µ ÀÚ Ú ÒØ Ö ¾µ Ú Ð Ö ÓÖ ÐÐ t [a, b] Ð Ø α (t) = cos(t a)x sin(t a)y = α(t) α + α = 0. µ ¾µ ÒØ α ÓÔ ÝÐ Ö α + α = 0º Ä Ò Ò Ò Ø Ð ÒÒ Ò Ò Ö Ö ÒØ ÐÐ Ò Ò Ò Ö α(t) = cos(t a)α(a) + sin(t a)α (a)º Î Ñ Ò Ð Ö ÐØ Ö Ø Ú Ø α(a), α (a) E = 0 Ó Ø α (a) S n º α(t) S n Ú Ú Ø 1 = α(t) 2 E = α(t), α(t) Eº ÀÚ Ú Ö ÒØ Ö Ö Ö ÒÒ Ð Ò Ò Ó Ð Ö α(t) i Ø Ò Ò i³ø ÓÓÖ Ò Ø α(t) ÓÑÑ Ö Ú Ö Ñ Ø Ð Ð Ò 0 = ( α(t), α(t) E ) = ( n+1 ) n+1 α(t) 2 i = 2α(t) i α (t) i = 2α(t), α (t) E. Ú º α(t), α (t) E = 0 Ð Ö ÓÖ ÐÐ t [a, b] Ó ÐØ Ô ÐØ ÓÖ t = aº i=1 i=1 ½¾
19 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ÀÚ Ú ÖÙ Ö Ø α(t) = cos(t a)α(a) + sin(t a)α (a) Ö Ú Ý ÖÐ Ö Ø 1 = α(t) 2 E = cos 2 (t a) α(a) 2 E + sin 2 (t a) α (a) 2 E = cos 2 (t a) + sin 2 (t a) α (a) 2 E ØØ Ð Ö ÓÖ ÐÐ t [a, b], a < b ØÝ Ö Ø Ø α (a) E = 1 Ó ÖÑ Ø α (a) S n º Í ÓÚ Ö Ø Ð ÑÑ Ø Ö Ð Ó ÓÑ Ú Ø ÓÖ Ò Ø ØÒ Ò Ö Ú Ó Ö (1) = (2) Ø Ó Ø Ù Ö Ö Ð ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ØØ Ð Ú ÖÙ Ò Ö ÒÖ Ú ÖÙ Ö Ø Ò ÒØ Ö Ø Ð Ø Ò Ö Ú Ò Ð Ö Ö ØÖ ÒØ Öº ËØÒ Ò ¾º¾½ ËØÓÖ Ö Ð ÖÒ S n Ö Ò Ó Ø Öµº Ú Ò ØÓÖ Ö Ð S n Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò λ(t) = cos(t)x + sin(t)y ÚÓÖ x, y S n ØÖ Ú Ò ÐÖ ØØ Ô Ò Ò Ò x, y E = 0µº Á Ð Ð ÑÑ ¾º¾¼ Ú Ð λ Ö ØÖ Ò Ö Ø Ø Ð Ø ÒØ ÖÚ Ð [a, b], 0 < b a < π ÚÖ Ò Ó Ø Ù º ØØ Ð Ö ÓÖ ÐÐ a Ó b ÚÓÖ 0 < b a < π Ö λ Ò Ó Ø Ð Ò º Ò Ú Ö ØÓÖ Ö Ð S n Ö ÐØ Ò Ó Øº ÀÚ Ú ÓÑÚ Ò Ø Ö Ô Ò Ó Ø S n ØÝ Ö Ø Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ó Ø Ð Ò λ : R S n º Á Ð Ð ÑÑ ¾º¾¼ Ú Ð λ ÓÔ ÝÐ Ö ÒØ ÐÐ Ò Ò Ò λ + λ = 0 Ó ÖÑ Ö λ(t) = cos(t)λ(0) + sin(t)λ (0)º È ÑÑ Ñ ÓÑ Ú Ø ÓÖ ¾º¾¼ Ò Ø Ú Ø λ(0), λ (0) E = 0 Ó λ (0) S n º λ Ö ÐØ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ò Ò ØÓÖ Ö Ð S n Ó ÖÑ Ö ØÒ Ò Ò Ú Øº Ë Ö ÓÑ ØÖ Ö ÐØ Ð Ø Ô Ð ³Ö ØØ Ð Ò Ö³ Ö Ò Ð ÐÒ ÐÚÓÑ ÓÖØ ØØ Ö Ø Ù Ò Ð º ÒÒ ÖÙÒ Ú Ö Ö ÓÑ ØÖ Ó Ö Ø Ú Ø ÙÑÙÐ Ù Ð ¾º ÔÓ ØÙÐ Ø Ð Ú ØÓÐ Ø ÓÑ Ø Ð Ò Ö Ú Ö Ù ÖÒ º ÌÓ Ö ØØ Ð Ò Ö Ú Ð Ó Ö Ò Ò Ò ØÓ Ø Ö Ó ÓÑ Ú Ú Ð Ð Ø Ò Ö Ö Ø Ð Ò ØÝ Ö Ø Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö Ò Ú Ò Ú ÒØÝ Øº ÀÚ x, y S n Ö ØÓ Ð Ò ÖØ Ù Ò ÔÙÒ Ø Ö Ú Ð Ù ÔÒ Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÙÒ ÖÖÙÑ V (x, y) R n+1 º Ë Ú Ð S(x, y) = S n V (x, y) ÚÖ Ò ÒØÝ ØÓÖ Ö Ð Ö Ò ÓÐ Ö ÔÙÒ Ø Öº Å Ò Ö x Ó y Ø Ø Ð Ò ÖØ Ò Ú Ð Ö ÚÖ Ù Ò Ð Ñ Ò ØÓÖ Ö Ð Ö Ö Ò ÓÐ Ö Ñ Ú n > 1º Å ÐÐ Ñ Ò ØÓ ÔÙÒ Ø Ö Ú Ð Ö ÐØ ÚÖ Ù Ò Ð Ñ Ò Ó Ø Ñ ÒØ Öº Î Ð Ñ Ò ÖÒ Ð ÔÔ ÓÖ ØØ Ò Ñ Ò ÓÑÑ Ù Ò ÓÑ Ø Ú Ø ÒØ Ö Ö Ð Ò ÖØ Ò ÔÙÒ Ø Ö Ñ Ò Ò Òº ¾º¾º P n Î Ú Ð Ð ØÓ ÔÙÒ Ø Ö x, y S n ÓÖ ÒØ ÔÐ Ö Ú Ö Ð Ò ÖØ Ò Ú º Ú x = yº ÒØ ÔÓ ¹ Ð Ò Ò Ò Ú Ð Ú Ò Ö Ø Ð Ø ÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò α : R n+1 R n+1 ÚÓÖ α(x) = xº ÀÚ Ú ÒØ Ö Ö ÐÐ ÒØ ÔÓÐ Ö x, x S n Ñ Ø Ò ÔÙÒ Ø ±x Ö Ú Ø ÖÙÑ Ö Ð Ø Ö ÐÐ ÔÖÓ Ø Ú n¹öùñº ØØ Ø Ò Ó P n ÐÐ Ö Ð Ø ÔÖÓ Ø Ú ÔÐ Ò Ú n = 2º ½
20 ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Å ÐÐ Ñ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö ±x, ±y P n Ò Ú Ò Ö Ø Ò Ò Ø Ð Ø ÚÖ Ò ÓÖØ Ø Ø Ò Ò Ö x Ø Ð ÒØ Ò y ÐÐ Ö y Ô Ù Ð ÓÚ Ö Òº Î Ö ÐØ Ò Ñ ØÖ Ô P n Ò Ö Ø Ú d P (±x, ±y) = min{d S (x, y), d S (x, y)}º Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ Ö Ù Ö P n Ñ Ñ ØÖ Ò d P Ú Ð Ú Ð ÐÐ ÔØ n¹öùñº Î Ö Ù Ð ½º ÔÓ ØÙÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ø ÓÑ Ø Ö Ñ ÐÐ Ñ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø Ò Ø ÔÙÒ Ø ÙÒÒ ØÖ Ò ÒØÝ Ð Ò Ú ÐÐ ÐÐ ÔØ Ó Ö ÓÑ ØÖ ÓÔ ÝÐ ÔÓ ØÙÐ Ø Øº ËÓÑ ÐÐ Ö ÒÚÒØ Ö Ú Ú Ð Ø ÒÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ó Ö ÓÖ Ú Ð Ú ÐÐ Ö ÓÒ¹ ÒØÖ Ö Ó Ý ÖÐ Ö ÓÑ ÓÑ ØÖ Ò Ô P n º ¾º¾º H n Ò Ø ÓÒ ¾º¾¾ ÀÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò µº Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò Ö ÓÚ ÖÐ ÔÒ Ò Ò H n Ñ Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ Ú ØÓÖÖÙÑ V R n+1 º ÀÚ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö x, y H n Ù ÔÒ Ö ÙÒ ÖÖÙÑÑ Ø V (x, y) Ú Ð L(x, y) = H n V (x, y) ÚÖ Ò ÒØÝ ÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò Ö Ò ÓÐ Ö x Ó yº ËÓÑ Ò ÚÒ Ø ÒØÝ Ö Ö L(x, y) Ò ÝÔ Ö Ð Ö Òº Ø Ö ÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò Ö ÓÑ Ö Ó Ø ÖÒ H n º Ú Ø Ö Ñ Ø Ð Ú Ø ÓÖ S n ³ Ó Ø Ö Ó Ò ÂÊ º º ¾º ¾º º½ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ë Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÀÚ Ú Ú Ð Ò Ö Ò ØÖ ÒØ S 2 Ñ ÖÒ ÖÒ x, y, z S 2 Ñ Ú Ø ÖØ Ñ Ø ÒØ Ø Ö Ò Ò ØÓÖ Ö Ð ÚÓÖ ÐÐ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ð Ö Ôº ÀÚ Ö ÓÖ Ø Ú ÐÐ Ø Ú Ö Ø Ð Ø Ð Ú Ò ØÖ ÒØ E 2 Ñ ÖÒ Ö Ö Ð Ô Ò Ö Ø Ð Ò ¹ ÖÐ ÒØ Ö Òغ Å ÒÒ ÒØ Ð Ö Ö ÒÓ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ x, y, z ÓÑ Ö ÒØ ÔÓÐ Ö Ò Ò Ö ØØ Ú ÐÐ Ð Ø Ð Ø Ð Ô Ò ØÓÖ Ö Ðº Î Ö ÐØ Ø Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÖÒ ÖÒ Ð Ó x Ó y Ö ÒØÝ Ø Ø ÑØ Ó Ú Ú Ð Ø Ò Ø [x, y]º ÖÙ ÓÚ Ö Ú Ð Ú ÓÑ Ö Ð S(x, y) Ø Ò Ò ÒØÝ Ø ÑØ ØÓÖ Ö Ð ÓÑ Ò ÓÐ Ö x Ó y Ó Ð Ò ÐÚ Ù Ð Ð ÓÑ Ò ÓÐ Ö z Ó Ú Ö Ò Ö S(x, y) ÓÖ H(x, y, z)º Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Ë Ö ØÖ Òصº Ò Ö ØÖ ÒØ Ñ Ö Ù Ò ÖÒ Ö x, y, z S 2 Ò Ú Ø ÔÓ Ø Ú ÓÑÐ Ö ØÒ Ò µ Ö T(x, y, z) = H(x, y, z) H(y, z, x) H(z, x, y) Ë ÖÒ T(x, y, z) Ö a = [z, y], b = [x, z] Ó c = [y, x] Ñ Ö ÐÒ Ö Ô Ò ÓÐ Ú a = θ(z, y), b = θ(x, z) Ó c = θ(y, x)º ÙÖ ¾º¾ Ò Ö ØÖ ÒØ ½
21 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ØÖ Ú Ò Ð Ö T(x, y, z) Ñ ÐÐ Ñ ÖÒ b Ó c c Ó a Ó a Ó b Ð Ö Ú Ò ÓÐ Ú α β Ó γº Ë ÙÖ ¾º¾º Î Ò Ö Ö Ñ Ø Ð Ø ÚÖ Ú Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ ÖÒ Ø Ò ÒØ Ö ÖÒ ÖÒ º Ø Ú Ð Ú Ú Ð Ö g : [0, b ] S 2 Ó h : [0, c ] S 2 ÚÖ Ó Ø Ù Ö Ö Ò ÓÐ Ú z Ø Ð x Ó x Ø Ð y Ö α Ú Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ g ( b ) Ó h (0)º Ä Ð Ú Ò Ó Ø Ù Ö y Ø Ð z Ö f : [0, a ] S 2 Ò Ö β Ó γ Ø Ð Ø ÚÖ Ú Ò Ð ÖÒ Ñ ÐÐ Ñ Ò ÓÐ Ú h ( c ) Ó f (0) Ó Ñ ÐÐ Ñ f ( a ) Ó g (0)º ÑÖ Ò Ò ¾º¾ º ÀÚ Ú Ö Ô ÙÖ ¾º ÚÓÖ Ú ØÓÖ ÖÒ z x x y g (b) Ó h (0) Ö Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ú Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ z x Ó x y Ú Ö Ö Ø Ð π αº Ä Ð Ö θ(x y, y z) = π β Ó θ(y z, z x) = π γº ÙÖ ¾º Î ØÓÖ Ö Ø Ò ÒØÔÐ Ò Ò Ø Ð S 2 ËØÒ Ò ¾º¾ Î Ò Ð ÙÑÑ Ò Ò Ö ØÖ Òصº ÀÚ α, β Ó γ Ö Ú Ò Ð ÖÒ Ò Ö ØÖ ÒØ T(x, y, z) Ö α + β + γ > π Ú (x y) (z y), (z x) E = ( x, z y E y y, z y E x), z x E = x, z y E y, z x E = y, z x 2 E x, y Ó z Ö Ð Ò ÖØ Ù Ò Ú Ð y, z x E 0 Ó ÖÑ Ú Ð x y z y Ó z x Ó ÚÖ Ð Ò ÖØ Ù Ò º ËØÒ Ò ¾º ÑÖ Ò Ò ¾º ÑØ Ø Ø d S = θ Ö Ò Ñ ØÖ Ú Ö θ(x y, z x) < θ(x y, z y) + θ(z y, z x). Ö ÑÖ Ò Ò ¾º¾ Ö Ú Ø π a < β + γ ÓÑ Ú Ö Ø Ò º Ö Ú Ó ÝÒ Ö Ø Ô Ö Ð Ö ½ Ö ØÖ ÒØ Ö Ú Ð Ú Ú Ò ÓÖØ Ò Ø ÓÒ Ó ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ö ÓÓÖ Ò Ø Öº Ä Ó Ô Ò Ú ØÓÖ x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ÚÓÖ x 2, x 3 0º Ë Ò Ö Ö Ú Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö (r, θ 1, θ 2 ) Ø Ð ½ Ø Ú ÒÐ Ä Ù ÑÐ ½
22 ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ r = x E > 0 θ 1 = θ(e 1, x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 + e 3 ) [0, π] Ó 0 < θ 2 2π Ö Ò Ö Ú Ò Ð Ö e 2 Ø Ð x 2 e 2 + x 3 e 3 º ÓÔ ÝÐ Ö Ø x 1 = r cosθ 1 x 2 = r sin θ 1 cosθ 2 Ó x 3 = r sin θ 1 sin θ 2 º Ë Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ÚÖ Ò ØÓÖ ÐÔ Ø Ð Ø Ò Ö Ð Ø Ò ÐÑÒ S 2 º Ð Ò ÒÝØØ ØÒ Ò Ú Ð Ó Ð Ú Ú Ø Öº ËØÒ Ò ¾º¾ º Ä X S 2 ÚÖ Ú Ø Ú Ð Ò ÙÐ Ö Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö r = 1, α 1 θ 1 α 2, β 1 θ 2 β 2. Ë Ö Ö Ð Ø X Areal(X) = β2 α2 β 1 α 1 sinθ 1 dθ 1 dθ 2 Ì Ð ÓÖ Ð Ö Ù Ð Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ Ö Ø Ö ÓÑ ØÖ ÑÙÐ Ø Ø Ú Ö ÓÖ ÐÐ Ó Ø Ñ ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ ÓÖ ÐÐ ÔÙÒ Ø Öº ÀÚ x, y S 2 Ö ÒØ ÔÓÐ Ö Ö Ö ÓÑ Ø Ù Ò Ð Ñ Ò Ó Ø Ñ ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ó Ø Ö Ó ØØ Ö Ö Ø ÑÙÐ Ø Ø Ú Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ñ ØÓ Ö S 2 º Ò Ò Ð Ò ÑÒ Ó Ú Ö Ö Ø Ð ÓÚ ÖÐ ÔÒ Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÖ ÐÐ ¹ ÑÓ ØØ ÐÚ Ù Ð ÐÐ Öº Ò Ò Ö Ú Ú Ò Ò Ð Ú Ò Ð ÓÑ Ö Ò ÑÑ ØÓ ÖÒ Öº Ò ÑÒ Ñ Ú Ò Ð α Ú Ð Ú Ö ÓÖ Ø Ò L(α)º ÀÚ Ö Ð Ø L(α) Ð Ù Ö Ò Ò Ú Ù ÒÝØØ Ø Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö (r, θ 1, θ 2 ) Ú Ö Ö Ø Ð r = 1 0 θ 1 π Ó 0 θ 2 αº Ë Ö ØÒ Ò ¾º¾ Ö Ú Areal(L(α)) = α π 0 0 sin(θ 1 )dθ 1 dθ 2 = α 0 ( cos(π) + cos(0))dθ 2 = α 0 2dθ 2 = 2α. L( π 2 ) Ö Ø Ú ÖØ S2 Ò Ú ÓÒ ÐÙ Ö Ø Areal(S 2 ) = 4Areal(L( π 2 )) = 4 2 π 2 = 4πº Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Ö Ð Ö ØÖ Òصº ÀÚ T(x, y, z) Ö Ò Ö ØÖ ÒØ Ñ Ú Ò Ð ÖÒ α, β Ó γ Ö Ò Ö Ð Ø Areal(T) = (α + β + γ) π Ú ØÖ ØÓÖ Ö Ð Ö ÓÑ T ³ Ö Ð Ö Ð Ö Ô ÖÚ Ø S 2 ÓÔ ØÓ ÐÚÑÒ Öº ÐØ ÐÚÑÒ Ö Ñ Ö Ð Ö Ô 2α, 2β Ó 2γ ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ö ÐÐ ÑÑ Ò T ÐÐ Ö ÒØ ÔÓ ¹ Ð Ò Ò Ò T Ñ ÑÑ Ö Ðº Ö Ð Ø Ù Ð Ò Ú Ö Ö ÐØ Ø Ð ÙÑÑ Ò ÑÒ ÖÒ Ö Ð Ö Ö Ö Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ö Ð Ø T ØÐÐ Ó Ðغ Ú º 4π = Areal(S 2 ) = 2Areal(L(α)) + 2Areal(L(β)) + 2Areal(L(γ)) 4Areal(T) = 4α + 4β + 4γ 4Areal(T) Î Ø Ð ÒÒ Ñ Ñ Ö Ó ÝØØ Ð Ø ÖÙÒ Ø Ö Ú ÐØ Ò Ò ÓÖÑ Ð Areal(T) = (α + β + γ) π. ½
23 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º º¾ ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÆÖ Ú Ð Ò Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Ð Ú Ð ÓÑ Ù Ð Ó Ö ÓÑ ØÖ Ø ÖØ Ñ ØÖ ÖÒ Ö ÓÑ Ð Ö Ô Ò ³Ö Ø Ð Ò ³º Á ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ØÝ Ö Ø Ø ÔÙÒ Ø Ö x, y, z H 2 Ò Ù Ö ÖÒ ÖÒ Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Ú Ö Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò Ö Ò ÓÐ Ö Ñ ÐÐ ØÖ º ÀÚ L(x, y) Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò Ö Ö ÒÒ Ñ x Ó y Ð Ö Ú Ø ÐÙ ÐÚÔÐ Ò Ò ÓÐ Ò z Ó Ñ L(x, y) ÓÑ Ö Ò ÓÖ H(x, y, z)º Ò Ø ÓÒ ¾º¾ ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÖ Òصº Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Ñ ÖÒ ÖÒ x, y, z H 2 Ò Ú Ø Ò Ø Ú ÓÑÐ Ö ØÒ Ò µ Ö T(x, y, z) = H(x, y, z) H(y, z, x) H(z, x, y) Ë Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÖÒ Ö x Ó y ØÖ ÒØ Ò Ö Ñ ÒØ Ø L(x, y) Ö x Ø Ð yº Ë ÖÒ T(x, y, z) Ö a = [y, z], b = [z, x] Ó c = [x, y] Ñ ÐÒ Ö Ô Ò ÓÐ Ú a = η(y, z), b = η(z, x) Ó c = η(x, y)º Î Ð Ö Ó Ø Ù Ö Ö y Ø Ð z z Ø Ð x Ó Ö x Ø Ð y ÚÖ Ò ÓÐ Ú f : [0, a ] H 2 g : [0, b ] H 2, Ó h : [0, c ] H 2 Ò ÐÓ Ø Ñ Ò Ö ØÖ ÒØ Ò Ö Ö Ú Ú Ò Ð Ò α Ñ ÐÐ Ñ ÖÒ b Ó c Ø Ð Ø ÚÖ Ú Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ c Ó b³ Ø Ò ÒØ Ö xº Ë Ú β Ö Ú Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ c Ó a Ú Ö Ö Ò Ø Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ú Ò Ð Ñ ÐÐ Ñ h ( c ) Ó f (0)º Ò Ø Ú Ò Ð γ T(x, y, z) Ò Ö ÓÑ Ú Ò¹ Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ f ( a ) Ó g (0)º ÙÖ ¾º Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ ÀÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ Ö ÒÓ Ø Ö Ø Ð Ú Ö Ö Ò Ö ÓÑ ØÖ ÑÒ º Ø Ð Ò ØÓÖ Ó Ö Ò ¹ØÓÑ ÓÚ ÖÐ ÔÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÖ ÐÐ ¹ÑÓ ØØ ÐÚÔÐ Ò Ö H 2 º ÀÚ Ú Ö Ò ØÓÖ Ò Ò Ö Ú Ú Ú Ò Ð Ò Ò ÖÒ e 1 ÚÓÖ ØÓ ÐÚÔÐ Ò Ö Ñ º Ö ÓÖ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ð Ò S(α) ÚÓÖ α < π Ö Ú Ò Ð Ò e 1 º ÀÚ Ú ÓÖ Ø ÐÐ Ö Ó Ø Ú ØÖ Ø Ö H 2 Ö ÓÖ Ó Ú Ð Ú Ò Ò ÓÐ Ò ÔÙÒ Ø Ø e 1 ÒØÖÙÑ Ó S(α) Ú Ð ÓÑ ØÓ Ù Ð Ö ØØ Ð Ò ØÝ Ö Ö Ö Ö e 1 Ø Ð Ö Ò Ò Òº ÀÚ Ú Ú Ð Ú Ö Ñ Ò ÓÑ Ö Ò Ñ Ø ÒØ Ö¹ ÒØ Ø Ò Ö Ò ÑÐ Ø H 2 Ö ÓÖ Ó Ö Ù ÓÑ Ò ÔÖÓ Ø Ú ÑÓ Ðº ÀÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò Ö H 2 Ú Ð Ö Ö Ù ÓÑ Ö ØØ Ù Ð Ð Ò Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Ö Ú Ð Ù ÓÑ Ù Ð ØÖ ÒØ Öº Î Ö Ø Ð Ø Ð Ø ØÒ Ô S(α) Ò ÔÖÓ Ø Ú ÑÓ Ð Ó ÓÖ Ø ÐÐ Ö Ó Ò Ö Ø Ð Ò L Ö Ö ½ ÙÖ ¾º T(α) Ò ÔÖÓ Ø Ú ÑÓ Ð
24 ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö ÚÓÖ S(α) Ñ Ö Ö Ò Ò Ô Òº Ë ÙÖ ¾º º L Ú Ð ÚÖ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ð Ò H 2 Ó ÓÚ ÖÐ ÔÒ Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ S(α) Ó Ò Ð H 2 ÓÑ Ò ÓÐ Ö e 1 Ó Ö L ÓÑ Ö Ò Ú Ð Ú Ð T(α)º T(α) Ò ÓÑ Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ ÚÓÖ ÖÒ ØÓ Ò ÖÒ Ö Ö Ø Ñ Ú Ù Ò Ð º Ë ÒÒ ÖÒ Ö Ú Ð Ú Ð ÐÐ ÖÒ Ö Ó Ò Ö Ö Ú Ò Ð Ø Ð ¼º ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Ö Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ ¼ Ó ØÖ ÐÐ ÖÒ Ö Ú Ð Ú Ð Ò Ö Ð Ö ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Öº Ò ØÖ ÒØ Ñ ØÓ ÐÐ ÖÒ Ö Ú Ð Ú Ð ÓÖ Ò ØÓÖØÖ Òغ Î Ú Ð ÒÙ Ò Ö Ø ÑÓ ØÝ Ø Ð Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ÑÐ ÝÔ Ö ÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ä x = (x 1, x 2, x 3 ) H 2 R 3 ÚÓÖ x 2, x 3 0º Ë Ò Ö Ú ÝÔ Ö ÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö (r, η 1, η 2 ) Ø Ð r > 0 Ö ÓÐÙØÚÖ Ò x H ÐØ ½ η 1 = η(e 1, x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = η(e 1, x) [0, π] Ó 0 < η 2 2π Ö Ò Ö Ú Ò Ð Ö e 2 Ø Ð x 2 e 2 + x 3 e 3 º ÓÔ ÝÐ Ö Ø x 1 = r coshη 1 x 2 = r sinhη 1 cosη 2 Ó x 3 = r sinhη 1 sin η 2 º ËØÒ Ò ¾º¾ º Ä X H 2 ÚÖ Ú Ø Ú Ð Ò ÙÐ Ö ÝÔ Ö ÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö r = 1, α 1 η 1 α 2, β 1 η 2 β 2. Ë Ö Ö Ð Ø X Areal(X) = β2 α2 β 1 α 1 sinhη 1 dη 1 dη 2 Î Ú Ð ÒÙ Ú Ú Ø Ú Ö Ð Ø Ò Ò Ö Ð Ö Ø ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Öº ØØ Ð Ú Ö Ñ Ø Ò ÑÑ Ö Ú Ú Ö Ø Ú Ö Ú Ö Ð Ø Ö Ø Ð Ð Ø ÚÓÖ ØÖ ÒØ Ò Ö ØÓ ÐÐ ÖÒ Öº Ä ÑÑ ¾º ¼º Ö Ð Ø Ò ØÓÖØÖ ÒØ Ö ArealT(α) = π α. Ú ÀÚ Ú Ú Ð Ö Ú Ò ØÓÖ S(α) ÝÔ Ö ÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ú Ö Ö Ò Ø Ð ÑÒ Ò S(α) = {(r, η 1, η 2 ) H 2 r = 1, α 2 η 2 α 2 }º Î Ð Ú Ð Ð β = α 2 < π 2 º T(α) Ö ÐØ Ò ØÖ ÒØ Ö ÝÔ Ö ÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ö Ú Ø Ú ÙÐ ÖÒ r = 1, β η 2 β Ó 0 η 1 η(e 1, x) ÚÓÖ x = (x 1, x 2, x 3 ) Lº Ë Ú ØÒ Ò ¾º¾ Ö Ú Areal T(α) = = β η(e1,x) β β β sinhη 1 dη 1 dη 2 = β 0 β x 1 dη 2 α. (cosh η(e 1, x) 1)dη 2 ½
25 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ÓÖ Ø ÓÑÑ Ú Ö Ð Ú Ö Ú ÐØ Ò Ø Ð Ø Ò Ù ÚÓÖ Ò x 1 Ò Ö η 2 º ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ú ØÓÖ (x 1, x 2, x 3 ) H 2 Ú Ú Ø x 1 = cosh η 1, x 2 = sinhη 1 cosη 2, Ó x 3 = sinhη 1 sinη 2 º Ä Ö Ú ØÓÖ Ò Ý ÖÐ Ö Ò ØÓ Ö S(α) Ú Ð η 2 ÚÖ β ÐÐ Ö β ÐØ Ø Ö Ú Ð Ò Ò ÖÒ Ø Öº Ú º Ø ÖÒ S(α) Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ô Ð Ò Ñ (cosh η 1 )e 1 + (sinhη 1 cosβ)e 2 + (sinh η 1 sin β)e 3 Ó (cosh η 1 )e 1 + (sinhη 1 cosβ)e 2 (sinh η 1 sin β)e 3 ÚÓÖ η 1 0º coshη 1, sinhη 1 η 1 ÒÖ η 1 ÚÓ Ö Ö ÝÑÔØÓØ Ø Ð Ð Ò ÖÒ s 1 (η 1 ) = (η 1, η 1 cosβ, η 1 sinβ) Ó s 2 (η 1 ) = (η 1, η 1 cosβ, η 1 sin β) ÓÑ Ð Ö ½¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ú ØÓÖÖÙÑ Ù ÔÒ Ø Ò ÓÐ Ú (1, cosβ, sin β) Ó (1, cosβ, sin β). Ø Ú ØÓÖÖÙÑ V ÓÑ (1, cosβ, sin β) Ó (1, cosβ, sinβ) Ù ÔÒ Ö Ö Ò ØÓÔ Ø ÓÑ ÒÒ Ñ¹ Ö Ö H 2 Lº Ø Ù Ð ÖÝ ÔÖÓ Ù Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ú Ð ÐØ ÚÖ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø Ð V º ÓÖ Ò Ú Ö Ú ØÓÖ x V Ú Ú Ø Ø Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Ö 0 Ñ ÐÐ Ñ x Ó (1, cosβ, sin β) (1, cosβ, sinβ) = ( 2 cosβ sin β, 2 sinβ, 0)º Ò Ú ØÓÖ x = (x 1, x 2, x 3 ) V ÓÔ ÝÐ Ö ÐØ Ð Ò Ð Ò Ò 0 = (x 1, x 2, x 3 ), ( 2 cosβ sin β, 2 sin β, 0) E = 2x 1 cosβ sin β + 2x 2 sin β, Ó ÖÑ ÓÔ ÝÐ Ö x Ó Ø x 1 cosβ x 2 = 0 sin β 0 ÓÖ 0 < β < π 2 º ÐÐ Ú ØÓÖ Ö L V Ú Ð ÐØ Ó ÓÔ ÝÐ ØØ º L Ó Ö Ò ÐÑÒ H 2 Ú Ð Ò Ú ØÓÖ x L Ó ÓÔ ÝÐ Ð Ò Ò Ý Ø Ñ Ø x 1 = coshη 1, x 2 = sinhη 1 cosη 2, x 3 = sinhη 1 sin η 2 ÀÚ Ú ÑÑ Ò Ö Ö ØÓ Ø Ò Ú Ð Ú Ð Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ú ØÓÖ x L cosβ, cosη < β < π 2 µ x 2 x 1 = cosβ = sinhη 1 cosη 2 cosh 2 η 1 1cosη 2 = cosβ cosβ cos2 β cos 2 = x2 1 1 η 2 x 2 = x 2 1 ( ) 1 x 1 = 1 cos2 2 β cosη = 2 cos 2 η 2 cos2 η 2 cos 2 β = x cosη 2 cosβ ÖÑ Ö Ú Ó Ø x 2 = x 1 cosβ = cosβ cosη 2 cos2 η 2 cos 2 β Ó x 3 = x 2 sin η 2 cosη 2 = cosβ sin η 2 cos2 η 2 cos 2 β. ½
26 ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Î Ö Ø Ö Ð Ø T(α) Ö Areal(T(α)) = = = β β β β β β x 1 dη 2 α cosη β 2 cos2 η 2 cos 2 β dη 2 α = β cosη 2 sin β 1 sin2 η 2 sin 2 β dη 2 α. cosη 2 sin 2 β sin 2 η 2 dη 2 α ÀÚ Ú Ð Ú Ö Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò u = Ë Ú Ö sin η2 du cos η2 sin β Ö dη 2 = sin β Ó u ±1 ÓÖ η 2 ±βº 1 1 Areal(T(α)) = du α = 1 1 u 2 [sin 1 u] 1 1 α = π 2 π 2 α = π α ËØÒ Ò ¾º ½ Ö Ð Ø Ò Ò Ö Ð Ö Ø ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ Òصº ÀÚ α, β Ó γ Ö Ú Ò Ð ÖÒ Ò Ò Ö Ð Ö Ø ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ T Ö Areal(T) = π (α + β + γ) Ú Î Ö ÐÐ Ö Ú Ø ØÒ Ò Ò ÓÖ ØÖ ÒØ Ö Ñ ØÓ ÐÐ Ú Ò Ð Ö β = γ = 0µº Ä Ó ÒÙ Ô Ø Ð Ð Ø ÚÓÖ T Ö ØÖ ÐÐ Ú Ò Ð Ö α = β = γ = 0µº ÀÚ Ú Ø Ö Ø ÔÙÒ Ø x Ò Ò T Ò Ú Ð T ÓÔ ØÖ ØÓÖØÖ ÒØ Ö T(α), T(β) Ó T(γ)º Ë ÙÖ ¾º º Ö Ð Ø T Ú Ð ÚÖ ÙÑÑ Ò ØÓÖØÖ ÒØ ÖÒ Areal(T) = Areal(T(α)) + Areal(T(β)) + Areal(T(γ)) = (π α) + (π β) + (π γ) = 3π 2π = π. Ë ØÒ Ò Ò ÓÐ Ö Ó ØØ Ø Ð Ð º ÙÖ ¾º ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ ÖÒ Ö ÐØ ÓÔ ØÓÖØÖ ÒØ Öº ÀÚ T Ö Ò ØÖ ÒØ Ñ Ò Ð Ú Ò Ð γ = 0µ Ò Ò ÓÑ ÓÖ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ØÓÖØÖ ÒØ Ö T(α) Ó T(π β) ÓÑ Ø Ô ÙÖ ¾º º ¾¼
27 Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ÖÑ Ö Ú Ø Areal(T) = Areal(T(α)) Areal(T(π β)) = (π α) (π π + β) = π (α β). Î Ñ Ò Ð Ö ÐØ ÙÒ Ø Ø Ø Ð Ð Ø ÚÓÖ T Ö ÒÓ Ò ÐÐ Ú Ò Ð Öº Á ØØ Ø Ð Ð Ò Ú Ò Ò ØÖ ÒØ T Ñ ØÖ ÐÐ ÖÒ Ö ÓÑ T Ö Ò Ð º ØØ Ö Ú Ú Ø ÓÖÐÒ T ³ Ö Ø Ð Ö ÑÑ Ö Ö Ò Ò Ò ÔÖÓ Ø Ú Ó Ð T Ú ÖÒ Ö Öº Ë Ú Ö Ö T Ø Ð ÙÑÑ Ò T Ó ØÖ ØÓÖØÖ ÒØ Ö T(π α) T(π β) Ó T(π γ)º Ë ÙÖ ¾º º ÖÑ Ö Ö Ð Ø T ÙÖ ¾º Areal(T) = Areal(T ) T(π α) T(π β) T(π γ) = π (π π + α) (β) (γ) = π (α + β + γ). Ë ØÒ Ò Ò Ö Ú Ø ÓÖ ÐÐ Ò Ö Ð Ö ØÖ ÒØ Öº ÙÖ ¾º T Ò Ò T ¾½
28 ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÃÓÖÓÐÐ Ö ¾º ¾ Î Ò Ð ÙÑÑ Ò Ò ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ Òصº ÀÚ α, β Ó γ Ö Ú Ò Ð ÖÒ Ò Ò Ö¹ Ð Ö ÝÔ Ö ÓÐ ØÖ ÒØ T(x, y, z) Ö α + β + γ < π Ú Areal(T) > 0 Ð Ö ØØ Ö Ø ØÒ Ò ¾º ½º ¾¾
29 à ÈÁÌ Ä ÅÓ ÖÒ ØÓÐ Ò Ò Ù Ð ÓÑ Ö ÁÒ Ò ÓÔ Ð Ò ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ú Ö Ö Ð Ø ÒÓ Ø Ö Ù Ð ÓÑ ØÖ º Ö Ú Ö ÙÒ Ò Ð ÓÑ ØÖ Ó Ø Ú Ö Ö Ú Ð Ò Ò Ý Ú Ö Òº Á Ò ÓÔ Ý Ò Ò Ò Ù Ð ³ Ð Ñ ÒØ Ö³ Ú Ö Ø Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ú Ö Ò ÓÔ ÒÐÝ ÓÑ ÖÒ µ Ó Ñ Ö ÙÒÒ Ù Ð Ö º Á Ò Ñ Ò ÚÐ Ò ÓÑ Ö ÓÑ Ñ Ò Ú Ð Ø Ö Ö Ú Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ µ Ñ Ò Ø Ð Ò Ð Ö ØÝ Ò Ò Ò ÓÖ Ø ³ Ò ³ Ó Ò Ö Øº Ì Ò Ò ÚÖ Ò Ò Ò ÓÖ Ø Ø ÑØ ÓÑ Ý Ø Ñ Ö Ò Ö ÐØ Ò ÓÑ Ù Ð Ò º ØØ Ö Ó Ò ØÝ Ò Ñ Ø ÒÓ Ð ÓÑ Ý Ø Ñ Ö Ö Ñ Ö ÒØ Ö ÒØ ÐÐ Ö ÒÚ Ò Ð Ò Ò Ö º ÓÖ Ù Ð ÓÑ Ö Ò ØÓÔ Ú Ö Ú Ð Ø ÙÐÐ Ô Ð Ò ØÙÖ Ò ÓÑ Ñ Ò Ò ÓÑ Ø Ñ Ò Ù Ð Ø Ö Ñ Ó Ø ÐÒÖÑ Ð Ú Ø Ø Ð Ø Ô Ô Ú Ö Ð Òº Á Ñ Ø Ò Ú Ö Ú ÒØ Ø Ð Ô ÂÓÖ Ò Ð Ö Ò ØÙÖ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÚØ Ù Ð ÓÑ Ö Ó Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ Ú Ö Ö ÓÖ Ó Ò Ó Ö Ú Ð ÚÓÖ Ð ÐÐ Ú Ö Òº Ë Ð Ú Ö Ñ Ù Ð ÓÑ Ö Ð Ú Ö Ø Ô Ò Ð Ò Ò Ñ º Á Ø Ø ÓÖ Ø Ø ÓÑ ØÖ Ö Ú Ö Ð Ò Ó Ø Ò ÓÔ ÝÐ Ö ÒÓ Ð Ø ÑØ Ø Ò Ú Ð Ú Ò Ö ÓÑ ØÖ Ø Ð Ø ÚÖ Ø Ö ÓÔ ÝÐ Ö Ø ÑØ Ø Ò Ú Ò Öº Ë Ò Ú Ù Ö ÒÒ Ò Ø ÓÒ Ù Ð Ò Ñ ÓÑ Ú Ö Ð Ö ÓÖ Ø Ú Ð Ö Ò ÓÑ ØÖ Ó Ø Ú Ð ÚÖ Ò Ø Ò Ò ÓÖ ÚÓÖ ÓÑ Ý Ø Ñº Á ØØ Ô Ø Ð Ú Ð Ú ÖÒ Ô ÚÓÖ Ò Ù Ð ÓÑ Ö Ö Ð Ú Ø ÑÓ ÖÒ Ö Ø Ó Ò Ö Ð Ö Øº Î Ú Ð Ò Ö Ú Ø ÓÑ ØÖ ÖÙÑ Ö ÚÓÖ Ù Ð Ö Ø ÖØ Ð Ð ÓÑ Ô Ð Ö Ù Ð ÓÖ Ø ÐÐ Ò Ö ÓÑ ÓÑ ØÖ º Á Ø Ô Ø Ð Ú Ò Ö Ø Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ø Ô Ö Ø Ð Ú Ú ÖÒ Ú Ð Ú Ò Ò Ö Ð Ö Ø Ð Ò Ð ÚÖ º Ø Ö Ô Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ X Ø Ö Ö Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ñ ÐÐ Ñ Ø Ú ÖØ Ô Ö ÓÖ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö ÐÝ Ö ÖÑ Ñ Ø ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ú Ð Ù Ð ½º ÔÓ ØÙРغ È ÑÑ Ñ Ú Ö Ö ¾º ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ð Ø Ø Ú ÖØ Ó Ø Ñ ÒØ Ö Ò ÓÐ Ø Ò Ó Ø Ð Ò Ô Xº ÀÚ Ú ÓÑ Ù Ð º ÔÓ ØÙÐ Ø ÝÒ Ö Ø Ø Ð ÓÑ Ö Ð Ö Ú Ð Ø ÚÖ Ñ Ø Ö Ñ Ð Ø Ø Ð Ò Ö Ð Ø Ò Ö ÐØ ÓÑ ØÖ ÖÙÑ ÚÖ ÒÓ Ø Ö Ö ÓÑ ÓÑÓÖ Ø Ñ Ò Ö Ð ÓÑ Ú Ò Ö Ò E n º Ë Ð Ö Ð Ö ÙÒÒ Ø Ò Ñ Ò Ú Ð Ò ÓÑ Ð Ø Ö Ù Ö Ø Ð Ø Ô ÐØ Ñ S n Ö Ö Ò Ð Ù ØÖ Ò Ò º Ò Ú Ð Ò ÓÑ Ð Ø Ö Ù Ð Ú Ö Ò Ø Ð Ø ØÝ Ò Ú Ð Ò ÓÑ Ð Ø ÐÒ Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ó Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø Ö ÐØ Ø Ðº ¾
30 ÓÖ Ø º ÔÓ ØÙÐ Ø ÓÑ Ö Ø ÐÐ Ö ØØ Ú Ò Ð Ö Ö Ò Ñ Ò ÙÒ ÖÐ Ò Ø Ò ÚÖ Ø Ñ Ò Ò ÝØØ ÖÙÒ Ø Ô ÙÖ Ö Ñ Ò Ø ÓÖ Ð Ú Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÐØ Ø ÓÑ ØÖ Ò Ö Ò ÑÑ Ð Ñ Ø ÚÓÖ Ô X Ñ Ò Ò Ö Ó Ø ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö Ò ÝØØ ÖÙÒ Ø Ñ ÓÑ ØÖ Ö Ð Ò Ö Ø Ú Ð Ò ÓÑ Ð Ø Ø Ô X Ñ Ò Ò Öº À Ö Ö ÚÓÖ Ò Ñ Ò Ö Ú Ð Ø Ø Ò Ö Ø ÓÑ ØÖ ÖÙÑ ÂÊ µ Ò Ø ÓÒ º½ n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÓÑ ØÖ ÖÙѵº Ø n¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÓÑ ØÖ ÖÙÑ Ö Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ X ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö Ð Ò ÓÑ Ö ½º Î Ð ÖÐ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö x, y X Ò ÓÖ Ò Ø Ó Ø Ñ ÒØ Xº ¾º Ò Ú Ö Ó Ø Ù α : [a, b] X Ò ÓÖÐÒ Ø Ð Ò ÒØÝ Ø ÑØ Ó Ø Ð Ò α : R Xº º Ö Ø Ö Ö k > 0 Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ ε : E n X Ò Ø B(0, k) Ð ÓÑ ÓÑÓÖ Ø Ô B(ε(0), k) εº ÖÙ ÓÚ Ö Ð Ö ÓÖ Ú ÖØ ÔÙÒ Ø u S n 1 Ð Ø Ð Ò Ò Ò λ : R X Ò Ö Ø Ú λ(t) = ε(tu) Ö Ò Ó Ø Ð Ò ÚÓÖ λ ÖÒ Ø Ð Ò Ó Ø Ù Ô ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [ k, k]º º ÓÖ Ú ÖØ Ô Ö ÔÙÒ Ø Ö x, y X Ø Ö Ö Ö Ò ÓÑ ØÖ ϕ Ô X ϕ(x) = yº Å ÒÒ Ò Ø ÓÒ Ö E n S n Ó H n ÓÑ ØÖ ÖÙѺ Ö Ó Ò Ø º Ë Ð Ú Ò Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö Ø Ð Ò ØÓÔ E n S n Ó H n ÓÔ Ø Ð ÓÑ ÓÑÓÖ µ Ö Ø Ú Ö Ð Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÑ ØÖ Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÖÙÑÒ Ò º ÒÒ Ò Ø ÓÒ Ú Ð Ú ÓÑÑ Ò Ô ØØ ÔÖÓ Ø Ò ÖÚ Ö Ò Ø Ð Ê Ñ ÒÒÑ Ò ÓÐ Ö ÓÑ Ú Ö ÚÖ Ø Ò Ôº ¾
31 à ÈÁÌ Ä ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ù Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ó Ö Ö Á ØØ Ô Ø Ð Ú Ð Ú Ô ÚÓÖ Ò Ú Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ Ö Ú Ø ³Ð Ñ ³ ÐÑÒ Ö E 2, S 2 ÐÐ Ö H 2 ÑÑ Ò Ô ÓÖ ÐÐ Ñ Öº Ö Ø Ð Ú Ú Ò Ñ Ò Ø ÓÒ Ö Ô ÔÐ º ÓÖ ÑÔ Ð Ú Ò ÐØ ÔÖ Ø Ö Ó Ú Ø Ø ³Ð Ñ ³ Ö ÑÑ Ò ÓÖÑ ÐØ Ð ØÝ º Ò Ø ÓÒ º½ Å Ò ÓÐ µº Ø ØÓÔÓÐÓ ÖÙÑ X Ö Ò n¹ñ Ò ÓÐ Ú Ø Ö À Ù ÓÖ Ó Ö ÓÑ Ú ÖØ ÔÙÒ Ø X Ø Ö Ö Ò Ò ÓÑ Ò ÓÑ Ö ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ Ò Ò ÑÒ E n º ÀÚ n = 2 Ð X Ò ØÓÔÓÐÓ µ º Ò Ø ÓÒ º¾ (X, G)¹ ØÐ µº Ä M ÚÖ Ò n¹ñ Ò ÓÐ Ó Ð G ÚÖ Ò ÖÙÔÔ Ñ ¹ Ð Ö Ø Ø Ö Ô Ø Ñ ØÖ ÖÙÑ Xº Ò ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Φ = {ϕ i : U i X} i I ÓÑ Ú Ú Ð Ð ÓÖØ Ö Ø (X, G)¹ ØÐ ÓÖ M Ú Ò ÓÔ ÝÐ Ö Ð Ò Ø Ò Ð Ö {U i } i I Ö Ð Mº ÓÖ Ú ÖØ i I Ö U i Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ò ÐÑÒ Mº U i Ð ÓÑ ÓÑÓÖ Ø ÓÚ Ö Ò Ò ÐÑÒ X ÓÖ Ú ÖØ ÓÖØ ϕ i i Iº Ä U i Ó U j ÚÖ ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÓÖ i, j Iº ÓÖ x ϕ i (U i U j ) Ú Ð Ö Ò ÓÑ Ò x Ð Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ϕ j ϕ 1 i : ϕ i (U i U j ) ϕ j (U i U j ) Ø ÑÑ Ö ÓÚ Ö Ò Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Gº Ø (X, G)¹ ØÐ ÓÖ M Ö Ñ Ñ ÐØ Ú Ø Ò ÓÐ Ö ÐÐ Ò Ö (X, G)¹ ØÐ Ö ÓÖ Mº Ò Ø ÓÒ º (X, G)¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó (X, G)¹Ñ Ò ÓÐ µº Ø Ñ Ñ ÐØ (X, G)¹ ØÐ ÓÖ Ò Ñ Ò ¹ ÓÐ M Ð Ò (X, G)¹ ØÖÙ ØÙÖ ÓÖ Mº Ç M ÑÑ Ò Ñ Ò (X, G)¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò (X, G)¹Ñ Ò ÓÐ º ÀÚ ÒØ Ø Ò Ø Ö ÒÚÒØ Ú Ð X Ö ÒÙ Ø Ò S 2, E 2 ÐÐ Ö H 2 Ó G Ò ÖÙÔÔ ÓÑ ØÖ Ö Ô Xº Ò Ø ÓÒ º ÃÓÒÚ µº Ä x, y X ÚÖ ÓÖ ÐÐ Ó ÒØ ÔÓÐ Ö S 2 ¹ Ø Ó Ø Ñ ÒØ [x, y] Ö ÓÖ Ò Ö x Ñ y Ú Ð ÚÖ ÒØÝ Øº Ò ÐÑÒ C X Ö ÓÒÚ Ú Ó ÙÒ Ú Ö ÓÖ ÐÐ ÒÒ Ô Ö x Ó y Ð Ö Ø [x, y] Ö Ò ÓÐ Ø Xº Ø Ú Ð Ð Ò Ø Ò Ø Ø ÑÒ Ò Ø Ò ØÓ ÒØ ÔÓÐ Ö S 2 Ö ÓÒÚ º ¾
32 Ò Ø ÓÒ º Ë Ò ÓÒÚ ÑÒ µº Ä C ÚÖ Ò ÓÒÚ ÐÑÒ Xº Ë Ö S Ò C Ú S Ö Ò ¹ØÓÑ ÓÒÚ ÐÑÒ Ö Ò Ò C X ÓÑ Ö Ò ÓÐ Ø ÒÓ Ò Ø ÖÖ ÓÒÚ ÐÑÒ Ö Ò Ò º Ò Ø ÓÒ º ÃÓÒÚ ÔÓÐÝ ÓÒµº Ò ÓÒÚ ÔÓÐÝ ÓÒ X Ö Ò ¹ØÓÑ ÐÙ Ø ÓÒÚ ÐÑÒ X Ñ Ò Ð Ø Ñ Ò Öº Ø Ú Ð ÓÖ ÑÔ Ð Ø S 2 ÑØ Ò ÐÚ Ù Ð Ð S 2 Ö ÓÒÚ ÔÓÐÝ ÓÒ Ö E 2 Ñ Ò Ö Ø S 2 º Ö Ò ÓÐ Ú Ò Ò Ó Ò S 2 º Ò Ö ÐÐ Ö Ò ÓÒÚ ÔÓÐÝ ÓÒ E 2 ÐÚÓÑ Ø Ö Ò ÐÙ Ø ÓÒÚ ÐÑÒ Ö º ÓÖ ÐÐ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø¹ÔÙÒ Ø ÑÒ Ö Ô Ö Ò Ò Ö Öº Î Ú Ð Ö ÒÙ Ð P Ø Ò Ò Ò Ð ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒÚ ÔÓÐÝ ÓÒ Ö X Ó S Ø Ò ÑÐ Ò Ò Ö Öº Ò Ø ÓÒ º G¹ ¹ Ó Ð Ò µº Ò ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Φ = {g S G S S} Ö Ò G¹ ¹ Ó Ð Ò ÓÖ P Ú Ð Ò ØÖ Ø Ò Ö ÓÔ ÝÐ Ø ÓÖ Ò Ú Ö S S Ò Ò S S g S (S ) = Sº S Ú Ð ÚÖ ÒØÝ Ø Ø ÑØ S g S Ö Ò ÓÑ ØÖ Ó Φ Ø Ó Ð S Ó S ºµ ÓÖ S, S S Ú Ð g S = g 1 S º ÀÚ S Ö Ò P P Ó S Ö Ò P P Ú Ð P g S (P ) = Sº Î Ð Ö Π Ø Ò Ò ØÓÔÓÐÓ ÙÑ ÙÒ Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ö P Π = Pi PP i º Ä Φ ÚÖ Ò G¹ ¹ Ó Ð Ò Ó Ð x Ó x ÚÖ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö Πº ÀÚ x Ó x Ð Ö Ö S ÓÑ Ö Ó Ð Ø Φ Ó Ú g S (x ) = x Ö Ú Ø x Ó x Ö Ó Ð Ø Phiº Î ÖÙ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ Ò x x ÓÖ x Ó x Ó Ð Øº Ø Ø ÚÖ Ó Ð Ø Ò Ù Ö Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Π ÚÓÖ Ú Ö Ø ØÓ ÔÙÒ Ø Ö x, y Π Ö Ö Ð Ø Ö Φ Ú x = y ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ò Ð Ð ÔÙÒ Ø Ö Π x = x 1 x 2 x m = yº ÓÖ x Π Ð Ö Ú [x] = {x 1, x 2, x m } Ø Ò Ú Ú Ð Ò Ð Ò Π ÓÑ Ò ÓÐ Ö xº ÀÚ M Ö ÚÓØ ÒØÖÙÑÑ Ø Ú Ú Ð Ò Ð Ö Π Ö Ú Ø Φ Ö Ð Ñ Ø ÔÓÐÝ ÓÒ ÖÒ P ÑÑ Ò Ø Ð Mº Î Ú Ð Ö ÒÙ Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ P Ö Ò ÓÐ Ö x i ÚÖ P i º Î Ò Ð Ò ÓÑ x i Ò ÓÐ Ø P i Ú Ð Ú Ø Ò θ(p i, x i )º Ö x Ø Ò Ö P i ÐÐ Ö Ø Ò Ö Ò P i Ú Ð Ú Ò Ö θ(p i, x i ) Ø Ð Ø ÚÖ Ò ÓÐ Ú 2π Ó πº Ä Ö x i ØÓ ÖÒ P i Ú Ð θ(p i, x i ) Ø Ò Ú Ò Ð Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø Ò ÒØ Ö Ø Ð ÖÒ x i ¹ ÓÑ Ú Ò Ð Ò Ò ØÖ ÒØ ÖÒ º ÓÖ Ø ÒØ x i Ø ÖÒ Ú Ð θ(p i, x i ) ÐØ ÚÖ ÖÔØ Ñ Ò Ö Ò πº Î Ò Ö Ö Ú Ò Ð ÙÑÑ Ò [x] Ø Ð Ø ÚÖ θ[x] = θ(p 1, x 1 ) + θ(p 2, x 2 ) + + θ(p m, x m )º Ò Ø ÓÒ º È Ò G¹ ¹ Ó Ð Ò µº Ä Φ ÚÖ Ò G¹ ¹ Ó Ð Ò º Ë Ö Φ Ô Ò Ú Ö ÓÖ Ú ÖØ x Π Ð Ö Ø θ[x] = 2πº ËØÒ Ò º º ÀÚ Φ = {g S S S} Ö Ò Ô Ò G¹ ¹ Ó Ð Ò ÓÖ P Ú Ð Ö ÓÖ Ú Ö S S Ð ½µ ÁÒ Ò ÔÙÒ Ø Ö S ÓÑ ØÖ Ò g S º ¾µ S Ó S Ö Ò Ú Ó ÙÒ Ú S Ö Ò ØÓÖ Ö Ð S 2 Ó g S Ö ÒØ ÔÓ ¹ Ð Ò Ò Ò S 2 º ¾
33 ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ù Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ó Ö Ö Ú Ä Φ = {g S S S} ÚÖ Ò Ô Ò G¹ ¹ Ó Ð Ò ÓÖ Pº ½µ ÒØ ÓÖ ÑÓ ØÖ Ø Ö Ø Ö Ö x S g S (x) = xº Î Ö Ö Ø Ô Ø Ð Ð Ø ÚÓÖ x Ð Ö Ø Ò Ö S ÐØ ÚÓÖ m = 2 Ñ Ø Ò Ð Ò [x] = {x 1, x 2,..., x m }º ÀÚ P P Ö Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ö Ò ÓÐ Ö x Ö Ú Ø θ(p, x) = πº x ÙÒ Ö Ó Ð Ø Ñ ÐÚ Ú Ð [x] = {x 1, x 2 } = {x}º Å Ò Ø Ú Ð θ[x] = θ(p, x) = π ÓÑ Ö ÑÓ ØÖ Ñ ÒØ Ð Ò ÓÑ Ø Φ Ú Ö Ô Ò º ÀÚ Ø Ø x Ö Ø Ò ÔÙÒ Ø S Ú Ð θ(p, x) < π Ó x Ú Ð Ó Ð Ò Ò ÐØ Ò Ò T Sº g S (S ) = S Ö Ú Ø x Ó Ð Ö Sº ÔÓÐÝ ÓÒ ÖÒ P Ö ÙÒ Ø Ñ S ÐØ ÚÖ Ð ÒØ Ò S ÐÐ Ö T º ÀÚ S = S = g S (S ) Ú Ð Ò Ö ÔÙÒ Ø Ö S Ð Ú Ø g S Ó ØØ Ú ÑÓ ØÖ º Ø Ú Ð Ø S = T Ó ÖÑ Ö [x] = {x} Ð ÓÑ Ö x ÙÒ Ö Ö Ð Ø Ö Ø Ø Ð ÐÚº Î Ò Ð ÙÑÑ Ò Ö θ[x] = θ(p, x) < π ÓÑ Ò ØÖ Ö ÑÓ Ø Φ Ö Ô Ò º Î Ò ÐØ ÐÙØØ Ø g S Ö ÒÓ Ò ÔÙÒ Ø Ö S º ¾µ Ö Ø ÒØ Ø S = S º g 1 S = g S = g S Ö g S Ò Ò ÒÚ Ö º ÀÚ Ú Ö Ô x S Ú Ð x Ó Ð S Ú g S (x) = x Sº Á Ð ½µ Ö x x Ó Ú Ú ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ Ø Ö ÒØ ÔÓÐ Ö S 2 Ú Ð Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ö Ñ ÚÖ ÒØÝ Øº g S Ö Ø Ò Ú Ö Ò Ñ Ñ ØÔÙÒ Ø Ø ØØ Ñ ÒØ ÚÖ ÔÙÒ Ø ÓÖ g S º Å Ò Ö ØØ ÑÓ ¹ ØÖ Ñ ½µ x Ó x Ñ ÚÖ ÒØ ÔÓÐ Ö S 2 Ó g S ÖÑ ÒØ ÔÓ ¹ Ð Ò Ò Ò Ô Sº S Ñ ÚÖ Ò ØÓÖ Ö Ð Ò Ö ÙÒ Ö Ø g S º ÈÓÐÝ ÓÒ Ò P Ö Ò ÓÐ Ö S = S Ö ÓÒÚ Ø Ó Ñ Ö ÓÖ ÚÖ Ò ÐÚ Ù Ð Ðº P g S (P) = S Ñ g S ÚÖ ÒØ ÔÓ ¹ Ð Ò Ò Ò Ô Ð S 2 º ÆÙ ÒØ Ø ÓÑÚ Ò Ø Ø S Ö Ò ØÓÖ Ö Ð S 2 Ó Ø g S Ö ÒØ ÔÓ ¹ Ð Ò Ò Ò S 2 º ÒØ ÔÓ ¹ Ð Ò Ò Ò S 2 Ö Ò Ò ÒÚ Ö ÑØ Ò Ö Ò ØÓÖ Ö Ð ÓÚ Ö ÐÚ Ö Ú S = g S (S) = g 1 S (S) = g S(S) = Sº Ë ØÒ Ò Ò Ö Ú Øº Ö Ú ÐÙØØ Ö Ñ ÓÚ ØÒ Ò Ò Ö Ú Ö Ø ÖÙ ÓÖ Ø Ð ÑÑ Ó Ò Ò Ø ÓÒ Ñ Ö º Î Ú Ð Ú Ð ÑÑ Ø Ö Ñ Ò Ú Ò ÂÊ º º Ò Ø ÓÒ º½¼ (X, G)¹ Ð Ò Ò µº Ò (X, G)¹ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ τ : N M Ñ ÐÐ Ñ ØÓ (X, G)¹Ñ ÓÐ Ö ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö Ð Ò ÓÖ Ø Ú ÖØ ÓÖØ ÓÖ N ϕ i : U X Ó Ø Ú ÖØ ÓÖØ ÓÖ M ψ j : V X ÚÓÖ U Ó τ 1 (V ) ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ö Ú Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ j τ ϕ 1 i : ϕ i (U τ 1 (V )) ψ j (τ(u) V ) Ø ÑÑ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Ð Ñ ÒØ G Ò ÓÑ Ò ÓÑ Ø Ú ÖØ ÔÙÒ Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÑÒ º Ä ÑÑ º½½º Ä τ : N M ÚÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÐÐ Ñ (X, G)¹Ñ Ò ÓÐ Öº Ë Ö τ Ò (X, G)¹ Ð Ò Ò Ú Ó ÙÒ Ú Ð Ò Ø Ò Ð Ö Ö ÓÔ ÝÐ Ø x N Ø Ö Ö Ò Ð Ò Ò ϕ : B(x) X ÚÓÖ B(x) N Ö Ò Ò ÓÑ Ò ÓÑ x τ Ð Ö B(x) ÓÑ ÓÑÓÖ Ø Ò Ò Ò ÑÒ Mº ϕτ 1 : τ(b(x)) X Ö Ø ÓÖØ ÓÖ Mº ËØÒ Ò º½¾º ÀÚ M Ö Ò Ö Ñ ÓÑÑ Ø Ú Ø Ð Ñ Ò ÖÙÔÔ P ÑÑ Ò Ñ Ò Ô Ò G¹ ¹ Ó Ð Ò Φ Ú Ð M ÚÖ Ò ¾¹Ñ Ò ÓÐ º M Ú Ð Ú Ò Ò (X, G)¹ ØÖÙ ØÙÖ Ø Ø Ò Ö Ø Ú ÖØ P P Ð Ø Ò M Ú Ò Ò ØÙÖÐ Ò Ø ÓÒ Ö Ò (X, G)¹ Ð Ò Ò º Ú ÀÚ Ö Ò Ò ÔÓÐÝ ÓÒ P Ñ ¼ Ö Ú Ð Ò ÚÖ Ð X Ó Ñ M = X Ð Ö Ø ØÖ Ú ÐØ Ú º Ä Ó Ö ÓÖ ÒØ Ø Ø Ú ÖØ P P Ö Ñ Ò Ø Ò º ¾
34 Î Ú Ð Ö Ø Ú Ø M Ö Ò ¾¹Ñ Ò ÓÐ º ØØ Ö Ú Ò Ò ÓÑ ÓÑÓÖ Ö Ð Ö Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ú ÖØ ÔÙÒ Ø M ÓÚ Ö Ò Ò ÑÒ E 2 ÑØ Ú Ø M Ö À Ù ÓÖ º Ä x ÚÖ Ø ÔÙÒ Ø Π Ó Ð U(π(x), r) ÚÖ Ò Ò ÓÑ Ò π(x) Mº Î Ú Ð Ú Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ ϕ x ÓÑ Ò Ö U(π(x), r) ÓÚ Ö B(x, r) X Ö Ò ÓÑ ÓÑÓÖ ÓÖ Ø Ø Ð ØÖ Ð Ø ÑØ rº B(x, r) X Ò ØÖ Ø ÓÑ Ò Ù Ð X Ó E 2 X ÐÚ Ö Ò ¾¹Ñ Ò ÓÐ º Ä x Π Ó Ð [x] = {x 1, x 2,..., x m } ÚÖ ÓÑ Ö Ö Ú Øº ÓÖ Ú ÖØ i Ð Ö Ú P i P Ø Ò Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ö Ò ÓÐ Ö x i Ó Ú Ð Ö θ i = θ(p i, x i )º ÀÚ m > 1 Ö Ö Ò S i S ÒØÝ Ø Ø ÑØ S i+1 S g Si (x i+1 ) = x i ÓÖ i = { 1, 2,...m 1 Ó g Sm (x 1 ) = x m º 1 i = 1 Î Ò Ö Ö ÒÙ g i = g S1 g Sm i = 2,..., m ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö Ø g ix i = x ÓÖ ÐÐ iº Ó g i Ö Ò Ø Ú Ö g i (P i B(x i, r)) = g i P i g i B(x i, r) = g i P i B(x, r)º Î ØØ Ö r Ø Ð Ø ÚÖ Ø Ø Ð Ö ÓÖ ÐÐ i Ö Ñ Ò Ö Ò Ø Ú ÖØ Ø Ò Ò Ö x i Ø Ð x j i j Ó Ö x i Ø Ð S j P i ÚÓÖ x i / S j º Ë Ú Ð Ö ÓÖ i = 1, 2..., m Ð Ø ÑÒ ÖÒ P i B(x i, r) Ö ÙÒ Ø Ó Ú Ð ÚÖ Ö ÐÙ Ò Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ò Ð θ i B(x i, r)º ÙÖ º½ Î Ú Ð ÖÒ ÖÙ Ø B(x, r) = m i=1 (g ip i B(x, r)) ÙÖ º½µ Ø Ú Ð Ú ÒÙ Ú Ø ÖØ Ò Ñ Ø Ð Ð Ø m = 1 ¾
35 ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ù Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ó Ö Ö Å [x] = {x 1 } Ö Ú Ø B(x, r) P = P 1 º Ø Ú Ð Ø B(x, r) = 1 P B(x, r) = g 1 P i B(x, r) = 1 i=1 (g ip i B(x, r)). ÀÚ Ø Ø m = 2 Ú Ð x Ð Ò S = S 1 P Ó ÖÑ ÙÒ ÚÖ Ö Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ò Ò Òº Ë Ö B(x, r) = (P B(x, r)) (g S1 P 2 B(x, r)) = (g 1 P 1 B(x, r)) (g 2 P 2 B(x, r)) = 2 i=1(g i P i B(x, r)). ÓÖ Ø Ð Ð Ø m > 2 Ú Ð x ÚÖ Ø ÖÒ P º Ë Ú Ð x i ÓÖÙ Ò S i Ó Ð S i 1 P iº ÀÚ Ú Ö Ò Ö Ò Ø i ÑÓ ÙÐÓ m Ö Ú Ö S i = g si (S i ) Ø g i(s i ) = g S1 g si 1 (g Si S i ) = g i+1s iº g i Ö Ò Ø Ú Ö Ú Ð Ð Ö P i g si (P i+1 ) = S i Ø g i P i g i+1 (P i+1 ) = g i S i º Ë ÖÒ g i S i Ó g i S i 1 Ö ÖÒ g i P i ÓÑ Ò Ö ÔÙÒ Ø Ø g i x i = xº ËÓÑ Ø Ó Ô ÙÖ º½ Ú Ð Ö ÐÙ Ò ØØ Ò g i P i B(x, r) ÐØ Ð ÓÑ ÖÙÒ Ø ÓÑ ÔÙÒ Ø Ø xº G Ö Ò Ô Ò ¹ Ó Ð Ò Ú Ð Ö ÒØ ÖÚ Ò Ð Ö Ø Ð ÑÑ Ò Ú 2π Ó Ú Ö ÐØ ÒÒ Ø Ò Ð Ù Ð º Î Ö ÐØ ÓÖ ÐÐ m m i=1(g i P i B(x, r)) = B(x, r). Î Ð Ö U(π(x), r) = π( m i=1 (P i B(x i, r))) Ö Ò Ò ÓÑ Ò π(x)º π Ö ÚÓØ ÒØ Ð Ò Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Π Ó M Ó m i=1 (P i B(x i, r)) = π 1 (U(π(x), r)) Ö Ò Ò ÑÒ Π Ö U(π(x), r) Ò Ò ÑÒ Mº Î Ò Ö Ö ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ x : m i=1 (P i B(x i, r)) B(x, r) Ú Ø ψ x (z) = g i z ÓÖ z P i B(x i, r)º Î ÑÑ Ò ØØ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ϕ x = ψ x π 1 : U(π(x), r) B(x, r) ÓÑ ÖÒ Ð ÚÖ ÚÓÖ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ º ÀÚ Ú Ö Ô Ø π(z) U(π(x), r) M Ú Ð ϕ x Ö Ø Ò ÔÙÒ Ø Ø ÑÒ Ò {z 1,..., z p } Π Ó Ò Ú Ö Ø Ð Ø Ò ÐØ ÔÙÒ Ø z g i P i B(x, r) ϕ x Ö Ò Ø Úº ÓÖ Ø z B(x, r) Ú Ð Ö ÚÖ Ø i z g i P i B(x, r) Ó z Ú Ð ÐØ Ö ÑÑ π(z)º ϕ x Ö ÐØ Ó ÙÖ Ø Ú Ó ÖÑ Ø Úº Ò ÒÚ Ö ÓÑ Ø Ö Ø z g i P i B(x, r) Ó Ò Ö Ø z) U(π(x), r) Ö ÐØ Ó Ø Úº Ò Ö Ò ÑÒ Ö Ò ÑÒ Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖØ Ó ϕ x Ö ÐØ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ º π(g 1 i Î Ð Ú Ú Ø Ø M Ö À Ù ÓÖ ÐØ Ø Ö ÓÑ ØÓ Ú Ð ÖÐ ÓÖ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö M Ø Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÑÒ Öº Ä π(x) Ó π(y) ÚÖ ØÓ ÓÖ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö M Ó Ð x, y Π ÚÖ Ö Ð Ø Ö Ø Ð Ò ÓÐ Ú m Ó n ÓÖ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö Π Ñ Ò ÝÒ Ø Ð Φº [x] = {x 1,..., x m } Ó [y] = {y 1,..., y n } Ú Ð ÚÖ ÙÒ Ø ÑÒ Ö Π ÐÐ Ö π(x) = π(y)º Ì Ð Ú Ö Ò P i Ó r Ð Ö Ú Q j ÚÖ Ò ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÑ Ò ÓÐ Ö y j Ó s ÚÖ Ò Ö Ù Ö ÓÖ ÐÐ j ÓÔ ÝÐ Ö Ú r ÓÖ ÓÖ ÐÐ iº ÖÑ Ö Ú ÓÑ Ö Ø U(π(x), r) = π( m i=1(p i B(x i, r))) Ó U(π(y), s) = π( n j=1(q j B(y j, s))). [x] Ó [y] Ú Ö ÙÒ Ø Ò Ú Ý ÖÐ Ö ÚÐ r Ó s Ñ Ø Ó m i=1 (P i B(x i, r)) Ó n j=1 (Q j B(y j, s)) Ö ÙÒ Ø ÑÒ Ö Πº Ë Ñ U(π(x), r) Ó U(π(y), s) ÚÖ Ò ÙÒ Ø ÑÒ Ö π 1 (U(π(x), r)) = m i=1 (P i B(x i, r)) Ó π 1 (U(π(y), s)) n j=1 (P j B(y j, s))º π(x) U(π(x), r) Ó π(y) U(π(y), s) Ö M À Ù ÓÖ Ó ÖÑ Ò ¾¹Ñ Ò ÓÐ º ¾
36 Î Ú Ð ÒÙ Ú Ø Φ = {ϕ x : U(π(x), r) B(x, r)} x Π Ö Ø Ñ Ñ ÐØ (X, G)¹ ØÐ ÓÖ Mº Ú º Ø U(π(x), r) Ö Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ò ÐÑÒ M ÓÖ Ú ÖØ xº U(π(x), r) Ð Ú Ö Ð Ø ÓÑ ÓÑÓÖ Ø Ô Ò Ò ÐÑÒ X ϕ x º {U(π(x), r)} x Π Ö Ð Mº ÀÚ U(π(x), r) U(π(y), s) Ú Ð Ö ÓÖ Ø ÔÙÒ Ø ÒÒ ÑÒ ÚÖ Ò ÓÑ Ò ÚÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ϕ y ϕx 1 : ϕ x(u(π(x), r) U(π(y), s)) ϕ y (U(π(x), r) U(π(y), s)) Ø ÑÑ Ö ÓÚ Ö Ò Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Gº Φ Ö Ø Ñ Ñ ÐØ ØÐ ÓÖ Mº U(π(x), r) Ó ϕ x Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ø ÓÔ ÝÐ Ö ØÓ Ö Ø Ø Ò Ð Ö Ó {U(π(x), r)} x Π Ö Ò Ö Ø ÓÖ ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö M Ó Ñ Ú Ð ÖÐ Ð ÐÐ Ö Ù Ú Ð Ò ÚÖ Ò ÓÚ Ö Ò Ò Mº Ä Ó ÒÙ ÒØ Ø U(π(x), r) Ó U(π(y), s) ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ö ÖÑ Ú Ð B(x, r) Ó B(y j, s) Ó ÓÚ ÖÐ ÔÔ ÓÖ Ñ Ò Ø Ø j ÚÓÖ P = Q j º Î Ú Ð Ú Ø ϕ y ϕ 1 x = h k G Ö ØÖ Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ú ÖØ ÔÙÒ Ø ϕ i (U(π(x), r) U(π(y), s))º Î ÖÙ Ö ÑÑ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ó h j G Ö ÓÖ y Ú g i Ö ÓÖ xº Î Ð Ö x ÚÖ Ò x Ó y Ö Ö Ö Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ú Ø ÖÖ Ø ÔÙÒ Ø Ö Π ÐØ m nº Î Ø ÖØ Ö Ñ Ø Ð Ð Ø m = 1 ÐØ ÚÓÖ x Ð Ö Ò P Ó ÖÑ B(x, r) P º Ë Ö π 1 (U(π(x), r)) = B(x, r) Ó Ö Ñ Ò Ø j ÑÒ Ò H = P B(x, r) Q j B(y j, s) Ö ØÓÑ Ö ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÚÖ ÓÚ ÖÐ Ôº ÀÚ Ú Ð Ö k ÚÖ Ø Ò ÓÖ Ú Ð Ø H Ò Ú Ý ÖÐ Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ò Ø ÒÒ º Ø Ö ØÖ Ú ÐØ ÓÖ n = 1 Ð Ó ÒØ Ø n > 1º Î ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ Ø Ö Ò Ø y l y k H Ú º y k, y l P º ËÓÑ Ú Ö Ò Ö Ø s Ñ Ö ÚÖ Ò Ñ Ò Ø Ø Ò Ô 2s Ñ ÐÐ Ñ Ù Ð ÖÒ B(y k, s) Ó B(y l, s)º Ë Ñ r ÚÖ Ò Ø Ò Ø ÖÖ Ò s B(x, r) ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ñ Ù Ð ÖÒ ÖÙÒ Ø ÓÑ y k Ó y l º Å Ò Ø Ò Ò Ö x Ø Ð ØÓ y³ Ö Ð Ó ÚÖ Ñ Ò Ø 4r Ð Ö Ò P º r > 0 Ö Ú ÐØ Ò ÑÓ ØÖ 4r < d(x, y k,l ) < r + s < 2rº ÀÚ Ú ÖÙ Ö Ø P = Q k Ó Ø π Ö Ò Ø Ú Ô Ø Ò Ö Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ö Ú Ø ØÝ Ö Ø B(x, r) B(y k, s) P 1 = P º U(π(x), r) U(π(y), s) = π(b(x, r)) π( n j=1 Q j B(y j, s)) = π((b(x, r)) n j=1 Q j B(y j, s)) = π(b(x, r) B(y k, s)) ϕ x (U(π(x), r) U(π(y), s)) = ϕ x π(b(x, r) B(y k, s)) = ψ x (B(x, r) B(y k, s)) = g 1 (B(x, r) B(y k, s)) = B(x, r) B(y k, s), ¼
37 ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ù Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ó Ö Ö Ä Ð Ö ϕ y (U(π(x), r) U(π(y), s)) = ϕ y π(b(x, r) B(y k, s)) = ψ y (B(x, r) B(y k, s)) = h k (B(x, r) B(y k, s)) = B(x, r) B(y k, s), B(x, r) B(y k, s) P = Q k º È ÑÒ Ò B(x, r) B(y k, s) Ö ϕ y ϕ 1 x = ψ y(π 1 π)ψ 1 x B(x, r) B(y, s) Ú Ð ÚÖ Ò ÓÑ Ò ÚÓÖ ϕ y ϕ 1 x = h k Gº = ψ y = h k. Ú Ø Ö Ø Ð Ø Ú ÖØ ÔÙÒ Ø Á Ø Ð Ð Ø m = 2 Ú Ð x Ð Ò S P Ó ÓÑ Ö Ú Ð Ö ÚÖ Ø Ò k {1, 2,..., n} H Ö ØÓѺ x Ó y k Ñ Ð ÑÑ P S = T k Ú Ö Ð ÖÒ ÓÖ r Ó s Ð ÓÚ Ö ÓÐ ÑØ Ñ Ø B(x, r) Ó B(y k, s) Ð ÓÚ ÖÐ ÔÔ º ÀÚ Ö Ó Ò Ø Ø y l ÓÖ Ú Ð Ø H Ú ÐÐ ØÓ y³ Ö Ð Ú Ö Ò Ò S Ð ØÒ Ò º º Å Ò Ú ÐÐ Ó Ð Ò Ò Ò Ó Ø Ò Ö Ð ÖÒ Ô r Ó s Ú ÐÐ Ö Ø Ù Ð ÖÒ ÙÒÒ ÓÚ ÖÐ ÔÔ ÓÑ ÒØ Øº Ë Ð ÓÑ ÓÖ m = 1 Ö Ö ÙÒ Ø j ÓÖ Ú Ð Ø H º ÀÚ Ú Ò Ö Ö P = Q k+1 ÑÓ nµ Ú Ð P B(x, r) n j=1 Q j B(y j, s) = P B(x, r) Q k+1 B(y k+1, s)º Ë Ö Ú Ð Ò U(π(x), r) U(π(y), s) = π((p B(x, r)) (P B(x, r))) π( n j=1 Q j B(y j, s)) = π( n j=1(q j B(y j, s) P B(x, r)) n j=1(q j B(y j, s) P B(x, r))) = π((b(y k, s) P B(x, r)) (B(y k+1, s) P B(x, r))). ÖÑ Ö ϕ x (U(π(x), r) U(π(y), s)) = ψ x π 1 π(b(y k, s) P B(x, r)) ((B(y k+1, s) P B(x, r))) = g 1 (P B(x, r) B(y k, s)) g S (P B(x, r) (B(y k+1, s))) = (P B(x, r) B(y k, s)) (g S (P) B(x, r) (B(y k, s))) = B(x, r) B(y k, s), ÚÓÖ Ø Ö ÒÝØØ Ø Ø g i Ö Ò ÓÑ ØÖ ÑØ Ø P B(x, r) B(y k, s) P 1 B(x, r) Ó (B(y k+1, s) P B(x, r) P B(x, r) = P 2 B(x, r)º Ä Ð Ö Ú Ú Ðº º Ø ÒÝØØ Ó Ø h k+1 = h k h Tk = g S ϕ y (U(π(x), r) U(π(y), s)) = ψ y π 1 π(b(y l, s) P B(x, r)) ((B(y l+1, s) P B(x, r))) = h k (P B(x, r) B(y k, s)) h k+1 (P B(x, r) (B(y k+1, s))) = h k ((P B(x, r) B(y k, s)) g S (P B(x, r) (B(y k+1, s)))) = h k ((P B(x, r) B(y k, s)) (g S (P) B(x, r) (B(y k, s)))) = h k (B(x, r) B(y k, s)) ½
38 È ÑÒ Ò P B(x, r) B(y k, s) Ö Ú Ø ϕ y ϕ 1 x = h k g 1 = h k Ó Ô g S (P B(x, r) B(y k+1, s)) Ö ϕ y ϕ 1 x = h k+1 g 1 S = h k+1g S = h k+1 h Tk+1 = h k º ϕ y ϕ 1 x Ö ÐØ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ò h k Ô ÑÒ Ò P B(x, r) B(y k, s) g S (P B(x, r) B(y k+1, s)) = B(x, r) B(y k, s)º ÀÚ m > 2 Ð Ö x Ó y k Ø ÖÒ P º Ø Ö ÑÙÐ Ø ÓÖ Ñ Ø Ð ØÓ ÓÖ ÐÐ ÖÒ Ö Ô ÖÙÒ Ø Ò Ö Ð ÖÒ ÓÖ r Ó s x = y k º Ë Ö s = r m = n Ó ÓÖ z = x, y Ö ϕ z (U(π(x), r) U(π(y), s)) = ϕ z (U(π(x), r)) = B(z, r). ÀÚ Ú Ö Ò Ö ÑÓ ÙÐÓ m Ó Ð Ö y j ³ ÖÒ ÚÖ ÓÖ Ò Ø x 2 = y k+1 Ó ÖÑ x i = y k+i 1 Ö Ú Ó Ø P i = Q k+i 1 Ó S i = T k+i 1 º B(x, t) = m i=1 P i B(x i, t) Ó Ô Ú Ö ÑÒ ÖÒ P i B(x, t) Ö Ú Ø Ø ÑÓ ÙÐÓ m Ð Ö Ø ϕ y ϕ 1 x = ψ y (π 1 π)ψ 1 x = h k+i 1 g 1 i = h k, h k g i = h k (g S1 g Si 1 ) = h T1 h Tk 1 (h Tk h Tk+i 2 ) = h k+i 1. ϕ y ϕ 1 x Ø ÑÑ Ö ÐØ ÓÚ Ö Ò Ñ h k G ÐÐ ØÖ Ø Ð Ð Ó Φ Ö ÖÑ Ø (X, G)¹ ØÐ ÓÖ Mº Φ Ò ÓÐ Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ö Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÔÙÒ Ø M Ó Ñ Ú Ð ÖÐ Ð ÐÐ Ö Ù Ö Φ Ø Ñ Ñ Ð (X, G)¹ ØÐ ÓÖ Mº Ë M Ö Ò ¾¹Ñ Ò ÓÐ Ñ Ò (X, G)¹ ØÖÙ ØÙÖº Î Ñ Ò Ð Ö Ö Ø Ú Ø Ú Ú Ð Ö τ ÚÖ Ò Ò ØÙÖÐ Ò Ø Ú Ð Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ò Ö Ò ÔÓÐÝ ÓÒ P P Ø Ò Ø P µ Ò M Ö τ Ò (X, G)¹ Ð Ò Ò º Ú Ð Ö Ú Ø Ø M Ö Ò (X, G)¹Ñ Ò ÓÐ Ö Ú Ø τ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÐÐ Ñ (X, G)¹Ñ Ò ÓÐ Öº ÓÖ x P Ú Ö Ö Ð Ò Ò Ò ϕ x : U(x, r) B(x, r) Ø Ð τ 1 : τ(b(x, r)) B(x, r)º B(x, r) Ö Ò Ò ÑÒ ÓÑ x P Ú Ö ØÒ Ò º½½ Ø τ Ö Ò (X, G)¹ Ð Ò Ò ÓÖ Ú ÖØ P Pº ¾
q 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X.
ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ
Læs mereŠРº Â Ö Ò Ò À ÖØÞ ÔÖÙÒ ¹ÊÙ ÐÐ Ö Ñ Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ö ÙÖ Ø ÓØÓÑ ØÖ ÃÙ Ð Ó Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖ Á Ø ÖØ Ò ½ ¼¼ Ø ÐÐ Ø Ú ØÖÓÒÓÑ Ö Ò Ð Ø Ð Ú Ø ÙØÖÓÐ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ØÙ Ô ØÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ó ÔÓ
Læs merew j p j 1 w j / p / = 1
ÆÝ Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ë ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ò ÐØ¹Ñ Ò Öº Ò Ö Ð ¹ÈÓÚÐ Ò ² Æ ÓÐ Ò Ò ½¼º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö º½ Ã Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ö ÑÑ Ò Ò Ò ØÚÖ Ò Ö Å Ò À Ò Ò ½ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½»¼ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÐÙØØ Ò ÔÖÓ Ø ÓÖ ÓÔÒ Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Øº ÇÔ Ú Ò Ö Ù ÖØ Ô ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø
Læs meredeta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j
Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ
Læs mereÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÎÆ Ò Ë e Î e Æ Å ÒÙØ ÆÓØ Ø Ø Ð Å ¾ ÖÙÒ Î Ú Ð ÖÚ ¼ Ñ º Ùº ÁÅ Ë Í Ç Ò º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ËÓ ÃÓÚ Ð Ú Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÖØ Ð Ö ØÓ Ô ÐØ Ø µ ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º½ ÔØ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ð Ò ÓÖ Ò Ø ÒÙÑÑ
Læs mere½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Ð Ø Ø Ø ¾º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÄÝÒ ÙÖ Ù Ë Ë Ò ÐÝ Ø ÁÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ò Ù ØÞ¹Â Ö Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¹Ñ Ð Ó Ø Øº Ùº ØØÔ»» Ø ºÔÙ ÐØ º Ùº»» м ¾ ½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Læs mereË Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ ÑØ ÖÙ ÐÓÑÑ Ö Ò Ö Ö Ø ÐРغ Ñ Ò ØØ Ø Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ô ÒÙÑÑ
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ ÑÓ ½½º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò Å ÖØ Ò
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ½ ÁÒØÖÓ Ó Ö Ú Ò Ø Ø Ø Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereJOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM
ÂÇ ¹ËÀÇȹ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ç ÌÇ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ä Æ ¾¼¼¾ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ»¼¾ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ë ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å
Læs mereÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø
ÅÙÐØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ø ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò À ÒÒ Ä Ñ ÒÒ È Ø Ö Ò ½¼¾½ Ë Ö Ö Ã Ñ Ë ÙÐ Ð ½¼ Ä Æ ÂÍÆÁ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ IMM ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ
Læs mereÈÐ ÒÐ Ò Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÙÐØÙÖ ÐØ Ú Ö ÒØ Ñ Ð ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö ØØ ÇØØ Ò ¼½½ ¾µ ÄÓÙ ÌÖ Ò Ö ½ µ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ê Ò Î ØÓÖ Î ÐÕÙ Î Ð ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÚÓÖ Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÖع
Læs mereÑ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø ÁÒ
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø
Læs mereËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ
ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½ Ñ ½½º Ñ ÖØ ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò È Ø Ö ÄÙÒ
Læs mereÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼
Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ê Ð Ñ Ò Ò Ø Ó ØÖ Ø Ñ Ò Ê Ø Ö Ñ Ò Ä Ñ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø Ö Ñ ÑÓÖݵ Ü ÛÓÖ Þ ËØÓÖ Ö Ö Ý ÁÒØÖ ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö ÐРРѺ È Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò
Læs mereÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ
Læs mereÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ
Læs mereZ[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÔÖ Ð ¾¼¼ Ð Ð Ø ÓÖÖ ÁÒ ÓÐ Ò ÐÑ Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ñ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø È Å Ð Ò ÌÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereÝ ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼
Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼ Ý ÓÖ ÄÁ ËØ Ò À Ò Ò ¾¼¼ ÁË Æ ÜÜÜÜÜÜÜÜÜ ËĹ Ó Ð Ò Ì ÓÖÚ Ð Ò Ú ¼ ½ ½ Ö Ö Ö ÓÖ ÓØÓ È Ø Ö º È Ø Ö Ò ÆÝ ÖÓ ÓØÓ Á»Ë Ô Ø
Læs mereFaggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320
*36WLO. UVHOVDIJLIWVV\VWHPHU (NVDPHQVSURMHNW,QVWLWXWIRU3ODQO JQLQJ Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier 'DQPDUNV7HNQLVNH8QLYHUVLWHW Jakob Jakobsen c958320 ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø
Læs mere(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÙÒ ¾¼¼ 2 4¹Ð Ó¹ ÐÓ Ò º ½ º À Ö Ò Ò Ö Ø ÚÖ Ø Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ø Ò Ó Ú Ø ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ô ÙÐ Ø ÓÒ Öº Ò Ð ÐÐ ÖÙÔÔ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö À Ö Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ö Ö
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereEffektivisering af det industrielle byggeri
Effektivisering af det industrielle byggeri Kandidatspeciale Byggeri og anlægssektoren Byggeledelse Aalborg universitet Sonja Dissing Pedersen Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet Civilingeniøruddannelsen
Læs mereÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ¾» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô Ê ÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Ð Ö ÓÐÙØ
Læs mereV e l k o m m e n T i l M a t e m a t i k s t u d i e t! P P α ) ν xν αν ϕ(xν ϕ P P αν αν M a t e m a t i s k R u s m a p p e
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
Læs mereÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÓÖ Ø Ú Ø ÒÖ Ø Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ ÐØ Ø ÚÖ ØÖ
Ì Ø Ð Í Ö Ø Î Ð Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ò ØÓ Ð Ò Ñ Ò È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ý Ó Ã Ñ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ½º Ñ ¾¼¼ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö
Læs mere¾
½ ¾ ÁÒ ÓÐ ½ ÆÓÑ Ò Ð ØÙÖ ¾ ØÖ Ø ÁÒ Ð Ò Ò ½½ º½ ÓÖÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÁÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ä Ú Ð Ò Ò º º
Læs mereαν x ν αν αν ϕ(x ν )
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
Læs mereÈ Ö Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Â Ò Ä ÙØ Ö Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ Ó Æ Ð ØÐ Ò Ö Ò Î Ð Ö ÖÒ Ä ÙÖ Ò ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐ ¾ ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º ÒÙ Ö ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÈÖÓ Ø Ø Ö Ö Ñ Ñ Ö Ö Ò ØÓÐ ÙÑ Ð ÖØ ÐÚ ÒÖ ÓÔØÖ¹ Ö Ô Ö ÖØ ÑÓ Ø Ö Ò Ú Ø º ÈÖÓ
Læs mereÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ ÓÙÐ Ú Ö Ëº Ö ÒØ È½¼ ½ ¼¼ ÁÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ð ÙÒ ØÖ º Ö Ö ØÓÔ
Læs mereÇÚÖ Ø ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ½ ÁÒØÖÓ Ó ÒÖÐÐ ÖÖ ¾ Å ÑÐ Ð Ô Ø ØÑØ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÍÚÐ ØÐ ÙÒØ ÚÖÒ ¹ ØÙÔ ÃÒØ ÐÐÖ ÙÒØ ÚÖÒ Ê Ê ÒÓØ µ ÂÒ Ãº ÅÐ
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ
Læs merexi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1)
ÃÙÖ Ù ¼¾¼¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÓÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµº º¹º ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø
Læs mereLØSNING AF OPENSHOP OG FLO WSHOP PR OBLEMER Susanne Hjorth Tønder Rasm ussen L YNGBY 2001 EKSAMENSPR OJEKT NR. 00/00 IMM
Ä ËÆÁÆ ÇÈ ÆËÀÇÈ Ç ÄÇÏËÀÇÈ ÈÊÇ Ä Å Ê ËÙ ÒÒ À ÓÖØ Ì Ò Ö Ê ÑÙ Ò Ä Æ ¾¼¼½ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ¼¼»¼¼ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÙØØ Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò Ö ØÙ Ø ÓÖ ÓÔÒ¹ Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö
Læs mereÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ì ÓÖ Ö Ø Ù Ú Ð Ò ÔÐ Ð Û Ö Ý Ø Ñ Ö Ì ÓÖÝ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ö Ð Ð Û Ý Ø Ñ ÌÙ Ö Â Ò Ò Ì Ö Ð ÃÖ Ø Ò ÌÓÐ ØÖÙÔ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ñ Ò ÔÖÓ Øº ÈÖÓ Ø Ø Ö Ù Ö Ø Ú ÁÒ Ø ØÙØ
Læs mereÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å
ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ÂÙÐ ÙØØÑ ÒÒ ÓÖ Ò Ò Ó ÙÑ Å ÒÞ ¾¼½ Ì
Læs mereγ : t I R γ(t) = P(t) S.
Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Þ Ò Ò ÔÙÒØ Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Òº Ð Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÖÚ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÁÒº º ¾ Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð
Læs mereÇÚÖ Ø ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ö ÒÐ ÑÔÐ ¾
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÐ ÔØÐ ½¼µ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ Ø
Læs mereAnalyse Numerique -- 2ieme Annee ENSEM -- Annee Version provisoire
ÇÔØ Ñ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò º Î Ò Ö ½ Ù ÐÐ Ø ¾¼¼ ÔÓÐÝÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ ¾¼¼ ¾¼¼ г Ò Ò Ñ ÒØ ÕÙ ³ ÔÖÓ Ù Ô Ò ÒØ ÔÖ Ü Ò º Å ÒØÓ Ò ÕÙ ÙÖ Ø Ò Ò Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÒ ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ñ Ø Ð³ ÓÒÒ ÙÖ Ö Ö ÕÙ Ø ÜØ Ó Ø ØÖ Ù ÙÜ ØÙ
Læs mereÇÚÖ Ø ½ ¾ ÑÔÐ À Ó ÚØ ÃÓÖÖÐØÓÒ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ Ô ½½µ ÅÒ Ø ÚÖØÖ ÑØÓ ÁÒÖÒ ÖÖ ÓÒ ÑÓÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÖÒ Ó ÐÒÒ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÈÖØÓÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÃÓÖÖÐØÓÒ Ó ÖÖ ÓÒ Ê Ê
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÃÔØÐ ½½ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ
Læs mereÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ ÖØ ÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ ÃÓÒØÒÙÖØ ÓÖÐÒÖ ¼ ÃÔØÐ ËØÔÖÚÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ Ó Ò Ó ØÓ ØÔÖÚÖ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÚÖÒ Ö ÃÔØÐ ¼ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒРʹÒÓØ ËØØ Ø Ú ÑÙ
ÃÙÖ Ù ¼¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ËÙÑÑÖÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¼» ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ
Læs mereÇÒØÓÐÓ Ø Ø Ò Ò ÆÐ ØÐ ÒÖ Ò È Ö Ö Ì ÓÑ À Ð Ö Ò Ò Ó Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ ÎÐ Ö ÌÖÓ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÓ Ô Ð ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º Ó ØÓÖ ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÁÒ Ø Å Ø Ö Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ö ÔÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ØØ Ñ¹ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ
Læs mereÒ Ð Þ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ò ÐÓ ÙÐ Óѹ ÐÙÐ ØÓÖ ÈÖÓ Ø ÔÐÓÑ Ò Ó Ù ÁÙÒ ¾¼¼¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÙÐ ÐÙÐ ØÓ Ö ÙÐØ Ø ÙØÓÑ Ø ÐÙÐ ØÓ Ö ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÐ Ø Ò Ò Ì Ñ Ó Ö ÊÓÑ Ò ÓÒ Ù ØÓÖ ÔÖÓ Ø ºÐº Ò º Å Ö Ò ÓÐ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÑ Ø Ò ÝÓÙ
Læs mereφ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j
½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½ Å ÌÄ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ Ã ÖÒ Ð Å Ø Ó ÊÓ ÖØ Ë ØØ Ò Ö Ø Ó ÇØÓ Ö ¾¼ ¾¼½½ Ì Ø Ð Ö ÔÓÖØ ÓÒØ Ò ÓÑ ÓÔ ÙÐÐÝ ÐÔ ÙÐ ØÙ ÓÖ ÛÖ Ø Å Ì¹ Ä ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÖÒ Ð Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÓ Ý Ö Ù Ö ÓÒØ Ò Ú ÖÝ ÓÓ ÓÑÔ
Læs mereÁÑÔÐ Ø ÙܹÓÖÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÃÙÞÑ Ò Åº ÅĐÓÐÐ Ö Ëº ÌÙÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ
ÁÑÔÐØ ÙܹÓÖÖØ ØÖÒ ÔÓÖØ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒØ ÐÑÒØ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐÖ ÕÙØÓÒ º ÃÙÞÑÒ Åº ÅĐÓÐÐÖ Ëº ÌÙÖ ÁÒ ØØÙØ Ó ÔÔÐ ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ ÖÑÒÝ ËØØ Ó Ø ÖØ ÖØ ÔÔÖÓ ØÓ ÙÔÛÒÒ³ ÆÓÒÐÒÖ Å¹Ì ÓÖÑÙÐØÓÒ ÍÒ ÐÑØÒ ØÖØÝ ÆÙÑÖÐ
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereÌ ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼
Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ Ø Ú Ð Ó ÓÑ ØÖÝ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ ØØÔ»» ºØ Ò ÓÒº º л Ø» ËÔÓÒ ÓÖ Ý ÙÖÓÔ
Læs mereÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ð ØÖÓÒ ËÝ Ø Ñ Ö Ð ÓÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÌÁÌ Ä ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ò ÑÐ Ö Ì Å Å ÖÓ Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ Ö ÈÊÇ ÃÌÈ ÊÁÇ ½º ÖÙ Ö ½º Ñ ¾¼¼½ ÈÊÇ ÃÌ ÊÍÈÈ ½¼ ÊÍÈÈ Å Ä ÅÅ Ê Å Ð Ë ÔÔ Ö Ò Ö Ò Â Ô Ö Ð Ù Ò Ð Ê Ò ÂÙ Ø Æ Ð Ò ÇÐ
Læs mereHigh-Z SN Search Team Supernova Cosmology Project. m-m (mag) =0.3, W L =0.7 W M =0.0 =1.0, W L = D(m-M) (mag)
Å ÏÒÓÛ ÓÒ Ö ÒÖÝ ÖÒ ÀÙØÖÖ Ï ØÖÒ Ê ÖÚ ÍÒÚÖ Øݵ ÄÖÓÒ ÂÑ ÊØÓÒ ¼¼½±µ ÄÙÑÒÓÙ ÅØØÖ ¼½±µ 00 11 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 ÖÝÓÒ ÅØØÖ ±µ 000000 111111 000000 111111 00000000 11111111
Læs mereÄ Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ê ÙÖ Ú ÌÖ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö Ð ÖعÄÙ Û ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö ÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ĐÓØÞ ÇÐ Å
ÄÑØ ÌÓÖÑ ÓÖ ÙØÓÐ Ó ÊÙÖ Ú ÌÖ ÖØØÓ ÞÙÖ ÖÐÙ ÓØÓÖÖ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ù ÈÝ Ö ÐÖعÄÙÛ ¹ÍÚÖ ØĐØ ÖÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖÐØ ÚÓ ĐÓØÞ ÇÐ ÅÙ ÓÙ Ñ ÖÙÖ ¼¼ ÈÖÓº Öº ÃÝ ÃĐÓ Ñ ÙØØÖ ÈÖÓº Öº ÄÙÖ ÊĐÙ ÓÖ ÈÖÓº Öº ÊÐÔ ÆÖ ØÙÑ Ö ÑĐÙÐ ÈÖĐÙÙ
Læs mereNogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest
Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ Ò ½ ¼ ¹½ ½µ Ö Ø Ð Ö Ö Ó ÐÓ Öº ÇÔ Ò Ø Ö Ø ³Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒ³ Ó ÓÖ Ö Ð ÓÓÐ Ð Ö ÐÓ º
Ð ÓÖ ØÙÖ ÅØÑØ ¹ÓÒÓÑ Ó ËØØ Ø ½º ÖÒ ÒÖº ÑÖ ¼¼ ÙÙ ØÙ ÅÓÖÒ ½¼¹½½µ ÖØ ÐÖÖ Ó ÐÓÖº ÇÔÒØ ÖØ ³ÑØÑØ ÒÙØÓÒ³ Ó ÓÖÖ Ð ÓÓÐ ÐÖ ÐÓº ÁÒÓÐ Ì Ö ÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÂÙÐÐÖ
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereAlgoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004)
Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004) 1a n = rk + 2. m = 2k + 2(r 1)(k 1). Dijkstra: O(m log n) = O((2k + 2(r 1)(k 1))log(rk + 2)) = O(rk log(rk)). 1b 2 / 1 t 1 2 1 / 1 3 / 3 1 3 s 0 / 0 På grafen
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereÐÖÒ Ó ØÐØÓÖÒ Ó«ÒØÐ ÒÐ ÖÝÔØÖÒ Ó ÒÖÒº ÆÓØÖ ØÐ ÙÖ Ù ÙÐ Óغ ¾¼¼¼ ÊÚÖØ ÙÖ Ù Ø ØÐ Ó ÝÐÒÐ ÔØ Ö ÃÒ ÒØ ÓÑ Ô¹ Ð Ô ÛÛÛºÑºÙºÒ ÑØÔµ ÂÓÒ Èº ÀÒ Ò ¹ÑÐ ÑØÔѺٺ ÅØÑØ ÁÒ ØØÙØ ÖÙ ÍÒÚ Ö ØØ ÁÒÐÒÒ ÁÒÓÐ ÃÔØÐ ½º ËØÖ Ø ÐÐ Ú ÓÖ
Læs mereÖ ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÀÝ ÓÐÓÖÐØ Ë ½ ÁËÆ ¾¹ ¹½¹ ÆÖº ÖÒ ËØÙ ÀÙÑÒØØ ÖÒ Ø Ñ ÓÔÖ Ö ÒÒ ÓÒ ØÖ Ñ Ò ÚÖÐÓÚÒ ÐÐÖ ØÖ Ñ ÚØÐÖ ÓÑ ÓÔÖÒ ÒÒØØ Ñ ÃÓÔÒÓÖ ÒØÖ
Læs mereÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒØÓÒ ÙÒÖ ÚÒ Ð ÐÝ ÒÒ ¹ Ó ÓÒØÖ ØÓÖÓÐ ËØÒ ÙÒÖ ËÔÐÒÐÒ Ú ØÐÓ ÁÒ ØØÙØ ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ ØØ ÁÃ͵ ¼º ÙÐ ¾¼¼½ ½ Ê ÙÑ ÒÖ ÖÒ ÑØÓÖ ØÐ ÑÒØÖÒ ØÒ ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒ¹ ØÓÒ ÇÊ ÔÔÐØÓÒÖ ÙÒÖ º Ö ÙÚÐ Ø ÓÑÔÐØ Çʹ Ý ØÑ ØÐ ÙÒÖ Ð
Læs mereÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ë Ð Ý ÙÒ Ý ÂÓĐ Ð ÓÓ Ò Þ Ë Ò ÓÝ ÖÙ Ý Å Ý ¾¼¼½ ØÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ô ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ô ¹ ØÝ Û Ø
ÇÒ¹ÐÒ ÙÐÒ ÓÒ ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ ËÐÝ ÙÒ Ý ÂÓĐÐ ÓÓ Ò Þ ËÒÓÝ ÖÙ Ý ÅÝ ¾¼¼½ ØÖØ ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ Ò ÖØÖÞ Ý Ô ÓÖ ÓÔÙØÒ Ô¹ ØÝ ÛØ Ø ÒØÖÔÖØØÓÒ ØØ Ó ÜÙØÒ ÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÛØ Ô ÓÖ Ø Ø ÙÒØ ÓÔÐØ Øµ ÙÒØ Ó ÜÙØÓÒº Ì ÓÒ¹ÐÒ
Læs mereÖØ ÚÖÒ ØÓÖØ ÓÑ Ø Ò ÐÐÖ ÖÒ ÓÑ Ø ÒØ ÒÚÒØ ÜÑÔÐÖº ÅÒ ØÖØÒÒ ÑØ ÓÖ ÐÐ ËÝÒ ÔÙÒØÖ Ö ÚÐ ÒØÓÔ Ø Ø Ò ØÖØ ÚÐ Ø Ú ÚÖØ ÓÖÙÒØ Ñ ÙÖÒÐ ÎÒ ÐÖ ÔÙÐØÚ Î Ø ÓÑÑ ØÐ Ò Ä ÒÒ ËÔ
ØÒÒÒ ÓÑ ÃÐÓ ØÖÖÒØÖ Ìº ƺ ÌÐ ¾º ÆÓÚÑÖ ½¾ Á Ø Å Ò ÙÙ Ø ºº ÚÐØ ÀÒ³ ÖØÓÒ ÓÖ ØÖØ Ñ ËÐ Ø ØÒ ÓÒ ÙÐÒØ ÀÖº ÈÖÓ ÓÖ Äº ÇÔÔÖÑÒÒ Ó ÃÑÑÖÙÒÖ ÈÖÑÖ¹ÄÙØÒÒØ ÖÒØ ÓÑ ÓÖ Ð ØÐÐÖ Ö Ø Ò ÖØ ÒÒ ÓÖ Ð ÓÑ Ø ÒÐ Ô Ø ØÒ ÓÖ ÖÐ Ö ÓÖ ÃÚÒÖ
Læs mereÃÔØÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ ØÐ ÔÖ ÓÒÒ Ô Ò ØÐÐØ ÐØ Ò Ò ÒÚÒÐ Óѹ Ö ÚÐ ÛÓÖ Ø¹ ÔÖ ÓÒÒ ÓÑ Ö Í³ Ù Ø ÓÑ Ö Ò ÔÖ ÓÒ Ô 8 ÈÖ ÓÒÒ Ö ÖÓÖ ÚÐØ ØÐ Ø ÚÖ
ÁÒÓÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ¾ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÈÖÓÐÑÖÒ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ä ÒÒ ¾º½ ÎÐ
Læs mereÇÒ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä ÞÐ Ó ÖÑ Ò Ò ØØ Ð ÃÓÚ Ý ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ º Ø Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ø ÖÐ Ö Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú
ÇÒ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ä ÞÐÓ ÖÑÒ Ò ØØÐ ÃÓÚ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÒÚ ØØ ÚÖÓÙ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ º ØÖ ÙÑÑÖÞÒ Ø ÖÐÖ Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ ØØ ÓÖ ÚÒ ÐØØ Ò ÜÔÒ Ú ÑØÖÜ Å Å µ ØÒ ØÖ ÐÛÝ Ü Ø ÙØÐ Ø Ø ÓÖ Û Å µ ÒÙÑÖ Ý ØѺ ÀÖ ÑÒ
Læs mereMatematiklærerdag 2008
Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit
Læs mereØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ËÑ ÐÐ Ø ¹ ÒÐÓ Ò Ë Ö Ð À Ö¹È Ð ËÓ Ñ Å ÞÙÑ Ö Ý ÆÓÚ Ñ Ö ½¼ ¾¼¼ ØÖ Ø Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÖ Ú Ò Ò ÔÓ ÒØ Ø È Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò ÒØ Ö Ò
Ø ÐÓÖØÑ ÓÖ ÓÑÔÙØÒ Ø ËÑÐÐ Ø ¹ÒÐÓ Ò ËÖÐ ÀÖ¹ÈÐ ËÓÑ ÅÞÙÑÖ Ý ÆÓÚÑÖ ¼ ¾¼¼ ØÖØ Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÒÒ ÓÖ ÚÒ Ò ÔÓÒØ Ø È Ò Ø ÔÐÒ Ò Ò ÒØÖ Ò Ø ÑÐÐ Ø ÖÐ ÒÐÓ Ò Ø Ð Ø ÔÓÒØ Ó È º Ï ÔÖ ÒØ ÖÒÓÑÞ ÐÓÖØÑ ØØ ÓÑÔÙØ Ò Ç Òµ ÜÔØ
Læs mereÀ Ö¹ÇÖ Öµ ÍÒ Ø ÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Å ÙÖ Ó Ý Ð ¹Ê Ò ÓÒ ÖÓÙÞ Ã Ñ Ö Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð À Ö ÓØ¹Ï ØØ ÍÒ Ú Ö
ÀÖ¹ÇÖÖµ ÍÒ ØÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐØ Ù ØØÙØÓÒ ÅÙÖÓ ÝйÊÒÓÒ ÖÓÙÞ ÃÑÖÒ ÔÖØÑÒØÓ ÅØÑØ ÓÑÔÙØÖ Ò ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÍÒÚÖ Ö Ð ÀÖÓعÏØØ ÍÒÚÖ ØÝ Ö Ð º º Ö Ð ÒÙÖ ËÓØÐÒ Á ÒÓÚÒ Ø ÆØÖÐÒ ÇØÓÖ ¾¼¼¼ Ìг ÈÐÒ ½º ÏØ ÀÇÍ ¾º ÀÇÍ Ò ÜÔÐØ Ù
Læs mereHomepage: Literature: Work environment: library(rcmdr) Why R: 1 R-language. 1.1 Data
Ê ¹ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ÇÐ Ú Ö Ã Ö ÑÔ ½ º ÂÙÐ ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Â Ò ¹¼ Â Ò Ñ Ð ÓÐ Ú Ö Ö ÑÔº ½ ½ Homepage: http://www.kirchkamp.de/ Literature: Î Ò Ð ËÑ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ê Î ÖÞ Ò Ë ÑÔÐ Ê ÖÒ ÛÓÖØ ÓÒÓÑ ØÖ Ò
Læs mereÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÖÑ Ð ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑ Ö ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ù Á Ñ Ò ÂÓÙ Ó ÎĐ Đ ÒĐ Ò Ò ØÖ Ø ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð Ö Ò ÓÚ Ö Ð
ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÖÑÐ ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑÖ ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐÒ ÚÐÙ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ù ÁÑ Ò ÂÓÙÓ ÎĐĐÒĐÒÒ ØÖØ ÁÒ Ó¹ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÚÖÐ ÖÒ ÓÚÖ ÐÐ Ù Ø Ò ÖÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÒ Ò ÕÙ ØÓÒº ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÀÒÒ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ ÚÖÝ ÑÓÐ ÒÓÛ ÛØ Ø
Læs mereÈÓÖØÐÓÔØÑÖÒ ÓÖ Ò ÖÐÖØÐÒ ÃÓÙÖÓ ÅÖÒ Ê ÑÙ Ò ¾¾µ ½¾º ÑÖØ ¾¼¼ ÎÐÖ ÈÖÓº ÂÒ ÐÙ Ò ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖÒ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÓÖÓÖ ØØ ÑÒ ÔÖÓØ Ö ÙÖØ ÓÑ ÐÙØÒÒ Ô ÑÒ ÙÒÒÐ ÓÑ ÚÐÒÒÖ Ñ ÖØÒÒ ØÒÐ Ò ÒÚÒØ ÑØÑØ Ú ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ Øغ
Læs mereÍÖ Ò ÚÖÒ ÒÐÝ ØÐ ÑÑÒÐÒÒ Ò Ø ØÒ ¾º ØÖ ÖÙÔÔÖ Ó ÓÒÐÙÖ Ù Ö ÒÒº ÓÖ ØÑØ Ó ÓÒÒ ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐÒ Ò Ø ¹ ÒÚ ÓÖ ÓÑÒйÔØÒØÖÒ ÓÖÓÐ ØÐ ÝÒÓÐÓ¹ ÚÖ Ö Ö ØÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÚÖÒ ÒÐ
Ø ØØØ ÖºØÜØ Á ØØÔ»» غÔÙÐغٺ»ÐØ» м»ÑÑÓÔÚºØÑе Ò ÓÔÖÐ ÓÚÖ ÑÐÒÖ Ô ÔØÒØÖ Ö Ö ÒÒÑØ Ò Ò ØÝÔÖ ÓÔÖØÓÒÖ µ ÒÖØ Ú Ö Ú ÓÔÐÝ ÒÒ ÓÑ ÔÖ ÓÒÒ ÐÖ Ö ÐÖµ ÑØ ÐÒÒ ÀÖÙÓÚÖ Ò Ø Ò Òصº Ò Ö Ö Ø Ø ÙÒÖ ÚÓÖÒ ÐÒÒ Ò Ø Ò ÒÖ Î Ó ÓÔÖØÓÒ
Læs mereSystem AND3 R1 R2 R3 R4 R5
ÖÒÒ ÚÒ Ö ÖÔÖØÓÒ ÒÐÒÖ ØÐ ØÖÓÙÐ ÓÓØÒ ÓÑÒÖ Ñ Ò Ð Ó Ò ÒÐÒÖ System AND1 AND2 AND3 K1 K2 K3 K4 K5 H1 H2 H3 H4 H5 R1 R2 R3 R4 R5 ÖÙÔÔ ¹ Ì ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö Ú ¾¾¼ ÐÓÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÐÒÒ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö
Læs mereÓÖ Ò ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒ Ñ Ð Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ Ô À Ò ÖÙ Ò ÍÒ Úº Ó Ð Ø Ø Æ Ø ÖÐ Ò Ö Ö Ã ÐÐ Ö ÍÒ Úº Ó ÖÐ Ò Ò Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒ Úº Ó Ï Ö Û ÈÓÐ Ò Ë Ø Ò Ú Ò ËØÖ Ò ÍÒ Úº Ó Ñ
ÓÖÒ ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒÑÐ Ý ØÑ ÓÒ ÑÔ ÀÒ ÖÙÒ ÍÒÚº Ó ÐØ Ø ÆØÖÐÒ ÖÖ ÃÐÐÖ ÍÒÚº Ó ÖÐÒÒ Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒÚº Ó ÏÖ Û ÈÓÐÒ Ë ØÒ ÚÒ ËØÖÒ ÍÒÚº Ó Ñ ØÖÑ Ø ÆØÖÐÒ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÐÐ ÓÛ ØØ ØÖ Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒÑÓÐ ÑÔ ¼ ¼ Û ÒÓÒ¹ÖÒÓÖÑÐÞÐ
Læs mereÅ¹Ã Ò Ú Ò Ë ÑÔÐ Ö ÐÔ Ø¹ÁÒ Ô Ò ÒØ Å¹ÁÒ Ü Ê Ð ÈÖÞÝÛ Ö ½ ËÞÝÑÓÒ Ö ÓÛ ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ð Ò ÖÓ Ë Ð Ò Ö ½ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ôغ Ì º ÍÒ Úº Ó Ä Ó Þ ÈÓÐ Ò º
Å¹Ã Ò ÚÒ ËÑÔÐÖ ÐÔعÁÒÔÒÒØ Å¹ÁÒÜ ÊÐ ÈÖÞÝÛÖ ½ ËÞÝÑÓÒ ÖÓÛ ½ ÓÒÞÐÓ ÆÚÖÖÓ ¾ Ò ÐÒÖÓ ËÐÒÖ ½ ÓÑÔÙØÖ ÒÒÖÒ Ôغ ̺ ÍÒÚº Ó ÄÓÞ ÈÓÐÒº ¾ Ôغ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚº Ó Ð Ðº Ú Êº ÖØÓÒ ËÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÏØÖÐÓÓ Òº ØÖغ
Læs mereÇÒ Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý Ø Ñ Ë ÑÓÒ ÐÓ ÖÓ ² Ö Ö Ê Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ËØÖÙ Ð Ó ½¼ ¼ Î ÒÒ Ù ØÖ ØÖ Ø Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý
ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ ËÑÓÒ ÐÓÖÓ ² ÖÖ ÊÒ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ËØÖÙÐÓ ½ ÎÒÒ Ù ØÖ ØÖØ Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ Ö Ø ÝÒÑ Ó Ð¹ÖÚع ØÒ Ò ÑÐ Ó ÓÐÐ ÓÒÐ ÔÖØÐ Ò Ø ÖÑÛÓÖ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓÑ ÐÖ ØÓÖÝ
Læs mereÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼ ÊÓ Ð Ø ¾¾ ¼ ¾¼ Ñ ÑÙÖÙº Û ÑÙºÖÙº à ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ ÁÅÍ Ø Ø ÒÖº»¾¼¼ Ö Ò ¼½¼¹¾¾ Á ØØ ÔÖÓØ
ÌÃËÌ ÆÊ ¾¼¼ ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ Ã ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÌÃËÌÊ Ö ÁÅÍ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÊÇËÃÁÄ ÍÆÁÎÊËÁÌÌËÆÌÊ ÇÊ ËÌÍÁÌ ÅÌÅÌÁÃ Ç ËÁà ËÅÌ ÊË ÍÆÃÌÁÇÆÊ Á ÍÆÊÎÁËÆÁÆ ÇÊËÃÆÁÆ Ç ÆÎÆÄËÊ ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼
Læs mereÁÌ ÎÓÐ ÆÓ ÔÔ ß ¹»»¹ ËÛØ ² ØÐÒÖ ÏÝ Ê ØÖØ ØÚ ËÛÖÞ ÓÒÚÖ ØÖ ØÒ ØÚ ËÛÖÞ ÎÊÁÁÃÁ ËÌÌÀÁÇÍ Ò ÅÊÌÁÆ Â ÆÊ ØÖØ ÔÖØÒØ Ó ÅØØ Ò ËØØ Ø ÅÐÐ ÍÒÚÖ ØÝ ÅÓÒØÖÐ É Ò À à РØØÓÙØÐÐ ÒÖØÐÐ ÊÒØÐÝ ÚÖÒØ Ó Ø ØÚ ËÛÖÞ Ëµ ÔÖÓÒØÓÒÖ Ø Ö
Læs mereÐ ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ê ÛÖ Ø Ò Ö Ø ÉÙ Ö Í Ò Î Û Ë Ö Ó Ò ½ Ï ÖÒ Ö ÆÙØØ ¾ Ò Ð Ü Ò Ö Ë Ö Ö Ò ½ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Â ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ö Ò º Ù º º Ð ¾ ÖÑ
ÐÓÖØÑ ÓÖ ÊÛÖØÒ ÖØ ÉÙÖ Í Ò ÎÛ ËÖ ÓÒ ½ ÏÖÒÖ ÆÙØØ ¾ Ò ÐÜÒÖ ËÖÖÒ ½ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ Ì ÀÖÛ ÍÒÚÖ ØÝ ÂÖÙ ÐÑ Á ÖÐ ÖÒ ºÙººÐ ¾ ÖÑÒ Ê Ö ÒØÖ ÓÖ ÖØ Ð ÁÒØÐÐÒ ÃÁ ÑÀµ ½¾ ËÖÖĐÙÒ ÖÑÒÝ ÏÖÒÖºÆÙØغ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ ú ͺ ÄÙÚÒ ÀÚÖÐ
Læs mere½ ËÐ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÇÐ Ú Ö Ä ÙÖ ÒØ ÁÅĹ ÆÊË Å Ö ÐÐ ÇÐ Ú ÖºÄ ÙÖ ÒØÔÔ º Ù Ùº Ö ÄÓÖ ÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖ ÙÒ ÖÓÑ º Ø ØÖ Ø ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓ
½ ËÐÒ ÔÓÐÖÞ ØÚ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ÇÐÚÖ ÄÙÖÒØ ÁÅĹÆÊË ÅÖ ÐÐ ÇÐÚÖºÄÙÖÒØÔÔ ºÙ ÙºÖ ÄÓÖÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖÙÒÖÓÑ ºØ ØÖØ ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÓÑÔÙØÒ ÛØ Ø ØÚ Û ÒØÖÓÙ ÒÓØÓÒ Ó Ð ÔÖÓÓ¹ÒØ ÓÖ Ø ÔÓÐÖÞ ÖÑÒØ Ó ÐÒÖ ÐÓº Ï ÔÖÓÚ
Læs mereÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹ ÓÖÑÙÐÖØ ÓÑ Ò ÝÒÑ ÐÒÖ ÑÓÐ Ö ØÒ Ï ÆÐ Ò ØØÒ ÖÚÖ Ö ÂÙÒ ¾¼¼¾ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø ÒÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹
Læs mereÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÃºÅºÂº ÓÒØÖ Ö ºÎº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Ý ÅºÅº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Þ º ºÂº ÀÙÖ Ò Ü ÂºÃº Ä Ò ØÖ Üß Êº Ê Ú Äº ËØÓÙ Ü Å Ö ¾¼¼ ØÖ
ÔÔÖÓÜÑÓÒ ÐÓÖÑ ÓÖ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ ÃÅÂ ÓÒÖÖ Î ÀÐÐÓÖ ÓÒ Ý ÅÅ ÀÐÐÓÖ ÓÒ Þ Â ÀÙÖÒ Ü ÂÃ ÄÒ Ö Üß Ê ÊÚ Ä ËÓÙ Ü ÅÖ ¼¼ Ö ÁÒ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ Ó Ñ Ñ ÚÒ ÓÖ Û ÓÐÐÓÒ Ó Ù ÐÐ ÑÐÐ ÙÓÐÐÓÒ Ó Ó Ð Ù ÓÖ ÔÖ Ó Ñ Ö Ò ÐÓÒ ÓÒÒ ÜÐÝ ÓÒ Ó ÛÓ Ñ Á
Læs mere(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L
ÅØÑØ ÓÖÒÒ Ö ØÖØÓÒ ÓÖ Ø ÓÐ ÓÑÑÖ ÓÐ Ó Ö Ö Ò ÓÖ Ö Ø Ò ØÐ Ù ÃÒÚÒ Ô Àº ÓÑÑÖ ÓÐÒ ËÖÒ ÐÖ ÃÍ ËÝÑÓÐ ÝÒÑ ÖÒ ÌÓØ ËÍ ÍÐ Ø ÓÑÒØÓÖ ÔÖÓÐÑÖ ÒÚÒÖ ØÐ ÑØÑØ ØÙÖÒ Ò Ø ÐÚÐ ËÓÑÑÖ ÓÐÒ ØÙÙѺ Ⱥº¹ ØÙÖÒ Ö Ó ÑØ ÚÐÓÑÒº Ö Ö Ø ÐØÖÝÖ
Læs mereÈÊÌÅÆÌ Ç ÅÌÀÅÌÁÄ ËÁÆË ÄÇÊ ÍÆÁÎÊËÁÌ ÊÊÁà ÂÊË Î ÈÓÒ Ã¹ ÄÇÊ ÌÐÜ ½ ½ ÆÅÊà ÌØÐ ËÙØØÐ ÌÑ ÈÖÓØ ÔÖÓ ÇÒ Ø ÚÓÒ ÃÖÑÒ ÕÙØÓÒ ÁÒØйÓÙÒÖÝ ÎÐÙ ÈÖÓÐÑ Ò ËØÐÞØÓÒ ÔÔÐ ÅØÑØÐ ÒÐÝ ÖÙÖÝ Ø ¹ ÂÙÒ ½Ø ÙØÓÖ ÀÒÖ Î Ö ØÒ Ò ÖÒ ÈÖ Ò ËÙÔÖÚ
Læs mereÚÒÖØ ÃÖ Ý ØÑ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÍÖØ ÈÖÓØÖÙÔÔ ¹ ¹¼ ÐØÖÓÒ ¹ ÐØÖÓØÒ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Í ¾¼ º ¾¼¼ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÐØÖÓÒ ËÝ ØÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÌÁÌÄ ÚÒÖØ Ö Ý ØÑ ÌÅ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÈÊÇÂÃÌÈÊÁÇ ¾º Ô ¾¼¼ ¹ ¾¼º ¾¼¼ ÊÍÈÈ
Læs mereÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ Ò ÇÔÐ ØÐ ËÒØÐ ½½ ÐÙ
ËØÖØ ÊÙÐÖ ÖÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ËÔÐ ØÖÖØ ¼¼½ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ
Læs mereÀ ÐÝ ÙÖ Ø ËÝÑÑ ØÖ ÒÚ ÐÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÎ ÁÚ Ò ËÐ ÔÒ Ö Ý Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ä Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ò Ð Ø Â Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ò Â ¾
ÀÐÝ ÙÖØ ËÝÑÑØÖÒÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÀÝÔÖÓÐ ËÎ ÁÚÒ ËÐÔÒÖ Ý ÙÙ Ø ¼ ¼¼ ØÖØ ÄØ Ñ Ò ÖÐ ÑØÖÜ ÛØÙÐÐ ÓÐÙÑÒ ÖÒÒ ÐØ Â Ò Ò ÓÒÐ ÑØÖÜ Ó Ò Â º ÌÝÔÖÓÐ ÒÙÐÖ ÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ ÀËε Ó Ø ÔÖ Âµ Ò Í Î Í ÓÖØÓÓÒÐ ÔÓ ØÚ ÒØÓÒÐ Ò Î Â¹ÓÖØÓÓÒÐ
Læs merearxiv: v1 [math.pr] 19 Jan 2009 dxt = (A(t)X t +f(t))dt+b(t)dz t X(s) = x
arxiv:0901.2887v1 [math.pr] 19 Jan 2009 ÇÖÒ ØÒ¹ÍÐÒ ÕÙØÓÒ ÛØ ØѹÔÒÒØ ÓÒØ Ò ÄÚÝ ÆÓ Ò ÒØ Ò ÒÒØ ÑÒ ÓÒ ½ ÐÓÖÒ ÃÒÐ ÍÒÚÖ ØØ ÐÐ ¹ÑÐ ºÒÐÓÓÐÑкÓÑ ÂÒÙÖÝ ¾¼¼ ØÖØ Ï ÓÐÚ ØѹÔÒÒØ ÐÒÖ ËÈ ÛØ ØÚ ÄÚÝ ÒÓ Ò Ø ÑÐ Ò Û Ò º Ü
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereINSTITUT FÜR INFORMATIK
INSTITUT FÜR INFORMATIK ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ ÈØÙÖ ÄÒÙ ÇÐÚÖ ÅØÞ ÖØ ÆÖº ¼¼ ÖÙÖÝ ½ ¾¼¼ CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT KIEL ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÁÒÓÖÑØ Ö Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÞÙ ÃÐ ÇÐ Ù Ò ØÖº ¼ ß ¾¼ ÃÐ ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ
Læs mereÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼
ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ² ÃÑ Ò ÓÖÒ ÇÔÐ ËÒØÐ ½½ ½º ÙÚ ¾¼¼ ÌÖÝ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ØØ Ò ÔÖÓØ Ö ÙÖØ Ú ÐÓÖ ÍÒÚÖ
Læs mereà ÊÆ Ä Ê Å ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈ Ê ÌÇÊË Î ÁÌ ËÄ Î Î Ë Ä ØÖ Øº Ó Ö Ñ ÜÔ Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ð À Ð ÖØ Ô Ö ÜÔÐ Ò Ò ÓÒØ ÜØ Û Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó Ô Ù Ó ÒÚ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ º Ò Û ÓÑ ØÖ Ô¹ Ô
ÃÊÆÄ ÊÅ ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈÊÌÇÊË ÎÁÌËÄÎ ÎËÄ ØÖغ Ó ÖÑ ÜÔÒ ÓÒ Ò ÔÖÐ ÀÐÖØ Ô Ö ÜÔÐÒ Ò ÓÒØÜØ ÛØ Ø ØÓÖÝ Ó Ô ÙÓÒÚÖ ÓÔÖØÓÖ º ÒÛ ÓÑØÖ Ô¹ ÔÖÓ ÓÙØÐÒ ÓÒÒØÒ ÓØ Ö º Ò ØÖØÚ Öѹ ÔÖÓÙÖ Ù Ø Û Ò ØÓ ÚÒ ÙÒØÓÒ ÒØ ÖÑ ÓÖ Ê Þ ÓÖ Ø ÜÔÒ
Læs mereÄ Ð Ö Ô Ò ÝÒ Ñ Ä Ò Å Ø Ò ÓÖ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ò ÐÝ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ È Ý ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙ Ö¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ó ÙÑ ÚÓ
ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ ÒÐÝ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö Ò ÓØÓÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ò Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÈÝ ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙÖ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÓÙÑ ÚÓÖÐØ ÚÓÒ ÄÙÖÒÞ Ï ÓØØ ÂÙÐ ½ ÈÙÐ Ï ÓØØ Äº ½µº ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ
Læs mereÅ ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ð Ó ÖÓ Å Ò ÂÒÙÖ ¾¼¼¾ Ð ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø Ø ØÒ ¹ÒØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÌÁÌÄ Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ó ÖÓ Å Ò ÎÂÄÊ ËÖÒ ÄÙÒÝ¹Ö ØÒ Ò ÌÓÑ Ë ÈÊÁÇ ½º ÔØÑÖ
Læs mereÖ Ñ Ø Ë Ò Ê ÓÒ Ö ÁÐ Ò Î Ö ÓÒØ ÒØ ½ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ½¾ È Ý Ð ÙÑÔØ ÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÑ Ø ËÒ ÊÓÒÖ ÁÐÒ ÎÖ ÓÒØÒØ ½ ÌÖÒ ÐØÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓÐÑ ½¾ ÈÝ Ð ÙÑÔØÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì ÖØ ÖÓÙÒ º º º º º º º
Læs mereP Œ.. ʲ,.. ŠÊ²,.. ŠÊ² ±μ,.. Œ ² Ìμ, Š.. ŒÊÌ. Š Œ ˆ ˆ ˆŠ Š ˆ ƒ ƒ Œ ˆ Ÿ Š ˆ -2Œ
P13-2008-179 Œ.. ʲ,.. ŠÊ²,.. ŠÊ² ±μ,.. Œ ² Ìμ, Š.. ŒÊÌ ˆ ˆ Š Š Œ ˆ ˆ ˆŠ Š ˆ ƒ ƒ Œ ˆ Ÿ Š ˆ -2Œ ʲ Œ... P13-2008-179 ² É ²μ Éμ±μ ± É Ê μ μ μ Ê ³ É ² μ ÒÌ Ï ±μ ± μ μ μ ³ ² É ²Ö ±Éμ ˆ -2Œ ÉμÖÐ ³Ö μ Éμ É μ
Læs mere! " # !" # $ % & ' ( ) * +, -. /
!"#!# $%!"#$%&' ()*+,-./0' # ; >? FGHI J'# KLH MN KL!"#$%#&'()*+,-./ 0+ + 2 3456789:6;
Læs mereTest i polynomialfordelingen
Statisti og Sadsylighedsregig STAT apitel 4.4 Test i polyomialfordelige Lad X (X,..., X ) Poly (, p). Observatio: (,..., ) der agiver atal udfald, 2,..., Susae Ditlevse Istitut for Matematise Fag Email:
Læs mere