Løsningsforslag til Stokastik klasse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse"

Transkript

1 1 Løsningsforslag til Stokastik klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Kapitel 1 Åben udforskende dataanalyse Øvelse 3 Det kan være praktisk at have data tilgængelige i en elektronisk udgave for nemmere at kunne eksperimentere med dem: Dag Dag Dag I mangel af en bedre idé prøver vi at lave et søjlediagram over tallene den første dag: Her falder det i øjnene, at der er et ganske regulært skift mellem korte og lange søjler, som om en lang ventetid efterfølges af en kortere. Måske skulle vi så prøve at opdele materialet i de kortere og de lange hver for sig altså vælge hver anden. Vi fortsætter med at gøre det for den første dag, så vi kan bruge de to næste dage til at afprøve den indsigt, vi tror at have vundet ud fra en analyse af førstedagens materiale. Hver anden / korte: Hver anden /lange: Vi kan karakterisere hver talserie ved hjælp af fx minimum, kvartilsæt og maksimum for at se, om det afslører noget interessant (i et regneark kan det klares i en håndevending med funktionen kvartil):

2 2 deskriptor Minimum nedre kvartil median øvre kvartil Maksimum hjælpetal korte lange Vi observerer, at de lange og de korte ventetider er klart adskilte. Og vi kunne nok forvente, at de korte også i fremtiden ville ligge i 50 erne, mens de lange ville ligge i 80 erne, måske med enkelte afvigelser. Fortsæt selv beskrivelsen og undersøgelsen. Øvelse 4 Igen kan det være behageligt at have data repræsenteret i elektronisk form: Østerby x Vesterby y Vi ved ikke, om der er spillet mod de øvrige hold i samme rækkefølge, så det vil ikke give mening at sammenligne kamp for kamp, selvom data er stillet sådan op i rækker. Det drejer sig først og fremmest om at konstruere et kvalitetsmål ud fra sådanne kampdata. Antal vundne kampe vil naturligt indgå, ligesom antallet af tabte. Måske kunne (vundne tabte) være et godt groft mål, men så er der også spørgsmålet om, hvor meget de har vundet med. Måske siger den samlede måldifference noget vigtigt. Sportsfolk blandt læserne vil selv kunne finjustere dette kvalitetsmål og måske lave et regneark, der kan håndtere sådanne sammenligninger mere generelt. Hertil kommer en historisk og kulturelt bestemt faktor, der siger noget om stemningen i kampe mellem Østerby og Vesterby. Det kan være svært at håndtere matematisk, men måske kan statistikken fra de tidligere års indbyrdes kampe sige noget.

3 3 Øvelse 5 1) Det kan godt være at svømmeveste er en god sikkerhed mod drukning, men argumentet holder ikke, hvilket afsløres, hvis man skriver noget andet i stedet for svømmeveste, fx havde hat på : I det forløbne år druknede 35 personer ved bådulykker. Kun fem af dem havde hat på; ingen af de andre bar hat. Bærer de selv hat, når de er ude at sejle? Men det mest kritiske spørgsmål er: Hvor mange folk til søs bærer egentlig svømmevest? Hvis kun 3% bærer svømmevest og en stikprøve på 35 falder i vandet og drukner, så ville vi selv ved virkningsløse svømmeveste kun forvente, at en enkelt af disse havde svømmevest på. Når der nu var 5 af de 35, der havde svømmevest på, så synes det at tyde på, at svømmevestene får folk til lettere at falde over bord og drukne. De er altså direkte farlige, hvis kun 3% bærer svømmevest. Overvej, hvor stor en procentdel af befolkningen der normal skal bære svømmeveste til søs, før argumentet i annoncen kan siges at holde? 2) Den snigende død i mineralvand På grafen kan man se, at hvis alle folk i en mellemstor by på hver dag drikker 20 liter mineralvand fra Perrier, så vil antallet af kræfttilfælde inden for de næste 40 år stige med 1 i byen. Hertil kommer forureningen fra de lastbiler der hver dag skal bringe de nødvendige 1½ millioner flasker ind til byen. Regeringen overvejer at nedsætte det størst tilladelige indtag til 5 liter pr. dag, hvilket ca. vil halvere risikoen og i al fald lette på trafikken. I de resterende øvelser i dette kapitel, må læseren klare sig uden forfatternes assistance.

4 4 Kapitel 2 Beskrivende statistik Øvelse 4 4, 4, 4, 7, 7, 10, 12, 12, 12 er en mulighed med to typetal. Men 4, 4, 4, 7, 7, kan godt suppleres med fem karakterer, så kravene opfyldes og kun 4 er typetal. Øvelse 5 I udgangpositionen var vi et observationssæt { x med median < typetal < middeltal. 1, x2, x3,... x n } 1) Hvis vi nu ser på observationssættet, hvor alle observationer er ganget med 10, så vil alle de tre centrale deskriptorer selvfølgelig også blive ganget med 10, så den indbyrdes beliggenhed bliver uforandret: median < typetal < middeltal. Hvis fx 9 er typetal, altså den oftest forekommende observation, bliver 90 selvfølgelig den oftest forekommende observation, hvis der sættes et 0 bag hver observation, da alle 9-taller bliver til 90. Hvis 8 er den midterste observation (eller median), så bliver 80 selvfølgelig den midterste i det 10 gange større observationssæt, fordi 80 vil få akkurat samme placering i dette observationssæt, som 8 havde i det oprindelige. Hvis 11 er middeltallet (altså gennemsnittet), så er tallene i det 10 gange større observationssæt 10 gange større hver for sig og derfor også i gennemsnittet eller i middeltal. 2) Hvis vi ganger alle observationerne med -1 så vendes størrelsesrækkefølgen om, og de nye deskriptorer: middeltal, median og typetal bliver lig de gamle med et minus foran. Da multiplikation med -1 vender ulighedstegn fås - middeltal < - typetal < - median eller nyt middeltal < nyt typetal < ny median. Rækkefølgen af de tre centrale deskriptorer vendes altså om, når observationssættet ganges med -1. Denne øvelse kan udnyttes i den følgende undersøgelse. Øvelse 6 2,7,7,7,7,7,7,7,7,7,12 er en mulighed med kvartilafstand 0.

5 5 Øvelse 8 Her er en relevant repræsentation af data (box-plots) til at fortolke ud fra, men to hyppighedsfordelinger vil afsløre samme principielle forskel på de to hold både med hensyn til midten af holdet og holdets spredning.

6 6 Kapitel 3 På sporet af sammenhænge Øvelse 2 Her er et scatterplot af data, som kan benyttes til at fortolke ud fra. Umiddelbart fortæller plottet en anden historie end den forventede, idet det synes, som om der er mere ro i klassen, jo større den er! Øvelse 3 For at finde passende funktion for hver gruppe, kan det være praktisk at have måledata i elektronisk form: Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Højde Vægt Højde Vægt Højde Vægt

7 7 Øvelse 9 Den bedste rette linje bestemmes i GeoGebra Modellen giver en forventet skævhed i 2013 på 2,9992 meter

8 8 Øvelse 10 Nedenfor ses to forskellige modeller for udviklingen i antallet af Camillaer. En lineær og en eksponentiel model. x er antal år efter Modellerne er hhv f( x) = x og gx ( ) = x Passer de også i dag? Tjek fx Øvelse 14 1) Da odds kan antage ethvert positiv talværdi, så kan odds ratio altså forholdet mellem to odds også antage enhver positiv værdi og faktisk også 0, da odds 0 også er en mulighed. Hvis odds ratio havde været lig 1 i eksemplet med deltidsarbejde for mænd/kvinder, så ville det betyde, at andelen af folk på deltidsarbejde var den samme for de to køn. Hvis den var 0,5, så ville kvinders tendens til at være på deltidsarbejde være den halve af mændenes. Hvis derimod odds ratio var meget stor, ville kvinder i langt større grad være på deltidsarbejde end mænd. Selvfølgelig bliver enhver kort beskrivelse af betydningen lidt forsimplet. Hvor vi ovenfor skrev: ville kvinder i langt større grad være på deltidsarbejde end mænd, har vi fx ikke påstået, at der er flere kvinder på deltidsarbejde, end der er mænd på deltidsarbejde. Hvis der er få kvinder på arbejdsmarkedet i det hele taget, kunne det fx være, at de næsten alle sammen var på deltidsarbejde, men alligevel udgjorde en langt mindre gruppe end mændene på deltidsarbejde. Tilsvarende tolkning for meget lille odds ratio.

9 9 2) Odds ratio for at være på fuld tid i en sammenligning mellem kønnene: = = det omvendte af før = cirka 0, Også hvis man bytter om på de to køn, byttes der om på tæller og nævner, og resultatet bliver ca. 9,43. Det kan synes lidt kaotisk, men der er kun to mulige resultater her 9,43 og 0,11. Og hvis man ved, at tendensen for deltidsarbejde er størst for kvinder, så behøver man ikke at blive forvirret af, at der er fire forskellige odds ratios, som man kan udregne. Øvelse 17 store succes ikke succes odds Test A ,7 Odds Ratio 1,2 Test B ,2 lille succes ikke succes odds A ,5 Odds Ratio 2,1 B ,5 Begge succes ikke succes odds A ,55 Odds Ratio 0,75 B ,74 Odds Ratio for behandlingerne på begge sygehuse tilsammen er modsat OR for hver af de to sygehuse for sig. Hvordan kan det gå til?

10 10 Kapitel 4 Elementer af stokastikkens didaktik Øvelse kan forklares ved tænkningen: Der er tre mulige rækkefølgerdpp, pdp, ppd, hver af disse har sandsynlighed fremkommer formentlig ved tænkningen: Der er fire muligheder: 0 drenge, 1 dreng, 2 drenge og 3 drenge. Vi leder efter den ene af dem; derfor svaret 1 4 Øvelse 3 Fermat/Pascal problemet er lidt vanskeligere at få hold på. En løsning den som peger fremad mod mere systematisk sandsynlighedsregning er at se på, hvad der kunne være sket, hvis ikke spillerne var blevet afbrudt og dele puljen i forhold til de to spilleres sandsynligheder for at vinde puljen. Stillingen er 8 7, og man skulle have spillet til én spiller havde vundet 10 gange. Derfor ville der aldrig skulle spilles mere end 4 spil mere for at finde vinderen. Vi viser i skemaet en systematisk analyse af, hvad der kunne være sket i disse højst 4 spil. A A A B A A B B A A B B B B A A B A B A B A B B B B A A B B A B B B B A har vundet - sandsynlighed 1 1 = A har vundet - sandsynlighed = A har vundet - sandsynlighed = B har vundet - sandsynlighed = A har vundet - sandsynlighed = A har vundet - sandsynlighed = B har vundet - sandsynlighed = A har vundet - sandsynlighed = B har vundet - sandsynlighed = B har vundet - sandsynlighed =

11 11 For at være sikre på, at vi har dækket alle muligheder, summerer vi lige alle sandsynlighederne for at sikre os, at de tilsammen giver 1. Det gør de. I et chancetræ kan det se således ud: Hvert spil har 50 % chance for at gå til A eller til B, og vi anvender multiplikationsprincippet for at beregne sandsynligheden for de forskellige forløb. A har sandsynligheden 11 for at vinde puljen, hvis spillerne havde fortsat. Det er derfor retfærdigt 16 at dele puljen i forholdet 11:5, hvilket netop giver A 11 af puljen. 16 I et tælletræ kan det se således ud De slutsituationer, der er markeret med blåt, er de forløb hvor A har vundet hele puljen. Det sker i 11 ud af 16 situationer. Det er derfor retfærdigt at dele puljen i forholdet 11:5. Som der fremgår af teksten forekommer der mange andre svarforslag til pointproblemet. Prøv, om du kan forklare motivationen bag hvert enkelt af dem.

12 12 Kapitel 5 Tre slags sandsynlighed Øvelse 9 Svarene er i rækkefølge: 1, 4 = 1, 12 = 1, Øvelse 10 1) begge kort er røde? sandsynlige udfald = , idet vi tænker på at det samlede udfaldsrum har lige 2) begge kort er klør? sandsynlige udfald =, idet vi igen tænker på at det samlede udfaldsrum har lige ) de har samme farve (rød eller sort)? = 1, idet vi benytter svaret på 1) og indser at sandsynligheden for at begge er sorte også er ¼. 4) ¼ 5) Det må give ½, da sandsynligheden for samme farve var ½ ifølge 3). Det er jo 100 procent sikkert at enten har de to kort samme farve eller forskellig farve. 6) Selv om teksten endnu ikke har gennemgået formlen for modsat hændelse, så synes det rimeligt, at sandsynligheden for forskellige kulør = 1 sandsynligheden for samme kulør = 1 ¼ = ¾

13 13 Kapitel 6 Kombinerede sandsynligheder, chancetræer og spil Øvelse 1 Vi skal finde ud af, om nogle af disse principper kan anvendes i de efterfølgende eksempler: 1) PA ( B) = PA ( ) + PB ( ), hvis A og B er disjunkte(det additive princip) 2) P(både A og B) = P( A) P( B), hvis A og B er uafhængige (multiplikationsprincippet) 3) P(både A og B) = P( A B) P( B), gælder altid (det generelle princip) 1) Hændelserne er her: A = billedkort i klør, B = billedkort i spar. Da hændelserne er disjunkte kan vi benytte princip 1, så PA ( eller B) = PA ( ) + PB ( ). 2) Her må hændelserne være: A = første kort er klør, B = andet kort er klør. Hændelserne er hverken disjunkte (andet kort kan godt være klør, selv om det første er det) eller uafhængige (hvis første kort er klør, nedsætter det sandsynligheden for, at det andet bliver det, da der tages fra samme spil kort), så vores eneste chance er at benytte 3). Den er da også velegnet fordi P(både A og B ) netop bliver P(begge klør). Vi får P(begge klør) = P(det andet er klør første er klør) P(første er klør) = ) Kan beregnes som i delopgave 2), men da vi har uafhængighed, kan vi også bruge multiplikationsprincippet, og få svaret 1 1 2, idet A = første mønt viser krone, B = anden mønt viser krone. 2 4) Her er det umiddelbart svært at se, at der er to hændelser A og B involveret, men det må selvfølgelig igen være noget med første terning og anden terning. Faktisk kan man kun få et ulige produkt, hvis begge terningerne viser noget ulige. Så det ville være hensigtsmæssigt at definere A = første terning viser ulige, B = anden terning viser ulige, så P(ulige) = P(både første og anden viser ulige) = 1 1 2, hvor vi har anvendt princip 2, der er tilladt, da terningerne ikke påvirker 2 hinanden.

14 14 Øvelse 2 1) Der er uafhængighed mellem de tre terningekast, så sandsynligheden er ) Der er uafhængighed mellem de timøntkast, så sandsynligheden er ) Hvis kortene trækkes samtidig (eller efter hinanden, uden tilbagelægning - hvilket er det samme) er der ikke uafhængighed mellem hændelserne. P(3. billedkort 1. og 2. er billedkort) = da der så er 10 billedkort blandt de resterende 50 kort. P(1. og 2. billedkort) = P(2. er billedkort 1. er billedkort) P(1. er billedkort) = P(1., 2. og 3 er billedkort) kan nu bestemmes som P(3. billedkort 1. og 2. er billedkort) P(1. og 2. billedkort) = , ) Den rigtige position for hver af de seks "pinde" må anses for at være uafhængige af hinanden. Da der er 3 muligheder for hver pind bliver sandsynligheden ) Tegnene i de enkelte kampe må anses for at være uafhængige af hinanden. Der er tre muligheder 1 i hver kamp, så sandsynligheden bliver 3 13 Øvelse 4 Hvis udtrækningen foregår uden tilbagelægning, vil det påvirke sandsynligheden. Lav selv en ny version af chancetræet i figur 3 og se, at der nu er sandsynligheder 6 10, 4 10, 6 9, 5 9, 4 9 og 3 9 langs grenene. Hvis man udtrækker med tilbagelægning, er sandsynlighederne de samme i begge situationer.

15 15 Øvelse 5 I et chancetræ ser mulighederne således ud

16 16 1) Tre blå findes kun et sted i træet. Sandsynlighed , ) To blå og en rød findes tre steder i chancetræet RBB, BRB, BBR. Sandsynligheden er , ) Alle tre forskellige farve findes seks steder SRB, SBR, RSB, RBS, BRS, BSR. Sandsynligheden bliver , ) Man kan bestemme sandsynligheden for 1 eller 2 blå til 0,8000 og sandsynligheden for ingen blå til 0,0769. Den forventede udbetaling i et enkelt spil er 5 0, , ,0769 = 2,9845. Hvis spillet koster 3 kroner, vil man i gennemsnit tjene 1,55 øre pr. spil som spiludbyder, hvilket ikke kan siges at være overvældende, da der også kan være dage hvor du faktisk taber mange penge ved en tilfældighed. Øvelse Sandsynligheden for 13 rigtige er 0, Sandsynligheden for at få 12 rigtige er 26 gange så stor. Tænk på et chancetræ for spillet. Der vil være 13 stier med én forkert og 12 rigtige. Langs grenene med 12 rigtige er der 12 steder en sandsynlighed på 1 3 og et sted (ved den forkerte) en sandsynlighed på 2 3 I alt

17 17 Øvelse 7 Her er en idé til at komme i gang. Sandsynligheden for at fx 5 personer alle har forskellig fødselsdag er, idet vi ikke har problemer med den første person, men må kræve at den anden ikke har fødselsdag på samme dag som den første, hvilket giver sandsynligheden 364, hvorefter sandsynligheden for at den tredje ikke har fødselsdag samme dag 365 som en af de to første er 363, osv. Vi ganger sandsynlighederne sammen med hjemmel i 365 multiplikationsprincippet. Hvis der er 10 personer er sandsynligheden for at alle har forskellig fødselsdag Fortsæt denne tankegang til klassen med de 30 elever. For at gennemføre den faktiske beregning kan det være praktisk at tage et regneark i brug.

18 18 Øvelse 9 Situationen kan vises i et chancetræ Sandsynlighed for at den kommer i 1. kast: 1 6 Sandsynlighed for at den kommer i 2. kast: Sandsynlighed for at den kommer i 3. kast: Sandsynlighed for at den kommer i n. kast: n 1

19 19 Øvelse 10 Vi benytter det generelle multiplikationsprincip for flere hændelser efter hinanden, og vi skriver op i omvendt orden for at få det til at stemme med den tidslige udvikling: P(1. klør, 2. spar, 3. hjerter og 4. ruder) = P(1. klør) P(2. spar 1. klør) P(3. hjerter 1. klør og spar) P(4. ruder 1. klør og 2. spar og 3. hjerter) =, hvor den faldende nævner afspejler, at vi har færre kort at tage af efterhånden, mens den konstante tæller svarer til, at vi hver gang tager hul på en frisk kulør, hvorfra vi ikke før har taget noget. 2) P(alle fire kort har forskellig kulør) = eller direkte: 1, idet første kort kan vælges frit, mens det andet skal vælges blandt de kort af en anden kulør osv. Øvelse 11 A: 47 %, B: 10 %, AB: 6 % O: 37 % Vi antager, at udvælgelse af de to personer sker tilfældigt, således at vi kan betragte deres blodtyper som uafhængige af hinanden. 1) P(begge A) = P(den ene A) P(den anden A) = 0,47 0,47. 2) P(A og O eller O og A) [eller giver anledning til at bruge det additive princip] = P(A og O) + P(O og A) [og giver anledning til at bruge det multiplikative princip] dvs. vi får 0,47 0,37 + 0,37 0,47 = 0, ) P( begge samme type) [vi bruger igen det additive princip] = P(A,A) + P(B,B) + P(AB,AB) + P(O,O) [og nu det multiplikative princip] = 0,47 0,47 + 0,10 0,10 + 0,06 0,06 + 0,37 0,37 = 0, ) 1 P(begge har samme type) = 0,6286.

20 20 Øvelse 12 Lav et chancetræ med 5 niveauer og faste sandsynligheder for lus/ikke lus i hver forgrening. Øvelse 14 1) Uden tilbagelægning. Simulering i Kugle123 sorte kugler er de røde i simuleringen. Modellen har 2 røde og 1 hvid kugle, og man udvælger 2 uden tilbagelægning. Antal røde kugler Andel røde kugler Antal eksperimenter Antal i % Kumuleret i % Udført i alt: 2000 eksperimenter Gennemsnit: Antal røde kugler pr. eksperiment: 1.32 Andel : Sandsynligheden er 32,2% for at få 2 sorte. Udfaldsrum. Hvis de to sorte kaldes K1 og K2 og den hvide kaldes K3, er der følgende muligheder (K1,K2), (K2,K1), (K1,K3), (K3,K1), (K2,K3), (K3,K2). Der er 2 ud af 6 muligheder, som giver to sorte Sandsynlighed 1 3. Tælletræ Chancetræ Spillet kunne også spilles med tilbagelægning.

21 21 3) Dette spil er uden tilbagelægning Det kan simuleres med Kugle123 med en model, hvor der er 52 kugler, hvor de 26 er røde. Man udtrækker 3 uden tilbagelægning. Det ureducerede tælletræ bliver uhåndterbart. Reduceret tælletræ (vi viser det for et udtræk på to kugler og læseren kan selv supplere med en sidste forgrening for den tredje kugle): Der er således = 2652 muligheder i alt. Af disse er = 650 med to røde. Chancetræ (igen viser vi for udtræk på to kugler og læseren kan selv supplere med den sidste forgrening): Sandsynligheden for 2 røde er så = (Sandsynligheden for 3 røde som i opgaven i bogen giver 11,8 %)

22 22 Kapitel 7 Sandsynlighedsfordelinger Øvelse 3 Antallet af veje er 1, 5, 10, 10, 5, 1 Øvelse 4 Hvis vi fx ser på antallet af muligheder for at få 3 seksere i 5 kast med en terning, kan disse deles op i de muligheder, hvor der kommer en sekser i første slag og i dem, hvor der ikke kommer en sekser i det første slag. Hvis der er en sekser i det første slag, skal de fire sidste slag resultere i præcis 2 seksere. Dette kan pr. definition ske på K(4,2) måder. Hvis der ikke er en sekser i første slag, skal der komme 3 seksere i de sidste 4 slag. Dette kan ske på K(4,3) måder. I alt er der K(5,3) = K(4,2) + K(4,3) måder at få præcis 3 seksere i 5 slag med en terning. Øvelse 5 Hvis vi fx ser på antallet af muligheder for at få r 1 seksere i n kast med en terning, kan disse deles op i de muligheder hvor der kommer en sekser i første slag og i dem, hvor der ikke kommer en sekser i det første slag. Hvis der er en sekser i det første slag, skal de n 1 sidste slag resultere i præcis r 1 seksere. Dette kan pr. definition ske på K(n 1,r 1) måder. Hvis der ikke er en sekser i første slag, skal der komme r seksere i de sidste n 1 slag. Dette kan ske på K(n 1,r) måder. I alt er der K(n,r) = K(n 1,r 1) + K(n 1,r) måder at få præcis r seksere i n slag med en terning. Undersøgelse 1 Summen i rækkerne bliver potenser af 2. Man kan argumentere for dette ved at observere, at et tal i en række kommer med to gange i den næste række pga. den måde, man opbygger trekanten på, hvilket betyder, at summen i den række nu bliver det dobbelte af summen i rækken over. Da den allerførste række (som her vil blive kaldt den 0 te række) er et 1-tal, bliver summen i næste række 2 21 = 2. I næste række igen får man 22 = 2, så bliver det 2 3 og så videre.

23 23 Øvelse 8 Med GeoGebras Sandsynligheds Lommeregner får man en sandsynlighed på ca. 98%. Øvelse 9 Sandsynligheden for mindst 5 rigtige er 0,4479. Alle sandsynlighederne kan ses til højre i billedet.

24 24 Øvelse 10 Sandsynligheden for mindst et inficeret æg er 18,21% Sandsynligheden for ingen inficerede æg er 81,79%

25 25 Øvelse 12 Hypergeometrisk Binomial Procentvis afvigelse 0 0, , ,09% 1 0, , ,28% 2 0, , ,28% 3 0, , ,79% 4 0, , ,31% 5 0, , ,90% Der er ikke ret store absolutte afvigelser i tallene. Det ser ikke ud til at betyde ret meget, om man tænker på situationen med eller uden tilbagelægning, med mindre den procentvise afvigelse betyder noget. Dette skyldes, at sandsynligheden for at få gevinst ikke ændrer sig ret meget, når man fjerner et lod. Hvis man fjerner et gevinstlod i første udtrækning, er gevinstchancen i næste udtrækning = 0,0992. Hvis man fjerne en nitte i første udtrækning, er gevinstchancen i næste udtrækning = 0, Ingen af de to sandsynligheder er væsentligt forskellige fra 0,1. Ved at prøve sig frem, kan man opdage at sandsynligheden for mindst én gevinst er 46,9% hvis man køber 6 lodder, og 52,3% hvis man køber 7. Man skal derfor mindst købe 7 lodder for at have 50% chance for mindst en gevinst.

26 26 Øvelse 13 Sandsynlighed for 4 eller flere er 0,0563 Sandsynlighed for 0 er 16,8% Sandsynlighed for 8 er 0,0003%

27 27 Øvelse 14 Det bliver sværere og sværere at få halvdelen til at være seksere. Det burde det også blive, da situationerne afviger mere og mere fra, at vi i gennemsnit forventer at 1/6 af kastene giver en sekser. I vores eksperimentelle fortolkning af sandsynlighed forventer vi jo at gennemsnittet ved mange kast skal være tæt på 1/6, hvorimod vi godt ved at, hvis der kun er seks kast, kan vi ofte forvente 0 eller 2 seksere og altså også sommetider 3 seksere eller halvdelen.

28 28 Øvelse 15 Som fjerdemand er du interesseret i at vide, hvor stor sandsynligheden er for at én af de tre første 3 trækker nitten. Uden tilbagelægning Sandsynligheden for at ingen af de første tre trækker nitten er = 1 Der er derfor 75 % chance for at én af de første tre trækker nitten. Til gengæld kan du så være sikker på at trække den, og din risiko bliver altså 25 %. Med tilbagelægning Sandsynligheden for at ingen af de første tre trækker nitten er = Der er derfor ,8% chance for at én af de første tre trækker nitten. Men i 27 af tilfældene bliver du altså tvunget til at trække. Fordelen er imidlertid, at risikoen for at trække nitten kun er 1, så din 4 risiko for at få nitten i første runde er 27 eller 10,5 %. 256 Til gengæld risikerer du, at ingen de andre trækker nitten i anden runde, så du bliver tvunget til at 3 trække igen. Sandsynligheden for dette er imidlertid ret lille nemlig 13,3%, og herefter er 4 din risiko for at trække nitten kun en fjerdedel. I alt er risikoen for, at du får nitten i anden runde kun 4 4 eller ca. 3 %. Selvfølgelig risikerer du så får nitten i tredje runde eller i en af de uendeligt mange teoretisk mulige følgende runder. Men det, at risikoen for at få nitten i første omgang plus sandsynligheden for overhovedet at komme til at trække i en senere omgang er 10,5 % + 13,3 % og altså mindre end 25 %, fortæller dig, at du alligevel er bedst stillet med at vælge lodtrækningen med tilbagelægning. 7

29 Øvelse 16 Hvis man anskuer lottospillet som om vindertallene var givet på forhånd, ville det svare til, at 7 af de 36 tal havde en særlig egenskab. Antallet af rigtige på en kupon, handler så om, hvor mange af de særlige tal, man har valgt på sin kupon. Der er altså 36 kugler; 7 har en særlig egenskab og man vælger tilfældigt 7 blandt de 36. Antal rigtige er antallet af de specielle, der er med blandt de 7 man har valgt. 29

30 30 Kapitel 8 Stikprøver og estimation Øvelse 1 En simulering med Kugle123 og Kugle-Model K2(100,1,ja) Antal udtagne Antal Antal Kumuleret kugler eksperimenter i % % Så der er ca. 4,5% chance for, at hændelsen sker inden for de første 5 år. I forberedelsesmaterialet til eksamen for mellem- og sluttrin i maj 2013 kan man læse den følgende regel, som kan kaste lys over sjældne hændelser reglen Der er ca. 40 % chance for, at den sjældne hændelse indtræffer allerede inden for den første halvdel af den forventede periode. Der er ca. 15 % chance for, at den sjældne hændelse først indtræffer efter forløbet af det dobbelte af den forventede periode. Prøv selv med Kugle123, om du kan se disse procentsatser. Øvelse 5 At man ikke kan forventet at ramme præcis 9 i prøverne, er samme fænomen, der gjorde, at fx Kerrich (side ) ikke ramte 50% plat i sine forsøg. Der er statistisk usikkerhed.

31 31 Øvelse 6 Her ses et punktplot over 300 stikprøver á 50 kugler. Øvelse 7 Her ses et punktplot over 300 stikprøver á 100 kugler. Stikprøverne giver altså bud på tilslutningen til partiet, der ligger mellem 12 % og 31 %. Det er meget usikkert, hvad man egentlig kan sige om vælgertilslutningen ud fra stikprøverne. Øvelse 8 Usikkerheden burde gå kraftigt ned.. Ved en simulering af stikprøver på 1000 vælgere bør andelen ligge mellem ca. 15 % og 25 %. Øvelse 10 Ja, uanset om man regner med 1000 eller 1200 adspurgte, ligger den øvre grænse af intervallerne på over 35 % og den rigtige andel burde være indfanget.

32 32 Øvelse 11 Intervallet bliver fra 53,3 % til 56,7 %. Øvelse 12 Simulering med modellen Kugle 1 i Kugle123 overlades til læseren. Hvis man har en konstant p, og man så firdobler n, så ser man, at p (1 p) 1 p (1 p) = 4 n 2 n Da kvadratroden af 4 er lig med 2. Med andre ord halveres det tal, der angiver usikkerheden, når stikprøvestørrelses firdobles. Dette gælder helt generelt og derfor også i det konkrete taleksempel i opgaven.

33 33 Øvelse 14 Det er ikke nok, at Periferidemokraterne får 2% i undersøgelsen, altså 24 stemmer ud af de 1200, fordi der ville 95 %-konfidensintervallet være: 0,02 (1 0,02) 0,02 (1 0,02) 0,02 1,96 ; 0,02 1,96 = [0,02 0,008; 0,02 + 0,008] = [0,012; 0,028]. Det ville sige, at den faktiske vælgertilslutning kunne være helt nede omkring 1,2 % i hvert fald set ud fra denne særlige 95 %-konfidensintervalmetode. I virkeligheden kunne det selvfølgelig være meget værre, men sandsynligheden for det er meget lille. Nu ville man nok gætte på 3 % og gennemføre beregningen igen: 0,03 (1 0,03) 0,03 (1 0,03) 0,03 1,96 ;0,03 1,96 = [0,03 0,0097;0,03 + 0,0097] = [0,0203;0,0297] Vi ser, at nu ligger spærregrænsen under vores konfidensinterval, så mon ikke vi skulle anbefale Periferidemokraterne at nå op på 3% i en sådan undersøgelse, før de kan begynde at slappe lidt af i valgkampen. Men igen er der intet sikkert i statistik, men den kan hjælpe til med at træffe beslutninger i en usikker verden. Man kan påstå, at vi var lidt heldige i vores gæt på 3 % ovenfor. Hvad nu hvis vi havde skudt langt ved siden af, skulle vi så blive ved med at afprøve gæt på gæt? Nej, i sådanne situationer sørger man for at gætte for højt og for lavt og så i midten osv. På den måde tager det ikke så lang tid at ramme målet. Men med et regneark bliver det hele langt lettere, for vi kunne lave en tabelindgang i kolonne A med de forskellige vælgertilslutninger, vi kunne forestille os opinionsundersøgelsen gav som resultat: fra 0,01 til 0,05 med spring på 0,001 og så lade regnearket lave beregningen af konfidensintervallet under anvendelse af fyld nedad. Så ville det ikke tage lang tid før, man havde en god tabel, der kunne danne grundlag for partiledelsens beslutninger.

34 34 Kapitel 9 Hypotesetest Øvelse 1 1) Med N = 1000, n = 40 og D = 30 giver den Hypergeometriske fordeling, at sandsynligheden for at få 3 eller flere defekte i stikprøven er 0,1104. Dette betyder, at der er en risiko på 11,04 % for at vores stikprøve giver så mange defekte, at vi griber ind i produktionsgangen, selvom fejlprocenten faktisk holder sig på 3. 2) Med N = 1000, n = 40 og D = 50 giver den Hypergeometriske fordeling, at sandsynligheden for at få 2 eller færre defekte i stikprøven er 0,6771. Dette betyder, at der er 67,71% risiko for, at vores stikprøve får os til at konkludere, at produktionen kører OK, selvom fejlprocenten er steget til 5. Der er meget stor risiko for, at stikprøven ikke får os til at opdage, at der er noget galt. 3) Fejlprocent Sandsynlighed for 2 eller færre defekte i stikprøven 10 0, , ,0071 Tallene er atter beregnet ved hjælp af den Hypergeometriske fordeling. Vi ser, at stikprøven er ret dårlig til at opdage, hvis der er 3 gange for mange defekte skruer. Øvelse 2 Ud fra binomialfordelingen b (25;0,2) kan man beregne sandsynligheden for, at man tilfældigt kommer under 4 gevinster. Sandsynligheden er 42,07%. For at få procenten ned, kan man sætte grænsen ned, eller man kan købe flere lodder. Hvis grænsen sættes ned, bliver det sværere at komme til at lave vrøvl. Til gengæld bliver det også sværere at opdage, hvis der faktisk er for få gevinstlodder. At købe flere lodder er en sikrere metode men den koster flere penge.

35 35 Øvelse 4 X er antal rød ved 100 spil på en roulette. j P(X j) 30 0, , , , , , , , , , , ,0760 Nulhypotesen er: Rouletten er OK. Alternativ hypotese: Rouletten giver for få rød. Vi beslutter ud fra et udbredt ønske om at holde procenten af fejl af første art under 5 %, og altså at nulhypotesen forkastes, hvis der er 39 eller færre røde i 100 spil. Fejlen af 1. art bliver så 0,0322 dvs. 3,22 % Hvis rouletten er manipuleret og der fx. kun er 40 % chance for rød, er sandsynligheden for at få 40 eller flere røde i 100 spil 53,79 % dette er fejlen af 2. art i dette tilfælde. Hvis rouletten er manipuleret mere groft så der fx. kun er 35 % chance for rød, er sandsynligheden for at få 40 eller flere røde i 100 spil 7,24 % dette er fejlen af 2. art i dette tilfælde. I lyset af disse resultater burde vi nok prøve at forbedre vores test. Vi kunne lade procentdelen af fejl af første art stige for på den måde at få procenten af fejl af anden art til at falde: måske kunne vi ændre grænsen på de 39 til 41 i stedet og så lave en ny gennemregning. Hvis ikke det nytter tilstrækkeligt, kunne vi overveje at lade stikprøven stige til 200 spil eller mere.

36 36 3) X er antal rigtige svar blandt de 40, når man blot gætter: J P(X j) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0000 Hvis eleven har 15 eller flere rigtige svar, er sandsynligheden for, at hun har svaret tilfældigt på 1 0,9456 = 0,0544. Sagt på en anden måde, så vil 1 ud af 20 elever, der intet ved og bare gætter klare en test, der sætter grænsen ved 15 rigtige. Om det er acceptabelt afhænger af formålet med testen. Det ville ikke gå til en teoretisk køreprøve. Hvis eleven har 16 eller flere rigtige svar, er sandsynligheden for, at hun har svaret tilfældigt på 1 0,9738 = 0,0262. Er den lille nok til, at man vil tro på, at eleven ikke blot har gættet?

37 37 4) Hvis Jonathan blot gætter, er sandsynligheden for at gætte den første øl korrekt 1 3. Efterfølende er sandsynligheden 1 3 for, at han gætter den næste øl korrekt. Hvis de to første øl er gættet korrekt, vil den sidste også blive angivet korrekt. Under forudsætning af at han ikke kan smage forskel, er der derfor en sandsynlighed på 1 6 for, at han alligevel gætter alle tre øl. Da vi er tilbøjelige til at tro, at han rent faktisk kan smage forskel, hvis alle tre øl gættes korrekt, er der i hypotesetest-sprog derfor en fejl af 1. art på 16,67 %. Ved at gentage eksperimentet flere gange, kan vi få fejlen af første art ned. Hvis vi insisterer på, at Jonathan skal svare korrekt på alle tre øl to gange, er sandsynligheden for dette 2 1 0, 0278og insisterer vi på, at han skal svare korrekt 3 serier i træk, er sandsynligheden for, at det er tilfældigt blot 0, Fejlen af 1. art vil så være under 1 %. 6 Hvis vi har endnu højere ambitioner med vores øltest, så kan det være at vi vælger denne skrappe udgave af testen, hvor der igen skal smages på 9 glas, men hvor der hver gang er frit valg af, hvilket af de tre mærker der skal iskænkes. Chancen for, at vi i denne situation lader en ignorant slippe gennem, er 9 1 0, 0005, så fejlen af første art har nu en forsvindende størrelse. 3 Hvis Jonathan faktisk er en god kender af øl og ligger på 95 % rigtige inden for de angivne ølmærker, så ville vi jo på den anden side godt have, at testen lod ham bestå. Men hans chance for 9 at bestå er blevet på 0,95 0,63, altså 63 %. Så sandsynligheden for, at vi får ham forkastet (laver fejl af 2. art), er på 37 %. Med mindre noget særligt gør sig gældende, må man sige, at der er meget skæv fordeling mellem fejl af første og anden art i denne situation. Kunne man ikke tillade en lidt større fejl af første art for drastisk at få reduceret fejl af anden art. Hvilken virkning ville det for eksempel have at tillade forsøgspersonen en enkelt fejlplacering ud af de ni skud, altså sætte kriteriet for at gå videre til 8 rigtige ud af 9? Øvelse 7 (obs 1 forv 1 ) + (obs 2 forv 2 ) (obs n forv n ) = obs 1 + obs obs n forv 1 forv 2... forv n = summen af de observerede summen af de forventede = 0.

38 38 Øvelse 8 2 Sådan kan data fra simuleringen se ud. Den fuldt optrukne kurve er den tilsvarende eksakte χ fordeling. Øvelse 10 2) Der er 556 planter i alt Observeret Forventet 9 16 af 556= 312, af 556= 104, af 556= 104, af 556= 34,75 2 Beregningen af χ giver 0,47. Testen har 3 frihedsgrader. Sandsynligheden for at komme op på 0,47 ved tilfældighedernes spil er 92,5%. Det er altså noget, der ofte sker, så vi må konkludere, at data og model passer sammen. 2 Man kan også sige, at sandsynligheden for at få en så lille værdi for χ er ,5 = 7,5 %, så det vil være ret sjældent at få så god en overensstemmelse mellem eksperiment og teori. I forbindelse med videnskabeligt arbejde og for den sags skyld fysikrapporter i gymnasiet vil en så god overensstemmelse mellem teori og eksperiment sommetider motivere en nærmere undersøgelse af, om en eller anden har fiflet ved de eksperimentelle data (altså snydt) for at tilfredsstille formodede krav fra omverdenen.

39 39 Øvelse 11 Observeret Forventet 41% af 24 = 9,84 43% af 24 = 10,32 7% af 24 =1,68 5% af 24 = 1,20 4% af 24 = 0,96 2 Beregningen af χ giver 1,25. Testen har 4 frihedsgrader. Sandsynligheden for at komme op på 1,25 ved tilfældighedernes spil er 89,6%, så der er intet, der tyder på, at din klasse skulle være afvigende fra de andre 9. klasser. Vi må konkludere, at data og model passer sammen.

40 40 Afsluttende undersøgelser Ingen løsningsforslag

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM FORMÅL - BEKENDTGØRELSEN STX MATEMATIK A Kompetencer anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet

Læs mere

T ALKUNNEN. Stikprøver. Stikprøver ved brug af computer Stikprøveregler Hverdagens stikprøver. INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen

T ALKUNNEN. Stikprøver. Stikprøver ved brug af computer Stikprøveregler Hverdagens stikprøver. INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen T ALKUNNEN INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram på Danmarks Lærerhøjskole Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 2 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 2 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik 1.-10. klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om

Læs mere

Kapitel 2: Statistik og Sandsynlighed

Kapitel 2: Statistik og Sandsynlighed Kapitel : Statistik og Sandsynlighed.1 Middelværdi og spredning Hvis man foretager eksperimenter i laboratoriet eller går ud og gør observationer i naturen eller samfundet, vil resultaterne af disse eksperimenter

Læs mere

12. Bevisets stilling

12. Bevisets stilling 12. Bevisets stilling Opgave 4 Hvorfor dur (x,y) = (1,-3) ikke? Det er et spørgsmål, der kan give anledning til forskellige overvejelser. Her beskrives en af dem. Vi har den mindste sum: 13 + 27 = 40,

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.

Læs mere

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS INDHOLD 2 Formål 2 LOPAKS 3 Begreber 6 Eksempler 6. december 2010 LOPAKS er nu udvidet med en ny tabel, der giver mulighed for at opgøre lønspredning på

Læs mere

Grundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres

Læs mere