MATEMATISK ANALYSE OG STATISK OPTIMERING EN LØSNINGSMANUAL
|
|
- Jacob Skaarup
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MATEMATISK ANALYSE OG STATISK OPTIMERING EN LØSNINGSMANUAL Den definitive guide til H2(mat.) kurset MASO ved Copenhagen Business School København, Forfattet af SIMON ELLERSGAARD NIELSEN Københavns Universitet Matematisk Institut 203, Første Udgave
2
3 Contents Chapter. Ugeseddel, Uge Chapter 2. Ugeseddel 2, Uge Opgave Opgave Opgave Øvelse Opgave Opgave Opgave Chapter 3. Ugeseddel 3, Uge Opgave Opgave Opgave Opgave Øvelse Opgave Chapter 4. Ugeseddel 4, Uge Opgave Opgave Øvelse Øvelse Opgave Opgave Chapter 5. Ugeseddel 5, Uge Øvelse Øvelse Øvelse Opgave Opgave Opgave Chapter 6. Ugeseddel 6, Uge Øvelse Øvelse Sydsæter
4 Sydsæter Sydsæter Sydsæter Opgave Øvelse Chapter 7. Ugeseddel 7, Uge Opgave Opgave Opgave Opgave Lidt om Kontinuitet Opgave Opgave Opgave 2, Eksamen ved HA, sommeren Chapter 8. Ugeseddel 8, Uge Opgave Opgave Opgave Sydsæter Sydsæter Opgave Chapter 9. Ugeseddel 9, Uge Sydsæter Sydsæter Sydsæter Opgave Sydsæter Sydsæter Opgave,Eksamen Sommer Chapter 0. Ugeseddel 0, Uge Sydsæter Sydsæter Sydsæter Sydsæter Vinter 07/08 Opgave Opgave Chapter. Ugeseddel, Uge Sydsæter Sydsæter Opgave Opgave Opgave Eksamen Sommer 2007 Opgave
5 Chapter 2. Ugeseddel 2, Uge Opgave Opgave Opgave Opgave Sydsæter Eksamen Sommer 2007 Opgave Chapter 3. Ugeseddel 3, Uge Opgave Opgave Opgave Opgave Eksamen Vinter 0/02, Opgave
6
7 Indledning Følgende løsningsmanual er skrevet i forbindelse med mit virke som TA i Matematisk Analyse og Statisk Optimering ved Copenhagen Business School, efteråret 203. De associerede spørgsmål kan findes på Jesper Michael Møllers hjemmeside: math.ku.dk/~moller/undervisning/maso200/maso203.html. Om manualens pålidelighed konstateres følgende: idet løsningerne er produktet af en enkelt mands arbejde (tilmed en non-matematiker), vil der utvivlsomt forekomme fejl, slåfejl og upræcise vendinger i teksten. Disse rudimenter kan rapporteres til forfatteren via s_ellersgaard@yahoo.com. Så vidt muligt vil nyeste version af manualen være at finde på 7
8
9 CHAPTER Ugeseddel, Uge 36 Der er ingen opgaver i denne uge. Til gengæld en emneoversigt, som omtrent linker hver ugeseddel med et fagligt område samt relevant tekstbogmateriale. Uge Emne Afsnit i lærebog 37 De reelle tal, max og min, sup og inf, Kontinuerte funktioner, Følger GG GG 2 38 Rækker GG 3 (til og med p. 26) 39 Konvergenskriterier for rækker GG 3 (resten) 40 Komplekse tal GG 4 springes over, GG 5 (til p. 42 midt) 4 Topologi i euklidiske rum, Åbne, afsluttede og kompakte mængder, Kontinuitet Sydsæter 7. (ikke lim inf og lim sup) 42 Følger i euklidiske rum, Ekstremværdisætningen, Kontinuitet af ekstremværdifunktion Sydsæter 7.2 (ikke Sætning 7.2.9) 43 N/A N/A 44 Differentiable funktioner, Kædereglen, Lineær approximation, Invers Funktion Sætning Sydsæter 4., Sydsæter 5., Sydsæter Implicit Funktion Sætning Sydsæter Ikke-lineær optimering, Lagrange Sætning, Karush-Kuhn-Tucker Sætning Sydsæter 8.7, Sydsæter Karush-Kuhn-Tucker betingelser, Modeller i matematisk økonomi, Lineær optimering, Kanoniske programmer, Basisløsninger Sydsæter 8.9, Fuglede,2 48 Generelle lineære programmer, Det duale program, Den svage Dualititetssætning Fuglede 3 Fuglede 4 49 Program på standardform, Farkas alternativ, Den stærke Dualititetssætning Fuglede 5 Fuglede 6 50 Repetition N/A 9
10
11 CHAPTER 2 Ugeseddel 2, Uge 37 Opgave Definition. Lad M være en mænde af reelle tal. Vi definerer sup M som det mindste reelle tal, som er større end eller lig med ethvert tal i M. Definition 2. Lad M være en mænde af reelle tal. Vi definerer inf M som det største reelle tal, som er mindre end eller lig med ethvert tal i M. Mængde A. For A = {x R x 2 < 2} ses det let at uligheden kun er opfyldt, dersom x ligger i mængden ( 2, 2). Således er sup A = 2. inf A = 2. A har imidlertid intet maximum, idet vi for ethvert tal a A kan finde et tal, som er større (husk på, at maximum af en mængde er et element af mængden, mens dette ikke nødvendigvis gør sig gældende for supremum). A har ej heller et minimum, idet vi for ethvert tal a A kan finde et tal, som er mindre (husk minimum af en mængde skal være et element af mængden). Mængde B. For B = {x R x > 0, x + /x < 3} kan vi skrive den sidste ulighed som () x 2 3x + < 0 idet x > 0. Vestresiden er en smilende ( (konveks) kvadratisk function. Hvis x skal opfylde 3 (), kræves det derfor at x ) 5 2, Derfor er sup B = inf B = Igen har B hverken et maksimum eller et minimum. Kommentar. Når man løser disse opgaver, er det en god idé, at tegne funktionerne som i opgavesættet. Opgave 2 Definition 3. En talfølge {x n } i R siges at konvergere mod a når n, dersom ɛ R + N N : x n a < ɛ for alle n > N.
12 Del I. Udsagnet ( lim 3 2 ) = 3 n n er identisk med ɛ R + N N : 2 n < ɛ for alle n > N. Dette udsagn er sandt. Ligegyldigt hvilket positivt ɛ vi vælger skal vi blot sætte N 2/ɛ for at uligheden holder. Er ɛ eksempelvis 0,000 sæt da N = og så fremdeles. Del II. Udsagnet ( ) 2 sin(n) lim = 0 n n er identisk med ɛ R + N N : 2 sin(n) n < ɛ for alle n > N. Som det bemærkes er sin(x), x R. Derfor kan vi konkludere, at ligegyldigt hvilket ɛ vi vælger kan det maksimalt være tilfældet, at vi skal sætte N 2/ɛ for at uligheden holder. Dette kan naturligvis altid lade sig gøre. Opgave 3 Kommentar 2. Benyt regnereglerne fra sætning 2.7. Endvidere, fra eksempel 2.9 har vi at /n a 0 når a > 0. Divider igennem med n 4 : Vi har 8n 4 + 2n lim n 3n 4 7 = lim n 3 n 3 7 n 4 lim ( n n ) = 8 + lim 3 n n = 8 3 og lim (3 7 n n ) = 3 lim 4 Så fra sætning 2.7 (vi) kan vi konkludere at Divider igennem med n 3 : Vi har lim n n 8n 4 + 2n lim n 3n 4 7 = n 2 4 2n = lim n 7 n 4 = 3 3 n 4 n n 3 lim ( 3 n n 4 3 n ) = lim 3 n n lim 4 n n = 0 0 = 0 3 og lim ( n n ) = 2 + lim 3 Igen følger det fra sætning 2.7 at lim n n 3n 2 4 2n = n 3 = 2.
13 I sidste opgave bemærker vi, at nævneren er af lavere grad end tælleren. For at undgå at den omskrevne nævner konvergerer mod nul, dividerer vi derfor kun igennem med n: 5n 3 + 2n 3 5n n lim = lim n 7n 4 n 7 4 n Tydeligvis går nævneren mod 7 og tælleren mod det uendelige når n. Så Ansku formlen 5n 3 + 2n 3 lim =. n 7n 4 Øvelse 2.2 ( (2) K n (m) = K(0) + n) r m n. Fortolkningen er som følger: vi sætter K(0) kr. i banken på tidspunkt 0. Rentefoden i banken er r per årlig bases. Der er n terminer i løbet af året, dvs. rentefoden per termin er derfor r/n. I en rentes rente beregning følger det, at vi efter én termin har K(0)( + r n ) kr., efter to terminer har K(0)( + r n )2,... og efter det første år (n terminer) har K(0)( + r n )n kr. Lader vi dette passere i m år, har vi ergo K n (m) kr., hvor K n (m) er givet i udtryk (2). Betragt nu hvad der sker når antallet af årlige terminer går mod det uendelige: n. Dette kan omskrives som K (m) = lim ( K(0) + r ) m n n n { [( (3) K (m) = K(0) lim + r ) n ] m }. n n ( Fra eksempel 2..2 ved vi allerede at lim n + r n n) = e r. Imidlertid er (3) en funktion af denne serie: { K (m) = K(0) lim f ( ( + r n n )n)}, hvor f(x) = x m. Dette ville derfor være rart, hvis vi kunne retfærdiggøre at flytte grænseværdien indenfor funktionen: lim f(...) = f(lim...). Dette kan heldigvis gøres via sætning 2.0: Theorem. Lad x, x 2,..., x n a være en konvergent følge i R k, hvor følgens elementer samt grænsepunktet a er elementer i A R k. Hvis f : A R m er en funktion, som er kontinuert i a da gælder det at f(x ), f(x 2 ),..., f(x n ) f(a). Funktionen f(x) = x m er naturligvis kontinuert i x. Derfor følger det, at K (m) = K 0 (e r ) m = K 0 e rm. 3
14 Ihukom n a /b n 0 når a > 0, b >. Opgave 4 lim n 5n 4 + 2n lim n e n 7 ( 5 n4 lim n = lim 5 n4 e + 2 n n e n n 7 e n n 4 e + 2 lim n ) e + 2 n n e = 5 lim n n ( ) 7 e = 7 lim n n Så fra sætning 2.7: 5n 4 + 2n lim n e n 7 = 0. Vi benytter resultatet log(n)/n a 0 når a > 0. idet lim n (ln n) n 5/4 lim n n 5 (ln n) 4 + 6n 5 = lim n ) ( lim (ln n) 4 n n n e n =. (ln n) 4 n e n = 0 n + 6 ( ) 5 4 = lim (ln n) n n + 6 = 6 5/4 = 0 og f(x) = x 4 er kontinuert i x. Således følger det, at lim n n 5 (ln n) 4 + 6n 5 = 6. Opgave 5 (a) Lad a n = n og b 2 n = an n da er b n = n 0 når n. (b) Lad a n = n og b n = n da er an 2 b n = n når n. (c) Lad a n = 2 n + n og b 2 n = an n da er b n = 2 + n 2 når n. Opgave 6 Der gives et stort vink, idet det fastslås at n N : 0 n!/n n /n. Vi ved fra eksempel 2.9 at lim n /n a n! = 0 når a > 0 (eksempelvis a = ). Ergo, lim n n = 0 n thi 0 lim n n!/n n 0 (sandwichsætningen). lim n n (ln n) 2 n = lim n ( lim n + 3 n n) = lim lim n m + 3 lim n ( ) 2 ln n n = n + 3 n ( ) 2 ln n n n n =. jf. eksempel 2.9 (iii) og det faktum at f(x) = x 2 er kontinuert i x. Derfor lim n n (ln n) 2 n =. 4
15 CHAPTER 3 Ugeseddel 3, Uge 38 Theorem 2. Induktion Når vi skal bevise matematiske udsagn af formen n N d : ϕ(n), hvor ϕ er et givent prædikat og N d = {d, d +, d + 2,...} N 0, er det oplagt at anvende matematisk induktion. Bevisalgoritmen består af disse trin: () Basisskridt: I basisskridtet beviser man at udsagnet er sandt ved det mindste tal i mængden (vi benævner dette tal d): ϕ(d). (2) Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser man, at hvis udsagnet gælder for et vilkårligt k (induktionsantagelsen), ϕ(k), så gælder det også for k +, ϕ(k + ). (3) Konklusion: Deraf følger det, at ϕ(n) gælder for alle n N d. Thi ϕ(d), ϕ(d) ϕ(d + ), ergo ϕ(d + ), ϕ(d + ) ϕ(d + 2), ergo ϕ(d + 2) og så fremdeles. Mere kortfattet (og formelt) kan vi formulere matematisk induktion som et axiom i et andenordenslogisk sprog: ϕ [[ϕ(d) & k N d [ϕ(k) ϕ(k + )]] n N d [ϕ(n)]]. Typiske eksempler hvor matematisk induktion er velegnet inkluderer n N 0 : n i=0 i = 2n(n + ). n N 4 : n! > 2 n. Opgave 7 Lad følgen {a n } n N0 være givet ved a 0 = 0 og n N : a n = 2 a n +. (a) Udsagnet a n [0, 2] for alle n N 0 er oplagt at eftervise via induktion () Basisskridt: For n = 0 er a 0 = 0 per definition. Ergo er a 0 [0, 2] sandt. (2) Induktionsskridt: Antag nu at udsagnet holder for et vilkårligt k: a k [0, 2] (induktionsantagesen). Vi ønsker at bevise at a k [0, 2] a k+ [0, 2]. Dette gøres som følger: a k+ = 2 a k + per definition. Fra induktionsantagelsen ved vi, at a k [0, 2], hvorfor a k+ som minimum er = og som maksimum er = 2. Dette fuldender induktionsskridtet. (3) Konklusion: Idet a 0 [0, 2] og a k [0, 2] a k+ [0, 2] konkluderer vi, at a n [0, 2] for alle n N 0. 5
16 For at vise at følgen er monotont voksende, skal vi bevise at a n a n+ for alle n N 0. For n = 0 : a 0 = 0 a =. For n N : a n a n+ a n 2 a n + 2a n a n + 2 a n 2 Sidstnævnte udtryk er sandt for all n N (jf. a n [0, 2]). Ergo er følgen monotont voksende. (b) Talgølgen er konvergent, da den er opad begrænset n N 0 : a n 2 (se F side 22). Grænseværdien findes som følger. Tydeligvis, hvis lim n a n = α da er lim n a n = α. Ydermere, idet funktionen f(x) = ( 2x + er kontinuert, specielt i α, implicerer sætning 2.0 at lim n a n = lim n 2 a n + ) kan skrives som α = 2 α + dvs. α = 2. Opgave 8 Theorem 3. Kvotientrækken s = a + aq + aq 2 + aq konvergerer for q < til s = aq j = a q. j=0 Når q er kvotientrækken divergent. (a) Kvotienten er q = 3 så rækken er konvergent. Initialelementet er a =. Derfor er summen s = + = (b) Kvotienten er q = 7 så rækken er konvergent. Initialelementet er a = 4. Derfor er summen s = 4 = (c) Kvotienten er q = 6 så rækken er konvergent. Initialelementet er a = 4. Derfor er summen s = Opgave 9 = Igen: dersom en kvotientrække er konvergent, gør det sig gældende, at q <. (a) q = x, så vi kræver x < x < x (, ). a = så s = /( + x). (b) q = x 2, så vi kræver x 2 < x 2 < x (, ). a = så s = /( x 2 ). (c) q = x, så vi kræver x < < x < 2 > x > 0 x (0, 2). a = så s = /x. 6
17 (d) q = 3/ x, så vi kræver 3/ x < 3/ x < 3 < x 9 < x. a = /x så s = /(x + 3 x). Opgave 0 Sætning 3.3 proklamerer, at en nødvendig (men ej tilstrækkelig) betingelse for, at rækken n= a n er konvergent, er, at a n 0 når n. Herfra kan vi straks konkludere, at (a), (b) og (c) er divergente, idet leddene konvergerer til henholdsvis, og e (jf. definitionen af Euler s konstant). For opgave (d) ser vi at lim n+7 n 2n = 0, så hér må vi tænke lidt mere kreativt for at påvise divergens. Sammenligningskriteriet er et oplagt alternativ! n + 7 n n 2n > 2n > 2n = 2 n Serien n= / n er divergent, så det er halvdelen af den også. Vores serie er altså større end en divergent serie, hvorfor den i sig selv må være divergent. Del I Vi skal vise, at S = n= er konvergent. Bemærk at for n 2 Fra eksempel 3.4 ved vi, at Øvelse 3.2 2n 2 n = + 2n 2 n n=2 2n 2 n < 2n 2 2n = 2n(n ) n=2 n(n ) konvergerer. Sætning 3.6 fortæller os ydermere, at konvergens er uforandret når vi multipicerer med en konstant λ R. Derfor kan vi fra sammenligningskriteriet konkludere, at S konvergerer. Del II Vi skal vise, at divergerer. Det gælder, at for n Naturligvis er serien S = n= n + n n + n n + n = 2n. 2 n n= divergent, så sammenligningskriteriet garanterer, at S er divergent. 7 n
18 Opgave Opgaven minder meget om opgave 7. Lad {a n } n N være gived ved a = 3 og a n+ = 3an 2. (i) Udsagnet a n [2, 3] for alle n N er oplagt at eftervise via induktion () Basisskridt: For n = er a = 3 per definition. Ergo er a [2, 3] sandt. (2) Induktionsskridt: Antag nu at udsagnet holder for et vilkårligt k: a k [2, 3] (induktionsantagesen). Vi ønsker at bevise, at a k [2, 3] a k+ [2, 3]. Dette gøres som følger: a k+ = 3a k 2 per definition. Fra induktionsantagelsen ved vi, at a k [2, 3], hvorfor a k+ som minimum er = 2 og som maksimum er = 7. Dette fuldender induktionsskridtet. (3) Konklusion: Idet a [2, 3] og a k [2, 3] a k+ [2, 3] konkluderer vi, at a n [2, 3] for alle n N. For at vise at følgen er monotont aftagende skal vi bevise at a n a n+ for alle n N. For n = : a = 3 a 2 = = 7. For n N 2 : a n a n+ a n 3a n 2 a 2 n 3a n {a n } {a n 2} Sidstnævnte udtryk er sandt for all n N (jf. a n [2, 3]). Ergo er følgen monotont aftagende. (ii) Talgølgen er konvergent, da den er nedad begrænset n N : a n 2 (se F side 22). Grænseværdien findes som følger. Tydeligvis, hvis lim n a n = α da er lim n a n = α. Ydermere, idet funktionen f(x) = 3x 2 er kontinuert, specielt i α, implicerer sætning 2.0 at lim n a n = lim n 3an 2 kan skrives som α = 3α 2 dvs. α = 2. Men da a n 2 må det gælde, at grænseværdien er 2. 8
19 CHAPTER 4 Ugeseddel 4, Uge 39 (a) Opgave 2 Idet n= n (b) 7n n 3 2 > 7n2 4n 3 2 > 7n2 4n 3 = 7 4 n. divergerer, implicerer sammenligningskriteriet, at serie (a) divergerer. 2n 7 4n < 2n 4n < 2n 4n 3 = 2 Idet n= n 2 konvergerer, implicerer sammenligningskriteriet, at serie (a) konvergerer. (c) Der gives følgende vink: sin x 2 π x for x [0, π 2 ]. Dette er klart fra følgende graf: n 2. Talserien {, 2, 3,...} [0, π 2 ]. Derfor har vi, at n N Idet n= n sin n 2 π n. divergerer, implicerer sammenligningskriteriet, at serie (c) divergerer. Opgave 3 Grænse-kvotientkriteriet dikterer, at hvis a n+ /a n q for n, så er n= a n konvergent hvis q <, men divergent hvis q >. Når q = kan alt ske. 9
20 (a) n + 3 n+ 3n n = n + 3n = 3 Så serien konvergerer da q <. (b) ( + ), når n. n 3 3 n+ n0 (n + ) 0 3 n = 3 n 0 (n + ) 0 = 3 n 0 n 0 + 0n = n n 0 3, når n. Så serien divergerer da q >. (c) Husk n! = n(n )(n 2)... og (n!) 2 = n!n!. Derfor er (n + )! = (n + )n! og (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + )(2n)!. ((n + )!) 2 (2n + 2)! (2n)! (n!) 2 = (n + ) 2 (2n + )(2n + 2) = n2 + 2n + 4n 2 + 6n + 2 = + 2 n + n n + 2, når n. 4 n 2 Så serien konvergerer da q <. Konvergens/divergens af n=2 I = 2 t(ln(t)) a dt = n(ln n) a Øvelse 3.4 [ ln(t) a kan deduceres via konvergens/divergens af a ] 2 = { a ln(2) a} a Når a < går I (første led er af formen k hvor k > 0). Hvis a > er I konvergent (første led er af formen / k hvor k > 0). Når a = er det relevante integral 2 n(ln n) = [ln(ln(n))] 2 = dvs. vores sum divergerer. Øvelse 3.5 Vi benytter igen grænse-kvotientkriteriet: a n+ /a n q, hvor q < for konvergens og q > for divergens. (n + )! nn (n + ) n+ n! = (n + ) n n ( ) n n (n + ) n+ = = n + ( + n ) n e hvor vi har brugt definitionen af e i det sidste trin. Siden q < er serien konvergent. Når vi betragter den samme serie med faktor 2 n går grænse-kvotienten naturligvis mod 2/e (konvergens), medens en faktor på 3 n giver en grænse-kvotient på 3/e (divergens). Opgave 4 (a) 0,23 er det samme som ,00023 er det samme som og 0, er det samme som n. Således har vi 0, = 0, , , = = 000 n n= 20 }{{} 3n 3
21 (b) Summen af en uendelig kvotientrække er s = a/( r), hvor a er første led og r er kvotienten. (c) (a) Serien s = = = , = = = = = = Opgave 5 n=0 x n n! = + x + x2 2! + x3 3! +... konvergerer x R, idet grænse-kvotientkriteriet giver a n+ = xn+ a n (n + )! n! x n = x n + x 0 = 0 når n. Grænseværdien er derfor klart <, som det kræves for konvergens. (b) Serien n= x n n = x + x2 2 + x Igen ses dette bedst ved grænse- er konvergent for x [0, [ og divergent for x. kvotientkriteriet: ( ) a n+ = xn+ a n n + n n + x n = x x = ( ) n + x n når n. Konvergens er defor klar for x <. Endvidere er divergens klar for x >. Det specielle tilfælde x = må undersøges separat: vi får n= n, som er en etableret divergent serie. 2
22
23 CHAPTER 5 Ugeseddel 5, Uge 40 Øvelse 5. Argand diagrammer Lad z C da repræsenterer z afstanden fra punktet z i det komplekse p plan til origo. Mere konkret, da z har den generelle form x + iy, da er z = x2 + y 2. arg z m aler, per konvention, vinklen (fra den positive x-akse [dvs. den reelle akse]) mod uret hen til zs afstandsvektor. Speciel bemærkning ang. (a): opgaven specificerer z Z s a i givet fald skal man markere tallene og p a en tallinje. Men: idet vi beskæftiger os med komplekse tal, burde der m aske st a z C i stedet, hvilket er illustreret i ovenst aende graf. Figure. 23
24 Øvelse 5.3 (a) Mængden A 4 = {+,, +i, i} danner en cycklisk gruppe under multiplikation,, med generator element i. + +i i + + +i i + i +i +i +i i + i i +i + Heraf følger det, at i = i 5 = i 9 =... = i +4n =... og (relevant for vores tilfælde) at i 8 =. (b) ( + 2i) ( + i)( + i8 ) = ( + 2i) 2 + ( + i) = ( + 4i 4) + ( + i) = 2 + 5i (d) Første brøk: Anden brøk: i 5( i 5) ( i)( 2 + 2i) = (i 5 + 5) ( + i 5i 5) = (6 + 5) + i(2 5 ) F = 6 + 7i (6 + 7i)( 3 7i) 8 42i 2i + 49 = = = 7i 3 (7i 3)( 3 7i) i. 58 F 2 = 2 + 5i (2 + 5i)(3 7i) 6 4i + 5i + 35 = = = 4 + i 3 + 7i (3 + 7i)(3 7i) Sidste brøk: 30 23i F 3 =. 58 Vi betragter F F 2 + F 3 (bemærk, at der er tale of MINUS F 2!): F F 2 + F 3 = 20 87i 58 Øvelse 5.4 = i. (a) z = 4 4i. Modulus: z = ( 4) 2 + ( 4) 2 = 32 = 4 2. z ligger i tredie kvadrant. arg z = π + tan ( 4 4 ) = π + π 4 = 5π 4. (d) z = 3 + 3i. Modulus: z = = 2 = 2 3. z ligger i første kvadrant. arg z = tan ( 3 3 ) = tan ( 3 ) = π 6. (e) z = 4/( + i) kan omskrives til z = 2 2i. Modulus: z = ( 2) 2 = 8 = 2 2. z ligger i fjerde kvadrant. arg z = 2π + tan ( 2 2 ) = 2π π 4 = 7π 4. 24
25 (a) (b) Opgave 6 ( + i)z + 3 = i ( + i)z = 2 i z = 2 i ( 2 i)( i) = + i ( + i)( i) 2 + 2i i = = i 2. z 2 z + = 3i z 2 = (3i)z + 3i z( 3i) = 2 + 3i z = 2 + 3i (2 + 3i)( + 3i) = 3i ( 3i)( + 3i) 2 + 6i + 3i 9 = = i. Opgave 7 Ligning (I): z + w = 2i. Ligning (II): z w = 3 + i. (I)+(II): 2z = 3 + 3i z =.5 +.5i. Endvidere, (I)-(II): 2w = 3 + i w = i. Opgave 8 (a) Brug grænse-kvotientkriteriet! Konvergens følger dersom a n+ /a n q hvor q < når n. a n+ a n = 2 ( (n + )2 (n+) = + ) ( 2 2n = + ) n2 n2 n n 2 ( ) n = 0 4 når n. Dette demonstrerer, at n= er konvergent. n2 n2 (b) For n N gælder det at sin ( ) n n. En måde at se dette på kunne være at kigge på funktionerne f(x) = sin x og g(x) = x for intervallet [0, ]. f(0) = g(0) og f og g har samme hældning kun i punktet x = 0. Især gælder det, at f(x) har sin maksimale hældning i netop dette punkt. Så sin x x x [0, ]. Se Figure i opgavesættet. Ihukom nu, at n= n er konvergent. Idet sin 3 ( ) 3 n n implicerer sammenligningskriteriet således, at ( 3 n= sin3 n) er konvergent. 25
26
27 CHAPTER 6 Ugeseddel 6, Uge 4 Øvelse 5.8 (a) z 2 = 4 z = ± 4 = ±2i. (b) z 2 + 2z + 0 = 0 er en andengradsligning med løsning z = 2 ± = 2 ± 36 2 ± 6i = = ± 3i (c) z 3 = i. Omskriv i som exp{i( π 2 + 2πn)}, hvor n Z. Da er { ( π z = exp i 6 + 2π )} 3 n. I de tre distinkte tilfælde n {, 0, } får vi således { z = exp i π } { z = exp i π } z = exp 2 6 { i 5π 6 Fra identiteten exp{ix} cos x + i sin x fås da 3 3 z = i z = 2 + i 2 z = 2 + i 2. Øvelse 5.4 Ved inspektion har z 3 + z 2 + z + = 0 tydeligvis (mindst) een reel rod, nemlig z =. Resten fås ved faktorisering (divider z 3 + z 2 + z + med z + ), hvorfra det følger at z 3 + z 2 + z + = 0 kan skrives som (z + )(z 2 + ) = 0 (z + )(z i)(z + i) = 0. De tre løsninger er altså z =, z = i og z = i. Sydsæter 7.. }. Definition 4. Ihukom () Punkt a S, hvor S er en delmængde af R n, er et indre punkt i S, dersom der eksisterer et tal r > 0, således at n-kuglen B(a, r) S. (2) En mængde S er åben dersom alle punkter i S er indre punkter i S. (3) Punkt x 0 R n er et randpunkt for mængden S, dersom enhver n-kugle med centrum x 0, B(x 0, r), indeholder mindst eet punkt som ligger i S og mindst eet punkt, som ikke ligger i S. (4) En mængde S kaldes lukket, dersom den indeholder alle sine randpunkter. Ækvivalent kan vi sige, at S er lukket, dersom komplementærmængden er åben. 27
28 (5) En mængde S kaldes begrænset, dersom der eksisterer et tal m, således at x m for alle x i S. Fortolk x som afstanden mellem x og origo 0. En mængde som ikke er begrænset er naturligvis ubegrænset. (6) En kompakt mængde S er en mængde som er både lukket og begrænset. Ved brug af disse definitioner ser vi, at (i) S er åben og begrænset, (ii) S 2 er lukket og begrænset (kompakt), (iii) S 3 er lukket og ubegrænset, (iv) S 4 er begrænset, men hverken lukket eller åben, (v) S 5 er åben og ubegrænset. Sydsæter 7..3 Mængden er lukket (jf. ) og ubegrænset (vilkårligt store tal ligger i mængden). Sydsæter 7..6 Del : åbne mængder. Lad S og T være åbne mængder in R n. Ansku nu et vilkårligt element x A T. Det må gælde, at x ligger i (mindst) en af mængderne S og T. Uden tab af generalitet, antag at x S. Da findes der en kugle med centrum x og radius r > 0 således at B(x, r) S. Og fra definitionen af union, B(x, r) S T. Dvs. S T er også en åben mængde. Antag nu at x S T i stedet. Hvis S T = er S T trivielt åben. Hvis S T så eksisterer der et x S T. Siden S og T er åbne, findes der positive tal, r S og r T, således at B(x, r S ) S og B(x, r T ) T. Definer nu r = min{r S, r T } og du kan være sikker på, at B(x, r) S T. Dvs. S T er en åben mængde. Del 2: lukkede mængder. Brug del : Hvis S og T er lukkede mængder, så er R n \S og R n \T åbne {R n \S} {R n \T } er åben og {R n \S} {R n \T } er åben. Fra De Morgans lov kan vi således konstatere, at hhv. R n \{S T } og R n \{S T } er åbne. Deraf følger det S T er lukket og S T er lukket. Lad A være den komplementære mængde til A (dvs. ikke A ), da siger De Morgans lov at A B = (A B) samt A B = (A B). 28
29 Sydsæter 7..7 (a) Lad A i være åbne mængder i I = {, 2,..., n}. Dersom x i I A i, så findes der en mængde A i, for et givent i, således at x A i. Men A i er åben, så der findes en kugle med radius > 0 sådan at B(x, r) A i. Fra definitionen af union gælder det derfor at B(x, r) i I A i, hvorfor i I A i er åben. (b) Lad A i være lukkede mængder i I. Da er R n \A i åbne mængder og (fra (a)) i I {R n \A i } er en åben mængde. De Morgans lov bebuder at i I {R n \A i } R n \{ i I A i }. Så R n \{ i I A i } er åben, hvorfor i I A i er lukket. (c)(i) Lad A i være åbne mængder i I. Hvis i I A i = er intersektionen trivielt åben. Hvis dette ikke er tilfældet, findes der et x i I A i. Idet hver A i er åben, har vi B(x, r i ) A i for et givent r i for alle i I. Og da der kun er endeligt mange mængder, giver det mening at definere r = min{r, r 2,..., r n }, hvorfra vi kan være sikre på at B(x, r) i I A i. Dvs. i I A i er åben. (c)(ii) Bevisesteknik som i (b). Brug (c)(i) og De Morgans lov. Opgave 9 A er begrænset, så der findes et tal m således at x m for alle x A. Ethvert åbent interval om sup A indeholder et element fra A, da sup A er det mindste overtal. Ydermere indeholder det et element udenfor A, da sup A er et overtal. Altså ligger sup A i afslutningen af A. Ligeledes bevises inf udsagnet. Vi kan skrive ligningerne Øvelse 5.6 (3 + i)x + ( 2i)y = (2 + i)x + ( i)y = i i matrix form Ax = b: ( ) ( ) ( ) 3 + i 2i x =. 2 + i i y i Brug nu formlen for 2 2 matrix inversion: ( ) x = ( ) ( ) i + 2i y deta 2 i 3 + i i hvor deta = (3 + i)( i) (2 + i)( 2i) = i. Ved at bruge reglen for division af komplekse tal får vi ( ) ( ) ( ) ( ) x i 2 + i 2 + i = =. y + 2i 3i i 2 + 3i Dvs. x = 2 + i og y = 2 + 3i. 29
30
31 CHAPTER 7 Ugeseddel 7, Uge 43 Opgave 7.2. Definition 5. En følge {x k } in R n konvergerer mod punktet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x k x < ɛ for alle k N. Her definerer vi (4) x k x 2 = x () k x () x (n) k x (n) 2, hvor x (j) k er det jde komponent af x k, medens x (j) er det jde komponent af x. Theorem 4. At bevise konvergensen af {x k } til x er det samme som at bevise konvergensen af hver af komponenterne. Se Sydsæter opg (a) Lad x k = ( k, + ) () k. Følgen konvergerer mod x = (0, ) thi x k = k 0 og x (2) k = + k. Et formelt bevis udføres som i ugeseddel 2. (b) Idet x (2) k = ( ) + k ( k e når k (se GG Eksempel 2.) gælder det, at xk = + k, ( ) ) + k k konvergerer mod x = (, e). (c) Følgen x k = ( k, + 3 k indeks k så går x () k ) () konvergerer ikke, thi følgen x k ). (d) Ved at skrive x () k = k+2 3k som x() k = 3 Ydermere, idet k : ( ) k {, } gælder det, at x (2) Altså konvergerer x k = ( k+2 3k, ( )k 2k ) = k konvergerer ikke (når ( ) + 2 () k ser man, at x k 3 mod x = ( 3, 0). k når k. = ( )k 2k 0 når k. Opgave Lad f : R n R m være en vilkårlig transformation. (a) Lad U være en universel mængde og A U. Vi definerer A som komplementærmængden til A dvs. A = U\A. Antag at x [f (T )], da kan vi ækvivalent sige at x f (T ) f(x) T f(x) T x f (T ), hvorfor [f (T )] = f (T ). 3
32 (b) Lad x f (A B). Da kan vi ækvivalent skrive f(x) A B f(x) A og f(x) B x f (A) og x f (B) x f (A) f (B). Altså er f (A B) = f (A) f (B). (c) Lad x f (A B). Da kan vi ækvivalent skrive f(x) A B f(x) A eller f(x) B x f (A) eller x f (B) x f (A) f (B). Altså er f (A B) = f (A) f (B). Opgave Lad f : R n R m være en vilkårlig transformation. (a) Vi skal vise at (i) f(a B) f(a) f(b) og ligeledes (ii) f(a B) f(a) f(b). Betragt første del: antag at y f(a B) da findes der et x A B således at y = f(x). Idet x A B gælder det, at x A eller x B. Hvis x A da er y f(a). Hvis x B da er y f(b). Dvs. under alle omstændigheder er y f(a) f(b). Således har vi bevist at y f(a B) y f(a) f(b), hvilket svarer til del (i). For at bevise del (ii) antager vi, at y f(a) f(b). Dvs. y f(a) eller y f(b). Hvis førstnævnte, da eksisterer der et x A således at y = f(x). Hvis sidstnævnte, da findes der et x B således at y = f(x). Dvs. det krævne x med egenskaben y = f(x) ligger i A B, hvorfor y f(a B). (b) Vi skal vise at f(a B) f(a) f(b). Antag at y f(a B), da findes der et x A B således at y = f(x). Det gælder altså, at x A samt x B. Således er y f(a) og y f(b), hvorfor y f(a) f(b). Vi har altså vist at y f(a B) y f(a) f(b). BEMÆRK: her gælder det omvendte udsagn (converse statement) ikke, dvs. det er falskt at f(a B) f(a) f(b). Bevis: betragt f(x) = cos x og lad A = [ π 2, π] og B = [ π, π 2 ]. Da er A B = [ π 2, π 2 ] og cos(a B) [0, ]. Imidlertid er cos A [, ] og cos B [, ] så cos A cos B [, ]. Ergo: cos(a B) cos(a) cos(b). Antag S og T er delmængder af R n. Opgave 7..3 (a) Sandt. Mængden S er lukket dersom den indeholder alle sine randpunkter, S. Vi definerer tillukningen af (en vilkårlig mængde) S som mængden selv samt alle associerede randpunkter: S = S S. Det gælder åbenlyst at S er lukket hvis og kun hvis S = S. (b) Sandt. Det indre af mængden S betegnes med S. S beskriver alle punkter i S omkring hvilke man kan tegne en n-kugle med radius > 0, men hvor n-kuglen stading er en delmængde af S. Endvidere siger vi, at S er åben, dersom alle punkterne i S er indre punkter i S. Det gælder altså at S er åben hvis og kun hvis S = S. (c) Falskt. Antag at S er en åben mængde: dvs. at omkring ethvert punkt x S eksisterer der et r > 0 således at B(x, r) S. Imidlertid har enhver n-kugle om et 32
33 vilkårligt punkt i S både elementer i S og udenfor S. Så generelt gælder det at S S. (d) Sandt. Antag at S er åben og T vilkårlig (åben, lukket eller ingen af delene). Det gælder at S T S T. Lad x S T. Tilstrækkelig små åbne kugler om x indeholder punkter fra S T : Lad nemlig R > 0 være sådan at B(x, R) S. Enhver kugle om x med radius < R indholder et punkt fra T og det punkt ligger også i S. Lidt om Kontinuitet Theorem 5. Lad f : A R hvor A R n og antag at a A. Da siger vi at f er kontinuert i a, hvis der for alle ɛ > 0 eksisterer et δ > 0 således at x a < δ og x A f(x) f(a) < ɛ. En funktion f : A R n er kontinuert i en mængde B A, hvis den er kontinuert i alle punkter i B, og kontinuert hvis den er kontinuert i alle punkter i domænet A. Mere intuitivt kan vi sige, at er f kontinert i a dersom følgende gælder: for at alle f(x) værdier forbliver i et lille nabolag omkring f(a), så skal vi simpelthen bare vælge en region lille nok for x værdier omkring a - og dette kan lade sig gøre uanset hvor lille f(x) nabolaget er. Egenskaber. Det er oppertunt at bruge notationen lim f(x) = f(a) x a for kontinuitet i a (når græsen eksisterer). Det gælder, at Liniaritet : lim x a cf(x) = c lim x a f(x), hvor c er en konstant. Linearitet 2: lim x a (f(x) + g(x)) = lim x a f(x) + lim x a g(x). Produktfunktioner: lim x a f(x)g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x). Kvotientfunktioner: lim x a f(x)/g(x) = lim x a f(x)/ lim x a g(x) dersom nævneren er ulig nul. Opgave 20 Vi skal vise at funktionen f : R R givet ved f(x) = x 3 e x + x 5 x 2 antager både en maksimumværdi og en minimumværdi i mængden S = [ 2, 0] [, 2]. Vi bemærker følgende: S er en kompakt region - dvs. den er både lukket (intervallerne er lukkede) og begrænset (alle x S har egenskaben x 2). f er kontinert i S. Godt nok er nævneren i brøken 0 når x = 5, men 5 / S. En mere systematisk redegørelse kan foretages ved at vise, at f (x) = x 3, f 2 (x) = e x, f 3 (x) = ( + x) og f 4 (x) = 5 x 2 alle er kontinuerte i S og dernæst bruge ovenstående egenskaber. 33
34 (a) Mængden S som udgør vores domæne. (b) Fladerne z + y + z = og 2 + (x + y) 2 z 2 = 0. Figure. (a) Den gråskalerede pyramide med hjørnerne (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0) og (0, 0, ) udgør regionen S. S er defineret som alle koordinater i R 3 som opfylder x 0, y 0 og z 0 samt 0 x + y + z. x + y + z = d er ligningen for et plan med normalvektor (,, )/ 3 og afstand d/ 3 mellem planet og origo. Bemærk at S er lukket (alle pyramidens flader er inkluderet) og begrænset (alle afstande mellem punkter i S og origo er ). Altså er S kompakt. (b) Nævneren i funktion f er ej nul i domænet S. Plotter vi fladen 2 + (x + y) 2 z 2 = 0 ligger den tydeligvis over S. Ud fra dette, kan vi nøjes med at referere til ekstremværdisætningen (Sydsæter sætning 7.2.7) som dikterer: Theorem 6. Antag at f(x) er en kontinuert funktion defineret over en kompakt mængde S R n. Da har f både maksimums- og minimumspunkter i S, dvs. der findes punkter c og d i S således at f(c) f(x) f(d) for alle x S. Opgave 2 Vi skal vise at funktionen f : R 3 R givet ved f(x, y, z) = x 4 y ze x2 2 + (x + y) 2 z 2 antager både en maksimumværdi og en minimumværdi i mængden S = {(x, y, z) R 3 x 0, y 0, z 0, 0 x + y + z }. Grafisk kan vi fremstille S som i figur (a). Vi bemærker nu følgende: Regionen S er kompakt. En forklaring på dette er givet i billedteksten (a). f er kontinuert i regionen S. Dette kræver en smule overvejelse. Som udgangspunkt er tælleren kontinuert, da den udelukkende består af kontinuerte funktioner. Nævneren derimod kan volde propblemer, da den kan gå hen at blive nul. Vi viser nu, at nævneren er 0 dersom vi begrænser os til domænet S. Dette kan gøres på følgende vis: betragt nul-hyperfladen 2 + (x + y) 2 z 2 = 0. Vi kan 34
35 omskrive denne ligning som z = ± 2 + (x + y) 2. Men idet z 0 ignorerer vi den negative løsning. Spørgsmålet er nu hvor z = z(x, y) antager sit minimum. En hurtig differentiering viser, at dette sker langs y = x - altså er den minimale hyperfladeværdi z = 2. Men i S kan z maksimalt antage værdien z =. Nul-hyperfladen skærer altså ikke domænet S af vores funktion f, hvorfra vi konkluderer at f er kontinuert i S. Ekstremværdisætningen implicerer nu, at der eksisterer et minimum og et minimum i S. Betragt polynomiet Opgave 2, Eksamen ved HA, sommeren 2007 f(z) = (z + 3i) 2 (z 2 2z + 5). (a) Første faktor, (z+ 3i) 2, implicerer at f(z) har roden z = + 3i (af multiplicitet 2 jf. eksponenten). For at bestemme de resterende to rødder må vi finde rødderne til andengradsligningen g(z) = z 2 2z + 5. Ved at bruge den kvadratiske formel finder vi at g(z) = 0 z = ± 2i. Alt i alt har vi altså følgende tre distinkte rødder til f(z): z = + 3i (multiplicitet 2), z 2 = + 2i, z 3 = 2i. (b) Vi ønsker at bestemme produktet α = z 2 z 2 z 3. Det kan vises, at z 2 = 2 2 3i og at z 2 z 3 = 5 (her er der er igen imaginærdel, idet der er tale om et komplekst tal multipliceret med dets konjugerede). Altså er α = 0 0 3i. (c) Modulus af et komplekst tal svarer til afstanden mellem mellem origo og det komplekse tal i det komplekse plan. For αs vedkommende betyder det α = ( 0) 2 + ( 0 3) 2 = = 400 = 20. Argumentet af et komplekst tal svarer til vinklen målt fra den positive reelle akse, mod uret, hen til det komplekse tals afstandsvektor. Det bemærkes at α ligger i tredie kvardrant i det komplekse plan. Altså er må arg α være vinkel π plus en vinkel θ (0, π 2 ), som bestemmes via elementær trigonometri for retvinklede trekanter. Helt konkret: arg α = π + θ = π + tan ( 0 ) 3 = π + tan ( 3) = π + π 0 3 = 4π 3. 35
36
37 CHAPTER 8 Ugeseddel 8, Uge 44 Lad f, g : R 2 R 2, hvor ( ) 3x 2y 2 f(x, y) = x 2 + 5y Opgave 22 og g(u, v) = ( ) u + v u v Per definition er f g(u, v) f(g(u, v)). Sætter vi x = u + v og y = u v ind i f får vi ( ) ( 3(u + v) 2(u v) 2 3u + 3v 2(u 2 2uv + v 2 ) ) f g(u, v) = (u + v) 2 = + 5(u v) (u 2 + 2uv + v 2 ) + 5u 5v ( 3u + 3v 2u 2 + 4uv 2v 2 ) = u 2 + 2uv + v u 5v Således er Jacobi-matricen for f g(u, v): (5) f g (u, v) ( f g u f g 2 u f g v f g 2 v Kædereglen dikterer at f g (u, v) = f (g(u, v))g (u, v), hvor dvs. g (u, v) (6) g (u, v) ( g u g 2 u g v g 2 v ( ) ) og og ) = ( 3 4u + 4v ) 3 + 4u 4v 2u + 2v + 5 2u + 2v 5 f (g(u, v)) f (g(u, v)) ( f x hvorfor ( ) ( ) f (g(u, v))g 3 4(u v) (u, v) = = 2(u + v) 5 f 2 x f y f 2 y ) (x,y)=(g,g 2) ( ) 3 4y 2x 5 (x,y)=(u+v,u v) ( ) 3 4u + 4v 3 + 4u 4v, 2u + 2v + 5 2u + 2v 5 hvilket naturligvis er identisk med (5). Vi har altså demonstreret kædereglens generelle validitet for funktionerne f og g. Vi anskuer nu det konkrete tilfælde hvor (u, v) = (, ) og (x, y) = (u + v, u v) = (2, 0). Her gælder det for ligning (5) at ( ) ( ) f g (, ) = =
38 Ydermere, ved at bruge matricerne i ligning (6) får vi, at f (2, 0)g (, ) = ( ) ( ) ( ) =, hvilket til ingens overraskelse er i overensstemmelse med f g (, ). Lad f : R 2 R, og g : R R 2 hvor (a) Opgave 23 f(x, y) = x 3 + y 2 + xy og g(t) = f (x, y) ( f x g (t) = ( ) t t 2. ) f y = ( 3x 2 + y 2y + x ), ( g ) t g 2 = t ( ). 2t (b) f g(t) = f(g(t)) = t 3 + (t 2 ) 2 + t t 2 = t 4 + 2t 3. Således er Ydermere er f g (t) = f g t = 4t 3 + 6t 2. f (g(t))g (t) = ( 3x 2 + y 2y + x ) (x,y)=(t,t2 ) = ( 3t 2 + t 2 2t 2 + t ) ( ) 2t = ( 4t 2 2t 2 + t ) ( ) 2t = 4t 2 + 4t 3 + 2t 2 = 4t 3 + 6t 2, så kædereglen, f g (t) = f (g(t))g (t), holder altså også her. ( 2t) Lad f, g, h, k : R 2 R 2 hvor Opgave 24 ( x 4 2x 2 y 2 + y 4 ) f(x, y) = x 4 + 2x 2 y 2 ( ) s h(s, t) = s2 + t 2 ( ) u 2 og g(u, v) = v 2 2u 2, ( x 2 y 2 ) og k(x, y) =. (a) Per definition g h k(x, y) g(h(k(x, y))). ( x 2 y 2 ) ( h(k(x, y)) = x 2 y 2 ) (x2 y 2 ) 2 + (y 2 ) 2 = x4 2x 2 y 2 + 2y 4 y 2 38
39 (b) f (, 2) = ( ) (x 2 y 2 ) 2 g(h(k(x, y))) = x4 2x 2 y 2 + 2y 42 2(x 2 y 2 ) 2 ( f x f 2 x f y f 2 y ) ( ) x = 4 2x 2 y 2 + y 4 x 4 2x 2 y 2 + 2y 4 2(x 4 2x 2 y 2 + y 4 ) ( x 4 2x 2 y 2 + y 4 ) = x 4 + 2x 2 y 2 = f(x, y). (x,y)=(, 2) ( ) 4x = 3 4xy 2 4x 2 y + 4y 3 4x 3 + 4xy 2 4x 2 y (x,y)=(, 2) ( ) 4 = 3 4 ( 2) ( 2) + 4 ( 2) ( 2) = ( 2) ( ) Betragt y : R 2 R 2 defineret som (7) Jacobi-determinanten er givet ved J = y x y x 2 y 2 x y 2 x 2 ( y y 2 Sydsæter 5.2. ) ( ) x ( x 2 ) =. x x 2 = x 2 x x 2 x = ( x 2)x ( x )x 2 = x. Det bemærkes altså, at funktionen y ikke er injektiv, idet y = 0 for alle x 2 så længe x = 0. Således begrænser vi os hér til domænet {(x, x 2 ) R 2 x 0}. BEMÆRK: det er i sig selv ikke nok at stipulere J = 0, i en vilkårlig mængde A for at konkludere, at f er injektiv i hele A. Det eneste der følger er et resultat om lokal invertibilitet, se bl.a. Sydsæter 5.2.3, samt eksempel. Idet y = x x x 2 og y 2 = x x 2 er y = x y 2 dvs. x = y + y 2. Sætter vi dette udtryk ind i udtrykket for y 2 får vi x 2 = y 2 /(y + y 2 ), hvor y + y 2 = x 0. Den inverse trasformation er altså givet ved x : {(y, y 2 ) R 2 y + y 2 0} {(x, x 2 ) R 2 x 0}: ( x x 2 ) ( y + y 2 = y 2 y +y 2 Betragt nu rektanglet i (x, x 2 )-planet som er givet ved hjørnerne A x = (, 2 ), B x = (, 2 3 ), C x = (2, 2 ) og D x = (2, 2 3 ). Indsættes disse hjørnepunkter i ligning (7) får vi de modsvarende (y, y 2 ) koordinater, nemlig A y = ( 2, 2 ), B y = ( 3, 2 3 ), C y = (, ) og D y = ( 2 3, 4 3 ). Ydermere bemærkes det, at vertikale og horisontale linier i (x, x 2 )-planet afbildes på rette linier i (y, y 2 )-planet. Mere konkret, lad x = α være en konstant, da giver (7) os 39 ).
40 ( y y 2 ) = ( ) ( ) α α + x 2 0 α hvilket er en ret linie. Ligeledes, lader vi x 2 = β være konstanten får vi ( y y 2 ) ( ) β = x β hvilket igen er en ret linie. Det bemærkes, at vertikale linier i (x, x 2 ) afbildes på rette linier (y, y 2 ) med samme hældningskoefficient (så længe α har samme fortegn), mens de horisontale linier afbildes på rette linier med skiftende hældningskoefficient. Alt i alt følger det, at rektangel ABCD afbildes på en roteret trapez under y. Sydsæter Vi har følgende transformation mellem R 2 og R 2 : (8) u = ax + by, v = cx + dy, hvor det oplyses at a, b, c og d er konstanter ikke alle lig nul. Jacobi-determinanten er givet ved (9) J = u x v x u y v y = a c b d = ad bc oplyses at være lig nul. Således, hvis ad bc = 0 og a 0 da kan vi skrive d = bc/a. Indsættes dette i (8) får vi: v = cx + bc a y = c ( x + b a y) = c a (ax + by) c a u, hvilket er en ret linie i (u, v). De andre muligheder behandles tilsvarende. Opgave 25 (a) En mængde er afsluttet så længe den indegolder hele sin rand. Det gælder klart at A = {(x, y) R 2 x 4, ln x y x} er en afsluttet delmængde af R 2 (jf. det faktum at y ikke er skarpt større og mindre end funktionerne ln x og x, men og. Ligeledes er x ikke skarpt større end 4, men 4). (b) Selvom A er afsluttet, er den ikke kompakt, da den netop ikke er begrænset. Fra GG eksempel 2.9 følger det, at x vokser hurtigere end ln x. Der findes altså vilkårligt store x som ligger i mængden A. (c) Funktionen g : R R 2 givet ved ( ) e t g(t) = t + cos t er kontinuert, idet samtlige komponenter, e t og t + cos t, klart er kontinuerte. 40
41 (d) Betragt mængden B = {t g(t) A}, dvs. alle de punkter t som vha. g kan projekteres over i værdimængden A. B kan altså også formuleres som B = g (A). Ihukom nu F5 s. 0 punkt 3: en ækvivalent betegnelse for at f : R n R m er kontinuert er at f (F ) R n er afsluttet når F R m er afsluttet. Det følger altså, at B er en afsluttet delmængde af R. 4
42
43 CHAPTER 9 Ugeseddel 9, Uge 45 Sydsæter 5.3. Theorem 7. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0. Lad f(x, y) være C i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 ) = 0 og y f(x 0, y 0 ) 0. Da eksisterer der to positive tal δ og ɛ således, at det Kartesiske produkt af intervallerne I = (x 0 δ, x 0 + δ) og I 2 = (y 0 ɛ, y 0 + ɛ) ligger i A og (i) For hvert x I eksisterer der en entydigt bestemt løsning, y, af ligningen f(x, y) = 0 i I 2. Med andre ord: y er en funktion af x i intervallet I, hvilket vi betegner ved y = g(x). (ii) y = g(x) er C over I og første afledte er givet ved dg dx = [ yf(x, g(x))] x f(x, g(x)). Noter: Her anvender vi notationen x f(x) f/ x. Bemærk også at sætningen ikke siger at vi kan løse for y eksplicit i f(x, y) = 0. Dette er en sætning som siger, at hvert x (i et potentielt meget lille interval) har en entydigt bestemt løsning y af f(x, y) = 0. Slutteligt, bemærk at denne sætning er tilstrækkelig med ikke nødvendig for at y skal defineres som en funktion af x nær (x 0, y 0 ) jf. eksempelvis Sydsæter Eksempel 2 s. 47. (a) Betragt funktionen f(x, y) = y 3 + y x 3 = 0 ved (x 0, y 0 ) = (0, 0). f er C da de respektive afledte er kontinuerte. Idet f(0, 0) = 0 og y f(0, 0) = 3y 2 + (x,y)=(0,0) = implicerer punkt (a), at y er en funktion af x i nærheden af (0, 0): y = g(x). Ydermere implicere punkt (b) at g = [3y 2 + ] ( 3x 2 ) så g = 0 i (0, 0). (c) Betragt funktionen f(x, y) = x y y x = 0 ved (x 0, y 0 ) = (, ). f er C i en region omkring (,) og f(, ) = 0. Ydermere er y f(0, 0) = x y ln(x) xy x (x,y)=(,) = 0 = (Ihukom at hvis f(x) = a x kan vi skrive f(x) = exp(ln(a x )) = exp(x ln(a)). Dvs. f = exp(x ln(a)) ln(a) = a x ln(a).). Punktet (a) implicerer derfor at y er en funktion af x i nærheden af (, ): y = g(x), mens (b) fortæller os at dvs. g = i (, ). g = [x y ln(x) xy x ] (yx y y x ln(y)) 43
44 Sydsæter Theorem 8. Generel Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0. Lad f : R n+m R m være en funktion som er C over en mængde A R n+m. Vi anskuer her R n+m som det Kartesiske produkt R n R m og skriver et punkt i dette produkt som (x, y) = (x,..., x n, y,..., y m ). Betragt nu det indre punkt (x 0, y 0 ) i A hvor f(x 0, y 0 ) = 0 og Jacobi determinanten ( ) f(x, y) J det 0 y for (x, y) = (x 0, y 0 ) dvs. hvor y f ym f det y f m ym f m for (x,..., x n, y,..., y m ) = (x 0,..., x 0n, y 0,..., y 0m ). Da eksisterer der en åben kugle B(x 0, r ) om x 0 og en åben kugle B(y 0, r 2 ) om y 0 med r, r 2 > 0 således at det Kartesiske produkt af kuglerne ligger i A og () For hvert x B(x 0, r ) eksisterer der en entydigt bestemt løsning, y, af ligningen f(x, y) = 0 i B(y 0, r 2 ). Med andre ord: y er en funktion af x i mængden B(x 0, r ), hvilket vi betegner med y = g(x). (2) y = g(x) er C over B(x 0, r ) og første afledte er givet ved [ ] g f x = f y x. (b) Betragt funktion f(x, y, x) = x + y + z sin(xyz) = 0 ved (x 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, 0). f består af kontinuerte funktioner og er således C. f(0, 0, 0) = 0 og Jacobi determinanten er z f(0, 0, 0) = cos(xyz)xy (x,y,z)=(0,0,0) = 0. Altså kan f skrives på formen z = g(x, y) nær (0, 0, 0). Første afledte af g er givet ved ( ) ( ) x g = [ z f] x f y g y f = [ cos(xyz)xy] ( cos(xyz)yz cos(xyz)xz ) Ved (x, y, z) = (0, 0, 0) har vi i j k : cos(x i x j x k )x j x k = 0 så x g = og y g = i (0, 0, 0). (c) Betragt funktion f(x, y, x) = e z z 2 x 2 y 2 = 0 ved (x 0, y 0, z 0 ) = (, 0, 0). f består af kontinuerte funktioner og er således C. f(, 0, 0) = e = 0 og Jacobi determinanten er z f(, 0, 0) = e z 2z (x,y,z)=(,0,0) = e = 0. Altså kan 44
UGESEDDEL 7 LØSNINGER. Opgave 7.2.1
UGESEDDEL 7 LØSNINGER Opgave 7.2.1 Definition 1. En følge {x } in R n onvergerer mod puntet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x x < ɛ for alle N. Her definerer vi 1) x x 2 = x 1)
Læs mereUGESEDDEL 7 LØSNINGER. ) og ɛ > 0 N N : (1 + konvergerer ikke, thi følgen x 1 + = ( 1)k
UGESEDDEL 7 LØSNINGER Opgave 7.2. Definition. En følge {x } in R n onvergerer mod puntet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x x < ɛ for alle N. Her definerer vi ) x x 2 = x ) x )
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereUGESEDDEL 12 LØSNINGER. x
UGESEDDEL 2 LØSNINGER Opgave Betragt ligningssystemet af formen Ax = b: ( ) 2 x ( ) x 2 2 =. 4 x Der eksisterer ingen løsning x = (x, x 2, x ) 0, thi venstresiden i første ligning er da 0, medens højresiden
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereOversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mere