Projet 9.1 Differetitio f potesfutioer ved jælp f iomilformle 1. Pscls tret og iomilformle Vi strter med t mide om t poteser f toleddede størrelser, de såldte iomer, udreges ved jælp f Pscls tret, idet oefficietere, år m r gget pretesere ud, etop stmmer fr de tilsvrede ræe i Pscls tret: ( + ) 1 1 ( ) 1 1 + + ( + ) 1 + 2 + 1 2 2 2 ( + ) 1 + 3 + 3 + 1 3 3 2 2 3 ( + ) 1 + 4 + 6 + 4 + 1 4 4 3 2 2 3 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1... Begrudelse er meget simpel: Når m udreger ( ), vor espoete er et turligt tl, dvs. 1, 2, 3, 4,, sl m gge preteser ud: ( + ) ( + ) ( + ) ( + )... ( + ) Det gøres ved på lle mulige måder t vælge et led fr ver f pretesere, dvs. ete et eller et, og gge dem smme. Vælger vi f ver gg fås idrget, vælges et de første gg og derefter et de øvrige gge fås 1 idrget osv. D vi ver gg r etop 2 vlg fås i lt 2 idrg, der til sidst smles som vist i semet ovefor. Du læse mere om Pscls tret i C-oge side 24, pitel 7 fsit 1: Regig med tl og preteser, smt B-oge side 15, pitel 3, fsit 4.3: Polyomiere i Pscls tret, side 348, pitel 8, fsit 2.1: Pscls tret smt side 391, pitel 9, fsit 2.4: Tællemetoder og iomiloefficieter. + 1 Her oterer vi os lot t idrget u fremommer é gg. Bidrget fremommer gge fordi leddet 2 2 ( 1) vælges fr forsellige preteser. Bidrget fremommer gge fordi det første vælges 2 på måder, det det på 1 måder og d ræefølge er ligegyldig r vi tlt lle prree med 2 gge, vorfor 3 3 ( 1) ( 2) vi dividerer med 2. Bidrget fremommer gge fordi det første vælges på måder, 123 det det på 1 måder og det tredje på -2 måder, me d ræefølge er ligegyldig r vi tlt lle triplere med 321 gge, vorfor vi dividerer med 321. Der gælder ltså iomilformle: 1 ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) 3 3 ( + ) + + + +... + Øvelse 1: ) Udpeg de tilsvrede oefficieter i Pscls tret. 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: 43533 Emil: ifo@lru.d
2. Differetitio f potesfutioe, vor er et turligt tl. Når vi sl differetiere potesfutioe p( )... og øser t vede tretrisregle i de de versio, strter vi med t opsrive setældige gge 1. tri: p( + ) p( ) ( + ) Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede iomilformle: 2. tri: p( + ) p( ) ( + ) 1 ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) 3 3 + + + +... + 1 ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) 3 3 + + +... + 1 ( 1) 2 ( 1) ( 2) 3 2 1 + + +... + Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge: 3. tri: p( + ) p( ) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 2) 3 2 1 + + +... + Det første led fæger ie f, dvs. det er ostt uder græseovergge, mes de øvrige 1 led ideolder stigede poteser f, dvs. de går mod. Der gælder derfor: p( + ) p( ) 1 år Kolusio: Altså er potesfutioe p( )... differetiel i gge og der gælder p'( ). 1 Dette fslutter eviset i det tilfælde vor espoete er et turligt tl. 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: 43533 Emil: ifo@lru.d
3. Differetitio f potesfutioe, vor er et vilårligt tl. I Hvd er mtemti? id 2 r vi i pitel 5B evist formle for differetitio f potesfutioer. Beviset ygger på eds til differetitio f espoetilfutioer, smt på regle for smmest differetitio. I mtemtiistorie gv m dre eviser, og vi vil ger give ie et striget evis, me e sdsyliggørelse f formle ud fr geometrise etrgtiger. Først emærer vi t grfe for potesfutioe er sruet smme på e speciel måde som vi esrev i id 1, pitel 5, fsit 4.1 om slerig (side 183): Sætig 4: Slerig f potesfutioer Ld y være e potesfutio. Så gælder følgede: Hvis de ufægige vriel sleres op med ftore, så liver de fægige vriel y sleret op med ftore. Hvis de ufægige vriel r værdie 1 og sleres op med tllet får de værdie. De fægige vriel y vil d sleres op med ftore ftore 1. Dermed vil de lole ældig, idet de lodrette tilvæst mes de vdrette tilvæst ældig i er derfor 1 liver y y liver sleres op med gge så stor, gge så stor. De lole gge så stor som de lole ældig i 1. Der gælder derfor de følgede simple smmeæg mellem tgetældigere p'( ) : p'(1) og Sætig: Hvis potesfutioe p() er differetiel i 1 vil de også være differetiel i gælder: 1 p'( ) p'(1) og der Vi mgler ltså u t vise t potesfutioe er differetiel i 1 og t de lole ældig i 1 etop er. Slerigsrgumeter er så cetrle for potesfutioer t vi lige getger det med rug f tretrisregle og udyttelse f potesregereglere: Når vi sl differetiere potesfutioe p() med rug f tretrisregle strter vi med t opsrive setældige 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: 43533 Emil: ifo@lru.d
1. tri: p( + ) p( ) ( + ) Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede potesregereglere. VI stiler u mod t omsrive setældige i så de yttes til setældige i 1: 2. tri: p( + ) p( ) ( + ) 1+ 1+ 1+ 1 1 1 + ( ) 1 1+ 1, med Me det viser etop t setældige i setældige i 1 med tilvæste, vor med tilvæste er de smme som 1 gget med. Det er etop som forudsgt f slerigsrgumetet. Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge. Me d tilvæstere og er proportiole er det etop det smme som t lde gå mod : 3. tri: p( + ) p( ) 1 (1 + ) 1 De første ftor fæger ie f, dvs. de er ostt uder græseovergge, mes de de ftor etop er setældige i 1, som forudst potesfutioe er differetiel i 1, etop går mod tgetældige. Der gælder derfor: p( + ) p( ) 1 p'(1) år Kolusio: Altså er potesfutioe p() differetiel i og der gælder p'( ) p'(1). 1 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: 43533 Emil: ifo@lru.d
4. Newtos rgumet - de uedelige iomilræe Vi mgler så t rgumetere for t potesfutioe ret ftis er differetiel i 1 med differetilvotiete. Det første stære rgumet for dee påstd stmmer fr Newto og selv om det ie er striget o til t fugere som et evis i modere forstd er det et uyre cetrlt rgumet. Newtos udggsput vr iomilformle ( 1) ( 1) ( 2) + + + + + + 1 2 2 3 3 ( )... Newto gættede på t formle i vireligede gjldt for lle espoeter med de vigtige forsel t der i så fld liver tle om e uedelig ræe idet oefficietere ( 1) ( 1) ( 2),,,... 1 Nu ie lægere utomtis liver ul, år vi fortsætter læge o, d ie lægere eøver være et turligt tl. Newto idførte ltså de uedelige iomilræe: ( 1) ( 1) ( 2) 2 3 (1 + ) 1 + + + +... H vidste t formle vr orret år espoete vr et turligt tl og ræe dermed e edelig sum, me vr også i std til t otrollere ræe for specielle værdier såsom -1 og ½, Øvelse 2: ) Opsriv iomilræe for -1 og gør rede for t der etop fremommer e uedelig votietræe på 2 3 forme + q + q + q +..., vis sum du måse eder f fr og 1, pitel 3, fsit 4.1, s. 125. 1 q ) Beyt dette til t rgumetere for t Newtos uedelige iomilræe giver det orrete resultt for -1, år lot ligger mellem -1 og 1. Me Newto ue jo ie vide om s formel vr gyldig i lle mulige dre tilfælde. H gjorde d e dyd f ødvedigede og vedte prolemstillige om: H rugte i stedet formle for de uedelige iomilræe til t defiere vilårlige poteser. Så læge ligger mellem -1 og 1 vil de uedelige ræe emlig ue ruges til t udrege potese (1 + ) med lige så mge decimler m måtte øse det ved lot t tge tilstræeligt mge led med. For dre værdier f må m eytte sedige sleriger til t fide værdie. Det vr Newtos olleg Wllis, der vde idført ruge f de geerelle poteser og det vr Newto, der i prsis viste vord de ue udreges og dermed gv dem susts. Tror vi på Newtos iomilformel, vi u vede tretrisregle for t fide ud f om potesfutioe p() er differetiel i 1 (Newto selv vedte fluiosmetode i stedet for tretrisregle, me rgumetet er det smme): 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: 43533 Emil: ifo@lru.d
Vi strter ltså med t opsrive setældige 1. tri: p(1 + ) p(1) (1 + ) 1 Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede iomilræe: 2. tri: p(1 + ) p(1) (1 + ) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 2) 3 1 + + + +... 1 ( 1) 2 ( 1) ( 2) 3 + + +... ( 1) ( 1) ( 2) 2 + + +... Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge: 3. tri: p(1 + ) p(1) ( 1) ( 1) ( 2) 2 + + +... Det første led fæger ie f, dvs. det er ostt uder græseovergge, mes de øvrige led ideolder stigede poteser f, dvs. de går mod. Newto sluttede derfor t lle de uedeligt mge øvrige led forsvdt: p(1 + ) p(1) år I dg er vi lidt mere forsigtige med de slgs slutiger! E uedelig sum eøver ie gå mod ul re fordi lle leddee går mod ul. Det er f ere i itegrlregige, vor relet fides som græseværdie for e uedelig sum f små reler, der ver for sig går mod ul. Me der sulle gå et pr årudreder før m for lvor fi styr på såde rgumeter! Kolusio: Altså er potesfutioe p() differetiel i 1 og der gælder p'(1). Dermed gælder der lt i lt: Potesfutioe p() er differetiel i og der gælder p'( ). 1 Dermed r vi også givet et rgumet for formle i det tilfælde vor espoete er et vilårligt tl. Det strigete evis er som sgt givet i grudoges pitel 5B. 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: 43533 Emil: ifo@lru.d