Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 2. mars 2007 Dynamiske idenieer med kædeindeks Resumé: den nye modelversion er vi gåe fra fasbase over il kædeprissørrelser. De beyder a de gamle ligninger for de dynamiske idenieer ikke holder da sørrelserne ikke længere er addiive. dee papir udledes formler for nye dynamiske idenieer. Resulae er a de dynamiske idenieer for kædeprissørrelser kan opskrives som for fasbasepriser blo med en simpel korrekionsfakor som kan udregnes alene ved hjælp af aggregerede prisindeks. Dynamiske idenieer i løbende priser kan opskrives som den dynamiske idenie i fasbasepriser med e led for nominelle omvurderinger. Der opsilles relaioner for bruoinveseringerne på baggrund af den dynamiske idenie i faskædepriser og for neokapialapparae på baggrund af den dynamiske idenie i løbende priser. Endvidere er de nødvendig a definere nye afskrivnings- og afgangsraer og usercos udrykke har også ændre sig om end kun i mindre grad. Alle de nye ligninger er i hovedræk beskreve i dee papir og forolkning og råd mh. fremskrivninger gives. Dog er de konsruere så benchmark er a k-fakorer kan fremskrives konsan mens J-led kan sæes lig nul. GRH02307 Nøgleord: Kædepriser dynamiske idenieer usercos fakorblok kapial Modelgruppepapirer er inerne arbejdspapirer. De konklusioner der drages i papirerne er ikke endelige og kan vfre Fndre inden opsillingen af nye modelversioner. De hensilles derfor a der kun cieres fra modelgruppepapirerne efer afale med Danmarks Saisik.
2. ndledning Dee papir er sa sammen af en del komponener og skal ikke nødvendigvis læses fra ende il anden. De førse afsni dvs. afsni 2 giver en inrodukion il kædesørrelser. Både om deres baggrund definiion sammenhæng med foregående års priser og probleme med kvoer if. andele diskueres. Er man allerede god inde i kædeproblemaikken kan dee afsni uden problemer springes over. Dog inroduceres mege af noaionen i dee afsni. Afsni 3 er e mege eknisk afsni og her bliver den dynamiske idenie for kædeprissørrelser udled. De er medage dels som dokumenaion for udledninger men der benyes nogle ricks med addiivie i forgående og løbende priser så de kan være lærerig a læse for personer som ikke har beskæfige sig indgående med kædesørrelser idligere. Afsni 4 er e kor hjælpe-afsni hvor afskrivnings- og afgangsraerne i primopriser defineres. Endvidere defineres diskripansen som er forskellen på neokapialapparae give af naionalregnskabe og de udregne på baggrund af den dynamiske idenie. På grund af uhensigsmæssigheder i opgørelsesmeoden fra Naionalregnskabe side semmer disse o ikke overens. Afsni 5 er e af de mes essenielle afsni. Fremgangsmåden ved fremskrivninger forklares på en simpel måde. Samidig angives specifikke formler for k-fakorer og J-led så man kan få e indblik i hvornår de afviger hisorisk. J-leddene er skab il a kunne sæes lig nul i fremskrivningerne mens k-fakorerne er skab il a kunne fremskrives uændre. De beskrives også her hvilke forudsæninger der ligger bag dee og hvornår de kan afvige. Afsni 6 beskriver hvordan usercos er skreve op i den nye modelversion. Dee adskiller sig lid fra den gamle version. Den sørse forskel er a i højere grad er synliggjor a usercos er en udgif pr. enhed bruokapial. Endelig giver afsni 7 en konklusion. 2. Fasbase og Laspeyres aggregaer andele og kvoer Fasbaseaggregaer er simpelhen mængder mål i de priser de enkele mikrokomponener havde i e besem år f.eks. år 2000. fase priser er de aggregerede bruoinveseringer alså blo hvor mege de samlede bruoinveseringer havde være værd i år 2000. Dee er en simpel sum af hvad de enkele komponener ville have være værd i år 2000. Alså er fasbaseaggregae addiiv: f = fi (2.) hvor f i er de enkele underkomponener af bruoinveseringerne mål i 2000-priser og f er de aggregerede bruoinveseringer. Hel generel vil
3 gælde a er bruoinveseringer f foran en variabel beyder variablen mål i 2000-priser fodegn beyder mål il idspunk og fodegn i beyder a de er en mikrosørrelse mål il idspunk. En anden egenskab ved fasbasesørrelser er a forholde mellem en mikrokomponen og en aggregere sørrelse kan olkes som andele. For eksempel er andelen af de samlede bruoinveseringer i kapialgode i give ved: fi bfi = (2.2) f På grund af addiivie fås: fi fi bf = i f = f = (2.3) Alså kan en residual definere delmængdes andel findes ved: bf = bf (2.4) j i i j En ulempe ved fasbaseaggregaer er a de ikke på beryggende vis ager hånd om mege asymmerisk prisudvikling. Tag compuere som eksempel. dag kan man købe en ny PC med ilbehør for omkring 5.000-. Alernaiv kan man købe en sae of he ar il 20.000-. Forskellen besår i processorhasighed RAM diskplads osv. Sagen er bare den a den compuer som i dag koser 5.000- var sae of he ar og kosede 20.000- for en 2-3 år siden. år 2000 var de ikke mulig a købe en compuer med disse karakerisika men skulle en 2000-pris for en compuer il 5.000- i dag findes så ville den lang oversige 50.000-. år 2000 besod 3 pc. af alle inveseringer i maskiner og invenar af compuer hardware mm. løbende priser var dee 32 pc. i 2003 mens de i 2000-priser var 35 pc. Denne forskel skyldes a der hovedsaglig inveseres i sandardcompuere og a prisen på sandardcompuere nogenlunde har fulg den normale prisudvikling sam a andelen af sandard compuerudsyr if. ande har ligge sabil. Den højere udvikling i andelen i 2000-priser skyldes den sore prisudvikling på compuere. Nu forelægger der ikke al frem i iden men denne forskydning vil blive sørre jo længere væk fra basisåre man kommer. Hermed vil andelen af hardware mm af maskiner og invenar eksplodere i fremiden og næsen forsvinde ilbage i iden. For eksempel var i 990 33 pc. af maskin og invenar inveseringer i hardware mm. i løbende priser mens de kun var 2 pc. i 2000-priser. Ovensående er bleve brug som begrundelse for a skife fra fasbase il kædepriser. de kædepriser skulle være mere robuse overfor udviklingen i neop sådanne komponener. Er måle a finde le forolkelige andele så er man dog ikke komme så mege videre hvilke jeg vil argumenere for senere. Grundlage for kædeprissørrelser er a udviklingen i en kædeprismængde skal være udviklingen i serien mål i forgående års kædepriser: En variabel uden foregn er i løbende priser alså hel normal ADAM-noaion.
4 fq pqi ff pi f fq ff = = = = fq pqi fq pi f i i i i i i (2.5) hvor fq foran en variabel beyder a de er e kædeprisaggrega 2 mens ff foran en variabel beyder a den bliver mål i foregående år kædede priser. Niveaue findes herefer ved a sæe fq2000 = 2000 og priserne kan findes ved pqi = / fq. En ulempe ved kædeprissørrelserne er a de ikke er addiive: fq fqi (2.6) Dee giver anledning il mange besværligheder. En sor hjælp kan dog være a huske på a de dog er addiive i både indeværende års priser: pqi fq = = i = pii fi (2.7) og i foregående års priser: pqi fq = ff = ff = pi f (2.8) i i i De bør dog også nævnes a de ikke er nødvendig a addere alle sørrelserne på mikroniveaue. De kan lige så nem klares på e mellemniveau: pqi fq = = j = pqi j fq j (2.9) og pqi fq = ff = ff j = pqi j fq j (2.0) hvor j besår af flere underkomponener. Generel vil fodegn j beyde e niveau over mikroniveau og fodegn i a de er mikroniveaue. Definer en kvoe som: bfq fq j j = (2.) fq Denne kvoe kan ikke olkes som en andel. Baggrunden er a summen af kvoerne ikke er lig en: fqi fqi bfq = i fq = fq (2.2) Noge der summer il en er fq j / fq j. Forolkningen af denne sørrelse er andelen af kædeprisinveseringerne i gruppe j ud af summen af kædeprisinveseringer hvor de sidse er udenfor forolkning og afhængig af hvorledes grupperne besemmes. Så dee er heller ikke en farbar vej. Konklusionen må være a andele i kædeprissørrelser ikke giver mening. Derimod giver de god mening hvis de måles i løbende eller foregående års priser. Hermed har indføring af kædeprissørrelser ikke give en universal måde a beregne andele som er robuse overfor asymmerisk prisudvikling på 2 dee papir benyes kædeprisaggrega og Laspeyreskædeaggrega synonym efersom vi kun beskæfiger os med Laspeyres kæder.
5 compuere. Til gengæld vinger den en il eksplici af vælge prisgrundlage for andelene i f.eks. løbende priser eller foregående års. 3. Den dynamiske idenie for fasbase og Laspeyresaggregaer Tag udgangspunk i mikroniveaue. Her må følgende gælde: i i i nvi = + (3.) pii + 0.5 pii 0.5 pii pii hvor i er neokapialapparae ulimo periode i er primo i er inveseringerne nv i er afskrivningerne og der ses bor fra andre mængdemæssige ændringer alle sørrelser opgjor i løbende priser. pqi i + 0.5 er prisen ulimo pqii 0.5 er prisen primo og pqi i er den gennemsnilige pris over åre omren lig og også kalde medio-prisen. De enese ligningen foræller er a beholdningen af kapialgode i er lig beholdningen i sidse periode plus bruoinveseringer minus afskrivninger. Alså en simpel bogholderimæssig idenie. Da pkni pi i + 0.5 fås: fi = fi + fi fnvi (3.2) og da alle led er addiive fås: f = f + f fnv (3.3) hvilke er den dynamiske idenie for fasbaseaggregaer. Definiionen pkni pi i + 0.5 sammen med indekseringen pi i2000 = medfører a prisen på neokapial ikke er ulimo 2000 men derimod medio 2000 og hermed er pi2000 og f 2000 2000. i i For kædesørrelser er de dog valg a definere pqkn j999 = for alle kædeaggregaer 3. Dee beyder a pqkn i999 = på mikroniveau og hermed er pqkni = pkni / pkni999 og fqi = pkni999 fi. For inveseringerne og afskrivningerne er ine ændre dvs. fqi = fi og fqnvi = fnvi. Hermed kan den dynamiske idenie omskrives il: fqi fqi = + fqi fqnvi (3.4) pkni999 pkni999 og der kan ganges primo-neokapialpriser på begge sider: fqi fqi pkni = pkni + pkni fqi pkni fqnvi (3.5) pkni999 pkni999 De udnyes nu a ulimokapialprisen på mikroniveau er give ved pkni = ½pii + ½pi i + sam a pqii = pii og pqii = pqinvi : pqkni fqi = pqkni fqi + ( ½pqii + ½pqii ) fqi (3.6) ½pqinv + ½pqinv fqnv ( ) i i i 3 De kan virke lid mærkelig a 999 er valg som indeksår. Baggrunden er a naionalregnskabe benyer primoal mens vi her benyer ulimoal.
6 hvilke kan omskrives il: ffi = i + ½ffi + ½i ½ffnvi ½nvi (3.7) hvor de huskes på a ff foran en variabel beyder a den måles i foregående års kædepriser. Alle led i denne ligning er addiive. Alså fås ilsvarende for aggregaerne: ff = + ½ff + ½ ½ffnv ½nv (3.8) hvilke kan omskrives il: pqkn fq = pqkn fq + ½pqi fq + ½pqifq (3.9) ½pqinv fqnv ½pqinvfqnv divideres igennem med ulimokapialprisen for aggregae fås: ½pqi + ½pqi ½pqinv + ½pqinv fq = fq + fq fqnv (3.0) pqkn pqkn Ovensående gælder også for bruokapialapparae K og de ilhørende afgange v: ½pqi + ½pqi ½pqiv + ½pqiv fqk = fqk + fq fqv (3.) pqk pqk 4. Afgangs- og afskrivningsraer i primopriser og diskripans Der offenliggøres ikke al for afgange og hermed offenliggøres deres priser heller ikke. Således er de ikke mulig a finde fqv residual på baggrund af ligning (3.). Dee umuliggør en beregning af afgangskvoen fqv / fqk. De er dog mulig a finde afgangsraen i primopriser: ½ffv + ½v ½pqiv + ½pqiv fqv biv = K pqk fqk (4.) Ren daamæssig konsrueres afgangsraen som: K + ½ff + ½ ffk biv = (4.2) K hvilke beregnes residual ud fra ligning (3.8). Afskrivningsraen i primo priser defineres på ilsvarende måde: ½ffnv + ½nv ½pqinv + ½pqinv fqnv binv = (4.3) pqk fqk Her haves daa dog direke il a besemme relaionen. På grund af opgørelsesmeoden fra Naionalregnskabe semmer højre og vensresiden ikke overens for den dynamiske idenie. Diskripansen er definere ved: ½pqi + ½pqi fqdiskr = fq ( binv) fq + fq (4.4) pqkn
7 Daamæssig i ADAM-banken er der ingen diskripans i de dynamiske idenieer for bruokapialapparae da afgangsraerne er beregne residual. Til gengæld adskiller de beregnede afgangsraer sig fra hvad de havde være hvis de var bleve beregne direke på baggrund af de bagvedliggende al fra Naionalregnskabe. 5. Fremskrivningerne Bruokapialapparaerne besemmes af eferspørgslen som fassæes ud fra adfærdsrelaioner der ikke er bleve ændre væsenlig i denne omgang. Den enese væsenlige ændring er a usercosbegrebe er gjor mere srømline. Dee ændrer dog ikke modellens egenskaber og kun i mindre grad allenes sørrelse. Når førs bruokapialapparae haves så findes bruoinveseringerne ud fra den dynamiske idenie: fq = kfqi( fqk fqk + biv fqk ) (5.) hvor pqk kfqi (5.2) ½pqi + ½pqi og ½pqiv + ½pqiv fqv biv (5.3) pqk fqk nveseringspriserne bliver fremskreve i en anden del af modellen og ages her for givne i fremskrivninger selvom de er endogene i den overordnede model. Der er ikke eksplici priser på bruokapial neokapial og afskrivningerne med i modellen. Til gengæld er der en k-fakor som skal repræsenere de relave primo-priser. A fremskrive med en konsan k-fakor svarer il en anagelse om ens prisudvikling i prisen på bruokapial og inveseringer hvilke vil være e naurlig benchmark. E naurlig benchmark er også a fremskrive med en konsan afgangsrae. Dee svarer il en anagelse dels om ens prisudvikling for afgange og bruokapial og dels om konsane afgangsraer i fase priser. Dog måles afgangsraen ren daamæssig med sor unøjagighed så de er ikke nødvendigvis klog blo a sæe denne konsan lig de for de sidse hisoriske år. Afskrivninger i løbende priser udledes i bilag A og er give ved: pqi / pqi nv = ( + JRinv) binv ½+ ½ pqi / pqi hvor nv JRinv = nv 2 + + ½ ( )( ) (5.4) (5.5)
8 Sæes JR-ledde lig nul svarer de il en anagelse om ens prisudvikling for henholdsvis afskrivningerne og bruoinveseringerne hvilke virker som en rimelig benchmark. Neokapialapparae i løbende priser kan skrives ved følgende relaion: = + nv + Okn (5.6) hvor omvurderingerne følger af dem udled i bilag B og give ved: Okn = ( + JRokn) ( + ½( nv) ) (5.7) hvor: + ½ JRokn = + + + ½( nv) (5.8) nv + ½nv nv + + ½( nv) Sæes JR-ledde lig nul svarer de il en anagelse om ens udvikling for neokapialpriserne ulimo afskrivningspriserne medio og inveseringspriserne medio. Hvis prisudviklingen er sabil så vil de svare il en anagelse om symmerisk prisudvikling i underkomponener men ændringer i inflaionsaken vil påvirke JR-ledde hvorfor de hisorisk har en vis sørrelse. 6. Usercos Usercos er ændre en lille smule i forhold il den idligere modelversion. Tidligere var de approksimaiv den forvenede udgif pr. enhed ulimobruokapialappara for bygninger og maskiner og pr. enhed primobruokapialappara for boliger og biler. Nu er de e mål for den forvenede udgif pr. enhed medio-bruokapialappara: yc ui = (6.) ½fqK + ½fqK Baggrunden for ændringen er for de førse a få ensree opbygningen af usercos for biler og boliger på den ene side og bygninger og maskiner på den anden. Endvidere er usercos en flowsørrelse som hæfer sig il mængden af bruokapial der var il rådighed gennem perioden hvorfor medio er en bedre approksimaion end hverken primo eller ulimo. De usercosudryk som normal findes i lærebøger er pr. enhed neokapial hvorfor der i den idligere modelversion blev gange en korrekionsfakor for bruokapial over neokapial på. denne version er de valg a beregne den samlede udgif il kapial i en relaion og så finde usercos ved a dividere med den samlede bruobeholdning medio. En sådan opsplining blev allerede gjor for boliger i den sidse modelversion men gælder nu generel. Ses der bor fra skaer og afgifer med videre så er de samlede forvenede udgifer ved a eje kapial give ved: yc = nv + + ½( nv) iwlo ( δ ) rpie (6.2)
9 hvor iwlo er renen og rpie er inflaionsforvenningerne il neop de valge kapialgode. Man kan ænke på de som om a virksomhederne lejer kapialapparae og førs bealer de ilbage når de afskrives. Hermed skal de hver periode beale afskrivningerne. Endvidere skal de beale rene udgifer af kapialapparae som i gennemsni over perioden er primosocken plus halvdelen af neoinveseringerne. De får il gengæld en kapialgevins på den del af kapialapparae der ikke er afskreve hvis priserne er sege igennem perioden. Efersom virksomhederne ikke omkosningsfri kan realisere deres kapialgevinser er de hisorisk valg a sæe δ = 0.5 hvilke giver de pænese fi. De er valg sadig a benye denne konsan. nflaionsforvenningerne er knye il neokapialapparae men de er mege usikker om virksomhederne kan skelne mellem inveserings- og kapialprisen. Endvidere er kun inveserings og ikke kapialprisen med i modellen. Derfor vælges de a definere inflaionsforvenningerne på baggrund af inveseringspriserne: pi pi rpie = α + ( α) rpie (6.3) pi 7. Konklusion dee papir er opbygningen af kapial- og inveseringsligninger i den nye modelversion forklare. Ligningerne er bleve formel udled og er formulere således a J-led og k-fakorer kan sæes som normal ved fremskrivninger. Endvidere er de valg ikke a inkudere priser for kapial og afskrivninger direke i modellen. Specifik er de kun nødvendig a benye neokapialappara og afskrivninger i løbende priser og bruokapialapparae i faskædepriser.
0 8. Bilag Bilag A: Afskrivningerne i løbende priser kan på baggrund af ligning (4.3) findes som: nv = binv (8.) ½ pqinv / pqinv + ½ hvilke kan omskrives il: nv + nv = binv nv (8.2) + ½ nv hvor = ( pqinv pqinv )/ pqinv hvilke igen kan omskrives il: + nv = + JRinv binv + ½ hvor = ( pqi pqi )/ pqi og JRinv ( ) nv = 2 ½ ( + )( + ) nv (8.3). Bilag B: Den dynamiske idenie inklusiv diskripansled kan skrives som: ½pqi + ½pqi fq = fq + fq pqkn pqinv + ½pqinv fqnv fqdiskr pqkn ½ + hvilke kan omskrives il: pqkn ½pqi + ½pqi pqkn = + pqkn pqkn pqi og igen il: og igen il: ½pqinv + ½pqinv pqkn nv + Diskr pqkn pqinv pqkn pqkn ½pqi + ½pqi = + pqkn pqkn pqi pqkn ½pqinv + ½pqinv nv + Diskr pqkn pqinv pqkn pqkn pqi pqi = + 2 hvilke igen kan omskrives il: pqkn pqkn pqi pqkn pqinv pqinv nv + pqkn 2 pqinv Diskr (8.4) (8.5) (8.6) (8.7)
da + = ( + ) + ( + ) 2+ + nv ( + ) nv + nv nv + Diskr 2+ = = ( + ) = = pqi pqi + + pqi pqi pqi (8.8) (8.9) Alså er kapialapparae give ved: = + nv + Okn (8.0) hvor omvurderingerne er give ved: + Okn = ( + ½( nv) ) + 2 + (8.) + nv nv nv + Diskr 2 + Dee kan igen omskrives il: Okn = + nv + Jokn (8.2) hvor ( ½( )) + Jokn = ( )( + ½( nv )) + 2 + + nv nv nv + Diskr 2 + (8.3)