Eksponentielle sammenhänge

Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul

Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald angive i procen 55 16 Poenser 59 17 Reneformlen 6 18 Hvordan ser grafen ud for en eksponeniel sammenhäng? 64 19 Opgaver hvor vi skal besemme eller y i y = ba 67 0 Hvordan kan vi beregne Ändringer i y og for en eksponeniel sammenhäng? 69 1 Hvad foräller a og b om den eksponenielle sammenhäng y = ba? 73 Hvordan kan vi opskrive en ligning for en eksponeniel sammenhäng? 76 3 Fordoblingskonsan og halveringskonsan 77 Nyere häfer: hp://ma1dk/kor_om_eksponenielle_sammenhaengepdf 1/5-11 hp://ma1dk/oevelser_il_haefe_kor_om_eksponenielle_sammenhaengepdf 9/5-11 hp://ma1dk/reneformlenpdf 1/5-11 Eksponenielle sammenhänge 1 udgave 009 Å 009 Karsen Juul Dee häfe kan downloades fra wwwma1dk HÄfe mç benyes i undervisningen hvis läreren med de samme sender en e-mail il kj@ma1dk som oplyser a dee häfe benyes (skriv filnavn), og oplyser om hold, niveau, lärer og skole

Afsni 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? DEFINITION 141 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? Vi kalder en sammenhäng for eksponeniel hvis den kan beskrives ved en ligning der fçs ved a indsäe beseme al for a og b i ligningen (1) y ba hvor bçde a og b skal väre posiive Opgave 14: Ligningen () y 1, 1, 4 viser en sammenhäng mellem o variable y og Hvilke al skal vi indsäe for a og b i ligningen sammenhängen ()? Vi skal säe a 1, og b 1, 4 for nçr vi gér de, fçr vi ligningen y 1,4 1, som kan omskrives il ligningen () y ba for a fç BemÄrkning 143 Bevis for a en sammenhäng er eksponeniel I svare pç 14 vise vi a sammenhängen () kan fçs ved a säe beseme al ind for a og b i ligning (1) i definiion 141 IfÉlge definiion 141 har vi alsç vis a () er en eksponeniel sammenhäng Opgave 144: Ligningen 3 (3) y viser en sammenhäng mellem o variable y og Hvilke al skal vi indsäe for a og b i ligningen y ba sammenhängen (3)? for a fç For a fç sammenhängen (3) skal vi i ligningen y ba säe a 3 og b 1 for nçr vi gér de, fçr vi ligningen y 1 3 som vi kan omskrive il ligningen (3) da 1 13 3 3 Eksponenielle sammenhänge Side 53 009 Karsen Juul

Åvelse 145 Hver af félgende sammenhänge kan vi fç ved a säe al ind for a og b i ligningen y ba Angiv i hver ilfälde hvad der skal indsäes for a og b (1) y 0,51, 09 () y 0,5 1, 09 (3) y 1,09 0, 5 (4) y 1,09 4 Eksempel 146: Vi kéber en plane PÇ kébsidspunke er héjden (i cm) 10 Hver uge ganges héjden med 1,15 Efer 1 uge mç héjden derfor väre 10 1,15 Dee al skal ganges med 1,15 for a fç héjden efer uger: 10 1,15 1,15 Osv Opgave 147: Hvordan kan héjden (i cm) efer 3 uger beregnes? (Se eksempel 146) 10 1,151,15 1, 15 Opgave 148: Hvordan kan héjden (i cm) efer 4 uger beregnes? (Se eksempel 146) 4 10 1,15 Opgave 149: SÄ y = héjden (i cm) = anal uger efer kébe Opskriv en formel il beregning af y nçr er kend (Se eksempel 146) y 10 1, 15 SammenhÄngen formen y 10 1, 15 y b a med b 10 og a 1, 15 er eksponeniel ifélge definiion 141 da den er pç Planens héjde vokser med samme procen hver uge Begrundelse: NÇr vi vil udregne alle der er 15 % sérre end e give al, sç kan vi gére de ved a gange de givne al med 1,15 Åvelse 1410 Ved saren af e udsalg er prisen 600 kr Hver dag ganges prisen med 0, 85 Der gälder 600 0,85 510, sç 1 dag efer udsalges sar vil prisen väre 510 kr (1) Hvordan kan vi beregne prisen 3 dage efer udsalges sar? () Hvordan kan vi beregne prisen 0 dage efer udsalges sar? (3) Vi lader y sç for prisen (i kr) og for analle af dage efer udsalges sar Opskriv en formel il beregning af y nçr er kend Eksponenielle sammenhänge Side 54 009 Karsen Juul

Afsni 15 Signing og fald angive i procen BemÄrkning 151 Hvorfor regner vi med procener? Prisen pç en vare er sege kr Er dee mege eller lid? Hvis den oprindelige pris var 4 kr, sç er signingen 50 % (dvs 50 hundrededele) af prisen Hvis den oprindelige pris var 00 kr, sç er signingen 1 % (dvs 1 hundrededel) af prisen I dee ilfälde foräller den absolue signing kr ikke om signingen er sor Den procenvise signing foräller hvor sor signingen er i forhold il prisen, og de er de vi i dee ilfälde skal vide for a afgére om signingen er sor PÇ en si der gçr op ad en skrçning, siger héjden over haves overflade 0 cm for hver skrid Her er de den absolue signing 0 cm der er afgérende for om signingen er sor Hvis vi er 100 cm over haves overflade, er signingen pç 0 % Hvis vi er 000 cm over haves overflade, sç er signingen pç 1 % Den procenvise signing foräller ikke om signingen er sor Eksempel 15 Hvad beyder %? 16 % beyder 16 hundrededele, alsç Tegne % läses procen 16 100 Opgave 153: Hvor mange procen er värdien sege? En variabels värdi siger fra 64 il 80 Hvor mange procen er värdien sege? Den absolue signing er 80 64 16 I procen er dee 16 0,5 5 5% 64 100 VÄrdien er sege 5% nçr den er sege fra 64 il 80 NÇr vi siger a värdien er sege 5%, sç mener vi a den absolue signing 16 udgér 5 hundrededele af sarvärdien 64 Opgave 154: Hvor mange procen er värdien falde? En variabels värdi falder fra 80 il 64 Hvor mange procen er värdien falde? De absolue fald er 80 64 16 I procen er dee 16 0,0 0 0% 80 100 VÄrdien er falde 0% nçr den er falde fra 80 il 64 NÇr vi siger a värdien er falde 0%, sç mener vi a de absolue fald 16 udgér 0 hundrededele af sarvärdien 80 Eksponenielle sammenhänge Side 55 009 Karsen Juul

Opgave 155: Besem sluvärdi nçr signingen er angive i procen og sarvärdi er kend PÇ e idspunk er värdien af en variabel 50 Herefer siger värdien 3% Hvad bliver variablens nye värdi? svar: Meode 1: 3 3 % af 50 er 50 80 100 50 80 330 330 er de al der er 3% sérre end 50 Meode : 100% 3% 13% 13 1,3 100 50 1,3 330 330 er de al der er 3% sérre end 50 Begrundelse for a meode virker: 50 er 100 % af 50, sç 3% mere er 13 % af 50 I nogle opgaver er de uoverkommelig a bruge meode 1, sç meode er nédvendig Desuden er meode nédvendig for a forsç ligningen for en eksponeniel sammenhäng Opgave 156: Besem sluvärdi nçr falde er angive i procen og sarvärdi er kend PÇ e idspunk er värdien af en variabel 400 Herefer falder värdien 4 % Hvad bliver variablens nye värdi? Meode 1: 4 % af 400 er 400 4 100 96 400 96 304 304 er de al der er 4 % mindre end 400 Meode : 100% 4% 76% 76 100 400 0,76 304 0,76 304 er de al der er 1 % mindre end 400 Begrundelse for a meode virker: 400 er 100 % af 400, sç 4 % mindre er 76 % af 400 I nogle opgaver er de uoverkommelig a bruge meode 1, sç meode er nédvendig Desuden er meode nédvendig for a forsç ligningen for en eksponeniel sammenhäng Eksponenielle sammenhänge Side 56 009 Karsen Juul

Opgave 15 7: Slualle fçs ved a gange saralle med,30 Hvor mange procen er slualle sérre end saralle?,30 30 30% 100 30% 100% 130% Slualle er 130% sérre end saralle Saralle er 100 % af saralle, og slualle er 30 % af saralle, sç forskellen er 130 % af saralle Opgave 15 8 Slualle fçs ved a gange saralle med 0,18 Hvor mange procen er slualle mindre end saralle? 0,18 18 18% 100 100% 18% 8% Slualle er 8% mindre end saralle Saralle er 100 % af saralle, og slualle er 18 % af saralle, sç forskellen er 8 % af saralle Åvelse 159 Besem hvor mange procen värdien af en variabel siger nçr dens värdi siger (1) fra 100 il 1500 () fra 100 il 3000 (3) fra 0, 0 il 0, 35 Åvelse 1510 Besem hvor mange procen värdien af en variabel falder nçr dens värdi falder (1) fra 1500 il 100 () fra 50 il 45 (3) fra 45 il 40 Åvelse 1511 Besem hvor mange procen värdien af en variabel falder eller siger nçr dens värdi Ändres (1) fra 00 il 800 () fra 800 il 00 (3) fra 100 il 1800 Åvelse 151 Vis hvordan den meode fra 155 og 156 kan bruges il a beregne (1) de al der er 60% sérre end 500 () de al der er 60% mindre end 800 (3) de al der er 140% sérre end 500 (4) de al der er 4,% mindre end 0 Eksponenielle sammenhänge Side 57 009 Karsen Juul

Åvelse 1513 Brug meode fra 155 og 156 i denne opgave (1) Besem de al der er 10% sérre end 300 () Besem de al der er 10% sérre end 330 (3) Besem de al der er 0% sérre end 300 (4) Nu er héjden 300 mm, og hver dag bliver héjden 10% sérre end dagen fér Hvad er héjden om 14 dage? Åvelse 1514 Brug meode fra 155 og 156 i denne Évelse (1) Besem de al der er 40% mindre end 500 () Besem de al der er 40% mindre end 300 (3) Besem de al der er 80% mindre end 500 (4) Nu er der 500 gram af e sof, og hver mçned forsvinder 40% af den mängde der var ved mçnedens sar Hvor mange gram er der ilbage om 1 mçneder? Åvelse 1515 I denne Évelse sçr bogsaverne A og B for o al De er oplys a Hvor mange procen er B sérre end A? A1, 085 B Åvelse 1516 I denne Évelse sçr bogsaverne A og B for o al De er oplys a Hvor mange procen er B mindre end A? A 0, 95 B Åvelse 1517 Angiv i hver af félgende ilfälde hvor mange procen B sérre eller mindre end A (1) A1, 1 B () A0, 11 B (3) A B (4) A1, 34 B (5) A0, 086 B Eksponenielle sammenhänge Side 58 009 Karsen Juul

Afsni 16 Poenser SÉTNING 161 Nogle regler om poenser NÇr a, c, r og s sçr for al hvor a og c er posiive, gälder a 0 1 a a 3 a osv 1 a a a a a a a r a s ( a c) r a a rs r c r NÇr NÇr a r c er a r c a r c er log( c) r, a 1 log( a) Opgave 16: Omskriv félgende udryk sç de bliver nemmere a indase pç lommeregneren: B 500 1,031,031,031,03 B 500 1,03 4 Åvelse 163 Omskriv félgende udryk sç de bliver nemmere a indase pç lommeregneren: A 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 C 300 0,961 0,961 0, 961 Opgave 164: ReducÑr 3 1 3 1 1 3 3 6 Åvelse 165 ReducÑr hver af udrykkene 0,5 1 og 0, Eksponenielle sammenhänge Side 59 009 Karsen Juul

Opgave 166: Hvad skal vi gange 1,3 med for a fç 1 1,3? 1 1,3 1,3 1,3 1,3 1, 3 1 Heraf ser vi a vi skal gange 1,3 med 1, 3 for a fç 1 1,3 Åvelse 167 Hvad skal vi gange 43 med for a fç 43? Opgave 168: ReducÑr 10 (3) 10 (3 ) 10 3 10 9 90 Åvelse 169 3 ReducÑr hver af udrykkene ( ) 0, 5 og 4(0,5 ) Opgave 1610: Hvad skal vi gange med for a fç ( 4 )? ( 4) 4 16 Heraf ser vi a vi skal gange med 16 for a fç ( 4 ) Åvelse 1611 Hvad skal vi gange 3 0,7 med for a fç 3 0,7( )? Opgave 161: Besem i ligningen 3 4, 65 Vi vil besemme i ligningen 3,4 4,65,4 Ved a dividere begge sider med 3 fçr vi,4 Heraf fçr vi 1,55,4 1,55 Ved a udregne héjresiden pç lommeregneren fçr vi a 1,003 dvs 1,0 Åvelse 1613 3 Besem i ligningen 5,5 6, 7 Eksponenielle sammenhänge Side 60 009 Karsen Juul

Opgave 1614: Besem i ligningen 10 1,05 11, 3 Vi vil besemme i ligningen 10 1,05 11,3 Ved a dividere begge sider med 10 fçr vi 1,05 1,13 Heraf fçr vi log(1,13) log(1,05) Ved a udregne héjresiden pç lommeregner fçr vi dvs,5049,5 Åvelse 1615 Besem i ligningen 1,5 4, 5 Åvelse 1616 LÉs hver af ligningerne 3 og 3 Eksponenielle sammenhänge Side 61 009 Karsen Juul

Afsni 17 Reneformlen Eksempel 171 Forklaring af reneformlen Vi säer 34 000 kr i banken il en fas Çrlig rene pç 5,8% Vi bruger meode fra opgave 155: 105,8 100% 5,8% 105,8% 1,058 100 Heraf ser vi: Vi skal gange belébe pç konoen med 1,058 for a fç de beléb der er 5,8% sérre BelÉbene pç konoen kan beregnes sçdan: BelÉbe 34000 1, 058 skal ganges med 1, 058 Sar: 34000 for a fç de beléb der er 5,8 % sérre Efer 1 Çr: 34000 1, 058 Efer Çr: 34000 1,058 1, 058 Efer 6 Çr: 34000 1,058 1,0581,0581,0581,058 1, 058 Dee kan skrives korere ved hjälp af poens: (1) Efer 6 Çr: 34000 1,058 47 686, 6 I forbindelse med oplysninger som (1) bruges ofe félgende symboler: hvor K K (1 r) n r K 0 K 6 0 n er analle af erminer 5,8% 34000 47 686, 0,058 er den procen der ilskrives i rene hver ermin er sarkapialen er kapialen efer 6 erminer En ermin er den id der gçr mellem o reneilskrivninger I dee eksempel er en ermin lig e Çr SÉTNING 17 Reneformlen Hvis vi indsäer e beléb pç en kono, sç er hvor K K (1 r) 0 n n er analle af erminer r er den procen der ilskrives i rene hver ermin K0 er sarkapialen K er kapialen efer n erminer Eksponenielle sammenhänge Side 6 009 Karsen Juul

Opgave 173: Vi säer 34 000 kr i banken il en fas Çrlig rene pç 5,8% Efer hvor mange Çr er belébe vokse il 70 000 kr? Vi bruger reneformlen hvor K K (1 r) 0 n Anal erminer n de al vi skal besemme Reneprocenen r 5,8% 0, 058 Sarkapialen K 0 34000 Kapial efer n erminer K 70000 Ved a säe disse al ind i reneformlen fçr vi 70000 34000 (1 0,058) Vi dividerer begge sider med 34000 : 70000 34000 Heraf fçr vi dvs sç n n efer n 1,058 70000 log ( ) 34000 log(1,058) 1,8 13 Çr er belébe vokse il ca 70 000 kr n Åvelse 174 I hver af ilfäldene (1)-(4) skal du gére félgende: Skriv for hver af symbolerne n, r, K0 og K i reneformlen alvärdien eller skriv a den er ukend, og besem de ukende al (1) Vi säer 5 000 kr i banken il en fas Çrlig rene pç 6 % Efer hvor mange Çr er belébe vokse il 8 000 kr? () Vi säer e beléb i banken il en fas Çrlig rene pç 4,5 % Efer 8 Çr er belébe vokse il 180 kr Hvor sor e beléb sae vi i banken? (3) Vi säer 500 kr i banken il en fas Çrlig rene pç 3 % Hvor sor e beléb sçr pç konoen efer efer 16 Çr? (4) Vi säer 700 kr i banken il en fas Çrlig reneprocen Efer 15 Çr er belébe vokse il 1067 kr Besem den Çrlige reneprocen BemÄrkning 175 BelÑbe pç konoen vokser eksponeniel Hvis vi säer 34 000 kr i banken il en fas Çrlig rene pç 5,8%, sç félger af reneformlen a kapialen K efer n Çr er K 34000 1, 058 n IfÉlge definiion 141 er denne sammenhäng eksponeniel Vi har blo brug K og n i sede for y og Eksponenielle sammenhänge Side 63 009 Karsen Juul

Afsni 18 Hvordan ser grafen ud for en eksponeniel sammenhäng? Eksempel 181 FÉlgende re sammenhänge er alle eksponenielle (ifélge definiion 141): I: y 0,7 1, 6 II: III: y 1,, 1 y 1,4 0, 53 Opgave 18: Tegn graferne for de re sammenhänge Ved hjälp af e elekronisk hjälpemiddel eller ved séepunksmeoden fra afsni 4 kan vi egne graferne: I II III SÉTNING 183 Hvordan ser grafen ud for en eksponeniel sammenhäng? En eksponeniel sammenhäng y ba er afagende hvis a er mellem 0 og 1 og voksende hvis a er sérre end 1 Grafen for en eksponeniel sammenhäng ligger over -aksen, men kommer vilkçrlig Ä pç -aksen Eksponenielle sammenhänge Side 64 009 Karsen Juul

Enkellogarimisk koordinasysem I koordinasyseme nedenfor il héjre er den lodree akse en speciel ype der kaldes en logarimisk akse E koordinasysem kaldes e enkellogarimisk koordinasysem hvis den vandree akse er sädvanlig, og den lodree er logarimisk Opgave 184: Tegn grafen for sammenhängen ovenfor y,4 1, 43 i begge koordinasysemerne Vi bruger meoden fra afsni 4 og afsäer de fundne séepunker i begge koordinasysemer: y,4 1, 43 y,4 1, 43 Eksponenielle sammenhänge Side 65 009 Karsen Juul

SÉTNING 185 Grafen for en eksponeniel sammenhäng er en re linje i e enkellogarimisk koordinasysem BemÄrkning NÇr vi ser koordinasysemer i aviser, idsskrifer og lärebéger i forskellige fag, skal vi se efer om akserne er sädvanlige, sç vi ikke ror a en sammenhäng er lineär nçr grafen er en re linje i e enkellogarimisk koordinasysem Eksponenielle sammenhänge Side 66 009 Karsen Juul

Afsni 19 Opgaver hvor vi skal besemme eller y i y = ba Eksempel 191: For nogle dyr gälder (1) y 0,3 1, hvor y er vägen, mçl i gram, og er alderen, mçl i uger Opgave 19: Hvad er vägen af e dyr hvis alder er 13 uger? (Se eksempel 191) Under ligningen (1) sçr a er alderen, sç da de oplyse al 13 er alderen, skal 13 indsäes pç 's plads: y 0,3 1, 13 Ved a udregne dee fçr vi y 3, Under ligningen (1) sçr a y er vägen, sç e 13 uger gammel dyr vejer 3, g Opgave 193: Hvilken alder har e dyr hvis väg er 6,7 g? (Se eksempel 191) Under ligningen (1) sçr a y er vägen, sç da de oplyse al 6,7 er vägen, skal 6,7 indsäes pç y's plads: 6,7 0,3 1, For a lése denne ligning sarer vi med a dividere begge sider med 0,3: 6,7 0,3 0,3 1, 0,3 Vi forkorer bréken pç héjre side og fçr 6,7 0,3 1, Denne ligning har lésningen,7 ( 6 ) log 0, 3 log(1,) Ved a udregne dee fçr vi 17 Under ligningen (1) sçr a er alderen, sç e dyr hvis väg er 6,7g, har alderen 17 uger Eksponenielle sammenhänge Side 67 009 Karsen Juul

Åvelse 194 For e firma gälder y 681, 14 hvor y er anal ansae, og er anal Çr efer 00 Hvor mange ansae er der i 005? Hvilke Çr er analle af ansae ca 150? I de fñlgende lader vi sç for e al som endnu ikke er oplys Opgave 195: Hvilken alder har e dyr hvis väg er gram? (Se eksempel 191) Under ligningen (1) sçr a y er vägen, sç da de oplyse al er en väg, skal indsäes pç y's plads: 0,3 1, For a lése denne ligning sarer vi med a dividere begge sider med 0,3: 0,3 1, 0,3 0,3 Vi forkorer bréken pç héjre side og fçr 1, 0,3 Denne ligning har lésningen log( 0, 3) log(1,) Under ligningen (1) sçr a er alderen, sç for e dyr hvis väg er gram, er alderen i uger log( 0, 3) () log(1,) Hvis 6, 7 ( 6,7 fçr vi af () a alderen i uger er ) log 0, 3 17 log(1,) Åvelse 196 Mellem o variable og y er der félgende sammenhäng: y 4 0, 73 Hvad er nçr y er 48k? (k sçr for e al vi ikke har fçe oplys Svare er e udryk der indeholder k) Eksponenielle sammenhänge Side 68 009 Karsen Juul

Afsni 0 Hvordan kan vi beregne Ändringer i y og for en eksponeniel sammenhäng? Eksempel 01: For en plane gälder (1) y 50 1, hvor y er prisen i kr, og er vägen, mçl i gram Opgave 0: Nu er planens väg gram Hvor mege héjere end nu vil prisen väre nçr planen er bleve 1 gram ungere? (Se eksempel 01) er SpÉrgsmÇle er: hvor mege sérre bliver y nçr bliver 1 enhed sérre? NÇr er bleve 1 enheder sérre, sç har sérrelsen 3 Vi besemmer y nçr er og 3: NÇr er y 50 1, 7 3 NÇr 3 er y 50 1, 86, 4 Da voksede fra il 3, sç voksede y alsç fra 7, il 8,64 Nu kan vi nem regne ud hvor mege sérre y er bleve: 86,4 7 14,4 Der gälder alsç: Prisen seg 14,4 kr da vägen seg fra gram il 3 gram PÇ samme mçde som ovenfor kan vi beregne hvor mege prisen siger nçr vägen siger fra 3 gram il 4 gram Se abellen nedenfor Vi ser: prisen siger siger ikke med samme beléb hver gang vägen siger 1 gram Hvis der havde väre ale om en lineär sammenhäng sige med a kr hver gang vägen siger med 1 gram y a b, sç ville prisen 1 1 3 4 y 7 86,4 103,68 14, 4 17, 8 Eksponenielle sammenhänge Side 69 009 Karsen Juul

I abellen pä foregäende side kan vi se hvor mange kr prisen siger när vågen siger fra gram il 3 gram, og fra 3 gram il 4 gram Opgave 03: Hvor mange procen siger prisen nçr vägen siger fra gram il 3 gram? (Se eksempel 01) Prisen siger fra 7 kr, og signingen er 14,4 kr I procen er denne signing 14,4 0, 0% 7 Prisen siger 0% nçr vägen siger fra gram il 3 gram PÇ samme mçde som ovenfor kan vi beregne hvor mange procen prisen siger nçr vägen siger fra 3 gram il 4 gram Se abellen nedenfor Vi ser: prisen siger med samme procen ved de o vägsigninger pç 1 gram 1 1 3 4 y 7 86,4 103,68 0% 0% Åvelse 04 En pakke sçr i e kold lokale Der gälder y 83 0, 6 hvor y er emperauren i C af pakkens indhold, og er anal imer siden midna Hvor mange grader og hvor mange procen falder emperauren fra kl 1 il? Hvor mange grader og hvor mange procen falder emperauren fra kl il 3? I fñlgende opgave sçr for e al som endnu ikke er kend Vi ser sadig pç sammenhängen (1) i eksempel 01 Opgave 05: rs r s Af poensreglen a a a NÇr sarer med a have värdien og 1 1 fçr vi 1, 1, 1, derefer bliver gjor 1 enhed sérre, hvor mange procen sérre bliver sç y? 1 Af poensreglen a a VÄrdien af Éges fra il +1 1 fçr vi 1, 1, NÇr er y 50 1, 1 NÇr 1 er y 50 1, 50 1, 1, 50 1, 1, 1 NÇr vi ganger 501, med 1,, fçr vi 501, 1, Dvs y bliver 0 % sérre nçr fra värdien Éges med 1 kan sç for ehver al, sç y bliver 0 % sérre nçr vi gér Ñn enhed sérre uanse hvilken värdi sarer med y 1 0% Eksponenielle sammenhänge Side 70 009 Karsen Juul

Åvelse 06 En pakke sçr i e kold lokale Der gälder y 97 0, 53 hvor y er emperauren i C af pakkens indhold, og er anal imer siden midna Hvor mange procen falder emperauren fra kl il kl 1? Opgave 07: Nu er planens väg 0,6 gram Hvor mange procen héjere end nu vil prisen väre nçr planen er bleve 0,4 gram ungere? (Se eksempel 01) er 0,6 SpÉrgsmÇle er: hvor mege sérre bliver y nçr bliver 0,4 enheder sérre? NÇr er bleve 0,4 enheder sérre, sç har sérrelsen 1 Vi besemmer y nçr er 0,6 og 1: 0,6 NÇr 0, 6 er y 50 1, 55, 78 1 NÇr 1 er y 50 1, 60, 00 Da voksede fra 0,6 il 1, sç voksede y alsç fra 55,78 il 60,00 Nu kan vi regne ud hvor mege sérre y er bleve: 60,00 55,78 4, I procen er denne signing 4, 55,78 Der gälder alsç: 0,076 7,6% Prisen seg 7,6% da vägen seg fra 0,6 gram il 1 gram I abellen er anskueliggjor hvad de er vi har regne ud ovenfor Åvelse 08 Om en plane er oplys a 0, 4 0,6 1 y 55,78 60,00 7,6% y 15 1, 08 hvor y er héjden i cm, og er anal uger efer udplanningen Hvor mange cm og hvor mange procen bliver planen héjere i de férse 5 uger efer udplanningen? Åvelse 09 E radioakiv sof anbringes i en beholder Der gälder y 130 0, 89 hvor y er anal gram der er ilbage, og er anal Çr efer a soffe blev anbrag i beholderen Hvor mange gram og hvor mange procen afager mängden af de radioakive sof i lébe af de férse 10 Çr? Hvor mange gram og hvor mange procen afager mängden af de radioakive sof i lébe af de näse 10 Çr? Eksponenielle sammenhänge Side 71 009 Karsen Juul

Opgave 010: Nu er prisen 160 kr Hvor mege ungere end nu vil planen väre nçr den er bleve 31 % dyrere? (Se eksempel 01) y er 160 NÇr y er bleve 31 % sérre, sç har y sérrelsen 160 1,31 09, 6 Vi besemmer nçr y er 160 og 09,6 : Ved a lése ligningen 160 50 1, fçr vi 6, 38 Ved a lése ligningen Vi udregner hvor mege sérre er bleve: 7,86 6,38 1,48 Der gälder alsç 09,6 50 1, fçr vi 7, 86 NÇr planen er beve 31 % dyrere, sç vil den väre 1,48 gram ungere Åvelse 011 E radioakiv sof anbringes i en beholder Der gälder y 130 0, 89 hvor y er anal gram der er ilbage, og er anal Çr efer a soffe blev anbrag i beholderen PÇ e idspunk er der 110 gram ilbage Hvor lang id gçr der efer dee idspunk fér mängden der er ilbage, er 5 % mindre? Åvelse 01 Om en plane er oplys a y 15 1, 08 hvor y er héjden i cm, og er anal uger efer udplanningen PÇ e idspunk er héjden 18 cm Hvor lang id gçr der efer dee idspunk fér héjden er bleve 30 % héjere end den er pç dee idspunk? Eksponenielle sammenhänge Side 7 009 Karsen Juul

Afsni 1 Hvad foräller a og b om den eksponenielle sammenhäng y = ba? I dee afsni sçr bçde a, b og for al som endnu ikke er oplys Eksempel 11: Ligningen (1) y ba viser sammenhängen mellem o variable y og Opgave 1: Hvilken Ändring sker i värdien af y, nçr Ändrer värdi fra il 1? Vi regner ud hvad y er nçr er og 1 : NÇr er y b a 1 1 NÇr 1 er y b a b a a ba a Vi ser a nçr värdien af Ändres fra il +1, sç Ändres värdien af y fra a b il b a a Dvs värdien af y bliver gange med a nçr Ändrer värdi fra il 1 Da ikke indgçr i svare, gälder alsç a ligegyldig hvilken värdi sarer med a have, sç vil y blive gange med a nçr bliver 1 enhed sérre: y 1 a Hvis a er 0,3, er a 1 0,7 70% y blive 70 % mindre sç hver gang bliver 1 enhed sérre, vil OvensÇende udregning viser a félgende regel gälder: SÉTNING 13 Hvad foräller a i y = b a? Hvis y ba, foräller a a hver gang bliver 1 enhed sérre, bliver y gange med a Dee formuleres normal ved hjälp af procen I opgaverne 157 og 158 er vis hvordan vi kan finde procenen nçr vi kender a Eksponenielle sammenhänge Side 73 009 Karsen Juul

Eksempel 14: Ligningen () y 80 0, 95 viser sammenhängen mellem félgende o variable (3) dybden (mçl i cm) under väskens overflade y lysinensieen Opgave 15: I ligningen () sçr alle 0,95 Hvad foräller alle 0,95 om lysinensieen? (Se eksempel 14) Reglen om hvad a foräller (säning 13) siger a hver gang bliver 1 enhed sérre, bliver y gange med a Heri ersaer vi a, og y med oplysningerne fra () og (3): (4) Hver gang dybden bliver 1 enhed sérre, bliver lysinensieen gange med 0,95 Hvis vi mçler lysinensieen e sed i väsken, og derefer mçler dem 1 cm längere nede, sç vil den sidse mçling alsç väre 95 % af den férse, dvs den sidse mçling er 5 % mindre end den férse For hver cm dybden Éges, bliver lysinensieen 5% mindre Dee er hvad alle 0,95 foräller om lysinensieen Åvelse 16 PÇ en skärm kan vi Ändre e rekangel ved a räkke med musen Der gälder y 30 0, 44 hvor y er héjden (i mm) og er bredden (i mm) Hvad foräller alle 0, 44 om héjden og bredden? Åvelse 17 Om nogle bakerier i en näringsoplésning gälder y 000 1, 43 hvor y er analle af bakerier og er anal imer efer a bakerierne blev anbrag i skçlen Hvad foräller alle 1, 43 om analle af bakerier? Opgave 18: Hvad er y nçr er 0? (Se eksempel 11) NÇr 0 er y b a b 1 b Dvs y er b nçr er 0 0 Denne udregning viser a félgende regel gälder: SÉTNING 19 Hvad foräller b i y = ba? Hvis y ba, foräller b a nçr er 0, er y lig b Eksponenielle sammenhänge Side 74 009 Karsen Juul

Opgave 110: I ligningen () sçr alle 80 Hvad foräller alle 80 om lyssyrken? (Se eksempel 14) Reglen om hvad b foräller (säning 19) siger a nçr er 0, er y lig b Heri ersaer vi b, og y med oplysningerne fra () og (3): NÇr dybden under overfladen er 0, er lyssyrken lig 80 Vi omformulerer dee il Ved väskens overflade er lyssyrken 80 Dee er hvad alle 80 i ligningen () foräller os om lyssyrken Åvelse 111 I e compuerspil afhänger gevinsen af den emperaur der opnçs Der gälder y 110 0, 98 hvor er emperauren (i C ) og y er anal méner man vinder Hvad foräller alle 110 om spille? Åvelse 11 Om nogle bakerier i en näringsoplésning gälder y 000 1, 43 hvor y er analle af bakerier og er anal imer efer a bakerierne blev anbrag i skçlen Hvad foräller alle 000 om analle af bakerier? BemÄrkning (Se eksempel 14) Nedenfor er anskueliggjor hvad allene 0,95 og 80 i ligning () foräller om lyssyrken: 1 1 1 Dybde (cm) 0 1 3 Lysinensieen 80 76 7, 68,6 5 5% 5% % Åvelse 113 Man har indspréje e anal enheder af e sof i e dyr Der gälder y 4 0, 79 hvor y er anal enheder i kroppen, og er anal imer efer indspréjningen Hvad foräller allene 4 og 0, 79 om mängden af soffe i kroppen? Eksponenielle sammenhänge Side 75 009 Karsen Juul

Afsni Hvordan kan vi opskrive en ligning for en eksponeniel sammenhäng? Opgave 1: Om en plane oplyses: (1) héjden vokser med 5,6 % pr uge () héjden var 7,0 cm da planen blev kéb Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem planens héjde og idspunke Vi välger félgende beegnelser: = anal uger efer a planen blev kéb y = héjden (i cm) Oplysningen (1) kan nu formuleres sçdan: Dvs Hver gang bliver 1 enhed sérre, sç bliver y 5,6 % sérre Hver gang bliver 1 enhed sérre, sç bliver y gange med 1,056 Af reglen om hvad a foräller (säning 13), félger a a 1, 056 Oplysningen () kan formuleres sçdan: NÇr er 0, sç er y lig 7,0 Af reglen om hvad b foräller (säning 17), félger a b 7, 0 SammenhÄngen mellem planens héjde og idspunke beskrives alsç med ligningen y 7,0 1,056 hvor y er héjde i cm og er anal uger efer kéb De er vigig a vi skriver hvad vi har valg a lade og y sç for ("anal uger efer kéb" og "héjde i cm") da ligningen er ubrugelig hvis läseren ikke ved hvad der skal indsäes for, og ikke ved hvad de er man beregner ved udregne ligningens héjre side Åvelse Om en vare oplyses: I Çr 000 er forbruge 38 on, og forbruge vokser 13,8 % hver Çr Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem forbrug og idspunk Åvelse 3 NÇr man pç en skärm Ändrer afsanden mellem o punker A og B, sç Ändres auomaisk afsanden mellem o andre punker C og D FÉlgende er oplys: Afsanden mellem C og D bliver 14, % mindre hver gang afsanden mellem A og B bliver 1 enhed sérre, og nçr A og B er sammenfaldende, er afsanden mellem C og D lig 3,7 enheder Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem afsand fra A il B og afsand fra C il D Eksponenielle sammenhänge Side 76 009 Karsen Juul

Afsni 3 Fordoblingskonsan og halveringskonsan Åvelse 31 Tabellen viser hvordan mängden af e sof i en oplésning er afage Timer efer a oplésningen blev lave: 0 4 6 8 10 1 MÄngde i gram: 14 1 10 8 7 6 5 (1) Hvis vi nçr oplésningen lige er lave, siller spérgsmçle "Om hvor mange imer er mängden halvdelen af hvad den nu er", hvad er sç svare? () Hvis vi ime afer a oplésningen er lave, siller spérgsmçle " Om hvor mange imer er mängden halvdelen af hvad den nu er ", hvad er sç svare? (3) Hvis vi 4 ime afer a oplésningen er lave, siller spérgsmçle " Om hvor mange imer er mängden halvdelen af hvad den nu er ", hvad er sç svare? Opgave 3: OplÄg il emne fordoblingskonsan Tabellen viser hvordan héjden af en plane er vokse eksponeniel Anal uger efer kéb: 0 1 3 4 5 6 HÉjde i cm: 1 15 19 4 30 38 48 PÇ idspunke uger efer kébe spérger kéberen: (1) Om hvor mange uger er planen dobbel sç héj som nu? Hvad er svare? Af abellen ses a pç idspunke er héjden 19 Den dobbele héjde er 19 38 Af abellen ses a héjden er 38 pç idspunke 5 Da 5 3 mç svare pç spérgsmçle (1) väre: 3 uger Af abellen ses a hvis spérgsmçle (1) var sille 1 uge efer kébe, sç ville vi ogsç väre komme frem il svare "3 uger" Uanse hvornçr vi sarer, sç vil der gç 3 uger fér héjden er fordoble Man siger a héjdens fordoblingskonsan er 3 uger DEFINITION 33 Vi ser pç en eksponeniel sammenhäng Hvad er fordoblingskonsan og halveringskonsan? y b a Hvis sammenhängen er voksende (dvs a 1) definerer vi a fordoblingskonsanen er de anal enheder vi skal gére sérre for a fordoble y Hvis sammenhängen er afagende (dvs 1 0 a ) definerer vi a halveringskonsanen er de anal enheder vi skal gére sérre for a halvere y Eksponenielle sammenhänge Side 77 009 Karsen Juul

Åvelse 34 For en eksponeniel voksende sammenhäng med fordoblingskonsan 5 oplyses: NÇr 3 er y 7 Brug oplysningen om fordoblingskonsan il a besemme flere eksempler pç sammenhérende värdier af og y: NÇr er y NÇr er y Opgave 35: Hvordan kan vi afläse fordoblingskonsan og halveringskonsan pç graf? Figuren viser grafen for en eksponeniel afagende sammenhäng Hvad er fordoblingskonsanen for denne sammenhäng? Resulae bliver de samme uanse hvilken -värdi vi sarer med Vi kan f sare med 1: Som vis pç figuren nedenfor afläser vi a nçr 1 er y 3, 1 De halve af 3,1 er 3,1 1, 55 Som vis pç figuren nedenfor afläser vi a nçr y 1, 55 er 3, 7 For a halvere y skal vi alsç Ége med 3,7 1, 7 sç halveringskonsanen er,7 Vi kan afläse fordoblingskonsan pç ilsvarende mçde Eksponenielle sammenhänge Side 78 009 Karsen Juul

Åvelse 36 Figuren nedenfor il vensre viser grafen for en eksponeniel voksende sammenhäng AflÄs fordoblingskonsanen Åvelse 37 Figuren ovenfor il héjre viser grafen for en eksponeniel afagende sammenhäng AflÄs halveringskonsanen Åvelse 38 Figuren nedenfor il vensre viser grafen for en eksponeniel afagende sammenhäng AflÄs halveringskonsanen Åvelse 39 Figuren ovenfor il héjre viser grafen for en eksponeniel voksende sammenhäng AflÄs fordoblingskonsanen Eksponenielle sammenhänge Side 79 009 Karsen Juul

Opgave 310: OplÄg il opgave 311 En sammenhäng mellem o variable y og er give ved ligningen y,7 1, 14 Hvad er fordoblingskonsanen for denne sammenhäng? Resulae bliver de samme uanse hvilken -värdi vi sarer med Vi kan f sare med 3 : 3 NÇr 3 er y,7 1,14 4 Vi besemmer hvad er nçr y er de dobbele af 4, alsç 8: 8,7 1,14 8,7,7 1,14,7 8 1,14,7 8,7 log( ) log(1,14) 8,9 For a fordoble y skal vi alsç Ége med 8,9 3 5, 9 sç fordoblingskonsanen er 5, 9 I de fñlgende lader vi a og b sç for al der endnu ikke er oplys Opgave 311: Bevis for säning 31 En sammenhäng mellem o variable y og er give ved ligningen () y b a Hvad er fordoblingskonsanen for denne sammenhäng? Resulae bliver de samme uanse hvilken -värdi vi sarer med Vi kan f sare med 0 Af () fçr vi a nçr 0 er y b De dobbele af b er b b b b a b a b a log() log( a) b Vi indsäer dee i () og finder hvad er nçr y er b : Besvarelsen forsåer pä nåse side! Eksponenielle sammenhänge Side 80 009 Karsen Juul

For a fordoble y skal vi alsç Ége fra 0 il log() fordoblingskonsanen er log( a ) log() log( a ), dvs med log() log( a ), sç I ovensçende svar har vi bevis férse del af säningen pç näse side SÄningens anden del kan bevises pç ilsvarende mçde SÉTNING 31 Formler il beregning af fordoblingskonsan og halveringskonsan Vi ser pç en eksponeniel sammenhäng y b a Hvis sammenhängen er voksende (dvs a 1) gälder a log() fordoblingskonsanen er log( a ) Hvis sammenhängen er afagende (dvs 0 a 1) gälder a log(0,5) halveringskonsanen er log( a) Opgave 313: Hvad er halveringskonsanen for sammenhängen y 40 0, 94 Vi indsäer a 0, 94 i formlen log(0,5) halveringskonsan log( a) og fçr log(0,5) log(0,94) 11, dvs halveringskonsanen er 11, Åvelse 314 Besem halveringskonsanen for den eksponeniel afagende sammenhäng y 0,95 0, 3 Åvelse 315 Besem fordoblingskonsanen for den eksponeniel voksende sammenhäng y 0,131, 016 Eksponenielle sammenhänge Side 81 009 Karsen Juul

Opgave 316: Hvad foräller fordoblingskonsanen? Der er en eksponeniel sammenhäng = längden (i cm) (1) y = omkredsen (i cm) De er oplys a () fordoblingskonsanen er 7 cm y ba Hvad foräller alle 7 om omkredsen og längden? Definiionen pç fordoblingskonsan siger: (3) fordoblingskonsanen er de anal enheder vi skal gére sérre for a fordoble y Ved a säe oplysningerne (1) og () ind i (3) fçr vi: (4) mellem de variable 7 er de anal enheder vi skal gére längden sérre for a fordoble omkredsen Ved a omformulere (4) fçr vi: Omkredsen fordobles nçr längden bliver 7 cm längere Dee er hvad alle 7 foräller Åvelse 317 Der er en eksponeniel sammenhäng y ba = anal Çr efer 000 y = anal indbyggere De oplyses a fordoblingskonsanen er 4, Hvad foräller alle 4, om analle af indbyggere? mellem de variable Åvelse 318 Der er en eksponeniel sammenhäng y ba mellem de variable = forséges varighed (i minuer) y = mängde der er ilbage (mçl i gram nçr forsége er slu) De oplyses a halveringskonsanen er 18 Hvad foräller alle 18 om mängden der er ilbage? Åvelse 319 PÇ en skärm kan vi Ändre en rekan ved a räkke med musen Der gälder y 4 1, 06 hvor y er héjden (i cm) og er grundlinjen (i cm) Besem fordoblingskonsanen, og skriv hvad dee al foräller om héjden og grundlinjen Eksponenielle sammenhänge Side 8 009 Karsen Juul