Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1
Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl... 9 De hele tl... 13 De rtioelle tl... 15 De reelle tl... 19 Itervller:... 20 ARITMETIKKENS FUNDAMENTALSÆTNING... 25 Avedelser... 26 TAL OG REGNEREGLER... 30 Legeme M... 30 Aksiomer:... 30 Sætiger udledt fr ksiomere... 32 Pretesregeregler... 36 Brøkregeregler... 37 Oversigt over ksiomere og sætigere... 43 Komplekse tl... 44 POTENSREGNEREGLER... 45 Ekspoetiel ottio:... 58 NUMERISK VÆRDI / ABSOLUT VÆRDI... 59 Avedelser f umerisk værdi... 60 GENNEMSNIT... 61 Aritmetisk geemsit... 62 Hrmoisk geemsit... 63 Geometrisk geemsit... 65 Kvdrtisk geemsit... 66 2
MÆNGDELÆRE Mægdelære reges ormlt som grudlæggede ide for mtemtik. Dvs. t m ud fr mægdelære k udlede l de mtemtik. Det er imidlertid et både bstrkt og omstridt projekt, og det er ikke det, vi skl fokusere på i dee korte itroduktio. Vi skl i stedet se på de væsetlige begreber og symboler ide for mægdelære, fordi disse optræder mge steder ide for de forskellige emer, som vi behdler i de 3 år i gymsiet, og oftest bliver de behdlet, som om m burde kede dem, hvilket ikke lægere er tilfældet, d mægdelære forsvdt fr folkeskole for mge år side. Vi idleder med det, der seere blev kedt som de ive defiitio på e mægde: Defiitio 1: E mægde er e smlig f objekter, der betrgtes som e helhed. Objektere i e mægde kldes mægdes elemeter. Eksempel 1: Objekter skl forstås meget bredt, så mægder kue være: A {3,8,12, 23} B {1,2,3,4,5,...} C { Q,7,, blå, } D { 2,7, 3,9, 7,0 } E { A, B, C, D} {{3,8,12,23},{1,2,3,4,5,...},{ Q,7,, blå, },{ 2,7, 3,9, 7,0 }} Bemærk ottioe. De krøllede preteser kldes Tuborgklmmer eller Tuborgpreteser, og de bruges til t fgræse de elemeter, som mægde består f. Lighedsteget = giver, t udtrykkee på hver side f teget er es, dvs. t A er det smme som {3,8,12,23}, hvilket er vist i mægde E. M læser A {3,8,12,23} som A er mægde beståede f elemetere 3, 8, 12 og 23. De edelige mægder k m også give på følgede måde: A er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er tl. B er e uedelig mægde, d de tre prikker giver, t systemet fortsætter, således t der er uedeligt mge elemeter i mægde. C er e edelig mægde med 5 elemeter f forskellig krkter (bogstv, tl, tl, ord og figur). D er e edelig mægde med 3 elemeter, der lle er pukter i ple. E er e edelig mægde med 4 elemeter, der lle er mægder. Læs oveståede beskrivelse f mægdere grudigt og smmelig de med udtrykkee i eksempel 1. 3
Med tilhører -symbolet giver m, t et elemet ligger i e mægde. Symbolet giver, t et elemet ikke ligger i e mægde. Eksempel 2: I eksempel 1 hr m bl.. 3 A ; 3 B ; 3 C ; 3 D ; 3 E blå C ; blå D ; 2,7 D ; 2,0 D Det er også vigtigt t bemærke, t rækkefølge f elemeter ikke hr oge betydig. Det følger f dee defiitio: Defiitio 2: To mægder er es, hvis de ideholder de smme elemeter. Dvs. hvis det om ethvert elemet i de ee mægde gælder, t det også er elemet i de de mægde og omvedt. At mægdere A og B er es skrives A B At mægdere A og B ikke er es skrives A B Eksempel 3: Mægdere 6,9,3 og 3,6,9 er es, dvs. 6,9,3 3,6,9. Mægdere, b, c, dog c, d, b, er es, dvs., b, c, d c, d, b,. Mægdere 2,3,4 er IKKE es, d 1 er elemet i de første mægde, 1,2,3 og me ikke i de de (og omvedt gælder om 4), dvs. 1,2,3 2,3,4. Mægdere bc,, og b, er IKKE es, d c ku er elemet i de første mægde. E mægde k som vi så i eksempel 1 - godt ideholde dre mægder, og der er ikke oget i vores formulerig, der forhidrer, t e mægde ideholder sig selv. Me det er ikke uproblemtisk. Prøv t se på følgede to beskrivelser f det, der er kedt som Russells prdoks (efter Bertrd Russell, der levede 1872-1970): Russells prdoks: Mægdeversioe: Se på mægde M beståede f lle de mægder, der ikke ideholder sig selv. Ideholder mægde M sig selv? De sproglige versio: De mdlige brber i bye brberer etop dem, der ikke brberer sig selv. Brberer brbere sig selv? Dette prdoks førte til, t m gik væk fr de ive defiitio f mægder og i stedet udrbejdede e såkldt ksiomtisk versio. Vi veter dog med ksiomer til vores behdlig f tl og vil i stedet se på e række symboler og begreber. Defiitio 3: De tomme mægde er mægde, der ikke ideholder oge elemeter. De tomme mægde gives også med teget. Det giver ikke rigtig oge meig t komme med et eksempel, d det jo hedder De tomme mægde, dvs. det er, der er de tomme mægde. Me det k æves, t hvis m vil de tllee på bggrud f mægdelære, så er det tllet 0, der svrer til de tomme mægde. 4
Defiitio 4: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e delmægde f A, hvis der ikke fides oget elemet i B, der ikke også er elemet i A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er delmægde-symbolet. Defiitio 5: Ld A være e give mægde. M siger, t mægde B er e ægte delmægde f A, hvis B er e delmægde f A, og hvis B A. M skriver i så fld: B A. Dvs. symbolet er ægte delmægde -symbolet. Bemærk, hvord m i Defiitio 5 ved t skrive B Aheviser tilbge til Defiitio 2. Det gælder helt geerelt, t m gere må hevise til tidligere defiitioer. Eksempel 4: Ld A, c, h, b, k Så gælder:, c, b, k A og, c, b, k A,,,, c, h, b, k A me, c, h, b, k er ikke e ægte delmægde f A. Mægde c d e er hverke e delmægde eller e ægte delmægde f A. Bemærk, t ægte delmægde er et skrppere krv ed delmægde, så hvis e mægde B er e ægte delmægde f A, er de også bre e delmægde f A. Med de grfiske måde t give mægder, vil e delmægde være helt omsluttet f de opridelige mægde: Her er R e ægte delmægde f A. Bemærk, t det f Defiitio 4 følger, t ehver mægde er e delmægde f sig selv, smt t de tomme mægde er e delmægde f lle mægder. Dvs. der gælder geerelt: Sætig 1: For ehver mægde A gælder: A A og A. Vi skl seere uder emet Kombitorik lære t tælle tllet f delmægder f e mægde. 5
Vi skl u se på e række begreber, der kommer i spil, år der optræder mere ed é mægde. Defiitio 6: Ld A og B være to mægder. Vi k så idføre følgede begreber: ) Fællesmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der både tilhører A og B. Fællesmægde for A og B skrives A B. b) A og B siges t være disjukte, hvis ige elemeter tilhører både A og B, dvs. hvis A B. c) Foreigsmægde for A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, der tilhører midst é f mægdere A eller B. Foreigsmægde der også kldes uiosmægde for A og B skrives A B. d) Differesmægde mellem A og B er de mægde, der består f lle de elemeter, som tilhører A, me ikke tilhører B. De gives A\ B. Eksempel 5: Ld A 4,9,12,18, 27 og B 0,9,12,15 AB. M hr så: 9,12 A B 4, 0,9,12,15,18, 27 A\ B 4,18, 27 B\ A 0,15 Eksempel 6: Ld A k,, r og B c, p. M hr så: A B Dvs. A og B er disjukte. A B c, k,, p, r A \ B k,, r, dvs. A \ B A B \ A c, p, dvs. B \ A B På figure til højre er fællesmægde og de to differesmægder givet. Eksempel 7: For edeståede mægder gælder: A 5, 2,1,9 B 5,3,9 A B 5,9 A B 5, 2,1,3,9 A\ B 2,1 B\ A 3 6
Huskeregler: M k bemærke, t fællesmægde for to mægder som udggspukt er midre ed hver f de to mægder, mes foreigsmægde er større ed disse. Hvis m forestiller sig lidt lim på iderside f bue, k følgede billede derfor muligvis fugere som huskeregel: Ellers k uiosmægde/foreigsmægde huskes på, t symbolet liger et u (som i uio ~ fgforeig), mes fællesmægdes symbol k omformes til et A for Ad ~ og. Vi hr u idført ogle symboler, der vedes i forbidelse med flere mægder. Der gælder e række sætiger, hvorf vi ser på ogle edefor i sætig 2. Det er vigtigt, t du tæker over dem og idser, t de er rigtige (beyt figure som hjælp): Sætig 2: For mægdere A, B og C gælder: ) A B og A Ber begge mægder (Stbilitet) b) A B B A (Kommuttivitet) c) A B B A (Kommuttivitet) d) A B C AB C (Associtivitet) e) A B C AB C (Associtivitet) f) AB C A B A C (Distributivitet) g) AB C A B A C (Distributivitet) Sætigere 2.d og 2.e kræver lidt ekstr forklrig. Det er væsetligt t bemærke, t vi ku hr idført og som symboler, der virker mellem to mægder og resulterer i e mægde. Med pretese giver m ltså, t m ide i pretese hr vedt teget mellem de to mægder og derfor u ku hr é mægde i pretese, hvorefter m k vede teget ige. Poite med ssocitive love er, t m ikke behøver t skrive pretesere. Du keder det fr tllee, hvor du k tillde dig t skrive 3 7 4, etop fordi der gælder 3 7 4 3 7 4. Grudmægde: I ogle situtioer f.eks. år vi skl løse ligiger rbejder m med e såkldt grudmægde, der fortæller os, hvilke objekter vi k rbejde med, år vi skl de mægder. Vlget f grudmægde fhæger f situtioe, og det veder vi tilbge til. Nu ser vi på begrebet komplemetærmægde, der ku giver meig, år m tger udggspukt i e grudmægde. Defiitio 7: Ld G være grudmægde, og ld A være e delmægde f G. Komplemetærmægde til A består f lle de elemeter i grudmægde, der IKKE tilhører A. Komplemetærmægde skrives: Og der gælder ltså: 7
Eksempel 8: Ld G 1,3,5,7,9,11,13 og ld A 1,7,11,13. Så er: Eksempel 9: Ld G 1,2,3,4,5,... og ld 2,4,6,8,10,... C Så er A 1,3,5,7,9,... A. Det sidste begreb, vi får brug for, er det krtesiske produkt, som er væsetligt, år vi skl idføre koorditsystemer og give pukter i koorditsystemer. Defiitio 8: Det krtesiske produkt A B f mægdere A og B er mægde beståede f lle de ordede pr b,, hvor A og b B. Dette skrives:, A B b A b B Højreside i udtrykket i ederste lije læses: Mægde beståede f lle de pr komm b for hvilket det gælder, t tilhører store A og b tilhører store B. Bemærk ordet ordede i defiitioe, der fortæller, t der er forskel på 3,7 og 7,3. Eksempel 10: Ld mægdere A og B være givet ved A 1,3,8 og B 2,7 Så er AB 1,2, 1,7, 3,2, 3,7, 8,2, 8,7 8. Eksempel 11: Ld mægdere A og B være givet ved A,9 og B, q Så er AB,,, q, 9,, 9, q. Udvidelse: Når vi seere i rumgeometrie skl rbejde med tredimesioelle koorditsystemer, udvider vi det krtesiske produkt, så vi får: A BC, b, c A b B c C I et ormlt koorditsystem, der er et krtesisk koorditsystem i ple, rbejder vi med pukter på forme xy,, hvor x-kse X består f lle puktere på de vdrette tllije, mes y-kse Y består f lle puktere på de lodrette tllije. I et tredimesioelt koorditsystem idføres e ekstr tlkse, z-kse, der peger ud f ple, og som giver ledig til e ekstr koordit på puktere, der derfor bliver x, y, z.
TAL Tl er e del f sproget og hverdge, og det er vist de færreste, der kommer i tvivl om, t de hr med tl t gøre, år de ser størrelsere 8, -26 og 5,917. Me forståelse f, hvd et tl er, hr ædret sig geem tide, og der er ldrig opstået fuld eighed bldt mtemtikere om, hvorår oget er et tl. F.eks. er det ikke lle, der betrgter de komplekse tl som rigtige tl. Vi skl her se på forskellige idfldsvikler til begrebet tl og geemgå de vigtigste tlmægder. De turlige tl Tl opstår f behovet for t kue tælle. Dvs. de simpleste forståelse f tl er som det, m tæller med. Me selv dee simple tlforståelse giver ledig til problemer. Tllet 1 idtger f.eks. e særsttus. Mtemtik er udviklet flere forskellige steder i verde, og ide for de meget lsidige græske mtemtik (udviklet i e periode på godt 1000 år fordelt ogelude ligeligt omkrig år 0) opstod på e tidspukt de tke, t 1 ikke vr et tl, me derimod ehede. Det skl forstås på de måde, t år m skl tælle, giver m først med ehede, hvd det er, m tæller. Dvs. m siger E ste, og derefter ved m, år m begyder t sige 2, 3, 4 osv., t det er ste, m tæller. Eller m dre ord: M begyder først t tælle, år m siger 2. Dette k virke som e uvæsetlig detlje, me det er i hvert fld vigtigt t vide, år m skl forstå sætigere i f.eks. Euklids Elemeter, der blev skrevet omkrig 300 fvt. og måske er det mest berømte mtemtiske værk. Ellers vil m udre sig over ekelte formuleriger, hvor det ser ud til, t Euklid hr glemt tllet 1. Vi tger dog 1 med, år vi skl defiere de tlmægde, der giver de tl, m tæller med: Defiitio 1: De turlige tl er tlmægde 1,2,3,4,5,.... Bemærk, t De turlige tl er e uedelig tlmægde. Vi skl seere i forbidelse med emet Uedeligheder og verdesbilleder beskæftige os mere med dee tlmægde og se, t der fides forskellige slgs uedeligheder. Bemærk også selve ottioe med et dobbeltstreget N. D de turlige tl er e helt bestemt tlmægde, hr de fået sit eget symbol (der også fides i Mple uder Commo Symbols ), og år m skriver - i modsætig til bre t skrive N ved m ltså, t der er tle om de turlige tl. 9
Vi hr idført de turlige tl ud fr tkegge om, t m tæller med dem. E de mulig og ært beslægtet idfldsvikel er, t m måler med tl. Dvs. du skl tæke på et lijestykke som ehede, og dre lijestykker måles så med dee ehed: Det røde lijestykke er ltså 4 (eheder). Me hvd med det blå lijestykke? Her kommer vi i problemer ide for de turlige tl og udskyder derfor tkegge om t måle med tllee. Regeregler: Vi går u ud fr, t vi hr idført de turlige tl med heblik på t tælle. Vi opdger så, t vi også k rege med tllee. Vi idfører regeopertioe dditio givet med teget + ved: Defiitio 2: Ld og b være to tl bseret på de smme ehed. M dderer tllee og b ved t tælle det smlede tl eheder, der idgår i og b. Additioe skrives b, og m klder og b for ddeder, mes b kldes summe. Bemærk, t summe i sig selv er et tl. Hvis vi et øjeblik glemmer det tilsyeldede problem ved t måle med tllee, k dditio illustreres ved edeståede figur, hvor de to lægder lægges smme ved t plceres for ede f hide (e metode vi seere skl bruge i forbidelse med vektorregig). 10
E meget væsetlig poite ved dditio er, t de to tl skl være bseret på de smme ehed. F.eks. k m ikke lægge 2 æbler og 3 pærer smme, d tllet 2 er bseret på ehede æble, mes tllet 3 er bseret på ehede pære. Hvis m idveder, t m d hr 5 frugter, er det ikke e pssede idvedig, for de 5 frugter er fremkommet ved e de dditio, emlig 2 frugter lgt smme med 3 frugter. Ide for fysik og kemi k m ikke lægge to tl med forskellige eheder smme. F.eks. k m ikke lægge e krft på 3N (de fysiske størrelse krft k gives i ehede ewto) smme med e lægde på 5m. Og m k heller ikke lægge e lægde på 5m smme med e lægde på 13mm, ide m hr sørget for t omrege de ee lægde, så de hr smme ehed som de de. Når m rbejder med brøker, k m heller ikke lægge dem smme, før de hr fælles æver. Oveståede poite er vigtig, me e midst lige så vigtig poite er, t m fktisk ltid k lægge tl smme, hvis de er bseret på smme ehed. Det fører til følgede dditioer, hvor du skl være opmærksom på, t du slet ikke behøver t forstå de udtryk, der står efter tllee, me blot hele tide bemærke, t det er es udtryk, der står bg begge tl. Du vil få eorm glæde f t idprete dig dee tkegg: 4x 7x 11x x x x 9 log 14 log 23log 2bc 6bc 8bc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z 4 5 9 y y y 11si 5si 16si 18 18 18 6 3 9 7 7 7 Vi kue også hve defieret dditio ved t tge udggspukt i mægder: Altertiv defiitio: Ld A og B være disjukte mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. Summe ber tllet f elemeter i foreigsmægde A B. Mægdelære giver os også e forholdsvis simpel defiitio på regeopertioe multipliktio: Defiitio 3: Ld A og B være mægder, og ld være tllet f elemeter i A og b tllet f elemeter i B. M multiplicerer og b ved t tælle tllet f elemeter i det krtesiske produkt A B, og det skrives b. I produktet b kldes og b fktorer. 11
M kue også defiere multipliktio ved: Altertiv defiitio: M multiplicerer tllee og b ved b gge t ddere med sig selv: b... b ddeder Når dditiosteget + og multipliktiosteget er på plds, opdger m ogle regler, der gælder for disse regeopertioer: Stbilitet: Når m dderer eller multiplicerer to turlige tl, er summe eller produktet også et turligt tl. Kommuttivitet: For dditio: b b For multipliktio: b b Associtivitet: For dditio: b c b c For multipliktio: bc b c Distributivitet: b c b c Smmelig disse regler med sætig 2 fr mægdelære. Ige er de distributive lov de lov, der kombierer de to regeopertioer, mes de ssocitive love fritger os fr t vede preteser i visse situtioer. De kommuttive lov for multipliktio keder du måske som: Fktoreres orde er ligegyldig. Cifre: Der er uedeligt mge turlige tl: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22, Me de er bygget op f et begræset tl cifre, emlig de ti cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9. Cifree vedes også til t skrive decimltl (f.eks. 487,3061), og det er tllet f forskellige cifre, der lægger v til forskellige tlsystemer. Totlssystemet (Det biære tlsystem) rbejder med de to cifre 0 og 1, vores titlssystem rbejder som ævt med ti cifre, mes bl.. bbyloere hvde et 60-tlssystem, dvs. et system med 60 cifre. Vores tidsregig med miutter og sekuder, smt vores vikelmåliger k føres tilbge til et 60-tlssystem. 12
De hele tl De æste tlmægde, vi skl se på, er De hele tl. Hermed dropper vi kroologie (de historiske rækkefølge), hvor De rtioelle tl blev udviklet før De hele tl. Til gegæld k det præseteres mere overskueligt og smmehægede. Vi hr set, hvord de turlige tl k opstå ud fr behovet for t kue tælle, smt hvord regeopertioere dditio og multipliktio k vedes, år m rbejder med turlige tl. Problemere med de turlige tl opstår først, år m vil udvide med regeopertioe subtrktio ( mius ). Ld os prøve t se på følgede situtio: E bode hr 7 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 20? Dette giver ledig til følgede ligig (skrevet med utidig ottio): x 7 20 For t løse dee ligig idfører vi e regeopertio subtrktio, der er det modstte f dditio forstået på de måde, t de k ophæve hide: x 7 7 20 7 x 20 7 13 Disse to lijer kræver fktisk e msse forklrig, me vi skl seere gøre det mere formelt. Lige u skl du ku fokusere på tkegge: 20 7 er det tl, der lgt til 7 giver 20. Eller geerelt: b er det tl, der dderet med b giver. Bemærk ltså, t regeopertio subtrktio k formuleres ud fr dditio. Dette hr edu ikke ført til problemer, me hvd sker der, hvis m bytter om på 7 og 20? 20 x 7. Dette svrer til e bode, der hr 20 får og spørger sig selv: Hvor mge får mgler jeg, før jeg hr 7? Dette er et meigsløst spørgsmål. I dette tilfælde skulle bode srere hve stillet spørgsmålet: Hvor mge får skl jeg miste eller give væk, før jeg hr 7?. Dvs. i de meget simple situtio, hvor m tæller, k dditio svre til t få får, mes subtrktio svrer til t miste får. Og herfr er der ikke lgt til t tæke på gæld, for hvis m mister mere, ed m hr, kommer m til t skylde, og så opstår de egtive tl. I de simple tlforståelse hr vi ltså: Oversigt: Regeopertioe dditio svrer til t få. Regeopertioe subtrktio svrer til t miste. Negtive tl svrer til gæld. Bemærk, t der er forskel på egtive tl og regeopertioe subtrktio. Vi skker derfor om et regemius (subtrktio) og et fortegsmius (egtivt tl). Vi skl gøre mere ud f dette, år vi ser mere formelt på tllee. Negtive tl opstår ltså hvis vi vel t mærke ccepterer deres eksistes år vi løser 20 x 7. 13
Vi er u æste fremme ved de hele tl. Vi mgler ku tllet 0. Dette tl hr si helt ege historie. I positiostlsystemer (som f.eks. vores 10-tlssystem) hr 0 i begydelse været givet som et mellemrum. Dvs. hvis m skulle skrive 307, skrev m 3 7. Seere fik det sit eget symbol, og edelig i 628 evt. udgv de idiske mtemtiker Brhmgupt værket Brāhmsphuṭsiddhāt, hvor ikke blot 0 idgår med symbol og v, me hvor det også specifikt behdles som et tl, der idgår på lige fod med dre tl i beregiger. Al dee sk hr u ført frem til: Defiitio 4: De hele tl er tlmægde..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,.... Det væsetlige t bemærke er, t år vi rbejder med de hele tl, k vi ude t bekymre os vede regeopertioere dditio, multipliktio og subtrktio. Dvs. vi k være sikre på, t vi, hvis vi tger to hele tl og ete lægger dem smme, gger dem med hide eller trækker dem fr hide, så får vi ige et helt tl. Det er det, vi klder stbilitet. Bemærk også, t de turlige tl ku vr stbile over for dditio og multipliktio, for hvis vi tger to turlige tl (der jo er positive) og trækker det største fr det midste, får vi et egtivt tl, der IKKE er et turligt tl. Vi hr ltså: Opsmlig: Stbilitet ide for de turlige tl: b b Stbilitet ide for de hele tl: b b b 14
De rtioelle tl Vi er u ået til brøkere og skl først se på, hvord de fremkommer. Som ævt tidligere opstod de før de egtive tl og 0, og m hr kuet rege med brøker i flere tuside år. Vi så, hvord de egtive tl og regeopertioe subtrktio kue opstå ud fr dditio. Vi skl u se, hvord brøkere og regeopertioe divisio k opstå ud fr multipliktio. Vi går f grude som vil blive tydelige seere over til t kigge på æbler i stedet for får. Vi ser på situtioe: 4 persoer spiser hver 5 æbler. Hvor mge æbler spises i lt? Dvs. t der 4 gge spises 5 æbler, og m får udregige 45 20, dvs. der spises 20 æbler. Regeopertioe divisio opstår, år m ædrer problemstillige lidt: Vi hr 20 æbler, og 4 persoer vil gere spise disse æbler (ligelig fordelig). Hvor mge får de hver? Dette giver ledig til ligige: 4x 20 Vi løser dee ligig ved t idføre regeopertioe divisio, der er det modstte f regeopertioe multipliktio forstået på de måde, t de ophæver hide: 4 x 20 4 x 20 4 4 x 5 Ige kræves der egetlig e del mere forklrig, og vi skl også srt gøre det mere formelt, me bemærk det væsetlige: Vi hr multipliceret x med 4 og efterfølgede divideret resulttet med 4, og disse to opertioer hr ophævet hide, så vi ku hr x tilbge. Vi hr dermed fået idført regeopertioe divisio, me mgler stdig brøkere. For selvom vi godt ved og k se det i vores udregig t tllet 5 k skrives som brøke 20, så er det ikke 4 ødvedigt med brøker edu. Brøkere opstår først, hvis de 4 persoer f.eks. ku hr 19 æbler. I så fld fører problemstillige til: 19 x 4 Og de væsetlige poite er: 19 k ikke skrives som et helt tl. Vi hr ltså fået e y slgs tl, 4 som vi klder brøker, og som k fremkomme, år vi idfører regeopertioe divisio. Det skl dog lige tilføjes, t m fktisk godt k udgå brøker, selvom m idfører regeopertioe divisio. Det skl vi se på, år vi i 3.g behdler emet Tlteori. 15
Defiitio 5: Ved e divisio f tllet med tllet b fås det tl, der multipliceret med b giver. Divisioe skrives b, hvor kldes dividede eller tællere, b kldes divisore eller ævere og b kldes kvotiete eller brøke. Vi idfører så edu e tlmægde: Defiitio 6: De rtioelle tl er tlmægde beståede f lle de tl, der k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk de meget vigtige detlje, t lle hele tl også k skrives som e brøk med hele tl i 7 14 0 0 15 tæller og æver. F.eks. hr m: 7 ; 7 ; 0 ; 0 ; 5. 1 2 2 1 3 Derfor vil lle hele tl også være rtioelle tl (me ikke omvedt, hvilket vi så med 19 4 ). For t forstå mægde f rtioelle tl bedre skl vi ltså u besvre spørgsmålet: Hvilke tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver? Vi ved llerede, t lle hele tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Ld os u se på decimltllee (dvs. tl som vi skriver med et komm efterfulgt f decimler). Der fides tre typer f decimltl (også kldet decimlbrøker): 1) Decimltl med et edeligt tl decimler. 2) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der opstår e sekves i decimlere, der getger sig i det uedelige (såkldt periodiske uedelige decimltl). 3) Decimltl med et uedeligt tl decimler, hvor der ikke opstår et system i decimlere. Edelige decimlbrøker: Edelige decimlbrøker er tl f type 45,498732-7,09345 0,00004352 12394564,9 Ld os se på, om vi på e eller de måde k skrive disse tl som brøker med hele tl i tæller og æver. 5 6 Vi klder tllet for og multiplicerer det så med et tl bldt 10, 100, 1000, 10000, 10, 10, 6 der er tilstrækkelig stort til, t m får et helt tl. I tilfældet 45,498732 er 10 tilstrækkelig stort: 45, 498732 1000000 45498732 45498732 1000000 Vi hr ltså fået skrevet tllet 45,498732 som e brøk med hele tl i tæller og æver. Det er ikke e uforkortelig brøk, me det er heller ikke ødvedigt i dee smmehæg. 8 Med tllet 0,00004352 er det 10, m multiplicerer med: 16
0, 00004352 8 10 4352 4352 100000000 Ige er tllet blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Med tllet 12394564,9 er det 10 m multiplicerer med: 12394564,9 10 123945649 123945649 10 Tllet er u blevet skrevet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Bemærk, t dee fremggmåde k beyttes på lle edelige decimlbrøker. Det er bre et spørgsmål om t vælge et pssede stort tl t multiplicere med. Det er u vist, t smtlige edelige decimlbrøker k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, dvs. t de tilhører de rtioelle tl. Periodiske uedelige decimlbrøker: Periodiske uedelige decimlbrøker er tl f forme: 5,333333... 5,3 12,9999999... 12,9 27,925925925925925925... 27,925 89, 2418328967289672896728967... 89, 2418328967 0, 0000031498726624031498726624031498726624031498726624... 0, 0000031498726624 Bemærk, t der i hvert f tllee er e sekves på mellem 1 og 12 tl, der getger sig i det uedelige, smt hvord m med strege over dee sekves k give tllet kortere. Bemærk også, t sekvese ikke ødvedigvis begyder lige efter kommet. Vi skl u ige geem e række eksempler se på, hvord vi omskriver disse tl til brøker med hele tl i tæller og æver. Vi begyder på smme måde med t multiplicere med et pssede f 5 6 tllee 10, 100, 1000, 10000, 10, 10,, me derefter bliver det lidt derledes, d vi trækker vestresidere fr hide og højresidere fr hide: 5,33333... 48 10 53,33333... 5,33333... 9 48 10 53,33333... 9 Det lykkedes os ltså t få skrevet tllet 5,3 som e brøk med hele tl i tæller og æver. Der er dog lige de helt cetrle poite i hele udregige, som du skl være opmærksom på. Hlere på de to tl 53,3 og 5,3 er es, etop fordi de opridelige decimlbrøk er uedelig og de smme sekves (i dette tilfælde tllet 3) getges i det uedelige. Derfor forsvider hle, år de to tl trækkes fr hide. 17
Vi ser u på tllet 12,9. Ige multiplicerer vi med 10: 12,9 117 10 129,9 12,9 9 117 10 129,9 9 Ige hr vi fået skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Me i dette tilfælde er der lige e ekstr meget vigtig detlje. Bemærk, t 117 13 9 Og det skl forstås præcis som lighedsteget viser: 12,9og 13 er det smme tl!, dvs. vi hr fktisk vist, t 12,9 13. E de idfldsvikel til t forstå dette muligvis overrskede resultt er, t der ikke er oge forskel (forstået som e fstd på tllije) på de to tl, og derfor er de to tl es. Vi ser u på tllet 27,925. I dette tilfælde multiplicerer vi med 1000. Tjek, t du k se poite med, t det etop er tllet 1000, vi beytter: 27,925925925925925... 1000 27925,925925925... 27,925925925... 1000 27925,925925925... 999 27898 27898 999 Ige lykkedes det t få skrevet tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Som sidste eksempel ser vi på tllet 89,2418328967. Her foretger vi to multipliktioer. Tjek ige, t du k se poite med begge multipliktioer: 5 10 8924183, 28967 10 5 10 10 892418328967, 28967 8924183, 28967 10 10 892418328967, 28967 9999900000 892409404784 892409404784 9999900000 Også her lykkedes det os t skrive tllet som e brøk med hele tl i tæller og æver. Og det skulle u være klrt, t de vedte metode k bruges i lle situtioer med periodiske uedelige decimlbrøker, dvs. vi hr u set, t lle disse k skrives som brøker. Ikke-periodiske uedelige decimlbrøker: M kue måske u få de tke, t lle tl k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver, me de ikke-periodiske uedelige decimlbrøker (dvs. decimlbrøker hvor der ldrig fremkommer et system i decimlere) k ikke. Det er ikke oget, vi beviser edu. Det kommer uder emet Tlteori, hvor vi bl.. beviser, t 2 ikke k skrives som e brøk med hele tl i tæller og æver. Opsmlig: De rtioelle tl uedelige decimlbrøker. består f de hele tl, de edelige decimlbrøker smt de periodiske 18
Der er som ævt tl (f.eks. De reelle tl 2 og ), der ikke k skrives som brøker med hele tl i tæller og æver. Disse tl kldes irrtioelle tl. Disse tl k ikluderes, hvis vi begyder t tæke på tl som pukter på e tllije. Vi ser ltså på tllije (tlkse): Der er flere vigtige tig t bemærke omkrig tllijer. De er kotiuerte (dvs. smmehægede), hvilket skl forstås på de måde, t tllije der er e uedelig mægde f pukter ikke hr oge huller. Dvs. du k ikke slå ed oget sted mellem to pukter på lije ude t rmme et yt pukt. De irrtioelle tl ligger også på tllije. Repræseteret ved -,, 2 og e ovefor. Eulers tl e støder vi på msser f gge fremover. Det udgør smme med 0,1 og ok de vigtigste tl ide for mtemtik. I Mple fider du det uder Commo Symbols. Tilføj det til die fvoritter med det smme. Tstturets e fugerer IKKE. Også de rtioelle og hele tl ligger som vist på tllije. Defiitio 7: De reelle tl er tlmægde beståede f lle tl på tlkse. Med dee defiitio skulle m tro, t vi hvde fået ikluderet lle tl, me som vi seere skl se, fides der også komplekse tl (tlmægde ), der godt k ligge ude for tlkse. Dem får vi dog ikke brug for u, så vi k smle op ved t se på vores 4 tlmægder smme: 19
Itervller: Du kommer i gymsiet til t rbejde e hel del med fuktioer og grfer. I de smmehæg er det vigtigt t bemærke, t vi (æste) ltid rbejder med reelle tl. Dvs. vi rbejder med kotiuerte tlkser. Der er ltså ige huller på tlkse, og mellem to vilkårligt vlgte forskellige tl på tlkse ligger der uedeligt mge dre tl. Uset hvor tæt på hide de to opridelige tl ligger. Dette giver problemer, hvis vi f.eks. øsker t give mægde f pukter, der ligger mellem tllee 1 og 4 (begge tl iklusive), og forsøger t vede vores ottio med tuborgpreteser. For hvis m skriver 1,2,3,4, hr m ku fået 4 tl med, me der ligger jo uedeligt mge tl på tlkse mellem 1 og 4 og ikke ku de 4 give turlige tl. Vi k heller ikke skrive 1,...,4, for det er e helt igeem ugyldig ottio, d de tre prikker giver, t der i de foregåede tl er fremkommet et system, der fortsættes, me ét tl k ikke give et system. Vi hr simpelthe brug for e helt de ottio. Defiitio 8: Et itervl er e smmehægede tlmægde, dvs. et område på tlkse ude huller. Et itervl består f uedeligt mge reelle tl. Nottio: Når vi rbejder med tlkser (dvs. reelle tl) vedes e ottio med firktede preteser,, og til t give itervller. Nottio: Vi veder betegelsere åbe, hlvåbe, lukkede, begræsede og ubegræsede om itervller. Et itervl siges t være vestrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er midre ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være højrebegræset, hvis der fides et reelt tl, der er større ed smtlige værdier i itervllet. Et itervl siges t være begræset, hvis det er både vestrebegræset og højrebegræset. Hvis et itervl hverke er højrebegræset eller vestrebegræset, er det ubegræset. Et itervl siges t være vestreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være højreåbet, hvis der ikke fides et tl i itervllet, der er større ed smtlige dre tl i itervllet. Et itervl siges t være åbet, hvis det både er vestreåbet og højreåbet. Et itervl siges t være lukket, hvis det hverke er vestreåbet eller højreåbet. M giver, t et itervl er lukket i det ee edepukt, på følgede forskellige måder: Dvs. t tllet ligger i itervllet. Og tllet er etop det tl i itervllet, der er midre ed smtlige dre tl i itervllet, og som dermed betyder, t itervllet ikke er vestreåbet. 20