Mtemtisk fomelsmling Hf C-niveu
Denne udgve f Mtemtisk fomelsmling Hf C-niveu e udgivet f Undevisningsministeiet og gjot tilgængelig på uvm.dk. Fomelsmlingen e udejdet i et smejde mellem Mtemtiklæefoeningen og Undevisningsministeiet, Styelsen fo Undevisning og Kvlitet, septeme 07 Kopieing til ndet end pesonlig ug må kun ske efte ftle med Copy-Dn. ISBN: 978-87-603-350-3 Fofttee: Get Schomcke, Jespe Bng-Jensen, Bodil Buun og Jøgen Dejgd
Food: Mtemtisk fomelsmling HF C e udejdet til ug fo eksminndene ved den skiftlige pøve og i undevisningen på hf i mtemtik på C-niveu. Fomelsmlingen indeholde de emne, de foekomme i læeplnen fo mtemtik på C-niveu på hf indenfo åde kenestof og suppleende stof. Fo ovelikkets skyld e medtget fomle fo el og umfng f en ække elementægeometiske figue. Endvidee indeholde fomelsmlingen en liste ove mtemtiske stnddsymole. Hensigten hemed e dels t give elevene et hutigt ovelik, dels t idge til, t undevisee og fofttee f undevisningsmteile kn nvende enstet nottion, symolspog og teminologi. Listen ove mtemtiske stnddsymole gå defo ud ove kenestoffet, men holde sig dog inden fo det mtemtiske unives i gymnsiet og på hf. En ække f fomlene i fomelsmlingen e kun nvendelige unde visse foudsætninge (f t nævneen i en øk e foskellig f 0). Sådnne foudsætninge e f hensyn til oveskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figuene e medtget som illusttion til fomlene, og den enkelte figu nskueliggø ofte ét lndt flee mulige tilfælde. Betydningen f de støelse, de indgå i fomlene, e ikke ltid foklet, men vil dog væe det i tilfælde, hvo etydningen ikke følge umiddelt f skik og ug i den mtemtiske littetu. Undevisningsministeiet, Styelsen fo Undevisning og Kvlitet, Konto fo Pøve, Eksmen og Test Septeme 07 Rsmus Vnggd Knudsen 3
Indhold Pocent- og entesegning 5 Indekstl 5 Popotionlitet 6 Bøkegle 6 Kvdtsætninge 7 Potensegneegle 7 Ensvinklede teknte 8 Retvinklet teknt 8 Vilkålig teknt 9 Lineæ funktion 0 Andengdspolynomie 0 Logitmefunktione Eksponentielt voksende funktion Eksponentielt ftgende funktion 3 Potenssmmenhæng 4 Guppeede osevtione 5 Uguppeede osevtione 6 Lineæ egession 8 Komintoik 9 Sndsynlighedsegning 0 Pscls teknt Multipliktionstel Ael og omkeds, umfng og oveflde 3 Mtemtiske stnddsymole 4 Stikodsegiste 8 4
Pocent- og entesegning Begyndelsesvædi B Slutvædi S () S = B ( + ) Vækstte () = S B Pocentvis ænding p (3) p% = 00% Kpitlfomel Sttkpitl K 0 Rente p % p. temin Kpitl K efte n temine (4) K K0 ( ) n, hvo p = 00 Annuitetsopsping Teminsindetling Rentefod Antl indetlinge n Kpitl A efte sidste indetling (5) n ( ) A Annuitetslån Hovedstol G Rentefod Antl teminsydelse n Teminsydelse y (6) y G ( ) n Indekstl Vædi B S Indekstl I B I S S (7) IS = I IS B S = B B I B 5
Popotionlitet () og y e popotionle Popotionlitetsfkto k () y = k () (8) y k y k y = k (9) y k y k og y e omvendt popotionle () Bøkegle (0) c c () c c () (3) (4) c c d c d c c c d d 6
Kvdtsætninge (5) (6) (7) ( ) ( ) ( )( ) Potensegneegle s s (8) (9) s = s (0) ( ) s s () ( ) () = 0 (3) = (4) (5) (6) (7) s = = = s (8) (9) (30) 7
Ensvinklede teknte B c A C B c (3) = = = k c A c C (3) = k = k c = k c Retvinklet teknt B c A C Pythgos sætning (33) c = + Cosinus (34) cos( A) = c Sinus (35) sin( A) = c Tngens (36) tn( A) = 8
Vilkålig teknt h B A g C Tekntens vinkelsum (37) A B C 80 Tekntens el T (38) T = h g B c A C Cosinuseltion (39) Sinuseltion (40) c = + C cos( ) c sin( A) sin( B) sin( C) Tekntens el T (4) T sin( C) 9
Lineæ funktion () Føstegdspolynomium, lineæ funktion f () (4) f( ) = + () f y y () Hældningskoefficienten (stigningstllet) ud f punkte på gfen (, y ) og (, y ) y y (43) = Skæing med y-ksen (44) y Andengdspolynomie Andengdspolynomium p (45) p ( ) = + + c Andengdspolynomiets gf e en pel (46) () p () 0
Logitmefunktione Den ntulige logitmefunktion (47) f( ) ln( ) Gfen fo den ntulige logitmefunktion (48) () ln ( ) e () Logitmefunktionen med gundtl 0 (49) f( ) log( ) Gfen fo logitmefunktionen med gundtl 0 (50) () 0 log( ) ()
Eksponentielt voksende funktione () f () Gfen fo en eksponentielt voksende funktion f vækstten 0, k 0 (5) f( ) = = ( + ) k = e, hvo k = ln( ) (5) f( ) fo Femskivningsfktoen ud f punkte på gfen (, y ) og (, y ) (53) f( ) 0 fo y y (54) = = y y Skæing med y-ksen (55) y = () y y = y T () Fodolingskonstnten T (56) T log() ln() ln() (57) T log( ) ln( ) k
Eksponentielt ftgende funktione () () Gfen fo en eksponentielt ftgende funktion f 0 vækstten, 0 k 0 (58) f( ) = = ( + ) k = e, hvo k = ln( ) (59) f( ) 0 fo Femskivningsfktoen ud f punkte på gfen (, y ) og (, y ) (60) f( ) fo y y (6) = = y y Skæing med y-ksen (6) y = () y y T y = () Hlveingskonstnten T (63) T (64) 3 T ( ) = log ln( ) ln( ) log( ) = ln( ) = k
Potensfunktione Potensfunktion (65) f( ) = () > = 0 < < < 0 Gfe fo f( ) = () Bestemmelse f tllet ud f to punkte på gfen (, y ) og (, y ) log( y ) log( y ) ln( y ) ln( y ) = = log( ) log( ) ln( ) ln( ) (66) (67) y Nå gnges med tllet +, så gnges f( ) med tllet + Nå gnges med tllet k, så gnges f( ) med tllet k y (68) ( ) y (69) f( k ) k f( ) 4
Guppeede osevtione 0% Histogm (70) Aelet f en lok sve til intevllets fekvens % 30 0 0 Histogm med ens intevllængde (7) Højden f en lok sve til intevllets fekvens % Kumuleet fekvens 00 75 50 5 Q m Q 3 Sumkuve (7) Q : nede kvtil, 5% -fktilen m : medin, 50% -fktilen Q 3 : øve kvtil, 75% -fktilen % Kumuleet fekvens 00 80 p 60 40 0 : p% -fktilen p p 5
Uguppeede osevtione Pikdigm (73) Osevtionene fst på en tllinje min (74) min : mindste osevtion m (75) m : støste osevtion Vitionsedde (76) m min Q m Q 3 (77) m : medin (midteste osevtion, nå ntllet f osevtione e ulige, elles tllet midt mellem de to midteste osevtione) (78) Q : nede kvtil (medinen fo den nedeste hlvdel f osevtionene) (79) Q 3 : øve kvtil (medinen fo den øveste hlvdel f osevtionene) Kvtiledde (80) Q3 Q min Q m Q 3 m (8) Boksplot, kssedigm (oksens højde e uden etydning) Kvtilsæt (8) ( Q, mq, 3) Udvidet kvtilsæt (83) ( min, Q, m, Q3, m ) 6
Outlie (84) Osevtione, de ligge mee end hlvnden kvtiledde unde nede kvtil elle mee end hlvnden kvtiledde ove øve kvtil Middeltl fo osevtionssættet,,..., n + +... + n (85) = n Vensteskæv fodeling (86) Middeltl minde end medinen m Ikke-skæv fodeling (87) Middeltl lig med medinen m Højeskæv fodeling (88) Middeltl støe end medinen m 7
Lineæ egession Tel med oseveede dt (89) 3 n y y y y 3 y n Regessionslinje (90) Bedste ette linje, gf fo f ( ) Punktplot og edste ette linje (9) () f () oseveede dtpunkte modelpunkte Residul (9) Foskel mellem oseveet y-vædi og tilsvende y-vædi i model Residultel (93) 3 n Residul y f( ) y f( ) 3 y3 f( 3) n yn f( n) Residulplot (94) () 3 n 3 n () 8
Komintoik Multipliktionspincip Antl mulige måde t vælge åde ét element f N og et element f M, hvo N estå f n elemente og M estå f m elemente Additionspincip Antl mulige måde t vælge enten ét element f N elle ét element f M, hvo N estå f n elemente og M estå f n elemente (95) n m (96) n m Fkultet (97) n! n ( n ) ( n ) Pemuttione Antl mulighede fo udvælgelse f elemente lndt n elemente, nå ækkefølgen h etydning (98) n! Pn (, ) ( n )! Komintione Antl mulighede fo udvælgelse f elemente lndt n elemente, nå ækkefølgen ikke h etydning (99) n! Kn (, )!( n )! 9
Sndsynlighedsegning Sndsynlighedsfelt med udfldsum U og sndsynlighede p Udfldsum U med n udfld Summen f lle sndsynlighede (00) ( U, p ) (0) Mængden f lle udfld { u, u,..., u } (0) p p p3... p n n Sndsynlighedstel (03) Udfld u u u 3 Sndsynlighed p p p 3 u n p n Hændelse A med k udfld f U Sndsynlighed fo hændelse A Symmetisk sndsynlighedsfelt Alle sndsynlighede e lige stoe Sndsynlighed fo udvælgelse f et element f A (04) Mængde f k udfld f U (05) Summen f de k udflds sndsynlighede (06) p p p3... pn n k Antl gunstige (07) pa ( ) n Antl mulige 0
Pscls teknt (08) K(0,0) K(,0) K(,) K(,0) K(,) K(,) K(3,0) K(3,) K(3,) K(3,3) K(4,0) K(4,) K(4,) K(4,3) K(4,4) K(5,0) K(5,) K(5,) K(5,3) K(5,4) K(5,5) K(6,0) K(6,) K(6,) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6) K(7,0) K(7,) K(7,) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7) K(8,0) K(8,) K(8,) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8) 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 8 8 56 70 56 8 8
Multipliktionstel (09) 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 4 6 8 0 4 6 8 0 4 6 8 30 3 34 36 38 40 3 3 6 9 5 8 4 7 30 33 36 39 4 45 48 5 54 57 60 4 4 8 6 0 4 8 3 36 40 44 48 5 56 60 64 68 7 76 80 5 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 6 6 8 4 30 36 4 48 54 60 66 7 78 84 90 96 0 08 4 0 7 7 4 8 35 4 49 56 63 70 77 84 9 98 05 9 6 33 40 8 8 6 4 3 40 48 56 64 7 80 88 96 04 0 8 36 44 5 60 9 9 8 7 36 45 54 63 7 8 90 99 08 7 6 35 44 53 6 7 80 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 33 44 55 66 77 88 99 0 3 43 54 65 76 87 98 09 0 4 36 48 60 7 84 96 08 0 3 44 56 68 80 9 04 6 8 40 3 3 6 39 5 65 78 9 04 7 30 43 56 69 8 95 08 34 47 60 4 4 8 4 56 70 84 98 6 40 54 68 8 96 0 4 38 5 66 80 5 5 30 45 60 75 90 05 0 35 50 65 80 95 0 5 40 55 70 85 300 6 6 3 48 64 80 96 8 44 60 76 9 08 4 40 56 7 88 304 30 7 7 34 5 68 85 0 9 36 53 70 87 04 38 55 7 89 306 33 340 8 8 36 54 7 90 08 6 44 6 80 98 6 34 5 70 88 306 34 34 360 9 9 38 57 76 95 4 33 5 7 90 09 8 47 66 85 304 33 34 36 380 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60 80 300 30 340 360 380 400 Røde tl: Kvdttl
Ael og omkeds, umfng og oveflde f geometiske figue Teknt h højde g gundlinje A el A = hg Pllelogm h højde h g gundlinje A el A = hg Tpez Cikel B h A g C g h h højde, pllelle side A el A= h ( + ) dius A el A= π O omkeds O= π Kugle O V dius oveflde umfng O= 4π V = 4 3 π 3 Cylinde h h højde gundfldedius O kum oveflde O = π h V umfng V= π h Kegle h s h højde s sidelinje gundfldedius O kum oveflde O = π s V umfng V= 3 π h 3
Mtemtiske stnddsymole Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. {.,.,.,.} mængde på listefom { 5,0,3,0},{,4,6,... } mængden f ntulige tl = {,,3,... } mængden f hele tl = {...,,,0,,,... } mængden f tionle tl mængden f eelle tl tilhøe / e element i tl, de kn skives p q, p, q [ ; ] lukket intevl [ ;3 ] = { 3} ] ; ] hlvåent intevl ] ;3 ] = { < 3} [ ; [ hlvåent intevl [ ;3 [ = { < 3} ] ; [ åent intevl ] ;3 [ = { < < 3} og i etydningen åde og (konjunktion) elle i etydningen og/elle (disjunktion) medføe, hvis så (impliktion) ensetydende, hvis og kun hvis (iimpliktion) < y = 5 < > 5 4 = = = 4 = = n! f( ) n fkultet, n udåstegn funktionsvædi f ved funktionen f n! =... n fo n 0! = f( ) = +, så e f (4) = 3. Dm( f ) definitionsmængden fo f Vm( f ) vædimængden fo f 4
Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. log( ) ln( ) e sin( ) cos( ) tn( ) sin ( y) cos ( y) tn ( y) AB AB AB AB logitmefunktionen med gundtl 0 den ntulige logitmefunktion den ntulige eksponentilfunktion eksponentilfunktionen med gundtl, > 0 potensfunktion numeisk (solut) vædi f sinus cosinus tngens omvendt funktion til sinus omvendt funktion til cosinus omvendt funktion til tngens linjestykket AB længden f linjestykket AB cikeluen AB længden f cikeluen AB 5 y = log( ) = 0 y y = ln( ) = e y e etegnes også ep() eksponentilfunktion elle en eksponentiel udvikling kldes undetiden fo en potensfunktion elle en potensudvikling kldes undetiden fo en 3 = 3, 7 = 7 etegnes også s() sin( ) tn( ) = cos( ) sin ( ) sin( ) y = = y sin (0,5) = 30 sin etegnes også Acsin cos ( y) = cos( ) = y cos (0,5) = 60 cos etegnes også Accos tn ( y) = tn( ) = y tn () = 45 tn etegnes også Actn
Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. e pllel med e vinkelet på l m læses også l og m e otogonle A vinkel A A = 0 elle A = 0 ABD vinkel B i teknt ABD B C A D etvinklet teknt hypotenuse v hosliggende ktete til v modstående ktete til v midtnomlen n fo linjestykket AB A n B B h højden f B på siden elle dens folængelse c h A C B m medinen f B på siden c m A C 6
Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. B v B vinkelhlveingslinjen fo vinkel B c v B A C B teknt ABC s omskevne cikel A C B teknt ABC s indskevne cikel v C A C 7
Stikodsegiste A dditionspincip 9 M medin (teknt) 6 ndengdspolynomium 0 medin (sttistik) 6, 7 nnuitetslån 5 middeltl 7 nnuitetsopsping 5 midtnoml 6 el f teknt 9, 3 multipliktionspincip 9 B oksplot 6 N nede kvtil 5, 6 økegle 6 O omvendt popotionlitet 6 C cikel 3 outlie 7 cosinus 8, 5 P pllelogm 3 cylinde 3 Pscls teknt E eksponentilfunktione p-fktil 5 - ftgende 3 potensfunktion 4 - voksende potensegneegle 7 ensvinklede teknte 8 pikdigm 6 F fkultet 9 pocentegning 5 fodolingskonstnt popotionlitet 6 femskivningsfkto, 3 Pythgos sætning 8 G guppeede osevtione 5 R entesegning 5 H hlveingskonstnt 3 etvinklet teknt 8, 6 histogm 5 S sndsynlighed 0 hældningskoefficient 0 sinus 8, 5 hændelse 0 stigningstl 0 højde 3 sumkuve 5 højeskæv 7 symmetisk sndsynlighedsfelt 0 I indekstl 5 T tngens 8, 5 ikke-skæv 7 tpez 3 K kpitlfomel 5 teknt 8, 9, 6, 7 kegle 3 U udfld 0 komintione 9 uguppeede osevtione 6 kugle 3 V vensteskæv 7 kvdtsætninge 7 vinkelhlveingslinje 7 L lineæ funktion 0 vinkelsum i teknt 9 lineæ egession 8 vinkle 6 logitmefunktione vækstte 5,, 3 Ø øve kvtil 5, 6 8