SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur, dvs v 1, v 2 V, L(v 1 + v 2 )=L(v 1 )+L(v 2 ) (1) α F, v V, L(αv) =αl(v) (2) Det er ækvivalent, at (Hvis (1), (2) gælder, så er α 1,α 2 F, v 1, v 2 V, L(α 1 v 1 + α 2 v 2 )=α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) (3) α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) (2) = L(α 1 v 1 )+L(α 2 v 2 ) (1) = L(α 1 v 1 + α 2 v 2 ), mens hvis (3) gælder, så gælder (1) (tag α 1 =1,α 2 =1) og (2) (tag α 1 = α 1, α 2 =0, v 1 = v) En lineær transformation L : V W kaldes også undertiden for en lineærtransformation, en lineær afbildning, og, men for det meste kun når V = W, en lineær operator Inspireret af den kortere formulering i (3), og til senere brug: Lemma 412 Lad V være et F-vektorrum, lad S V, S S er et underrum α 1,α 2 F,s 1,s 2 S, α 1 s 1 + α 2 s 2 S ( ) Hvis S er et underrum, og α 1,α 2 F, s 1,s 2 S så er α 1 s 1,α 2 s 2 S (C1) og derfor er α 1 s 1 + α 2 s 2 S (C2); så ( ) gælder Omvendt, hvis ( ) gælder, så gælder (C1) (tag α 2 =0) og (C2) (tag α 1 =1,α 2 =1), og S er et underrum 59
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempler 413 1 Lad A Mat m,n (F) Afbildningen L A : F n F m induceret af A er defineret ved L A (x) =Ax x F n L A er en lineær transformation, fordi, for alle x, y F n og alle α, β F, L A (αx + βy) =A(αx + βy) =αa(x)+βa(y) =αl A (x)+βl A (y) 2 Lad V være et F-vektorrum Identitetsafbildningen I V : V V givet ved er en lineær transformation I V (v) =v v V 3 Lad U R være et interval D : C r (U, R) C r 1 (U; R) (r 1) givet ved D(f) =f er en lineær transformation: for f, g C r (U, R) og α, β R, D(αf + βg) =(αf + βg) = αf + βg = αd(f)+βd(g) 4 Definer L : C([a, b], R) R ved L(f) = b f(x) dx a L er en lineær transformation (L(αf + βg) = = = α b a b a b (αf + βg)(x) dx (αf(x)+βg(x)) dx a f(x) dx + β b a g(x) dx = αl(f)+βl(g) α, β R, f, g C([a, b], R)) 5 Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V = {v 1,, v n } Koordinatiseringsafbildningen θ V : V F n givet ved θ V (v) =[v] V er en lineær transformation: vi så i 332, at dvs [v + w] V =[v] V +[w] V og [αv] V = α[v] V, Θ V (v + w) =Θ V (v)+θ V (w) og Θ V (αv) =αθ V (v) 60
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempler 413, fortsat 6 Betragt en rotation i R 2 omkring 0 gennem vinklen θ; kald den inducerede afbildning R θ : R 2 R 2 Lad R θ ([ x1 x 2 ]) = [ x 1 x 2 ] [ x 1 ] x 2 θ [ x1 x 2 ] α x 2 x 1 Hvis x 1 = r cos α, x 2 = r sin α, så er x 1 = r cos(α + θ), x 2 = r sin(α + θ) Når sum-formlerne for sin, cos anvendes, fås x 1 = r cos(α + θ) =r(cos α cos θ sin α sin θ) = x 1 cos θ x 2 sin θ, x 2 = r sin(α + θ) =r(sin α cos θ + cos α sin θ) = x 2 cos θ + x 1 sin θ Vi har derfor ([ ]) x1 R θ = x 2 [ ] [ cos θx1 sin θx 2 cos θ sin θ = sin θx 2 + cos θx 2 sin θ cos θ ][ x1 x 2 ] ; så ifølge Eksempel 1 er R θ en lineær transformation 61
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Proposition 414 ([L], s 179,180) Lad V, W være F-vektorrum, lad L : V W være en lineær transformation Der gælder: 1 L(0 V )=0 W ; 2 L respekterer lineære kombinationer, dvs hvis α 1,, α n F og v 1,, v n V, så gælder L(α 1 v 1 + + α n v n )=α 1 L(v 1 )+ + α n L(v n ); 3 L( v) = L(v) v V 1 L(0 V )=L(00) = 0L(0) =0 W 2 Ved induktion Udsagnet er sandt for n =2 Antag, at det er sandt for n = k L(α 1 v 1 + + α k v k + α k+1 v k+1 ) (1) = L(α 1 v 1 + + α k v k )+L(α k+1 v k+1 ) (2) = L(α 1 v 1 + + α k v k )+α k+1 L(v k+1 ) induktionsantagelsen = α 1 L(v 1 )+ + α k L(v k )+α k+1 L(v k+1 ) Så udsagnet er sandt for n = k +1, induktionsskridtet er taget, og udsagnet gælder for alle n N 3 For alle v V har vi L( v) = L(( 1)v) = ( 1)L(v) = L(v) Lemma 415 Lad V, W være F-vektorrum; lad {v 1,, v n } være en basis for V Lad L : V W være en lineær transformation L er da entydigt bestemt af L(v 1 ),, L(v n ) Lad L : V W være en lineær transformation, således at L (v 1 )=L(v 1 ),, L (v n )= L(v n ) Vi må vise, at L = L Lad v V ; vi kan skrive v = c 1 v 1 + + c n v n Vi har L (v) =L (c 1 v 1 + + c n v n )=c 1 L (v 1 )+ + c n L (v n ) = c 1 L(v 1 )+ + c n L(v n )=L(c 1 v 1 + + c n v n ) = L(v) 62
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Notation 416 Lad X, Y være mængder, f : X Y en afbildning X er domænen af f, Y er billedmængden eller codomænen af f 1 Lad A X Billedet af A under f er f(a) ={y Y x X med f(x) =y} 2 Lad B Y Det inverse billede eller urbilledet af B under f er f 1 (B) ={x X f(x) B} Bemærk, at f 1 (f(a)) A, f(f 1 (B)) B, og at disse inklusioner kan være ægte: Lad f : R R være givet ved f(x) =x 2 x R Så er f({1}) ={1}, f 1 f({1}) =f 1 {1} = { 1, 1}, og f(f 1 ({ 1})) = f( ) = Sætning 417 ([L], 411) Lad V, W være F-vektorrum, lad L : V W være en lineær transformation 1 Lad S V være et underrum Da er L(S) et underrum af W 2 Lad T W være et underrum Da er L 1 (T ) et underrum af V Vi anvender Lemma 412 1 Lad w 1, w 2 L(S), α 1 α 2 F Der findes s 1, s 2 S med L(s 1 )=w 1, L(s 2 )=w 2 Vi har α 1 s 1 + α 2 s 2 S (Lemma 412), så α 1 w 1 + α 2 w 2 = α 1 L(s 1 )+α 2 L(s 2 )=L(α 1 s 1 + α 2 s 2 ) L(S) 2 Lad v 1, v 2 L 1 (T ), α 1,α 2 F Vi har L(α 1 v 1 + α 2 v 2 )=α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) Da L(v 1 ),L(v 2 ) T er α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) T, så α 1 v 1 + α 2 v 2 L 1 (T ) Notation 418 Hvis L : V W er en lineær transformation mellem F-vektorrum, så kaldes L 1 ({0 W }) ofte for kernen (eller nulrummet) for L, og vi skriver Ker(L) =L 1 ({0 W })={v V L(v) =0 W } 63
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempler 419 1 Definer D : P 3 (R) P 3 (R) ved differentiation, D(p) =p for p P 3 (R) Så er Ker(D) ={p P 3 (R) p =0} = {de konstante polynomier} D p har grad < 2, så D(P 3 (R)) P 2 (R) Vi har faktisk lighed, D(P 3 (R)) = P 2 (R), fordi D(a 0 x + 1 2 a 1x 2 )=a 0 + a 1 x for alle a 0,a 1 R x 1 [ ] 2 ([L], Ex 12, s 182) Lad F 3 F 2 være givet ved L x 2 x1 + x = 2 x x 2 + x 3 3 x 1 Vi har Ker(L) = x 2 F 3 x 1 + x 2 =0,x 2 + x 3 =0 ; vi ser, at x 3 kan vælges x 3 frit, kald den a, og så er x 2 = a, x 3 = a; altså er 1 Ker(L) = a 1 a F 1 Lad S = Span 1 0 0 F er L(S) =F 2, 0 0 F 3 = 1 a a [ 0 a, b F Da L 0 a = for a, b b] b b Proposition 4110 Lad A Mat n,m (F), og lad L A : F n F m være den lineære transformation givet ved L A (x) =Ax Vi har 1 Ker(L A )=N(A); 2 L A (F n )=Sø(A) 1 Ker(L A )={x F n L A (x) =0} = {x F n Ax = 0} = N(A) 2 Skriv A =[a 1,, a n ] i søjleform,og lad x = x 1 x n F n Så er L A (x) =Ax = x 1 a 1 + + x n a n Så y L A (F n ) y Span(a 1,, a n )=Sø(A) 64
SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER 42 Matrixrepræsentationer af Lineære Transformationer Sætning 421 5 ([L], 421) Lad L : F n F m være en lineær transformation Definer M(L) Mat m,n (F) ved M(L) =[L(e 1 ),, L(e n )] Så er L(x) = M(L)x for alle x F n, og at M(L) er den entydige matrix med denne egenskab Lad x = x 1 x n F n, så x = x 1 e 1 + + x n e n Vi har da L(x) =L(x 1 e 1 + + x n e n ) = x 1 L(e 1 )+ + x n L(e n ) =[L(e 1 ),, L(e n )] = M(L)x Hvis A Mat m,n (F) tilfredsstiller, at L(x) =Ax for alle x F n, så gælder dette specielt for x = e i, i =1,, n, så L(e i )=Ae i = {i te søjle i A} Så søjlerne i M(L), Aer ens, og A = M(L) x 1 x n Notation 422 M(L) kaldes standard-matrix-repræsentationen (SMR) af L Læg mærke til, at L M(L) = L for en lineær transformation L : F n F m, og at M(L A )=A for en matrix A Mat m,n (F) Eksempel 423 [ ] cos θ sin θ M(R θ )= sin θ cos θ 65
SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Sætning 424 ([L], 422) Lad V, W være F-vektorrum, og lad V = {v 1,, v n }, W = {w 1,, w m } være ordnede baser for V, W Lad L : V W være en lineær transformation; definer M W,V (L) Mat m,n (F) ved M W,V (L) = [[L(v 1 )] W,, [L(v n )] W ] Der gælder, at [L(v)] W = M W,V (L)[v] V for alle v V, og at M W,V er den entydige matrix med denne egenskab (se [L], s 187) Lad v V Vi kan skrive v = x 1 v 1 + + x n v n, hvor Vi har så x 1 x n =[v] V L(v) =L(x 1 v 1 + + x n v n )=x 1 L(v 1 )+ + x n L(v n ) [L(v)] W =[x 1 L(v 1 )+ + x n L(v n )] W = x 1 [L(v 1 )] W + + x n [L(v n )] W (fordi [] W respekterer lineær struktur) x 1 = [[L(v 1 )] W,, [L(v n )] W ] = M W,V (L)[v] V x n Hvis A Mat m,n (F) tilfredsstiller, at [L(v)] W = A[v] V for alle v V så gælder dette specielt for v = v i, i =1,, n, så [L(v i )] W = A[v i ] V = Ae i = {i te søjle i A} Så M W,V (L), Ahar de samme søjler, og er ens Notation 425 M W,V (L) kaldes matrixrepræsentationen (MR) for L mht W, V Bemærk, at hvis L : F n F m er en lineær transformation, så er M(L) =M Em,E n (L), hvor E m, E n er standardbaserne i F m, F n 66
SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Sætning 424 kan måske bedst forstås vha et kommutativt diagram: V θ V L W θ W F n L M W,V (L) F m Diagrammet kommuterer, fordi, for alle v V, θ W(L(v))=[L(v)] W =M W,V(L)[v] V =M W,V(L)θ V(v)=L MW,V (L)(θ V(v)) Sætning 426 ([L], 423) Lad U = {u 1,, u n }, V = {v 1,, v m } være ordnede baser for F n, F m Skriv V =[v 1,, v m ] Mat m,m (F) Lad L : F n F m være en lineær transformation Så er M V,U (L) =V 1 [L(u 1 ),, L(u n )] Skriv M V,U (L) =A; så for alle x F n, [L(x)] V = A[x] U Specielt, når x = u i (i =1,, n), fås [L(u i )] V = Ae i = a i, den i te søjle i A Så, for i =1,, n, L(u i )=a 1i v 1 + + a mi v m = V a i ; og a i = V 1 L(u i ) Altså A =[a 1,, a n ]=[V 1 L(u 1 ),, V 1 L(u n )] = V 1 [L(u 1 ),, L(u n )] Korollar 427 ([L], 424) Lad L : F n F m være en lineær transformation Lad U = {u 1,, u n }, V = {v 1,, v m } være ordnede baser for F n, F m Vi har da [v 1,, v m L(u 1 ),, L(u n )] [ m M V,U (L)] Lad V =[v 1,, v n ] i søjleform V 1 [v 1,, v m L(u 1 ),, L(u n )] = V 1 [V L(u 1 ),, L(u n )] =[I V 1 [L(u 1 ),, L(u n )]] =[I M V,U (L)] Da V 1 er et produkt af elementære matricer (det er alle invertible matricer, ifølge 1413) er [v 1,, v m L(u 1 ),, L(u n )] [I M V,U (L)] 67
SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Proposition 428 Lad V, V være ordnede baser for F-vektorrummet V ; og lad W, W være ordnede baser for F-vektorrumet W Lad L : V W være en lineær transformation Der gælder M W,V (L) =K W,W M W,V K V,V For v V gælder [v] V = K V,V[v] V og M W,V (L)[v] V =[L(v)] W ; og for w W gælder [w] W = K W,W [w] W Vi har derfor [L(v)] W = K W,W [L(v)] W = K W,W M W,V (L)[v] V = K W,W M W,V (L)K V,V[v] V Så K W,W M W,V (L)K V,V er MR for L mht W, V Når vi arbejder med lineære operatorer, dvs lineære transformationer L fra et vektorrum V til sig selv, er det mest naturligt kun at bruge én ordnet basis V = {v 1,, v n } for V for matrixrepræsentationer Korollar 429 ([L], Sætning 431) Lad V være et F-vektorrum, og lad V, V være ordnede baser for V Lad L : V V være en lineær transformationder gælder M V,V (L) =K V,V M V,V K V,V =(K V,V) 1 M V,V K V,V Den første linie i udsagnet er et specielt tilfælde af Proposition A; den anden linie følger af, at K V,V =(K V,V) 1 Vi siger, at A, B Mat n,n (F) er similære, hvis der findes en invertibel matrix S, så B = S 1 AS (og SBS 1 = A) 68
SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Korollar 4210 (se [L], s 202) A, B Mat n,n (F) er similære hvis, og kun hvis, der findes ordnede baser V, W for F n og en lineær transformation L : F n F n så A = M V,V (L), B= M W,W (L) : Dette følger af Korollar 429 ovenfor : Lad E være standardbasen i F n Da [x] E = x for alle x F n er M E,E (L A ) = [[L A (e 1 )] E,, [L A (e n )] E ] =[L A (e 1 ),, L A (e n )] =[Ae 1,, Ae n ]=A Antag, at B = S 1 AS Lad S = {s 1,, s n }, hvor S =[s 1,, s n ] i søjleform Da S er invertibel, er S en ordnet basis for F n Der gælder, ifølge Lemma 335, at For i =1,, n er den i te søjle i M S,S (L A ) S[x] S = x, og [x] S = S 1 x for alle x F n [L A (s i )] S =[As i ] S = S 1 As i = S 1 ASe i = Be i, den i te søjle i B Så M S,S (L A )=B Så A er MR for L A mht E, E, B er MR for L A mht S, S Eksempel 4211 Lad L : P 4 (C) P 4 (C) være den lineære transformation givet ved L(p)(x) =(x + 1) 2 p (x) 4(x + 1)p (x)+6p(x); Lad os finde Ker L, dvs vi finder polynomiale løsninger af grad højst tre til differentialligningen (x + 1) 2 f (x) 4(x + 1)f (x)+6f(x) =0 Vi finder MR af L mht U = {1, x, x 2,x 3 } i både domæne og billedmængden Vi beregner derfor L(1) = 6, L(x) = 4(x + 1) + 6x =2x 4, L(x 2 ) = 2(x + 1) 2 8(x + 1)x +6x 2 = 4+2, L(x 3 ) = 6(x + 1) 2 x 12(x + 1)x 2 +6x 3 =6x 69
SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempel 4211, fortsat Vi har da 6 4 2 0 1 0 1 2 M U,U (L) = [[L(u 1 )] U,, [L(u 4 )] U ]= 0 2 4 6 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 3 2x 4 Den generelle løsning til M U,U (L)x = 0 er da 2x 3 3x 4 x 3, så x 4 1 2 N MU,U (L) = Span 2 1, 3 0 = Span([p 1] U, [p 2 ] U ), 0 1 hvor p 1 (x) = 1 + 2x + x 2,p 2 (x) = 2 3x + x 3 Så Ker L = Span(p 1,p 2 ) (fordi p Ker L L(p) =0 [L(p)] U = [0] U ;=0 M U,U (L)[p] U = 0 [p] U N MU,U (L)) Læg mærke til, at p 1 (x) = (1 + x) 2,p 2 (x)+3p 1 (x) = 1 + 3x +3x 2 + x 3 = (1 + x) 3, så Ker L = Span((1 + x) 2, (1 + x) 3 ) Det havde nok været bedre at arbejde med den ordnede basis V = {1, 1+x, (1 + x) 2, (1 + x) 3 }; vi har da så vi ser L(1) = 6,L(1 + x) = 2(x + 1),L((1 + x) 2 )=0,L((1 + x) 3 )=0, 6 0 0 0 så M V,V (L) = 0 2 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 N MV,V (L) = Span(e 3, e 4 ) = Span([v 3 ] V, [v 4 ] V ); Ker L = Span(v 3, v 4 ) = Span((1 + x) 2, (1 + x) 3 ) Læg mærke til, at, som teorien foreskriver, M V,V (L) =K V,U M U,U (L)K U,V, idet 1 1 1 1 6 4 2 0 1 1 1 1 6 0 0 0 0 1 2 3 0 2 4 6 0 1 2 3 0 2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 3 = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 70
SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER 43 Mere om Lineære Transformationer Lad f : X Y, g : Y Z være afbildninger Sammensætningen g f : X Z er afbildningen givet ved g f(x) =g(f(x)) x X X f Y g f g Z Lemma 431 Lad L : U V, M : V W være lineære transformationer mellem F-vektorrum Da er M L : U W en lineær transformation Lad α 1,α 2 F, u 1, u 2 U M L(α 1 u 1 + α 2 u 2 )=M(L(α 1 u 1 + α 2 u 2 )) = M(α 1 L(u 1 )+α 2 L(u 2 )) = α 1 M(L(u 1 )) + α 2 M(L(u 2 )) = α 1 M L(u 1 )+α 2 M L(u 2 ) Sammensætning af lineære transformationer af Euklidiske rum svarer til matrixmultiplikation: Lemma 432 1 Lad A Mat m,n (F), B Mat n,p (F) Så er L A L B = L AB 2 Lad K : F p F n,l: F n F m være lineære transformationer Så er M(L K) =M(L)M(K) 1 For y F p er L A L B (y) =L A (L B (y)) = L A (By) =A(By) =(AB)y 2 For y F p er M(L K)y = L K(y) =L(K(y)) = L(M(K)y) =M(L)M(K)y 71
SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempel 433: Spejling Lad L θ være linien igennem 0 i R 2, som danner en vinkel θ med x-aksen; og lad S θ : R 2 R 2 være givet ved spejling i denne linie S 0, som er givet ved spejling i x-aksen, er nem at sætte på formel: ([ ]) [ x x S 0 =, y y] så S 0 er lineær, med SMR [ ] 1 0 0 1 Spejling i L θ kan opnås ved at rotere R 2 gennem θ, spejle i x-aksen, og rotere R 2 gennem θ; så S θ = R θ S 0 R θ er en sammensætning af lineære transformationer, så lineær Vi har: M(S θ )=M(R θ S 0 R θ )=M(R θ )M(S 0 )M(R θ ) [ ][ ][ ] cos θ sin θ 1 0 cos θ sin θ = sin θ cos θ 0 1 sin θ cos θ [ ][ ] cos θ sin θ cos θ sin θ = sin θ cos θ sin θ cos θ [ cos = 2 θ sin 2 ] θ 2 sin θ cos θ 2 sin θ cos θ sin 2 θ cos 2 θ [ ] [ ][ ] cos 2θ sin 2θ cos 2θ sin 2θ 1 0 = = sin 2θ cos 2θ sin 2θ cos 2θ 0 1 = M(R 2θ )M(S 0 )=M(R 2θ S 0 ); så S θ = R 2θ S 0 Spejlingen i L θ kan altså også realiseres ved først at spejle i x-aksen, så roter 2θ mod uret 72
SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Sammenhængen mellem sammensætning af lineære transformationer og matrixmultiplikation gælder mere generelt: Proposition 434 Lad U, V, W være vektorrum med ordnede baser U =[u 1,, u p ], V =[v 1,, v n ], W =[w 1,, w m ], og lad L : U V, M : V W være lineære transformationer Så gælder M W,U (M L) =M W,V (M) M V,U (L) Vi har et kommutativt diagram U L V M W θ U θ V θ W F p L A F n L B F m hvor A = M V,U (L), B= M W,V (M) Det første kommutative kvadrat udtrykker, at A = M V,U (L) tilfredsstiller mens det andet udtrykker, at B = M W,V (M) tilfredsstiller Vi har da, for vilkårlig u U, [L(u)] V = A[u] U for alle u U, (1) [M(v)] W = B[v] V for alle v V (2) [M L(u)] W =[M(L(u))] W = B[L(u)] V ((2) anvendt med v = L(u)) = B(A[u] U ) ((1)) =(BA)[u] U Så BA er matrixrepræsentation for M L mht W, U 73
SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER og Så er En afbildning f : X Y er invertibel hvis der findes en afbildning g : Y X, så g f = I X, dvs g(f(x)) = x for alle x X, g kaldes en invers afbildning til f f g = I Y, dvs f(g(y)) = y for alle y Y ; En invers til f er faktisk entydigt bestemt: for antag, at g, h : Y X er således, at g f = I X,f h = I Y g = g I Y = g (f h) =(g f) h = I X h = h Hvis den findes, så kaldes inversen for f : X Y for f 1 : Y X Proposition 435 Lad L : V W være en lineær tranformation,og antag, at L er invertibel Så er L 1 lineær Lad α 1,α 2 F, w 1, w 2 W Så er L 1 (α 1 w 1 + α 2 w 2 )=L 1 ( α 1 L(L 1 (w 1 )) + α 2 L(L 1 (w 2 )) ) (fordi L L 1 = I W ) =L 1 (L(α 1 L 1 (w 1 )+α 2 L 1 (w 2 )) (fordi L er lineær) =α 1 L 1 (w 1 )+α 2 L 1 (w 2 ) (fordi L 1 L = I V ) Notation 436 En invertibel lineær transformation kaldes ofte en lineær isomorfi Eksempel 437 Rotationen R θ : R 2 R 2 er invertibel, med invers R θ 74
SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V =[v 1,, v n ] Afbildningen θ V : V F n givet ved θ V (v) =[v] V for alle v V er invertibel; dens invers θ 1 V : Fn V er givet ved θ 1 V x 1 x n = x 1 v 1 + + x n v n for alle x 1 x n F n Lad nu V, W være F-vektorrum med ordnede baser V, W, og lad L : V W være en lineær transformation Skriv Vi har et kommutativt diagram V A = M W,V (L) L W θ V θ W F n L A F n og Da θ V,θ W er invertible, er L = θ 1 W L A θ V, L A = θ W L θ 1 V 75
SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Proposition 438 Lad V, W være F-vektorrum,og lad V = {v 1,, v n }, W = {w 1,, w m } være ordnede baser for V, W Lad L : V W være lineær 1 L er invertibel n = m og M W,V (L) er invertibel 2 Hvis L er invertibel, M V,W (L 1 )=(M W,V (L)) 1 Skriv A = M W,V (L), matrix-repræsentationen for L mht W, V Antag, at A er invertibel Så er m = n Definer M : W V ved M = θ 1 V L A 1 θ W Vi ser, at [M(w)] V = θ V (M(w)) = L A 1(θ W (v)) = A 1 [w] W for alle w W, så M er den entydige lineære transformation W V med matrixrepræsentation A 1 mht W, V Ifølge Proposition 434 er [M L(v)] V = A 1 A[v] V =[v] V for alle v V Anvendes (θ V ) 1, fås M L(v) =v v V På samme måde er [L M(w)] W = AA 1 [w] W = [w] W for alle w W ; og anvendes (θ W ) 1, fås L M(w) =w for alle w W Så L er invertibel, med L 1 = M Antag, at L er invertibel L A er invertibel med invers θ V L 1 θ 1 W, fordi L A = θ W L θ 1 V og (θ W L θ 1 V )(θ V L 1 θ 1 W )=I F m, (θ V L 1 θ 1 W )(θ W L θ 1 V )=I F n Hvis x Ker(L), så er x = L 1 A (L A(x)) = L 1 A (0) =0, så N(A) =Ker L A = {0} Hvis y F m, så er y = L A (L 1 A (y)) L A(F m )=Sø(A), så Sø(A) =F m Rangligningen giver antallet af søjler i A = rang(a)+n(a), altså n = m + 0; = m Så A er en kvadratisk matrix Vi har lige set, at N(A) ={0}, så A er invertibel 76