Elemenæ Maemaik Paameekuve Ole Wi-Hansen 8
Indhold. Indledende beagninge.... Vekofunkione.... Tangen il en paameekuve.... Lodee, vandee angene og spidse....7. Undesøgelse af paameekuve...8 5. Kuvelængde og ovesøge aeal...
Paameekuve. Indledende beagninge Nå vi hidil ha behandle funkione, så ha de alid væe funkione, hvo definiionsmængde og vædimængde e delmænge af de eelle al. Funkionsbegebe e imidleid e specialilfælde af de mee geneelle afbildningsbegeb. Definiion. Lad de væe give o ikke omme mængde A og B. Ved en afbildning f af A ind i B, som skives: f : A B fosås en foskif f, som il ehve elemen i en delmængde af A, kne e og kun e elemen i B. De elemene i A, som ha e billede i B, kaldes fo definiionsmængden fo afbildningen, og de elemene i B, som e billede af e elemen i A, kaldes fo billedmængden. De elemen i B, som e kne il e elemen i A ved afbildningen f, kaldes fo billede af og skives = f Hvis de fo vilkålig o elemene og i A, gælde: f f siges afbildningen a væe injekiv, og hvis ehve elemen i B e billede af e elemen i A, siges afbildningen a væe sujekiv. Hvis en afbildning e både injekiv og sujekiv siges den a væe en bijekion.. Vekofunkione Lad V beegne mængden af vekoe i planen. En vekofunkion e da en afbildning fa R ind i V.
Paameekuve Hvis beegne iden, og e punk P bevæge sig und i planen, vil punke beskive en kuve. Da de e neop en posiion af P il ehve idspunk, e dee en afbildning af R ind i mængden af punke i planen. Hvis OP e sedvekoen il dee punk, kan vi definee en vekofunkion på følgende måde:. f OP Vi få dog bug fo e afsandsbegeb mellem o vekoe. Ved afsanden mellem o vekoe a og b, foså man længen af dees diffeensveko a b. Med denne definiion, e vi nu i sand il a definee, a en vekofunkion ha en gænsevædi, a den e koninuee og diffeeniabel.. Definiion: f gå imod a fo gående mod, som skives f a fo : f f. Definiion: f e koninue i f f fo. Definiion: f e diffeeniabel i hvis og kun hvis bøken: f f ha en gænsevædi fo gående mod. Gænsevædien, hvis den eksisee beegnes fo diffeenialkvoienen af f i. Dee kan skives mee kompak: f ' og kaldes
Paameekuve.5 f f lim f ' Behandlingen af vekofunkione ligne på mange måde behandlingen af eelle funkione, ide en veko funkion kan opfaes som de o eelle koodinafunkione. Uden så mege omsvøb, vil vi defo fasslå:.6 a en vekofunkion e koninue, hvis og kun hvis begge koodinafunkionene e koninuee..7 a en vekofunkion e diffeeniabel, hvis og kun hvis begge koodinafunkionene e diffeeniable. Regneeglene fo koninuie og diffeeniabilie følge egneeglene fo eelle funkione.. Tangen il en paameekuve På figuen nedenfo e illusee begebe angen fo en paameekuve f =. De o nabopunke P og P svae il funkionsvædiene i og svae il en sekan på kuven. Fo > e vekoen femadee, dvs. ensee med vekoen. Fo sadig vil væe femadee.. Vekoen < e vekoen bagudee, mens
Paameekuve 5 Hvis f = e diffeeniabel, vil gænsevædien lim ' væe lig med diffeenialkvoienen f. Samidig vil gænsesillingen af væe en femadee angenveko il kuven. hvis den ikke e nul-vekoen. Dee føe il følgende definiion: Hvis f = e diffeeniabel i, og f nulvekoen, så siges gafen fo f a have en femadee halvangen i.. Eksempel. Sammenhængen mellem kinemaik bevægelseslæe og paameekuve. Hvis beegne iden, så svae f = il en bevægelse i planen. Diffeenialkvoienen v = vil væe hasigheden i bevægelsen og a = vil væe acceleaionen. Fa fsikken ha man oveage den konvenion a man beegne længden af en veko med de samme bogsav uden vekoseg ove. Faen i bevægelsen e længden af hasighedsvekoen v = v. Søelsen af acceleaionen e give ved længden af acceleaionsvekoen: a = a. Eksempel. Jævn eline bevægelse. En jævn eline bevægelse e give ved en paameefemsilling: ' Man finde hasigheden ved diffeeniaion af koodinafunkionene: v ' ' Man se a hasigheden e en konsan veko. Faen e v = 5. I nogle ilfælde, kan man opnå en ligning fo paameekuven ved elimininaion af. I dee ilfælde e de mege simpel, ide man finde: = = / + indsa i = + => = / +5. Hvilke man genkende som ligningen fo en e linie.. Eksempel. Skå kas. Bevægelse i ngdefele. 8 Vi beage en bevægelse e give ved en paameefemsilling: 5 6 ' 8 Man finde hasigheden ved diffeeniaion af koodinafunkionene: v ' ' 6 8 Begndelseshasigheden fo = e v og begndelseshasigheden e v 8 6 6 Acceleaionen e konsan ee nedad lig med ngdeacceleaionen a v' Bevægelsen sae fa,. Vi vil besemme de idspunk, hvo paiklen igen amme -aksen. 5 6,. Vi indsæe de sidse idspunk i udkke fo = 9,6. Denne vædi kaldes fo kasevidden. Sighøjden findes ved a sæe v = 6, 6, som indsæes i. 5.6 6,6, 8
Paameekuve 6 Endelig kan man beegne kasevinklen som 6,9 8 6 an v v. Til slu vil vi besemme ligningen fo banekuven ved a eliminee. 6 5 6 5 8 8 Vi genkende udkke som ligningen fo en paabel. En såkald kasepaabel. På gafen nedenfo e banekuven vis sammen med hasighedsvekoene i nogle punke..5 Eksempel. Jævn cikelbevægelse. Vi beage en bevægelse e give ved en paameefemsilling: sin cos A banekuven e en cikel ses le ved a udegne 9 sin 9cos 9sin 9cos. Banekuven e en cikel med ligningen 9. Hasighedsvekoen findes ved diffeeniaion: v 6 cos 6sin ' ' ' De bemækes, a ', hasighedsvekoen e vinkele på adius veko, ee langs angenen. Vi finde denæs acceleaionsvekoen:
Paameekuve 7 '' cos a v' '' '' sin Hvoaf ses, a acceleaionen il sadighed e ee modsa, alså mod cenum, hvofo acceleaionen beegnes cenipealacceleaionen. Dee va idligee en del af fsikpensum på den maemaiske linie.. Lodee, vandee angene og spidse. Hvis en paameekuve f e diffeeniabel i og ', så gælde de, hvis =, så ha kuven en lode angen i. hvis =, så ha kuven en vande angen i. Hvis f ikke e diffeeniabel i, men diffeeniabel fa høje og vense, alså, hvis både ' lim og ' lim eksisee, men ' ', så siges paameekuven a have en spids i. Dee e f.eks. ilfælde på kuven vis nedenfo, Nå man vil beegne spidsens åbningsvinkel, angive man de ikke som vinklen mellem ' og ' men som vinklen mellem ' og '. Vinklen beegnes ved almindelig veko egning, som: ' cosv ' ' '
Paameekuve 8. Undesøgelse af paameekuve En undesøgelse af en paameekuve udføes i pincippe på samme måde som en funkionsundesøgelse, foskellen ligge i, hvoledes man foolke esulaene.. Skæing med koodinaaksene. Fo a besemme skæingen med -aksen skal man løse ligningen =. Lad os anage, a man finde løsningene Tilsvaende fo a besemme skæingen med -aksen skal man løse ligningen =. Lad os anage, a man finde løsningene 5 Man lave da en foegnsvaiaion som vis på nedensående figu. De man kan læse af foegnsvaiaionene ud ove skæinge med aksene e hvilke kvadan kuven foløbe i. Dee e makee på den øvese allinie. Hvis > og <, foløbe kuven f.eks. i. kvadan. Tilsvaende besemme man posiionen af evenuelle lodee og vandee angene ved a løse ligningene = og =. Lad os anage, a ' 6 7 og ' 8 9 Man lave da ligesom fø en foegnsvaiaion fo og. Vis nedenfo på figuen.
Paameekuve 9 Ud ove a kunne se, hvo de e lodee og vandee angene, så kan man aflæse i hvilken ening kuven foløbe i hve af monooniinevallene. Uden a kende il egenlige søepunke, kan man heefe få e oveblik ove kuvens foløb. Nedenfo e egne gafen fo en paameekuve, som opflde kavene fa de o foegnsvaiaione:. Eksempel. Nedenfo e vis en Compuelave kuveundesøgelse, af en paameekuve, som ligne kuven ovenfo. Bland ande e skæingen med aksene og de lodee og vandee angene besem, endelig e gafen egne.
Paameekuve. Eksempel. Fikløve. Hvofo denne paameekuve ha fåe dee navn, femgå af figuen nedenfo. Paameefemsillingen e: sin cos sin sin sin cos sin Paameekuven kan opfaes som en jævn cikelbevægelse, men med en adius, som vaiee mellem og med en peiode på π. Nedenfo e vis en Compuelave kuveundesøgelse, sam gafen fo paameekuven.. Eksempel. Ckloiden. Ckloiden e en klassisk paameekuven. De e den kuve som e punk af fælgen på e hjul beskive, nå hjule illes af sed. Fo a besemme paameefemsillingen, beages nedensående figu. Af figuen femgå: CP OC OP cos sin sin cos
Paameekuve Paameefemsillingen blive da: sin cos Beage vi ckloiden, som en funkion = f, så ses de a den e peiodisk med peioden π. Diffeenialkvoienen blive: ' cos ' ' sin Ide ' ha ckloiden ingen angen fo =. Fo alligevel a få e indblik i kuvens foløb omking, kan vi ' beage foholde fo gående mod fa høje og fa vense. Dee fohold e nemlig angenhældningen i ' punke. sin cos cos ' sin. ' cos sin sin ' ' Heaf ses, a lim og lim ' ' Vi slue heaf, a ckloiden ha en lode spids i punkene = pπ, p =, ±, ±, Nedenfo e vis en compue undesøgelse af ckloiden efefulg af en gaf. De e også udegne e ovesøge aeal, hvilke vi skal vende ilbage il.. Eksempel. Akimedes spial. Akimedes spial, femkomme ved a man udføe en jævn cikelbevægelse, samidig med a adius vokse cos popoional med dejningsvinklen. Lade vi sin e så gælde de e ' sin e cos I sin mes simple fom e paameefemsillingen defo
Paameekuve e sin cos og mee geneel sin cos Fo hasigheden finde vi: cos sin sin cos ' ' ' e v Nedenfo e vis gafen fo en Akimedes spial. Også på denne figu e de egne e pa angene, sam makee e ovesøge aeal..5 Eksempel. Logaimisk spial. Den logaimiske spial e en spial, hvo adien vokse popoional med, mens dejningsvinklen vokse popoional med logaimen il. Den logaimiske spial e defo næsen uendelig lang id om a foeage en omgang. Nedenfo e vis en compueundesøgelse af en logaimisk spial med paameefemsillingen. sin ln. cos ln.
Paameekuve.6 Eksempel. Ubådsjag. Åsagen il a den logaimiske spial e medage e, a den komme ud som løsning i en besem slags pobleme. Lad os anage a en desoe og en ubåd få visuel konak, hvo de befinde sig i afsanden d fa hinanden. Ubåden dkke saks ned og age flugen uden a ænde kus med en besem hasighed u. Desoeen kan sejle med faen v. De anages, a v > u. Pobleme e nu, om desoeen kan sejle på en sådan måde, a den vil møde ubåden ligegldig, hvilken kus ubåden ha age. Siuaionen e illusee nedenfo, hvo de også e indlag e passende koodinassem.
Paameekuve Ubåden vil befinde sig på en cikelpeifei med adius = u. Løsningen fo desoeen e, a den skal sejle på den samme peifei indil den ha nåe en omgang. Da hasigheden v > u, skulle dee pincipiel væe mulig. Føs skal desoene sejle dieke mod ubåden il e punk, på den cikelpeifei, hvo ubåden befinde sig. Dee e nem a finde, ide de må gælde: u + v = d, så =d/u+v. Vi begnde analsen ud fa dee punk, som vi sæe il =. Opgaven simplificees, hvis vi skive desoeens posiion, i polæe koodinae. De e kend fa igonomeien, a ehve punks koodinae kan skives som:, cos, sin Vi skive da desoeens paameefemsilling som cos f sin De e kla, a adialhasigheden e. Den bue ds, de ovesges, nå vinklen foøges med d e ds = d. ds d Heaf følge de, a angenialhasigheden e ' d d Da desoeen il sadighed skal befinde sig på samme cikelpeifei, skal den sejle med samme adialhasighed u. Heaf følge, a = u elle = u. Desoeens fa e kvadaoden af kvadasummen af adial og angenialhasighed. Vi få således: v u u' som kan løses mh. ' il a give. v u v u ' ln hvo vi ha sa u u e de idspunk, hvo jagen langs peifeien begnde. =d/u+v. Fo simpelheds skld sæe vi = og finde: ln. Vi indsæe nu dee i paameefemsillingen og se, a desoeens bane neop vil væe en logaimisk spial. u cos ln f u sin ln Vi kan fosigig fosøge a vudee, hvo lang id de vil age desoeen fo a sejle en hel omgang, og hvo lang væk ubåden så e komme. Vi anage defo a u = knob og v = 5 knob. Vi finde da α =,8. Vi skal da løse ligningen: αln = π,8ln = π. => =,98, på hvilke idspunk ubåden ha sejle,98 sm = 7,8 sømil = 689 km. 5. Kuvelængde og ovesøge aeal Figuen nedenfo ande, hvoledes vi vil finde længden af en kuve og de aeal som ovesge mellem o idspunke. Fomlene udledes ved infiniesimalegning. Ved beegningen af kuvelængden beage vi buen ds, svaende il den infiniesimale ilvæks d. Fo infiniesimale ilvækse, vil de gælde: ds d d d d ds d ' ' d d d
Paameekuve 5 Vi finde således fomlen 5. ds ' ' d s ' ' d Hvis man skal besemme aeale mellem kuven og -aksen, så kan de gøes på o foskellige måde.. Hvis man kan finde en ligning fo kuven: = ved a elimine paameeen, så kan aeale mellem kuven og -aksen udegnes som e almindelig inegal. 5. A d. Selv om man ikke kan eliminee paameeen, kan man i nogle ilfælde alligevel besemme aeale mellem kuven og -aksen, ide man opskive 5. A d ' d Hvis man deimod ønske a besemme de ovesøgne aeal mellem paameevædiene og, se vi af figuen ovenfo, a de infiniesimale aeal da, som ovesge i idsumme d, så e de halvdelen af de paallelogam, som udspændes af d d. Dee aeal, kan igen udkkes på flee måde:
Paameekuve 6 d d d d d da ', de, de Skal man udegne aeale med denne fomel, så må man dele op i inevalle, hvo deeminanen ha de samme foegn, og så ilføje e minusegn, de hvo den e negaiv. Man finde da følgende fomel: 5. ' ' d A d da 5.5 Eksempel. Vi vil undesøge paameekuven give ved paameefemsillingen:. R Skæing med -aksen: = Skæing med -aksen: = Foegnsvaiaion: Diffeenialkvoien:. ' ' ' R Lode angen: = - = = ± Vande angen: = + = = - Foegnsvaiaion:
Paameekuve 7 Til høje e egne en kuve, som e i oveenssemmelse med de o foegnsvaiaione. Som de ses, ha kuven e dobbelpunk, alså o foskellige -vædie, de give de samme,. E dobbelpunk kan pincipiel besemmes ved a løse de o ligninge med de o ubekende og. = og =. Da ligninge aldig e lineæe så ha kuven nemlig ikke e dobbelpunk, e man henvis il a gæe sig fem. Hvis vi gæe den ene -vædi, kan man ofe finde den anden. Vi gæe se gafen nedenfo på =, som give, = -6,8. Denæs løse vi ligningen: = 8 8, som indsa give, = -6,8. Vi ønske a beegne vinklen mellem angenene i dobbelpunke. 6 6 ' 6 ' ' og Heaf finde man 99,6 6 6 6 6 ' ' ' ' cos v v Nedenfo e vis kuveundesøgelsen med e maemaikpogam, sam den igige gaf. Kuven begænse e omåde af planen. Vi ønske a besemme aeale af dee omåde. De e ud fa de foegående kla, a anden af omåde gennemløbes fa = - il =. Vi anvende defo blo fomlen 5.. ' d A ' Da udkke ses, a væe negaiv i inevalle [-, ] skal vi skife foegn. Vi få da. 5 5 d A 9,6 Hvilke e de samme esula, som maemaikpogamme få. De o minusegn e en minde fejl i pogamme
Paameekuve 8