Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling
|
|
- Silje Nygaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematisk modellering og numeriske metoder Eksempelsamling Morten Grud Rasmussen 2. december 206 Indhold Analytiske metoder 3. Metoder til ODE er af første orden Separation af de variable Eksakte ODE er Integrerende faktorer Homogene lineære ODE er Inhomogene lineære ODE er Bernoulli-ligningen Metoder til ODE er af anden orden Homogene lineære ODE er Linearitet af løsninger/superpositionsprincippet Reduktion af orden Konstante koefficienter Euler-Cauchy-ligninger Ikke-homogene, lineære ODE er Linearitet af løsninger/superpositionsprincippet De ubestemte koefficienters metode Forstyrrede masse-fjeder-systemer De arbitrære parametres variationsmetode Laplace-transformationen Laplace-transformationen af udvalgte funktioner Linearitet af Laplace-transformationen og dens inverse Forskydning af s-variablen Laplace-transformationen af afledede Laplace-transformationen af integraler Løsning af begyndelsesværdiproblemer
2 .3.6. Begyndelsesværdiproblemer med t 0 = Forskydning af begyndelsesværdibetingelsen Partialbrøker Systemer af ODE er Konvertering af ODE er af orden n til systemer af n ODE er af orden Systemer af ODE er af orden med konstante koefficientmatricer Fourierrækker Udregning af Fourierkoefficienter mm Lige og ulige funktioner Linearitet af Fourierkoefficienter Periodeskift Halvsidige udviklinger Metoder til PDE er af anden orden Den éndimensionelle bølgeligning Fourierrækkemetoden D Alemberts løsning Den endimensionelle varmeligning Randbetingelsen u(0, t = u(l, t = Isolerede endepunkter Numeriske metoder Løsning af ligninger Fikspunktiteration Newtons metode Sekantmetoden Interpolationspolynomier Polynomium gennem n + punkter Lagrange-interpolation Newtons divideret differens-metode Polynomiumsapproksimation af funktioner Numerisk integration Midtpunktsreglen Trapezreglen Simpsons regel Gauss-kvadratur Enkeltskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Euler-metoden Heuns metode RK4-metoden Runge-Kutta-Fehlberg Baglæns Euler Mangeskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Adams-Bashforth-metoder Adams-Moulton-metoder Metoder til førsteordenssystemer Euler-metoden
3 2.6.2 RK Baglæns Euler Metoder til numerisk løsning af ODE er af anden orden Runge-Kutta-Nyström-metoder y (x = f(x, y(x, y (x y (x = f(x, y(x Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne i to dimensioner Regulær rand Dirichlet-randbetingelser Neumann- og blandede randbetingelser Irregulær rand Dirichlet-randbetingelser Gauss-Seidel-iterationsmetoden Analytiske metoder. Metoder til ODE er af første orden.. Separation af de variable Eksempel... Betragt ODE en 2y (x = y(x(x +. x Først bemærker vi, at y 0 er en løsning. For at finde andre løsninger, skal vi omskrive til separeret form: 2y (x y(x = 2 y(x y (x = x + = + x x, som tydeligvis er på formen g(y(xy (x = f(x, hvor g(y = 2 og f(x = +. Vi finder nu y x stamfunktioner G = g(y dy og F = f(x dx til g og f, hhv. (det er nok at finde én til hver; integrationskonstanten tilføjer vi til sidst: Så separation af de variable giver altså: G(y = 2 ln( y og F (x = x + ln( x. 2 ln( y(x = x + ln( x + k. Da y 0 er en løsning, ved vi fra entydighed af løsninger, at ingen andre løsninger y kan krydse 0. Tilsvarende optræder x alene i nævneren, så x kan altså heller ikke krydse 0. Vi kan derfor splitte op i de fire tilfælde y > 0 og x > 0, y > 0 og x < 0, y < 0 og x > 0, samt y < 0 og x < 0. Vi nøjes med at betragte det første tilfælde og kan nu isolere y(x: e 2 ln(y(x = ( e ln(y(x 2 = (y(x 2 = e x+ln(x+k = e x e ln(x e k = e x xe k, eller y(x = a xe x 2, 3
4 hvor a = e k > 0 er en positiv konstant. For at tjekke, om vi har regnet rigtigt, gør vi nu prøve: og vores løsning er altså korrekt. 2y (x = ae x 2 (x + x og Eksempel...2. Betragt følgende ODE: y(x(x + x = a x(x + e x 2 x, som kan omskrives til y (x + 2 sin(2πx = 0, y (x = 2 sin(2πx, som er på separeret form med g(y = og f(x = 2 sin(2πx. Vi finder stamfunktioner G = g(y dy og F = F (x dx: G(y = y og F (x = π cos(2πx. Separation af de variable giver altså: y(x = cos(2πx + k, π hvor k er en vilkårlig integrationskonstant. For en sikkerheds skyld tjekker vi vores resultat: y (x = 2π π sin(2πx + 0, som altså opfylder differentialligningen. Eksempel...3. Betragt følgende ODE: som for y 0 kan omskrives til y (x = y(x, y(x y (x =, som er på separeret form med g(y = y og f(x =. Vi finder stamfunktioner G = g(y dy og F = f(x dx: G(y = ln( y og F (x = x. Separation af de variable giver altså: ln( y(x = x + k, hvor k er en vilkårlig integrationskonstant. Vi isolerer y i ovenstående: y(x = e ln( y(x = e x+k = e k e x y(x = ±e k e x = ce x, hvor c = ±e k. Idet vi bemærker, at y 0 også er en løsning, og er y(x = ce x altså en løsning for alle reelle tal c. For at tjekke, om vi har regnet rigtigt, sætter vi ind i differentialligningen: så y opfylder altså differentialligningen. y (x = ce x = y(x, 4
5 Eksempel...4. Betragt følgende ODE: der kan omskrives til y(xy (x + 36x = 0, y(xy (x = 36x, som er på separeret form med g(y = y og f(x = 36x. Vi finder stamfunktioner G = g(y dy og F = f(x dx: Separation af de variable giver altså: G(y = 2 y2 og F (x = 8x 2. 2 y2 (x = 8x 2 + k, hvor k er en vilkårlig integrationskonstant. Vi isolerer y i ovenstående: y(x = ± c 36x 2, hvor c = 2k, som kun er defineret, når c 36x 2 0. Vi tjekker efter: som ønsket. Eksempel...5. Betragt følgende ODE: y(xy (x + 36x = ± 72x c 36x 2 2 c 36x + 36x = 0 2 y (t = Ay(t ln(y(t, hvor A > 0 og y 0, der for y kan omskrives til y (t y(t ln(y(t = A, som er på separeret form med g(y = og f(t = A. Vi bemærker, at y er en løsning. Vi y ln(y finder stamfunktioner G = g(y dy og F = f(t dt: G(y = ln(a ln(y og F (t = At, hvor a 0 er en konstant hvis fortegn afhænger af, om y er større eller mindre end. Separation af de variable giver altså: ln(a ln(y = At + k hvor k er en vilkårlig integrationskonstant. Vi isolerer y i ovenstående: y(t = e eln(a ln(y = e ae At+k = e aek e At = c e At, hvor c = e aek > 0 er en konstant, som ikke kan være, da a 0. Vi bemærker dog, at c = svarer til y, som vi allerede ved er en løsning. Vi tjekker, om vi har regnet rigtigt: y (t = Ae At ln(cc e At = Ac e At ln ( c e At, som påstået (bemærk, at disse udregninger også gælder for c =, idet ln( = 0. 5
6 ..2 Eksakte ODE er Eksempel..2.. Betragt BVP et 2xy(x 9x 2 + (2y(x + x 2 + y (x = 0, y(0 = 3. Hvis vi skriver M(x, y = 2xy 9x 2 og N(x, y = 2y + x 2 +, så er ODE en på formen og vi tjekker for eksakthed: M(x, y(x + N(x, y(xy (x = 0, M y N (x, y = 2x og (x, y = 2x, x så ODE en er altså eksakt. Vi har altså at y er løsning til en ligning på formen u(x, y(x = c, og vi går derfor på jagt efter denne funktion u. Først findes en stamfunktion f(, y = M(t, y dt (vi behøver ikke bekymre os om integrationskonstanten; den indgår i den ukendte konstant c: Herefter finder vi g: f(x,y = x 2 y 3x 3. g(y = 2y + x 2 + f y (x, y = 2y + x2 + x 2 = 2y +. Da u(x, = f(x, g(t dt finder vi nu en stamfunktion G = g(t dt (igen kan vi undlade at bekymre os om integrationskonstanten af samme grund som før: Altså er u givet ved og løsningen y til BVP et opfylder altså G(y = y 2 + y. u(x, y = f(x, y G(y = x 2 y 3x 3 + y 2 + y, u(x, y(x = x 2 y(x 3x 3 + y(x 2 + y(x = c. Først finder vi c ved at indsætte BB en y(0 = 3: hvorefter vi går i gang med at isolere y(x: så u(0, 3 = 0 ( ( ( 3 = 6, x 2 y(x 3x 3 + y(x 2 + y(x = 6 y(x 2 + (x 2 + y(x (3x 3 6 = 0, y(x = (x2 + ± (x (3x 3 6, 2 hvor vi afgør, om det er + eller i ± ved igen at indsætte BB en: y(0 = ± { for + = 2 3 for, så løsningen er altså y(x = (x2 + (x (3x Bemærk, at denne løsning ikke er defineret for alle x, da indmaden i kvadratroden kan blive negativ for visse værdier af x! 6
7 ..3 Integrerende faktorer Eksempel..3.. Betragt ODE en x 4 + y(x 2 xy(xy (x = 0. Hvis vi skriver P (x, y = x 4 + y 2 og Q(x, y = xy, så er ODE en på formen og vi tjekker for eksakthed: P y P (x, y(x + Q(x, y(xy (x = 0, Q (x, y = 2y og (x, y = y, x så ODE en er ikke eksakt. Men ( P Q R(x, y = (x, y Q(x, y y x (x, y = 3 (2y ( y = xy x er konstant som funktion af y for fastholdt x, så 3 F = exp R(x,y dx = exp x dx er en integrerende faktor. Lad os finde F : x 3 t dt = [ 3 ln( t ] x = 3 ln( x, t= så F (x = exp( 3 ln( x + k = exp(ln( x 3 e k = c x 3, hvor c = ±e k 0 er en konstant, som vi frit kan vælge. Eksempelvis for c = er altså F (xp (x, y(x + F (xq(x, y(xy (x = x + y(x2 x 3 eksakt:..4 Homogene lineære ODE er Eksempel..4.. Betragt ODE en M 2y (x, y = og N y x 3 x (x, y = ( 2 y x. 3 y (x + (2x + y(x = 0. x Hvis vi skriver p(x = (2x +, så kan den også skrives x y (x + p(xy(x = 0, 7 y(x x 2 y (x = M(x, y(x + N(x, y(xy (x = 0
8 og for alle tal c er y = ce p(x dx derfor en løsning. Vi begynder med at finde P = p(x dx (vi husker, at vi kan være ligeglade med integrationskonstanten, da den blot svarer til at ændre konstanten c: og altså er P (x = x p(t dt = x (2t + t dt = x2 + ln( x, y(x = ce P (x = ce x2 ln( x = ce x2 e ln( x = c e x2 x hvor c = ±c er en vilkårlig konstant, den ønskede løsning. = c e x2 x,..5 Inhomogene lineære ODE er Eksempel..5.. Betragt ODE en som kan omskrives til y (x = 2 x y(x x2 sin(x, y (x + p(xy(x = r(x, hvor p(x = 2 og r(x = x x2 sin(x. For at finde løsningen skal vi først finde h = p(x dx (husk, at vi er ligeglade med integrationskonstanter, da det blot svarer til at vælge et andet c i sidste ende: x x h(x = p(t dt = 2 t dt = 2 ln( x = ln(x2. Dernæst udregnes e h(x r(x dx: x e h(t r(t dt = x x x e ln(t2 ( t 2 sin(t dt = (e ln(t2 t 2 t 2 sin(t dt = sin(t dt = cos(x, t2 hvor vi igen kan springe integrationskonstanten over. Nu er den generelle løsning...6 Bernoulli-ligningen Eksempel..6.. Betragt ODE en ( x y(x = e h(x e h(t r(t dt + c = x 2 cos(x + cx 2 y (x + y(x (x 2 + 4x y(x = 0, som kan omskrives til y (x + p(xy(x = g(xy(x a, 8
9 hvor p(x =, g(x = x 2 + 4x og a =. For at finde y skal vi først finde u, hvor 2 og u opfylder eller blot y(x = u(x 2 = u(x 2 u (x + 2 u(x = u (x + ( ap(xu(x = ( ag(x = 2 x2 + 2x u (x + 2 u(x = 2 x2 + 2x, som kan løses med metoden til at løse inhomogene lineære ODE er af første orden: og Altså er og dermed er den generelle løsning for vilkårligt c R. h(x = x 2 dt = x 2, x e t 2 ( 2 t2 + 2t dt = e x 2 x 2. u(x = e x 2 (e x 2 x 2 + c y(x = u(x 2 = e x (e x 2 x 2 + c 2.2 Metoder til ODE er af anden orden.2. Homogene lineære ODE er.2.. Linearitet af løsninger/superpositionsprincippet Eksempel.2... Betragt BVP et y (x = y(x, y(ln(2 = 2, y (ln(2 = 4. ODE en har løsningerne y (x = e x og y 2 (x = e x. Vi finder y og y 2: y (x = e x og y 2(x = e x, De to løsninger er lineært uafhængige, da Wronski-determinanten W (y,y 2 (x = e x ( e x e x e x = 2 ikke er 0. Derfor er alle løsninger på formen y 0 = ay + by 2, og vi kan nu bestemme a og b, så begyndelsesbetingelserne er opfyldte. Vi får de to ligninger med to ubekendte 2 = y 0 (ln(2 = ay (ln(2 + by 2 (ln(2 = a2 + b 2 2a + 2 b = 2 4 = y 0 (ln(2 = ay (ln(2 + by 2 (ln(2 = a2 + b( 2 2a 2 b = 4 som har den entydige løsning a = 3 2 og b = 2. Løsningen til BVP et er altså y 0(x = 3 2 ex 2e x. 9
10 .2..2 Reduktion af orden Eksempel Betragt ODE en (x 2 xy (x xy (x + y(x = 0. ( og lad y (x = x. Så er y en løsning (tjek selv efter. Vi bruger nu metoden reduktion af orden til at finde en anden, lineært uafhængig løsning. Først skal ( omskrives til standardform: og vi har altså p(x = y (x x =. Så er x 2 x x v (x = x 2 e x p(t dt = x 2 eln( x = x x 2 x y (x + y(x = 0, x 2 x x = x = x 2 x 2 x, x 2 hvor vi kan droppe numerisk værdi-tegnene, da det blot svarer til evt. at gange med (for x < 0. Altså bliver u(x = x ( t t 2 dt = ln x + x, så y 2 (x = y (xu(x = x ln x + er en anden (lineært uafhængig løsning Konstante koefficienter Eksempel Betragt ODE en y (x + 3y (x 4y(x = 0, som er en homogen lineær ODE af anden orden hvor a = 3, b = 4. Først bestemmer vi diskriminanten: a 2 4b = 3 2 4( 4 = = 25, og vi har dermed positiv diskriminant. Vi skal derfor finde λ ± : λ ± = a ± a 2 4b = 3 ± { 25 for + = for, og den generelle løsning er derfor y(x = c e x + c 2 e 4x, og der er således både voksende og aftagende løsninger. Eksempel Betragt ODE en y (x 8y (x + 25y(x = 0, som er en homogen lineær ODE af anden orden hvor a = 8, b = 25. Først bestemmer vi diskriminanten: a 2 4b = ( = = 36, 0
11 og vi har dermed negativ diskriminant. Vi skal derfor finde ω: og den generelle løsning er derfor ω = b a 36 4 = 4 = 3, y(x = c e 8x 2 cos(3x + c 2 e 8x 2 sin(3x = c e 4x cos(3x + c 2 e 4x sin(3x, og løsningerne er dermed voksende og oscillerende (eller identisk Euler-Cauchy-ligninger Eksempel Betragt ODE en x 2 y (x + 6xy (x + 4y(x = 0, som er en homogen Euler-Cauchy-ligning med a = 6 og b = 4. Først bestemmer vi determinanten: (a 2 4b = ( = 9 > 0, og vi har dermed positiv determinant. Dvs. m ± = 6 ± (a b = 5 ± 3 og den generelle 2 2 løsning er derfor y(x = c x + c 2 x Ikke-homogene, lineære ODE er.2.2. Linearitet af løsninger/superpositionsprincippet Eksempel Det ses let, at ODE en y (x + y(x = 2e x. (2 har y p (x = e x som løsning. Alle løsninger til den tilhørende homogene ODE y (x + y(x = 0 (3 er på formen y h (x = a cos(x + b sin(x. Den generelle løsning til (2 er derfor y g (x = e x + a cos(x + b sin(x. Hvis vi sætter y (x = e x + cos(x og y 2 (x = e x sin(x, så er y og y 2 altså begge løsninger til (2 og y 3 (x = y (x y 2 (x = cos(x + sin(x er en løsning til (3.
12 De ubestemte koefficienters metode Eksempel Betragt ODE en som er på formen y (x + 2y (x + y(x = e x + 4 cos(2x, (4 y (x + ay (x + by(x = r(x med a = 2, b = og r(x = e x +4 cos(2x. Vi ønsker at finde en partikulær løsning. Da r = r +r 2, hvor r (x = e x, som er på formen ke γx med k = og γ =, og r 2 (x = 4 cos(2x, som er på formen k sin(ωx med k = 4 og ω = 2, så sætter vi f (x = Ce x og f 2 (x = K cos(2x + M sin(2x. Hvis vi sætter f ind på y s plads i fås y (x + 2y (x + y(x f (x + 2f (x + f (x = C( 2 e x + C( e x + Ce x = 0. Det ses, at f løser den homogene ligning, og vi prøver derfor med f : x xf (x: f (x + 2 f (x + f (x = C( e x e x x( e x + 2C( e x + x( e x + Cxe x = 0, så f løser også den homogene ligning. Vi skal altså bruge ˇf : x Cx 2 e x : ˇf (x + 2 ˇf (x + ˇf (x = C(x 2 4x + 2e x + 2C(2x x 2 e x + Cx 2 e x Sætter vi C = 2, så får vi altså r (x. For f 2 s vedkommende får vi = 2Ce x. f 2 (x + 2f 2(x + f 2 (x = ( 2 2 K cos(2x 2 2 M sin(2x + 2( 2K sin(2x + 2M cos(2x + (K cos(2x + M sin(2x = ( 3K + 4M cos(2x + ( 3M 4K sin(2x. Hvis dette skal give 4 cos(2x, skal vi altså have 3K + 4M = 4 og 3M 4K = 0. Disse to ligninger med to ubekendte har løsningen K = 2 6 og M =. Vi får altså, at er en løsning til ( Forstyrrede masse-fjeder-systemer Eksempel Betragt ODE en y p (x = 2 x2 e x 2 6 cos(2x + sin(2x y (t + 2y (t + 5y(t = 0 cos((2 2 3t, som er på formen my (t + cy (t + ky(t = F 0 cos(ωt 2
13 med m =, c = 2, k = 5, F 0 = 0 og ω = Så er ω 0 = = 5. Vi har derfor en løsning, som ser ud som følger: y p (t = ( cos((2 2 3t + π, idet 2 (5 ( (2 2 = og arctan( ( (5 ( = π. 6 Nu er 0 < og altså 0 < c 2 2mk. Da ω = = 3, betyder det, 2 at frekvensen ω = 3 ville give en løsning med en højere amplitude. Mere konkret har ODE en y (t + 2y (t + 5y(t = 0 cos( 3t løsningen y p (t = 2,5 cos( 3t + π 3, 2 0 idet = 2,5 og arctan( 2 3 = π. Da < 2,5, giver ω = 3 altså en højere amplitude end ω = som påstået De arbitrære parametres variationsmetode Eksempel Betragt ODE en hvor vi husker, at sec(x =, som altså er på formen cos(x y (x + y(x = sec(x, (5 y (x + p(xy (x + q(xy(x = r(x med p 0, q og r = sec. Vi ser, at r = sec ikke er at finde i listen over funktioner, som vi kan klare med de ubestemte koefficienters metode, og vi må derfor ty til de arbitrære parametres variationsmetode. Til gengæld er p og q konstanter, hvilket kommer os til nytte, idet metoden kræver, at vi først løser det tilhørende homogene system, y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0. (6 Eksempelvis vha. metoden til homogene, lineære ODE er af orden 2 med konstante koefficienter fås altså, at y og y 2 givet ved løser (6. Dermed er y (x = cos(x og y 2 (x = sin(x y p = y y2 (xr(x W (x dx + y 2 y (xr(x W (x en løsning til (5, hvor W (x = cos(x cos(x sin(x( sin(x. Vi skal altså finde stamfunktioner u = y 2 (xr(x dx og u W (x 2 = y (xr(x dx: W (x x sin(t sec(t x u (x = dt = tan(t dt = ln( cos(x 3 dx
14 og x cos(t sec(t x u 2 (x = dt = dt = x, idet vi ikke behøver at bekymre os om integrationskonstanter, da de blot svarer til at lægge en homogen løsning til den partikulære løsning. Alt i alt fås altså, at y p (x = sin(x( ln( cos(x + cos(xx = x cos(x + ln( cos(x sin(x er en partikulær løsning til (5..3 Laplace-transformationen.3. Laplace-transformationen af udvalgte funktioner Eksempel.3... Betragt funktionen f : R R givet ved f(t = e 3t. Så er Laplace-transformationen F = L(f af f givet ved F (s = s 3. 7 Eksempel Betragt funktionen G: R R givet ved G(s =. Så er den inverse s 2 6s+58 Laplace-transformation g = L (G af G givet ved g(t = e 3t sin(7t, idet vi ser at G kan omskrives 7 på følgende måde: G(s = = 7. (s 2 6s+9+49 (s Linearitet af Laplace-transformationen og dens inverse Eksempel Betragt funktionen j(t = 2 t2 + e 2t cos(2πt + 7. Hvis vi skriver f(t = t 2, g(t = e 2t cos(3t og h(t =, så kan j skrives som j = f + g + 7h. Dermed er J = L(j givet 2 ved J(s = 2 2! s 3 + = s s3 s 2 + 4s s. s ( 2 (s ( s Eksempel Betragt funktionen F givet ved F (s =. Sæt G(s = 7. Så er s 2 6s+58 (s F (s = 7 = G(s, og den inverse Laplace-transformation f = 7 (s L (F af F er givet ved f(t = L (F (t = L ( G(t = 7 7 e3t sin(7t..3.3 Forskydning af s-variablen Eksempel Betragt funktionen f givet ved f(t = t 3. Laplace-transformationen F = L(f af f er givet ved F (s = 3! = 6. Så er Laplace-transformationen af g givet ved g(t = e 3t f(t = s 4 s 4 e 3t t 3 altså L(g(s = L(t e 3t t 3 (s = F (s ( 3 = F (s + 3 = Laplace-transformationen af afledede (s+3 4. Eksempel Lad f(t = e t 3 3 sin(3t. Så er L(f(s = F (s = =. Vi ønsker (s ( s 2 +2s+0 at finde L(f. Da f(0 = 0 og f (0 = e 0 sin(3 0 + e 0 3 cos(3 0 = 3, så er L(f (s = s 2 3 s 2 + 2s + 0 s 0 3 = 3s 2 6s 30 3 = s 2 + 2s + 0 s 2 + 2s
15 .3.5 Laplace-transformationen af integraler Eksempel Lad f(t = t 2. Så er g(t := t f(x dx = 0 3 t3 og L(f(s = F (s = 2! = 2. Dvs. s 3 s 3 G(s = L(g(s = F (s = 2 = 2, hvilket stemmer overens med at L(t t 3 (s = 6. s s s 3 s 4 s Løsning af begyndelsesværdiproblemer.3.6. Begyndelsesværdiproblemer med t 0 = 0 Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t y(t = t, y(0 =, y (0 =. Vi bemærker at Q(s = s 2 og da r(t = t, er L(r = s 2, så Y (s = ( (s s 2 + s 2 s 2 = s + ( s 2 s 2 = s + s 2 s 2. Vha. linearitet og tabelopslag fås nu y(t = e t + sinh(t t Forskydning af begyndelsesværdibetingelsen Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t + 4y (t + 4y(t = e 2 π 2 e 2t cos(πt, y( = 2 y ( = 3. Da dette problem har begyndelsesværdibetingelser i t 0 = 0, kan Laplace-metoden ikke bruges umiddelbart. Vi skal derfor forskyde begyndelsesværdibetingelsen: Hvis vi skriver t = t og t 0 = t 0 = 0, så kan begyndelsesværdiproblemet skrives y ( t + + 4y ( t + + 4y( t + = e 2 π 2 e 2( t+ cos(π( t +, y( t 0 + = 2 y ( t 0 + = 3. Hvis vi nu skriver ỹ( t = y( t +, så får vi i stedet ỹ ( t + 4ỹ ( t + 4ỹ( t = π 2 e 2 t cos(π t + π, ỹ( t 0 = 2 ỹ ( t 0 = 3, og da t 0 = 0, har vi nu et begyndelsesværdiproblem for ỹ, som er på den rigtige form. Altså fås med r( t = π 2 e 2 t cos(π t + π = π 2 e 2 t cos(π t og altså R(s = π 2 s ( 2 = π 2 s+2 : (s ( 2 2 +π 2 (s+2 2 +π 2 Ỹ (s = ((s (s s + 2 π (s π 2 (s = 2s + 5 (s (s π π 2 2 s + 2 = (s ( s ( 2 + s ( 2 (s ( π, 2 5
16 som alle er s-forskudt med a = 2. Se i øvrigt Eksempel.3.7. for deltaljer ang. omskrivningen. Vha. tabelopslag ser vi, at = L(t t, = L(t og s = L(t cos(πt, og dermed er s 2 s s 2 +π 2 ỹ( t = e 2 t ( t + + cos(π t. Vi skulle finde y, men da t = t er y(t = y( t + = ỹ( t = ỹ(t, så er vores søgte løsning..3.7 Partialbrøker y(t = e 2(t ((t + + cos(π(t = e 2 2t (t cos(πt Eksempel Betragt følgende udtryk fra Eksempel s + 5 (s (s π π 2 2 s + 2. (7 I Eksempel påstås det uden nærmere uddybning, at udtrykket (7 også kan skrives som + + s ( 2. For at vise, hvordan dette udtryk er fundet, sætter vi først på fælles (s ( 2 2 s ( 2 (s ( 2 2 +π 2 brøkstreg: 2s + 5 (s (s π π 2 2 s + 2 = ((s π 2 (2s + 5 ((s π 2 (s + 2 π 2 (s ((s π 2 (s = ((s π 2 (2s + 5 π 2 (s + 2 ((s π 2 (s = 2s3 + 3s 2 + (28 + π 2 s + (20 + 3π 2 (s + 2(s + 2((s π 2 = P (s Q(s, så da (s π 2 = (s (π ikke har nogen reelle rødder, er P (s en polynomiumsbrøk på den rigtige form med n = 2, m =, r = r 2 = 2, a = 4, b 2 = π + 4 og P (s er et Q(s polynomium af grad n + 2m = 3. Da r = r 2 skal vi altså finde = 4 konstanter A, A 2, B og C, så 2s 3 + 3s 2 + (28 + π 2 s + (20 + 3π 2 = ((s π 2 (2s + 5 π 2 (s + 2 som giver følgende fire ligninger med fire ubekendte 2 = A + B = A (s + 2((s π 2 + A 2 ((s π 2 + (B s + C (s + 2(s + 2 = (A + B s 3 + (6A + A 2 + 4B + C s 2 3 = 6A + A 2 + 4B + C + ((π 2 + 2A + 4A 2 + 4B + 4C s + ((2π 2 + 8A + (4 + π 2 A 2 + 4C, 28 + π 2 = (π 2 + 2A + 4A 2 + 4B + 4C π 2 = (2π 2 + 8A + (4 + π 2 A 2 + 4C, (8 6
17 med den unikke løsning A = A 2 = B =, C = 2. Dermed er 2s + 5 (s (s π π 2 2 s + 2 = A s A 2 (s B s + C 2 (s π 2 som hævdet. Det kan i øvrigt bemærkes, at (8 gælder for alle s, og specielt også for s = r = r 2 = 2. Det ses let, at ((s π 2 (2s + 5 π 2 (s + 2 fra (8 giver π 2, når man sætter s = 2 ind, mens udtrykket A (s+2((s+2 2 +π 2 +A 2 ((s+2 2 +π 2 +(B s+c (s+2(s+2 også fra (8 giver A 2 π 2, hvorved det let ses, at A 2 =, uden at vi behøver at løse flere ligninger med flere ubekendte. Da (s π 2 ingen reelle rødder har, og da s = 2 er en dobbeltrod, kan vi desværre ikke finde de andre konstanter, A, B og C på samme lette måde, men hvis Q(s kun har simple, reelle rødder er dette faktisk en meget brugbar metode, som gør, at man slipper for en masse omskrivninger. Se også Eksempel Eksempel Betragt følgende polynomiumsbrøk: 3,5s 2 + 4s 22,5 (s 2 + 7s + 2(s 3 = 3,5s2 + 4s 22,5 (s + 4(s + 3(s 3 = P (s Q(s, hvor altså m = 0, r = 4, r 2 = 3 og r 3 = 3. Sæt Så er A = A 2 = A 3 = P ( 4 ( 4 ( 3( 4 3 = 3,5 ( ( 4 22,5 ( 7 P ( 3 ( 3 ( 4( 3 3 = 3,5 ( ( 3 22,5 ( 6 P (3 (3 ( 4(3 ( 3 = 3, ,5 7 6 = 7,5 7 = 2 42 = 0,5. 3,5s 2 + 4s 22,5 (s 2 + 7s + 2(s 3 = 2,5 s ,5 s ,5 s 3. = 2,5, = 3 6 = 0,5 og.4 Systemer af ODE er.4. Konvertering af ODE er af orden n til systemer af n ODE er af orden Eksempel.4... Betragt ODE en my (t + cy (t + y(t = 0 som kan omskrives til y (t = c m y (t k m y(t = F (t,y(t,y (t, hvor F (t,y,z = c m z k m y. Vi kan nu sætte y = y og y 2 = y og skrive systemet på formen y = y 2 y 2 = F (t,y,y 2 = c m y 2 k m y. 7
18 Matricen for systemet er således og systemet kan skrives kort som ( 0 A = k m y = Ay, c m hvor y = ( y y Systemer af ODE er af orden med konstante koefficientmatricer Eksempel Betragt systemet af ODE er af orden givet ved ( y = Ay hvor A = For matricen A har egenværdier og egenvektorer λ = 0 og v = ( samt λ 2 = og v 25 2 = ( Den generelle løsning til systemet er derfor. ( ( y(t = c v e λt + c 2 v 2 e λ2t = c + c 2 e 25 t...5 Fourierrækker.5. Udregning af Fourierkoefficienter mm. Eksempel.5... Betragt den 2π-periodiske funktion f givet ved Først finder vi a 0 (f: Dernæst finder vi a n (f: f(x = { k for π x 0 k for 0 < x < π, f(x = f(x + 2π. a 0 (f = π f(x dx = ( 0 π ( k dx + k dx = 0 2π π 2π π 0 π a n (f = f(x cos(nx dx π π = ( 0 π ( k cos(nx dx + k cos(nx dx π π 0 = ( k sin(nx 0 π n + k sin(nx π n = 0. x= π 8 x=0
19 Og til sidst finder vi b n (f: π b n (f = f(x sin(nx dx π π = ( 0 π ( k sin(nx dx + k sin(nx dx π π 0 = ( k cos(nx 0 π n k cos(nx π x= π n x=0 = k (cos(0 cos( nπ cos(nπ + cos(0 nπ = 2k ( cos(nπ nπ = 2k nπ ( ( n, så b = 4k, b π 2 = 0, b 3 = 4k, b 3π 4 = 0, b 5 = 4k, osv. Altså er Fourierrækken for f 5π 4k (sin(x + π 3 sin(3x + 5 sin(5x +. Da f er stykkevist kontinuert og har venstre- og højreafledede overalt (de er 0 overalt, så er f(x = 4k π n= sin((2n x 2n i f s kontinuitetspunkter, dvs. x mπ, m Z. I punkterne x = mπ, m Z er 4k k + k sin((2n x = = 0, π 2n 2 n= hvilket også kan ses direkte, idet sin((2n mπ = 0 for alle n N og m Z..5.2 Lige og ulige funktioner Eksempel Lad g være den ulige, 2π-periodiske funktion givet ved Så er a n (g = 0 for alle n = 0,, 2,..., og g(x = x for x [ π,π], g(x = g(x + 2π. b n (g = 2 π π 0 π g(x sin(nx dx = 2 x sin(nx dx π 0 = 2 [ sin(nx x cos(nx π n 2 n = 2 ( 0 π n π ( n 2 2 n π = ( n+ 2 n. 9 ] π x=0 ( 0 n 2 0 n
20 .5.3 Linearitet af Fourierkoefficienter Eksempel I Eksempel.5.. og Eksempel.5.2. fandt vi Fourierkoefficienterne for f og g givet ved hhv. { k for π x 0 f(x =, f(x = f(x + 2π. k for 0 < x < π og g(x = x forx [ π,π], g(x = g(x + 2π. Vi kan nu finde Fourierkoefficienterne for h givet ved h(x = { π x for π x 0 π x for 0 < x < π idet h = π k f g = c f + c 2 g, hvor c = π k og c 2 = : og, for n =, 2, 3,... : samt.5.4 Periodeskift, h(x = h(x + 2π, a 0 (h = c a 0 (f + c 2 a 0 (g = c 0 + c 2 0 = 0, a n (h = c a n (f + c 2 a n (g = c 0 + c 2 0 = 0 b n (h = c b n (f + c 2 b n (g = π k 2k nπ ( ( n ( n+ 2 n = 2 n. Eksempel Lad f være den 2-periodiske funktion givet ved Fourierrækken er så givet ved hvor f(x = x, for x [,], f(x = f(x + 2. a 0 (f + ( ( nπ nπ a n (f cos x + b n (f sin( x, n= a 0 (f = 2 a n (f = b n (f = x dx ( nπ x cos x dx ( nπ x sin x dx, for n =, 2, 3,.... Koefficienternes værdi er udregnet i Eksempel.5.5. nedenfor. 20
21 .5.5 Halvsidige udviklinger Eksempel Lad f være den i Eksempel.5.4. givne funktion. Bemærk, at f er en lige funktion, og vi kan således finde Fourierkoefficienterne og Fourierrækken for f ved at finde Fourierkoefficienterne og Fourierrækken for den 2-periodiske, lige udvidelse af funktionen f givet ved: f(x = x for x [0,]. Da der er tale om den lige udvidelse, så er b n (f = b n ( f = 0 for alle n, mens og a 0 (f = a 0 ( f = 0 x dx = 2 og Fourierrækken er således idet a n (f = 0 for n lige. a n (f = a n ( f = 2 x cos(nx dx 0 [ cos(πnx = 2 + x sin(πnx π 2 n 2 πn ( ( n = 2 π 2 n + 0 ( 2 2 πn f(x = 2 + n= = 2 m= = ( ( n 2 π 2 n 2, ( ( n 2 π 2 n 2 cos ( nπ x 4 π 2 (2m cos( (2m πx 2 ] x=0 π 2 n n = 2 4 π 2 cos(πx 4 9π 2 cos(3πx 4 25π 2 cos(5πx +, Eksempel Lad f være givet ved f(x = x( x for x [0, ]. Her er L =, så 2L = 2 og Fourierrækken for en 2-periodisk, ulige udvidelse af f er givet ved idet b n (f = 2 f u (x = 0 n= ( nπ b n (f sin x = n= 4( ( n n 3 π 3 sin(nπx, { ( nπ x( x sin x dx = 4( ( n 8 for n ulige n = 3 π 3 n 3 π 3 0 for n lige, mens Fourierrækken for en 2-periodisk, lige udvidelse er givet ved f l (x = a 0 (f + n= ( nπ a n (f cos x = 6 2 n= 2( + ( n n 2 π 2 cos(nπx,
22 idet og a n (f = 2 0 a 0 (f = 0 x( x dx = 6 { ( nπ x( x cos x dx = 2( + ( n 4 for n lige n = 2 π 2 n 2 π 2 0 for n ulige. Eksempel Lad g være givet ved g(x = x for x [0, ]. Her er L =, så 2L = 2 og Fourierrækken for en 2-periodisk, ulige udvidelse af g er givet ved idet g u (x = n= b n (g = 2 ( nπ b n (g sin x = 0 2( n sin(nπx, nπ n= ( nπ x sin x dx = 2( n, nπ mens Fourierrækken for en 2-periodisk, lige udvidelse er givet ved f l (x = a 0 (f + n= ( nπ a n (f cos x = 2 + n= 2(( n n 2 π 2 cos(nπx, idet og a n (f = 2 0 a 0 (f = 0 x dx = 2 { ( nπ x cos x dx = 2(( n 4 for n ulige n = 2 π 2 n 2 π 2 0 for n lige..6 Metoder til PDE er af anden orden.6. Den éndimensionelle bølgeligning.6.. Fourierrækkemetoden Eksempel.6... Betragt den éndimensionelle bølgeligning u tt = c 2 u xx på [0, ] med randbetingelse u(0, t = u(l, t = 0 og begyndelsesværdibetingelsen u(x, 0 = f(x og u t (x, 0 = g(x, hvor f er givet ved f(x = x( x og g er givet ved g(x = x. Så er u(x, t = ( u n (x, t bn cos(λ n t + b n sin(λ n t nπ sin( x, n= n= hvor λ n = cnπ, b n = b n (f = 4( ( n og b n 3 π 3 n = b cnπ n(g = 2( 2, hvor Fourierkoefficienterne b cn 2 π 2 n (f og b n (g er udregnet i hhv. Eksempel og Eksempel
23 .6..2 D Alemberts løsning Eksempel Betragt den éndimensionelle bølgeligning u tt = c 2 u xx på [0, ] med randbetingelse u(0, t = u(l, t = 0 og begyndelsesværdibetingelsen u(x, 0 = f(x og u t (x, 0 = g(x, hvor f er givet ved f(x = x( x og g er givet ved g(x = x. Så er x+ct u(x, t = ( f(x + ct + f(x ct + g(s ds 2 2c x ct = ( ( (x + ct( (x + ct + (x ct( (x ct + (x + ct 2 (x ct 2 2 4c = c 2 t 2 + tx x 2 + x..6.2 Den endimensionelle varmeligning.6.2. Randbetingelsen u(0, t = u(l, t = 0 Eksempel Betragt den endimensionelle varmeligning u t = c 2 u xx på [0, ] med begyndelsesbetingelsen u(x, 0 = f(x, hvor f er givet ved f(x = x( x med randbetingelsen u(0, t = u(l, t = 0. Idet L =, er løsningen u(x, t = n= ( nπ b n (f sin x e λ2nt = n= hvor λ n = cnπ og b n (f erne er udregnet i Eksempel Isolerede endepunkter 4( ( n n 3 π 3 sin(nπxe λ2 n t, Eksempel Betragt den endimensionelle varmeligning u t = c 2 u xx på [0, ] med begyndelsesbetingelsen u(x, 0 = f(x, hvor f er givet ved f(x = x( x med randbetingelsen u x (0, t = u x (L, t = 0. Idet L =, er løsningen u(x, t = a 0 (f + n= ( nπ a n (f cos e x λ2 n t = 6 hvor λ n = cnπ og a 0 (f og a n (f erne er udregnet i Eksempel n= 2( + ( n n 2 π 2 cos(nπxe λ2 n t, 2 Numeriske metoder 2. Løsning af ligninger 2.. Fikspunktiteration Eksempel 2... Lad g(x = (x Vi ønsker at finde en numerisk løsning til g(x = x vha. fikspunktiteration. En skitse viser, at der er en løsning omkring x = 2. Vi undersøger nu, om 23
24 fikspunktiteration kan bruges. Først differentieres g: og da g (x = 4 (x , g (x = (x < for x 9 4 ved vi, at fikspunktiteration kan bruges, hvis vi vælger x 0 9. For eksempelvis x 0 =, 2 hhv. 4 fås: 2..2 Newtons metode x x, , , x 2, , , x 3, , , x 4, , , x 5, , , x 6, , , x 7, , , Eksempel Lad g(x = (x Vi ønsker at finde en numerisk løsning til g(x = x vha. Newtons metode. En skitse viser, at der er en løsning omkring x = 2. For at kunne bruge Newtons metode, skal vi først omformulere problemet til noget på formen f(x = 0. Dette kan eksempelvis gøres ved at lade f(x = g(x x. Med dette valg giver Newtons metode med eksempelvis x 0 =, 2 hhv. 4 følgende resultat. x x, , , x 2, , , x 3, , , Undervejs har vi skullet bruge f (x = 4 (x Sekantmetoden Eksempel Vi fortsætter med g(x = (x+0 4, og vil stadig gerne finde en numerisk løsning til g(x = x, denne gang vha. sekantmetoden. En skitse viser, at der er en løsning omkring x = 2. For at kunne bruge sekantmetoden, skal vi først omformulere problemet til noget på formen f(x = 0. Dette kan eksempelvis gøres ved at lade f(x = g(x x. Med dette valg giver sekant metoden med eksempelvis x 0 = og x = 2, 2 og 3 hhv. 4 og 5 følgende resultat. 24
25 x x x 2, , , x 3, , , x 4, , , Bemærk, at vi ved denne metode ikke behøver udregne f (x. 2.2 Interpolationspolynomier 2.2. Polynomium gennem n + punkter Lagrange-interpolation Eksempel Lad (3, 22, (6, 20 og (36, 05 være tre punkter i planen. Vi ønsker at finde et andengradspolynomium som går gennem disse tre punkter. Lad x 0 = 3, x = 6 og x 2 = 36 samt y 0 = 22, y = 20 og y 2 = 05. Så er og dermed er l 0 (x = (x 6(x 36, l (x = (x 3(x 36 og l 2 (x = (x 3(x 6, og Altså er L 0 (x = l 0(x l 0 (x 0 L (x = l (x l (x L 2 (x = l 2(x l 2 (x 2 = (x 6(x 36 (3 6(3 36, = (x 3(x 36 (6 3(6 36, = (x 3(x 6 (36 3(36 6. p 2 (x = 22L 0 (x + 20L (x + 05L 2 (x = (x 6(x 36 (x 3(x 36 + (x 3(x det søgte polynomium. Læg i øvrigt mærke til, at dette polynomium er det samme som det p 2, der findes i Eksempel , selvom det ikke umiddelbart ser sådan ud Newtons divideret differens-metode Eksempel Lad (3, 22 og (36, 05 være to punkter i planen. Vi ønsker at finde et førstegradspolynomium som går gennem disse to punkter. Lad x 0 = 3 og x = 36 samt y 0 = 22 og y = 05. Så er og f[x 0 ] = f[3] = 22, f[x ] = f[36] = 05 f[x 0, x ] = f[3, 36] = f[36] f[3] 36 3 =
26 Dermed er p (x = f[3] + f[3, 36](x 3 = 22 6 (x 3 33 det ønskede førstegradspolynomium. Antag nu, at vi får et yderligere punkt i planen: (6, 20. Vi vil nu finde et andengradspolynomium p 2, der går gennem de tre punkter. Vi har allerede et førstegradspolynomium, p, som går gennem to af punkterne. Sæt x 2 = 6 og y 2 = 20. Så er og f[x 2 ] = f[6] = 20, f[x, x 2 ] = f[36, 6] = f[6] f[36] 6 36 = = = 7 2 f[x 0, x, x 2 ] = f[3, 36, 6] = f[36, 6] f[3, 36] 6 3 = 7 2 ( = 98. Dermed er p 2 (x = p (x + g 2 (x = 22 6 (x 3 + (x 3(x det ønskede andengradspolynomium. Læg i øvrigt mærke til, at dette polynomium er det samme som det p 2, der findes i Eksempel 2.2.., selvom det ikke umiddelbart ser sådan ud Polynomiumsapproksimation af funktioner Eksempel Betragt den naturlige logaritme, ln: R + R. Antag, at vi kender ln(9,0 og ln(9,5. Så er p (x = ln(9,0 (x 9,5(x,0 (x 9,0(x,0 + ln(9,5 (9,0 9,5(9,0,0 (9,5 9,0(9,5,0 en polynomiumsapproksimation af ln og p (9,2 = 2, er en approksimation af ln(9,2 som er fundet ved interpolation. Der findes et t 9,2 så fejlen ε (9,2 = ln(9,2 p (9,2 kan skrives ε (9,2 = (9,2 9,0(9,2 9,5 ln (t 9,2. 2! Vi vil finde en øvre og nedre grænse for fejlen. Først finder vi ln : ln (x = x så ln (x = x 2. På intervallet [x 0, x ] = [9,0; 9,5] antager ln altså sin minimale og sin maksimale værdi i hhv. 9,0 og 9,5. Derfor må (9,2 9,0(9,2 9,5 9,0 2 2 = 0, ε (9,2 0, = (9,2 9,0(9,2 9,5 9, Den korrekte fejl viser sig at være ε (9,2 = 0, , og vi får således et godt indtryk af fejlen med vores vurdering. 26
27 2.3 Numerisk integration 2.3. Midtpunktsreglen Eksempel Lad f : [0, ] R være givet ved f(x = e x. Sæt n = 4, h = 0 4 = 4, x 0 = 0, og x i = x 0 + ih, så x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4 og x 4 =. Så er J m 4 = 4 4 i= f(x i h 2 = 4 (e 8 + e e e 7 8 en approksimation af 0 ex dx Trapezreglen Eksempel Lad f : [0, ] R være givet ved f(x = e x. Sæt n = 4, h = 0 4 = 4, x 0 = 0, og x i = x 0 + ih, så x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4 og x 4 =. Så er J4 t = h ( f(x0 + f(x h f(x i = 2 8 (e0 + e + 4 (e e 2 + e 4 i= en approksimation af 0 ex dx. Da f er to gange differentiabel, så findes et x t [0, ] så ε t 4 = f (x 2 t, hvor ε t 4 = 0 ex dx J4 t er fejlen i approksimationen. Da f (x = e x og e x e for x [0, ], så kan vi altså se at fejlen ligger mellem e og. Da 4 = 2 2 er et lige tal kan fejlen approksimeres vha. følgende formel: ε t 4 3 (J t 4 J t 2. Da J t 2 = 4 (e0 +e + 2 e 2, kan vi estimere fejlen til 3 (J t 4 J t 2 = 3 ( 8 (+e+ 4 (e 4 e 2 +e 3 4, Simpsons regel Eksempel Lad f : [0, ] R være givet ved f(x = e x. Sæt n = 4, h = 0 4 = 4, x 0 = 0, og x i = x 0 + ih, så x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4 og x 4 =. Så er J S 4 = h 6 ( f(x0 + f(x 4 + 2h 3 4 f(x i h + h 4 f(x 2 i 3 i= = 24 (e0 + e + 6 (e 8 + e e e (e 4 + e 2 + e 3 4 en approksimation af 0 ex dx. Da f er fire gange differentiabel, så findes et x S [0, ] så ε S 4 = f (4 (x 4 S, i=
28 hvor ε S 4 = 0 ex dx J4 S er fejlen i approksimationen. Da f (4 (x = e x og e x e for x [0, ], så kan vi altså se at fejlen ligger mellem e og. Da 4 = 2 2 er et lige tal kan fejlen approksimeres vha. følgende formel: ε S 4 5 (J S 4 J S 2. Da J S 2 = 2 (e0 + e + 3 (e 4 + e e 2, kan vi estimere fejlen. Den eksakte værdi overlades det til læseren at finde Gauss-kvadratur Eksempel Lad f : [0, ] R være givet ved f(x = e x. Så er J4 G = 0 2 ( = 2 4 i= e e w i f( 0 2 z i ( ( ( e 36 ( e 36 en approksimation af 0 ex dx. 2.4 Enkeltskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden 2.4. Euler-metoden Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = e x e y(x, hvor y( =. Her er altså x 0 =, y 0 = og f(x, y = e x e y. Lad h = 0 være skridtlængden og sæt x n = + n 0 for n = 0,, 2,.... Så giver Euler-metoden: osv. y = y 0 + hf(x 0, y 0 = + 0 (e e =, y 2 = y + hf(x, y = + 0 (e, e = 0, , y 3 = y 2 + hf(x 2, y 2 = 0, (e,2 e 0, = 0,
29 2.4.2 Heuns metode Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = e x e y(x, hvor y( =. Her er altså x 0 =, y 0 = og f(x, y = e x e y. Lad h = 0 være skridtlængden og sæt x n = + n 0 for n = 0,, 2,.... Så giver Heuns metode: og osv. ỹ = y 0 + hf(x 0, y 0 = + 0 (e e =, y = y 0 + h 2 ( f(x0, y 0 + f(x, ỹ = + 20( (e e + (e, e = 0, , ỹ 2 = y + hf(x, y = 0, (e, e 0, = 0, , ( y 2 = y + h f(x, y 2 + f(x 2, ỹ 2 = 0, ((e, e 0, (e,2 e 0, = 0, RK4-metoden Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = e x e y(x, hvor y( =. Her er altså x 0 =, y 0 = og f(x, y = e x e y. Lad h = 0 være skridtlængden og sæt x n = + n 0 for n = 0,, 2,.... Så giver RK4-metoden: og dermed og dernæst og dermed k = 0 (e e = 0, k 2 = 0 (e,05 e = 0, , k 3 = 0 (e,05 e ( 0,007947/2 = 0, , k 4 = 0 (e, e ( 0, = 0, , y = + (0 2 0, , , = 0, , 6 k = 0 (e, e 0, = 0, k 2 = 0 (e,5 e (0, , /2 = 0, k 3 = 0 (e,5 e (0, , /2 = 0, k 4 = 0 (e,2 e (0, , = 0, y 2 = 0, ( 0, , , , = 0, osv. 29
30 Hvis vi vil indikere, at vi har foretaget udregningerne med h =, kan vi eksempelvis skrive 0 n osv. Havde vi foretaget ovenstående beregninger for h =, så havde vi fået y 5 5 = 0, y 0 Da 5 = 2 0 og 2 = 2, kan vi med disse værdier estimere fejlen ε 0 2 på y 0 2 = 0, : Runge-Kutta-Fehlberg ε 0 2 (0, , = 0, Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = e x e y(x, hvor y( =. Her er altså x 0 =, y 0 = og f(x, y = e x e y. Lad h = 0 være skridtlængden og sæt x n = + n 0 for n = 0,, 2,.... Så giver Runge-Kutta-Fehlberg-metoden: og k = 0 (e e = 0, k 2 = hf(x n + 4 h, y n + 4 k = 0, , k 3 = hf(x n h, y n k k 2 = 0, , k 4 = hf(x n + 2 3, y n k k k 3 = 0, , k 5 = hf(x n + h, y n k 8k k k 4 = 0, k 6 = hf(x n + h 2, y n 8 27 k + 2k k k 4 40 k 5 = 0, , og dermed y = 0, og ỹ = 0, Disse to tal ser umiddelbart ens ud, men er det ikke helt. Mere præcist kan vi estimere fejlen ε på y ved ε y ỹ = 0, Baglæns Euler Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x,y(x = 20y(x + 20x 2 + 2x hvor y(0 =. Det har løsningen y(x = e 20x + x 2 (sæt ind og tjek. Vi vil vise, hvordan man kan løse problemet vha. den baglæns Euler-metode. Med udgangspunkt i y n+ = y n + hf(x n+,y n+ = y n + h( 20y n+ + 20x 2 n+ + 2x n+ fås y n+ = y n + 20hx 2 n+ + 2hx n+ + 20h og vi kan således iterere på sædvanlig vis. = y n + 20h(x n + h 2 + 2h(x n + h, + 20h 30
31 2.5 Mangeskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden 2.5. Adams-Bashforth-metoder Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = e x e y(x, hvor y( =. Her er altså x 0 =, y 0 = og f(x, y = e x e y. Lad h = være skridtlængden og sæt x 0 n = + n 0 for n = 0,, 2,.... Antag, at vi kender (eller har estimeret y = 0, , y 2 = 0, og y 3 = 0, Så giver Adams-Bashforth-metoden: ( y 4 = y 3 + h 55f(x3, y f(x 2, y f(x, y 9f(x 0, y 0 osv. = 0, ( 55 (e,3 e 0, (e,2 e 0, (e, e 0, (e e = 0, , y 5 = y 4 + h 24 (55f(x 4, y 4 59f(x 3, y f(x 2, y 2 9f(x, y = 0, , y 6 = y 5 + h 24 (55f(x 5, y 5 59f(x 4, y f(x 3, y 3 9f(x 2, y 2 = 0, , y 7 = y 6 + h 24 (55f(x 6, y 6 59f(x 5, y f(x 4, y 4 9f(x 3, y 3 = 0, , Adams-Moulton-metoder Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = e x e y(x, hvor y( =. Her er altså x 0 =, y 0 = og f(x, y = e x e y. Lad h = 0 være skridtlængden og sæt x n = + n 0 for n = 0,, 2,.... Antag, at vi kender (eller har estimeret y = 0, , y 2 = 0, og y 3 = 0, I Adams-Moulton-metoden skal vi først finde en prædiktor, ỹ 4, for y 4, så vi kan estimere f(x 4, y 4. Til dette formål benyttes Adams-Bashforth-metoden. Da ỹ 4 kun afhænger af de allerede kendte værdier, y 3, y 2, y og y 0, så fås samme resultat som i Eksempel 2.5..: ỹ 4 = 0, Vi kan nu udregne ( y 4 = y 3 + h 9f(x4, ỹ f(x 3, y 3 5f(x 2, y 2 + f(x, y ( = 0, (e,4 e 0, (e,3 e 0, (e,2 e 0, (e, e 0, = 0, , og fejlen ε 4 kan estimeres ved ε 4 5 (y 4 ỹ 4 = 0, Skulle man mene, at denne fejl er for stor, kan man erstatte ỹ 4 med y 4 = 0, og gentage processen med den nye ỹ 4. Man vil så få en ny y 4 og kan igen estimere fejlen osv. Vi vælger dog at acceptere y 4, som den er. 3
32 For at udregne y 5 skal vi bruge ỹ 5, men ỹ 5 kan vi ikke længere tage fra Eksempel 2.5.., da vores nye y 4 afviger (en smule fra ỹ 4, som jo blev brugt i Eksempel Altså skal vi udregne: ( ỹ 5 = y 4 + h 55f(x4, y f(x 3, y f(x 2, y 2 9f(x, y ( = 0, (e,4 e 0, (e,3 e 0, (e,2 e 0, (e, e 0, = 0, Nu kan y 5 udregnes: y 5 = y 4 + h 24( 9f(x5, ỹ 5 + 9f(x 4, y 4 5f(x 3, y 3 + f(x 2, y 2 = 0, , hvor vi igen kan estimere fejlen: ε 5 (y 5 5 ỹ 5 = 0, Antag nu for eksemplets skyld, at vi er utilfredse med denne fejl. Lad y gammel 5 = y 5 og definér y ny ( 5 = y 4 + h 9f(x5, y gammel f(x 4, y 4 5f(x 3, y 3 + f(x 2, y 2 = 0, Vi kan nu estimere fejlen på y ny 5 : ε ny 5 5 (yny 5 y gammel 5 = 0, , som altså er en klar forbedring. Hvis man stadig ikke er tilfreds, kan man naturligvis gentage processen. 2.6 Metoder til førsteordenssystemer 2.6. Euler-metoden Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet Dette er et system på formen y = y 2, y (0 = 3, y 2 = 2y 2 0,75y, y 2 (0 = 2,5. Y (x = F (x, Y (x med Y (x 0 = Y 0, hvor x 0 = 0, Y 0 = ( ( 3 2,5, Y (x = y (x ( y y 2 (x og F (x, Y = 2 ( 2y 2 0,75y for Y = y y 2. Euler-metoden svarer så til iteration i følgende system: hvor x n = x 0 + nh = nh RK4 y,n+ = y,n + hy 2,n, y,0 = 3, y 2,n+ = y 2,n + h( 2y 2,n 0.75y,n, Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y = y 2, y (0 = 3, y 2 = 2y 2 0,75y, y 2,0 = 2,5. y 2 (0 = 2,5. 32
33 Dette er et system på formen Y (x = F (x, Y (x med Y (x 0 = Y 0, hvor x 0 = 0, Y 0 = ( ( 3 2,5, Y (x = y (x ( y y 2 (x og F (x, Y = 2 ( 2y 2 0,75y for Y = y y 2. RK4-metoden svarer så til iteration i følgende system: hvor y,n+ = y,n + 6 (K, + 2K,2 + 2K,3 + K,4, y,0 = 3, y 2,n+ = y 2,n + 6 (K, + 2K,2 + 2K,3 + K,4, K, = hy 2,n, K 2, = h( 2y 2,n 0,75y,n, y 2,0 = 2,5. K,2 = h(y 2,n + 2 K,, K 2,2 = h ( 2(y 2,n + 2 K 2, 0,75(y,n + 2 K,, K,3 = h(y 2,n + 2 K,2, K 2,3 = h ( 2(y 2,n + 2 K 2,2 0,75(y,n + 2 K,2, K,4 = h(y 2,n + K,3, K 2,4 = h ( 2(y 2,n + K 2,3 0,75(y,n + K,3 og x n = x 0 + nh = nh Baglæns Euler Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet Dette system er på formen y (x = y 2 (x, y (0 = 2, y 2(x = 0y (x y 2 (x + 0x +, y 2 (0 = 0. Y (x = F (x, Y (x, med Y (x 0 = Y 0, hvor x 0 = 0,, Y 0 = ( ( 2 0, Y (x = y (x ( y y 2 (x og F (x, Y = 2 ( 0y y 2 +0x+ for Y = y y 2, og det viser sig, at F er så tilpas simpel, at Y n+ kan isoleres i udtrykket Baglæns Euler giver nu Y n+ = Y n + hf (x n+, Y n+. y,n+ = y,n + hy 2,n+, y,0 = 2, y 2,n+ = y 2,n + h( 0y,n+ y 2,n+ + 0x n+ +, y 2,0 = 0. Løses ligningssystemet for y,n+ og y 2,n+ (med x n+ = x n + h fås ( y,n+ = ( + hy,n + hy + h + 0h 2 2,n + 0h 2 x n + h 2 + 0h 3, ( y 2,n+ = 0hy,n + y + h + 0h 2 2,n + 0hx n + h + 0h 2. 33
34 2.7 Metoder til numerisk løsning af ODE er af anden orden 2.7. Runge-Kutta-Nyström-metoder y (x = f(x, y(x, y (x Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = x(y(x y (x, hvor y( = og y ( = 0. Lad h = 0 være skridtlængden og sæt x n = + nh for n = 0,, 2,.... Definér y n og y n for n = 0,, 2,..., rekursivt ved y 0 = og y 0 = 0 samt og hvor og y n+ = y n + 0 (y n + 3 (k + k 2 + k 3 y n+ = y n + 3 (k + 2k 2 + 2k 3 + k 4, k = 20 x n(y n y n, k = 20 (y n + 2 k, k 2 = 20 (x n + 20 ( (y n + k (y n + k, k 3 = 20 (x n + 20 ( (y n + k (y n + k 2, l = 0 (y n + k 3 k 4 = 20 (x n + 0 ( (y n + l (y n + 2k y (x = f(x, y(x Eksempel Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = xy(x, hvor y(0 = og y (0 =. Lad h = 0 være skridtlængden og sæt x n = nh for n = 0,, 2,.... Definér y n og y n n = 0,, 2,..., rekursivt ved y 0 = og y 0 = samt og k = x 20 ny n, k 2 = (x 20 n + (y 20 n + 20 (y n + k 2 = k 3, k 4 = (x 20 n + (y 0 n + 0 (y n + k 2, y n+ = y n + 0 (y n + (k 3 + 2k 2 y n+ = y n + 3 (k + 4k 2 + k Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne i to dimensioner 2.8. Regulær rand Kald randen af D for D. Antag, at vi for et passende valg af x 0, y 0 og h > 0 har, at ethvert punkt (x i, y j D enten er et randpunkt, (x i, y j D, eller at de fire nabopunkter, (x i, y j, (x i+, y j, 34
35 (x i, y j og (x i, y j, også ligger i D, og at h er lille. Så kan vi finde en numerisk løsning til Laplace-ligningen, som opfylder følgende lineære ligningssystem: u i+,j + u i,j + u i,j+ + u i,j 4u i,j = 0, for (i, j så (x i, y j D \ D, (9 mens der for Poisson-ligningen tilsvarende findes en numerisk løsning, som opfylder følgende lineære ligningsystem: u i+,j + u i,j + u i,j+ + u i,j 4u i,j = h 2 f(x i,y j, for (i, j så (x i, y j D \ D. (0 Bemærk i øvrigt, at (9 svarer til (0 med f Dirichlet-randbetingelser Eksempel Betragt Laplace-ligningen 2 u = 0 på R = [0, 2] [0, 2] med randbetingelsen u(x, y = 0 for y = 2, u(x, y = 00 for x = 0, y = 0 eller x = 2. Vælg x 0 = 0, y 0 = 0 og h = 4 og sæt x i = x 0 + ih og y j = y 0 + jh. Så ligger de 6 punkter {(x i, y j } 3 i,j=0 i R og enten er de randpunkter, eller også har de fire nabopunkter i mængden. Altså er vi i tilfældet regulær rand, og da værdien er angivet på randen, er der tale om en Dirichlet-randbetingelse. Af de 6 punkter er 2 randpunkter, mens (x, y, (x, y 2, (x 2, y og (x 2, y 2 ligger indenfor randen, altså (x, y, (x, y 2, (x 2, y, (x 2, y 2 R \ R. Lad u i,j = u(x i, y j for (x i, y j R og opskriv de fire lineære ligninger u i+,j + u i,j + u i,j+ + u i,j 4u i,j = 0, for (i, j så (x i, y j D \ D, som altså kun består af fire ubekendte, da u som sagt kendes på randen. Dette svarer til systemet 4u u 2 + u 2 = 0, 4u 2 + u u 22 = 0, 4u u + u = 0, 4u 22 + u 2 + u = 0. Løsningen til dette ligningssystem vil opfylde, at u(x i, y j u i,j Neumann- og blandede randbetingelser Eksempel Betragt Poisson-ligningen 2 u = u xx + u yy = f(x, y = 2xy på regionen R = [0;,5] [0, ] med de blandede randbetingelser u 0 på L = [0;,5] {0}, u(x, y = 3y 3 på L 2 = {,5} [0;,0], u(x, y = 6x på L n 3 = [0;,5] {,0} og igen u 0 på L 4 = {0} [0;,0]. Vælges x 0 = 0, y 0 = 0 og h =, og sættes x 2 i = x 0 + ih og y j = y 0 + jh, så Der er selvfølgelig problemer med denne randbetingelse i (0, 2 og (2, 2, da disse punkter både falder ind under y = 2 og x = 0 hhv. x = 2. Det ændrer imidlertid ikke på noget andre steder, hvis vi ændrer værdien i disse endeligt mange isolerede punkter. 35
Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder
Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder 3 1.1 Metoder til ODE er af første orden............................ 3 1.1.1 Separation
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereDifferentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDOK DOK-facitliste 1. DOK-facitliste
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereNumerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
Læs mereFordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDifferentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002
Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mere