SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse"

Transkript

1 SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII

2 Indhold 0 Indledning Polære koordinater 3 Komplekse tal på cartesisk form 3 Komplekse tal på polær form 7 4 Det komplekse andengradspolynomium 5 Det komplekse polynomium af n te grad 6 6 Den komplekse eksponentialfunktion 30 7 Homogene lineære differentialligninger 33 8 Inhomogene lineære differentialligninger 46

3 Directionen af alle Linier i samme Plan kan udtrykkes ligesaa analytisk, som deres Længde, uden at Hukommelsen bebyrdes med nye Tegn eller Regler. Caspar Wessel (745 88) i Om Directionens analytiske Betegning Han tegner Landkort og læser Loven. Han er saa flittig som jeg er Doven. Johan Herman Wessel om sin broder. 0 Indledning Dette notat er beregnet til brug ved kurset Matematik under AUC s teknisknaturvidenskabelige basisuddannelse. Det har som sit hovedemne indførelsen af de komplekse tal. Der introduceres først polære koordinater i planen, for at den polære form af komplekse tal lettere kan behandles. Den komplekse eksponentialfunktion benyttes til løsning af homogene og inhomogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Hvert afsnit afsluttes med en opgavesamling. Notatet afsluttes med en facitliste. Her skal anføres nogle resultater fra trigonometrien, som vi får brug for senere. Først en lille tabel: u 0 6 π 4 π 3 π π grader 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o sinu 0 3 cosu 3 0 tanu () Der findes mange formler for vinkelskift, men frem for at bruge formelsamling anser jeg det for bedre at udlede disse formler, når man får brug for dem, ved at se på en enhedscirkel. Vi minder om den fra gymnasiet kendte cosinusrelation, Disse citater har jeg hentet fra Kirsti Møller Pedersen: Caspar Wessel og de komplekse tals repræsentation. Nordisk Matematisk Tidsskrift, 979, hefte. Caspar Wessel var den første, der opfattede komplekse tal som punkter i planen.

4 Komplekse tal m. m. der for en trekant med en vinkel C afgrænset af siderne a og b og med c som modstående side udsiger, at c a b abcosc () Endvidere får vi brug for de såkaldte additionsformler for cosinus og sinus. De lyder: cos u v cos u v sin u v sin u v cosucosv sinusinv cosucosv sinusinv sinucosv cosusinv sinucosv cosusinv For at bevise dem starter vi med at indføre følgende vektorer i : a a a cosu sinu b b b cosv sinv (3) For deres skalarprodukt har vi to udtryk: a b a b cosθ a b a b hvoraf den første formel i (3) fås, da der er tale om enhedsvektorer med θ u v. Ved at erstatte v med v får vi den næste formel. I denne erstattes u med π u, og vi får den tredje formel. Og heri erstatter vi v med v for at få den sidste formel. OPGAVER 0.. Vis rigtigheden af tallene i (), fx ved at se på retvinklede trekanter. 0.. Udled formlerne sinx sinxcosx cosx cos x sin x cos x sin x 0.3. Udled formlerne cosx cosx sinx hvor fortegnet afhænger af den kvadrant, som x ligger i. cosx 0.4. Vis, at tanx tanx tan x

5 . Polære koordinater Der er andre trigonometriske additionsformler end de i teksten viste. Udled følgende nyttige formler ud fra (3): cosu cosv cos u v cosu cosv sin u v sinu sinv sinu sinv sin u v cos u v cos u v sin u v cos u v sin u v 0.6. Benyt den foregående opgave til at finde ud af, hvad der sker, når man superponerer to vekselstrømme med samme amplitude og med næsten samme frekvens. (Stående bølger.) Polære koordinater I planen indføres et koordinatsystem O e, e, hvor O er origo og e, e på hinanden ortogonale enhedsvektorer, hvor den korteste drejning fra e til e er i positiv omløbsretning (mod uret). For et punkt P har vi de sædvanlige, såkaldt cartesiske koordinater x y, hvor abscissen x og ordinaten y er definerede ud fra stedvektoren ved OP xe ye. Endvidere er punktet P bestemt ud fra stedvektorens længde r OP og vinklen θ, der angiver drejningen fra e til OP, regnet med fortegn. Vi kalder r og θ punktets polære koordinater og skriver x y r θ pol Vi kalder r radiusvektor og θ retningsvinkel. Der gælder, at r 0. Medens radiusvektor derved er entydigt bestemt, gælder dette ikke retningsvinklen: Ved addition af et helt multiplum af π fås det samme punkt, så alle værdier θ πk, k, kan benyttes. 3 For origo, altså r 0, er θ helt ubestemt. Halvlinien ud fra origo i abscisseaksens positive retning kaldes polaraksen. På figur vises de cartesiske og de polære koordinater for punktet P. Af simple trigonometriske formler får man og x r cosθ y r sinθ (4) r x y tanθ y x (5) Efter René Descartes ( ), der på latin kaldte sig Cartesius. 3 betegner mængden af hele tal.

6 4 Komplekse tal m. m. " y P (x,y) # r 0! x Figur : Polære koordinater Formel (4) angiver entydigt overgangen fra polære til cartesiske koordinater. Derimod angiver (5) kun radiusvektor entydigt ved den modsatte overgang. Dels til- 0 en løsning, lader formlen for retningsvinklen θ ikke, at x 0, dels er der for x $ hvor π % θ % π, og den er falsk, hvis punktet ligger i. eller 3. kvadrant; så skal π adderes (eller subtraheres). Derfor skal man altid se på, hvilken kvadrant punktet ligger i. 4 Som en øvelse kan læseren dobbeltchecke ligningerne 0 = 0 pol 0 = π pol = & 3 = π 4 pol π 3 pol ved at verificere dem både forlæns og baglæns. Vi skal se på en række eksempler på, hvordan en kurve kan beskrives i polære koordinater. Specielt beskriver ligningen r a en cirkel med centrum i origo og radius a. Ligningen θ α beskriver en halvlinie ud fra origo (stråle), der er drejet vinklen α ud fra polaraksen. I de tilfælde, hvor en stråle højst skærer kurven én gang, kan vi beskrive kurven ved en ligning af formen r g θ. Man skal her være opmærksom på, at man kun må bruge θ-værdier, for hvilke r 0. 5 En kurve er symmetrisk omkring x-aksen, hvis ligningen bliver uforandret, når θ erstattes 4 Mange lommeregnere kan direkte konvertere mellem ' x( y) og ' r( θ) pol. 5 Nogle lærebogsforfattere tillader negative r, så '+* r( θ) pol, ' r( θ * π) pol. Herved kan nogle

7 . Polære koordinater 5. A P - O 0 C Figur : Cirkel gennem origo af θ. Den er symmetrisk om y-aksen, hvis ligningen bliver uforandret, når θ erstattes af π θ. Den er symmetrisk om origo, hvis ligningen bliver uforandret, når θ erstattes af θ π. EKSEMPEL. En ret linie har i cartesiske koordinater ligningen x y polære koordinater.. Find dens ligning i Løsning: Ved brug af (4) fås r cosθ r sinθ. Tegn linien for at få θ-intervallet! Man får r cosθ sinθ 4 π % θ % 3 4 π Man finder i øvrigt en symmetri, der ikke er omtalt ovenfor: Hvis θ erstattes af π θ, bliver r uforandret, da sinus og cosinus byttes om; derfor er der symmetri om linien y x, i polære kordinater strålen θ 4 π. / EKSEMPEL. Find i polære koordinater ligningen for cirklen med centrum i a 0 og radius a. smukke sløjfer beskrives simplere. Til gengæld er det vanskeligere at undersøge, hvornår to sæt polære koordinater bestemmer det samme punkt.

8 6 Komplekse tal m. m. Løsning: Af fig. ses, at r 0 OP OA OC cosθ. Da figuren ligger i. og 4. kvadrant, fås r acosθ π θ π Symmetrien omkring x-aksen aflæses af, at udtrykket (og θ-intervallet) ikke ændres, når θ skifter fortegn. / Antag, at en kurve med ligningen r g θ drejes en vinkel α omkring origo. Herved vil punktet P med r θ pol blive drejet over i punktet P med r θ α pol. For at P s polære koordinater kan passe i ligningen, må vi trække vinklen α fra. Vi har følgende resultat: g θ drejes vinklen α, regnet med fortegn, så får den nye kurve ligningen r g θ α. Hvis en kurve med ligningen r EKSEMPEL.3 Hvilken kurve beskrives ved r sinθ, 0 θ π? Løsning: Udtrykket kan omskrives til r cos θ π. Af eksempel. med a ses, at der er tale om en en cirkel med centrum 0 og radius. / Vi skal nu se nogle eksempler på kurver, der beskrives i polære koordinater. Ved kurvetegningen skal man især være opmærksom på, hvornår r 0, og om der θ-værdier, der skal udelukkes, fordi r er negativ. Støttepunkter plottes ved, at man for udvalgte θ-værdier afsætter den tilsvarende r-værdi ud ad strålen. I en del af tilfældene er r uforandret, når π adderes til θ. I så fald et det nok at angive et θ-interval af længde π, fx π % θ π eller 0 θ % π. EKSEMPEL.4 Skitsér kurven med ligningen r cosθ. (Den kaldes kardioiden.) Løsning: (Se fig. 3) Vi ser, at radiusvektor vokser fra 0 til, når retningsvinklen vokser fra 0 til π, og aftager fra til 0, når retningsvinklen vokser fra π til π. Da udtrykket ikke ændres, når θ erstattes af π θ (eller skifter fortegn), er der symmetri omkring x-aksen. Her er nogle støttepunkter: θ π 3 3 π 3 π 3 3 π π π r Disse værdier kan omregnes til decimalbrøk og evt. konverteres til cartesiske koordinater på en lommeregner. Omkring θ 0 går kurven direkte ud fra origo, og vi får en såkaldt spids. Dette svarer til, at der er to halvtangenter, der er ensrettede. (For almindelige tangenter er de modsat rettede.) Navnet kardioide skyldes hjerteformen. / (6)

9 . Polære koordinater 7 Figur 3: Kardioide EKSEMPEL.5 Vis, at r cosθ beskriver en firebladet rose. Løsning: (Se fig. 4) Der er spidser for r 0, hvilket indtræffer for θ π, 3 4 π. Et enkelt blad fås for 4 π θ 4 π, hvor r antager sin maksimale værdi for θ 0. Af (6) ses, at de andre blade fås ved at dreje et helt multiplum af π (se fig. 4). Hvis numerisktegnet fjernedes, altså r cosθ, ville man kun få to blade, da r % 0 for 3 4 π θ 4 4 π og 4 π θ 3 4 π. (Med kurvetegningsprogrammer, der tillader negative r, ville man stadig få alle fire blade.) / EKSEMPEL.6 (Archimedes spiral.) Skitsér kurven givet ved ligningen r θ. Løsning: (Se fig. 5) Defineret for θ 0. r vokser jævnt som funktion af θ og forøges med π for hver omdrejning. / EKSEMPEL.7 Der er givet en ellipse med halvakser a og b a e, hvor e er excentriciteten. De to brændpunkter er hhv. i origo og modsat rettet polaraksen. Find ellipsens ligning i polære koordinater.

10 8 Komplekse tal m. m. Figur 4: Firebladet rose Figur 5: Archimedes spiral

11 -. Polære koordinater 9 P F # r 5 0 O Figur 6: Ellipse Løsning: (Se fig. 6) Lad P være et vilkårligt punkt på ellipsen, og lad brændpunkterne være O og F. Af cosinusrelationen () fås FP OP 6 FO OP 7 FO cos π θ som, da ellipsen er defineret ved FP 84 OP ea, bliver til der efter reduktion kan omformes til a r r 4e a 4reacosθ a, og brændpunktsafstanden er r a e ecosθ / Ved forskellige anvendelser, fx arealberegning, har man brug for at finde skæringspunkterne mellem kurver beskrevne i polære koordinater. Her er der et problem, som man ikke har for cartesiske koordinater, nemlig at flere værdier af θ giver samme punkt. EKSEMPEL.8 Find skæringspunkterne mellem kardioiden r sinθ og cirklen r 3sinθ. Løsning: (Se fig. 7) Idet sinθ cos θ π, er kardioiden drejet π ud fra den i eksempel.4. På nær faktoren 3 er cirklen den i eksempel.3 nævnte. Vi sætter sinθ 3sinθ og får sinθ med løsninger θ 6 π, 5 6π. Herved fås

12 0 Komplekse tal m. m. Figur 7: Kardioide og cirkel 3 skæringspunkterne π pol og π 3 6 pol eller i cartesiske koordinater og & Da begge kurver går gennem origo, er dette også et fællespunkt, selv om man i ligningerne ikke får r 0 for de samme θ-værdier. Det er klogt altid at lave en skitse, da man ellers let kan overse nogle skæringspunkter. / EKSEMPEL.9 Find skæringspunkterne mellem Archimedes spiral r θ og strålen θ π. Løsning: Det er ikke nok at indsætte θ π i r θ, da addition af π giver samme retningsvinkel. (Tegn!) Vi må altså indsætte θ π kπ, k (Ingen negative θ, da θ 0 for spiralen.) Endvidere er origo fællespunkt, altså origo eller på cartesisk form π π 5 pol π π 0 π 9 pol π 5 π 0 π pol : 9 9 π 9 : / 3 4 OPGAVER.. Angiv polære koordinater for følgende punkter: (a) ; 0< =, (b) ; =, (c) ;?> 3< =, (d) 3< 3=, (e) > 6 > =.

13 . Polære koordinater.. Nedenstående punkter er sammenfaldende to og to på nær to umage. Find sammenhængen. (a) ; π= pol, (b) ; 0 = pol, (c) ; 3 3 π= pol, (d) ; < 7π= pol, ; ; ; ; ; ; (e) 0= pol, (f) 3< 3 pol, (g) 0 π= pol, 8 (h) 3 3 pol, (i) 3 3 pol, (j) π= pol. Angiv en ligning i cartesiske koordinater for hver af nedenstående ligninger i polære koordinater. Angiv kurvetypen..3. r cosθ 3,.4. r B sinθ..5. r sinθ..6. cos θ sin θ..7. r cosθ lnr lnsinθ. Find de cartesiske koordinater for skæringspunkterne mellem følgende kurver:.8. r og r cosθ..9. r sinθ og r BC; sin θ=,.0. r > 3cosθ og r sinθ... Skitsér grafen for r cosθ... Opstil ligningen i polære koordinater og skitsér grafen for en seksbladet rose..3. Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) Bortset fra når x 0, bestemmes retningsvinklen θ ved tanθ yb x. b) De polære koordinatsæt ; r θ = pol og ; r θ = pol bestemmer det samme punkt, hvis og kun hvis r r og θ θ. c) For et givet polært koordinatsæt ; r θ= pol findes der kun ét cartesisk koordinatsæt, der bestemmer det samme punkt. d) For en kurve beskrevet ved ligningen r g; θ= er det nok at se på θ i intervallet 0 D θ E π. e) Amerikanske calculusbøger tillader normalt r E 0.

14 Komplekse tal m. m..4. Skitsér grafen for r BC; cosθ=. Hvilken type kurve er det?.5. Skitsér grafen for r BC; cosθ=. Hvilken type kurve er det?.6. Lad F betegne en ret linie, der ikke går gennem origo. Lad P betegne projektionen af origo O på F. Vis, at hvis afstanden er d 6G OPG og OP 7H danner vinklen α med polaraksen, så er liniens ligning i polære koordinater r db cos; θ α=. (Vink: Geometrisk argument, eller drej linien x d og benyt (6).).7. Find ligningen i cartesiske koordinater for cirklen i eksempel.. Benyt den til at give en alternativ udledning af r acos θ..8. Udled ellipseligningen i polære koordinater fra eksempel.7 ved at indsætte i ellipsens ligning i cartesiske koordinater..9. (Lemniskaten.) Lad A 0= og B I; 0= i cartesiske koordinater. Find ligningen i polære koordinater for kurven bestående af de punkter P, for hvilke G G PBGK. (Vink: Benyt () og opg. 0..).0. En hyperbel har halvakserne a og b a> e, hvor e er excentriciteten. Brændpunkterne er i origo og på polaraksen. Find ligningen i polære koordinater for den venstre gren af hyperblen... Lad 0 D a D. Kurven r acos θ har et antal lodrette tangenter, der afhænger af a. Find sammenhængen. (Vink: Find ; x y= som funktion af θ.).. (Logaritmisk spiral.) Vis, at kurven bestemt ved r e θ har uendelig mange vindinger. Hvor mange vindinger kan man praktisk vise på en figur? (Tegn!) Komplekse tal på cartesisk form De første tal, man lærer om, er de naturlige tal, altså mængden L NM PO. De tre prikker fortæller, at der ikke er noget største tal, og mere præcist udtrykkes dette ved induktionsaksiomet. L er lukket over for addition og multiplikation. For altid at gøre subtraktion mulig udvider man til mængden QM : &O af hele tal. Divisionen får man med (på nær division med nul) i mængden R af rationale tal. Differential- og integralregning kræver, at grænseovergang er mulig, og hertil behøver man mængden af reelle tal. Men stadig er der polynomier, der ikke har rødder, fx x. For at løse dette problem indfører man mængden S af komplekse tal, der omfatter alle talpar z x y, hvor x y. Vi kalder x den reelle del og y den imaginære del, og skriver x Re z, y Im z. Ofte afbilder man z x y i planen på samme måde som en vektor i og taler om den komplekse plan med den

15 . Komplekse tal på cartesisk form 3 0, siges z at være imaginær. Hvis reelle og den imaginære akse. 6 Hvis Im z T$ yderligere Re z 0, siges z at være rent imaginær. Vi indfører addition og multiplikation af to komplekse tal a a a og b b b ved a b a a b b a b a b (7) ab a a U b b a b a b a b a b V (8) Hvis den imaginære del er nul, får man a 0 b 0 a b 0 a 0 U b 0 a b 0 hvilket berettiger os til at identificere sådanne komplekse tal med de reelle tal, da der er isomorfi mht. addition og multiplikation. Vi skriver derfor x 0 x. Specielt er Det ses umiddelbart ved ombytninger i (7) og (8), at den kommutative lov gælder såvel for addition som for multiplikation, altså a b b a ab ba Også den associative lov gælder for begge regningsarter, altså a b c a b c ab c a bc V For addition fås loven umiddelbart, da den gælder for de to dele hver for sig. For multiplikation overlades beviset til læseren (opg.6). Endvidere gælder den distributive lov a b c ab ac som vi nu vil bevise: a b c a a 9 b b c c : a a b c b c a b c W a b c a b c a b c 9 a b a b a b a b a c a c a c a c ab ac Da additionen foregår for hver del for sig, gælder dette også subtraktionen. Hvad angår division, skal vi for a $ 0 løse ligningen az b X a a x y b b 6 Kaldes ofte et Argand-diagram efter svejtseren Jean Robert Argand, selv om nordmanden Caspar Wessel var den første, der fandt på det. Men han publicerede på dansk!

16 4 Komplekse tal m. m. der vha. (8) omformes til ligningssystemet a x a y a x a y der har præcis én løsning, da determinanten er a a, som er ikke er nul pga. forbeholdet a $ 0. For løsningen z x y skrives z by a. b b EKSEMPEL. Lad a og b & 3. Find a b, b a, ab og by a. Løsning: Vi får a b 0 5, b a &, ab & 7, by a. (Opstil og løs ligningssystemet (9) svarende til divisionen!) / Det viser sig, at man kan undgå talparnotationen, hvis man indfører den såkaldt imaginære enhed i 0 Af (8) ses, at i. Hermed får vi, at polynomiet z har roden z i. (z i er den anden rod.) Vi har nu for x y Z Vi vil kalde begge skrivemåder, altså x iy x 0 0 U y 0 x y z x y x iy cartesisk form; i det følgende bruges sædvanligvis den sidste. Man behøver ikke at huske (8) for at kunne multiplicere, kun at i. For tallene i eksempel. fås ab i U & 3i 3i i 6i 7 i For at lette divisionen indfører vi svarende til z x iy den komplekst konjugerede z x iy. Geometrisk svarer kompleks konjugering til spejling omkring den reelle akse. Det er let at vise følgende egenskaber ved kompleks konjugering: (9) a b a b a b a b ab ab ay b ay b a a (0) Vi overlader påvisningen til læseren (opg..7) på nær for den midterste, for hvilken beviset ser således ud: ab a ia U b ib a b a b i a b a b a b a b [ i a b a b a ia U b ib ab

17 /. Komplekse tal på cartesisk form 5 Længden af z x iy, opfattet som en vektor i, kaldes modulus (eller numerisk værdi) og betegnes z. Vi har z zz x y Vi er nu i stand til at beregne brøken by a på en simplere måde end ved at løse ligningssystemet (9). Vi forlænger brøken med den komplekst konjugerede til nævneren. Da b ba ba a aa a får reel nævner, er det let at finde den reelle del og den imaginære del af brøken. Vi illustrerer med et eksempel: EKSEMPEL. Beregn by a for tallene i eksempel. ved brug af kompleks konjugering. Løsning: b 3i a & 3i U i i i 5 5i 5 i Sammenfattende kan man sige, at man regner med komplekse tal på samme måde som med relle tal, idet man benytter den ekstra regel i og forlænger brøker med den komplekst konjugerede til nævneren. Der er dog en undta- z, medmindre z er reel gelse, nemlig reglen x x. Faktisk gælder altid z $ (opg..8). OPGAVER Angiv følgende udtryk på cartesisk form ; dvs. a ib= :.. ; i=\]; 3 4i=... ; 5i=..3. i ; i=9; 3 i=9; i=9; 3 i= i. 7 7i 3i.

18 6 Komplekse tal m. m ; 3 43i=9; 75 6i= ; 6 75i=9; 43 3i= > 3 i> > i> 3.. Afbild nedenstående mængder af z-værdier i den komplekse plan..9. G zgue E^G zgue... G z igu_... G z igk`g z ig..3. Re a z 3 i b G zg Re; z= Im; z=[ Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) Komplekse tal z ced er det samme som talpar ; x y=fctg. b) Én af egenskaberne ved komplekse tal er, at de kan opfattes som talpar ; x y=hctg. c) Man kan ikke dividere med et komplekst tal z i; x y=, hvis én af delene x eller y er lig nul. d) Man kan dividere med et komplekst tal z ; x y=, medmindre begge delene x og y er lig nul. e) Hvis z j z, så er z rent imaginær..6. Vis, at den associative lov for multiplikation af komplekse tal gælder, altså a; bc=k ; ab= c..7. Vis, at formlerne (0) for kompleks konjugering gælder..8. Vis, at for komplekse tal gælder G z GK z, hvis og kun hvis z clg..9. Udled trekantsuligheden for komplekse tal: m m m G z G<nG z G m DoG z z GUDpG z GqG z Gsr (Vink: Benyt, at en side i en trekant er mindre end summen af de to andre og større end deres differens.) Hvornår kan der være lighedstegn?

19 3. Komplekse tal på polær form 7 3 Komplekse tal på polær form Det komplekse tal z x iy har, opfattet som et punkt x y i den komplekse plan, naturligvis også polære koordinater. Vi siger, at z r θ pol er den polære form af tallet. Sammenhængen med den cartesiske form er givet ved Vi skriver z r cosθ isinθ V () r z θ arg z hvor z er den tidligere indførte modulus og arg z kaldes argument. Man kalder også den polære form for modulus-argument-form. Argumentet arg z er kun defineret på nær et helt multiplum af π. (For z 0 er det helt udefineret.) Ved hovedargumentet forstås den retningsvinkel θ Arg z, for hvilken π % Arg(z) π. EKSEMPEL 3. Angiv z i på polær form. Løsning: Modulus er z K, og for argumentet fås tanθ. Da z er i. kvadrant, vælges θ 3 4 π. Vi får z 3 π 4 pol. (Tegn!) / Den polære form er ikke meget bevendt ved addition og subtraktion. Derimod er den nyttig ved multiplikation og division. Lad Vi har da z x iy r θ pol z x iy r θ pol z z r cosθ isinθ r cosθ isinθ r r : cosθ cosθ sinθ sinθ i cosθ sinθ sinθ cosθ 9 r r cos θ θ isin θ θ 9 r r θ θ pol hvor vi har benyttet to af additionsformlerne i (3). Vi har altså Udtrykt som en regel har vi: z z z t z arg z z arg z arg z ()

20 v v v v v v v 8 Komplekse tal m. m. Im uz=x+iy z arg(z) Figur 8: Et komplekst tal Re Ved multiplikation af komplekse tal multiplicerer man deres moduli og adderer deres argumenter. (3) Man bør være opmærksom flertydigheden i argumenterne. Hvis man for z og z angiver hovedargumenterne, kan man ikke være sikker på, at man ved addition får hovedargumentet for z z. (Overvej dette!) For divisionen gælder, at w z Y z er løsningen til ligningen z w z. Derfor fås af (): v z z z z z arg w arg z W arg z (4) z x EKSEMPEL 3. Lad z 3 i, z i 3. Beregn z z og z Y z ved at benytte polær form. Løsning: Vi har og får derfor af () z z z π 6 pol z 4 z z 3 π pol 5 6 π pol 3 i π pol i

21 3. Komplekse tal på polær form 9 Resultatet kan også fås ved at benytte cartesisk form. 7 / Multiplikationsreglen (3) er formuleret for et vilkårligt antal faktorer, selv om vi formelt kun har vist den for to faktorer. At z z 9 9 z n z t z 9 9 z n arg z z 9 9 z n arg z arg z :9 arg z n gælder for alle n yl, fås let ved et induktionsbevis. Er alle z erne ens, får vi potensreglen z nv z n arg z n narg z (5) der for z $ 0 kan vises at gælde for alle n Z. EKSEMPEL 3.3 Beregn i 3 3. Løsning: Udtrykket kan naturligvis beregnes direkte. Vi vil i stedet benytte polær 3. Da z form. For z i 3 er modulus z V, og for argumentet fås tanθ er i. kvadrant, bruges θ 3 π. Vi får z 3 π pol. Derfor er z 3 8 π 8. / Specielt har man for z z, altså for tal på den komplekse enhedscirkel, at z θ pol cosθ isinθ og heraf z n nθ pol cosnθ isinnθ, altså har vi vist de Moivres formel 8 : EKSEMPEL 3.4 Udled formler for cos3θ og sin3θ. Løsning: Ved brug af (6) fås cosnθ isinnθ cosθ isinθ n (6) cos3θ isin3θ cosθ isinθ 3 cos 3 θ 3icos θsinθ 3i cosθsin θ i 3 sin 3 θ 4M cos 3 θ 3cosθ cos θ VO i M 3 sin θ sinθ sin 3 θo 4cos 3 θ 3cosθ i 3sinθ 4sin 3 θ Da realdelen og imaginærdelen stemmer overens, får vi formlerne cos3θ 4cos 3 θ 3cosθ sin3θ 3sinθ 4sin 3 θ / 7 Dette eksempel overbeviser dig måske ikke om fordelene ved den polære form; men vent til du kommer til den binome ligning! 8 Abraham de Moivre ( ). Omtrentlig udtale: dø mu-{ a-vrø, ø som i gøre.

22 0 Komplekse tal m. m. Vi skal nu se på hvordan man løser den såkaldte binome ligning: hvor w er et givet komplekst tal. Vi ser bort fra det trivielle tilfælde w z n w 0, hvor kun z 0 er løsning. Idet vi sætter w r θ pol, skal vi finde z s ϕ pol. Vi får s n nϕ pol r θ pol Da modulus er entydigt bestemt, fås s n r. Derimod er argumentet kun bestemt på nær et helt multiplum af π, så vi får nϕ θ πk k ] og dermed ϕ θ π n n k k ]T Vi får forskellige placeringer i den komplekse plan for k 0 9 : n, hvorefter der er periodisk gentagelse. De forskellige løsninger er derfor z w r n θ π n n k k 0 9 : n (7) x pol De n løsninger ligger i den komplekse plan som vinkelspidserne i en regulær n- kant. Vi vil kalde alle løsningerne n-terødder af w. EKSEMPEL 3.5 Find de tre tredjerødder af 8i. Løsning: Idet z 3 8i 8 eller i cartesiske koordinater π pol, er løsningerne i z: π 6 pol 5 π 6 pol 3 i 3 i i 3 π pol Rødderne udgør vinkelspidserne af en ensvinklet trekant (se fig. 9). /

23 w 3. Komplekse tal på polær form Im Re Figur 9: De tre tredjerødder af i EKSEMPEL 3.6 Find de seks sjetterødder af 64, og angiv dem på cartesisk form. Løsning: På polær form er π pol, hvorfor z 6 64 har løsningerne z 6 64 π πk 6 x pol 6 π k 3 π pol k De ligger alle på en cirkel med radius og centrum i 0. Argumenterne er 6 π, π, 5 6 π, 6 7π, 3 π, 6 π. På cartesisk form er rødderne med en sammentrængt skrivemåde z 3 i i. Du er ikke færdig med dette eksempel, før du har indtegnet rødderne i den komplekse plan. / OPGAVER 3.. Angiv den polære form for følgende komplekse tal: (a) i, (b) i, (c) > 3 i, (d) A> 3 3i, (e) > 6 i>. 3.. Konvertér følgende polære former til cartesiske former: (a) ; < 4 π= pol, (b) ; 0 = pol, (c) ; 5 5π= pol, (d) ; > 3 4 π= pol, (e) ; 00 3 π= pol.

24 Komplekse tal m. m Løs ligningen z 4 j Løs ligningen z 4 j 8 8> 3i Løs ligningen ; z = Løs ligningen ; z = 3 j Find ; > 3 = Find ; i= Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) For alle z er hovedargumentet Arg; z= entydigt bestemt. b) For alle z } 0 er hovedargumentet Arg; z= entydigt bestemt. c) Der er en simpel formel for addition af komplekse tal på polær form. d) Den polære form er velegnet ved potensopløftning og roduddragning. e) Hvis ; a ib= 3 8, så er a b For hvilke komplekse tal z er z B z? 3.. For hvilke tal z er z i. kvadrant (Re; z=fe 0, Im; z=~_ 0)? 3.. For hvilke tal z er z 3 i. kvadrant? 3.3. Lad s sin8 o. Vis, at sin54 o 3s 4s 3 cos36 o, og dermed, at s tilfredsstiller ligningen 4s 3 s 3s 0. Find sin8 o. 4 Det komplekse andengradspolynomium Vi ser først på ligningen w hvor w u iv er et komplekst tal. Ved at skrive w på polær form, altså w r θ pol, kan vi finde de to løsninger ved at tage kvadratrod af modulus og halvere argumentet (løsningen (7) til den binome ligning med n z ). Her skal gives en anden metode. For w reel, altså w u, kender vi i forvejen resultatet. For u 0 er der de reelle løsninger z 3 u, for u 0 er der én løsning z 0, og for u % 0 er der de to rent imaginære løsninger z 3 i u.

25 4. Det komplekse andengradspolynomium 3 0. Vi sætter z x iy, og da x y ixy, får vi ved at identificere reelle dele for sig og imaginære dele Vi antager dernæst, at w er imaginær, altså v $ z for sig ligningerne x y u xy v 0, må også x $ 0 og y $ Da vi antog, at v $ 0. Vi finder af den sidste ligning y vy x, som ved indsættelse i den første efter omformning giver x 4 ux v 4 0 Dette er en reel andengradsligning i x med diskriminant u v modulus for w, altså r w. Vi får x u 3 r. Da u % r (husk v $ x u r ingen løsning, idet x ikke kan være negativ. Af x u r fås r, hvor r er 0), giver og dermed ved indsættelse y 3 x v 3Z r u 3 r u v v r u hvor vi har forlænget brøken med r u og benyttet v v indfører fortegnsfunktionen (for reelle tal) sign x x x ƒ for x 0 for x % 0 r u. Vi og får, da fortegnene hører sammen, de to løsninger til z w u iv z 3 w r u i sign v r u x (8) Vi bemærker, at for v 0 kan vi også bruge formlen, hvis vi negligerer sign v, da enten den reelle eller den imaginære del forsvinder. EKSEMPEL 4. Vi ønsker at løse ligningen z 3 4i. Løsning: Da modulus er r 9 6 5, giver formel (8) z i 5 3 ƒ i i /

26 4 Komplekse tal m. m. Vi ser nu på den generelle komplekse andengradsligning az bz c hvor a, b og c er komplekse konstanter, med a $ 0. Vi benytter den samme metode som ved løsning af den reelle andengradsligning, nemlig kvadratudfyldning. Da metoden er vigtig, skal beviset gentages her. Vi sætter a uden for parentes og opfatter z som det ene kvadratled og bzy a som det dobbelte produkt. Vi udfylder med det andet kvadratled by a og får Vi indfører diskriminanten d ligningen az bz c a w z b ax 0 b 4a c b 4ac på samme måde som for reelle tal og får w z b ax d 4a Når to komplekse tal har samme kvadrat, følger det af (8), at de enten er ens eller ens med modsat fortegn, så z b 3 a d a og vi får samme løsningsformel som for den reelle andengradsligning z b 3 d a d b 4ac I modsætning til for reelle tal er d ikke veldefineret, da ligningen z d har to løsninger, hvoraf ingen særligt kan fremhæves. Dette giver dog ingen problemer her, på grund af at der står 3 i formlen. Vi ser, at vi i det komplekse tilfælde altid får to forskellige rødder, bortset fra tilfældet d 0, hvor z by a er dobbeltrod. 9 EKSEMPEL 4. Løs ligningen 3 i z o 9 3i z Egentlig burde man ikke bruge navnet diskriminant i det komplekse tilfælde, da d ikke diskriminerer mellem, om der er rødder eller ej, som i det reelle tilfælde.

27 / 4. Det komplekse andengradspolynomium 5 Løsning: Vi får d 9 3i 40 3 i 48 4i med modulus r , så d i i Derfor er løsningen z 9 3i 3` 7i 3 i Š ˆ i U 3 i i U 3 i 5 i i EKSEMPEL 4.3 Løs ligningen iz 4 i z 0 Løsning: Vi opfatter først udtrykket som en andengradsligning i z, med d i 4i i. Vi får z Œ i 3` i i For z er z 3 i, og for z i er z 3 i :Y. Vi får de fire rødder i fjerdegradspolynomiet z i i i i / Š ˆ i OPGAVER Løs følgende andengradsligninger: 4.. z 8i z 80 8i z > 3i z z z ]; i= z i z ]; i= cz ic 0, hvor c ced er givet.

28 6 Komplekse tal m. m z ; 5i= z 9 7i > 3z 9z 7> 3 3i Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) For komplekse tal z er kvadratroden > z veldefineret. b) En andengradsligning har altid mindst én kompleks løsning. c) En andengradsligning har altid mindst én imaginær løsning. d) En andengradsligning har altid to forskellige komplekse løsninger. e) Til løsning af ligningen z w er det i nogle tilfælde bedst at bruge formel (8), i andre tilfælde formel (7). Løs følgende ligninger og afbild løsningerne i den komplekse plan: 4.0. z 4 3z z 3 z z z 8 3z z 6 ; 8i= z 3 8i Find fejlen i følgende bevis for, at j : > Ž = > J > i J i i j r 5 Det komplekse polynomium af n te grad Lad p z c n z n c n z n 99 c z c 0 hvor c 0 c 9 9 c n ZS og c n $ 0. For et α ZS får vi ved polynomiers division, der forløber på samme måde som for reelle polynomier, p z z α q z r hvor kvotienten q z er et polynomium af n te grad og resten r ns. Vi ser, at p α r, altså det for reelle polynomier velkendte resultat, at α er rod i p z, hvis og kun hvis z α går op i p z. Hvad angår eksistensen af rødder gælder der algebraens fundamentalsætning, der siger, at ethvert komplekst polynomium (af grad n ) har mindst én kompleks rod. 0 Hvis α er rod, går z α op, og vi kan anvende sætningen igen på 0 Først bevist i 799 af C. F. Gauss ( ).

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Fag: Matematik C->B, HFE Niveau: B Institution: VoksenUddannelsescenter Frederiksberg (147248) Hold: 670e 1208 Ma (Matematik C-B, halvårshold) Termin: December

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik A Peter Lundøer

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2012 Institution Tradium Handelsgymnasiet Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere