SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse"

Transkript

1 SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII

2 Indhold 0 Indledning Polære koordinater 3 Komplekse tal på cartesisk form 3 Komplekse tal på polær form 7 4 Det komplekse andengradspolynomium 5 Det komplekse polynomium af n te grad 6 6 Den komplekse eksponentialfunktion 30 7 Homogene lineære differentialligninger 33 8 Inhomogene lineære differentialligninger 46

3 Directionen af alle Linier i samme Plan kan udtrykkes ligesaa analytisk, som deres Længde, uden at Hukommelsen bebyrdes med nye Tegn eller Regler. Caspar Wessel (745 88) i Om Directionens analytiske Betegning Han tegner Landkort og læser Loven. Han er saa flittig som jeg er Doven. Johan Herman Wessel om sin broder. 0 Indledning Dette notat er beregnet til brug ved kurset Matematik under AUC s teknisknaturvidenskabelige basisuddannelse. Det har som sit hovedemne indførelsen af de komplekse tal. Der introduceres først polære koordinater i planen, for at den polære form af komplekse tal lettere kan behandles. Den komplekse eksponentialfunktion benyttes til løsning af homogene og inhomogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Hvert afsnit afsluttes med en opgavesamling. Notatet afsluttes med en facitliste. Her skal anføres nogle resultater fra trigonometrien, som vi får brug for senere. Først en lille tabel: u 0 6 π 4 π 3 π π grader 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o sinu 0 3 cosu 3 0 tanu () Der findes mange formler for vinkelskift, men frem for at bruge formelsamling anser jeg det for bedre at udlede disse formler, når man får brug for dem, ved at se på en enhedscirkel. Vi minder om den fra gymnasiet kendte cosinusrelation, Disse citater har jeg hentet fra Kirsti Møller Pedersen: Caspar Wessel og de komplekse tals repræsentation. Nordisk Matematisk Tidsskrift, 979, hefte. Caspar Wessel var den første, der opfattede komplekse tal som punkter i planen.

4 Komplekse tal m. m. der for en trekant med en vinkel C afgrænset af siderne a og b og med c som modstående side udsiger, at c a b abcosc () Endvidere får vi brug for de såkaldte additionsformler for cosinus og sinus. De lyder: cos u v cos u v sin u v sin u v cosucosv sinusinv cosucosv sinusinv sinucosv cosusinv sinucosv cosusinv For at bevise dem starter vi med at indføre følgende vektorer i : a a a cosu sinu b b b cosv sinv (3) For deres skalarprodukt har vi to udtryk: a b a b cosθ a b a b hvoraf den første formel i (3) fås, da der er tale om enhedsvektorer med θ u v. Ved at erstatte v med v får vi den næste formel. I denne erstattes u med π u, og vi får den tredje formel. Og heri erstatter vi v med v for at få den sidste formel. OPGAVER 0.. Vis rigtigheden af tallene i (), fx ved at se på retvinklede trekanter. 0.. Udled formlerne sinx sinxcosx cosx cos x sin x cos x sin x 0.3. Udled formlerne cosx cosx sinx hvor fortegnet afhænger af den kvadrant, som x ligger i. cosx 0.4. Vis, at tanx tanx tan x

5 . Polære koordinater Der er andre trigonometriske additionsformler end de i teksten viste. Udled følgende nyttige formler ud fra (3): cosu cosv cos u v cosu cosv sin u v sinu sinv sinu sinv sin u v cos u v cos u v sin u v cos u v sin u v 0.6. Benyt den foregående opgave til at finde ud af, hvad der sker, når man superponerer to vekselstrømme med samme amplitude og med næsten samme frekvens. (Stående bølger.) Polære koordinater I planen indføres et koordinatsystem O e, e, hvor O er origo og e, e på hinanden ortogonale enhedsvektorer, hvor den korteste drejning fra e til e er i positiv omløbsretning (mod uret). For et punkt P har vi de sædvanlige, såkaldt cartesiske koordinater x y, hvor abscissen x og ordinaten y er definerede ud fra stedvektoren ved OP xe ye. Endvidere er punktet P bestemt ud fra stedvektorens længde r OP og vinklen θ, der angiver drejningen fra e til OP, regnet med fortegn. Vi kalder r og θ punktets polære koordinater og skriver x y r θ pol Vi kalder r radiusvektor og θ retningsvinkel. Der gælder, at r 0. Medens radiusvektor derved er entydigt bestemt, gælder dette ikke retningsvinklen: Ved addition af et helt multiplum af π fås det samme punkt, så alle værdier θ πk, k, kan benyttes. 3 For origo, altså r 0, er θ helt ubestemt. Halvlinien ud fra origo i abscisseaksens positive retning kaldes polaraksen. På figur vises de cartesiske og de polære koordinater for punktet P. Af simple trigonometriske formler får man og x r cosθ y r sinθ (4) r x y tanθ y x (5) Efter René Descartes ( ), der på latin kaldte sig Cartesius. 3 betegner mængden af hele tal.

6 4 Komplekse tal m. m. " y P (x,y) # r 0! x Figur : Polære koordinater Formel (4) angiver entydigt overgangen fra polære til cartesiske koordinater. Derimod angiver (5) kun radiusvektor entydigt ved den modsatte overgang. Dels til- 0 en løsning, lader formlen for retningsvinklen θ ikke, at x 0, dels er der for x $ hvor π % θ % π, og den er falsk, hvis punktet ligger i. eller 3. kvadrant; så skal π adderes (eller subtraheres). Derfor skal man altid se på, hvilken kvadrant punktet ligger i. 4 Som en øvelse kan læseren dobbeltchecke ligningerne 0 = 0 pol 0 = π pol = & 3 = π 4 pol π 3 pol ved at verificere dem både forlæns og baglæns. Vi skal se på en række eksempler på, hvordan en kurve kan beskrives i polære koordinater. Specielt beskriver ligningen r a en cirkel med centrum i origo og radius a. Ligningen θ α beskriver en halvlinie ud fra origo (stråle), der er drejet vinklen α ud fra polaraksen. I de tilfælde, hvor en stråle højst skærer kurven én gang, kan vi beskrive kurven ved en ligning af formen r g θ. Man skal her være opmærksom på, at man kun må bruge θ-værdier, for hvilke r 0. 5 En kurve er symmetrisk omkring x-aksen, hvis ligningen bliver uforandret, når θ erstattes 4 Mange lommeregnere kan direkte konvertere mellem ' x( y) og ' r( θ) pol. 5 Nogle lærebogsforfattere tillader negative r, så '+* r( θ) pol, ' r( θ * π) pol. Herved kan nogle

7 . Polære koordinater 5. A P - O 0 C Figur : Cirkel gennem origo af θ. Den er symmetrisk om y-aksen, hvis ligningen bliver uforandret, når θ erstattes af π θ. Den er symmetrisk om origo, hvis ligningen bliver uforandret, når θ erstattes af θ π. EKSEMPEL. En ret linie har i cartesiske koordinater ligningen x y polære koordinater.. Find dens ligning i Løsning: Ved brug af (4) fås r cosθ r sinθ. Tegn linien for at få θ-intervallet! Man får r cosθ sinθ 4 π % θ % 3 4 π Man finder i øvrigt en symmetri, der ikke er omtalt ovenfor: Hvis θ erstattes af π θ, bliver r uforandret, da sinus og cosinus byttes om; derfor er der symmetri om linien y x, i polære kordinater strålen θ 4 π. / EKSEMPEL. Find i polære koordinater ligningen for cirklen med centrum i a 0 og radius a. smukke sløjfer beskrives simplere. Til gengæld er det vanskeligere at undersøge, hvornår to sæt polære koordinater bestemmer det samme punkt.

8 6 Komplekse tal m. m. Løsning: Af fig. ses, at r 0 OP OA OC cosθ. Da figuren ligger i. og 4. kvadrant, fås r acosθ π θ π Symmetrien omkring x-aksen aflæses af, at udtrykket (og θ-intervallet) ikke ændres, når θ skifter fortegn. / Antag, at en kurve med ligningen r g θ drejes en vinkel α omkring origo. Herved vil punktet P med r θ pol blive drejet over i punktet P med r θ α pol. For at P s polære koordinater kan passe i ligningen, må vi trække vinklen α fra. Vi har følgende resultat: g θ drejes vinklen α, regnet med fortegn, så får den nye kurve ligningen r g θ α. Hvis en kurve med ligningen r EKSEMPEL.3 Hvilken kurve beskrives ved r sinθ, 0 θ π? Løsning: Udtrykket kan omskrives til r cos θ π. Af eksempel. med a ses, at der er tale om en en cirkel med centrum 0 og radius. / Vi skal nu se nogle eksempler på kurver, der beskrives i polære koordinater. Ved kurvetegningen skal man især være opmærksom på, hvornår r 0, og om der θ-værdier, der skal udelukkes, fordi r er negativ. Støttepunkter plottes ved, at man for udvalgte θ-værdier afsætter den tilsvarende r-værdi ud ad strålen. I en del af tilfældene er r uforandret, når π adderes til θ. I så fald et det nok at angive et θ-interval af længde π, fx π % θ π eller 0 θ % π. EKSEMPEL.4 Skitsér kurven med ligningen r cosθ. (Den kaldes kardioiden.) Løsning: (Se fig. 3) Vi ser, at radiusvektor vokser fra 0 til, når retningsvinklen vokser fra 0 til π, og aftager fra til 0, når retningsvinklen vokser fra π til π. Da udtrykket ikke ændres, når θ erstattes af π θ (eller skifter fortegn), er der symmetri omkring x-aksen. Her er nogle støttepunkter: θ π 3 3 π 3 π 3 3 π π π r Disse værdier kan omregnes til decimalbrøk og evt. konverteres til cartesiske koordinater på en lommeregner. Omkring θ 0 går kurven direkte ud fra origo, og vi får en såkaldt spids. Dette svarer til, at der er to halvtangenter, der er ensrettede. (For almindelige tangenter er de modsat rettede.) Navnet kardioide skyldes hjerteformen. / (6)

9 . Polære koordinater 7 Figur 3: Kardioide EKSEMPEL.5 Vis, at r cosθ beskriver en firebladet rose. Løsning: (Se fig. 4) Der er spidser for r 0, hvilket indtræffer for θ π, 3 4 π. Et enkelt blad fås for 4 π θ 4 π, hvor r antager sin maksimale værdi for θ 0. Af (6) ses, at de andre blade fås ved at dreje et helt multiplum af π (se fig. 4). Hvis numerisktegnet fjernedes, altså r cosθ, ville man kun få to blade, da r % 0 for 3 4 π θ 4 4 π og 4 π θ 3 4 π. (Med kurvetegningsprogrammer, der tillader negative r, ville man stadig få alle fire blade.) / EKSEMPEL.6 (Archimedes spiral.) Skitsér kurven givet ved ligningen r θ. Løsning: (Se fig. 5) Defineret for θ 0. r vokser jævnt som funktion af θ og forøges med π for hver omdrejning. / EKSEMPEL.7 Der er givet en ellipse med halvakser a og b a e, hvor e er excentriciteten. De to brændpunkter er hhv. i origo og modsat rettet polaraksen. Find ellipsens ligning i polære koordinater.

10 8 Komplekse tal m. m. Figur 4: Firebladet rose Figur 5: Archimedes spiral

11 -. Polære koordinater 9 P F # r 5 0 O Figur 6: Ellipse Løsning: (Se fig. 6) Lad P være et vilkårligt punkt på ellipsen, og lad brændpunkterne være O og F. Af cosinusrelationen () fås FP OP 6 FO OP 7 FO cos π θ som, da ellipsen er defineret ved FP 84 OP ea, bliver til der efter reduktion kan omformes til a r r 4e a 4reacosθ a, og brændpunktsafstanden er r a e ecosθ / Ved forskellige anvendelser, fx arealberegning, har man brug for at finde skæringspunkterne mellem kurver beskrevne i polære koordinater. Her er der et problem, som man ikke har for cartesiske koordinater, nemlig at flere værdier af θ giver samme punkt. EKSEMPEL.8 Find skæringspunkterne mellem kardioiden r sinθ og cirklen r 3sinθ. Løsning: (Se fig. 7) Idet sinθ cos θ π, er kardioiden drejet π ud fra den i eksempel.4. På nær faktoren 3 er cirklen den i eksempel.3 nævnte. Vi sætter sinθ 3sinθ og får sinθ med løsninger θ 6 π, 5 6π. Herved fås

12 0 Komplekse tal m. m. Figur 7: Kardioide og cirkel 3 skæringspunkterne π pol og π 3 6 pol eller i cartesiske koordinater og & Da begge kurver går gennem origo, er dette også et fællespunkt, selv om man i ligningerne ikke får r 0 for de samme θ-værdier. Det er klogt altid at lave en skitse, da man ellers let kan overse nogle skæringspunkter. / EKSEMPEL.9 Find skæringspunkterne mellem Archimedes spiral r θ og strålen θ π. Løsning: Det er ikke nok at indsætte θ π i r θ, da addition af π giver samme retningsvinkel. (Tegn!) Vi må altså indsætte θ π kπ, k (Ingen negative θ, da θ 0 for spiralen.) Endvidere er origo fællespunkt, altså origo eller på cartesisk form π π 5 pol π π 0 π 9 pol π 5 π 0 π pol : 9 9 π 9 : / 3 4 OPGAVER.. Angiv polære koordinater for følgende punkter: (a) ; 0< =, (b) ; =, (c) ;?> 3< =, (d) 3< 3=, (e) > 6 > =.

13 . Polære koordinater.. Nedenstående punkter er sammenfaldende to og to på nær to umage. Find sammenhængen. (a) ; π= pol, (b) ; 0 = pol, (c) ; 3 3 π= pol, (d) ; < 7π= pol, ; ; ; ; ; ; (e) 0= pol, (f) 3< 3 pol, (g) 0 π= pol, 8 (h) 3 3 pol, (i) 3 3 pol, (j) π= pol. Angiv en ligning i cartesiske koordinater for hver af nedenstående ligninger i polære koordinater. Angiv kurvetypen..3. r cosθ 3,.4. r B sinθ..5. r sinθ..6. cos θ sin θ..7. r cosθ lnr lnsinθ. Find de cartesiske koordinater for skæringspunkterne mellem følgende kurver:.8. r og r cosθ..9. r sinθ og r BC; sin θ=,.0. r > 3cosθ og r sinθ... Skitsér grafen for r cosθ... Opstil ligningen i polære koordinater og skitsér grafen for en seksbladet rose..3. Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) Bortset fra når x 0, bestemmes retningsvinklen θ ved tanθ yb x. b) De polære koordinatsæt ; r θ = pol og ; r θ = pol bestemmer det samme punkt, hvis og kun hvis r r og θ θ. c) For et givet polært koordinatsæt ; r θ= pol findes der kun ét cartesisk koordinatsæt, der bestemmer det samme punkt. d) For en kurve beskrevet ved ligningen r g; θ= er det nok at se på θ i intervallet 0 D θ E π. e) Amerikanske calculusbøger tillader normalt r E 0.

14 Komplekse tal m. m..4. Skitsér grafen for r BC; cosθ=. Hvilken type kurve er det?.5. Skitsér grafen for r BC; cosθ=. Hvilken type kurve er det?.6. Lad F betegne en ret linie, der ikke går gennem origo. Lad P betegne projektionen af origo O på F. Vis, at hvis afstanden er d 6G OPG og OP 7H danner vinklen α med polaraksen, så er liniens ligning i polære koordinater r db cos; θ α=. (Vink: Geometrisk argument, eller drej linien x d og benyt (6).).7. Find ligningen i cartesiske koordinater for cirklen i eksempel.. Benyt den til at give en alternativ udledning af r acos θ..8. Udled ellipseligningen i polære koordinater fra eksempel.7 ved at indsætte i ellipsens ligning i cartesiske koordinater..9. (Lemniskaten.) Lad A 0= og B I; 0= i cartesiske koordinater. Find ligningen i polære koordinater for kurven bestående af de punkter P, for hvilke G G PBGK. (Vink: Benyt () og opg. 0..).0. En hyperbel har halvakserne a og b a> e, hvor e er excentriciteten. Brændpunkterne er i origo og på polaraksen. Find ligningen i polære koordinater for den venstre gren af hyperblen... Lad 0 D a D. Kurven r acos θ har et antal lodrette tangenter, der afhænger af a. Find sammenhængen. (Vink: Find ; x y= som funktion af θ.).. (Logaritmisk spiral.) Vis, at kurven bestemt ved r e θ har uendelig mange vindinger. Hvor mange vindinger kan man praktisk vise på en figur? (Tegn!) Komplekse tal på cartesisk form De første tal, man lærer om, er de naturlige tal, altså mængden L NM PO. De tre prikker fortæller, at der ikke er noget største tal, og mere præcist udtrykkes dette ved induktionsaksiomet. L er lukket over for addition og multiplikation. For altid at gøre subtraktion mulig udvider man til mængden QM : &O af hele tal. Divisionen får man med (på nær division med nul) i mængden R af rationale tal. Differential- og integralregning kræver, at grænseovergang er mulig, og hertil behøver man mængden af reelle tal. Men stadig er der polynomier, der ikke har rødder, fx x. For at løse dette problem indfører man mængden S af komplekse tal, der omfatter alle talpar z x y, hvor x y. Vi kalder x den reelle del og y den imaginære del, og skriver x Re z, y Im z. Ofte afbilder man z x y i planen på samme måde som en vektor i og taler om den komplekse plan med den

15 . Komplekse tal på cartesisk form 3 0, siges z at være imaginær. Hvis reelle og den imaginære akse. 6 Hvis Im z T$ yderligere Re z 0, siges z at være rent imaginær. Vi indfører addition og multiplikation af to komplekse tal a a a og b b b ved a b a a b b a b a b (7) ab a a U b b a b a b a b a b V (8) Hvis den imaginære del er nul, får man a 0 b 0 a b 0 a 0 U b 0 a b 0 hvilket berettiger os til at identificere sådanne komplekse tal med de reelle tal, da der er isomorfi mht. addition og multiplikation. Vi skriver derfor x 0 x. Specielt er Det ses umiddelbart ved ombytninger i (7) og (8), at den kommutative lov gælder såvel for addition som for multiplikation, altså a b b a ab ba Også den associative lov gælder for begge regningsarter, altså a b c a b c ab c a bc V For addition fås loven umiddelbart, da den gælder for de to dele hver for sig. For multiplikation overlades beviset til læseren (opg.6). Endvidere gælder den distributive lov a b c ab ac som vi nu vil bevise: a b c a a 9 b b c c : a a b c b c a b c W a b c a b c a b c 9 a b a b a b a b a c a c a c a c ab ac Da additionen foregår for hver del for sig, gælder dette også subtraktionen. Hvad angår division, skal vi for a $ 0 løse ligningen az b X a a x y b b 6 Kaldes ofte et Argand-diagram efter svejtseren Jean Robert Argand, selv om nordmanden Caspar Wessel var den første, der fandt på det. Men han publicerede på dansk!

16 4 Komplekse tal m. m. der vha. (8) omformes til ligningssystemet a x a y a x a y der har præcis én løsning, da determinanten er a a, som er ikke er nul pga. forbeholdet a $ 0. For løsningen z x y skrives z by a. b b EKSEMPEL. Lad a og b & 3. Find a b, b a, ab og by a. Løsning: Vi får a b 0 5, b a &, ab & 7, by a. (Opstil og løs ligningssystemet (9) svarende til divisionen!) / Det viser sig, at man kan undgå talparnotationen, hvis man indfører den såkaldt imaginære enhed i 0 Af (8) ses, at i. Hermed får vi, at polynomiet z har roden z i. (z i er den anden rod.) Vi har nu for x y Z Vi vil kalde begge skrivemåder, altså x iy x 0 0 U y 0 x y z x y x iy cartesisk form; i det følgende bruges sædvanligvis den sidste. Man behøver ikke at huske (8) for at kunne multiplicere, kun at i. For tallene i eksempel. fås ab i U & 3i 3i i 6i 7 i For at lette divisionen indfører vi svarende til z x iy den komplekst konjugerede z x iy. Geometrisk svarer kompleks konjugering til spejling omkring den reelle akse. Det er let at vise følgende egenskaber ved kompleks konjugering: (9) a b a b a b a b ab ab ay b ay b a a (0) Vi overlader påvisningen til læseren (opg..7) på nær for den midterste, for hvilken beviset ser således ud: ab a ia U b ib a b a b i a b a b a b a b [ i a b a b a ia U b ib ab

17 /. Komplekse tal på cartesisk form 5 Længden af z x iy, opfattet som en vektor i, kaldes modulus (eller numerisk værdi) og betegnes z. Vi har z zz x y Vi er nu i stand til at beregne brøken by a på en simplere måde end ved at løse ligningssystemet (9). Vi forlænger brøken med den komplekst konjugerede til nævneren. Da b ba ba a aa a får reel nævner, er det let at finde den reelle del og den imaginære del af brøken. Vi illustrerer med et eksempel: EKSEMPEL. Beregn by a for tallene i eksempel. ved brug af kompleks konjugering. Løsning: b 3i a & 3i U i i i 5 5i 5 i Sammenfattende kan man sige, at man regner med komplekse tal på samme måde som med relle tal, idet man benytter den ekstra regel i og forlænger brøker med den komplekst konjugerede til nævneren. Der er dog en undta- z, medmindre z er reel gelse, nemlig reglen x x. Faktisk gælder altid z $ (opg..8). OPGAVER Angiv følgende udtryk på cartesisk form ; dvs. a ib= :.. ; i=\]; 3 4i=... ; 5i=..3. i ; i=9; 3 i=9; i=9; 3 i= i. 7 7i 3i.

18 6 Komplekse tal m. m ; 3 43i=9; 75 6i= ; 6 75i=9; 43 3i= > 3 i> > i> 3.. Afbild nedenstående mængder af z-værdier i den komplekse plan..9. G zgue E^G zgue... G z igu_... G z igk`g z ig..3. Re a z 3 i b G zg Re; z= Im; z=[ Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) Komplekse tal z ced er det samme som talpar ; x y=fctg. b) Én af egenskaberne ved komplekse tal er, at de kan opfattes som talpar ; x y=hctg. c) Man kan ikke dividere med et komplekst tal z i; x y=, hvis én af delene x eller y er lig nul. d) Man kan dividere med et komplekst tal z ; x y=, medmindre begge delene x og y er lig nul. e) Hvis z j z, så er z rent imaginær..6. Vis, at den associative lov for multiplikation af komplekse tal gælder, altså a; bc=k ; ab= c..7. Vis, at formlerne (0) for kompleks konjugering gælder..8. Vis, at for komplekse tal gælder G z GK z, hvis og kun hvis z clg..9. Udled trekantsuligheden for komplekse tal: m m m G z G<nG z G m DoG z z GUDpG z GqG z Gsr (Vink: Benyt, at en side i en trekant er mindre end summen af de to andre og større end deres differens.) Hvornår kan der være lighedstegn?

19 3. Komplekse tal på polær form 7 3 Komplekse tal på polær form Det komplekse tal z x iy har, opfattet som et punkt x y i den komplekse plan, naturligvis også polære koordinater. Vi siger, at z r θ pol er den polære form af tallet. Sammenhængen med den cartesiske form er givet ved Vi skriver z r cosθ isinθ V () r z θ arg z hvor z er den tidligere indførte modulus og arg z kaldes argument. Man kalder også den polære form for modulus-argument-form. Argumentet arg z er kun defineret på nær et helt multiplum af π. (For z 0 er det helt udefineret.) Ved hovedargumentet forstås den retningsvinkel θ Arg z, for hvilken π % Arg(z) π. EKSEMPEL 3. Angiv z i på polær form. Løsning: Modulus er z K, og for argumentet fås tanθ. Da z er i. kvadrant, vælges θ 3 4 π. Vi får z 3 π 4 pol. (Tegn!) / Den polære form er ikke meget bevendt ved addition og subtraktion. Derimod er den nyttig ved multiplikation og division. Lad Vi har da z x iy r θ pol z x iy r θ pol z z r cosθ isinθ r cosθ isinθ r r : cosθ cosθ sinθ sinθ i cosθ sinθ sinθ cosθ 9 r r cos θ θ isin θ θ 9 r r θ θ pol hvor vi har benyttet to af additionsformlerne i (3). Vi har altså Udtrykt som en regel har vi: z z z t z arg z z arg z arg z ()

20 v v v v v v v 8 Komplekse tal m. m. Im uz=x+iy z arg(z) Figur 8: Et komplekst tal Re Ved multiplikation af komplekse tal multiplicerer man deres moduli og adderer deres argumenter. (3) Man bør være opmærksom flertydigheden i argumenterne. Hvis man for z og z angiver hovedargumenterne, kan man ikke være sikker på, at man ved addition får hovedargumentet for z z. (Overvej dette!) For divisionen gælder, at w z Y z er løsningen til ligningen z w z. Derfor fås af (): v z z z z z arg w arg z W arg z (4) z x EKSEMPEL 3. Lad z 3 i, z i 3. Beregn z z og z Y z ved at benytte polær form. Løsning: Vi har og får derfor af () z z z π 6 pol z 4 z z 3 π pol 5 6 π pol 3 i π pol i

21 3. Komplekse tal på polær form 9 Resultatet kan også fås ved at benytte cartesisk form. 7 / Multiplikationsreglen (3) er formuleret for et vilkårligt antal faktorer, selv om vi formelt kun har vist den for to faktorer. At z z 9 9 z n z t z 9 9 z n arg z z 9 9 z n arg z arg z :9 arg z n gælder for alle n yl, fås let ved et induktionsbevis. Er alle z erne ens, får vi potensreglen z nv z n arg z n narg z (5) der for z $ 0 kan vises at gælde for alle n Z. EKSEMPEL 3.3 Beregn i 3 3. Løsning: Udtrykket kan naturligvis beregnes direkte. Vi vil i stedet benytte polær 3. Da z form. For z i 3 er modulus z V, og for argumentet fås tanθ er i. kvadrant, bruges θ 3 π. Vi får z 3 π pol. Derfor er z 3 8 π 8. / Specielt har man for z z, altså for tal på den komplekse enhedscirkel, at z θ pol cosθ isinθ og heraf z n nθ pol cosnθ isinnθ, altså har vi vist de Moivres formel 8 : EKSEMPEL 3.4 Udled formler for cos3θ og sin3θ. Løsning: Ved brug af (6) fås cosnθ isinnθ cosθ isinθ n (6) cos3θ isin3θ cosθ isinθ 3 cos 3 θ 3icos θsinθ 3i cosθsin θ i 3 sin 3 θ 4M cos 3 θ 3cosθ cos θ VO i M 3 sin θ sinθ sin 3 θo 4cos 3 θ 3cosθ i 3sinθ 4sin 3 θ Da realdelen og imaginærdelen stemmer overens, får vi formlerne cos3θ 4cos 3 θ 3cosθ sin3θ 3sinθ 4sin 3 θ / 7 Dette eksempel overbeviser dig måske ikke om fordelene ved den polære form; men vent til du kommer til den binome ligning! 8 Abraham de Moivre ( ). Omtrentlig udtale: dø mu-{ a-vrø, ø som i gøre.

22 0 Komplekse tal m. m. Vi skal nu se på hvordan man løser den såkaldte binome ligning: hvor w er et givet komplekst tal. Vi ser bort fra det trivielle tilfælde w z n w 0, hvor kun z 0 er løsning. Idet vi sætter w r θ pol, skal vi finde z s ϕ pol. Vi får s n nϕ pol r θ pol Da modulus er entydigt bestemt, fås s n r. Derimod er argumentet kun bestemt på nær et helt multiplum af π, så vi får nϕ θ πk k ] og dermed ϕ θ π n n k k ]T Vi får forskellige placeringer i den komplekse plan for k 0 9 : n, hvorefter der er periodisk gentagelse. De forskellige løsninger er derfor z w r n θ π n n k k 0 9 : n (7) x pol De n løsninger ligger i den komplekse plan som vinkelspidserne i en regulær n- kant. Vi vil kalde alle løsningerne n-terødder af w. EKSEMPEL 3.5 Find de tre tredjerødder af 8i. Løsning: Idet z 3 8i 8 eller i cartesiske koordinater π pol, er løsningerne i z: π 6 pol 5 π 6 pol 3 i 3 i i 3 π pol Rødderne udgør vinkelspidserne af en ensvinklet trekant (se fig. 9). /

23 w 3. Komplekse tal på polær form Im Re Figur 9: De tre tredjerødder af i EKSEMPEL 3.6 Find de seks sjetterødder af 64, og angiv dem på cartesisk form. Løsning: På polær form er π pol, hvorfor z 6 64 har løsningerne z 6 64 π πk 6 x pol 6 π k 3 π pol k De ligger alle på en cirkel med radius og centrum i 0. Argumenterne er 6 π, π, 5 6 π, 6 7π, 3 π, 6 π. På cartesisk form er rødderne med en sammentrængt skrivemåde z 3 i i. Du er ikke færdig med dette eksempel, før du har indtegnet rødderne i den komplekse plan. / OPGAVER 3.. Angiv den polære form for følgende komplekse tal: (a) i, (b) i, (c) > 3 i, (d) A> 3 3i, (e) > 6 i>. 3.. Konvertér følgende polære former til cartesiske former: (a) ; < 4 π= pol, (b) ; 0 = pol, (c) ; 5 5π= pol, (d) ; > 3 4 π= pol, (e) ; 00 3 π= pol.

24 Komplekse tal m. m Løs ligningen z 4 j Løs ligningen z 4 j 8 8> 3i Løs ligningen ; z = Løs ligningen ; z = 3 j Find ; > 3 = Find ; i= Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) For alle z er hovedargumentet Arg; z= entydigt bestemt. b) For alle z } 0 er hovedargumentet Arg; z= entydigt bestemt. c) Der er en simpel formel for addition af komplekse tal på polær form. d) Den polære form er velegnet ved potensopløftning og roduddragning. e) Hvis ; a ib= 3 8, så er a b For hvilke komplekse tal z er z B z? 3.. For hvilke tal z er z i. kvadrant (Re; z=fe 0, Im; z=~_ 0)? 3.. For hvilke tal z er z 3 i. kvadrant? 3.3. Lad s sin8 o. Vis, at sin54 o 3s 4s 3 cos36 o, og dermed, at s tilfredsstiller ligningen 4s 3 s 3s 0. Find sin8 o. 4 Det komplekse andengradspolynomium Vi ser først på ligningen w hvor w u iv er et komplekst tal. Ved at skrive w på polær form, altså w r θ pol, kan vi finde de to løsninger ved at tage kvadratrod af modulus og halvere argumentet (løsningen (7) til den binome ligning med n z ). Her skal gives en anden metode. For w reel, altså w u, kender vi i forvejen resultatet. For u 0 er der de reelle løsninger z 3 u, for u 0 er der én løsning z 0, og for u % 0 er der de to rent imaginære løsninger z 3 i u.

25 4. Det komplekse andengradspolynomium 3 0. Vi sætter z x iy, og da x y ixy, får vi ved at identificere reelle dele for sig og imaginære dele Vi antager dernæst, at w er imaginær, altså v $ z for sig ligningerne x y u xy v 0, må også x $ 0 og y $ Da vi antog, at v $ 0. Vi finder af den sidste ligning y vy x, som ved indsættelse i den første efter omformning giver x 4 ux v 4 0 Dette er en reel andengradsligning i x med diskriminant u v modulus for w, altså r w. Vi får x u 3 r. Da u % r (husk v $ x u r ingen løsning, idet x ikke kan være negativ. Af x u r fås r, hvor r er 0), giver og dermed ved indsættelse y 3 x v 3Z r u 3 r u v v r u hvor vi har forlænget brøken med r u og benyttet v v indfører fortegnsfunktionen (for reelle tal) sign x x x ƒ for x 0 for x % 0 r u. Vi og får, da fortegnene hører sammen, de to løsninger til z w u iv z 3 w r u i sign v r u x (8) Vi bemærker, at for v 0 kan vi også bruge formlen, hvis vi negligerer sign v, da enten den reelle eller den imaginære del forsvinder. EKSEMPEL 4. Vi ønsker at løse ligningen z 3 4i. Løsning: Da modulus er r 9 6 5, giver formel (8) z i 5 3 ƒ i i /

26 4 Komplekse tal m. m. Vi ser nu på den generelle komplekse andengradsligning az bz c hvor a, b og c er komplekse konstanter, med a $ 0. Vi benytter den samme metode som ved løsning af den reelle andengradsligning, nemlig kvadratudfyldning. Da metoden er vigtig, skal beviset gentages her. Vi sætter a uden for parentes og opfatter z som det ene kvadratled og bzy a som det dobbelte produkt. Vi udfylder med det andet kvadratled by a og får Vi indfører diskriminanten d ligningen az bz c a w z b ax 0 b 4a c b 4ac på samme måde som for reelle tal og får w z b ax d 4a Når to komplekse tal har samme kvadrat, følger det af (8), at de enten er ens eller ens med modsat fortegn, så z b 3 a d a og vi får samme løsningsformel som for den reelle andengradsligning z b 3 d a d b 4ac I modsætning til for reelle tal er d ikke veldefineret, da ligningen z d har to løsninger, hvoraf ingen særligt kan fremhæves. Dette giver dog ingen problemer her, på grund af at der står 3 i formlen. Vi ser, at vi i det komplekse tilfælde altid får to forskellige rødder, bortset fra tilfældet d 0, hvor z by a er dobbeltrod. 9 EKSEMPEL 4. Løs ligningen 3 i z o 9 3i z Egentlig burde man ikke bruge navnet diskriminant i det komplekse tilfælde, da d ikke diskriminerer mellem, om der er rødder eller ej, som i det reelle tilfælde.

27 / 4. Det komplekse andengradspolynomium 5 Løsning: Vi får d 9 3i 40 3 i 48 4i med modulus r , så d i i Derfor er løsningen z 9 3i 3` 7i 3 i Š ˆ i U 3 i i U 3 i 5 i i EKSEMPEL 4.3 Løs ligningen iz 4 i z 0 Løsning: Vi opfatter først udtrykket som en andengradsligning i z, med d i 4i i. Vi får z Œ i 3` i i For z er z 3 i, og for z i er z 3 i :Y. Vi får de fire rødder i fjerdegradspolynomiet z i i i i / Š ˆ i OPGAVER Løs følgende andengradsligninger: 4.. z 8i z 80 8i z > 3i z z z ]; i= z i z ]; i= cz ic 0, hvor c ced er givet.

28 6 Komplekse tal m. m z ; 5i= z 9 7i > 3z 9z 7> 3 3i Markér hvert af de følgende udsagn som Sandt eller Falsk: a) For komplekse tal z er kvadratroden > z veldefineret. b) En andengradsligning har altid mindst én kompleks løsning. c) En andengradsligning har altid mindst én imaginær løsning. d) En andengradsligning har altid to forskellige komplekse løsninger. e) Til løsning af ligningen z w er det i nogle tilfælde bedst at bruge formel (8), i andre tilfælde formel (7). Løs følgende ligninger og afbild løsningerne i den komplekse plan: 4.0. z 4 3z z 3 z z z 8 3z z 6 ; 8i= z 3 8i Find fejlen i følgende bevis for, at j : > Ž = > J > i J i i j r 5 Det komplekse polynomium af n te grad Lad p z c n z n c n z n 99 c z c 0 hvor c 0 c 9 9 c n ZS og c n $ 0. For et α ZS får vi ved polynomiers division, der forløber på samme måde som for reelle polynomier, p z z α q z r hvor kvotienten q z er et polynomium af n te grad og resten r ns. Vi ser, at p α r, altså det for reelle polynomier velkendte resultat, at α er rod i p z, hvis og kun hvis z α går op i p z. Hvad angår eksistensen af rødder gælder der algebraens fundamentalsætning, der siger, at ethvert komplekst polynomium (af grad n ) har mindst én kompleks rod. 0 Hvis α er rod, går z α op, og vi kan anvende sætningen igen på 0 Først bevist i 799 af C. F. Gauss ( ).

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere