Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Transkript

1 Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige

2 Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle x R f(x) f ( x) dx - relet uder f(x) er P( x) Fordeligsfuktio F( x) x f ( t) dt - relet tv for x F(x) Sdsylighed for itervl P ( b) F( b) F( ) f ( x) dx b P( x 3)

3 Simult kumultiv fordeligsfuktio og ufhægighed Ld,,, være stokstiske vrible. Defiitio: Simult kumultiv fordeligsfuktio: F( x, x, K, x) P( x x L Dvs. sdsylighede for t er midre ed x, smtidig med t er midre ed x osv. x ) Defiitio: De stokstiske vrible er ufhægige hvis og ku hvis F( x, x, K, x) F( x ) F( x ) LF( x ) hvor F(x i ) P( i x i ) de mrgile fordeligsfuktio for i.

4 Kovris Ld og Y være to stokstiske vrible, hvor E Defiitio: Kovrise mellem og Y er Nyttig regeregel: [ ] μ og V[ ] σ [ Y ] μ Y og V[ Y ] σ Y E Cov(, Y ) E[( μ )( Y E[ Y ] μ μ Y μ Y )] Vr[ by c] σ b σ Y bcov(, Y )

5 Kovris: Bemærkiger Defiitio: Kovrise mellem og Y er Cov(, Y) E[( μ )( Y μ )] Hvis og Y er ufhægige så er Cov(,Y) 0. Det omvedte gælder ikke geerelt. Fortolkig (hådviftede): Hvis store værdier f følges med store værdier f Y og små værdier f følges med små værdier f Y så er kovrise mellem og Y positiv. Hvis store værdier f følges med små værdier f Y og omvedt, så er kovrise mellem og Y egtiv. Y

6 Kovris: Eksempel Ld være e stokstisk vribel, hvor E ] μ og V[ ] σ Defier de stokstiske vribel Y ved Dvs. E [ Y b [ Y ] bμ og V[ Y ] b σ y y bx x Kovrise mellem og Y er d givet ved Cov (, Y ) bσ

7 Korreltio Korreltioe er et mål for grde f lieær smmehæg mellem to stokstiske vrible. Defitio: Korreltioe mellem stokstiske vrible og Y er: ρ Corr(, Y ) Cov(, Y ) σ σ Y Cov(, Y ) V[ ] V[ Y ] Der gælder Pr defiitio: - ρ Hvis ρ - perfekt egtiv lieær smmehæg Hvis ρ 0 ige lieær smmehæg Hvis ρ perfekt positiv lieær smmehæg

8 Korreltio: Eksempel fortst Ld være e stokstisk vribel, hvor E ] μ og V[ ] σ [ y y bx Defier de stokstiske vribel Y ved Y Dvs. Y E b Perfekt lieær smmehæg [ Y ] bμ og V[ Y ] b σ x Korreltioe mellem og Y er d givet ved Corr(, Y ) Cov(, Y ) σ σ Y 0 hvis hvis hvis b b b < > 0 0 0

9 Kovris: Mere kompliceret eksempel Ld og Z være ufhægige stokstiske vrible, hvor E ] μ og V[ ] σ Defier de stokstiske vribel Y ved Y b Dvs. E D hr vi Cov [ E [ Z] μ Z og V[ Z] σ Z [ Y ] bμ og V[ Y ] b σ (, Y ) bσ Corr(, Y ) Y b y σ Z bσ σ σ y Z bx x

10 Sum f stokstiske vrible Ld,,, være stokstiske vrible med middelværdier μ, μ,, μ og vriser σ, σ,, σ. Middelværdie f e sum Vrise f e sum, hvis,,, er idbydes ufhægige Hvis ej ufhægige E μ μ μ L L ] [ ] [ V σ σ σ L L ), ( ] [ j i i j i Cov V σ σ σ L L

11 Repetitio: Norml fordelige Des kedeteg er: Klokkeformet og symmetrisk omkrig des middelværdi Middelværdimedimode De er krkteriseret ved e middelværdi μ og vris σ² (eller stdrd fvigelse σ). ~N( μ, σ² ) betyder, t følger e orml fordelig med middelværdi μ og vris σ² Arelet uder kurve idefor zσ f middelværdie, er de smme for ehver orml fordelig, uset middelværdi og stdrd fvigelse. Er uset prmetre værdier, defieret for lle x (dvs x k tge værdier fr mius uedelig til plus uedelig) σ μ

12 Stdrd orml fordelige Stdrd orml fordelige, er ormlfordelige med middelværdi μ0 og stdrd fvigelse σ, Z~N(0,²) 0.4 Stdrd Norml fordelig f(z) σ { μ 0 Z NB: E stdrd orml fordelt stokstisk vribel beteges sædvligvis Z.

13 Ny type spørgsmål Eksempel fr sidst: Fid P(Z -.76 ) Nyt eksempel: P(Z z) F(z) 0.90 Tbelløsig: Fid e værdi z, så I Tbel fid z, så F(z) er tættest mulig på F(.8) og F(.9) Dvs. Svret er et sted mellem.8 og.9 z F(z) 90%

14 Ny type spørgsmål - fortst Eksempel ige: Fid e værdi z, så P(Z z) % Rcmdr løsig: Distributio Cotiuous distributios Norml distributio Norml qutiles z R løsig: qorm(0.90,me0,sd)

15 Trsformtio til Stdrdorml Efter e lieær trsformtio f e ormlfordelt stokstisk vribel er stdig e ormlfordelt stokstisk vribel. Ld ~ N(μ,σ ) og defier Y b, så gælder E[Y] E[] b μ b V[Y] V[] σ Y ~ N(μ b, σ ) Ld ~ N(μ,σ ) og defier Z (-μ)/σ, så gælder E[Z] 0 V[Z] Z ~ N(0,)

16 Trsformtio: Eksempel Atg studerede score til eksme er ormlfordelt med middelværdi 60 og stdrdfvigelse 5. Dvs. score ~ N(60,5 ) Spørgsmål: Fid x, så P( x) 0.90 Ide: Trsformer problemet til et, der vedrører e stdrd orml-fordelt stokstisk vribel. μ x μ x 60 P( x) P P Z σ σ 5 Vi ved llerede P(Z.8 ) 0.90 x 60.8 x Dvs. 90% f de studerede hr e score uder 79.3.

17 Sum f ormlfordelte stok. vr. Atg,, er ufhægige stokstiske vrible, hvor i ~ N( μ, σ i Dvs. i er orml-fordelt med middelværdi μ og vris σ. i ) Regel: Summe f orml-fordelte stokstiske vrible er også e orml-fordelt stokstisk vribel. Defier S S ( μ μ L μ σ σ L σ ) ~ N,

18 Sttistik Sttistisk Iferes: Udtle os om værdier f popultios prmetre Teste hypoteser om værdier f popultios prmetre Tge beslutiger på bsis f stikprøver Drge Drge koklusioer om om egeskber for for e e popultio... på på bsis bsis f f observtioer i i e e stikprøve, e e del del f f popultioe.

19 The Literry Digest Poll (936) Popultio Demokrter Ikke bised stikprøve Republikere Ikke bised, repræsettiv stikprøve fr hele popultioe. Popultio Folk, der hr telefo og/eller bil og/eller læser Digest. Demokrter Bised stikprøve Republikere Bised, ikke repræsettiv stikprøve f folk, der hr telefo og/eller bil og/eller læser Digest.

20 Dt idsmlig Dt idsmlig Direkte observtioer Eksperimeter Registre Spørgeskemer Et problem med spørgeskemer er orespos bis hvd gør m år folk ikke vil svre? Typisk vil gruppe f folk, der ikke svrer være derledes ed folk, der svrer. Lv for eksempel e opfølgig på spørgeskemet ved t rige til folk. Folk, der slet ikke svrer, vil lige dem der svrer de gg mere ed de liger dem, der svrer første gg (me ikke helt). M k også over smple dem m tror ikke vil svre (hvis m ved det) og dermed hve større chce for t oge f dem svrer.

21 Hvord lver m e stikprøve Simpel stikprøve I e simpel stikprøve er observtioere udvlgt, så ehver de stikprøve med smme tl observtioer, er lige så sdsylig t vælge Observtioere k for eksempel vælges ved hjælp f e Rdom umbers tbel m k fide i ogle bøger. 0495, 5793, 0034, 35640,. Strtificeret stikprøve Opdele popultioe i disjukte mægder (strt) og tge e simpel stikprøve fr hver strt. Hvis m for eksempel ved, t der er forskel på hvord mæd og kvider svrer og der i popultioe er 54 % mæd og 46 % kvider.

22 Stikprøvefordelig Atg t vi vil udtle os om e popultiosprmeter (fx middelværdie μ) på bggrud f e stikprøve sttistik (fx. stikprøve-geemsittet ). x Vores koklusio skl tge i betrgtig, t værdie f ædrer sig for hver y tilfældig stikprøve x De tilfældig vritio f stikprøve-sttistikke (her geemsittet) beteges stikprøve-fordelige (f stikprøve-geemsittet)

23 Stikprøvefordelig: Eksempel E direktør hr seks stte med cieitete målt i år: Popultioes geemsit er μ Vi udtger u e stikprøve på to stte og udreger stikprøve-geemsittet. Bemærk: Vi k udvælge to stte på 5 måder: C 6!!(6 )!

24 Stikprøvefordelig: Eksempel De 5 lige sdsylige stikprøver og deres stikprøve-geemsit. Stikprøve Stikprgest Stikprøve Stikpr. gst, ,8 6.0, ,6 6.0, ,7 6.5, ,8 7.0, , , , , , ,7 5.5 De mulige geemsit og deres sdsylighed. Stikpr. gst Sdsylighed 3.0 /5 4.0 /5 4.5 / /5 5.5 /5 6.0 /5 6.5 / /5 /5

25 Stikprøvefordelig: Eksempel Smme direktør og stte, me u e stikprøvestørrelse på 5. Stikprøve x Sdsylighed,4,6,6,7 5.0 /6,4,6,6,8 5. /6,4,6,7,8 5.4 /6,6,6,7,8 5.8 /6 4,6,6,7,8 6. /6 Bemærk : Ku værdier tæt på popultios-middelværdie er sdsylige. Bemærk : Stikprøve-geemsittet tættest på popultios-middelværdie er mest sdsylig.

26 Stikprøve-fordelig Atg u t vi tger e tilfældig stikprøve beståede f observtioer fr e meeeget stor popultio. Popultioe hr middelværdi μ og vris σ. Vi betrgter de ekelte observtioer i stikprøve som stokstiske vrible,,,. For hver observtio i tger vi t E[ i ] μ og V[ i ] σ. Hvd k vi u sige om fordelige f stikprøvegeemsittet?

27 Stikprøve-geemsittets stikprøve- fordelig: Forvetede værdi Ld de stokstiske vrible,,, være e tilfældig stikprøve fr e popultio. Stikprøve-geemsittet f disse SV er De forvetede værdi f stikprøve-geemsittet er E Dvs stikprøve-geemsittet i geemsit er popultios-geemsittet i i μ [ ] E ( L ) μ

28 Stikprøve-geemsittets stikprøve- fordelig: Vris Hvis stikprøvestørrelse er lille i forhold til popultioes størrelse N k vi tge t SV,,, er ufhægige. Vrise f stikprøve-geemsittet er d Bemærk: Jo større stikprøve, jo midre vris. Hvis er stor i forhold til N k vi ikke tge ufhægighed. Vrise f stikprøve-geemsittet er d [ ] V V σ σ σ σ L L [ ] N V σ σ

29 Norml-fordelt Popultio Hvis popultioe er orml-fordelt gælder i ~ N(μ,σ ) D summe f orml-fordelte SV er e orml-fordelt SV hr vi t ( μ, σ ) ~ N Vi k stdrdisere stikprøve-geemsittet: Udreges som på forrige slide Z μ σ σ μ ~ N ( 0,)

30 Eksempel: Tædrør Producet påstår t levetide for tædrør er ormlfordelt med middelværdi miles og SD miles. E stikprøve f størrelse 6 hr e geemsitslevetid på Spørgsmål: Hvis producete hr ret, hvd er sdsylighede for et stikprøvegeemsit midre ed eller lig ? Løsig: P( ) μ P( σ μ ) σ P( Z ) P( Z,5) Tror vi på producetes påstde?

31 De Cetrle Græseværdi Sætig (CLT) Ld,,,, er være ufhægige stokstiske vrible fr smme fordelig med middelværdi μ og vris σ. D gælder, t år stikprøvestørrelse øges, så vil fordelige f Z μ σ ærme sig mere og mere e stdrd orml-fordelig. σ μ (Cetrl limit theorem) Tommelfiger-regel: 30 er ok til e god tilærmelse.

32 Eksempler Norml Uiform Skewed Geerl Popultio 30 μ μ μ μ

33 Jv Eksempel Her er et pr imerede illustrtioer f de cetrle græseværdi sætig. Prøv selv t google efter flere

34 Eksempel: Ny Cfe? Kfe Kjeld vil strte e y cfe i e y by! Erfrige viser, t det bliver e succes, hvis geemsits idkomste er midst kr. Det vides t SD for idkomst er 5.000kr. E stikprøve på 36 idbyggere hr et idkomstsgeemsit på 3.500kr. Spørgsmål: Skl h åbe e y cfe?