Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen

Transkript

1 Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: Kontinuerte stokstiske vrible X = ) = µ! e µ Tæthed density): f) 0, f)d = X d) = f)d Middelværdi, vrins momenter): EX) = f)d Normlfordelingen: f) = π e µ ) Den centrle grænseværdisætning oisson-fordelingen En binomilfordelingen med mnge forsøg, hvert med lille sndsynlighed N= 5, p= No. successes Eksempler på oissonfordelte vrible?) Antl børn født i et klenderår i Dnmrk med en given sjælden sygdom. Antl rdioktive henfld i en prøve indenfor et bestemt tidsrum. Antl komponenter i en btch der er defekte. n stor p lille np modert N= 00, p= No. successes N= 000, p= forelæsning 5 No. successes forelæsning 5 4

2 Sndsynlighedsfordelingen for X oisµ) oisson punktprocessen sctter) X = ) = µ! e µ kn findes som grænsen f Binn,µ/n) for n Momenter i oisson-fordelingen Vi får middelværdi: EX) = µ og vrins: VrX) = EX ) µ = µ 0405 forelæsning forelæsning 5 6 Antgelser p. 9) Antgelse : Ikke multiple forekomster, hvert punkt eller forekomst hr særskilt plcering Antgelse : Tilfældighed. Alle disjunkte delområder med smme rel bliver rmt med smme sndsynlighed og ufhænigt f hinnden. oisson Sctter Theorem p. 30): unktprocessen hr en intensitet tæthed) λ så: Antllet f forekomster i et område B er oisλ B ) Overlejring Hvis to oisson-punktprocesser overlejres, er resulttet en ny oisson punktprocess. Intensiteten i den nye process er summen f intensiteterne i de to komponenter. Udtynding Hvis hvert punkt fjernes fr en oisson-punktproces med sndsynlighed p bibeholdes med sndsynlighed p), er resulttet en ny oisson-punktproces med intensitet p λ. Antllet f forekomster i disjunkte områder er ufhængige forelæsning forelæsning 5 8

3 Middelværdi for oissonfordeling EX) = f) = Lidt mnipultion med summen giver =0 VrX) = µ µ! e µ = = = µe µ X = ) = µ )! e µ = µe µ y=0 =0 = µ y y! = µe µ e µ = µ µ! e µ µ )! Ligefordelingen uniform) side olitiet ønsker t udspørge en bestemt personge ngående en sg om nogle forsvundne høns. I den forbindelse spekuleres der over, hvor mn kn finde hm. Mn ntger, t hn befinder sig på lndevejen mellem Københvn og Klundborg. olitimesteren i Slgelse spekulerer over hvd sndsynligheden er for t finde Knud Erik Omstrejfer i Vestsjællnds mt? Hvordn kunne vi gribe det n? 0405 forelæsning forelæsning 5 0 φ) Tætheden f) f en kontinuert S.V En funktion ft) er en tæthed hvis. ft) 0 for lle t. f er normeret, d.v.s. < X < + ) = Sndsynligheder findes som relet under kurven s. 60) < X < b) = b f)d NB! Smmenftning s ft) dt = Tætheder fortolket som sndsynligheder For en kontinuert stokstisk vribel er lle punktsndsynligheder 0. Sndsynligheden for t observere en observtion i en omegn h f findes som hf). φ) forelæsning 5 X +h)=f)h

4 Middelværdi og vrins side 6) Generelt erstttes beregninger f summer for diskrete vrible) med integrler for kontinuerte vrible) Eksempelvis EX) = f)d EX ) = Vi hr stdig den meget vigtige beregningsformel VrX) = EX ) EX)) f)d Ligefordelingen Hvd er så c? = = c = b f)d f)d+ f) = b c hvis < < b 0 ellers f)d+ b f)d = 0+b ) c forelæsning forelæsning 5 4 Beregning i ligefordelingen Spm: For < < y < b find < X < y) Svr: < X < y) = y fu)du = cy ) = y b. Sndsynligheden er ltså den del f intervllet fr til b, der udgøres f intervllet fr til y forelæsning 5 5 Antg t X er en stokstisk vribel med tæthed c hvis < < b f) =. 0 ellers Spørgsmål Ld U = X )/b ). Værdimængden for U er 0;) 0;b/b )) 3 ; ) 4 /b );b/b )) 5 Oplysningerne i teksten er ikke tilstrækkelige 6 Ved ikke 0405 forelæsning 5 6

5 Normlisering/stndrdisering Alterntivt U = X b X = +b )U EX) = = [ f)d = b ] b b = +b f)d Vrinsberegning VrX) = Vr+b )U) = b ) VrU) VrX) = b ) E U ) EU)) ) E U ) = VrX) = b ) 3 0 u du = 3 ) ) = b ) EX) = E+b )U) = E)+b )EU) = +b ) 0405 forelæsning forelæsning 5 8 Antg t X er en stokstisk vribel med tæthed f) = c+) for < < 0, og 0 ellers. Spørgsmål Værdien f c er f) kn ikke være en tæthed 6 Ved ikke 0405 forelæsning 5 9 Opgve 4..3 modificeret) Ld X være en stokstisk vribel med tæthed f) = c+) for < < 0, og 0 ellers. Spm: Find værdien f c. Svr: Vi kræver +... og finder 0 f) d = c+) d = c 6 ltså c = 6. φ) forelæsning 5 0

6 Spm: Bestem værdien f X Svr: D fordelingen er symmetrisk om får vi X ) = ) Spm: Bestem værdien f X 3 ) φ) φ) forelæsning forelæsning 5 Svr: Vi benytter smmenhængen mellem tæthed og sndsynlighed side 60 eller side 63 X ) [ 3 = c+)d = c 3 + ] = = Med c = 6 får vi X ) = Spm: Hvd er 3 X Svr: ) ) 3 X = 7 7 = 3 54 φ) forelæsning forelæsning 5 4

7 Spm: Hvd er middelværdi og vrins f X? Svr: Middelværdien er ud fr symmetrien. Vi finder EX ) EX ) = 6...og dermed 0 +)d = 6 0 En række generiske modeller Forskellige ingeniørtekniske problemstillinger: Hvor mnge ulykker sker der i et vejkryds Tidsfstnden mellem to pkker i et kommuniktionsnetværk Vægt/mængde ngivelse f et kemisk produkt Antl positive respondenter i en mrkedsnlyse og vrinter herf VrX) = = forelæsning forelæsning 5 6 Den centrle grænseværdisætning side 68, 96) I nturen/teknikken observeres ofte en klokkeformet fordeling Dette understøttes teoretisk netop f CGS En sum f mnge bidrg er tilnærmelsesvist) norml fordelt når intet enkeltbidrg dominerer summen Formen formlen!) for normlfordelingen fremkommer netop gennem udledningen - beviset - for CGS Normlfordeling - udtryk og egenskber side 66-67, 477, Hvis X Nµ, ), så: X hr tætheden φ) = π e µ ) Middelværdi EX) = µ Vrins VrX) = Spredning SDX) = φ) % Norml p.d.f Vendetnge 0405 forelæsning forelæsning 5 8

8 Den stndrdiserede normlfordeling X Nµ, ) : < X < b) = b π e µ ) d De normlfordelte vrible bevres under ffine trnsformtioner: Vi kn stndrdisere X: c X +c Nc µ+c,c ) Z z) = Z = X µ z N0,) π e t dt = Φz) Vi betrgter en stokstisk vribel X, der er stndrd norml fordelt. Spørgsmål 3 Sndsynligheden 0 < X < 0.00) findes eventuelt pproksimtivt) til 0.00 Φ0.0) 3 π e Φ0) π 6 Ved ikke Hvor Φ som sædvnlig betegner fordelingsfunktionen for en stndrdiseret normlfordelt vribel. Opgve 4..8 Vægtmålinger f en metlklump formodes t være ufhængige og identisk fordelte I.I.D.), med middelværdien f grm og stndrdfvigelse. grm. Spørgsmål: Hvd er sndsynligheden for t en enkelt måling er mellem.8 og. grm under ntgelse f, t de enkelte målinger kn beskrives ved en normlfordeling? Svr: Ld W betegne vægten på en måling. W norml,. ) Spørgsmålet kn nu formuleres: Bestem.8 < W <.). Trnsformér til stndrdiseret normlfordeling:.8 < W <.) =.8 < W <. ).8 = < W <. )... = Φ0.88) Φ 0.88) = = forelæsning forelæsning 5 3

9 Spørgsmål: Beregn sndsynligheden for t gennemsnittet f 00 målinger ligger i intervllet [.8 grm;. grm] er normlfordelingsntgelsen nødvendig her?) Svr: Ld W i betegne resulttet f den i te måling. Ld W være gennemsnittet W = Spørgsmålet er ltså: 00 i= W i 00.8 < W <.) Ifølge C.G.S. s. 96) er W pproksimtivt normlfordelt Sum S = n i= W i: Gennemsnit W = S/n: S Nnµ,n ) W N µ, ) n 0405 forelæsning forelæsning 5 34 Stndrdisér: Indfør Z = W µ = n W µ N0,) n Omformulér spørgsmålet til t gælde Z: < W < b ) n µ = < n W µ n µ = Vi finder < Z < n b µ ) = Φ < n b µ ) ) ) n b µ n µ Φ Afsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen X = ) = µ! e µ Kontinuerte stokstiske vrible Tæthed density): f) 0, f)d =, X d) = f)d Middelværdi, vrins momenter): EX) = f)d EgX)) = g)f)d, E X k) = k f)d Normlfordelingen: f) = π e µ ) Z = X µ Den centrle grænseværdisætning.8 < W <.) =.88 < Z <.88) = forelæsning 5 35