Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Transkript

1 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010

2 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez

3 Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28

4 Logistisk vækst x -> rx(1-x)

5 Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P c (P c (0))->

6 Smmehæg mellem Mdelbrot og Feigebum frktlere c = 1 ( r 1) 4 2 z -> P c (z) = z 2 +c z -> rz(1-z)

7 Mægde f uedelige biære følger er ikke tællelig 0 = 1 = 2 = 3 = ij { 0,1} b =1 Følge (b ) k ikke være med i ummererige 0, 1, 2, Thi, hvis (b ) =, så ville vi hve b = 1 = hvilket er e modstrid.

8 Mægde f de reelle tl er ikke tællelige C 0 = [0,1] C +1 = Fjær de miderste tredjedel I lle itervllere i C, dvs. erstt lle itervller [,b] i C med følgede to itervller V[,b] = [,+1/3(b )] H[,b] = [+2/3(b ),b] Svrede til e biær følge c, defier følge (F c0, F c1, F c2, ) f lukkede itervller F F c,0 c, + 1 = [0,1] VF = HF c c hvis hvis c( ) = 0 c( ) = 1

9 Mægde f de reelle tl er ikke tællelige 2 Fuktioe f fr mægde f biære følger id i de reelle tl defieres ved f ( c) = =0 F c, Ctors mægde defieres som C = =0 C Fuktioe f er e e-e-korrespodce mellem mægde f biære følger og Ctors mægde. D C er e delmægde f R og C er ækvipotet med mægde f biære følger, som ikke er tællelig, k R heller ikke være tællelig.

10 E vigtig Biomil-formel i=0 ( 1) i Bevis i = 0 i=0 ( 1) i i = ( 1) i=1 ( 1)i i + ( 1) 1 = 1 + ( 1) i i=1 1 = 1 + ( 1) i i=1 1 i 1 1 i i + 1 i=1 ( 1)i + ( 1) 1 i + ( 1) 2 = 1 + ( 1) i+1 i=0 1 i + 1 i=1 ( 1)i 1 i + ( 1) = 1 + ( 1) i=1 ( 1)i+1 1 i + 1 i=1 ( 1)i 1 i + ( 1) = 1 1+ ( 1) ( 1) = 1 1+ ( 1) 1 + ( 1) = 0

11 The Sieve Priciple Hvis A og B er edelige mægder, så gælder A B = A + B A B Hvi A, B og C er edelige mægder, så gælder A B C = A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C = α 1 α 2 + α 3 Hvis A 1, A 2, A er edelige mægder, så gælder i ( 1) = i= ( 1) i= 1 A A A α α α α hvor α i er summe f krdilitetere f fællesmægdere f i eksemplrer f mægdere A 1, A 2, A, dvs α = A A A i k1 k2 ki k k k 1 2 i

12 Dergerproblemet Ld A være e mægde med elemeter. Vi beteger elemetere i A med tllee 1,2,3,,. E permuttio på A er e bijektiv fbildig på A. Vi skriver e permuttio p således 1 2 p1 p2 p Sætig: Atllet d f permuttioer, p, hvor itet elemet overføres i sig selv, dvs. hvor p i i er k 1 d =!(1 + + ( 1) ) =! ( 1) 1! 2!! k! Bevis: Ld P() være mægde f lle permuttioer på A. Ld A i være mægde f permuttioer p, hvor p i = i. Nu er d = P( ) A A A i 2 =! α + α + ( 1) α 1 2 hvor p p p hvor α r er tllet f permuttioer, som fikserer r give elemeter, for lle mulige vlg f r symboler. Dvs.! α r = r ( r)! = r! Idsættes værdie for α r, fås det øskede resultt. 1 2 k= 0

13 Opgver 1. E sekretær i e virksomhed skl putte 6 forskellige breve i kovolutter til 6 forskellige kuder. Hu putter brevee tilfældigt i kovolutter. Hvd er sdsylighede for t lle breve kommer i forkerte kovolutter? (Løsig: 265/720) 2. Fid tllet f måder bogstvere A, D, E, G, J, U k rrgeres i e række på, så ordee DU og JEG ikke forekommer. (Løsig: 582)

14 Dergerproblemet d()!/e 1 0 0, , , , , , , , , , , , ,81067E+11 4,81067E ,69706E+12 7,69706E ,3085E+14 1,3085E ,3553E+15 2,3553E ,47507E+16 4,47507E ,95015E+17 8,95015E k 1 d =!(1 + + ( 1) ) =! ( 1) 1! 2!! k! Rekursiosformel for d d 1 = 0 d 2 = 1 d = (-1)(d -1 + d -2 ), >2 Approximtio til d d =!/e idet e 1 = k =0 ( 1) k k! k = 0

15 Fibocci-Tllee Leordo Fibocci F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1, F = F -1 + F -2

16 Fibocci-Tllee F F 1 + +F F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1, F = F -1 + F -2, >2 F +2 = F 1 +F 2 + +F +1

17 Turig-Mskie Edelig mge tilstde: q 1, q 2,,q Tpe Læsehoved Opertio: s i q j q l s k Al Turig

18 Kodig f Turig-mskier og symbolsystemer Alfbetet 1, 2, 3,, kodes således Kode f symbolet k beteges g( k ). E symbolstreg k1 k2 k3 km kodes således g p g k1 g k2 g km ( ) = ( ) ( ) ( ) k1 k2 km m E Turig-mskie med lfbet B,0,1,q1,,q giver kodere B01q1 q g(1) g( q2) g( q3) g( B) g(1q2q3 B ) = =

19 Rekursive Fuktioer A. Klsse f Primitive rekursive fuktioer Nul-fuktioe: Efterfølgerfuktioe: Projektioer: Kompositio: Primitiv Rekursio: z(x)=0,for ll x s(x)=x+1,for ll x π i, (x 1, x )=x i, for ll x i, 1 i. f(x 1,,x )=g(h 1 (x 1,,x ),, h m (x 1,,x )),for lle g,h 1,,h m f(x,0)=g(x),for give g f(x,s(y))=h(x,y,f(x,y)),for give h B. Klsse f prielt rekursive fuktioer Miimiztio: h(x 1,,x )=y, hvis f(x 1,,x,y)=0 og t<y(f(x 1,,x,t) er defieret og positiv) = udefieret i dre tilfælde.

20 Ackerms fuktio

21 Church-Turigs Tese Der fider mge forskellige forsøg på t krkterisere klsse f lgoritmer: Turig-mskier, Churchs λ-klkyle, Post-lgoritmer, Mrkovlgoritmer, Kleees prtielt rekursive fuktioer, klsse f lgoritmer, som k defieres i et foruftigt progrmmerigssprog som f.eks. Pscl eller C, osv. Det k ved simple kombitoriske metoder (ige lgoritmiske) vises, t lle disse krkteriseriger giver smme klsse f lgoritmer. Church- Turigs tese siger derfor, t dee fælles klsse etop udgør klsse f lgoritmer. Church-Turigs tese er ikke e mtemtisk sætig, me tges de, hr vi e model f klsse f lle lgoritmer.

22 Klsse f lgoritmer k ummereres Ehver lgoritme er defieret ved e edelig tekst (des progrm, som f.eks. k være e edelig følge f Turigmskie istruktioer s i q j q l s k, s m q q r s t, ). Disse tekster h ummereres på e effektiv måde, så m ud fr et ummer k idetificere lgoritme, og omvedt ud fr e lgoritme m idetificere des ummer. E såd ummererig kldes e Gödel-ummererig. P x er lgoritme med Gödel-ummer x. De prtielle fuktio, som P x bereger, beteges φ x. φ x kldes prtielt rekursiv, lgoritmisk eller effektivt beregelig. Der fides højst ummerbelt (tælleligt uedeligt) mge effektivt beregelige fuktioer. Klsse f lle fuktioer på de turlige tl er ikke ummerbel, me hr e højere grd f uedelighed. Der fides fuktioer, som ikke er effektivt beregelige.

23 Ikke lle lgoritmer k være totle P P(1) P(2) P(3) P P(1) P(2) P(3) P P(1) P(2) P(3) P P (1) P(2) P(3) P( ) P(m) = P m (m)+1 P er klrt e lgoritme. De må derfor forekomme I skemet som e P k. Me så får vi P k (k) = P(k) = P k (k)+1. P k er derfor ikke defieret for værdie k.

24 Ctor s prig fuctio Vi skriver <k 1,k 2 > for π(k 1,k 2)

25 De Uiverselle Algoritme P P(1) P(2) P(3) P P(1) P(2) P(3) P P(1) P(2) P(3) P P (1) P(2) P(3) P( ) U(x) = P (b), hvor x=<,b> U(x) dekoder x som et pr <,b> og lder lgoritme P virkepåb.

26 Afgørlige mægder f tl E mægde f turlige tl A er rekursivt fgørlig, såfremt der fides e lgoritme P med egeskbe P(x)=1 hvis x tilhører A P(x)=0 hvis x ikke tilhører A E mægde A er rekursivt fgørlig, hvis der fides to lgoritmer P 1 og P 2, hvor P 1 ummererer A, og P 2 ummererer komplemetet til A, dvs. N\A. Der fides mægder, som er ikke rekursivt fgørlige (dvs. rekursivt ufgørlige).