MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN."

Transkript

1 MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014

2 2

3 Indhold 1 Introduktion Rekursioner og differensligninger Eksempler Generelle løsninger Differensligninger af første orden Homogene differensligninger af anden orden Tilfældet m 1 = m Formelle Potensrækker Polynomier Formelle potensrækker Nogle specielle potensrækker Lineære rekursioner med konstante koefficienter Potensrækker og lineære rekursioner Differensligninger af første orden Homogene differensligninger af anden orden Opgaver i differensligninger Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave 9 [Ikke en del af pensum!]

4 4 INDHOLD

5 Kapitel 1 Introduktion 1.1 Rekursioner og differensligninger Hvor mange forfædre har en han bi? For at kunne besvare det spørgsmål, skal man vide at en han bi kun har en mor, mens en hun bi både har en mor og en far. Det betyder, at en han bi har én forælder (nemlig en hun bi) og derfor to bedsteforældre (nemlig en han og en hun bi). Hvis vi nu kigger en generation længere tilbage (tre generationer tilbage) ser vi, at i han biens familietræ, er der tre forfædre (nemlig to hun bier og en han bi). Det kunne være, at de to hun bier faktisk var den samme bi, men den komplikation vil vi se bort fra. Figur 1.1 viser familietræet grafisk. Men hvad skal vi gøre hvis vi vil vide hvor mange forfædre en han bi har når vi går 10 generationer tilbage? Selvfølgelig kan vi udvide Figur 1.1 og finde svaret på den måde (selvom det ikke er så nemt som det lyder). Lad os i stedet prøve, at beskrive problemet mere matematisk. Først, lad os ved f (n) betegne antallet af forfædre vores han bi har når vi går n generationer tilbage. Her kan n være et hvilket som helst naturligt tal. Vi har set at f (1) = 1 (en han bi har kun en forælder), f (2) = 2 (en han bi har to bedsteforældre) og f (3) = 3. Vi definerer også f (0) = 1. Det giver F M F M F F M Figur 1.1: Familietræ af en han bi 5

6 6 KAPITEL 1. INTRODUKTION faktisk mening at definere f (0) på den måde, for vi når vi kigger på Figur 1.1 kan vi se, at f (3) tæller antallet af bier i den øverste række af figuren, f (2) tæller antallet af bier i den anden række og f (1) antallet af bier i den tredje række. Det giver derfor mening at sige at f (0) tæller antallet af bier i den fjerde række, altså den nederste. Spørgsmålet er nu hvordan vi kan beregne f (10). Lad os med f F (n) betegne antallet af hun bier blandt alle forfædre når vi går n generationer tilbage, og tilsvarende f M (n) antallet af han bier blandt alle forfædre som levede for n generationer siden. Vi ved nu følgende, f (n) = f M (n) + f F (n), (1.1) fordi en bi enten er hankøn eller hunkøn. Formlen gælder for et hvilket som helst naturligt tal n. For at få mere indsigt i problemet er pointen følgende: hver bi (uanset køn) har præcist en mor, mens kun hun bier også har en far. Men det betyder, at f F (n) = f (n 1) og f M (n) = f F (n 1). (1.2) Med sådanne formler skal man passe lidt på. De gælder kun hvis n 1, fordi der for n = 0 vil stå f F (0) = f ( 1) og f M (0) = f F ( 1). Men vi har slet ikke defineret f ( 1) eller f F ( 1). Med den advarsel i baghovedet, indsætter vi nu ligning (1.1) i (1.2). Så fås f (n) = f (n 1) + f F (n 1). For at simplificere denne ligning kan vi bruge ligningen f F (n) = f (n 1) igen, men nu for n erstattet med n 1. Dvs. vi kan bruge, at f F (n 1) = f ((n 1) 1) = f (n 2). Nu skal vi passe endnu mere på hvilke værdier n kan tages. Vi bliver nødt til at antage at n 2. Vi har nu fået følgende: f (n) = f (n 1) + f (n 2), hvis n 2. (1.3) Fordi vi også ved, at f (0) = 1 og f (1) = 1 kan vi ved hjælp af den ligning hurtigt beregne f (n) for andre værdier af n. Vi har for eksempel f (2) = f (1) + f (0) = = 2 og f (3) = f (2) + f (1) = = 3 (hvilket vi i øvrigt allerede vidste). Hvis vi fortsætter fås: f (0) = 1 f (1) = 1 f (2) = 2 f (3) = 3 f (4) = f (3) + f (2) = 5 f (5) = f (4) + f (3) = 8 f (6) = f (5) + f (4) = 13 f (7) = f (6) + f (5) = 21 f (8) = f (7) + f (6) = 34 f (9) = f (8) + f (7) = 55 f (10) = f (9) + f (8) = 89 Vi har fundet at f (10) = 89 og løst problemet! Funktionen f (n) kan altså beregnes for alle værdier n N vha. ligning (1.3) og informationen at f (0) = 1, f (1) = 1. Vi kan nu tage et skridt tilbage og sige at funktionen f (n) (hvor n N ) kan defineres på følgende måde: 1 hvis n = 0, f (n) := 1 hvis n = 1, f (n 1) + f (n 2) hvis n 2,

7 1.2. EKSEMPLER 7 De første to rækker siger ikke andet end at f (0) = 1 og f (1) = 1, mens den tredje række gengiver ligning (1.3). Sådan en definition, hvor en funktion f defineres vha. sig selv, kaldes for en rekursiv definition eller en differensligning, og de to begreber bruges synonymt. Differensligninger optræder i mange forskellige sammenhæng og vi skal i denne note kigge på en række eksempler samt komme med nogle formelle metoder til at løse disse ligninger. I næste afsnit kigger vi på fire forskellige eksempler som vi skal arbejde videre med igennem noten. 1.2 Eksempler Det første eksempel handler om at låne penge i banken. Eksempel 1.1 (Penge, Penge, Penge). Vi forestiller os i dette eksempel at vi har optaget et lån som er fuldstændigt beskrevet ved én gæld x, én fast rente r og en aftalt afbetalingrate A ved hver termin a. Gælden x er en funktion af den diskrete variabel n som angiver terminen. Systemet får den følgende form x(n + 1) = x(n) + rx(n) A, (1.4) = (1 + r)x(n) A, (1.5) hvor A 0 og r 0. Vi ser at Ligning (1.4) eller (1.5) er lineær og inhomogen, med inhomogenitet A. Lad os forklare dynamikken ud fra Ligning (1.4). Det første led udtrykker gældens størrelse fra den n te termin, hertil lægges en rente på det beløb man har tilbage af lånet fra den n te termin og til sidst fratrækkes den aftalte afbetalingsrate. Hvis vi et øjeblik sætter afbetaling pr. termin til A = 0 så ses det at gælden x vil vokse for ethvert r > 0, hvis vi betaler renten altså rx(n) = na vil gælden blive på det aktuelle niveau x(n) og hvis vi betaler mere end renten kommer vi af med vores gæld i et endeligt antal terminer. Et eksempel kunne være at man optager et lån på kr., altså x(0) = 5000 kr., en rente pr. termin givet ved r = 0.1 og en afbetalingsrate A på 750 kr. x(1) = ( )x(0) A = ( ) = 4750, x(2) = ( )x(1) A = ( ) = 4475,. x(11) = ( )x(10) A = ( ) = Hvordan bestemmer vi hvad afbetalingsraten skal være for at lånet er betalt efter 5 terminer? Hvordan bestemmer vi gælden efter n terminer? Dette vender vi tilbage til senere!

8 8 KAPITEL 1. INTRODUKTION a Beskrivelsen for et mere kompliceret netværk af konti, lån o.lign. kræver lidt mere omtanke og mere generelle resultater end vi skal drøfte i denne note. Det næste eksempel blev beskrevet i år 1202 af Leonardo Fibonacci, og er et klassisk eksempel på en rekursivt defineret talfølge. Eksempel 1.2 (Fibonacci-tallene og kaninavlerens problem). I dette eksempel skal vi se nærmere på kaninavl under visse antagelser. Vi forestiller os at vi er kaninavleren og at vi begynder med ét kaninpar, altså en hun og en han. Antagelserne er følgende alle kaninpar kan reproducere fra de er én måned gamle alle kaninpar producerer altid én hun og én han alle voksne kaninpar reproducerer én gang hver måned ingen kaniner dør indenfor den periode vi betragter! Vores første kaninpar er for unge til at reproducere den første måned og derfor har vi stadig kun et kaninpar i anden måned. I tredje måned har vi to par (et par voksne og et par børn), fordi det første kaninpar er blevet gamle nok til at reproducere sig selv. Og dette forsætter i det uendelige. Betragt tabellen nedenfor og Figur 1.2 som illustrerer de første par måneder # Month # kaninpar Ved inspektion af udviklingen kan man opdage et mønster i talrækken; = 2 og 1+2 = 3 og 2+3 = 5 og 3+5 = 8 og dette mønster kan vi skrive ned som en differensligning eller F(n) = F(n 1) + F(n 2), for n 2, (1.6) F n = F n 1 + F n 2, for n 2. (1.7) Ligningerne siger altså at antallet af kaninpar i den n te måned er lig med summen af de to foregående måneder. Denne differensligning er af anden orden og homogen, og vi skal se nærmere på hvordan vi kan analysere den slags ligning i det efterfølgende kapitel. I fysikkens verden optræder differensligninger ofte, og i det næste eksempel skal vi se på henfaldet af radioaktive kerner.

9 1.2. EKSEMPLER 9 Ung til voksen Voksen til voksen Nyt par Ungt par Voksent par Figur 1.2: En illustration af kaninavl efter Fibonaccis model. Bemærk de tre forskellige pile som symboliserer hver deres hændelse, og de skalerede kaninpar som indikerer alderen - og altsa om parret kan avle eller ej.

10 10 KAPITEL 1. INTRODUKTION Eksempel 1.3 (Radioaktivt henfald). Radium isotopen 226 Ra henfalder med cirka 1% for hvert 25. år. Det betyder, at antallet af radioaktive kerner ved begyndelsen af hver 25 års periode vil være på 99% af antallet fra den forrige periode. Vi vælger nu at lade n betegne tiden målt i perioder på 25 år; altså svarer n = 3 til 75 år. Hvis vi betegner antallet af radioaktive kerner efter n 25 års perioder med x n, kan vi skrive antallet af kerner til tiden n + 1 som x n+1 = x n 0.01x n = 0.99x n, (1.8) for n = 1,2,... Dette er et eksempel på en differensligning, og vi kan bruge den til for eksempel at beregne antallet af radioaktive kerner efter fire 25 års perioder, altså når n = 4, hvis vi oprindeligt har x 0 = kerner: x 1 = 0.99x 0 = = 9900 x 2 = 0.99x 1 = = 9801 x 3 = 0.99x 2 = = 9703 x 4 = 0.99x 3 = = 9604 Altså vil der være omkring 9604 radioaktive kerner tilbage efter 100 år. Vi kan også bruge ligning (1.8) til at finde en sammenhæng mellem x 4 og x 0 : x 4 = 0.99x 3 = x 2 = x 1 = x 0 = (0.99) 4 x 0. Umiddelbart ser det ud til, at vi kan beregne værdien af x 4 ved blot at kende x 0, og altså uden direkte at involvere x 1, x 2 eller x 3. Vi skal senere i noten se på hvordan vi netop bestemmer et udtryk for x n ud fra rekursionen i ligning (1.8) samt begyndelsesbetingelsen x 0. Dette var et eksempel på en såkaldt første ordens homogen differensligning. Det sidste eksempel vi har valgt at tage med er også fra fysikkens verden, men denne gang handler det om kølingen af en kop kaffe. Eksempel 1.4 (Kaffekøling). Vi skal regne på temperaturen af en kop kaffe. Lad os derfor forestille os, at vi har brygget en kop dejlig mocca. Dens temperatur er i starten 82 C, altså har vi T 0 = 82 C. Vores opgave er, at bestemme temperaturen af kaffen efter 5 minutter, dog

11 1.2. EKSEMPLER 11 med den hjælp, at vi kan måle kaffens temperatur efter 1 minut. Vi kan altså måle T 1 og skal bestemme T 5. For at bestemme T 5 gør vi brug af Newton s kølingslov. Temperaturændringen i kaffen fra tiden n til tiden n + 1 er proportional med temperaturforskellen mellem kaffen og dens omgivelser. Dette udtrykker vi på følgende måde: T n+1 T n = k (T n S). (1.9) Her er k en proportionalitetskonstant der afhænger af materialet (kaffen) og potentielt også af det valgte tidsskridt. Omgivelsernes temperatur er S. Vi ser altså, at hvis forskellen mellem kaffens temperatur og omgivelserne er meget høj, vil temperaturændringen i kaffen tilsvarende være meget stor. Vi forestiller os nu, at der er gået 1 minut efter vi hældte kaffen op i vores kop og vi måler dens temperatur til at være T 1 = 79 C. Vi kan også bruge vores termometer til at måle omgivelsernes temperatur, som vi måler til S = 21 C. Ud fra vores differensligning (1.9) får vi nu, T 1 T 0 = k (T 0 S) k = T 1 T 0 T 0 S = 79 C 82 C 82 C 21 C = Når vi nu kender værdien af konstanten k, kan vi regne os frem til temperaturen af vores kaffe til tiden n = 4 minutter. Først omarrangerer vi ligning (1.9) så vi får T n+1 = k (T n S) + T n, hvorefter denne benyttes til at udregne følgende: T 2 = k (T 1 S) + T 1 = 0.05(79 C 21 C) + 79 C T 3 = k (T 2 S) + T 2 = 0.05(76.1 C 21 C) C T 4 = k (T 3 S) + T 3 = 0.05(73.3 C 21 C) C = 76.1 C = 73.3 C = 70.7 C T 5 = k (T 4 S) + T 4 = 0.05(70.7 C 21 C) C = 68.2 C. På nuværende tidspunkt, n = 5 minutter, burde kaffen være til at drikke, da dens temperatur, T 5, er 68.2 C. Dette var et eksempel på en såkaldt første ordens inhomogen differensligning.

12 12 KAPITEL 1. INTRODUKTION

13 Kapitel 2 Generelle løsninger I dette kapitel udvider vi vores analyse af de fire eksempler ved at opstille nogle redskaber til at løse de differensligninger der optræder. Vi motiverer først ved at betragte et af eksemplerne igen. Eksempel 2.1 (Penge, Penge, Penge forsat). I Eksempel 1.1 så vi på den matematiske formulering af afvikling af lån (amortifisering) ved konstant rate og rente. Vi afsluttede eksemplet med nogle åbne spørgsmål størrelsen af afbetalingsraten for at være gældfri efter et bestemt antal terminer, og desuden problemet i at kende et eksplicit udtryk for gælden som funktion af terminen altså x(n). Det svarer vi på nu! Betragt systemet x(n + 1) = (1 + r)x(n) A for løbende værdier af n: x(1) = (1 + r)x(0) A, x(2) = (1 + r)x(1) A,. x(n + 1) = (1 + r)x(n) A. Vi vil gerne opnå et udtryk hvor vi direkte kan bestemme x(n +1) uden at skulle iterere n +1 gange. Derfor x(1) = (1 + r)x(0) A, x(2) = (1 + r)((1 + r)x(0) A) A = (1 + r) 2 x(0) (1 + r)a A, x(3) = (1 + r) [ (1 + r) 2 x(0) (1 + r)a A ] A = (1 + r) 3 x(0) (1 + r) 2 A (1 + r)a A,. x(n + 1) = (1 + r) n+1 x(0) [ (1 + r) n + (1 + r) n (1 + r) 2 + (1 + r) + 1) ] A, = (1 + r) n+1 x(0) + 1 (1 + r)n+1 A. r 13

14 14 KAPITEL 2. GENERELLE LØSNINGER Hvor vi ved sidste lighedstegn benyttede en smart omskrivning af summen i den firkantede parantes, som er en geometrisk række. Nu kender vi altså et udtryk for gælden, bestemt ved n, r, A og begyndelsesbetingelsen x(0). Hvis vi vil have betalt lånet tilbage efter n + 1 terminer, hvad skal afbetalingsraten A så være? Det finder vi let ud af ved at isolere A og sætte x(n + 1) = 0, altså x(n + 1) = 0 = (1 + r) n+1 1 (1 + r)n+1 x(0) + A, r r A = 1 (1 + r) n+1 (1 + r)n+1 x(0). (2.1) I det foregående eksempel brugte vi r = 0.1, x(0) = 5000 og A = 750 men hvad skal A være hvis vi vil have lånet fuldstændig afviklet ved den 5 te termin? Det kan vi svare på ved brug af Ligning (2.1) med n = 4, 0.1 A = 1 ( ) 5 ( ) = Afbetalingsraten skal altså være på omkring 1319 kr. Vi har i dette eksempel udledt løsningsmetoden til første-ordens inhomogene differensligninger af formen hvor a og b er konstanter. x(n + 1) = ax(n) + b, 2.1 Differensligninger af første orden En differensligning af første orden kan skrives som x n+1 = ax n + b, (2.2) for n = 0,1,2,... og hvor a og b er konstanter. Vi finder et udtryk for x n ved at anvende ligning (2.2) tilstrækkelig 1 mange gange, Hvis a = 1 ser vi, at x n = ax n 1 + b = a(ax n 2 + b) + b = a 2 (ax n 3 + b) + b(a + 1). = a n x 0 + b(a n 1 + a n a 2 + a + 1). (2.3) x n = x 0 + nb. (2.4) 1 Rent formelt skal man vise denne relation ved induktion.

15 2.2. HOMOGENE DIFFERENSLIGNINGER AF ANDEN ORDEN 15 Det andet led i ligning (2.3) ser vanskeligt ud, men heldigvis kan vi anvende, at for a 1 gælder Derfor bliver den fuldstændige løsning altså a n 1 + a n a 2 + a + 1 = 1 an 1 a. x n = a n x 0 + b 1 an 1 a, a 1 (2.5) x n = x 0 + nb, a = 1 (2.6) Eksempel 2.2 (Radioaktivt henfald fortsat). Vi kiggede i eksempel 1.3 på differensligningen der beskrev radioaktivt henfald, x n+1 = 0.99x n. (2.7) Vi fandt dog ikke nogen løsning til problemet, men betragtede blot nogle enkelte iterationer af ligningen; på nuværende tidspunkt kan vi dog rimelig enkelt finde et udtryk for x n, ved at anvende ligning (2.5). Vi har, at a = 0.99 og b = 0, så vores løsning bliver x n = (0.99) n x 0. Vores startbetingelse var x 0 = kerner, og den endelige løsning er altså x n = (0.99) n I figur 2.1 har vi plottet antallet af kerner som funktion af tiden, hvor tiden stadig er målt i 25 års intervaller. Det ses tydeligt hvorledes antallet af radioaktive kerner falder og nærmer sig nul. 2.2 Homogene differensligninger af anden orden Vi betragter differensligningen x n = px n 1 + qx n 2, (2.8) hvor p, q er konstanter og n 2. Denne ligning er en anden ordens homogen differensligning. Hvis vi fx sætter p = q = 1 får vi Fibonacci sekvensen som vi tidligere har nævnt. Vi skal nu forsøge at finde en løsning til ligning (2.8). Som et gæt prøver vi med x n = Am n, hvor m og A er konstanter. Vi kan nu substituere x n = Am n, x n 1 = Am n 1 og x n 2 = Am n 2 ind i ligning (2.8), hvilket giver os Am n = pam n 1 + qam n 2 Am n 2 ( m 2 pm q ) = 0. (2.9)

16 16 KAPITEL 2. GENERELLE LØSNINGER Antal radioaktive kerner Tid [25 års perioder] Figur 2.1: Antal kerner som funktion af tiden, hvor hvert tidsskridt svarer til 25 år. Vi ser bort fra den trivielle løsning x n = 0. Hvis m 0 og A 0 er m 2 pm q = 0. Denne ligning kaldes auxiliary ligningen for ligning (2.8), og dens løsninger er m 1 = p + p 2 + 4q og m 2 = p p 2 + 4q. (2.10) 2 2 Her kan m 1 og m 2 være reelle eller komplekse tal. Vi ved nu, at x n = Am n 1 og x n = Bm n 2 er partikulære løsninger til ligning (2.8). Her er A og B konstanter. Ligesom det er tilfældet for differentialligninger med to forskellige egenværdier, er den fuldstændige løsning en linear kombination af disse to partikulære løsninger, x n = Cm n 1 + Dmn 2, m 1 m 2, (2.11) hvor C og D er konstanter der fastlægges ud fra begyndelsesbetingelserne Tilfældet m 1 = m 2 Hvis m 1 = m 2 får vi følgende løsning ud fra ligning (2.11) x n = Cm n 1 + Dmn 2 = (C + D)m n 1 = Em n 1, (2.12) hvor E = C + D er en konstant der skal bestemmes af begyndelsesbetingelserne. Det viser sig dog, at der eksisterer endnu en løsning i tilfældet hvor m 1 = m 2, nemlig x n = Fnm n 1, (2.13) hvor F er en konstant. Dette kan indses ved at indsætte ligning (2.13) i ligning (2.8). Den fuldstændige løsning er altså en linear kombination af ligning (2.12) og (2.13),

17 2.2. HOMOGENE DIFFERENSLIGNINGER AF ANDEN ORDEN 17 x n = Em n 1 + Fnmn 1, (2.14) hvor E og F er konstanter der bestemmes af begyndelsesbetingelserne. Eksempel 2.3 (Fibonacci tallene og kaninavlerens problem, forsat). I Eksempel 1.2 fandt vi en anden ordens homogen differensligning for kaninavl, og den så således ud F(n) = F(n 1) + F(n 2), for n 2. Som tidligere nævnt er dette blot den generelle homogene anden-ordens differensligning med p = q = 1. For at finde løsningen udregner vi rødderne i Ligning (2.10) og indsætter dem i løsningsformlen (2.11) ( 1 + ) n 5 1 F(n) = C + D( ) n Konstanterne C og D bestemmer vi ved at benytte vores begyndelsesbetingelser, altså F(0) = 1 og F(1) = 1 som var starten på hele kaninavlerproblemet. Ved anvendelse af disse bliver løsningen ( F(n) = ) n ( ) n 5. 2 Det er interessant at bemærke at løsningsformlen indeholder den irrationelle størrelse 5 selvom vi bare lægger en masse heltal sammen.

18 18 KAPITEL 2. GENERELLE LØSNINGER

19 Kapitel 3 Formelle Potensrækker I dette kapitel skal vi mestendels introducere lidt ekstra notation samt konceptet af formelle potensrækker. Dette er et kapitel for sig fordi det er et essentielt værktøj i analysen af differensligninger og fordi det kræver introduktion af lidt ekstra notation og regneregler. 3.1 Polynomier Lad os først definere hvad et polynomium er: Definition 3.1. Et polynomium p(x) i en variabel x er et udtryk på formen p(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d, hvor d er et naturligt tal. Symbolerne a 0,a 1,a 2,...,a d betegner reelle tal, og de kaldes koefficienterne i p(x). Det største j, for hvilket a j 0, kaldes graden af p(x) og benævnes deg(p(x)); graden af polynomiet p(x) = 0 er ikke defineret. Når vi vil skrive et polynomium er det nok at kende en liste over koefficienterne {a 0,a 1,a 2,...}. F.eks. ville {a 0,a 1,a 2,a 3,a 4 } = {3,5,0,1,21} svare til et polynomium p(x) = 3 + 5x + 0x 2 + x x 4. Alternativt kan man også skrive et polynomium vha. sumtegnet Σ på følgende måde: p(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d = d a n x n, sumtegnet forkorter altså udtrykket og har desuden den fordel at vi kan summere uendeligt mange led når det bliver nødvendigt. I dette afsnit samler vi op på nogle egenskaber af polynomier. To polynomier kan lægges sammen: Hvis p 1 (x) = a 0 + a 1 x + +a d x d og p 2 (x) = b 0 + b 1 x + + b d x d, så er deres sum givet ved p 1 (x) + p 2 (x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + + (a d + b d )x d. (3.1) 19

20 20 KAPITEL 3. FORMELLE POTENSRÆKKER Umiddelbart ser det ud som om vi i definitionen antager at deg(p 1 (x)) = deg(p 2 (x)), men vi har ikke antaget at a d 0 eller b d 0. Ved at tilføje nogle passende potenser af x med koefficient nul, kan vi altid bruge ligning ((3.1)) til at lægge to polynomier sammen. For eksempel er (5 + 7x) + (1 + 2x + 3x 2 ) = (5 + 7x + 0x 2 ) + (1 + 2x + 3x 2 ) = 6 + 9x + 3x 2. Med sumtegnsnotation kan vi skrive summen af de to polynomier på følgende måde, p 1 (x) + p 2 (x) = = d d a n x n + d To polynomier kan også ganges sammen. Vi har for eksempel b n x n, (3.2) (a n + b n )x n. (3.3) (5 + 7x) (1 + 2x + 3x 2 ) = 5 (1 + 2x + 3x 2 ) + 7x (1 + 2x + 3x 2 ) = 5 + (10 + 7)x + ( )x x 3 = x + 29x x 3. For generelle polynomier p 1 (x) = a 0 + a 1 x + + a d x d og p 2 (x) = b 0 + b 1 x + + b d x d fås at p 1 (x) p 2 (x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x a d b d x 2d. (3.4) Denne formel kan også skrives kompakt ved brug af sumtegnet, p 1 (x) p 2 (x) = = ( d a n x n ) ( d b n x n ) d n a j b n j )x ( n. j=0 Desuden kan man også trække en konstant c udenfor sumtegnet, d ca n x n = c d a n x n. Det kan blive relevant at manipulere en lille smule med sumtegnsudtrykkene, f.eks. kan vi være i en situation hvor vi skal lægge to summer sammen som har forskellig indeksering. I sådanne,

21 3.2. FORMELLE POTENSRÆKKER 21 tilfælde kan vi ikke bare lægge summerne sammen som i Ligning (3.3): p 1 (x) + p 2 (x) = d d a n x n d+3 + n=3 (a n + b n )x n. b n x n, Vi kan dog tilpasse udtrykkene ved at skifte indekseringsvariablen n. For eksempel kan vi lade m = n 3 og redefinere koefficienten b n til b m = b n 3 = b n, således at b 0 = b 3, b 1 = b 4 osv.. På den måde kan vi skrive d+3 b n x n = n=3 d b m x m+3 = m=0 d ( b m x 3 )x m. (3.5) m=0 Indekseringsvariablerne n og m betyder intet udenfor sumtegnene og vi kan derfor substituere dem præcis som vi har lyst, eksempelvis betyder det ikke noget hvis vi sætter m = n efter vi har manipuleret udtrykkende som ovenfor i Ligning (3.5). Det betyder at summen p 1 (x) + p 2 (x) nu foretages uproblematisk, p 1 (x) + p 2 (x) = = = d d d a n x n d+3 + a n x n + n=3 d b n x n, (a n + b n x 3 )x n. b m x 3 x m, I det følgende skal vi se på summer med uendeligt mange led, vi kalder disse for uendelige rækker og den specifikke type som vi skal se nærmere på i formel forstand er potensrækken. 3.2 Formelle potensrækker Formelle potensrækker (også kaldt frembringende funktioner) er en generalisering af de polynomier som vi lige har set på. Ligesom et polynomium er potensrækken også fastlagt ved en liste (a 0,a 1,a 2,...) men nu er listen uendelig lang fordi den består af uendelig mange reelle tal. Alle polynomier kan skrives som potensrækken, men i det tilfælde kræver vi at listen af koefficienter kun må indeholde endelig mange tal forskellige fra nul. Uformelt kan vi derfor betragte formelle potensrækker som polynomier af muligvis uendelig grad. Mere præcist betragter vi følgende definition:

22 22 KAPITEL 3. FORMELLE POTENSRÆKKER Definition 3.2. For en uendelig følge af reelle tal a 0,a 1,a 2,... defineres den tilhørende formelle potensrække eller frembrengende funktion f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +, eller ved hjælp af sumtegnet: f (x) = a n x n. Notation f (x) antyder at vi kunne beregne værdier af en funktion f, hvis vi ville. Det vil dog på nuværende tidspunkt ikke give mening at indsætte et tal på x s plads. Ordet formel i definitionen er en advarsel for det. Det viser sig, men det er ikke en del af kursets pensum, at det alligevel kan give mening at indsætte visse tal på x s plads. I den følgende analyse vil disse formelle potensrækker blot være et værktøj, som vi vil bruge i det næste kapitel. På trods af at en formel potensrække ikke er en funktion af variablen x, viser det at man godt kan udføre beregninger med dem. Formelle potensrækker kan nemlig, ligesom polynomier, ganges og lægges sammen på samme måde som polynomierne: Udtrækning af konstanter: Addition af potensrækker: Multiplikation af potensrækker: ( a n x n ) ca n x n = c a n x n + a n x n, hvor c R. (3.6) b n x n = ( b n x n ) = (a n + b n )x n. (3.7) n a j b n j )x ( n. (3.8) j=0 Indeks-skift: a n x n+k = a n k x n (3.9) n=n 0 n=n 0 +k Lad os afprøve et eksempel hvor vi skal manipulere lidt med indekset:

23 3.2. FORMELLE POTENSRÆKKER 23 Eksempel 3.1. Saml de to potensrækker ca n x n + n=3 ca n x n 3. (3.10) Vi laver et skifte i indekset ved brug af reglen for indeks-skift. Ved at sammenligne den anden potensrække i summen med Ligning (3.9) kan vi se at n 0 = 3 og n+k = n 3 k = 3. Det betyder at Ligning (3.9) giver os identiteten ca n x n 3 = ca n+3 x n, n=3 som dernæst substitueres i Ligning (3.10) således at ca n x n + ca n+3 x n = c (a n + a n+3 )x n. Til sidst benyttede reglen for addition af potensrækker, Ligning 3.7, samt reglen for udtrækning af konstanter, Ligning (3.6). Bemærk at ændringer af indeksvariablen ikke ændrer den øvre grænse når den er uendelig, det er fordi uendelig stadig er uendeligt uanset hvilket endeligt tal vi trækker fra eller lægger til! Det følgende eksempel vedrører multiplikation af potensrækker Eksempel 3.2. Multiplikation af potensrækker via Ligning (3.8). Bestem ( ) ) ) a n x n 1 a j n! xn = x n = (n j)! ( ( n j=0 c n x n, hvor c n = n j=0 a j (n j)!.

24 24 KAPITEL 3. FORMELLE POTENSRÆKKER Formelt set, kender vi altså alle koefficienterne til den uendelige række, de første par stykker er f.eks. givet ved c 0 = c 1 = c 2 = c 3 = 0 j=0 1 j=0 2 j=0 3 j=0 a j (0 j)! = a0 (0 0)! = 1, a j (1 j)! = a0 (1 0)! + a1 (1 1)! = 1 + a, a j (2 j)! = a + a2, a j (3 j)! = a 2 + a2 + a 3. Man kan i nogle tilfælde bestemme et funktionsudtryk for koefficienterne c n. Vi afslutter dette afsnit med et interessant eksempel som er vigtigt for den resterende del af noten. Eksempel 3.3. Lad f (x) = xn og g(x) = 1 x, så er f (x)g(x) = 1 + (1 1)x + (1 1)x 2 + = 1. Det betyder at vi kan opfatte potensrækken f (x) som 1/(1 x). Hermed menes ikke at f (x) er lige med 1/(1 x) som funktion, fordi vi som sagt før, ikke kan indsætte tal på x s plads. Den formelle potensrækker har dog noget til fælles med 1/(1 x), nemlig at både f (x)(1 x) = 1 og (1/(1 x))(1 x) = 1. Så længe vi er klar over at hvis vi taler om formelle potensrækker, så er notationen 1/(1 x) en kompakt skrivemåde for den formelle potensrække xn, og i så fald kan vi godt bruge brøknotationen 1/(1 x). 3.3 Nogle specielle potensrækker Vi har allerede set at vi kan skrive 1 1 x = x n, så længe vi ikke forsøger at indsatte tal på x s plads, men blot opfatter 1/(1 x) af en kompakt notation for den potensrække som ganget med 1 x giver 1. Vi vil i dette afsnit give nogle flere eksempler på det fænomen.

25 3.3. NOGLE SPECIELLE POTENSRÆKKER 25 Eksempel 3.4. Definer rekursivt en talfølge a 0,a 1,... ved 1 hvis n = 0 a n := a a n 1 hvis n 1 Det ses at a 0 = 1, a 1 = a, a 2 = a 2 og ved hjælp af induktion kan det vises at a n = a n. Betragt nu den formelle potensrække A(x) = a n x n. Vi vil bruge den rekursive definition af følgen a 0,a 1,... til at udlede formlen Fordi a 0 = 1 og a n = a a n 1 for n 1, kan vi skrive 1 1 ax = a n x n (3.11) A(x) = 1 + n=1 a nx n = 1 + n=1 a a n 1x n = 1 + ax n=1 a n 1x n 1 = 1 + ax m=0 a mx m = 1 + ax A(x) Herfra fås ved at isolere A(x) at A(x) = 1/(1 ax), som er hvad vi ville vise i ligning (3.11). Vi kunne også have vist ligning (3.11) ved at gange A(x) på 1 ax og vise at A(x) (1 ax) = 1 vha. ligning (3.8). Pointen med fremgangsmåde i det eksempel er at knytte rekursivt definerede talfølger til formelle potensrækker. Ligning (3.11) kaldes den geometriske række.

26 26 KAPITEL 3. FORMELLE POTENSRÆKKER Eksempel 3.5. Vi vil også gerne udlede en måde at skrive 1/(1 ax) 2 som en formel potensrække. Vi har at ( ) ( ) 2 (1 ax) 2 = = a n x n. 1 ax Ved brug af ligning (3.8), fås derfor at koefficienten til x n i ( an x n ) 2 er lig med n a j a n j n = a n = (n + 1)a n. j=0 j=0 Åbenbart gælder 1 (1 ax) 2 = (n + 1)a n x n. (3.12)

27 Kapitel 4 Lineære rekursioner med konstante koefficienter Vi skal i dette kapitel anvende vores viden om formelle potensrækker fra forrige kapitel til at finde løsningsformler for første og anden ordens differensligninger. Vi har dog allerede nået frem til et udtryk for disse rekursioner, ligning (2.6) og (2.11), men vi vil lave en mere formel udledning i de næste afsnit. 4.1 Potensrækker og lineære rekursioner. Vi starter med følgende definition. Definition 4.1. Lad e være et naturligt tal, c 1,c 2,...,c e R reelle tal og f : N R en funktion. Antag at en talfølge a 0,a 1,a 2,... kan defineres rekursivt som a 0 hvis n = 0, a n := a 1 hvis n = 1,.. a e 1 hvis n = e 1, c 1 a n 1 + c 2 a n c e a n e + f (n) hvis n e. (4.1) Man siger, at talfølgen a 0,a 1,a 2,... opfylder en lineær rekursion med konstante koefficienter. Hvis funktionen f (n) = 0 for alle naturlige tal, er lineære rekursion homogen, ellers er den inhomogen. Tallet e kaldes for rekursionens grad. 27

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale.

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Opgave 1 1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Liniens ligning for strømper: p = am + b To tal på linien: Nuværende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere