Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat."

Transkript

1 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Kaptel 14 IVERS MODELLERIG Torben Obel Sonnenborg Geologsk Insttut, Københavns Unverstet Anker Laer Høberg Hydrologsk Afdelng, GEUS øglebegreber: Obektvfunkton, vægtnng af resdualer, optmerngsalgortmer, parameteruskkerhed og korrelaton, vurderng af kalbrerngsresultat. ABSTRACT: Invers modellerng, ofte også benævnt automatsk parameterestmaton eller nvers modellerng, nvolverer flere krtske valg og kan ved uhensgtsmæssg brug resultere dårlge resultater. Opstllng af obektv funktonen, der er den størrelse, som den nverse model vl forsøge at mnmere ved at ustere parameterværderne, er et af de krtske skrdt automatsk parameterestmaton. Det skal specfceres, hvordan observatoner af samme type og observatoner af forskellge type skal vægtes ndbyrdes og forhold tl hnanden. Optmerngsalgortmen, der skal mnmere den defnerede obektv funkton, er et andet vgtgt valg parameterestmatonen. I dette kaptel præsenteres en global metode og en lokal metode, hvor vægten lægges på sdstnævnte. Problemer med lokale mnma og manglende entydghed beskrves, og der angves retnngslner for, hvordan problemerne kan mnmeres. Desuden beskrves problemer med estmaton af urealstske parameterværder. Et eksempel llustrerer, hvordan valg af observatonsdata, vægtnng af dsse data, og parametrserng påvrker resultaterne fra den nverse optmerng. Endelg gves nogle retnngslner for, hvlke spørgsmål der bør stlles, når resultaterne fra den nverse model skal evalueres IDLEDIG Poeter & Hll (1997 opfordrede artklen Inverse models: A necessary next step n ground-water modelng tl øget brug af automatsk parameteroptmerng forbndelse med grundvandsmodellerng. Som argumenter for at bruge nvers modellerng anfører Poeter & Hll, at metoden har evnen tl at (1 automatsk at fnde de parametre, der gver den bedste overensstemmelse mellem observeret og smuleret hydraulsk tryknveau og vandflukse, ( kvantfcere kvalteten af kalbrerngen, (3 dentfcere mangler og behov mht. observatonsdata, (4 beregne konfdensntervaller på de estmerede parametre, (5 dentfcere parameterkorrelaton og senstvtet af parametre, og (6 tlveebrnge et obektvt grundlag for sammenlgnng af forskellge konceptuelle modeller. Sden Poeter & Hlls artkel udkom, er automatske optmerngsalgortmer blevet ndbygget de fleste modelsystemer på markedet (f.eks. Groundwater Vstas, GMS, MIKE SHE, hvlket gør det relatvt let at foretage nvers optmerng. Sdeløbende hermed stlles der større og større grad krav om anvendelse af automatske kalbrerngsmetoder fra vandressourceforvalternes sde. Dette har gort, at nverse metoder dag anvendes ekstensvt f.eks. forbndelse med modellerng af ndsatsområder. Det er mdlertd kke altd, at de nverse metoder anvendes lge hensgtsmæssgt, og oftest udnyttes kun en llle del af den nformaton, en nvers model potentelt kan gve brugeren. Det er f.eks. sældent, at nformatonen de seks punkter anført ovenfor blver udnyttet samtdgt de opgaver der udføres Danmark. 14-1

2 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Fgur 14 Ramme for automatsk kalbrerng, hvor sammenhængen mellem smulerngsmodellen og optmerngsalgortmen ses (fra Madsen & Jacobsen,. Automatsk (eller nvers parameteroptmerng kan llustreres som vst på fgur Den nverse model består af følgende elementer: 1. en numersk kode (f.eks. MODFLOW. den hydrogeologske tolknngsmodel ( model setup eller konceptuel model ndgående strømnngselementer, randbetngelser, etc. samt påvrknnger ( model forcng nedbørsnput, oppumpnng, vandudlednng, etc. 3. parametrserng og valg af kalbrerngsparametre 4. observatonsdata 5. kalbrerngskrterum (obektv funkton 6. optmerngsalgortme I dette kaptel vl der blve fokuseret på punkterne 5 og 6, det de øvrge punkter er behandlet andre steder håndbogen. Retnngslner for modelkalbrerng vha. nvers modellerng er desuden beskrevet udførlgt Hll (1998, hvor der bl.a. er anført en checklste på 16 punkter, som beskrver god kalbrerngsprakss. I forhold tl sdstnævnte reference vl der her blve fokuseret på nogle af problemerne ved anvendelse af automatsk parameterestmaton. 14. KALIBRERIGSKRITERIUM (OBJEKTIV FUKTIO I automatsk parameterestmaton skal der defneres et enkelt udtryk, som kan mnmeres vha. en matematsk/numersk optmerngsalgortme. Dette udtryk kaldes også for obektv-funktonen, G, som er et mål for afvgelsen mellem en observeret og smuleret varabel fra det modellerede system. ormalt defneres G som en vægtet sum af kvadratet på resdualerne r = obs, sm,, hvor sm, er den smulerede værd af obs,, og er en varabel fra grundvandssystemet n G( b w r ( b er vektoren af kalbrerngsparametre, som forbndelse med grundvandsmodellerng prmært vl være sammensat af hydraulske lednngsevner for forskellge lag og zoner, vandløbskonduktvtet (lækagekoeffcent, drænkonduktvtet (drænkoeffcent, samt eventuelt randbetngelser såsom 14-

3 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS værden af tryknveauet på en rand med fastholdt tryk eller grundvandsdannelsen tl modellen. Endelg er w vægtnngen af det enkelte resdual. Resdualerne kan være baseret på forskellge datatyper, f.eks. hydraulsk tryknveau eller vandløbstlstrømnng, og det er derfor mest hensgtsmæssgt at dfferentere mellem resdualer af samme type og resdualer af forskellge type, da vægtnngen vl være forskellg alt efter om der er tale om vægtnng ndenfor datatype eller mellem datatype. I de to efterfølgende afsnt behandles hhv. vægtnng ndenfor og mellem datatyper Vægtnng ndenfor datatyper I dette afsnt antages, at der kun ndgår én type observaton G, f.eks. data for hydraulsk tryknveau, og det er derfor kun vægtnngen af de enkelte resdualer, w, der skal kvantfceres. Vægtnngen kan foretages på mange forskellge måder. Den ene ekstrem består subektvt at tldele observatoner, hvor man ønsker en nøagtg smulerng, høe vægte, mens observatoner, hvor der kke er behov for en nøagtg reprodukton af de observerede værder, tldeles lave vægte. Som modsætnng tl denne fremgangsmåde kan det forsøges at estmere uskkerheden på de enkelte resdualer (summen af observatonsfel og modellerngsfel, hvlket anbefales stærkt f.eks. Hll (1998 og Hll & Tedeman (. Teoretsk set er det fornuftgt at tldele en llle vægt tl et resdual, hvs der er stor uskkerhed om f.eks. den observerede værd, da det kke er rmelgt at tlstræbe en nøagtg smulerng af en observatonsværd, der er stor uskkerhed på. år der udføres manual kalbrerng, kan den slags overveelser foretages mplct, det hydrogeologen, der udfører kalbrerngen, bevdst eller ubevdst vl bruge mndre energ på at tlpasse modellen områder, hvor f.eks. målngerne af hydraulsk tryknveau er af ældre dato, eller hvor der kke er nformaton tlgængelg om fltersætnng. Med den automatske optmerngsalgortme er det lgeledes mulgt at foretage en lgnende afvenng af uskkerhederne, ved at kvantfcere dsse og gve dem som nput tl modellen form af vægte på de enkelte resdualer. En ofte anvendt metode er at tldele resdualerne en vægt, der er omvendt proportonal med varansen på felen på resdualerne, 1 w (14. Problemet ved at tldele vægte på baggrund af uskkerheder er, at det kan være vanskelgt at kvantfcere hhv. observatonsfel og modelfel. Observatonsfelen består af faktorer som måleuskkerhed, barometereffekt, og kotefel (se kaptel 15, Kalbrerng af strømnngsmodel, og det vl de fleste tlfælde være mulgt at komme med et kvalfceret bud på dsse typer af fel. Modelfelen består af elementer som dskretserngsfel, manglende modellerng af geologsk heterogentet (udtrykt ved den rumlge varaton hydraulsk lednngsevne, samt manglende vden om den arealdstrbuerede grundvandsdannelse. Effekten af geologsk heterogentet på uskkerheden modelleret tryknveau er en af de vgtgste modeluskkerheder og er beskrevet kaptel 11 (Skalaforhold og heterogentet. Denne uskkerhed kan kvantfceres f.eks. vha. udtryk (11.16, hvs der er en tlstrækkelg datamængde tl rådghed om hydraulsk lednngsevne tl at de geostatstske egenskaber for K kan bestemmes. Uskkerheden på grundvandsdannelsen er den størrelse, som det er sværest at håndtere. Dels er det vanskelgt at kvantfcere uskkerheden på grundvandsdannelsen, dels er det vanskelgt at kvantfcere, hvordan uskkerheden på grundvandsdannelsen forplanter sg tl en uskkerhed på hydraulsk tryknveau. Gelhar (1993 behandler emnet, men kommer kke frem tl generelle udtryk for uskkerheden på hydraulsk tryknveau, som det er tlfældet for effekten af heterogentet hydraulsk lednngsevne. Gelhars analyse gver mdlertd en ndkaton af, at grundvandsdannelsen er en vgtg faktor for uskkerheden på hydraulsk tryknveau. Det må forventes, at grundvandsmagasner tæt på ordoverfladen (typsk fre magasner vl være mere påvrket af denne effekt end dyberelggende magasner. Det må lgeledes forventes, at grundvandsdannelsen tl magasner, der er overleret af komplekse geologske formatoner som f.eks. moræneforekomster, og hvor terrænet er stærk kuperet, vl være behæftet med betydelg større uskkerhed end grundvandsdannelsen tl magasner med relatv homogen geolog og fladt terræn. De fleste datasæt for hydraulsk tryknveau vl have en uensformg rumlg fordelng. Typsk fnder der mange målnger områder med store vandndvndngsnteresser, og der kan derfor være en 14-3

4 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS tendens tl, at dsse målnger kommer tl at styre optmerngen høere grad end nformatonsværden målngerne berettger tl. Det skyldes, at når målngerne er klumpet sammen ( clusterng, må det forventes, at de er postvt korrelerede, hvlket betyder, at hvs den ene målng stger vl en nærlggende målng lgeledes stge. Derfor kan det være berettget og hensgtsmæssgt for optmerngen at tldele målnger områder med mange observatoner en mndre vægt end en uafhængg analyse af felene på målngen og modelresultaterne på målelokalteten vl resultere. Da der kke på forhånd er vden om korrelatonen mellem målngerne, må vægtnngen foretages ad hoc, og må eventuelt foretages teratvt det der gennemføres flere nverse optmernger med forskellge vægtnnger. Som den ovenstående gennemgang vser, vl en kvantfcerng af vægtene på baggrund af uskkerheden på resdualerne kke kunne gennemføres uden en vs brug af mere eller mndre subektve overveelser. Allgevel kan det anbefales, at uskkerheden estmeres, da det dels tvnger hydrogeologen tl at tage stllng tl kvalteten af de enkelte observatoner, og da det dels gver en plausbel vægtnng af de enkelte resdualer. Eventuelt kan vægtnng på bass af uskkerheder kombneres med en subektv vægtnng, hvor resdualer belggende områder med stor nteresse vægtes høere end områder med llle fokus. Dette svarer tl, at man accepterer en større modelfel områderne med llle fokus, da hverken grundvandsdannelsen eller varatonen hydraulsk lednngsevne her beskrves detale. Eksempelvs vl man forvente en relatv upræcs reprodukton af det hydraulske tryknveau områder, hvor heterogene grundvandsmagasner beskrves vha. store homogene enheder. Det kan derfor forventes, at den resulterende RMS-værd blver relatvt hø, da effekten af småskalaheterogenteter kke fanges af modellen. Der skal mdlertd stadg stlles krav tl en fornuftg mddelfel (f.eks. ME-værd, da det kan være vgtgt for det tlgrænsende fokusområde, at området fungerer som en fornuftg randbetngelse Vægtnng mellem forskellge datatyper Ofte er det både mulgt og hensgtsmæssgt at kalbrere mod mere end én type observatonsdata. F.eks. kan der ud over tryknveaudata være vandløbsafstrømnng, Q, stofkoncentraton, C, eller daternger af grundvandets alder, T, tl rådghed. Hvs de enkelte resdualer vægtes med uskkerheden på observatonen, vl de vægtede resdualer være dmensonsløse, og det vl derfor være uproblematsk at beregne summen af de kvadrerede resdualer og mnmere denne størrelse. ormalt vl der mdlertd være flere målnger tl stede af den ene type observaton end den anden, og der vl derfor være en måske utlsgtet tendens tl, at den type data, som der er flest observatoner af, vl domnere optmerngen. Problemet kan llustreres vha. fgur 14., hvor G 1 og G kan være obektvfunktoner for hhv. tryknveau og vandløbsafstrømnng G B C Fgur 14. Illustraton af Pareto-fronten et tlfælde med to obektvfunktoner G1 og G. Punktet A angver en optmerng, hvor kun type observatoner er anvendt, B angver et tlfælde hvor kun type 1 observatoner er anvendt, men C angver et balanceret optmum baseret på begge typer nformatoner. G 1 A 14-4

5 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS G G 1 n 1 m 1 w ( h w ( Q obs, obs, h sm, Q sm, (14.3 Kurven på fgur 14. angver mnmum af funktonen G v (14.4 1G1 vg hvor v 1 og v = 1. Punktet A er G s mnmum, hvs der kun nddrages observatoner af vandløbsafstrømnngen optmerngen (v 1 = ; v = 1, mens punktet B svarer tl en optmerng, hvor der kun bruges observatoner af tryknveau optmerngen (v 1 = 1; v =. Alle andre punkter på kurven, der forbnder A og B, repræsenterer optmum af G for forskellge valg af v 1 og v, og betegnes Pareto-fronten. Hvor på Pareto-fronten man ønsker at befnde sg er et subektvt valg og afhænger af den gvne problemstllng. Hvs begge observatonstyper tllægges lge meget vægt, vl det være hensgtsmæssgt at kunne ramme punktet C, som kan betegnes som et balanceret optmum. Det er mdlertd kke på forhånd mulgt at bestemme værderne af v 1 og v, der skrer, at punkt C rammes. Teoretsk set skal hele Pareto-fronten estmeres hver konkret problemstllng, før det balancerede optmum kan bestemmes. I prakss kan det mdlertd resultere et uoverkommelgt antal modelsmulernger, og denne fremgangsmåde vl derfor kke være mulg generelt. En anden og meget pragmatsk måde at fnde en passende vægtnng af forskellge datatyper på, består først at bestemme punkt A og B på fgur 14.. Det kræver, at der gennemføres to nverse kørsler, hvor der hhv. kun optmeres mod tryknveaudata og vandløbsafstrømnng. Her ud fra kan følgende vægte bestemmes v n 1 G 1 (14.5 n n G 1 1,, hvor G, er den optmale værd af obektvfunktonen for datatype optmeret udelukkende på bass af datatype. Hopmans et al. ( har foreslået, at der vægtes med antallet af observatoner, som er tl rådghed ndenfor de forskellge datatyper v 1 (14.6 hvor er antallet af observatoner af datatype og er det totale antal observatoner, =. Denne vægtnng forudsætter dels, at de ndgående resdualer har samme dmenson (evt. er dmensonsløse, dels at alle observatoner ndenfor de enkelte datatyper ndeholder lge meget nformaton. Sdstnævnte antagelse vl oftest kke være opfyldt, da observatoner foretaget på vsse lokalteter vl have større værd end andre steder. Eksempelvs vl en tryknveauobservaton fra en borng placeret tæt på en fastholdt tryknveau-rand være af mndre værd for optmerngen end en observaton placeret mdten af modelområdet. Hvs der er relatvt mange observatoner et område, vl værden af hver enkelt observaton sandsynlgvs være mndre end en observaton fra et datafattgt område. Lgnng (14.6 vl dog kunne gve et kvalfceret estmat af, hvordan de enkelte datatyper skal vægtes. Hvs G 1 og G (gvet ved udtryk (14.3, hvor w = 1/ er bestemt tl hhv. 45 og 8 en stuaton, hvor der kun er optmeret mod 11 tryknveauobservatoner, og G 1 og G er bestemt tl hhv. 67 og 4 en optmerng, hvor der kun er anvendt 3 afstrømnngsobservatoner, fås vha. (14.5 v 1 =.1 og 14-5

6 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS v =.9. Havde (14.6 været anvendt vlle de tlsvarende vægte være blevet estmeret tl v 1 =.3 og v =.97. I prakss vl det ofte være nødvendgt at anvende tral-and-error metoden for at bestemme en hensgtsmæssg vægtnng mellem forskellge datatyper, hvor forskellge vægte specfceres, og resultaterne vurderes successvt. I dette tlfælde er det kke nødvendgt, at de enkelte resdualer er dmensonsløse, da forskellen mellem den numerske værd af resdualer af forskellg type kan vurderes manuelt. Anvendelse af udtryk (14.5 kræver lgeledes kke, at der arbedes med dmensonsløse resdualer (eller resdualer med samme dmenson. ogle modelsystemer gver kun mulghed for at angve én vægt på hver observaton, og dette tlfælde er det nødvendgt at multplcere vægtene v og w med hnanden og ndsætte resultatet som vægtnngen af observatonspunkterne Brug af a pror nformaton Observatoner af parametre, der skal estmeres, kan også nddrages optmerngen. ormalt defneres en ny obektv funkton af følgende form G w b b (14.7 b ( obs, hvor b obs, er den observerede værd af parameteren b. G b omtales ofte som en penalty functon, da optmerngen blver straffet, hvs parameteren b bevæger sg for langt væk fra den observerede værd. En penalty funkton kan forhndre estmaton af urealstske parametre og afhælpe problemer med manglende entydghed (Carrera & euman, Tl gengæld skal man være påpasselg, når der skal specfceres observatonsværder for en parameter. Som beskrevet kaptel 4, er målnger af hydraulske lednngsevne skalaafhængge og det vl derfor være felagtgt at anvende f.eks. en K-værd baseret på slugtest som apror parameter en model, der arbeder på oplandsskala. Hvs de målte data svarer tl modellerngsskalaen er der stadg rsko for, at de tlgængelge punktmålnger kke er repræsentatve for de parameterzoner, der er defneret under parametrserngen af modellen. Samlet må det anbefales at anvende målnger af parametre optmerngen af modellen med stor forsgtghed. Der er ltteraturen stor uenghed om, hvorvdt a pror nformaton skal medtages obektv funktonen. Uengheden strækker sg fra helt at undgå det (Gnn & Cushman, 199 tl anbefalnger om, at det kan styrke optmerngen betragtelgt (Carrera & euman, Alternatvt kan observatoner af parametre anvendes tl at dentfcere realstske ntervaller for den pågældende parameter, ndenfor hvlket det må forventes at den estmerede parameter skal lgge OPTIMERIGSALGORITMER Obektvfunktonen G gvet ved (14.1 kan matrx-notaton skrves som T G( b r wr (14.8 hvor angver en vektor og angver en matrce. For et smpelt eksempel med blot 5 tryknveauobservatoner, hvor de 3 første observatoner har en standardafvgelse på m og de to sdste har en standardafvgelse på 3 m fås (vægtene antages omvendt proportonale med varansen 14-6

7 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS h h r h h h obs,1 obs, obs,3 obs,4 obs,5 h h h h h sm,1 sm, sm,3 sm,4 sm,5 (1/ w (1/ (1/ (1/3 (1/3 (14.9 Idet vægtnngsmatrcen kun består af dagonalelementer antages det mplct, at tryknveauobservatonerne er ndbyrdes uafhængge. Matematsk formuleret skal optmerngsalgortmen fnde den kombnaton af parameterværder, der mnmerer G b ˆ Mn G b (14.1 hvor bˆ er vektoren af parameterestmater, der resulterer, at G blver mndst mulgt. Der fndes forskellge typer af algortmer, der er udvklet tl dette formål. Overordnet kan de nddeles globale og lokale metoder (Sooroshan & Gupta, De lokale metoder er desgnet tl at fnde mnmum for obektvfunktoner, hvs værd kontnuert aftager mod et enkelt mnmum. De globale metoder er desgnet tl at fnde mnmum for obektvfunktoner, der har mere end et hul, og hvor der derfor er en rsko for at havne et lokalt mnmum. I det følgende vl kun de mest almndelge algortmer blve kort beskrevet. Mht. tl den globale metode dreer det sg om den såkaldte Suffle complex evoluton algortme (modul MIKE SHE, mens der for den lokale metode er tale om de gradentbaserede metoder, som kendes fra f.eks. MODFLOW, PEST og UCODE Suffle complex evoluton method (SCE-metoden Indenfor grundvandsmodellerng benyttes der prmært lokale, gradentbaserede optmerngsalgortmer tl automatsk modeloptmerng. Optmerngsalgortmen MIKE SHE er dog en undtagelse fra denne tendens, det der her anvendes en global optmerngsalgortme ved navn suffle complex evoluton method (Duan et al., 199; Madsen,. Denne metode benytter sg af en prncppet relatvt smpel strateg. Intelt samples der et antal ( tlfældge parameterkombnatoner et på forhånd defneret parameterrum (f.eks. gvet ved mnmum og maksmum for hver kalbrerngsparameter, og modellen eksekveres for alle parameterudfaldene. I næste teraton udvælges gen parameterudfald, men denne gang samples der mere målrettet omegnen af det parameterudfald, der første teraton gav den bedste overensstemmelse mellem observerede og smulerede værder. Således fortsætter optmerngen ndtl optmerngen konvergerer. SCE metoden er ldt mere avanceret end beskrevet ovenfor, det der kan defneres et antal complexes, dvs. grupper, således at optmerngen efter første teraton forløber flere grupper, der kan køre separate retnnger, hvorved der er mndre rsko for at havne et lokalt mnmum. SCE-metoden er desgnet tl at optmere meget kke-lneære problemstllnger, hvor det kan forventes, at obektvfunktonen er plaget af et eller flere lokale mnma. Eksempelvs kan det forventes, at modeller der ndeholder den umættede zone vl være stærkt kke-lneære. Lgeledes vl fuldt ntegrerede hydrologske modeller (med eller uden en fyssk beskrvelse af den umættede zone have relatvt stor chance for at være stærkt kke-lneære. I forhold tl de nedenfor beskrevne gradentmetoder, er der større chance for at optmerngen fnder et globalt mnmum, men tl gengæld skal der også benyttes flere modelsmulernger, når SCE-metoden benyttes Gradentbaserede metoder I de gradentbaserede metoder mnmeres G ved funktonsanalyse, det nulpunktet for den afledede af G søges teratvt. Fgur 14.3 llustrerer det smple tlfælde med kun en parameter, hvordan 14-7

8 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS G(b 1 A Lokalt mmnum B C D Lokalt mmnum b 1,opt b 1 Fgur 14.3 Illustraton af prncppet de gradentbaserede metoders optmerng. De korte lnestykker, der tangerer kurven, repræsenterer gradenten af obektvfunktonen G. optmerngen prncpelt forløber. Optmerngen påbegyndes f.eks. punktet A, og for at fnde en lavere værd af obektvfunktonen G, bestemmes hældnngen af G punktet. Herved fndes retnngen hvlken modelparameteren skal usteres. Herefter flyttes parameteren tl punkt B, en ny hældnng fndes, og optmerngen fortsættes på denne teratve måde, ndtl hældnngen af G er nul, og det derfor må antages, at obektvfunktonens mnmum er fundet. Tl bestemmelse af, hvordan modelparametrene skal ændres hver teraton beregnes den såkaldte Jacob-matrce, J, som ndeholder senstvtetskoeffcenterne sm, b (14.11 De enkelte senstvtetskoeffcenter angver, hvor meget smulerngsværden sm, ændrer sg, når parameteren b ændres. En stor senstvtetskoeffcent er udtryk for, at den smulerede værd ændrer sg meget når den pågældende parameter ændre størrelse. Parameteren har med andre ord stor ndflydelse på smulerngen af f.eks. hydraulsk tryknveau det pågældende punkt. I eksemplet med 5 observatoner af hydraulsk lednngsevne og 3 parametre fås følgende Jacobmatrce h b1. J.. h b1 sm,1 sm,5 h b... h b sm,1 sm,5 h b h sm, sm,5 b 3 (14.1 Præcsonen af beregnngen af senstvtetskoeffcenterne Jacob-matrcen er af afgørende betydnng for en gradentbaseret metode. UCODE og PEST anvender en forward eller central approksmaton tl beregnng af senstvtetskoeffcenterne gvet ved 14-8

9 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS b b ( b ( b b ( b b b ( b b b forward central (14.13 Central-approksmatonen har større præcson end forward approksmatonen, men tl gengæld kræver det dobbelt så mange eksekvernger af grundvandsmodellen at beregne centralapproksmatonen. Den bedste præcson opnås ved brug af den såkaldte senstvty-equaton metode, som er ndbygget MODFLOW (Hll et al.,. Med en gradentbaseret metode opnås de bedste resultater, hvs G er en kontnuert funkton, der varerer gradvst med parametrene. Dette vl være tlfældet for artessk grundvandsstrømnng, men der fndes en lang række tlfælde, hvor G er dskontnuert. F.eks. vl naktverng af celler et frt magasn, der pga. små ændrnger parameterværderne kommer tl at lgge over grundvandsspelet, resultere en markant ændrng af tryknveauresponset, som følgende kan have en uhensgtsmæssg effekt på beregnngen af senstvtetskoeffcenterne. Aktverng af drænflow, når tryknveauet overstger en forudbestemt værd, eller aktverng af overfladeafstrømnng, når tryknveauet overstger terrænkoten er andre mere fysske eksempler på dskontnuerte reaktoner hydrologske modeller. I sådanne tlfælde vl det være svært for en gradentbaseret metode at bestemme dels retnngen og størrelsen af ændrngen parametervektoren b. Som det ses af fgur 14.3 afhænger optmerngen af den sktserede obektvfunkton med en gradentbaseret metode af værden af det ntelle parameterestmat. Hvs optmerngen startes punkt A, vl det globale mnmum blve fundet, men hvs optmerngen påbegyndes enten tl venstre eller høre for dalen, hvor det globale mnmum befnder sg, vl metoden resultere et lokalt mnmum. De gradentbaserede metoder er derfor bedst egnede tl forholdsvs lneære problemstllnger. UCODE og PEST, som er de mest anvendte generelle optmerngsmodeller ndenfor grundvandsmodellerng, er begge gradentbaserede metoder, og er mht. de basale antagelse og algortmer meget ens. I PEST foretages der en mere raffneret bestemmelse af den skrdtlængde de enkelte parametre tager hver teraton, hvlket kan resultere en hurtgere konvergens end det er tlfældet for UCODE. Desuden er det PEST mulgt at angve grænser for det nterval, de enkelte parametre må bevæge sg ndenfor under optmerngen. Herved kan urealstske parameterestmater undgås, og denne facltet gør, at PEST blver foretrukket frem for UCODE af nogle brugere ETYDIGHEDSPROBLEMER Manglende entydghed ( non-unqueness optræder, når ét sæt observatonsdata, f.eks. hydraulske tryknveaudata, fra det betragtede system kan resultere mere end en nvers løsnng mht. parametrene b. Dette kan forekomme prncpelt set to forskellge stuatoner. I den ene stuaton er det mulgt at smulere det samme respons ved anvendelse af forskellge parametersæt. Dette vl eksempelvs være tlfældet, hvs to parametre er perfekt korrelerede, og der derfor fndes et uendelgt antal kombnatoner af de to parametre, der resulterer nøagtgt samme tryknveaufordelng og dermed også samme værd af obektvfunktonen G. Der er med andre ord mulghed for at generere det samme tryknveaubllede og derfor også samme strømnngsstuaton med forskellge kombnatoner af modelparametrene. Problemet er mdlertd, at modeller parametrseret med de forskellge parametersæt vl reagere forskellgt på f.eks. nye randbetngelser og påvrknnger af systemet (oppumpnng, drænng, etc., og modellen er derfor uegnet tl at lave predktoner med. Den anden type af manglende entydghed optræder, hvs flere forskellge parameterkombnatoner gver samme G-værd, men kke nødvendgvs samme tryknveaufordelng. Dette svarer tl, at der er flere stort set lge dybe huller obektvfunktonen, hvor overensstemmelsen mellem observeret og smuleret respons er lge god, men hvor resdualerne er fordelt forskellgt. Denne stuaton 14-9

10 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS benævnes også equ-fnalty, og kan opstå selv velformulerede problemstllnger, hvor der kke er problemer med manglende parameter-senstvtet eller hø parameterkorrelaton. De forskellge løsnnger vl generere forskellge strømnngssystemer, som vl resultere forskellge resultater mht. varable, som der kke er blevet kalbreret mod. Hvs der f.eks. kun kalbreres mod observatoner af hydraulsk tryknveau, vl de alternatve parametersæt resultere smulerng af forskellg tlstrømnng tl vandløb, forskellge opholdstder de enkelte magasner, etc. Derfor vl nddragelse af andre typer af observatonsdata kalbrerngsprocessen ofte kunne afhælpe problemet med manglende entydghed, da der pga. de ekstra data lægges flere bånd på optmerngen, og antallet af mulge løsnnger ndsnævres bedste fald tl kun en enkelt. Rskoen for manglende entydghed øges, når antallet af kalbrerngsparametre stger. Derved forøges sandsynlgheden for, at optmerngen resulterer et sæt parameterestmater, der kke er overensstemmelse med vrkelgheden. Hvs en model parametrseret med et sådant parametersæt udsættes for en valderngstest, er der stor sandsynlghed for at der opnås et dårlgt valderngsresultat. Et eksempel på dette problem ses fgur 15.1 kaptlet om valderng, hvor der genereres utlfredsstllende valderngsresultater, når antallet af parametre blver for høt. Manglende entydghed vl med skkerhed optræde, hvs der estmeres flere parametre, end der er observatonsdata tl rådghed. Det er mdlertd kke tlstrækkelgt blot at kræve, at antallet af observatonsdata er større end antallet af kalbrerngsparametre for at opnå entydghed. Værden af den enkelte observaton vl bl.a. afhænge af placerng og nøagtghed, og der kan derfor kke opstlles generelle retnngslner for sammenhængen mellem antallet af observatonsdata, der er tl rådghed for optmerngen, og antallet af parametre der entydgt kan estmeres. Der kan mdlertd gves nogle anbefalnger for, hvordan entydghed bedst mulgt tlstræbes (bl.a. Carrera & euman, 1986; Hll, 1998: Mnmerng af felen (uskkerheden på observatonsdata Anvendelse af flere forskellge typer data og dermed obektvfunktoner Basere parametrserngen (f.eks. afgrænsnng af zoner, ndenfor hvlke parametrene er homogene på geologske og andre fysske tolknnger, der retfærdggør den valgte opdelng af systemet parameterzoner. Herved mnmeres rskoen for at parameterestmatonen reduceres tl en ren dataftnngsøvelse. Anvendelse af logartmsk transformeret hydraulsk lednngsevne, da det mnmerer graden af kke-lneartet mellem modelparametre og tryknveau (Carrera & euman, 1986 Tlstræbe høst mulg senstvtet af modelparametrene. Dette er der flere mulgheder for: - Det er vgtgt at foretage et hensgtsmæssgt valg af kalbrerngsparametre, der kke resulterer en eller flere usenstve parametre. Dette vl ofte betyde, at antallet af kalbrerngsparametre skal holdes relatvt lavt. - Det kan lgeledes anbefales at anvende specfceret fluks (eller gradent frem for specfceret tryknveau som modelrandbetngelse, da det resulterer høere parametersenstvteter PARAMETERUSIKKERHED Fordelen ved at anvende en statstsk baseret nvers model er, udover at opnå forhåbentlgt optmale parameterestmater, at der bestemmes en række statstske størrelser for de estmerede parameter. Afhængg af, hvor mange antagelser der er opfyldt, kan der uddrages mere eller mndre nformaton om parametrenes statstske egenskaber. Kovaransmatrcen på de estmerede parametre bˆ kan beregnes som (Hll, 1998 Cov( bˆ s T J w J 1 hvor s er den såkaldte estmatons-varans ( calculated error varance eller goodness of ft (

11 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS s obs 1 b G( bˆ obs 1 b r T w r (14.15 Udtryk (14.14 er udledt under antagelse om lneartet mellem modelparametre og modelrespons (f.eks. hydraulsk tryknveau omkrng de optmale parametre bˆ, hvlket kke er opfyldt mht. grundvandsstrømnng. Desuden antages det, at resdualerne r er tlfældgt fordelt og ukorrelerede, hvlket også kan være svært at opfylde prakss. Udtryk (14.14 er derfor en approksmaton tl den sande kovaransmatrce, og det kan forventes, at udtrykket generelt vl underestmere den sande uskkerhed på parametrene. Indsættes (14.15 (14.14 fås Cov( bˆ obs obs 1 1 b b T T r w rj w J T T r rj J 1 1 (14.16 Det ses af (14.16, at den estmerede kovaransmatrce udelukkende afhænger af resdualerne r(bˆ og Jacob-matrcen J, som ndeholder senstvtetskoeffcenterne. Intutvt vlle man forvente, at parameteruskkerheden afhænger af den uskkerhed, som de benyttede observatonsdata påhæftes. Dette er mdlertd kke tlfældet, da observatonsuskkerheden alene udnyttes estmatonen af parametre va deres plads vægtnngsmatrcen w. Alt andet lge vl parameteruskkerheden øges, når resdualerne r vokser, mens den vl blve reduceret, når parametersenstvteten øges. Som det ses af udtryk (14.16 er der omvendt proportonaltet mellem parameteruskkerheden og parametersenstvteten, hvlket betyder, at parametre, der har stor ndflydelse på smulerngen af observatonsdataene (hø senstvtet, er godt bestemt og derfor tllægges en llle varans. Det ses også, at præcsonen af senstvtetskoeffcenterne Jacobmatrcen J er specelt vgtg denne forbndelse, det de multplceres parvs og summeres for at beregne kovaransmatrcen. For tlfældet med 3 parametre fås en kovaransmatrce af formen Var( b1 Cov( b1, b Cov( b1, b3 Cov ( bˆ Cov( b, b1 Var( b Cov( b, b3 (14.17 Cov( b, (, ( 3 b1 Cov b3 b Var b3 hvor Var(b er varansen på parameter nr. og Cov(b,b er kovaransen mellem parameter nr. og. Kovaransmatrcen er symmetrsk, dvs. Cov(b,b = Cov(b,b. Korrelatonsmatrcen fås tlsvarende tl Cov( b 1, b Cov( b1, b Var( b1 Var( b Var( b1 Var( b3 Cov( b (,, b1 Cov b b3 Cor ( bˆ 1 ( Var( b Var( b1 Var( b Var( b3 Cov( b3, b1 Cov( b3, b Var( b3 Var( b1 Var( b3 Var( b Korrelatonen mellem de enkelte parametre kan lgge ntervallet [-1; 1]. Hvs korrelatonen er tæt på 1 (numerske værd, er de to parametre stærkt korreleret. Det er dette tlfælde tvvlsomt, om der kan opnås entydge estmater af de to parametre, da det kun er forholdet mellem dem, som har 14-11

12 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS betydnng for resultatet. Ifølge Hll et al. (1998 kan korrelatonskoeffcenter på over.95 gve problemer med entydgheden. Konfdensntervaller på de estmerede parametre kan under forudsætnng om normalfordelte resdualer beregnes vha. (Hll, 1998 b tn,1. s b (14.19 ved et sgnfkansnveau på, hvor t( er t-fordelngen, og s b er standard afvgelsen for parameter nr.. For et sgnfkansnveau på 5%, svarende tl et 95% konfdensnterval, fås for n, at t(,.975 = 1.96, mens den tlsvarende værd på 3% nveau, svarende tl et 68% konfdensnterval, er på.995. Hvs der er mange observatonsdata tl rådghed forhold tl antallet af parametre (3 eller derover vl man (approksmatvt med 68% skkerhed kunne sge, at parameter b vl lgge ntervallet [b - s b ; b + s b ], mens der er 95% skkerhed for, at parameteren vl lgge ntervallet [b - s b ; b + s b ]. Varatonskoeffcenten, C v, gvet ved C Var( bˆ s b V (14. bˆ bˆ er et udtryk for den relatve uskkerhed på et parameterestmat. En varatonskoeffcent C v 1. vl normalt betyde, at parameteren er godt bestemt. Hvs C v > 1 vl det nogle tlfælde være mere hensgtsmæssgt at bestemme parameteren ud fra forhåndsvden frem for at estmere den vha. optmerngsalgortmen. Et 95% konfdensnterval for en parameter med C v = 1 er approksmatvt gvet ved [b b ; b + b ], hvlket ndkerer, at parameteren er relatvt dårlgt bestemt. I nogle tlfælde vl det være mulgt at angve et mndre bredt nterval for den sande værd af parameteren ud fra erfarngsværder og forelggende undersøgelser. I så fald er der grund tl at gentage optmerngen, hvor kun parametre, der kan estmeres præcst, medtages estmatonen EKSEMPEL I fgur 14.4 er et to-dmensonalt strømnngssystem vst. Randbetngelserne består af fastholdt tryknveau på 1 m på den vestlge rand og fastholdt tryknveau på m ved den østlge rand. Mod nord og syd er der mpermeable grænser. Der er ngen grundvandsdannelse området. Aquferen smuleres som et artessk magasn med en ensformg lagtykkelse på 1 m. Dskretserngen horsontal retnng er på m, mens der vertkal retnng benyttes et modellag. Fordelngen af hydraulsk lednngsevne er gvet ved to lge store områder, hvor den vestlge ende har en lednngsevne på K 1 = 8.64 m/d (1 1-4 m/s, og den østlge ende har en lednngsevne, der er tre gange så stor, K = 6 m/d (3 1-4 m/s. Der er defneret observatonspunkter ævnt fordelt over området, og første omgang vl det ud fra dsse observatoner af hydraulsk tryknveau (med en observatonsuskkerhed svarende tl en standardafvgelse på.5 m blve forsøgt at estmere den hydraulske lednngsevne området vha. optmerngsprogrammet PEST. I første omgang antages K at være homogen og horsontal sotrop. Intelt sættes K = 1 m/d. I optmerng nr. 1 kalbreres der kun mod de tryknveau-observatoner. Optmerngen resulterer et estmat af K på 5 m/d med et 95% konfdensnterval på [ ; m/d], se tabel 14.1, dvs. K-værden systemet er praktsk talt ubestemmelg. Optmerngen konvergerer efter tre teratoner, hvlket er det antal teratoner, som PEST er blevet bedt om at foretage uden forbedrnger obektvværden G. Der opnås nemlg ngen ændrng G, når K ændres, da tryknveaufordelngen er totalt uafhængg af den specfcerede K-værd. Tryknveaufordelngen et system med fastholdte randbetngelser opstrøms og nedstrøms ende og kun én K-værd, er uafhængg af den valgte K- værd, og ved nærmere eftersyn fndes der meget små senstvteter og composte parameter senstvteter (se afsnt Estmatet af K denne opsætnng er helt afhængg af hvlken K-værd, der bruges som startværd for optmerngen. 14-1

13 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS K 1 K Fgur 14.4 Illustraton af setup. De røde lner angver zonerngen af hydraulsk lednngsevne. De sorte punkter angver lokalteter, hvor der er observatoner af hydraulsk tryknveau. De blå lner er konturer af fordelngen af hydraulsk lednngsevne. Det er derfor nødvendgt at bbrnge optmerngen mere nformaton, hvs der skal kunne estmes entydge parametre. Ud fra den sande løsnng kendes fluksen tl nedstrøms rand den vestlge ende af systemet, Q = 655 m 3 /d. Varatonskoeffcenten antages at være ca. 1% af afstrømnngsmålngen, hvlket resulterer en uskkerhed på afstrømnngsmålngen, der svarer tl en standardafvgelse på ca. 65 m 3 /d. Inkluderes denne observaton optmerngen fndes resultatet angvet under optmerng nr. tabel Der estmeres en hydraulsk lednngsevne, som lgger mellem de to sande værder på 8.64 og 6 m/d, hvor de 13 m/d svarer tl det harmonske gennemsnt af de to værder (strømnng gennem sereforbndelse, hvorved den korrekte fluks tl nedstrøms rand beregnes. Da den homogene K-værd stadg kke har nogen ndflydelse på smulerngen af det hydraulske tryknveau, fndes den samme overensstemmelse mellem smuleret og observeret tryknveau, se fgur Tabel 14.1 Resultater fra optmerng af en enkelt homogen K-zone. SD angver standardafvgelsen på observatonerne, som benyttes vægtnngen af data. Optmerng Obs. Uskkerhed K-estmat (m/d Lav 95% konf. Hø. 95% konf. Int. RMS h (m nr. Int. (m/d (m/d 1 SD h =.5 m SD h =.5 m; SD Q = 65 m3/d SD h =.1 m; SD Q = 65 m3/d SD h =.1 m; SD Q = 13 m3/d For at undersøge ndflydelsen af vægtnngen mellem tryknveauobservatonerne og fluksobservatonen, sættes standardafvgelsen på de observerede tryknveauer ned med en faktor 5 fra.5 m tl.1 m. Optmerngen gentages og resultatet ses under optmerng nr. 3 tabel Estmatet af K er stadg på 13 m/d som optmerng nr., men 95% konfdensntervallet er nu betydelgt bredere, tl trods for at uskkerheden på de observerede tryknveauer er reduceret. Dette tlsyneladende paradoksale resultat skyldes, at fluksobservatonen nu tllægges relatvt mndre vægt, og da det er 14-13

14 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS fluksobservatonen, der gver hele nformatonen tl bestemmelsen af K, blver konfdensntervallet bredere. Hvs standardafvgelsen på fluksobservatonen også reduceres med en faktor 5 (fra 65 tl 13 m 3 /d, fndes nøagtgt samme resultat som angvet under optmerng nr.. Det absolutte nveau af vægtnngen af data har altså ngen betydnng for estmatonen af uskkerheder på kalbrerngsparametrene, det er kun fordelngen af vægtene, der er afgørende. Fgur 14.5 Overensstemmelse mellem observeret og smuleret tryknveau for optmernger nr. 1-4 (se tabel For at reproducere de observerede tryknveauobservatoner bedre, besluttes det at defnere tre zoner for hydraulsk lednngsevne, se fgur Både fluks ved nedstrøms rand og de trykobservatoner benyttes som kalbrerngsgrundlag (standardafvgelse på hhv. 65 m 3 /d og.5 m. Resultatet af optmerngen fremgår af tabel 14.. K 1 K K 3 Fgur 14.6 Illustraton af setup for de nverse kørsler nr. 4 6, se tabel De røde lner angver zonerngen af K. De blå lner er konturer af beregnet hydraulsk lednngsevne

15 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Tabel 14. Resultat af estmerng af de tre K-zoner llustreret fgur RMS h =.1 m. K-Estmat (m/d 95% konf. lav (m/d 95% konf. hø (m/d K K K Som det ses tabel 14. resulterer optmerng fornuftge estmater af de hydraulske lednngsevner. Den dårlge parametrserng, hvor K-zonerne kke er overensstemmelse med de sande K- zoner, resulterer mdlertd, at estmatet af K 3, som lgger helt nde zonen med en sand hydraulsk lednngsevne på 6 m/d, er overestmeret, og selv 95% konfdensntervallet ndeholder kke den sande værd. Ofte vl der praktske stuatoner være betydelg uskkerhed om grundvandsdannelsen tl modellen. Det forsøges derfor at estmere grundvandsdannelsen sammen med de tre K-parametre fra det ovenstående eksempel. Det skal nævnes, at der dette tlfælde både ntroduceres en parametrserngsfel (forkert zonerng af K og en konceptuel fel (forkert øvre randbetngelse. Eksemplet er mdlertd kke urealstsk, da begge fel ofte vl blve begået vrkelge tlfælde, uden at man er klar over det. Startværden for grundvandsdannelsen sættes tl m/d og resultatet af optmerngen ses tabel Tabel 14.3 Resultat af estmerng af de tre K-zoner llustreret fgur 14.6, samt en homogen grundvandsdannelse. RMS h =. m. Estmat (m/d 95% konf. lav (m/d 95% konf. hø (m/d K K K Grundv.dan Grundvandsdannelsen estmeres relatvt godt, det den nærmer sg den sande værd på nul. Tl gengæld har nkluderngen af grundvandsdannelsen optmerngen stor ndflydelse på optmerngen af de hydraulske lednngsevner. Specelt for K 3 opnås en værd, der lgger langt fra den sande værd på 6 m/d, og samtdg ses 95% konfdensntervallet at være betydelgt bredere end det foregående eksempel. Årsagen tl det relatvt dårlge resultat kan fndes ved at undersøge parameterkorrelatonerne, se tabel Tabel 14.4 Korrelatonsmatrce for kalbrerngsparametrene anført tabel K 1 K K 3 Grundv.dan. K K K Grundv.dan Der ses at være stor korrelaton mellem grundvandsdannelsen og de hydraulske lednngsevner, og korrelatonen er specelt hø mht. K 3, som både var svær at estmere og havde det brede konfdensnterval. Eksemplet llustrerer, hvordan hø parameterkorrelaton resulterer problemer med at bestemme entydge estmater af kalbrerngsparametrene. Det skal bemærkes, at der de ovenstående eksempler kun er anvendt støfre observatonsdata, dvs. modellen er blevet kalbreret mod de sande værder af hydraulsk tryknveau og fluks. I prakss vl dsse data altd være felbehæftede større eller mndre grad, hvlket vl forstærke problemerne med at estmere troværdge parameterværder. Endelg skal det nævnes, at når den rgtge zonerng af K, dvs. to lge store zoner som vst fgur 14., gves som nput tl den nverse model, fnder den automatske kalbrerng uden problemer frem tl de sande værder af K

16 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS 14.7 AALYSE AF OUTPUT FRA IVERS MODEL Et af de meget brugbare resultater, som en nvers model kan tlveebrnge, er senstvteterne, som er de afledte af modelresultaterne observatonspunkter mht. kalbrerngsparametrene. Senstvteterne Jacob-matrcen (14.1 kan udnyttes på to måder. Hvs der foretages en summaton af elementerne en søle J fndes en slags akkumuleret (eller composte parameter-senstvtet, der angver den samlede senstvtet af den pågældende parameter. En parameter med stor senstvtet vl have stor ndflydelse på resultatet af modellens predktoner de punkter, hvor der er observatonsdata tl rådghed. F.eks. vl man oftest fnde, at for høpermeable enheder vl den vertkale hydraulske lednngsevne være nsenstv, mens den horsontale hydraulske lednngsevne vl være senstv. Omvendt forholder det sg normalt med lav-permeable enheder. Hvs senstvteterne Jacob-matrcen summeres rækkevs, vl resultatet være en slags akkumuleret observatonssenstvtet, der angver nformatonsværden af den enkelte observaton. En llle akkumuleret observatons-senstvtet betyder, at den pågældende målng kke har ret stor betydnng for bestemmelsen af kalbrerngsparametrene. Omvendt betyder en stor akkumuleret observatonssenstvtet, at målngen er vgtg for estmaton af parametrene. UCODE/MODEFLOW og PEST foretager beregnngerne af de akkumulerede senstvteter på to forskellge måder. I UCODE/MODEFLOW fndes de såkaldte dmensonsløse skalerede senstvteter ( dmensonless scaled sensttty, ss ss b sm, b s (14.1 hvor s = 1/(w.5. Hvs vægtene w specfceres som anført (14., vl s være lg standardafvgelsen på observaton nr.. En dmensonsløs skaleret senstvtet fortæller om den enkelte observatons nformatonsndhold mht. en enkelt parameter. Man kan også vælge at tolke ss som den enkelte parameters ndflydelse på en enkelt observaton. Beregnngen af composte scaled parameter senstvty foretages som (det vægtnngsmatrcen w antages at være en dagonal-matrce css 1 obs obs 1 b sm, b s (14. hvor obs er antallet af observatonsdata. Der foretages, som beskrevet ovenfor, en sølevs summaton af (de kvadrerede senstvteter Jacobmatrcen (14.1. I PEST beregnes tlsvarende der en composte parameter senstvty cps 1 obs sm obs 1 b, 1 s (14.3 der svarer tl (14. ovenfor. Det ses, at cps kke er dmensonsløs, da senstvteterne kke multplceres med parameterværden, som det er tlfældet (14.. Tl forskel fra UCODE/MODFLOW bestemmes der PEST også en composte observaton senstvty, cos, som er gvet ved cos 1 b b 1 b sm, 1 s (14.4 hvor b er antallet af kalbrerngsparametre. Udtryk (14.4 kvantfcerer nformatonsværden af observaton nr.. Som anført Doherty ( skal man være opmærksom på, at en hø værd af cos kke nødvendgvs betyder, at observatonen er meget vgtg for optmerngen. Hvs der f.eks. fndes to observatoner lge ved sden af hnanden, vl begge få beregnet en hø cos, men pga

17 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS ndbyrdes korrelaton, vl nformatonsværden af de to målnger tlsammen kke svare tl summen af deres akkumulerede (composte observatons-senstvtet. Det er vgtgt at pontere, at udpegelsen af vgtge parametre på baggrund af senstvtetsanalyser, der udføres kalbrerngsstuatonen, kke nødvendgvs kan overføres tl predktonsstuatonen. Hvs det er formålet at bestemme sænknngen som følge af nstallaton af en ny kldeplads, kan det være, at smulerngen af sænknngskeglen omkrng kldepladsen er senstv overfor nogle parametre, der kke blev fundet senstve kalbrerngsstuatonen. I dette eksempel skabes der predktonsstuatonen et andet strømnngsfelt end det var tlfældet kalbrerngsstuatonen, og der er derfor en vs sandsynlghed for, at det er nogle andre parametre, der er vgtge den nye stuaton. Lgeledes kan det være, at predktonen af ndvndngsoplande eller transporttden tl en ekssterende kldeplads er senstv overfor andre parametre end det blev konstateret under kalbrerngen. I dette eksempel er strømnngsfeltet kalbrerngs- og predktons-stuatonen den samme, men det er nogle andre varable, der er fokus på, f.eks. er der en vs sandsynlghed for, at transporttden tl en kldeplads er senstv overfor nogle parametre, der kke havde stor ndflydelse på smulerngen af det hydraulske tryknveau. Det er derfor vgtgt at afrapportere resultatet af en senstvtetsanalyse foretaget med de optmale parameterestmater, så det er klart, hvlke parametre der er godt bestemt, og hvlke parametre, der er mndre godt bestemt. Dette vl for kalbrerngsparametrene også fremgå af den estmerede parameteruskkerhed, f.eks. form af 95% konfdensntervaller eller angvelse af den estmerede standardafvgelse. Desuden er det vgtgt, at der også gennemføres en senstvtetsanalyse eller følsomhedsanalyse predktonsstuatonen, for at fnde frem tl, hvlke parametre der vgtge for smulerng af de varable, der fokuseres på denne stuaton. Såfremt der kke er overensstemmelse mellem parametrene, der blev fundet senstve hhv. kalbrerngsstuatonen og predktonsstuatonen, er der grund tl at være påpasselg, for den stuaton skal der genereres smulerngsresultater med en model, hvor en eller flere af de vgtge parametre er dårlgt bestemt. Dette er en vgtg nformaton at vderebrnge, så der kan blve ageret henhold dertl. Det kan eventuelt blve besluttet på den forelggende nformaton at søge at tlveebrnge nformaton om de parametre, som der er problemer med, hvs dette er fyssk og økonomsk mulgt. Alternatvt skal de producerede resultater tolkes med varsomhed, det de sandsynlgvs vl være behæftet med stor uskkerhed Urealstske parameterestmater Anvendelse af automatsk parameteroptmerng resulterer tl tder estmaton af urealstske parameterværder, hvor f.eks. den hydraulske lednngsevne af et lerlag er urealstsk hø, den hydraulske lednngsevne for et sandlag er lavere end for et sltlag eller vandløbskonduktvteten et sandet område er meget llle. Den slags problemer opstår normalt kke, når der udføres manuel kalbrerng, da hydrogeologen kke vl afprøve urealstske parameterkombnatoner under kalbrerngen. Der kan være forskellge forklarnger på, at der estmeres urealstske parametre. Dels kan optmerngen være blevet fanget et lokalt mnmum, og det tlfælde vl overensstemmelsen mellem observerede og smulerede data sandsynlgvs også være dårlg. En anden forklarng kan være, at optmerngen pga. entydghedsproblemer har konvergeret mod et mnmum, der gver god overensstemmelse med observatonsdata, men som resulterer parameterværder, der kke er overensstemmelse med vrkelgheden. Dette problem svarer tl, hvad der af Beven (1993 benævnes equfnalty, hvlket beskrver, at forskellge modeller kan resultere repræsentatoner af vrkelgheden, som kke kan afvses som utroværdge. I afsnt 14.3 er forskellge årsager tl entydghedsproblemer beskrevet mere udførlgt. En trede forklarng på urealstske parameterestmer er, at der er fel den opstllede model (Poeter & Hll, Der kan f.eks. være tale om, at den konceptuelle model (hydrogeologsk tolknngsmodel er felbehæftet, eller at der er foretaget en forkert parametrserng. Den nverse model vl forsøge at kompensere for dsse fel ved at tllægge kalbrerngsparametrene værder, der kke er overensstemmelse med det vrkelge system. Urealstske parameterestmater kan dette tlfælde kke forkastes under påskud af, at den nverse model kke vrker. I stedet bør et sådant resultat anvendes konstruktvt, hvor resultaterne fra den nverse model analyseres (f.eks. fordelng af res

18 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS dualer systemet og uskkerhedsestmater på parametrene sammen med f.eks. den geologske model eller den anvendte parametrserng et forsøg på at fnde evt. fel modelopsætnngen. Alternatvt kunne flere forskellge modeller opstlles og sammenlgnes på baggrund af prmært (a hvor realstske de estmere parametre anses for at være, (b hvor god overensstemmelse der er med observatonsdata (f.eks. RMS-værd, samt (c hvor tlfældgt resdualerne er fordelt modellen (Hll, På baggrund af de tre krterer kan de alternatve modeller rangordnes og nogle kan eventuel helt forkastes ud fra nogle på forhånd opstllede krterer EVALUERIG AF KALIBRERIGSRESULTAT Relly & Harbaugh (4 anbefaler, at der tages stllng tl følgende spørgsmål ved evaluerng af, om en model er kalbreret tlstrækkelgt godt: 1. En den konceptuelle model (hydrogeologske tolknngsmodel, parametrserng, etc. for det betragtede system rmelg?. Er den matematske repræsentaton af randbetngelserne rmelge for formålet med opgaven? 3. Reproducerer det smulerede tryknveau og strømnngsfordelng de vgtge aspekter af strømnngssystemet, såsom størrelse og retnng af tryknveaukonturerne? 4. Er der en rmelg overensstemmelse mellem observeret og smuleret tryknveau og afstrømnng (udtrykt ved kvanttatve mål som f.eks. RMS-værden forhold tl formålet med undersøgelserne? 5. Fordeler resdualerne sg lgelgt over modelområdet, dvs. er der en tlfældg fordelng af hhv. over- og under-predkterng af de observerede tryknveauer? Hvs det kke er tlfældet, er der så en hydrogeologsk begrundelse for at ændre modellen og derved opnå en mere tlfældg rumlg fordelng af resdualerne? De to første spørgsmål er prmært relateret tl den konceptuelle forståelse af det betragtede system samt modelopsætnngen for systemet. Dsse spørgsmål er der normalt taget stllng tl nden kalbrerngen påbegyndes, men hvs det løbet af kalbrerngsprocessen vser sg, at det kke er mulgt at opnå en tlfredsstllende overensstemmelse med de observerede størrelser, vl det være naturlgt at stlle spørgsmålene gen, og eventuelt forsøge at korrgere den hydrogeologske tolknngsmodel nkl. geologsk model og randbetngelser. Specfkt for resultater af en nvers kalbrerng vl det være hensgtsmæssgt yderlgere at stlle følgende spørgsmål: A. Har de estmerede parametre rmelge størrelser, der lgger ndenfor de forventede ntervaller? B. Er de estmerede parameteruskkerheder og korrelatoner rmelge? C. Er der opnået et globalt mnmum den nverse kalbrerng? Det skal sandsynlggøres, at svarene på ovenstående spørgsmål er bekræftende. Hvs der kke kan gves postve svar, skal det forklares, hvad der er årsag tl de fundne problemer REFERECER Beven, K.J. (1993 Phophesy, realty and uncertanty n dstrbuted hydrologcal modellng, Adv. Water Resources, 16, Carrera, J., and euman, S.P. (1986 Estmaton of aqufer parameters under transent and steady state condtons:. Unqueness, stablty, and soluton algortms, Water Resources Research, (, Doherty, J. ( PEST, Model ndependent parameter estmaton. Watermark umercal Computng, Australa,49 p. Duan, Q., Sorooshan, S., Gupta, V. (199 Effectve and effcent global optmzaton for conceptual ranfall-runoff models, Water Resources Research, 8(4,

19 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Gnn, T.R., Cushman, J.H. (199 Inverse methods for subsurface flow: A crtcal revew of stochastc technques, Stochastc Hydrol. Hydraul., 4, 1-6. Hll, M.C. (1998 Methods and gudelnes for effectve model calbraton, U.S. Geologcal Survey, Water-Resources nvestgatons Report 98-45, 9 p. Hll, M.C., Cooley, R.L., Pollock, D.W. (1998 A controlled experment n groundwater flow model calbraton, Ground Water, 36(3, Hll, M.C., Banta, E.R., Harbaugh, A.W., Anderman, E.R. (, MODFLOW-, The U.S. Geologcal Survey modular ground-water model User gude to the Observaton, Senstvty, and Parameter-estmaton processes and three post-processng programs, U.S. Geologcal Survey, Open-fle Report -184, 9 p. Hll, M.C., Tedeman, C.R. ( Weghtng observatons n the context of calbratng groundwater models, In: K. Kovar & Z. Hrkal (eds., Calbraton and relablty n groundwater modelng: A few steps closer to realty, ModelCARE, IAHS Publcaton 77, Hopmans, J.W., Šmunek, J., Romano,., Durner, W. ( Inverse methods, In: Methods of sol analyss, Part 4, Physcal methods, Eds.: J.H. Dane & G.C. Topp, Sol Scence Socety of Amerca, Inc., Madson, Wsconsn, USA, Madsen, H. ( Automatc calbraton of a conceptual ranfall-runoff model usng multple obectves, J. Hydrology, 35, Madsen, H. (3 Parameter estmaton n dstrbuted hydrologcal catchment modelng usng automatc calbraton wth multple obectves, Advances n Water Resources, 6, Madsen, H., Krstensen, M. ( A mult-obectve calbraton framework for parameter estmaton n the MIKE SHE ntegrated hydrologcal modelng system, In: ModelCARE, Proceedng of the 4 th nternatonal conference on Calbraton and Relablty n Groundwater Modellng, 6 p. Madsen, H., Jacobsen, T. (1 Automatc calbraton of the MIKE SHE ntegrated hydrologcal modelng system, 4 th DHI softwater conference, p. Poeter, P.P., and Hll, M.C. (1996 Unrealstc parameter estmates n nverse modelng: a problem or a beneft for model calbraton? In: Calbraton and Relablty n Groundwater Modellng, Proceedng of the Model CARE 96 Conference, IAHS Publ. no. 37, Poeter, E.P., Hll, M.C. (1997 Inverse models: A necessary next step n ground-water modelng, Ground Water, 35(, 5-6. Poeter, E. P., Hll, M.C. (1998 Documentaton of UCODE, A computer code for unversal nverse modelng: U.S. Geologcal Survey Water-Resources Investgatons Report 98-48, 116 p. Poeter, E.P., Hll, M.C. (1999 UCODE, a computer code for unversal nverse modelng, Computers & Geoscences, 5, Relly, T.E., and Harbaugh, A.W. (4 Gudelnes for evaluatng ground-water flow models, U.S. Geologcal Survey Scentfc Investgatons Report 4-538, 3 p

20 Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Sonnenborg, T.O. (1 Kalbrerng af strømnngsmodel, Ståb grundvandsmodellerng, Ed. Henrksen et al.,. p. Sorooshan, S., Gupta, V.K. (1995 Model calbraton, In: Sngh, V.P. (Ed., Computer Models of Watershed Hydrology, Water Resources Publcatons, Colorado,

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Beregning af strukturel arbejdsstyrke

Beregning af strukturel arbejdsstyrke VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der

Læs mere

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1 Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen

Læs mere

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9 Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Validering og test af stokastisk trafikmodel

Validering og test af stokastisk trafikmodel Valderng og test af stokastsk trafkmodel Maken Vldrk Sørensen M.Sc., PhDstud. Otto Anker Nelsen Cv.Ing., PhD, Professor Danmarks Teknske Unverstet/ Banestyrelsen Rådgvnng 1. Indlednng Trafkmodeller har

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge

Læs mere

Regressionsanalyse. Epidemiologi og Biostatistik. 1.Simpel lineær regression (Kapitel 11) systolisk blodtryk og alder

Regressionsanalyse. Epidemiologi og Biostatistik. 1.Simpel lineær regression (Kapitel 11) systolisk blodtryk og alder Regressonsanalyse Epdemolog og Bostatstk Mogens Erlandsen, Insttut for Bostatstk Uge, torsdag (forelæsnng) 1.Smpel lneær regresson (Kaptel 11) systolsk blodtryk og alder. Multpel lneær regresson (Kaptel

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)? Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelsøgnng Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E[ y] = α...

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E y] = α... [ 3 3 4 4

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.4) Kvanttatve metoder Heteroskedastctet 6. aprl 007 Sdste gang: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Whte s korrekton af OLS varansen Test for heteroskedastctet

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,

Læs mere

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.

Læs mere

Morten Frydenberg Biostatistik version dato:

Morten Frydenberg Biostatistik version dato: Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -03-0 Effektmodfkaton Hvad er det - Kvantfcerng - Test Bostatstk uge 7 mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Vægtede gennemsnt - Formler for standard

Læs mere

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet.

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet. BLÅ MEMOSERIE Memo nr. 208 - Marts 2003 Optmal adgangsregulerng tl de vderegående uddannelser og elevers valg af fag gymnaset Karsten Albæk Økonomsk Insttut Købenavns Unverstet Studestræde 6, 1455 Købenavn

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3 Sde : 1/3 1. Anvendelsesområde 1.1 Denne akkredterngsbestemmelse gælder ved DANAK s akkredterng af kalbrerngslaboratorer. 1. Akkredterede kalbrerngslaboratorer skal ved estmerng af uskkerhed, rapporterng

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med

Læs mere

Husholdningsbudgetberegner

Husholdningsbudgetberegner Chrstophe Kolodzejczyk & Ncola Krstensen Husholdnngsbudgetberegner En model for husholdnngers daglgvareforbrug udarbejdet for Penge- og Pensonspanelet Publkatonen Husholdnngsbudgetberegner En model for

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

Statistik Lektion 15 Mere Lineær Regression. Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineære Regression

Statistik Lektion 15 Mere Lineær Regression. Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineære Regression Statstk Lekton 15 Mere Lneær Regresson Modelkontrol Prædkton Multpel Lneære Regresson Smpel Lneær Regresson - repetton Spørgsmål: Afhænger y lneært af x?. Model: y = β + β x + ε ε d N(0, σ 0 1 2 ) Systematsk

Læs mere

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36. Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles

Læs mere

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol Økonometr lekton 7 Multpel Lneær Regresson Testbaseret Modelkontrol MLR Model på Matrxform Den multple lneære regressons model kan skrves som X y = Xβ + Hvor og Mndste kvadraters metode gver følgende estmat

Læs mere

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder I 24.november 2006 F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Paneldatametoder Sdste gang: Paneldata begreber og to-perode tlfældet (kap 13.3-4) Uobserveret effekt modellen:

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 > MfA V Udstyr Trafkspejle Vejregler for trafkspejles egenskaber og anvendelse Vejdrektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 Vejreglernes struktur I henhold tl 6, stk. 1 lov om offentlge veje (Trafkmnsterets

Læs mere

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan. Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel

Læs mere

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann Gulvvarmeanlæg en ntrodukton af Peter Wetzmann Sde 1 Indholdsfortegnelse 1 Forord... 3 2 Introdukton tl gulvvarme... 4 2.1 Hstorsk gennemgang...4 2.2 Fyssk beskrvelse...4 3 Typer... 6 3.1 Tung gulvvarme...6

Læs mere

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

Insttut for samfundsudvklng og planlægnng Fbgerstræde 11 9220 Aalborg Øst Ttel: Relatv Fasepostonerng Med bllge håndholdte GPS-modtagere Projektperode: Februar 2006 Jul 2006 Semester: 10. Projektgruppe:

Læs mere

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed

Læs mere

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014 Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young 26. februar 2014 Bass- og ex ante-målng af de admnstratve konsekvenser ved forslag tl lov om autorsaton af vrksomheder el-, vvs- og kloaknstallatonsområdet Indholdsfortegnelse

Læs mere

Undersøgelse af pris- og indkomstelasticiteter i forbrugssystemet - estimeret med AIDS

Undersøgelse af pris- og indkomstelasticiteter i forbrugssystemet - estimeret med AIDS Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbedspapr* Mads Svendsen-Tune 13. marts 2008 Undersøgelse af prs- og ndkomstelastcteter forbrugssystemet - estmeret med AIDS Resumé: For at efterse nestnngsstrukturen forbrugssystemet

Læs mere

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA)

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA) Statstk II Lekton 4 Generelle Lneære Modeller Smpel Lneær Regresson Multpel Lneær Regresson Flersdet Varansanalyse (ANOVA) Logstsk regresson Y afhængg bnær varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Opbygnng af statstsk model Eksploratv data-analyse Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Økonometr 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Prram for øvelserne: Gruppearbejde plenumdskusson SAS øvelser Øvelsesopgave: Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 13 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen

Læs mere

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006 Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder II Introdukton tl Instrumentvarabler 27. november 2006 Paneldata metoder Sdste gang: Paneldata med to eller flere peroder og fxed effects estmaton. Første-dfferens

Læs mere

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal

Læs mere

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller Statkstk II 4. Lekton Generelle Lneære Modeller Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet X + k = E( Y X ) = α + β x + + β

Læs mere

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 Aftale om generelle vlkår for tlldsrepræsentanter -^ Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 1. Aftalens parter Mellem parterne Århus Kommune, Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg og FOA,

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Blag 365 Offentlgt Notat Kemkaler J.nr. MST-652-00099 Ref. Doble/lkjo Den 5. maj 2010 GRUNDNOTAT TIL FOLKETINGETS EUROPAUDVALG Kommssonens forslag om tlpasnng tl den

Læs mere

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde Dato: 6. oktober 217 Sag: DIPS- 16/1631 Sagsbehandler: /SBJ/DEB/PMO/KBA Værktøj tl beregnng af konkurrenceeffekter ved udlægnng af nyt butksområde KONKURRENCE- OG FORBRUGERSTYRELSEN ERHVERVSMINISTERIET

Læs mere

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej Trafkgruppen Agenda 1. Vurderng af forsøg Luknng af Sandmosevej 2. Vurderng af foreslået forsøg Luknng af Sandmosevej og Brunbakkevej 3. Forslag tl forbedret fremkommelghed for hele Aarhus Syd 4. Kortsgtet

Læs mere

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC MEDDELELSE NR. 1075 Vrknngsgraden (gennemslaget) tl en produktonsbesætnng for avlsværdtallet for hanlg fertltet Duroc blev fundet tl 1,50, hvlket

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti Indholdsfortegnelse Instrumentopsætnng - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Introdukton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Oversgt - - - - - - - - - - -

Læs mere

Titel: Prøvetagning renseanlæg. Dokumenttype: Teknisk anvisning. Versi on: TA. nr.: P04. Oprettet 22. nov. 2012. Forfatter: FDC Punktkilder

Titel: Prøvetagning renseanlæg. Dokumenttype: Teknisk anvisning. Versi on: TA. nr.: P04. Oprettet 22. nov. 2012. Forfatter: FDC Punktkilder Dokumenttype: Teknsk anvsnng Forfatter: FDC Punktklder TA henvsnnger TA. nr.: P04 Vers on: 1 Gyldg fra: 01.01.2013 Sder: Sdst ændret: 14.11.2012 Oprettet 22. nov. 2012 0 Indhold 1 Indlednng... 2 2 Metode...

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016 Sundheds- og Ældreudvalget 2014-15 (2. samlng) SUU Alm.del Blag 41 Offentlgt Sundheds- og Ældremnsteret Sundheds- og ældremnsteren Enhed: Jurmed Sagsbeh.: hbj Sagsnr.: 1503875 Dok. nr.: 1768205 Dato: 3.

Læs mere

Betjeningsvejledning. Trådløs motoraktuator 1187 00

Betjeningsvejledning. Trådløs motoraktuator 1187 00 Betjenngsvejlednng Trådløs motoraktuator 1187 00 Indholdsfortegnelse Om denne vejlednng... 2 Enhedsoversgt... 3 Monterng... 3 Afmonterng... 3 Spændngsforsynng... 4 Ilægnng af batter... 4 Tlstand ved faldende

Læs mere

stotoil Seksjon for Petrologi, GEOLAB Rapport nr. 86.40 GEC-KEMISKE KERNELOGGER GENNEM EKOFISK- OG TOR FORMATIONERNE I BRØND 1/9-6, TOMMELITEN FELTET

stotoil Seksjon for Petrologi, GEOLAB Rapport nr. 86.40 GEC-KEMISKE KERNELOGGER GENNEM EKOFISK- OG TOR FORMATIONERNE I BRØND 1/9-6, TOMMELITEN FELTET Denne rapport tlhører STATOL LTEK DOK.SENTER LNR - 3.00 86 M M QQ2 2. KODE Returneres etter bruk stotol Seksjon for Petrolog, GEOLAB Rapport nr. 86.40 GEC-KEMSKE KERNELOGGER GENNEM EKOFSK- OG TOR FORMATONERNE

Læs mere

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74 DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 211 74 Johan Gustav Kaas Jacobsen Danmarks Natonalbank Søren Truels Nelsen Danmarks Natonalbank Betalngsvaner Danmark September 211 The Workng Papers of Danmarks Natonalbank

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel (Wooldridge 8.5). Dagens program: Heteroskedasticitet 30. oktober 2006

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel (Wooldridge 8.5). Dagens program: Heteroskedasticitet 30. oktober 2006 Dagens program: Øonometr 1 Heterosedastctet 30. otober 006 Effcent estmaton under heterosedastctet (Wooldrdge 8.4): Sdste gang: Kendte vægte - Weghted Least Squares (WLS) Generalzed Least Squares (GLS)

Læs mere

Capital Asset Pricing Modellen

Capital Asset Pricing Modellen Captal Asset Prcng Modellen og det danske aktearked Bachelorprojekt af Thoas Klesdorff Hougaard Vejleder Lone Sauelsen Afleverngsdato.05.006 Erhvervsøkono/HA-uddannelsen Insttut for Safundsvdenskab og

Læs mere

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne.

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne. Dette dokument beskrver overordnet de væsentlge ændrnger tl verson 2.6. I dokumentet er kun medtaget de ændrnger, der har medført ændrnger tl revsonsrapporten. I det omfang der er behov for uddybnng af

Læs mere

Skruekompressorer SM-serien Med den verdenskendte SIGMA PROFIL Ydelse 0,30 til 1,50m3/min, Tryk 8 11 15 bar. www.kaeser.com

Skruekompressorer SM-serien Med den verdenskendte SIGMA PROFIL Ydelse 0,30 til 1,50m3/min, Tryk 8 11 15 bar. www.kaeser.com Skruekompressorer SM-seren Med den verdenskendte SIGMA PROFIL Ydelse 0,0 tl,0m/mn, Tryk www.kaeser.com Hvad forventer forbrugerne af et trykluftsystem? De forventer maksmal drftsskkerhed og ydeevne. Dette

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng

Læs mere

Indledning ELEVPLAN FOR [NAVN] CPR [123456-9876]

Indledning ELEVPLAN FOR [NAVN] CPR [123456-9876] Kontaktoplysnn Indlednng For elever specalskoler, gruppeordnnger, specalklasser og elever, der modtager særlg støtte tl nkluson almndelge klasser, skal der udarbejdes en ndvduel elevplan, der tager udgangspunkt

Læs mere

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21 Vestbyskolen... 2 Samlet vurderng af skolen... 3 Rammebetngelser... 5 Budget... 5 Personaletal... 5 Pædagogske processer... 6 Indsatsområder og resultater... 6 Opfølgnng og nye ndsatsområder... 10 Udfordrnger...

Læs mere

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte ½ års evaluerng projekt Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte Der forelgger her en evaluerng beskrvelse projektstllngen Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte efter et halvt års vrke. Tl forskel fra 3 måneders evaluerngen

Læs mere

Organisationsmanual. Organisationen bag SIKA Rengøring A/S

Organisationsmanual. Organisationen bag SIKA Rengøring A/S Organsatonsmanual Organsatonen bag SIKA Rengørng A/S SIKA Rengørng A/S ejes af Bent & Elsabeth Hansen. 1 En robust organsaton SIKA Rengørng blev grundlagt 2001 af Bent Hansen, som enkeltmandsvrksomhed.

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2013. Og den gennemsntlge startløn er nu på den pæne sde af 32.000 kr.

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets

Læs mere

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at: FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x 1 +... + k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

Overgangen i geografiundervisningen fra folkeskolen til gymnasiet - et analyse projekt

Overgangen i geografiundervisningen fra folkeskolen til gymnasiet - et analyse projekt Overgangen geografundervsnngen fra folkeskolen tl gymnaset - et analyse projekt The transton n geography from elementary school to secondary school - an analytcal project Den Naturvdenskabelge bassuddannelse,

Læs mere

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri)

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri) for Myndghed (Handcap og Socalpsykatr) Baggrund Økonomudvalget besluttede den 17. maj 2010, at der bl.a. på Myndghedsområdet for Handcap og Socalpsykatr skal udarbejdes en handleplan som følge den konstaterede

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Opsamlng vedr. nferens uden MLR.5: Beregnng af robuste standardfejl og kovarans under heteroskedastctet (W8.) W.6: Flere emner en multpel regressonsmodel Inferens den

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

KOMMISSIONENS DELEGEREDE FORORDNING (EU) / af 30.9.2015

KOMMISSIONENS DELEGEREDE FORORDNING (EU) / af 30.9.2015 EUROPA- KOMMISSIONEN Bruxelles, den 30.9.2015 C(2015) 6588 fnal KOMMISSIONENS DELEGEREDE FORORDNING (EU) / af 30.9.2015 om ændrng af Kommssonens delegerede forordnng (EU) 2015/35 for så vdt angår beregnng

Læs mere